Departamento de Matemática Aplicada I Programa de doctorado Técnicas Matemáticas Avanzadas y sus Aplicaciones UNIVERSIDADE DE VIGO Una posible «razón de ser» del cálculo diferencial elemental en el ámbito de la modelización funcional Catarina Oliveira Lucas Vigo, 2015 Esta Tesis Doctoral fue defendida el día 18 de diciembre de 2015, en la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Vigo, obteniendo la calificación de SOBRESALIENTE CUM LAUDE, ante el Tribunal compuesto por : Presidente : Dra. Dna. Michèle Lanne Artigue Doctora Laboratoire de Didactique André Revuz Université Paris Diderot Vocal : Dr. D. Tomás Jesús Recio Muñiz Catedrático de Universidad Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación Universidad de Cantabria Secretario : Dr. D. Manuel Pérez Cota Catedrático de Escuela Universitaria Departamento de Informática Universidad de Vigo Una posible «razón de ser» del cálculo diferencial elemental en el ámbito de la modelización funcional Catarina Oliveira Lucas Memoria para optar al Grado de Doctor presentada por Catarina Oliveira Lucas dentro del programa de doctorado Técnicas Matemáticas Avanzadas y sus Aplicaciones del Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo bajo la dirección del Profesor Dr. Cecilio Fonseca Bon, Profesor Dr. Josep Gascón Pérez y Profesor Dr. José Manuel Casas Mirás. En Vigo, a 1 de septiembre de 2015 Fdo.: Catarina Oliveira Lucas Fdo.: Cecilio Fonseca Bon Candidata Director Fdo.: Josep Gascón Pérez Director Fdo.: José Manuel Casas Mirás Director i ii Cecilio Fonseca Bon, con DNI 35 977 499 W, Titular de Universidad del Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo; Josep Gascón Pérez, con DNI 40 941 764 Q, Profesor Agregado del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona; José Manuel Casas Mirás, con DNI 76 344 522 R, Catedrático de Universidad del Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo; como directores de la memoria de la tesis doctoral titulada UNA POSIBLE <<RAZÓN DE SER>> DEL CÁLCULO DIFERENCIAL ELEMENTAL EN EL ÁMBITO DE LA MODELIZACIÓN FUNCIONAL realizada por Catarina Oliveira Lucas dentro del programa de doctorado Técnicas Matemáticas Avanzadas y Aplicaciones desarrollado por el Departamento de Matemática Aplicada I para optar al Grado de Doctora por la Universidad de Vigo con mención internacional AUTORIZAN A Catarina Oliveira Lucas a presentar y depositar la misma para que se proceda a la correspondiente tramitación administrativa que autorice su defensa. Para que así conste y a los efecto oportunos, firmo la presente En Vigo, a 1 de septiembre de 2015 Fdo.: Cecilio Fonseca Bon Fdo.: Josep Gascón Pérez Fdo.: José Manuel Casas Mirás iii iv A mis hijos Carolina y Miguelinho A Miguel v vi Agradecimientos A Miguel, su familia y mis padres, por su incondicional apoyo sin el cual sería imposible desarrollar este trabajo. A mis tres orientadores, de forma complementaria, por ayudarme e incentivarme en este camino. En especial, al Profesor Josep Gascón por todo el empeño y dedicación. Al grupo de investigación TAD que me ayudó en el desarrollo de esta memoria, en particular: a Marianna Bosch, a Berta Barquero, a Pedro Nicolás, a Tomás Sierra, a Alicia Ruiz-Olarría y a Mercedes Hidalgo. A los Profesores María Trigueros y Saddo Almouloud por su disponibilidad para leer e informar positivamente esta memoria de tesis. A los profesores de las escuelas secundarias que me permitieron recoger datos empíricos en manuales escolares (Prof. José - Escola Secundária de Arcozelo) o mediante cuestionarios a estudiantes (Prof. Pedro Noga – Colégio Internato dos Carvalhos y Prof. Ermelinda Rodrigues - Escola Secundária Gomes de Almeida). A los Profesores Luís Metello y Rui Pimenta por permitirme la experimentación de la propuesta didáctica con estudiantes del 1.º año de la Universidad. Este trabajo tuvo el apoyo del Proyecto “La modelización matemática para la formación del profesorado de secundaria: del algebra al cálculo diferencial” (EDU2012-39312-C03-03): Este trabajo fue financiado por la beca SFRH/BD/77335/2011 de la FCT (Portugal): vii viii Índice Abstract ..................................................................................................... xvi Introducción general ................................................................................... 1 Capítulo I.................................................................................................... 13 Antecedentes: condiciones que inciden sobre el desarrollo de la modelización matemática en el paso de Secundaria a la Universidad . 13 1. Rigidez de la actividad matemática escolar y pensamiento matemático flexible....... 14 2. El fenómeno didáctico general de la atomización, rigidez e incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares............................................................................ 17 3. La modelización matemática como instrumento de articulación y completación relativa de las organizaciones matemáticas .................................................................... 22 3.1. La noción de modelización matemática en el ámbito de la TAD .................... 22 3.2. Desarticulación de la relación de proporcionalidad respecto del resto de relaciones funcionales............................................................................................. 25 3.3. Conjetura de Ruiz-Munzón. Desarrollo progresivo de los niveles de modelización funcional........................................................................................... 27 4. Los REI como respuesta de la TAD a las restricciones que dificultan el desarrollo de la modelización matemática en las instituciones escolares ............................................ 31 Capítulo II .................................................................................................. 35 El cálculo diferencial y la modelización funcional en las investigaciones didácticas .................................................................................................... 35 1. El problema didáctico del cálculo diferencial en las investigaciones en Educación Matemática ..................................................................................................................... 36 1.1. Dificultades en el aprendizaje del Cálculo ...................................................... 36 1.2. La contribución de las tecnologías a la enseñanza del Cálculo ....................... 39 1.3. Aportaciones de la teoría APOS y otros enfoques didácticos relacionados .... 42 2. El cálculo diferencial en el paso de Secundaria a la Universidad .............................. 53 ix 2.1. Enseñanza de las nociones básicas del cálculo diferencial en la transición entre la Secundaria y la Universidad ............................................................................... 54 2.2. Estrategias alternativas para mejorar la enseñanza del Cálculo ...................... 56 3. Relaciones que las investigaciones didácticas propugnan entre el cálculo diferencial y la modelización funcional en el inicio de la enseñanza universitaria ............................. 57 3.1. Investigaciones didácticas relativas al cálculo diferencial e integral .............. 59 3.2. La renovación de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales ...................... 63 3.3. Investigaciones didácticas relativas a las actividades de modelización .......... 66 3.4. Investigaciones didácticas relativas a la enseñanza del cálculo diferencial en el ámbito de la modelización funcional ...................................................................... 68 3.5. A modo de conclusión: ¿qué papel asignan las investigaciones didácticas al cálculo diferencial en el ámbito de la modelización funcional? ............................. 82 4. Caracterización de la noción de cálculo diferencial elemental (CDE) que utilizaremos en esta memoria .............................................................................................................. 84 Capítulo III ................................................................................................ 87 Esquema de un modelo epistemológico de referencia y formulación del problema didáctico. Razón de ser «oficial» del cálculo diferencial elemental..................................................................................................... 87 1. Simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de referencia (MER) y la formulación del problema didáctico asociado ............................................. 88 2. Esbozo de un MER alternativo: redefinición de la modelización funcional mediante un diagrama de actividad ................................................................................................ 90 2.1. Diagrama de actividad de modelización funcional como esquema del MER . 93 2.2. Descripción de los componentes del diagrama de actividad de modelización funcional ................................................................................................................. 96 3. Formulación del problema de investigación ............................................................. 105 4. Síntesis de la evolución histórica del papel del cálculo diferencial elemental (CDE) en la enseñanza secundaria portuguesa ............................................................................. 109 4.1. La introducción del CDE en los currículos oficiales (1905-1963) ................ 109 4.2. La reforma de las Matemáticas Modernas (1963-1974) ................................ 114 4.3. El periodo de transición (1974-1986) ............................................................ 116 x 4.4. La relevancia del CDE y su relación con el estudio de la MF (1986-2000).. 117 4.5. El CDE y la MF en el currículo actual (2001 - 2014) ................................... 119 4.6. Tendencias futuras ......................................................................................... 120 4.7. Interpretación de los currículos a la luz del MER ......................................... 121 5. Diez conjeturas para contrastar la incompletitud y la desarticulación del CDE y la MF en la última etapa de la enseñanza secundaria .............................................................. 127 6. Análisis global de los resultados obtenidos al contrastar las diez conjeturas ........... 136 7. Interpretación cualitativa de los resultados y primeras conclusiones ....................... 148 8. Razón de ser «oficial» del CDE en el sistema educativo portugués y su relación con la MF en el paso de Secundaria a la Universidad ......................................................... 150 8.1. Tipos de tareas que forman parte de la razón de ser oficial del CDE............ 155 8.2. Componentes de la MF que aparecen en la práctica matemática escolar ...... 161 8.3. Modelos funcionales ocultos en la práctica matemática escolar ................... 163 9. El fenómeno didáctico de la falta de visibilidad escolar de la MF y la correspondiente ausencia de una posible razón de ser del CDE ............................................................. 168 Capítulo IV............................................................................................... 173 Construcción de un modelo epistemológico de referencia que articula el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional .............. 173 1. Universo de tipos de variación que consideraremos en la modelización funcional . 174 1.1. Modelos funcionales construidos a partir de datos discretos ........................ 175 1.2. Modelos funcionales construidos a partir de datos continuos ....................... 184 1.3. Relación entre la variación discreta y la variación continua ......................... 186 2. Construcción de algunos recorridos matemáticos a priori que encarnan el modelo epistemológico de referencia ........................................................................................ 191 2.1. Modelo funcional «exacto» a partir de datos discretos – RM1 ...................... 193 2.2. Modelo funcional «exacto» a partir de datos continuos - RM2 ..................... 205 2.3. Modelo funcional «exacto» a partir de datos diferenciales continuos – RM3 212 2.4. Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos brutos - RM4 ... 218 xi 2.5. Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos variacionales RM5....................................................................................................................... 225 3. Esbozo de un análisis ecológico a priori .................................................................. 238 Capítulo V ................................................................................................ 243 Diseño, experimentación y evaluación de recorridos de estudio e investigación en el ámbito de los estudios universitarios de Medicina Nuclear ..................................................................................................... 243 1. Condiciones institucionales para la experimentación de los REI en Medicina Nuclear ...................................................................................................................................... 244 1.1. Coordinación con los objetivos programáticos habituales ............................ 245 1.2. Ampliación de los objetivos que se persiguen con el estudio del Cálculo Diferencial e Integral ............................................................................................ 247 1.3. Dispositivos de evaluación de los estudiantes ............................................... 249 1.4. Distribución semanal del programa de estudio estructurado por problemas de Medicina Nuclear y recorridos matemáticos ........................................................ 252 1.5. Tabla de tareas del diagrama de actividad de MF y de las correspondientes actividades de estudio ........................................................................................... 254 2. Diseño a priori de recorridos de estudio e investigación para experimentar en el primer curso universitario de Medicina Nuclear .......................................................... 256 2.1. Distribución del programa de estudio en unidades didácticas ....................... 256 2.2. Distribución por sesiones de las cuestiones derivadas de los dos problemas básicos de Medicina Nuclear ................................................................................ 257 2.3. Planificación del desarrollo de las unidades didácticas ................................. 262 2.4. Articulación de los procesos de estudio de los dos problemas básicos de Medicina Nuclear ................................................................................................. 275 3. Desarrollo de las experimentaciones ........................................................................ 277 3.1. Sesión Presencial 1 ........................................................................................ 278 3.2. Sesión Presencial 2 ........................................................................................ 280 3.3. Sesión Presencial 3 ........................................................................................ 282 3.4. Sesión Presencial 4 ........................................................................................ 283 3.5. Sesión Presencial 5 ........................................................................................ 298 xii 3.6. Sesión Presencial 6 ........................................................................................ 310 3.7. Sesión Presencial 7 ........................................................................................ 310 3.8. Sesión Presencial 8 ........................................................................................ 311 3.9. Sesión Presencial 9 ........................................................................................ 315 3.10. Sesión Presencial 10 .................................................................................... 318 3.11. Sesión Presencial 11 .................................................................................... 330 4. Análisis del desarrollo y de los resultados de la experimentación ........................... 336 4.1. Evaluación de la experimentación ................................................................. 340 4.2. Criterios de modificación para futuras experimentaciones de los REI ......... 348 Capítulo VI............................................................................................... 355 Principales aportaciones y problemas abiertos .................................... 355 1. El problema didáctico del cálculo diferencial elemental como confluencia de tres grandes problemáticas de investigación ....................................................................... 356 2. Carácter relativamente universal del fenómeno de la desarticulación escolar entre el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional .......................................... 357 3. Otras posibles razones de ser del cálculo diferencial elemental alternativas a la razón de ser oficial.................................................................................................................. 358 4. Simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de referencia (MER), la formulación del problema didáctico asociado y la caracterización del modelo epistemológico dominante en la institución ................................................................. 359 5. Redefinición de la noción de «modelización funcional».......................................... 360 6. Funciones de un MER como sistema de referencia .................................................. 363 7. Articulación entre los procesos de modelización funcional discretos y continuos .. 364 8. Contrastación empírica de la conjetura de Ruiz-Munzón ........................................ 364 9. La formulación y contrastación de hipótesis sustentadas en el MER como metodología para caracterizar el modelo epistemológico dominante .......................... 365 10. El MER como instrumento para diseñar y gestionar la organización didáctica .... 366 11. Cuestiones problemáticas que han surgido en la experimentación con estudiantes de Medicina Nuclear ......................................................................................................... 369 xiii Chapter VI ............................................................................................... 373 Main contributions and open problems ................................................ 373 1. The didactic problem of the elementary differential calculus as confluence of three major research issues .................................................................................................... 374 2. Relatively universal nature of the phenomenon of school disassembly between elementary differential calculus and functional modelling .......................................... 375 3. Other possible raisons d’être of the elementary differential calculus as an alternative to the official raison d’être............................................................................................ 376 4. Simultaneity of the construction of a reference epistemological model (REM), the formulation of the associated didactic problem, and the characterization of the dominant epistemological model in the institution....................................................................... 377 5. Redefinition of the notion of “functional modelling” .............................................. 378 6. Functions of a REM as a reference system............................................................... 381 7. Articulation between the functional modelling processes in the continuous and discrete fields ................................................................................................................ 382 8. Empirical check of the conjecture of Ruiz-Munzón................................................. 382 9. The formulation and hypotheses testing grounded in the REM as a methodology to characterize the dominant epistemological model........................................................ 383 10. The REM as a tool to design and handle the didactic organization ....................... 384 11. Problematic questions that have appeared during the experimentation with students of Nuclear Medicine ..................................................................................................... 387 Referencias bibliográficas ...................................................................... 391 Anexos....................................................................................................... 411 Anexo A: Marco teórico: La teoría antropológica de lo didáctico en el programa epistemológico de investigación ................................................................................... 413 Anexo B: Rigidez de la actividad matemática escolar en la Secundaria portuguesa y española ........................................................................................................................ 439 Anexo C: Algunas propuestas para la construcción de la derivada .............................. 463 Anexo D: Los currículos oficiales de las matemáticas en la enseñanza secundaria portuguesa a lo largo de los siglos XX y XXI .............................................................. 475 xiv Anexo E: Contrastación empírica de las conjeturas C1-C10 (CDE-MF) en los manuales escolares de la enseñanza secundaria portuguesa ......................................................... 491 Anexo F: Construcción algebraica de modelos discretos y continuos a partir de su variación ....................................................................................................................... 549 Anexo G: Medios didácticos utilizados en la experimentación con estudiantes de Medicina Nuclear ......................................................................................................... 555 Anexo G.1.: Cuestiones problemáticas (Q0- Q5) .................................................. 556 Anexo G.2.: Ficha de Diagnóstico (FD) y Fichas de Trabajo (F1-F4) .................. 567 Anexo H: Algunos ejemplos de currículos de cálculo diferencial elemental en los primeros cursos universitarios portugueses .................................................................. 589 xv A possible «rationale» for the differential calculus in the sphere of the functional modelling Abstract The problems studied in this work deal with the last years of Secondary Education and the beginning of University in Portugal. Nevertheless, we will present some facts and conclusions which are valid also beyond this institutional space. Our theoretical framework is the anthropological theory of the didactic (ATD). The main question examined here refers to a possible rationale for the elementary differential calculus (EDC, from now on). For rationale we understand the set of types of tasks such that the techniques aiming to solve them require the EDC. Now we should clarify some aspects. First, here for elementary differential calculus we will understand the field of Mathematics typically taught under the name «cálculo» or «análisis» in the last years of Secondary Education (in Portugal, Spain and several countries) together with some elements of the Differential and Integral Calculus taught in the first year of University in Portugal (for example in the Degree of Nuclear Medicine) and Spain (for example, in the Degrees of Biology, Geology or Chemistry). For a more precise description of the components of the opus here referred to as EDC can be found in section 4 of Chapter II. Second, it is important to pay attention to the distinction between the official rationale of an opus of Mathematics (namely, the rationale according the educational institutions) and the alternative rationales. It might be the case that, after an investigation, one feels that the official rationale, for a certain opus in a given educational institution, must be changed by a different one. The change of the rationale always implies a deep reformulation of the opus and of its relationship with some other opera of Mathematics in the given educational institution. This reformulation, within the ATD, is typically described by a reference epistemological model (REM, from now on). There are already several examples in which a new rationale has been proposed by means of an alternative xvi REM. Those examples deal with: elementary algebra as a tool for modelling extra or intra-mathematical systems (Bolea et al., 2001; Ruiz-Munzón et al., 2012); limit of functions (Barbé et al., 2005); negative numbers in the sphere of elementary algebra (Cid & Ruiz-Munzón, 2011); numeral systems in the sphere of arithmetic (Sierra et al., 2007); proportionality in the sphere of functional relations (García et al., 2006); real numbers in the sphere of continuous magnitudes (Licera et al., 2011); parametrical functional modelling as a development of elementary algebra (Ruiz-Munzón et al., 2008). It is also worth mentioning that the rationale of a certain opus in a given educational institution might be spread across several fields of Mathematics. For instance, the rationale of the Linear Algebra can be placed in the sphere of Linear Geometry, Statistics or Linear Programming. Moreover, inside these fields, the types of tasks which require the use of Linear Algebra can be presented in different forms. This is why one should be cautious and speak of a possible rationale (vs. the rationale) of the EDC in the sphere of the functional modelling. Before making precise the research program of this mémoire, we should point out that it arises from the confluence of three complexes of problems studied by the community of researchers working in the frame of the ATD. These three sets of problems are related to a very general didactic phenomenon which is revealed in the rigidity, relative incompleteness, disassembling and even atomization of the mathematical organizations in Secondary Education (both Portuguese and Spanish). More specifically, our research program is related to the link of this didactic phenomenon with the obstacles for the development of a mathematical modelling activity in the mentioned educational institutions. It is important to stress that, even if the didactic phenomenon presents different features depending on the mathematical content we deal with, it is always the case that this phenomenon appears somehow linked to the occurrence of obstacles for the development of the mathematical modelling. The first complex of problems, the most basic one, appeared precisely when the didactic phenomenon mentioned above, and its relation to the obstacles for the mathematical modelling, were taken as an object of study (Fonseca, 2004; Lucas, 2010). This study gave rise to a systematic study of the so-called ecology of the mathematical modelling in the first course in University. After several works in this direction (Barquero, 2009; Serrano, 2013) we can already give both some required conditions (in xvii order to develop a true activity of mathematical modelling at this educational level) and the main obstacles for this development. In short, these works showed that the typical teaching model (placed in the paradigm known as monumentalism (Chevallard, 2013)), together with the corresponding epistemological model, form an important source of obstacles for the mathematical modelling activity in the educational institutions. What is especially fertile as a source of obstacles is the way this epistemological model understands the relationship between Mathematics and the different disciplines1 in which one finds the systems to be taken as models in the mathematical modelling activity. This relationship has been named aplicationism (Barquero, Bosch & Gascón, 2014). To set the needed conditions in order to enable the normal institutional development of the functional modelling activity one should start with the construction of a REM. An REM can be described as a net of praxeologies with increasing complexity and completeness, whose dynamics is driven by successive processes of mathematical modelling. This REM assigns an alternative rationale to the mathematical modelling activity, and has been used to design and put into practice several study and research paths (SRP, from now on) in university courses. The second complex of problems appeared in the study of a phenomenon, which can be regarded as a specific instance of the previously described phenomenon, consisting of the astonishing disassembling of the proportionality relationship and the other functional relationships in compulsory Secondary Education (García, 2005; García et al., 2006). In order to study this phenomenon and, at the same time, to suggest a possible change in the articulation of the praxeologies involved, the referred authors constructed a regional mathematical praxeology which assemble a previously constructed set of types of elementary variations (one of which was the proportionality) between discrete magnitudes. The third complex of problems appeared in the study of functional modelling as a development of the research on the algebraization process of the mathematical activity, and as a completation of a REM on elementary algebra (Ruiz-Munzón, 2010). It was precisely in this work where what we call Ruiz-Munzón conjecture was first formulated. According to this conjecture, some current pathologies in the study of the EDC (in the 1 The empirical data were obtained in the field of university studies in Experimental Science (Barquero, 2009) and Economic and Business Science (Serrano, 2013). xviii last period of Secondary Education) can be dressed in the rationale of the EDC is placed in the sphere of the functional modelling. To go deeper in this conjecture, we suggest a redefinition of the very notion of functional modelling (FM, from now on) activity. This redefinition enlarges to a great extent, but also specifies, the set of types of tasks which constitute the FM activity. This new characterization of the FM is schematically presented in the FM activity diagram which appears in the section 2 of Chapter III and which is fully developed in Chapter IV. Therefore, the mathematical activity involved in our research problem comprises, together with the EDC (characterized at the end of Chapter II), the FM activities as they are redefined by using the FM activity diagram. We must point out that the decisions adopted, regarding the institutional boundaries (the transition from Secondary to Universitary Education), as well as regarding the boundaries in the mathematical content, are neither neutral nor insignificant. These decisions, as any other adopted, determine to a great extent the didactic research problem we can formulate and, simultaneously, the nature of the REM proposed. Once we have described the three complexes of problems meeting in this work, let us formulate briefly the link we establish with each one. (1) We have carried out already many experimentations of several SRP based in the REM we have constructed. The a posteriori analysis of these experimentations shows that the redefinition of the FM activity and the alternative rationale of the EDC proposed in this REM help to create conditions advantageous for the FM activity at the beginning of Universitary Education and, more precisely, in a first year in Nuclear Medicine. Also, this analysis has brought to light some restrictions which stand in the way of the normal development of the FM activity. These results must be regarded as a contribution to the first and most basic set of problems mentioned above. That is to say, it is a contribution to the study of the mathematical modelling (in our case we deal, specifically, with the FM activity developed with the help of the EDC) in the first year of Universitary Education. (2) In connection with the second complex of problems mentioned above (the disassembling of the proportionality relationship with the other functional relationships) we have studied the specific phenomenon of the school xix disassembling of the EDC and FM. We have enquired into the historical evolution of the role of the EDC in the Portuguese Secondary Education, the transpositive origin of this phenomenon, the supporting conditions and the main didactic consequences. Even if they are two different phenomena, we could regard our results as a generalization of those obtained by García (2005). Indeed, the SRP designed and put into practice include the characterization and construction of a larger set of types of functional variation between continuous magnitudes and explicitly contemplates the problems related to transition from the study of the variation between discrete magnitudes to the study of the variation between continuous magnitudes. (3) Concerning the third complex of problems mentioned previously, the results of our experimentations support the verisimilitude of the Ruiz-Munzón conjecture, at least under an interpretation coherent with the new meaning of FM as it appears in our REM (containing, in particular, the role ascribed to the EDC). Indeed, by means of the development of a complete mathematical activity, it has been shown the scope and the meaning of the mentioned conjecture. Remarkably, it has become apparent in which sense we can state that the rationale (or, even better, a possible rationale) attached to the EDC can be placed in the field of the FM and which are the consequences corresponding to this attachment. Now we will focus on the formal structure of the work, which consists of six chapters together with various appendices. In Chapter I we summarize the main precedents of this work. We start by considering several researches that, from different perspectives in Mathematics Education, analyze the comparison of the rigidity of school mathematical activity with the necessary flexibility of the mathematical activity, considered genuine or functional in the sense that it is aimed to answer problematic questions which appear in different social institutions. The summary ends up with a synthesis of the main results, obtained in the framework of the ATD, concerning the didactic phenomenon of rigidity, atomization and incompleteness of the school mathematical organizations. We stress the importance of the mathematical modelling activity as a tool to articulate the mathematical praxeologies and the role of the SRP as an answer to the restrictions to the development of the mathematical modelling in the school institutions. The chapter xx concludes with two other complexes of problems which are at the origin of our research and which have been briefly described at the beginning of this general introduction. In Chapter II we present a panoramic view of how the didactic problem concerning the differential calculus has been addressed in some of the main researches in Mathematics Education. We are interested in showing the precise link between these researches and the present work. Hence, we pay special attention to the way in which the problem of the differential calculus in the transition from Secondary to Universitary Education has been study in these researches. Also, we take under special consideration the way they connect the differential calculus with the functional modelling in those levels of education. One of the main conclusions of this panoramic view can be shortly stated by saying that many didactic researches under consideration tend to accept (without hesitation) the official rationale attributed to the differential calculus, namely, the one attributed by the school institution. The chapter finishes with a characterization of what is to be understood in this work as elementary differential calculus, shortened with the initials EDC. Chapter III starts with an explanation of how unavoidable is the simultaneity of the construction of the reference epistemological model and the delimitation of the didactic problem under consideration. With this in mind, we describe the fundamental features or the general criteria to which our REM is to be attached if we want it to show the intended alternative rationale to the EDC which, we expect, will enable the institutional development of functional modelling activity. We have used this set of fundamental features, which can be regarded as draft of the REM, as a provisional reference point to describe, in contrast, the official rationale attributed to the EDC by the educational system. Also, we have used this draft of REM to start a characterization of the functional modelling activity as considered in this work. More precisely, we propose an activity diagram which sketches, a priori, the main types of tasks composing what we understand by FM activity and the relationship between them. This activity diagram, which specifies the role to be played by the EDC, is a map which aims to include the set of mathematical paths which are possible, a priori, when a FM activity is carried out. The diagram also specifies the potential relationships between these mathematical paths. It is, therefore, a still very schematic version of the proposed REM. Nevertheless, this scheme of REM has been used both to formulate the didactic research problem tackled in this work (which appears in section 3) and, partially, to interpret the xxi historical development of the role played by the EDC in the Portuguese Secondary Education (explained in section 4 of this chapter). Using the schematic version of the REM as a reference point of view, we have formulated and verified empirically ten conjectures concerning different features related to the incompleteness and disassembling of the EDC and the FM activity (in the last years of Secondary Education). The verification of these conjectures, together with the data obtained from an exhaustive analysis of the Portuguese (and Spanish) official curricular documents, have enable us to describe and interpret the official rationale of the EDC in terms of types of tasks, and also to analyze to which extent these types of tasks are placed in the sphere of the FM2 (all these results can be found in section 8). In coherence with the phenomenon of rigidity and disassembling of the mathematical praxeologies (largely confirmed in this work), these types of tasks appear very isolated, as if they were completely independents, and the corresponding techniques are strongly stereotyped. The analysis of the official rationale of the EDC has showed the following paradox: even if some types of tasks (attributed to the rationale by the official curriculum) are naturally part of a FM process, they are not to be regarded in the school mathematics as related to an activity of modelling. As a consequence, the explicit official rationale of the EDC in this school level is even more away from the FM activity than permitted by the actual mathematical. The chapter finishes with a short description of the didactic phenomenon that we call school lack of visibility of the FM activity and the corresponding absence of a possible rationale of the EDC. In Chapter IV we characterize the types of variations that will be considered in the construction of functional models, whatever they are constructed from discrete or continuous data. The kernel of this chapter is the explicit and detailed construction of some a priori Mathematical Paths (MP) which incarnate the REM. This construction is carried out, in practice, at the same time that the formulation of the research problem (explained in Chapter III) is been outlined. However, the linear character of the text does not enable the simultaneous description of the REM and the research problem. In connection with 2 Moreover, thanks to the use of the provisional scheme of the REM as a reference point of view, we have been able to bring to light some types of tasks not considered by the Portuguese school system as part of the rationale of the EDC. xxii this, it is important to strengthen that the formulation of the research problem uses components of the REM and, reciprocally, the REM can be regarded as an answer to the epistemological dimension (which is the basic dimension) of the research problem. The effective construction of some of the MP based on the REM is not completely determined by the REM itself. Indeed, the net of types of tasks, questions and (partial) answers which can form a MP will strongly depend on the concrete nature of the generating question, the type of input data and the subsequent derived questions. What it is determined by the REM is the basic structure of the possible MP. In particular, one of the invariants fixed by this REM is the role of the EDC. More precisely, the work with differential models as an essential tool in the process of construction, study and use of functional models, whatever the input data are discrete or continuous. This chapter ends with the draft of an a priori ecological analysis, namely, an analysis of some of the conditions required for a school mathematical organization to integrate this type of MP. Chapter V starts with a very detailed analysis of the institutional conditions needed for the experimentation, in the degree of Nuclear Medicine, of the study and research paths (SRP) based on the REM. This analysis includes the coordination and the enlargement of the habitual curricular aims, the distribution of a study program structured by a set of problems in Nuclear Medicine, and its relationship with the mathematical paths and the types of tasks appearing in the activity diagram. The kernel of this chapter is the detailed description of an experimentation of SRP based on the REM, in particular, the reporting of the face-to-face and the online sessions. At the end, we give a global analysis of the development and the results of the experimentation. We also give some criteria to modify the design of future SRP. In particular, one of the aspects of the experimentation which might be contentious is the institution in which it has been carried out. Nevertheless, we claim that the choice of a first university year in Nuclear Medicine is coherent with the nature of the rationale attributed by our REM to the EDC in the sphere of the FM activity. Moreover, some constraints concerning needed resources we might encounter in Secondary Education can disappear in a first university year. Finally, Chapter VI describes the main contributions and open problems. xxiii The appendices go in depth certain important aspects of different sections. Thus, Appendix A presents the fundamental features of the anthropological theory of the didactic, framed in the epistemological program of the Didactic Research (Gascón, 2003). It complements the theoretical framework presented in Chapter I. Appendix B details the study of the rigidity of the school mathematical activity both in Portuguese and Spanish Secondary Education (Fonseca, 2004; Lucas, 2010; Lucas et al., 2014a, 2014b) described in section 2 of Chapter I. Appendix C, which complements Chapter II, presents some proposal for the construction of the derivative of a function as they appear in different researches in Mathematics Education. Appendix D gathers together the curricula concerning Mathematics in Portuguese Secondary Education along centuries XX and XXI. A detailed analysis of them is in section 4 of Chapter III. In Appendix E there is an exhaustive description of the empirical confirmation of the conjectures C1-C10 (EDC-FM) in the textbooks of the Portuguese Secondary Education. The corresponding global analysis, as well as the interpretation of the results, can be found in sections 5, 6 and 7 of Chapter III. Appendix F describes the algebraic construction of discrete and continuous models, presented in section 1 of Chapter IV, starting from the study of the variation of raw data. Appendix G shows all the didactic means used in the experimentation described in Chapter V with students of Nuclear Medicine (presentation of the basic notions concerning functional modelling, problematic questions given to the students, and worksheets). xxiv Introducción general La problemática que se trata en esta memoria, que se sitúa de manera inequívoca en el marco que proporciona la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD), se ubica en el nivel educativo entre la última etapa de la enseñanza secundaria y el principio de los estudios universitarios del sistema educativo portugués, aunque muchos de los hechos que expondremos, de los fenómenos que estudiaremos y de las conclusiones a las que llegaremos no están forzosamente circunscritos a este espacio institucional. El problema que nos planteamos hace referencia a una posible razón de ser del cálculo diferencial elemental (en adelante, CDE), esto es, a las cuestiones que, para ser respondidas, requieren de manera imprescindible del CDE y a las tareas que sólo pueden llevarse a cabo (de manera fiable y económica) con el concurso de las técnicas que forman parte del citado CDE. Se trata, en consecuencia, de las cuestiones y las tareas que dan sentido o, mejor, podrían dar sentido, al estudio escolar de dicho ámbito de la actividad matemática en la institución de referencia. Pero esta formulación, aparentemente clara, esconde ambigüedades que deben ser precisadas desde el principio. En primer lugar, la noción misma de cálculo diferencial elemental debe clarificarse. En esta memoria, denominamos «cálculo diferencial elemental» (CDE) al ámbito de la organización matemática escolar que bajo el nombre de «cálculo» o de «análisis» se imparte habitualmente en la última etapa de la enseñanza secundaria (en Portugal, en España y en otros muchos países) junto con algunos elementos del cálculo diferencial e integral que se imparte en el primer curso universitario de diferentes grados del sistema educativo portugués (como, por ejemplo el grado de Medicina Nuclear) y español (como, por ejemplo, los grados de Biología, Geología o Química). En la sección 4 del capítulo II se describen con precisión los componentes del ámbito que denominamos CDE en esta memoria y que, salvo la introducción elemental a las ecuaciones diferenciales, coincide prácticamente con la parte correspondiente del programa oficial de Secundaria y primeros cursos de algunos grados universitarios. 1 En segundo lugar, y este es un punto central, hemos de distinguir entre la razón de ser «oficial» que la institución escolar estipula para el CDE (las funciones que le asigna) y otras posibles razones de ser alternativas. Puede darse el caso que, en base a una investigación didáctica relativa a un cierto ámbito de la actividad matemática, se sienta la necesidad de postular una razón de ser distinta de la que le asigna el currículo oficial, lo que comportará la necesidad de modificar profundamente las cuestiones y las tareas que se suponía que daban sentido a dicho ámbito de la actividad matemática escolar (en una institución determinada). La nueva razón de ser provocará, inevitablemente, una reformulación y hasta una nueva definición, de la estructura de dicho ámbito y de su relación con el resto de las organizaciones matemáticas escolares. Éste es, de hecho, un caso bastante habitual en las investigaciones didácticas que se realizan en el marco teórico de la TAD hasta el punto que, muchas de las citadas investigaciones pueden interpretarse (aunque no sea ésta la única interpretación posible) como la asignación a cierto ámbito de la matemática escolar, por parte de un modelo epistemológico de referencia (en adelante, MER) alternativo al modelo epistemológico dominante en la institución en cuestión, de una razón de ser distinta de la que se le asigna oficialmente. Así, por ejemplo, podemos citar los siguientes ámbitos a los que se les ha asignado, en diferentes trabajos, una razón de ser alternativa: al álgebra elemental como instrumento de modelización de sistemas matemáticos o extra-matemáticos (Bolea et al., 2001; Ruiz-Munzón et al., 2012); a los límites de funciones (Barbé et al., 2005); a los negativos en el ámbito del álgebra elemental (Cid & Ruiz-Munzón, 2011); a los sistemas de numeración en el ámbito del cálculo aritmético (Sierra et al., 2007); a la proporcionalidad en el ámbito de las relaciones funcionales (García et al., 2006); a los números reales en el ámbito de las magnitudes continuas (Licera et al., 2011); y a la modelización funcional con parámetros como desarrollo del álgebra elemental (RuizMunzón et al., 2008). Digamos, por último, que la razón de ser de un ámbito de la actividad matemática, en una institución determinada, no tiene por qué ser única puesto que, entre otros motivos, diferentes razones de ser de un mismo ámbito pueden situarse en diferentes áreas o sectores de la matemática escolar. Así, por ejemplo, la razón de ser del álgebra lineal que forma parte del primer curso de múltiples grados universitarios, puede situarse en el ámbito de las geometrías lineales, de la estadística o de la programación lineal, entre otros y, además, dentro de cada uno de ellos, las cuestiones y las tareas que requieren de 2 manera imprescindible el uso de las técnicas del álgebra lineal pueden elegirse y estructurarse de diferentes formas. Es por esta razón que hablamos de una posible razón de ser (en lugar de hablar de la razón de ser) del cálculo diferencial elemental en el ámbito de la modelización funcional. A fin de enmarcar y empezar a precisar las cuestiones que forman parte del problema de investigación que trataremos en esta memoria, hemos de señalar que éste, lejos de ser un problema aislado, surge de la confluencia de tres problemáticas que han sido objeto de investigación por parte de la comunidad científica que trabaja en el marco de la TAD. Las tres problemáticas están relacionadas en mayor o menor grado con un fenómeno didáctico muy general que se pone de manifiesto en la rigidez, incompletitud relativa, desarticulación y hasta atomización de las organizaciones matemáticas escolares que viven en la enseñanza secundaria tanto española como portuguesa y, en especial, en la relación de dicho fenómeno con las restricciones que inciden sobre la génesis y el desarrollo de la actividad de modelización matemática en las citadas instituciones. Es importante subrayar, sin embargo, que éste no puede considerarse un fenómeno «uniforme» cuya naturaleza y cuyas consecuencias puedan describirse de una vez por todas y de forma similar en todos los casos. Por el contrario, en cada caso presenta características y consecuencias específicas que dependen de los contenidos matemáticos involucrados, lo que no contradice que, en todos los casos estudiados hasta la fecha, las diferentes variedades de dicho fenómeno provoquen restricciones de uno u otro tipo a la vida escolar de la modelización matemática. La primera y más básica de las problemáticas que están en el origen de nuestro problema didáctico surgió precisamente cuando se empezó a estudiar este fenómeno didáctico general que, como hemos dicho, se manifiesta en la rigidez, atomización, incompletitud relativa y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares que viven en la enseñanza secundaria (española y portuguesa) y las restricciones que dicho fenómeno comporta para la vida de la modelización matemática en el paso de Secundaria a la Universidad (Fonseca, 2004; Lucas, 2010). El desarrollo de esta línea de investigación provocó la emergencia de la problemática relativa a las restricciones que dificultan el desarrollo de la modelización matemática en el inicio de la enseñanza universitaria y la necesidad de un estudio sistemático de la ecología de la modelización matemática en el primer curso universitario. Diferentes estudios en esta dirección (Barquero, 2009; Serrano, 2013) han permitido describir algunas de las condiciones que 3 se requieren para que sea posible el desarrollo de la modelización matemática en dicho nivel educativo, detectando las principales restricciones que lo dificultan. En síntesis, estos estudios mostraron que el modelo docente habitual, que se sitúa dentro del paradigma monumentalista (Chevallard, 2013), junto al modelo epistemológico de las matemáticas que lo sustenta, constituyen una importante fuente de restricciones a la vida escolar de la modelización matemática. Estas restricciones se manifiestan, en especial, en la manera como desde dicho modelo epistemológico se interpreta la relación entre las matemáticas y las diferentes disciplinas3 en las que surgen los sistemas cuyo estudio requiere que sean modelizados matemáticamente. Dicha relación ha sido caracterizada mediante la noción de aplicacionismo (Barquero, Bosch & Gascón, 2014). La respuesta para empezar a establecer las condiciones necesarias que posibiliten la vida institucional de la modelización matemática, empieza por construir un MER estructurado como una red de praxeologías de complejidad y completitud crecientes y cuya dinámica de desarrollo viene guiada por procesos sucesivos de modelización matemática. Dicho MER asigna una razón de ser alternativa a la modelización matemática, (esto es, redefine la estructura y las funciones de la actividad de modelización matemática en el primer curso de enseñanza universitaria) y ha servido de base, en cada caso, para diseñar y experimentar diferentes recorridos de estudio e investigación (en adelante, REI) en el citado nivel educativo. La segunda problemática que confluye en el problema de investigación que nos planteamos en esta memoria surgió al estudiar un fenómeno, que puede considerarse como una manifestación específica del fenómeno general descrito anteriormente y que se revela en la llamativa desarticulación de la relación de proporcionalidad respecto del resto de relaciones funcionales que aparecen en la enseñanza secundaria obligatoria (García, 2005; García et al., 2006). Para estudiar dicho fenómeno y, al mismo tiempo, proponer una posible dirección de cambio de la estructura de las praxeologías matemáticas involucradas, los autores citados construyeron una praxeología matemática regional que articula un cierto conjunto, previamente construido, de tipos de variación elemental entre magnitudes discretas, entre las que figura la relación de proporcionalidad. 3 Los datos empíricos se han obtenido en el ámbito de los estudios universitarios de ciencias experimentales (Barquero, 2009) y de ciencias económicas y empresariales (Serrano, 2013). 4 La tercera de las problemáticas que está en el origen de nuestro problema de investigación surgió al profundizar en el estudio de la modelización funcional como desarrollo de las investigaciones sobre el proceso de algebrización de la actividad matemática y como completación del MER del álgebra elemental (Ruiz-Munzón, 2010). Fue precisamente en el ámbito de esta problemática en el que se formuló la conjetura, que llamaremos conjetura de Ruiz-Munzón, según la cual una posible «razón de ser» del cálculo diferencial, esto es, las cuestiones problemáticas que dan sentido al estudio del cálculo diferencial en la última etapa de la enseñanza secundaria, debería situarse en el ámbito de la modelización funcional. Para profundizar en el significado de la citada conjetura, proponemos una redefinición de la noción misma de «modelización funcional» (en adelante MF) que amplía en gran medida, al tiempo que detalla y precisa los tipos de tareas que forman parte de la actividad de MF. Esta nueva caracterización de la MF se materializa esquemáticamente en el diagrama de actividad de MF (que figura en la sección 2 del capítulo III) y se desarrolla con todo detalle en el capítulo IV. En consecuencia, la actividad matemática que consideramos involucrada en nuestro problema didáctico incluirá, junto al cálculo diferencial elemental (caracterizado al final del capítulo II), las actividades de MF tal como las hemos redefinido mediante el citado diagrama de actividad. Es preciso señalar que las decisiones que hemos tomado, tanto en lo referente al recorte institucional (el paso de la Secundaria a la Universidad en el sistema educativo portugués), como en lo que respecta al recorte de los contenidos de la actividad matemática que tomaremos en consideración, no son neutrales ni intrascendentes. Estas decisiones, como cualesquiera otras que hubiésemos podido tomar, condicionan en gran medida el tipo de problema didáctico que podremos formular y, simultáneamente, la naturaleza del MER que proponemos. Una vez descritas brevemente las tres problemáticas que convergen en esta memoria, formularemos de una forma sintética la relación que establecemos con cada una de ellas. (1) El análisis a posteriori de la experimentación que hemos llevado a cabo de diversos REI sustentados en el MER muestra que la redefinición de la MF que dicho MER propone, junto a la razón de ser que asigna al CDE en dicho ámbito, constituyen condiciones que favorecen la vida de la MF en el inicio de la enseñanza universitaria y, más concretamente, en un primer curso de Medicina Nuclear. Dicho 5 análisis ecológico ha puesto de manifiesto, asimismo, algunas de las restricciones que dificultan en una u otra forma el desarrollo normal de dicha actividad. Estos resultados deben considerarse como una aportación en la línea de la primera y más básica de las problemáticas citadas, esto es, un aporte al estudio de la ecología de la modelización matemática (en nuestro caso se trata, específicamente, de la MF desarrollada con ayuda del cálculo diferencial elemental) en un primer curso de estudios universitarios. (2) Relacionado con la segunda de las problemáticas citadas (la desarticulación entre la relación de proporcionalidad y el resto de relaciones funcionales) hemos estudiado el fenómeno específico de la desarticulación escolar entre el CDE y la MF. Hemos indagado la evolución histórica del papel del CDE en la enseñanza secundaria portuguesa, el origen transpositivo de dicho fenómeno, las condiciones que lo mantienen y sus principales consecuencias didácticas. Aunque se trata de dos fenómenos distintos, podemos decir que, en cierto sentido, nuestros resultados generalizan los obtenidos en García (2005) puesto que los REI diseñados y experimentados en esta memoria incluyen la caracterización y construcción de un conjunto más amplio de tipos de variación funcional entre magnitudes continuas y abordan explícitamente la problemática del paso de la variación entre magnitudes discretas a la variación entre magnitudes continuas. (3) En cuanto a la tercera de las problemáticas descritas, los resultados de la experimentación confirman la verosimilitud de la conjetura de Ruiz-Munzón, con la condición de reinterpretarla de acuerdo con el nuevo significado de la noción de MF que proporciona nuestro MER (y que contiene, en particular, las funciones asignadas al CDE). En efecto, mediante el desarrollo de una actividad matemática concreta, se ha puesto de manifiesto el alcance y el significado de la citada conjetura y, sobre todo, se ha mostrado en qué sentido puede afirmarse que la razón de ser (o, mejor, una posible razón de ser) asignada al CDE puede situarse en el ámbito de la MF y qué consecuencias acarrea dicha asignación. Centrándonos ahora en la estructura formal de la memoria, vemos que ésta se divide en seis capítulos más los correspondientes anexos. En el capítulo I se hace una síntesis de los principales antecedentes de este trabajo, empezando por las numerosas investigaciones que, desde diversos enfoques didácticos, analizan la contraposición entre la rigidez de la actividad matemática escolar y la 6 necesaria flexibilidad de la actividad matemática considerada como «genuina» o «funcional» porque está encaminada a responder a cuestiones problemáticas que emergen en las diferentes instituciones sociales. Como culminación de esta síntesis se resumen muy brevemente los principales resultados obtenidos en el marco de la TAD relativos al fenómeno didáctico de la rigidez, atomización e incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares. Se subraya la importancia de la actividad de modelización matemática como instrumento de articulación de las organizaciones matemáticas y el papel de los REI como respuesta a las restricciones que dificultan el desarrollo de la modelización matemática en las instituciones escolares. El capítulo se completa con la descripción de las otras dos problemáticas que están en el origen de nuestro problema de investigación y que se han descrito brevemente al principio de esta introducción general. En el capítulo II se expone una panorámica del tratamiento que ha recibido el problema didáctico del cálculo diferencial en algunas de las principales investigaciones en Educación Matemática. Con el objetivo de mostrar las relaciones entre las diversas investigaciones y el problema que se trata en esta memoria, se pone especial atención en la forma como se ha tratado la problemática del cálculo diferencial en el paso de Secundaria a la Universidad y en las relaciones que las diversas investigaciones didácticas propugnan entre éste y la modelización funcional en dicho nivel educativo. Una de las principales conclusiones de este análisis panorámico puede resumirse afirmando que muchas de las investigaciones didácticas analizadas tienden a asumir (sin cuestionarla) la razón de ser oficial del cálculo diferencial, esto es, la que le asigna el sistema escolar. El capítulo concluye con una caracterización de lo que a partir de este punto consideraremos en esta memoria como cálculo diferencial elemental y abreviaremos mediante las siglas CDE. El capítulo III se inicia explicando la inevitable simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de referencia y el problema didáctico asociado y describiendo los rasgos fundamentales o criterios generales que deberá cumplir un MER que asigne al CDE la razón de ser alternativa que propugnamos (en el ámbito de la MF) y que, postulamos, posibilitará el desarrollo institucional de esta actividad. Hemos utilizado este esbozo esquemático de MER como sistema de referencia provisional para describir, por contraste, la razón de ser «oficial» que el sistema escolar asigna al CDE y, también, para empezar a caracterizar la actividad de MF tal como la 7 redefinimos en esta memoria. En concreto, proponemos un diagrama de actividad que esquematiza, a priori, los principales tipos de tareas que forman parte de la que entendemos como actividad de MF así como las relaciones entre ellas. Este diagrama de actividad es un «mapa» que pretende incluir (y relacionar entre sí) el conjunto de los recorridos matemáticos que son posibles a priori cuando se lleva a cabo una actividad de MF, integrando en dichas actividades las funciones que proponemos debe jugar el CDE. Se trata, en consecuencia, de una versión todavía muy esquemática del MER alternativo que proponemos. El MER es una hipótesis científica que se construye de manera simultánea a la formulación progresiva del problema didáctico y que, de hecho, al mostrar «en vivo» la razón de ser alternativa que propugnamos para el CDE en el ámbito de la MF, pone de manifiesto (saca a la luz) los aspectos más relevantes del fenómeno de la desarticulación específica entre el CDE y la MF que estamos estudiando y sugiere algunas de sus consecuencias. Como hemos señalado anteriormente en este capítulo no se construye todavía un MER que cumpla dichas condiciones, únicamente se detallan las condiciones generales que debe cumplir y se hace un esquema de su estructura global. A su vez, hemos utilizado el esquema de MER para formular el problema de investigación didáctica que abordamos en esta memoria (que figura en la sección 3) y, en parte, para interpretar la evolución histórica del papel que ha jugado el CDE en la enseñanza secundaria portuguesa (sintetizada en la sección 4 de este capítulo). Tomando como referencia el citado esquema de la estructura del MER hemos formulado y contrastado empíricamente diez conjeturas relativas a diferentes aspectos de la incompletitud y la desarticulación del CDE y la MF (en la última etapa de la enseñanza secundaria). La interpretación de estos resultados junto con los datos proporcionados por el análisis exhaustivo de los documentos curriculares oficiales portugueses (junto a los españoles) nos ha permitido describir e interpretar la razón de ser oficial del CDE en términos de los tipos de tareas y de cuestiones que el currículo portugués propone para dar sentido a su estudio (en el paso de Secundaria a la Universidad) y analizar en qué medida dichas tareas y cuestiones se sitúan en el ámbito de la MF4 (estos resultados figuran en la sección 8). 4 Además, gracias a la utilización como sistema de referencia del esquema provisional del MER, hemos podido sacar a la luz algunos de los tipos de tareas y de las cuestiones que el sistema escolar portugués no considera que formen parte de la razón de ser del CDE. 8 En coherencia con el fenómeno de rigidez y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares (confirmado ampliamente en esta memoria), estas tareas aparecen desconectadas entre sí, como si se tratase de tareas independientes, y las técnicas asociadas son muy estereotipadas. El análisis de esta razón de ser «oficial» ha puesto de manifiesto que, paradójicamente, algunas de las tareas que según el currículo oficial dan sentido al CDE, no se interpretan en la matemática escolar, aunque lo sean, como actividades útiles en alguna etapa de un hipotético proceso de MF. En consecuencia, la razón de ser oficial que el sistema educativo asigna explícitamente al CDE en este nivel educativo está aún más alejada de la MF de lo que la práctica matemática escolar que se lleva a cabo efectivamente permitiría interpretar. El capítulo finaliza con una breve descripción del fenómeno didáctico que denominamos de la falta de visibilidad escolar de la MF y de la correspondiente ausencia de una posible razón de ser del CDE. En el capítulo IV se caracterizan los tipos de variación que consideraremos en la construcción de modelos funcionales, tanto si éstos se construyen a partir de datos discretos como si parten de datos continuos. El núcleo de este capítulo lo constituye la construcción explícita y detallada de algunos recorridos matemáticos (RM) a priori que encarnan el MER. Esta construcción se lleva a cabo, en la práctica de la investigación didáctica, al tiempo que se va perfilando la progresiva formulación del problema de investigación (explicitado en el capítulo III), pero el carácter lineal del texto de la memoria no permite obviamente la descripción simultánea del MER y del problema didáctico. Es importante subrayar, sin embargo, que en la formulación del problema de investigación (que figura en la sección 3 del capítulo III) se utilizan de forma esencial componentes del MER y, recíprocamente, el MER puede considerarse como una respuesta a la dimensión epistemológica (que es la dimensión básica) del problema didáctico. La construcción efectiva y material de algunos de los RM posibles sustentados en el MER no está completamente determinada por éste puesto que la arborescencia de tareas, cuestiones (y elementos de respuesta) en las que puede materializarse un RM dependerá de la naturaleza concreta de la cuestión generatriz, del tipo de datos de los que se parta y de las sucesivas cuestiones derivadas. Lo que sí está determinado por el MER es la estructura básica de los diferentes RM posibles. En particular, uno de los 9 invariantes que este MER determina es el papel del CDE y, en particular, el trabajo con modelos diferenciales como un instrumento esencial en el proceso de construcción, estudio y utilización de modelos funcionales, tanto si se parte de datos discretos como si los datos iniciales son continuos. Este capítulo concluye con el esbozo de un análisis ecológico a priori, esto es, un análisis de algunas de las condiciones que debería cumplir la organización matemática escolar para integrar este tipo de RM. El capítulo V se inicia con un análisis muy detallado de las condiciones institucionales que requiere la experimentación en el grado de Medicina Nuclear de recorridos de estudio e investigación (REI) sustentados en el MER. Este análisis incluye la coordinación y ampliación de los objetivos programáticos habituales, la distribución del programa de estudio estructurado por problemas de Medicina Nuclear y su relación con los recorridos matemáticos y con las tareas del diagrama de actividad. El diseño a priori de los REI requiere la distribución del programa de estudio en unidades didácticas y la planificación del desarrollo de éstas mediante la articulación de los procesos de estudio de los dos problemas básicos de Medicina Nuclear que se pretenden estudiar. Precisamente una de las características de la experimentación descrita en este capítulo consiste en poner de manifiesto la posibilidad de recubrir ampliamente el curso de cálculo de Medicina Nuclear. El núcleo de este capítulo está formado por una descripción muy detallada de la evolución de las sesiones presenciales, completada con las actividades llevadas a cabo en las sesiones virtuales. Esta descripción culmina con el análisis global del desarrollo y de los resultados de la experimentación, con una evaluación de diferentes aspectos de la experimentación y con la explicitación de algunos criterios de modificación del diseño de los REI para tener en cuenta en futuras experimentaciones. En particular, uno de los aspectos de la experimentación que podría ser cuestionado es el de la institución en la que se ha llevado a cabo. Postulamos que la decisión de llevar a cabo la experimentación en un primer curso universitario de Medicina Nuclear es coherente con la naturaleza de la razón de ser que nuestro MER asigna al CDE en el ámbito de la MF. Consideramos que para que sea razonable situar determinados contenidos matemáticos en cierto nivel educativo, es imprescindible que se den las condiciones de todo tipo para que los alumnos en cuestión puedan llevar a cabo las tareas que se requieren para 10 responder a las cuestiones que constituyen la razón de ser que asignamos a dichos contenidos. En nuestro caso, y dado que el MER que proponemos sitúa la razón de ser del CDE en el ámbito de la MF, se requiere que los alumnos dispongan de los medios para trabajar en este ámbito utilizando el CDE en la forma que el MER propone. Estos medios no están actualmente disponibles en la enseñanza secundaria portuguesa pero, como hemos mostrado, mediante algunas modificaciones curriculares, pueden estarlo en el primer curso universitario. Digamos, para concluir esta introducción general, que el capítulo VI se dedica a describir brevemente las principales aportaciones y los problemas abiertos más relevantes que emergen de este trabajo. La memoria se completa con unos anexos que profundizan en la explicación de determinados aspectos que son relevantes en las diferentes secciones. Así, el anexo A recoge algunos fundamentos y características de la teoría antropológica de lo didáctico encuadrada dentro del programa epistemológico de investigación en didáctica (Gascón, 2003) y complementa la presentación del marco teórico que se presenta en el capítulo I de esta memoria. El anexo B detalla el estudio de la rigidez de la actividad matemática escolar en la Secundaria portuguesa y española (Fonseca, 2004; Lucas, 2010; Lucas et al., 2014a, 2014b) cuya síntesis se describe en la sección 2 del capítulo I. El anexo C presenta algunas propuestas de otras investigaciones didácticas para la construcción de la derivada y es un suplemento del capítulo II. El anexo D resulta de una recolección de los currículos de las matemáticas en la enseñanza secundaria portuguesa a lo largo del siglo XX y XXI cuyo análisis detallado se presenta en la sección 4 del capítulo III. En el anexo E se lleva a cabo una descripción exhaustiva de la contrastación empírica de las conjeturas C1-C10 (CDE-MF) en los manuales escolares de la enseñanza secundaria portuguesa cuyo análisis global, así como la correspondiente interpretación de los resultados, se presenta en las secciones 5, 6 y 7 del capítulo III. El anexo F describe la construcción algebraica de modelos discretos y continuos presentados de forma sucinta en la sección 1 del capítulo IV a partir del estudio de la variación de los datos brutos. El anexo G presenta todos los medios didácticos utilizados en la experimentación descrita en el capítulo V con estudiantes de Medicina Nuclear (presentación de las nociones básicas de la modelización funcional, cuestiones problemáticas y fichas de trabajo). 11 12 Capítulo I Antecedentes: condiciones que inciden sobre el desarrollo de la modelización matemática en el paso de Secundaria a la Universidad El marco teórico y metodológico que sustenta la investigación que se describe en esta memoria es la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD) (Chevallard, 1999, 2006, 2012; Chevallard, Bosch & Gascón, 1997; Bosch & Gascón, 2006). Dado que se trata de una teoría suficientemente conocida en la comunidad didáctica, utilizaremos los principales instrumentos que dicha teoría nos aporta, acompañándolos de las referencias pertinentes en cada caso. En el anexo A presentamos una breve explicación del significado y alcance de dichos instrumentos. En este capítulo presentaremos los principales antecedentes de nuestro trabajo. El primero de dichos antecedentes tiene relación con el problema de la rigidez de la actividad matemática escolar en contraposición a la necesaria flexibilidad que múltiples investigadores, entre los que pueden citar a Dreyfus, Dubinsky, Sfard, Tall, Artigue, Ponte y Matos, entre muchos otros, reclaman como una condición necesaria para que los alumnos puedan llevar a cabo una actividad matemática genuina. En el ámbito de la TAD y en relación con dicho problema citaremos los trabajos de Fonseca (2004) y Lucas (2010) que caracterizan la rigidez, desarticulación e incompletitud de la matemática escolar y los de Barquero (2009) y Serrano (2013) que estudian la ecología de la modelización matemática en el paso de Secundaria a la Universidad. Otros dos antecedentes importantes de nuestro trabajo son: el estudio de la desarticulación de la proporcionalidad del resto de relaciones funcionales en Secundaria (García, 2005) y la estructuración de la modelización funcional en tres niveles (Ruiz-Munzón, 2010) que comportó la formulación de la que denominamos conjetura de Ruiz-Munzón. 13 1. Rigidez de la actividad matemática escolar y pensamiento matemático flexible El fenómeno de la rigidez y sus diferentes manifestaciones han sido estudiados por diferentes teorías didácticas que se sitúan dentro del enfoque cognitivo (Gascón 1998, 2003) utilizando la noción de actividad matemática flexible, autónoma y abierta (en contraposición a rígida, dirigida y rutinaria). En el ámbito de estos enfoques, el origen de la problemática se sitúa en la constatación de las dificultades, contradicciones, confusiones y obstáculos cognitivos que aparecen en la transición del Elementary Mathematical Thinking (EMT) al Advanced Mathematical Thinking (AMT). A principios de la década de los 90 del siglo pasado se puso de manifiesto que dicha transición no puede ser explicada únicamente en base a dificultades en el aprendizaje formal de conceptos matemáticos, sino que había que poner especial énfasis en el nuevo tipo de razonamiento matemático asociado. Tommy Dreyfus constató que los alumnos de primaria y secundaria aprenden, en los cursos de matemáticas, un gran número de procedimientos estandarizados y una gran cantidad de conocimientos, pero casi nada de la metodología de trabajo de los matemáticos. En particular, los alumnos no aprenden a usar sus conocimientos matemáticos de una manera flexible para resolver problemas de un tipo desconocido para ellos (Dreyfus, 1991). La noción de pensamiento matemático flexible puede describirse a partir de nociones más primitivas que Tall toma originariamente de Piaget (1972) y de trabajos que interpretan la obra de éste, como son los de Dubinsky (1991, 1996), Sfard (1989, 1991), Harel y Kaput (1991). Dichas nociones son las de procesos mentales (o sistemas de acciones interiorizados) y conceptos producidos por la encapsulación de procesos. Los conceptos así obtenidos son objetos sobre los que puede aplicarse, a su vez, un sistema de acciones que puede ser de nuevo interiorizado y dar lugar a un proceso mental de nivel superior susceptible de ser, de nuevo, encapsulado en un concepto de orden superior y así sucesivamente. Gray y Tall (1994) denominan “procept” a la combinación de proceso y concepto producido por el proceso, los cuales son representados conjuntamente por un mismo símbolo matemático, poniendo así de manifiesto la naturaleza dual de los objetos matemáticos y el papel que juega el simbolismo matemático en la encapsulación (de procesos en objetos) (Tall, 1996). 14 Las tres nociones básicas del Cálculo: “función”, “derivada” e “integral” (así como la noción fundamental de “límite”) son ejemplos de procepts. El estudio del Cálculo Elemental requerirá por tanto, desde el principio, la suficiente flexibilidad para manipular un mismo símbolo ya sea como representante de un proceso que actúa sobre determinados objetos, o de una entidad singular a la que se le pueden aplicar otros procesos para obtener nuevos objetos. La potencia del AMT radica, precisamente, en la utilización flexible de la estructura dual de los citados objetos matemáticos (y de los que se construyen a partir de ellos) posibilitada, en parte, por la ambigüedad de la notación que se utiliza. La rigidez de los procedimientos estandarizados que caracterizan el EMT constituye, por tanto, un obstáculo cognitivo muy importante y explica muchos de los errores conceptuales extravagantes (Dreyfus, 1991) que presentan la inmensa mayoría de estudiantes en su primer encuentro con el Cálculo. En relación a este problema, Silva, Veloso, Porfírio y Abrantes (1999) indican que el aprendizaje de las matemáticas debe proporcionar oportunidades para que los alumnos se involucren en una actividad matemática genuina. Enfatizan que las investigaciones matemáticas deben ocupar un lugar destacado en el aprendizaje puesto que permiten la formulación de conjeturas, la evaluación de su plausibilidad, la selección de las contrastaciones adecuadas para su validación o exclusión, permiten buscar argumentos que demuestren las conjeturas que se resisten a las sucesivas pruebas y proponer nuevas cuestiones para investigar. Así, proponen la creación de un contexto de clase propicio al diálogo, en que el profesor plantea buenas cuestiones para iniciar un trabajo práctico a partir de la información mínima. Se pretende que, después de alguna discusión, los alumnos inicien formas de trabajo de tipo exploratorio, formulación de problemas, investigaciones o pequeños proyectos que el profesor acompaña e incentiva, asumiendo en un momento posterior la coordinación, la sistematización del trabajo desarrollado y la formalización de los aspectos matemáticos inherentes. La visión tradicional, que no es cuestionada por el currículo actual, presenta una matemática rígida en la que las definiciones tienen un carácter absoluto y, por tanto, presenta un carácter opuesto al que las tareas de investigación pueden vehicular. Podemos, en resumen, identificar dos aspectos en el actual contexto de la aprendizaje de la Matemática que dificultan la utilización regular de tareas de investigación: el gran número y dimensión de los contenidos curriculares y el mensaje implícito sobre la naturaleza de la matemática que se trasmite por los programas actuales y por las prácticas de evaluación habitualmente utilizadas (Silva et al., 1999). 15 De acuerdo con João da Ponte y João Matos consideramos (y mostraremos que esta afirmación puede sustentarse empíricamente) que muchas de las dificultades que presentan los alumnos para trabajar con “tarefas de investigação” y, en particular, para plantear cuestiones pertinentes en el desarrollo de dichas tareas, provienen del carácter formal de la matemática escolar y de la forma como ésta está organizada: [...] ensinam-se ‘respostas’ sem dar a mínima importância às 'questões' que as originam ou à forma como foram alcançadas” (Ponte & Matos, 1996, p. 123). Para estos autores, la forma como los alumnos conciben las representaciones y notaciones matemáticas adecuadas a las situaciones o fenómenos que les son presentados es un elemento fundamental para la realización de investigaciones. Muchas veces, los alumnos manifiestan tener dificultad en concebir alguna representación, no conciben las más adecuadas, o “saltan” entre diferentes representaciones, lo que les crea serias dificultades en la realización de la tarea propuesta. En el mismo sentido, Michèle Artigue (1998a, 1998b) considera que la flexibilidad en el uso de diversos registros de representaciones (gráficas, simbólicas, lenguaje natural, gestuales,…), así como la flexibilidad en la articulación sistemática de diferentes interpretaciones de un mismo objeto matemático son condiciones esenciales para desarrollar una actividad matemática genuina. Las instituciones educativas deberían tomar bajo su responsabilidad el trabajo de posibilitar y potenciar la articulación de los diversos registros de representación y las diferentes interpretaciones de los objetos matemáticos, puesto que, cuando dicha articulación se deja al trabajo privado del estudiante, las posibilidades de fracaso son grandes. En particular Artigue afirma, de acuerdo con Tall (1996), que las tecnologías informáticas, si se utilizan adecuadamente, pueden jugar un papel decisivo en el desarrollo de articulaciones flexibles y en el equilibrio entre los registros algebraico y gráfico. En lo que sigue, utilizando las herramientas que nos proporciona la TAD, analizaremos detalladamente algunos aspectos de la matemática escolar con el objetivo de aportar una base empírica que sustente y permita precisar la hipótesis (compartida, como hemos visto, por múltiples investigadores) según la cual la matemática escolar en la enseñanza secundaria está organizada de forma rígida y atomizada, lo que dificulta enormemente el progreso de una actividad matemática genuina por parte de los alumnos y, en especial, obstaculiza el desarrollo de la actividad de modelización matemática. Además, nuestro trabajo pretende apoyar con datos empíricos que esta rigidez e 16 incompletitud de las matemáticas escolares constituye un fenómeno didáctico de carácter institucional (antes que personal) relativamente independiente de las características personales de los sujetos del proceso didáctico (alumnos y profesores) y hasta de las culturas pedagógicas en las que éstos están inmersos. 2. El fenómeno didáctico general de la atomización, rigidez e incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares En un trabajo anterior de Cecilio Fonseca se pone de manifiesto la atomización de las organizaciones matemáticas y la rigidez en el tipo de tareas y de técnicas que los alumnos utilizan en la enseñanza secundaria española, mostrando la ausencia escolar del cuestionamiento tecnológico de las técnicas matemáticas, esto es, la ausencia institucional de un análisis del coste, la fiabilidad y el dominio de validez de las técnicas que se utilizan para realizar una tarea, lo que constituye una condición esencial para flexibilizar la actividad matemática escolar (Fonseca, 2004; Bosch, Fonseca & Gascón, 2004). Así, en la enseñanza secundaria, las matemáticas surgen como una secuencia de conocimientos puntuales que consisten básicamente en aplicar técnicas predeterminadas a un cierto tipo de problemas, después de una presentación teórica descriptiva por parte del profesorado. En esta presentación pocas veces se cuestiona la necesidad de justificar la técnica utilizada para llevar a cabo la actividad matemática, ni tampoco, cuál es el dominio de validez de dicha técnica. Para empezar a estudiar este fenómeno y proporcionar una base empírica al supuesto carácter atomizado y rígido de las organizaciones o praxeologías matemáticas escolares (en adelante, OM), se proponen y se contrastan empíricamente cinco conjeturas específicas relativas a la actividad matemática escolar en Secundaria (Fonseca, 2004, p. 45-48) C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado obtenido C3. Cada tarea está asociada a una técnica privilegiada 17 C4. No hay reversión de las técnicas para realizar la tarea matemática “inversa” C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización Posteriormente en Lucas (2010) y Lucas et al. (2014a, 2014b) se muestra hasta qué punto y en qué sentido el fenómeno didáctico-matemático de la desarticulación, rigidez e incompletitud de las OM escolares es generalizable más allá de las instituciones escolares españolas. Para el contraste experimental de dichas conjeturas en los sistemas educativos portugués y español se eligieron tres tipos de datos empíricos como indicadores de las características de las OM que se reconstruyen en ambas instituciones: 1) Los programas oficiales y respectivos diseños curriculares de las matemáticas, en particular, del 3º ciclo y la enseñanza secundaria portuguesa y de la enseñanza secundaria obligatoria y bachillerato del sistema escolar español. 2) Las respuestas de una muestra de estudiantes de matemática de escuelas portuguesas y españolas a las tareas matemáticas propuestas en un cuestionario. 3) Los datos obtenidos del análisis de los tipos de tareas que propone una muestra de manuales escolares aprobados oficialmente por las autoridades educativas portuguesa y española para su uso en los citados niveles educativos. Estos datos pueden considerarse la “respuesta de los libros de texto” al citado cuestionario. Es importante subrayar que el objeto de estudio, cuando analizamos las respuestas al cuestionario, no son los conocimientos matemáticos de los estudiantes, sino el tipo de tareas y de técnicas institucionales que se proponen en el estudio de la actividad matemática de secundaria. De una forma general, los datos empíricos obtenidos en ambos estudios ponen de manifiesto que la atomización, la rigidez y la consiguiente incompletitud de las OM de la enseñanza secundaria constituyen un fenómeno didáctico relativamente independiente del profesor y de la cultura pedagógica del alumno. Incluso las diferencias más significativas entre las respuestas de los estudiantes de España y de Portugal (y que, en todo caso, son marginales) se explican principalmente a partir de diferencias en los currículos y en los libros de texto de los dos sistemas escolares. Los tipos de tareas 18 analizadas, así como un análisis detallado de los resultados obtenidos, pueden ser consultados en el anexo B de esta memoria que es una síntesis del trabajo desarrollado en Lucas (2010). En resumen, el análisis de los resultados nos permite concluir que hay una relación directa entre la baja frecuencia de determinadas tareas en los libros de texto y el pobre porcentaje de respuestas correctas de los estudiantes a los ítems relacionados con dichas tareas. Observamos así que alumnos con culturas, sociedades y tradiciones distintas y también, con niveles de enseñanza diferentes, manifiestan un comportamiento similar al contestar un cuestionario que pretende analizar el grado de incompletitud y atomización de ciertas organizaciones matemáticas, lo que nos lleva a creer que el tipo de actividad matemática que se propone en los sistemas escolares de Portugal y en España tiene muchos rasgos comunes. Sintetizamos a continuación dichos rasgos: En el primer aspecto de la rigidez de las matemáticas en la enseñanza secundaria, correspondiente a la conjetura C1, concluimos que las técnicas que se utilizan dependen fuertemente de la nomenclatura, porque basta modificar en el cuestionario el símbolo representativo de la incógnita por otro menos habitual para que el número de respuestas incorrectas y en blanco de los estudiantes aumente considerablemente. Correlativamente verificamos que los resultados obtenidos en la primera conjetura están de acuerdo con la escasez de ejercicios propuestos en los libros de texto que permiten que el alumno manipule una determinada técnica utilizando nomenclaturas no usuales. De este modo, concluimos que las técnicas matemáticas se tienden a identificar con los objetos ostensivos, símbolos, palabras, gráficos y gestos (Bosch, 1994) que se utilizan para describirlas y para aplicarlas. Esta uniformidad en la nomenclatura provocará un gran obstáculo para los estudiantes de matemáticas en el primer curso universitario. Un segundo aspecto de la rigidez de las OM está relacionado con el hecho de que el conjunto de normas que regulan la distribución de responsabilidades entre el profesor y los estudiantes de Secundaria no asigna a éstos (ni siquiera de forma compartida) la responsabilidad de interpretar el resultado obtenido después de aplicar una determinada técnica matemática. Los datos muestran que los alumnos manifiestan dificultades en las tareas en que interviene el bloque tecnológico-teórico de las praxeologías y, en particular, cuando la tarea requiere la interpretación de la actividad matemática. Dichos datos apoyan asimismo, la hipótesis de que la actividad matemática que se lleva a cabo en Secundaria, tanto en Portugal como en España, es esencialmente práctico-técnica y 19 raramente alcanza el nivel tecnológico (en el sentido de la TAD)5. Por otro lado, los datos que nos proporcionan los libros de texto en relación con la segunda conjetura confirman que en Secundaria no existen, prácticamente, tareas institucionalizadas que tengan por objetivo interpretar el funcionamiento o el resultado de una técnica. Un tercer aspecto de la rigidez de las praxeologías u OM correspondiente a la conjetura C3, se resume en la existencia de una única técnica privilegiada asociada a cada tipo de tareas matemáticas. Significa que el contrato didáctico no permite que el alumnado asuma la responsabilidad de decidir, de entre las diversas técnicas útiles para resolver una tarea, cuál es la más económica o la más fiable. Este fenómeno provoca la atomización de las diversas tareas. En varios casos, para realizar una determinada tarea, los estudiantes no utilizaron la técnica con menor coste lo que provocó errores de cálculo y respuestas incorrectas. También en este caso, los datos empíricos extraídos de los manuales escolares permiten explicar por qué los alumnos no comparan nunca el coste de dos técnicas diferentes para decidir cuál es la más adecuada en cada caso, puesto que ésta es una actividad prácticamente ausente de los manuales escolares. Observamos que no forma parte de la responsabilidad matemática asignada al alumno el invertir una técnica para resolver la tarea inversa. Los enunciados referentes a tareas no habituales presentan una gran dificultad para el estudiante. Basta cambiar, por ejemplo, la determinación de las soluciones de una ecuación por la determinación de la ecuación conociendo las soluciones para que el número de respuestas correctas decrezca muy significativamente. Esta incapacidad para invertir las técnicas representa el cuarto aspecto de la rigidez de las organizaciones matemáticas de Secundaria. Otra vez podemos verificar que los datos empíricos extraídos de los manuales escolares permiten dar cuenta de la razón por la cual los alumnos no son capaces de invertir una técnica matemática para abordar la tarea inversa. Este hecho puede considerarse como un aspecto particular de la incapacidad del sistema escolar y, por tanto, de los alumnos, de modificar ligeramente una técnica (esto es, de utilizarla de manera flexible) cuando la tarea lo requiere. 5 En la TAD se denomina discurso tecnológico relativo a una técnica a un discurso matemático razonado que permite describir, interpretar y justificar dicha técnica. Se trata, junto a la teoría, de uno de los componentes del logos que junto a la praxis, constituida por los tipos de tareas y las técnicas estructuran las praxeologías (= praxis + logos). La tecnología es también un instrumento para modificar las técnicas y hasta para construir técnicas nuevas. 20 Por último, y muy importante, se vuelve a constatar la baja frecuencia de situaciones de modelización en los libros de texto y, consecuentemente, la dificultad del alumnado para responder a las cuestiones que envuelven la construcción y la manipulación de modelos que traduzcan situaciones reales. Esta observación representa el quinto aspecto de la rigidez de las matemáticas de la Enseñanza Secundaria. El principal indicador del grado de completitud de una OM local lo constituye precisamente la existencia de tareas matemáticas “abiertas”. Su importancia como indicador de la completitud proviene del hecho de que la existencia de tareas abiertas presupone cierto grado de flexibilidad de las técnicas y, además, presupone que las organizaciones matemáticas puntuales han alcanzado cierto grado de articulación. No obstante, observando los resultados empíricos, tanto de los libros de texto como del cuestionario, concluimos que las OM escolares analizadas no satisfacen ninguno de los indicadores de completitud relativa descritos en Bosch, Fonseca y Gascón (2004, pp. 215-220) y, en consecuencia, podemos afirmar que la estructura de las OM escolares no presenta las condiciones necesarias para llevar a cabo la exploración de tareas abiertas con la posibilidad de perturbar el sistema inicial modificando los valores asignados a los datos e incluso incluyendo nuevos datos (datos parametrizados). Esta situación provoca restricciones ecológicas que hacen prever obstáculos importantes para el desarrollo de la actividad de modelización matemática. Las conclusiones de las investigaciones citadas apuntan la necesidad de que sean las propias instituciones docentes las que asuman la responsabilidad de reconstruir organizaciones matemáticas locales relativamente completas (Fonseca, 2004) que permitan flexibilizar e integrar las OM que se estudian en Secundaria. En el capítulo III de esta memoria describiremos una extensión de estas investigaciones mediante la formulación de diez conjeturas que tienen por objetivo contrastar empíricamente el grado de rigidez, desarticulación e incompletitud de las praxeologías matemáticas escolares en torno al cálculo diferencial elemental y la modelización funcional en Secundaria y, en particular, analizar cómo incide este fenómeno en la génesis y el desarrollo potencial de la modelización funcional en el paso de Secundaria a la Universidad. 