Integración por partes

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Integración por partes
Si consideramos la regla para derivar el producto de dos funciones:
dv
du
d(u · v)
= u·
+v·
dx
dx
dx
podemos despejar el primer término de la derecha de la igualdad y escribir:
u·
dv
d(u · v)
du
=
−v·
dx
dx
dx
Usando el hecho de que la integración es el proceso inverso de la derivación, al integrar ambos
lados de la igualdad obtenemos:
Z
u · dv = u · v −
Z
v · du
Esta es la regla de integración por partes.
La recomendación para no confundirte con las definiciones que hagas para el cálculo de la integral
por partes es que elabores una tabla con los valores de u, du, dv y v.
Cuando tengas la tabla completa, sigue sustituir estos valores en la regla de integración por partes,
y después de calcular la integral, simplificar el resultado hasta donde sea posible.
Calcula la integral indefinida:
Z
x · sin x dx
Ejemplo 1
• Dado que no tenemos una regla de integración inmediata para esta función, vamos a utilizar
la regla de integración por partes.
• Empezamos definiendo:
u=x
dv = sin x dx
⇒
⇒
du = dx
v = − cos x
• Ahora podemos sustituir en la regla de integración por partes:
Z
Z
= uv −
u dv
x · sin x dx
Z
vdu
= − x · cos x +
Z
cos x dx
= − x · cos x + sin x + C
• Y hemos terminado.
Calcula la integral indefinida:
Z
x · e x dx
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Ejemplo 2
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
• De nuevo, definimos:
⇒
⇒
u=x
x
dv = e dx
du = dx
v = ex
• Al sustituir en la regla de integración por partes, obtenemos:
Z
x · e x dx
= x · ex −
Z
e x dx
= x · ex − ex + C
= e x · ( x − 1) + C
Calcula la integral indefinida:
Z
Ejemplo 3
x2 · e x dx
• Ahora definimos:
u = x2
⇒
⇒
dv = e x dx
du = 2 x dx
v = ex
• Al sustituir obtenemos:
Z
x2 · e x dx
= x2 · e x −
Z
= x2 · e x − 2
2 x · e x dx
Z
x · e x dx
• Pero en el ejemplo anterior encontramos que:
Z
• Entonces,
Z
x · e x dx = e x · ( x − 1) + C
x2 · e x dx = x2 · e x − 2 e x · ( x − 1) + C
Observa que en este ejemplo aplicamos dos veces la integración por partes.
La primera vez que la aplicamos nos generó otra integral por partes que ya habíamos resuelto
antes.
Esto fue así porque teníamos x2 . Si hubieramos tenido x3 la integral por partes se habría aplicado
3 veces.
Calcula la integral indefinida:
Z
Ejemplo 4
ln( x ) dx
aplicando la regla de integración por partes.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Definimos:
u = ln( x )
⇒
du =
dv = dx
⇒
v=x
dx
x
• Entonces, al sustituir, obtenemos:
Z
x dx
x
x ln( x ) − x + C
= x ln( x ) −
ln( x ) dx
=
Z
• Y terminamos.
Calcula la integral indefinida:
Z
sin2 x dx
Ejemplo 5
aplicando la regla de integración por partes.
• Definimos:
u = sin x
dv = sin x dx
⇒
⇒
du = cos x dx
v = − cos x
• Sustituyendo en la regla de integración por partes obtenemos:
Z
sin2 x dx = − sin x cos x +
Z
cos2 x dx
• Pero, aplicando la identidad pitagórica: sin2 α + cos2 α = 1, podemos reescribir la integral
como:
Z
Z sin2 x dx = − sin x cos x +
1 − sin2 x dx
= − sin x cos x +
Z
dx −
= − sin x cos x + x −
Z
Z
sin2 x dx
sin2 x dx
• Y la única integral que queda a la derecha es precisamente la que deseamos calcular.
• Entonces, podemos pasarla a la izquierda de la igualdad para obtener:
2
Z
sin2 x dx
= − sin x cos x + x + C
Z
sin2 x dx
1
x
= − sin x cos x + + C
2
2
• Todavía podemos simplificar más el resultado si consideramos que:
sin(2α) = 2 sin α cos α
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• Al sustituir esta equivalencia en el primer término del resultado de la integral obtenemos:
1
x
sin2 x dx = − sin(2x ) + + C
4
2
Z
• Y terminamos.
Calcula la integral:
Z
Ejemplo 6
sec3 x dx
aplicando la regla de integración por partes.
• Empezamos definiendo:
u = sec x
2
dv = sec x dx
⇒
⇒
du = sec x tan x dx
v = − tan x
• Ahora podemos sustituir estos valores en la regla de integración por partes:
Z
sec3 x dx
=
Z
sec x tan2 x dx
Z
− sec x tan x − sec x sec2 x − 1 dx
= − sec x tan x −
= − sec x tan x −
Z
sec3 x dx +
Z
sec x dx
• Pasando la integral buscada a la derecha, obtenemos:
2
Z
Z
Z
sec3 x dx
= − sec x tan x +
sec3 x dx
1
= − sec x tan x +
2
1
= − sec x tan x +
2
sec x dx
⇒
1
sec x dx
2
1
ln (sec x + tan x ) + C
2
Z
• Y terminamos.
Cuando sospeches que una integral se puede resolver por el método de integración por partes,
intenta definiendo u y dv, después aplica la regla de integración.
Si no funciona, cambia las definiciones y vuelve a intentar volviendo a integrar con las nuevas
sustituciones.
Si de nuevo no obtienes una integral inmediata, entonces debes intentar otro método.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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