factorización de polinomios

1
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
FAQ
¿Qué es factorizar un polinomio?
Es expresarlo como producto de otros polinomios de grado igual o menor a él
¿Para qué factorizar un polinomio?
Para poder ver rápidamente sus raíces y tener una idea de su gráfica (comportamiento)
¿Cómo se factoriza un polinomio?
Existen varios métodos, unos más generales que otros, que combinados permiten factorizarlos al máximo
usando sus raíces
¿Todos los polinomios se pueden factorizar?
Algunos polinomios no son factorizables (salvo numéricamente); se los llama irreducibles (no tienen
raíces reales)
Factor Común
Es la operación que deshace la propiedad distributiva. Se trata de encontrar el o los factores que están
presentes en TODOS los términos de un polinomio.
Recuerden: x a . x b = x a+b
x a : x b = x a−b
Numérico
Ej: 4 x 2 − 4 x 4 + 4 = 4(x 2 − x 4 + 1)
el mismo número en todos los términos
Ej: 6 x − 9 x − 12 = 3(2x − 3x − 4)
trabajamos con el máximo común divisor entre los
coeficientes del polinomio original
3
7
3
7
Literal
Ej: 3x 8 − 4 x 2 + 11x 6 − x 5 = x 2 (3x 6 − 4 + 11x 4 − x 3 )
trabajamos con la misma letra elevada al
menor exponente con el que aparezca en
el polinomio original
Numérico y Literal
Ej: − 20 x 2 − 15 x 4 + 10 x 6 = 5x 2 (- 4 − 3x 2 + 2 x 4 )
Normalización (el coeficiente principal como factor común forzoso)
Ej: 6 x 5 − 18 x 3 − 12 = 6(x 5 − 3x 3 − 2)
Ej: − 5 x 7 + 10 x 3 − 15 = - 5( x 7 - 2x 3 + 3)
Ej: 2x 6 − x 3 − 3x 4 + 12 x 5 = 2(x 6 −
Ej: − 4 x 9 + 1 = - 4(x 9 −
1 3 3 4
x − x + 6x 5 )
2
2
1
)
4
1) Saquen el factor común numérico, cuando sea posible:
a) 2 x 4 + 2 =
b) 5 x 6 + 5 x 3 + 5 =
c) 6 x 7 + 6 x 3 + 6 x 2 + 6 =
d) 2 x 4 − 2 =
e) 5 x 6 − 5 x 3 − 5 =
f) 6 x 7 − 6 x 3 + 6 x 2 − 6 =
g) 7 x 3 − 7 x − 7 x 2 + x 7 =
EEM N°2 DE 14 "Asociación Atlética Argentinos Juniors";
h) 2 x 4 + 4 =
i) 10 x 6 + 5 x 5 + 20 =
j) 6 x 7 + 3x 3 + 9 x 2 + 21 =
k) 2 x 4 − 8 =
l) − 10 x 6 + 5x 5 + 20 =
m) − 12 x 7 − 3x 5 + 9 x 3 − 27 =
n) 6 x 3 − 2 x 4 + 3x 2 − 2 =
Matemática, Prof: Marcelo Stigliano
2
2) Saquen el factor común literal, cuando sea posible:
a)
b)
c)
d)
x4 + x =
5x 6 + 8 x 4 + 7 x 7 =
x 4 + 2x 5 + x 9 + 5x =
x4 − x7 =
e) − 3x 6 + 5 x 5 − x 9 =
f) 10 x 10 + 2 x 7 − x 8 =
g) − x 10 − x 7 − x 8 =
h) − 2x 3 + 2x − 2 =
3) Saquen los factores comunes numérico y el literal, cuando sea posible:
a)
b)
c)
d)
2x 4 + 2x 4 =
4 x 6 + 16 x 2 + 8 x 3 =
20 x 9 + 20 x + 30 x 2 + 10 x 7 =
3x 4 − 3x 9 =
e) 4 x 6 − 16 x 2 − 8 x 3 =
f) 20 x 6 − 5 x 7 + 10 x − 10 x 8 =
g) 3x 4 − 6 x 3 + 2 =
h) − x 3 + 2 x 5 + x =
4) Saquen los factores comunes que sean posibles, ya sea numérico y/o literal:
g) x 2 + 2 =
h) x 4 − x 5 + x 3 =
i) x 2 − 1 =
j) x 4 + 3x 2 - 7x + 5x 3 =
k) x 2 + 2x + 1 =
l) − 125 x 9 + 50 x 5 + 100 x 3 − 75 x =
a) 2 x 4 − 6 + 3x =
b) 8 x 9 − 4 x 3 − 8 =
c) − 6 x 9 − 12 x 3 − 18 x 6 + 6 x =
d) x 4 + 3 =
e) 7 x 5 − 7 x 4 + 7 x 3 − 7 x 7 + 7 =
f) − 8x 7 + 16 x 3 + 48 x 4 − 10 =