21 3. La modelización matemática como instrumento de articulación y completación relativa de las organizaciones matemáticas 3.1. La noción de modelización matemática en el ámbito de la TAD Con el objetivo de discernir las consecuencias matemático-didácticas de la integración de la modelización matemática en las instituciones escolares, es imprescindible precisar qué se entiende por “modelización matemática” en la TAD. Según Barquero (2009), la forma de interpretar la modelización matemática en la TAD, supone reinterpretar y reformular los procesos de modelización para situarlos dentro de un modelo epistemológico general de la construcción y difusión institucional de los conocimientos matemáticos. Esta reinterpretación se basa en un análisis epistemológico del papel de la modelización en la actividad matemática y modifica varios aspectos importantes de la forma cómo se utiliza habitualmente la noción de “modelización matemática” en el ámbito de la Educación Matemática. Las aportaciones más importantes de la TAD en cuanto a la forma de interpretar la modelización matemática son las siguientes: (a) Se integra la modelización intramatemática en la noción de “modelización” La TAD propone una interpretación del proceso de modelización matemática que no sólo puede aplicarse indistintamente a todo tipo de sistemas (intramatemáticos o extramatemáticos) sino que incluso permite cuestionar la presuntamente nítida distinción entre unos y otros puesto que, todo proceso de modelización matemática (aunque el sistema inicial sea extra-matemático) acaba conteniendo etapas de modelización intramatemática (Serrano, Bosch & Gascón, 2010). Así, se incluyen los procesos que se llevan a cabo para responder a cuestiones problemáticas que surgen en un sistema matemático (como, por ejemplo, un sistema aritmético, geométrico o topológico) cuya resolución requiere la construcción de un modelo matemático (que puede ser algebraico, analítico o de cualquier otro tipo) y el trabajo en dicho modelo. (b) Se interpreta la modelización matemática como un instrumento de articulación de la actividad matemática escolar 22 La mayor parte de los trabajos que se llevan a cabo en el dominio de investigación “modelización y aplicaciones” se centran, o bien en un nivel puntual de las cuestiones aisladas (problemas de “aplicación”), o bien, consideran la modelización como una competencia matemática general situándola, por lo tanto, en el nivel disciplinar de la matemática escolar como un todo (Niss, 2002; Michelsen, 2006). En cualquier caso no aparece claramente la relación entre las actividades de modelización y los temas, sectores o áreas del currículo de matemáticas. Lo anterior significa que la noción de “modelización matemática” que se desprende y que se utiliza en el citado ámbito de investigación no considera los “niveles intermedios” de la escala de codeterminación didáctica (Chevallard, 2001, 2002a, 2002b, 2007) que estructuran la matemática escolar y que están situados entre el nivel más específico de las cuestiones puntuales y la disciplina matemática considerada como un todo. Por su parte, la TAD describe la modelización matemática como un proceso de construcción y reconstrucción de organizaciones matemáticas de complejidad y completitud crecientes (puntuales, locales, regionales) que parte de una cuestión problemática que constituye la “razón de ser” de dicho proceso. (c) Los modelos matemáticos como “máquinas”. Crítica y rechazo de la ilusión representacionista Culturalmente se interpreta el modelo como “representación” o “imagen” del sistema que se pretende modelizar. Este punto de vista, muy influyente todavía en la cultura escolar, constituye un verdadero obstáculo epistemológico a la construcción y utilización adecuada de modelos científicos y, en particular, matemáticos. Chevallard (1992) llama ilusión representacionista a este fenómeno cultural. Por ello, propone substituir la metáfora de la “imagen” por la metáfora de la “máquina” para subrayar que las máquinas no tienen por qué parecerse a los objetos que fabrican: “Un modelo de un sistema dado es una máquina cuyo funcionamiento permite producir conocimientos relativos al sistema modelizado.” (Chevallard, 1992, p.76) (d) La modelización no es únicamente un aspecto de las matemáticas, sino que toda actividad matemática puede ser interpretada como una actividad de modelización En cualquier actividad matemática se puede identificar un sistema (matemático o extramatemático) en torno al cual se formulan cuestiones problemáticas que motivan, y dan origen, a la construcción de ciertos modelos. De esta forma concreta de interpretar 23 la modelización matemática proviene su funcionalidad así como su capacidad para articular las organizaciones matemáticas que progresivamente se van construyendo. (e) La modelización matemática es un proceso recursivo En un proceso de modelización, aparecen generalmente diversos sistemas y modelos. Los sistemas van siendo cada vez más “matematizados” y los sucesivos “modelos” progresivamente construidos e integrados en los sistemas anteriores, van generando nuevas cuestiones problemáticas y provocando la necesidad de seguir con el proceso de modelización que conduce a trabajar con “modelos de modelos” del sistema inicial. De tal manera que los modelos matemáticos de un sistema pasan recursivamente a jugar el papel de sistemas de nuevos procesos de modelización y así sucesivamente. (f) El modelo epistemológico de la TAD no permite considerar la modelización de componentes aislados de una OM como “conceptos”, “técnicas” o “problemas” Dada la naturaleza dinámica de las praxeologías u organizaciones matemáticas, y la profunda interrelación que hay entre sus componentes, no podemos hablar de modelización de un componente de la praxeología independientemente del resto de sus elementos. De este modo, la TAD propone una ampliación de las nociones de modelo y sistema reconociendo su estructura praxeológica. Así, los procesos de modelización pasan a describirse en términos de una articulación entre diversas OM, identificándose la actividad de modelización con una actividad funcional dirigida a la exploración de situaciones problemáticas mediante la construcción de modelos matemáticos que tienen estructura praxeológica y que permiten resolver las situaciones planteadas al tiempo que hacen emerger nuevos y más profundos problemas. En definitiva, desde la TAD, proponemos reformular los procesos de modelización como procesos de construcción y articulación de praxeologías matemáticas de complejidad y completitud crecientes (Bosch, Fonseca & Gascón, 2004) con el objetivo de dar respuesta a ciertas cuestiones problemáticas relativas a cierto ámbito de la realidad matemática o extra-matemática. Así, la modelización matemática puede funcionar como un instrumento de articulación de la actividad matemática escolar (García, 2005; Barquero, 2009; Serrano, 2013). Todos estos trabajos que utilizan esta forma de interpretar la modelización como instrumento de articulación y completación relativa de las OM constituyen claros antecedentes del problema que tratamos en esta memoria relativo a la articulación entre 24 el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional como condición para posibilitar el desarrollo de ésta en el paso de Secundaria a la Universidad. 3.2. Desarticulación de la relación de proporcionalidad respecto del resto de relaciones funcionales El fenómeno general de la rigidez, desarticulación e incompletitud de las organizaciones matemáticas de la enseñanza secundaria, descrito en la sección 2, no es un fenómeno uniforme cuyas consecuencias puedan describirse de una vez por todas y de forma similar en todos los casos. Por el contrario, en cada ámbito de la actividad matemática este fenómeno se manifiesta mediante características y consecuencias específicas que dependen de los contenidos matemáticos involucrados, aunque en todos los casos estudiados hasta la fecha se ha podido constatar que provoca restricciones de uno u otro tipo a la vida escolar de la modelización matemática. Una de las manifestaciones del citado fenómeno general en un ámbito específico de la enseñanza secundaria obligatoria la constituye la llamativa desarticulación de la relación de proporcionalidad respecto al resto de relaciones funcionales que aparecen en dicho nivel educativo (García, 2005; García et al., 2006). Fue precisamente con el objetivo de suavizar las consecuencias didácticas de este fenómeno que, en García (2005), se construyó un MER en torno a la modelización de los sistemas de variación entre magnitudes que asigna a dicho ámbito una razón de ser alternativa a la que le estipula el sistema escolar6. Este MER articula diferentes tipos de variación entre magnitudes discretas y sirvió de base para diseñar y experimentar un recorrido de estudio e investigación (en adelante, REI – ver sección 4 –) con alumnos de cuarto curso de enseñanza secundaria obligatoria española (alumnos de 16 años). Debido a las restricciones institucionales, los sistemas de variación considerados en este trabajo se restringieron al caso de magnitudes discretas, lo que implicó que la actividad matemática generada se circunscribiera al trabajo con sucesiones y ecuaciones en diferencias finitas elementales. Además, por las mismas razones, los tipos de variación considerados se ciñeron a los que están caracterizados mediante determinadas 6 Asignar a un ámbito de la matemática escolar una razón de ser diferente a la que le asigna oficialmente el sistema escolar y hacerlo para sacar a la luz un fenómeno didáctico que se pretende indagar, constituye una de las principales funciones de los MER construidos en el marco de la TAD (Gascón, 2014). 25 condiciones elementales (de equidad, de linealidad, de diferencias de orden n constantes, de razones constantes y de linealidad inversa). En síntesis, el MER construido en García (2005) y en García et al. (2006) articula en una misma praxeología matemática regional un cierto universo, previamente construido, de tipos de variación elemental entre magnitudes discretas. Y aunque dicho MER no explicita, debido a las restricciones institucionales citadas, el paso de las relaciones entre magnitudes discretas a las correspondientes relaciones entre magnitudes continuas, constituye una propuesta de articulación entre la relación de proporcionalidad y el resto de relaciones funcionales elementales que aparecen en la enseñanza secundaria7. Esta articulación no se hace simplemente en el nivel de las relaciones funcionales consideradas en abstracto, sino encarnadas en situaciones (materializadas en Planes de Ahorro). Dicho en otros términos, no se articula un conjunto de funciones elementales (entre las que se encuentra la función de proporcionalidad) sino que se articula un conjunto de modelos funcionales contextualizados en diferentes Planes de Ahorro, cada uno de los cuales viene caracterizado por un tipo particular de variación entre dos magnitudes discretas. Este trabajo constituye un importante antecedente del problema que tratamos aquí puesto que en esta memoria estudiamos otro ámbito de la matemática escolar en el que se manifiesta el mismo fenómeno: ¿Existen otros ámbitos de la matemática escolar en los que se manifiesta el fenómeno de la desarticulación? ¿Cuáles son estos ámbitos? ¿Cómo se manifiesta? ¿Hasta qué punto las manifestaciones del fenómeno de la desarticulación en un ámbito concreto de la matemática escolar dependen del contenido matemático específico? (García, 2005, p. 525) En efecto, como veremos a lo largo de esta memoria, el problema didáctico que abordamos surge para estudiar el fenómeno de la desarticulación de un ámbito de la matemática escolar situado en el paso de Secundaria a la Universidad. Se trata de un ámbito que caracterizaremos con precisión y denominaremos modelización funcional. Mostraremos que una de las manifestaciones de este fenómeno, en el caso específico de la modelización funcional, es la ausencia escolar de una posible razón de ser del cálculo 7 Dado que en la enseñanza secundaria (española y portuguesa) las citadas relaciones funcionales aparecen explícitamente como funciones reales de variable real, que pueden interpretarse como funciones entre magnitudes continuas, el marco teórico natural para describir, interpretar y justificar la actividad matemática que se lleva a cabo para integrar los modelos de proporcionalidad en el universo de los modelos funcionales elementales es precisamente la teoría de las funciones reales de variable real. 26 diferencial elemental en este ámbito y las restricciones que esta ausencia comporta para el propio desarrollo de la modelización funcional en dicho nivel educativo. En un sentido más preciso, el trabajo de García (2005) constituye un antecedente de nuestra investigación puesto que los REI diseñados y experimentados en esta memoria incluyen la caracterización y construcción de un universo más amplio de tipos de variación funcional entre magnitudes continuas y, además, abordan explícitamente la problemática del paso de la variación entre magnitudes discretas a la variación entre magnitudes continuas. 3.3. Conjetura de Ruiz-Munzón. Desarrollo progresivo de los niveles de modelización funcional Al profundizar en el estudio de la modelización funcional como desarrollo de las investigaciones sobre el proceso de algebrización de la actividad matemática y para superar las restricciones que dificultan la vida escolar de la modelización (en este caso se trata de la modelización funcional con parámetros en el paso de la enseñanza secundaria obligatoria al Bachillerato), se construyó un MER que, además de ampliar el MER del álgebra elemental, contiene una sucesión de praxeologías de complejidad y completitud crecientes y cuya dinámica de desarrollo viene guiada por la progresiva asunción de tres niveles de modelización funcional (Ruiz-Munzón, 2010). Este MER también sirvió de base para diseñar y experimentar un REI (ver sección 4) que, en este caso, pretende favorecer las condiciones que hacen posible el desarrollo de la modelización funcional con parámetros en el paso de la enseñanza secundaria obligatoria al Bachillerato. En el desarrollo de la experimentación de este REI se pusieron de manifiesto limitaciones técnicas para responder a cuestiones que surgen a lo largo del proceso de modelización funcional con parámetros. Dichas limitaciones están relacionadas principalmente con la carencia de ciertas técnicas específicas del cálculo diferencial y, especialmente, con la ausencia escolar de determinados tipos de tareas (y, por consiguiente, de las técnicas asociadas) relativas al papel del cálculo diferencial en la construcción y el trabajo con modelos funcionales. Se formuló así una conjetura, que llamaremos conjetura de Ruiz-Munzón, según la cual la «razón de ser» del cálculo 27 diferencial, esto es, las cuestiones problemáticas que dan sentido al estudio del cálculo diferencial en la última etapa de la enseñanza secundaria, debería situarse en el ámbito de la modelización funcional. En concreto, Ruiz-Munzón postula: […] la modelización funcional debería constituir la razón de ser del cálculo diferencial del Bachillerato y primeros cursos universitarios. Pero hemos de reconocer que se necesita un estudio más detallado para contrastar empíricamente dicho postulado lo que requerirá, en particular, desarrollar el MER propuesto para la modelización algebraico-funcional de tal manera que integre la actividad matemática elemental en torno al cálculo diferencial e integral. (Ruiz-Munzón, 2010, p. 379, volume1) El significado de esta conjetura depende, obviamente, de lo que se entienda por cálculo diferencial y por modelización funcional. En esta memoria hemos asumido, sólo provisionalmente, la caracterización que se propone en Ruiz-Munzón (2010) del desarrollo hipotético de la modelización funcional en tres niveles caracterizados mediante praxeologías matemáticas de complejidad y completitud crecientes que describiremos en lo que sigue. Con el objetivo de profundizar en el significado de la citada conjetura, proponemos (en el capítulo III de esta memoria) una redefinición de la noción misma de «modelización funcional» (en adelante MF) que amplía en gran medida, al tiempo que detalla y precisa los tipos de tareas que forman parte de la actividad de MF. Esta nueva caracterización de la MF se materializa esquemáticamente en el diagrama de actividad de MF que figura en el capítulo III y se desarrolla con todo detalle en el capítulo IV. A continuación ejemplificaremos los tres niveles de modelización funcional definidos en Ruiz-Munzón con el objetivo de poner de manifiesto el progresivo papel del CDE en los dos primeros niveles y la necesidad del cálculo diferencial en varias variables en el tercer nivel de modelización funcional (Ruiz-Munzón, 2010; Ruiz-Munzón et al., 2011). Primer nivel de modelización funcional Siguiendo a Ruiz-Munzón (2010) denominamos primer nivel de modelización funcional de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan mediante funciones aisladas de una única variable y las correspondientes ecuaciones (e inecuaciones) asociadas. Este tipo de modelización incluye las primeras etapas de la modelización algebraica, en el sentido de Bolea (2002, 2003), y viene a responder a cuestiones que hacen referencia a la variación de una magnitud del sistema en función de otra. Su 28 puesta en marcha requiere, más allá de las técnicas puramente algebraicas, el uso de nuevas técnicas (que llamamos “funcionales” y “gráficas”) que incluyen las relativas al estudio de la variación de magnitudes, crecimiento, decrecimiento, ritmo de variación, extremos, etc. Entre dichas técnicas destacan, obviamente, las que proporciona el cálculo diferencial. Se trata, en definitiva, de técnicas que permiten el estudio elemental de las relaciones internas entre los elementos de una función y el análisis del comportamiento global de la misma. Segundo nivel de modelización funcional A lo largo de la enseñanza secundaria los símbolos literales juegan de manera casi exclusiva el papel de incógnitas (en las ecuaciones) o el de variables (en el lenguaje funcional), mientras que el papel de los parámetros está prácticamente ausente. Esta situación dificulta enormemente el paso del trabajo con las expresiones analíticas de funciones elementales al estudio de familias de funciones y al uso de estas familias como modelos de sistemas en los cuales aparecen relaciones entre magnitudes, lo que provoca importantes consecuencias didácticas: Postulamos que estas dificultades para estudiar sistemáticamente familias de funciones constituyen una de las principales causas de la desaparición de la “razón de ser” del cálculo (diferencial e integral) del Bachillerato y, en consecuencia, uno de los principales obstáculos para dar sentido al Análisis que se estudia a nivel universitario. (Ruiz-Munzón, 2010, p.100). Siguiendo de nuevo a Ruiz-Munzón (2010), denominamos segundo nivel de modelización funcional de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan precisamente mediante familias de funciones de una variable y las correspondientes ecuaciones (e inecuaciones) paramétricas asociadas. En este segundo nivel de modelización se distingue todavía entre “parámetros” y “variables” de tal forma que sus papeles aún no se consideran intercambiables. Se trabaja, por lo tanto, con familias de funciones de una variable, pero no con funciones de varias variables. Tercer nivel de modelización funcional En la enseñanza secundaria las fórmulas no se construyen nunca como resultado de un trabajo algebraico ni juegan propiamente el papel de verdaderos “modelos algebraicos” en los cuales las variables de cualquier tipo (parámetros o incógnitas) sean intercambiables. 29 Siguiendo de nuevo a Ruiz-Munzón (2010), denominamos tercer nivel de modelización funcional de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan mediante familias de funciones de dos o más variables y las correspondientes fórmulas asociadas. En este tercer nivel de modelización el papel de los “parámetros” y de las “variables” es intercambiable y se estudia cómo repercute la variación conjunta de dos o más variables sobre la variación de una función. Esta tarea puede plantearse a partir de los modelos trabajados en el segundo nivel, pero la resolución completa de la misma requiere de técnicas que no están disponibles en el segundo nivel. En este punto aparecen necesidades técnico-prácticas y tecnológico-teóricas (relacionadas con el cálculo diferencial de funciones de varias variables reales) que van mucho más allá de lo que es posible estudiar en la actual enseñanza secundaria y primer curso universitario (tanto en España como en Portugal) y que provocan, de nuevo, una clara ampliación y completación relativa de la anterior praxeología matemática en el sentido de Bosch et al. (2004). OMfp,q(x,y) OMfp,q(x) OMfp(x) OMf(x) Figura 1 – Representación de los tres niveles de modelización funcional Hemos visto que a lo largo de los sucesivos niveles de modelización funcional las técnicas del CDE juegan diversas funciones, pero la conjetura de Ruiz-Munzón relativa a la razón de ser del CDE en el paso de Secundaria a la Universidad sólo tomará pleno sentido con la redefinición que propondremos de MF en el capítulo III. 30 4. Los REI como respuesta de la TAD a las restricciones que dificultan el desarrollo de la modelización matemática en las instituciones escolares Como respuesta a las restricciones que dificultan el desarrollo de una actividad matemática flexible en las instituciones escolares y, en particular, para superar las dificultades objetivas con las que se encuentra la modelización matemática, han surgido diferentes propuestas didácticas entre las que pueden citarse, entre otras, la enseñanza por proyectos y el inquiry-based teaching. En el ámbito de la TAD, de acuerdo con Barquero et al. (2011), para abordar el problema citado se utiliza la noción de “recorrido de estudio e investigación” (REI) que introdujo Chevallard (2005, 2006). Un REI se inicia con el estudio de una cuestión Q con fuerte poder generador, capaz de propiciar la aparición de numerosas cuestiones derivadas. Para poder dar respuesta a dichas cuestiones, se requiere la reconstrucción de un número considerable de herramientas matemáticas (técnicas, nociones, propiedades, etc.), que aparecen así como una consecuencia (y no como el origen) del estudio de las cuestiones. La propuesta de los REI pretende recuperar la relación genuina entre cuestiones y respuestas que está en el origen de la construcción del conocimiento científico en general y de la actividad matemática en particular. Uno de los objetivos principales de la propuesta de los REI es el de introducir en la escuela una nueva epistemología que se propone reemplazar el paradigma escolar monumentalista, que se caracteriza por el inventario y la exposición de los saberes, por un paradigma del cuestionamiento del mundo, para dar sentido al estudio escolar de las matemáticas en su conjunto, transportando a la escuela una actividad de estudio más cercana al ámbito de la investigación. Como indica Chevallard (2009c, p. 12): Dans ce paradigme, on va à l’école – tel est le contrat entre société et école – non pour visiter des savoirs regardés comme désirables en eux-mêmes, mais pour interroger sur le monde et interroger le monde. De hecho, en las investigaciones citadas anteriormente como antecedentes de este trabajo como, por ejemplo, García (2005), Barquero (2009), Ruiz-Munzón (2010) y Serrano (2013), se responde al fenómeno de la rigidez, desarticulación e incompletitud relativa de las organizaciones matemáticas escolares, mediante el diseño y experimentación de un REI basado en cada caso en un MER alternativo al modelo epistemológico dominante en las instituciones escolares. 31 Dentro del paradigma del cuestionamiento del mundo, los REI aparecen como un dispositivo didáctico privilegiado para dar cabida a la actividad de modelización en la enseñanza actual de las matemáticas. En efecto, el punto de partida de un REI debe ser, como ya hemos dicho, una cuestión de interés real (“viva”) para la comunidad de estudio, que denotaremos por Q0 y a la que llamaremos cuestión generatriz del proceso de estudio. A lo largo del REI, el estudio de la cuestión generatriz Q0 evoluciona y da lugar al planteo de muchas nuevas “cuestiones derivadas”: Q1, Q2,…, Qn. El estudio de Q0 y de sus cuestiones derivadas conduce a la búsqueda de respuestas y, con ello, a la construcción de un gran número de saberes que delimitan el mapa y marcan los límites provisionales del “territorio” a recorrer durante el proceso de estudio. Este proceso, que podremos sintetizar como una red de cuestiones y respuestas (Qi, Ri), contiene las posibles trayectorias a “recorrer” generadas a partir del estudio de Q0. La modelización matemática tiene un papel esencial en este proceso por varios motivos. En primer lugar, la producción de “respuestas provisionales” a la cuestión inicial Q0 requiere la construcción de modelos, su utilización y el cuestionamiento de su ámbito de validez, generando así nuevas cuestiones que, a su vez, requieren un nuevo proceso de modelización. Durante la evolución de un REI el cuestionamiento de estas respuestas provisionales que se van obteniendo se incorpora en todo momento a la actividad de modelización. Este cuestionamiento es el motor del proceso de modelización y, por lo tanto, de la estructura arborescente y articulada de los REI. En segundo lugar, los REI permiten explicitar, institucionalizar y evaluar el proceso global de modelización. Esto es posible dado que el proceso de estudio generado por los REI tiene cierta continuidad en el tiempo, logrando superar la atomización tradicional del estudio escolar de las matemáticas. Además, dado que el objetivo de un REI es dar respuesta a ciertas cuestiones y no aprender (o enseñar) ciertos conceptos establecidos a priori, el proceso de modelización (que incluye las respuestas que se aportan a la cuestión generatriz y a las cuestiones derivadas) puede considerarse como un objetivo de la enseñanza en sí mismo y no como un medio para construir nuevos conocimientos. El desarrollo de un REI supone dar importancia tanto al proceso de estudio encarnado en una actividad de modelización como a la respuesta que éste genera. Digamos para finalizar que los REI son dispositivos didácticos caracterizados por el hecho que el objetivo del estudio no viene definido por un conjunto de saberes designados de antemano, sino como un conjunto de cuestiones Q a las que la comunidad 32 de estudio se propone aportar una respuesta R. A lo largo de un REI, que siempre está protagonizado por una comunidad de estudio concreta en una institución particular y sujeto a determinadas condiciones y restricciones, se movilizarán todos aquellos ◊ recursos, medios, saberes y respuestas ya disponibles R que sea necesario con tal de construir una “buena respuesta” R. Los REI, como el resto de dispositivos didácticos posibles, pueden representarse mediante un esquema que se denomina esquema herbartiano (Chevallard, 2009b) que puede considerarse como un modelo didáctico general de referencia y que toma la siguiente forma: ◊ ◊ [S(X ; Y ; Q) { O1, Ok, Q1, Qm, R1, …, Rn}] R Los elementos del esquema son los siguientes. Se parte de un sistema didáctico S formado por una comunidad de estudio X que se propone abordar una cuestión Q con la ayuda de un equipo de profesores Y. El resultado final de abordar la cuestión Q es la elaboración de una respuesta R formada por componentes praxeológicos más o menos integrados. ◊ ◊ El medio didáctico, M = { O1, …, Ok, Q1, …, Qm, R1, …, Rn} está formado por tres conjuntos de elementos: un conjunto de cuestiones derivadas de la cuestión generatriz, ◊ Qi, un conjunto de respuestas preestablecidas, R i que representan respuestas previamente construidas con relación a las Qi a las cuales se puede tener acceso, y un conjunto de obras, Ok que resultan de utilidad para la contrastación y la ◊ «deconstrucción» de las respuestas preestablecidas R i , que fueron en su momento construidas para tratar cuestiones más o menos relacionadas con las que se están ahora planteando. El esquema herbartiano puede considerarse, por tanto, como un sistema de referencia que utiliza el didacta para observar, describir, analizar y evaluar los sistemas didácticos existentes en las instituciones sociales o teóricamente posibles. Proporciona un modelo general de lo que se entiende en la TAD por «estudiar una cuestión». Este esquema incluye la dinámica del proceso de estudio de una cuestión cualquiera que supone técnicas de estudio que se materializan en un conjunto de gestos de estudio e investigación que se designan como dialécticas porque expresan la tensión entre parejas de términos usualmente opuestos. Entre dichas dialécticas destaca por su importancia la que se denomina de los media y los medios (Chevallard, 2007, 2009a, 2009b). 33 34 Capítulo II El cálculo diferencial y la modelización funcional en las investigaciones didácticas En este capítulo se expone una panorámica, necesariamente parcial, del tratamiento que ha recibido el problema didáctico del cálculo diferencial en algunos enfoques didácticos. Con el objetivo de mostrar las relaciones entre las diversas investigaciones y el problema que se trata en esta memoria, se analiza la forma como se ha tratado la problemática del cálculo diferencial en el paso de Secundaria a la Universidad y las relaciones que dichas investigaciones propugnan entre éste y la modelización funcional. Una de las principales conclusiones de este análisis consiste en constatar que en las investigaciones didácticas no se caracteriza la actividad de modelización funcional mediante una estructura articulada de tareas matemáticas coordinadas entre sí. Surge así la necesidad de explicitar lo que se considera como modelización funcional (MF) y como cálculo diferencial elemental (CDE) como paso previo a asignar un determinado papel al CDE en el ámbito de la MF. Por ello el capítulo concluye con una caracterización inicial de lo que a partir de este punto consideraremos como CDE, dejándose para el próximo capítulo la redefinición que proponemos de la noción de MF. 35 1. El problema didáctico del cálculo diferencial en las investigaciones en Educación Matemática En lo que sigue vamos a describir algunos de los problemas didácticos que se han formulado y abordado por los diferentes investigadores en el ámbito del cálculo diferencial elemental (CDE) en el sentido que se caracteriza en la sección 4 de este capítulo. En esta panorámica utilizaremos principalmente los trabajos de Michèle Artigue y de otros autores de diferentes enfoques que hayan estudiado aspectos importantes del problema didáctico del cálculo diferencial. Posteriormente analizaremos las relaciones que se propugnan o describen entre el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional. Presentaremos una breve descripción de la forma como cada uno de ellos plantea el problema así como de sus principales aportaciones. 1.1. Dificultades en el aprendizaje del Cálculo Según Artigue (1995), los resultados de diversas investigaciones evidencian dificultades en la identificación de las principales nociones del Cálculo, empezando por la noción de función, especialmente cuando se inicia la enseñanza del Cálculo. También se detectan dificultades para desarrollar la flexibilidad entre el proceso función y el concepto función, a pesar de que dicha flexibilidad es esencial para avanzar en el trabajo del Cálculo. Las investigaciones en esta dirección (Dubinsky & Harel, 1992; Sfard, 1989) se apoyaron en la distinción entre el status operacional (dinámico) y el estructural (estático) de la noción de función. También se observaron dificultades cognitivas en las conversiones de un registro simbólico de las expresiones de la noción de función a otro, e incluso en el trabajo dentro de un mismo registro, por ejemplo, en el registro gráfico cuando se deben manejar simultáneamente dos niveles de información (informaciones sobre la función y sobre su derivada). Asimismo se han encontrado dificultades para: considerar las funciones como herramientas del trabajo matemático; traducir al cuadro de las funciones, problemas que han sido planteados en otros cuadros matemáticos (numérico, geométrico, o extramatemáticos) y que necesitan de tal traducción para ser resueltos. 36 En el mismo trabajo, Michèle Artigue reseña que el Cálculo es un dominio donde la actividad matemática se apoya bastante en las competencias algebraicas pero, al mismo tiempo, el acceso a dicho dominio requiere de una ruptura con determinadas prácticas algebraicas. Artigue constata que esta ruptura (la ruptura álgebra-cálculo) se ha trabajado muy poco en las investigaciones sobre el aprendizaje del Cálculo (M. Legrand en 1993 fue uno de los pocos investigadores que han señalado esta ruptura). Según Azcárate, Camacho y Sierra (1999), que hace referencia a Artigue y Ervynck (1993), el grupo de trabajo del ICME7 celebrado en Quebec, en 1992, Students’difficulties in Calculus contó con aproximadamente 200 participantes de diferentes países con el objetivo de responder a ciertas cuestiones relacionadas con los objetivos, las dificultades y los problemas que surgen a la hora de implementar secuencias de enseñanza en un curso de Cálculo. Los trabajos presentados reseñaran la necesidad del estudio de los procesos cognitivos que intervienen en el desarrollo de cada una de las nociones y, en particular, en la significación de la noción de derivada. Como consecuencia de estos estudios y de la Reforma del Cálculo implementada en los Estados Unidos surgieran algunas modificaciones en los currículos de los diferentes países, en particular, una introducción más intuitiva, experimental y con recurso a las tecnologías. En la siguiente tabla se esquematizan las ventajas y desventajas de la citada Reforma del Cálculo: Reforma del Cálculo Ventajas Desventajas Análisis más accesible La pérdida progresiva de matematización Estudiantes en contacto con los problemas centrales: optimización y aproximación Dificultad de conseguir problemas lo suficientemente ricos Mayor importancia a lo numérico y gráfico Definiciones poco rigurosas Técnicas facilitadas por las calculadoras gráficas Problemas que surgen por el uso de la calculadora y con su integración en sala de aula Tabla 1 - Ventajas y desventajas de la Reforma del Cálculo según Michèle Artigue (1997) En la misma línea David Tall consideró, en la década de los 90, como dificultades esenciales las ligadas a la noción de límite y a los procesos infinitos que intervienen en las nociones básicas de derivada e integral, teniendo en cuenta además otro tipo de 37 dificultades que tienen que ver con el estudio de las funciones, la notación de Leibniz, dificultades asociadas al uso y selección de las distintas representaciones, etc. Sin embargo, reseña que los estudiantes muestran preferencia por una de las clases de representación: simbólica o gráfica. Al comparar estudiantes con los que se realiza un trabajo experimental con calculadoras gráficas se observó que obtienen una mayor comprensión de los conceptos que aquellos con los que se desarrolla un trabajo tradicional (Tall, 1996). Es de reseñar que el alumnado acostumbrado a la manipulación y dominio de la calculadora gráfica tiene más facilidad en la resolución intuitiva de problemas en comparación con los habituados a resolver mayoritariamente las tareas recurriendo al cálculo simbólico. Se presupone que este hecho es debido a la perspicacia y habilidad desarrollada por los primeros debido a que su forma de utilizar la calculadora simbólica les proporciona una mejor percepción del concepto espontáneo, al que se refiere Vygotsky (1985). Los alumnos que trabajan de forma tradicional, por su parte, son conducidos por los procesos algebraicos a centrarse en el concepto científico. En 2003, Michèle Artigue, describe el Cálculo como un área percibida como fuente principal del fracaso en el nivel universitario y refiere que la estructura y contenidos del libro Advanced Mathematical Thinking (Tall, 1991) dan una clara evidencia de estos hechos al advertir que: En 1980, Orton mostró el razonable dominio que los alumnos ingleses tenían en el cálculo algebraico de derivadas y primitivas (anti-derivadas), pero la dificultad significativa que mostraban para conceptualizar los procesos límite subyacentes a las nociones de derivada e integral, o sea, los estudiantes determinaban correctamente la función derivada o la primitiva de una función dada, pero no sabían por qué, ni para qué. Tall y Vinner (1981) destacaban la discrepancia entre las definiciones formales que los estudiantes eran capaces de citar y los criterios que utilizaban para comprobar propiedades, como la de ser función o la continuidad y la derivabilidad. Esta discrepancia llevó a la introducción de las nociones de concepto definición y concepto imagen para analizar las concepciones de los alumnos. Varios autores documentaron las dificultades de los estudiantes con el razonamiento lógico y las demostraciones, con las representaciones gráficas y, de forma especial, con la necesaria conexión flexible entre el trabajo analítico y el gráfico. 38 En el mismo estudio, Artigue refiere que el aprendizaje matemático es un proceso cognitivo que incluye necesariamente “discontinuidades”. En la sección 1.3. se analiza la dualidad proceso-objeto como una de las discontinuidades principales. 1.2. La contribución de las tecnologías a la enseñanza del Cálculo Según Azcárate, Camacho y Sierra (1999), las calculadoras gráficas y los programas de cálculo simbólico tienen un papel muy relevante en todas las reformas curriculares. Los autores también refirieron que en los Estados Unidos de América se ha desarrollado desde 1986 el proyecto Calculator and Computer Pre-Calculus que tiene como base el desarrollo de un currículo de matemáticas para la enseñanza secundaria, analizando las habilidades necesarias para la comprensión de la noción de función, gráficas de funciones y geometría analítica (Browning, 1989). Este trabajo consiste en el desarrollo de un proceso sistemático en la resolución de problemas, atendiendo a las conexiones existentes entre las distintas representaciones (verbal, algebraica, numérica y gráfica) que se pueden obtener en el proceso de resolución de una situación problemática, para la cual las tecnologías son de gran utilidad. Otra ventaja de las nuevas tecnologías y, en particular, de las calculadoras gráficas y/o los ordenadores, es conducir a la minimización de los efectos no deseados de la falta de madurez en el cálculo algebraico de los estudiantes. También la visualización juega un papel esencial en el trabajo matemático y es posible transmitir al alumnado una imagen de las matemáticas como ciencia que incorpora la observación, el experimento y el descubrimiento. De este modo, la utilización de las tecnologías puede contribuir a mejorar la significatividad del aprendizaje. En 1995, Artigue reseñaba que no se deberían tomar las herramientas informáticas como un catalizador para forzar la evolución de las prácticas pedagógicas de los profesores y para comprometerlas con un enfoque más constructivista del aprendizaje. En este punto surge una cuestión importante: ¿Cómo debemos usar las tecnologías de manera que constituyan una contribución positiva y no un instrumento que podría promover el fracaso en la enseñanza? Cantoral y Mirón (2000) defienden, de acuerdo con Artigue, que, efectivamente, es posible incidir positivamente sobre la naturaleza del aprendizaje de ideas matemáticas 39 cuando la utilización de los medios y dispositivos didácticos se acompañan seriamente de investigación en el campo de la matemática educativa. Esto significa que sólo la incorporación del recurso tecnológico como medio didáctico es insuficiente para producir mejoras en el aprendizaje, siendo necesario transformarlo en un verdadero dispositivo didáctico bajo el control del diseño de las actividades. Reseñan que la construcción de conocimientos por parte de los estudiantes utiliza procesos diversos, como el reconocimiento de patrones, la búsqueda de similitudes y el apoyo en sus conocimientos previos, incorporándolos a las facilidades que les brindan las condiciones técnicas del medio tecnológico. Por ejemplo, la estrategia de ensayo y error funciona bien ante cierto tipo de tareas, pero fracasa ante otras más complejas. Análogamente, Jaime Carvalho e Silva, en 2011, estaba de acuerdo con la importancia de las nuevas tecnologías, pero ha hecho una advertencia: O Ensino da Matemática mudou por causa das ferramentas tecnológicas hoje disponíveis. A própria Matemática mudou. A sociedade também é imensamente diferente por causa da tecnologia. Significa que tudo então é mais fácil, eficaz e rápido? Não, a tecnologia não é o paraíso. (Silva, 2011) Con este cuestionamiento se pretende poner en evidencia que las tecnologías no tienen la capacidad de resolver todos los problemas y, mucho menos, cuando funcionan autónomamente y de modo no fundamentado didácticamente. También, Cantoral y Montiel (2003) defienden que la manipulación de un determinado dispositivo tecnológico puede favorecer el establecimiento de una relación entre representaciones cuando genera un escenario de significados que pueden ser asociados con el concepto matemático en cuestión como, por ejemplo, permitiendo mostrar a los estudiantes algunas de las aplicaciones de la derivada tal como el cálculo de la velocidad de un cuerpo en movimiento. De un modo general, según el enfoque computacional en la enseñanza del cálculo diferencial, los ordenadores han hecho realidad la posibilidad de la visualización dinámica del comportamiento gráfico de las funciones, de observar mediante simulaciones iterativas cómo la sucesión de secantes tiende a la tangente, de visualizar la disminución iterativa de los triángulos característicos en la presentación geométrica de la derivada, de ayudar a la visualización de la rectitud local de las curvas por medio de magnificaciones sucesivas, de observar curvas continuas en todas partes pero 40 derivables en ningún punto, de racionalizar considerablemente el trabajo con los métodos numéricos, etc. (Dolores, 2000). Tal como refieren Tellechea y Robles (2008), es conveniente destacar la importancia de introducir las nociones matemáticas, no en términos estructurales, sino con recursos gráficos y permitir que el estudiante avance en la medida que el software lo permita. En otras palabras, si el alumno no siente la necesidad, no se deberá exigir una concepción estructural. En España, Azcárate, Casadevall, Casellas y Bosch (1996), presentan una propuesta didáctica para combinar lo gráfico, lo numérico y lo algebraico en la enseñanza de la derivada y de la integral. Sugieren la introducción de la variación, tasa media de variación y la pendiente de una recta, como las nociones esenciales para la construcción de la función derivada de una determinada función. Así, el análisis empezaría con una representación gráfica de la función y continuaría con el cálculo de la pendiente de una recta tangente al gráfico en un determinado punto. Posteriormente, surgiría una generalización algebraica de las expresiones de las funciones derivadas y las integrales. Michèle Artigue, en 1998, estudió la evolución de los programas del Cálculo en los currículos franceses y constató que, en el currículo de 1982: La actividad matemática se organiza en torno a la resolución de problemas: problemas de optimización, aproximación de números y funciones, modelos de variaciones discretas y continuas... La noción de derivada, sobre todo la de función derivada, instrumento esencial para la resolución de tales problemas, se vuelve la noción central. El orden lógico: límites-continuidad-derivadas se rompe: se ha introducido un lenguaje mínimo intuitivo de los límites para fundamentar la introducción de la derivación, luego la noción de función derivada se vuelve la pieza maestra del edificio; la noción de continuidad casi desaparece, ya que, con la definición elegida para la noción de límite, cualquier función que tiene un límite en un punto de su dominio de definición es necesariamente continua en este punto. (Artigue, 1998a, p. 48). En el mismo año, Artigue en L’Évolution des Problématiques en Didactique de L’Analyse mostró hasta qué punto el desarrollo de este campo depende tanto de la evolución global de la didáctica como de las condiciones culturales y sociales en las cuales se inscriben la enseñanza y el aprendizaje del análisis (carácter institucional de los problemas didácticos). Reseña una experiencia de simulación relacionada con una acción que proporciona una base intuitiva del Cálculo: Math-Car, desarrollado por Kaput y Nemirosky (Kaput, 1992) y que ha permitido a estos investigadores trabajar 41 con alumnos muy jóvenes, sin habilidades algebraicas, las nociones de velocidad y de aceleración de una forma intuitiva, con un cierto éxito. Sin embargo, en la misma investigación, Artigue relata que, en los años 80, en la Universidad de París, fue detectado un problema didáctico relativo al conflicto entre las matemáticas y la física alrededor del cálculo diferencial. Un estudio del proceso de transposición didáctica de las matemáticas y de la física, con los debates que acompañaron la evolución de ambas disciplinas en sus informes, tuvo la ambición de conducir a la elaboración de productos eficaces de ingeniería didáctica considerando modelizaciones diferenciales e integrales. Es frecuente la utilización de dos funciones tradicionales de la transposición de las matemáticas y de la física: en matemáticas predomina la función de aproximación local (cálculo de errores, determinación de las tangentes, plano tangente,...), mientras que en física impera la función de aproximación lineal local (con el paso de local a global) para buscar una ley de variación o para definir y calcular ciertas cantidades de magnitud (por ejemplo, el concepto de trabajo de una fuerza variable en una trayectoria no rectilínea, a partir de la noción de trabajo de una fuerza constante en un camino recto). Muchos de los comportamientos observados entre los estudiantes y los profesores se hacen comprensibles si se tiene en cuenta el hecho de que estas dos funciones no están, en el proceso de transposición didáctica habitual, claramente identificadas y distinguidas. Asociada a esta brecha didáctica está la representación diferente en las matemáticas y la física (Artigue, 1998b). 1.3. Aportaciones de la teoría APOS y otros enfoques didácticos relacionados En el análisis de los cambios cualitativos en la transición de proceso a objeto se destaca la Teoría APOS, iniciada por Dubinsky en 1991 y refinada progresivamente (Dubinsky & McDonald, 2003; Trigueros, 2005). La teoría APOS trata de describir el desarrollo, en la mente del alumno, de la comprensión de un concepto matemático (Dubinsky, 2000). Esta teoría es una adaptación de la teoría de Piaget sobre la abstracción reflexiva a las construcciones mentales utilizadas en el aprendizaje de las matemáticas avanzadas. A partir de las ideas 42 piagetianas, la teoría APOS construye un modelo, para hablar únicamente de la manera en la que se construyen o se aprenden conceptos matemáticos. La teoría APOS (en inglés) o APOE (en español) hace referencia a las Acciones, los Procesos, los Objetos y los Esquemas (“Schemes”). Éstas son las construcciones mentales que, según esta teoría, un individuo realiza para obtener significados de las situaciones y de los problemas matemáticos. Es un proceso que permite, a partir de las acciones sobre los objetos, inferir sus propiedades o relaciones entre objetos en un cierto nivel de pensamiento (Dubinsky, 1991a, 1991b). Los mecanismos para hacer dichas construcciones, y pasar de un nivel a otro, se llaman abstracciones reflexivas que son, por ejemplo, las representadas en la siguiente figura: • Acciones • Procesos interiorización encapsulación inversión coordinación • Esquemas • Objectos Figura 2 – Ejemplos de abstracciones reflexivas entre las construcciones mentales El paso por estas etapas no es necesariamente secuencial, esto es, una persona puede pasar mucho tiempo en etapas intermedias e, incluso, estar en una etapa de construcción para ciertos aspectos de un concepto y en otra para otros. El manejo que una persona hace de un concepto ante distintas situaciones problemáticas es diferente cuando un individuo responde con un nivel caracterizado por proceso en la teoría que cuando lo hace a nivel acción. El tipo de respuesta del sujeto dependerá de la demanda cognitiva del tipo de problema al que responde (Trigueros, 2005). Según, María Trigueros: […] la definición de esquema dentro de la teoría APOE tiene un significado preciso, diseñado específicamente para dar una explicación a la manera en la que se desarrollan 43 los conceptos matemáticos a través de los procesos de enseñanza. En la teoría APOE, un esquema para una parte específica de las matemáticas se define como la colección de acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están relacionados consciente o inconscientemente en la mente de un individuo en una estructura coherente y que pueden ser empleados en la solución de una situación problemática que involucre esa área de las matemáticas. (Trigueros, 2005, p. 10-11) En 2001, Anna Sfard ya refería que las teorías educativas, igual que las soluciones prácticas, responden mal cuando se les deja actuar solas porque la exclusividad es enemiga del éxito. Los principios curriculares y los enfoques instruccionales concretos deben ser sustentados por la teoría. Tall (2004) ha definido tres “mundos matemáticos8”distintos pero interrelacionados: 1. La percepción del mundo, lo que el individuo piensa sobre las cosas que percibe y siente, tanto en el mundo físico como en su propio mundo mental de significados. A través de la reflexión y el uso de un lenguaje cada vez más sofisticado, el individuo puede centrarse en aspectos de su experiencia sensorial que le permita imaginarse nociones que no existan en el mundo exterior, tal como una línea perfectamente recta. Para Tall este sería el “conceptual-embodied world”, que se podría interpretar como “mundo de los conceptos personificados”. 2. Los símbolos que se utilizan en aritmética, álgebra o cálculo para manipular y calcular. El paso por este mundo comienza con las acciones (como contar) que son encapsuladas como conceptos, utilizando símbolos que permitan pasar, sin esfuerzo, de los procesos para hacer matemáticas a los conceptos para pensar en matemáticas. A este mundo lo denomina “proceptual-symbolic world”, que se puede interpretar como “el mundo de los procepts”. 3. las propiedades, expresadas en términos de definiciones formales que se utilizan como axiomas para especificar estructuras matemáticas como “grupo”, “espacio vectorial”, etc. Este sería el “formal-axiomatic world” o el “mundo formal”. En este mundo se activa la experiencia previa del individuo, trabajando con objetos que no resultan familiares sino con axiomas que se formulan cuidadosamente para definir estructuras matemáticas en términos de propiedades específicas. Dentro del sistema de axiomas se pueden definir nuevos conceptos y deducir sus propiedades para así construir una teoría coherente y lógica (resumen de Camacho (2011)). Tall (2007) relaciona los dos primeros mundos con las matemáticas elementales y el tercero, el “mundo formal”, con las matemáticas avanzadas. En su estudio sobre el aprendizaje del cálculo diferencial, Tall ha considerado que este se desarrolla básicamente en los dos primeros mundos de pensamiento. Para trabajar sobre el aprendizaje de un concepto específico plantea un tipo de problema que puede formularse como sigue: ¿Cuál es el desarrollo cognitivo que requiere la noción de derivada en el Cálculo? 8 Cada individuo transita por estos tres mundos de una manera diferente. 44 En su formulación para dar respuesta a este problema Tall parte, en primer término, del conocimiento previo de los alumnos sobre el significado de que algo sea recto, a lo que denomina raíz cognitiva. A partir de las consideraciones de los alumnos sobre la rectitud que se llevan a cabo desde este mundo, considera posteriormente lo que la rectitud implica cuando se analiza localmente el comportamiento de una curva. En este momento, la necesidad de explicar el comportamiento local de una curva provoca que el individuo plantee el desarrollo de una herramienta matemática más sofisticada, la linealidad local, que se puede relacionar estrechamente con la idea de rectitud local, pero que pertenece al mundo simbólico proceptual. Esta herramienta consiste en la formulación matemática de la pendiente de la tangente a la curva como el límite de la pendiente de la recta secante que se extiende posteriormente a la noción de derivada como función. Desde la teoría APOS, este problema puede reformularse como el problema de la construcción del concepto de derivada en el Cálculo. Aquí, el tipo de problemas que se formula es el siguiente: ¿Cuáles son las acciones, procesos, objetos, esquemas y las relaciones entre ellos que se requieren en la construcción de la noción de derivada? Según Trigueros (2005), en Cálculo es habitual considerar una función como una expresión, que a su vez, se relaciona con la acción de una función. Esta relación es muy importante cuando se pretende determinar la expresión de la función derivada. Para entender el concepto de diferenciación y su aplicación en funciones más complejas es necesario tener la concepción de proceso de una función. Además, tener la concepción de función como objeto es necesario para entender que la derivada de una función es otra vez una función, y que la solución de un problema por ejemplo, una ecuación diferencial podría ser una función. Para pasar a un nivel superior, el estudiante debe efectuar una reflexión sobre el sentido de las operaciones que se efectúan sobre el objeto matemático y sobre el efecto que dichas operaciones tienen sobre él. El desarrollo de estas ideas ha dado lugar a descomposiciones genéticas de los diversos conceptos del Cálculo, en particular, del concepto de derivada. Asiala, Cottrill, Dubinsky y Schwingendorf (1997), según la teoría APOS, sugieren que hay dos trayectorias que se relacionan entre sí, gráfica y analítica, a partir de las cuales se construye este concepto del cálculo diferencial. Desde estas trayectorias conciben la descomposición genética del concepto tal como se describe a continuación: 45 Acción Gráfica Analítica 1 a) acción de trazar una cuerda entre dos puntos de una curva, junto con la acción de calcular la pendiente de la secante que contiene a la cuerda. b) acción de calcular la razón de cambio media determinando el cociente diferencial. 2 a) interiorización de la acción 1.a) a un proceso simple en el que los dos puntos son cada vez más cercanos. 3 a) encapsulación del proceso 2.a) para obtener la recta tangente como la posición límite de las rectas secantes y determinar la pendiente de la recta tangente en un punto de la gráfica de una función. b) interiorización de la acción 1.b) a un proceso simple como la diferencia cuando el intervalo del dominio se hace cada vez más pequeño. b) encapsulación del proceso 2.b) para determinar la razón instantánea de cambio de una variable con respecto a otra. Encapsulación del proceso 2.a) y 2.b) para obtener la definición de derivada de una función en un punto como el límite del cociente diferencial en el punto. 4 5 Interpretación gráfica de la derivada en un punto: - 6 Interpretación gráfica de la derivada como una función: - 7 Necesidad de la fórmula de la función para derivar. La derivada como pendiente de la recta tangente. Coordinar varias interpretaciones de la derivada. La derivada vista como una función que a cada valor de le hace corresponder la pendiente de en ). Identificar la derivada de con la recta tangente en cada punto. Diversas coordinaciones para obtener la gráfica de la derivada: - Interpretación gráfica de para un valor de . Interpretación de ’ para un valor de x como la pendiente. Procesos cuando varía en un intervalo. Trazado de la gráfica de la función derivada. Tabla 3 - Trayectoria gráfica y analítica de la derivada Artigue, en 2003, refiere que el modelo APOS ofrece solamente una visión parcial del desarrollo cognitivo en Matemáticas, pero es innegable hoy día que presta atención a una discontinuidad cualitativa crucial en las relaciones que los alumnos desarrollan con respecto a los conceptos matemáticos. Esta discontinuidad es la transición desde una concepción de proceso a una de objeto, la complejidad de su adquisición y los efectos dramáticos de su subestimación por las prácticas habituales de enseñanza. En el ámbito del citado modelo, Trigueros (2005) ejemplificó un esquema de propiedades para solucionar el problema de la integración de conceptos del cálculo 46 diferencial para graficar una función. Para tal, ha efectuado estudios empíricos con estudiantes en el paso de Secundaria a la Universidad y también con algunos estudiantes universitarios, planteando la tarea siguiente: Dibuja la gráfica de una función que satisface las siguientes condiciones: h es continua h(0) = 2, h’(-2) = h’(3) = 0 y lim x0 h’(x) = h’(x) > 0 cuando –4 < x < -2 y cuando –2 < x < 0 y cuando 0 < x < 3 h’(x) < 0 cuando x < -4 y cuando x > 3 h’’(x) < 0 cuando x < -4, cuando –4 < x < -2 y cuando 0 < x < 5 h’’(x) > 0 cuando –2 < x < 0 y cuando x > 5 lim x- h(x) = y lim x h(x) = -2 ¿La función que encontraste es la única que cumple con las condiciones dadas por el problema? ¿Qué sucede con la gráfica de esta función si quitamos la condición de continuidad? (Trigueros, 2005, p. 19) La coordinación de todas estas propiedades en una sola gráfica representó un problema complejo para los estudiantes. Todos estos conceptos han sido presentados uno a uno por separado en clase y los estudiantes cuentan con esa información; el problema que hay que analizar es precisamente la posibilidad de los estudiantes de integrar toda esa información relativa a distintos conceptos en la solución del problema. La gran dificultad surgió al intentar aplicar las distintas propiedades sobre distintos intervalos en el dominio de la función: la primera derivada proporciona información sobre la función en intervalos específicos, es decir, aquellos donde la función crece o decrece; pero esos intervalos no coinciden con los intervalos donde hay cambios en las propiedades de la función de acuerdo con la información proporcionada por la segunda derivada, y éstos a su vez son diferentes de los resultantes cuando se tiene en cuenta la información que proporcionan los límites y la continuidad de la función. Por consiguiente, la consideración de la estructura del dominio de la función y su descomposición en intervalos hizo el análisis de los datos mucho más claro. Así, para construir el esquema de función en términos de sus propiedades, el estudiante debe coordinar el objeto o esquema función con los de la primera y segunda derivadas y con los conceptos de continuidad y límite a nivel proceso u objeto. 47 La coherencia de ese esquema se puede atestiguar mediante la capacidad del estudiante de verificar si existe una única función o una única representación para una función que satisface todas esas propiedades. El estudiante es capaz de (por ejemplo): Nivel intra-propiedades - relacionar la primera derivada con el comportamiento de la función; inter-propiedades - coordinar los efectos de la primera y de la segunda derivada en el comportamiento de la función; trans-propiedades - coordinar los efectos de la primera, de la segunda derivada, de la continuidad y de los límites en el comportamiento de la función; encontrar diversas funciones que satisfacen todas las propiedades. - Tabla 3 – Tareas que utilizan los estudiantes en cada uno de los niveles intra, inter y trans. En esta investigación, Trigueros ha observado que las preguntas: ¿es la función que encontraste la única que cumple con las condiciones dadas por el problema?, ¿qué sucede con la gráfica de esta función si quitamos la condición de continuidad?, resultaron aún más difíciles para los estudiantes que la solución del problema original. En términos generales, constató las siguientes dificultades entre los alumnos: Los estudiantes manifiestan dificultades de interpretación de la segunda derivada, de los puntos de inflexión de la función y de su relación con el comportamiento de la gráfica de la función; La relación entre los conceptos de continuidad y diferenciabilidad de la función es prácticamente inexistente en la mayoría de los estudiantes, o sea, manifiestan dificultades en describir el comportamiento de una función en un punto en que es continua pero la derivada no está definida y el comportamiento de una función en un punto en el que puede ser discontinua. Los estudiantes manifiestan dificultades en relacionar la primera derivada con los intervalos en el dominio de la función. Otros trabajan sólo con la información relativa a la segunda derivada y no son capaces de estudiar el comportamiento de la función con la primera derivada. La posibilidad de existencia de puntos donde la derivada no está definida, pero la función si lo está, provoca una fuerte confusión en los alumnos. Los alumnos muestran dificultades con la unión e intersección de los intervalos. Estas dificultades se agudizan cuando una propiedad delimita un intervalo específico que se ve alterado cuando se pone en relación una segunda o tercera propiedad. 48 Se advierte que la segunda derivada no debe considerarse, en la enseñanza, únicamente como la derivada de la derivada, sino que se debe hacer un mayor énfasis en las implicaciones geométricas de la segunda derivada que van más allá de la concavidad en un sentido superficial (muchos estudiantes revelan dificultades en considerar una curva cóncava cuando no alcanza un máximo como, por ejemplo, en la representación gráfica de la función cúbica). Los resultados de este estudio sugieren que es necesario trabajar con diferentes propiedades de la función por separado para hacer énfasis en la manera como éstas inciden en la subdivisión de los intervalos de dominio de la función, después introducir en un único intervalo actividades que hagan necesaria la coordinación de dos o más propiedades, para así proseguir con la citada coordinación en varios intervalos. Los resultados también sugieren la necesidad de trabajar con funciones en diferentes contextos de representación para consolidar las relaciones entre conceptos, un abordaje cuidado de las implicaciones gráficas de la segunda derivada y su relación con la primera. Se muestra que es necesario dedicar tiempo y esfuerzo a sentar bases sólidas para la integración y articulación de los conceptos, a fin de que los estudiantes logren un conocimiento más profundo del papel que desempeñan las distintas propiedades y los distintos intervalos en el comportamiento de la función. Las ideas principales de este artículo concuerdan con muchas de las conjeturas relativas a la práctica matemática en la enseñanza secundaria portuguesa, en el ámbito de la modelización funcional y el cálculo diferencial, que hemos contrastado empíricamente y cuyos resultados se presentarán en el capítulo III. En particular, la gran dificultad de los alumnos para articular diferentes propiedades de una función en la construcción de una gráfica puede relacionarse con la ausencia casi absoluta, en los manuales escolares, de actividades de modelización funcional que partan de ciertas informaciones relativas a la variación de datos discretos como base para la construcción de un modelo graficofuncional que permita describir y predecir el comportamiento de un determinado fenómeno. En esta memoria postulamos que la representación gráfica de una función debería ser considerada como una rica fuente de información acerca del comportamiento de la misma en lugar de tomarse como un objetivo en sí mismo. Sin embargo los datos 49 relativos a la conjetura C7 (ver secciones 5, 6 y 7 del capítulo III) muestran que en los manuales escolares la inmensa mayoría de las tareas que requieren la representación gráfica de una función toman dicha gráfica como un objetivo en sí mismo. Para resolver la tarea matemática propuesta, los estudiantes podrían construir primeramente la gráfica de la función derivada con el objetivo de sacar informaciones relativas a las propiedades de su función primitiva. Actuando de esta forma los estudiantes tomarían (implícitamente) la gráfica de la función derivada como un instrumento (un modelo funcional si se quiere) para construir la gráfica de la función primitiva. Otra de las dificultades que aparece muy claramente en este trabajo es la de trabajar con tareas inversas a las más habituales. En particular se refleja la dificultad de los estudiantes para construir una gráfica conociendo algunas de sus propiedades, que puede considerarse como la tarea inversa de analizar las características o propiedades de una gráfica ya construida. De nuevo nos encontramos con una dificultad que, en parte, tiene un origen institucional, esto es, en la organización matemática escolar en torno al CDE y la MF de acuerdo con nuestras conjeturas. En efecto los datos empíricos obtenidos de la contrastación de la conjetura C4 (ver secciones 5, 6 y 7 del capítulo III) muestran que en los manuales escolares portugueses la inversión de una técnica para realizar la tarea inversa es extraordinariamente rara. Digamos por último que las dificultades observadas para detectar la existencia de puntos donde la derivada no está definida, pero la función si lo está o para calcular un extremo relativo en un punto en el que la derivada no existe, también están de acuerdo con nuestras conjeturas y, de nuevo, podemos afirmar que tienen, en parte, un origen institucional. En efecto, los datos de nuestras subconjeturas C3.4 y C3.5 (ver capítulo III) muestran claramente que en Secundaria para calcular los extremos relativos de una función la técnica predominante es la de calcular los ceros de la función derivada y la única técnica disponible para buscar los extremos de una función en puntos donde la derivada no existe es la técnica gráfica. En el nivel universitario, Ursini y Trigueros (2006) observaron que, en el ámbito de la resolución de ecuaciones diferenciales, los estudiantes muestran dificultades en identificar una función como la incógnita de la ecuación. Además, cuando la solución de la ecuación diferencial depende del valor de un parámetro, los estudiantes 50 manifiestan dificultades en analizar separadamente los distintos casos posibles que resultan de la variación del valor de ese mismo parámetro. Este hecho es importante porque, como veremos a lo largo de esta memoria, está relacionado estrechamente con el fenómeno de la falta de visibilidad escolar de la modelización funcional que describiremos en la sección 9 del capítulo III. También está relacionado con este fenómeno el hecho que algunos alumnos interpretan la fórmula para el área de manera global y estática y no como un modelo funcional dinámico que permite estudiar la variación de una variable con respecto a otra con el auxilio de las herramientas del cálculo diferencial elemental. En resumen, Ursini y Trigueros concluyen que los cursos de matemáticas avanzadas tienen un impacto positivo en la capacidad de los estudiantes para usar las variables, pero cuando éstos se enfrentan a problemas complejos, incluso los alumnos más avanzados, suelen evitar el acercamiento algebraico y vuelven a utilizar procedimientos aritméticos. Añaden que este hecho puede ser debido a que ni en los programas de estudio, ni en los textos escolares, se hace énfasis en la integración de los distintos usos de la variable, no permitiendo así una comprensión integrada de este concepto. Estas dificultades de interpretación del papel de la variable, del parámetro y de la variación conjunta de dos variables en relación funcional podrían estar directamente relacionadas con la pobreza de las actividades de modelización funcional desarrolladas en la enseñanza secundaria mexicana, tal como hemos observado también en la enseñanza secundaria portuguesa y española (Lucas, 2010; Lucas et al., 2014a, 2014b). De nuevo, la ausencia escolar de tareas que impliquen la simbolización de relaciones funcionales entre variables o, en otras palabras, que requieran la construcción de modelos algebraico-funcionales (ver conjetura C5 en el capítulo III) puede dar cuenta, al menos en parte, de estas dificultades. Citemos, para finalizar, otras de las aportaciones importantes de las investigaciones realizadas en el ámbito de la teoría APOS en relación al cálculo diferencial. Salazar, Díaz y Bautista, en 2009, han presentado un estudio de caso que describe los niveles de comprensión del objeto derivada de seis estudiantes del curso de cálculo diferencial en la Licenciatura en Matemáticas de una universidad de Colombia. El instrumento utilizado fue un cuestionario cuyos criterios se inscribían en la descomposición genética de la derivada. El objetivo del trabajo consistía en recoger información acerca del análisis que realizaban los estudiantes respecto de la variación presentada en situaciones 51 particulares, el uso de representaciones gráficas, tabulares y simbólicas y algunos aspectos relacionados con la comprensión lograda sobre el objeto derivada. En la siguiente tabla se sintetizan algunos de los resultados de este trabajo: Niveles de comprensión del esquema algebraico de la derivada del esquema gráfico de la derivada La razón de cambio instantánea fue obtenida por medio de la variación media y no como el valor de la derivada en el punto de interés. Hay una tendencia a interpretar la derivada en términos del proceso algorítmico utilizado para obtenerla, dejando de lado la interpretación como la razón de cambio instantánea. A partir de la gráfica de la función, determinan el signo de la derivada en cada punto, aplican el criterio de la primera derivada pero, no obtienen la representación gráfica de la función derivada. En este sentido, se infiere que tienen dificultades para hacer generalizaciones y describir lo global. También se nota una tendencia a asociar la gráfica de la función con una expresión algebraica conocida para luego determinar la expresión algebraica de la derivada y, posteriormente, construir la gráfica de la función derivada. Dependencia de la expresión algebraica para describir la razón de cambio de una función, lo cual concuerda con la denominada algebrización del cálculo diferencial. En las funciones a trozos, en las que no existe la derivada en algunos puntos, tienden a calcular la derivada a partir de la expresión algebraica para los intervalos y no indican los puntos en los que la derivada no existe. En problemas en los que se pide para construir la gráfica de la derivada a partir de situaciones en determinados contextos, surge una mayor dificultad cuando los valores de la derivada son negativos. En las situaciones que se refieren a la velocidad instantánea se obtienen más respuestas correctas que cuando la situación se refiere a la razón de cambio de otras variables diferentes a la posición de un objeto en movimiento. Surgen problemas en el tránsito de la gráfica de la función hacia la gráfica de la función derivada y para la construcción de funciones cuando conocen algunas características de las funciones primera y segunda derivada. Hay una tendencia a considerar los contextos gráficos y algebraicos en forma separada. En situaciones en las que se suministra la información a través de una representación gráfica, surgen dificultades para asociar la razón de cambio instantánea con la pendiente de la tangente a la gráfica de la función. Tabla 4 – Niveles de comprensión del esquema algebraico y gráfico de la derivada Por su parte, Badillo (2003), en su tesis en el ámbito de la teoría APOS, ha abordado el problema didáctico de las componentes del conocimiento profesional del profesor de 52 matemáticas con respecto a los conceptos de derivada y de velocidad, proponiendo una descomposición genética del concepto de derivada y caracterizando los niveles de comprensión del esquema de la derivada en las dimensiones gráfica y analítica. Se detectó un fenómeno didáctico en el sistema educativo colombiano que consiste en la confusión entre los macro-objetos y . Un factor que podría estar relacionado con este fenómeno es el hecho que la mayoría de los libros de texto adoptados en Colombia introducen el cociente incremental para definir estos macro objetos. La autora se basó en estudios que muestran las dificultades que tienen los alumnos (profesores en formación) en la comprensión y manejo de los símbolos etc. (Orton, 1980; Tall, 1985; Font, 2000; Azcárate et al., 1996; Dubinsky, Schwingendorf & Mathews, 1995), estudios todos ellos que están de acuerdo con la conjetura C1 formulada y contrastada en el capítulo III de la presente memoria. Es interesante observar que, en general, los trabajos citados se centran en la noción de derivada y en el análisis de los niveles de comprensión (y en las dificultades asociadas) del esquema (algebraico o gráfico) de derivada ignorando, al menos explícitamente, el papel potencial de la modelización funcional para plantear cuestiones y proponer tareas que podrían constituir una posible razón de ser no sólo de la derivada, sino también de cierta organización matemática en torno a la derivada que podemos denominar cálculo diferencial elemental y que caracterizaremos en la sección 4 de este capítulo. 2. El cálculo diferencial en el paso de Secundaria a la Universidad En relación a la forma de introducir los conceptos del Cálculo, especialmente en la transición Secundaria-Universidad, Artigue (2003) considera que en el primer contacto que tienen los alumnos con dicho ámbito sólo se pueden introducir algunas facetas de los conceptos fundamentales y pone como ejemplo paradigmático el concepto de integral. Se trata de una idea que, en un ámbito más amplio era defendida por Poincaré y que significaba que los conceptos no deberían enseñarse desde el principio en su forma definitiva: […] J’ai dit que la plupart des définitions mathématiques étaient de véritables constructions. Dès lors ne convient-il pas de faire la construction d’abord, de l’exécuter 53 devant les élèves, ou mieux de la leur faire exécuter de façon à préparer la définition ? […] Ils n’auront pas compris s’ils ne trouvent autour d’eux, dans la pratique ou dans la nature, la raison d’être de telle ou telle notion mathématique. […] (Poincaré, 1904, p. 266) 2.1. Enseñanza de las nociones básicas del cálculo diferencial en la transición entre la Secundaria y la Universidad Según Tall (1994), los estudiantes de la universidad, de un modo general, revelan dificultades en relacionar las representaciones gráfica y analítica de la noción de derivada. También reseña que los alumnos no hacen la conexión entre el pensamiento visual y el analítico, lo que puede ser un reflejo del tipo de actividad matemática desarrollada como consecuencia de la peyoración (o menosprecio) de los razonamientos que hace uso de la información visual. En particular, en relación a la noción de derivada, esta visualización puede asumir un papel complementario y muy importante en la percepción global del concepto y en la comprensión de algunas relaciones matemáticas asociadas. En algunos países, como Portugal, el primer contacto9 con las integrales se da al inicio del nivel Universitario por medio de la noción de anti-derivada y una aproximación práctica al Teorema Fundamental del Cálculo que permite conectar las anti-derivadas con una noción intuitiva de área basada en la teoría de las integrales de Riemann. Todo esto requiere reconstrucciones sucesivas de las relaciones iniciales que los alumnos tienen con el concepto de integral. Muchas investigaciones se han centrado en este tema con una gran consistencia de los resultados obtenidos en todo el mundo, documentando las limitaciones de las estrategias de enseñanza habituales. Estos resultados muestran que la reconstrucción no puede surgir a partir de una mera presentación de la teoría de la integral de Riemann. En este sentido, Michèle Artigue indica que: […] A través de prácticas docentes estándar, los alumnos obtienen un razonable éxito en cuestiones estándar, pero nada más. Por ejemplo, si se plantea a los estudiantes cuestiones de modelización para que decidan por sí mismos si un problema requiere un proceso integral para su resolución, se quedan estancados por completo o basan sus respuestas en “pistas” lingüísticas, en caso de haberlas, que han aprendido a percibir en las versiones estándar de tales tareas. La mayoría de los alumnos piensa que la forma más segura de enfrentarse con éxito a este dominio no es intentar comprender, sino simplemente comportarse mecánicamente. Me gustaría añadir que no tenemos que ver esto como una 9 Es de reseñar que está prevista la aplicación de un “Novo Programa de Matemática A” para la enseñanza secundaria portuguesa (Despacho n.º 868-B/2014, D.R. n.º 13, 2.º Suplemento, Série II, de 20 de janeiro de 2014) que ya pretende incluir el estudio de primitivas y integrales a partir del año lectivo 2017/2018. 54 especie de fatalidad cognitiva. Simplemente observamos las formas económicas de adaptación de nuestros alumnos a prácticas docentes inadecuadas. (Artigue, 2003, p. 124) Esta cita pone de manifiesto que Artigue ya propugnaba, en 2003, que se utilizasen actividades de modelización funcional para introducir y explorar el cálculo integral. Sin embargo, observó que al plantear una cuestión problemática que incluya implícitamente la utilización de la integración (pero sin ninguna pista lingüística que implique el uso de esa técnica), los estudiantes no la reconocen como un problema a resolver utilizando integrales. La eficiencia no está solamente ligada a las características del problema sino que depende enormemente del tipo de escenario desarrollado para organizar el encuentro de los alumnos con esta nueva faceta del concepto de integral. Como respuesta a este problema, Artigue considera necesario la creación de situaciones, por parte de los matemáticos y físicos, con el objetivo de hacer que los alumnos de primer año de la universidad puedan sentir realmente la necesidad de estudiar el cálculo integral, lo que no es otra cosa que señalar la necesidad de plantear cuestiones problemáticas (emergentes en determinado sistema matemático o extramatemático) que constituyan una posible razón de ser del cálculo integral en el primer curso universitario. En niveles de la enseñanza secundaria, en la mayoría de los países ha sido reconocida la imposibilidad de introducir el Cálculo formalmente. La enseñanza se apoya tanto en una concepción dinámica e intuitiva del límite, basada en exploraciones gráficas y numéricas, junto al uso de técnicas de naturaleza algebraica (Artigue, 1996). Esto permite a los alumnos resolver simples e interesantes problemas de variación y optimización. La transición hacia aproximaciones más formales, que tiene lugar en la Universidad, representa un salto tremendo, tanto desde el punto de vista conceptual como técnico. Por ejemplo, los alumnos deben reconstruir el significado de igualdad y comprender que las igualdades en el cálculo diferencial no vienen dadas, necesariamente, como en álgebra, por una serie de equivalencias sucesivas, sino a partir de aproximaciones (como en el límite o la derivada). Dado que la enseñanza tiende a dejar la responsabilidad exclusiva de la mayoría de estas reorganizaciones a los alumnos, se producen efectos dramáticos para la mayoría de éstos, especialmente en la transición Secundaria-Universidad (Artigue, 2003). 55 2.2. Estrategias alternativas para mejorar la enseñanza del Cálculo La investigación educativa también nos muestra que, con el objetivo de introducir los conceptos básicos del Cálculo, se pueden desarrollar estrategias alternativas con resultados fructíferos. En particular se presta una atención creciente a las relaciones entre los conceptos matemáticos y sus representaciones semióticas. En el Cálculo, la investigación en esta línea ofrece evidencia experimental de que las tecnologías informáticas, si se usan apropiadamente, pueden jugar un papel crucial en la promoción de conexiones flexibles entre representaciones semióticas. Por ejemplo, entre las representaciones gráficas, numéricas y simbólicas de las funciones, y ayudar a las representaciones gráficas a convertirse en herramientas efectivas del trabajo matemático (Tall, 1991; Dubinsky & Harel, 1992). La investigación también muestra que el uso efectivo de las tecnologías informáticas requiere del desarrollo de un conocimiento matemático específico, un requisito que no es fácilmente aceptado por la institución educativa, cuyos valores han sido tradicionalmente definidos con respecto a entornos de lápiz y papel. Sin embargo, no se ha prestado suficiente atención a lo que es realmente una actividad matemática profesional asistida por las tecnologías informáticas ni a las necesidades matemáticas específicas y no-específicas requeridas para convertirse en un usuario eficiente y crítico de las mismas. Estos conocimientos deberían poderse adquirir en cursos matemáticos ordinarios o especiales (Artigue, 2003). En la Universidad, el compromiso principal ya no es el desarrollo de algún tipo de cultura matemática general sino que, en cada una de las disciplinas matemáticas, se pretende desarrollar conocimientos muy específicos para revelar el carácter funcional de la matemática. El aprendizaje matemático no puede seguir siendo considerado, como sucede a menudo, solamente como una ascensión regular hacia niveles más altos de abstracción y formalización. La investigación didáctica nos ayuda a comprender la complejidad de las construcciones cognitivas necesarias y, a la vez, muestra la insensibilidad del sistema educativo a esta complejidad. A su vez, también nos ayuda a entender mejor las dificultades de aprendizaje que nuestros estudiantes tienen que afrontar, la resistencia sorprendente de algunos, y las limitaciones y disfunciones de algunas prácticas de enseñanza. Sin embargo, debemos reconocer que la investigación no nos proporciona una forma general de mejorar fácilmente los procesos de enseñanza y aprendizaje pero, a través de adaptaciones mínimas y sencillas, podamos obtener mejoras sustanciales. 56 Además, en varios casos, la investigación ha conducido a la producción de diseños de instrucción que han mostrado ser efectivos, al menos en entornos experimentales. La mayoría de los diseños basados en la investigación requieren de más implicación y dominio por parte de los profesores, así como cambios significativos en sus prácticas (véase, por ejemplo, Dubinsky, Mathews y Reynolds (1997) con respecto al aprendizaje colaborativo). Por lo tanto, como exigen más tiempo y dedicación por parte del profesor, estos diseños construidos por los investigadores son poco utilizados por no ser fácilmente aplicables en la práctica educativa. Así, lo que tiene que reorganizarse no es solamente el contenido de la enseñanza (no es suficiente con escribir o adoptar nuevos libros de texto), sino cuestiones más globales, tales como las formas del trabajo de los alumnos, los modos de interacción entre alumnos y profesores, y las formas y contenidos de la evaluación (Artigue, 2003). 3. Relaciones que las investigaciones didácticas propugnan entre el cálculo diferencial y la modelización funcional en el inicio de la enseñanza universitaria De un modo general, la derivada que es considerada una noción clave en el estudio del Cálculo, ha sido objeto de especial atención desde distintas aproximaciones teóricas. Se han estudiado, particularmente, las cuestiones de índole cognitiva (concepciones de los estudiantes, esquemas cognitivos y tipos de errores) e instruccional (estrategias y alternativas para la enseñanza de la derivada), tal y como se muestra en Artigue, Batanero y Kent (2007) o en Sánchez, García y Llinares (2008). Sin embargo, como bien señala Gavilán (2005), existen muy pocas investigaciones centradas en los profesores, y menos aún, en los conocimientos que debe de tener un profesor sobre esta noción. Las investigaciones sobre la práctica del profesor en la enseñanza de la derivada se pueden clasificar en dos grupos: aquellas relativas al uso de las nuevas tecnologías (ordenadores, calculadoras gráficas) y aquellas que señalan el uso de problemas de aplicación del Cálculo a diferentes disciplinas científicas como por ejemplo, la física, introduciendo las nociones del Cálculo a través de la resolución de problemas. Estas investigaciones ponen de manifiesto la búsqueda de formas de caracterizar dicha 57 práctica a través del uso de herramientas tecnológicas, presencia de diferentes representaciones o uso de situaciones en las que se aplica el Cálculo (Gavilán, 2005), por lo que denotan una tendencia a relacionar el Cálculo con las actividades de modelización. En 1995, Artigue describió una evolución de la enseñanza francesa relacionada con el uso de las nuevas tecnologías para hacer una entrada relativamente pragmática e intuitiva al cálculo y para promover una aproximación experimental de los problemas centrales de este campo. En los diversos países se ha manifestado la inquietud de desarrollar una primera aproximación al cálculo que sea menos algebraica, menos formal y algoritmizada, con el objetivo de dar un mayor significado a las nociones que los estudiantes van a manipular. Por ejemplo, Rouche (1992) describió un proyecto global de enseñanza cuyo objetivo consistía en hacer nacer y estructurar progresivamente el Cálculo a partir de nociones cotidianas y de los interrogantes que ellas plantean, organizando el proceso de enseñanza alrededor de la resolución de problemas donde la formalización sólo interviniera cuando fuese estrictamente necesaria. La tesis de M. Schneider (1988) pretende analizar la conceptualización de las derivadas y primitivas a partir de objetos mentales10 como el área y el volumen, utilizando problemas con una cierta relevancia histórica. La autora muestra que estas representaciones pueden constituirse en un obstáculo epistemológico que denomina el obstáculo de la heterogeneidad de las dimensiones (Schneider, 1991). Este obstáculo se asocia con los saltos implícitos e incontrolados entre el dominio de los objetos y magnitudes geométricas y el de sus medidas cuando se manipulan simultáneamente magnitudes de dimensiones diferentes (a la unión de magnitudes correspondería necesariamente la adición de medidas). Otras investigaciones se sitúan de forma más radical en la perspectiva de una primera aproximación al cálculo que no haga intervenir explícitamente el concepto de límite. Un primer paso en esta dirección ya había sido dado por David Tall en Graphic Calculus (Tall, 1986). En este enfoque, el entorno informático empleado tenía por objetivo producir «coaligadores» como, por ejemplo, permitir al alumno asociar la derivabilidad 10 Según Artigue (1995), la expresión “objeto mental” se toma con la acepción que le dio Freudenthal, es decir: “toda noción como longitud, número, paralelas, recurrencia, etc. que, sin haber alcanzado el estado de formalización de un concepto matemático y sin inscribirse en una teoría axiomática, no obstante está dotada de propiedades que la convierten en instrumento de organización de un conjunto de fenómenos”. 58 de una función en un punto con la imagen de una función cuya representación gráfica, por acercamientos sucesivos, terminaba por confundirse con una recta, y la noción de tangente globalmente se asimilaba con la de tangente práctica, recta que pasa por dos puntos muy cercanos de la curva. Así, el concepto de límite permanecía implícito. Los resultados de la experimentación presentados en la tesis ponían a prueba las capacidades adquiridas, con el uso de este dispositivo, en el reconocimiento y el trazo gráfico de derivadas (Artigue, 1995). También Kaput (1992), se ubicó en esta óptica de una introducción al cálculo sin la noción de límite y al considerar que: […] el aprendizaje del cálculo [tiene] que basarse en el estudio del cambio y la acumulación cuantificables y en la relación entre los dos. (Kaput, 1992, según la traducción de Artigue, 1995, p.119) Kaput enfatiza que este estudio puede llevarse a cabo en sistemas de representación numérica, gráfica o algebraica. La investigación experimental que realizó se apoyó en un entorno informático denominado MathCars en el cual el usuario controla con un acelerador la velocidad de un vehículo simulado y puede hacer un muestreo en tiempo real de diversas representaciones gráficas y de datos numéricos. Algunas gráficas de muestra pueden proponérsele al estudiante para que él trate de reproducirlas al pilotar él mismo el vehículo. Se trata de desarrollar una primera aproximación gráfica y numérica, dinámica e interactiva al Cálculo, aproximación a la cual se añadirá posteriormente un enfoque más algebraico (Artigue, 1995). Esto nos lleva a creer, de nuevo, que Kaput ya pretendía utilizar actividades de modelización funcional (construcción y manipulación del modelo) para introducir el cálculo diferencial elemental a partir de datos numéricos (discretos), asignando de este modo al cálculo diferencial ciertas funciones en el ámbito de la modelización funcional. 3.1. Investigaciones didácticas relativas al cálculo diferencial e integral Fueron realizadas investigaciones conjuntas por didactas de las matemáticas y de la física, motivadas en particular por las dificultades encontradas para hacer vivir en este dominio una coordinación real entre la enseñanza de las dos disciplinas, en el marco de sesiones experimentales durante el primer año del ciclo universitario (Artigue et al., 1989; Artigue, Ménigaux & Viennot, 1990). El objetivo de estas investigaciones, en 59 primer lugar, consistía en comprender el funcionamiento de la enseñanza de este dominio en las dos disciplinas y sus efectos sobre las concepciones que los estudiantes desarrollaban. Después, progresivamente, la investigación pretendía elaborar dispositivos de ingeniería didáctica que permitieran desde el principio manejar secuencias de enseñanza adaptadas al nivel del ciclo básico universitario, o bien retomar con posterioridad los aprendizajes que se juzgaban como inadecuados (Artigue, 1995). El trabajo empírico para la comprensión del sistema de enseñanza mostró que los procedimientos diferenciales intervenían en el ciclo básico universitario con dos funciones distintas: Como una aproximación puramente local (estudio local de curvas, funciones, superficies, cálculo de errores, etc.). Como una aproximación lineal en el paso de lo local a lo global (investigación de leyes de variación, determinación o definición de magnitudes geométricas o físicas, etc.).11 En esas investigaciones observaron que los manuales de física del ciclo básico universitario se centraban en el nivel puramente local y recalcaban casi siempre tres ideas: el hecho de que el diferencial proporciona una aproximación que se mejora cuando el crecimiento de las variables disminuye; que ella es más fácil de calcular que el crecimiento real; y que, contrariamente al crecimiento, la aproximación es lineal con relación al crecimiento de las variables. Sin embargo, se acentúa tanto una como la otra, sin una articulación verdadera y sin referencia explícita, por lo general, al orden de la aproximación diferencial. El paso de lo local a lo global en sí se trata en términos de recetas o de convenciones y se ilustra con ejercicios donde la lectura diferencial puede hacerse a partir de términos lexicales de la superficie. Artigue reseña que: Las matemáticas del ciclo básico de los problemas que requieren modelaje por ecuaciones por lo general no se consideran, ya que los problemas aparecen directamente formulados en un lenguaje diferencial (se estudia la velocidad de desintegración de un cuerpo radioactivo, o se buscan las curvas cuya tangente posee tal propiedad, etc.). (Artigue, 1995, p.124). 11 Esta última función de los procedimientos diferenciales coincide con la descrita en la sección 8.3 del capítulo III de esta memoria en la que se describen tareas que forman parte de la razón de ser que el sistema escolar asigna al CDE y que, paradójicamente, el sistema escolar no interpreta como actividades de modelización funcional (las hemos denominado modelos funcionales ocultos). 60 Creemos que este comentario de Michèle Artigue revela que, en el primer curso universitario, se observa una total ausencia de articulación entre la modelización funcional y la construcción de ecuaciones diferenciales como modelos para describir la variación de fenómenos con una determinada naturaleza. O sea, en el ámbito del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas ya se parte del modelo diferencial construido (ecuación diferencial ya deducida científicamente), dejando únicamente para el estudiante las tareas relativas al ajuste de los parámetros del modelo diferencial al problema dado, a la resolución de la ecuación diferencial o, por ejemplo, las tareas relativas a la modificación de las condiciones iniciales (manipulación del modelo). La autora observó que los estudiantes, en Física, consideran todo lo concerniente a los procedimientos diferenciales e integrales como “aproximativo” y “cómodo”, es decir, como un sector donde es mejor trabajar de manera bastante mecánica sin demasiadas exigencias en cuanto a la interpretación y justificación del trabajo. Los estudiantes se adaptan a su utilización y aprenden a reconocer las ocasiones cuando toca utilizarlos al mirar los términos que aparecen en los enunciados. Artigue (1995) reseñó algunas dificultades de los alumnos observadas con la propuesta de determinados cuestionarios: 1. Si cortan en “pedazos” para calcular ciertas magnitudes, (no saben el por qué ésto es necesario) Por ejemplo, en un ejercicio propuesto sobre la presión atmosférica, más de 90% de los estudiantes consideraron necesario cortar en “pedazos” verticalmente, la mayoría (70%) atribuía esta necesidad al hecho de que la presión depende de la altitud y no diferenciaban entre el caso de la presión atmosférica y el caso de la presión hidrostática. No diferencian claramente las aproximaciones de modelización de las aproximaciones lineales como etapa del proceso integral 2. Por ejemplo, en la situación de la represa, un tercio de los estudiantes afirmó que el resultado final sería aproximado y mezcló en los comentarios aproximaciones del modelización y aproximaciones asociadas con la utilización del procedimiento integral. 3. Las preguntas del orden de aproximación no intervenían directamente para ellos en los procedimientos diferenciales Por ejemplo, una situación donde se pide explicar por qué el mismo tipo de cálculo da un resultado correcto para el volumen y un resultado erróneo para el área de la esfera es sumamente desestabilizadora, aun para estudiantes avanzados que ingresan a un área de concentración en física o que finalizan sus estudios de matemáticas. Sin embargo, en Matemáticas, a pesar de que el campo de la aproximación es explícito en las definiciones y se puede movilizar, de forma más o menos correcta, en las 61 restituciones de definiciones, tal campo está poco presente en las prácticas y se oculta muy rápido con teoremas más potentes que permiten algebraizar de manera contundente el funcionamiento del cálculo (Artigue, 1995). Carl Winsløw presentó un trabajo cuyo objetivo consistía en precisar la naturaleza de los obstáculos para el aprendizaje del cálculo diferencial en la Universidad y hacer propuestas para la enseñanza con el fin de superar dichos obstáculos. Para ello utilizó diversos enfoques complementarios (las representaciones semióticas, la teoría antropológica de lo didáctico y la teoría de situaciones didácticas) para contestar algunas cuestiones problemáticas, de entre las que destacamos la siguiente: Más allá de la transición institucional secundaria-universidad, ¿en qué consiste este “salto” y estos obstáculos difíciles de superar? (Winsløw, 2007, p. 190) En particular, según las representaciones semióticas, destaca dos obstáculos que marcan una verdadera transición con respecto a: la falta de estrategias de rutina para la organización de los tratamientos que proporcionan la verificación (o más en general, el resultado deseado); la falta de representaciones no discursivas a la propiedad para comprobar. Estos dos fenómenos se encuentran regularmente en la transición del análisis concreto (el Cálculo, funciones) al análisis moderno (el abstracto, espacios de funciones)12. En este último los objetos y sus propiedades no tienen más que una sola forma fiable de representación, y su estudio no admite rutinas de tipo "algorítmico". Éstas son dos rupturas profundas con toda la experiencia anterior de los estudiantes con las matemáticas y, en particular, con el análisis (Winsløw, 2007). Observamos, de nuevo, que estas propuestas encaminadas a superar los obstáculos que aparecen en el estudio del cálculo diferencial en el primer curso universitario y, muy especialmente, para soslayar las dificultades para dar sentido a dicho estudio, no otorgan al cálculo diferencial un papel esencial en la construcción y manipulación de modelos funcionales. 12 Por ejemplo, mientras que la distancia euclidiana es la distancia "natural" para el análisis concreto (donde es parte del discurso teórico), las distancias métricas ellas mismas se convierten en objetos para tareas en el análisis moderno (Winsløw, 2007, p. 195). 