Cálculo Diferencial - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Derivación implícita
Hasta aquí hemos considerado funciones en las cuales la variable y está despejada.
Sin embargo, algunas veces será necesario trabajar con ecuaciones en las cuales y depende de
x de alguna manera, pero no sabemos exactamente cómo porque no podemos despejar y de la
ecuación.
Así que y es una función implícita de x.
En estos casos podemos utilizar la regla de la cadena para derivar la función y despejar dy/dx
para dejarla expresada.
Calcula dy/dx a partir de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen:
Ejemplo 1
x 2 + y2 = r 2
• Podemos derivar ambos lados de la igualdad respecto de x para obtener:
d x2
d y2
d r2
+
=
dx
dx
dx
dy
= 0
2x+2y·
dx
• Al despejar dy/dx obtenemos:
dy
2x
x
=−
=−
dx
2y
y
√
• En este caso es fácil deducir que y = r2 − x2 es la mitad superior de la circunferencia y
que para esos puntos se cumple:
dy
x
= −√
2
dx
r − x2
Si desearamos calcular la pendiente de una recta tangente a la circunferencia en el punto P( x,
basta sustituir estas coordenadas en la fórmula:
√
r 2 − x 2 ),
dy
x
= −√
2
dx
r − x2
Observa que la derivada quedó expresada en términos del radio r de la circunferencia y del punto
x donde se elige el punto de la circunferencia.
Algo interesante que podemos observar inmediatamente es que cuando consideramos dos valores
de x iguales de signo contrario, la pendiente solamente cambia de signo, es decir, las rectas
tangentes a la circunferencia presentan simetría respecto al centro de la circunferencia.
En el ejemplo anterior fue posible escribir y en función de x. Sin embargo, esto no siempre será
posible.
Calcula dy/dx a partir de la ecuación:
Ejemplo 2
x + sin y − x · y = 0
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• En este caso no es posible despejar y.
• Así que la diferenciación implícita está justificada:
d ( x ) d (sin y) d ( x · y)
+
−
dx
dx dx
dy
dy
d (x)
1 − cos y ·
− x·
+y
dx
dx
dx
dy
dy
1 − cos y ·
−x·
−y
dx
dx
dy
1−y−
(cos y − x )
dx
dy
dx
d (0)
dx
=
= 0
= 0
= 0
y−1
cos y − x
=
• Observa que la derivada incluye tanto a x como a y, debido a que no nos es posible despejar
y de manera explícita a partir de la ecuación.
Calcula dy/dx a partir de la ecuación:
Ejemplo 3
e xy + ln y = 1
• Derivamos ambos lados de la igualdad:
dy
1 dy
x·
+ y · e xy + ·
=0
dx
y dx
• Ahora despejamos
dy
:
dx
dy
1 dy
x · e xy ·
+ y · e xy + ·
dx
y dx
dy
1
· x · e xy +
+ y · e xy
dx
y
dy
dx
= 0
= 0
= −
y · e xy
x · e xy +
1
y
Calcula dy/dx a partir de la ecuación:
Ejemplo 4
y=
1
e x + ey
= · (e x + ey )
2
2
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• Derivamos ambos lados de la igualdad:
dy
dx
=
=
ey dy
dy
− ·
dx 2 dx
dy 2 − ey
dx
2
dy
dx
=
=
=
1
x
y dy
· e +e ·
2
dx
x
y
e
e dy
+ ·
2
2 dx
ex
2
ex
2
ex
2 − ey
Aceptando que una burbuja de jabón conserva su forma esférica cuando se expande, ¿con qué
rapidez está creciendo su radio cuando éste mide 2plg., si el aire que se inyecta la infla a rapidez
de 4 plg3 /s?
Ejemplo 5
• Conocemos la fórmula para encontrar el volumen V de una esfera:
V=
4
π r3
3
• Como necesitamos encontrar la rapidez con la que crece el radio, derivamos la fórmula
respecto del tiempo de manera implícita:
dV
dr
= 4 π r2
dt
dt
• Ahora, despejamos dr/dt, que es nuestra incógnita:
dV
dr
dt
=
dt
4 π r2
• Sustituyendo los valores conocidos obtenemos:
dV
dr
4
1
dt
=
=
=
plg/s
2
2
dt
4π
4πr
4 π (2)
Un niño está elevando una cometa. Si la cometa está a 9 metros de altura y el viento está
soplando a razón de 5 m/s., ¿con qué rapidez está soltando el niño la cuerda en el momento
que ha soltado 150 metros?
• Para resolver este problema supondremos que la cometa es arrastrada por el viento a la
velocidad del mismo (5 m/s).
• Entonces, la cometa viaja de manera horizontal a una altura constante de 9 metros a razón
de 5 m/s.
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Ejemplo 6
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Sea r la longitud de la cuerda que el niño ha soltado, x la distancia medida desde el pie del
niño hasta el punto donde toca el suelo la proyección vertical de la cometa.
r=
0m
15
81 m
x
• De acuerdo al teorema de Pitágoras: x2 + 81 = r2 .
• Encontramos la derivada implícita de esta expresión respecto al tiempo:
2x
dr
dx
= 2r
dt
dt
• Ahora despejamos la incógnita:
dx
x
dr
= dt
dt
r
• Para encontrar el valor de la incógnita, debemos conocer primero r (150 m), dx/dt (5 m/s) y
el valor de x.
• Para esto utilizamos el teorema de Pitágoras:
p
√
√
x = 1502 − 92 = 22 500 − 81 = 22 419
• Ahora, lo que falta es sustituir los valores conocidos para encontrar el valor de la incógnita:
dx
√
√
x
22 419 · (5)
22 419
dr
dt
=
=
=
metros por segundo.
dt
r
150
30
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 01 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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