Vuelo de avance. Teoría de elemento de pala.

Vuelo de Avance
Teoría del elemento de pala. Vuelo de Avance.
Referencia Básica [Joh94]
Helicópteros ()
Vuelo Avance
TEP
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Introducción I
La TEP proporciona una descripción localizada de la situación en el
rotor.
Desde este punto de vista debe contemplar:
Tanto la inuencia de la posición azimutal de la pala como la
dependencia con la envergadura de las fuerzas aerodinámicas.
Inuencia de la dinámica de la pala en su movimiento relativo al ujo
de aire.
La interacción entre ambos problemas puede ser descrita en primera
aproximación por la teoría del elemento de pala.
Sin embargo se puede enfocar el problema desde dos puntos de vista
prácticos:
Dinámica de la pala.
Actuaciones.
Helicópteros ()
Vuelo Avance
TEP
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Introducción II
1
Dinámica de la pala. Este problema consiste en determinar la
evolución del movimiento de la pala tanto en batimiento como en
arrastre cuando la pala se ve bajo la acción de las fuerzas
aerodinámicas. En concreto, la constitución del rotor y la pala
determinan el comportamiento mecánico-estructural del sistema.
Independientemente del tipo de sistema que une la pala al eje principal
se puede distinguir:
1
Palas rígidas: se desprecia la elasticidad de la pala y se considera que la
pala se puede considerar un sólido rígido. Esta hipótesis es la más
habitual. El problema asociado a la determinación del movimiento de la
pala corresponde, en general, a un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDOs).
Helicópteros ()
Vuelo Avance
TEP
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Introducción III
2
2
Palas exibles: se considera la elasticidad de la pala. Esta consideración
es más realista pero requiere un esfuerzo de cálculo mayor. Se emplea
para resolver problemas aeroelásticos y estructurales. El problema
asociado a la determinación del movimiento de la pala corresponde, en
general, a un sistema de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs).
Actuaciones. Este problema consiste en determinar los requisitos del
rotor para realizar movimientos básicos. Desde este enfoque se
pretende concentrar la atención en aspectos globales. Por tanto el
detalle del movimiento de batimiento y arrastre no se contempla. La
inuencia del movimiento en la determinación de las fuerzas
aerodinámicas se desprecia. El interés principal consiste en determinar
las fuerzas globales que aparecen en el rotor y fundamentalmente las
potencias necesarias para el vuelo en una primera aproximación.
Helicópteros ()
Vuelo Avance
TEP
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Introducción IV
El objetivo de esta lección es proporcionar primeras estimaciones de
las fuerzas y potencias necesarias para el vuelo de avance para ser
capaces de determinar las actuaciones del helicóptero.
Por tanto, la consideración más importante que se va a realizar es que
no se contemplan los movimientos de arrastre ni de batimiento de la
pala en la determinación de las fuerzas aerodinámicas.
Helicópteros ()
Vuelo Avance
TEP
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Velocidades y fuerzas en un elemento de pala I
T
V1 cos®
­
r
R
UT
UR
Ã
dR
dL
UP
Á
dFb
®
µ
U
Á
dFa
Á
Helicópteros ()
dD
UP
UT=V1 cos®r sinà + ­r
Vuelo Avance
TEP
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Velocidades y fuerzas en un elemento de pala II
­r
Ã=¼= 2
Ã=¼= 2
V1 cos®rsinÃ
V1 cos®rcosÃ
V1 cos®r
Ã
V1 cos®r
yr
V1 cos®r
xr
Ã=¼
Ã=0 Ã=¼
yr
xr
Ã=0
dY dFa
Ã=3 ¼2
Ã=3 ¼2
Helicópteros ()
dH Ã
Vuelo Avance
TEP
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Deniciones I
Distribución de velocidades relativas a un elemento de pala:
UT (r , ψ) = Ωr + V∞ cos αr sin ψ
UP (r , ψ) = V∞ sin αr + vi (r , ψ)
UR (ψ) = V∞ cos αr cos ψ
U (r , ψ) = UP2 + UT2 .
No se considera la componente de resistencia que induce UR en la
Velocidad resultante que ve el perl
q
dirección radial.
Ángulo de entrada de corriente φ (r , ψ) = arctan (UP /UT ) ángulo de
ataque inducido.
Ángulo de paso geométrico θ (r ).
Ángulo de ataque α(r , ψ), cumpliéndose α(r , ψ) = θ − φ .
Helicópteros ()
Vuelo Avance
TEP
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Deniciones II
Fuerzas aerodinámicas por unidad de longitud:
1 2
ρ U cdr Cl
2
1
dD = ρ U 2 cdr Cd
2
dL =
donde c es la cuerda, Cl el coeciente de sustentación, y Cd el
coeciente de resistencia.
Las fuerzas elementales de batimiento dFb y arrastre dFa serán
dFb = dL cos φ − dD sin φ
dFa = dL sin φ + dD cos φ
Helicópteros ()
Vuelo Avance
TEP
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Deniciones III
Normalmente se puede estar interesado en conocer las acciones en
direcciones más útiles para estimar las cargas y los pares. Se denen
las fuerzas:
dT
dH
dY
= b dFb
= b (dL cos φ − dD sin φ )
= b dFa sin ψ = b (dL sin φ + dD cos φ ) sin ψ
= b dFa cos ψ = b (dL sin φ + dD cos φ ) cos ψ
donde b es el número de palas del rotor.