62 3.2. La renovación de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales En este ámbito aún más específico del estudio del cálculo diferencial elemental, Artigue (1995) llevó a cabo una investigación de ingeniería didáctica que se desarrolló, en Francia (Artigue & Rogalski, 1990; Artigue, 1992; Artigue, 1994), con el objetivo de renovar la enseñanza tradicional de las ecuaciones diferenciales en el primer año del ciclo básico universitario, dando a los estudiantes una visión más amplia de este dominio, que resumimos en el siguiente esquema: resolución de las ecuaciones diferenciales puede abordarse desde diversos cuadros algebraico resolución exacta numérico geométrico resolución aproximada resolución cualitativa Figura 2 – Diferentes cuadros en la resolución de ecuaciones diferenciales El objeto de la investigación fue elaborar una ingeniería didáctica que estuviera más acorde con la epistemología del campo por medio de la integración en la enseñanza de enfoques numéricos y cualitativos (y no solo algebraicos13) y estudiar las condiciones de viabilidad de un producto de tal naturaleza en el transcurso de experimentaciones sucesivas en la Universidad de Lille1. Primero precisaron las restricciones que se imponían en la enseñanza de este dominio (que permitían explicar su resistencia) e identificaron: I. Restricciones epistemológicas (provenientes de la naturaleza del conocimiento en juego). II. Restricciones cognitivas (asociadas a las características cognitivas de los estudiantes). III. Restricciones didácticas (ligadas a las selecciones y hábitos del sistema de enseñanza). 13 En Francia, la enseñanza de este dominio en el ciclo básico universitario se limita al cuadro algebraico (Artigue, 1995). 63 Por ejemplo, el largo predominio histórico del cuadro algebraico, el hermetismo de las diferentes problemáticas de resolución y la dificultad de los problemas que dan origen a la resolución cualitativa, son restricciones de carácter epistemológico que tienden a obstaculizar la entrada de una dimensión cualitativa en la enseñanza de este nivel. Y en el plano didáctico, hay que reconocer que la enseñanza tradicional, algebraica y muy algoritmizada, es una enseñanza que no plantea problemas y que corresponde a un nivel de exigencia mínima, tanto para los estudiantes como para los profesores, en este primer año de universidad (introducir un enfoque cualitativo que, si bien es susceptible de métodos, no es algoritmizable, aumenta el interés de la enseñanza y también su dificultad). Artigue (1995) reconociendo estas restricciones y tratando de actuar sobre ellas, se construyó un proceso de ingeniería basado en un cierto número de decisiones globales como las siguientes: a) Hacer explícito, en una fase preliminar a la enseñanza de las ecuaciones diferenciales, el cambio deseado en el status del cuadro gráfico por medio de un trabajo adaptado sobre las curvas y funciones. b) Apoyarse en la informática para manejar la dificultad cognitiva del enfoque cualitativo, por medio de la construcción de tareas de complejidad variada (trazos de soluciones sobre campos de tangentes dadas, asociaciones de flujos con ecuaciones diferenciales, interpretación de flujos obtenidos con un computador, producción de flujos parcialmente asistida por computador, etc.). c) Enseñar de manera explícita métodos para organizar la resolución cualitativa. d) Limitar la complejidad en el cuadro algebraico, restringirse principalmente al estudio de las ecuaciones diferenciales lineales y a las de variables separables y transferir el núcleo del trabajo algorítmico a un trabajo autónomo. A continuación Artigue procedió con el proceso de enseñanza en 7 fases, organizadas cada una en torno a situaciones claves: 1) Las necesidades internas y externas a las matemáticas a las cuales responde la herramienta de la ecuación diferencial (taller de modelización organizado con base en los resultados de la investigación anterior). 2) La introducción a la resolución cualitativa. 64 3) La resolución algebraica. 4) La complementariedad de los enfoques algebraico y cualitativo. 5) La introducción a la resolución numérica. 6) Los métodos de la resolución cualitativa. 7) La integración de las diferentes herramientas en la resolución de problemas más complejos (bajo la forma de proyectos). Las experimentaciones sucesivas mostraron la viabilidad “teórica” de este tipo de enseñanza y el interés que ella puede generar en los estudiantes, a pesar del aumento en la dificultad. Al mismo tiempo, se especificaron las dificultades que ese tipo de enseñanza debía superar para poder sobrevivir. Este análisis a posteriori llevó a distinguir tres tipos de tareas en la resolución cualitativa y tres niveles de interacción entre los registros gráficos y algebraicos asociados: La interacción ligada a la interpretación. La interacción relacionada con la predicción. La interacción unida a la justificación. Artigue observó que: Desde el primer año, los resultados obtenidos mostraron que, para los estudiantes involucrados en la investigación, la interpretación no presentaba problemas particulares de accesibilidad y que la actuación de los estudiantes era satisfactoria a nivel de la predicción. Por el contrario, en el nivel de las justificaciones, tanto si se trataba de probar el cruce o no cruce de curvas, como de demostrar o refutar la existencia de asíntotas, el porcentaje de éxito no sobrepasaba el 20%. (Artigue, 1995, p.130) Con el objetivo de ultrapasar esta dificultad, en un segundo momento, introdujeron directamente herramientas de justificación en el nivel gráfico para permitir a los estudiantes adquirir una autonomía razonable en las justificaciones. Sin embargo, esas herramientas plantearon problemas “terribles” de integración didáctica. De hecho, ellas cuestionan con profundidad el status tradicional del cuadro gráfico, al presentarlo como un cuadro de justificación. Este cambio de status no se puede negociar tan sólo en el campo de un contrato local reservado a las ecuaciones diferenciales, sino que implica necesariamente a la enseñanza del cálculo como un todo. Casi en todos los casos, las aproximaciones intuitivas basadas en la exploración de fenómenos con frecuencia asociadas con la utilización de tecnologías informáticas, reemplazaron, o tendían a reemplazar, las aproximaciones formales que habían 65 acompañado la reforma de las matemáticas modernas. Estos enfoques sin duda alguna proporcionan al estudiante una familiaridad, un contacto enriquecedor con un cierto número de fenómenos o de objetos relevantes en el campo del cálculo. Sin embargo, Artigue (1995) reseña que la experiencia didáctica debe incitarnos a desconfiar un poco de los discursos muy entusiastas que acompañan con frecuencia las reacciones ante la caída de un orden tradicional. Advierte que debemos estar atentos a lo que en los enfoques intuitivos permite establecer una cierta distancia frente a las acciones locales, muy contextualizadas, a lo que permite la capitalización y la estructuración de la experiencia, y a la forma como se distribuye en este nivel el trabajo del profesor y el trabajo del estudiante. Es importante subrayar que en esta investigación didáctica dirigida a renovar la enseñanza de las ecuaciones diferenciales, las actividades de modelización juegan un papel importante como ámbito en el que es posible mostrar una posible razón de ser y verdadera importancia del estudio de técnicas para la resolución de las ecuaciones diferenciales. 3.3. Investigaciones didácticas relativas a las actividades de modelización Galbraith (2011) presentó las características de diversas articulaciones de modelización matemática y sus aplicaciones, con el objetivo de explicar cómo interactúa la modelización matemática con las propuestas curriculares de la educación matemática australiana, en particular, con la siguiente: […] mathematics aims to ensure that students are confident, creative users and communicators of mathematics, able to investigate, represent and interpret situations in their personal and work lives and as active citizens. (Galbraith, 2011, p. 280) citando (Australian Curriculum, Assessment and Reporting Authority [ACARA], 2010) Considera que la modelización vista como un ajuste de curvas se ha tornado cada vez más relevante con la disponibilidad de menús de regresión en software (GeoGebra, Excel, etc.) y en calculadoras gráficas. Sin embargo, reseña que un modelo generado de esta forma se puede transformar en un artefacto puramente técnico cuyos parámetros varían de acuerdo con el conjunto particular de datos, y que puede generarse en completo desconocimiento de los principios subyacentes a la situación real y construido sin el conocimiento de donde proviene una tabla de datos. 66 Esto conduce a una cuestión teórica profunda que hace referencia a la relación entre los datos como tales, como una simple tabla de números, y la estructura teórica que sustenta su generación. Por ejemplo, las curvas resultantes del ajuste a los datos referentes a la evolución de poblaciones por la utilización sucesiva de un conjunto de regresiones disponibles en la calculadora gráfica deberían tener un patrón exponencial subyacente. Así, podremos decir que el ajuste tecnológico de datos reales por medio de curvas pasa a ser una importante actividad dentro del proceso de modelización, pero cuando se utiliza de forma inconsciente, aislada, sin considerar la interpretación del modelo construido en el contexto real y la naturaleza de los datos involucrados, crea una peligrosa aberración del concepto de modelización funcional. Es esencial eliminar la separación entre la búsqueda de una relación matemática mediante un modelo funcional y el tipo de datos que se pretende ajustar (su tipo de variación, las restricciones y condiciones impuestas a los parámetros). Aunque Galbraith subraya la importancia de la construcción de modelos funcionales a partir de datos discretos reales, no habla del relevante papel que el cálculo diferencial podría tener en esa misma construcción y posterior manipulación del modelo. En conclusión, en este estudio el autor parece no explicitar la relación entre la modelización funcional y el cálculo diferencial. Por otra parte, Galbraith también asigna una gran importancia al papel de la modelización como un vehículo para la enseñanza de otras matemáticas al citar Zbiek y Conner (2006): […] we recognize that extensive student engagement in classroom modeling activities is essential in mathematics instruction only if modeling provides our students with significant opportunities to develop deeper and stronger understanding of curricular mathematics.” (pp. 89–90) De esta forma, las actividades de modelización sirven para dar sentido y para mejorar la comprensión de la utilidad de ciertos contenidos matemáticos. Esta contribución está de acuerdo con la interpretación de la modelización matemática como un concepto transversal a todo el currículo de matemáticas. En la misma dirección, Lesh y asociados (e.g. Lesh & Doerr, 2003) utilizan Model Eliciting Activities (MEAs), o sea, secuencias de actividades cuidadosamente planeadas y orquestadas para generar conceptos matemáticos, para su consolidación y su mejoramiento. 67 3.4. Investigaciones didácticas relativas a la enseñanza del cálculo diferencial en el ámbito de la modelización funcional Cantoral y Mirón (2000) presentaron un estudio de los efectos que la incorporación de la tecnología avanzada produce en el campo de la enseñanza del cálculo diferencial elemental, en particular, en las relaciones entre una función y su función derivada o entre una función y sus funciones primitivas. De este modo, empezaron por reseñar que un estudiante de un curso de cálculo debe concebir la función como un proceso sobre números pero, también la debe considerar como un objeto que podrá ser operado bajo otro proceso como la diferenciación o la integración: objecto •número •diferenciación •integración •función objecto proceso •matemáticas más avanzadas procesos Figura 3 – Elementos del cálculo diferencial como objetos y procesos La identificación de la función como un objeto de integración resulta difícil para los estudiantes y, consecuentemente, este hecho es un obstáculo que no va a permitir que el alumno tome la función como la incógnita de una ecuación diferencial y surjan dificultades semejantes a las observadas en Ursini y Trigueros (2006) que fueran descritas anteriormente. Cantoral y Mirón (2000) defienden que la incorporación de elementos visuales como parte de la actividad matemática permite la manipulación de la función no sólo como objeto, sino que además, permite el tránsito versátil entre sus diferentes representaciones: algebraica, geométrica, numérica, icónica y verbal. De este modo, y en el ámbito de la presente memoria, podremos considerar estos elementos visuales como una herramienta útil para desarrollar actividades de modelización funcional, en particular, en el proceso de construcción del modelo algebraico funcional a partir de datos discretos representados gráficamente, por un modelo numérico (tabla de valores), o incluso, por un modelo verbal. Sin embargo, los citados autores refieren que el problema didáctico consiste esencialmente en la dificultad cognitiva para adquirir maestría en el contexto 68 geométrico (por ejemplo, es mucho más fácil mostrar la existencia de una raíz doble algebraicamente que geométricamente). De este modo, postulan que, antes del estudio del cálculo, es necesaria la adquisición de un lenguaje gráfico que posibilite la transferencia de campos conceptuales virtualmente ajenos, para articular mejor el estudio gráfico de curvas con su representación algebraica. Una de las dislexias escolares explicadas por las recientes investigaciones señala que: […] la enseñanza habitual del análisis matemático logra que los estudiantes deriven, integren, calculen límites elementales sin que sean capaces de asignar un sentido más amplio a las nociones involucradas en su comprensión. De modo que aun siendo capaces de derivar una función, no puedan reconocer en un cierto problema la necesidad de derivar. Así también, pueden encontrar una derivada sin asumir que el resultado obtenido mediante la derivación sea a su vez una nueva función susceptible de derivación. (Cantoral & Mirón, 2000, p. 269-270) Esta dislexia (o desarticulación) es plenamente coherente con las conjeturas (formuladas en el capítulo III) relativas a la actividad matemática desarrollada en la enseñanza portuguesa en el ámbito del cálculo diferencial elemental y la modelización funcional. En particular, cuando postulamos que tareas que implican de alguna forma la interpretación de una técnica del CDE no sean frecuentes en los manuales escolares, tal como, por ejemplo, la interpretación de la derivada como variación de una variable con respecto a otra (conjetura C2.3 del capítulo III). La introducción del concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente presupone que la noción de pendiente (estudiada por los alumnos entre los 12 y 14 años de edad) haya adquirido una cierta estabilidad funcional. Además, la explicación de procesos infinitos puede ser muy espinosa para el profesor y la capacidad de vislumbrar situaciones límites es algo rara en los estudiantes. Por todo ello, Cantoral y Mirón (2000) utilizaron un diseño experimental basado en el concepto lagrangiano de derivada, o sea, la derivada no surgirá como el habitual límite de un cociente, sino como un coeficiente de un desarrollo: Usual No usual Figura 4 – Diferentes interpretaciones del concepto de derivada 69 Indican que, desde el punto de vista sociológico, la razón de ser de la noción de derivada reposa en la posibilidad de utilizarla en contextos que requieran de la predicción de fenómenos de cambio. En las prácticas humanas la derivada no se entiende exclusivamente como el límite del cociente incremental, sino como un instrumento para estudiar la evolución de un proceso de cambio, de crecimiento o de decrecimiento. Esta idea ha sido parcialmente expuesta en diversos trabajos de investigación como, por ejemplo, Azcárate (1990), Cantoral y Farfán (1998) y es también la interpretación que adoptamos en esta memoria. Desde el punto de vista de la matemática de la situación, Cantoral y Mirón (2000) han planteado determinadas tareas con el objetivo de establecer una relación entre la función derivada y su primitiva, creando la necesidad del cambio coordinado de registros de representación matemática: gráficos, algebraicos y numéricos. Así, por un lado, han propuesto actividades de modelización funcional que condujesen a la necesidad de manipular los parámetros y de la función cuadrática , con la calculadora gráfica, hasta hacerla coincidir con una recta dada de manera que el contacto fuese efectivamente tangencial en el punto indicado. O sea, desde nuestro punto de vista, propone una actividad que, al ser resuelta sin el auxilio de la calculadora gráfica, podría servir como un ejemplo claro para justificar el papel del cálculo diferencial en la construcción del modelo funcional algebraico: Para contestar a la primera tarea, el alumno podría resolver el siguiente sistema cuya solución es una familia de parábolas: Sin embargo, los autores sugieren que el alumno reconozca la regularidad lineal cuando , vinculada con la definición de derivada lagrangiana, o sea, que los términos no cuadráticos de la ecuación de la función cuadrática correspondan exactamente a los términos de la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa , construyendo así el modelo con el conocimiento de la relación entre la parábola es, y la recta , esto . De modo inverso, para resolver la segunda tarea se podría, siguiendo la técnica escolar habitual, derivar la función cuadrática para descubrir la pendiente de la recta tangente en 70 el punto de abscisa y después utilizarla para encontrar la ecuación de la recta, utilizando así explícitamente el cálculo diferencial para construir el modelo. Pero, una vez más, los autores sugieren una primera exploración del problema con la calculadora gráfica y posterior confirmación con la relación . De este modo, podremos concluir que Cantoral y Mirón (2000) al proponer la construcción del modelo como resultado de la manipulación de los parámetros con la calculadora gráfica y consecuente validación con la definición de derivada lagrangiana torna implícito el papel del cálculo diferencial como herramienta para la construcción del modelo algebraico funcional cuadrático o lineal. Posteriormente, propone modificar las condiciones iniciales o variables de control (la posición de la recta, el punto de tangencia, etc.) para garantizar que la técnica ha sido adecuadamente comprendida por los estudiantes y que éstos consiguen elegir la técnica adecuada para resolver una determinada tarea propuesta al poner en funcionamiento los recursos y estrategias de partida. También se utiliza la manipulación y cambio de parámetros como una variable didáctica o instrumento de control por parte del alumno, para verificar la certeza de sus predicciones. Por otro lado, dicha posibilidad de variar los parámetros permite dejar de buscar una parábola en particular y pasar a buscar una familia de parábolas que satisfagan las exigencias del problema, interpretada como un conjunto de funciones con propiedades comunes (esta identificación obedecería a la conjetura C.9 del capítulo III). Este paso del estudio de una parábola concreta al estudio de una familia de parábolas, se corresponde al paso del primero al segundo de los niveles de modelización funcional en el sentido de Ruiz-Munzón (2010) (ver sección 3.3. del capítulo I), y pretende favorecer estrategias de formulación y validación del saber matemático que se desea ver aparecer entre los estudiantes. Por ejemplo, en el caso particular presentado por Cantoral y Mirón (2000), de buscar parábolas tangentes a una determinada recta en el punto de abscisa 0, la imbricación entre la parábola sea, y la recta , en el dominio de sus expresiones algebraicas, o , proporciona al estudiante un elemento de control de la situación. También cuando se pretende que los estudiantes busquen parábolas tangentes a una determinada parábola en un cierto punto, espera que éstos utilicen la recta tangente a la parábola dada en el punto en cuestión como instrumento intermediario 71 para llegar a la parábola-solución (utilizar la “derivada” para encontrar una segunda “primitiva”). Para realizar este trabajo surge la necesidad de articular los diferentes registros de funciones: algebraico, gráfico y numérico; utilizando una verificación en principio algebraica, pero básicamente visual- gráfica. En el mismo trabajo se proponen actividades que impliquen la necesidad de revertir los procedimientos o, en otras palabras, tareas que conduzcan a la inversión de las técnicas para resolver el problema inverso del inicial. En este tipo de actividades como, por ejemplo, partir de una recta para encontrar una parábola de la cual aquella sea su derivada aparecen dificultades importantes a pesar del auxilio de la calculadora gráfica, lo que concuerda con los resultados obtenidos en la contrastación empírica de la conjetura C4 del capítulo III: […] estas actividades presentarán una serie de dificultades adicionales a las actividades anteriores, pero resultarán fundamentales para emitir algún tipo de juicios que no se limite al juego del contrato didáctico. De algún modo, estas actividades buscan un cierto principio de reversibilidad en sus respuestas. (Cantoral & Mirón, 2000, p. 276) Por ejemplo, para construir la gráfica de una función primitiva a partir de la gráfica de una función, los estudiantes utilizaron intuitivamente la naturaleza inversa de las relaciones entre las funciones y usaron transformaciones gráfico-algebraicas cuyas justificaciones se apoyaban fundamentalmente en aspectos visuales y no algebraicos. Básicamente, las actividades proponían la construcción de una función derivada y la anticipación de una primitiva, revelando la existencia de una ingenua articulación entre la modelización funcional (construcción del modelo diferencial) y el cálculo diferencial elemental (anti-derivada) en el ámbito de las funciones lineales y cuadráticas. En otras palabras, este trabajo parece poner de manifiesto, de una forma intuitiva, la utilidad de la anti-derivada para construir un modelo lineal o cuadrático a partir de su modelo diferencial asociado. Una revisión documental de las investigaciones sobre pensamiento matemático avanzado, muestra la existencia de una gran cantidad de estudios que ponen de manifiesto las profundas dificultades de aprendizaje por parte de los alumnos cuando se pretende que las ideas del cálculo diferencial elemental sean adquiridas en una primera enseñanza (Artigue, 1998). Sin embargo, muchas de ellas se olvidan del hecho de que la matemática escolar está al servicio de otros dominios científicos y de otras prácticas de referencia, de donde a su vez adquiere sentido y significación, tal como, por ejemplo, la 72 matematización de la predicción de los fenómenos de cambio. Para acceder a este estilo de pensamiento esencial para el estudio del cálculo diferencial elemental, se requiere del manejo de un universo de formas gráficas extenso y rico en significados por parte del que aprende (Cantoral & Mirón, 2000). Algunos años después, Cantoral y Reséndiz (2003) desarrollaron una investigación que formó parte del proyecto P&LV (Pensamiento y Lenguaje Variacional 14) que surgió debido al hecho de que la enseñanza del cálculo había sido entendida como el desarrollo de habilidades algorítmicas y algebraicas (para derivar, integrar y optimizar variables) y no suela plantear al estudiante escenarios para la significación de la variación. Así, durante un semestre completo, los investigadores observaron los discursos de varios profesores, las interacciones y los feedbacks de los alumnos de la asignatura de Matemáticas I en las carreras de Ingeniería de Sistemas, Bioquímica y Electrónica, cuando el estudio se centraba en las nociones de función y derivada como modelos para el estudio de la variación, como parte del currículo del cálculo diferencial e integral. La enseñanza del cálculo diferencial e integral ha sido siempre problemática para el profesor (Robinet & Speer, 2001), y tal vez, por no ser una tarea sencilla para explicar y hacer comprender sus principios y su razón de ser en los currículos de las asignaturas, los profesores se limitan a enseñarlos de forma mecánica y a evaluar los respectivos conocimientos según un dominio algorítmico y de naturaleza algebraica. Es cierto que este tipo de enseñanza y evaluación podrá ayudar a disminuir los elevados niveles de fracaso por parte de los estudiantes en las correspondientes asignaturas, pero esta disminución será ilusoria, toda vez que, a pesar de que cuantitativamente los resultados serán mejores, en términos cualitativos se habrá perdido la comprensión de los conceptos, la justificación de las técnicas y, más aún, de la razón de ser de dicho estudio. Según Cantoral y Reséndiz (2003), el cálculo tiene un papel primordial en matemáticas y ciencias como un conjunto de conocimientos teóricos y empíricos indispensables en la educación superior tanto de las ciencias como de las humanidades, una vez que, el cálculo es la herramienta matemática que ha servido para la descripción de los fenómenos de un mundo cambiante, en otras palabras, se ha dicho que es la matemática 14 De entre las múltiples orientaciones, esta línea de investigación, tiene en cuenta los problemas y situaciones que se abordan y resuelven en el terreno de lo social mediante estructuras variacionales consideradas tanto en la escuela como en el laboratorio (Cantoral, 1997). 73 del cambio y de la variación. Sin embargo, tradicionalmente el cálculo ha sido entendido como el estudio de los procesos inversos de derivación e integración en un contexto simbólico. Han surgido diversas investigaciones en las cuales se analiza por qué los estudiantes universitarios de ciencias físicas o de ingeniería otorgan significados pobres a algunos símbolos utilizados en la enseñanza del cálculo diferencial e integral como, por ejemplo, o, simplemente, (Pulido, 1998; Artigue, 1991). Cantoral y Reséndiz (2003) observaron, en las explicaciones de los profesores de Universidad, que el uso rígido y muy predominante de la simbología conduce a una pérdida de información, en particular, impide, de inmediato, la posibilidad de interpretar la derivada como una variación de los valores del cociente: Si tu cambias la , ¿cómo va a cambiar la función?”. Esta afirmación concuerda con los resultados empíricos obtenidos en la contrastación empírica de la conjetura C1.5 (ver capítulo III), según la cual los libros de texto de la enseñanza secundaria portuguesa muestran una nítida predominancia del uso de la nomenclatura sobre la notación para representar la función derivada de una función La creencia de que el fenómeno de la rigidez de la nomenclatura, en el ámbito de la actividad matemática desarrollada en torno al CDE y a la MF, puede dificultar la interpretación de la derivada como una variación de una variable con respecto a otra, es coherente con la descripción del modelo epistemológico dominante15 en las instituciones escolares. Por otro lado, Cantoral y Reséndiz (2003) describen, a través de las explicaciones de los profesores de Ingeniería, que los docentes otorgan al cálculo diferencial el papel de instrumento útil para graficar más rápidamente funciones no elementales, intentando mostrar a los estudiantes que esta es la razón de ser del estudio del Cálculo, en particular, del estudio de la función derivada: 15 En particular, con los resultados de la contrastación empírica de la subconjetura C2.3: El cálculo de la derivada de una función no suele incluir la interpretación del resultado en términos de variación de la función y, consecuentemente, con los resultados de la contrastación de la subconjetura C5.2: En los manuales escolares aparecen muy pocas situaciones de modelización funcional que requieran explícitamente la interpretación del trabajo del modelo en términos de variación de una variable respecto de otra (ver capítulo III). 74 Para hacer la gráfica de con la mejor información posible tenemos necesidad del cálculo, o sea, necesitamos saber derivar… para saber donde cambia la forma de la gráfica (variación de las pendientes). Explicación de un profesor de Universidad (Cantoral & Reséndiz, 2003, pp. 149). Sin embargo, las interacciones y reacciones de los alumnos no fueron las esperadas por el profesor, toda vez que éstos se resistieron al uso del instrumento del cálculo diferencial por no sentir la necesidad de utilizarlo. Continuaron creyendo que es siempre posible representar gráficamente una función recurriendo a la técnica de la tabulación, no percibiendo “en la práctica” que esta técnica puede ser muy costosa y lenta (poco económica). Al estudiar las explicaciones didácticas de los profesores sobre la variación identificaron en dichas explicaciones cinco tipos de perspectivas de la noción de función como variación: El modelo numérico (la tabulación como variación numérica16, que en esta memoria denominaremos modelo numérico variacional); El modelo de la representación geométrica (construcción de graficas variando el punto de referencia como, por ejemplo, desplazando el vértice, moviendo el origen o la asíntota, recurriendo a las traslaciones o rotaciones para mover la gráfica, a la variación de los parámetros que multiplican una función, la inclinación, sube o baja, crece o decrece, etc.); El modelo algebraico (el empleo de parámetros como variables principales, la interpretación del efecto de su manipulación sobre la gráfica). El modelo de la comparación a/b (la derivada interpretada como una covariación, como la variación de los valores del cociente, la variación de un ángulo, de un punto de referencia); El modelo del lenguaje natural (expresiones verbales con referencia a situaciones cotidianas) Dichas formas de explicar la noción de variación en el aula se crean bajo el discurso construido tanto por el maestro como por sus alumnos, atendiendo a la especificidad del saber en juego, de acuerdo con la teoría de las situaciones didácticas, la cual destaca el 16 En el sentido de que es el numero el que ordena la posición de los puntos y la tabla de valores la que guía la secuencia de construcción de la gráfica. 75 hecho de que la situación de aprendizaje genere una serie de interacciones que hagan funcionales la comunicación y el intercambio de ideas. La noción de variación se apoya fuertemente en la de variación numérica, mientras que el modelo más utilizado fue el de la tabla de valores. Según Cantoral y Reséndiz (2003), en las explicaciones de los profesores acerca de la construcción de este modelo de variación numérico (tabulación) surgen preguntas del tipo: I. II. III. ¿Por qué seleccionamos siempre números enteros? ¿Por qué no evaluamos en más números? ¿Por qué unimos los puntos? Para contestar a la primera pregunta, el profesor “observado” por los investigadores alude a la sencillez que da el trabajar con enteros y lo difícil que resultaría trabajar con fracciones. A la segunda pregunta responde que el alumno deberá evaluar en el número de puntos que considere necesario para visualizar bien la forma de la gráfica. Al intentar responder a la tercera pregunta, el profesor se contradice puesto que utiliza la idea de la evaluación y comportamiento de los puntos intermedios (usando una sucesión de puntos, etc.), aunque dichos puntos eran aquellos de los que él había mencionado que era complicado tabular, o sea, las fracciones. Su respuesta a la pregunta ¿Por qué unimos los puntos? es la siguiente: […] porque entendemos que los demás puntos intermedios, también los puedes evaluar y encontrar con su respectiva pareja, entonces los unes y te da esta figura que representa una recta, ahí está, […] Explicación del profesor observado (Cantoral & Reséndiz, 2003, pp. 139). De este modo creemos que también podrá haber surgido, en las explicaciones de dichos profesores, la idea de interpolación de puntos (en referencia al estudio del comportamiento de los puntos intermedios), la idea intuitiva de límite (como valor para el cual se aproxima la sucesión de puntos) y, como principal obstáculo, la gran dificultad en justificar el paso del campo discreto al continuo. Dentro del mismo enfoque teórico, Cordero (2006) presentó un trabajo sobre la modelización funcional en el que se refiere a la linealidad del polinomio como un argumento gráfico que consiste en identificar que la parte lineal de cualquier polinomio es precisamente la recta tangente a la curva del polinomio, en el punto de abscisa 0. 76 Reseña que la linealidad adquiere importancia cuando es resignificada como la recta que se le suma al término de mayor potencia del polinomio para afectar su comportamiento. La variación de parámetros de la recta ayuda a identificar un patrón de comportamiento de la gráfica de la función polinómica. Consiste en que la curva tiende a comportarse como la recta en la vecindad del cero, y fuera de ésta las “ramas” de la curva recuperan su comportamiento de acuerdo a la potencia mayor del polinomio. Con tal argumento, se generan relaciones gráficas y analíticas, tales como: a partir de la parte lineal del polinomio se pude predecir (bosquejar la gráfica) el comportamiento del polinomio y a partir del comportamiento de una curva (gráfica) se puede estimar el polinomio correspondiente, como sugiere la figura: Figura 5 – Linealidad del polinomio (Cordero, 2006) De este modo, establece una relación implícita entre el papel de la función derivada y de la ecuación de la recta tangente a una curva en un determinado punto (o sea, una parte del estudio del cálculo diferencial) en la construcción de modelos funcionales polinómicos. Cordero destaca que es posible diseñar situaciones donde la predicción sea el argumento que permita generar la resignificación de lo que varía, tanto para cantidades discretas como continuas, estableciendo procedimientos cada vez más complejos para expresar cantidades que se transforman y que fluyen como, por ejemplo: 77 […] desde un juego de canicas para predecir un nuevo monto de canicas cantidad que se transforma a la cantidad y es la variación) hasta predecir la posición de un móvil con respecto al tiempo la nueva posición y ( es la siendo la posición inicial, la variación. Asimismo, la suma de funciones significa una situación de comportamiento local y global que tendrá que ser resignificado hasta alcanzar la estabilidad de las ecuaciones diferenciales lineales , por medio de la modelación o bien graficación como una práctica social. (Cordero, 2003, p. 15) Sugiere la reproducción en el sistema educativo de varias investigaciones de las cuales subrayamos las siguientes: - Las resignificaciones en la modelación: caracterizar la modelación como una práctica social a través de situaciones de variación y cambio (Suárez, 2002). - Las argumentaciones en la modelación del movimiento del resorte: la ecuación diferencial de segundo orden y la función continua a trozos. Se formula una epistemología para modelar el movimiento del resorte donde se confronta las concepciones de continuidad euleriana y moderna para establecer la estabilidad de la solución de la ecuación diferencial, y se diseña la situación didáctica (Hernández & Cordero, 2002). Bravo y Cantoral (2012) presentaron los resultados del análisis de ocho libros de Cálculo identificando anomalías en el seguimiento de las explicaciones que se desarrollan acerca del integral de línea de funciones, de ecuaciones diferenciales lineales y de campos vectoriales. Con base en la Teoría de la Transposición Didáctica, los autores tipificaron dichas anomalías como: vacíos explicativos, rupturas en la secuencia lógica de las explicaciones e incongruencias entre las definiciones formales y los ejemplos que se resuelven. En particular, se realizó un seguimiento del concepto de integral de línea a fin de explicar el por qué en los textos de Fisicoquímica, en el enunciado de la primera ley de la Termodinámica, se utiliza el concepto de diferencial inexacta para representar matemáticamente “pequeños cambios de calor” o “pequeñas cantidades de trabajo realizado”, y en los textos de cálculo dicho concepto no se registra como tal. Los autores refieren que de los ocho textos17 revisados, sólo uno (C. Pita Ruiz) ha escapado al siguiente esquema general en la organización escolar en torno a la integral de línea: 17 W. A. Granville (1982), R. Courant (1996), C. Pita Ruiz (1995), R. Larson et al. (1999), Thomas G. y R. Finney (1986), E. Sowkowski (1989), J. Stewart (2002) y N. Piskunov (1973). 78 Figura 6 – Esquema escolar habitual en torno a la integral de línea (Bravo & Cantoral, 2012, p. 95) También subrayan otra de las consecuencias de la transposición didáctica: la delimitación del saber y la correspondiente atomización que conduce al registro de saberes parciales explicados de manera ficticiamente autónoma. O sea, la necesidad de darle un tratamiento didáctico al conocimiento matemático que es complejo e intrincado, conduce a la separación de conceptos que están fuertemente imbricados provocando una segmentación del saber. Por ejemplo, la separación entre el cálculo diferencial e integral, que para muchos profesores y autores de manuales es didácticamente adecuada, para Courant (1996) representa una dificultad para entender la reciprocidad entre los procesos de derivación e integración. En este estudio analizaron los distintos significados del proceso de integración que se desarrollaron a través de la historia del cálculo: Integral como una suma de un número infinito de “cantidades infinitamente pequeñas”. Integral como proceso de antiderivación. Integral como la existencia del límite de las sumas de Riemann. Y concluyen que, como resultado de la transposición didáctica, los libros analizados presentan definiciones formales de los conceptos centrales del cálculo (función, derivada, diferencial e integral), eliminando sus primeras ideas (diferenciales inexactas en Termodinámica) que, según Bravo y Cantoral, son convenientes para que el lector se familiarice con esta disciplina. En este sentido, reseñan que: […] sería didácticamente adecuado utilizar los diferentes significados y definiciones que se dieron a través de la historia para que a partir de su análisis e identificación de sus limitaciones se perciba la necesidad de construir definiciones más exactas y formales. (Bravo & Cantoral, 2012, p. 120) Por otro lado, advierten que estos vacíos explicativos se convierten con frecuencia en obstáculos cognitivos para los estudiantes de fisicoquímica puesto que éstos no encontrarán, por ejemplo, el término diferencial inexacta ni su explicación matemática 79 correspondiente. Como consecuencia de los resultados de este estudio exploratorio, Bravo y Cantoral sugieren: […] pensar en formas más creativas de organización de contenidos de los textos para contribuir, en la medida de lo posible, a eliminar los efectos negativos del proceso transposición que sufre el saber matemático. Una manera de cambiar la clásica secuencia de contenidos de los manuales sería estructurar los conceptos del cálculo alrededor de preguntas o problemas abiertos, esto posibilitaría la integración de conceptos y la significación de los mismos. (Bravo & Cantoral, 2012, p.119-120) Para finalizar esta breve exposición de trabajos que sitúan la enseñanza de las ecuaciones diferenciales en el ámbito de la modelización, consignaremos una investigación de María Trigueros (2009). Esta autora ha descrito algunas experiencias de uso de la modelación funcional en la enseñanza de las ecuaciones diferenciales a estudiantes de diferentes licenciaturas, analizando las dificultades encontradas y la forma en que se ha optado por introducir los conceptos matemáticos a enseñar. Con la intención de introducir la idea de variación y su posible expresión mediante el uso de ecuaciones diferenciales, así como la noción de solución de una ecuación diferencial, el papel y la relevancia de las condiciones iniciales y la función que los parámetros tienen en la modelación, se desarrolló un proyecto que ha nacido de una cuestión abierta (descrita a la derecha) en una clase de matemáticas aplicadas Proyecto “Modelo de precios” Una compañía requiere la forma en la que pueda predecir el precio, de cualquiera de sus productos, en un mercado en el que hay expectativas de los consumidores. El gerente de la compañía solicita colaboración para encontrar un modelo adecuado, además de una presentación en la que se justifique con claridad por qué se considera que el modelo es pertinente y se proporcione información del mercado real que permita validar su pertinencia. a la economía. El proyecto requirió que los alumnos buscasen datos reales relativos a precios de diversos artículos, para un periodo relativamente largo de tiempo, para que después pudiesen validar los modelos construidos. Así, buscaron posibles gráficas de funciones que describieran el comportamiento esperado de los precios de un determinado producto. A lo largo de un mes en la búsqueda de la solución del problema fue posible observar varios ciclos de modelación con una gran diversidad de modelos funcionales propuestos por los diferentes equipos de alumnos, considerando la razón de cambio como una variable esencial en la expectativa de precios. Después de unos días de trabajar en el problema: 80 […] comenzaron a aparecer los primeros modelos incorporando la función precio y la derivada del precio. La discusión se centró, con posterioridad, en la importancia de esa relación y en la consideración del modelo resultante como una ecuación diferencial. (Trigueros, 2009, p.81) Después de construir los primeros modelos, los estudiantes pasaron a una fase de refinamiento, de reducción del número de parámetros necesarios para el estudio del problema concreto o a considerar la relevancia de algunos de ellos. Trigueros reseña que los alumnos no habían estudiado las ecuaciones diferenciales y no conocían métodos de solución; no obstante algunos de ellos fueron capaces de utilizar lo que conocían acerca de la derivada de una función para tratar de dibujar una posible gráfica de la solución y para evaluar si podría considerarse adecuada. En un primer esbozo de las posibles soluciones al problema, los estudiantes consideraron el papel de las condiciones iniciales y utilizaron métodos numéricos simples o gráficos para encontrar el valor de los parámetros que reflejaban de mejor manera la situación en estudio. La autora ha considerado particularmente interesante el hecho de que los estudiantes se acercaran al problema aplicando una perspectiva de covariación en la que su interés radicaba en encontrar el posible comportamiento de las variables. Por un lado manifestaron dificultad en relacionar la derivada de la función con la función en una misma ecuación pero, por otro lado, fueron capaces de dar significado a la solución de la ecuación diferencial como una función o una familia de funciones. Este proyecto de modelización funcional ofreció múltiples ocasiones de reflexión sobre los conceptos matemáticos involucrados en la solución de ecuaciones diferenciales y les facilitó desarrollar algunos nuevos como los involucrados en el método de mínimos cuadrados para la aproximación de curvas a datos discretos experimentales. Asimismo, la necesidad de validar sus resultados hizo posible integrar naturalmente las tecnologías informáticas para explorar las distintas representaciones de los modelos funcionales construidos, para discutir la naturaleza de las posibles soluciones de las ecuaciones diferenciales o, incluso, para aproximar esas funciones-solución a los datos discretos reales (Trigueros, 2009). Así, en este estudio los modelos fueron utilizados como un instrumento para favorecer el desarrollo de conceptos relativos a la resolución de ecuaciones diferenciales en la 81 enseñanza universitaria, aunque las técnicas de modelización funcional no resultaran ser las más adecuadas o las más eficaces en cada situación. En síntesis, creemos que esta investigación pone claramente de manifiesto la articulación entre la modelización funcional y las ecuaciones diferenciales, revelando además un posible papel de éstas en la construcción de modelos funcionales. 3.5. A modo de conclusión: ¿qué papel asignan las investigaciones didácticas al cálculo diferencial en el ámbito de la modelización funcional? Tradicionalmente, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, en las pocas ocasiones que las ecuaciones diferenciales aparecían modelizando un proceso de cambio, eran consideradas como un dato. Se dejaban para el estudiante únicamente las tareas relativas al ajuste de los parámetros del modelo diferencial al problema dado, la resolución de la ecuación diferencial y, en algunos casos, las tareas relativas a la modificación de las condiciones iniciales (manipulación del modelo). Con la renovación de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales y, más en general, con la reforma de los métodos aplicados a la enseñanza del cálculo diferencial, se empieza a enfatizar el papel que podría jugar la modelización funcional como instrumento para dar sentido al estudio del cálculo diferencial. A partir de este momento se multiplican las investigaciones didácticas que relacionan de una u otra forma el cálculo diferencial y la modelización funcional. Para resumir las conclusiones respecto de las investigaciones didácticas relativas a la enseñanza del cálculo diferencial en el ámbito de la modelización funcional, hemos de empezar por explicitar algunas notas respecto a lo que se considera como modelización funcional (de manera más o menos explícita) en las investigaciones didácticas. En general, podemos afirmar que en las investigaciones didácticas no se caracteriza la actividad de modelización funcional globalmente considerada mediante una estructura compleja y articulada de tareas matemáticas coordinadas entre sí. En particular no se interrelacionan entre sí los modelos discretos con los modelos continuos ni se estudia sistemáticamente el paso de un modelo discreto a uno continuo (mediante diferentes técnicas de regresión y de aproximación) ni el proceso de discretización de un modelo continuo. No se suele tomar en consideración la economía que proporcionan las técnicas del cálculo diferencial en contraposición a las pesadas técnicas algebraicas que se 82 requieren en el trabajo con modelos discretos. En el caso de los modelos discretos tampoco se relacionan entre sí, ni se comparan los que se construyen a partir de los datos brutos con los que se construyen a partir de los datos variacionales absolutos (TVM) o los datos variacionales relativos (TVMR). Como consecuencia de todo ello, tampoco se distingue de manera sistemática entre los modelos funcionales «exactos» y los «aproximados». En definitiva, el ámbito de la modelización funcional aparece como relativamente difuso y poco estructurado en la mayoría de las investigaciones didácticas por lo que el papel del cálculo diferencial en dicho ámbito queda también, inevitablemente, fragmentado en aplicaciones puntuales en algunos de los componentes poco cohesionados de lo que se considera como modelización funcional. Así, por ejemplo, hemos mostrado un caso en que una determinada concepción de la derivada (la de Lagrange en contraposición a la de Cauchy), permite situar la razón de ser de la noción de derivada en la modelización de fenómenos de cambio y en el estudio de la evolución de un proceso de cambio lo que, por otra parte, coincide plenamente con el punto de vista adoptado en esta memoria. En este caso, se proponen la construcción de modelos funcionales como resultado de la manipulación de los parámetros con la calculadora gráfica y la consiguiente validación a partir de la definición de derivada lagrangiana, lo que torna implícito el papel del cálculo diferencial como herramienta para la construcción del modelo algebraico funcional cuadrático o lineal. En otros casos, la modelización funcional se pone al servicio de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales, para favorecer el desarrollo de conceptos relativos a la resolución de ecuaciones diferenciales. En esta memoria, con el objetivo de clarificar la razón de ser que asignamos al cálculo diferencial en el ámbito de la modelización funcional, empezaremos por caracterizar, en la próxima sección, lo que entendemos por cálculo diferencial elemental (CDE) y, en el próximo capítulo, explicitaremos con todo detalle nuestra redefinición de la noción de modelización funcional (MF) mediante un diagrama de actividad. Dicho diagrama contendrá las funciones que asignamos al CDE en el ámbito de la MF y constituirá el esquema básico sobre el que construiremos en el capítulo IV un modelo epistemológico de referencia de dicho ámbito de la actividad matemática. 83 4. Caracterización de la noción de cálculo diferencial elemental (CDE) que utilizaremos en esta memoria En esta memoria denominaremos, provisionalmente, cálculo diferencial elemental (CDE) a una selección de los temas que se incluyen bajo dicho epígrafe en la última etapa de la enseñanza secundaria portuguesa y en los currículos de los primeros cursos universitarios con fuerte componente matemática como, por ejemplo, de los cursos 18 de Licenciatura de Bioquímica, Medicina Nuclear, Economía, Biología, Geología, etc. Se trata de un conjunto de temas o contenidos que son comunes, en lo esencial, a ese mismo nivel educativo en otros muchos países. En esta sección designaremos la selección de contenidos que consideraremos como formando parte del CDE con los términos que utiliza el currículum, sin especificar ni las tareas ni las técnicas (la praxis) que se lleva a cabo, o que sería posible llevar a cabo, en torno a los mismos. Proponemos a continuación un listado de dichos temas: Funciones elementales Dominio y contra-dominio de una función Intervalos de monotonía y extremos de una función Asíntotas al gráfico de una función Límites de funciones Continuidad de una función en un punto Derivada de una función en un punto Función derivada de una función Derivadas de orden superior Sentido de las concavidades y puntos de inflexión de una función Polinomio de Taylor Funciones continuas en un intervalo Teorema de Bolzano Teorema del Valor Medio Representación gráfica de funciones elementales Problemas de optimización 18 Pueden ser consultados en el anexo H. Sin embargo, en algunos de ellos pueden aparecer temas que no consideramos aquí porque no forman parte de lo que, en esta memoria, denominamos por CDE. 84 Integral indefinida. Cálculo de primitivas Integral definida Teorema fundamental del Cálculo Aplicaciones de la integral definida (calculo de áreas, entre otras) Resolución de ecuaciones diferenciales inmediatas En la sección 8 del capítulo III llevaremos a cabo un trabajo empírico para dilucidar cuáles son las tareas que la matemática escolar propone para dar sentido al estudio de estos temas, esto es, cuáles son las tareas que forman parte de la razón de ser oficial de lo que hemos denominado CDE. 85 86 Capítulo III Esquema de un modelo epistemológico de referencia y formulación del problema didáctico. Razón de ser «oficial» del cálculo diferencial elemental En este capítulo formularemos conjuntamente, de manera coordinada, un esquema de un modelo epistemológico de referencia (MER), que asigna al cálculo diferencial elemental una nueva razón de ser en el ámbito de la modelización funcional, y el problema didáctico asociado, esto es, el problema a cuya dimensión epistemológica viene a responder el MER. Después de describir los criterios generales que deberá cumplir el MER, proponemos una redefinición de lo que entenderemos por modelización funcional (MF) mediante un diagrama de actividad que integra el papel que se asigna en dicha actividad matemática al cálculo diferencial elemental. Tomando como sistema de referencia provisional el esquema de dicho MER, se formula el problema de investigación, se interpreta la evolución histórica del papel que ha jugado el CDE en la enseñanza secundaria portuguesa y se elaboran un conjunto de conjeturas cuya contrastación empírica nos permitirá describir algunas de las reglas que rigen la organización de la práctica matemática escolar en torno al CDE y la MF, así como la razón de ser «oficial» que el sistema escolar portugués asigna al CDE en el paso de Secundaria a la Universidad. 87 1. Simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de referencia (MER) y la formulación del problema didáctico asociado Todo problema didáctico (en el sentido de problema de investigación en didáctica de las matemáticas) involucra un ámbito de la actividad matemática que, en algunos casos extremos, puede ser el conjunto de la actividad matemática que se lleva a cabo en una institución determinada. En nuestro caso la actividad matemática involucrada es la modelización funcional, caracterizada inicialmente en Ruiz-Munzón (2010) (ver sección 3.3. del capítulo I) y reformulada mediante el diagrama de actividad que figura en la sección 2.1. de este capítulo. Dentro de este ámbito nos interesamos particularmente por el papel que juega y el que podría jugar el cálculo diferencial elemental interpretado en sentido en que se le caracteriza en la sección 4 del capítulo II. Postulamos que la formulación de un problema didáctico siempre asume y toma en consideración, de manera más o menos explícita, una interpretación del ámbito de la actividad matemática involucrado. Así, por ejemplo, cuando se habla de la enseñanza, el aprendizaje o la construcción del concepto de derivada, se está sustentando inevitablemente una interpretación (un modelo, aunque sea muy impreciso) de la actividad matemática que acompaña a dicha noción en la institución en cuestión. La amplitud y el tipo de recorte del ámbito de la actividad matemática que se toma en consideración pueden ser muy variados, pero siempre condicionan en gran medida la naturaleza de dicho modelo. En el caso particular de la actividad matemática en torno a la derivada, es evidente que el tipo de problemas didácticos que se podrán formular dependerá de si se considera un ámbito restringido a la noción de derivada, si se amplía a lo que habitualmente se considera como cálculo diferencial elemental (o a una parte de él) o si se toma, como hacemos en esta memoria, el ámbito de la modelización funcional y el papel del cálculo diferencial en dicho ámbito. En resumen, lo que estamos diciendo significa que los tipos de problemas didácticos que es posible formular y abordar están fuertemente condicionados por la unidad de análisis que se toma en consideración. En Bosch y Gascón (2005) se describe con detalle que la unidad mínima de análisis en la TAD debe incluir una praxeología local relativamente completa (Fonseca, 2004). En las investigaciones que se realizan en la TAD, consideramos que la explicitación del modelo epistemológico que inevitablemente se asume, es imprescindible para poder formular el problema didáctico como un auténtico problema científico. La citada 88 explicitación constituye, por otra parte, el núcleo de la respuesta que se propone en cada caso a lo que denominamos “dimensión epistemológica del problema didáctico” y la base sobre la que se construyen las demás dimensiones del mismo (Gascón, 2011). Dicha respuesta, que siempre es provisional, constituye una hipótesis científica que se materializa en un modelo epistemológico de referencia (MER) de la actividad matemática en cuestión. En síntesis, la metodología de la TAD requiere la explicitación de un MER de la actividad matemática involucrada en el problema para poder formular éste con precisión (y para dar sentido a las posibles respuestas) y, por otra parte, la construcción del MER demanda cierta formulación previa, aunque sea muy provisional, del problema didáctico19. Lo dicho anteriormente comporta que, en la práctica efectiva de la investigación didáctica, la construcción del MER y la progresiva formulación del problema de investigación avancen en paralelo, dialécticamente. A medida que se van perfilando las características del MER será posible formular con más precisión algunas de las cuestiones que formarán parte del problema didáctico y, recíprocamente, al ir precisando el problema didáctico será posible concretar los detalles de un MER indisolublemente asociado a dicho problema. En este punto es importante insistir en el hecho de que un MER está asociado, en primera instancia, a un fenómeno didáctico (que involucra un ámbito de la actividad matemática institucionalizada) y, correlativamente, a un tipo de problemas didácticos cuyo estudio permitirá avanzar en el conocimiento de dicho fenómeno. Un MER nunca está asociado meramente a un recorte más o menos arbitrario de la actividad matemática. En consecuencia la explicitación del MER proporciona herramientas (nociones, hipótesis, terminología, etc.) para formular un tipo de problemas didácticos. 19 El MER debe interpretarse como una hipótesis o conjetura provisional y, por lo tanto, susceptible de ser completado, modificado y revisado constantemente. Un MER es una hipótesis científica creativa que debemos someter a la prueba de la contingencia. Esta prueba se lleva a cabo mediante el diseño y experimentación de recorridos de estudio e investigación (REI) sustentados en dicho MER. En el capítulo V se describe con todo detalle este proceso en el caso del MER que proponemos en esta memoria. 89 2. Esbozo de un MER alternativo: redefinición de la modelización funcional mediante un diagrama de actividad Empezaremos describiendo los rasgos fundamentales o criterios generales que deberá cumplir la estructura del MER que completaremos en el capítulo IV mediante la construcción explícita de recorridos matemáticos a priori, sustentados en dicha estructura. Estos recorridos tomarán la forma de procesos de modelización funcional diseñados para responder a determinadas cuestiones. En este capítulo delinearemos únicamente sus principales características estructuradas en un diagrama de actividad a modo de mapa esquemático susceptible de sustentar diferentes recorridos matemáticos (sección 2). Posteriormente utilizaremos este esbozo de MER como sistema de referencia provisional: (a) Para formular con cierta precisión el problema de investigación didáctica que abordamos en esta memoria (sección 3). (b) Para interpretar la evolución histórica del papel del CDE en la enseñanza secundaria portuguesa y su potencial relación con la MF (sección 4). (c) Para contribuir a formular las conjeturas cuya contrastación empírica nos permitirá describir, en primera instancia, el tipo de incompletitud de las OM en torno a la MF y el CDE, así como la desarticulación de las mismas (secciones 5, 6 y 7). (d) Para formular cuestiones a los documentos curriculares escolares cuyas respuestas nos permitirán caracterizar la razón de ser «oficial» que el sistema escolar portugués asigna al CDE en el paso de Secundaria a la Universidad (sección 8). (e) Para constatar la existencia del fenómeno de la falta de visibilidad escolar de la modelización funcional y, consiguientemente, de una posible razón de ser del CDE en dicho ámbito (sección 9). Enunciamos a continuación los criterios citados que también pueden considerarse como condiciones que imponemos al MER alternativo que como hemos indicado tomaremos como sistema de referencia. En el MER que proponemos se deben explicitar detalladamente diferentes procesos de construcción, utilización y comparación de los modelos funcionales, la relación entre ellos y el papel que juega el CDE en los mismos. 90 Dicho MER deberá tomar en consideración las relaciones entre los modelos funcionales discretos y los continuos y, por tanto, completar relativamente el presentado en Ruiz-Munzón (2010) 20. Como paso previo a la construcción de los modelos funcionales continuos, se partirá de datos discretos y, por tanto, se trabajará inicialmente con modelos discretos expresados en términos de sucesiones y de ecuaciones en diferencias finitas. Si se parte de datos discretos, se utilizarán diferentes tipos de regresión para pasar de los modelos discretos a los modelos continuos ya sea partiendo, en función de la naturaleza del sistema a modelizar, de los datos brutos, de la tasa de variación media (TVM) o la tasa de variación media relativa (TVMR), para construir modelos funcionales que ajusten un conjunto de datos discretos. Se justificará y evaluará el proceso de aproximación de los modelos discretos, (formulados en términos de ecuaciones en diferencias finitas), mediante modelos continuos (dados mediante ecuaciones diferenciales). Se mostrará que, dependiendo de la naturaleza del sistema a modelizar, la aproximación por regresión sobre la TVM o la TVMR (sucesiones que se obtienen a partir de los datos brutos) proporciona modelos funcionales relativamente más ajustados y, sobre todo, con mejor capacidad predictiva que los que se obtienen aproximando directamente los datos discretos brutos. Se pondrá de manifiesto la economía técnica que supone el paso de lo discreto a lo continuo mostrando, mediante cálculos explícitos, en qué sentido y para responder a qué tipo de cuestiones las técnicas del CDE son más económicas que las técnicas algebraicas de la matemática discreta. Se comprobará, por ejemplo, que cuando se trata de «controlar un modelo», esto es, prever su comportamiento a largo plazo o construir un modelo que cumpla ciertas condiciones dadas de antemano, las técnicas del CDE son mucho más potentes y económicas que las técnicas algebraicas. 20 Podemos afirmar que el MER que pretendemos construir completará relativamente el propuesto en Ruiz-Munzón (2010) porque aporta una descripción mucho más detallada y estructurada de los procesos de modelización funcional (especialmente en lo que hace referencia al estadio de construcción del modelo matemático) y porque toma en consideración las relaciones entre los campos discreto y continuo. 91 Se construirán y articularán diferentes tipos de variación (tanto entre magnitudes discretas como entre magnitudes continuas)21definiendo el universo de tipos de variación que se tomarán en consideración. Cada uno de estos tipos se caracterizará imponiendo condiciones (hipótesis) sobre la TVM o sobre la TVMR, aunque estas últimas también se pueden expresar como condiciones sobre la TVM. Se delimitará de esta forma un cierto universo de tipos elementales de variación. Se interpretará, utilizando las técnicas del CDE, el significado de los parámetros de un modelo funcional en términos del sistema y, más concretamente, en términos de la variación de una variable del sistema respecto de otra. Se utilizará el CDE para estudiar todas las propiedades locales de los modelos funcionales construidos (que posteriormente se interpretarán en términos de las variables que definen el sistema modelizado). Si se parte de datos continuos, se construirá con técnicas algebraicas la propia función modelo o bien su derivada. En este último caso, el modelo funcional «exacto» (que puede ser una familia de funciones) se construye integrando una ecuación diferencial. En todos los casos, los procesos de modelización funcional se desarrollarán con el objetivo de dar respuesta a una cuestión generatriz suficientemente general y relativamente ambigua en el sentido que debe ser una cuestión formulada con “parámetros” abiertos que sólo progresivamente deben convertirse en datos concretos. Mostraremos en lo que sigue que este conjunto de condiciones contribuirá a precisar la noción de MF tal como la conceptualizamos en esta memoria. Mientras que en los capítulos anteriores, siguiendo la propuesta de Ruiz-Munzón (2010), hemos utilizado implícitamente la noción de MF tal como se describe en la sección 3.3 del capítulo I. En lo que sigue proponemos una reformulación más detallada y precisa de dicha noción, esto es, una caracterización de lo que entenderemos en adelante por MF. Esta caracterización permitirá clarificar el significado de la conjetura de Ruiz-Munzón 21 En la matemática escolar (en el paso de Secundaria a la Universidad) está prácticamente ausente la problemática ligada a la caracterización y construcción de un universo de tipos de variación. En particular, no se caracterizan los tipos de relaciones funcionales que se toman en consideración ni se indica el por qué se excluyen otros tipos de relaciones funcionales posibles. 92 (2010) según la cual la razón de ser (o una posible razón de ser) del CDE se sitúa en el ámbito de la MF. 2.1. Diagrama de actividad de modelización funcional como esquema del MER Para reformular la noción de MF, empezaremos por hacer un esquema detallado de los tipos de tareas que proponemos como componentes de los cuatro estadios del proceso de MF (Chevallard, 1989; Gascón, 2001). Materializaremos este esquema del MER mediante un diagrama de actividad (ver Figura 1) que denominaremos diagrama de actividad de modelización funcional. A fin de clarificar el contenido de dicho diagrama, describiremos a continuación cada uno de sus componentes, así como las posibles relaciones entre ellos. Dejaremos para el capítulo IV la elaboración detallada (partiendo de datos concretos) del trabajo matemático que se requiere para llevar a cabo los diferentes recorridos que se sustentan en dicho diagrama, así como la caracterización del universo de relaciones funcionales elementales (discretas y continuas) que tomaremos en consideración. Puede suceder que al concluir un proceso de modelización funcional aparezcan nuevas cuestiones problemáticas que hagan referencia al propio modelo. En este caso diremos que «el modelo se ha independizado del sistema inicial» y que ha pasado a jugar el papel de un nuevo sistema, poniendo así de manifiesto el carácter recursivo del proceso de modelización matemática. Así, y según la nomenclatura habitualmente utilizada en los diagramas de actividad, utilizaremos la siguiente simbología para construir el diagrama: Símbolo Representa el evento inicial, el punto de partida de la actividad los eventos intermedios el evento final (que no vamos a utilizar por tratarse de un diagrama cíclico) preguntas o decisiones una acción, una tarea 93 El diagrama contiene los cuatro estadios de todo proceso de modelización matemática, sin prejuzgar una sucesión temporal lineal entre ellos. Primer estadio: Delimitación o construcción del sistema a modelizar en el que se formulan cuestiones problemáticas y conjeturas. Segundo estadio: Construcción del modelo matemático y reformulación de las cuestiones iniciales. Tercer estadio: Trabajo técnico dentro del modelo e interpretación de este trabajo y de los resultados en términos del sistema. Cuarto estadio: Necesidad de un nuevo proceso de modelización para responder a nuevas cuestiones. Además el diagrama está dividido en dos grandes campos: el discreto y el continuo. Así, cuando una determinada actividad (o tipo de tareas) está situada sobre la línea ecuatorial significa que ésta podrá ayudar a transitar de uno al otro campo o que dicha actividad podrá desarrollarse tanto en el campo discreto como en el campo continuo. 94 Figura 1 - Diagrama de actividad de modelización funcional 95 2.2. Descripción de los componentes del diagrama de actividad de modelización funcional En este apartado describiremos brevemente los componentes que figuran en el diagrama de actividad, especificando con más detalle las tareas y las cuestiones que forman parte del segundo estadio del proceso de MF, esto es, del estadio que denominamos de construcción del modelo. Hemos detallado mucho menos el tercer estadio del proceso, el que se refiere al trabajo dentro del modelo, porque las tareas que forman parte del mismo están mucho más presentes en la matemática escolar. Primer estadio: Construcción del sistema a modelizar Cuestiones problemáticas iniciales: Todo proceso de estudio parte necesariamente de un conjunto de cuestiones problemáticas normalmente no muy precisas pero suficientemente ricas como para generar cuestiones derivadas capaces de guiar el proceso de estudio por diferentes recorridos. Por ejemplo: ¿Cómo podremos predecir el desarrollo de una epidemia? ¿Cómo estudiar el comportamiento de la masa de un hilo22 a partir de la función densidad de masa del mismo? ¿Con cuántos amigos deberé compartir un “spot” publicitario para que, al final de un determinado período de tiempo, haya sido visualizado por un cierto número “objetivo” de usuarios de una red social dada? ¿Cómo varía la longitud de un arco de curva? Delimitación o construcción del sistema: El sistema inicial es un ámbito de la «realidad» (matemática o extra-matemática) en el que aparecen las cuestiones problemáticas iniciales, que constituyen la que denominamos «cuestión generatriz», que queremos responder. La delimitación o «construcción del sistema» consiste en la elección de ciertos aspectos del mismo, que se simbolizan mediante variables y que, postulamos, son las pertinentes para construir un modelo funcional útil para responder a las cuestiones planteadas. En el caso de la MF suele considerarse una variable dependiente y una o más variables independientes, entre las que se puede encontrar la variable «tiempo». En este momento se formulan las primeras hipótesis sobre el sistema (muchas veces implícitas) en términos de relaciones entre las variables elegidas para construir el modelo funcional. Es verdad que, en algunos casos, puede parecer que no se hace ninguna hipótesis inicial (por ejemplo cuando se dan unos cuantos datos discretos 22 La densidad lineal de masa del hilo puede ser medida pesando una cantidad conocida de longitud del hilo. La densidad es la masa del hilo por unidad de longitud. 96 del número de infectados en cierta epidemia) pero, en realidad, el conocimiento de que se trata de una epidemia de cierto tipo (por ejemplo de gripe) ya determina algunas hipótesis (aunque sean cualitativas) sobre las posibles relaciones entre la variable tiempo y la variable número de infectados. Segundo estadio: Construcción del modelo Datos continuos: Son relaciones entre variables que pueden ser del tipo funcional o no, y cuya información se representa mediante una condición sobre los datos o mediante una descripción verbal de esa misma relación. Datos discretos: Vienen dados mediante ciertas condiciones sobre la variación de los datos (sabiendo, por ejemplo, de antemano que la TVM de determinados datos empíricos es constante) o bien mediante un número finito de valores de la variable dependiente correspondientes a valores prefijados de la(s) variable(s) independiente(s). Construcción del modelo algebraico-funcional continuo «exacto»: Si los datos son continuos, esto es, si vienen dados en términos de funciones o de relaciones entre variables, puede suceder que éstos permitan construir directamente el modelo funcional exacto. Éste sería el caso más sencillo. Sin embargo, también es posible construir este modelo en el caso en que sólo se conoce la variación de los datos continuos en términos de una ecuación diferencial (modelo algebraico-diferencial). Construcción del modelo algebraico-diferencial «exacto»: Si los datos son continuos, es muy habitual que, aunque no sea posible construir directamente el modelo funcional exacto, se pueda construir un modelo algebraico diferencial exacto, esto es, una ecuación diferencial exacta. Integración del modelo diferencial «exacto»: Mediante la integración de una ecuación diferencial elemental que, en esta memoria, se reducirá al cálculo de una primitiva casi inmediata, se construye el modelo algebraico-funcional continuo «exacto». Discretización del modelo diferencial continuo: En el caso en que sea posible construir el modelo diferencial pero se obtenga una ecuación diferencial no resoluble mediante técnicas elementales, se puede discretizar el modelo transformando los datos continuos en datos discretos, pasando a trabajar con modelos numéricos (tabulares) y gráficos. 97 Construcción de modelos numéricos y gráficos: Si se parte de datos discretos (provenientes, por ejemplo, de un sistema empírico), esto es, si los datos son unos cuantos valores de la variable dependiente (correspondientes a un conjunto prefijado de valores de la variable o variables independientes) se empezarán construyendo diferentes tipos de modelos tabulares y gráficos, tanto de datos «brutos» como de la tasa de variación media (TVM) y de la tasa de variación media relativa (TVMR) construidas a partir de los datos brutos. Llamaremos a estos últimos modelos numéricos tabulares variacionales. Formulación de hipótesis sobre la TVM y la TVMR: A partir de los modelos tabulares será posible comprobar (o conjeturar) que la TVM o la TVMR cumple cierta propiedad elemental. Nos restringiremos a un conjunto de propiedades que caracterizan cierto universo de los modelos discretos elementales (sección 1.1. del capítulo IV). Construcción del modelo algebraico-variacional: A partir de los diferentes modelos tabulares variacionales, y según las hipótesis que formulemos respecto a las propiedades que cumple la TVM o la TVMR, se pueden construir diferentes modelos algebraicovariacionales en términos de ecuaciones en diferencias finitas. Resolución de la ecuación en diferencias finitas: utilizando, por ejemplo, las técnicas de recurrencia o la técnica de determinación de los coeficientes indeterminados para calcular los parámetros y construir una solución particular (un modelo funcional) a partir de la solución general (una familia de modelos funcionales) de la ecuación en diferencias finitas, se puede construir el modelo algebraico-funcional discreto a partir del modelo algebraico-variacional. En particular, se puede construir algebraicamente un modelo polinómico interpolador (que pasa por todos los puntos correspondientes a los datos discretos). Para calcular los parámetros del citado modelo se podrá usar la técnica de determinación de los coeficientes indeterminados con la resolución de un sistema de ecuaciones compatible y determinado. Para construir el modelo polinómico interpolador se pueden utilizar otras técnicas algebraicas, tales como: la fórmula de Lagrange o la técnica de las diferencias divididas de Newton23. 23 En esta memoria de tesis no vamos a desarrollar estas dos técnicas porque habitualmente no forman parte de un diseño curricular de cálculo diferencial o integral estudiado en los principios de la enseñanza universitaria portuguesa. Sin embargo, en trabajos futuros se podrían profundizar y desarrollar dichas técnicas para fortalecer aún más la conjetura de que, en la construcción de modelos, las técnicas discretas son demasiado costosas en comparación con las técnicas que utilizan herramientas del CDE. 98 Regresión automática para calcular los parámetros del modelo: Como habitualmente las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas pueden resultar muy trabajosas y con elevado coste, puede surgir la necesidad de un cuestionamiento tecnológico de dichas técnicas y, consecuentemente, la búsqueda de una técnica más económica que produzca resultados igualmente fiables. Así, partiendo de la solución general de la ecuación en diferencias finitas, se podrán calcular los parámetros del modelo por la técnica de aplicación directa de una regresión automática específica (del tipo de la solución general) sobre los datos discretos y construir el modelo algebraico-funcional continuo «aproximado». Por ejemplo, en el caso de la construcción del polinomio interpolador, la técnica algebraica de determinación de sus coeficientes “con lápiz y papel” puede ser muy costosa, principalmente en los casos en que el grado del polinomio es muy elevado, o sea, cuando tenemos una gran cantidad de datos discretos. En esos casos, se podrá utilizar la técnica de regresión24 automática para calcular los parámetros del modelo con la calculadora gráfica, con Excel, con GeoGebra o con otro software adecuado25. Esta técnica de regresión automática sobre los datos discretos para calcular los parámetros del modelo podrá ser utilizada también después de la elección de la familia de modelos funcionales que mejor describen el sistema. Por ejemplo, cuando se integra un modelo diferencial que describe una determinada variación de datos discretos surge un parámetro que podrá ser ajustado automáticamente al aproximar la integral de la regresión a los datos brutos. Construcción del modelo algebraico-funcional discreto: este modelo corresponde a una solución particular de la ecuación en diferencias finitas obtenida a partir de los datos que describen el sistema. Construcción de modelos algebraico-diferenciales por aproximación a una ecuación en diferencias finitas: Cada modelo discreto expresado en términos de una ecuación en diferencias finitas puede aproximarse mediante una ecuación diferencial que denominaremos modelo algebraico-diferencial «aproximado». 24 A pesar de que las regresiones presentan cada vez más protagonismo en los currículos de la enseñanza secundaria portuguesa (de las Matemáticas del 10.º año, y también de la Física-Química del 11.º año), no siempre se justifican las técnicas automáticas aplicadas. 25 En lugar de utilizar la regresión automática también se podrían utilizar técnicas (manuales o automáticas) de cálculo de matrices, en caso que los estudiantes ya tuviesen estudiado algebra lineal. 99 Integración de los modelos algebraico-diferenciales «aproximados»: Mediante la integración de una ecuación diferencial elemental que, en esta memoria, se reducirá al cálculo de una primitiva casi inmediata, se construyen modelos algebraico-funcionales «aproximados». Construcción del modelo algebraico-funcional continuo «aproximado»: este modelo corresponde a la solución particular del modelo algebraico-diferencial «aproximado» (la ecuación diferencial). Discretización del modelo diferencial continuo: En el caso en que la ecuación diferencial no pueda resolverse con las técnicas disponibles en la institución se podrá aproximar el modelo algebraico-diferencial continuo (ecuación diferencial) mediante un modelo numérico-variacional discreto (ecuación en diferencias). Para tal procedimiento se podrá utilizar, por ejemplo, la técnica de Euler sustituyendo por y aplicar la definición de derivada para deducir el modelo algebraico-funcional discreto (la ecuación iterativa): dy(t ) f y (t ), x(t ) dt al sustituirt por kT dondek toma valores enteros y T es fijo dy(kT ) f y (kT ), x(kT ) dt recordando la definición de derivada dy(kT ) y (kT T ) y (kT ) y (kT T ) y (kT ) lim dt T T T 0 y (kT T ) y (kT ) f y (kT ), x(kT ) T de aqui se obtienela ecuación iterativa de Euler y[( k 1)T ] y[kT ] T * f ( y[kT ], x[kT ]) Este es un ejemplo de un caso en que puede surgir la necesidad de pasar de un trabajo en el campo continuo al campo discreto. Sin embargo, no vamos a estudiar estos casos porque no forman parte del ámbito institucional de esta memoria. Aplicación «exploratoria» de diferentes tipos de regresiones: A partir de los modelos numéricos tabulares (tanto de la tabla de datos brutos como de las tablas de las TVM o las TVMR) pueden aplicarse regresiones para: a) Pasar de un modelo numérico/gráfico discreto a un modelo algebraico-funcional continuo; 100 b) Conocer una posible ley algebraica que pueda describir una relación funcional entre variables discretas, cuyo dominio sean los números naturales (modelo algebraico-funcional discreto). En esta memoria, utilizaremos GeoGebra26 para hacer algunos tipos de regresiones automáticas tales como: regresiones polinómicas de diferentes grados, exponenciales, logarítmicas, logísticas, potenciales, sinusoidales y regresiones resultantes de la composición de algunas de estas. Este trabajo se llevará a cabo de un modo exploratorio y sin utilizar criterios específicos para decidir qué tipo de regresión se deberá seleccionar para aproximar un determinado conjunto de datos discretos27. De las diversas funciones resultantes, por una cuestión de economía del análisis subsiguiente, interesa elegir las mejores según algunos criterios predeterminados: 1. Técnica de observación directa de los resultados de la aproximación y ajuste de la curva a los puntos; (coeficiente de determinación28); 2. Técnica automática de cálculo del valor del 3. Técnica de cálculo del “menor error absoluto” para determinar el ajuste de la curva, o sea, cálculo de la distancia entre la imagen aproximada y la imagen real: ; En esta memoria optamos por seleccionar para cada conjunto de datos discretos las mejores regresiones según estos criterios para, posteriormente, elegir la “mejor regresión” de acuerdo con su capacidad de ajuste a los puntos pero, sin olvidar su capacidad de predicción de la tendencia de los datos «futuros», esto es, la coherencia del modelo con la evolución del sistema modelizado y, también, con los datos no utilizados para construirlo. 26 Elegimos el GeoGebra en lugar del Excel por ser más intuitiva su utilización para los estudiantes y por permitir una visualización simultánea de un modelo en sus diferentes registros (muy útil cuando se pretende estudiar la variación resultante de un cambio de la situación inicial). 27 Dado que esta memoria se centra en el desarrollo de procesos de modelización funcional y no de modelización estadística, utilizaremos las regresiones más como herramientas (sin necesidad de conocer su funcionamiento) y no como técnicas matemáticas que requieren ser justificadas mediante un discurso tecnológico. 28 El coeficiente de determinación, denominado R² es usado en el contexto de un modelo estadístico con el propósito de predecir futuros resultados o probar una hipótesis. El coeficiente determina la calidad del modelo para replicar los resultados, y la proporción de variación de los resultados que puede explicarse por el modelo (Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_determinaci%C3%B3n). En la experimentación descrita en el capítulo V dicha técnica no fue utilizada. 101 Comparación del ajuste y de la capacidad predictiva de los modelos funcionales A partir de los modelos que mejor se ajustan a los datos, vamos testar y evaluar diferentes técnicas en términos de su eficacia para elegir el modelo que mejor predice los datos futuros a corto, medio y largo plazo: : Comparación de los errores de predicción de los valores brutos «aproximados» obtenidos mediante las diferentes regresiones con relación a los correspondientes datos brutos «reales»; : Comparación de los errores de predicción de las TVMs (o de las TVMRs) de los modelos «aproximados», o sea, de los valores variacionales «aproximados» obtenidos por las diferentes regresiones con relación a los correspondientes datos variacionales «reales»; Elección del tipo de modelo (familia de funciones): La elección del “tipo de modelo” que mejor se adecua a un determinado conjunto de datos surge como resultado de la comparación del ajuste y de la capacidad predictiva de varios «candidatos» a modelos funcionales para describir el sistema. Construcción de modelos algebraicos diferenciales «aproximados» mediante regresión: Dependiendo de la naturaleza del sistema a modelizar, la regresión se aplicará sobre las TVM o la TVMR (y, muy raramente, sobre los datos brutos). Dependiendo del tipo de regresión que se utilice y del tipo de datos discretos de los que se parta para hacer la regresión, obtendremos una función que, o bien aproxima el modelo funcional buscado (si hemos partido de los datos brutos), o bien aproxima la derivada del modelo buscado (si la regresión se ha aplicado sobre las TVM) o bien, por último, aproxima el cociente entre la derivada y dicho modelo (si la regresión se ha aplicado sobre las TVMR). En estos dos últimos casos que, como veremos son los más utilizados, obtendremos diferentes modelos algebraicos diferenciales aproximados (en términos de ecuaciones diferenciales) que, por integración, nos proporcionará el modelo funcional aproximado. Comparación de las técnicas discretas y las técnicas del CDE en términos de economía: El trabajo con los modelos discretos (que hemos denominado algebraicos variacionales y que se materializan en ecuaciones en diferencias finitas) y con los modelos funcionales continuos, permite comparar la economía de las técnicas que se utilizan en cada caso para responder a las cuestiones problemáticas iniciales y otras cuestiones derivadas. Por un lado, se podrá comparar la economía de las técnicas 102 discretas con las del CDE en la construcción del modelo algebraico-funcional, o sea, comparar el coste de las técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas con el coste de las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales. Por otro lado, se podrá comparar la economía de los dos tipos de técnicas en la manipulación del modelo previamente construido, o sea, comparar el coste de las técnicas de cálculo de la tasa de variación media en un intervalo con el coste de las técnicas de derivación. Por ejemplo, si el modelo es sencillo (lineal o cuadrático), la economía de las técnicas discretas y las del CDE para construir y manipular el modelo serán muy semejantes. Sin embargo, si se pretende construir y trabajar dentro de un modelo un poco más complejo, por ejemplo, el modelo logístico o el racional, las técnicas del CDE se muestran mucho más económicas que las técnicas discretas (en lo referente a la construcción de modelos ver anexo F). Tercer estadio: Trabajo dentro del modelo e interpretación en términos del sistema Trabajo en el modelo funcional (continuo o discreto) para responder a las cuestiones problemáticas iniciales: el desarrollo de este trabajo dentro del modelo previamente construido para responder a las cuestiones problemáticas iniciales ( presenta diferentes aspectos como, por ejemplo, el estudio de la evolución del modelo, en particular, el estudio e interpretación de la monotonía y posibles extremos, intervalos de concavidad/convexidad y puntos de inflexión, ceros y signos, asíntotas, límites, periodicidad, paridad, etc. Mientras que en el caso del trabajo dentro de los modelos funcionales continuos se podrá recurrir a las herramientas del CDE, para responder a , en el caso del trabajo dentro de modelos funcionales discretos solo se podrá utilizar las técnicas de diferencias finitas Después de llevar a cabo el trabajo y la manipulación del modelo funcional, será posible extraer información acerca del comportamiento del sistema y predecir la evolución del mismo a corto, medio y largo plazo. Además, el propio modelo funcional (continuo) es un buen instrumento para descubrir, mediante técnicas de extrapolación, datos intermedios desconocidos o cuya información se ha “perdido” y cuya recuperación sería de gran utilidad. Interpretación de los parámetros del modelo en términos del sistema: En el estudio del comportamiento del modelo «a largo plazo» se puede interpretar la influencia de los 103 parámetros sobre la forma de la gráfica del modelo y, en particular, sobre los valores extremos y comportamiento del sistema a largo plazo (estudio del comportamiento asintótico). En particular, cuando se trabaja con modelos algebraico-funcionales continuos se podrán utilizar las herramientas del CDE para interpretar los parámetros del referido modelo en términos del sistema. Así, de acuerdo con el tipo de modelo construido se pueden identificar los parámetros con, por ejemplo: la velocidad o aceleración inicial, con la elasticidad, con la variación porcentual de la variable dependiente cuando la variable independiente aumenta en 1 unidad, etc. Interpretación de los resultados en términos del sistema: En algunas ocasiones los resultados del trabajo dentro del modelo funcional (tanto si éste es continuo como si es discreto) necesarios para responder a las cuestiones problemáticas iniciales no corresponden a valores válidos en el sistema. Por ejemplo, los resultados pueden no formar parte del dominio o no poderse interpretar en el contexto del problema planteado. Otro aspecto de esta interpretación consiste en percibir la relevancia que tienen los resultados obtenidos para avanzar en el conocimiento del sistema. Es de reseñar que los mismos resultados del trabajo del modelo pueden presentar diferentes interpretaciones de acuerdo con el ámbito de estudio, por ejemplo: la interpretación geométrica de los resultados en términos del sistema puede ser distinta de la interpretación algebraica de los mismos; la interpretación física de los resultados también podrá diferir de su interpretación matemática, etc. Cuarto estadio: Necesidad de un nuevo proceso de modelización funcional Aparición de nuevas cuestiones problemáticas: La interpretación en el sistema del trabajo dentro del modelo funcional construido generará nuevas cuestiones problemáticas (Q1, Q2, Q21, Q211, etc.) diferentes de las iniciales (Q0) que pueden requerir el uso de nuevas técnicas matemáticas (y hasta un nuevo discurso tecnológicoteórico) y, consecuentemente, la ampliación del ámbito de la actividad matemática desarrollada. Por ejemplo, la necesidad de trabajar con familias de funciones con uno o más parámetros, lo que comportará la necesidad de estudiar nuevos modelos funcionales (Fonseca, Gascón & Lucas, 2014). Necesidad de nuevas variables y de un nuevo sistema: Las nuevas cuestiones problemáticas pueden requerir la toma en consideración de nuevas variables para 104 delimitar (construir) el sistema, lo que provocará la emergencia de un nuevo sistema. Por ejemplo, si en el sistema inicial habíamos supuesto que el efecto de un medicamento era independiente del peso, de la edad y del sexo del paciente y resulta que el análisis de los resultados nos sugiere que esta hipótesis es cuestionable, entonces deberemos introducir estas nuevas variables y tendremos un sistema más complejo en el que se pueden plantear cuestiones más finas. También puede darse el caso en que el modelo construido se independice del sistema modelizado por él, de manera que emerjan cuestiones problemáticas relativas al propio modelo. En este caso es el modelo el que toma el papel de nuevo sistema y el proceso de modelización que se inicia será un proceso de modelización intramatemática, poniendo así de manifiesto la reflexividad de la actividad de modelización matemática y la imposibilidad de separar la modelización de sistemas extra-matemáticos de la de sistemas intramatemáticos. Formulación de nuevas hipótesis: En el caso citado en que se requiere tomar en consideración nuevas variables para delimitar el nuevo sistema (como, por ejemplo, las variables peso, edad y sexo del paciente), también será necesario formular hipótesis sobre posibles relaciones entre dichas variables y el efecto del medicamento. Estas hipótesis serán necesariamente “nuevas” puesto que involucran variables que en el primer modelo no se tomaban en consideración. La formulación y contrastación de estas nuevas hipótesis constituye uno de los principales objetivos del proceso de MF. 3. Formulación del problema de investigación Proponemos una formulación provisional de algunas de las cuestiones que forman parte de nuestro problema de investigación organizadas en las tres dimensiones fundamentales de un problema didáctico (Gascón, 2011). Es importante subrayar que las cuestiones que forman parte de las dimensiones económica y ecológica se formulan necesariamente haciendo referencia a determinados componentes del MER que, como hipótesis científica, puede considerarse a su vez como una tentativa de respuesta a las cuestiones que forman parte de la dimensión epistemológica del problema (que es una dimensión básica del mismo). Análogamente las cuestiones que constituyen la dimensión ecológica del problema dependen, incluso para su completa formulación, de la problemática económica. Es importante subrayar que todas las cuestiones, independientemente de la dimensión en la que se sitúen, estarán condicionadas tanto por 105 el recorte del espacio institucional como por el recorte de la actividad matemática que hemos asumido. Las respuestas que aportaremos a dichas cuestiones se fundamentarán necesariamente en el modelo epistemológico de referencia (MER) cuya estructura hemos esbozado en el apartado anterior. Pero no debemos olvidar que la propia formulación del problema de investigación también utilizará elementos del citado MER para plantear cuestiones que se sitúan más allá de la dimensión epistemológica. P1. Dimensión epistemológica: ¿Cuál es la razón de ser alternativa que proponemos asignar al CDE? Esto es, ¿cuáles son las cuestiones (matemáticas o extra-matemáticas) a las que, postulamos, debe responder el CDE en el paso de la Secundaria a la Universidad? ¿Cómo podemos describir el fenómeno didáctico que el MER saca a la luz? ¿Cuál es la amplitud y la estructura del ámbito matemático en el que el MER sitúa la razón de ser del CDE? ¿Cómo se interpreta y cómo se describe la MF en el MER? ¿Cómo se relacionan entre sí los recorridos matemáticos que estructuran el MER y las praxeologías que dichos recorridos acaban construyendo? ¿Cómo se relaciona el MER que proponemos con el propuesto en Ruiz-Munzón (2010)? Como es evidente, las respuestas a la mayor parte de estas cuestiones las proporciona, de manera más o menos explícita, el propio MER. Las cuestiones relativas a la dimensión económica de un problema didáctico son las que se refieren al resultado producido por la transposición didáctica (en un periodo histórico determinado) al actuar sobre las praxeologías matemáticas y didácticas concernidas. De manera coloquial podemos decir que la dimensión económica de un problema didáctico contiene las cuestiones que giran en torno a la pregunta: « ¿cómo son las cosas (las OM y las OD) en la contingencia institucional?». Con ello, abarca las cuestiones relativas al sistema de reglas y principios (nomos) que regulan –en una institución determinada– la organización y el funcionamiento de las OM y las OD involucradas en el problema didáctico (Gascón, 2011, p. 213). En nuestro caso nos planteamos las siguientes cuestiones relativas a la dimensión económica del problema didáctico: P2. Dimensión económica: ¿Cómo se manifiesta el fenómeno general de rigidez y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares en el caso particular del CDE y la MF en el paso de Secundaria a la Universidad? ¿Cómo ha evolucionado (a lo largo del último siglo) el papel del CDE en el paso de la Secundaria a la Universidad en la enseñanza portuguesa? ¿Cuáles son las principales 106 transformaciones transpositivas que ha sufrido el papel que juega el cálculo diferencial en la actividad de modelización funcional al pasar de la comunidad científica al sistema educativo? ¿Cuál es la razón de ser que el sistema educativo portugués asigna actualmente al CDE en el paso de Secundaria a la Universidad? ¿Qué relación tiene dicha razón de ser «oficial» del CDE con la actividad escolar de MF, esto es, qué papel asigna actualmente el currículo al CDE en los procesos de MF que, de manera más o menos explícita y más o menos completa, viven en el sistema educativo portugués? ¿Cuál es, en definitiva, el modelo epistemológico-didáctico en torno al CDE (y a su relación con la MF) que está vigente en el paso de la enseñanza secundaria portuguesa a la enseñanza universitaria? ¿Cómo incide esta interpretación de la relación entre la MF y el CDE sobre la forma de organizar su enseñanza? Las primeras respuestas a algunas de las cuestiones que forman parte de la dimensión económica del problema que tratamos en esta memoria se desprenden de los análisis que hemos desarrollado en relación con la evolución histórica del papel que ha desempeñado (y desempeña) el CDE en el currículum portugués y su relación con la MF (ver una síntesis de estos análisis en la sección 4 y los detalles en el anexo D). Mediante la contrastación empírica de diez conjeturas, C1(CDE+MF)-C10(CDE+MF), elaboradas con ayuda del MER, completaremos relativamente algunas de dichas respuestas en lo que sigue (ver secciones 5, 6 y 7). Por último, en la sección 8, se aportan datos empíricos para describir la razón de ser «oficial» que el sistema escolar asigna al CDE en el paso de Secundaria a la Universidad y el papel que éste juega en la MF escolar desarrollada en ese ámbito institucional. Todos estos resultados proporcionan criterios para relacionar la razón de ser oficial del CDE con la que le asigna el MER, lo que contribuirá a sacar a la luz el fenómeno didáctico de la falta de visibilidad escolar de la actividad de modelización funcional y de una posible razón de ser del CDE en dicho ámbito (sección 9). Las cuestiones relativas a la dimensión ecológica de un problema didáctico son las que pretenden indagar qué tipo de restricciones, procedentes de qué nivel de codeterminación didáctica, son cruciales para la ecología de las praxeologías matemáticas y didácticas involucradas en dicho problema. De forma muy simplificada, podría decirse que la dimensión ecológica de un problema didáctico contiene las cuestiones que giran en torno a la siguiente pregunta: ¿por qué las cosas (las OM y las OD) son como son en la contingencia institucional y qué condiciones 107 se requerirían para que fuesen de otra forma dentro del universo de lo posible? (Gascón, 2011, p. 217). En nuestro caso, nos planteamos las siguientes cuestiones: P3. Dimensión ecológica: ¿Qué condiciones se requieren y, en particular, qué restricciones dificultan o impiden el desarrollo normal de la MF en el paso de Secundaria a la Universidad? ¿Qué papel podría jugar el CDE en el establecimiento de las citadas condiciones? ¿Cómo diseñar y gestionar un REI que posibilite el desarrollo de la MF y permita integrar en el corazón del proceso de estudio la razón de ser que asigna nuestro MER al CDE? ¿Qué infraestructuras matemáticas y didácticas se necesitarían para hacer viable un REI con dichas características en el paso de Secundaria a la Universidad? ¿Qué papel podrían jugar las TIC en el diseño y puesta en práctica de dicha organización didáctica? ¿Qué restricciones, provenientes de qué niveles de codeterminación didáctica, dificultarían el desarrollo de una tal organización didáctica? ¿Cuáles son los medios y los media que se requieren para llevar a cabo el proceso de estudio que el citado REI encarna? 