Trinomio Cuadrado Perfecto
Es el desarrollo del cuadrado de un binomio del tipo: (x ± a) = x 2 ± 2 xa + a 2
2
Método:
1°) Dado un trinomio, buscamos reescribir dos de los tres términos como cuadrados de otras expresiones
(numéricas y/o literales)
2°) Verificamos que el doble del producto entre ambas expresiones sea igual al tercer término del
trinomio
2
3°) Expresamos el trinomio como el cuadrado del binomio hallado: x 2 ± 2 xa + a 2 = (x ± a)
Ej: x + 6 x + 9 =
2
x2 es, obviamente, el cuadrado de x
9 es el cuadrado de 3
Se verifica que el doble de ambos da el tercer término
es decir: 2.x.3 = 6x
luego: x 2 + 6 x + 9 = (x + 3)
Recuerden que si al verificar el tercer término la diferencia es sólo de signos, lo único que hay que hacer es
2
cambiar el signo del segundo término, es decir, x 2 − 6 x + 9 quedará expresado como (x − 3)
5) Expresen, cuando sea posible, los siguientes trinomios como cuadrados de un binomio:
a)
b)
c)
d)
e)
x 2 + 4x + 4 =
x 2 + 2x + 1 =
x 2 + 10 x + 25 =
x 2 + 8 x + 16 =
x2 − 4x + 4 =
EEM N°2 DE 14 "Asociación Atlética Argentinos Juniors";
f) x 2 − 2 x + 1 =
g) x 2 − 12 x + 36 =
h) x 2 + 4 x − 4 =
i) x 2 − 14 x + 49 =
j) x 2 + 9 x + 9 =
Matemática, Prof: Marcelo Stigliano
2
3
Resolvente para Grado 2
La vamos a usar para factorizar únicamente polinomios de grado 2, es decir, de la forma: ax 2 + bx + c
Para hallar sus posibles raíces usamos la fórmula resolvente:
x 1 ,2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
x 1 ,2
P(x) = a( x − x 1 )( x − x 2 )
a = -2; b = -2; c = 12
− 2 x 2 − 2 x + 12 =
Ej:
y reescribimos el polinomio así:
− (−2) ± (−2) 2 − 4.(−2).12 2 ± 4 + 96 − 2 ± 100
=
=
=
=
2.(−2)
−4
−4
−2 + 10
⇒ x 1 = −2
−4
− 2 − 10
x2 =
⇒ x2 = 3
−4
x1 =
X1
Luego, − 2 x 2 − 2 x + 12 = −2( x − (−2))( x − 3) = −2( x + 2)( x − 3) que es el polinomio factorizado por sus raíces
a
X2
6) Factoricen los siguientes trinomios, cuando sea posible, usando la fórmula resolvente para cuadráticas:
a) x 2 + 5 x + 4 =
b) 4 x 2 + 6 x + 2 =
c) x 2 + 8 x + 16 =
d) x 2 + 3 x − 4 =
e) x 2 − 4 x + 4 =
f) x 2 − 5 x + 6 =
g) 2 x 2 + 6 x − 8 =
h) 3x 2 + 9 x − 12 =
i) − x 2 + 6 x − 9 =
j) − 2 x 2 − 10 x − 8 =
k) − 3x 2 + 15 x − 18 =
3
=
4
m) 4 x 2 + 6 x − 4 =
n) x 2 − 4 =
o) 4 x 2 − 9 =
l) 3x 2 −
Diferencia de Cuadrados
Se aplica a binomios del tipo a2 - b2 que resultan de aplicar una doble distributiva a la expresión (a+b)(a-b)
Ej: x 2 − 4 = x 2 − 2 2 = ( x + 2)( x − 2)
(el segundo paso no es necesario escribirlo)
7) Factoricen los siguientes binomios, cuando sea posible, usando diferencia de cuadrados:
x2 −1 =
x2 − 9 =
x 2 − 16 =
x 2 − 64 =
1
e) x 2 − =
4
a)
b)
c)
d)
1
=
9
4
g) x 2 − =
9
h) x 3 − 4 =
25
i) x 2 −
=
4
f) x 2 −
4
=
25
l) x 4 − 4 =
m) x 8 − 9 =
n) x 4 − 1 =
o) x 6 − 1 =
j) x 2 −
49
=
9
q) 4 x 2 − 4 =
r) 9 x 2 − 1 =
1
s) 4 x 2 −
=
16
p) x 2 −
Gauss - Ruffini
Este método de factorización se aplica a cualquier polinomio que tenga TODOS sus coeficientes enteros
( a i ∈ z ) y su término independiente distinto de cero ( a 0 ≠ 0 ).