El par y la potencia se expresan como:
dQ
dP
Helicópteros ()
= bdFa r
= bdFa Ωr
= b (dL sin φ + dD cos φ ) r
= b (dL sin φ + dD cos φ ) Ωr
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Hipótesis
Velocidades en la dirección de batimiento mucho menores que las
velocidades en la dirección de arrastre, velocidad de rotación,
Up UT . Cerca de la raíz de la pala esta hipótesis puede ser
incorrecta.
Ángulos de entrada de corriente pequeños φ 1.
Resistencia aerodinámica un orden de magnitud menor que la
sustentación, Cl Cd .
Este conjunto de hipótesis matemáticamente linealiza el problema.
Se desprecia la componente de resistencia a lo largo de la envergadura
debida a UR .
Se desprecian los movimientos de batimiento y de arrastre de la pala.
Se considera la pala rígida y el único movimiento que se considera es
el de rotación Ω de sólido rígido.
Helicópteros ()
Vuelo Avance
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Linealización ecuaciones
Ecuaciones
Linealizacion
U ≈ UT
φ ≈ UP /UT
U = UP2 + UT2
φ = arctan (UP /UT )
q
α = θ −φ
α = θ −φ
1 2
ρ U cdr Cl
2
1
dD = ρ U 2 cdr Cd
2
dT = b (dL cos φ − dD sin φ )
dH = b (dL sin φ + dD cos φ ) sin ψ
dY = b (dL sin φ + dD cos φ ) cos ψ
dQ = b (dL sin φ + dD cos φ ) r
dP = b (dL sin φ + dD cos φ ) Ωr
dL =
Helicópteros ()
Vuelo Avance
1 2
ρ U cdr Cl
2 T
1
dD ≈ ρ UT2 cdr Cd
2
dL ≈
dT ≈ bdL
dH ≈ b (dLφ + dD ) sin ψ
dY ≈ b (dLφ + dD ) cos ψ
dQ ≈ b (dLφ + dD ) r
dP ≈ b (dLφ + dD ) Ωr
TEP
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Adimensionalización. Deniciones.
Coeciente de avance:
µ=
V∞ cos αr
ΩR
Velocidades adimensionales relativas al elemento de pala:
UT
ΩR
UP
ΩR
Helicópteros ()
= x + µ sin ψ
=λ
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Adimensionalización. Resultados. I
Empleando estas deniciones, las anteriores expresiones se pueden
escribir como:
φ≈
UP
UT
=
Vc + vi
=
Ωr + Va sin ψ
λ
x + µ sin ψ
α = θ −φ
Coecientes de fuerzas:
dT
σ
2
2 = 2 Cl (α) (x + µ sin ψ) dx
ρ A (ΩR )
dH
σ
2
dCH =
2 = 2 (Cl (α)φ + Cd (α)) (x + µ sin ψ) sin ψ dx
ρ A (ΩR )
dY
σ
2
dCY =
2 = 2 (Cl (α)φ + Cd (α)) (x + µ sin ψ) cos ψ dx
ρ A (ΩR )
dCT =
Helicópteros ()
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Adimensionalización. Resultados. II
Coeciente de par:
dCQ =
dQ
ρ A (ΩR )2 R
=
σ
2
(Cl (α)φ + Cd (α)) (x + µ sin ψ)2 x dx
Coeciente de potencia:
dP
σ
2
3 = 2 (Cl (α)φ + Cd (α)) (x + µ sin ψ) x dx
ρ A (ΩR )
= dCQ
dCP =
Helicópteros ()
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Adimensionalización. Resultados. III
Si se denominan:
dCQi = Cl (α) (x + µ sin ψ)2 φ x dx
σ
2
dCHi = Cl (α) (x + µ sin ψ)2 φ sin ψ dx
σ
dCQ
2
C (α) (x + µ sin ψ) x dx
2 d
σ
dCH0 = Cd (α) (x + µ sin ψ)2 sin ψ dx
2
Entonces se tiene la relación:
0
=
2
σ
λ dCT = dCQi + µ dCHi
Por otro lado, el coeciente de potencia se puede expresar como:
dCP
= dCQi + dCQ0 = dCQi + dCQ0 + µ dCHi + µ dCH0 − µ dCH
= λ dCT + dCQ0 + µ dCH0 − µ dCH
Helicópteros ()
Vuelo Avance
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Coecientes globales
Situación diferente: dCLocal (x , ψ) existe una dependencia azimutal.
Por tanto para obtener el promedio global se dene la siguiente media:
CGlobal =
1
2π
Z 2π Z 1
0
0
dCLocal (x , ψ) dx d ψ
Geometría σ (x ) y θ (x ).
Aerodinámica:
Teoría 2D perles: Cl (α, Re , M ) y Cd (α, Re , M )
Estado local: α(x , ψ) = α̂(µ, λ , θ )
Coeciente de corriente normal λ (x , ψ) en general desconocido.