29 Dado que la dimensión ecológica de un problema didáctico incluye en cierto sentido a las dimensiones epistemológica y económica, se puede afirmar que, desde el punto de vista de la TAD, todo problema didáctico es un problema de ecología praxeológica o, en otros términos que, en última instancia, la didáctica se ocupa del estudio de la ecología institucional de las praxeologías matemático-didácticas (Bosch & Gascón, 2007). Para responder parcialmente a las cuestiones que forman parte de la dimensión ecológica de nuestro problema, diseñaremos y experimentaremos diversos recorridos de estudio e investigación (REI), sustentados en el MER propuesto (ver capítulo V). Los resultados de esta experimentación nos permitirán llevar a cabo un análisis ecológico a posteriori del tipo de actividad matemático-didáctica propuesta. 29 Algunas cuestiones derivadas son las siguientes: ¿Cómo plantear y gestionar el momento del primer encuentro con las cuestiones? ¿Cómo surgirán y evolucionarán las técnicas? ¿Cómo surgirán las necesidades tecnológicas (en el sentido de la TAD) y cómo se pondrán a disposición de la comunidad de estudio? ¿Cómo y cuándo se realizarán actividades de institucionalización y de evaluación? La experimentación de un REI que encarna la nueva razón de ser que el MER que proponemos asigna al CDE en el ámbito de la MF, ¿con qué dificultades tropieza? ¿Qué resultados permite alcanzar? 108 4. Síntesis de la evolución histórica del papel del cálculo diferencial elemental (CDE) en la enseñanza secundaria portuguesa A lo largo del tiempo, el currículo portugués de Matemática ha sufrido alteraciones muy relevantes en los temas propuestos y en los posibles abordajes de los mismos. Estas modificaciones en los currículos son debidas esencialmente a la necesidad de encuadrar y adecuar la Matemática a la sociedad y mantenerla constantemente actualizada. En particular, al analizar los programas/boletines oficiales correspondientes a las diferentes reformas curriculares se observan algunas diferencias a nivel de la posición, tipo de abordaje, profundización y desarrollo del CDE y de la MF en la estructura del programa oficial. Aires y Sierra, en 2005, han estudiado la evolución del concepto de derivada a lo largo del siglo XX y distinguido algunas etapas históricas para la enseñanza de la Matemática en Portugal. En esta investigación, al interpretar dicha evolución histórica según el MER propuesto (ver sección 2 de este capítulo), ha surgido la necesidad de ampliar y de actualizar esa distinción proponiendo ahora una división en seis etapas históricas, como sigue: 1. La introducción del CDE en los currículos oficiales (1905-1963); 2. La reforma de las Matemáticas Modernas (1963-1974); 3. El periodo de transición (1974-1986); 4. La relevancia del CDE y su relación con el estudio de la MF (1986-2000); 5. El CDE y la MF en el currículo actual (2001-2014); 6. Tendencias futuras. 4.1. La introducción del CDE en los currículos oficiales (1905-1963) Según el trabajo de Aires y Sierra (2005), el concepto de derivada (y su interpretación geométrica) fue abordado por primera vez en los planes curriculares oficiales portugueses resultantes de la reforma de 1905, surgiendo en el capítulo de Álgebra. Sin embargo, este currículo no propone establecer una articulación entre este punto clave del cálculo diferencial elemental y los restantes contenidos, como por ejemplo, relacionando el concepto de derivada con la clasificación de funciones o con la noción de continuidad. Así, la noción de derivada probablemente surgía como un concepto aislado, desarticulado y rígido, sin justificación. En la reforma de 1918, el Cálculo Infinitesimal asegura su independencia en relación al Álgebra, con un capítulo exclusivo en el cual se reseña la introducción del concepto de 109 límite (antecediendo al estudio de la noción de derivada) y del concepto de integral (abordado solo en los casos más sencillos). Con la referencia a la importancia del concepto de derivada nos parece que ya había, en este momento, una preocupación por justificar la necesidad de estudiar la función derivada de una determinada función, existiendo una legitimidad matemática y social para dicho estudio. Por otro lado, la referencia a las aplicaciones al final del capítulo viene a legitimar funcionalmente el referido estudio con el planteamiento de cuestiones provenientes de situaciones intramatemáticas o extramatemáticas. Por consiguiente, el por qué del estudio de la noción de derivada y el para qué sirve este concepto nos parece presente en esta parte del currículo oficial y así, implícitamente, su razón de ser. “[…] Parece-nos que a justificação para a existência deste capítulo se prende com o facto de aí ter também sido introduzida a noção de integral [...]” (Aires & Sierra, 2005, p. 103) En 1926, el concepto de derivada vuelve a surgir en un capítulo de Álgebra, observándose una gran pérdida de importancia del cálculo diferencial elemental (CDE) en los currículos oficiales comparativamente a los programas anteriores. En lugar de tener un capítulo exclusivo, el CDE sólo aparece ahora en un único punto con una breve referencia a la noción de derivada, pero sin un desarrollo o aplicación funcional. También es de reseñar que con esta reforma los conceptos de función y de continuidad solo eran estudiados dos años después (en la sexta clase) surgiendo así el concepto de derivada de una forma aislada, sin ninguna conexión o articulación con los otros conceptos. La razón de ser del CDE está completamente desaparecida en este programa oficial. Con la reforma de 1930, el concepto de derivada vuelve a ser estudiado en el capítulo de Álgebra, pero ahora con un mejor encuadre, o sea, precedido del estudio de las funciones, de la teoría de los límites y de la continuidad. Además del concepto de derivada fue también introducida la noción de diferencial de una función, que luego fue suprimida en el año siguiente con una reformulación del programa oficial. En 1936, como consecuencia del régimen político dictatorial, la instrucción fue desvalorizada ocurriendo una simplificación y una reducción de los contenidos matemáticos a explorar. Así, se observó la completa desaparición del CDE de los 110 diseños curriculares, en particular, del estudio de la derivada, de los límites y de la continuidad de funciones. De este modo se mantuvieron los programas de matemática durante nueve años, y sólo con la reforma de 1947 el CDE reaparece en los currículos oficiales en dos capítulos de Álgebra de dos años de escolaridad consecutivos: en el sexto año se introduce la teoría de los límites y la continuidad y, en el séptimo año el concepto de derivada, haciendo una breve referencia a su interpretación en el ámbito de la Física. Sin embargo, desde la reforma de 1926 hasta la reforma de 1947, las aplicaciones de la derivada fueron suprimidas del currículo oficial, desapareciendo así la legitimidad funcional del estudio de la derivada. En los años siguientes, con la implementación del nuevo programa, surgieron varias contestaciones y críticas a la estructura, a la secuencia y a la articulación de los contenidos matemáticos propuestos en este último currículo. Aires y Sierra (2005) hacen referencia a Sebastião e Silva que, en la Gazeta de Matemática de 1951, refiere que la noción de derivada debería ser estudiada después del cálculo infinitesimal en la siguiente cita: “[…] A origem do conceito de limite conhece-a já o aluno, através dos exemplos da geometria. Mas a vantagem, a finalidade daquela delicada rede de definições e de teoremas não lhe surgirá tão claramente ao espírito - se logo em seguida não se passar ao estudo das derivadas, única aplicação que se faz da teoria dos limites no ensino secundário. […] o capítulo das derivadas não foi colocado no lugar conveniente. De resto o estudo das derivadas deve ser feito em estreita conexão com o dos movimentos, na física. Introduzir o conceito matemático de derivada sem ter partido do conceito mecânico de velocidade, e sem depois apresentar as múltiplas concretizações da mesma ideia na geometria e na física - é um erro grave de pedagogia. […]” (Sebastião e Silva, 1951, p. 4) En 1954 es reconocida la necesidad de reformular los currículos de matemática y de proponer el estudio del concepto de derivada30 como una continuación del cálculo infinitesimal, tal como había sido sugerido por Sebastião e Silva. A partir de este año las aplicaciones de las derivadas empiezan a constar en los planes oficiales, en particular, en el estudio de la variación de funciones. Sin embargo, el abordaje de los contenidos matemáticos relativos al CDE permanecía en el capítulo del Álgebra (Aires & Santiago, 2012). 30 Con excepción del plan de estudios de 1936, el estudio de las derivadas se ha mantenido siempre presente en los programas oficiales de la enseñanza secundaria hasta la actualidad. Sin embargo, las aplicaciones de las derivadas solo empiezan a constar en los planes oficiales cerca de 20 años después (Aires & Santiago, 2012). 111 En 1958 fue aprobado el libro único para el 3º ciclo - el Compêndio de Álgebra de Sebastião e Silva y Silva Paulo - con un capítulo dedicado a la derivada y con la presencia, por primera vez, de los problemas de optimización en la enseñanza secundaria portuguesa. Los autores presentan una nota histórica para introducir el concepto así como las varias etapas por las que ha pasado el Cálculo Diferencial. Sin embargo, por un lado en la presentación de los problemas de optimización no se utilizan esquemas, figuras o gráficos como instrumentos de auxilio en la interpretación del problema o para ayudar en la resolución; por otro lado, no aparecen problemas de Geometría Analítica, de Física o Economía y además, no se sugiere al estudiante la elaboración de un informe, o sea, la resolución se hace de una manera bastante explícita identificando los extremos a partir del signo de la derivada (Aires & Santiago, 2012). Así, los problemas de optimización surgen como aplicaciones de las derivadas, se empieza por explicar el sentido de la variación de una función a partir del signo de la derivada, presentando al final ejemplos concretos. Aires y Santiago (2012) identificaran en el libro únicamente 9 problemas de optimización: 3 de Geometría Métrica, 2 de Aritmética y 4 de Medida en Contexto Real. 112 Al interpretar estos problemas de optimización tomando como sistema de referencia el MER que articula la MF con el CDE (descrito en la sección 2 de este capítulo) se detecta que: En ningún caso hay la necesidad de delimitar (construir) el sistema, porque las variables vienen dadas de antemano; Tampoco se plantea la necesidad de seleccionar la información relevante para resolver el problema, puesto que el enunciado aporta, exactamente, todos los datos necesarios (no se proporcionan datos innecesarios, «superfluos» o «sobrantes»); En todos los casos para ayudar a establecer una relación entre las variables se proporciona una función auxiliar, mayoritariamente de forma explícita (6/9); Los datos son siempre continuos y permiten, en todos los casos, la construcción del modelo algebraico funcional continuo (polinómico, racional o irracional); De entre los 9 problemas, 5 se refieren a procesos de MF intramatemáticos y los 4 restantes a procesos de MF extramatemáticos; Los problemas se concentran esencialmente en actividades de construcción y trabajo del modelo algebraico funcional continuo y en la interpretación de los resultados en el sistema; Solo uno de los problemas se refiere a la construcción y trabajo del modelo gráfico funcional; 113 No existe en ningún caso una ampliación del modelo, no surge la necesidad de nuevas variables ni de nuevos sistemas; En la mayoría de las situaciones problemáticas planteadas (6/9), los datos son genéricos conduciendo a la construcción de una familia de modelos funcionales con una variable y dependientes de un parámetro. Por lo tanto, los problemas se sitúan en el segundo nivel de modelización funcional (en el sentido de Ruiz-Munzón, 2010). Los restantes 3 problemas presentan datos numéricos concretos, permitiendo la construcción de un único modelo funcional y un trabajo desarrollado en el primer nivel de modelización funcional; Los enunciados de 4 de los 9 problemas orientan y encaminan su resolución, no dejando así que el estudiante explore diversas técnicas; Se observa la existencia de una gran proporción de problemas (6/9) cuyo valor pedido es explícito, indicándose claramente el valor que se debe calcular. En los restantes 3 problemas el valor pedido queda implícito31; Estas actividades no contemplan una validación del modelo construido como representación del sistema; 4.2. La reforma de las Matemáticas Modernas (1963-1974) A semejanza de las corrientes europeas, en 1963, se introducen las Matemáticas Modernas en la enseñanza portuguesa con la influencia de Sebastião e Silva, surgiendo la preocupación de recuperar ciertos temas y contenidos matemáticos que se habían omitido para atenuar el paso de las matemáticas elementales de la enseñanza secundaria a las matemáticas avanzadas de la enseñanza universitaria. Sebastião e Silva ha defendido que la enseñanza de las matemáticas debería servir para desarrollar el sentido crítico, la autonomía mental y el espíritu de investigación de los estudiantes. Por otro lado, criticaba la enseñanza tradicional caracterizándola por el enciclopedismo desconexo o, en sus propias palabras, como una «imensa manta de retalhos mal cerzidos» cuyo sistema de exámenes solo permitía apreciar memorizaciones y automatismos superficiales. Así, sugería combatir el exceso de ejercicios repetidos, pues consideraba mucho más relevante la reflexión sobre un ejercicio interesante que se aplicase a situaciones reales y concretas. 31 Por ejemplo, en el problema 1 sólo se pide determinar los triángulos que tengan área máxima, quedando implícito que lo que se debe calcular es la medida de los catetos. 114 Afirmó que su reforma de modernización de la matemática incluía en la enseñanza de la matemática portuguesa, por primera vez, diversos temas de extrema importancia, en particular, el «cálculo de valores aproximados como base para uma introdução ao cálculo diferencial e integral aplicado a problemas concretos e com a referência à sua resolução por meio de computadores». También ha referido que el profesor debería abandonar el método expositivo tradicional, en que el papel de los alumnos es prácticamente pasivo y procurar establecer el diálogo con los estudiantes, estimular la imaginación de ellos y conducirlos al redescubrimiento, proponer una matemática intuitiva y no demostrativa. Así, defiende que: Ensinar matemática sem mostrar a origem e a finalidade dos conceitos é como falar de cores a um daltónico: é construir no vazio. En una de las cartas enviadas a Emma Castelnuovo afirma que: [...] se quisermos que o ensino da matemática seja autenticamente vivo e fecundo, deveremos apresentar uma ciência que se faz e não uma ciência já feita. A matemática não deve desprezar o concreto, a matemática deve estar ligada à realidade física. En los "Compêndios de Álgebra" recomendaba ejercicios de aplicación a la Geometría, a la Física y a la Técnica, así como la inclusión de un capítulo dedicado al Cálculo Integral: O professor de matemática deve ser um professor de matematização, isto é, deve habituar o aluno a reduzir situações concretas a modelos matemáticos e, viceversa, aplicar os esquemas lógicos da matemática a problemas concretos. […] É na motivação concreto-intuitiva do conceito de integral e na sua definição que se deve pôr o máximo de empenho, procurando fazer sentir ao aluno a beleza e o interesse empolgante do assunto. Sugiere también el contacto con la noción de aproximación y de los métodos de aproximación, que domina todo el análisis numérico moderno, asociado al uso de computadores (Fuente: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/sebsilva.html). Como respuesta a todas estas críticas, consideraciones y sugestiones de Sebastião e Silva, según Aires y Sierra (2005), el nuevo currículo pasó a abordar nuevos temas, tales como: el Cálculo integral y el Cálculo Numérico Aproximado. Sin embargo, son mantenidos algunos temas “clásicos”, en particular, el Cálculo Diferencial. A partir de esta Reforma, la derivada se deja de abordar en el capítulo del Álgebra, pasando a ser de nuevo explorada en un capítulo exclusivo del Cálculo Diferencial y 115 surge por primera vez en los currículos oficiales de las matemáticas la sugerencia para la determinación de los máximos y mínimos de una función, que consideramos que fue un paso importante en las matemáticas escolares, puesto que podría conducir a un estudio preliminar de los problemas de optimización y, consecuentemente, al trabajo de la modelización funcional en la enseñanza secundaria. También es de notar la referencia a la interpolación por diferencias finitas por primera vez en los programas de matemática de la enseñanza secundaria y la referencia al concepto de diferencial en las ciencias de la naturaleza, que podría constituir la legitimidad funcional de este concepto. Con la reforma de 1973, según Ana Santiago (2008), la derivada continúa siendo abordada en el capítulo dedicado al Análisis Infinitesimal y los programas hacen referencia, por primera vez, al estudio de las aplicaciones de las derivadas a problemas concretos. Esta reforma marca el fin del período dictatorial en Portugal, que ocurrió el 25 de abril de 1974. 4.3. El periodo de transición (1974-1986) En 1974 fueron publicados dos programas de Matemática: uno relativo a las Matemáticas Modernas y otro relativo a la Matemática Clásica. En el programa relativo a las Matemáticas Modernas, las principales modificaciones estaban relacionadas con la introducción del estudio de las primitivas, de las aplicaciones de la derivada a problemas concretos y con el análisis del sentido de variación de una función. Con respecto al programa de las Matemáticas Clásicas (implementado en las clases que aún no seguían las matemáticas modernas), el estudio de la función derivada surgía en el capítulo del Cálculo, que sugería también que se estudiasen sus aplicaciones a problemas de máximos y mínimos y que se explorase la relevancia de la derivada como herramienta de auxilio a la representación grafica de funciones. Sin embargo, tal como referían Aires y Sierra (2005), este programa era mucho más simplificado que el anterior programa de las Matemáticas Clásicas. 116 En 1979 y en 1980 fueron publicados nuevos programas para el 11.º y el 12.º año de escolaridad, respectivamente. El concepto de derivada surge en el 11.º año en un capítulo exclusivamente dedicado al estudio de las derivadas y también es abordado en el 12.º año en un apartado dedicado al Análisis Real en el cual solamente se introducen más reglas del CDE a fin de completar el estudio efectuado el año anterior con las derivadas de las funciones exponencial y logarítmica. 4.4. La relevancia del CDE y su relación con el estudio de la MF (1986-2000) En 1986, como consecuencia de la publicación de la Ley de Bases del Sistema Educativo, los programas oficiales fueron un foco de alteraciones profundas debidas a la extensión de la escolaridad obligatoria y a la integración del 12º año en la enseñanza secundaria. Según Ana Santiago (2008), en 1988 el programa ha sufrido una reducción, siendo suprimido el siguiente punto: «A noção de diferencial de uma função num ponto; interpretação geométrica; regra de diferenciação; resolução de questões aplicando o conceito de derivada.» En 1991, nacieron nuevos programas para las Matemáticas de la enseñanza secundaria, en los cuales se observó que el CDE, en particular, el estudio de las derivadas y de sus aplicaciones, era abordado en capítulos de Análisis denominados por capítulos de “Funções” que hacían, por primera vez, en las indicaciones metodológicas (según Santiago (2008)), una referencia explícita al trabajo de problemas de optimización en el 11.º y en el 12.º año. También es de destacar la referencia al estudio de la derivada segunda y la utilización de las primitivas en el cálculo de áreas. Según Segurado y Ponte (1998), estos últimos programas oficiales indicaban que el aprendizaje de las matemáticas debería ir más allá del aprendizaje de los conceptos, procedimientos y sus aplicaciones y, reconocían que aprender Matemática es sobre todo hacer Matemática, tal como había sido preconizado por el NCTM en 1991. Los autores citados destacan que este encuadre curricular podría sugerir que la realización de actividades de exploración y de investigación por parte de los estudiantes pudiese asumir una gran relevancia. Consideramos que la importancia otorgada por el currículo al «hacer matemáticas» podría conducir a la introducción de actividades de modelización funcional en los programas oficiales de matemática posteriores. 117 En 1997, con la introducción del uso obligatorio de las calculadoras gráficas en la enseñanza secundaria, fue necesario un ajuste del programa anterior. Así, el capítulo que engloba el estudio de la derivada pasa a designarse por “Introdução ao Cálculo Diferencial”. Hay que subrayar que, por primera vez, surge en los contenidos matemáticos del programa oficial el estudio de los conceptos de tasa media de variación, tasa de variación y se explora la interpretación física de la noción de derivada. También, en este programa, el estudio y exploración de los problemas de optimización son sugeridos de forma explícita en el capítulo del 12.º año referente al CDE. La introducción de este último punto y el estudio de las aplicaciones de la derivada a la resolución de problemas de la “vida cotidiana” nos conducen a la ilustración del carácter funcional del CDE, en particular, de la noción de derivada. João Pedro da Ponte analizó el programa de Matemática de la enseñanza secundaria portuguesa (Ministério da Educação, 1997) y observó diversas indicaciones que apoyan la realización de actividades de investigación en la clase, en particular, destacó la sugestión de utilización de las calculadoras gráficas o del computador como instrumentos que pueden permitir la «condução de experiências matemáticas, concepção e testagem de conjecturas […] cada aluno deverá realizar investigação e exploração de várias ligações entre diferentes representações [...]» (Ministério da Educação, 1997, p. 11). Por otro lado, Ponte (2003) identificó, en las indicaciones metodológicas del citado programa oficial, una referencia explícita a las tareas de investigación32: “no estudo das famílias de funções os alunos podem realizar pequenas investigações” (Ministério da Educação, 1997, p. 20). Así, creemos que la sugerencia de las citadas tareas de investigación aplicadas a problemas de la “vida cotidiana”, el trabajo con familias de funciones, el uso de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación, y las diferentes representaciones de la actividad matemática podrían conducir al estudio de la modelización funcional en la enseñanza secundaria portuguesa. 32 Según el documento titulado Didáctica, editado por el Departamento do Ensino Secundário do Ministério de Educação de Portugal (Ponte, Boavida, Graça & Abrantes, 1997), una tarea de investigación es caracterizada por una cuestión abierta, de cariz problemático que permite que el alumno formule conjeturas, las teste y, eventualmente, las muestre. Este tipo de tarea favorece el desarrollo del espíritu de observación y del sentido crítico, la capacidad de sistematización de los resultados parciales y de la abstracción, así mismo como las capacidades de argumentación y de demonstración. 118 Hasta el final del siglo XX fueron estos los programas que estuvieran en vigor. 4.5. El CDE y la MF en el currículo actual (2001 - 2014) En 2001 y 2002 fueron homologados nuevos programas para la Matemática en la enseñanza secundaria portuguesa que entraron en vigor en el año lectivo de 2003/2004. En el diseño curricular de Matemática B, por un lado, el tema central se refiere a las aplicaciones y a la modelización matemática pero, por otro lado, no se estudia la función derivada, solo se hace referencia al estudio de la tasa de variación de una función en un punto. En el diseño curricular de Matemática A, la modelización matemática es considerada un tema transversal, lo que significa que puede ser utilizada en los diversos temas tales como en Geometría, en Trigonometría, en Funciones o en Cálculo Diferencial. Se observa, por primera vez, la indicación explicita en los currículos de actividades de modelización matemática. Sin embargo, en 1992, João Pedro da Ponte ya había sugerido la introducción de actividades de modelización matemática en los programas oficiales de matemática: […] O estudo global duma situação, percorrendo todo o ciclo do processo de modelação (...) é fundamental para que os alunos se apercebam da interligação entre os vários domínios da Matemática e do poder e limitações de cada um deles (abordagens geométricas, algébricas, algorítmicas, numéricas, lógicas). Esta actividade é igualmente essencial para que os alunos ganhem sensibilidade para os aspectos mais globais do processo de modelação, nomeadamente a concepção geral, a avaliação e a análise crítica dos modelos (...) Ser competente em Matemática (quer ao nível do cálculo, quer ao nível da resolução de problemas), não implica necessariamente ser competente na sua utilização em situações concretas. Trata-se de competências diferentes, que têm de ser igualmente tidas em consideração pelo currículo desta disciplina. […] (Ponte, 1992, p. 19) En el programa de Matemática A del 11º año, las nociones de tasa media de variación y de tasa de variación/derivada desempeñan un papel central, siendo introducidas recurriendo al uso informal de la noción de límite. El referido programa destaca la importancia del concepto matemático de tasa de variación para las disciplinas de “Economía” y “Física y Química” e indica que podrá ser ventajosa la exploración coordinada del concepto con estas disciplinas en los respectivos cursos generales, trabajando problemas de aplicación concretos, recurriendo a la realización de 119 actividades comunes o la presentación de algún aspecto en una de esas disciplinas para el posterior desarrollo en la disciplina de Matemática. Las indicaciones metodológicas refieren que: “Podem ser propostos alguns problemas simples que envolvam derivadas num contexto de aplicações”. También, en relación al segundo punto del referido programa: estudo intuitivo de , tanto a partir de propriedades das funções racionais da classe um gráfico particular como usando calculadora gráfica, las indicaciones metodológicas enfatizan el análisis de los efectos del cambio del valor de los parámetros sobre los gráficos de las funciones de una misma clase, conduciendo así al trabajo con familias de funciones y, consecuentemente, a la modelización funcional. Sin embargo, los currículos de matemática muestran que en el 10º y 11º año de escolaridad se privilegian funciones que relacionan variables con significado concreto. 4.6. Tendencias futuras El programa aprobado recientemente, y que es previsto entre en vigor el próximo año lectivo 2015/2016, pretende introducir el estudio de las primitivas y de los integrales en la enseñanza secundaria portuguesa (a semejanza de otros países). Este programa contiene la resolución de problemas incluyendo la modelización funcional de fenómenos reales (en el 10.º año) y, en el 12.º año, el estudio de modelos exponenciales como solución de una ecuación diferencial elemental. De este modo, creemos que este nuevo programa podría pretender establecer una articulación entre el Cálculo Diferencial Elemental y la Modelización Funcional tal como postulamos en el MER. En particular, se pretende que el estudiante verifique que las funciones exponenciales son las únicas funciones que satisfacen la igualdad (observando que no existen otras funciones cuya derivada sea proporcional a la propia función). Indican que estas simples observaciones permiten explicar de modo muy satisfactorio, en los currículos, la pertinencia de determinados modelos cuyo trabajo dentro del mismo ya es universalmente aceptado en la enseñanza secundaria, pero que jamás se ha intentado buscar una justificación para su construcción o para su origen (dónde ha surgido el modelo y cómo aparece). 120 De este modo, en relación al CDE, se ha introducido recientemente los siguientes puntos en el currículo oficial de la enseñanza secundaria portuguesa: 4.7. Interpretación de los currículos a la luz del MER Con el objetivo de interpretar los diferentes currículos oficiales de la enseñanza secundaria portuguesa a lo largo de los siglos XX y XXI de acuerdo con el MER propuesto para articular el CDE y la MF, hemos construido una tabla que compara y resume los cambios más importantes observados: 121 Reforma Presencia CDE MF 1905 X 1918 X ----- Conexiones - 1926 - X - 1930 - X - - 1936 ----- 1947 X 1954 X X 1963 X X CDE estudiado en el capítulo del algebra; derivada desconectada de la clasificación de funciones y de la noción de continuidad; el CDE se estudia en un capitulo independiente del Algebra (Cap. de Cálculo Infinitesimal); se estudia la importancia de la noción de derivada (razón de ser); la introducción del concepto de límite (antecediendo el estudio de la noción de derivada) y del concepto de integral (abordado solo en casos más sencillos); surgen Aplicaciones (creemos que referentes al concepto de integral: calculo de áreas, etc.) sin establecer cualquier vínculo con las actividades de MF; el CDE de nuevo estudiado en el capítulo del Algebra en un único punto con una breve referencia a la noción de derivada y sin un desarrollo o aplicación funcional (desapareciendo las aplicaciones); el concepto de derivada surge de una forma aislada, sin cualquier conexión o articulación con otros conceptos como, por ejemplo, de función o de continuidad; la razón de ser del CDE ha desaparecido; el CDE (concepto de derivada) continua a ser estudiado en el capítulo del Algebra, pero ahora precedido del estudio de las funciones, de la teoría de los límites y de la continuidad; introducida la noción de diferencial de una función (que luego fue suprimida en el año siguiente con una reformulación del programa oficial); desaparición total del CDE de los diseños curriculares (de la derivada, de los límites y de la continuidad); El CDE reaparece en los currículos oficiales en 2 capítulos de Álgebra: - 6.º año se introduce la teoría de los límites y la continuidad; - 7.º año el concepto de derivada, haciendo una breve referencia a su interpretación en el ámbito de la Física (“O problema das tangentes e o das velocidades”); - el CDE (derivada) surge en el capítulo del Algebra después del estudio del límite y de la continuidad; - surgen las aplicaciones de las derivadas; - en el libro único surgen los primeros problemas de optimización que implican la delimitación de un sistema intramatemático o extramatemático, el trabajo en el campo continuo: construcción del modelo algebraicofuncional, trabajo en el modelo y interpretación de los resultados en el sistema; Introducción de las Matemáticas Modernas en Portugal (Sebastião e Silva): - se pasa a valorar el sentido crítico, la autonomía mental, el espíritu de investigación de los estudiantes y la reflexión sobre problemas de aplicación a situaciones reales y concretas; - combate al exceso de ejercicios repetidos y al método expositivo tradicional; - propuesta de una matemática intuitiva y no demostrativa; - utilización del cálculo de valores aproximados como base para introducir el cálculo diferencial e integral 122 Relación CDE-MF ____________ No existía ninguna relación entre el CDE y la MF -------------------No existía ninguna relación entre el CDE y la MF Derivada como aplicación al estudio de la variación de funciones (casos sencillos) Se utiliza el CDE para trabajar modelos algebraico-funcionales continuos (problemas de optimización) aplicado a problemas concretos cuya resolución podría implicar el uso de computadores; se habla, por primera vez, de modelos matemáticos resultantes de la reducción de situaciones concretas; motivación concreto-intuitiva del concepto de integral; ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- la derivada dejase de abordar en el capítulo del Álgebra, pasando a ser de nuevo explorada en un capítulo exclusivo del Cálculo Diferencial; - surge por primera vez (en los currículos oficiales) la sugerencia para la determinación de los extremos de una función; - la interpolación por diferencias finitas surge, por primera vez, en los programas de la enseñanza secundaria; - referencia al concepto de diferencial en las ciencias de la naturaleza; - la derivada continúa a ser abordada en el capítulo del Análisis Infinitesimal; - referencia, por primera vez (en los programas), al estudio de las aplicaciones de las derivadas a problemas concretos; Creación de 2 Programas: - Matemáticas Modernas (estudio de las primitivas, de las aplicaciones de la derivada a problemas concretos y con el análisis del sentido de variación de una función); - Matemática Clásica (aplicaciones a problemas de máximos y mínimos, la derivada como herramienta de auxilio a la representación gráfica de funciones, programa más simplificado que el anterior); 11.º año: CDE en un capítulo exclusivamente dedicado al estudio de las derivadas y sus aplicaciones; 12.º año: CDE en el apartado del Análisis Real (solo se estudia el diferencial de una función en un punto, su interpretación geométrica y se introduce la derivada de las funciones circulares, exponencial y logarítmica); - el CDE (las derivadas y sus aplicaciones) abordado en capítulos del Análisis (“Funções”) que referían explícitamente, por primera vez en las indicaciones metodológicas, el trabajo de problemas de optimización; - estudio de la derivada segunda; - utilización de las primitivas en el cálculo de áreas; - introducción del uso obligatorio de las calculadoras gráficas en la enseñanza secundaria; - por primera vez, surge el estudio de los conceptos de tasa media de variación, tasa de variación y se explora la interpretación física de la noción de derivada; - el estudio y exploración de los problemas de optimización son sugeridos de forma explícita; - en las indicaciones metodológicas surge una referencia explícita a las tareas de investigación relativas al estudio de familias de funciones; - 1973 X X 1974 X X 1979/80 X X 1991 X X 1997 X X 2001/2002 X X Surgen 3 programas distintos en los cuales se habla explícitamente, por primera vez (en los currículos), de modelización matemática: Matemática A: es estudiado el CDE y la modelización matemática surge como uno de los temas transversales a los 123 El CDE como herramienta de auxilio a la representación gráfica de funciones y para analizar el sentido de variación de un modelo El CDE para optimizar modelos funcionales Las aplicaciones de la derivada a la resolución de problemas de la “vida real” conducen a la ilustración del carácter funcional del CDE En Matemática A, la modelización matemática es transversal a los temas temas centrales: - tasa de variación; aproximación experimental del límite; teoría de límites; - cálculo diferencial; problemas de optimización; Matemática B: las aplicaciones y la modelización matemática son el tema central de este programa: - estudio de gráficos y su representación; - modelización de situaciones incluyendo fenómenos periódicos, no periódicos y variaciones de una función; - modelos discretos (sucesiones) y modelos continuos (exponenciales, logarítmicos y logísticos); - problemas de optimización (aplicaciones de la tasa de variación, programación lineal); Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales (MACS): - modelos poblacionales, financieros y de grafos; - modelos discretos y modelos continuos; ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------Con algunas nuevas competencias, tales como: - analizar situaciones reales identificando modelos matemáticos que permitan su interpretación y resolución; - reconocer el alcance y limitaciones de un modelo matemático; - reconocer que un mismo modelo matemático puede permitir analizar situaciones diversas; - seleccionar estrategias de resolución de problemas; - formular hipótesis y prever resultados; - interpretar y criticar los resultados en el contexto del problema; - comprender la aleatoriedad presente en situaciones del día a día y en diferentes fenómenos; 2014 X X Las indicaciones metodológicas del programa de Matemática A refieren que: - deben ser elegidos problemas de optimización que permitan un trabajo completo de la modelización, discutiendo su proceso y su importancia en el mundo actual; - la modelización funcional (con funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas) puede ser explorada con la calculadora gráfica (usando, por ejemplo, la regresión estadística a partir de datos recogidos experimentalmente o en una base de datos) o con el análisis algebraico de la adecuación de un modelo funcional ya construido; - introducción del estudio de las primitivas y de los integrales; - resolución de problemas incluyendo la modelización funcional de fenómenos reales y el estudio de modelos exponenciales como la única solución de la ecuación diferencial ; - pertinencia de determinados modelos matemáticos utilizados en la Física (decaimiento radioactivo, temperatura) o en la Biología (crecimiento poblacional); Tabla 4 - Tabla comparativa de los cambios más relevantes en los currículos relativos al CDE y a la MF. 124 centrales (Geometría, Trigonometría, Funciones o Cálculo Diferencial) La Mat. B, se centra en la modelización matemática pero no estudia la función derivada (solo hace referencia al estudio de la tasa de variación de una función en un punto) En la MACS, se estudian modelos matemáticos pero, no se estudia el CDE (la derivada/integral), ni tampoco se estudia la variación de una función en un punto Articulación entre el CDE y la MF semejante a una pequeña parte postulada en el MER Ponte, Boavida, Graça e Abrantes, en 1997, en un capítulo titulado “O currículo de matemática do ensino secundário” de una obra colectiva presentan otros factores que pueden incidir en las innumerables alteraciones que han sufrido los currículos oficiales de Matemática: […] As pressões do ensino superior, que pretende que os alunos que recebe tenham uma certa preparação, têm sido, tradicionalmente, um factor com muita influência no currículo. As preocupações de competição científica e tecnológica (nos anos 50) e económica (nos anos 80 e 90) tiveram um forte papel nas reformas curriculares. A interiorização dos valores da democratização e da igualdade de oportunidades levou à afirmação da perspectiva da “Matemática para todos”, contrariando a velha noção do ensino elitista que pressupunha uma Matemática eminentemente selectiva, “apenas para alguns.” […] (Ponte et al., 1997, p. 60) Con relación a la evolución del CDE en el currículum portugués, el autor mencionado destaca que la relevancia del análisis infinitesimal y de las aplicaciones de la Matemática en los currículos tiende a aumentar cada vez más: […] Na elaboração de qualquer currículo intervêm diversos factores, uns de modo explícito, outros apenas implicitamente. Um factor essencial é, naturalmente, a própria Matemática. A leitura que se faz do que é importante nesta ciência tem uma influência óbvia nos assuntos que ganham prioridade curricular e no tratamento que recebem […] A grande importância que a análise infinitesimal tem, hoje em dia, em muitos países no ensino superior, reflecte-se, de modo flagrante, na centralidade que este tópico encontra no ensino secundário. Nos países com grande tradição nas aplicações da Matemática, estas encontram forte expressão no currículo, enquanto que nos países em que as aplicações têm pouca expressão académica, elas são muitas vezes completamente ignoradas no ensino. Neste momento, há uma grande mudança na Matemática provocada pela tecnologia computacional, sendo de prever que, a sua influência nos currículos se torne cada vez mais forte. […] (Ponte et al., 1997, p. 58) Aires y Sierra (2005) agregan que el CDE, en particular el estudio de la derivada, tiende a afirmarse cada vez más en los currículos portugueses: Desde a introdução da noção de derivada no plano de estudo do ensino liceal, no ano de 1905 até ao final do século XX, com excepção da reforma de Carneiro Pacheco, em 1936, em que aquela foi suprimida, assistimos a uma afirmação e aumento do espaço dedicado ao ensino das derivadas. (Aires & Sierra, 2005, p. 120) A lo largo del siglo XX, la evolución del concepto de derivada en los currículos de matemática portugueses no fue lineal sino que, por el contrario, se produjeron “introducciones” y “supresiones”, “progresos” y “retrocesos” que nos llevan a pensar que existían muchas incertidumbres y diferentes críticas de las comunidades matemáticas, tal vez debidas a la inestabilidad política y social. A partir del final del siglo XX, el posicionamiento del CDE en el currículo tiende a estabilizarse y los diferentes abordajes tienden a uniformizarse. 125 O estudo da noção de derivada, seguindo o método histórico, chama a atenção para o facto de que as noções matemáticas não se desenvolvem de maneira autárquica, mas antes conectadas entre si. (Aires & Sierra, 2005, p. 120) De un modo general, el CDE ha sufrido fuertes fluctuaciones a lo largo del tiempo y mantiene una posición un poco más estable en el currículum actual. Sin embargo, se pone de manifiesto la tendencia a la interpretación, por parte de los currículos, del CDE como mero lenguaje científico, esto es, como un lenguaje que tiene sentido y debe conocerse por sí mismo, sin una aplicación práctica funcional, o sea, sin utilizarse como una herramienta útil para el desarrollo de actividades de modelización funcional en los diferentes estadios descritos en el MER propuesto en la sección 2. De hecho, a lo largo de la historia de la enseñanza portuguesa se observa que la única conexión revelada por los currículos oficiales entre el CDE y la MF consiste en la propuesta de utilizar la función derivada para estudiar la variación de un modelo funcional previamente construido, o sea, como si el CDE permitiese solamente trabajar el modelo continuo ya construido para responder a las cuestiones problemáticas iniciales Q0 y para nada más. En otras palabras, podemos postular que los diferentes currículos oficiales de Matemática relativos al paso de secundaria a la universidad restringen la razón de ser del estudio del CDE al tercer estadio de MF. Así, podemos concluir que, al pasar de la actividad científica a la actividad escolar, los currículos revelan una desaparición de una relación rica y fuerte entre el cálculo diferencial elemental y la actividad matemática de MF. Consecuentemente, tampoco se explora en profundidad y de manera sistemática el papel que el cálculo diferencial podría tener en la construcción, comparación e interpretación de los modelos funcionales utilizados para describir un determinado sistema. En particular, no se explora el papel que el CDE podría tener en la construcción de modelos a partir de datos discretos, en la comparación del ajuste de dos modelos a los datos empíricos o en la interpretación de los parámetros del modelo en términos de variación de una variable del sistema respecto de otra. Esta ausencia de articulación entre el CDE y la MF en los últimos diseños curriculares portugueses es una consecuencia de un fenómeno de transposición didáctica que no es coherente con el papel esencial que el cálculo diferencial ha venido a desempeñar en la actividad científica de modelización funcional de todo tipo de sistemas (tanto extramatemáticos como intramatemáticos). 126 En el anexo D se pueden consultar algunos datos que complementan el estudio realizado sobre la evolución histórica del papel del CDE en la enseñanza secundaria portuguesa, en particular, se presentan los currículos oficiales. 5. Diez conjeturas para contrastar la incompletitud y la desarticulación del CDE y la MF en la última etapa de la enseñanza secundaria Las conjeturas que formularemos en lo que sigue pretenden poner de manifiesto diferentes restricciones que inciden sobre la vida escolar de la MF. Las cinco primeras pretenden caracterizar la forma en que el fenómeno general de la atomización y el carácter desarticulado y puntual de las organizaciones matemáticas escolares (de la enseñanza secundaria portuguesa) que hemos descrito en el capítulo I, incide sobre la actividad matemática que es posible llevar a cabo en torno a la MF y el CDE en el paso de Secundaria a la Universidad. Esto significa que las cinco primeras conjeturas se han formulado en base a los trabajos en los que se plantea y se contrasta empíricamente el citado fenómeno general (Fonseca, 2004; Lucas, 2010). Las cinco últimas conjeturas, por su parte, se formulan tomando como sistema de referencia el esquema de MER que hemos propuesto en la sección 2 y, en consecuencia, se refieren a propiedades específicas de las organizaciones matemáticas escolares en torno a la MF y el CDE con el objetivo de relacionarlas entre sí para indagar con más precisión el tipo de desarticulación de estos ámbitos así como la separación entre ellos y su incidencia sobre la vida normalizada de la MF. En síntesis, los resultados obtenidos mediante la contrastación empírica de estas diez conjeturas, nos permitirán responder a algunas de las cuestiones que integran la dimensión económica de nuestro problema de investigación (como, por ejemplo, ¿Cómo se manifiesta el fenómeno general de rigidez y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares en el caso particular del CDE y la MF en el paso de Secundaria a la Universidad? y, también, algunas de las cuestiones que forman parte de la dimensión ecológica del mismo (como, por ejemplo, ¿Qué condiciones se requieren y, en particular, qué restricciones dificultan o impiden el desarrollo normal de la MF en el paso de Secundaria a la Universidad?). 127 C1 (CDE+MF): La práctica matemática escolar en torno a la modelización funcional (MF) y al cálculo diferencial elemental (CDE) depende fuertemente de la nomenclatura. Postulamos que en la enseñanza de la MF y el CDE se hace especialmente patente la rigidez de la nomenclatura, que es habitual en el resto de las OM escolares de Secundaria. Ello es debido a la importancia crucial que tiene en este ámbito la forma de designar las variables, lo que lleva a identificar y hasta confundir la naturaleza de la variable (esto es, la variable independiente se designa por “x”, la dependiente por “y”, los parámetros por “a”, “b”, “c”, las funciones por “f”, “g”,…) con los objetos semióticos, principalmente símbolos, que constituyen su soporte material. Como indicadores de esta conjetura, contrastables empíricamente, consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: Sub-conjeturas En el cálculo de límites de funciones (o de sucesiones) predomina la letra x (o la letra n) para designar la variable. C1.1. En el cálculo de derivadas predomina la letra x para designar la variable independiente. C1.2. En la representación de gráficas de funciones predomina la letra x para designar la variable independiente. C1.3. Para representar simbólicamente las funciones se utilizan principalmente las letras f, g y h. C1.4. Para designar la función derivada de una función f predomina el signo f’ en detrimento de otras designaciones posibles como D f o df/d x. C1.5. C2 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no se asigna al alumno la responsabilidad de interpretar ni de evaluar el resultado obtenido al aplicar una técnica. Postulamos que debido a la escasa incidencia del bloque tecnológico-teórico en las praxeologías matemáticas que se estudian (reconstruyen), en Secundaria no se exige interpretar adecuadamente el resultado de aplicar una técnica para considerar que dicha técnica ha estado “correctamente” utilizada. Lo anterior no significa que un profesor concreto (o determinados libros de texto) no interprete o evalúe los resultados que se obtienen al aplicar las técnicas matemáticas y hasta la manera concreta de aplicarlas. Significa que ésta no es una de las responsabilidades que el contrato didáctico institucional asigna a los alumnos en Secundaria. Así, el contrato no permite evaluar negativamente a un alumno que 128 habiendo aplicado correctamente las técnicas haya “olvidado” interpretar los resultados obtenidos. Entre los diversos ejemplos asociados a esta conjetura podemos indicar: La aplicación por parte de los alumnos de las técnicas de derivación de una función en Secundaria no incluye la interpretación de la derivada como variación de la función. En particular no se interpreta adecuadamente el significado del valor de la derivada en los contextos en los que ésta interviene (como, por ejemplo, contextos físico, biológico, económico, etc.). En el cálculo del límite de una función racional los alumnos no tienen la responsabilidad de relacionar la velocidad de convergencia del numerador con la velocidad de convergencia del denominador para interpretar el valor finito, cero o infinito del límite. En la resolución de problemas de optimización, una vez calculado el valor de la variable independiente de la función a optimizar que corresponde a un valor óptimo de la función, no forma parte de la responsabilidad de los alumnos la interpretación de dicho resultado en términos del sistema. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: Sub-conjeturas Determinar el límite de una función en un problema de modelización no suele incluir la interpretación del resultado en el contexto del sistema modelizado. C2.1. El cálculo de la tasa de variación media de una función en un intervalo no suele incluir la interpretación del resultado en el contexto del problema. C2.2. El cálculo de la derivada de una función no suele incluir la interpretación del resultado en términos de variación de la función. C2.3. En los problemas de optimización no es frecuente que aparezcan cuestiones sobre el significado, en el contexto del problema, del valor óptimo obtenido. C2.4. La interpretación en el contexto de un sistema modelizado del valor de la derivada segunda está prácticamente ausente de la matemática escolar. C2.5. C3 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE se asocia a cada tipo de tareas, de manera autoritaria y arbitraria (desde el punto de vista del alumno), una técnica privilegiada. Por lo tanto, ante una tarea matemática, el alumno no dispone de criterios matemáticos para elegir entre diferentes técnicas. Postulamos que dicha técnica privilegiada adquiere un carácter auto-tecnológico, esto es, se trata de una técnica que, en la institución en cuestión, no parece requerir de ninguna justificación ajena a sí misma, la técnica en cuestión se justifica a si misma por el mero hecho de que “funciona” y, además, tiende a provocar la desaparición de las técnicas rivales. Así, por ejemplo, cuando dos técnicas matemáticas son “equivalentes” para un cierto subtipo de tareas (como, por ejemplo, dos reglas de derivación para un tipo de 129 funciones), se requeriría que la elección más adecuada o la utilización indistinta de dichas técnicas no provocase ningún tipo de problemas a los estudiantes. Pero en la enseñanza secundaria y, en particular, en la práctica matemática en torno al CDE, se utilizan técnicas rígidas y desarticuladas, no formando parte del contrato didáctico del alumno la responsabilidad matemática de elegir de entre las técnicas potencialmente útiles para realizar una tarea, cuál es la más adecuada, económica o eficaz. Entre las técnicas auto-tecnológicas que aparecen en el ámbito de la MF y el CDE podemos citar la regla de derivación de funciones polinómicas y la técnica para calcular los extremos de una función resolviendo la ecuación que resulta de igualar a cero la función derivada. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: Sub-conjeturas Para calcular la derivada de una función expresada como cociente de dos funciones (f /g) se ha impuesto la técnica que se expresa mediante la fórmula (f /g)’ = (gf’ – g’f)/g2 incluso en los casos en los que se dispone de técnicas claramente más económicas (por ejemplo, en el caso en que f o g son constantes). C3.1. Son muy escasas las tareas que requieren explícitamente que se conjuguen dos técnicas diferentes (como, por ejemplo, técnicas gráficas y algebraicas) para estudiar una función. C3.2. En el cálculo de la función derivada de las funciones exponenciales y potenciales predominan las reglas dadas por las fórmulas: C3.3. (b f(x))’=b f(x)·ln(b)·f’(x) (f(x)a)’=a(f(x)a-1)·f’(x) en detrimento de la técnica de la derivación logarítmica (mucho más general y no algorítmica). En Secundaria, para calcular los extremos relativos de una función se ha impuesto la técnica de calcular los ceros de la función derivada. C3.4. La única técnica que existe para buscar los extremos de una función en puntos donde la derivada no existe es la técnica gráfica. C3.5. C4 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no se invierten las técnicas para realizar las tareas inversas. Postulamos que uno de los aspectos más importantes de la rigidez de las Organizaciones Matemáticas Puntuales de la enseñanza secundaria se manifiesta en la no reversión de las técnicas matemáticas. En términos del contrato didáctico podemos decir que, en Secundaria, no forma parte de la responsabilidad matemática del alumno invertir una técnica para llevar a cabo la tarea inversa. Podría decirse, más en general, que el contrato didáctico en Secundaria no asigna al alumno la responsabilidad de modificar una técnica “conocida” para poder llevar a cabo una tarea un poco diferente a la tarea usual. Esta conjetura supone, en particular, que cuando existen dos tareas “inversas” 130 entre sí, esto es, tareas con los datos y las incógnitas intercambiados, las correspondientes técnicas (caso de estar disponibles en Secundaria) suelen tratarse como si fueron “independientes”. Por ejemplo, están prácticamente ausentes las técnicas matemáticas que permiten reproducir la expresión analítica de una función (o de una familia de funciones) a partir de su representación gráfica. En el caso de la enseñanza secundaria portuguesa y de las técnicas elementales de derivación, podríamos decir que se ha institucionalizado la imposibilidad de invertir dichas técnicas puesto que, en la citada institución, y durante muchos años, no se han incluido las técnicas del cálculo de primitivas o antiderivadas. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: Sub-conjeturas En la matemática escolar es habitual la tarea de calcular los ceros, los extremos y los puntos de inflexión de una función polinómica, pero no suele aparecer la tarea inversa consistente en escribir la expresión analítica de la función polinómica dados sus ceros, los extremos y demás datos necesarios para determinarla. C4.1. En la introducción del cálculo diferencial aparece la tarea de determinar la tasa de variación media de una función en un intervalo, pero está prácticamente ausente la tarea “inversa” de determinar (en casos sencillos) una posible expresión algebraica de la función a partir de la tasa de variación media en un intervalo. C4.2. En los manuales de la enseñanza secundaria portuguesa ha desaparecido completamente el juego entre la derivada y la anti-derivada puesto que prácticamente no existe la tarea de calcular la expresión analítica de una función de la que se conoce su derivada. C4.3. En los manuales escolares es muy habitual la tarea de representar gráficamente una función a partir de su expresión analítica pero (fuera de las funciones lineales y cuadráticas) está prácticamente ausente la tarea inversa consistente en recuperar la expresión analítica de la función conocida su gráfica (completada con algunos datos expresados sobre dicha gráfica). C4.4. En los manuales escolares predomina la tarea de representar gráficamente una función a partir de la gráfica de su función derivada sobre la tarea inversa de representar gráficamente la función derivada a partir de la gráfica de la función. C4.5. C5 (CDE+MF): En el ámbito de la MF y del CDE no existen situaciones de modelización funcional en las que se requiera la construcción efectiva del modelo (más allá de su manipulación y aplicación) y sea imprescindible la interpretación del trabajo del modelo en términos de variación de una variable del sistema modelizado respecto de otras. Postulamos que, mayoritariamente, los problemas de la enseñanza secundaria que incluyen una actividad matemática de modelización requieren, a lo sumo, la manipulación y aplicación de un modelo matemático ya construido, mientras que la problemática de la construcción del modelo está presente de manera muy escasa. La ausencia de técnicas de modelización comporta que este proceso constituya una de las 131 actividades más problemáticas y menos reguladas en la enseñanza secundaria y se pone más claramente de manifiesto en el ámbito del CDE en el cual la actividad de MF debería desempeñar un papel central. Pocas veces surge una situación abierta donde el estudiante tiene la responsabilidad de decidir cuáles son los datos que se necesitan para formular correctamente un problema matemático o una cuestión suficientemente fértil que, una vez explorada, permita la generación de nuevos problemas y nuevas situaciones. Por el contrario, en la institución de enseñanza secundaria y, en particular, en el ámbito de la MF y el CDE, los enunciados de los problemas matemáticos se presentan muy «cerrados» en el sentido que contienen todos los datos necesarios (sin que aparezca ningún dato superfluo) para la resolución de la situación problemática y el alumno no tiene que seleccionar, prácticamente nunca, la información pertinente para resolver los problemas propuestos. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: Sub-conjeturas En los manuales escolares aparecen muy pocas situaciones que requieran explícitamente la construcción del modelo funcional, siendo especialmente escasas las que requieren la construcción de un modelo funcional a partir de datos discretos. C5.1. En los manuales escolares aparecen muy pocas situaciones de modelización funcional que requieran explícitamente la interpretación del trabajo del modelo en términos de variación de una variable respecto de otras. C5.2. En el estudio de la MF y del CDE aparecen muy pocas situaciones con datos abiertos, esto es, situaciones en las que el alumno deba decidir qué variables utilizar para modelizar el sistema y, en su caso, qué valores concretos pueden asignarse a algunas de estas variables y cuáles pueden manipularse como parámetros. C5.3. En los manuales escolares no se ha introducido el vocabulario necesario para hablar de la actividad de modelización matemática, por lo que, en el lenguaje de los manuales, no se utilizan (o se utilizan de manera muy poco precisa) expresiones tales como “sistema modelizado”, “modelo matemático”, “trabajo dentro del modelo”, “interpretación de los resultados en el sistema”, etc. C5.4. En las situaciones escolares en las que interviene la MF raramente aparecen las tareas de “calcular los valores de los parámetros del modelo para unas condiciones iniciales dadas” o “comparar el ajuste de dos modelos de un mismo sistema”. C5.5. Como hemos indicado anteriormente, las cinco conjeturas que formularemos a continuación, se han diseñado tomando como sistema de referencia el esquema de MER que proponemos. Pretenden profundizar en el análisis de la desarticulación específica de las organizaciones matemáticas escolares en torno al CDE y la MF, así como en la separación entre ellas y su incidencia sobre la vida normalizada de la MF. 132 C6 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE, la definición de derivada como límite de la tasa de variación media no juega ningún papel relevante. Podría afirmarse que dicha definición, en cuanto a su incidencia en las técnicas matemáticas escolares, es meramente “decorativa”. Postulamos que el cálculo efectivo de la derivada mediante la definición (como límite del cociente incremental) se utiliza únicamente para justificar, por parte del profesor y de los libros de texto, algunas de las reglas de derivación (únicamente las más sencillas), pero desempeña un papel insignificante en la actividad matemática que los estudiantes llevan a cabo, tanto en la práctica habitual como en los dispositivos de evaluación, en el ámbito de la MF y el CDE. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: Sub-conjeturas La definición de derivada como límite de la tasa de variación media no juega ningún papel en el cálculo de la función derivada (más allá del cálculo testimonial de la derivada de las funciones lineal y cuadrática) puesto que para este cálculo se utilizan masivamente técnicas algebraicas. C6.1. La definición de derivada como límite de la tasa de variación media no juega ningún papel en el cálculo de la derivada de una función en un punto puesto que para este cálculo se utiliza la fórmula de la función derivada (calculada mediante técnicas algebraicas) substituyendo el valor de la abscisa del punto en cuestión. C6.2. En la resolución de problemas de optimización la definición de derivada no juega ningún papel. C6.3. En el cálculo de la derivada de una función definida a trozos es poco frecuente la utilización de la técnica relacionada con la definición de derivada. C6.4. En el cálculo de derivadas laterales es poco frecuente la utilización de la técnica relacionada con la definición de derivada. C6.5. C7 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE la representación de la gráfica de una función y la representación de la gráfica de la función derivada se consideran como objetivos en sí mismos y no se les da ningún tipo de funcionalidad técnica como instrumento de modelización funcional. En particular, ni la gráfica de la función, ni la gráfica de la derivada se utiliza como modelo gráficofuncional de un sistema. Postulamos que muy raramente se utilizará la gráfica de una función (y, mucho menos, la gráfica de la función derivada) como instrumento técnico para responder a cuestiones relativas a un sistema modelizado por dicha función. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: 133 Sub-conjeturas En los manuales escolares la inmensa mayoría de las tareas que requieren la representación gráfica de una función (o de la gráfica de la derivada de una función) toman dicha gráfica como un objetivo en sí mismo, esto es, no la utilizan para resolver otros tipos de problemas. C7.1. En los manuales escolares no son frecuentes las tareas en las que, a partir del gráfico de la función derivada, se requiera la interpretación de los extremos de la función derivada en el contexto del problema. C7.2. En los manuales escolares las tareas que requieren, a partir de la gráfica de la función derivada, la interpretación de los intervalos de monotonía de dicha función en el contexto del problema, están prácticamente ausentes. C7.3. En los manuales escolares no son frecuentes las situaciones en las que se exija la interpretación de las asíntotas de la gráfica de la función (y, aún menos, de la gráfica de la derivada) en el contexto del problema. C7.4. En los manuales escolares no son frecuentes las tareas que relacionan la paridad de la función derivada (expresada gráficamente) con la de la función primitiva. C7.5. C8 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE el significado del signo de la función derivada segunda raramente se interpreta en términos del sistema modelizado, esto es, como ritmo de variación de la función. En consecuencia nunca se interpretan los puntos de inflexión en términos del sistema modelizado. Postulamos que la función derivada segunda está prácticamente ausente como herramienta de modelización funcional, salvo para obtener los intervalos de concavidad/convexidad y los puntos de inflexión cuando el objetivo consiste únicamente en representar la gráfica de una función sin ninguna otra finalidad. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: Sub-conjeturas En los manuales escolares muy raramente aparecen tareas en las que deba utilizarse la derivada segunda como una herramienta para estudiar la variación de la primera derivada. C8.1. En los manuales escolares no son frecuentes las tareas que requieran la interpretación del signo de la derivada segunda como ritmo de crecimiento en el contexto del problema. C8.2. En la resolución de los problemas de optimización no se suele utilizar el criterio del signo de la derivada segunda como para caracterizar el tipo de extremo relativo. C8.3. En los manuales escolares muy raramente aparecen situaciones que requieran de manera explícita la interpretación de un punto de inflexión de la función como un punto en el que se invierte el ritmo de crecimiento de la función. C8.4. 134 C9 (CDE+MF): Las funciones se suelen estudiar en forma aislada, no se estudian sistemáticamente familias de funciones ni, en consecuencia, la relación entre la variación de los parámetros y la posición o la forma de la gráfica. En particular, no se utilizan las familias de funciones (ni, mucho menos, sus derivadas) como modelos de sistemas matemáticos o extramatemáticos. Postulamos que el estudio sistemático de familias de funciones está prácticamente ausente salvo, a lo sumo, en el caso de las funciones lineales y cuadráticas. Sólo en casos muy excepcionales podemos encontrar una familia de funciones (con uno o más parámetros) jugando el papel de modelo de un sistema. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: Sub-conjeturas En los manuales escolares se estudian preferentemente funciones aisladas. Sólo se estudian, y aún de forma no sistemática, algunos tipos muy particulares de familias de funciones. C9.1. En los manuales escolares no son frecuentes y, todo caso, son muy poco sistemáticas, las tareas que requieran explorar la influencia de una alteración en el valor de los parámetros de la expresión analítica de una familia de funciones en la posición o en la forma de la gráfica de la función. C9.2. La tarea que consiste en determinar la familia de funciones derivadas de una familia dada de funciones está muy poco presente en los manuales escolares. C9.3. En los manuales escolares no se utiliza la derivada de una familia de funciones para estudiar propiedades generales de la familia de funciones en cuestión. C9.4. C10 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no existe una actividad sistemática en torno a la tasa de variación media de una función. En consecuencia nunca se trabajan las técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas lo que impide constatar que se trata de técnicas poco económicas. Postulamos que la tasa de variación de una función en un intervalo juega esencialmente un papel preparatorio para la definición de la derivada de una función en un punto. Al no utilizarse como modelo de un sistema, no aparece el problema de resolver ecuaciones elementales en diferencias finitas ni, por lo tanto, las dificultades técnicas que estas entrañan. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas: 135 Sub-conjeturas En los manuales escolares está prácticamente ausente la tarea de expresar la tasa de variación media de una función en un intervalo genérico, ya sea a partir de la representación algebraica de la función, de su representación tabular o de su representación gráfica. C10.1. En los manuales escolares está prácticamente ausente la tarea de recuperar la expresión analítica de una función a partir de la expresión de su tasa de variación media en un intervalo genérico. C10.2. En los manuales escolares está prácticamente ausente la tarea de interpretar el signo de la tasa de variación media en un intervalo y cuando aparece dicha tarea se refiere siempre al caso de un intervalo concreto, nunca al caso de un intervalo genérico. C10.3. En los manuales escolares están prácticamente ausentes las técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas que resultan al trabajar sistemáticamente con la tasa de variación media. C10.4. En el estudio del cálculo diferencial en la enseñanza secundaria los manuales no hacen ninguna referencia a las ventajas técnicas del trabajo con derivadas en relación al trabajo con diferencias finitas. C10.5. 6. Análisis global de los resultados obtenidos al contrastar las diez conjeturas En esta sección presentamos únicamente los resultados globales del estudio empírico. En el anexo E se puede consultar una descripción detallada de la metodología, los criterios de selección de los manuales escolares, los criterios de contaje de tareas y los materiales utilizados en la recogida de información, así como ejemplos de tareas consideradas habituales o no habituales y un análisis más detallado de los resultados obtenidos. N.º tareas C1 letra usual 1029 1.1. 727 1.2. 558 1.3. 1519 1.4. 482 1.5. no usual C2 42 63 64 314 4 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 136 N.º tareas sin interp. con interp. 8 118 770 157 16 18 16 20 10 0 C3 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. N.º tareas técnica privileg. otra 100 1852 382 161 16 4 30 0 61 7 N.º tareas C4 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. N.º tareas C5 usuales no usuales 140 5.1. 444 54 5.2. 518 11 5.3. 564 53 5.4. 526 29 5.5. 544 C7 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. C9 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. C6 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. N.º tareas la gráfica es el utilizan objetivo la gráfica 330 73 71 166 72 114 1 1 16 0 N.º tareas no exploran familias de exploran funciones 1747 70 51 19 C8 86 15 21 4 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. directas inversas 133 104 742 229 40 2 2 3 18 40 otra técnica N.º tareas definición de derivada 676 352 207 88 65 97 106 0 28 23 N.º tareas utilizan signo de la no utilizan derivada segunda 19 21 247 38 4 1 0 0 N.º tareas C10 el cálculo de la TVM 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 137 o derivada es el objetivo ha actividad sistemática en torno a la TVM 99 106 102 125 858 13 0 11 1 0 Primera conjetura C1. La práctica matemática escolar en torno a la modelización funcional (MF) y al cálculo diferencial elemental (CDE) depende fuertemente de la nomenclatura Porcentage de tareas - Conjetura 1 96,08% 100% 92,03% 99,18% 89,71% 82,87% 80% 60% 40% 20% 3,92% 7,97% 17,13% 10,29% 0,82% 0% 1.1. 1.2. 1.3. letra no usual 1.4 letra usual letra no usual 1.5. letra usual La contrastación de esta primera conjetura en los manuales escolares nos conduce a observar que, por ejemplo, en relación a la sub-conjetura 1.5., que 99,18% de las tareas analizadas referentes al CDE o a la MF utilizan una determinada nomenclatura más habitual y sólo 0,82% de esas tareas utilizan una menos habitual. Observamos una gran discrepancia de diferencias porcentuales entre lo que denominamos “usual” y “no usual” que varían entre el 65,74% y el 98,35%. Estos resultados nos llevan a concluir que, globalmente, existe una predominancia de la nomenclatura utilizada en cada tipo de tarea del CDE para denominar la variable independiente, la función, la simbología de la función derivada, etc. Lo que significa que la actividad matemática de la enseñanza secundaria portuguesa en torno al CDE continúa siendo muy rígida en lo que se refiere a la diversidad de la nomenclatura. Podemos concluir que las técnicas matemáticas asociadas al CDE y a la MF se tienden a identificar con los objetos ostensivos (símbolos, palabras y gráficos) que se utilizan para describirlas y para aplicarlas. Creemos que esta uniformidad en la nomenclatura dificultará el uso flexible de las herramientas del CDE y, en particular, su uso en el ámbito de la MF. 138 Segunda conjetura C2. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no se asigna al alumno la responsabilidad de interpretar (ni de evaluar) el resultado obtenido al aplicar una técnica Porcentage de tareas - Conjetura 2 - 100% 80% 97,47% 88,06% 100,00% 94,01% 69,23% 60% 30,77% 40% 11,94% 20% 5,99% 2,53% 0,00% 0% 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. con interp. sin interp. con interp. 2.5. sin interp. Con la excepción de la primera sub-conjetura, los datos revelan una gran discrepancia de valores porcentuales relativos a las tareas que no exigen la interpretación del resultado obtenido y las tareas que implican dicha interpretación, que se reflejan en diferencias porcentuales entre los 76,12% y los 100%. Lo que nos lleva a creer que, de un modo general, no son frecuentes tareas que impliquen la interpretación del resultado obtenido en el contexto del problema. Además, en relación a la subconjetura C2.1, cuyos datos empíricos parecen contradecir nuestras hipótesis, hay que tener en cuenta que frente a las 18 tareas en las que se pide al alumno que interprete el resultado obtenido al calcular un límite de una función en el contexto de un problema de modelización, hemos encontrado más de mil tareas en las que se solicitaba al alumno que calculase el límite de una función sin pedir que hiciese ningún tipo de interpretación del resultado obtenido (ver sub-conjetura C1.1). El hecho que la interpretación de los resultados obtenidos al aplicar una técnica del CDE no forma parte de la responsabilidad que el contrato didáctico asigna a los alumnos de Secundaria, dificulta objetivamente la utilización del CDE en el ámbito de la MF. 139 Tercera conjetura C3. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE se asocia a cada tipo de tareas, de manera autoritaria y arbitraria (desde el punto de vista del alumno), una técnica privilegiada. Por lo tanto, dada una tarea matemática, el alumno no dispone de criterios matemáticos para elegir entre diferentes técnicas Porcentage de tareas - Conjetura 3 98,41% 96,15% 100% 100,00% 72,52% 80% 69,57% 60% 40% 20% 3,85% 1,59% 0,00% 27,48% 30,43% 0% 3.1. 3.2. 3.3. otra técnica 3.4. técnica privileg. otra técnica 3.5. técnica privileg. Los datos recogidos revelan que todas las sub-conjeturas formuladas tienen un amplio apoyo empírico en la enseñanza secundaria portuguesa, detectándose diferencias porcentuales entre el número de tareas que implican la utilización de una técnica privilegiada y el número de tareas que implican la utilización de otra técnica distinta que varían entre los 39,13% y los 100%. Así, podemos concluir que en el ámbito de la MF y del CDE se asocia habitualmente a cada tipo de tarea una determinada técnica considerada privilegiada por la institución concernida y, consecuentemente, no se comparan los costes (relativos a la economía, la fiabilidad) que comportaría el uso de las diferentes técnicas que existen en la institución para resolver una tarea dada, ni tampoco se comparan los respectivos dominios de validez de cada una de las posibles técnicas. Por el contrario, la contrastación empírica de la tercera conjetura nos muestra que, en la mayoría de las tareas, la técnica a utilizar es implícitamente impuesta y raramente el estudiante dispone de la posibilidad de elegir la técnica que pretende usar o, en su caso, de conjugar diferentes técnicas para resolver una determinada tarea. Notamos también que no hay recuperación de las técnicas de un curso escolar para el siguiente, ni tampoco se lleva a cabo un estudio sistemático de las técnicas utilizadas. Consecuentemente, no se estimula la búsqueda de técnicas más generales cuyo ámbito abarque diferentes tipos de tareas, lo que permitiría simplificar el trabajo técnico al pasar del uso de dos técnicas diferentes a una sólo técnica más completa. 140 Estos resultados sugieren una fuerte atomización de las tareas matemáticas escolares en torno al CDE, lo que constituye otro obstáculo para la existencia de tareas matemáticas abiertas y, en particular, para llevar a cabo una actividad de modelización. Cuarta conjetura C4. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no se invierten las técnicas para realizar tareas inversas. Porcentage de tareas - Conjetura 4 98,52% 100% 99,60% 98,11% 92,71% 50,00% 80% 50,00% 60% 40% 20% 1,48% 1,89% 7,29% 0,40% directas inversas 0% 4.1. 4.2. 4.3. inversas 4.4. 4.5. directas Los datos revelan una gran discrepancia de valores porcentuales relativos a la presencia de tareas directas33 y de las correspondientes tareas inversas (que implican la inversión de la técnica considerada más habitual). Con la excepción de la sub-conjetura C4.5, esas diferencias porcentuales varían entre los 85,43% y los 99,19%. Lo que nos lleva a creer que, de un modo general, en los manuales escolares portugueses es muy rara la inversión de las técnicas para realizar tareas inversas (en el sentido de tareas que invierten los papeles que desempeñan los datos y las incógnitas en las tareas directas) En los pocos casos en que aparecen dos técnicas que son inversas una de la otra en el sentido citado, son tratadas como técnicas independientes. 33 Dado un tipo de tareas, por ejemplo las que relacionan la expresión analítica de una función con su gráfica, denominamos “tareas directas” (en una institución determinada), a las que son más habituales en dicha institución en el conjunto de tareas que se obtienen al permutar entre sí datos e incógnitas. 141 Quinta conjetura C5. En el ámbito de la MF y del CDE no existen situaciones de modelización funcional en las que se requiera la construcción efectiva del modelo (además de su manipulación y aplicación) y la interpretación del trabajo del modelo en términos de variación de una variable del sistema respecto de otras. Porcentage de tareas - Conjetura 5 98,09% 90,56% 100% 94,94% 90,85% 76,03% 80% 60% 40% 23,97% 9,44% 20% 9,15% 1,91% 5,06% usuales no usuales 0% 5.1. 5.2. 5.3. no usuales 5.4. 5.5. usuales Con diferencias porcentuales superiores a 52,05%, podremos concluir que los datos empíricos confirman todas las sub-conjeturas y que en la enseñanza secundaria portuguesa no se trabaja sistemáticamente en la construcción de los modelos algebraicofuncionales y, mucho menos, de los modelos gráfico-funcionales. Hemos detectado que la actividad matemática en torno a la MF reside esencialmente en la manipulación de un modelo ya dado y, en los casos que se exige la construcción del modelo sólo aparece el modelo algebraico-funcional y muy raramente el modelo grafico-funcional. Especialmente significativo, por su incidencia sobre la posibilidad de construir modelos a partir de datos empíricos, es el hecho que entre los 584 casos en que aparece un modelo funcional, sólo en 5 casos se pide al alumno que construya un modelo funcional a partir de una tabla de datos discretos. En coherencia con esta ausencia casi absoluta, no se construyen modelos mediante sucesiones, ni mediante ecuaciones en diferencias finitas. Tampoco es habitual estudiar la relación que existe entre dos o más variables, o la influencia que una tiene sobre la variación de la otra, o la comparación del ajuste de dos modelos de un mismo sistema, etc. Estas ausencias ponen claramente de manifiesto la falta, en los manuales escolares de la secundaria portuguesa, de una actividad de MF rica y flexible lo que va acompañado, como es natural, de la ausencia del vocabulario necesario para hablar, describir e interpretar la actividad matemática de MF. 142 Sexta conjetura C6. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE, la definición de derivada como límite de la tasa de variación media no juega ningún papel relevante. Podría afirmarse que dicha definición, en cuanto a su incidencia en las técnicas matemáticas escolares, es meramente “decorativa”. Porcentage de tareas - Conjetura 6 100,00% 100% 87,45% 76,86% 80% 75,86% 73,86% 60% 40% 20% 12,55% 24,14% 23,14% 26,14% otra técnica 0,00% def. de derivada 0% 6.1. 6.2. 6.3. def. de derivada 6.4. 6.5. otra técnica Al analizar los datos relativos a la sexta conjetura observamos grandes diferencias porcentuales entre el número de tareas que implican la utilización de la técnica de la definición de derivada y el número de tareas que implican el uso de otra técnica distinta que varían entre los 47,73% y los 100,00%. Por tanto, podremos concluir que la técnica asociada a la definición de derivada (el cálculo explícito del límite del cociente incremental) no constituye una técnica relevante en la práctica matemática escolar en torno a la MF y el CDE en la enseñanza secundaria portuguesa. De hecho, los datos muestran que se trata de una técnica claramente accesoria que podría desaparecer (como tal técnica) sin que la actividad matemática escolar vigente en la Secundaria portuguesa se modificase significativamente. Se observa cierta rigidez y atomización en la forma de articular las diferentes representaciones del concepto de derivada, siendo aún más evidente el aislamiento de la definición de derivada (como límite de las pendientes de las rectas secantes) y su pérdida de sentido en la actividad matemática escolar de la enseñanza secundaria. Postulamos que este papel irrelevante y decorativo que juega la definición de derivada está implícitamente relacionado con el papel engañoso, y simplemente auxiliar, que desempeña la noción de límite en el cálculo diferencial elemental (fenómeno observado 143 en la Secundaria española por Bosch, Espinoza y Gascón (2003))34. Podríamos afirmar que la propia noción de límite de función desempeña, como tal, un papel meramente decorativo en la actividad matemática escolar en torno a la MF y el CDE. La explicación de esta irrelevancia proviene de que en la actividad escolar a nivel de enseñanza secundaria es imposible dar respuesta a las cuestiones tecnológicas que surgen en torno al trabajo con límites de funciones y, en particular, es imposible justificar por qué en “algunas ocasiones”, para calcular el límite de una función f(x), cuando x a, basta realizar ciertas manipulaciones algebraicas y, después, sustituir x por a (Bosch, Espinoza & Gascón (2003))35. En consecuencia, y contrariamente a lo que propone la mayor parte de los libros de texto oficiales, postulamos que la noción de límite de una función (tal como aparece y tal como se trabaja en la enseñanza secundaria) no puede fundamentar, ni conceptualmente ni técnicamente, la continuidad de funciones ni tampoco la noción de derivada de una función. Séptima conjetura C7. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE la representación de la gráfica de una función y la representación de la gráfica de la función derivada se consideran como objetivos en sí mismos y no se les da ningún tipo de funcionalidad técnica. En particular, ni la gráfica de la función, ni la gráfica de la función derivada se utilizan como modelo gráfico-funcional de un sistema. Porcentage de tareas - Conjetura 7 98,65% 98,61% 100% 100,00% 91,21% 74,32% 80% 60% 40% 25,68% 20% 1,35% 8,79% 1,39% 0,00% 0% 7.1. 7.2. utilizan la gráfica 7.3. 7.4. la gráf. es el objetivo utilizan la gráfica 7.5. la gráf. es el objetivo 34 “[…] Así, por ejemplo, el modelo epistemológico específico del cálculo dominante en la enseñanza secundaria, jugará un papel no despreciable en la determinación de las formas posibles de plantear y estudiar el cálculo de límites de funciones […]” (Bosch, Espinoza & Gascón, 2003, p. 45). 35 Habitualmente, sin haber estudiado la continuidad, en los libros de texto se utiliza la “regularidad” de ciertas funciones (por ejemplo, las polinómicas) para justificar que el cálculo del límite en un punto coincide con el valor de la función en ese punto. En rigor, este tipo de argumentos peca de circularidad. 144 En esta séptima conjetura detectamos diferencias porcentuales que varían entre 48,65% y 100%, lo que nos lleva a creer que la representación de las gráficas constituye el objetivo final de la mayoría de este tipo de tareas matemáticas y que no se utiliza la gráfica como un instrumento útil para estudiar la evolución de los modelos funcionales. Concluimos, en definitiva, que las representaciones gráficas de una función y de su función derivada no revelan ningún tipo de funcionalidad técnica para allá del estudio de los extremos y de la monotonía de la función, o sea, no desempeñan el papel de modelo gráfico-funcional que permita estudiar y describir la evolución de un fenómeno en un determinado sistema. Octava conjetura C8. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE el significado del signo de la función derivada segunda raramente se interpreta en términos del sistema modelizado, esto es, como ritmo de variación de la función. En consecuencia nunca se interpretan los puntos de inflexión en términos del sistema modelizado. Porcentage de tareas - Conjetura 8 100,00% 100,00% 95,45% 100% 82,61% 80% 60% 40% 17,39% 20% 4,55% 0,00% 0,00% no utilizan utilizan signo de la derivada segunda 0% 8.1. 8.2. 8.3. utilizan signo de la derivada segunda 8.4. no utilizan Observamos que es muy poco frecuente la utilización de alguna técnica relacionada con la interpretación del signo de la derivada segunda para extraer conclusiones acerca del comportamiento variacional de un modelo funcional y, aún más excepcional, la interpretación del valor de la derivada segunda de una función en términos del sistema modelizado por dicha función. La baja proporción de tareas de este tipo se traduce en diferencias porcentuales entre el 65,22% y el 100%. En particular, la representación gráfica de la función derivada segunda no es usualmente trabajada como un modelo 145 gráfico-funcional, ni es común la interpretación de las características de dicha gráfica para extraer consecuencias en términos de propiedades del sistema modelizado. Novena conjetura C9. Las funciones se suelen estudiar en forma aislada, no se estudian sistemáticamente familias de funciones ni, en consecuencia, la relación entre la variación de los parámetros y la posición y la forma de la gráfica. En particular no se utilizan las familias de funciones (ni, mucho menos, sus derivadas) como modelos de sistemas matemáticos o extramatemáticos. Porcentage de tareas - Conjetura 9 95,31% 100% 82,35% 82,61% 70,83% 80% 60% 29,17% 40% 17,65% 20% 17,39% no exploran 4,69% exploran famílias de funciones 0% 9.1. 9.2. exploran famílias de funciones 9.3. 9.4. no exploran Observamos una diferencia abismal entre el porcentaje de tareas en las cuales se estudian funciones aisladas (95,31%) y el correspondiente a tareas que involucran el estudio de familias de funciones (4,69%). De esta forma, postulamos que, en la enseñanza secundaria, difícilmente se trabaja en el segundo nivel de MF (en el sentido de Ruiz-Munzón (2010)). Normalmente no es habitual la manipulación de parámetros y la perturbación de la situación inicial. Así, el estudio de funciones se sitúa casi exclusivamente en el primer nivel del citado proceso de MF, puesto que rara vez se va más allá del estudio de funciones concretas. La actividad matemática presente en los manuales escolares no incluye el estudio sistemático de familias de funciones (ni de familias de funciones derivadas) como modelos de sistemas matemáticos o extramatemáticos. La exploración del efecto de la variación de los parámetros (que puede realizarse mediante manipulación directa con programas de Geometría Dinámica) sobre la posición y la forma de la gráfica está prácticamente ausente. 146 Además, y este punto es muy importante, dado que la construcción de modelos funcionales pasa, vía una ecuación diferencial elemental, por la construcción previa de una familia de funciones (antes de ajustar los parámetros con ayuda de las condiciones de contorno a fin de obtener, un modelo funcional concreto), la constatación empírica de la ausencia de un trabajo sistemático con familias de funciones pone de manifiesto la ausencia de una condición esencial (en términos de la infraestructura matemática necesaria) para la construcción de modelos funcionales y, en definitiva, para que la actividad de MF pueda desarrollarse con normalidad en la enseñanza secundaria portuguesa con la ayuda de las técnicas del CDE. Décima conjetura C10. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no existe una actividad sistemática en torno a la tasa de variación media de una función. En consecuencia nunca se trabajan las técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas lo que impide constatar que éstas son técnicas poco económicas. Porcentage de tareas - Conjetura 10 100,00% 88,39% 100% 100,00% 99,21% 90,27% 80% 60% 40% 20% 11,61% 9,73% 0,00% 0,79% 0,00% obj. TVM/derivada activid. con la TVM 0% 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. activid. con la TVM 10.5. obj. TVM/derivada En el análisis de los resultados obtenidos con la contrastación empírica de esta última conjetura observamos diferencias porcentuales superiores a 76,79%, lo que fundamenta de un modo muy claro que, según los manuales escolares, en la actividad matemática que se lleva a cabo actualmente en la enseñanza secundaria portuguesa, no existe ningún intento de desarrollar un trabajo funcional con la tasa de variación media, asociándole las técnicas de ecuaciones en diferencias finitas, lo que permitiría comprobar sus limitaciones técnicas, especialmente su elevado coste, en comparación con las ventajas económicas de utilizar las herramientas que proporciona el CDE. 147 7. Interpretación cualitativa de los resultados y primeras conclusiones Una interpretación global de los resultados obtenidos permite concluir que la precaria situación de la MF, así como la pobre incidencia del CDE en dicha actividad, están fuertemente condicionadas por la rigidez (o falta de flexibilidad) de la actividad matemática escolar en torno a dichos ámbitos. De hecho, la excesiva dependencia de la nomenclatura en el uso de las técnicas, el uso ciego de éstas sin ningún tipo de interpretación del resultado obtenido, la ausencia de cuestionamiento de la economía, la fiabilidad y el dominio de aplicación de las técnicas, la existencia para cada tipo de tareas de una técnica privilegiada por la institución (que anula posibles técnicas alternativas y el cuestionamiento tecnológico de éstas) y la escasísima presencia de técnicas inversas de las escolarmente habituales (para llevar a cabo las correspondientes tareas inversas), constituyen restricciones ecológicas que hacen prever enormes dificultades para el desarrollo de la MF en la enseñanza secundaria portuguesa. En particular, los resultados obtenidos en la contrastación empírica de la quinta conjetura muestran que, efectivamente, las citadas dificultades se ponen de manifiesto en la languidez y el pobre desarrollo que presenta la MF en dicha institución. En otras palabras, podríamos decir que los resultados obtenidos en la contrastación empírica de las cuatro primeras conjeturas muestran que en la Secundaria portuguesa no se cumplen algunas de las condiciones necesarias (en términos de flexibilidad y de articulación con el CDE) para que la MF pueda vivir y desarrollarse con normalidad. Como ya hemos indicado, la ausencia de estas condiciones necesarias para que sea posible la MF está relacionada con un fenómeno institucional muy general (la rigidez y atomización de las organizaciones matemáticas escolares) que, en principio, involucra a todas las organizaciones matemáticas escolares (Fonseca, 2004 ; Lucas, 2010), aunque las conjeturas C1(CDE-MF)-C5(CDE-MF) se refieren explícitamente a la práctica matemática escolar en torno a la MF y el CDE y pretenden inquirir en qué forma dicho fenómeno general incide sobre este ámbito concreto de la actividad matemática escolar. Pero, además, existen otras condiciones necesarias para el desarrollo escolar de la MF (si interpretamos la MF tal como la hemos redefinido en el diagrama de actividad) que dependen principalmente de la forma como se organiza la actividad matemática en torno al CDE y del papel que éste desempeñe en relación a la actividad de MF. 148 En el segundo grupo de cinco conjeturas, C6(CDE-MF)-C10(CDE-MF), se analizan algunas de estas condiciones poniendo el énfasis en constatar hasta qué punto están ausentes en la última etapa de la enseñanza secundaria portuguesa. De hecho, la formulación de estas cinco últimas conjeturas y, sobre todo, de las correspondientes subconjeturas, están condicionadas y hasta cierto punto guiadas por el esquema del MER. Globalmente consideradas, estas cinco últimas conjeturas postulan y pretenden mostrar mediante la contrastación empírica de las correspondientes sub-conjeturas, que el tipo de actividad matemática que es posible llevar a cabo al final de la enseñanza secundaria portuguesa en torno a la MF y el CDE, está muy lejos de la práctica matemática que encarna el MER alternativo que proponemos. El esquema del MER construido pretende mostrar en vivo, en acto, que una posible razón de ser del CDE (en el paso de Secundaria a la Universidad) surge en el ámbito de la MF. Más concretamente, postulamos que el MER explicita las funciones que el CDE podría desempeñar para potenciar el desarrollo de la MF en dicha institución. En consecuencia, cuando interpretamos los resultados del estudio empírico de los manuales (a partir de las conjeturas propuestas) con ayuda del MER como sistema de referencia provisional, saltan a la vista principalmente las flagrantes ausencias de dichas funciones. En este sentido, se constata que, cuando se construyen modelos funcionales, las herramientas del CDE desempeñan únicamente un papel auxiliar. En la actividad matemática escolar, en la última etapa de la enseñanza secundaria, no se plantea prácticamente nunca la tarea de construir modelos funcionales a partir de datos empíricos discretos (C5) y no se trabaja con la tasa de variación media (ni con la tasa de variación media relativa) (C10) como paso previo a una aproximación de un modelo discreto por otro continuo (mediante la aproximación de la tasa de variación media por la derivada). Por otro lado, las representaciones gráficas de una función y de su función derivada no revelan ningún tipo de funcionalidad técnica más allá del estudio de los extremos y de la monotonía de la función, o sea, no desempeñan el papel de modelo gráfico-funcional que permita estudiar y describir la evolución de un fenómeno en un determinado sistema (C7). 