Un polinomio tiene a lo sumo tantas raíces como su grado, por ejemplo, si es de grado 4 tendrá a lo sumo
cuatro raíces, pudiendo tener tres, dos, una o ninguna raíz pero nunca cinco o más.
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Matemática, Prof: Marcelo Stigliano
4
Si se cumplen las condiciones debemos seguir los siguientes pasos:
1) Buscar todos los divisores (positivos y negativos) del término independiente ( a 0 ), llamados "p"
2) Buscar todos los divisores (positivos y negativos) del coeficiente principal ( a n ), llamados "q"
3) Armar todas las combinaciones
4) Reemplazamos la "x" por los
p
posibles (irreducibles y sin repetir)
q
p
en el polinomio y nos quedamos con los que verifiquen P p  = 0 , es
 
q
 q
decir, con aquellos que sean raíz del polinomio (x1; x2; etc)
Si tenemos suerte, encontraremos rápidamente una cantidad de raíces igual al grado, con lo cual no
es necesario hacer más cuentas porque podemos poner:
P( x ) = a n ( x − x 1 ).(x − x 2 )( x − x 3 )...(x − x n ) y listo!
Si la cantidad de raíces es menor al grado del polinomio debemos continuar…
5) Dividir a P(x) por ( x − x 1 ) usando la regla de Ruffini y hallar el polinomio cociente, llamado C(x)
6) Reescribir a P(x) = ( x − x 1 ).C ( x )
♣
♣
C(x) cumple las condiciones de Gauss, entonces podemos volver a repetir el procedimiento
p
(quizás algunos
ya no servirán). Esto lo hacemos hasta que lleguemos a un polinomio A(x)
q
irreducible (sin raíces reales).
Recordemos que al aplicar Ruffini, el polinomio C(x) resultará de un grado menor que P(x)
Ejemplo 1:
P( x ) = 2x 3 − 14 x + 12
Vemos que todos sus coeficientes son enteros (2; -14; 12) y que a0 ≠ 0
1) a0 = 12 siendo todos sus divisores p = {± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12}
2) an = 2 siendo todos sus divisores p = {± 1; ± 2}
1
3
p

(irreducibles y sin repetir) son: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12; ± ; ± 
2
2
q

4) Probamos primero con los números enteros más "chicos", primero los positivos y después los negativos.
Si encontramos tres que sean raíz la factorización será muy rápida:
P(1) = 2.13 − 14.1 + 12 ⇒ P(1) = 0 ⇒
x1 = 1
3) Todas las combinaciones
P( 2 ) = 2.2 3 − 14.2 + 12 ⇒ P( 2 ) = 0 ⇒
x2 = 2
P( 3) = 2.3 − 14.3 + 12 ⇒ P( 3) ≠ 0 ⇒ no sirve
3
P( 4 ) = 2.4 3 − 14.4 + 12 ⇒ P( 4 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
P( −1) = 2.(− 1) − 14.(− 1) + 12 ⇒ P( −1) ≠ 0 ⇒ no sirve
3
P( −2 ) = 2.(− 2) − 14.(− 2) + 12 ⇒ P( −2 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
3
P( −3) = 2.(− 3) − 14.(− 3) + 12 ⇒ P( −3) = 0 ⇒ x 3 = −3 y listo!
3
Como el polinomio es de grado 3 y encontramos tres raíces podemos poner:
an
X2
P( x ) = 2 x 3 − 14 x + 12 = 2(x - 1)(x - 2)(x + 3)
X1
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y ya está!