Helicópteros ()
Vuelo Avance
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Hipótesis
Aerodinámica estacionaria linealCl (α) = Clα α .
Cd (α) = Cd (x , ψ) = δ0 + δ1 α + δ2 α 2 ≈ Cd0 .
Pala rectangular: c (r ) = c0 , luego σ (r ) = σ0
Torsión constante: θ (r ) = θ0 .
Corriente de entrada: velocidad inducida uniforme λ = cte y conocida
(por ejemplo TCM).
Helicópteros ()
Vuelo Avance
TEP
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Recordatorio
Las siguientes integrales son útiles en el siguiente desarrollo:
Z 2π
0
Z 2π
0
Z 2π
0
Z 2π
0
sin ψ = 0
Z 2π
0
cos ψ = 0
sin2 ψ = π
Z 2π
0
cos2 ψ = π
Helicópteros ()
Vuelo Avance
sin ψ cos ψ = 0
Z 2π
0
sin3 ψ = 0
sin2 ψ cos ψ = 0
TEP
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Pala rectangular de torsión constante y λ = cte I
Coecientes globales de fuerzas:
Coeciente global de tracción
CT = 21π
CT =
Z 2π Z
0
σ0 C l α
2
1
σ0 Clα
λ
2
θ0 −
2
x + µ sin ψ (x + µ sin ψ) dx d ψ
0
θ0
3
λ
1 + µ2 −
3
2
2
Coeciente global de fuerza horizontal inducida
CH
i
CH
i
=
=
Helicópteros ()
1
2π
Z 2π Z
0
σ0 Clα
4
1
0
σ0 C l α
2
θ0 −
λ
x + µ sin ψ
x + µ sin ψ (x + µ sin ψ)
λ
2
sin ψ dx d ψ
θ0 λ µ
Vuelo Avance
TEP
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Pala rectangular de torsión constante y λ = cte II
Coeciente global de fuerza horizontal parásita
CH0 = 21π
CH0 =
Z 2π Z
0
σ0 Cd0
4
1
0
σ0 Cd0
2
(x + µ sin ψ)2 sin ψ dx d ψ
µ
Coeciente global de fuerza lateral inducida
1
2π
CY
=
CY
=0
i
i
Z 2π Z
0
1
0
σ0 Clα
2
θ0 −
λ
x + µ sin ψ
x + µ sin ψ (x + µ sin ψ)
λ
2
cos ψ dx d ψ
Coeciente global de fuerza lateral parásita
CY0 = 21π
CY0 = 0
Helicópteros ()
Z 2π Z
0
1
0
σ0 Cd0
2
Vuelo Avance
(x + µ sin ψ)2 cos ψ dx d ψ
TEP
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Pala rectangular de torsión constante y λ = cte III
Coeciente global de par
Coeciente global de par inducido
CQ
CQ
i
i
=
=
1
2π
Z 2π Z
0
σ0 C l α
4
1
σ0 Clα
2
0
θ0
3
−
λ
θ0 −
λ
x + µ sin ψ
λ
2
x + µ sin ψ (x + µ sin ψ) xdx d ψ
2
Coeciente global de par parásito
CQ0 = 21π
C Q0 =
Helicópteros ()
Z 2π Z
0
σ0 Cd0
8
1
0
σ0 Cd0
2
1 + µ2
(x + µ sin ψ)2 x dx d ψ
Vuelo Avance
TEP
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Pala rectangular de torsión constante y λ = cte IV
Coeciente global de potencia
Al ser λ constante se vuelve a tener la relación:
λ CT = CQi + µ CHi
Si se determina αr teniendo en cuenta la fuerza lateral H, entonces λ
toma el valor:
λ = λi + µ tan αr
+H
≈ λi + λc + µ DT
D + µ CH
≈ λi + λc + µ T
CT
Por lo que el coeciente global de potencia queda:
CP
Helicópteros ()
= CQi + CQ0 = CQi + µ CHi + CQ0 + µ CH0 − µ CH
= λ CT + CQ0 + µ CH0 − µ CH
= λi CT + λc CT + µ CD + µ CH + CQ0 + µ CH0 − µ CH
σ0 C
= λi CT + λc CT + µ CD + 8 d0 1 + 3µ 2
Vuelo Avance
TEP
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Pala rectangular de torsión constante y λ = cte V
Contribuciones a la potencia:
λi CT
λc CT
µ CD
σ0 Cd0
8
debido al ujo inducido
debido a la corriente perpendicular al rotor
debido a la resistencia del fuselaje. De forma general:
µ CD = 12 Af µ 3
1 + 3µ 2 debido a la resistencia de los perles. Se suele
σ C
mejorar usando 0 8 d0 1 + Kµ µ 2 , con
Kµ ≈ 4,5 − 4,7. Donde:
1 + µ 2 : debido a CQ0
2µ 2 : debido a CH0
µ 2 : debido a la resistencia radial que induce UR
0,45µ 2 : debido a la variación en Cd0
0,15µ 2 : debido a la zona de ujo inverso
Helicópteros ()
Vuelo Avance
TEP
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