149 También se constata que no se lleva a cabo un estudio sistemático de familias de funciones (C9) y, como consecuencia, muy raramente se trabaja con la derivada de una familia de funciones o se utilizan las propiedades de la función derivada y, mucho menos, de la derivada segunda, para obtener propiedades del sistema modelizado por la función primitiva (C8). Estas ausencias constituyen, en el paso de Secundaria a la Universidad, restricciones importantes para la construcción de modelos funcionales mediante la resolución de ecuaciones diferenciales elementales cuyo resultado es siempre una familia de funciones. En los libros de texto analizados no existe una actividad sistemática en torno a la TVM de una función que permita expresar la TVM en un intervalo genérico. Es habitual pasar inmediatamente de la definición de derivada como límite de la TVM a las tareas y técnicas algebraicas asociadas al cálculo diferencial elemental (C6 y C10). De este modo, nunca se trabajan las técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas, lo que impide constatar que se tratan de técnicas poco económicas y no permite cuestionar las ventajas técnicas que proporciona el trabajo con las técnicas de derivación en relación a las diferencias finitas. Como conclusión general se observa que las reglas que rigen la organización de la actividad matemática escolar, que se reflejan en los libros de texto de la Secundaria portuguesa, provocan fuertes restricciones ecológicas a la vida de la modelización matemática en general y, en particular, al desarrollo de la modelización funcional. Postulamos que esta presencia tan débil de la actividad de MF está condicionada y, a la vez, condiciona la atomización de las tareas que constituyen la razón de ser oficial del CDE y que se sitúan fuera del ámbito de la MF. 8. Razón de ser «oficial» del CDE en el sistema educativo portugués y su relación con la MF en el paso de Secundaria a la Universidad Después de constatar algunas de las funciones que el CDE no desempeña en la enseñanza secundaria portuguesa, en esta sección describiremos con precisión las funciones que el CDE desempeña efectivamente en dicha institución. Paralelamente indagaremos cuáles son los componentes de la MF, interpretada tal como se redefine mediante el diagrama de actividad, que aparecen en la práctica matemática escolar y la 150 forma como estos componentes se relacionan con el CDE. Con todo ello podremos interpretar la razón de ser oficial del CDE a la luz del MER, contrastándola con la razón de ser alternativa que el MER le asigna, lo que nos permitirá responder a una de las cuestiones centrales de la dimensión económica de nuestro problema de investigación, la relativa a la razón de ser que el sistema educativo portugués asigna al CDE y a su relación con la MF. Para llevar a cabo estos objetivos, tomaremos de nuevo el MER como sistema de referencia para formular tres cuestiones. Dichas cuestiones se refieren en todos los casos al último curso de la enseñanza secundaria y al primer curso de determinados grados universitarios del sistema escolar portugués, entre los que citaremos: Biología, Ingenierías, Bioquímica, Ciencias Farmacéuticas, Medicina Nuclear, Economía y Gestión, etc. (1) ¿Cuáles son los tipos de tareas que el sistema de enseñanza portugués propone para dar sentido al CDE? La metodología para estudiar esta cuestión consistirá en un trabajo de identificación y descripción sistemática y tan exhaustiva como sea posible de los tipos de tareas y de las cuestiones que el sistema escolar –en el último curso de Secundaria y en el primer curso universitario– considera que requieren del uso de las nociones y las técnicas del CDE (identificando el CDE con la caracterización que hemos propuesto en la sección 4 del capítulo II). Teniendo en cuenta los componentes del CDE así delimitado, podemos considerar que la cuestión anterior se descompone en un conjunto más específico de cuestiones derivadas que pueden plantearse mediante un enunciado general: ¿En qué tareas escolares se utilizan los principales componentes (nociones, técnicas y discursos tecnológico-teóricos asociados) del CDE? ¿Qué cuestiones requieren para ser respondidas, según la organización matemática escolar, el uso de dichas nociones, técnicas y discursos tecnológico-teóricos asociados? Esto es, ¿qué tareas se proponen en la práctica matemática escolar para dar sentido a (o justificar el estudio de) las citadas nociones, técnicas y discursos tecnológico-teóricos? Para precisar el alcance de esta cuestión general, formularemos un conjunto de cuestiones derivadas: 151 - ¿Qué cuestiones vienen a responder el cálculo de límites de funciones (en un punto o en el infinito)? - ¿Para qué se utiliza en la matemática escolar las representaciones gráficas de funciones elementales? - ¿En qué tareas aparece la necesidad de calcular la derivada de una función en un punto?, ¿y la función derivada de una función? - ¿Para resolver qué tipo de problemas se calculan los intervalos de monotonía o los extremos de una función? - ¿Qué cuestiones permite resolver la determinación de las funciones derivadas de orden superior? - ¿Para resolver qué tipo de problemas se estudia el sentido de la concavidad y los puntos de inflexión de una función? - ¿En qué tipo de tareas surge la necesidad de construir el polinomio de Taylor? - ¿Qué cuestiones requieren estudiar si una función es continua en un punto o, en su caso, el tipo de discontinuidad que presenta? - ¿Qué tipo de tareas utilizan el Teorema de Bolzano ya sea como técnica o como discurso tecnológico para justificar una práctica concreta? - ¿En qué tareas se requiere calcular las asíntotas de una función? - El Teorema del Valor Medio, ¿qué proposiciones permite justificar?, ¿en qué tareas escolares interviene? - ¿Para responder a qué tipo de cuestiones se necesita calcular primitivas? - ¿Para qué se utiliza en la matemática escolar el cálculo de integrales definidas? - ¿En qué tipo de tareas se utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo? - ¿Para responder a qué tipo de cuestiones se necesita resolver ecuaciones diferenciales (inmediatas)? (2) De entre los tipos de tareas y de técnicas matemáticas que son componentes del diagrama de actividad de MF, ¿cuáles aparecen, qué peso tienen y qué papel juegan en la práctica matemática escolar? 152 En este caso la metodología está basada completamente en el diagrama de actividad, puesto que se trata de indagar cuáles de sus componentes están presentes en la práctica matemática escolar y qué papel juegan en ella. Una forma de sistematizar esta búsqueda consiste en responder a las siguientes cuestiones derivadas que permiten especificar la cuestión genérica anterior: - ¿Se plantean cuestiones problemáticas iniciales relativamente genéricas y abiertas como punto de partida de un proceso de modelización funcional a largo plazo? - ¿Se lleva a cabo o se propone explícitamente, la delimitación o construcción de un sistema mediante la elección de ciertas variables y la formulación de ciertas hipótesis sobre el sistema? - ¿Se propone la construcción de modelos funcionales a partir de datos expresados en términos de relaciones entre variables? - ¿Se propone la construcción de modelos diferenciales a partir de datos expresados en términos de relaciones entre variables? ¿Y la construcción de modelos diferenciales mediante ecuaciones diferenciales elementales? - ¿Aparece la técnica de «discretizar» un modelo continuo, esto es, el paso de trabajar con un modelo funcional continuo a trabajar con modelos numéricos tabulares? - ¿Se construyen o se propone la construcción de modelos numéricos o gráficos a partir de datos discretos?, ¿se formulan entonces hipótesis sobre la TVM o la TVMR? En base a dichas hipótesis, ¿se construyen modelos en términos de ecuaciones en diferencias finitas?, ¿se resuelven las ecuaciones en diferencias finitas? - ¿Se propone la utilización de técnicas de regresión sobre los datos discretos para obtener un modelo funcional continuo aproximado que se ajuste a los datos? En caso afirmativo, ¿se aplica la regresión únicamente sobre los datos «brutos» o también se aplica sobre las TVM o las TVMR? - ¿Se utiliza la técnica de aproximar una ecuación en diferencias finitas por una ecuación diferencial?, ¿y la técnica recíproca, de aproximar una ecuación diferencial difícil de resolver por una ecuación en diferencias finitas? - ¿Se comparan en términos de economía y fiabilidad las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas con las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales elementales (tanto en la construcción del modelo correspondiente como en la manipulación de éste)? 153 - ¿Se comparan o se propone que se comparen el ajuste y la capacidad predictiva de dos o más modelos funcionales aproximados de un mismo sistema? - ¿Qué trabajo se propone y se lleva a cabo para manipular el modelo funcional?, ¿qué tipo de información en términos de propiedades del sistema modelizado se suele extraer de dicho trabajo?, ¿se interpretan los parámetros del modelo en términos del sistema? - Al finalizar un proceso de modelización funcional, ¿aparecen nuevas cuestiones problemáticas?, ¿surge la necesidad de tomar en consideración nuevas variables, de formular nuevas hipótesis y de construir un nuevo sistema? (3) ¿En la actividad matemática escolar existen tipos de tareas en los que intervenga el CDE y que, a pesar de que el sistema escolar no las considere como componentes de un proceso de MF, pueden interpretarse como tales dentro del diagrama de actividad? Mostraremos que efectivamente existen ese tipo de tareas en la práctica matemática escolar y creemos que es importante sacarlas a la luz porque ponen de manifiesto muy claramente que, incluso en los casos en que el CDE se utiliza efectivamente como instrumento imprescindible para construir un modelo funcional, el sistema escolar no reconoce que se trate de un proceso de modelización funcional, ni que el resultado del mismo sea un modelo (funcional). En consecuencia, en la práctica matemática escolar no se explotan las posibilidades del modelo construido como instrumento de producción de conocimientos del sistema modelizado. Este hecho constituye un nuevo indicio del fenómeno de falta de visibilidad escolar de la actividad de modelización funcional y, consecuentemente, de la razón de ser del CDE que el MER que proponemos le asigna en dicho ámbito. Los materiales que utilizaremos como base empírica para dar respuesta a las tres cuestiones planteadas serán los siguientes: De la enseñanza secundaria portuguesa: manuales escolares de la enseñanza secundaria (11.º y 12.º año de escolaridad); exámenes nacionales (del final de secundaria); 154 Algunas fuentes consultadas: http://bi.gave.min-edu.pt/exames/exames/eSecundario/761/?listProvas http://mat.absolutamente.net/joomla/index.php/recursos/exames-e-testes-intermedios#matemática-a Del primer curso de la enseñanza universitaria portuguesa: apuntes teóricos y ejercicios en fichas de trabajo de los profesores de cálculo diferencial e integral del primer curso universitario (de Ingenierías, Ciencias Farmacéuticas, Medicina Nuclear, Economía, Biología, etc.); textos de consulta o referencias habitualmente recomendadas en la presentación de las unidades curriculares (Apostol (1967) y Stewart (2006)); exámenes; Algunos ejemplos de fuentes consultadas: http://paginas.fe.up.pt/am1/ http://ltodi.est.ips.pt/am1/ http://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~mabreu/CI/ https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/disciplinas/CDI30/2012-2013/1-semestre/testes-e-exames http://w3.ualg.pt/~mgameiro/Celeste-112.htm http://www.mat.uc.pt/~alma/aulas/analisematematica1/ http://www.mat.uc.pt/~alma/publicat/coursenotes/Biomatematica.pdf De todos estos materiales, vamos a dar más importancia a los exámenes porque creemos que el contrato didáctico habitual en la enseñanza universitaria en las disciplinas relativas al Cálculo I, Análise Matemática I, Biomatemática está fuertemente determinado por el proceso de evaluación que, como se puede constatar en los currículos presentados en el anexo H, se lleva a cabo mediante un único dispositivo, el examen escrito. 8.1. Tipos de tareas que forman parte de la razón de ser oficial del CDE Los resultados obtenidos del análisis empírico que hemos llevado a cabo muestran que entre los tipos de tareas matemáticas que el sistema escolar portugués propone para dar sentido al CDE (entendido tal como se caracteriza en la sección 4 del capítulo II) en el 155 último curso de Secundaria y en el primer curso de Universidad, destacan principalmente los siguientes: Habitualmente se calculan límites de funciones en un punto o en el infinito sin ningún objetivo (solo para descubrir su valor y nada más). En algunos casos, se utilizan para determinar las asíntotas del gráfico de la función, para estudiar la continuidad de la misma o para calcular la derivada en un punto como límite del cociente incremental. Por ejemplo, la tarea siguiente es muy habitual: En la matemática escolar se utilizan las representaciones gráficas de funciones elementales para observar algunas de sus características/propiedades, tales como: el dominio y el recorrido, ceros, signos, la monotonía y extremos; siendo menos habitual el estudio de la paridad, inyectividad o sobreyectividad. Aparece la necesidad de calcular la derivada de una función en un punto en la tarea de determinar la pendiente de la recta tangente al grafico de una función en un punto o, menos frecuentemente, en la tarea de calcular la tasa de variación de un modelo funcional dado. Aparece la necesidad de calcular la función derivada de una función esencialmente en tareas que implican la determinación de los intervalos de monotonía y/o de los extremos de la función dada, en particular, en tareas relacionadas con la resolución de problemas de optimización. A veces aparece la necesidad de calcular la función derivada de una función en tareas en las que se solicita la construcción/identificación de un posible esbozo del gráfico de una función dada. 156 Más allá de la resolución de los problemas de optimización, el estudio de la monotonía también se utiliza para verificar si la función es inyectiva y, consecuentemente, si es invertible. La matemática escolar atribuye a la función derivada segunda la utilidad en el estudio de la concavidad de una función y determinación de los puntos de inflexión. En algunos casos se utiliza la función derivada segunda para calcular la aceleración de un cuerpo (interpretación física). Las funciones derivadas de orden superior se utilizan, en la matemática escolar (en los inicios de la enseñanza universitaria), para escribir el Polinomio de Taylor el cual no se considera como un modelo funcional aproximado de cierto sistema. En la matemática escolar normalmente el estudio de la concavidad y la determinación de los puntos de inflexión aparecen como objetivos en sí mismos, o sea, son el resultado final de la tarea o la respuesta a la cuestión planteada. Sin embargo, también aparecen otras tareas tales como, «construir un esbozo del gráfico de la función» o «identificar, de entre varios gráficos, cual corresponde a una función dada algebraicamente», en las que el estudio de la concavidad y de los puntos de inflexión (juntamente con el estudio de otras propiedades de la función) servirán de auxilio a su resolución. En la matemática escolar, en el primer curso universitario, aparece la tarea de «escribir el polinomio de Taylor de una dada función en torno de un punto dado» sin ningún otro objetivo ni contextualización. La noción de aproximación local de una función por una función polinómica se plantea en la introducción al polinomio de Taylor (mediante un discurso teórico, normalmente expuesto por el profesor) pero después cuando se traslada al campo practico-técnico de ejecución de tareas (ejercicios, exámenes) sólo aparece implícitamente como, por ejemplo, en la siguiente tarea: Por otro lado también se utiliza el Polinomio de Taylor para calcular aproximaciones de números: 157 En la matemática escolar es muy habitual la tarea que consiste en «verificar si una función dada definida a trozos es continua». Es menos habitual estudiar la continuidad de una función racional. El estudio del tipo de discontinuidad de una función está prácticamente ausente en la actividad matemática escolar portuguesa. Se utiliza el Teorema de Bolzano esencialmente como discurso tecnológico para justificar una técnica concreta tal como, por ejemplo, la descrita en la resolución de la siguiente tarea: También aparecen algunas tareas para determinar el recorrido de una función cuya resolución incluye la utilización del Teorema del valor intermedio de Bolzano, como por ejemplo: En la matemática escolar se requiere el cálculo de las asíntotas de una función para estudiar su comportamiento (por ejemplo, a largo plazo) o, simplemente para ayudar a representarla gráficamente. Sin embargo, lo más habitual es que el cálculo de las asíntotas de una función sea el objetivo final, como en la siguiente tarea: 158 El Teorema del Valor Medio (o de Lagrange) permite, en la matemática escolar, justificar algunas proposiciones como, por ejemplo, la siguiente: O mostrar que existe un valor de la variable independiente perteneciente a un intervalo dado en el cual la derivada de una función es igual a un determinado valor: 159 Se necesita calcular primitivas para responder, por ejemplo, a tareas del tipo: ¿cuál es la función cuya función derivada está definida por ? ¿Es única? En la matemática escolar se utilizan las integrales definidas habitualmente para calcular áreas bajo una curva y entre curvas. También aparecen tareas dirigidas a calcular volúmenes de sólidos de revolución y a calcular longitudes de curvas planas. En la matemática escolar se utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para definir la noción de integral como la inversa de la derivada. Se utiliza para mostrar que una función es diferenciable, o incluso para justificar el cálculo de la función derivada de una función dada como, por ejemplo, en la siguiente tarea: En la matemática escolar (en el primer curso universitario) es habitual aparecieren muchos ejercicios en los que la resolución de una ecuación diferencial se planteará como un objetivo en sí mismo y, muy excepcionalmente, pueden aparecer tareas en que se necesite resolver ecuaciones diferenciales (inmediatas) para responder a cuestiones del tipo: Además aparecen pocas ecuaciones diferenciales como modelos (diferenciales) de un sistema. 160 8.2. Componentes de la MF que aparecen en la práctica matemática escolar Al analizar los materiales empíricos representativos de la actividad matemática escolar en torno a la MF en el ámbito del CDE en el paso de la enseñanza secundaria a la enseñanza universitaria portuguesa se observa que: No se plantean cuestiones problemáticas iniciales relativamente genéricas y abiertas como punto de partida de un proceso de modelización funcional a largo plazo; No se lleva a cabo ni se propone explícitamente, la delimitación o construcción de un sistema mediante la elección de ciertas variables y la formulación de ciertas hipótesis sobre el sistema; En algunas tareas se propone la construcción de modelos funcionales a partir de datos continuos expresados en términos de relaciones entre variables; Se estudian muy pocos sistemas mediante modelos funcionales y, en los casos en que aparece un modelo funcional, casi siempre está dado de antemano o, excepcionalmente, puede construirse utilizando técnicas algebraicas; La grafica de una función y la de la función derivada no se suelen considerar como modelos gráficos de un sistema. En los casos en que se estudia un sistema mediante un modelo funcional, no se suele utilizar la gráfica de la función modelo para extraer información del sistema; La tarea de calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto se considera como un objetivo en sí mismo. Por ejemplo, nunca se identifica la parte lineal de una función polinómica con la recta tangente a su grafica en el origen; Habitualmente no se propone la construcción de modelos diferenciales a partir de datos expresados en términos de relaciones entre variables, ni la construcción de modelos diferenciales mediante ecuaciones diferenciales elementales; Está completamente ausente la técnica de «discretizar» un modelo continuo, esto es, el paso de trabajar con un modelo funcional continuo a trabajar con modelos numéricos tabulares; En poquísimas situaciones se construyen modelos numéricos o gráficos a partir de datos discretos y nunca se formulan hipótesis sobre la variación (TVM o TVMR). Consecuentemente no se construyen modelos en términos de ecuaciones en diferencias finitas; 161 En la actividad matemática desarrollada en Secundaria (en particular, en el 10.º año de Matemática A o de Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales) aparecen unas pocas tareas en las cuales se propone la utilización de técnicas de regresión sobre los datos discretos para obtener un modelo funcional continuo aproximado que se ajuste a los datos. Sin embargo, en estes casos, se aplica la regresión únicamente sobre los datos «brutos» y no sobre los datos variacionales (de las TVM o las TVMR); No se trabaja habitualmente con la variación media (VM) ni con la variación media relativa (VMR) para aumentar el conocimiento de un sistema matemático o extramatemático, respondiendo a cuestiones que surgen en el mismo; Está prácticamente ausente la técnica de aproximar una ecuación en diferencias finitas por una ecuación diferencial, así como la técnica recíproca. Además no se trabajan las diferencias finitas; En consecuencia, está completamente ausente la comparación en términos de economía y fiabilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas con las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales elementales (tanto en la construcción del modelo correspondiente como en la manipulación de éste); Normalmente no se propone la tarea de comparar el ajuste y la capacidad predictiva de dos o más modelos funcionales aproximados de un mismo sistema. Aparecen muy pocas tareas que impliquen la comparación de modelos; No se utilizan las técnicas del CDE (técnica de la comparación de las funciones derivadas) para comparar el grado de ajuste de dos modelos funcionales previamente construidos de un mismo sistema; Habitualmente se manipula el modelo funcional para extraer determinadas informaciones acerca del sistema, tales como: la monotonía y extremos, la tendencia a largo plazo, pero no se plantea la necesidad de introducir parámetros en el modelo y, consecuentemente, no se interpreta dichos parámetros en términos del sistema; No se suele interpretar, con ayuda del CDE, el significado de los parámetros de un modelo funcional en términos del sistema ni, en particular, en términos de una variación de una variable del sistema modelizado respecto de otra; Entre los problemas de MF, los problemas de optimización son claramente preponderantes. En este tipo de problemas muy raramente se requiere, una vez calculados los extremos relativos del modelo funcional, la interpretación del objeto óptimo en términos del sistema; 162 Tampoco se analizan los casos en los que los extremos de la función están en los puntos frontera del dominio o bien en un punto en el que la función modelo no sea derivable; Los procesos de modelización funcional observados en la matemática escolar no son cíclicos ni recursivos, o sea, no aparecen nuevas cuestiones problemáticas al final del proceso y, por lo tanto, no surge la necesidad de tomar en consideración nuevas variables, de formular nuevas hipótesis y de construir un nuevo sistema que, en algunos casos, puede ser el propio modelo. Las tareas de calcular áreas de regiones planas, volúmenes de revolución y de longitud de un segmento de curva, se plantean como una fórmula de cálculo (muchas veces algorítmica) en lugar de plantearse como un proceso de MF; Se calculan primitivas y se resuelven ecuaciones diferenciales de integración casi inmediata de forma aislada, o sea, sin tomarlas como herramientas esenciales en la construcción y trabajo de modelos funcionales; Se construyen pocos modelos a partir de datos empíricos discretos. Por tanto: no se utiliza el CDE como instrumento para transformar un modelo discreto en un modelo continuo; No se atribuye al cálculo integral, en particular, a las primitivas para resolver ecuaciones diferenciales elementales, un papel primordial en un proceso de modelización funcional. 8.3. Modelos funcionales ocultos en la práctica matemática escolar Postulamos que la forma como se trata en el paso de Secundaria a la Universidad el estudio de la variación de diversas magnitudes continuas (como, por ejemplo, del área bajo la gráfica de una función, la longitud de un arco de curva o el volumen de un sólido de revolución), no deja ver que se está construyendo un modelo funcional (utilizando el CDE como instrumento de construcción del mismo) puesto que, en la práctica escolar, lo que se toma como incógnita, explícitamente, esto es, el objeto matemático que se pretende construir, no es una función (o familia de funciones) sino una fórmula algoritmizada para calcular valores concretos del área de cierta región plana, la longitud de cierta porción de curva o el volumen de un determinado cuerpo de revolución. Simplificando las cosas, podemos decir que en el estudio escolar de la variación de magnitudes continuas se ocultan diversas tareas y técnicas matemáticas que constituyen 163 componentes esenciales de la MF y del papel del CDE en el ámbito de la MF. Además, en los casos en que se construye (aunque sea implícitamente) un modelo funcional, se suelen proporcionar los datos para poder construir la función F’(x) (y, en algunos casos, dicha derivada es un dato explícito del problema) evitando así la necesidad de aproximar una ecuación en diferencias finitas mediante una ecuación diferencial (puesto que ésta se puede construir directamente). En concreto, bajando a los detalles, diremos que en el paso de Secundaria a la Universidad el estudio de la variación de magnitudes continuas se plantea (implícitamente) en los siguientes términos: (a) Se parte de una función F(x) que mide la magnitud variable en cuestión y que podría desempeñar el papel de función incógnita. Sin embargo, en el paso de Secundaria a la Universidad, la incógnita es normalmente el valor que toma F en un punto de abscisa c. (b) Se supone que F es derivable en un cierto intervalo (a, b) y que su derivada o bien es conocida de entrada (es un dato), o bien se puede construir a partir de los datos del problema. (c) Se trabaja con incrementos finitos (o con incrementos infinitesimales) de la función F expresados en función de incrementos finitos (o infinitesimales) de la variable x. En el caso que se trabaje con incrementos finitos, se hace un paso al límite. (d) No se considera que la función F(x) sea un modelo del sistema puesto que no se trata como tal y, por tanto, no se utiliza como instrumento para construir conocimientos sobre dicho sistema (esto es, para responder a cuestiones problemáticas que surgen en el mismo), salvo para calcular un valor concreto de . Ejemplo (1): Dada una función f derivable y no negativa en un intervalo (a, b), calcular el área de la región plana limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas y , con Designamos mediante rectas y el área limitada por la gráfica de f el eje de abscisas y las . Para calcular F(c) empezamos aproximando la variación media de F en un intervalo cualquiera (xi-1, xi) mediante: 164 Podemos suponer que los intervalos (xi-1, xi) constituyen una partición de (a, c). Dado que F es derivable en (a, b), tomando límites cuando la norma de la partición tiende a cero, ‖P‖ → 0, resulta: y, entonces, puede calcularse la función F(x) de manera exacta: En algunos libros de texto para modelizar la variación continua de la magnitud área limitada por la gráfica de variación infinitesimal, y el eje de abscisas en dicho intervalo, se parte de la , de la función área entre dos puntos muy próximos y interiores al intervalo (a, b) y, sin complejos, se escribe: de donde se deduce directamente el modelo matemático expresado en términos de una ecuación diferencial elemental: con la condición inicial . Este ejemplo es prototípico y especialmente sencillo porque la derivada de , es un dato del problema. Este hecho, junto a la costumbre de considerar que la incógnita es un valor concreto de (en lugar de considerar que la incógnita es la propia función ) contribuye a hacer invisible que se está construyendo un modelo funcional mediante la integración de una ecuación diferencial (elemental). Por otra parte, aunque la interpretación geométrica (F(x) representa el área bajo la gráfica de f(x)) sea la preponderante en los textos del paso de Secundaria a la Universidad, se trata de un modelo aplicable a múltiples sistemas físicos, biológicos, económicos, etc. (ver la sección 2.3. del capítulo IV). Ejemplo (2): Dada una función f derivable en un intervalo (a, b), calcular la longitud de la curva parametrizada mediante entre 165 y , con c Designamos mediante F(x) la longitud de la curva entre las abscisas a y x. Utilizando el teorema de Pitágoras se puede expresar la variación de la longitud de la curva en un intervalo cualquiera (xi-1, xi) : Y tomando límites cuando la norma de la partición tiende a cero, ‖P‖ → 0, resulta: Al igual que en el ejemplo anterior, algunos libros de texto para modelizar la variación continua de la magnitud longitud de arco de curva utilizan la variación infinitesimal, de dicha longitud entre dos abscisas muy próximas x y . de donde se deduce directamente el modelo matemático expresado en términos de una ecuación diferencial elemental: En este ejemplo (y en muchos otros como es el caso de la variación del volumen de un sólido de revolución) la derivada de la función incógnita se puede construir con los datos del problema, pero no está dada directamente. A pesar de lo cual, tampoco en este caso se suele considerar que la incógnita sea la función F, ni se trabaja con esta función como modelo para responder a cuestiones que surgen en el sistema que modeliza (más allá de calcular un valor de la longitud de un segmento de curva concreto). Estrictamente podría decirse que se utiliza el CDE para pasar de el bien entendido que a calcular , en o bien es un dato, o bien puede obtenerse a partir de los datos, aunque sea de una forma no justificable en la institución en cuestión. 166 Ejemplo de lo que se pasa en la matemática escolar habitual: Figura 2 – Notas de apoyo de un profesor de Cálculo Integral para sus alumnos del 1.º año universitario portugués (2012/2013). 167 En resumen, dado que en la práctica matemática escolar no se considera en ningún momento que se esté llevando a cabo un proceso de MF, no se considera que exista un sistema que se está modelizando para utilizar el modelo matemático como máquina para responder a cuestiones problemáticas que surgen en dicho sistema. Tampoco se considera que la incógnita sea una función ni una familia de funciones, sólo interesa (escolarmente) determinar algunos de los valores concretos de dicha función. Obviamente tampoco pueden aparecer cuestiones relativas al ajuste de se ha obtenido como una función «exacta» y, si , puesto que es integrable, se obtiene una «exacta». 9. El fenómeno didáctico de la falta de visibilidad escolar de la MF y la correspondiente ausencia de una posible razón de ser del CDE Las respuestas a la segunda de las cuestiones planteadas ponen claramente de manifiesto que la MF, tal como la caracteriza el diagrama de actividad, está prácticamente ausente en el paso de Secundaria a la Universidad. Esta ausencia se pone especialmente de manifiesto si consideramos como un todo cada uno de los procesos de modelización funcional que se sustentan en dicho diagrama, o sea, si tratamos cada uno de los recorridos matemáticos (ver sección 2 del capítulo IV) como un recorrido indivisible que parte de una cuestión problemática y culmina en una respuesta provisional a dicha cuestión. Podemos mostrar visualmente este hecho marcando en el diagrama de actividad (ver Figura 3, en rojo) los componentes de potenciales procesos de MF que, de una u otra forma, están presentes en la práctica matemática escolar. Por otra parte, las tareas que el sistema de enseñanza portugués plantea como razón de ser oficial del CDE, según se desprende de las respuestas a la primera de las cuestiones planteadas, son tareas bastante aisladas entre sí y poco relacionadas explícitamente con la MF por lo que, en principio, no podrían situarse como elementos del diagrama. Sin embargo, los ejemplos presentados como respuesta parcial a la tercera de las cuestiones sugieren que, probablemente, algunas de las tareas que forman parte de la razón de ser oficial del CDE, puedan ser reinterpretadas como componentes de ciertos procesos de MF, a pesar de que ni en la práctica matemática escolar ni en el currículum se las interpreta de esta forma. 168 Al intentar caracterizar las tareas existentes en la matemática escolar que, pudiéndose interpretar como componentes de un proceso de modelización funcional, no aparecen como tales, hemos encontrado que son tareas que (en la práctica escolar) se llevan a cabo para responder a una cuestión que demanda como respuesta una cantidad concreta de cierta magnitud o, en su defecto, un número concreto. Pero, en muchos casos, es posible sustituir dicha cuestión por otra más general que requiera como respuesta una función (un modelo funcional) que podría utilizarse para estudiar la variación de una magnitud respecto de otra y que, en particular, permitiría calcular diferentes cantidades concretas de magnitud. Así, por ejemplo, en la práctica matemática escolar la tarea relativa a la determinación de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto, se propone para responder a una cuestión relacionada con la variación instantánea de una función, en un punto determinado, o con la aproximación local de ésta mediante una función lineal. Se trata, por tanto, de responder a una cuestión muy particular relacionada con un aspecto concreto de dicha función cuya respuesta requiere el uso de las técnicas del CDE. Pero si interpretamos la función de partida como un sistema en el que ha surgido la citada cuestión problemática, es posible plantear una cuestión más general relativa a la variación de la función y, en ese caso, la respuesta que se requiere es una función, la derivada de la función de partida, que podemos considerar como un modelo funcional de ésta y que, en particular, permitirá responder a otras muchas cuestiones relativas a la variación de la función de partida. Análogamente, el papel asignado al CDE en el resto de tareas que forman parte de su razón de ser oficial (ver sección 8.1) puede asimismo interpretarse como un aspecto particular (aplicado a una subtarea) del papel que el MER asigna al CDE en una tarea que se sitúa dentro de un proceso completo de MF y que contiene a la subtarea en cuestión. Puede mostrarse que, en efecto, los restantes tipos de tareas descritas en la sección 8.1 se pueden reinterpretar como parte de procesos de MF aunque, en la práctica escolar, la relación de estas tareas con los proceso de MF es en unos casos totalmente inexistente y, en otros, sólo alcanza una parte de uno de los estadios de un proceso de MF. En particular, en las tareas relacionadas con la representación gráfica de una función a partir de su expresión analítica, se utilizan técnicas del CDE para construir el que denominamos modelo gráfico-funcional (de un hipotético sistema) pero que, en la 169 práctica matemática escolar, la citada representación gráfica no se suele utilizar como instrumento para aumentar los conocimientos de dicho sistema (que está ausente). En los pocos casos en que se utiliza el CDE para estudiar algunos aspectos de un sistema mediante el trabajo en un modelo funcional, éste suele estar dado de antemano o, en el mejor de los casos, se trata de un modelo construible mediante técnicas algebraicas. Prácticamente en ningún caso la construcción del modelo parte de datos discretos obtenidos empíricamente y, en todos los casos, el papel del CDE es muy limitado a lo largo de todo el proceso de modelización, concentrándose esencialmente en el tercer estadio de dicho proceso. Las tareas relacionadas con la resolución de problemas de optimización constituyen un caso particular y muy predominante escolarmente del estudio de un sistema a partir de un modelo funcional. En estas tareas, el papel del CDE se restringe esencialmente al cálculo de los extremos del modelo funcional. En la sección 8.3 hemos mostrado que para llevar a cabo determinados tipos de tareas como, por ejemplo, el cálculo del área de regiones planas, de longitudes de arcos de curvas y de volúmenes de revolución, los libros de texto utilizan técnicas del CDE que pueden reinterpretarse como una pequeña parte de un proceso de modelización funcional que parte de datos variacionales, esto es de datos relativos a la variación de la función incógnita ya sea en un intervalo finito o infinitesimal. Se trata de un proceso de MF que se integra dentro de uno de los recorridos matemáticos, el RM3 (ver los detalles en la sección 2.3. del capítulo IV). En el capítulo IV veremos, con mucho detalle, como las tareas relativas al cálculo de primitivas elementales, forman parte del segundo estadio del proceso de modelización funcional que proponemos puesto que dicho cálculo es un instrumento útil para la construcción de ciertos modelos funcionales, aunque ni el currículo portugués actual del último curso de Secundaria ni el del primer curso universitario proponen esta funcionalidad para dicho tipo de tareas. En resumen, podemos afirmar que la «razón de ser» que el MER asigna al CDE, en el ámbito de la MF, es una ampliación (o generalización) radical de la que le asigna el sistema educativo portugués actual. Además, las tareas que constituyen la razón de ser oficial del CDE pueden ser interpretadas como tareas matemáticas potencialmente 170 inscribibles en procesos de MF aunque no sea ésta la forma como se interpretan y como se proponen en la práctica matemática escolar. De esta manera podemos afirmar que el MER que proponemos, al asignar al CDE una nueva razón de ser que explicita el papel que puede desempeñar a lo largo de todos los estadios de la modelización funcional, permite sacar a la luz e interpretar un fenómeno didáctico-matemático que permanece y permanecerá invisible mientras la MF tenga el papel irrelevante que aún tiene en el paso de Secundaria a la Universidad y mientras se asigne al CDE la razón de ser «oficial» que escolarmente se le asigna. Este fenómeno que, como hemos indicado, no sólo encubre una posible razón de ser del CDE, sino que oculta los aspectos esenciales de la actividad de MF, está originado por mecanismos transpositivos que deberemos indagar. Sin pretender buscar las «causas» de este fenómeno, podemos avanzar que el trabajo que hemos desarrollado hasta aquí nos permite afirmar que la languidez y desarticulación escolar de los procesos de MF están relacionadas, en primer lugar, con el fenómeno de la rigidez, atomización e incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares que hemos analizado en el capítulo I. En segundo lugar, postulamos que la separación entre el CDE y la MF, coherente con la razón de ser oficial que el currículum asigna al CDE, constituye un hecho didáctico indisolublemente asociado a dicho fenómeno. 171 Figura 3 - Componentes del diagrama de actividad de MF habitualmente trabajadas en el final de la Secundaria y en el inicio de la Universitaria portuguesa. 172 Capítulo IV Construcción de un modelo epistemológico de referencia que articula el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional Como paso previo a la construcción efectiva de un MER, esto es, antes de describir detalladamente algunos de los recorridos matemáticos a priori que encarnan el esquema de MER propuesto en el capítulo III, empezaremos por delimitar y caracterizar los que denominaremos tipos elementales de variación discreta (en términos de ecuaciones en diferencias) y los correspondientes tipos de variación funcional continua (en términos de ecuaciones diferenciales elementales) que generarán el universo de modelos funcionales que tomaremos en consideración en el MER en cuestión. En la presentación que haremos del MER que proponemos, nos limitaremos a utilizar los modelos matemáticos de dicho universo que son los que están presentes en el primer curso de la Universidad en la enseñanza portuguesa. Para describir los citados recorridos matemáticos a priori explicitaremos, en cada caso, la sucesión de cuestiones, tareas y técnicas del diagrama de actividad de modelización funcional que constituye dicho recorrido. Detallaremos los procesos completos de modelización funcional partiendo de una cuestión generatriz concreta y de unos datos particulares para cada uno de los recorridos matemáticos experimentados. Dejaremos para el capítulo V la descripción del proceso de estudio experimentado, esto es, de los recorridos de estudio e investigación sustentados en los citados recorridos matemáticos a priori. 173 1. Universo de tipos de variación que consideraremos en la modelización funcional Muchos modelos científicos de todo tipo se expresan mediante ecuaciones diferenciales por lo que, en la actividad científica habitual, el cálculo diferencial desempeña un papel esencial no sólo en la construcción de dichos modelos, sino también en el trabajo dentro de los mismos y en la interpretación de los resultados obtenidos en el ámbito del sistema modelizado. Postulamos que, en el paso de Secundaria a la Universidad el cálculo diferencial elemental (CDE) podría desempeñar un papel similar en todas las etapas de la modelización funcional y pretendemos mostrarlo explícitamente en la construcción de los recorridos matemáticos a priori que encarnan el MER. Sin embargo, los datos empíricos presentados en el capítulo III ponen claramente de manifiesto que el sistema de enseñanza portugués no asigna al CDE dicho papel (al menos en el paso de la enseñanza secundaria a la universitaria). En este trabajo, y debido a las restricciones institucionales, nos centraremos en un universo de modelos expresados mediante ecuaciones diferenciales ordinarias de integración elemental: Entre los más sencillos de estos modelos se encuentran los de los tipos: o bien Donde P(x) es un polinomio de grado “pequeño” (que puede ser de grado cero) y la variable x es normalmente, pero no necesariamente, el tiempo. La integración de estas ecuaciones diferenciales se reduce al cálculo de una primitiva que, en los casos más sencillos (que serán los que consideraremos en esta memoria), tiene perfecta cabida en lo que denominamos CDE y que, curricularmente, se sitúa actualmente36en la mayoría de los primeros cursos universitarios portugueses que contemplan el estudio del Cálculo. Entre las familias de funciones que se obtienen como soluciones de dichas ecuaciones diferenciales aparecen los modelos más elementales: lineal, cuadrático, cúbico, etc., y 36 Sin embargo, y como se ha referido en los capítulos II y III, fue aprobado recientemente un nuevo programa de Matemática A que ya pretende incluir el estudio de las primitivas y de las integrales en la enseñanza secundaria portuguesa a partir del año lectivo 2017/2018 (Despacho n.º 868-B/2014, D.R. n.º 13, 2.º Suplemento, Série II, de 20 de janeiro de 2014). 174 polinómico en general, el modelo exponencial, el modelo de crecimiento limitado, el modelo de crecimiento logístico y muchos otros. Entre estos modelos aparece, también, el modelo hiperbólico, puesto que: y = son equivalentes. En lo que sigue, caracterizaremos los tipos de variación elementales que tomaremos en consideración para construir los diferentes procesos de modelización funcional que estructuran el MER. En la sección 1.1. describiremos los tipos de variación discreta y en la 1.2. los de variación continua. 1.1. Modelos funcionales construidos a partir de datos discretos 1.1.1. Formulando hipótesis elementales sobre el tipo de variación discreta Analizando la variación de un conjunto de datos discretos obtenidos empíricamente puede darse el caso que éstos se puedan aproximar mediante un determinado modelo funcional cuyo tipo de variación sea muy semejante a la variación que presentan dichos datos. Para utilizar adecuadamente esa técnica ha surgido la necesidad de caracterizar los modelos algebraico-funcionales según su tipo de variación discreta. En esta memoria nos centramos en estudiar únicamente los siguientes tipos elementales de variación (ver las deducciones en el anexo F): 1. Variación de primer orden constante: modelo lineal discreto → 2. Variación de segundo orden constante: modelo cuadrático discreto → 3. Variación de tercer orden constante: modelo cúbico discreto → → 4. Variación proporcional a : modelo exponencial discreto 175 5. La variación es una función afín de → : modelo de crecimiento limitado → 6. La variación es una función cuadrática de : modelo logístico discreto → 7. Variación de la sucesión de los inversos constante: modelo hiperbólico discreto → 1.1.2. Aproximando los datos mediante regresión: estudio de diferentes técnicas Existen varios caminos posibles para construir el modelo algebraico de la función, de entre los cuales vamos primeramente destacar tres de ellos: Técnica I: Partiendo del modelo grafico-funcional, o de una tabla de valores de datos discretos y haciendo una regresión directa sobre los datos brutos como, por ejemplo: Construcción del modelo algebraico-funcional a partir de los datos brutos GRÁFICO ALGEBRAICO Modelo gráfico-funcional Modelo algebraico-funcional (de la función pretendida) (aproximado de la función pretendida) Figura 1 - Construcción del modelo algebraico-funcional a partir de los datos brutos 176 Técnica II: Utilizando la TVM para construir el modelo grafico-variacional, se puede hacer una regresión sobre los puntos correspondientes a la TVM, aproximar la ecuación en diferencias finitas por una ecuación diferencial, resolverla por integración y encontrar el modelo algebraico-funcional, como muestra el siguiente esquema: Construcción del modelo algebraico-funcional utilizando la TVM GRÁFICO ALGEBRAICO Modelo gráfico-variacional Modelo algebraico-variacional (de la TVM) (aproximado de la TVM) Modelo algebraico-diferencial aproximado sabiendo que Modelo gráfico-funcional Modelo algebraico-funcional (de la función pretendida) (aproximado de la función pretendida) con Figura 2 - Construcción del modelo algebraico-funcional utilizando la TVM Partiendo de los datos discretos brutos correspondientes, por ejemplo, al número de individuos infectados por una determinada epidemia representados en una tabla de valores (modelo numérico), o representados gráficamente (modelo gráfico-funcional), podremos 177 calcular los valores de la tasa de variación media37 en el intervalo para cada dos instantes consecutivos y representar esos valores en una gráfica que llamaremos modelo grafico-variacional. Reseñamos que el paso de este último modelo al modelo algebraicovariacional puede requerir un trabajo muy costoso. Una alternativa sería usar el GeoGebra (Programa de Geometría Dinámica) para crear una lista de los puntos representados gráficamente y usar una regresión polinómica para obtener, por ejemplo, el polinomio de grado 3 que mejor aproxima los puntos. El paso del modelo algebraico-variacional al modelo algebraico–funcional se hace mediante la aproximación de una ecuación en diferencias finitas por una ecuación diferencial que contiene una función polinómica de una variable. Esta aproximación de la ecuación en diferencias finitas a la ecuación diferencial es coherente con la aproximación entre el modelo variacional (resultante de la regresión cúbica sobre los puntos relativos a los valores de la TVM) y el modelo (resultante de la derivación directa del modelo funcional polinómico de grado 4) como podremos observar en la siguiente figura: Figura 3 – Comparación de los modelos grafico-variacional y grafico-diferencial 37 Nótese que, si no estamos trabajando con intervalos de amplitud 1, estos valores no van a coincidir con los valores de la variación absoluta (o diferencia finita). 178 Así, y como sería de esperar, las dos técnicas I y II nos conducen a la construcción de modelos algebraico-funcionales que presentan coeficientes relativamente próximos: I. II. Sin embargo, cuando trabajamos con modelos polinómicos es siempre más sencillo empezar construyendo el modelo algebraico–variacional antes que el modelo algebraico–funcional, dado que el primero estará definido por una función polinómica de grado menor que el segundo y, por tanto, en principio poseerá menos ceros, menos variaciones de crecimiento/decrecimiento, menos extremos, etc. y, consecuentemente, los errores de la aproximación también serán menores. Técnica III: Utilizando la TVMR para construir el modelo grafico-variacional, hacer una regresión sobre los puntos correspondientes a la TVMR, aproximar la ecuación en diferencias finitas por una ecuación diferencial, resolverla por integración y encontrar el modelo algebraico-funcional exponencial. En este caso, podremos tomar en consideración un esquema hipotético38 de la construcción científica de algunos modelos funcionales y, en particular, de los modelos de la dinámica de poblaciones (como, por ejemplo, de los modelos que describen la evolución de una determinada epidemia). Dicho esquema contiene las siguientes etapas: - Se parte de ciertos valores obtenidos experimentalmente de la evolución de una población como, por ejemplo, de la población de infectados para ciertos valores discretos de . - Se elabora una tabla de la tasa de variación media (y de la tasa de variación media relativa39) de en una determinada serie discreta de intervalos de la variable independiente. - Se obtiene, mediante algún tipo de interpolación, una expresión analítica aproximada de la “tasa de variación media relativa” de la función , esto es, una ecuación que iguala aproximadamente la tasa de variación media relativa de y una función elemental. 38 Se trata de una hipótesis atrevida que, desde luego, no pretendemos que sea la única forma de construir los modelos funcionales. 39 Los datos puntuales de la evolución de una población no se tratan directamente sino que se transforman en datos de la evolución de la tasa de variación media relativa de dicha población (en los sucesivos periodos de tiempo). Ello se debe a que dicha tasa se comporta “mejor”. En los casos más sencillos (teóricos) dicha tasa es constante o lineal y, cuando se utilizan datos reales, se aproxima bien mediante una función polinómica. En todos estos casos la evolución de la población estudiada sigue un comportamiento próximo al de una función exponencial de base el número e. 179 - Se identifica la ecuación aproximada citada con una ecuación diferencial cuya incógnita es la función . - Se resuelve la ecuación diferencial resultante y se obtiene así una expresión analítica aproximada de la función que, clásicamente, es una función exponencial de base . En resumen, disponemos de 3 posibles técnicas para la construcción de modelos funcionales a partir de datos discretos: Modelo numérico discreto (tabular) Modelo gráficofuncional discreto (datos brutos) Modelo gráficofuncional contínuo Modelo algebraicofuncional contínuo Modelo numérico variacional (tabla TVM) Modelo numérico variacional relativo (tabla TVMR) Modelo gráficovariacional discreto (de la TVM) Modelo gráficovariacional discreto relativo (de la TVMR) Modelo gráficovariacional continuo (de la TVM) Modelo gráficovariacional continuo (de la TVMR) Modelo algebraicovariacional continuo (de la TVM) Modelo algebraicofuncional Modelo algebraicodiferencial Modelo algebraicofuncional Modelo algebraicovariacional continuo (de la TVMR) Modelo algebraicofuncional Modelo algebraicodiferencial Logaritmo del modelo algebraicofuncional Modelo algebraicofuncional exponencial Figura 4 – Comparación de las 3 técnicas para la construcción de modelos a partir de datos discretos. 180 Por la primera técnica, al partir de un modelo numérico de datos discretos brutos (en una tabla) podremos representar el modelo gráfico-funcional discreto y, por una regresión, obtener el modelo continuo gráfico y algebraico directamente, cometiendo errores de aproximación. Por la segunda técnica, al realizar la regresión sobre los valores de la TVM se reduce el número de puntos a aproximar y, además, al trabajar con variaciones se pierde menos información relativa al comportamiento del sistema a modelizar. Así, creemos que es posible obtener una mejor aproximación con esta segunda técnica que con la primera en la que se aproximan directamente los datos brutos. Sin embargo, para convertir el modelo algebraicovariacional continuo (de la TVM) en el modelo algebraico de la función principal podremos resolver la ecuación en diferencias finitas (lo que puede requerir el llevar a cabo una actividad matemática técnicamente muy costosa), o aproximar esa misma ecuación en diferencias finitas mediante una ecuación diferencial de resolución más sencilla. Postulamos que, al proseguir por este último camino, se podrá encontrar una buena solución aproximada de un modelo funcional que se ajuste a los datos con un coste más reducido que el resultante de la aplicación de la primera técnica. Conjeturamos que, para caracterizar fenómenos de contagio (que avanzan o retroceden muy rápidamente), el procedimiento asociado a una regresión sobre los valores de la TVMR (la tercera técnica) con la aproximación y resolución de una ecuación diferencial, podrá tener ciertas ventajas sobre las dos técnicas anteriores. En este sentido, y para fenómenos de esta naturaleza, creemos que, a pesar de un pequeño coste adicional (una división de valores), la técnica de regresión sobre los valores de la TVMR será más eficaz que una aproximación a los correspondientes valores de la TVM. En el esquema siguiente se presentan algunos ejemplos concretos de sistemas que describen fenómenos de contagio o de no contagio: 181 publicidad en facebook Ciencias Económicas venta de un artículo innovador (moda) epidemia (gripe) TVMR Ciencias de la Salud (fenomenos de contágio) crecimiento de bacterias Informática vírus informático Área bajo una curva (que presente una gran variación) Matemática Volumen de un solido de revolución Longitud de una curva Trabajo realizado por una fuerza (con elevada potencia o rapidez) TVM (fenomenos de no contágio) Espacio recorrido (de un movimiento uniformemente acelerado) Física Elasticidad de un resorte Ciencias de la Salud Cancer como epidemia Figura 5 –Ejemplos de estudios de algunos sistemas y posibles construcciones de modelos funcionales matemáticos o extramatemáticos que parten de datos de la TVM o de la TVMR. Lo que acabamos de plantear respecto a los resultados de la comparación de las tres técnicas más utilizadas en la modelización funcional científica de datos discretos es completamente coherente con los criterios generales que hemos utilizado para construir el esquema presentado en el capítulo III de un posible modelo epistemológico de referencia que articule la modelización funcional y el cálculo diferencial elemental. En resumen, podemos sintetizar las tres técnicas descritas para construir modelos funcionales continuos a partir de datos discretos, como sigue: 182 (a) Partiremos de un conjunto de datos discretos yi de una magnitud continua y que varía respecto de otra magnitud continua x (que puede ser el tiempo). (b) El objetivo es encontrar un modelo funcional que describa dicha variación aproximadamente. (c) Dado que partimos de datos discretos, en algún momento del proceso se deberá llevar a cabo algún tipo de aproximación de dichos datos. Una posibilidad consiste en aproximar directamente los datos brutos yi mediante algún tipo de regresión, pero existen argumentos teóricos y datos experimentales (que presentaremos más adelante) que aconsejan (en muchos casos, dependiendo de la naturaleza del sistema de variación a modelizar) aplicar la regresión para aproximar la tasa de variación media (TVM) o la tasa de variación media relativa (TVMR) de dichos datos (dependiendo del tipo de sistema de variación que se está estudiando). (d) Una vez aproximada la TVM (o la TVMR) mediante una función g(x) tendremos una ecuación (aproximada) en diferencias finitas cuya resolución, esto es, el cálculo del término general yi, puede ser técnicamente bastante compleja. (e) Para solventar esta dificultad se puede aproximar la ecuación en diferencias finitas resultante por una ecuación diferencial, y aplicar las potentes técnicas del CDE para obtener el modelo funcional buscado40. (f) Una vez construido el modelo funcional postulamos que el CDE también desempeña un papel esencial en todas las restantes etapas del proceso de modelización funcional, esto es, tanto en el trabajo dentro del modelo funcional y la interpretación de este trabajo en términos del sistema, como en la formulación de nuevas cuestiones, la elaboración de nuevas hipótesis que tengan en cuenta la necesidad de incluir nuevas variables y la puesta en marcha de un nuevo proceso de modelización. 40 Por lo que, junto a estos modelos de variación continua, trabajaremos también con los correspondientes modelos discretos que se materializan mediante ecuaciones en diferencias finitas. 183 1.2. Modelos funcionales construidos a partir de datos continuos En este apartado suponemos que, para construir el modelo funcional, disponemos de datos (o formulamos hipótesis) sobre el tipo de variación continua, lo que nos permite construir la ecuación diferencial que caracteriza el sistema que queremos modelizar. A continuación presentamos los modelos funcionales continuos que tomaremos en consideración (ver deducciones en el anexo F). 1.2.1. Formulando hipótesis elementales sobre el tipo de variación continua 1. La derivada de primer orden es constante: modelo lineal continuo → 2. La derivada de segundo orden es constante: modelo cuadrático continuo → 3. La derivada de tercer orden es constante: modelo cúbico continuo → : modelo exponencial continuo 4. La derivada es proporcional a → 5. La derivada es una función afín de : modelo de crecimiento limitado → 6. La derivada es una función cuadrática de : modelo logístico continuo → 7. La derivada de la inversa de es constante: modelo hiperbólico continuo → 184 1.2.2. Determinando el tipo de variación continua a partir de las características del sistema a modelizar En la sección 8.3 del capítulo III hemos mostrado que, en el paso de Secundaria a la Universidad, se construyen modelos funcionales para el estudio de la variación de ciertas magnitudes continuas (como el área de una región plana, la longitud de un segmento de curva o el volumen de un cuerpo de revolución) utilizando explícitamente el CDE pero, de tal forma, que el modelo construido no aparece ni se utiliza como tal modelo funcional en la práctica matemática escolar. En realidad el modelo funcional queda oculto bajo la apariencia de un simple algoritmo de cálculo (del área de una región plana concreta, de un segmento de curva o de un determinado cuerpo de revolución). En estos casos no se hace ninguna hipótesis previa sobre el tipo de variación del modelo funcional a construir. En lo que sigue describiremos brevemente las etapas de este tipo de proceso de modelización funcional que, de hecho, es muy general en el ámbito de las ciencias experimentales y puede considerarse como una generalización del que hemos descrito anteriormente. (a) Se supone que el modelo funcional que pretendemos construir, para responder a ciertas cuestiones problemáticas que surgen en un determinado sistema, se materializa en una función F(x) derivable en cierto dominio. (b) En los casos más sencillos, la derivada dF/dx es conocida de antemano, esto es, se trata de un dato, f(x). En estos casos el modelo algebraico-diferencial toma la forma de una ecuación diferencial elemental: dF/dx = f(x). Este sería el caso, mencionado anteriormente, del cálculo del área bajo la gráfica de una función f(x) conocida. (c) Puede suceder que, aunque la dF/dx no sea conocida de antemano, pueda construirse exactamente a partir de las propiedades del sistema, a pesar que el propio modelo F(x) no sea construible directamente a partir de dichas propiedades. Este es el caso, entre otros muchos, del cálculo de la longitud de una curva mencionado anteriormente. Es interesante subrayar este hecho (las propiedades del sistema a modelizar permiten determinar dF/dx, pero no permiten caracterizar directamente el modelo funcional F(x)), porque ésta es una de las propiedades características de la inmensa mayor parte de los modelos que se expresan mediante ecuaciones diferenciales. (d) En el caso más general, las propiedades del sistema a modelizar permiten determinar una relación entre dF/dx (pudiendo, además, aparecer derivadas de orden superior) y otras 185 funciones conocidas, por lo que puede construirse el modelo algebraico-diferencial (mediante una ecuación diferencial) cuya función incógnita es la función F(x). En resumen, se pueden construir modelos a partir de datos discretos o a partir de datos continuos utilizando diferentes técnicas: A partir de datos discretos Formulando hipótesis sobre la variación discreta Aproximando los datos por regresión Construcción de modelos funcionales A partir de datos continuos Formulando hipótesis sobre la variación continua Tomando en cuenta propiedades del sistema a modelizar Figura 6 –Técnicas para construir modelos a partir de datos continuos o discretos 1.3. Relación entre la variación discreta y la variación continua En el siguiente cuadro se presenta una síntesis del universo de tipos de variación en el campo discreto y continuo que tomamos en consideración en esta memoria. Se muestra la correspondencia que existe entre determinadas ecuaciones en diferencias finitas y las ecuaciones diferenciales asociadas al mismo tipo de variación, las soluciones de dichas ecuaciones y la identificación del tipo de modelo construido: Variación discreta Variación continua Tipo de modelo construido Modelo lineal Modelo cuadrático 186 Modelo cúbico Modelo exponencial Modelo de crecimiento limitado Modelo de crecimiento logístico Modelo hiperbólico Tabla 5 – Relación entre los tipos elementales de variación (discreta y continua) que tomaremos en consideración en los recorridos matemáticos que materializan el MER. Nótese que podremos tener casos de modelos cuya variación solamente depende del tiempo mientras que en otros casos la variación también depende del propio valor de . Existen varios ejemplos de sistemas relevantes científica y socialmente, cuyos modelos se describen mediante estos tipos de variación funcional elemental. En general se trata de modelos funcionales continuos que describen sistemas empíricos como, por ejemplo, la 187 propagación de una epidemia, el crecimiento de un tumor o la dinámica de una población. En todos estos casos, los datos empíricos se toman, en principio, como datos discretos, de manera que se plantea la cuestión de la necesidad de pasar de la variación discreta a la variación continua y, en general, de estudiar la relación entre ambos tipos de variación. Ante todo hay que subrayar que esta problemática está prácticamente ausente en el ámbito escolar, especialmente en la enseñanza secundaria aunque, tampoco tiene una presencia significativa en la enseñanza universitaria. A este respecto surgen diferentes cuestiones que deberíamos tomar en consideración: ¿Por qué en la matemática escolar, tanto en la enseñanza secundaria como en los primeros cursos universitarios, no es habitual dar continuidad a un trabajo con la variación media (con las diferencias finitas) en un intervalo genérico para construir y trabajar el modelo algebraico-funcional? ¿Por qué en el primer curso de la enseñanza universitaria (y también en la matemática científica), se pasa directamente a la resolución de las ecuaciones diferenciales aproximadas y no se trabaja con ecuaciones en diferencias finitas? La explicación más sencilla e inmediata a estos hechos hace referencia a la economía de las técnicas matemáticas involucradas en ambos tipos de prácticas. En efecto, a partir de un cierto tipo de funciones, la función tasa de variación media pasa a ser una herramienta de elevado coste, con una gran fragilidad técnica y con poca utilidad para estudiar el comportamiento de una determinada función. De manera que no es por necesidad de rigor sino por las propiedades de las técnicas involucradas (flexibilidad, fiabilidad y economía) que pasamos de la tasa de variación media en intervalos particulares a la función derivada definida en cierto dominio de los números reales. El motivo al que responde este paso no es otro que las ventajas que la derivada nos proporciona sobre las técnicas algebraicas de manipulación de ecuaciones en diferencias finitas. En cuanto que la TVM puede ser trabajada a partir de un conjunto de datos discretos o continuos, la derivada solo puede ser trabajada en un conjunto de datos continuos y la mayoría de procesos a modelizar, referentes a situaciones empíricas, parten de una colección de datos que son discretos, por lo que surge de forma natural la siguiente cuestión: ¿Cómo podremos utilizar el CDE para modelizar un fenómeno cuando solo poseemos datos discretos? 188 Muchos modelos funcionales parten de datos discretos y, posteriormente, utilizan las ecuaciones diferenciales del modelo algebraico-diferencial para encontrar el modelo algebraico-funcional. Una justificación para esta rápida transición del dominio discreto al dominio continuo está relacionada con el hecho de utilizar un número suficientemente elevado de datos discretos reales lo que les garantiza una convergencia asintótica de esta aproximación. Por otro lado, si sólo se dispone de un número reducido de datos discretos no se podrán utilizar los modelos algebraico-diferenciales ya existentes para modelar el fenómeno en cuestión debido a que no se podrá trabajar con ecuaciones diferenciales. Así, como proceso alternativo, y en el caso que se cumplan las condiciones experimentales e informáticas para tal procedimiento, se puede recurrir a mecanismos automáticos de interpolación, regresión, etc. para aproximar los datos discretos mediante una función continua. Por ejemplo, Alexandra Oliveira en su tesis de máster acerca de la “Multi-resistência e reinfecção na dinâmica da tuberculose”, haciendo referencia a Hethcote H. W. (2000), ha justificado la transición del trabajo de los datos brutos discretos a la construcción de un modelo epidemiológico basado en varias ecuaciones diferenciales, del siguiente modo: […] Para um determinado instante de tempo t, representamos por I(t), S(t), L(t), T(t) e P(t) o número de indivíduos infecciosos, susceptíveis, latentes, tratados e profilácticos na população nesse instante de tempo, respectivamente. […] Para cada instante de tempo, cada uma das funções anteriores representa o número de indivíduos de uma classe epidemiológica nesse instante de tempo devendo portanto tomar valores inteiros. Como o tempo é uma variável real essas funções não podem ser sequer contínuas. Para ultrapassar este problema procedemos de forma standard e aproximamo-las por funções diferenciáveis, de classe . Os erros de aproximação são pequenos pois o número de indivíduos em cada classe é elevado […]. (Oliveira, 2006, p. 19) Así, como habíamos postulado anteriormente, y a la semejanza de otras investigaciones en el ámbito de las matemáticas aplicadas, no es común un trabajo desarrollado con las diferencias finitas pero, por el contrario, es habitual la identificación inmediata de las ecuaciones diferenciales que describen la evolución del fenómeno en estudio. Este procedimiento usual está de acuerdo con el origen histórico y el desarrollo de las técnicas asociadas a las diferencias finitas. Se considera que el primer descubrimiento matemático de Gottfried Leibniz, en 1672, consistió en el desarrollo de una técnica que permitía usar las diferencias para sumar los números. Algunos años más tarde, Leibniz ha 189 insistido en que vislumbraba en la relación inversa entre las operaciones matemáticas suma y diferencia una relación entre la derivación y la integración. Pérez París, Arturo y Gutiérrez Muñoz, en 2002, abordaron el paralelismo entre la resolución de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en diferencias. Al partir del estudio de un caso particular muy simple de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (no homogénea con coeficientes constantes) utilizaron el método de las diferencias finitas. Llegaron a la conclusión de que el método de la recurrencia puede ser muy útil en los casos más sencillos, pero consideran que en la mayoría de los planteamientos se debe recurrir a otras herramientas que aseguren la obtención de las soluciones, sin necesidad de utilizar complejos y tediosos cálculos. Así, describen las siguientes limitaciones del método de las diferencias finitas de resolución numérica de ecuaciones diferenciales: - Las aproximaciones dan resultados muy imprecisos en los valores de las derivadas, salvo que se elijan pasos muy pequeños, haciendo el cálculo excesivamente largo en el tiempo. - Los errores de redondeo pueden conducir a inestabilidades de la solución numérica (bien oscilaciones, bien divergencias). (Pérez, Arturo & Gutiérrez, 2002, p.16) Esta idea fue también reforzada por Isabel Espírito Santo (2001) que refiere que: Uma aproximação numérica conseguida através das diferenças finitas é geralmente muito dispendiosa, logo também inconveniente. […] Os modelos diferenciais parecem ser suficientemente satisfatórios para muitos processos físicos, mecânicos e económicos pois as perturbações iniciais são rapidamente anuladas nos processos reais e são excluídas de um modelo processual (Espírito Santo, 2001, p. 40-41, p. 9). Los mismos autores acrecientan que los modelos diferenciales son representados por una relación funcional entre una función y sus funciones derivadas, y que fueron inicialmente desarrollados para describir únicamente procesos dinámicos, o sea, fenómenos temporales (cuya variable independiente es el tiempo). Así, los estudios científicos parecen poner de manifiesto que, en la tarea de construir, trabajar, manipular e interpretar un modelo funcional, las técnicas de resolución de las ecuaciones en diferencias finitas son más trabajosas, menos económicas y revelan un menor alcance que las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales. 190 2. Construcción de algunos recorridos matemáticos a priori que encarnan el modelo epistemológico de referencia La inmensa mayoría de los modelos funcionales propuestos por los matemáticos aplicados o por los ingenieros están formulados en términos de ecuaciones diferenciales. Esta constatación sugiere que los componentes de la organización matemática en torno al cálculo diferencial elemental en el paso de Secundaria a la Universidad, podrían constituir herramientas esenciales para llevar a cabo el estudio de los modelos funcionales. Al intentar profundizar en la relación entre los modelos funcionales y el cálculo diferencial, surgen cuestiones tales como: - ¿Por qué los modelos funcionales relativos a fenómenos físicos, biológicos, económicos, geográficos, geológicos, químicos (o de cualquier otro ámbito) se expresan mediante ecuaciones diferenciales? Una posible respuesta a esta cuestión podría estar relacionada con el hecho que, en muchos casos, la mejor forma de caracterizar una función viene dada precisamente en términos del tipo de variación que la función define. Pero existen, además, razones intrínsecas a ciertos fenómenos que permiten afirmar que la mejor forma de caracterizar su evolución se obtiene trabajando con la tasa de variación media relativa. En efecto, en muchos casos, la tasa de variación media relativa se aproxima bien mediante una función elemental, mientras que si tomamos los datos brutos la aproximación es mucho más problemática. Este hecho, contrastado empíricamente en muchas investigaciones, permite obtener mediante algún tipo de interpolación, una función elemental que aproxima “bien” la tasa de variación media relativa de la función incógnita. A continuación se identifica la ecuación en diferencias finitas con una ecuación diferencial cuya resolución nos proporciona una solución aproximada al problema. Todo ello refuerza nuestra hipótesis básica según la cual una posible razón de ser del cálculo diferencial en la enseñanza secundaria y en los primeros cursos universitarios puede situarse en el ámbito de la modelización funcional. Y, dentro de este ámbito, una de las razones de ser del cálculo diferencial elemental reside en su economía y operatividad para construir modelos funcionales, para trabajar en todas las etapas del proceso de modelización funcional y para responder a muchas de las cuestiones que se plantean tanto en el sistema modelizado como en el propio modelo. 191 En la sección 2 del capítulo III de esta memoria hemos presentado un diagrama de actividad de modelización funcional que constituye un esquema global, a modo de mapa de posibles recorridos, que representa el modelo epistemológico de referencia. Sobre este mapa pueden diseñarse diferentes recorridos matemáticos (RM) definidos a priori. Cada uno de estos recorridos parte de una cuestión problemática inicial (que surge en cierto sistema matemático o extramatemático) y toma la forma de un proceso de modelización funcional encaminado a responder a la citada cuestión inicial, así como a las cuestiones derivadas que surjan a lo largo del proceso. En lo que sigue vamos a describir con cierto detalle algunos de estos recorridos matemáticos que representaremos mediante las siguientes etiquetas: Partiendo de datos continuos Q0 : Cuestiones problemáticas iniciales RM2 RM3 RM4 RM5.1. RM5 RM5.2. Partiendo de datos discretos RM1.1. RM1 RM1.2. RM1.3. RM1.1.1. RM1.1.2. RM1.2.1. RM1.2.2. RM1.3.1. RM1.3.2. RM1.1.2.1. RM1.1.2.2. RM1.2.2.1. RM1.2.2.2. RM1.3.2.1. RM1.3.2.2. Figura 7 –Etiquetas que emplearemos para representar algunos de los recorridos matemáticos a priori que encarnan una posible representación del MER. De acuerdo con las distintas posibilidades que proporciona el diagrama de actividad de modelización funcional, se podrán articular sus componentes, acciones o tareas siguiendo diferentes RMs a priori. Para describir con más detalle la articulación de las referidas tareas en un RM, presentaremos algunas posibles técnicas útiles para resolverlas y aludiremos al discurso tecnológico-teórico que justifican la utilización de dichas técnicas. 192 De entre las diferentes posibilidades, en lo que sigue describiremos solamente los cinco recorridos matemáticos representados por etiquetas en la Figura 7 (y algunos de sus subrecorridos). Más adelante, en el capítulo V de esta memoria, presentaremos los resultados de una experimentación de recorridos de estudio e investigación, basados en estos cinco recorridos matemáticos, llevada a cabo con estudiantes universitarios portugueses de Medicina Nuclear. 2.1. Modelo funcional «exacto» a partir de datos discretos – RM1 Este recorrido se inicia construyendo diferentes tipos de modelos numéricos y gráficos, tanto de datos «brutos» como de la tasa de variación media (TVM) como de la tasa de variación media relativa (TVMR), esto es, los modelos tabulares variacionales. Sin embargo, mientras que en otros recorridos matemáticos (que se describen más adelante, por ejemplo, en el RM5) se aplican directamente, y de modo exploratorio, diferentes tipos de regresiones sobre los datos de variación (TVM o TVMR), aquí se optará por el estudio a priori del tipo de variación de los datos y se harán hipótesis sobre dicho tipo de variación. Supongamos que, a partir de los modelos tabulares sea posible formular ciertas hipótesis sobre la variación de los datos brutos y comprobar que la TVM (o la TVMR) cumple cierta propiedad elemental. Nos restringiremos a un conjunto de propiedades que caracterizan cierto universo de los modelos discretos elementales (ver Tabla 1). Así, al seguir el diagrama de actividad, dependiendo de si se obtienen respuestas positivas o negativas a las diferentes hipótesis sobre la variación (representadas por los “rombos de decisión” ) se pueden seguir diferentes sub-recorridos que conducen a la construcción de diferentes tipos de modelos elementales, tales como: RM1.1. - modelo polinómico RM1.2. - modelo exponencial RM1.3. – otro modelo elemental De este modo, se considera el RM1.1. como el sub-recorrido matemático que describe el caso en que las diferencias finitas (valores de la TVM) sean constantes para algún orden De este modo, al obedecer a la primera hipótesis se torna posible la construcción del modelo algebraico-variacional discreto mediante una ecuación en diferencias finitas y se continúa trabajando en el campo discreto hasta construir el modelo polinómico algebraico-funcional discreto (RM1.1.1) o, en un determinado momento, se podrá pasar a 193 trabajar en el campo continuo41 con la finalidad de construir el modelo algebraico-funcional continuo (RM1.1.2.). Sin embargo, de modo análogo, cada uno de los sub-recorridos RM1.2. y RM1.3. puede descomponerse en 2 sub-recorridos (RM1.2.1., RM1.2.2. y RM1.3.1., RM1.3.2.) y, además dos de estos últimos pueden también ser descompuestos en otros 2 sub-recorridos (ver Figura 7). Al proseguir por el primer camino de forma independiente, podrá desarrollarse una actividad matemática que permita la construcción de un modelo en el campo discreto. 2.1.1. Modelo discreto sin aplicar regresiones - RM1.1.1., RM1.2.1. , RM1.3.1. Así, por ejemplo, al seguir el RM1.1.1. que, como se ha descrito en la sección anterior, parte de la ecuación en diferencias finitas , se identifica, de modo «exacto», su solución general con una familia de funciones polinómicas de grado : Esta familia, como tal, se sitúa en el segundo nivel de modelización funcional en el sentido de Ruiz-Munzón (2010). Para descubrir los valores de todos los parámetros del modelo polinómico y así, construir una solución particular de la ecuación en diferencias finitas (pasando al primer nivel de MF) se utilizan técnicas algebraicas “con lápiz y papel” como, por ejemplo, la técnica de los coeficientes indeterminados (lo que requiere la resolución de un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas) o la técnica de los mínimos cuadrados. Esta solución particular de la ecuación en diferencias finitas corresponderá al modelo algebraicofuncional discreto «exacto» que mejor describe el sistema. En el tercer estadio del proceso de MF, se trabaja dentro de ese modelo discreto para responder a las cuestiones problemáticas iniciales y se interpretan los resultados de ese trabajo en términos del sistema. A partir de ahí surgen nuevas cuestiones problemáticas y se formulan nuevas hipótesis, lo que conducirá a un nuevo sistema, iniciándose un nuevo proceso de modelización funcional. 41 Sería interesante que los estudiantes pudiesen vivir estos dos sub-recorridos para que, al final, comparasen la economía de las técnicas discretas con las técnicas del CDE, tanto en la construcción de los modelos como en la manipulación y trabajo de los mismos. 194 Figura 8 - Modelo polinómico discreto sin aplicar regresiones - RM1.1.1. En el caso en que las diferencias finitas (valores de la TVM) no sean constantes, pero sus valores dependan linealmente de los datos brutos para algún orden se construye el modelo algebraico-variacional mediante una ecuación en diferencias finitas: cuya solución general es una familia de progresiones geométricas (ver anexo F): → De modo análogo al RM1.1.1., la determinación del valor del parámetro y la construcción de una solución particular de la ecuación en diferencias finitas, pueden conducir, en este caso, a la construcción del modelo exponencial discreto mediante el RM1.2.1. 195 Figura 9 - Modelo exponencial discreto sin aplicar regresiones - RM1.2.1. En el caso en que las diferencias finitas (valores de la TVM) no sean constantes, ni sus valores dependan linealmente de los datos brutos para algún orden pero, sin embargo, se puede verificar que la TVM cumple alguna otra propiedad elemental descrita en la tabla de la caracterización de los diferentes tipos de variación discreta y continua, se construye el modelo algebraico-variacional discreto correspondiente mediante una ecuación en diferencias finitas cuya solución general es una familia de funciones cuya variación cumple dicha propiedad elemental. Análogamente a los RM anteriores, la determinación de los valores de los parámetros, y consecuente construcción de una solución particular de la ecuación en diferencias finitas, pueden conducir, en este caso, a la construcción del modelo elemental discreto mediante el RM1.3.1. en el supuesto que se disponga de suficientes datos para determinar el valor de los parámetros. 196 Figura 10 - Modelo elemental discreto sin aplicar regresiones - RM1.3.1. En el caso en que las diferencias finitas (valores de la TVM) no cumplan ninguna de las propiedades elementales descritas en la Tabla 1, se podría experimentar, por ejemplo con el software GeoGebra, la aplicación sobre los datos de la TVM de regresiones compuestas por las regresiones elementales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, logísticas, etc.). Al seguir este recorrido matemático el objetivo no sería trasladar el trabajo al campo continuo, pero extraer la idea del tipo de comportamiento de la variación, o sea, permitir la construcción de un posible modelo algebraico-variacional en el campo discreto (ecuación en diferencias finitas). Dado el elevado coste que podría advenir de la resolución de dicha ecuación, no se desarrollará en esta memoria tal recorrido matemático. Sin embargo, muchas veces, mismo cuando las diferencias finitas (valores de la TVM) cumplen alguna de las propiedades elementales, las técnicas algebraicas “con lápiz y papel” utilizadas para construir una solución particular de la ecuación en diferencias finitas podrán ser demasiado costosas. Por ejemplo, para intentar construir un modelo que permita 197 describir el comportamiento de 5 datos discretos se tomaría un modelo polinómico42 discreto general de grado 4 y se determinarían sus parámetros por el método de los coeficientes indeterminados: Dado el elevado coste de la técnica de resolución del sistema anterior, habría necesidad de buscar una técnica más económica que podría ser, por ejemplo, una conjugación de las siguientes técnicas automáticas: técnica de exploración: la manipulación de los parámetros para encontrar el modelo que mejor se ajuste a los puntos; técnica de validación: la utilización directa de los comandos “polinomio” interpolador o regresiones polinómicas (estando subyacente la teoría de los mínimos cuadrados). Dichas técnicas se pueden llevar a cabo con, por ejemplo, el software GeoGebra. Así, como alternativa será posible, en algún momento, trasladar el sub-recorrido matemático desarrollado únicamente en el campo discreto al campo continuo mediante otros subrecorridos. 2.1.2. Modelo discreto-continuo - RM1.1.2., RM1.2.2., RM1.3.2. Así, por ejemplo, en el caso de que el desarrollo del RM1.1.1. se volviese muy costoso, la determinación de los parámetros del modelo discreto, se podría pasar a seguir el RM1.1.2. por dos caminos distintos: mediante una técnica de aproximación de la ecuación en diferencias finitas a una ecuación diferencial cuya solución será un modelo algebraico-funcional continuo (RM1.1.2.1.) o mediante una técnica automática de aplicación de regresión polinómica43 para calcular los parámetros del modelo (RM1.1.2.2.). 42 Sabiendo que para puntos discretos existe siempre un «polinomio interpolador» de grado no superior a que pasa exactamente por esos puntos, o sea, que verifica determinadas condiciones. 43 De acuerdo con el tipo de modelo elemental del cual se pretenda descubrir los parámetros se podrá aplicar regresión exponencial, logística o de otro tipo de variación elemental. Caso de ser exponencial tal corresponderá al seguimiento del RM1.2.2.2., caso de ser otro tipo corresponderá al seguimiento del RM1.3.2.2.. Sin embargo, una vez que el modelo exponencial presenta un único parámetro es natural que no se sienta un elevado coste técnico en el proceso de su construcción (ver anexo F). 198 2.1.2.1. Modelo discreto-continuo sin aplicar regresiones – RM1.1.2.1., RM1.2.2.1., RM1.3.2.1. La comparación de la economía de las técnicas discretas y las del CDE en el proceso de construcción de modelos funcionales polinómicos de grado podrá revelar una gran diferencia en términos del coste técnico de resolución de ecuaciones en diferencias finitas relativamente al coste técnico de resolución de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo, al comparar las técnicas de construcción del modelo cúbico discreto con las de construcción del modelo cúbico continuo (partiendo de que la variación/derivada de tercer orden es constante) presentadas en el anexo F de esta memoria. Se presenta en la figura siguiente, un ejemplo de un recorrido matemático que podrá permitir la construcción de un modelo polinómico discreto-continuo sin que haya necesidad de aplicar regresiones polinómicas (RM1.1.2.1): Figura 11 - Modelo polinómico discreto-continuo sin aplicar regresiones polinómicas - RM1.1.2.1. 199 2.1.2.2. Modelo discreto-continuo con aplicación de regresión para calcular parámetros RM1.1.2.2., RM1.2.2.2., RM1.3.2.2. Mediante una técnica de regresión “automática” sobre los datos discretos (para calcular los parámetros del modelo) cuya aplicación surge como resultado de un cuestionamiento tecnológico: cuando el valor del es muy elevado, basta que sea mayor que 2, esta técnica es mucho más económica que las técnicas algebraicas asociadas a la determinación de los parámetros de un modelo polinómico por el método de los coeficientes indeterminados. Así, se presenta aquí un ejemplo de un recorrido matemático que podrá permitir la construcción de un modelo polinómico mediante la aplicación de una regresión automática polinómica para calcular los parámetros del modelo (RM1.1.2.2): Figura 12 - Modelo polinómico discreto-continuo con aplicación de regresión polinómica para calcular parámetros- RM1.1.2.2. Sin embargo, se puede postular que estos dos últimos recorridos, tanto en el caso en que se utilicen técnicas “manuales” como en el que se haga uso de técnicas “automáticas”, conducirá a la construcción del modelo algebraico-funcional continuo «exacto» que permite describir el sistema y que será explorado e interpretado en el tercer y cuarto estadio de MF. 200 Ejemplo: Decaimiento radioactivo Se podrá partir de la siguiente cuestión generatriz: ¿Cómo preparar e administrar un radiofármaco para diagnosticar el cáncer de tiroides? En la preparación de estos radiofármacos pueden surgir las siguientes cuestiones: ¿Cómo varía la masa de un isotopo radioactivo a lo largo de su desintegración? En la busca de una primera respuesta a se sugiere tomar como base la investigación desarrollada por Hidalgo, Wright & Wooten (1967)44 relativa a la previsión de Technetium-99m y que describe el caso del generador 99Mo/99mTc en que la actividad del radionúclido “hijo” (99mTc) va a aumentar a la medida que el radionúclido “padre” (99Mo) va decayendo. ¿Cómo varía la masa del Molibdénio-99 después de su desintegración?¿Qué modelo algebraico-funcional podría describir el sistema? Al extraer los datos discretos del artículo se podrá construir la siguiente tabla: Actividad de molibdénio-99 Tiempo t (horas) (% de la actividad medida inicialmente ) 0 4 8 12 16 20 24 28 100 96 92.1 88.3 84.7 81.3 78 74.8 32 71.7 36 68.8 40 66 44 63.3 48 60.7 45 representa el número de átomos presentes de molibdénio-99 relativamente al número de átomos inicial (% de átomos relativa al inicial). En este estudio, consideraron Tabla 2 - Decaimiento de molibdénio-99 en 2 días medido de 4 en 4 horas. Represente en una tabla de valores la variación media (y relativa) de la masa en . Estudie la variación y una relación entre las variables usando únicamente técnicas en el campo discreto (diferencias finitas). 44 Estudio que ha generado el desarrollo de la Medicina Nuclear: Hidalgo, J.; Wright, R.; Wooten, M. (1967). Prediction of Technetium-99m Yield from Molybdenum-99 Generators. The Journal of Nuclear Medicine, 8, 426-429. 45 En otras palabras, representa el porcentaje de masa inicial de molibdénio-99 que aún no hay desintegrado (que aún es posible de medir). 201 Para responder a esta cuestión se puede tomar en consideración que los isótopos radioactivos decaen de manera espontánea y estudiar su variación con una tabla de valores (construir el modelo numérico variacional): Variaciones de la masa (TVMm y TVMRm) y 1ª diferencias finitas de la TVMRm Con estos valores ya se pueden formular hipótesis sobre la variación de los datos. Así, siguiendo el RM1 se puede indagar la veracidad de la primera hipótesis del diagrama de actividad, o sea, si ¿La TVM (diferencias finitas) es constante, o aproximadamente constante, para algún orden ?. Como, en este caso, la respuesta parece ser negativa, se intenta estudiar otro tipo de relaciones entre las variables como, por ejemplo: ¿La TVM depende linealmente de los datos brutos?, o sea, ¿La TVMR es constante?, ¿Será que ? Al analizar la tabla se observa que la TVMR es prácticamente constante en el tiempo y, consecuentemente, sus primeras diferencias finitas son nulas, lo que significa también que la TVM es aproximadamente lineal a la función masa, o sea, se puede resolver la ecuación en diferencias finitas46: Variación es proporcional a Así, partiremos de la relación En particular, , que significa que , …, , O sea, cuando la variación es proporcional al valor de la sucesión construyendo una sucesión geométrica. Sabiendo que , entonces estamos , se obtiene el modelo algebraico-funcional discreto exponencial: , Con el modelo construido se podría trasladar el estudio al 3.º estadio de MF, siguiendo trabajando e interpretando el modelo funcional discreto para responder a otras cuestiones problemáticas. 46 Para resolver esta ecuación en diferencias finitas vamos a retomar lo estudiado anteriormente en la construcción de modelos discretos por formulación de hipótesis sobre la variación discreta (ver sección 1.1.1 de este capítulo y anexo F). 202 Y si la substancia radioactiva fuese el radio-226, el carbono-14 o el xenon-133, ¿Cómo varía su masa después de su desintegración? ¿Cómo varía la masa del Xenon-133 después de su desintegración?¿Qué modelo algebraico-funcional podría describir el sistema? Partiendo de un estudio descrito en el articulo “Monitoring Radioactive Xenon Gas in Room Air Using Activated Charcoal", Journal of Nuclear Medicine Technology, Marzo, 1990, cuyo objetivo consistía en investigar el uso del carbono activado como un medio de control a la exposición a la radiación por los funcionarios durante la ejecución de estudios con Xenon-13347. Parte del estudio ha incluido la utilización de parámetros de referencia para evaluar/comparar la eficiencia en la absorción del carbono activado. Cuando estaba expuesto a este isotopo radioactivo, el técnico/funcionario debería usar máscara facial o estar en una atmosfera ventilada para que estas condiciones no interfiriesen en la evaluación de los efectos de la exhalación del Xenon-133. Así, en estas condiciones, fueron recogidos 111 MBq de Xenon-133 para un tubo y la cantidad exacta de radioactividad ha sido medida en un calibrador de dosis periódicamente durante 31 días. Los resultados fueron los siguientes: Tiempo t (días) Actividad A (% de la actividad medida inicialmente48) 0 5 11 15 18 21 24 32 100 51.7 23.5 13.8 9.2 6.3 4.4 1.5 Tabla 3 - Decaimiento medio de Xenon-133 en el calibrador de dosis Análogamente al estudio anterior del Molibdénio-99, de acuerdo con los datos recogidos en este estudio, se pueden proponer las siguientes tareas más específicas: Represente en una tabla de valores la variación media (y relativa) de la masa en . : Estudie la variación y una relación entre las variables usando únicamente técnicas en el campo discreto (diferencias finitas). De modo análogo al caso anteriormente estudiado, para responder a esta cuestión se puede tomar en consideración que los isótopos radioactivos decaen de manera espontánea y estudiar su variación con una tabla de valores (construir el modelo numérico variacional): 47 Este radioisótopo es frecuentemente utilizado en mediciones del cerebro y del flujo sanguíneo. En otras palabras, representa un porcentaje de masa inicial de Xenon-133 que aún no se desintegró (que aún es posible medir). 48 203 Variaciones da masa (TVMm y TVMRm) y 1ª diferencias finitas da TVMRm De modo análogo al anterior, se observa que la TVMR es prácticamente constante en el tiempo y, consecuentemente, sus primeras diferencias finitas son casi nulas, lo que significa también que la TVM es aproximadamente lineal a la función masa, o sea, podremos resolver la ecuación en diferencias finitas. Así, partiremos de la relación En particular, Sabiendo que , que significa que , …, , , obtenemos el modelo algebraico-funcional discreto exponencial: , Con el modelo construido se podría trasladar el estudio al 3.º estadio de MF, siguiendo trabajando e interpretando el modelo funcional discreto para responder a otras cuestiones problemáticas. Institucionalización Las respuestas (modelos) a las cuestiones y conducen a una ampliación de las praxeologías matemáticas a estudiar, puesto que se pasa de un modelo funcional particular a una familia de modelos funcionales. De un modo general, podremos decir que: Cuando una substancia radioactiva se desintegra, su masa, medida en gramos, varía de acuerdo con un modelo funcional de la familia En que la variable t representa el tiempo, medido en milenios, transcurrido desde un cierto instante inicial. En este punto, ya se podría trabajar en el segundo nivel de MF y determinar los valores de los parámetros. Por ejemplo: Las fuentes radiactivas de Radio-226 (Ra-226) en agujas y tubos fueron empleadas en tratamientos médicos de oncología durante el siglo pasado49. Debido a su largo periodo de semi-desintegración (la actividad de las fuentes de Ra-226 solo se reduce a la mitad transcurridos 1064 años), siguen siendo activas y lo serán durante muchos años más. 49 La terapia usando este radioisótopo dejó de emplearse debido a diversas razones, tales como la posible contaminación por causa del radón gas, emitido en caso de fisuras, y las altas tasas de dosis para personal asistencial. Comenzaron a emplearse radioisótopos artificiales alternativos más seguros (Cs-137, Ir-192, I-125 etc.). Fuente: http://www.enresa.es/actividades_y_proyectos/otras_actividades/fuentes_radio (consultado en 05-08-2014). 204 Se sabe que, para el Ra-226, el valor de . Verifique que, cualesquiera que sean los valores de y de , es constante. Determine el valor de esa constante (con 1 c.d.) e interprete ese valor, en el contexto de la situación. Esto significa que, durante el proceso de desintegración del radio-226, su masa disminuye a la mitad, siempre que pasen 1600 años. 2.2. Modelo funcional «exacto» a partir de datos continuos - RM2 En el caso más sencillo el modelo funcional es, en sí mismo, un dato. En un caso más general puede suceder que, sin que el modelo funcional sea un dato del problema, los datos permitan construirlo. Se puede pasar así de inmediato al trabajo dentro del modelo continuo para responder a las cuestiones problemáticas iniciales recurriendo, entre otras, a las técnicas del CDE. Este trabajo producirá resultados que van a ser interpretados en términos del sistema y, esa interpretación conducirá a la formulación de nuevas cuestiones problemáticas, nuevas hipótesis, nuevos modelos y nuevos sistemas, y, por tanto, al inicio de nuevos procesos de modelización funcional. La ruta que sigue este recorrido matemático dentro del diagrama de actividad es la siguiente: Figura 13 – Modelo funcional «exacto» a partir de datos continuos - RM2 205 Ejemplo: Variación de la concentración de un radiofármaco Para estudiar este sistema se pueden plantear o inducir al planteamiento de, por ejemplo, las siguientes cuestiones: ¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de un paciente t minutos después de su administración? ¿Qué tipo de modelo funcional podría caracterizar este sistema? ¿Se puede afirmar que la concentración aumenta siempre con el tiempo? ¿Cómo varía esa concentración a lo largo del tiempo? ¿A partir de qué momento se inicia la eliminación progresiva del radiofármaco del plasma sanguíneo? ¿Cuál es el valor de la concentración en ese momento? ¿En qué momentos la concentración decrece más rápidamente? Algunas respuestas posibles y esperadas: Resultante de una investigación en manuales escolares o en internet, se esperan diferentes respuestas tales como: modelos exponenciales, modelos racionales, modelos polinómicos o de otro tipo, tanto en el 1.