Geometría Analítica - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Centro fuera del origen
La siguiente extensión al caso de la ecuación de la elipse en su primera forma ordinaria es considerar con centro fuera del origen, lo que nos lleva a la segunda forma ordinaria.
Ecuación de la elipse en su segunda forma ordinaria
La ecuación de la elise con centro en el punto C (h, k ) es:
Definición
1
( x − h )2 ( y − k )2
+
=1
a2
b2
donde a es la mitad de la longitud del eje mayor y b es la mitad de la longitud del eje menor.
Geométricamente tenemos la siguiente situación:
(x −
y
a2
a
h) 2
+ (y − k 2
)
b2
=
1
C (h, k)
k
b
x
h
Como era de esperarse, las fórmulas para el cálculo de los focos, sus vértices, etc., cambian.
Por ejemplo, para calcular los vértices de la elipse horizontal, ahora utilizaremos las fórmulas:
V (h + a, k)
y
V 0 (h − a, k)
y
V 0 (h, k − a)
Y para el caso de la elipse vertical tenemos:
V (h, k + a)
Por su parte los focos de la elipse horizontal se calculan con:
F (h + c, k)
y
F 0 (h − c, k)
F (h, k + c)
y
F 0 (h, k − c)
Y para la elipse vertical:
Calcula la ecuación de la elipse horizontal que tiene su centro en el punto C (2, −1) y cuyo eje
mayor mide 10 unidades y el eje menor mide 6 unidades.
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Ejemplo 1
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Del texto del problema es fácil ver que h = 2 y que k = −1.
• También a = 5 y b = 3.
• Luego, la ecuación de esta elipse es:
( x − 2)2 ( y + 1)2
+
=1
25
9
• A partir de los valores de a y b podemos calcular el valor de c:
p
√
√
c = a2 − b2 = 25 − 16 = 9 = 3
• Los focos de esta elipse están en los puntos:
F (h + c, k) = F (6, −1)
y
F 0 (h − c, k) = F 0 (−2, −1)
y
V 0 (h − a, k) = V 0 (−3, −1)
• Los vértices están en:
V (h + a, k) = V (7, −1)
• La gráfica de esta elipse es la siguiente:
y
2
1
−3
V0
−2
F0
x
−1
2
1
−1
3
C (2, −1)
4
5
6
7
F
V
−2
−3
−4
• La excentricidad de esta elipse es:
e=
Ejemplo 2
c
3
= = 0.6
a
5
Calcula la ecuación de la elipse que tiene su centro en el punto C (−5, 2), uno de sus focos está
en el punto F (7, 2) y un vértice en V (8, 2).
• A partir de las coordenadas del centro conocemos los valores de h y k: h = −5 y k = 2.
• Usando las fórmulas para el foco y el vértice podemos calcular los valores de a y c.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Empezamos calculando el valor de a a partir de la coordenada del vértice y el valor de h:
8 = −5 + a
⇒
a = 13
• De manera semejante, aplicamos la fórmula para calcular la coordenada del foco y así encontramos el valor de c:
7 = −5 + c
⇒
c = 12
• A partir de los valores de a y c podemos calcular el valor de b:
p
√
√
b = a2 − c2 = 169 − 144 = 25 = 5
• Ahora podemos escribir la ecuación de la elipse:
( x + 5)2 ( y − 2)2
+
=1
169
25
• La excentricidad de esta elipse es:
e=
c
12
=
≈ 0.9230769321
a
13
• Se te queda como ejercicio graficar esta elipse.
Observa cómo es que en estos problemas el truco consiste en conocer los valores de a, b, c, h y k.
Una vez que conozcamos sus valores, podemos calcular la ecuación de la elipse.
De hecho, conociendo dos de los valores a, b, c, podemos calcular el tercero utilizando la relación:
a2 = b2 + c2
Los valores de h y k que corresponden al centro de la elipse servirán para escribir la ecuación
de la elipse en su segunda forma ordinaria, que corresponde a las que tienen su centro fuera del
origen.
