Capítulo 18 Biomagnetismo

Capítulo 18
Biomagnetismo
1
Fuerza magnética sobre una carga
La fuerza que un campo magnético B ejerce sobre una partícula con
velocidad v y carga Q es:
F = Qv × B
El campo magnético se mide en teslas, T=kg/(s C). Un gauss es igual a
10−4 T.
La fuerza de Lorentz es la total que experimenta una partícula cargada:
F = Q (E + v × B)
En un campo magnético uniforme una partícula cargada describe una circunferencia de radio:
mv
R=
QB
Fuerza magnética sobre una corriente
La intensidad de la corriente eléctrica es igual a:
I = nQvS
en donde n es la densidad de partículas, Q y v la carga y la velocidad de
cada una de ellas y S la sección del hilo.
La fuerza magnética sobre un hilo conductor es
F =Il×B
Par de fuerzas sobre una espira
Definimos el momento magnético de una espira como:
M = IS
S es perpendicular a la espira y de módulo igual a su área.
Una espira de momento magnético M atravesada por una campo
magnético B experimenta un momento de fuerza igual a:
τ =M ×B
Campo debido a una corriente
Cada elemento de corriente produce una contribución al campo magnético dada por:
µ0 dl × rb
dB =
I
4π
r2
I es la intensidad y dl el elemento diferencial de trayectoria.
µ0 es una constante universal igual a 4π 10−7 m kg C2 .
El campo magnético debido a un hilo conductor rectilíneo e infinito es:
B=
µ0 I
2πr
El campo es perpendicular al hilo. Si el pulgar de la mano derecha señala
en el sentido de la corriente, el resto de los dedos lo hacen en el sentido
del campo.
Problema 18.1
Un electrón posee una velocidad instantánea v = 300ıb −
300b m/s en un campo magnético B = 0.2ıb + 0.3kb T. ¿Cuál
es la fuerza que experimenta el electrón?
Problema 18.2
Un electrón viaja a 400 m/s en un campo magnético uniforme de 0.1 T perpendicular a su velocidad. Determina:
(a) el módulo de la fuerza que actúa sobre el electrón,
(b) su radio de giro,
(c) el tiempo que tarda en dar una vuelta.
Problema 18.3
La trayectoria de un protón que se mueve en el seno de un
campo magnético uniforme viene dada por:
r = 0.1 sen(10−3 t)ıb + 0.1 cos(10−3 t)b + 20tkb m.
Calcula:
(a) la velocidad del protón,
(b) la fuerza que experimenta,
(c) el campo magnético existente.
Problema 18.4
La velocidad de las partículas en un espectrómetro de masas es de 100000 m/s y el campo magnético es de 0.05
T. ¿Cuál es la masa de una partícula que choca con la
pantalla a 27 cm del punto de entrada, sabiendo que está
doblemente cargada?
Problema 18.5
Deseamos construir un selector de velocidades que sólo
deje pasar protones que viajen a 10000 m/s. ¿Qué campos eléctrico y magnético hemos de aplicar y en qué sentido para conseguirlo?
Problema 18.6
Dos isótopos de nitrógeno de masas 2.17·10−26 y 2.34·10−26
kg son acelerados por una misma diferencia de potencial
y entran en un campo magnético de 0.06 T. Si el radio de
la circunferencia descrita por el isótopo más ligero es de
15 cm, ¿cuál es el descrito por el isótopo más pesado?
Problema 18.7
Una varilla conductora de 20 cm de longitud y 10 gramos
de masa descansa sobre dos rieles sobre los que puede
deslizarse. Por ella circula una corriente de 12 A. Existe
un campo magnético uniforme de 0.04 T perpendicular al
plano formado por la varilla conductora y los rieles. ¿Qué
fuerza actúa sobre la varilla? ¿Qué velocidad poseería
ésta al cabo de 0.3 segundos si inicialmente se encuentra
reposo?
Problema 18.8
¿Cuál es el momento magnético de una bobina formada
por 100 espiras circulares de 3 cm de radio y por la que
circula una corriente de 5 A? ¿Qué momento de fuerza le
ejerce un campo magnético de 0.02 T a lo largo de su eje?
¿Y si es perpendicular a éste?
Problema 18.9
Supón un modelo clásico de átomo de hidrógeno en el que
el electrón describe una órbita circular de 0.53 Å alrededor
del protón. ¿Cuál es el momento magnético debido a la
corriente del electrón?