º, 2.º o mismo en el 3.º nivel de modelización funcional. Sin embargo, en un primer momento se trabajará únicamente con modelos con una variable y sin parámetros. De una vasta gama de posibles modelos vamos a centrarnos en la exploración de algunos de ellos, lo que nos obligará a buscar otras técnicas matemáticas que van a enriquecer y a potenciar nuestro trabajo. Por ejemplo: M1: ¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de un paciente t minutos después de su administración, sabiendo que la concentración (medida en miligramos por litro) viene dada por la función ? M2: Y si el modelo fuese de otro tipo, por ejemplo, el modelo racional M3: Y si el modelo fuese de otro tipo, por ejemplo, el modelo definido por trozos que representa la concentración en un cuerpo50, en (parte por milión), de una cierta dosis de un medicamento, horas después de ser ingerido? Aquí se pretendía utilizar técnicas algebraicas y gráficas para estudiar ciertas características de los diferentes modelos sugeridos por la potencial comunidad de estudio como, por ejemplo: el dominio y recorrido, el signo de la función, los ceros, la continuidad, las asíntotas, la paridad, la monotonía y los extremos. En particular, para estudiar la monotonía se podría verificar, utilizando herramientas del CDE, si el signo del modelo diferencial (la función derivada) se mantiene siempre positivo. En esta respuesta se calculaba el límite a infinito, verificando la existencia o no de asíntotas del modelo grafico-funcional. De acuerdo con el tipo de modelo funcional elegido, se podrían utilizar distintas técnicas para determinar el máximo del modelo. Se pretende comparar la economía y validez de esas mismas técnicas: 50 Aquí, podremos considerar que esta situación resulta del estudio del sistema anterior “ampliado” para también se modelizar la concentración de un medicamento en un cuerpo (en general) y no, únicamente, en el torrente sanguíneo. 206 Tipo de modelo funcional Modelo cuadrático Modelo polinomico de grado superior a 2, exponencial, trigonométrico, racional, etc. Restricciones con 2 ceros sin 2 ceros ____________ Modelo definido por trozos La función no es derivable en el punto correspondiente al extremo Modelo de varias variables51 _____________ Técnica adecuada Punto medio de los ceros Vértice de la parábola Derivada Gráfica automática (determinar valor aproximado por observación) Gradiente Tabla 4 – Síntesis del cuestionamiento tecnológico de las técnicas de optimización. Aquí se pretende mostrar la utilidad de la función derivada segunda como herramienta del CDE para estudiar la variación de la variación de un modelo funcional. Tal interpretación se podría hacer por técnicas algebraicas o gráficas. Figura 14 – Dispositivo de GeoGebra para determinar en qué momento la variación de la concentración es mínima (más negativa) en el modelo racional M2. 51 En esta memoria no trabajaremos con modelos funcionales de varias variables por no formar parte del ámbito institucional en el que nos situamos. 207 Una posible ampliación de la situación inicial podrá surgir de la necesidad de comparar la evolución de la concentración del radiofármaco en dos organismos diferentes como, por ejemplo: : En un examen de diagnóstico del cáncer de tiroides la concentración del radiofármaco en el plasma sanguíneo observada en cada instante de tiempo depende de varios factores. Suponiendo que fue administrada la misma dosis del radiofármaco, en un cierto momento y en las mismas condiciones exteriores, a dos pacientes, María y Luís, cuya concentración en el plasma viene descrita, respectivamente, por los modelos y , ¿cómo se puede comparar la variación de las dos concentraciones? Se requiere, en definitiva, una verdadera ampliación de la anterior praxeología con nuevas tareas, nuevas técnicas y un nuevo y más comprensivo discurso tecnológico-teórico (o sea, en términos del diagrama de actividad de modelización funcional, este paso representa una transición del 4.º estadio de MF al 1.º estadio de MF con el estudio de un nuevo sistema y la formulación de nuevas hipótesis). Para ello se podría plantear el problema de ampliar el modelo funcional estudiado anteriormente de tal manera que el modelo generalizado pudiese ser aplicado, simultáneamente, a diferentes tipologías de pacientes. La concentración del radiofármaco en el plasma sanguíneo, para cada tipo de pacientes, debería entonces caracterizarse por el valor de parámetros (a > 0 y ) que depende, a su vez, de determinadas características fisiológicas comunes a los pacientes de cada tipo. Entre los modelos que podrían aportar los estudiantes para generalizar el modelo que aparece en Q21 podremos considerar el que proponemos en Q’21: Caso general: : ¿Cómo estudiar la variación de la concentración del radiofármaco en el plasma sanguíneo de un determinado paciente suponiendo que, t horas después de ingerido el medicamento, la concentración en el plasma puede ser representada por el modelo algebraico-funcional donde a y k son constantes positivas? : ¿Cómo depende, en cada caso, el comportamiento de la función concentración del valor del parámetro ? ¿En qué momento la concentración es máxima? ¿Cuál es el valor de esa concentración máxima? (A) ¿Cómo depende, en cada caso, el comportamiento de la función concentración del valor del parámetro ? ¿En qué momento la concentración es máxima? ¿Cuál es el valor de esa concentración máxima? (B) : ¿Qué características comunes presentan sus gráficos? De acuerdo con la situación problemática, formule algunas hipótesis para posibles características del sistema que pueden estar representadas por los parámetros y del modelo funcional. Algunas respuestas posibles y esperadas: Para estudiar la variación de la concentración en función de , se pueden representar las gráficas de la familia para diferentes valores de con el GeoGebra: 208 Para Para Para Para Figura 15 – Influencia del parámetro sobre la concentración del radiofármaco para una fijada. Se observa que un aumento del valor del parámetro , provoca una dilatación vertical del gráfico de , lo que implica una mayor variación de la concentración del radiofármaco en el plasma, lo que significa que alcanzará un valor máximo aún más elevado. Para estudiar la variación de la concentración en función de , se pueden representar, con el GeoGebra, las gráficas de la familia para los diferentes valores de : 209 Para Para Para Para Figura 16 –Influencia del parámetro sobre la concentración del radiofármaco para una fijada. Se observa que cuanto mayor es el valor del parámetro menor es el valor máximo de la concentración (se produce un achatamiento del gráfico de la función). : Al comparar los diferentes modelos gráficos obtenidos para responder a (Figura 15), se observan algunas características comunes a los modelos de la misma familia: presentan la misma función derivada, la misma forma gráfica, alcanzan diferentes valores máximos en el mismo momento. Al comparar los diferentes modelos gráficos obtenidos para responder a (Figura 16), se observan algunas características semejantes, pero el instante en que se alcanza la concentración máxima es diferente para cada uno de los modelos de la familia (este instante depende del parámetro ). Una vez que fue administrada la misma dosis del radiofármaco en el mismo momento a dos o más pacientes y en las mismas condiciones exteriores, se conjetura que los parámetros y del modelo funcional representen únicamente características fisiológicas del paciente tales como: diabetes, hipertensión, peso, etc. O sea, estos parámetros de ningún modo podrían representar características relativas a la temperatura ambiente, humedad u oxigenación del espacio. 210 Si volvemos a plantear la cuestión , que se sitúa en el tercer nivel de modelización funcional, es evidente que no se puede responder con las técnicas y los elementos tecnológico-teóricos que hemos utilizado hasta este momento. : ¿Cómo estudiar la variación de la concentración del radiofármaco en el plasma sanguíneo de un determinado paciente suponiendo que, t horas después de ingerido el medicamento, la concentración en el plasma puede ser representada por el modelo algebraico-funcional donde a y k son constantes positivas? Podemos considerar que el modelo se ha materializado en una función de tres variables o bien en una familia de funciones de dos variables (ya sea dependiendo del parámetro o bien del parámetro ). En concreto podremos expresarla: En un tercer nivel de modelización de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan mediante familias de funciones de dos o más variables y las correspondientes fórmulas asociadas el papel de los “parámetros” y de las “variables” es intercambiable y se estudia cómo repercute la variación conjunta de dos o más variables sobre la variación de una función. Dado el ámbito institucional de esta memoria, no vamos a desarrollar estas actividades una vez que su resolución completa requiere de técnicas que no están disponibles en el paso de la enseñanza secundaria a la universitaria. Anti derivada de una función Q’’2: Sabiendo que la variación de la concentración del radiofármaco en el plasma de un paciente segundos después de su inyección puede ser modelada por la función , cómo se podrá descubrir una expresión algebraica que represente la concentración del radiofármaco en el plasma de ese paciente a lo largo del tiempo? ¿Y cómo se podrá construir un esbozo de su gráfico? Q’’’2: ¿Y si el modelo fuese más complejo? En el caso de 211 cómo se procedería? 2.3. Modelo funcional «exacto» a partir de datos diferenciales continuos – RM3 Aunque no sea posible construir directamente el modelo funcional exacto, los datos pueden permitir la construcción del modelo diferencial cuando es conocida una condición sobre la variación del modelo funcional. Así, se podrá describir una relación funcional entre las variables mediante una ecuación diferencial que constituirá lo que denominamos modelo algebraico-diferencial «exacto». Con las herramientas del CDE se podrá, por integración, resolver la referida ecuación diferencial cuya solución será el modelo algebraico-funcional «exacto» continuo que permitirá, mediante el desarrollo de un proceso de modelización funcional, describir el sistema e interpretar los resultados del trabajo dentro del modelo. Esquemáticamente este recorrido matemático contiene las siguientes etapas que hemos numerado dentro del diagrama de actividad: Figura 17 – Modelo funcional «exacto» a partir de datos diferenciales continuos – RM3 212 Ejemplo: Variación de la dosis de un radiofármaco a lo largo del tiempo Por ejemplo, en el caso del cálculo del área bajo la gráfica de una función, la técnica matemática que se utiliza (más o menos algoritmizada) puede interpretarse como un proceso de MF en el que la región plana es el sistema a modelizar y la función área es un modelo de (un aspecto de) dicho sistema. Además, y en coherencia con la estructura del RM3 descrito en la Figura 17, se parte de la variación finita (o de la variación infinitesimal) de la función área para construir la función derivada de ésta y, por integración, calcular efectivamente la función área que podemos interpretar como un modelo funcional. Con esta interpretación la verdadera incógnita del proceso es una función (la función área) aunque escolarmente se considere como incógnita únicamente el valor de esta función en un punto concreto, esto es, el área de una región concreta bajo la curva (ver sección 8 del capítulo III). Esta reinterpretación del trabajo escolar que se lleva a cabo como un verdadero proceso de modelización permitiría plantear nuevas cuestiones sobre el sistema que podrían responderse gracias al modelo. Podríamos pensar que, si en lugar de tratarse simplemente de calcular el área bajo la gráfica de una función, se tratara de calcular el trabajo desarrollado por una fuerza variable dada en función del espacio, o bien el espacio total recorrido conocida la función velocidad, entonces desaparecerían algunas de las restricciones (aunque no todas) que dificultan interpretar el cálculo de la función área como el resultado de un proceso de MF y, sobre todo, las restricciones que impiden utilizar el modelo construido para responder a cuestiones que surgen o podrían surgir en el sistema modelizado. Sin embargo, el modelo que describe el “espacio recorrido”, interpretado como el área bajo la gráfica de la función velocidad, es explorado como modelo algebraico-funcional ya construido en la Física del Bachillerato, pero no se llega a justificar (con herramientas del CDE) la relación entre el modelo grafico-diferencial (velocidad) y el modelo gráfico-funcional (espacio recorrido). Presentaremos a continuación el estudio de un sistema concreto que podrá permitir introducir el concepto de integral como instrumento para la construcción de modelos funcionales. Suponiendo que una escasez de materiales y de recursos humanos nos obliga a gestionar muy bien el tiempo inicial y final de cada toma de un determinado radiofármaco, se plantea la siguiente cuestión: Conociendo la velocidad de administración, por vía intravenosa, de una dosis de un radiofármaco, ¿cómo puede variar esa dosis (cantidad) a lo largo del tiempo? 213 Una dosis de ml de un radiofármaco fue administrada a un paciente, por vía intravenosa, por primera vez al mediodía. Sabiendo que el radiofármaco fluye por el plasma a una velocidad de mililitros por minuto, en que representa el tiempo medido en minutos después del mediodía, a qué horas terminará esa toma? Surge la necesidad de concretizar un poco más la cuestión problemática: Una dosis de ml de un radiofármaco fue administrada a un paciente, por vía intravenosa, por primera vez al mediodía. Sabiendo que el radiofármaco fluye por el plasma a una velocidad de mililitros por minuto, en que representa el tiempo medido en minutos después del mediodía, a qué horas terminará esa toma? Datos: Objetivo: Sabiendo que la dosis del radiofármaco en el plasma de un paciente corresponde al área entre el gráfico de la función velocidad, el eje del y las rectas verticales y , o sea, al área Figura 18 – Área que se representada en la Figura 18, se podrá calcular el área del polígono pretende modelizar. por diferentes técnicas, tales como: Calcular el área del trapecio: Con el modelo funcional construido (para la dosis) ya es posible responder a la cuestión. Para ello basta resolver la ecuación : Lo que significa que la administración de una dosis de o sea, la toma terminará cerca de las y demorará cerca de minutos, . Supongamos ahora que es posible utilizar un «reductor» en la salida del radiofármaco que comportará un tipo de velocidad de escurrimiento diferente. Esta modificación de la situación inicial conducirá a la formulación de nuevas hipótesis tales como, por ejemplo, que la velocidad a la que el radiofármaco desemboca en el plasma no es lineal en el tiempo. Con esta nueva hipótesis el sistema se hace más complejo y surgen nuevas cuestiones problemáticas tales como:¿Cuál es el modelo funcional que representa la dosis del radiofármaco?¿Qué técnicas se pueden utilizar para descubrir el área bajo el gráfico de una función no lineal? Así, surge la necesidad de ampliar la situación anterior para estudiar nuevas praxeologías, o sea, nuevas técnicas asociadas a tecnologías y teorías más completas que permitan resolver tareas del tipo: Una dosis de ml de un radiofármaco fue administrada a un paciente, por vía intravenosa, por primera vez al mediodía. Sabiendo que el radiofármaco fluye por el 214 Figura 19– Área correspondiente a la dosis del radiofármaco horas después del medio-día plasma a una velocidad de mililitros por minuto, en que en minutos después del mediodía, a qué horas terminará esa toma? representa el tiempo medido Análogamente al anterior, se podrá representar el área que corresponde a la dosis del radiofármaco en el plasma (Figura 19). Sin embargo, se verifica que en este caso ya no es posible determinar el área subrayada por el cálculo del área de un único polígono (por ejemplo: un trapecio, como en el caso anterior). Así, para construir el modelo funcional se tendrá que utilizar otra técnica como, por ejemplo: Descomponer el área en varias áreas más pequeñas y aproximarlas por una suma de áreas de rectángulos: Dosis = Área bajo el gráfico de Suma áreas de pequeños rectángulos Al tomar, por ejemplo, la división del área en 4 rectángulos con la misma base, se podrá utilizar una de las dos técnicas siguientes: Fijando : Fijando : Tabla 5 – Técnicas de descomposición del área bajo el grafico de una función. Pero, sería interesante construir una técnica más completa y más precisa que permita encontrar el “medio término” entre el área «arriba» y el área «abajo». Para tal, basta conjugar las dos técnicas anteriores para construir una técnica que resulta del cálculo de la media de los resultados obtenidos al utilizar las técnicas y : Descomponer el área en varias áreas más pequeñas y aproximarla por una media de sumas de áreas de rectángulos: Claro que al dividir el intervalo en más particiones, se obtiene una mayor cantidad de rectángulos con bases cada vez más pequeñas y, así, se aproxima mejor el valor del área pretendido. Tomando, por ejemplo, una división en 40 rectángulos con todas las bases iguales a o una división en rectángulos con todas las bases iguales a : 215 N.º rectángulos 40 999999 Cálculo del área Tabla 6 – Descomposición del área pretendida en áreas de rectángulos cada vez más pequeños. Sin embargo, se puede constatar que cualquiera de las técnicas anteriores conduce a resultados aproximados del valor del área pretendida y, además, con el aumento del número de rectángulos se pueden convertir en técnicas muy costosas. Así, surge la necesidad de buscar una técnica más precisa y económica: Construir el modelo a partir del estudio de su variación Para construir «todo» el modelo diferencial vamos a estudiar cómo varían algunas de sus «pequeñas» partes52, o sea, vamos a estudiar cómo se comporta la diferencia finita entre dos áreas, en este caso particular, entre 2 valores de dosis del radiofármaco en el plasma: : Cuanta más pequeña es la amplitud del intervalo, más próxima está el área pretendida del área del rectángulo. Pero, sabiendo que esta expresión corresponde a la TVM y que esta, a su vez, se aproxima de la función derivada en un punto, se puede escribir la relación: O sea, considerando que la relación se cumple para cualquier del tiempo, es así posible construir el modelo algebraico diferencial mediante una ecuación diferencial: Que por el Teorema Fundamental del Cálculo53 su resolución es equivalente a calcular la siguiente integral: 52 Según Kouropatov y Dreyfus (2009), el concepto de integral representa una idea filosófica para la comprensión del mundo: “la contemplación de la totalidad de las partes pequeñas de un todo aporta conclusiones sobre el todo en su globalidad, así como sobre su estructura interna y propiedades” (p. 417). 53 Aquí se pretende utilizar esta tecnología de forma intuitiva, o sea, tomando la integración como la técnica inversa de la derivación. 216 Por otro lado, relacionando con la técnica al descomponer el área en varias áreas de rectángulos cuyas bases son cada vez más pequeñas, la sucesión de las sumas de las áreas converge54 para el valor de ese integral (ver teoría del integral de Riemann). Así, por esta técnica es posible construir el modelo algebraico-funcional continuo casi «exacto» Para concluir la respuesta a la cuestión será necesario resolver la ecuación Nótese que esta cuestión permite ampliar las praxeologías matemáticas en estudio tanto en el dominio funcional, como en el dominio del CDE, como en el dominio algebraico pues, pasamos de la resolución de ecuaciones del segundo grado a la resolución de ecuaciones del tercero grado. Esta ampliación conduce a la necesidad de estudiar nuevas técnicas algebraicas, numéricas o gráficas. Aquí vamos a resolver numéricamente55 y gráficamente la ecuación del 3.º grado con el GeoGebra: Técnica numérica (CAS) Técnica gráfica (intersección de gráficos de funciones) Tabla 7 – Técnicas de resolución de la ecuación del 3.º grado con el GeoGebra. Estos resultados indican que la toma del radiofármaco terminará medio-día, o sea, a cerca de las 12 horas y 11 minutos. minutos después del Cuestionamiento tecnológico (Comparación de las técnicas para construir el modelo funcional) Con la finalidad de comparar los resultados obtenidos con las técnicas anteriores, vamos ahora utilizar el modelo construido para calcular la dosis del radiofármaco en el plasma para : Al utilizar el comando automático «integral» del GeoGebra se obtiene el valor 54 . Caso la sucesión de las sumas de áreas sea divergente, entonces significará que la función velocidad ya no será integrable. 55 Algebraicamente no fue posible pues el GeoGebra indicaba que “el cálculo estaba muy demorado y fue abortado”. Entonces fue encontrada una solución numérica de la ecuación con el CAS del GeoGebra. 217 Técnica Construcción del modelo funcional Sin herramientas del CDE Sin herramientas del CDE Con herramientas del CDE (integral) Ámbito de aplicabilidad (validad) Modelos lineales Economía Precisión de resultados Poco económica Exactos Cualquier tipo de modelo (universal) Muy costosa Aproximados Cualquier tipo de modelo (universal) Más económica Más exactos Tabla 8 – Comparación de las diferentes técnicas de construcción del modelo funcional. De esta comparación se puede concluir que las herramientas del CDE permiten construir de forma más económica y eficiente cualquier tipo de modelo algebraico-funcional representativo de un determinado sistema. Para validar esta última afirmación, se sugiere la utilización de esta última técnica para responder a (con CDE) A partir de aquí se podría cambiar de nuevo la situación inicial, estudiar nuevas cuestiones problemáticas, nuevos sistemas y reiniciar nuevos procesos de modelización funcional. Ahora vamos a estudiar RMs que permiten mostrar el papel del CDE en la construcción, trabajo, comparación e interpretación de modelos funcionales partiendo de datos discretos. 2.4. Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos brutos RM4 Se empezarán a construir los modelos tabulares y gráficos de datos «brutos» y sobre estos se pueden aplicar directamente diferentes tipos de regresiones de forma exploratoria utilizando la técnica de ensayo-error, o sea, sin estudiar previamente posibles relaciones entre los datos. Mediante las técnicas clásicas podemos comparar el ajuste y la capacidad predictiva de los diferentes modelos funcionales aproximados construidos. En este punto es muy importante tener en cuenta que para elegir un modelo entre las diferentes funciones obtenidas mediante regresión sobre un conjunto de datos no basta elegir la función que minimiza el error, es fundamental conocer el sistema del que se han tomando los datos y exigir que el modelo sea «coherente» con la evolución de dicho 218 sistema. En particular, los parámetros del modelo han de poder interpretarse, han de tener sentido, en términos del sistema y pueden utilizarse, asimismo, criterios de extrapolación en el sentido de estudiar el comportamiento del modelo cuando se aplica a datos que no se han utilizado para construir el modelo. En última instancia, en iguales condiciones, siempre es preferible elegir el modelo más simple en términos del número de parámetros de los que depende, por ejemplo, un modelo exponencial (2 parámetros) es preferible a un modelo cuadrático (3 parámetros). Una vez construido el modelo funcional y con el auxilio de las técnicas del CDE, se podrán interpretar los parámetros del modelo en términos del sistema, trabajar dentro del mismo e interpretar los resultados obtenidos. Van a surgir nuevas cuestiones problemáticas, nuevos modelos, nuevos sistemas y la formulación de nuevas hipótesis nos conducirán a iniciar nuevos procesos de modelización funcional. Marcamos a continuación el itinerario que sigue este recorrido dentro del diagrama de actividad: Figura 20 – Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos brutos - RM4 219 Ejemplo: Previsión de los casos de cáncer de tiroides Presentamos una cuestión problemática inicial que va a conducir todo el proceso de modelización funcional de varios RMs. Se tome como cuestión generatriz, por ejemplo, la siguiente: ¿Cómo se puede prever a lo largo del tiempo el número de casos de cáncer de tiroides en las poblaciones más próximas del accidente en la antigua central ucraniana de Chernóbil? ¿Que tipos de modelos funcionales podrían caracterizar este sistema? A partir de esta cuestión podrán surgir muchas otras que resultan de la delimitación del sistema y de la formulación de las primeras hipótesis sobre lo mismo. Para intentar dar una primera respuesta a la cuestión se sugiere tomar como base los datos empíricos recogidos en investigaciones científicas como, por ejemplo: Chernobyl’s Legacy: Health, Environmental and Socio-Economic Impacts and Recommendations to the Governments of Belarus, the Russian Federation and Ukraine. The Chernobyl Forum: 2003–2005. http://www.iaea.org/sites/default/files/chernobyl.pdf Así, partiendo de 5 datos discretos relativos a la incidencia de cáncer de tiroides (Chernóbil) se podrán construir diferentes modelos y compararlos en términos de su capacidad predictiva a corto, medio y largo plazo tiendo como referencia los restantes datos reales del año 5 al 16 (Tabla 9). En la sección 1.1.2. de este capítulo describimos una técnica referente a la construcción del modelo algebraico-funcional a partir de los datos brutos (por regresión directa sobre los puntos del modelo grafico-funcional). Vamos a ver que este RM engloba la aplicación de esa misma técnica a datos discretos reales. Construcción del modelo Para pasar del campo discreto al campo continuo podremos experimentar diferentes tipos de regresiones sobre los primeros 5 datos: Tabla 9 – Casos de cancer de tiroides por año. 220 Figura 21 – Aplicación exploratoria de diferentes tipos de regresiones sobre los datos brutos. De entre los modelos presentados, cómo elegir el modelo que se ajusta mejor a los datos? ¿Qué técnicas son posibles utilizar para comparar los modelos? Una vez que para responder a la cuestión problemática inicial el objetivo no reside en buscar un modelo con elevada capacidad de ajuste a los datos discretos pero sí, con una razonable funcionalidad para predecir los datos futuros, surge así en simultáneo la cuestión: De entre los modelos presentados, ¿cómo elegir el modelo que presenta una mayor capacidad predictiva a corto, medio y largo plazo? ¿Cuál sería la técnica a utilizar para elegir dicho modelo? Al intentar dar una primera respuesta a las cuestiones se sugiere: Comparar los modelos construidos Para elegir el modelo más adecuado a los datos discretos se puede comparar el ajuste de los nuevos datos continuos (modelos) a los datos discretos. Para ello se pueden explorar diversas técnicas de «contraste de valores» para analizar los errores de aproximación/ajuste y la capacidad predictiva de cada uno de los modelos: : Comparación de los modelos funcionales respecto a los datos. y comparando su ajuste y predicción Comparación de la capacidad aproximada de ajuste y de predicción (según los modelos gráfico-funcionales) 221 Comparación de la capacidad de ajuste (según los errores de aproximación) 56 Comparación de la capacidad predictiva (según los errores de extrapolación)57 Al comparar el promedio (media de los errores absolutos), o sea, la media de las distancias entre las imágenes reales y las imágenes aproximadas por regresión sobre los datos discretos, se podrá conjeturar que los dos modelos funcionales que mejor se ajustan a los datos corresponden exactamente a la función que representa el polinomio interpolador y a la función por las restantes regresiones experimentadas (exceptuando dicho polinomio interpolador). Señalamos que en estos dos casos, los errores de predicción aumentan drásticamente cuando se prevé a largo plazo (12 años). Estos resultados son sorprendentes, pues no están de acuerdo con los obtenidos al utilizar las técnicas y (ver Tabla 10). ajuste Modelo funcional Pol. interp. grado 4 ( Pol. grado 3 ( ) Pol. grado 2 ( ) Pol. grado 1 ( ) Logístico Exponencial Compuesto sin interp. ) 0 0.03 0.17 0.22 0.1 0.17 0 Errores de predicción ( ) 3 años 0.55 5.67 0.65 1.96 4.79 0.81 21.77 6 años 11.37 21.49 1.01 2.5 5.11 4.89 69.72 12 años 155.87 100.84 4.89 2.81 5.78 87.59 640.12 Tabla 10 – Comparación de los errores de ajuste y de predicción de los diferentes modelos usando las técnicas y Así, esta primera respuesta conduce el proceso de MF a un cuestionamiento tecnológico de la técnica inicial : Una comparación “directa” del ajuste de los modelos funcionales y respecto a los datos brutos, podrá sugerir la elección de un modelo funcional con baja capacidad en términos predictivos. Para evitar este error de elegir un modelo funcional con baja potencialidad para predecir los datos futuros a corto, medio y largo plazo, se necesita de una técnica más eficaz para elegir el modelo funcional. En este caso particular, se podrían estudiar las variaciones de los datos reales y compararlas con las variaciones de los datos aproximados: : Comparación de los modelos funcionales y y respecto a la variación de los datos. comparando el ajuste y predicción de Fácilmente se verifica que los resultados obtenidos con esta técnica son semejantes a los obtenidos anteriormente, pero con un agravamiento de los errores (ver Tabla 12). Tomando en consideración la tecnología inherente al Teorema del Valor Medio de Lagrange, que indica que: Es posible aproximar la función TVM real discreta por una función continua designada por función derivada. Se puede elegir el modelo cuya derivada es la que mejor se ajusta a la TVM real discreta. Lo que significa que se podría “perfeccionar” la técnica anterior añadiéndole herramientas del CDE que permitiesen efectuar una mejor comparación de la variación de los modelos funcionales: 56 Si es necesario, podrá ser cedido un tutorial a los grupos de estudiantes para auxiliar en la construcción de las tablas, en la fórmula del error absoluto y del promedio. 57 Los estudiantes van a recibir la base de datos completa para calcular los errores de predicción de cada modelo. 222 : Comparación de los modelos funcionales y respecto a la variación de los datos58. y comparando el ajuste y predicción de O ampliar la técnica anterior al utilizar la siguiente: : Comparación de los modelos funcionales y comparando el ajuste y predicción de y respecto a la variación relativa de los datos. Es posible aproximar la función TVMR real discreta por una función continua designada por función derivada “partida” por la propia función. : Comparación de los modelos funcionales y comparando el ajuste y predicción de y respecto a la variación relativa de los datos. Datos Discretos Continuos brutos reales brutos aproximados TVM reales TVM aproximados TVM reales M’aproximados TVMR reales TVMR aproximados Técnicas TVMR reales aproximados Tabla 11 – Descripción de las diferentes técnicas utilizadas Los resultados obtenidos por la aplicación de las diferentes técnicas de comparación de los errores de ajuste y de predicción de los modelos fueron los siguientes: Errores de: ajuste predicción Modelo funcional 3 años 6 años 12 años 0 0 0.31 0 1.76 0.55 11.37 155.87 Pol. grado 3 ( ) 0.03 0.06 0.34 0.36 1.58 5.67 21.49 100.84 Pol. grado 2 ( ) 0.17 0.33 0.33 1.7 1.75 0.65 1.01 4.89 Pol. grado 1 ( ) 0.22 0.33 0.33 0.73 0.73 1.96 2.5 2.81 Logístico 0.1 0.2 0.45 1.26 1.63 4.79 5.11 5.78 Exponencial 0.17 0.3 0.29 1.45 1.45 0.81 4.89 87.59 0 0 0.42 0 1.94 21.77 69.72 640.12 Pol. interp. grado 4 ( Compuesto sin interp. ) Tabla 12 – Errores medios de ajuste y de predicción de los diferentes modelos resultantes del uso de las técnicas descritas. 58 Esta técnica, útil para funciones suficientemente regulares (infinitamente derivables), ya había sido utilizada por Lidia Serrano en su tesis doctoral para comparar y elegir modelos funcionales que aproximaban datos discretos (Serrano, 2013). 223 Cuestionamiento tecnológico Comparación de las técnicas para elegir uno de los modelos resultantes de las regresiones exploratorias sobre los datos brutos: Respuesta pretendida: Respuesta de la técnica: Técnica modelos por mejor capacidad de ajuste modelos por mejor capacidad predictiva (a largo plazo) Tabla 13 – Ordenación decreciente de los modelos según su capacidad de ajuste y predictiva. La técnica es una mala técnica porque, según el ajuste, nos conduciría a elegir modelos ( o ) con una débil capacidad predictiva. Sin embargo, esta técnica tomaría el modelo con mejor capacidad predictiva a largo plazo ( ) en su última opción una vez que, ésta lo considera el menos ajustable a los datos discretos. Los resultados de la técnica fueron semejantes a los obtenidos con la técnica pero, con un agravamiento de los errores absolutos (lo que sería de esperar pues calculamos “errores sobre errores”, variación de los errores). La técnica permite elegir un modelo ( ) con una capacidad predictiva a medio y largo plazo mejor que los elegidos por las técnicas y . Sin embargo, no permite descartar por completo los modelos . Los resultados de la técnica fueron semejantes a los obtenidos con las técnicas y pero, con un acentuado agravamiento de los errores absolutos. Hasta el momento, esta fue la técnica que nos conduce a mayores errores. Podremos considerar la técnica como la mejor de todas las técnicas testadas para este conjunto de datos una vez que esta técnica permite elegir el mejor de todos los modelos en términos de predicción a largo plazo ( ) y, además, esta técnica , permite descartar por completo la elección de los modelos debido a sus elevados errores de ajuste. De este modo surgen nuevas cuestiones problemáticas: ¿Se podría justificar la importancia de la función derivada (herramienta del CDE) en la elección del mejor modelo funcional? ¿Para este conjunto de datos particular, al asociar a la influencia de la función derivada en la comparación de modelos su variación relativa, la elección del modelo podría volverse sorprendente? Interpretación de los modelos en el sistema El modelo que resulta de la composición de las varias regresiones (excluyendo el polinomio interpolador), aparentemente parecía perfecto ajustando bastante bien los datos discretos, pero ha resultado ser un mal predictor tanto a corto como a medio o a largo plazo, debido a la presencia de una asíntota vertical de su gráfica en 224 Elección de un modelo que caracterice mejor el sistema Así, eligiendo el modelo como lo más adecuado a los datos discretos en términos de predicción a largo plazo, podríamos tomarlo como modelo algebraico-funcional continuo ya construido, después introducir parámetros (trasladando el estudio a niveles superiores de MF) e interpretarlos en términos del sistema, trabajar dentro del modelo continuo para responder a las cuestiones problemáticas iniciales con el auxilio de las herramientas del CDE, y así proseguir de modo análogo a los RMs descritos anteriormente por el 3.º y 4.º estadio de MF, formulando nuevas cuestiones problemáticas y reiniciando nuevos procesos de MF. Sin embargo, se podría “poner en tela de juicio” los resultados obtenidos con la técnica (no elegir el modelo , y tomar un camino distinto por el recorrido matemático RM5, que no es más que el resultado de una ampliación del RM4 al partir de datos discretos variacionales en vez de partir de datos discretos brutos. 2.5. Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos variacionales - RM5 De manera análoga al RM1, este recorrido se inicia construyendo diferentes tipos de modelos numéricos y gráficos, tanto de datos «brutos» como de la tasa de variación media (TVM) como de la tasa de variación media relativa (TVMR) construidas a partir de los datos brutos. Llamaremos a estos últimos modelos tabulares variacionales. Como habitualmente estos datos variacionales se comportan mejor que los brutos y son más sencillos de trabajar, en lugar de aplicar regresiones sobre los datos brutos para aproximar directamente el modelo funcional, se aplicarán de forma exploratoria diferentes tipos de regresiones sobre los datos de variación (TVM o TVMR) para construir posibles modelos diferenciales continuos «aproximados» (polinómicos, exponenciales, logarítmicos, logísticos, etc.). Podemos aplicar las técnicas clásicas para comparar el ajuste y la capacidad predictiva de los diferentes modelos funcionales aproximados construidos. Esta comparación permitirá elegir el tipo de modelo diferencial que mejor aproxima la variación del sistema (la familia de funciones más adecuada) y así escribir el modelo algebraico-diferencial mediante una ecuación diferencial. La resolución59 de dicha ecuación mediante técnicas sencillas de integración nos conducirá a la construcción del modelo algebraico-funcional continuo «aproximado». El trabajo dentro del modelo 59 En el caso en que la resolución de la ecuación diferencial no sea sencilla, se podrá pensar en discretizar el modelo algebraico-diferencial continuo “elegido” y utilizar técnicas numéricas para encontrar una solución aproximada. Sin embargo, dado el ámbito institucional de esta memoria, no desarrollaremos este caso. 225 construido y su interpretación es desarrollado en el tercer y cuarto estadio de MF de modo análogo al descrito en los RM anteriores. Podemos considerar dos sub-recorridos matemáticos del tipo RM5: el que parte de datos variacionales (TVM) que denominaremos RM5,1. y el que parte de datos variacionales relativos (TVMR) que designaremos mediante RM5.2. Presentamos a continuación el desarrollo detallado de un ejemplo que recubre ambos sub-recorridos. Figura 22 – Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos variacionales - RM5 Ejemplo: Propagación de los efectos genéticos del accidente de Chernóbil El sistema de partida es el siguiente: La propagación de los efectos genéticos y la repercusión en diferentes generaciones posteriores al accidente de Chernóbil, tomando estudios realizados con muestras a partir de recogidas de material biológico de la población, atestigua que han estado en la base de la previsión de la inducción de daños genéticos relevantes en una parte de la población de una determinada especie animal con ciclo de vida anual. Sabemos que el impacto en la primera generación después del accidente fue de 179, en la segunda de 438, y así sucesivamente de acuerdo con la siguiente tabla: Tabla 14 – Incidencia de daños genéticos en las generaciones futuras de una población por año. 226 1.º Estadio de MF Cuestión generatriz del RM5: Q5: ¿Cómo prever la evolución de los efectos genéticos del accidente de Chernóbil en las generaciones futuras? 2.º Estadio de MF Partiendo de un conjunto de datos discretos representados gráficamente o en una tabla de valores se puede empezar a indagar si los datos presentan un comportamiento similar al de un modelo lineal, cuadrático, cúbico, exponencial, logarítmico, racional, trigonométrico o de otro tipo elemental. ¿Qué tipos de modelos funcionales podrían caracterizar este sistema? Construcción del modelo algebraico-funcional «aproximado» continuo (del RM4) Dada la dificultad en relacionar directamente la variación de los datos a un tipo de variación elemental, en una tentativa de buscar una respuesta provisional para la cuestión Q51, se podrá recurrir a técnicas automáticas de regresión60 sobre los datos discretos brutos (siguiendo el RM4 descrito en la sección anterior) para construir modelos funcionales continuos que permitan describir el sistema (Figura 23). ¿De entre los modelos obtenidos, cómo elegir el que mejor se ajusta a los datos? ¿Qué técnicas se pueden utilizar para comparar los modelos? : Resultante de la utilización de la siguiente técnica: Calcular los errores de ajuste (la media de las Figura 23 - Regresiones sobre datos brutos distancias entre las imágenes reales y las imágenes aproximadas por el modelo) Una vez que los estudiantes han trabajado en el problema del ajuste, se amplía la problemática introduciendo el problema de la capacidad predictiva del modelo. Sabiendo que en los tres años posteriores (10, 11 y 12) la incidencia fue prácticamente nula, construir un modelo funcional que permita describir la evolución temporal de la incidencia de los daños genéticos, que presente el mejor ajuste posible a los datos de la Tabla 13 y, a la vez, que tenga la mayor capacidad predictiva a tres años. ¿De entre los modelos presentados, cómo elegir el que tiene una mayor capacidad predictiva a 3 años? ¿Qué técnica se puede utilizar para elegir dicho modelo? Se podrían comparar los modelos funcionales utilizando la siguiente técnica: Calcular los errores de predicción a 3 años (la media de las distancias entre las imágenes reales no utilizadas en la construcción del modelo y las imágenes previstas por el modelo) Los resultados se resumen en la siguiente tabla: 60 Se experimentaron también regresiones no polinómicas, pero se ha verificado que el ajuste y la predicción eran peores. 227 Modelo funcional pol. grado 3 pol. grado 4 ) pol. grado 5 ) pol. grado 6 ) pol. grado 7 ) pol. grado 8 ) pol. grado 9 ) Error de ajuste 244.29 132.65 90.8 88.03 17.56 15.6 0 Media de errores de predicción a 3 años 2053.92 9316.42 17911.62 33076.28 121678.42 179160.52 360706.00 Tabla 15 – Resultados de la utilización de las técnicas y Se puede observar que, en este caso, los errores de ajuste varían de forma inversa a los errores de predicción. Cuanto mayor es el grado del polinomio, mejor se ajusta el modelo a los datos, pero disminuye su capacidad predictiva a 3 años. Se podría elegir el modelo (Figura 24) que presenta valores de errores de ajuste y de predicción intermedios. Figura 24 – Modelo elegido Una vez construido el modelo funcional (segundo estadio del proceso de modelización matemática) se podría proseguir trabajando dentro del modelo e interpretando los resultados en términos del sistema (tercer estadio): 3.º Estadio de MF Q’5: Con la finalidad de gestionar el impacto de los efectos genéticos en accidentes semejantes que podrán ocurrir en el futuro, ¿cómo podremos estudiar la variación de la incidencia de daños genéticos en las generaciones futuras de una población a lo largo del tiempo? Q’51: ¿Cómo estudiar la variación de la incidencia de daños genéticos en las generaciones futuras de una población dada por el modelo funcional en el que representa el número de años después del accidente? Algunas de las cuestiones derivadas de Q21 que pueden responderse en este primer nivel de modelización funcional (en el sentido de Ruiz-Munzón, 2010) son las siguientes: Q’511: ¿Se puede afirmar que la incidencia de daños genéticos aumenta siempre con el tiempo? Q’512: ¿Cómo varía dicha incidencia a largo plazo? Q’513: ¿Cuánto tiempo después del accidente se alcanza la incidencia máxima? Q’514: ¿En qué momentos el decrecimiento de la incidencia es más rápido? Las posibles respuestas R’511 y R’512 conducen a creer que la incidencia de los efectos genéticos va a tender hacia o hacia si se toma cualquiera de los modelos polinómicos considerados. Sin embargo, la interpretación de estos resultados en el sistema conduce a concluir que este modelo no predice adecuadamente los datos de los años siguientes (10, 11 y 12) puesto que se sabe que en eses años la incidencia fue prácticamente nula, lo que sugiere que su modelo gráfico-funcional debería ser asintótico al eje de las abscisas y que jamás la incidencia podría tomar valores negativos. 228 2.º Estadio de MF Dado que, en muchas ocasiones, los datos variacionales se comportan mejor que los datos brutos, se pueden construir modelos numéricos y gráficos de la tasa de variación media (TVM) y de la relativa (TVMR) al calcular sus respectivos valores en Tabla 16 – Ejemplo de modelo numérico variacional Construcción del modelo algebraico-funcional «aproximado» continuo a partir del modelo variacional discreto En lugar de aplicar regresiones sobre los datos brutos para aproximar directamente el modelo funcional, se aplicarán de forma exploratoria diferentes tipos de regresiones sobre los datos de variación (TVM y TVMR) para construir posibles modelos diferenciales continuos «aproximados». Regresiones sobre los datos variacionales (TVM) Regresiones sobre los datos variacionales relativos (TVMR) Construcción del modelo mediante la técnica Vamos aproximar esta ecuación en diferencias finitas mediante una ecuación diferencial: Vamos aproximar esta ecuación en diferencias finitas mediante una ecuación diferencial: Al resolver esta ecuación surge la solución general: , Tabla 17 –Técnicas de aproximación de una ecuación en diferencias finitas mediante una ecuación diferencial 229 Así, a partir de la Tabla 16, se podría construir el modelo gráfico variacional discreto, experimentar diferentes tipos de regresiones sobre los datos variacionales, elegir las funciones aproximadas más adecuadas, aproximar la ecuación en diferencias finitas por una ecuación diferencial y, por integración de esta última, construir posibles modelos funcionales para caracterizar el sistema. Estos modelos vendrán dados mediante una familia de funciones que depende de un parámetro, por lo que se sitúan en el segundo nivel de MF (en el sentido de RuizMunzón (2010)). Ajustando el parámetro resultante de la integración se obtiene un modelo funcional que viene dado por una función concreta como se muestra en la fila de los “Modelos elegidos” de la siguiente tabla: Datos TVM Mejor solución de la ec. diferencial para cada familia Varias regresiones sobre los datos brutos ------------ 230 TVMR Modelo elegido61 Tabla 18 – Construcción, comparación y elección de los «mejores» modelos funcionales continuos. La elección de estos dos últimos modelos resulta de la comparación de los errores de ajuste y de predicción de los diferentes modelos funcionales resultantes de la aplicación de las técnicas y descritas en la Tabla 17. Esos errores son presentados en la siguiente tabla: Datos TVM ) TVMR ) Error de ajuste Modelo funcional Integral del pol. grado 4 Integral del pol. grado 5 Integral del pol. grado 6 Integral del pol. grado 7 Integral del pol. grado 8 ) Exponencial del integral del pol. grado 3 Exponencial del integral del pol. grado 4 Exponencial del integral del pol. grado 5 Exponencial del integral del pol. grado 6 Exponencial del integral del pol. grado 8 Exponencial del integral del pol. grado 7 ) ) ) ) ) Media de errores de predicción 3 años62 395.89 467.97 728.52 836.11 257.69 31792.69 58488.18 221800.06 340117.81 869213.26 187,18 203.32 183.38 137.88 0.57 148.04 0 0.61 0 Tabla 19 – Comparación de los modelos según la capacidad de ajuste y la capacidad predictiva. Con relación a los datos de la TVM, se observa una pequeña diferencia de los errores de ajuste comparada con la elevada diferencia de los errores de predicción a 3 años, y además la tendencia decreciente del conjunto de datos discretos. Por tanto, consideramos más adecuado elegir el modelo funcional que resulta de integrar de un modelo polinómico de grado 4, int_a, (presentado en la Tabla 18). De modo análogo a los modelos obtenidos mediante regresiones sobre los datos brutos, cualquiera de los modelos resultantes de la aplicación de esta técnica es 61 62 Modelo más ajustado y con mejor capacidad predictiva. Utilizando el conocimiento de que en los años 10, 11, 12 la incidencia fue prácticamente nula. 231 polinómico y, por tanto, predice que la incidencia de los efectos genéticos va a tender hacia o hacia Así, una vez más, surge la necesidad de buscar nuevas técnicas para construir el modelo funcional y las buscaremos entre las que se obtienen a partir de un pequeño desarrollo de las técnicas anteriores. Dados los elevados órdenes de magnitud de los errores de predicción, postulamos que podría evitarse este problema mediante la técnica de aplicación de regresiones exploratorias sobre los datos variacionales relativos, esto es, los valores de la TVMR. Una vez utilizadas las tres técnicas (regresión sobre datos brutos, sobre TVM y sobre TVMR) nos planteamos la siguiente cuestión tecnológica (relativa a la comparación entre las técnicas): CT: Para modelizar este sistema (representado por cierto conjunto de datos discretos), ¿cuál es la mejor técnica para construir modelos funcionales?, ¿es preferible hacer regresiones sobre los datos brutos o sobre los datos variacionales? Se sigue una posible respuesta a la cuestión: RCT: Al comparar los últimos 3 modelos de la Tabla 18 (los elegidos por cada una de las técnicas) se podrá elegir el mejor modelo en términos de tendencia. El modelo que presenta una mejor capacidad predictiva de la tendencia de los datos futuros es el obtenido mediante regresiones sobre datos de la TVMR, pues por ser un modelo exponencial indica que la incidencia del impacto de los efectos genéticos van a tender hacia cero, o sea, tiende a desaparecer con el paso del tiempo. Además, al contrario de los otros 2 modelos, este modelo también refleja bien lo que sucede en un instante próximo al instante inicial (incidencia próxima de cero). Se indaga si será posible generalizar el resultado anterior al formular las siguientes cuestiones tecnológicas: CT’: Para modelizar un sistema cualquiera (representado por cierto conjunto de datos discretos), ¿cuál es la técnica que permite construir el modelo con mejor capacidad predictiva? ¿Cuál de las técnicas permite construir el modelo que mejor ajusta a los datos? ¿Cómo decidir cuál es la técnica más adecuada para construir un modelo funcional de un sistema cuya naturaleza es desconocida? ¿Existe alguna relación entre la capacidad de ajuste y la capacidad de predicción de un modelo funcional? RCT’: En algunos casos basta estudiar la variación absoluta y proceder a la integración pero, en determinados sistemas se siente la necesidad de estudiar las variaciones relativas para reducir los errores provenientes de la diferencia entre las órdenes de magnitud de los datos brutos reales que, en la mayoría de ocasiones, no se comportan muy bien y, por lo tanto, son difíciles de ajustar por un único modelo continuo. En particular, en este estudio, observamos que, en términos predictivos, la tercera técnica (regresión sobre los datos de la TVMR) ha proporcionado mejores resultados que los obtenidos al utilizar las dos técnicas anteriores (regresión sobre los datos brutos y regresión sobre la TVM). Este argumento se basa en que fue posible construir un modelo funcional cuya media de los errores de predicción era bastante inferior a la de los modelos encontrados anteriormente. 3.º Estadio de MF Al tomar el modelo algebraico funcional construido se podría estudiar una nueva versión de la cuestión Q51 y sus cuestiones derivadas (situándonos, de nuevo, en el tercer estadio del proceso de modelización funcional): Q’’51: ¿Cómo estudiar la variación de la incidencia de daños genéticos en las generaciones futuras de una población dada por el modelo funcional , en los que representa el número de años después del accidente? 232 Q’’511: ¿Se puede afirmar que la incidencia de daños genéticos aumenta siempre con el tiempo? Q’’512: ¿Cómo varía dicha incidencia a largo plazo? Q’’513: ¿Cuánto tiempo después del accidente se alcanza la incidencia máxima? Q’’514: ¿En qué momentos el decrecimiento de la incidencia es más rápido? R’’511: Para responder a la cuestión Q’’511 se pueden utilizar herramientas del CDE para a partir del estudio del signo de la derivada estudiar la monotonía del modelo funcional. Así, se puede descubrir que la incidencia no aumenta siempre con el tiempo por el hecho de existir por lo menos un intervalo de tiempo para el cual la función derivada es negativa (por ejemplo, . R’’512: Se podrá utilizar diferentes técnicas y comparar los resultados de su aplicación: : Técnica gráfica automática Para estudiar la variación de la incidencia a largo plazo, se podrá observar el modelo gráfico construido con el GeoGebra y deducir que la incidencia va a tender a cero, o sea, que los efectos genéticos del accidente tienden a atenuarse con el pasar de los años. Al . interpretar este resultado en términos del Figura 25 – Modelo gráfico- funcional sistema, se puede postular que es un resultado coherente con lo que se sabe que pasó en la realidad. : Técnica analítica manual Sin embargo, como a veces la definición de la “pantalla” del gráfico nos puede conducir a resultados incorrectos y a las consiguientes interpretaciones absurdas de dichos resultados en términos del sistema, se aconseja confirmar esta conjetura analíticamente calculando . Para ello, se recorre al modelo algebraico funcional construido: Cuando se comparan los resultados de la aplicación de las técnicas (analítica) para responder a la cuestión Q’’512 surge una contradicción: (gráfica) y CT’’:¿Por qué los resultados son incoherentes? En particular, ¿por qué el resultado obtenido con la técnica es absurdo cuando se interpreta en términos del sistema? Para responder a esta cuestión se propone observar el resultado de la aplicación de una tercera técnica automática mediante la hoja de cálculo algebraico simbólico (CAS) del GeoGebra: : Técnica analítica automática Figura 26 – Determinación algebraica del límite del modelo funcional con el GeoGebra. : Una hipótesis para esta incongruencia puede pasar por el hecho de que en el proceso de construcción del modelo algebraico funcional continuo, el programa GeoGebra utiliza valores 233 aproximados para los coeficientes de los polinomios resultantes de las regresiones sobre los datos discretos, en particular, en la construcción del modelo ha aproximado el coeficiente del término de mayor grado del polinomio por cero cuando éste deberá ser un numero negativo muy próximo de cero. Así, el trabajo analítico del modelo algebraico continuo «aproximado» (por el GeoGebra o por una calculadora gráfica) nos podrá conducir a resultados incorrectos. Esta hipótesis se confirma al cambiar las definiciones del GeoGebra a fin de solicitar la determinación de los coeficientes del polinomio con 5 decimales en lugar de 2 decimales: Esta limitación de las TIC y, en particular, de la construcción de modelos funcionales «aproximados» a partir de datos discretos, subraya la importancia y la necesidad de interpretar en términos del sistema modelizado los resultados del trabajo dentro del modelo. Utilizando una vez más herramientas del CDE, en particular, la técnica de determinación del cero de la función derivada, se puede verificar que al final de años después del accidente de Chernóbil se alcanza el valor máximo de la incidencia de daños genéticos. Figura 27 – Modelo gráfico funcional y modelos gráficos diferenciales y . El decrecimiento de la incidencia es más rápido cuando la función derivada alcanza el valor más negativo (mínimo de ’ y cero de ’’), o sea, al final de aproximadamente 8,37 años. Así, al interpretar los resultados del trabajo llevado a cabo en este nuevo modelo sería posible verificar que el modelo funcional exponencial describe mucho mejor el sistema inicial en el sentido de permitir extraer informaciones válidas sobre el mismo. Por otro lado, también se podría trabajar directamente en el tercer estadio del proceso de modelización funcional con la familia de funciones exponenciales obtenidas al integrar la ecuación diferencial construida para aproximar la ecuación en diferencias finitas: Nos situamos así en el segundo nivel de MF (en el sentido de Ruíz-Munzón (2010)) y podemos estudiar la influencia del valor del parámetro k en la evolución del sistema. Q’’’51: ¿Cómo estudiar la variación de la incidencia de daños genéticos en las generaciones futuras de una población dada por la familia de modelos funcionales en los que la variable representa el número de años después del accidente? Q’’’511: ¿Que valores puede tomar el parámetro ? Q’’’512: ¿Cómo varía dicha incidencia a largo plazo? Q’’’513: ¿Cuánto tiempo después del accidente se alcanza la incidencia máxima? Q’’’514: ¿Cuál es el efecto del cambio de parámetro en la forma del modelo grafico funcional? Q’’’515: ¿Cómo puede interpretarse dicho parámetro en términos del sistema? Vamos ver algunas respuestas posibles para estas cuestiones: 234 R’’’511: De acuerdo con la caracterización del sistema inicial, tiene sentido que los valores de incidencia de daños genéticos en las generaciones futuras de una población sean siempre valores positivos. Para ello el parámetro deberá tomar únicamente valores mayores que cero. Figura 28 – Estudio de la validez del modelo funcional parámetro . a partir de hipótesis sobre el signo del R’’’512: Análogamente al trabajo del modelo en el primer nivel de MF, se podrá responder a la cuestión comparando los resultados de la aplicación de las técnicas (gráfica) y (analítica) para estudiar la variación de la incidencia a largo plazo. Así, se podrá: Observar en los diferentes modelos gráficos (Figura 29) que la incidencia va a tender para cero independientemente del valor del parámetro considerado, lo que interpretado en términos del sistema es coherente con lo que se prevé que pasará en la realidad; Calcular el recorriendo al modelo algebraico funcional resultante de la interpretación de su trabajo en términos del sistema: Se concluye que el valor del parámetro modelo funcional. no tiene ninguna influencia en el valor del límite del R’’’513: De acuerdo con la Figura 29, independientemente del valor del parámetro el momento en que se alcanza la incidencia máxima es siempre el mismo e igual a 7,75 años aproximadamente después del accidente de Chernóbil (propiedad invariante de la familia de modelos funcionales). Tal valor puede ser confirmado con la determinación del momento en el cual cada una de las funciones derivadas se anula, o sea, utilizando herramientas del CDE para estudiar familias de funciones. R’’’514: El parámetro influye sobre el número máximo de daños y la forma como estos daños evolucionan, pero no influye sobre el número de daños genéticos que van a ser detectados a largo plazo: 235 Figura 29 – Estudio de la influencia del cambio del parámetro en la evolución del modelo funcional . R’’’515: El parámetro representa, en términos del sistema, el valor de la incidencia inicial, o sea, el número de daños genéticos detectados en el momento en que ha ocurrido el accidente de Chernóbil. Así, para cada modelo funcional se tiene un valor inicial diferente de incidencia, como se muestra en la figura siguiente: Figura 30 – Estudio de la influencia del cambio del parámetro 236 en el valor de la incidencia inicial. 4.º Estadio de MF Como observamos anteriormente, el coeficiente del termino de mayor grado del polinomio también parece tener un papel importante dentro del modelo funcional . Así, se podrá ampliar la situación problemática para estudiar su influencia. Para ello surge la necesidad de introducir una nueva variable ( ) para representar el referido coeficiente cuyo estudio llevará a la formulación de nuevas hipótesis y, consecuentemente, al inicio de un nuevo proceso de modelización funcional. 1.º, 2.º y 3.º Estadio de MF Nos situamos así en el tercer nivel de MF (en el sentido de Ruíz-Munzón (2010)) y podemos estudiar la influencia del valor de los parámetros y en la evolución del sistema. Q’’’’51: ¿Cómo estudiar la variación de la incidencia de daños genéticos en las generaciones futuras de una población dada por la familia de modelos funcionales con una variable y con 2 parámetros o con dos variables y un parámetro en los que representa el número de años después del accidente? Q’’’’511: ¿Que valores puede tomar el parámetro ? ¿Y el parámetro (o variable) ? Q’’’’512: ¿Cómo varía dicha incidencia a largo plazo? Q’’’’513: ¿Cuánto tiempo después del accidente se alcanza la incidencia máxima? Q’’’’514: ¿Cuál es el efecto del cambio de los parámetros y en la forma del modelo grafico funcional? Q’’’’515: ¿Cómo puede interpretarse dichos parámetros en términos del sistema? Estas cuestiones nos conducirían al estudio de funciones con varias variables, pero dado que este estudio no forma parte del ámbito institucional de este trabajo, no trataremos aquí las posibles respuestas a estas cuestiones. Hay que subrayar que, dependiendo del tipo de datos de los que se disponga, se pueden construir recorridos que conducen a la construcción de modelos algebraico-funcionales continuos «exactos» o a la construcción de modelos algebraico-funcionales continuos «aproximados». De hecho, podremos conjeturar que cuando se parte de datos continuos (de una relación entre las variables o de una ecuación diferencial), el modelo funcional construido será siempre «exacto» y cuando se parte de datos discretos (una tabla de valores o gráfico de puntos), el modelo funcional continuo construido podrá ser «exacto» o «aproximado». En cualquier caso, el carácter de modelo «exacto» o «aproximado» es fruto de un convenio o, mejor, de la aceptación provisional de una hipótesis sobre las relaciones entre las variables que caracterizan el sistema (salvo en algunos casos en que el sistema es “estrictamente” matemático). 237 Por ejemplo, un modelo polinómico de grado 3 podrá ser construido algebraicamente y de forma exacta a partir de datos discretos cuyas segundas diferencias son constantes por el Método de los Coeficientes Indeterminados pero, cuando se trata de construir un modelo aproximadamente logístico, las técnicas con lápiz y papel son poco económicas y, es por ello, que sugerimos, en primera instancia, las técnicas de regresión sobre los datos discretos que conducirán a la construcción de un modelo «aproximado». 3. Esbozo de un análisis ecológico a priori El análisis ecológico a priori, que utilizaremos como instrumento para diseñar los REI (ver capítulo V), debe indagar las condiciones necesarias a priori para poner en marcha procesos de estudio, en forma de REI, sustentados sobre el MER que articula el CDE y la MF. En particular, analizaremos algunas de las restricciones que previsiblemente dificultarán el desarrollo normalizado de dichos procesos de estudio. Consideraremos, en primer lugar, las restricciones generales que dificultan la vida de cualquier tipo de modelización matemática en las instituciones escolares y, en nuestro caso, las que surgen en el paso de Secundaria a la Universidad. Los trabajos de Barquero (2009) y Serrano (2013), tal como hemos indicado en el capítulo I, estudiaron este problema y pusieron de manifiesto dos grandes grupos de restricciones. El primer grupo contiene las restricciones que provienen del modelo epistemológico de las matemáticas imperante en las instituciones escolares que, siguiendo la nomenclatura de Lakatos (1976), podemos denominar «euclideanismo» y que comporta una forma muy simplista de considerar la relación entre las matemáticas y el resto de las ciencias experimentales. Por su parte, las restricciones del segundo grupo tienen su origen en el modelo pedagógico predominante. Por lo que respecta a las primeras, digamos que los programas de las matemáticas que se proponen para ser enseñadas siguen estrictamente la lógica interna de las matemáticas sin mezclarse con los sistemas a los que, potencialmente, se «aplicarán» sólo posteriormente. El euclideanismo propone una estructura de la matemática que elimina las cuestiones generadoras de la actividad matemática por lo que dificulta enormemente el trabajo de construcción de modelos para dar respuesta a cuestiones problemáticas que surgen en el ámbito de un sistema (matemático o extramatemático). 238 En definitiva, y en la medida que el euclideanismo (y el correspondiente aplicacionismo) sigue vigente en las instituciones escolares, se desvirtúa y trivializa la actividad de modelización puesto que queda reducida a la simple ejemplificación puntual y anecdótica de ciertos modelos preestablecidos (Barquero, Bosch & Gascón, 2014). Las restricciones generales del segundo grupo provienen de la ideología pedagógica dominante que está muy relacionada con el «monumentalismo» (Chevallard, 2013) porque parte siempre de un contenido fijado de antemano al que se propone que los estudiantes «visiten» como si se tratara de un monumento. Este monumentalismo dificulta enormemente un cambio en las cláusulas del contrato didáctico tradicional para hacer posible que los alumnos compartan algunas de las responsabilidades asignadas en exclusiva al profesor. Esta asunción de nuevas responsabilidades por parte de los alumnos (como, por ejemplo, elegir los objetivos del estudio, proponer medios para llevarlo a cabo, hacerse responsables de sus propias respuestas, discutir las respuestas parciales que surgen en la comunidad de estudio, etc.) es imprescindible para desarrollar de forma cooperativa una actividad de modelización. La ideología pedagógica dominante tiene, asimismo, un fuerte carácter «generalista» y «proteccionista» que se caracteriza por separar el contenido de la enseñanza de la forma de organizar su estudio y por intentar proteger a los alumnos de aquellos aspectos disciplinares que por su especial exigencia dificultan, presuntamente, la vida escolar de los alumnos. En base a este principio proteccionista se ha desarrollado una tendencia pedagógica a atomizar la matemática enseñada y a eliminar el trabajo sistemático y a largo plazo. Dado que éstos son rasgos esenciales de la actividad de modelización matemática, es obvio que el «generalismo pedagógico» (Gascón & Bosch, 2007) obstruye su desarrollo. Más allá de estas restricciones generales que inciden sobre la vida de todo tipo de modelización matemática en las instituciones escolares, hemos de tener en cuenta las que se originan en la manera particular como está organizada la práctica matemática escolar en torno al CDE y la MF. Entre las condiciones específicas que deberían satisfacerse para posibilitar la implementación en un primer curso universitario de recorridos de estudio e investigación (REI) sustentados en el MER que articula el CDE y la MF, citaremos algunas que tienen su origen en la organización matemática escolar. Se trata de condiciones muy difícilmente modificables tanto desde la posición de 239 alumno como desde la posición de profesor por lo que debemos considerarlas como restricciones en relación a dichas posiciones institucionales. Postulamos, y este es un punto central, que la redefinición que propone nuestro MER de la MF y el papel que asigna al CDE en dicho ámbito constituyen un instrumento esencial para instaurar algunas de las condiciones necesarias para un desarrollo normal de la actividad de MF (en el paso de Secundaria a la Universidad). En lo que sigue describimos brevemente algunas de estas condiciones específicas del ámbito de la actividad matemática que estamos tomando en consideración: a) En la práctica matemática escolar se estudian diferentes tipos de funciones y se suele tomar la representación gráfica de las mismas como uno de los objetivos del estudio. Por el contrario, para que la MF viva con normalidad en la matemática escolar se requiere que el estudio de las funciones y su eventual representación gráfica se tomen como instrumentos para modelizar un sistema y responder a ciertas cuestiones problemáticas emergentes en el mismo. Éste es, por tanto, uno de los cambios que debe proporcionar el MER, convertir el estudio de las funciones de un objetivo en sí mismo a un instrumento para el estudio de ciertos sistemas. b) La mayor parte de las tareas matemáticas escolares (especialmente en Secundaria) conducen, como resultado de la actividad, a la determinación de un número, una cantidad de magnitud o una figura. Sin embargo, la actividad de MF requiere de manera esencial que se puedan plantear cuestiones y problemas cuya respuesta sea una función e, incluso, una familia de funciones. En consecuencia, el MER debe sustentar procesos de estudio cuya incógnita sea necesariamente una familia de funciones. c) En la matemática escolar predomina la interpretación «geométrica» de la derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta tangente y la interpretación «física» de la función derivada como el límite del cociente incremental. Dado que en las actividades de MF en las que interviene la derivada ésta debe considerarse como la variación de su primitiva (con todas las consecuencias que esto comporta) las interpretaciones habituales de la derivada constituyen una restricción al desarrollo de la MF en el ámbito escolar. La razón de ser alternativa que el MER asigna a la derivada deberá por tanto centrarse en 240 el hecho que la derivada es un instrumento esencial para estudiar la variación de una función. d) El hecho de que f’ no se interprete sistemáticamente como la variación de f, hace que la interpretación de f’’ como la variación de f’ y, por lo tanto, como el ritmo de variación de f, esté prácticamente ausente en la matemática escolar. Esta limitación dificulta, incluso, la interpretación contextualizada de los puntos de inflexión de la gráfica de una función. De nuevo, el MER debe potenciar el uso de la derivada segunda como instrumento más fino de interpretación de la variación de un sistema. e) Relacionada con las restricciones anteriores, en la matemática escolar se constatan grandes dificultades (como se pone de manifiesto en las investigaciones didácticas descritas en el capítulo II) para relacionar f y f’ o, en otras palabras, para interpretar (y para construir) una ecuación en la que figuren simultáneamente f y f’. Estas dificultades restringen claramente la vida escolar de la MF puesto que muchos de los modelos funcionales se construyen precisamente a partir de una ecuación diferencial. Incluso podemos suponer que la falta de visibilidad de algunos modelos funcionales de este tipo (ver sección 8.3 del capítulo III) puede estar relacionada con estas dificultades. El MER debe incluir la formulación de ecuaciones diferenciales (elementales) como un medio para construir modelos funcionales. Por último, podríamos citar otras restricciones a la vida normal de la MF provenientes de la ausencia, en la práctica matemática escolar, de muchas de las tareas que forman parte de la actividad de MF tal como ha sido caracterizada en el diagrama de actividad (sección 2 del capítulo III). Entre dichas tareas podemos citar: la delimitación o construcción del sistema a modelizar, la construcción de modelos tabulares con la tasa de variación media (TVM) o la tasa de variación media relativa (TVMR), la construcción de modelos discretos (exactos o aproximados), la construcción de un modelo funcional continuo como aproximación de un modelo discreto, la discretización de un modelo continuo, la comparación de diferentes modelos funcionales de un mismo sistema para elegir el más adecuado para un objetivo determinado y la generación de nuevas cuestiones y de nuevas hipótesis que requieran la introducción de nuevas variables y de un nuevo proceso de modelización para responder a dichas cuestiones. 241 En resumen, debemos diseñar recorridos de estudio e investigación (REI) que sean suficientemente abiertos y flexibles para permitir a los alumnos, al menos potencialmente, transitar entre los modelos discretos y los continuos, trabajar en todos los estadios de la modelización, comparar el ajuste y la capacidad predictiva de dos o más modelos de un mismo sistema y plantear nuevas cuestiones que requieran reconstruir el sistema y llevar a cabo un nuevo proceso de modelización. Como organizaciones didácticas, los REI facilitan a los alumnos un alto grado de autonomía y ponen a su disposición los medios necesarios para ejercerla (entre los cuales, destacamos las TICs) y todo con el objetivo de construir respuestas a cuestiones que, a su vez, también evolucionan a lo largo del proceso de estudio. 242 Capítulo V Diseño, experimentación y evaluación de recorridos de estudio e investigación en el ámbito de los estudios universitarios de Medicina Nuclear Después de describir con detalle las condiciones institucionales que se deben de tener en cuenta al llevar a cabo una experimentación de un proceso de estudio diseñado para la enseñanza del cálculo diferencial elemental en un primer curso de una Licenciatura de Medicina Nuclear de la enseñanza universitaria portuguesa, en este capítulo V, se describe la experimentación y la evaluación de algunos recorridos de estudio e investigación (REI) sustentados en los recorridos matemáticos a priori (RM) elaborados partiendo de datos concretos y descritos en el capítulo IV de esta memoria. En el desarrollo de estos recorridos matemáticos es necesario emplear técnicas matemáticas más o menos sofisticadas que, en muchos casos, sobrepasen los objetivos programáticos establecidos tanto en el último curso de la enseñanza secundaria como en el primer curso universitario de Medicina nuclear. Es por ello que algunas nociones tales como regresión, ecuación diferencial, aproximación, mejor modelo y modelo funcional que mejor aproxima una tabla de datos, así como algunos teoremas fundamentales del cálculo diferencial, como el teorema del valor medio o el teorema fundamental del cálculo integral, son introducidos y tratados de forma cuasi-intuitiva, sin profundizar ni justificar los fundamentos de las mismas, ya que no son en sí mismas objetivo de la formación del curso en el que se desarrollan. No debe perderse de vista de que, en este curso, se trata de visualizar la potencia del cálculo diferencial elemental y no tanto en mantener el rigor y justificar las técnicas. 243 1. Condiciones institucionales para la experimentación de los REI en Medicina Nuclear Antes de diseñar el proceso de estudio, estudiamos las condiciones necesarias para implementar, de modo experimental, en un primer curso de la Licenciatura de Medicina Nuclear de la enseñanza universitaria portuguesa, algunos posibles REI sustentados en los RM a priori diseñados a partir de datos concretos. En primer lugar fue analizado y discutido en detalle el programa oficial de la disciplina de Biomatemática con la profesora que había sido responsable en los años lectivos anteriores y también con los Coordinadores de las Áreas Técnico-Científicas de Biomatemática, Bioestadística y Bioinformática y de Medicina Nuclear, para saber sí sería posible un abordaje del estudio del CDE (diferencial e integral) en el ámbito de la modelización funcional. Tal propuesta didáctica a la primera vista les parecía difícil de concretar por ser muy diferente de la utilizada habitualmente en la enseñanza secundaria y universitaria de las matemáticas. Por otro lado, se cuestionaba si los estudiantes serían capaces de colaborar tan activamente como se pretendía en la propuesta didáctica y si sería posible cumplir el programa en el tiempo institucional estipulado (25 horas). Fue necesario convencer a los profesores/coordinadores de que, efectivamente, sería posible conseguir que los estudiantes viviesen los REI basados en problemas reales y construyesen sus conocimientos de forma relativamente autónoma. Esta manera de trabajar aumentaría sin duda su motivación e interés por estudiar las técnicas matemáticas y, además, permitiría que los estudiantes percibiesen la razón de ser de su estudio en el primer curso de Medicina Nuclear. Para poder llevar a cabo la experimentación de los REI fueron negociadas y aceptadas algunas condiciones impuestas por la institución: 1. Se deberían cubrir todos los objetivos del programa oficial en el tiempo previsto. 2. La experimentación debería englobar la evaluación final de los estudiantes (siendo negociables los tipos de instrumentos de evaluación y sus pesos). 244 3. Los criterios de evaluación deberían estar muy bien definidos al inicio de la experimentación y acordados con los estudiantes (para no dar lugar a posteriores reclamaciones). 4. Se debería clarificar el tipo de evaluación que tenían los estudiantes que ingresasen en el curso después del inicio de la experimentación. 5. Las cuestiones problemáticas generatrices de los REI deberían estar relacionadas con las dos grandes problemáticas abordadas en el área de la Medicina Nuclear. 6. Se debería elaborar un documento final que evaluase la experimentación. Así, estudiamos cada una de estas restricciones en la implementación del REI como condiciones particulares63 de esta institución: 1.1. Coordinación con los objetivos programáticos habituales La experimentación ha sido realizada en el ámbito de la segunda unidad curricular, UC02 – Ciências Biomédicas e das Radiações I, del primer año de la Licenciatura de Medicina Nuclear, que contempla el área de Biomatemática, Bioestatística y Bioinformática (BBB) con los siguientes objetivos programáticos habituales: 0. Biomatemática e Medicina Nuclear 1. Revisões de Conceitos 2. Derivadas para funções de uma variável 2.1 Derivada de uma função e diferenciabilidade 2.2 Derivadas de ordem superior 2.3 Regras de derivação 2.4 Teoremas sobre o valor médio 2.5 Aplicações sobre derivadas 3 Cálculo Integral 3.1 Primitivação e Integração 3.2 Métodos de Primitivação (Primitivas Imediatas; Método por Partes e por Substituição) 3.3 Integral definido 3.4 Propriedades do integral definido 3.5 Aplicações dos integrais Tabla 1: Programa oficial de BBB en Ciências Biomédicas e das Radiações I en el año lectivo 2013/2014 En el presente año lectivo, para hacer vivir una experiencia didáctica que incluyese y articulase actividades de modelización funcional y que, de ese modo, permitiese efectuar un estudio más rico y amplio del cálculo diferencial elemental, ha surgido la necesidad de introducir algunas nociones relacionadas con la modelización y cierto vocabulario poco habitual para los estudiantes como, por ejemplo, la utilización de los siguientes términos: caracterización de un sistema, elección de las variables, 63 Estas condiciones no son muy diferentes de las impuestas por otras instituciones escolares portuguesas, por lo que podrían ser generalizables a otras instituciones de la enseñanza secundaria o universitaria. 245 construcción de un modelo funcional (como la función que describe un sistema), cuestionamiento tecnológico (estudio de cuestiones relativas a características de las técnicas matemáticas como, por ejemplo, su economía, fiabilidad o dominio de validez), interpretación de los resultados en el contexto del sistema, ampliación de la actividad matemática, etc. Por otro lado, como parte de una Unidad Curricular que abarca diversas áreas, se pensó que la Biomatemática, Bioestatística y Bioinformática debería articularse con las restantes. Para intentar estudiar una posible forma de hacer esta coordinación se procedió a un análisis de la Ficha de la UC-02 institucional general: METODOLOGIAS DE ENSINO 64 PBL com aulas tutoriais (apresentação/defesa de pesquisas individuais e/ou trabalhos de grupo, sempre mais ou menos relacionado com a resolução de problemas em estudo), aulas práticas laboratoriais (simulações experimentais, situações práticas e/ou exercícios aplicados) e ainda sessões de recurso (método expositivo e interrogativo), podendo acontecer, no todo ou em parte, seja em regime presencial seja com recurso a ferramentas de ensino à distância. Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objetivos de aprendizagem da UC Tendo por base a metodologia PBL foram definidos 2 problemas para esta UC, sobre os quais os estudantes irão trabalhar e discutir durante as Sessões de Orientação Tutorial: 1. Introdução às Ciências das Radiações 2. Efeitos Biológicos das Radiações Ionizantes De modo a dotar os alunos dos conhecimentos teóricos necessários para o desenvolvimento dos problemas acima referidos, bem como conhecimentos transversais mais abrangentes, as sessões de recurso (aulas teóricas) incidirão maioritariamente sobre as temáticas descritas nos Conteúdos Teóricos do Programa da UC, com interveniência de diversas Áreas Técnico-Científicas (ATCs), nomeadamente: Medicina Nuclear (capítulos 1,2,3,6 e 7), Física (capítulos 4 e 5), Ciências Funcionais (capítulos 7 e 8), Ciências Morfológicas (capítulo 9), Ciências Químicas e das Biomoléculas (capítulo 11) e Biomatemática, Bioestatística e Bioinformática (capítulo 10 e 9) MÉTODOS DE AVALIAÇÃO Segundo o Regulamento de Avaliação e Aproveitamento dos Estudantes em vigor, o estudante pode realizar um de dois tipos de avaliação: distribuída (por defeito) ou final (mediante declaração escrita). DESCRIÇÃO DAS DIFERENTES MODALIDADES DE AVALIAÇÃO AVALIAÇÃO DISTRIBUÍDA: Nesta modalidade de avaliação, o estudante será avaliado em diversos momentos: a) em cada sessão de orientação tutorial; b) quando da apresentação de cada problema; c) testes sumativos (pelo menos um por cada ATC envolvida); Tabla 2: Presentación de una parte de la Ficha de la Unidad Curricular institucional. 64 Problem Based Learning, en español, Aprendizaje Basada en Problemas (ABP). 246 1.2. Ampliación de los objetivos que se persiguen con el estudio del Cálculo Diferencial e Integral Pretendemos que los estudiantes de primer curso de Universidad consideren el estudio del Cálculo Diferencial e Integral como un instrumento útil para su futuro como técnicos de Medicina Nuclear y, más concretamente, que perciban su utilidad en las actividades de modelación funcional. Por ello, ampliamos los objetivos oficiales como se indica en la siguiente tabla. La integral permite calcular áreas entre cualquier tipo de curvas. Es más rápido y sencillo resolver una ecuación diferencial (por integración) que una ecuación en diferencias finitas (por recurrencia). El uso de sus derivadas permite elegir modelos con mejor capacidad predictiva. En el trabajo de los modelos Las técnicas de integración permiten obtener modelos más ajustados a los datos discretos o con mejor capacidad predictiva. Para estudiar la monotonía de un modelo es esencial usar la función derivada. En la interpretación del modelo En la comparación de modelos En la construcción de modelos Objetivos La función derivada permite interpretar la variación de una variable en relación a otra. Las técnicas de derivación permiten determinar los extremos de una gran parte de modelos. El CDE permite interpretar mejor el modelo funcional en un sistema real dado. Tabla 3: Objetivos ampliados. Dominio de las técnicas del Cálculo Diferencial e Integral Técnicas Cálculo de la derivada en un punto como límite de la TVM (definición de derivada). Derivación Uso de las reglas de derivación. Determinación de la derivada de la función compuesta. Estudio de la derivada de una función definida por trozos. Cálculo de las derivadas laterales. Integración Primitivación/ Inmediata. Por partes. Por sustitución. 247 Por fracciones racionales. En el cálculo de áreas entre curvas. Teoremas Construcción del Polinomio de Taylor de una función. Condiciones del Teorema de Lagrange (del Valor Medio). Tabla 4: Técnicas a explorar en el estudio del cálculo diferencial elemental. Desarrollo de competencias de modelización funcional Competencias Percibir la relevancia de formular hipótesis/conjeturar en la resolución de problemas del día-a-día. Conseguir estudiar diferentes situaciones simultáneamente Representar gráficamente familias de modelos funcionales. Manipular con facilidad parámetros de un modelo funcional para modificar la situación inicial. Conseguir comparar esas situaciones. Conjeturar sobre posibles soluciones para el problema inicial. Autonomía en la resolución de problemas del contexto profesional de un técnico de Medicina Nuclear. Tabla 5: Competencias de modelización funcional. Desarrollo de competencias informáticas/Enseñanza Virtual Competencias Programación matemática de las celdas de la Hoja de Cálculo como medida economizadora de tiempo en la construcción de varias tablas con características comunes. GeoGebra Medio con herramientas matemáticas Instrumento Rapidez en la representación gráfica de un modelo funcional. Uso de selectores para modificar y manipular la situación inicial. Trabajo simultáneo de gráficos, expresiones algebraicas, texto y tablas de valores. Compartir la pantalla. Skype Enseñanza Virtual Utilización frecuente de un instrumento de videoconferencia. Enviar ficheros en una videoconferencia para posible discusión. Adicionar elementos a un grupo en videoconferencia. 248 Moodle Descargar ficheros vía Moodle. Utilizar el chat del Moodle. Enviar trabajos por esta vía. General Percibir la utilidad de un método de Enseñanza Virtual. Capacidad de adaptación a una metodología que englobe además la enseñanza a distancia. Tabla 6: Competencias informáticas. 1.3. Dispositivos de evaluación de los estudiantes Dado que en la mayoría de las disciplinas técnicas del Área de Medicina Nuclear se utiliza la metodología didáctica de Problem Based Learning (PBL) o, en español, Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) y en la disciplina de Biomatemática, Bioestatística y Bioinformática aún se utilizaba una metodología tradicional (expositiva), nuestra propuesta de enseñanza-aprendizaje mediante recorridos de estudio e investigación (que valora la autonomía del alumno) ha tenido una buena receptividad por parte de la Coordinación del Curso. Además, fue posible negociar un instrumento distinto de evaluación que sustituyese el habitual «test escrito» y, en general, todo el proceso de evaluación del siguiente modo: La evaluación65 de los estudiantes fue continua, se basó en la observación directa del trabajo desarrollado en las sesiones (presenciales y no presenciales), en un instrumento de evaluación mediante un portafolio de grupo (trabajo escrito) y en una presentación final de resultados y de las respectivas reflexiones. Al analizar el plan de estudios del primer curso de Licenciatura en Medicina Nuclear se observa que el componente de Biomatemática, Bioestatística y Bioinformática (BBB) tiene poco peso en las Unidades Curriculares siéndole solamente atribuidos 2 ECTS66 correspondientes a 56 horas de dedicación del estudiante: 65 Se ha reseñado que, en caso de reprobación, o de ingreso en el curso de Medicina Nuclear en un momento bastante posterior al del inicio de la presente Unidad Curricular, los estudiantes serian evaluados solamente por un Examen final escrito (Época Normal, Recurso y Especial). 66 Por ECTS se entiende European Credit Transfer and Accumulation System que mide las horas que el estudiante debe trabajar para alcanzar los objetivos del programa de estudios. La clasificación final resulta de una media ponderada de acuerdo con la distribución de esos créditos. El número de ECTS correspondiente a un año lectivo de estudio a tiempo completo es de 60 créditos y un ECTS corresponde a 28 horas de trabajo del alumno incluyendo: horas lectivas (teóricas y teórico-prácticas), horas de apoyo tutorial (on-line), estudio individual del aluno y evaluación. 249 Figura 1 - Plan de estudios de un primer curso de Licenciatura en Medicina Nuclear. Así, se ha planeado distribuir esas 56 horas de la siguiente forma: Presencial No presencial Documentación/Estudio Total horas Portfolio de grupo ------ 3h x 6 sem = 18h 2h x 6 sem = 12h 30 Prácticas Laborat. Teórico-Prácticas Evaluación Total horas 14 h 11 h 1h 26 h 12 h 14 11 1 56 h (2 ECTS) 18 h Tabla 7: Dedicación del estudiante para BBB en horas presenciales, no presenciales, de estudio y de trabajo para elaborar el «portafolio» de grupo. Antes de la experimentación, el profesor no tenía conocimiento del horario, del número de estudiantes (había una previsión de 14 alumnos), de la distribución del número de horas por semana (podría variar de 0-6h), ni tampoco, por sesión (podrían estar constituidas por bloques de 2h o de 3h). Como corresponde a una Unidad Curricular trimestral y por módulos, los horarios cambian semanalmente y el profesor sólo tiene conocimiento de la distribución horaria de las sesiones una semana antes del inicio del curso. Así, el diseño de los diferentes REI y su articulación estaban un poco condicionados a las restricciones del número de horas en cada sesión. Un dispositivo didáctico que pensamos utilizar en el marco de esta nueva metodología consistió en un portafolio de grupo que fue construido y organizado en carpetas de sesiones en la plataforma Moodle. De esta forma surgió la necesidad de que en cada 250 sesión (presencial y no presencial) cada grupo definiese su «secretario» (rotativo) al cual fueron atribuidas las siguientes funciones: Responsabilizarse de la grabación del trabajo desarrollado por el grupo con grabador/móvil/tablet en las sesiones presenciales y online; Escribir una pequeña acta de la reunión en la cual describiese, por ejemplo: las cuestiones/dudas/hipótesis más pertinentes de los elementos del grupo, discusiones, interpretaciones, conclusiones y reflexiones (pudiendo recurrir al auxilio de la grabación); Preparar los anexos del acta: resoluciones manuales de ejercicios digitalizadas, ficheros del GeoGebra, etc.; Reunir todos los documentos en una carpeta con la designación de la sesión correspondiente y enviar a la profesora en nombre del grupo y vía Moodle antes del inicio de la sesión siguiente; La calificación final de cada alumno se obtendría como la media ponderada de sus evaluaciones grupal (70%) e individual (30%), según los siguientes criterios: Evaluación grupal: fue igual para todos los elementos de cada grupo y resultó de la media de la evaluación de las actividades de estudio desarrolladas en cada uno de los trabajos enviados de acuerdo con la siguiente distribución de pesos: Actividades de estudio % en la Evaluación Formulación de hipótesis Construcción de modelos de los modelos 10% 5% (numéricos, gráficos, variacionales) Utilización de las TIC Construcción del modelo funcional 5% 15% Cuestionamiento tecnológico 10% (de las técnicas que permiten construir el modelo) Trabajo de las técnicas de manipulación de los modelos Cuestionamiento tecnológico 10% 10% (de las técnicas que permiten trabajar el modelo) Interpretación del modelo y de los resultados en términos del sistema Indicadores generales Indicadores generales % en la Evaluación (parte de los 20%) Creatividad Organización 20% 10% Lenguaje científico Cumplimento de los plazos 10% 10% Sentido crítico Reflexión final 10% 40% Tabla 8: Ponderación de los criterios de evaluación. 251 15% 20% Evaluación individual: fue particular para cada elemento del grupo y resultante de la observación del empeño y trabajo desarrollado durante las sesiones presenciales y no presenciales, según los siguientes indicadores: - Asistencia y puntualidad (10%): entrada y salida puntual de las sesiones; Actitud (10%): empeño, responsabilidad, participación, discusión, reflexión; Liderazgo (10%): iniciativa, valorización en la coevaluación, o sea, en la evaluación por los pares del mismo grupo; Méritos (0-2 valores): entrega voluntaria de respuestas a desafíos no obligatorios, elaboración de actas, solicitud individual de sesiones virtuales extra al profesor para esclarecimiento de dudas revelando tener una mayor responsabilidad en el trabajo de su grupo. 1.4. Distribución semanal del programa de estudio estructurado por problemas de Medicina Nuclear y recorridos matemáticos En un primer diseño a priori se habían desarrollado Recorridos Matemáticos con datos concretos que se basaban en problemas relacionados con la propagación de epidemias (gripe H1N1, ebola, etc.) o de la variación de la concentración de un medicamento. Sin embargo, a pesar de que estos temas se relacionaban con la Medicina, no estaban directamente relacionados con la Medicina Nuclear ni, tampoco, con las problemáticas abordadas en la Unidad Curricular de Ciências Biomédicas e das Radiações I (en la cual se introduce el cálculo integral). Así, la mayor dificultad, el gran obstáculo a traspasar, consistió en reajustar el REI construido a priori al programa oficial de Biomatemática, Bioestatística y Bioinformática y, además, articular éste con las grandes problemáticas estudiadas conjuntamente en las otras Áreas Técnico-Científicas de Medicina Nuclear, o sea, contextualizar algunos de los RM en el ámbito de la Medicina Nuclear. En concreto, de entre los RM descritos en el capítulo IV, hemos seleccionado cinco de ellos, concretamente RM1, RM2, RM3, RM4 y RM5, con el objetivo de recubrir el estudio de los dos problemas definidos a priori en la Ficha de la Unidad Curricular institucional (ver Tabla 2): Decaimiento radioactivo - (P1) y Efecto Biológico de las Radiaciones Ionizantes - (P2). El abordaje, desarrollo y articulación de estos dos problemas concretos fue sustentada por los cinco RM del siguiente modo: 252 Problema Semana 2 3 RM1: Recorrido matemático exacto discreto Decaimiento radioactivo- (P1) 2 Recorrido Matemático (parcial: 1.º + 2.º estadio de MF) RM2: Recorrido matemático exacto continuo (completo ampliado: 1.º 4.º + 1.º estadio de MF) RM3: Recorrido matemático exacto discreto-continuo 4 5+6 7 Efecto Biológico de las Radiaciones Ionizantes - (P2) (completo ampliado: 1.º 4.º + 1.º estadio de MF) RM4: Recorrido matemático aproximado discreto-continuo (completo ampliado: 1.º 4.º + 1.º estadio de MF) Abordaje Construcción de un modelo discreto que describa la velocidad de desintegración de un radioisótopo, a partir del cálculo de las diferencias finitas de datos discretos referentes a la masa/actividad del Molibdenium-99/Xenon-133. Variación y diferencias finitas (TVM) Estudio de la variación de la concentración de un radiofármaco utilizado en el diagnóstico de cáncer de tiroides (trabajo de un modelo continuo construido, interpretación, formulación de nuevas hipótesis y ampliación del sistema inicial). Derivadas, asíntotas, limites, continuidad Construcción y estudio de la variación de un modelo continuo que describa la evolución temporal de la dosis de un radiofármaco, conociendo su velocidad de administración (construcción, trabajo y ampliación del modelo). Antiderivada, integral y cálculo de áreas bajo una curva o entre curvas. Construcción de un modelo continuo a partir de datos discretos que describa la evolución temporal del número de casos de cáncer de tiroides en niños y jóvenes de Bielorrusia (región próxima al accidente de Chernóbil). Trabajo del modelo para hacer previsiones del número de casos para los años siguientes. Regresiones sobre datos discretos brutos, elección del mejor modelo con la derivada. Cuestionamiento matemáticas. RM5: Recorrido matemático aproximado variacional discretocontinuo (completo ampliado: 1.º 4.º + 1.º estadio de MF) Continuación del RM1 (parcial: 3.º estadio de MF) Contenidos de las técnicas Construcción de un modelo continuo a partir de datos discretos que describa la propagación de los efectos genéticos y la repercusión en las generaciones siguientes al accidente de Chernóbil. Utilización del modelo construido para prever la evolución del impacto de esos efectos genéticos en las generaciones futuras. Regresiones sobre datos discretos variacionales, resolución de ecuaciones diferenciales por integración directa. Comparación de la economía de las técnicas discretas (diferencias finitas) con la economía de las técnicas del CDE (derivada, integral) en la construcción y manipulación de modelos funcionales. Relevancia del CDE en el paso del campo discreto al continuo. Tabla 9: Distribución semanal del programa de estudio por problemas de Medicina Nuclear y recorridos matemáticos. 