X3
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5
Ejemplo 2:
P( x ) = 2x 4 + 2x 3 − 2x 2 + 2x - 4
Vemos que todos sus coeficientes son enteros (2; 2; -2; 2; -4) y a0 ≠ 0
Entonces podemos aplicar Gauss:
1) a0 = −4 siendo todos sus divisores p = {± 1; ± 2; ± 4}
2) an = 2 siendo todos sus divisores p = {± 1; ± 2}
p
1

(irreducibles y sin repetir) son: ± 1; ± 2; ± 4; ± 
q
2

4) Debemos probar con todos; conviene empezar primero con los números enteros más "chicos", primero
los positivos y después los negativos. Si encontramos tres que sean raíz la factorización será muy rápida:
3) Todas las combinaciones
P(1) = 2.1 4 + 2.13 − 2.12 + 2.1 - 4 ⇒ P(1) = 0 ⇒
x1 = 1
P(2 ) = 2.2 + 2.2 − 2.2 + 2.2 - 4 ⇒ P( 2 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
4
3
2
P( 4 ) = 2.4 4 + 2.4 3 − 2.4 2 + 2.4 - 4 ⇒ P(4 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
P( −1) = 2.(− 1) + 2.(− 1) − 2.(− 1) + 2.(− 1) - 4 ⇒ P(4 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
4
3
2
P( −2 ) = 2.(− 2) + 2.(− 2) − 2.(− 2) + 2.(− 2) - 4 ⇒ P(−2 ) = 0 ⇒ x 2 = −2
4
3
2
P( −4 ) = 2.(− 4 ) + 2.(− 4 ) − 2.(− 4 ) + 2.(− 4 ) - 4 ⇒ P(4 ) ≠ 0 ⇒ no sirve
4
3
4
2
3
2
1
1 
1 
1
P 1 = 2.  + 2.  − 2.  + 2.  - 4 ⇒ P 1  ≠ 0 ⇒ no sirve
( )
2
2
2
 2 






2
2
 
4
P
1
(− )
2
3
2
 1
 1
 1
 1
= 2. −  + 2. −  − 2. −  + 2. −  - 4 ⇒ P 1  ≠ 0 ⇒ no sirve
 − 
 2
 2
 2
 2
 2
Como el polinomio es de grado 4 y sólo encontramos 2 raíces (mala suerte…) debemos usar Ruffini para
encontrar la expresión factorizada del polinomio:
Raíz de P(x)
2
2
2
-2
4
2
2
-4
4
2
4
2
4
0
1
Coeficientes ordenados y
completos de P(x)
Resto: si lo hicimos bien
SIEMPRE debe dar CERO
3
2
Coeficientes ordenados y completos del polinomio cociente, es decir, C(x): 2x +4x +2x+4
Como C(x) también cumple con las condiciones de Gauss podemos volver a aplicarlo (efecto muñeca rusa)
Si probamos con todas las raíces de P(x) veremos que sólo x=-2 verifica C(-2)=0, luego aplicamos Ruffini otra
vez:
Raíz de C(x)
2
4
-4
2
0
4
-4
2
0
2
0
-2
Coeficientes ordenados y
completos de C(x)
Resto: si lo hicimos bien
SIEMPRE debe dar CERO
2
Coeficientes ordenados y completos del nuevo polinomio cociente, es decir, D(x): 2x +2
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Ahora, si probamos con todas las posibles raíces en D(x) , vemos que ninguna da cero, es decir que D(x) no
tiene raíces reales y por lo tanto es irreducible por sus raíces.
Con esto, los cálculos terminaron, sólo nos queda dar la expresión factorizada de P(x)
P( x ) = ( x − x 1 )( x − x 2 ).D ( x )
es decir:
P( x ) = ( x − 1)( x + 2).(2 x 2 + 2)
(al fin!)