Problema 18.10
¿Qué campo magnético produce una corriente eléctrica de
10 A a una distancia de 0.5 m del hilo rectilíneo por el que
circula?
Problema 18.11
Determina el módulo y el sentido de la fuerza que experimentan dos hilos conductores rectilíneos paralelos separados 1 mm por los que circulan dos corrientes eléctricas
iguales de 3 A en sentidos opuestos.
18.1 Un electrón posee una velocidad instantánea v = 300bı − 300b m/s en un
b T. ¿Cuál es la fuerza que experimenta el
campo magnético B = 0.2bı + 0.3k
electrón?
La fuerza magnética que experimenta el electrón es:
F = Q v × B = −1.6 ·
−19 10 ıb
b kb
300 300 0
0.2 0 0.3
b
= −1.6 · 10−19 (−90ıb − 90b + 60k)
b
= 10−18 (14.4ıb + 14.4b − 9.6k)
N.
18.2 Un electrón viaja a 400 m/s en un campo magnético uniforme de 0.1 T
perpendicular a su velocidad. Determina:
(a) el módulo de la fuerza que actúa sobre el electrón,
(b) su radio de giro,
(c) el tiempo que tarda en dar una vuelta.
(a) El módulo de la fuerza que actúa sobre el electrón vale:
|F | = Q |v × B| = evB sen θ
= 1.6 · 10−19 400 · 0.1 = 6.4 · 10−18 N.
(b) El radio de giro se obtiene igualando la fuerza a la masa por la
aceleración:
v2
F =m
R
y de aquí despejamos R:
R=
mv 2
9.1 · 10−31 4002
=
= 2.27 · 10−8 m.
−18
F
6.4 · 10
(c) El tiempo que el electrón tarda en dar una vuelta es la longitud de
la circunferencia dividida por su velocidad:
t=
2πR 2π2.27 · 10−8
=
= 3.6 · 10−10 s.
v
400
18.3 La trayectoria de un protón que se mueve en el seno de un campo magnético uniforme viene dada por:
b m.
r = 0.1 sen(10−3 t)bı + 0.1 cos(10−3 t)b + 20tk
Calcula:
(a) la velocidad del protón,
(b) la fuerza que experimenta,
(c) el campo magnético existente.
(a) La velocidad es la derivada temporal del vector de posición:
v=
dr
= 10−4 cos(10−3 t)ıb − 10−4 sen(10−3 t)b + 20kb m/s.
dt
(b) La fuerza la obtenemos multiplicando la masa por la aceleración:
F = 1.67 · 10−27 −10−7 sen(10−3 t)ıb − 10−7 cos(10−3 t)b
h
i
= −1.67 · 10−34 sen(10−3 t)ıb − cos(10−3 t)b N.
h
i
(c) De la expresión de la velocidad vemos que el campo magnético ha
de señalar en la dirección Z, pues dicha componente de la velocidad
no varía. Entonces:
F = Qv × B
=⇒
Fx = Qvy B,
y el campo vale:
Fx
−1.67 · 10−34 sen(10−3 t)
B=
=
= 1.04 · 10−11 T.
−19
−4
−3
Qvy
−1.6 · 10 10 sen(10 t)
18.4 La velocidad de las partículas en un espectrómetro de masas es de 100000
m/s y el campo magnético es de 0.05 T. ¿Cuál es la masa de una partícula que
choca con la pantalla a 27 cm del punto de entrada, sabiendo que está doblemente cargada?
El radio de giro de la partícula es de 27/2 = 13.5 cm:
R=
mv
.
QB
Por tanto, la masa de dicha partícula vale:
m=
0.135 · 2 · 1.6 · 10−19 0.05
RQB
=
= 2.16 · 10−26 kg.
v
100000
18.5 Deseamos construir un selector de velocidades que sólo deje pasar protones que viajen a 10000 m/s. ¿Qué campos eléctrico y magnético hemos de
aplicar y en qué sentido para conseguirlo?
La fuerza eléctrica que experimenten los protones habrá de ser igual, pero
de sentido contrario, que la magnética. Así, los módulos de E y B habrán
de verificar:
Fe = QE = Fm = QvB
=⇒
E
= v = 10000 m/s.
B
E habrá de ser perpendicular a la dirección de las partículas. B será perpendicular a dicha dirección y a la de E. Llamemos ıb al vector unitario
en el sentido de la velocidad y b al del sentido de E. El campo magnético
b
habrá de señalar hacia k,
para que la fuerza magnética sea en el sentido
b al contrario que la eléctrica.