253 1.5. Tabla de tareas del diagrama de actividad de MF y de las correspondientes actividades de estudio Con la finalidad de diseñar dispositivos de evaluación y de precisar los objetivos de las actividades a proponer, el diagrama de actividad de modelización funcional fue interpretado y dividido en las siguientes partes: Tipos de tareas Actividades de estudio Formulación de hipótesis + + Construcción de los modelos (numéricos, gráficos, variacionales, etc.) + Utilización de las TIC + Construcción del modelo funcional 254 Cuestionamiento tecnológico (de las técnicas que permiten construir el modelo) Trabajo de las técnicas de manipulación de los modelos + Cuestionamiento tecnológico (de las técnicas que permiten trabajar el modelo) Interpretación del modelo y de los resultados en términos del sistema + Tabla 10 - Tabla de las tareas del diagrama de actividad de MF y las actividades de estudio. 255 2. Diseño a priori de recorridos de estudio e investigación para experimentar en el primer curso universitario de Medicina Nuclear Tomando en consideración las condiciones y restricciones descritas en la sección 3 del capítulo IV y las condiciones impuestas para la realización efectiva de la experimentación descritas en la sección anterior, hemos de diseñar, para después experimentar y evaluar, un conjunto de REI que se sustentarán en los recorridos matemáticos a priori RM1, RM2, RM3, RM4 y RM5 descritos en la sección 2 del capítulo IV. 2.1. Distribución del programa de estudio en unidades didácticas Digamos para empezar que los contenidos de la Tabla 9 fueron distribuidos en 4 Unidades Didácticas (UD0 - UD3): UD0: ¿Qué significa variación? - Diagnóstico de los conocimientos previos sobre la noción de variación, TVM, derivada; Comparación de técnicas; Cuestionamiento tecnológico; Estudio de la razón de ser de la derivada y las derivadas de orden superior; UD1: Construcción y manipulación del modelo discreto «exacto» (RM1) - Análisis de la variación de datos discretos; Formulación de hipótesis sobre la variación; Estudio de las diferencias finitas (TVM[t, t+1]); Análisis de la variación relativa; Construcción del modelo variacional; Resolución de la ecuación en diferencias finitas; Construcción del modelo funcional discreto; Trabajo dentro del modelo discreto; Interpretación del trabajo y de los resultados en términos del sistema Nuevas hipótesis, nuevas variables, nuevo sistema; 256 UD2: Construcción y manipulación del modelo continuo «exacto» (RM2 + RM3) RM2 - RM3 - Construcción del modelo funcional continuo; Trabajo dentro del modelo continuo; Interpretación en términos del sistema Nuevas hipótesis, nuevo sistema, nuevas variables; - - - Análisis de la variación de los datos continuos; Construcción del modelo diferencial; Resolución de la ecuación diferencial; Construcción del modelo funcional continuo mediante una familia de funciones; Trabajo dentro del modelo continuo; Interpretación en términos del sistema Nuevas hipótesis, nuevas variables, nuevo sistema; UD3: Construcción y manipulación del modelo continuo «aproximado» (RM4 + RM5) - RM4 Regresiones sobre datos discretos brutos; Elección del modelo funcional continuo aproximado; Construcción del modelo funcional continuo aproximado; Trabajo dentro del modelo continuo; Interpretación en términos del sistema Nuevas hipótesis, nuevas variables, nuevo sistema; - RM5 Regresión sobre datos discretos variacionales (TVM o TVMR); Elección del modelo variacional; Construcción del modelo variacional; Aproximación a un modelo diferencial; Construcción del modelo diferencial aproximado; Resolución de la ecuación diferencial; Construcción del modelo funcional continuo aproximado; Trabajo dentro del modelo continuo; Interpretación en términos del sistema Nuevas hipótesis, nuevas variables, nuevo sistema; 2.2. Distribución por sesiones de las cuestiones derivadas de los dos problemas básicos de Medicina Nuclear Para trabajar estas 4 Unidades Didácticas fueron construidos varios dispositivos didácticos para utilizar en las sesiones presenciales (SP) y no presenciales o virtuales (SV). Por un lado, fueron retomadas, adaptadas y ampliadas algunas de las Fichas de Trabajo utilizadas en los años lectivos anteriores resultando en un conjunto de tareas 257 matemáticas (ver F1-F4 en el anexo G.2.) que implicaban tanto la utilización de técnicas de derivación/primitivación como la comparación económica y dominio de validez de esas mismas técnicas. Estas fichas incluían además el estudio de condiciones de aplicabilidad de teoremas, la construcción de modelos, el trabajo de familias de funciones, la manipulación de parámetros con el GeoGebra, etc. Por otro lado fueron exploradas Cuestiones Problemáticas del ámbito de la Medicina Nuclear (ver Q1-Q5 en el anexo G.1.) cuya resolución implicaba que los estudiantes sintiesen la necesidad de conseguir nuevas técnicas matemáticas, discutiesen en grupo, conjeturasen y desarrollasen así un trabajo de reflexión más autónomo. En la tabla siguiente están descritos de forma sucinta los instrumentos didácticos utilizados en cada sesión (que pueden ser consultados con más detalle en el anexo G): Sesión Cuestiones derivadas de los dos problemas de Medicina Nuclear SP1 Ficha de Diagnóstico: O que significa variação? SP2 Ficha de Trabalho 1: razões de ser do estudo da primeira derivada e derivadas de ordem superior, comparação de técnicas de derivação, Teorema de Lagrange, Polinómio de Taylor, construção de modelos a partir do conhecimento de alguns dados contínuos. SP3 Institucionalização das respostas às tarefas propostas nas Fichas anteriores e comparação das diferentes técnicas utilizadas pelos grupos de estudantes (questionamento tecnológico). SP4 Problema 1 – Decaimento radioativo Como preparar e administrar um radiofármaco para diagnosticar o cancro de tiroide? -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Na preparação destes radiofármacos podem surgir as seguintes questões: Como varia a massa de um isótopo radioativo ao longo da sua desintegração? Como varia a massa do Molibdénio-99 depois da sua desintegração? Que modelo algébrico-funcional poderia descrever o sistema? Represente numa tabela de valores a variação média (e relativa) da massa em . Estude a variação e uma relação entre as variáveis usando unicamente técnicas no campo discreto (diferenças finitas). Analogamente, Como varia a massa do Xenon-133 depois da sua desintegração?… … :… ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Como estudar a variação da concentração de um radiofármaco no plasma sanguíneo de um paciente t minutos após a sua administração? Que tipo de modelo funcional poderia caracterizar este sistema? Pode afirmar que a concentração aumenta sempre com o tempo? Como varia essa concentração ao longo do tempo? A partir de que momento se inicia a eliminação progressiva do radiofármaco do plasma sanguíneo? Qual é o valor da concentração nesse momento? Em que momentos a concentração decresce mais rapidamente? Uma possível ampliação da situação inicial poderá surgir da necessidade de comparar a evolução da concentração do radiofármaco em dois organismos diferentes como, por exemplo: : Num exame de diagnóstico do cancro da tiroide a concentração do radiofármaco no 258 plasma sanguíneo observada em cada instante de tempo depende de vários fatores. Supondo que foi administrada a mesma dose de radiofármaco, num certo momento e nas mesmas condições exteriores, a dois pacientes, Maria e Luís, cuja concentração no plasma vem descrita, respetivamente, pelos modelos y , como podemos comparar a variação das duas concentrações? Caso geral: : Como estudar a variação da concentração do radiofármaco no plasma sanguíneo de um determinado paciente supondo que, t horas depois de ingerido o medicamento, a concentração no plasma pode ser representada pelo modelo algébrico-funcional onde a e k são constantes positivas? : Como depende, em cada caso, o comportamento da função concentração C a (t) do valor do parâmetro a? Em que momento a concentração Ca(t) é máxima? Qual é o valor dessa concentração máxima? (A) Como depende, em cada caso, o comportamento da função concentração C k (t) do valor do parâmetro k? Em que momento a concentração Ck(t) é máxima? Qual é o valor dessa concentração máxima? (B) : Que características comuns apresentam os seus gráficos? De acordo com a situação problemática, formule algumas hipóteses para possíveis características do sistema que podem estar a ser representadas pelos parâmetros e do modelo funcional. Antiderivada de uma função Q’’2: Sabendo que a variação da concentração do radiofármaco no plasma de um paciente segundos depois da sua injeção pode ser modelada pela função , como poderá descobrir uma expressão algébrica que represente a concentração do radiofármaco no plasma desse paciente ao longo do tempo? E como poderá construir um esboço do seu gráfico? Q’’’2: E se o modelo fosse mais complexo? No caso de SP5 SP6+7 SP8+9 como procederia? Conhecendo a velocidade de administração, por via endovenosa, de uma dose de um radiofármaco, como pode variar essa dose (quantidade) ao longo do tempo? Uma dose de ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via endovenosa, pela primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o plasma a uma velocidade de mililitros por minuto, em que representa o tempo medido em minutos depois do meio-dia, a que horas terminará essa toma? Uma dose de ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via endovenosa, pela primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o plasma a uma velocidade de mililitros por minuto, em que representa o tempo medido em minutos depois do meio-dia, a que horas terminará essa toma? Uma dose de ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via endovenosa, pela primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o plasma a uma velocidade de mililitros por minuto, em que representa o tempo medido em minutos depois do meio-dia, a que horas terminará essa toma? -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ficha de Trabalho 2: famílias de funções, noção de antiderivada, trabalho da técnica de primitivação imediata. Ficha de Trabalho 3: cálculo de áreas abaixo e entre curvas usando a noção de integral. Ficha de Trabalho 4: técnica de primitivação por partes, primitivação por substituição e por frações simples. Problema 2 – Efeitos Biológicos das Radiações Ionizantes Efeitos biológicos das radiações ionizantes provenientes do acidente de Chernobil O acidente na antiga central ucraniana de Chernobil em 1986 provocou um aumento do número de casos de cancro da tiroide nas populações mais próximas. Como se pode prever ao longo do tempo o número de casos de cancro da tiroide 259 SP10 nas populações mais próximas do acidente na antiga central ucraniana de Chernobil? Que tipos de modelos funcionais poderiam caracterizar este sistema? De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que se ajusta melhor aos dados? Que técnicas são possíveis utilizar para comparar os modelos? ¿De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que apresenta uma maior capacidade preditiva a curto, medio e largo prazo? Qual a técnica que sugere utilizar para que esse modelo seja o elegido? Propagação de efeitos genéticos e respetiva repercussão em diferentes gerações a seguir ao acidente de Chernobil A seguir ao acidente de Chernobil, estudos realizados e amostragens efetuadas a partir de recolhas de material biológico da população atingida estiveram na base da previsão da indução de danos genéticos relevantes numa parte da população de uma determinada espécie animal anual (com ciclo de vida anual). Sabemos que o impacto na 1.ª geração após o acidente foi de 179, na 2ª foi de 438, e assim sucessivamente de acordo com a seguinte tabela: Tabela 4 – Incidência de danos genéticos nas gerações futuras de uma população por ano. ¿Como se poderá prever a evolução do impacto destes efeitos genéticos nas gerações futuras? ¿Que tipos de modelos funcionais poderiam caracterizar este sistema? ¿De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que se ajusta melhor aos dados? Que técnicas são possíveis utilizar para comparar os modelos? ¿De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que apresenta uma maior capacidade preditiva a 3 anos ou da tendência dos dados futuros? Qual a técnica que sugere utilizar para que esse modelo seja o elegido? Tabla 11 - Instrumentos didácticos utilizados en cada sesión Además de estos instrumentos didácticos fueron cedidos a los diferentes grupos un conjunto de diapositivas complementarias y algunos artículos del área de Medicina Nuclear para que los estudiantes pudiesen extraer datos discretos reales para trabajar o, simplemente, información relativa a las técnicas habitualmente utilizadas en dicha área, tales como: É possível construir um mapeamento de órgãos introduzindo no organismo dos pacientes radioisótopos artificiais (radiotraçadores) que emitem radiações permitindo assim saber por onde passaram e onde se depositaram. Dependendo da doença a diagnosticar pode-se preparar diferentes radiofármacos. Em particular, para diagnosticar o cancro da tiroide utiliza-se frequentemente o isótopo radioativo Molibdénio-99 mas, por exemplo, para efetuar medições do cérebro e do fluxo sanguíneo utilizase o Xenon-133. O Molibdénio-99 (pai) ao desintegrar-se transforma-se em Tecnécio-99 (filho). Cálculo da massa a partir da atividade de um radioisótopo. Las 10 sesiones presenciales fueron intercaladas con otras tantas sesiones no presenciales con cada uno de los grupos cuya función principal consistía en establecer 260 una cierta continuidad en la ejecución de las tareas iniciadas en las sesiones presenciales y, consecuentemente, mejorar la articulación de los diferentes trabajos permitiendo su acompañamiento y orientación por parte del profesor y potenciando la posibilidad de formular conjeturas y de discutirlas conjuntamente. La información compartida entre el profesor y los estudiantes (propuestas de tareas y respectivas respuestas o registros de los trabajos de investigación efectuados por los grupos de estudiantes) fue organizada en carpetas de sesiones en la plataforma Moodle de la siguiente forma: Figura 2: Parte de la organización didáctica construida en el Moodle (por carpetas de sesiones). Con esta forma de desarrollar los contenidos, la acción tutorial, tanto presencial como a distancia, constituye un aspecto clave para que los alumnos realicen sus tareas con éxito. 261 2.3. Planificación del desarrollo de las unidades didácticas Para describir la organización didáctica a priori de las sesiones presenciales y no presenciales, se propone una posible distribución de responsabilidades entre los diferentes intervinientes articulada con una posible secuencia de ciertos medios y medias. Para tal descripción utilizaremos la siguiente leyenda: Sesión Intervinientes SPi Sesión presencial SVi Sesión virtual Medios y Medias P Profesor E Estudiante GG Gran grupo PG Pequeño grupo FD Ficha de diagnóstico Fi Ficha de trabajo Qi Cuestión problemática Qij Cuestión problemática derivada de Qi 1ª semana (13 – 17 octubre de 2014) Unidad Didáctica 0: “¿Qué significa variación?”, TVM < > derivada - Presentar el programa, el proyecto de MF y los dispositivos de evaluación; Hacer un análisis de cómo interpretan los estudiantes la noción de variación y del dominio e interpretación de las técnicas que han adquirido en Secundaria; Trabajar técnicas de estudio de la variación de magnitudes: las diferencias finitas, la TVM y TVMR, la pendiente de una recta, la derivada; Interpretar y comparar el alcance de dichas técnicas; Estudiar la razón de ser de la primera derivada y de las derivadas de orden superior; Sesión 2 – 2h Sesión 1- 2h Presencial No presencial P Presenta la metodología, distribución de horas de trabajo del E y los criterios de evaluación. P Corrige y selecciona algunas respuestas interesantes de los Es. P Distribuye una Ficha de diagnóstico (ver anexo G.2.). E Trabaja en la resolución de las tareas propuestas y entrega su trabajo al P al final de la sesión. E Forman PGs de 4 Es (caso de no ser posible, de 5 Es) y pasan a registrar/grabar todo el trabajo de su grupo: formulación de primeras hipótesis, dudas, discusiones, interpretaciones, reflexiones, etc. P Propone a los estudiantes que formen grupos de 4/5 componentes para la próxima sesión, elijan un secretario que grabará la sesión con móvil/tablet e impriman la ficha de trabajo F1 a partir del Moodle. P Al pasar hoja de asistencia, pasar también una declaración de autorización para gravar datos sonoros y de imagen; PGContinúan resolviendo la Ficha de trabajo 1 con posible consulta de libros de texto, internet, etc. EInvitados por el P algunos Es explican al GG sus posibles respuestas a las tareas del Diagnóstico mediante una proyección preparada por el P. GG Discusión y defensa de las respuestas, primera conjetura de una posible razón de ser para el estudio de las derivadas en Secundaria (economía técnica sobre la TVM). PGEmpiezan a resolver la Ficha de trabajo 1 (ver anexo G.2.). 262 P+GG Crean GG y PGs virtuales, experimentan las herramientas informáticas. E/PG Instala GeoGebra + Skype + Grabador Skype en su computador portátil. P Esclarece algunas dudas de los PGs por Skype en relación a la Ficha de trabajo 1. PG Envían el trabajo al P para la plataforma Moodle. Sesión virtual 1(GG + PG) – 1h Sesión 3 – 2h Medios y Medias Resultantes del diagnóstico PG Cuestionamiento tecnológico resultante de la resolución de las tareas de la Ficha de trabajo 1: Comparación de técnicas; Conjetura de otras posibles razones de ser del estudio de la 1.ª derivada y de las derivadas de orden superior; Diapositivas para presentación de la metodología y evaluación; Ficha de diagnóstico; Proyección de las posibles respuestas; Ficha de trabajo 1 (F1); Libros de texto de Secundaria/Universidad, internet, etc. El profesor propone que: En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo; En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype; 60’ Evaluación Inicial: para diagnóstico (P), para recuerdo y reflexión (E); Exploratorio: ¿Cuál es la técnica más adecuada? Trabajo de la Técnica: invertir la técnica para resolver una tarea menos habitual, ampliar una técnica para aplicarla a un caso general, etc. 15’ Evaluación de las respuestas a la Ficha de Diagnóstico: proyección de algunas resoluciones; 10’ - - Tecnológico–Teórico: breve discusión en GG y cuestionamiento tecnológico para: comparar el coste y validez de las técnicas: TVM < > derivada Interpretar las técnicas: TVM y derivada Institucionalización: construcción conjunta del P con el GG de una tabla que sintetice las principales conclusiones resultantes de la comparación de las 2 técnicas. - Tecnológico–Teórico: breve discusión en GG y cuestionamiento tecnológico para: comparar el coste y validez de algunas técnicas de optimización; comparar el coste y validez de algunas técnicas de derivación; - Institucionalización: construcción conjunta del P con el GG de una tabla que sintetice las principales conclusiones resultantes de la comparación de las técnicas de optimización y de las de derivación. - Exploratorio: posibles razones de ser del estudio de la 1.ª derivada y de las derivadas de orden superior; - Se considera bastante relevante el diagnóstico/reflexión sobre la noción de variación como un elemento impulsor de toda la actividad que se desarrollará en las sesiones siguientes. - Es natural que los estudiantes revelen dificultades en interpretar la noción de variación en un intervalo genérico (en particular, en las tareas 8, 14, 15 de la Ficha de diagnóstico) y en la elección de la técnica más adecuada para resolver las tareas propuestas de la F1. Por esa razón se sigue un trabajo más profundo y ampliado de dicha noción con el estudio de las organizaciones matemáticas del CDE en las UDs siguientes. 10’ 10’ Observaciones Observaciones Resultantes de la F1 10’ 263 2.ª semana (20 – 21 octubre de 2014) Unidad Didáctica 1: Construcción y manipulación del modelo discreto «exacto» - Analizar la variación de datos discretos; Formular hipótesis sobre la variación; Estudiar las diferencias finitas (TVM[t, t+1]); Analizar la variación relativa; Construir el modelo variacional; Resolver la ecuación en diferencias finitas; Construir el modelo funcional discreto; Trabajar dentro del modelo discreto; Interpretar el trabajo y sus resultados en términos del sistema; Formular nuevas hipótesis en las que pueden intervenir nuevas variables y que construyen un nuevo sistema. Sesión 4 – 1h Presencial No presencial P Presenta diapositivas que revelen la importancia de la MF y del CDE en la Medicina 67 Nuclear y, como ejemplo, elige un sistema sobre el cual plantea la cuestión generatriz ¿Cómo preparar y administrar un radiofármaco para diagnosticar el cáncer de tiroides? P Sugiere el estudio de la desintegración radioactiva para la preparación de estos radiofármacos con ¿Cómo varía la masa de una substancia radioactiva después de su desintegración? PG Mediante la orientación del P, analizan y trabajan autónomamente uno de los conjuntos de datos discretos recogidos en estudios referentes a la desintegración radioactiva del: (1) Xenon-133 (2) Molibdénio-99 PG Con el auxilio del GeoGebra procuran responder a la tarea PGTrabajan simultáneamente con las hojas de cálculo, algebraica y gráfica del GeoGebra para: -estudiar la variación (tablas TVM y TVMR); - descubrir una relación entre las variables; - construir el modelo variacional; PEsclarece, por Skype, dudas de los PGs relativamente al trabajo de MF y al GeoGebra para responder a . PG Buscan en internet/libros una posible respuesta para (¿cómo resolver ecuaciones en diferencias finitas?) P Presentan, por Skype, dudas de los PGs relativamente al trabajo de . PG Construyen el modelo funcional discreto para responder a . PG Envían el trabajo al P para la plataforma Moodle. P Observa los modelos discretos construidos por los PG y propone nuevas tareas que permitan extraer información acerca del sistema a partir de dichos modelos. Sesión virtual 2 – 1h PG Exploran, trabajan e interpretan el modelo construido. GG Discusión y defensa de las respuestas (modelos) de los PG. P+GG Institucionalización de los resultados obtenidos por los PG con la construcción de un modelo generalizado con parámetros (familia de modelos funcionales). E Envía al P, vía Moodle, su coevaluación de pares. 67 68 En nuestro caso particular, la elección del sistema es voluntariamente “impuesta” para permitir un trabajo articulado y colaborativo con las otras disciplinas del curso que van a funcionar en ABP (Aprendizaje Basada en Problemas). 68 Esta coevaluación se repetirá al final de cada UD para ayudar el P a evaluar la capacidad de liderazgo y atribuir la puntuación individual de cada estudiante, en cada UD. El P crea “teste de escalas” (escala 264 RM69 RM1.2.1. Medios y Medias Artículos: Langford, J., Thompson, G. (1990). Monitoring radioactive xenon gas in room air using activated charcoal. Journal of Nuclear Medicine Technology, 18, 40–43. 10’ 60’ 10’ Observaciones 10’ - Hidalgo, J.; Wright, R.; Wooten, M. (1967). Prediction of Technetium-99m Yield from Molybdenum-99 Generators. The Journal of Nuclear Medicine, 8, 426-429. 70 (Hidalgo, Wright & Wooten, 1967) Fuentes de pesquisa sugeridas: Wikipedia, libros, noticias de periódico, revistas científicas, Internet, entre otras. Definir que: En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo; - En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype; Primer Encuentro: Presentación de la cuestión generatriz: ¿Cómo varía la masa de una substancia radioactiva después de su desintegración? - Exploratorio: Búsqueda de datos y de diferentes técnicas para resolver las tareas propuestas en , y, en un ámbito más general, en . - Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica? Discusión y defensa de las respuestas (modelos) de los PG. - Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y construir, en GG, un modelo representativo del decaimiento de un radioisótopo cualquier mediante una familia de modelos funcionales con parámetros. - Dependiendo del número de alumnos del curso se podrán formar 5/7 grupos cada uno constituido por 4/5 elementos. Así, en una experimentación posterior, caso de que el número de alumnos sea más elevado se pueden trabajar más conjuntos de datos. - Es muy probable que al final de la UD los estudiantes no dominen suficientemente la técnica de resolución de ecuaciones en diferencias finitas por recurrencia y que las consideren “inoportunas”. Sin embargo, en esta experimentación, además del dominio de estas técnicas, lo que se considera realmente esencial es que los estudiantes trabajen ciertas tareas que les permitan concluir que las técnicas discretas son demasiado costosas. - Como se espera que los alumnos necesiten de tiempo para explorar las nuevas herramientas informáticas y creemos que van a surgir muchas dudas a este nivel, el profesor (además de orientar a los estudiantes en la búsqueda de tutoriales/vídeos) se mostrará disponible para aclarar las dudas online o presencialmente. - En el final de esta UD1 (que coincide con el final de la primera problemática del módulo coordenado de MN), se pretende compartir con los estudiantes el “ranking” de evaluación (puntos ya adquiridos) para estimular una saludable competitividad e incrementar el interés en trabajar más en las UDs siguientes. decreciente de nivel de evaluación: Paula 3, Rodrigo 2, Sara 1). También, al final de cada UD, el P “hará visible” en el Moodle el ranking de puntos para que cada alumno consiga consultar su posición en el GG. 69 Más adelante, en la última Unidad Didáctica retomaremos el recorrido RM1 para trabajar otro de sus “tramos” RM1.2.2. y sus sub-recorridos RM1.2.2.1. y RM1.2.2.2. 70 Este artículo representa la base de la Medicina Nuclear (estudio que ha impulsado su desarrollo). 265 2.ª/3.ª semana (20 – 28 octubre de 2014) Unidad Didáctica 2: Construcción y manipulación del modelo continuo «exacto» - Construcción del modelo funcional continuo; Trabajo dentro del modelo continuo; Interpretación en términos del sistema Nuevas hipótesis, nuevo sistema, nuevas variables; - Análisis de la variación de los datos continuos; Construcción del modelo diferencial; Resolución de la ecuación diferencial; Construcción del modelo funcional continuo mediante una familia de funciones; Trabajo dentro del modelo continuo; Interpretación en términos del sistema Nuevas hipótesis, nuevas variables, nuevo sistema; - Presencial No presencial P Sugiere el trabajo de la cuestión ¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de un paciente t minutos después de su administración? Sesión 4 – 1h PG Para intentar responder autónomamente a la buscan en internet/libros de secundaria posibles modelos funcionales ya construidos que podrán caracterizar el sistema (exponenciales, racionales, definidos por trozos, polinómicos, etc.) P+GGInstitucionalizan las posibles respuestas a identificando cada respuestamodelo con los niveles de MF. P Orienta los PGs para un trabajo inicial en 71 el 1.º nivel de MF con un modelo de una sola variable independiente (tiempo) y sin parámetros para responder a las Caso no surjan sugestiones de los PGs, P Sugiere una posible ampliación de la situación inicial que puede surgir de la necesidad de comparar la evolución de la concentración del radiofármaco en dos organismos diferentes ( y el estudio de su generalización ( ). PG Con el auxilio del GeoGebra buscan respuestas para las cuestiones manipulando los parámetros y observando similitudes entre los diferentes gráficos resultantes. PG De acuerdo con la situación problemática, formulan hipótesis para interpretar los parámetros del modelo funcional en el sistema. 72 P Propone a los PGs el desafío de autonomía de buscar información relativa a la noción de antiderivada de una función con la cuestión . PG Investigan técnicas para responder a viven las dificultades para responder a . y, P+GGA partir de las diferentes respuestas de los PGs se propone realizar un cuestionamiento tecnológico de las técnicas de optimización. PGRetoman las respuestas/modelos iniciales para ampliar la actividad matemática a un trabajo con familias de funciones de uno o varios parámetros (2.º nivel de MF). PG Discuten, acuerdan una respuesta para (en el sentido de percibir la razón de ser del estudio de la segunda derivada de una función) y sugieren otras posibles cuestiones/ampliaciones. P Aclara algunas dudas de los PGs por Skype. PG Envían el trabajo al P a través de la plataforma Moodle. 71 Sería interesante que los PGs trabajasen modelos de familias de funciones distintas (racional, exponencial, definidos por trozos, etc.) a ser posible, a posteriori, la comparación de su ámbito de validez y del coste de las técnicas del CDE. Así, el P podría distribuir un tipo de modelo por cada PG y añadir que sus primeras respuestas serían retomadas más adelante. 72 El objetivo de este desafío consistía en hacer con que los Es se cuestionasen y, además, permitir “dar entrada” al RM3 (para introducir el estudio del cálculo integral) en la sesión presencial siguiente. 266 P+GG Institucionalización de la : reunión de los resultados obtenidos (modelos gráficos), comparación y exposición de las principales características comunes a modelos de la misma familia (misma función derivada, misma forma gráfica, mismo maximizante, diferente máximo). P Sugiere el trabajo de la cuestión Conociendo la velocidad de administración, de una dosis de un radiofármaco, ¿cómo puede variar esa dosis a lo largo del tiempo? PG Validan las técnicas y concluyen que las herramientas del CDE permiten construir de forma más económica y eficiente cualquier tipo de modelo algebraico-funcional representativo de un determinado sistema. PG Resuelven tareas que permitan extraer información acerca del sistema a partir del modelo construido. PG Interpretan esa misma información en el sistema. Sesión 5 – 3h PGGG Exploran la cuestión a fin de relacionar el área abajo del gráfico de la velocidad (derivada) con la dosis. PG Buscan una técnica para calcular el área bajo una curva correspondiente a una velocidad lineal P Propone un cambio en la situación inicial (velocidad cuadrática) al plantear . PG Resuelven autónomamente las fichas de trabajo: F2 (familias de funciones y antiderivada); F3 (cálculo de áreas abajo curvas o entre curvas); P Esclarece algunas dudas de los PGs por Skype. PG Intentan encontrar una nueva técnica por ampliación de la técnica anterior. PG Envían el trabajo al P a través de la plataforma Moodle. P Retoma el desafío propuesto en la relativo a la determinación de la antiderivada de la función. PG Presentan y describen a los otros PGs las técnicas investigadas y su respuesta a . GG Intenta percibir y aplicar dicha técnica de cálculo integral (CDE) para responder a PG Exploran, comparan y discuten la economía, el ámbito de validez y la eficacia de diferentes técnicas para calcular áreas abajo de curvas (área de trapecio, división del área en rectángulos, integral, etc.). Medios y Medias RM2 y RM3 Fuentes de investigación sugeridas: Wikipedia, libros, noticias de periódico, revistas científicas, Internet, entre otras. Definir que: En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo; En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype; 3’ - 1.ª Ampliación: Presentación de la cuestión 10’ - 10’ - Exploratorio: Busca de datos y de técnicas para resolver las tareas propuestas en y, en un ámbito más general, en . Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica? Discusión y defensa de las respuestas de los PG. 267 , - 10’ - 70’ - 20’ - 20’ - Observaciones 10’ Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y construir, en GG, un modelo representativo de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de un paciente mediante una familia de modelos funcionales con parámetros. 2.ª Ampliación: Presentación de la cuestión Exploratorio: Busca de técnicas para resolver las tareas propuestas en y, en un ámbito más general, en . Extraer información acerca del sistema a partir del modelo construido. Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica? Discusión y defensa de las respuestas de los PG. Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y validar las técnicas nuevas como herramientas del CDE que permiten construir de forma más económica y eficiente cualquier tipo de modelo algebraico-funcional representativo de un determinado sistema. - En la vivencia del RM2, si cada PG trabaja un modelo perteneciente a una familia diferente de funciones (o mismo, si dentro del PG cada elemento trabaja un modelo diferente) la actividad matemática se podrá enriquecer con la interpretación de diferentes técnicas, con el estudio y comparación del ámbito de validez de técnicas distintas de optimización de funciones, con la comparación del coste de las técnicas de derivación, con varias interpretaciones de los parámetros de los modelos en el sistema, etc. Con este recorrido se pretende que los Es vivan todas las etapas de un proceso de modelización funcional (del 1.º al 4.º estadio de MF) y que la actividad matemática se muestre ampliable y cíclica. - Como creemos que los Es van a necesitar de mucho tiempo para explorar las técnicas matemáticas del GeoGebra (como, por ejemplo, la manipulación de selectores), el P estará disponible para aclarar las eventuales dudas por Skype al compartir su pantalla para muestrear la funcionalidad de ciertas herramientas. - Para introducir el RM3, la exploración de la noción intuitiva de antiderivada como un desafío de autonomía podrá ser un factor motivador para que los Es se entusiasmen con estrategias didácticas de construcción de su propio conocimiento. - En el final de esta UD2 se pretende compartir, de nuevo, con los estudiantes el “ranking” de evaluación (puntos ya adquiridos) para estimular una saludable competitividad y así, continuar incrementando el interés en trabajar más en la UD siguiente. 268 4.ª/5.ª semana (5 – 15 noviembre de 2014) Unidad Didáctica 3: Construcción y manipulación del modelo continuo «aproximado» - Experimentar regresiones sobre datos discretos brutos; Elegir y construir el modelo funcional continuo aproximado; Trabajar dentro del modelo continuo; Interpretar en términos del sistema; Formular nuevas hipótesis que pueden generar el trabajo con nuevas variables y la construcción de un nuevo sistema; - Experimentar regresiones sobre datos discretos variacionales (TVM o TVMR); Elegir y construir el modelo variacional; Aproximar a un modelo diferencial; Construir el modelo diferencial aproximado; Resolver la ecuación diferencial y construir el modelo funcional continuo aproximado; Trabajar dentro del modelo continuo; Interpretar en términos del sistema; Formular nuevas hipótesis que pueden generar el trabajo con nuevas variables y la construcción de un nuevo sistema; - Sesión 6 – 3h Presencial No presencial PG resuelven autónomamente, buscando las herramientas en internet, la primer parte de la Ficha de trabajo - F4 (tareas referentes a la técnica de cálculo de primitivas por partes). PG comparan y discuten las soluciones encontradas. P Esclarece algunas dudas de los PGs por Skype. Sesión 7 – 3h P orienta y esclarece dudas de cada PG. PG continúan resolviendo la Ficha de trabajo F4 (tareas referentes a la técnica de sustitución o de fracciones racionales). PG discuten la aplicabilidad de cada técnica a la resolución de cada tarea. P esclarece dudas de cada PG. 269 PG Envían el trabajo al P a través de la plataforma Moodle. P Sugiere el trabajo de la cuestión ¿Cómo se puede prever a lo largo del tiempo el número de casos de cáncer de tiroides en las poblaciones más próximas al accidente en la antigua central ucraniana de Chernóbil? PG Reflexionan sobre la problemática e intentan dar una primera respuesta provisional. P Concretiza un poco más al plantear la cuestión ¿Qué tipos de modelos funcionales podrían caracterizar este sistema? Sesión 8 – 3h PG Podrían buscar datos discretos (reales o no) en libros/internet y construir un modelo funcional que los describiese. Caso en que los Es sientan dificultades en encontrar datos discretos referentes a esta temática: P Sugiere tomar como base del estudio los datos empíricos recogidos en una investigación y descritos en el Foro de Chernobyl (2003–2005). (http://www.iaea.org/sites/default/files/chernobyl.pdf) PGAnalizan los datos en el texto y su evolución. PG Con el auxilio del GeoGebra intentan responder a la tarea PGTrabajan simultáneamente con las hojas de cálculo, algebraica y gráfica del GeoGebra para experimentar diferentes tipos de regresiones sobre 5 de los datos discretos para construir varios modelos continuos «aproximados». Sesión 9 – 3h P Induce los PGs a considerar interesante la alternativa de comparación de las variaciones de los datos continuos con las de los discretos (TVM aproximadas < > TVM reales). PG Repiten el procedimiento anterior de comparar las medias de los errores absolutos de ajuste y de predicción de las TVM del modelo relativamente a las variaciones reales (TVM reales). PG Sienten la necesidad de ampliar las técnicas para obtener una mayor coherencia entre la capacidad de predicción y de ajuste. PG Proponen, deducen y testan diferentes técnicas. PG Comparan las diversas técnicas. PG Eligen la técnica que revela una mayor coherencia entre la capacidad de predicción y de ajuste de un modelo. 270 P Pregunta a los PGs sobre qué técnicas podrían ayudarlos a elegir el modelo más adecuado al conjunto de datos ( De entre los modelos presentados, ¿cómo elegir el que se ajusta mejor a los datos?¿Qué técnicas se pueden utilizar para comparar los modelos?) PG Calculan los errores absolutos de las imágenes de cada uno de esos modelos relativamente a las imágenes reales. P Conduce los PGs a utilizar los restantes datos discretos para estudiar la posible capacidad predictiva de los modelos construidos. PG Mediante una tabla, comparan las medias de los errores absolutos de ajuste y de predicción de cada modelo. PG Verifican que el modelo que se ajusta mejor no es el que mejor predice a largo plazo. PG Sienten la necesidad de ampliar las técnicas. PG Buscan respuestas para la cuestión ¿Cómo elegir el modelo que presenta una mayor capacidad predictiva a corto, medio y largo plazo? ¿Cuál es la técnica que sugiere utilizar para que ese modelo sea el elegido? P Esclarece las dudas de los PGs por Skype. PG Envían el trabajo al P a través de la plataforma Moodle. P Sugiere el trabajo de la cuestión ¿Cómo se puede prever la evolución del impacto de daños genéticos en las generaciones futuras próximas de Chernóbil? PG Reflexionan sobre la problemática e intentan dar una primera respuesta provisional. P Concreta un poco más al plantear la cuestión ¿Qué tipos de modelos funcionales podrían caracterizar este sistema? PG Podrían buscar datos discretos (reales o no) en libros/internet y construir un modelo funcional que los describiese. Caso en que los Es sientan dificultades en encontrar datos discretos referentes a esta temática: P Sugiere un conjunto de datos discretos no reales. PGAnalizan gráficamente la evolución de los datos. Sesión 10 – 3h PG Con el auxilio del GeoGebra procuran responder a la tarea usando regresiones sobre los datos. PG Observan que los modelos convergen para infinito y que, interpretando en el sistema, deberían converger a cero. PGSienten la necesidad de ampliar el estudio a otras técnicas. P Sugiere a los PGs que construyan modelos sobre datos variacionales, proponiendo que algunos PGs exploren regresiones sobre datos de la TVM y los restantes sobre datos de la TVMR. PGTrabajan simultáneamente con las hojas de cálculo, algebraica y gráfica del GeoGebra para experimentar diferentes tipos de regresiones sobre casi todos los datos discretos para construir varios modelos continuos variacionales «aproximados». P Sugiere a los PGs la construcción de la correspondiente ecuación en diferencias finitas y su aproximación a una ecuación diferencial. PG Estructuran en el cuaderno la resolución de la ecuación diferencial por integración directa. Los PGs que hacen regresiones sobre la TVMR van a obtener la exponencial de la integral. PG Con el auxilio del GeoGebra determinan los integrales de los modelos anteriores, obteniendo una familia de funciones con un parámetro (resultante de la integración). 271 P Aconseja los PGs a ajustar el parámetro de cada modelo construido (manipulando un selector del GeoGebra) de forma que se encuentre el valor que permite obtener el mínimo error medio de ajuste. PG Por simulación buscan, de cada familia de funciones, el modelo que mejor se ajusta a los datos discretos. P Pregunta a los PGs sobre qué técnicas podrían ayudarlos a elegir el modelo más adecuado al conjunto de datos ( De entre los modelos presentados, ¿cómo elegir el que se ajusta mejor a los datos?¿Qué técnicas se pueden utilizar para comparar los modelos?) PG Calculan los errores absolutos de las imágenes de cada uno de sus modelos relativamente a las imágenes reales. P Conduce los PGs a estudiar la posible capacidad predictiva de los modelos construidos sabiendo que, de acuerdo con el sistema, los modelos deberían tender hacia cero. PG Mediante una tabla, comparan las medias de los errores absolutos de ajuste y de predicción de cada modelo. PG Buscan respuestas para la cuestión ¿Cómo elegir el modelo que presenta una mayor capacidad predictiva a corto, medio y largo plazo? ¿Cuál es la técnica que sugiere utilizar para que ese modelo sea el elegido? PGPresentan sus modelos-respuestas al GG+P. GG Discusión y defensa de los modelos de los PG. GG Comparan, discuten las 3 grandes técnicas utilizadas por los PGs: regresiones sobre los datos brutos; regresiones sobre los datos de TVM; Regresiones sobre los datos de TVMR. GG+P Concluyen que, para este conjunto de datos particulares y para este tipo de fenómeno, la técnica que permitiría obtener mejores modelosrespuestas (interpretados en el sistema) sería la resultante del estudio de la variación relativa (aplicación de regresiones sobre datos de la TVMR). PPropone nuevas tareas que permitan extraer información acerca del sistema a partir del modelo elegido. PG Exploran, trabajan e interpretan el modelo construido. P+GG Institucionalizan los resultados obtenidos por los PG y posiblemente amplían el modelo construyendo un modelo generalizado con parámetros (familia de modelos funcionales). P Esclarece las dudas de los PGs por Skype. Medios y Medias RM PG Envían el trabajo al P a través de la plataforma Moodle. RM4 y RM5 Artículos: - Chernobyl’s Legacy: Health, Environmental and Socio-Economic Impacts and Recommendations to the Governments of Belarus, the Russian Federation and Ukraine. The Chernobyl Forum: 2003–2005. http://www.iaea.org/sites/default/files/chernobyl.pdf Fuentes de investigación sugeridas: Wikipedia, libros, noticias de periódicos, revistas científicas, Internet, entre otras. Definir que: En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo; En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype; 272 10’ 130’ 20’ - 3.ª Ampliación: Presentación de la cuestión - Exploratorio: - Búsqueda de técnicas para resolver las tareas propuestas en y, en un ámbito más general, en . Construir modelos continuos, elegir el más adecuado y extraer información acerca del sistema a partir del modelo. Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica? Discusión y defensa de las respuestas de los PG. 20’ - Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y verificar que son útiles las técnicas que utilizan el CDE (la función derivada) para comparar los modelos continuos y elegir el más adecuado al sistema. 10’ - 4.ª Ampliación: Presentación de la cuestión - Exploratorio: - Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica? Discusión y defensa de las respuestas de los PG. - Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y comparar las diferentes técnicas utilizadas (regresiones sobre datos brutos o variacionales) por la capacidad predictiva del modelo que cada una sugiere. - Se podría enriquecer la actividad matemática si cada grupo trabajase un conjunto diferente de datos discretos referentes a fenómenos de naturalezas distintas. Quizá, se podría verificar que la evolución de ciertos fenómenos sería mejor descrita por modelos provenientes de regresiones sobre los datos de la TVM y, la evolución de otros fenómenos sería mejor descrita por modelos provenientes de regresiones sobre los datos de la TVMR. - Al final de la UD3, no se pretende que los estudiantes dominen las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales (toda vez que no forma parte del programa oficial). Simplemente, se pretende solucionar ecuaciones sencillas, por integración directa, de forma que los estudiantes «sientan» que estas técnicas que utilizan herramientas del CDE son más económicas que las técnicas discretas (experimentadas en la UD1 con el RM1). - Como se espera que los alumnos necesiten de tiempo para explorar las nuevas herramientas informáticas y creemos que van a surgir muchas dudas a este nivel, el profesor (además de orientar a los estudiantes en la búsqueda de tutoriales/vídeos) se mostrará disponible para aclarar las dudas online o presencialmente. 180’ 20’ Observaciones 20’ Búsqueda de técnicas para resolver las tareas propuestas en y, en un ámbito más general, en . Construir modelos continuos, elegir el más adecuado y extraer información acerca del sistema a partir del modelo. 273 6.ª/7.ª semana (17 – 24 noviembre de 2014) ARTICULACIÓN DE TODAS LAS UNIDADES DIDÁCTICAS Unidad Didáctica 0 - Unidad Didáctica 3 - Relacionar y encadenar las unidades didácticas, sus praxeologías y sus cuestiones problemáticas. Mediante un diagrama de actividad de MF identificar las actividades experimentadas con las correspondientes . Vivir las dificultades en hacer el paso del campo discreto al continuo. Percibir la importancia del estudio de herramientas del CDE en el desarrollo de actividades de modelización funcional. Presencial No presencial P Distribuye el diagrama de actividad (formato impreso) a los PGs y propone la identificación de las actividades que el PG cree haber experimentado al responder a las diferentes cuestiones. P Sugiere una posible ampliación de la situación mediante un cuestionamiento tecnológico: Para este conjunto de datos, ¿Cual es la mejor técnica para construir modelos funcionales a partir de datos discretos? ¿Hacer regresiones sobre los datos brutos o sobre los datos variacionales? GG Reúnen sus respuestas y discuten. P Propone una reflexión final de todos los trabajos enviados, orientada por las cuestiones: Sesión 11 – 2h En qué sentido se podrá decir que el estudio del CDE (derivadas, primitivas e integrales) podrá ser útil?¿Para qué sirve? ¿Qué problemas permite resolver? PGRetoman todos los trabajos enviados anteriormente al P, debaten, mejoran y amplían sus respuestas. P Sugiere a los PG algunos aspectos a completar (toma notas para sí mismo acerca de la participación de cada E dentro de su PG). PGArticulan todas las cuestiones, respuestas, técnicas utilizadas, cuestionamiento tecnológico y reflexiones 73 en una presentación final (con diapositivas) para el GG+P. E Co-evalúa los pares (sus compañeros de grupo). P Esclarece las dudas de los PGs por Skype. P Evalúa los PGs y cada E en particular. PG Envían el trabajo al P mediante la plataforma Moodle. PGPresentan su trabajo final al GG+P. 73 Que fue uno de los instrumentos de evaluación del trabajo desarrollado por los estudiantes. 274 Medios y Medias RM Todos: RM1, RM2, RM3 , RM4, RM5, 20’ 180’ 180’ Observaciones 120’ Fuentes de investigación sugeridas: Wikipedia, libros, noticias de periódico, revistas científicas, Internet, entre otras. Definir que: En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo; En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype; - 5.ª Ampliación: Presentación de cuestiones conductoras de una reflexión final - Exploratorio: Busca de todas las cuestiones, respuestas, técnicas utilizadas para resolver las tareas propuestas en , y, en un ámbito más general, en . - Evaluación: ¿Será que estas técnicas son las más adecuadas y económicas? Discusión y defensa de las respuestas de los PG. - Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y construir, en GG, una respuesta global a (con las presentaciones finales). Verificar la razón de ser del estudio del CDE en el desarrollo de actividades de modelización funcional. - La idea sería dar al estudiante la oportunidad de corregir errores cometidos en trabajos anteriores, mejorando sus respuestas y ampliándolas a otras situaciones. Por ejemplo, se pretendía que los PGs experimentasen trabajar modelos pertenecientes a diferentes familias de funciones, potenciar el trabajo de grupo (cada elemento del PG podría ahora trabajar un modelo diferente y después comparar). Se pretendía dar la libertad al E de ampliar, enriquecer y interpretar su actividad matemática. - La explicitación, a los estudiantes, del diagrama de actividad a los PG tiene dos intenciones: ser útil para que los Es observasen el encadenamiento de las actividades vividas y para el P verificar si los Es conseguían interpretar la actividad matemática desarrollada. - Como creemos que los PGs van a sentir dificultades en articular todas las cuestiones, respuestas, técnicas matemáticas utilizadas, el P estará disponible para aclarar las eventuales dudas por Skype. 2.4. Articulación de los procesos de estudio de los dos problemas básicos de Medicina Nuclear Con el esquema que se sigue se pretende describir la articulación de los problemas de Medicina Nuclear abordados en esta Unidad Curricular con las cinco cuestiones problemáticas principales sus ampliaciones las técnicas y consecuentes cuestiones intermedias , con las fichas de trabajo propuestas y con las respectivas respuestas 275 : con para desarrollar Figura 3: Articulación de los procesos de estudio de los dos problemas básicos de Medicina Nuclear 276 3. Desarrollo de las experimentaciones De forma transversal, en todas las sesiones presenciales y virtuales ha surgido la necesidad de utilizar un lenguaje poco habitual para los estudiantes. Así, las diapositivas de los años anteriores fueron reformuladas para permitir la introducción de un vocabulario más específico del desarrollo de actividades de modelización funcional tales como: la noción de modelo para caracterizar un sistema dado (en nuestro caso particular, del ámbito de la Medicina Nuclear); la formulación de hipótesis/conjeturas; y la construcción, trabajo e interpretación del modelo en términos del sistema. Paralelamente, también ha surgido la necesidad de introducir cierto vocabulario relativo a la Teoría Antropológica de lo Didáctico referido, esencialmente, a los componentes de las praxeologías como, por ejemplo: tarea, técnica, justificación matemática de las técnicas (tecnología) y justificación de las tecnologías (teoría); comparación de las técnicas y elección de la más adecuada para resolver un determinado tipo de tarea; cuestionamiento tecnológico; etc. Para llevar a cabo las sesiones virtuales, fueron exploradas diferentes herramientas de comunicación online por videoconferencia (Link, webmeetings/OpenMeetings, Colibri WebConference, AdobeConnect, etc.). De acuerdo con algunas restricciones institucionales relacionadas con permisos de acceso informático de la Escuela, con la facilidad de instalación/utilización en los ordenadores personales de los Es, elegimos como herramienta de comunicación online una combinación de Skype con Moodle, por presentar una accesibilidad universal (los Es y el P podrían acceder en la escuela o en sus habitaciones, a partir de sus ordenadores, teléfonos móviles o tablets). La plataforma Moodle ha funcionado inicialmente para efectuar la comunicación entre el P y los PG vía chat y, posteriormente, para recoger (de un modo organizado) los trabajos de los PG. En investigaciones futuras, quizá sería interesante utilizar también el foro del Moodle para consultar las dudas (EPG y PGP), de manera que quedaron automáticamente registradas. Se ha realizado mucho trabajo EPG por chat online vía Facebook, WhatsApp, Hangouts y la idea inicial consistía en que los Es reprodujesen en las actas las cuestiones más pertinentes que se discutieron en los debates dentro de los PG, pero dicha función de las actas no ha sido bien percibida por los Es. 277 Para prevenir, en investigaciones futuras, la pérdida de registro de estas cuestiones intermedias planteadas por los Es, se podría trasladar la responsabilidad de la grabación al profesor. Con el Moodle, el P puede controlar de alguna forma el trabajo del alumno al visualizar el relato de la “actividad reciente” del estudiante y su participación en la disciplina (quién se ha responsabilizado del envío de los trabajos del grupo, trabajos complementarios, puntualidad en las descargas, etc.). También inicialmente, con la perspectiva de incentivar la autonomía, la investigación y una mayor responsabilidad del alumno en el proceso de aprendizaje, se había previsto una penalización de los PG que recurriesen a la ayuda del P (con -1 punto en la evaluación del trabajo intermedio). En la práctica, en lugar de penalizar (negativamente) un determinado PG, fue valorizado (positivamente) el PG que revelaba independencia en el estudio y capacidad de investigación. En la primera semana ya ha sido necesaria la definición conjunta (P-PG) de Sesiones Virtuales con los PG (en el horario de los estudiantes) con la finalidad de testar la funcionalidad de las herramientas informáticas y, en particular, de la enseñanza no presencial (virtual). A continuación vamos a describir con detalle el desarrollo de las actividades y las observaciones del P en las sesiones presenciales y virtuales. 3.1. Sesión Presencial 1 Semana 1 – (2 horas) En la primera sesión se ha presentado la nueva metodología y los criterios de evaluación (30’). En esta primera sesión presencial fue diagnosticado si los Es ya tenían interiorizada la noción de variación de magnitudes y de variación de una función. Para ello, durante 90’, los Es resolvieron con entusiasmo el diagnóstico y discutieron en grupo la noción de variación, la existencia de más de una respuesta (modelo funcional) posible. Uno de los estudiantes indicó que tendríamos más de una variable cuando el modelo a elegir dependiese de una condición inicial. 278 Para llevar a cabo esta actividad se ha construido una Ficha de diagnóstico en la que se proponen 15 tareas, inicialmente pensadas para una resolución individual, con el objetivo de interpretar la noción de variación mediante el cálculo de la TVM o la determinación de la función derivada como técnicas matemáticas útiles para estudiar la variación de magnitudes o de una función. Sin embargo, algunos Es manifestaron dificultades en dicha interpretación. Para superar este obstáculo sin contradecir el nuevo contrato didáctico estipulado, que atribuye una mayor responsabilidad al E, el P ha conducido la actividad matemática usando una secuencia74 para gestionar el paso de responsabilidades: Ciclo del paso de las responsabilidades en la resolución de tareas E 2 Es 4 Es (PG) GG sugerencia del P E En general, los estudiantes mostraron algunas dificultades en la interpretación de la TVM y de la derivada, así como en la comparación de sus potencialidades como herramientas para estudiar la variación de una función. Algunos estudiantes no recordaban la fórmula para calcular la TVM. Sin embargo, la aplicaron sin problemas e interpretaron su resultado razonablemente bien. Los PG discutieron bastante la tarea 2b de la Ficha de diagnóstico (ver anexo G.2.), en la cual se pedía la gráfica de la TVM a partir de la gráfica de una función, y además consideraron curiosa la tarea 6a (su tarea inversa) por presentar varias soluciones dependiendo del valor inicial elegido. Se confirmó así, una vez más, la rigidez de las praxeologías matemáticas que se estudian en la enseñanza secundaria, la poca articulación entre ellas y la ausencia de cualquier tipo de cuestionamiento tecnológico que permita analizar la economía, la fiabilidad y el dominio de validez de las técnicas matemáticas que se utilizan en la práctica matemática escolar. 74 Esta secuencia de responsabilidades fue utilizada, siempre que era posible, en las sesiones siguientes. En algunas tareas, lo que 1E no conseguía resolver, 2Es ya lo conseguían. En las tareas de dificultad mayor, a veces, era necesario recurrir más de una vez al ciclo de responsabilidades. 279 3.2. Sesión Presencial 2 Semana 1 – (2 horas) Los 21 estudiantes que constituían el «gran grupo» (GG) formaron cuatro «pequeños grupos» (PG), tres de los cuales estaban constituidos por cinco estudiantes cada uno y los seis restantes formaban el cuarto PG. Empezaron la sesión muy entusiasmados, dispuestos a utilizar las grabadoras (con teléfono móvil/tablet), eligiendo los secretarios y mostrándose preparados para las discusiones en grupo. El P distribuyó a cada E la Ficha de Trabajo 1 - F1 (ver anexo G.2.) que empezaron a resolver en PG y a discutir con detalle las técnicas a utilizar en cada tarea propuesta. En la sesión presencial resolvieron cerca de 10 de las 15 tareas propuestas (dejando las restantes 5 para completar en casa). Los estudiantes tuvieron total libertad para consultar internet, los manuales de secundaria y otros libros de texto75. Para responder a ciertos ítems como, por ejemplo, relacionados con el Teorema de Lagrange o el Polinomio de Taylor (que correspondían a contenidos nuevos), los estudiantes sintieron la necesidad de recurrir a internet. Es de subrayar que la mayor parte de los estudiantes no revelaron dificultades en llevar a cabo, de una forma autónoma, las tareas de verificación de las condiciones del Teorema de Lagrange o de la construcción del Polinomio de Taylor para aproximar localmente una función. Consideraron la tarea 2 de la F1 muy costosa porque para llevarla a cabo era necesario articular diferentes técnicas de derivación debido a que se trataba de funciones compuestas de diferentes tipos de funciones (irracionales, polinómicas, etc.). Los estudiantes mostraron dificultades para llevar a cabo la tarea de comparar la economía y fiabilidad de las técnicas de derivación (tarea 3 de la F1) indicando que era una tarea completamente nueva para ellos y, por lo tanto, no sabían muy bien cómo abordarla. Incluso después de la explicación del P, muchos PGs no entendieron el objetivo de asociar a cada tipo de tarea la técnica más económica/eficaz ni la importancia de estudiar el alcance o dominio de validez de una técnica. En este punto se notó bastante la rigidez de las matemáticas aprendidas en la enseñanza secundaria. 75 En la sesión anterior se había recomendado a los estudiantes que llevasen los libros de texto a clase para poder consultarlos. 280 Los Es preferían responder a las tareas individualmente y después comparar y discutir sus resoluciones con las de los restantes elementos de los PGs. Decían que esta estrategia les permitiría garantizar la respuesta correcta de su grupo (como una especie de validación). En general, no han surgido dificultades en percibir las posibles razones de ser «oficiales» de la derivada (esto es, el estudio de la variación y construcción de modelos gráficos, la determinación de la recta tangente, la resolución de problemas de optimización y la aplicación de ciertos teoremas) y de las derivadas de orden superior de una función (como el estudio de la «variación de la velocidad», la interpretación como ritmo de crecimiento/decrecimiento, la construcción de modelos por aproximación al polinomio de Taylor76). Fueron propuestos diferentes horarios para llevar a cabo las primeras sesiones virtuales entre cada uno de los PG y el P (de las 16 hasta las 19.30 del día siguiente) con el objetivo inicial de experimentar el funcionamiento de los PGs virtualmente por videoconferencia y vía Moodle (envío de trabajos, chat, etc.). Sesión Virtual 1 Semana 1 – (1h con cada grupo) La creación de una sesión virtual vía WebConference (Colibri - Adobe Connect) no ha sido posible por un problema en la red del Instituto (IPP). A fin de solucionar el problema, fueron creados chats por grupos vía Moodle para avisar a los Es que se utilizaría el Skype como alternativa. Así, los estudiantes de tres de los grupos estaban reunidos en la escuela y utilizaron un ordenador para conectarse con el P. El cuarto grupo se encontraba disperso y, por lo tanto, fue necesario crear algunas cuentas Skype. Cada grupo ha necesitado 30-45 minutos para formular sus dudas. El P ha creado los grupos en Moodle y la actividad para la envío del trabajo por esta vía (en grupos separados). Cada PG ha intentado enviar al P, vía Moodle, el Trabajo 1 (SP2 + SV1). Algunos tuvieron problemas con las dimensiones de los ficheros (principalmente con las 76 Postulamos que la construcción del polinomio de Taylor puede ser interpretada como una herramienta útil en el proceso de construcción de un modelo funcional (local) conociendo únicamente el valor de una función y de sus derivadas en un determinado punto. 281 grabaciones) y enviaron parte del trabajo por email o buscaron otras alternativas (WeTransfer, Google Drive, etc.). 3.3. Sesión Presencial 3 Semana 1 – (2 horas) Dado el interés de los Es en trabajar autónomamente en los PGs, el profesor ha decidido dejar para esta sesión la institucionalización del trabajo desarrollado en las dos primeras sesiones (Ficha de diagnóstico y Ficha de trabajo 1). Inicialmente, para la institucionalización de las praxeologías matemáticas trabajadas en las sesiones, el P había pensado exponer y comentar para cada tarea las mejores respuestas (digitalizadas) dadas por los PGs pero, para economizar el tiempo, en esta sesión el profesor ha tomado la iniciativa de institucionalizar las OM trabajadas con todo el GG. Esencialmente el P ha preguntado a los PG que técnicas han considerado más ventajosas, económicas, más potentes (en términos del dominio de validez), más adecuadas, etc. Por ejemplo, para responder a las cuestiones planteadas por el P en la Ficha de Diagnóstico, los PG han considerado que: la TVM tiene un papel poco significativo en el estudio algebraico y gráfico de funciones en comparación con la función derivada. Algunas veces utilizaron tablas comparativas para resumir dichas contrastaciones. Respecto a las tareas de la FD y de la F1, tuvo lugar un debate entre toda la comunidad de estudio, GG+P. Las principales conclusiones de dicho debate fueron las siguientes: - En relación a la tarea 1 de la F1, los Es que utilizaron las reglas de derivación estaban de acuerdo en que es más sencillo utilizar la regla de la derivada de un producto de funciones - ) que la del cociente En la tarea 4 de la F1, uno de los grupos formuló la hipótesis de que ambas funciones pertenecían a la misma familia, difiriendo únicamente en el término independiente que sólo depende del parámetro . - En la discusión de la tarea 6, los estudiantes aportaron alguna información adicional en relación a la construcción del modelo cuadrático. Los PGs presentaron diferentes técnicas para su resolución: utilizar la descomposición del polinomio en factores conociendo sus ceros; utilizar el método de los coeficientes indeterminados y resolver un sistema con tres incógnitas; analizar el gráfico para situar los ceros, el vértice y 282 demás, resolver un sistema con dos ecuaciones; determinar el vértice para escribir la ecuación de la parábola. Sin embargo, dos grupos tuvieron dificultades para interpretar el punto , considerando así el modelo lineal en lugar de cuadrático, lo que condujo a la resolución incorrecta del problema propuesto. - En relación a la tarea 10 a), uno de los grupos interpretó gráficamente el ritmo de crecimiento. En el apartado b) los PGs presentaron dos interpretaciones pertinentes en el sistema de un determinado instante de tiempo: como el momento de cambio de variación de la enfermedad y como el momento en que la velocidad de dispersión era máxima. - Para responder a la cuestión 13, uno de los PG se cuestionó si representaba un número par o un número impar y, de acuerdo con la formulación de diferentes hipótesis, presentó diferentes posibles respuestas correctas. - En la tarea 14 a), uno de los grupos dedujo que los gráficos serían idénticos por el grado del Polinomio de Taylor ser igual al del polinomio pretendido. En general, los Es mostraron interés por investigar y cohesión en el grupo, pero se comportaron con poco sentido crítico en sus reflexiones y en las discusiones sobre las técnicas utilizadas. Al final, esta sesión se volvió demasiado expositiva y los Es se mostraron cansados a pesar de lo cual participaron bastante añadiendo aportaciones relevantes a su trabajo. 3.4. Sesión Presencial 4 Semana 2 – (3 horas) La sesión presencial 4 ha empezado por la presentación de la cuestión generatriz Q0 y cuestión problemática derivada Q1 a los estudiantes por parte del profesor (ver anexo G.1.). Éste ha expuesto las planillas y mostrado algunas herramientas matemáticas del GeoGebra77 al GG, tales como: la construcción de tablas, la creación de listas de puntos, la programación en hojas de cálculo, etc. Superadas las pequeñas restricciones iniciales de adaptación al software informático GeoGebra, los Es trabajando en sus PGs exploraron un problema concreto del ámbito de 77 Inicialmente se había pensado en crear un tutorial GeoGebra para guiar a los Es, pero después se decidió que sería más interesante que los propios Es explorasen el software autónomamente. 283 la Medicina Nuclear, analizando y discutiendo los artículos de apoyo sugeridos por el P para descubrir la relación matemática entre la actividad de un radioisótopo y su masa. Figura 4: La relación matemática entre las variables encontrada por el PG3 en uno de los artículos Los PGs fueron guiados por el P para que formulasen hipótesis sobre la TVM y sobre la TVMR lo que permitió que los estudiantes interpretaron adecuadamente la siguiente parte del RM1 (descrito en el capítulo IV): Figura 5 - Parte del RM1 que sirvió de guía didáctico-matemática para el profesor Con el GeoGebra, la generalidad de los PGs, calcularon sin dificultad los valores de la TVM de la masa en y sus primeras diferencias finitas observando que la TVM no era constante. Después calcularon las diferencias relativas, TVMR, en el mismo intervalo, observando una casi constancia en sus valores. A continuación se presenta el trabajo realizado por un PG: 284 La masa del Xenon-133 después de su desintegración Figura 6: PG3 - En la búsqueda de una respuesta a Q1. “Relativamente à primeira questão (representar a taxa de variação média e relativa da massa num determinado intervalo de tempo através de uma tabela) os estudantes recorreram ao programa matemático “GeoGebra”. De seguida, após discutirem e debaterem entre si vários métodos de resolução calculou-se a TVM através da fórmula e apontaram-se os resultados obtidos. Posteriormente calculou-se a taxa de variação média relativa e verificou-se que esta era constante ao longo de todo o estudo.” Acta del PG2 A partir de este punto se esperaba que los PGs construyesen la ecuación en diferencias finitas y que la resolviesen para encontrar un modelo funcional discreto para la masa en función del tiempo. Sin embargo, los Es han mostrado muchas dudas cuando se trataba de construir la ecuación en diferencias finitas. Tuvieron muchas dificultades para utilizar técnicas estudiadas en la enseñanza secundaria como, por ejemplo, los métodos iterativos para determinar el término general de una sucesión. Para resolver esta tarea, los Es fueron desafiados inicialmente por el P a buscar en internet/libros técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas. Asociados en PGs se esperaba que consiguiesen aplicar una de esas técnicas para resolver la tarea. Como los PGs no han obtenido el término general, se ha planteado el desafío al GG (todos los Es) que, a su vez, también se ha “bloqueado”. Así, ha surgido la necesidad de intervención del P con una primera sugerencia: 285 Sugerencia 1: Empezar por escribir la relación entre las variables ; Figura 7: PG3 – Crean la técnica de cálculo de la media de los valores para probar la casi constancia de la TVMR de la masa Siguiendo el ciclo de responsabilidades, el P ha propuesto que los PGs verificasen sí la relación podría describir sus conjuntos de datos y que la desarrollasen para obtener un modelo funcional discreto que describiese la masa del radioisótopo a lo largo del tiempo: Ha ocurrido un segundo “bloqueo” de todos los PGs y, consecuentemente, del GG, que requirió una nueva intervención del P con una segunda “sugerencia”: Sugerencia 2: Después usar la noción de variación para desarrollarla: En suma, dadas las dificultades de los Es, esta primera parte fue bastante guiada/conducida por el P. Sugerencia 3: Resolver la ecuación anterior en e intentar encontrar el modelo discreto (el término general de la sucesión); Retomando ideas iniciales propuestas por los PGs, uno de los Es indicó: E: “É uma recorrência! Podemos obter um termo a partir do termo anterior! Será que podemos utilizar as técnicas de iterações sucessivas?!” Presentamos a continuación un ejemplo de una respuesta de los PGs: 286 Figura 8: PG3 - Construcción del modelo discreto por iteraciones sucesivas Nótese que el PG después de construir su modelo, podría haber intentado validarlo verificando las aproximaciones de las 8 imágenes obtenidas por el modelo a los datos reales de masa deducidos del artículo. Esta validación puede prevenir errores en la construcción del modelo (por ejemplo, en este caso, el error de cálculo al considerar en lugar de ) y podría ser efectuada mediante una tabla comparativa de valores: Tiempo 0 5 11 15 18 21 24 32 Valores de la masa del radioisótopo Modelo con error Modelo pretendido Reales 111,00 111,00 111,00 105,56 65,54 57,39 99,38 34,83 26,09 95,47 22,85 15,32 92,63 16,66 10,21 89,88 12,15 6,99 87,21 8,85 4,88 80,47 3,81 1,67 Tabla 12 - Propuesta de un instrumento de validación del modelo construido por los estudiantes 287 Con esta tabla sería sencillo verificar que el modelo construido por el PG3 (modelo con error) no podría aproximar adecuadamente los datos reales. Se observó que ninguno de los PGs interpretó su modelo en términos del sistema, dado que no verificaron si el modelo se adecuaba al sistema, o sea, si las imágenes producidas por el modelo se aproximaban a los datos reales de la masa del radioisótopo a lo largo del tiempo. Sin embargo, uno de los PGs tuvo la idea de validar su modelo, pero como consideró la masa inicial como una variable y no como un parámetro, al final no lo ha conseguido validar efectivamente. Al reunir las respuestas de los PGs relativas a los modelos que describían la masa de los diferentes radioisótopos, los Es asumieron la institucionalización. Cuando una substancia radioactiva se desintegra, su masa varía de acuerdo con un modelo exponencial en una variable y dos parámetros (la constante que representa la TVMR y la masa inicial): , Debido a las restricciones de horario y del tipo de alumnos hicimos un recorte y no experimentamos todas las tareas y sub-tareas necesarias para responder a Q11. En suma, en la vivencia de este REI1, y al contrario de lo inicialmente previsto, fue necesaria una mayor intervención del P, lo que disminuyó la autonomía de los estudiantes y de los PGs. Aceptando la posibilidad de que se produzcan bloqueos en el desarrollo de las actividades y con el objetivo de mejorar el ciclo de responsabilidades propuesto inicialmente, se propone la siguiente ampliación: P lanza desafíoE PGGGbloqueoP da sugerencia 1E PGGGbloqueoP dá sugerencia 2 E… Sin embargo, como mostraremos más adelante algunos desafíos de autonomía tuvieron lugar y los estudiantes buscaron con éxito en diferentes media la información necesaria para construir su propio conocimiento como, por ejemplo, el “Desafío antiderivada” (al final de la Q2 en el anexo G.1.) que ha servido de puente a la introducción del concepto de integral mediante la Q3, cuestión generatriz del recorrido de estudio e investigación REI3. Los PG mostraron capacidad de investigación: 288 “Após uma breve leitura do problema em questão, os estudantes tomaram a iniciativa de pesquisar na Internet diversos termos/conceitos e fórmulas que nos ajudassem a resolver o problema recorrendo aos seguintes sites: http://www.agracadaquimica.com.br/quimica/arealegal/pdf/176.pdf - relação entre a massa e a atividade (pág. 6); http://www.if.ufrgs.br/~marcia/FN_aula2.pdf fórmula do decaimento radioativo; http://www.translatorscafe.com/cafe/unitsconverter/radiationactivity/calculator/be cquerel%5BBq%5D-to-curie-%5BCi%5D/ - conversão de bequerel para curie e por fim www.agracadaquimica.com.br.” Acta del PG2 Sesión Virtual 2 En la Sesión Presencial 4 el profesor estaba un poco preocupado con el tiempo institucional y, por eso, ha acelerado el ritmo, proponiendo además del problema Q1 (ya trabajado por los PGs en la SP4 con la orientación del P), el problema Q2 y la F2 (ambos trabajados por los PGs autónomamente fuera de clase y, posteriormente, acompañados y orientados por el P en una Sesión Virtual). “No dia quinze do mês de outubro pelas dezassete horas e quinze minutos deu-se início à sessão pelo Skype.” Acta del PG2 En la Sesión Virtual78 (el profesor ha trabajado cerca de 2h con cada PG) la cuestión problemática Q2 (¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de un paciente t minutos después de su administración?) ha surgido como una ampliación de la cuestión Q0. Para responder a Q21 (¿Qué tipo de modelo funcional podría caracterizar este sistema?) los estudiantes podrían buscar, en internet o en libros de texto, diferentes modelos funcionales que podrían caracterizar un mismo sistema como, por ejemplo: modelos racionales, trigonométricos, cuadráticos, exponenciales, definidos a trozos, etc. Los estudiantes del PG2 han contestado de la siguiente forma: “Na questão 21 (Q21), que perguntava qual o modelo funcional que melhor se aplicava ao problema em questão, uma E sugeriu o modelo exponencial pois tendo em conta que à medida que o tempo avançava, a concentração de radiofármaco iria acabar por estabilizar o que ia de encontro, com base na observação, ao modelo exponencial. Outra E complementou esta ideia com o facto de que a concentração de radiofármaco no organismo do doente nunca iria chegar a zero o que quer dizer que os valores de concentração se iriam aproximar cada vez mais de zero o que era um indício de estabilização. Posteriormente, o grupo observou que, relativamente ao decaimento radioativo, a concentração de isótoposfilho (Tecnécio-99) aumenta ao longo do tempo ao contrário do que acontece com a concentração de isótopos-pai que diminui mediante o tempo de semivida.” Acta del PG2 78 En muchas de las sesiones virtuales había la necesidad de compartir pantalla, por ejemplo, para mostrar el efecto de la manipulación de un parámetro sobre el gráfico de un determinado modelo funcional. 289 En esta respuesta se observa la preocupación de los Es en interpretar la realidad mediante un modelo matemático adecuado, o sea, estudiar ciertas características del modelo exponencial (asíntotas, límite, variación) y verificar si dicho modelo podría describir la evolución de la concentración de un radiofármaco. Además, esta acta revela un cierto cuidado del PG en relacionar sus respuestas con el contexto de la física y del decaimiento radioactivo. Por una cuestión de tiempo y para poder controlar el desarrollo de la actividad, el P ha intentado uniformizar el tipo de modelo al proporcionar de antemano el modelo exponencial a los PG que no habían encontrado un posible modelo para caracterizar el sistema. Sin embargo, el P ha alentado a los estudiantes a buscar otros tipos de modelos que podrían caracterizar/describir este mismo sistema (concentración del radiofármaco). Así, el profesor ha propuesto a los PG, posteriormente, que retomaron sus posibles modelos-respuesta iniciales, los pusieron a prueba como instrumentos para responder al mismo conjunto de cuestiones y que comparasen las técnicas utilizadas. De este modo, para caracterizar el sistema, inicialmente todos los PGs tomaron el mismo modelo exponencial, lo que permitió que el GG pudiese reformular la cuestión Q2 de la siguiente forma: ¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de un paciente si suponemos que t minutos después de administrado, la concentración (medida en miligramos por litro) viene dada por la función ? Para responder a las cuestiones Q211,…, Q214 surgió la necesidad de explicar algunas herramientas matemáticas del GeoGebra a cada uno de los PG vía Skype. Así, el profesor compartió su pantalla con los grupos de estudiantes para ejemplificar como: representar la gráfica de una función, determinar los puntos de intersección, añadir la leyenda a un gráfico (con su expresión algebraica), cambiar de colores, usar selectores para manipular los parámetros de una familia de funciones (y, de este modo, cambiar la situación inicial), determinar la función derivada, insertar texto, etc. Con el auxilio del GeoGebra, los PG estudiaron la variación del modelo función del tiempo y llegaron a algunas respuestas como, por ejemplo: Q211: Se pode afirmar que a concentração aumenta sempre com o tempo? R211: “Não, a concentração não aumenta sempre com o tempo. Ao analisar o gráfico da função é possível ver que a concentração aumenta durante um certo período de tempo até 290 en atingir um pico, após o qual esta vai reduzindo até estabilizar num valor praticamente inexistente.” Respuesta del PG3 Se observó que ninguno de los PG utilizó herramientas del CDE para responder a las cuestiones, en particular, no usaron la función derivada para estudiar la monotonía, ni tampoco calcularon el límite ni determinaron la asíntota horizontal de la función. Sin embargo, el P había dado una “sugerencia” en este sentido cuando ejemplificó la determinación de la función derivada y el cálculo de los puntos de intersección de funciones con el GeoGebra. Q212: Como varia essa concentração ao longo do tempo? R212: “Como já foi descrito na resposta à pergunta anterior a concentração começa por aumentar progressivamente no momento da administração do radiofármaco até atingir um pico de concentração após o qual vai começar a diminuir, representando o início da eliminação do radiofármaco por parte do sistema imunitário do paciente, até que este é completamente eliminado atingindo assim uma concentração de zero.” Respuesta del PG3 En relación a las cuestiones Q213 y Q214 surgieron respuestas muy semejantes como, por ejemplo: R213: “A eliminação iniciase em t=1 e nesse instante a concentração é de 1.47ponto A.” ¡No usa la derivada! R214: “A concentração decresce mais rapidamente nos instantes seguintes à concentração máxima.” ¡No usa la derivada segunda! Figura 9: Respuesta del PG3 a Q213 y Q214 Se verificó que ninguno de los PG utilizó explícitamente en su respuesta las herramientas del CDE, en particular, no utilizaron la función derivada para estudiar la variación del modelo, ni tampoco la segunda derivada para estudiar la variación de la variación del modelo, y así responder respectivamente a las cuestiones Q213 y Q214. Sin embargo, uno de los PG representó (en el mismo sistema de referencia que el gráfico del “modelo concentración”) la función derivada y determinó su punto de 291 intersección con el eje de abscisas, pero no ha utilizado estos resultados para responder a las cuestiones. Para responder a las cuestiones Q212 y Q213 otro de los PG estudió el signo de la TVM pero no interpretó el resultado: Figura 10: Respuesta del PG4 a Q212 y Q213 Ninguno de los PG formuló nuevas cuestiones ni nuevas hipótesis. En relación a la primera ampliación de la , designada por que consistía en comparar la evolución de la concentración del radiofármaco en dos organismos diferentes, de María y de Luís, representadas respetivamente por los modelos y , se observó que: algunos estudiantes compararon los dos modelos algebraicos indicando que una concentración será siempre el doble de la otra, pero no compararon su evolución; otros presentaron los 2 gráficos en el mismo referencial pero, sin interpretar su variación en términos de semejanzas gráficas, diferencias entre máximos, momentos en los cuales se alcanza el máximo, valores iniciales, etc. Figura 11: Respuesta del PG1 a Q’2 En este punto la actividad matemática fue ampliada pasando los Es a trabajar un modelo funcional perteneciente al segundo nivel de MF “ampliado” (familia de funciones de una variable dependiente de varios parámetros). Este cambio de nivel no fue un obstáculo para los Es, lo aceptaron bien, sin extrañeza, estudiando con entusiasmo los efectos de la manipulación de los diferentes parámetros en la modificación de la situación inicial. En la parámetros se consideró el modelo algebraico-funcional e con dos (que representaban constantes positivas) para describir la 292 concentración del radiofármaco a lo largo del tiempo en el plasma de un paciente cualquiera. Se sugirió la interpretación de los parámetros del modelo mediante la utilización de herramientas del CDE79. : Como depende, em cada caso, o comportamento da função concentração C a (t) do valor do parâmetro a? Em que momento a concentração Ca(t) é máxima? Qual é o valor dessa concentração máxima? (A) Como depende, em cada caso, o comportamento da função concentração C k (t) do valor do parâmetro k? Em que momento a concentração Ck(t) é máxima? Qual é o valor dessa concentração máxima? (B) : Que características comuns apresentam os seus gráficos? De acordo com a situação problemática, formule algumas hipóteses para possíveis características do sistema que podem estar a ser representadas pelos parâmetros y do modelo funcional. Por una cuestión de tiempo, dos de los PG buscaron respuestas para la dos PG para la . Presentamos y los otros aquí algunas respuestas de los estudiantes: (Respuesta al conjunto A de cuestiones) + : Ao analisar os gráficos elaborados para o estudo do problema, é possível concluir que, utilizando o modelo C(t) = at -kt e alterando apenas a variável a, a única mudança que ocorre é o valor y (concentração) do extremo absoluto da função, sendo que quanto mais elevado for o valor de a mais elevado será o valor de y. Por outro lado, o zero da função e o valor x (tempo) do seu máximo absoluto mantem-se sempre constante tal como o instante em que a concentração se aproxima do zero, independentemente da variação de a. Figura 12 – Respuesta del PG3 a la Q’211 y a la Q’213 79 En esta memoria hemos caracterizado el CDE como una ampliación cálculo estudiado en la enseñanza secundaria incluyendo todas las técnicas relacionadas con el cálculo de límites, la determinación de asíntotas, continuidad/discontinuidad, monotonía, extremos, concavidades, puntos de inflexión, etc. (ver los detalles en la sección 4 del capítulo II). 293 Nótese que este PG no ha verificado la coherencia de los modelos presentados con el sistema, o sea, no ha interpretado el significado de los gráficos situados por debajo del eje horizontal. Esta parte de las gráficas correspondería a valores negativos de la concentración del radiofármaco (lo que sería absurdo). Así, estos estudiantes mostraron en sus respuestas alguna falta de sentido crítico de los resultados obtenidos. Además, no distinguen entre el papel de los parámetros y el de las variables cuando dicen: “alterando apenas a variável a”. (Respuesta al conjunto B de cuestiones) + : Para todos os valores de , a função Ck (t) apresenta a mesma assíntota horizontal, que é . Para além disso, verificamos que estas funções eram todas da mesma família. Assim, quando toma valores positivos a função apresenta concavidade voltada para baixo e se tomar o valor 0 torna-se uma reta. Deste modo, podemos concluir que quanto menor o valor de , demora-se mais tempo a atingir o valor máximo da concentração, daí que para diferentes , surjam diferentes achatamentos das funções. Figura 13: Respuesta del PG2 a Q’212 y Q’213 Para resolver a questão (B) o grupo recorreu ao programa informático “GeoGebra” para analisar a função do enunciado. Elaborou-se cinco gráficos com diferentes valores de , de modo a estudar e avaliar qual a influência desta variável no gráfico da função em causa. Indicou-se o ponto de interseção da primeira derivada, da função inicial, com o eixo e deu-se vários valores a (através do seletor) de modo a avaliar o comportamento da função primitiva o que nos levou a concluir, após observarmos o gráfico, que o valor de , no seletor, só pode tomar valores positivos de acordo com o contexto do problema. Acta del PG2 294 Los estudiantes del PG2 identificaron el signo del parámetro k con el sentido de las concavidades del gráfico. Sin embargo, podrían haber interpretado también la influencia del signo del parámetro en la monotonía de la función: para la concentración crece, alcana un valor máximo y después decrece. Se pretendía que los estudiantes descubriesen algunas características comunes a los modelos funcionales de la misma familia como, por ejemplo: tienen el mismo tipo de función derivada, la misma forma gráfica, el mismo punto en el que se alcanza el máximo, diferente máximo, etc. En relación a la formulación de hipótesis acerca de posibles características del sistema que podrían estar representadas por los parámetros y del modelo funcional (características fisiológicas del paciente y nunca condiciones exteriores), ninguno de los PGs ha desarrollado esta idea. Consideramos importante que los estudiantes lleven a cabo esta manipulación de los parámetros de las familias de funciones antes de la introducción del concepto de primitiva o antiderivada de una función. Desafío antiderivada Inicialmente había sido previsto seguir la metodología usual para resolver esta tarea relacionada con la noción de antiderivada: advirtiendo a los estudiantes que sería conveniente resolver anticipadamente algunas tareas más simples en la Ficha 2: Técnicas inversas y noción intuitiva de Anti-derivada. En el momento final de la SP4, y dado el entusiasmo de los estudiantes, se propuso a los PG una ampliación de la cuestión Q’’2 como un desafío de investigación autónoma. Los resultados fueron sorprendentes puesto que, sin ser una tarea obligatoria, en la sesión siguiente los estudiantes mostraron con entusiasmo sus descubrimientos al profesor P (vídeos del YouTube, diapositivas de profesores, técnicas en libros, etc.). En particular, mostraron el Teorema Fundamental del Cálculo, tablas de primitivas y la técnica para calcular primitivas de funciones polinómicas. La articulación espontanea de las praxeologías por parte de los estudiantes ha sido posible gracias a un proceso de inversión de las técnicas de derivación que dominaban de manera robusta. Así, al conseguir deducir la técnica inversa de una técnica habitual de forma autónoma, los estudiantes resolvieron intuitivamente las tareas con motivación y entusiasmo. 295 Figura 14: Respuesta del PG1 al “desafío antiderivada” 296 Figura 15: Respuesta del PG3 al “desafío antiderivada” En esta sesión ha dado muy buen resultado la estrategia didáctica consistente en que el P propone que el E acepte un desafío de autonomía para resolver una tarea determinada. Además ha permitido que en la SP5 la presentación de la técnica de cálculo de primitivas inmediatas al gran grupo (GG) fuese más natural, interactiva, colaborativa y, consecuentemente, más interesante para todos los Es. Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 2 (SP4 + SV2). 297 3.5. Sesión Presencial 5 Semana 2 – (3 horas) En el inicio de esta sesión, se ha institucionalizado la Q1 (usando una familia de funciones) y la Q2 comparando las respuestas enviadas por los PG a través de la plataforma Moodle con las respuestas que habían sido previstas anteriormente por el profesor. El P y los Es han llegado a la conclusión de que estas respuestas podrían ser mejoradas y, como dicha iniciativa ha partido de los propios estudiantes (que manifestaban en la institucionalización saber hacer más y mejor de lo que habían demostrado en los trabajos enviados) el P les ha dado la posibilidad de que completaron y ampliaron sus respuestas en el momento de la preparación de la presentación del trabajo final (que resultaría de la articulación de todos los trabajos intermedios enviados). Así, el P ha mostrado un ejemplo de cómo se podría hacer esa ampliación de la actividad matemática como respuesta a la cuestión Q2: De una vasta gama de posibles modelos vamos a centrarnos en la exploración de algunos de ellos que nos obligará a buscar otras técnicas matemáticas que van a enriquecer y a potenciar nuestro trabajo. Por ejemplo: M1: ¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de un paciente si suponemos que, t horas después de administrado, la concentración (medida en miligramos por litro) viene dada por la función ? M2: ¿Y si el modelo fuese de otro tipo, por ejemplo, el modelo racional ? M3: ¿Y si el modelo fuese de otro tipo, por ejemplo, el modelo definido por trozos 80 que representa la concentración en un cuerpo , en milión), de una cierta dosis de radiofármaco, horas después de ser ingerido? (parte por A continuación se planteó Q3 con la finalidad de hacer vivir el RM3 que requería la introducción de la noción de antiderivada/primitiva e integral de un modelo funcional: Conhecendo a velocidade de administração, por via endovenosa, de uma dose de um radiofármaco, como pode variar essa dose (quantidade) ao longo do tempo? Uma dose de ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via endovenosa, pela primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o plasma a uma velocidade de mililitros por minuto, em que representa o tempo medido em minutos depois do meio-dia, a que horas terminará essa toma? Uma dose de ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via endovenosa, pela primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o plasma a uma velocidade de mililitros por minuto, em que representa o tempo medido em minutos depois do meiodia, a que horas terminará essa toma? 80 Podemos considerar que esta situación resulta del estudio del sistema anterior “ampliado” para modelizar la concentración de un medicamento en un cuerpo (en general) y no, únicamente, en el torrente sanguíneo. 298 El P ha preguntado a todos los Es (en GG) acerca de posibles hipótesis para la resolución del problema. Uno de los Es ha respondido que: Es: “Poderia igualar-se a velocidade a zero de modo a descobrir o quando a toma do radiofármaco acabaria.” “Mas assim dava … o que sera absurdo!!” Otras propuestas de técnicas fueron presentadas y el P ha sugerido a los Es que relacionasen estas técnicas con las utilizadas en Física en la enseñanza secundaria: P: “Quando o P de Física vos dava o gráfico da função velocidade e vos pedia o valor do espaço percorrido, como determinavam esse valor?” Es (en simultaneo): “Calculávamos a área abaixo do gráfico!” P: “E como se interpreta em matemática a velocidade? O que representa?” Es (en simultaneo): “A derivada!” P: “e o espaço percorrido? O que representa?” E: “A função cuja derivada é a velocidade!” “Então, significa que é a antiderivada da velocidade” P: “No nosso problema a dose de ml de um radiofármaco representa uma quantidade que diminui «do saco de soro» à medida que vai sendo administrada (com o tempo), ou seja, poderemos equipará-la ao espaço percorrido.” E: “Então a dose é a antiderivada da velocidade!” “A dose corresponde à área abaixo do gráfico da velocidade” “Vamos representar o gráfico de ” Con la orientación del P los Es fueron construyendo su respuesta de la siguiente forma: Dados: Objetivo: A dose do radiofármaco no plasma de um paciente corresponde à área entre o gráfico da função velocidade, o eixo do e as retas verticais e , ou seja, à área representada ao lado. Algunos Es han sugerido la técnica de cálculo del área del trapecio, para determinar el área de la región bajo el gráfico de la función derivada (integral): Figura 16: Área correspondiente a la dosis del radiofármaco horas después del mediodía. 299 Calcular a área do trapézio: Para responder à questão: Se amplió la actividad matemática resultante mediante una modificación de la situación inicial (utilización de un reductor en la salida del radiofármaco que comportará un tipo diferente de velocidad de escurrimiento). Surge así una nueva cuestión en que se ha cambiado el modelo diferencial lineal por uno cuadrático, o sea, tomando ahora . Los Es representaron gráficamente la velocidad y verificaron que la técnica anterior ya no sería aplicable a estos nuevos datos (solo a modelos lineales). Los PG mostraron dificultades para resolver esta tarea con las Figura 17: Área técnicas que conocían (que ya formaban parte de su equipamiento correspondiente a tecnológico). Por tanto, los Es sintieron la necesidad de buscar nuevas técnicas para solucionar el problema. la dosis del radiofármaco horas después del mediodía. Los Es confrontaron sus ideas al sugerir nuevas técnicas. El GG se ha mostrado participativo y manifestó algunas hipótesis para la resolución de las cuestiones problemáticas presentadas. Decompor a área em várias áreas mais pequenas e aproximá-la por uma soma de áreas de retângulos: Tomando, por exemplo, a divisão da área em 4 retângulos com a mesma base, poderá utilizar-se uma das duas técnicas seguintes: 300 Fixando : Fixando : Tabla 13 – Técnicas de descomposición del área bajo el grafico de una función. Los Es sugirieron una ampliación de la técnica anterior consistente en el cálculo de la media de los resultados obtenidos con y : Decompor a área em várias áreas mais pequenas e aproximá-la por uma média de somas de áreas de retângulos: Otro E sugirió la utilización de más rectángulos para aproximar con más precisión el área pretendida. N.º retângulos 40 999999 Cálculo da área Tabla 14 – Descomposición del área pretendida en áreas de rectángulos cada vez más pequeños Dado que las técnicas anteriores conducían a resultados aproximados y como la técnica utilizada era cada vez más costosa con el aumento del número de rectángulos, surgió la necesidad de procurar una técnica más precisa y económica: Construir o modelo a partir do estudo da sua variação El desarrollo de esta técnica se apoyaba en el Teorema Fundamental del Cálculo y, por ser nuevo para los Es, la intervención del P fue mayor. Así, siguiendo el RM 3 (descrito 301 en el capítulo IV) y relacionando el cálculo del área abajo del gráfico de una función derivada con su valor de integral, los estudiantes presentaron la siguiente técnica: Figura 18 –Respuesta del PG2 a la Sin embargo, ninguno de los PGs ha trabajado el modelo construido para responder a la cuestión cuya respuesta implicaba la resolución de la ecuación para determinar al final de cuánto tiempo (después del mediodía) terminaría la administración de la dosis del radiofármaco ( ). Al final de esta sesión presencial se procedió a un cuestionamiento tecnológico con la intención de comparar las diferentes técnicas utilizadas. Para ello, se solicitó a los PG que completaron la siguiente tabla: Técnica Construção do modelo funcional Sem ferramentas do CDE Âmbito de aplicabilidade (validade) Modelos lineares Economia Precisão de resultados Pouco económica Aproximados Com ferramentas do CDE (integral) Qualquer tipo de modelo (universal) Tabla 15 – Tarea de comparación de las diferentes técnicas de construcción del modelo funcional 302 Los Es la completaron sin dificultades y concluyeron que la técnica (que utiliza herramientas del CDE) es la más económica, amplia y eficiente: Técnica Construção do modelo funcional Sem ferramentas do CDE Sem ferramentas do CDE Com ferramentas do CDE (integral) Âmbito de aplicabilidade (validade) Modelos lineares Qualquer tipo de modelo (universal) Qualquer tipo de modelo (universal) Economia Precisão de resultados Pouco económica Muito custosa Exatos Aproximados Mais económica Mais exatos Tabla 16 – Respuesta a la tarea de comparación de las diferentes técnicas de construcción del modelo funcional “Existiu um debate sobre o tipo de técnica mais eficaz para a obtenção de áreas de figuras delimitadas por gráficos e a conclusão que se obteve foi que a técnica de cálculo diferencial é a técnica mais económica e exata e, portanto, a mais eficaz.” Acta del PG4 Para que los Es pudiesen validar su conclusión, el P ha sugerido la utilización de esta última técnica (con CDE) para responder a Presentamos, a continuación, una de las respuestas: “No fim da aula concluímos que esta técnica era a mais económica e eficaz e resolvemos a primitiva de por este método: ” Figura 19 – Respuesta del PG2 a la El P ha propuesto como trabajo de grupo, cuya discusión sería efectuada en la Sesión Virtual siguiente, la resolución de las tareas de la Ficha de trabajo 2 (familias de funciones y antiderivadas) y de la Ficha de trabajo 3 (cálculo de áreas bajo la gráfica de una función y entre curvas) (ver anexo G.2.). 