Irreducible por sus raíces
8) Factoricen los siguientes polinomios usando, cuando sea posible, Gauss-Ruffini:
Raíces reales distintas
a) x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 =
b) x 3 + 5 x 2 + 2 x − 8 =
1
f) x 3 + 4 x 2 + x + 2 =
2
e) x 3 + 6 x 2 + 5 x − 12 =
c) x 3 − 2 x 2 + 5 x =
d) x 3 − 4 x 2 + x + 6 =
g) x 3 − 7 x − 6 =
h) x 3 − 21x − 20 =
Raíces reales simples, dobles o triples
i) x 4 + 5 x 3 + 9 x 2 + 7x + 2 =
l) x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4 =
j) x 3 − x 2 − x + 1 =
m) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 =
k) x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 + 4x - 8 =
n) x 3 − 3x 2 + 3x − 1 =
Menor cantidad de raíces que su grado
q) x 3 − x 2 + x − 1 =
t) x 4 − 2x 3 + 2x 2 − 2x + 1 =
r) x 5 + 2 x 4 + x + 2 =
u) 2 x 4 − 6x 3 + 6x 2 − 6x + 4 =
s) x 6 + x 5 − 2 x 4 + 2x 2 + 2x - 4 =
v) x 7 − x 6 + x − 1 =
Casos Combinados
El objetivo de combinar los casos de factoreo es lograr que el polinomio quede finalmente expresado como:
P( x ) = a n ( x − x 1 ).( x − x 2 )( x − x 3 )...( x − x n )
con "n" raíces reales
o si no
P( x ) = a n ( x − x 1 ).( x − x 2 )( x − x 3 )...Q ( x )
con Q(x) irreducible
Existen otros casos de factoreo para polinomios pero para trabajar en el curso nos limitaremos a los vistos.
La mejor estrategia para factorizar un polinomio es ir tratando de aplicar los distintos casos siguiendo
prácticamente el mismo orden en el que los vimos, es decir:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Factor Común
Trinomio Cuadrado Perfecto
Resolvente para Grado 2
Diferencia de Cuadrados
Gauss- Ruffini
Normalización (de ser necesario)
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7
Multiplicidad
La cantidad de veces que aparezca una misma raíz en la factorización de un polinomio determina su
multiplicidad.
Ej:
P( x ) = −2( x − 2).( x − 2)( x − 1)( x + 1)( x + 1)( x + 1) = −2( x − 2) 2 ( x − 1)( x + 1) 3
Sus raíces son: 2, de multiplicidad 2
1, de multiplicidad 1 o simple
-1, de multiplicidad 3
Ejemplo 1:
P( x ) = x 5 + 2 x 4 + x 3 = x 3 . (x 2 + 2 x + 1) = x 3 (x + 1)
2
Factor común x3
Trinomio
Cuadrado
Perfecto
Factorización terminada. El polinomio tiene cinco raíces reales: cero (multiplicidad 3) y -1 (multiplicidad 2)
Ejemplo 2:
P( x ) = 3 x 3 + 6 x 2 − 3x − 6 = 3.( x 3 + 2 x 2 − x − 2) =
Factor común 3
Está en condiciones de Gauss
P( x ) = 3.(x − 1).(x 2 + 3x + 2) = 3.(x − 1)(
. x + 2 )(
. x + 1)
Gauss: 1 es raíz
Ruffini: x2+3x+2
polinomio cociente
Resolvente: -2 y -1
raíces reales distintas
Factorización terminada. El polinomio tiene tres raíces reales: 1 , -2 y -1 (todas de multiplicidad 1 o simples)
Ejemplo 3:
Suma y resta de las bases
1 
1

P( x ) = 4 x 2 − 1 = (2 x + 1).(2 x − 1) = 2. x + .2. x − 
2 
2

Diferencia de Cuadrados:
4x2 = (2x)2 y 1 = 12
Factorización terminada. El polinomio tiene dos raíces reales:
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Normalización:
El 2 como factor común
forzoso en ambos binomios
1
1
y − (de multiplicidad 1 o simples)
2
2
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8
9) Factoricen los polinomios de la siguiente tabla según el o los casos que sean necesarios.