Recuerda que elaborar una gráfica con los datos que provee el texto del problema siempre nos
ayuda a reconocer información geométrica y calcular, sin el uso de las fórmulas, alguno o algunos
de los valores de a, b y/o c.
Inclusive, también el de las coordenadas del centro en ciertos casos.
Calcula la ecuación de la elipse que tiene sus vértices en V 0 (−6, 2) y V (4, 2), y los extremos del
eje menor son los puntos B(−1, 6) y B0 (−1, −2).
• En este caso, es más conveniente empezar dibujando la elipse para poder tener una mejor
idea del problema que estamos enfrentando.
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Ejemplo 3
Profr. Efraín Soto Apolinar.
y
6
5
4
3
2
V0
V
1
−6
−5
−3
−4
−2
x
−1
2
1
3
4
−1
−2
• A partir de la gráfica es muy sencillo descubrir las coordenadas del centro de la elipse.
• Pues es el punto donde se intersectan los ejes mayor y menor de la elipse: C (−1, 2).
• Así también podemos conocer los valores de a = 5 y b = 4.
• Vamos a calcular el valor de c:
c=
p
a2 − b2 =
√
25 − 16 =
√
9=3
• Así que los focos de esta elipse están en:
F (2, 2)
y
F 0 (−4, 2)
• Entonces, la ecuación de la elipse es:
( x + 1)2 ( y − 2)2
+
=1
25
16
• Las longitudes de los ejes mayor y menor son: 10 y 8, respectivamente.
Ejemplo 4
Calcula la ecuación de la elipse horizontal que tiene una excentricidad de e = 0.8, con centro
en el punto C (5, 4) y cuya distancia del centro al foco es de 4 unidades.
• La distancia del centro de la elipse a uno de sus focos es c.
• Luego, c = 4.
• A partir de la excentricidad podemos calcular el valor de a:
e=
c
a
⇒
0.8 =
4
a
⇒
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a=5
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Y con los valores de a y c podemos calcular el valor de b:
p
√
√
b = a2 − c2 = 25 − 16 = 9 = 3
• Entonces, ya tenemos todos los datos que se requieren para conocer la ecuación y todos los
elementos de la elipse:
3 La elipse es horizontal,
3 a = 5, b = 3 y c = 4,
3 h = 5 y k = 4.
• La ecuación de esta elipse es:
( x − 5)2 ( y − 4)2
+
=1
25
9
• A partir de los valores de h, k, a y c podemos fácilmente calcular las coordenadas de los
focos y de los vértices de la elipse.
• Y su gráfica es la siguiente:
y
7
6
5
4
V0
F
C (5, 4)
F0
V
9
10
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
Calcula la ecuación de la elipse que tiene los extremos de su eje menor en los puntos B(5, −5)
y B0 (−1, −5) y uno de sus vértices es el punto V (6, −5).
• A partir de las coordenadas de los extremos del eje menor podemos calcular su longitud.
• Y b es precisamente la mitad de ese valor: b = 3.
• El centro de la elipse está en el punto medio de los extremos del eje menor: C (2, −5).
• El valor de a es igual a la distancia desde el centro hasta uno de sus vértices: a = 4.
• A partir de los valores de a y b podemos calcular el valor de c:
p
√
√
c = a2 − b2 = 16 − 9 = 7
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Ejemplo 5
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Ahora podemos calcular las coordenadas de los focos y del vértice faltante:
F (h, k + c) = F (2, −5 +
√
V 0 (h, k − a) = V 0 (2, −9)
7)
F 0 (h, k − c) = F 0 (2, −5 −
√
7)
• Se te queda como ejercicio graficar esta elipse.
• Observa que esta elipse es vertical.
• Eso ocasiona que los coeficientes a y b queden cambiados en su ecuación:
( x − 2)2 ( y + 5)2
+
=1
9
16
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 31 de julio de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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