ECONOMETRÍA I

ECONOMETRÍA I
Operaciones con vectores y matrices
ECONOMETRÍA I
OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES
Ana Morata Gasca
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Operaciones con vectores y matrices
DEFINICIÓN DE VECTOR
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio.
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR
Origen o Punto de aplicación: Punto sobre el que actúa el vector.
Módulo: Longitud o tamaño del vector.
Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.
EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE UN VECTOR
Donde:
,
y
Ejemplo 1:
EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN VECTOR
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OPERACIONES CON VECTORES
Suma y Diferencia:
Sean dos vectores a y b:
Ordenando por componentes:
En notación matricial:
Ejemplo 2: Calcula la suma y diferencia de los siguientes vectores:
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Producto por un escalar
Ejemplo3:
Combinación lineal de vectores
Ejemplo 4:
Producto de vectores
Ejemplo 5:
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DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos ordenado en una estructura de filas y
columnas.
Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas.
CARACTERÍSTICAS DE UNA MATRIZ
Elementos: Los elementos de una matriz pueden ser objetos matemáticos de
diferentes tipos. Se trabajará con números reales. Los elementos de una matriz se
identifican por la fila (i) y la columna (j) que ocupan y se designan por aij. Así, el
elemento a32 estará situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.
Dimensión: El número de filas (m) y columnas (n) que tiene una matriz se denomina
dimensión de la matriz. La dimensión es m x n.
Si m=n se dice que A es una matriz cuadrada.
Si m ≠n se dice que A es rectangular.
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OPERACIONES CON MATRICES
Suma de matrices y producto por un escalar
Dadas dos matrices
y
, del mismo tamaño m x n y formadas por un
cuerpo cualquiera, se llama suma A + B a la matriz
m x n; es decir:
, de dimensión
+
Se llama producto σA (σ escalar) a la matriz
, de tamaño m x n; es decir:
Ejemplo6: Calcular A+B siendo:
y
Ejemplo 7: Calcular
siendo:
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Propiedades
Para cualesquiera que sean las matrices A, B y C, del mismo tamaño m x n, y para
cualesquiera escalares σ y ρ, se verifica:
1)
2)
3)
4)
a)
b)
c)
d)
Notas:


es la matriz nula, de tamaño m x n, y es aquella cuyos elementos son todos
iguales al escalar nulo.
es la matriz opuesta de
, y es aquella de tamaño m x
n, cuyos elementos son escalares opuestos de los respectivos elementos de .
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Producto de matrices
Dadas dos matrices
de tamaño m x p y
de tamaño p x n (B tiene el
mismo número de filas p, que de columnas tiene A), se llama producto AB o
, de
A por B, a la matriz
, de dimensión m x n; cuyo elemento del lugar (ij) es:
Para dos matrices A y B matriz de dimensión 2 x 2 el producto AB es:
Ejemplo 8: Calcular AB siendo:
y
=
Casos particulares

Si A es una matriz fila (1 x p) y B es cualquiera (p x n), entonces:
=
Donde
(i=1,2, …,n)
Ejemplo 8: Calcular cA siendo:
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
Donde
Operaciones con vectores y matrices
Si A es cualquier matriz (m x p) y B es matriz columna (p x 1) entonces:
(i=1,2, …,m)
Ejemplo 9: Calcular Ac siendo:

Si A es una matriz fila (1 x p) y B es matriz columna (p x 1) entonces:
Donde
Ejemplo 10: Calcular ab siendo:
=14+10+24=48
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Propiedades
1)
2)
2b)
3)
Asociativa
Distributiva
Distributiva
e
donde
es la matriz identidad.
4)
(en general) No es conmutativo.
5) Puede ser
sin que
o
cuando esto ocurra se dirá que A y B son
divisores de cero.
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Traspuesta de una matriz
Dada una matriz de tamaño m x n, se llama traspuesta de A a la matriz , de
tamaño n x m, que tiene por elemento de lugar (ij) al elemento de lugar (ji) de A, para
i=1, 2, …, n y j= 1, 2, …, m. La correspondencia
se llama trasposición de
matrices.
Ejemplo 11: Calcular la matriz traspuesta de la matriz A, siendo
Propiedades
1)
2)
3)
4)
(la trasposición es involutiva)
(A y B del mismo tamaño)
(σ cualquier escalar)
(A de tamaño m x p; B de tamaño p x m)
Si A es una matriz cuadrada:
entonces A es simétrica.
entonces A es antisimétrica.
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Matrices invertibles
Una matriz cuadrada de tamaño n x n, se dice que es invertible si existe otra matriz,
de igual tamaño, que se llama matriz inversa de A y se denotará por
, tal que:
Calculo de la inversa de una matriz a partir de la matriz de adjuntos:
Sea una matriz cuadrada
de dimensión 2 x 2:
Para una matriz A de orden superior:
Donde:


es el determinante de A.
es la matriz de adjuntos de la matriz traspuesta de A.
LOS SIGUIENTES EJEMPLOS SE RESOLVERÁN EN PIZARRA
Ejemplo 12: Sea una matriz cuadrada
calcular la matriz inversa.
Resultado:
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Ejemplo 13: Sea una matriz cuadrada
calcular la matriz inversa.
Resultado:
Propiedades
1) La inversa de una matriz, si existe, es única.
2)
3)
4)
invertible.
5)
entonces
es una matriz invertible.
donde k es un número entero positivo entonces
es una matriz
6)
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EJERCICIOS
1. Dadas las matrices
,
y
, se pide calcular
cuando sea posible:
a) A+B
b) AC
c) CB y
d)
e) ABC
f)
g)
,
,
2. Dadas las matrices
y
se pide calcular cuando
sea posible:
a) AB y BA Comentar el resultado.
b)
y
Comentar el resultado.
c)
y
Comentar el resultado.
3. Dadas las siguientes matrices, calcular su matriz inversa:
a)
b)
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