algoritmos en gap en el problema de los conjuntos suma pequeños

ALGORITMOS EN GAP EN EL PROBLEMA DE LOS
CONJUNTOS SUMA PEQUEÑOS
EUclides Díaz Arcos1 , Andres Fernando Jaramillo Mejia2
1
Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad de Nariño, San Juan de Pasto,
Colombia, e-mail: [email protected]
2
Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad de Nariño, San Juan de Pasto,
Colombia, e-mail: [email protected]
RESUMEN
Sean A y B dos subconjuntos no vacíos de un grupo G. El conjunto suma (o producto) de A y B , denotado con A · B , es el conjunto de todos los elementos de G que se
pueden expresar, por lo menos de una forma, como producto de un elemento a ∈ A por un
elemento b ∈ B , es decir
A · B = {a · b : a ∈ A y b ∈ B}.
Un problema de interés en Teoría Aditiva de Números, denominado el Problema de los
Conjuntos Suma Pequeños, es determinar una fórmula explícita que modele el valor
µG (r, s) = mín {|A · B| : A, B ⊆ G, |A| = r y |B| = s} ,
donde r y s son enteros positivos tales que r, s ≤ |G|. El problema mencionado se encuentra resuelto completamente para todo grupo abeliano, sin embargo, se desconoce
una formula explícita para grupos no abelianos y en particular para grupos solubles finitos.
INTRODUCCIÓN
En matemática, la Teoría Aditiva de Números es un campo de estudio en el cual se han
hecho avances significativos en los últimos tiempos, entre los diversos problemas que aquí
se estudian, es de gran interés encontrar una cota inferior para |A · B| en términos de A
y B , donde A y B son subconjuntos no vacíos de un grupo G. Dentro de este contexto
un problema de interés denominado el Problema de los Conjuntos Suma Pequeños es
determinar una fórmula explícita que permita calcular el mínimo de los cardinales |A · B|
donde A y B son subconjuntos finitos de un grupo G sujetos a las condiciones |A| = r y
|B| = s, es decir se desea calcular los valores de la función
µG (r, s) = mín {|A · B| : A, B ⊆ G, |A| = r y |B| = s}
donde r, s son enteros positivos tales que r, s ≤ |G|. Evaluar directamente el valor de
µG (r, s) es un proceso complicado debido al gran número de operaciones que se deben
realizar.
RESULTADOS
Presentamos algunos algoritmos obtenidos durante la investigación del Problema de
los Conjuntos Suma Pequenos en algunos grupos finitos no abelianos en el sistema
de algebra computacional GAP.
Socializar el Método Isoperimétrico de Hamidoune y su aplicación al Problemas de
los Conjuntos Suma Pequenos en algunos grupos solubles finitos.
CONCLUSIONES
Los algoritmos computacionales son de gran ayuda para conjeturar sobre posibles resultados en el Problema de los Conjuntos Suma Pequenos; sin embargo, por el extenso tiempo
que utiliza el computador para obtener resultados se hace necesario la búsqueda de una
función explicita que modele µG .
Palabras Claves: Conjunto suma, Grupo Soluble, Grupo no abeliano, Método isoperimétrico
INFORME SOBRE LA PRESENTACIÓN
Tipo de presentación: Charla corta, Línea de trabajo: Matemática Pura, Medios: Video
Beam y Tablero para marcador.
REFERENCIAS
[1] Y. O. Hamidoune, An Isoperimetric Method in Additive Theory. Journal of Algebra 179.
(1996) 622-330.
[2] Shalom Eliahou; Michel Kervaire, Minimal sumsets in infinite abelian groups. Journal
of Algebra 287. (2005) 449-457
[3] Eric Balandraud, The isoperimetric method in non-abelian Groups with an application
to optimally small sumsets. International Journal of Number Theory Vol. 4, No. 6.
(2008) 927-958