−,
18.6 Dos isótopos de nitrógeno de masas 2.17 · 10−26 y 2.34 · 10−26 kg son acelerados por una misma diferencia de potencial y entran en un campo magnético
de 0.06 T. Si el radio de la circunferencia descrita por el isótopo más ligero es
de 15 cm, ¿cuál es el descrito por el isótopo más pesado?
Lo único que varía de un isótopo a otro es la masa. Por tanto, los radios
de las circunferencias serán proporcionales a las masas:
2.34 · 10−26
m2
R1 =
15 = 16.2 cm.
R2 =
m1
2.17 · 10−26
18.7 Una varilla conductora de 20 cm de longitud y 10 gramos de masa descansa sobre dos rieles sobre los que puede deslizarse. Por ella circula una
corriente de 12 A. Existe un campo magnético uniforme de 0.04 T perpendicular al plano formado por la varilla conductora y los rieles. ¿Qué fuerza actúa
sobre la varilla? ¿Qué velocidad poseería ésta al cabo de 0.3 segundos si
inicialmente se encuentra reposo?
La fuerza que actúa sobre la varilla es en la dirección de los raíles y de
modulo igual a:
F = IlB = 12 · 0.2 · 0.04 = 0.096 N.
La aceleración de la varilla es:
a=
F
0.096
=
= 9.6 m/s2 .
m
0.01
La velocidad transcurridos 0.3 segundos vale:
v = v0 + at = 0 + 9.6 · 0.3 = 2.88 m/s.
18.8 ¿Cuál es el momento magnético de una bobina formada por 100 espiras
circulares de 3 cm de radio y por la que circula una corriente de 5 A? ¿Qué
momento de fuerza le ejerce un campo magnético de 0.02 T a lo largo de su
eje? ¿Y si es perpendicular a éste?
El momento de la bobina es el número de espiras por el área de cada una
de ellas por la corriente:
M = N SI = 100π 0.032 5 = 1.41 A m2 .
Si el campo es a lo largo del eje de la bobina, no ejerce momento de
fuerza alguno por simetría. Si el campo es perpendicular, el momento de
la fuerza vale:
τ = M B = 1.41 · 0.02 = 0.028 N m.
18.9 Supón un modelo clásico de átomo de hidrógeno en el que el electrón
describe una órbita circular de 0.53 Å alrededor del protón. ¿Cuál es el momento magnético debido a la corriente del electrón?
Hemos de calcular primero la velocidad del electrón. Para ello igualamos
la fuerza a la masa por la aceleración:
1 e2
v2
=m ,
F =
4π0 r2
r
y despejamos de aquí:
v=
v
u
u
t
v
u
u
1 e2
9 · 109 1.62 10−38
t
=
= 2.2 · 106 m/s.
−10
−31
4π0 rm
0.53 · 10 9.1 · 10
El momento magnético del electrón en este supuesto átomo será:
Q 2
Qv 2
πr =
πr
t
2πr
= 12 1.6 · 10−19 2.2 · 106 0.53 · 10−10 = 9.3 · 10−24 A m2 .
M = IS =
18.10 ¿Qué campo magnético produce una corriente eléctrica de 10 A a una
distancia de 0.5 m del hilo rectilíneo por el que circula?
El campo magnético producido por una corriente rectilínea viene dado
por:
10
µ0 I
= 2 · 10−7
= 4 · 10−6 T.
B=
2πr
0.5
18.11 Determina el módulo y el sentido de la fuerza que experimentan dos
hilos conductores rectilíneos paralelos separados 1 mm por los que circulan
dos corrientes eléctricas iguales de 3 A en sentidos opuestos.
El módulo de la fuerza entre los dos hilos conductores es:
2
µ0 I
−7 3
F = ILB = IL
= 2 · 10
L = 1.8 · 10−3 L.
2πr
0.001
Lo que está bien definido es la fuerza por unidad de longitud. Para saber
el sentido de la fuerza aplicamos primero la regla de la mano derecha; si
suponemos los cables verticales en el plano del papel y la corriente del de
la derecha va hacia arriba, produce un campo magnético en la posición
del otro cable hacia afuera del papel. Aplicando la expresión de la fuerza
que un campo ejerce sobre un hilo encontramos que la fuerza entre los
cables es repulsiva.