N°
Polinomio
N°
Polinomio
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.4
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
4.3
4.4
5
5.1
5.2
5.3
5.4
6
6.1
6.2
x3 - 7x - 6
x4 - 7x2 – 6x
2x4 - 14x2 – 12x
- x4 + 7x2 + 6x
- 2x4 + 14x2 + 12x
x3 - 7x + 6
x4 - 7x2 + 6x
2x4- 14x + 12x
- x4 + 7x2 - 6x
- 2x4 +14x - 12x
x3 + 5x2 + 2x - 8
x3 + 5x2 + 2x - 8
2x3 + 10x2 + 4x - 16
- x3 - 5x2 - 2x + 8
- 2x3 - 10x2 - 4x + 16
x3 + 6x2 + 5x - 12
x4 + 6x3 + 5x2 – 12x
2x4 + 12x3 + 10x2 – 24x
- x4 - 6x3 - 5x2 + 12x
- 2x4 - 12x3 - 10x2 + 21x
x3 - 4x2 + x + 6
x4 - 4x3 + x2 + 6x
2x4 - 8x3 + 2x2 + 12x
- x4 + 4x3 - x2 - 6x
- 2x4 + 8x3 - 2x2 - 12x
x3 - 6x2 + 11x - 6
x4 - 6x3 + 11x2 – 6x
2x4 - 12x3 + 22x2 – 12x
9.3
9.4
10
10.1
10.2
10.3
10.4
11
11.1
11.2
11.3
11.4
12
12.1
12.2
12.3
12.4
13
13.1
13.2
13.3
13.4
14
14.1
14.2
14.3
14.4
15
- x4 + 3x3 + 13x2 - 15x
- 2x4 + 6x3 + 26x2 - 30x
x3 - 21·x - 20
x4 - 21·x2 – 20x
2x4 - 42·x2 – 40x
- x4 + 21·x2 + 20x
- 2x4 + 42·x2 + 40x
2x3 - x2 - 5x - 2
2x4 - x3 - 5x2 – 2x
4x4 - 2x3 - 10x2 – 4x
- 2x4 + x3 + 5x2 + 2x
- 4x4 + 2x3 + 10x2 + 4x
6x3 - 7x2 + 1
6x4 - 7x3 + x
12x4 - 14x3 + 2x
- 6x4 + 7x3 - x
- 12x4 + 14x3 - 2x
4x3 + 8x2 - x - 2
4x4 + 8x3 - x2 – 2x
8x4 + 16x3 - 2x2 – 4x
- 4x4 - 8x3 + x2 + 2x
- 8x4 - 16x3 + 2x2 + 4x
x3 - x2 + x - 1
x4 - x3 + x2 - x
4
2x - 2x3 + 2x2 - 2x
- x4 + x3 - x2 + x
- 2x4 + 2x3 - 2x2 + 2x
x5 + 2x4 + x + 2
6.3
- x4 + 6x3 - 11x2 + 6x
15.1
x6 + 2x5 + x2 + 2x
6.4
7
- 2x4 + 12x3 - 22x2 + 12x
x3 + 6x2 + 11x + 6
15.2
15.3
2x6 + 4x5 + 2x2 + 4x
- x6 - 2x5 - x2 - 2x
7.1
7.2
7.3
x4 + 6x3 + 11x2 + 6x
2x4 + 12x3 + 22x2 + 12x
- x4 - 6x3 - 11x2 - 6x
15.4
16
16.1
- 2x6 - 4x5 - 2x2 - 4x
x + x5 - 2x4 + 2x2 + 2x - 4
x7 + x6 - 2x5 + 2x3 + 2x2 – 4x
7.4
8
8.1
8.2
8.3
8.4
9
9.1
9.2
- 2x4 - 12x3 - 22x2 - 12x
x3 - 2x2 - 13x - 10
x4 - 2x3 - 13x2 – 10x
2x4 - 4x3 - 26x2 – 20x
- x4 + 2x3 + 13x2 + 10x
- 2x4 + 4x3 + 26x2 + 20x
x3 - 3x2 - 13x + 15
x4 - 3x3 - 13x2 + 15x
2x4 - 6x3 - 26x2 + 30x
16.2
16.3
16.4
17
17.1
17.2
17.3
17.4
2x7 + 2x6 - 4x5 + 4x3 + 4x2 – 8x
- x7 - x6 + 2x5 - 2x3 - 2x2 + 4x
- 2x7 - 2x6 + 4x5 - 4x3 - 4x2 + 8x
x3 - 3x2 + 4x - 12
x4 - 3x3 + 4x2 – 12x
2x4 - 6x3 + 8x2 – 24x
- x4 + 3x3 - 4x2 + 12x
- 2x4 + 6x3 - 8x2 + 24x
Sí, son muchos … Ánimo!!
EEM N°2 DE 14 "Asociación Atlética Argentinos Juniors";
6
Matemática, Prof: Marcelo Stigliano