303 Finalmente se procedió a la definición de las Sesiones Virtuales (online) con cada uno de los PGs con el objetivo de resolver dudas en la resolución de las citadas fichas de trabajo (F2 y F3) puestas a su disposición por el P. Sesión virtual 3 “No dia vinte e sete do mês de outubro de dois mil e quatorze pelas nove horas e dez minutos deu-se início à sessão pelo Skype. Durante esta sessão foi-nos possível esclarecer algumas dúvidas relativas às fichas de trabalho número dois e número três da sessão presencial número 5. Assim, a professora deu-nos sugestões sobre possíveis passos a seguir para a resolução dos exercícios em questão, e, desta forma o grupo ficou mais elucidado. No decorrer da sessão Skype, houve alguns problemas de comunicação devido a falhas na internet, mas o grupo teve a ideia de continuar a discussão de dúvidas, recorrendo ao meio telefónico onde comunicamos por conferência.“ Acta del PG2 Ficha de trabajo 2: Familias de funciones, noción de antiderivada, trabajo de la técnica de cálculo de primitivas inmediatas En la resolución de las tareas de la Ficha de trabajo 2 (F2) se observó que la mayoría de los PG no tuvieron dificultades en trabajar los modelos ya construidos mostrando flexibilidad en la nomenclatura para representar la función y la variable independiente (en la tarea 1) y facilidad en Figura 20 – Tarea 3 de la F2 distinguir el parámetro de la variable al derivar la función (en la tarea 2). Sin embargo, han surgido muchas dificultades en la tarea 3: Algunos PGs efectuaron una especie de cambio de variable y derivaron todas las funciones respecto a (¡como sí solo fuese posible derivar respecto a esta variable!). Figura 21 – Respuesta a la tarea 3 del PG3 304 En cuanto a la interpretación física de la derivada como velocidad (tarea 4), ninguno de los PG ha mostrado dificultades. En la tarea 5a, cuando se solicitaba la representación gráfica de 2 funciones de la misma familia, uno de los PGs ha sido creativo en la ampliación de su respuesta: Figura 22 – Respuesta a la tarea 5 del PG2 En la tarea 6, que implicaba la identificación de un extremo de una función en el gráfico de su derivada y la construcción del modelo algebraico funcional a partir del modelo gráfico diferencial, todos los PG respondieron correctamente y sin dificultad. Con relación a la tarea 7 de la F2 (ver anexo G.2.), “Ao analisar o gráfico fornecido no exercício 7, é possível verificar que este se trata de um esboço de uma função definida pelos ramos ( , se e se ), que é a derivada de várias outras funções. Utilizando as técnicas de primitivação foi concluído que uma das funções a qual se aplica esta derivada poderia ser a função se e se . Após a obtenção deste resultado as funções foram analisadas utilizando o programa GeoGebra, obtendo-se assim o gráfico representado a cor azul pelas funções g e p:” Figura 23 – Respuesta a la tarea 7 del PG3 305 En la respuesta a la tarea 8 de la F2 (ver anexo G.2.), a pesar de algunos errores, el mismo PG ha mostrado originalidad y reflexión al representar gráficamente la antiderivada partiendo de la derivada expresada algebraicamente (en este caso particular, como pendiente de la tangente): Figura 24 – Respuesta a la tarea 8 del PG3 Es de subrayar la preocupación de este PG en ajustar el parámetro del modelo para que fuese más coherente con el sistema intramatemático. En relación a las tareas 9 y 10, no surgieron dificultades en la construcción de los modelos funcionales. En la tarea 11, que implicaba la construcción de un modelo cúbico conociendo un extremo y su punto de inflexión, surgieron más dificultades en la interpretación de los puntos dados, conduciendo a respuestas del tipo: 306 Figura 25 – Respuesta a la tarea 11 del PG2 Por otro lado, cuando interpretaban bien los puntos datos (el máximo como correspondiente al cero de la derivada primera y el punto de inflexión relacionado con el cero de la segunda derivada), el obstáculo surgía en la resolución del sistema81 con 4 ecuaciones y 4 incógnitas. Presentamos un ejemplo de respuesta: Figura 26 – Respuesta a la tarea 11 del PG4 Sin embargo, la estrategia utilizada por este último PG de construir, inicialmente, un posible esbozo del gráfico del modelo pretendido, podría haber facilitado la interpretación de los puntos. El trabajo de las técnicas de manipulación del modelo diferencial para calcular las primitivas inmediatas (tarea 12), no ha provocado dificultades a la mayoría de los estudiantes. Sin embargo, algunos no entendían en qué casos debería obtenerse una 81 Para la resolución de este sistema uno de los PG, orientado por el P, ha usado la «matriz reducida» en el GeoGebra. 307 única función concreta como modelo y, en qué casos la respuesta-modelo debería materializarse en una familia de funciones. Para clarificar esta cuestión, fue necesario hacer un cuestionamiento tecnológico: Comparación de técnicas para la construcción de modelos En la construcción de modelos, Al partir de: • Es posible: datos diferenciales •construir una família de funciones primitivas datos diferenciales •construir una única función primitiva + condiciones iniciales Figura 27 – Cuestionamiento tecnológico: comparación de técnicas para la construcción de modelos Se presenta en seguida el análisis de las respuestas a las tareas de la tercera Ficha de Trabajo: Ficha de Trabajo 3: Uso del integral para el cálculo de áreas bajo la gráfica de una curva y entre curvas En la resolución de las tareas de la Ficha de trabajo 3 - F3 (ver anexo G.2.) se ha observado que la mayoría de los PG no han tenido dificultades en calcular las áreas bajo la gráfica de una función aplicando la noción de integral estudiada anteriormente. Las tareas 2a y 2i representaban desafíos de investigación, o sea, servían para conducir a los Es a cuestionar el ámbito/validez de las técnicas ya estudiadas para integrar la función logarítmica (calcular el área bajo su gráfica). Así, los Es sentían la necesidad de buscar nuevas técnicas de integración (por partes y por sustitución). Para ello, algunos de los PGs buscaron vídeos, websites en internet (refiriendo en las fuentes de su trabajo) como, por ejemplo: http://math2.org/math/integrals/more/es-ln.htm http://pt.wikipedia.org/wiki/Tábua_de_integrais#Logaritmos http://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_integrais_de_fun%C3%A7%C3%B5es_logar%C 3%ADtmicas 308 Por otro lado, para validar dichas técnicas del cálculo integral encontradas en internet, uno de los PG ha utilizado el GeoGebra para confirmar los resultados obtenidos en las tareas propuestas en F3 como, por ejemplo, en la tarea 2i: Figura 28 – Respuesta a la tarea 2i del PG3 O en la tarea 2g, cuando el valor del integral era negativo, sintieron la necesidad de validar el valor del área: Figura 29 – Parte de respuesta a la tarea 2g del PG3 Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 3 (SP5 + SV3). 309 3.6. Sesión Presencial 6 Semana 3 – (2 horas) En el inicio de esta sesión, se ha institucionalizado para el GG la técnica de integración por partes que ya había sido investigada, estudiada y utilizada por uno de los PG en la sesión anterior. A continuación, el P ha indicado a los alumnos que accedieron a la plataforma Moodle con la finalidad de hacer la descarga de la Ficha de trabajo 4 que ya estaba en la carpeta correspondiente a la Sesión Presencial 6. Ficha de Trabalho 4: técnica de primitivação por partes, primitivação por substituição e por frações simples Muy rápidamente y con entusiasmo, los Es empezaron a resolver en PG la tarea 1 de la F4 (ver anexo G.2.) que implicaba el trabajo con modelos ya construidos mediante la aplicación de la técnica de cálculo de primitivas por partes. A pesar de que, en general, no surgieron muchas dificultades para resolver dicha tarea, los estudiantes necesitaron más tiempo del previsto por el profesor para completarla. Además, los PGs se preocupaban constantemente de verificar sus resultados y de validar sus técnicas, ora derivando las funciones primitivas, ora utilizando un instrumento automático como el GeoGebra. Así, concluimos que los PG habían superado las expectativas del profesor, presentando un trabajo mucho más completo y desarrollado que el que se les había solicitado. 3.7. Sesión Presencial 7 Semana 3 – (2 horas) En esta sesión, los PG continuaron trabajando las tareas de la Ficha de Trabajo 4. Intentaron resolver la tarea 2 mediante la técnica de integración por partes y comprobaron que esta técnica ya no era válida y que, por lo tanto, necesitaban utilizar otra técnica para resolver dicha tarea. Así, buscaron en internet otras posibles técnicas y, con el auxilio del P, en GG, se ha efectuado la institucionalización del método de sustitución para resolver conjuntamente la tarea 2a. Lo mismo ha sucedido al pasar de la tarea 2 a la 3, pero ahora institucionalizando en GG algunas técnicas para determinar la primitiva de funciones racionales. 310 Al final de la sesión calcularon algunas integrales definidas con el objetivo de practicar las técnicas. En general no surgieron muchas dificultades, más allá de los errores de cálculo comunes, de olvidarse de “deshacer” la sustitución al final, etc. Sesión virtual 4 Semana 4 – (2 horas con cada PG) En esta sesión fueron aclaradas las últimas dudas de los PG referentes a las tareas de la Ficha de Trabajo 4, en particular, identificando cada conjunto de tareas con una determinada técnica. Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 4 (SP6 + SP7 + SV4). 3.8. Sesión Presencial 8 Semana 4 – (3 horas) La octava sesión ha empezado con la introducción al estudio del Problema 2 (Efectos Biológicos de las Radiaciones Ionizantes) con la cuarta cuestión - Q4 (ver anexo G.1.): “Efeitos biológicos das radiações ionizantes provenientes do acidente de Chernobil O acidente na antiga central ucraniana de Chernobil em 1986 provocou um aumento do número de casos de cancro da tiroide nas populações mais próximas. Como se pode prever ao longo do tempo o número de casos de cancro da tiroide nas populações mais próximas do acidente na antiga central ucraniana de Chernobil?” Al construir a priori la cuestión problemática 4 habían surgido diversas ideas tomadas de un Relato que describe las consecuencias biológicas del accidente de Chernóbil (http://www.iaea.org/sites/default/files/chernobyl.p df) tales como: a partir de los datos del referido relato, proponer a los PG el estudio de la evolución temporal del porcentaje de casos de cáncer de tiroides en los niños y adolescentes de Bielorrusia o Belarus (modelo exponencial) y de Ucrania (modelo casi-linear), proponer el estudio de la actividad del CS-137 en la leche producida en las granjas privadas y colectivas de las regiones próximas (modelo racional/exponencial negativo), proponer asimismo el estudio de la evolución temporal de la actividad del CS-137 en los peces (modelo exponencial de un polinomio). 311 Por un lado, todas estas ideas podrían enriquecer la actividad didáctico-matemática puesto que permitirían articular diferentes praxeologías pero, por otro lado, parecía obvio que controlar, evaluar e institucionalizar esta diversidad de problemas no era viable dado el tiempo institucional que teníamos para estudiar esta cuarta cuestión (Q4). Así, decidimos unificar para todos los PG la problemática centrándonos en el estudio de la evolución del porcentaje de casos de cáncer de tiroides en los niños y adolescentes de Bielorrusia. Tomando los datos representados en el gráfico anterior como datos discretos, el P propuso a los PG que estudiasen la siguiente cuestión: ¿Qué tipos de modelos funcionales podrían caracterizar este sistema? Como no existía una relación trivial entre las variables que se pudiese deducir por formulación de hipótesis sobre la variación y cálculo de diferencias finitas (como hemos construido en la Q1), para responder a esta cuestión los PG experimentaron diferentes tipos de regresiones automáticas con el GeoGebra sobre los 5 primeros datos 82 de incidencia de cáncer: Figura 30 – Respuesta a la Q41 del PG2 De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que se ajusta melhor aos dados? Que técnicas são possíveis utilizar para comparar os modelos? 82 Tomamos solo los 5 primeros datos para poder estudiar posteriormente la capacidad predictiva de los modelos. 312 Con la intención de elegir el mejor modelo de entre los encontrados, los PGs estudiaron diferentes técnicas para comparar los modelos: : Comparación de los modelos funcionales ajuste y predicción respecto a los datos. y confrontando su Comparación de la capacidad aproximada de ajuste y de predicción (según los modelos gráfico-funcionales) Los PG descartaron, de entrada, aquellos modelos que a primera vista parecían muy «malos» (los resultantes de regresiones logarítmica, sinusoidal o potencial). Comparación de la capacidad de ajuste (según los errores de aproximación) El P solicitó al GG propuestas para comparar el ajuste de los modelos construidos. Uno de los Es indicó el «desvío» del modelo en relación a los datos discretos como una variable relevante a estudiar. Otros estudiantes indicaron que, además del desvío, habría que tener en cuenta la «distancia» que en matemática podríamos designar por el «error absoluto». Pero, para comparar mejor los ajustes de los distintos modelos, quizá sería más sencillo comparar solo los valores medios (ha sugerido un E). Así, todos los PG calcularon los errores medios de cada modelo en relación a los datos reales discretos de incidencia: 313 Según esta técnica los modelos elegidos serían el modelo comp (compuessto) o el modelo h (polinómio interpolador de grado 4). Figura 31 – Respuesta a la Q411 del PG2 al usar la técnica Comparación de la capacidad predictiva (según los errores de extrapolación) Utilizando los datos reales aún no trabajados, los PG determinaron la capacidad predictiva de los modelos construidos al calcular los errores medios de cada modelo con respecto a los datos reales “futuros” de incidencia: 314 Según esta técnica el modelo elegido sería el modelo q (polinómico de grado 1). Figura 32 – Respuesta a la Q411 del PG2 al usar la técnica En GG, se han comparado los resultados y los PG llegaron a la conclusión de que los modelos elegidos al utilizar la técnica corresponderían a los peores modelos en términos de predicción a largo plazo. “Nesta sessão, uma estudante do nosso grupo referiu que o polinómio de grau 1 era o mais adequado porque apresentava a menor média dos três erros de previsão. Posteriormente, chegou-se à conclusão que a técnica 1 era má uma vez que induzia a escolha dos modelos que apresentavam maiores erros.” Acta del PG2 3.9. Sesión Presencial 9 Semana 4 – (3 horas) En esta sesión, se dio continuidad al trabajo desarrollado en la sesión anterior, ampliando las técnicas y comparando sus resultados, esto es, comparando los modelos que debían elegirse según las técnicas anteriores. Así, los PG se dedicaron a buscar una respuesta para la siguiente cuestión: De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que apresenta uma maior capacidade preditiva a curto, medio e largo prazo? Qual a técnica que sugere utilizar para que esse modelo seja o elegido? Para ello, se ha ampliado la técnica al comparar la variación de un modelo continuo con la variación de los datos discretos. La deducción de esta técnica no fue inmediata para los Es por lo que se necesitó una mayor intervención del P. : Comparación de los modelos funcionales y comparando el ajuste y predicción de y respecto a la variación de los datos. 315 Las respuestas-tablas presentadas por los PG son análogas a las anteriores, los errores de ajuste fueron un poco mayores y, por lo tanto, las conclusiones serían las mismas, puesto que conducían a elegir los peores modelos. Ante estos resultados, los Es sintieron de nuevo la necesidad de ampliar las técnicas anteriores. Es posible aproximar la función TVM real discreta por una función continua designada por función derivada. : Comparación de los modelos funcionales y comparando el ajuste y predicción de y respecto a la variación de los datos. De nuevo las respuestas-tablas presentadas por los PG son análogas a las anteriores y, para no extender demasiado esta descripción presentaremos solo las medias de los errores en una tabla comparativa final (más adelante). Sin embargo, al utilizar esta última técnica, los Es mostraron más entusiasmo al obtener resultados más próximos de lo esperado, una vez que, la técnica ya indicaba la elección del modelo exponencial que presentaba una mejor capacidad predictiva. Así, los Es sentían de nuevo la necesidad de ampliar las técnicas anteriores. “Seguidamente, uma outra estudante do grupo propôs, em resposta a uma questão, o uso da taxa de variação média relativa. A última ideia foi apontada por outra estudante, que disse que a taxa média relativa correspondia a um erro relativo.” Acta del PG2 Surge entonces la técnica ampliada: : Comparación de los modelos funcionales predicción de y y comparando el ajuste y respecto a la variación relativa de los datos. Las respuestas-tablas presentadas por los PGs son análogas a las anteriores. Sin embargo, los errores de ajuste obtenidos con esta técnica fueron mayores que los anteriores y, además conducirían de nuevo a elegir los peores modelos. Así, los Es sentían de nuevo la necesidad de ampliar las técnicas anteriores. Es posible aproximar la función TVMR real discreta por una función continua designada por función derivada partida por la propia función. : Comparación de los modelos funcionales predicción de y y comparando el ajuste y respecto a la variación relativa de los datos. Esta última técnica proporcionó la elección del modelo con mejor capacidad predictiva a largo plazo (modelo polinómico de grado 1). 316 Después de experimentadas diversas técnicas para elegir el modelo más adecuado, los PGs reunieron los resultados, discutieron los valores de los errores encontrados por cada grupo de estudiantes y las consecuentes elecciones de los modelos, interpretaron esos resultados y, en GG, compararon los resultados obtenidos por todas las técnicas en una tabla: Cuestionamiento tecnológico83 Figura 33 – Respuesta a la Q412 del PG2 Es de reseñar que los estudiantes pretendían decir «La mejor técnica é T 3’ » y no «el mejor modelo é T3’ ». “Para a procura de qual seria a melhor técnica que nos levaria à eleição do melhor modelo funcional: Erros de Ajuste Previsão Modelo Funcional Pol. Interp. Grau 4 Pol. Grau 3 Pol. Grau 2 Pol. Grau 1 Logística Exponencial Composto (s/ interp.) T1 T2 T’2 T3 T’3 3 anos 6 anos 12 anos 0 0,03 0,17 0,22 0,1 0,17 0 0 0,06 0,33 0,33 0,2 0,3 0 0,31 0,34 0,33 0,33 0,45 0,29 0,42 0 0,36 1,7 0,73 1,26 1,45 0 1,76 1,58 1,75 0,73 1,63 1,45 1,94 0,55 5,67 0,65 1,96 4,79 0,81 21,77 11,37 21,49 1,01 2,5 5,11 4,89 69,72 158,87 100,84 4,89 2,81 5,78 87,59 640,12 Figura 34 – Respuesta a la Q412 del PG3 83 Aquí los estudiantes representaran las técnicas mediante o . 317 --Na discussão grupal dos valores da previsão vimos que: o polinómio de grau 4 (h(x)) para o curto prazo (3 anos) é o que tem menor erro e por isso o que se ajusta melhor, no entanto a longo prazo (12 anos) apresenta um erro já muito maior; o polinómio de grau 2 (p(x)) a 6 anos é o que apresenta um erro menor comparativamente às outras; o polinómio de grau 1 (q(x)) a longo prazo (12 anos) é o que apresenta melhor previsão porque tem menor erro. Há funções que apresentam erros muito elevados e dispersos. A função linear (q(x)) é a que melhor se ajusta em termos gerais visto que apresenta valores próximos entre os 3 erros (curto, médio e longo prazo) e também de zero.-------------------------------------------Relativamente à T3, houve uma pequena conclusão à qual chegamos: a taxa variação média relativa é igual ao erro relativo e calcula-se da seguinte maneira, . ---Posto isto, concluímos que a técnica T’3 é a melhor a aplicar quando é necessário eleger um modelo funcional e que neste caso o melhor modelo funcional é o modelo linear (q(x))“ Acta del PG3 Otro de los PGs ha descrito todo su procedimiento: “…à medida que eram utilizadas as diferentes técnicas para cada um dos modelos funcionais foi-se comparando a viabilidade das técnicas e das próprias funções. Relativamente ao primeiro procedimento, verificou-se que o polinómio de grau quatro e a função composta apresentavam o menor erro de ajuste. Na técnica dois, apesar dos valores referentes aos erros terem aumentado, os modelos referidos anteriormente voltaram a ter destaque. Na dois linha os erros de ajuste foram menores na função exponencial e maiores no modelo logístico. Na técnica três, a função polinomial de grau quatro e a composta voltaram a apresentar os valores mais reduzidos de erro. Na três linha a que apresentou menor erro foi a polinomial de grau um.-----------------------------------A par do referido, foi feita, para cada modelo funcional uma previsão a três, seis e doze anos. Sendo que para a primeira previsão referida, o polinómio de grau quatro revelou-se o melhor modelo; para a segunda, o polinómio de grau dois e para terceira o polinómio de grau um. Assim sendo e tendo em conta a técnica três linha, que permitiu eliminar os modelos piores, elegeu-se a polinomial de grau um como a melhor a longo prazo.---------------------------------------------------------------------------------------------------------Trabalhar com o geogebra não foi um entrave, mas continua a ser um desafio e uma constante descoberta.” Acta del PG1 En general, las actas enviadas por los PG muestran que hubo discusión de los resultados dentro del grupo, así como reflexión, comparación de técnicas, aportaciones importantes para enriquecer el trabajo del GG y, a veces, se pone de manifiesto la cohesión y el buen funcionamiento del grupo. Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 5 (SP8+ SP9). 3.10. Sesión Presencial 10 Semana 5 – (3 horas) Se dio inicio a esta sesión con la descarga, vía Moodle, de la cuestión Q5 (ver anexo G.1.) aún referente al segundo problema “Efectos Biológicos de las Radiaciones Ionizantes” con un objetivo a estudiar: 318 Propagação de efeitos genéticos e respetiva repercussão em diferentes gerações a seguir ao acidente de Chernobil A seguir ao acidente de Chernobil, estudos realizados e amostragens efetuadas a partir de recolhas de material biológico da população atingida estiveram na base da previsão da indução de danos genéticos relevantes numa parte da população de uma determinada espécie animal anual (com ciclo de vida anual). Sabemos que o impacto na 1.ª geração após o acidente foi de 179, na 2ª foi de 438, e assim sucessivamente de acordo com a seguinte tabela: Tabla 17 – Incidência de danos genéticos nas gerações futuras de uma população por ano. Como se poderá prever a evolução do impacto destes efeitos genéticos nas gerações futuras? Que tipos de modelos funcionais poderiam caracterizar este sistema? Así, como primera tarea, cada uno de los PG ha experimentado diferentes tipos de regresiones sobre los 10 datos discretos de la tabla anterior: Figura 35 – Respuesta a la Q51 del PG2 Para comparar los modelos funcionales obtenidos, se descompuso la en cuestiones derivadas: De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que se ajusta melhor aos dados? Que técnicas são possíveis utilizar para comparar os modelos? 319 Al intentar buscar una respuesta inicial para los PG utilizaron solamente la técnica descrita en la sesión anterior (comparando su ajuste y predicción respecto a los datos, o sea, calculando las distancias de los datos brutos aproximados por el modelo a los datos brutos reales). Sin ninguna dificultad, los PG presentaron dichas distancias que variaban entre (pol. grado 9) y (pol. grado 3). De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que apresenta uma maior capacidade preditiva a 3 anos ou da tendência dos dados futuros? Qual a técnica que sugere utilizar para que esse modelo seja o elegido? Sabiendo, de antemano, que en los 3 años siguientes la incidencia de daños genéticos fue casi nula, fue posible que los PG estudiasen la capacidad predictiva a 3 años de cada uno de los modelos funcionales construidos (calculando las distancias de las imágenes previstas por los modelos a cero): Figura 36 – Parte de la respuesta a la Q512 del PG3 Al interpretar los modelos obtenidos en el sistema, algunos estudiantes consideraron que la incidencia tendería a o a lo que en realidad sería un absurdo. Sin embargo, no todos los PGs interpretaron bien, en el contexto real, dicha tendencia, por lo que en este punto fue esencial la intervención del P. De nuevo, los estudiantes sintieron la necesidad de ampliar las técnicas utilizadas hasta el momento y surgieron debates, discusiones y conjeturas dentro de los PG en relación a cómo crear nuevas técnicas. Las ideas fueron discutidas en GG y con el P. P: “Como podemos estudar a tendência de um modelo?” PG: “?!...” E: “Pela sua variação!” Surgió entonces la cuestión problemática: 320 P+GG: “¿Podremos decir que los datos de variación determinan mejor la tendencia del sistema que los datos brutos?” Con el propósito de encontrar una respuesta para esta última cuestión los estudiantes analizaron la variación de los datos presentados. Dado que no teníamos mucho tiempo en la sesión presencial para el estudio de la Q5 y de sus cuestiones derivadas, el trabajo fue dividido entre los PG de la siguiente forma: - Los dos grupos que mostraban una mayor autonomía y rapidez en programar en la hoja de cálculo del GeoGebra testaron la técnica de regresiones sobre los datos de la TVMR. - Los dos grupos que mostraban mayores dificultades en manipular el instrumento informático, testaron la técnica de regresiones sobre los datos de la TVM. Al final, se pretendía unificar, en GG, todo el trabajo desarrollado por los diferentes PG y proceder a una comparación de los resultados obtenidos, efectuar un cuestionamiento tecnológico, una institucionalización de las técnicas, etc. Del estudio de la variación surgieron las siguientes respuestas: Regresiones sobre datos TVM Regresiones sobre datos TVMR Tabla 18 – Respuesta del GG resultante de la discusión de las respuestas de los PG 321 Uno de los PG ha aplicado regresiones sobre una lista de puntos que no correspondía a valores de variación pero sí, a valores de errores absolutos. Consecuentemente, todos sus resultados estaban equivocados. Una semana después, cuando este PG preparaba la presentación final para el GG, un estudiante detectó y corrigió el error cometido. Otro PG se ha debatido con un problema de espacio para disponer todas las tablas en el mismo documento GeoGebra para ser posible la programación por recursividad de celdas. Buscaron una estrategia y solucionaron el problema, presentando los resultados con una disposición original e inteligente. Por un lado, algunos PG utilizaron vocabulario propio del desarrollo de actividades de modelización funcional en sus respuestas como, por ejemplo, los términos: modelo, sistema, hipótesis, conjeturas; por otro lado, otros PG mostraron algunas dificultades en expresar claramente sus ideas utilizando los términos adecuados. Uno de los PG ha revelado poca reflexión, ejecución mecánica de procedimientos en GeoGebra sin percibir realmente qué técnicas estaban utilizando y porque razón utilizaban esas técnicas y no otras diferentes. PG: “E agora como continuamos?!” Como sugerencia, el P ha preguntado a cada uno de los PG: P: “¿Cómo pasar de un modelo que aproxima los datos de variación a un modelo que aproxime los datos brutos?” PG: “¿!...” Los PG discuten posibles técnicas hasta que algún estudiante relaciona ese paso con el uso de la integral. De este modo, cada uno de los PG (con el auxilio del P) fue construyendo, paso a paso y algebraicamente en su cuaderno, una técnica matemática que permitiría solucionar el problema de transformar el modelo que aproximaba los datos de variación en otro modelo que aproximaba los datos brutos. Al final, las dos técnicas deducidas por los PG fueron institucionalizadas por el GG bajo la dirección del P, de la siguiente forma: 322 Regressão sobre dados TVM Regressão sobre dados TVMR Vamos aproximar esta equação em diferencias finitas a uma equação diferencial: Vamos aproximar esta equação em diferencias finitas a uma equação diferencial: Por resolução desta equação surge a solução geral: Por resolução desta equação surge a solução geral: , Tabla 19 – Institucionalización de las técnicas de aproximación de una ecuación en diferencias finitas a una ecuación diferencial A continuación, los elementos de los PG discutían la manera de trasladar esta técnica al GeoGebra. Las ideas fueron consolidadas con la ayuda del P. Por ejemplo: 323 Regresiones sobre los datos de la TVMR84 Los dos PG que empezaban por aplicar regresiones polinómicas sobre los datos de la TVMR (Hoja Gráfica 2), representaban en otra hoja gráfica los puntos correspondientes a los datos brutos (Hoja Gráfica), y experimentaban regresiones sobre estos puntos como exponenciales de los integrales de las regresiones polinómicas (Hoja Algebraica). A fin de comparar los modelos obtenidos, calculaban sus errores medios con respecto a los datos reales y su error medio de predicción a 3 años (Hoja de Cálculo). A fin de ajustar los modelos crearon un «selector» para cada uno (Hoja Gráfica) que estaba relacionado con el parámetro resultante de la integración y añadieron en la expresión algebraica de cada modelo el parámetro correspondiente (Hoja Algebraica). Figura 37 – Parte de la respuesta a la Q512 del PG2 El trabajo simultáneo con varios registros funcionales (algebraico, aritmético y dos gráficos) permitió que los estudiantes visualizasen los efectos de la manipulación de los parámetros de los modelos en cada uno de esos registros. En particular, ha permitido que los PG eligiesen, para cada familia de funciones, el modelo que mejor se ajustaba a los datos al manipular el parámetro correspondiente y, simultáneamente, observar los cambios provocados en el valor del error medio. De este modo, elegían el modelo cuyo parámetro conducía al error medio mínimo. 84 Algunos de los PG optaron por establecer dos grupos dentro del PG para dividir el trabajo técnico de tablas en GeoGebra. Así estipularon que algunos estudiantes trabajarían las regresiones sobre los datos brutos presentados y los restantes elementos, en otro computador, trabajarían las regresiones sobre la TVMR. Al final comparaban y discutían los resultados obtenidos. 324 Figura 38 – Respuesta a la Q512 del PG2 325 Regresiones sobre los datos de la TVM Los dos PG que empezaron por aplicar regresiones polinómicas sobre los datos de la TVM siguieron un procedimiento análogo al anterior, pero sin necesidad de utilizar la función exponencial. Se presenta la respuesta de uno de estos PG: Regressões dos dados brutos Eleição do melhor modelo Integrais: (comparação dos modelos) Modelo Funcional Integral do polinómio de grau_4 Integral do polinómio de grau_5 Integral do polinómio de grau_6 Integral do polinómio de grau_7 Integral do polinómio de grau_8 Média dos erros absolutos 395,89 465 728,52 836,11 257,69 Previstos para três anos 31752,69 58538,18 221800,06 340077,81 869213,26 Eleição do melhor modelo: integral do polinómio de grau 4. Conclusão: O modelo que apresenta um valor de erro médio absoluto mais aceitável corresponde ao integral do polinómio de grau 8, no entanto apresenta um valor de previsão elevado. Para colmatar seleciona-se o segundo modelo com menor valor de erro médio absoluto e com um valor de previstos aceitável, ou seja, o referente ao polinómio de grau 4. Figura 39 – Respuesta a la Q512 del PG1 Después de la reunión de todos los resultados de los PGs y su discusión en GG, los estudiantes concluyeron que el modelo que revelaba mejor la tendencia de los datos futuros era el obtenido mediante regresiones sobre datos de la TVMR, puesto que, por ser un modelo exponencial, indicaba que la incidencia tendería a cero, es decir, tendería a desaparecer con el paso del tiempo. 326 Figura 40 – Respuesta a la Q512 del GG Después del modelo funcional construido y elegido se podría trabajar el modelo para responder a otras cuestiones. “---Já perto do final da sessão foram dadas, pela professora, orientações para a apresentação final, onde foi entregue, em papel, um diagrama de atividades desenvolvidas durante as sessões.-------------------------------------------------------------------------------------------------------No final da sessão estabeleceu-se que no dia treze de novembro se iria realizar uma sessão virtual para esclarecimento de dúvidas e preparação da apresentação final. -----------“ Acta PG3 Sesión virtual 5 y sesiones virtuales extra Semana 6 – (4 horas con cada PG) Siguieron varias sesiones virtuales con cada PG. Las primeras sirvieron esencialmente para clarificar las últimas dudas relativas a la cuestión Q5, para finalizar el sexto trabajo. Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 6 (SP10 + SV5). Las sesiones virtuales siguientes sirvieron para orientar las presentaciones finales, en GG y al P, por parte de cada uno de los PG. Dadas las restricciones materiales en las que se desarrolló el final del proceso de estudio (condiciones de espacio y disponibilidad de sala), cada PG debió preparar una presentación para un máximo de 15 minutos. El objetivo consistía en mostrar los principales resultados en diapositivas, de una forma clara, sucinta y, en cierto sentido, estimular un poco más la reflexión y discusión dentro del GG. El P sugirió la construcción de un esquema (“esqueleto didáctico”) que articulase las cuestiones que dieron origen a los trabajos (Q0, Q1,…, Q11, Q121, etc.) con 327 las respuestas (R1, R2,…, algunas de ellas en la forma de gráfico, otras como texto) y describiese las estrategias utilizadas (técnicas T1, T2, T2’, etc.). Uno de los PG envió por email al P un esbozo de la construcción de dicho esquema para averiguar si estaban en el buen camino. El P analizó el esquema con detalle y sugirió algunas modificaciones. Por cuestiones de tiempo para desarrollar y explicitar el referido esquema, los Es no aceptaron todas las recomendaciones del P. El P propuso una reflexión final de todo el trabajo desarrollado guiada por las siguientes cuestiones: ¿En qué sentido el estudio del Cálculo Diferencial Elemental - CDE (derivadas, primitivas e integrales) es útil? ¿Para qué sirve? ¿Qué problemas permite resolver? Se esperaba que las respuestas de los estudiantes englobasen diferentes tipos de actividades de modelización funcional, tales como, referir su utilidad en: La construcción de modelos: Por ejemplo, para responder a la Q5 se ha utilizado el CDE (derivada + integral) como instrumento para construir modelos. La elección del mejor modelo: Por ejemplo, para responder a la Q4 se ha utilizado el CDE (derivada) como instrumento para comparar los modelos y por comparación de y . La manipulación de modelos: Por ejemplo, para responder a la Q2 se ha utilizado el CDE (derivada) para trabajar el modelo y responder a cuestiones de la variación del sistema (evolución, monotonía, extremos) o de la variación de la variación (interpretación del significado del punto de inflexión) del sistema. La interpretación de la variación del modelo: Por ejemplo, para responder a la Q2 se ha utilizado el CDE (derivada) como herramienta matemática para interpretar el papel de los parámetros del modelo funcional y el efecto de su variación. En particular, para reforzar la idea de la importancia del CDE en la construcción de modelos, el P ha solicitado a los PG una comparación de la economía de las técnicas 328 discretas con las técnicas del CDE en la construcción de los modelos. Para tal, fue retomada una tarea ya abordada en el diagnóstico inicial: “Dada la , cual es la función principal?” Y presentada su resolución por 2 técnicas diferentes: Resolver la ecuación en diferencias finitas Resolver la ecuación diferencial para construir el modelo discreto por un proceso para construir el modelo continuo por un proceso de modelización recursiva de modelización funcional Podremos deducir la solución general de la ecuación en diferencias finitas que resulta de una variación de segundo orden constante de datos discretos: Podremos deducir la solución general de la ecuación diferencial que resulta de una variación de segundo orden constante de datos continuos: Al aproximar la ecuación en diferencias finitas a la ecuación diferencial correspondiente tenemos un proceso menos costoso: Variación de segundo orden constante: En particular, para tenemos , o sea, Recursivamente, obtenemos: Esta última ecuación diferencial es equivalente a , cuya resolución primitivaciones sucesivas: pasa por dos … En esta tarea particular tenemos , y desconocemos el valor inicial Al substituir estos valores en el modelo cuadrático continuo deducido, tenemos: Así, deducimos que, . En esta tarea particular tenemos , y desconocemos el valor inicial Al substituir estos valores en el modelo cuadrático discreto deducido, tenemos: Tabla 20 – Comparación de la economía de las técnicas discretas con las técnicas del CDE en la construcción de los modelos 329 Para testar los resultados de dicha comparación, el P sugirió que los PG retomasen el ejemplo trabajado en la Sesión Presencial 4 relativo a la Q1 (que consistía en la construcción de un modelo discreto) para trasladarlo del campo discreto al campo continuo y comparar el coste de construcción de los dos tipos de modelos. Al comparar la economía de las técnicas asociadas al CDE (resolución de la ecuación diferencial) con las técnicas discretas (resolución de la ecuación en diferencias finitas) el P podría haber presentado ejemplos más complejos que mostrasen claramente la mayor dificultad y coste de las técnicas discretas en relación a las técnicas continúas. Sin embargo, no se utilizaron dichos ejemplos porque los Es ya habían mostrado anteriormente, en la SP4, demasiadas dificultades en utilizar autónomamente las técnicas discretas. La ultima sugestión del P ha consistido en proponer a cada PG que llevase a cabo un análisis del diagrama de actividad (entregado en la sesión presencial anterior) para reseñar dentro del mismo los recorridos matemáticos vividos/experimentados por el propio PG. 3.11. Sesión Presencial 11 Semana 7 – (90 minutos) Esta última sesión presencial correspondía a un momento de evaluación del trabajo desarrollado. Es de subrayar que, en los años lectivos anteriores, esta sesión estaba pensada para un test escrito global como único instrumento de evaluación85. En el presente año lectivo y, de acuerdo con la nueva metodología didáctica que se había experimentado, se ha utilizado esta última sesión para una presentación final en GG de los diversos trabajos de los PG, para mostrar una posible articulación de todas las cuestiones, tareas, técnicas, respuestas y, en cierta forma, institucionalizar dichas respuestas en GG. El PG2 fue el primero en presentar su trabajo mostrando una gran cohesión del grupo, creatividad, organización, discusión de las técnicas y de los resultados y justificación de todas las opciones tomadas por el PG. En particular, su trabajo ha revelado la existencia de un cuestionamiento tecnológico constante (comparación y evaluación de las técnicas utilizadas), interpretación de los resultados/modelos en el sistema e interpretación del 85 Los estudiantes que obtuviesen una evaluación positiva ya estaban dispensados del examen final. 330 efecto de la variación de los parámetros en un determinado modelo grafico (perteneciente a una familia de funciones). Todos los componentes de este grupo participaron activamente en la descripción de alguna de las Qi, y su presentación estuvo muy bien coordinada y organizada por cuestiones, técnicas y conclusiones: Figura 41 – Ejemplo de la organización de las respuestas finales del PG2 Como respuesta a la sugestión del P de marcaren en el diagrama de actividad (impreso y cedido por el P) las actividades «vividas» por el PG en el desarrollo de las Qi, se destaca, en particular, la preocupación de este PG en hacer dicha identificación al final de la descripción de cada una de las cuestiones problemáticas y de su desarrollo como, por ejemplo: Figura 42 –Identificación de las actividades trabajadas en Q2 por el PG2 331 Figura 43 – Identificación de las actividades trabajadas en Q5 por el PG2 Es importante referir que esta identificación representa solamente una propuesta del PG2 para las actividades que la Q5 podrá permitir desarrollar. “Podemos então concluir que o estudo do cálculo diferencial tem várias aplicações, como por exemplo a sua utilização na resolução de problemas de otimização (Q2), é utilizado para dados contínuos e permite-nos uma predição a longo prazo mais concreta, apresentando uma menor erro, desta forma podemos escolher o polinómio que melhor se adequa à situação em estudo (Q4). Outra característica do CDE é a sua economia enquanto método, no caso de (Q3) foram utilizados os três métodos de cálculo, com dados discretos calculou-se a área do trapézio, sem recurso ao cálculo diferencial, e verificou-se que só se aplica a modelos lineares, outra técnica é a soma inferior e superior da partição, que se verificou ser mais eficaz que o primeiro método, com os dados contínuos usou-se o CDE e observamos que é uma técnica bastante económica e que demonstra ser mais precisa do que as anteriores.” Reflexión final del PG2 El PG3 ha mostrado bastante capacidad de investigación y, autonomía, así como una buena selección de la información encontrada en los media. A pesar de que todos los estudiantes del grupo han participado en la presentación, algunos de ellos se han destacado más al mostrar reflexiones interesantes. 332 Excesso Integral Definido Técnicas Defeito Figura 44 – Algunas evidencias de investigación y selección de información del PG3 Es de reseñar el esquema de articulación de las Qi, de las técnicas y de las respuestas presentado y descrito por este PG: Figura 45 – Articulación de las Qi, técnicas y respuestas por el PG3 333 Sin embargo, se notó alguna confusión en los conceptos y una tentativa de conexión de nociones que no estaban relacionadas entre sí. Surgieron también algunas descripciones menos correctas. “Assim, ao terminar esta Unidade Curricular e tendo realizadas todas as actividades propostas para a mesma, chegamos à conclusão que o estudo do Cálculo Elementar Diferencial (C.E.D.) trata-se de uma ferramenta bastante útil em diversas situações da área da saúde, em particular na Medicina Nuclear (a nossa área), uma vez que permite ao técnico prever, por exemplo a taxa de decaimento de determinados radiofármacos, ou como este vai actuar após ter sido ejectado no paciente, entre outras factores que tornam o trabalho de um técnico de Medicina Nuclear não só mais fácil mas também mais seguro. Podemos afirmar que o estudo do cálculo diferencial se tornou bastante útil para o nosso campo profissional.” Reflexión final del PG3 En el PG4 no ha existido tanta cohesión entre sus elementos como en los restantes grupos, reflejándose que algunos estudiantes trabajaron mucho más que otros. Este grupo no ha funcionado muy bien en términos de cooperación, porque algunos estudiantes no participaron en el trabajo de manera regular (faltando demasiado a las sesiones presenciales/virtuales y mostrando interés en cambiar de curso de licenciatura). Dicha inestabilidad de algunos elementos afectó al funcionamiento del grupo, porque los estudiantes más interesados estuvieron sobrecargados de trabajo. El P ha tenido este hecho en consideración en el momento de evaluar individualmente a los alumnos. Este PG ha perdido puntos en términos de asiduidad y puntualidad. Sin embargo, en la presentación final del PG se ha destacado las siguientes actividades de estudio: Figura 46 – Interpretación de las hipótesis sobre la variación de datos discretos en la construcción del modelo funcional por el PG4 334 Figura 47 – Interpretación gráfica de la manipulación de los parámetros del modelo por el PG4 En la reflexión final subrayaron esencialmente la utilidad de las técnicas del CDE para resolver problemas de optimización en los casos en que se trabaja con modelos derivables en el punto extremo, así como la mayor economía, eficacia y validez de la técnica de derivación/integración comparativamente con otras técnicas. El PG1 utilizó una presentación original, creativa y muy bien organizada en Prezi empezando por referir la importancia del CDE en el estudio de la variación de un modelo funcional (primera derivada) y de su ritmo de variación (segunda derivada): Figura 48 – Razón de ser de la función derivada por el PG1 335 Indicaron la relevancia del CDE para pasar del campo discreto al continuo y su economía en comparación con la TVM. Este PG también aceptó la sugestión del P de identificar en el diagrama de actividad las actividades «vividas» en el desarrollo de las varias Qi : Figura 49 – Identificación de las actividades trabajadas en las Qi por el PG1 A pesar de mostrar la existencia de un cuestionamiento tecnológico en casi todas las cuestiones, la reflexión de este PG podría haber sido más completa en el sentido de describir los otros papeles del CDE en las actividades de modelización funcional. Cada PG ha enviado al P, vía Moodle/email, el Trabajo final (SP1–SP10+SVs) constituido por las diapositivas y por la grabación de su presentación. 4. Análisis del desarrollo y de los resultados de la experimentación En el caso específico de la enseñanza del Cálculo Diferencial e Integral a estudiantes del primer curso de la Licenciatura de Medicina Nuclear, por una parte, no fue necesario adaptar nuestra metodología a la habitualmente utilizada por la mayoría de los profesores de las otras componentes (Medicina Nuclear, Ciencias Físicas,…) que, en conjunto, constituyen la Unidad Curricular de Ciências Biomédicas e das Radiações I. Esa metodología, que aún no había sido experimentada en la componente de Biomatemática, Bioestatística y Bioinformática en este curso, reside en un Aprendizaje 336 Basado en Problemas y en un desarrollo de un trabajo autónomo de los estudiantes o grupos de estudiantes. Así, nuestra propuesta didáctica, por definir objetivos semejantes, fue desde luego bien recibida. Por otra parte, la mayor dificultad u obstáculo didáctico ha surgido con la necesidad de reestructurar la secuencia didáctica inicialmente diseñada para poder coordinar los momentos temporales de entrada de las gran problemáticas a abordar simultáneamente por las diferentes Áreas Técnico-Científicas. En particular, para reajustar los tiempos de nuestras Unidades Didácticas (UD0 – UD3) y, además, la secuencia de los Recorridos de Estudio e Investigación al primer Problema (Decaimiento radioactivo) y al segundo Problema (Efecto biológico de las radiaciones ionizantes). En un primer análisis es posible creer que esta metodología podrá implicar un mayor número de horas de dedicación por parte del alumno a la componente matemática en esta Unidad Curricular (Biomatemática, Bioestatística e Bioinformática). Sin embargo, para garantizar la continuidad del proceso didáctico, parece que esta dedicación será aún más necesaria por parte del profesor, una vez que, además de las Sesiones Virtuales estipuladas con cada uno de los pequeños grupos, el profesor deberá mantenerse “online” para aclarar las posibles dudas de los alumnos y orientar de la mejor forma, y separadamente, cada uno de los grupos o cada estudiante en su propio recorrido de estudio e investigación (REI). De este modo, postulamos que, además de planearse el tiempo didáctico del alumno (distribuyendo sus horas de trabajo) también sería útil intentar hacer una previsión de las horas de trabajo del profesor86. En el caso de esta experiencia surgió la necesidad de reducir el número de grupos de alumnos para que el profesor consiguiese seguir online el trabajo de todos los PGs. Se ha buscado en internet la equivalencia de los ECTS en términos de número de horas de dedicación del profesor y se ha encontrado la siguiente correspondencia: “1 ECTS equivale a 50,7 horas de trabajo del profesor/investigador.” Fuente: http://jamg.blogs.upv.es/2013/06/01/635/ 86 Esta idea ha surgido con el objetivo de hacer creíble para el profesor y, en su caso, exequible la implementación de este tipo de organización didáctica. 337 Así, se ha planeado distribuir las 102 horas correspondientes a los 2 ECTS de la siguiente forma: Portafolio de grupo Prácticas Laborat. TeóricoPrácticas Evaluación Total horas Presencial No presencial ------ 3h x 6 sem x 4 grupos = 72h Correcciones/ Preparación de medios 2h x 6 sem = 12h Total horas 84 14 h 14 11 h 11 1h 26 h 1 110 h (2 ECTS) 72 h 12 h Tabla 21 – Dedicación del profesor para MN01-UC02 en horas presenciales, no presenciales, de corrección de trabajos y de construcción de los medios didácticos. Se puede observar un diferencial de horas a más de dedicación del profesor. Sin embargo, es de reseñar que la previsión de semanales de Sesiones Virtuales con cada uno de los 4 PGs (dedicación no presencial) no se ha concretizado en todas las semanas, dado que, en algunas de ellas los PG necesitaban de menos tiempo ( a ), o mismo, no necesitaban de sesión virtual. Las de correcciones/preparación de los medios englobaban la corrección de los trabajos, la gestión del Moodle, la preparación de los medios didácticos: cuestiones, fichas de trabajo, institucionalizaciones, etc. Inicialmente habíamos planeado formar 7 PGs de estudiantes pero, luego se ha verificado una gran dificultad en gestionar el tiempo didáctico del profesor y también el tiempo institucional (relativo al momento de evaluación): N.º grupos 7 grupos de 3 Tiempo didáctico del profesor (sesiones virtuales en 3h x 7 grupos = 21h ) Tiempo institucional de la presentación final 8 minutos (“Flash Presentation”) 5 grupos de 4/5 3h x 5 grupos = 15h 12 minutos 4 grupos de 5/6 3h x 4 grupos = 12h 15 minutos TOTAL 60 minutos 87 Tabla 22 – Distribución del tiempo didáctico virtual del profesor y de la presentación final de acuerdo con el número de grupos 87 Casi al final de la experimentación se ha conseguido negociar una extensión de más 30 minutos. 338 Es también de reseñar que normalmente las tutorías, o sea, la orientación de los grupos son divididas entre varios profesores pero, en este caso estaban todos los grupos bajo la responsabilidad de un único profesor-investigador voluntario a tiempo parcial cuya componente lectiva solo comprendía este módulo y, por lo tanto, podría dedicarse exclusivamente a estos estudiantes. Obviamente que esto solo ocurrió por tratarse de una experiencia de enseñanza en el ámbito de una tesis de doctorado y por interés del propio profesor pues, en una situación normal no sería justo, en términos económicos, que un profesor a tiempo parcial pudiese abarcar tanto trabajo (horas lectivas no presenciales). Por lo que se refiere a la dedicación temporal del profesor y a su gestión del tiempo didáctico, es importante subrayar que la conducción del alumno por parte del profesor solo deberá surgir cuando sea solicitada por el grupo/alumno, o cuando el profesor detecte que un determinado grupo se está desviando del «camino previsto» y ese desvío podrá impedirle construir conocimiento. Sin embargo, ésta propuesta implica que el tiempo didáctico (n.º horas de dedicación efectiva al proceso de enseñanza-aprendizaje con alumnos) resulte de “extender” en la medida de lo posible el tiempo institucional (n.º horas lectivas presenciales permitidas por la institución). Para efectuar este alargamiento, y así conseguir acompañar continuamente las respuestas/conjeturas intermedias de los estudiantes, fueron utilizadas las referidas Sesiones Virtuales en las cuales se incluyó el esclarecimiento de dudas online. En relación con la dedicación temporal del alumno se ha cumplido con el tiempo de dedicación asignado a los ECTS del Área Técnico-Científica de Biomatemática, Bioestatística e Bioinformática, o sea, no ocurrió una “extensión” del tiempo institucional permitido, pero sí una distribución del tiempo de estudio individual de cada alumno por el tiempo de estudio/dedicación de su grupo. O sea, esta estrategia didáctica, tal como está diseñada, solo es posible implementarla cuando el instrumento de evaluación consiste en uno único trabajo de grupo o en un conjunto de pequeños trabajos de grupo. Caso contrario, sería necesario efectuar una pequeña adaptación de la distribución temporal de la estrategia propuesta de forma que incluya el acuerdo con otro tipo de instrumento de evaluación. 339 4.1. Evaluación de la experimentación Para evaluar la metodología adoptada utilizaremos diferentes indicadores: 4.1.1. Calificaciones finales de los estudiantes Este indicador de evaluación de la estrategia didáctica implementada resultó de la comparación de las calificaciones finales relativas a la componente de Biomatemática, Bioestatística e Bioinformática (BBB) en la Unidad Curricular de Ciencias Biomédicas y de las Radiaciones I (UC02) de los estudiantes del 1.º año del Curso de Licenciatura en Medicina Nuclear en dos años lectivos consecutivos: 2013/2014 e 2014/2015. Los resultados de la referida comparación fueron los siguientes: 2013/2014 2014/2015 Medio de evaluación Test escrito Portafolio de grupo N.º alumnos evaluados 15 22 12,74 15,69 3 0 Media calificaciones 88 N.º reprobaciones Tabla 23 – Comparación de las calificaciones finales de BBB en la UC02 de los estudiantes de Medicina Nuclear en los años lectivos 2013/2014 y 2014/2015 Calificaciones 2013/2014 Calificaciones 2014/2015 0% 7% 20% 33% N<10 27% 23% 10<=N<14 40% 14<= N<=17 50% N>=18 Gráfico 1 - Distribución de las calificaciones finales de BBB por clases en los años 2013/2014 y 2014/2015 Analizando y comparando la distribución de las calificaciones y respectivas medias, se concluye que a pesar de que la estrategia didáctica implementada atribuye una mayor responsabilidad al alumno en el proceso de estudio y de exigir un mayor empeño en la ejecución de tareas, suponer un ámbito de estudio más alargado (con el desarrollo de 88 Calificaciones en una escala de 0 hasta 20 valores, tomando como positivas las calificaciones iguales o superiores a 9,5 valores. 340 actividades de modelización funcional) y de implicar la utilización de las TIC (GeoGebra, Skype, Moodle), las calificaciones finales de los estudiantes fueron mejores que las obtenidas por los estudiantes del curso89 de 2013-2014. 4.1.2. Grado de satisfacción de los alumnos Por el hecho de que los estudiantes son los únicos receptores de la buena/mala transmisión del mensaje por parte de un profesor y también porque son los elementos que realmente viven las experiencias didácticas implementadas, acredito y defiendo que la mejor forma de evaluar el desempeño de un profesor y su metodología didáctica deberá resultar de un estudio del nivel de satisfacción de sus alumnos. Así, con la intención de efectuar una evaluación de la experiencia vivida mediante el punto de vista del estudiante y contrastarla con la metodología didáctica habitualmente adoptada, fue solicitado a todos los alumnos del 1.º año del Curso de Licenciatura en Medicina Nuclear la completación de una Encuesta de Satisfacción anónima. De los 22 estudiantes que participaron en la experiencia, solo 1890 respondieron a la referida encuesta, que fue aplicada dos semanas después de finalizar la experiencia. Presentamos a continuación los resultados más relevantes: Respecto a la metodología: - - - - El 88,89% de los alumnos que respondieron a la encuesta revela haberles gustado la estrategia didáctica implementada, de los cuales el 38,89% afirma que le ha gustado bastante; El 72,22% de los estudiantes afirma que no dedicó más horas de estudio para realizar el trabajo de grupo que las que habría dedicado para la preparación de un test/examen escrito; También al 72,22% les gustaría que esta metodología fuese utilizada en futuros módulos de BBB o incluso en otras disciplinas (solo en BBB el 27,78%, en BBB y en otras el 44,44%); En general, los estudiantes califican la tarea de responder a las cuestiones Q1-Q5 como la más trabajosa y la tarea de resolver las fichas de trabajo F1F4 como la más difícil. La mayoría de los estudiantes revela haberles gustado más la tarea que implicaba la utilización del GeoGebra y también la de discutir/conjeturar, y haberles gustado menos la elaboración de actas; 89 Hay que recordar que ha que tener en cuenta que en el curso 2013-2014 las calificaciones se obtenían únicamente mediante un test escrito. 90 Más tarde, he constatado que no todos los estudiantes respondían porque algunos habían desistido del curso de Medicina nuclear o habían cambiado para otro curso de Licenciatura. 341 Respecto al papel del profesor: “Como vê o papel do professor nesta nova metodologia? Que diferenças observa relativamente a outros métodos de ensino que já experimentou?” Las respuestas de los estudiantes fueron las siguientes: “Nesta nova metodologia o professor aparece com um papel de tutor, e não com o de professor tradicional. Apesar de ser mais trabalhoso, torna-se mais produtivo na medida em que nos obriga a resolver as situações por nós mesmos. Foi uma metodologia que resultou bastante bem.” “Nesta metodologia o professor apresenta um papel de orientador. É um método muito eficaz, apesar de ser mais trabalhoso que outros. No entanto, apresenta melhores resultados quer a nível de classificações, quer a nível de conhecimento”. “O professor está mais interativo com os alunos, ou seja, acompanha mais de perto o desenvolvimento deles”. “O professor é mais preciso quando nos deparamos com esta metodologia. Requer maior intervenção, participação, presença e disponibilidade por parte do professor. Aliás, como aconteceu.” “O aluno torna-se mais independente, o que nos ajuda a ponderar as questões e encontrar a resposta mais adequada ao problema. Neste método, o professor desempenha um papel não tão ativo, mas não menos importante, pois ajuda-nos nas varias sessões ao esclarecer as nossas dúvidas”. “Há uma maior autonomia por parte do aluno, tornando-o mais responsável, nomeadamente na entrega dos trabalhos e na realização de sessões online. Relativamente ao professor este apresenta um papel de auxiliador constante que ajuda o aluno, ou grupo, ao invés de simplesmente expor a matéria teórica”. “Como um orientador que não só nos orienta, como também disponibiliza-se para esclarecer as dúvidas que surgem. Relativamente aos outros métodos, torna-se mais cativante/motivador, e o facto de trabalharmos em grupo favorece no sentido em que as dúvidas de uns podem ser resolvidas por outros.” “ O professor deve incentivar o espírito crítico e a capacidade de levar o aluno a pensar se determinada solução é a correta ou não. Relativamente a outros métodos, este leva os estudantes a interagirem e a partilharem conhecimentos.” “O papel do professor neste método deveria ser um pouco mais estruturador, ou seja, deveria colocar mais sugestões ou indicações para nós a dado ponto não nos perdermos.” “O professor tem inicialmente um papel de ensinar e posteriormente com o avançar do tempo, o professor tem um papel mais de apoio que de ensino, sendo que é um bom método de ensino.” “Neste método, o professor assume um papel de orientador em vez de transmitir apenas o seu conhecimento”. “O papel do professor é como um tutor, é diferente do ensino corrente visto que não se baseia no método em que o professor debita a matéria e depois resolve-se exercícios.” “Papel de moderador, maior passividade.” “Acho que a professora teve um papel como tutora, alguém que esteve presente para nos guiar na resolução de problemas. Noutros métodos de ensino, o professor debita a matéria.” En general los estudiantes están de acuerdo que en esta propuesta didáctica el profesor toma un papel secundario (de tutor, de orientador) transfiriendo una gran parte de la responsabilidad del estudio al alumno y proporcionando así un proceso de enseñanzaaprendizaje más creativo y autónomo. Refieren que éste tipo de abordaje didáctico permite un mayor desarrollo del espíritu crítico, una mayor interactividad profesor342 alumno, la compartición de conocimientos entre alumnos y el estímulo al aprendizaje cooperativo. Consideran esta estrategia más cautivante y motivadora que la estrategia asociada al método habitual (exposición de diapositivas por parte del profesor y resolución de ejercicios). Sin embargo, asumen implícitamente que el método tradicional se convierte «más cómodo» tanto para el estudiante como para el profesor. Respecto a la evaluación - - - El 72,22% de los estudiantes encuestados considera que su empeño fue reconocido y el 61,11% considera que los criterios de evaluación fueron precisos; El 83,33% no acredita que podría tener mostrado un mejor desempeño en un examen final con solamente cuestiones de aplicación de técnicas de cálculo integral y, consecuentemente, el mismo porcentaje de alumnos revela que no prefería una evaluación por un examen final en detrimento del trabajo de grupo propuesto; El 94,44% de los estudiantes considera que su grupo le ayudó a superar dificultades y que aprendió nuevas competencias con los colegas de grupo; Respecto al cumplimiento de los objetivos De acuerdo con los objetivos definidos en una de las secciones anteriores de este capítulo, fue propuesta a los estudiantes una especie de autoevaluación anónima en el sentido de indicar cuáles de los objetivos considera haber conseguido alcanzar y los resultados fueron los siguientes: a. Percepción de la razón del estudio del Cálculo Diferencial e Integral - El 83,33% de los estudiantes que respondieron a la encuesta considera útil el estudio del Cálculo Diferencial e Integral para su futuro como técnico de Medicina Nuclear; En la construcción de modelos Objetivos % alumnos que indican que perciben La integral permite calcular áreas entre cualquier tipo de curvas. 94,44% Es más rápido y sencillo resolver una ecuación diferencial (por integración) que una ecuación en diferencias finitas (por recurrencia). 94,44% 343 En la comparación de modelos En el trabajo de los modelos En la interpretación del modelo El uso de sus derivadas permite elegir modelos con mejor capacidad predictiva. 100,00% Las técnicas de integración permiten obtener modelos más ajustados a los datos discretos o con mejor capacidad predictiva. 94,44% Para estudiar la monotonía de un modelo es esencial usar la función derivada. 83,33% Las técnicas de derivación permiten determinar los extremos de una gran parte de modelos. 88,89% La función derivada permite interpretar la variación de una variable en relación a otra. 94,44% El CDE permite interpretar mejor el modelo funcional en el sistema real dado. 88,89% Tabla 24 – Percepción de los estudiantes de la utilidad del Cálculo en las actividades de modelización funcional b. Domínio de las técnicas del Cálculo Diferencial e Integral Teoremas Integración Primitivación/ Derivación Técnicas % alumnos que indican que dominan Cálculo de la derivada en un punto como límite de la TVM (definición de derivada). 100,00% Uso de las reglas de derivación. 100,00% Determinación de la derivada de la función compuesta. 94,44% Estudio de la derivada de una función definida por trozos. 100,00% Cálculo de las derivadas laterales. 100,00% Inmediata. 88,89% Por partes. 83,33% Por sustitución. 88,89% Por fracciones racionales. 83,33% En el cálculo de áreas entre curvas. 77,78% Construcción del Polinomio de Taylor de una función. 55,56% Condiciones del Teorema de Lagrange (del Valor Medio). 55,56% Tabla 25 – Percepción de los estudiantes del dominio de las técnicas del CDE 344 c. Desarrollo de competencias de modelización funcional Competencias % alumnos que indican que desarrollaron Percibir la relevancia de formular hipótesis/conjeturar en la resolución de problemas del día-a-día. 77,78% Conseguir estudiar diferentes situaciones simultáneamente. 55,56% Representar graficamente famílias de modelos funcionales. 83,33% Manipular con facilidad parámetros de un modelo funcional para modificar la situación inicial. 50,00% Conseguir comparar esas situaciones. 83,33% Conjeturar sobre posibles soluciones para el problema inicial. 83,33% Autonomía en la resolución de problemas del contexto profesional de un técnico de Medicina Nuclear. 77,78% Tabla 26 – Percepción de los estudiantes del desarrollo de competencias de modelización funcional d. Desarrollo de competencias informáticas/Enseñanza Virtual GeoGebra - El 94,44% de los estudiantes que respondieron a la encuesta considera que la programación matemática de las celdas de la Hoja de Cálculo permite economizar el tiempo en la construcción de varias tablas con características comunes y el mismo porcentaje de estudiantes considera que revela rapidez en la representación gráfica de un modelo funcional; - Todos los estudiantes consideran importante el uso de selectores para modificar y manipular la situación inicial y consideran útil el trabajo simultáneo de gráficos, expresiones algebraicas, texto y tablas; Skype Antes de la experimentación: - - El 44,44% de los estudiantes no utilizaban frecuentemente el Skype u otro instrumento de videoconferencia e incluso algunos de estos nunca lo habían utilizado; El 61,11% de los encuestados tampoco había compartido su pantalla, el 33,33% aún no sabía enviar ficheros a través de la videoconferencia para discusión en grupo y el 27,78% aún no sabía adicionar elementos a un grupo en videoconferencia; 345 Moodle Antes de la experimentación: - El 38,89% de los estudiantes nunca había descargado ficheros vía Moodle, el 88,89% nunca había utilizado el chat de esta plataforma y el 61,11% nunca había enviado trabajos por esta vía. De un modo general, el 94,44% de los estudiantes atribuyó utilidad al método de Enseñanza Virtual y todos los estudiantes revelaron sentir que aprendieron un poco más sobre este tipo de enseñanza a distancia. 4.1.3. Comparación cualitativa con la metodología habitual Me atrevo a decir que con la implementación de la propuesta de estrategia didáctica descrita anteriormente los alumnos han tenido la oportunidad de desarrollar un mayor número de competencias que las inicialmente pretendidas y previstas en la Unidad Curricular de Ciencias Biomédicas y de las Radiaciones I (UC02) para la Área TécnicoCientífica de Biomatemática, Bioestatística e Bioinformática. En particular, fueron creadas actividades didácticas de forma a: 1. Desarrollar competencias de programación en Hojas de Cálculo (GeoGebra); 2. Desarrollar competencias gráficas, de simulación de diferentes situaciones y de modelización funcional; 3. Trabajar la capacidad de interpretar la influencia de los parámetros en la variación de un modelo funcional (al manipular su valor); 4. Formular hipótesis, discutir estrategias en grupo para solucionar problemas reales relacionados con situaciones del mundo profesional de un técnico de Medicina Nuclear; 5. Desarrollar la creatividad, la capacidad de análisis y el sentido crítico en la resolución de esos problemas; 6. Construir modelos funcionales para describir datos reales transitando del campo de la matemática discreta al campo de la matemática continua; 7. Experimentar diferentes tipos de regresión para aproximar datos discretos; 8. Resolver ecuaciones diferenciales por integración directa ; 9. Estimular la gestión temporal, la capacidad de distribución de tareas por los diferentes elementos de cada grupo, la cooperación, el envío online de 346 documentos, la capacidad de “destreza informática” y el cumplimiento de plazos; 10. Trabajar con diferentes herramientas informáticas tales como: la plataforma Moodle (descarga de ficheros, chat, envío de trabajos de grupo), GeoGebra (gráficos, manipulación de modelos, tablas, derivadas, áreas, integral), Skype (videoconferencia, chat, compartición de pantalla y de ficheros), software de grabación de audio, software de digitalización, WeTransfer/Google Drive (envío de ficheros de gran dimensión), PowerPoint/Prezi (presentaciones finales), Cacoo (creación de diagramas online para la presentación final). 11. Desarrollar la capacidad de síntesis al formalizar la descripción de las principales discusiones/conclusiones de cada sesión (presencial/virtual) a través de la elaboración de un acta; 12. Proporcionar la necesidad de investigación y de selección de información; 13. Proporcionar momentos de reflexión, de institucionalización de las respuestas posibles y de articulación de los resultados de los diversos trabajos; 14. Permitir la utilización de diferentes técnicas matemáticas (derivación, integración y aplicación de Teoremas) para resolver las tareas propuestas91; 15. Cuestionar la adecuación y eficacia de una técnica matemática para resolver una determinada tarea dada; 16. Descubrir la amplitud/validad de una técnica (que variedad de tareas permite resolver, cuando no funciona); 17. Comparar la economía de diferentes técnicas (cual la que permite resolver más rápidamente la tarea); Desde el punto de vista del profesor es gratificante verificar que su dedicación intensiva ha tenido como frutos: Una mayor motivación e implicación de los estudiantes en las tareas propuestas por estar relacionadas con su futuro mundo profesional; Permitir que los estudiantes vivan y resuelvan problemas reales usando herramientas matemáticas; 91 Es de subrayar que, habitualmente, tanto en la enseñanza secundaria tanto en la enseñanza universitaria, el estudio del Cálculo Diferencial e Integral solo contempla el trabajo de esta competencia cuya adquisición es posteriormente evaluada por un examen/test escrito. 347 La percepción de la utilidad del estudio del Cálculo Diferencial e Integral por parte de estudiantes del 1.º año de Medicina Nuclear; Los estudiantes investigaron bastante, estudiaron técnicas matemáticas a través de diferentes fuentes de información como, por ejemplo: libros, manuales, wikipedia, websites de grupos de investigación de matemática, vídeos encontrados en internet y diapositivas de profesores, etc. En suma, como profesora y como elemento que vivió la metodología didáctica, considero que la experiencia fue bastante positiva y enriquecedora, me ha sorprendido la forma en que los estudiantes se implicaron en los desafíos lanzados y espero poder mejorar esta estrategia en experiencias futuras. 4.2. Criterios de modificación para futuras experimentaciones de los REI En esta sección se va a intentar describir, por un lado, lo que ha cambiado en los «planes iniciales» del P en el momento de la experimentación debido a condiciones o restricciones que no estaban previstas y, por otro lado, lo que se podría cambiar en los diseños matemático-didácticos a priori para mejorar el desarrollo de las actividades. Una de las posibles mejorías que se podría llevar a cabo en los diseños matemáticodidácticos construidos consiste en reformular las tablas descriptivas de la Organización Didáctica de forma que los REIs pudiesen ser independientes de la institución o del curso de licenciatura. O sea, convertir los REIs en dispositivos didácticos generalizables a diferentes cursos del 1.º año de la enseñanza universitaria portuguesa como, por ejemplo: economía, marketing, bioquímica, biología, medicina, etc. Así, a posteriori, podríamos pensar en trabajar diferentes conjuntos de datos provenientes de diversas áreas. En la Organización Didáctica referente a la Unidad Didáctica 0 Inicialmente el profesor había pensado en comunicar a los estudiantes las evaluaciones intermedias (o sea, en el final de cada UD) de los trabajos enviados por los pequeños grupos de estudiantes y la evaluación individual de cada estudiante, para generar competitividad a través de un ranking de estudiantes y de un ranking de PGs publicado en el Moodle. Sin embargo, por una cuestión de gestión del tiempo del profesor tal no se ha tornado posible. 348 La plataforma Moodle fue semanalmente/diariamente actualizada con la inserción de nuevos documentos o informaciones útiles para auxiliar el desarrollo de la investigación creada por los Es/PGs. En la Organización Didáctica referente a la Unidad Didáctica 1 Había sido planeado que el P llevase para la clase un documento impreso para su auxilio/apoyo (“plan de clase”) que describiese pormenorizadamente el juego de transferencia de responsabilidades entre el P y el E/PG en 4 tablas referentes a la construcción y presentación de la Organización Didáctica (a priori) dividida en 4 Unidades Didácticas (UD0-UD3). Por cuestiones de gestión del tiempo de trabajo del P, esto solo fue posible hasta las 2 primeras UDs (UD0 + UD1). Este documento fue sustituido por una división de horas hecha sobre el propio horario semanal con, por ejemplo, los siguientes registros: - Semana 1 (UD0): SP1, SP2, SP3, SV1 resolución de la Ficha de Trabajo 1, envío del Trabajo1 y su institucionalización; - Semana 2 (UD1+UD2): SP4, SP5, SV2 desarrollo de las Cuestiones Problemáticas Q1, Q2 y Q3, su institucionalización, inicio de la resolución de las Fichas de Trabajo 2 y 3; - Etc. Además sobre dicho horario semanal el P registraba algunas notas (“pedir esto a los PGs”, “alertar los Es para tal”, etc.). Por ejemplo, para la SP4 (2 horas) habíamos previsto la distribución de 1h para elegir la Q0 y explorar la Q1 (según la OD a priori referente a la UD1) y de 1h para estudiar la Q2 (según la OD a priori referente a la primera parte de UD2). Sin embargo, en el momento real de la experimentación no fue posible porque, en primer lugar, surgieron algunos problemas técnicos/informáticos con la proyección de las primeras diapositivas para presentar la Q0 (previstos 15’realidad 30’); en segundo lugar, los estudiantes revelaron dificultades en programar celdas en la hoja de cálculo y, por eso, necesitaron de apoyo del P en el GeoGebra y, consecuentemente, de más tiempo de la sesión presencial para buscar una respuesta para la cuestión Q1. Así, ya no fue posible la exploración de la Q2 en la sesión presencial y la pasamos para la sesión virtual acelerando el ritmo de trabajo. 349 Quizá pudiese haber sido más interesante después de elegida la Q0:¿ Cómo preparar e administrar un radiofármaco para diagnosticar el cáncer de tiroides?, al revés de: P Sugiere el estudio de la desintegración radioactiva para la preparación de estes radiofármacos con ¿Cómo varía la masa de una substancia radioactiva después de su desintegración? Es Sugieren cuestiones más particulares/concretas que podrían ser estudiadas a partir de la cuestión generatriz. Como están explorando el mismo tema, de la desintegración radioactiva, en las otras Áreas Técnico-Científicas puede ser que los propios Es, por un lado, creen la interdisciplinariedad y, por otro lado, establezcan la arborescencia y conexión entre las cuestiones problemáticas Qi. Cuando se describe las OD a priori (en las tablas) se pretende hacer una propuesta de planificación flexible en términos de horas para dar cuenta, por ejemplo, en la cuarta sesión, sí el ritmo de trabajo está adecuado o no. En la Organización Didáctica referente a la Unidad Didáctica 2 (Construcción y manipulación del modelo continuo «exacto») Debido a restricciones temporales y también porque, en el momento, el P lo ha considerado más interesante y motivador, se ha trasladado el trabajo de las tareas didácticas asociadas al desarrollo de la cuestión de la Sesión Presencial 4 para la Sesión Virtual y, consecuentemente, se ha pasado de un trabajo más dirigido para un trabajo de los PG casi independiente del P. Relativamente a la tarea didáctica siguiente: PG Para intentar responder autónomamente a la buscan en internet/libros de secundaria posibles modelos funcionales ya construidos que podrán caracterizar el sistema (exponenciales, racionales, definidos por trozos, polinómicos, etc.)” Creemos que sería interesante que los PGs trabajasen modelos pertenecientes a familias de funciones distintas (racional, exponencial, definidos por trozos, etc.) para que sea posible, a posteriori, la comparación de su ámbito de validez y del coste de las técnicas del CDE. Así, el P podría distribuir un tipo de modelo por cada PG y añadir que sus primeras respuestas serían retomadas más adelante. 350 Por otro lado, a fin de salvaguardar que un determinado PG no empiece a trabajar con un modelo perteneciente a un nivel de modelización funcional superior al primer nivel (en el sentido de Ruíz-Munzón (2010)), o sea, con familias de funciones, postulamos que sería útil añadir una nueva tarea didáctica de institucionalización antes de la orientación para un trabajo en el 1.º nivel de MF: P+GGInstitucionalizan las posibles respuestas a modelo con los niveles de MF. identificando cada respuesta- P Orienta los PGs para un trabajo inicial en el 1.º nivel de MF con un modelo de una sola variable independiente (tiempo) y sin parámetros para responder a las La implementación de la experiencia didáctica ha permitido verificar la dificultad del P en conseguir estimular los estudiantes a tomar la iniciativa de crear nuevas cuestiones problemáticas, nuevas hipótesis sobre el sistema para ampliar las situaciones y a explorar otros tipos de modelos. En la UD2 (2.ª parte) trabajada en la SP5 (3 horas) fue interesante observar el entusiasmo de los Es en deducir las técnicas de cálculo de áreas bajo curvas, al reducir la amplitud del intervalo y aumentando el número de rectángulos (técnicas etc. . En la Organización Didáctica referente a la Unidad Didáctica 3 Inicialmente también había sido pensada la elaboración de un Tutorial GeoGebra para orientar mejor a los estudiantes, pero después en el momento de la práctica docente ya no ha surgido tal necesidad, porque los Es buscaban autónomamente las informaciones relativas a la funcionalidad del GeoGebra en vídeos del YouTube y del GeoGebraTube, foros, etc. Sin embargo, se podría mejorar la Organización Didáctica al tener anticipadamente preparados, para futuras experimentaciones, algunos tutoriales de utilización de los diferentes medios informáticos elegidos (GeoGebra, Skype, Moodle, etc.) pero, ahora, no con el objetivo de servir de guión a los estudiantes sino como instrumento de auxilio y facilitador del trabajo del profesor en el esclarecimiento de dudas online. Se reseña, más una vez, que el P no debería ceder de antemano dichos tutoriales a los estudiantes y, a ceder, que sea solo en “situaciones de emergencia” (por ejemplo, caso en que el estudiante se sienta completamente perdido y ya sin tiempo para investigar en internet), pues el objetivo principal es que sea el alumno capaz de construir 351 autónomamente su propio conocimiento y utilizando todos los medios disponibles (foros, libros, blogs, otros tutoriales, vídeos YouTube, etc.) para investigar y sacar la información pretendida. Otra posible ampliación podría consistir en introducir la tarea didáctica de reunir y convertir los documentos y applets GeoGebra creados por cada PG en un “GeoGebraBook”, permitiendo así que el PG construya un «portafolio interactivo». En síntesis, se intenta dar una respuesta a las siguientes cuestiones: ¿Hasta qué punto los RM experimentados han permitido dar sentido al estudio del CDE en este curso de Medicina Nuclear? ¿Hasta qué punto ha sido contrastada la conjetura de Ruiz-Munzón en la experimentación desarrollada? ¿Hasta qué punto los recorridos de estudio e investigación propuestos han permitido superar las limitaciones descritas anteriormente de la actividad matemática escolar habitual en torno al estudio del CDE en el ámbito de la MF? Este MER alternativo efectivamente permite mostrar que es posible que la razón de ser del CDE surja en el ámbito de la MF, o sea, muestra la verosimilitud de la conjetura de Ruiz-Munzón (2010) al mostrar que la introducción y el desarrollo del cálculo diferencial elemental surge necesariamente en la culminación de la actividad de modelización funcional. Además la experimentación de los RM que constituyen el MER reveló que es posible ampliar la razón de ser habitualmente atribuida al estudio del CDE en la enseñanza secundaria y, en particular, en el primer curso de la enseñanza universitaria portuguesa. El objetivo primordial de este desarrollo consistió en mostrar que la razón de ser del cálculo diferencial elemental en el paso de la enseñanza secundaria a la enseñanza universitaria no se restringe únicamente al conjunto de razones de ser que el sistema escolar portugués asigna en este ámbito institucional (descrito en la sección 8.1. del capítulo III). Así, surgió la necesidad de ampliar el citado conjunto añadiendo muchas tareas que forman parte de distintos procesos de modelización funcional. 352 Así, con la experimentación se mostró que la razón de ser del estudio del CDE en dicha institución podrá surgir en el ámbito de la MF abarcando el 3.º estadio de MF de un modo más completo (trabajo dentro del modelo y su interpretación) y además el 2.º estadio de MF (la construcción del modelo). En otras palabras, en la experimentación con estudiantes de Medicina Nuclear se mostró que el CDE no sirve únicamente para manipular/trabajar un modelo funcional ya construido de antemano, sino permite construirlo y interpretarlo en términos del sistema. Los recorridos de estudio e investigación “vividos” están constituidos por secuencias de tareas resultantes de una red progresiva de cuestiones y respuestas que permiten: 1. Dar visibilidad escolar a la MF en la institución en la cual se llevó a cabo la experimentación, de forma que permite dar sentido al estudio del CDE en dicho ámbito de la MF; 2. Articular entre sí diferentes praxeologías matemáticas que surgen habitualmente de forma atomizada mediante su integración en procesos de MF (por ejemplo, la resolución de las ecuaciones diferenciales, el cálculo de primitivas y la representación gráfica de funciones); 3. Ultrapasar las limitaciones de la actividad matemática escolar habitual en torno al estudio del CDE en el ámbito de la MF, descritas por las conjeturas C1-C10 cuya contrastación se muestra en la sección 5 del capítulo III; Para que se cumpliesen dichas tres condiciones fue necesario ampliar progresivamente la praxeología inicial mediante una arborescencia de OM de completitud creciente. Lo que significa que se partió de la OM en torno a un pequeño tipo de tareas matemáticas cuya respuesta requería, en primera instancia, de un proceso de modelización funcional y tal que su desarrollo provocaba la necesidad de utilizar de manera imprescindible técnicas básicas del cálculo diferencial. El citado desarrollo se provocó mediante sucesivos debilitamientos de las hipótesis sobre el tipo de fenómeno a estudiar que, paralelamente, provocaron la aparición de nuevos parámetros y de nuevas hipótesis que hicieron más complejo el modelo y, por lo tanto, el estudio de la evolución de dicho fenómeno. Así, fue construido un modelo epistemológico de referencia (MER) esquematizado mediante un diagrama de actividad cuya flexibilidad y versatilidad permite, en 353 consonancia con la institución en que se trabaje (sea en la enseñanza secundaria o en la enseñanza universitaria), la exploración de todo el MER o de solo una parte del mismo. Sobre dicho MER se sustentará el diseño y la puesta en marcha por parte de una comunidad de estudio particular, de un REI que genere una praxeología local, regional o global en una institución determinada92. 92 Es de reseñar que, por ejemplo, lo que es una praxeología regional en secundaria puede ser considerada como una praxeología local en la Universidad. 354 Capítulo VI Principales aportaciones y problemas abiertos En este último capítulo se describen las consideraciones finales y principales aportaciones de la presente memoria para la Didáctica de las Matemáticas, en particular, la propuesta de una posible razón de ser del estudio del cálculo diferencial elemental (CDE) al final de la enseñanza secundaria y primer curso de la enseñanza universitaria portuguesa. Dicha propuesta, de acuerdo con la Teoría Antropológica de lo Didáctico, se basa en un modelo epistemológico de referencia que permite articular el estudio del CDE con el desarrollo de un proceso cíclico de modelización funcional (MF) estructurado en cuatro estadios: delimitación del sistema; construcción del modelo; trabajo del modelo e interpretación del mismo en términos del sistema; y formulación de nuevas hipótesis y estudio de nuevos sistemas. Ese modelo se esquematiza en esta memoria mediante un diagrama de actividad de modelización funcional. Junto a la enumeración de los principales aportes de este trabajo formularemos un conjunto de problemas didácticos que continúan abiertos y que surgen de manera más o menos directa de los resultados obtenidos. De hecho, las aportaciones y los problemas abiertos están profundamente relacionados entre sí. En efecto, los problemas abiertos que pueden formularse con las herramientas teóricas o metodológicas que proporciona una investigación constituyen, en sí mismos, importantes aportaciones de dicha investigación y, recíprocamente, las aportaciones científicas proporcionan algunos de los elementos imprescindibles para formular nuevos problemas de investigación. 355 1. El problema didáctico del cálculo diferencial elemental como confluencia de tres grandes problemáticas de investigación En este trabajo tratamos algunas de las cuestiones que forman parte de un problema que, en términos generales, podríamos denominar el problema didáctico del cálculo diferencial elemental. Entre las primeras aportaciones de esta memoria hay que citar, precisamente, la construcción de dicho problema como confluencia de tres grandes líneas de investigación desarrolladas en el ámbito de la TAD y, consecuentemente, las contribuciones a cada una de dichas líneas de investigación que nuestro estudio del problema didáctico del cálculo diferencial elemental aporta. Un aporte al estudio del fenómeno didáctico de la rigidez, incompletitud relativa y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares (Fonseca, 2004; Lucas, 2010) y la relación de dicho fenómeno con las restricciones que inciden sobre la génesis y el desarrollo de la actividad de modelización matemática (Barquero, 2009; Serrano, 2013). En esta memoria se estudian específicamente las restricciones que inciden sobre la modelización funcional. Un aporte al estudio del origen transpositivo del fenómeno de la desarticulación de ámbitos particulares de la matemática escolar, mediante un estudio específico de la desarticulación entre el CDE y la MF, de las condiciones que lo mantienen y de sus principales consecuencias didácticas. Conjuntamente, nuestros resultados generalizan los obtenidos en García (2005), puesto que los REI que hemos diseñado y experimentado incluyen la caracterización y construcción de un conjunto más amplio de tipos de variación funcional entre magnitudes continuas y, además, abordan explícitamente la problemática del paso de la variación entre magnitudes discretas a la variación entre magnitudes continuas. Un aporte a la verosimilitud de la conjetura de Ruiz-Munzón (2010) con la condición de reinterpretarla de acuerdo con el nuevo significado de la noción de MF que proporciona nuestro MER. En efecto, mediante el desarrollo de una actividad matemática concreta, se ha puesto de manifiesto el alcance y el significado de la citada conjetura y, sobre todo, se ha mostrado en qué sentido puede afirmarse que una posible razón de ser del CDE puede situarse en el ámbito de la MF y qué consecuencias se desprenden de esta importante conjetura. Una de las manifestaciones del fenómeno didáctico general de la desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares en un ámbito específico de la enseñanza secundaria obligatoria la constituye la llamativa desarticulación de la relación de 356 proporcionalidad respecto al resto de relaciones funcionales que aparecen en dicho nivel educativo (García, 2005; García et al., 2006). En esta memoria hemos estudiado la desarticulación entre el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional en el último curso de secundaria y primer curso universitario y hemos aportado algunos resultados al respecto. Relacionado con estas aportaciones surge el siguiente problema abierto: ¿Qué nuevas manifestaciones específicas de este fenómeno didáctico general podemos encontrar en otros ámbitos de la matemática escolar? En particular, ¿es posible que la desarticulación entre la geometría sintética y la geometría analítica (Olivero et al., en prensa) en secundaria y en la formación del profesorado constituya una de dichas manifestaciones específicas? Para estudiar la desarticulación de la geometría escolar, ¿se podrán utilizar las herramientas que hemos puesto en marcha en esta memoria para el caso del CDE y la MF? 2. Carácter relativamente universal del fenómeno de la desarticulación escolar entre el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional En la presente memoria se constató una fuerte rigidez, atomización e incompletitud de las organizaciones matemáticas en torno al estudio del CDE en el ámbito de la MF en la última etapa de la enseñanza secundaria y en los principios de los estudios universitarios portugueses. En trabajos futuros se pretende averiguar si las conjeturas descritas en el capítulo III de esta memoria son igualmente válidas para describir el modelo epistemológico dominante relativo a la articulación existente (o ausente) entre el CDE y la MF en diferentes sistemas de enseñanza de distintos países. Lo que permite plantear el siguiente problema abierto: El fenómeno de rigidez y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares en torno al estudio del CDE y de su articulación con las actividades de MF, ¿es un fenómeno didáctico relativamente universal, esto es, generalizable a diferentes sistemas de enseñanza? En estos momentos disponemos, además de los datos que figuran en la memoria, de algunos indicios provenientes de los sistemas escolares de España, Francia y Brasil que parecen confirmar esta hipótesis. 357 Cuando nos planteamos el problema metodológico de cómo caracterizar los modelos epistemológicos dominantes en los sistemas escolares de los diferentes países y la presencia/ausencia de algún tipo de relación entre el CDE y la MF, surgen nuevos aspectos del problema didáctico anterior: ¿Qué recorte institucional se debería hacer, esto es, qué niveles educativos habrá que tomar en consideración en cada uno de los países teniendo en cuenta su tradición curricular? ¿Qué relación podrá existir entre las organizaciones matemáticas estudiadas en cada institución escolar de cada sistema de enseñanza? ¿Cuáles son las semejanzas y cuáles son las diferencias entre las matemáticas escolares desarrolladas en los diferentes países? ¿Qué factores históricos, culturales, tradicionales pueden estar subyacentes en estas similitudes o contrastes? 3. Otras posibles razones de ser del cálculo diferencial elemental alternativas a la razón de ser oficial Este trabajo ha permitido hacer una distinción entre lo que denominamos razón de ser oficial que la institución escolar estipula para el CDE, esto es, las funciones que le asigna, y una posible razón de ser alternativa que ayude a colmar los vacíos y a superar las limitaciones y las restricciones que sufren las organizaciones matemáticas escolares sustentadas en el modelo epistemológico dominante en el sistema escolar. Puede darse el caso que, en base a una investigación didáctica relativa a un cierto ámbito de la actividad matemática, se sienta la necesidad de postular una razón de ser distinta de la que le asigna el currículo oficial, lo que comportará la necesidad de modificar profundamente las cuestiones y las tareas que se suponía que daban sentido a dicho ámbito de la actividad matemática escolar (en una institución determinada). Esta razón de ser alternativa provocará, inevitablemente, una reformulación de la estructura de dicho ámbito y de su relación con el resto de las organizaciones matemáticas escolares. Puede interpretarse como la asignación de una razón de ser distinta de la asignada oficialmente a cierto ámbito de la matemática escolar, por parte de un modelo epistemológico de referencia (MER) alternativo al modelo epistemológico dominante en la institución en cuestión. 358 En esta memoria, en particular, se propone una razón de ser alternativa a la razón de ser oficial para el estudio del CDE en la enseñanza secundaria y en los primeros cursos de la enseñanza universitaria, lo que constituye otra de las aportaciones importantes de la misma. En relación a esta aportación surgen las siguientes cuestiones que podemos considerar como aspectos de un nuevo problema abierto: En base a la constatación de nuevas limitaciones de las organizaciones matemáticas escolares en diferentes ámbitos en los que interviene el CDE, ¿qué otras posibles razones de ser alternativas se podrá asignar al estudio del CDE? ¿En qué ámbito(s) escolar(es), distintos de la MF, podrán surgir tales razones de ser alternativas? ¿Y en que ámbito institucional (en Secundaria, en la Universidad, en la formación de profesorado o en contexto profesional)? 4. Simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de referencia (MER), la formulación del problema didáctico asociado y la caracterización del modelo epistemológico dominante en la institución Otra de las aportaciones importantes de esta memoria, cuyo alcance va mucho más allá del problema didáctico del cálculo diferencial elemental, consiste en haber mostrado que, en la práctica científica del didacta, la formulación precisa de un problema requiere la asunción (más o menos explícita) de un modelo epistemológico del dominio matemático en juego (MER) que, a su vez, constituye una conjetura o hipótesis científica que responde al problema didáctico en cuestión. Por otra parte, y a pesar de que para construir el MER se utilizan datos empíricos provenientes de la actividad matemática escolar, una de las funciones del MER es la de servir de sistema de referencia para describir y analizar la forma como la institución docente en cuestión interpreta el dominio matemático que está en juego (y que denominamos modelo epistemológico dominante en la institución). En consecuencia, metodológicamente no podemos asignar prioridad temporal a ninguno de los tres procesos (formulación de un problema didáctico, construcción de un MER asociado y descripción y análisis del modelo epistemológico dominante en la institución) por lo que debemos reconocer (lo que constituye otra aportación importante de esta memoria) que, en la práctica científica concreta del didacta, los tres procesos deben desarrollarse de manera simultánea. Esta constatación provoca la formulación de 359 un problema abierto de carácter metodológico y, también, relacionado con la difusión de las investigaciones didácticas: Dado que el orden textual de los trabajos de investigación o de difusión es obligatoriamente lineal, ¿en qué orden es preferible describir los tres procesos indicados (formulación de un problema didáctico, construcción de un MER asociado y descripción y análisis del modelo epistemológico dominante en la institución) en aras a la claridad y rigor de dichos trabajos? ¿Es posible describir cualquiera de los tres procesos indicados sin hacer referencias explícitas al estado del avance en los otros dos procesos? En esta memoria hemos intentado resolver este problema mediante la siguiente estrategia metodológica: en el capítulo III hemos descrito un esquema del MER que ha servido de base para formular el problema didáctico (aunque, naturalmente, el citado esquema está condicionado por las cuestiones que forman parte del problema didáctico) y para analizar la razón de ser oficial del CDE, esto es, la que le asigna el modelo epistemológico dominante en la institución; en el capítulo IV, y en base a los resultados del capítulo III, hemos construido el MER que articula el CDE y la MF. 5. Redefinición de la noción de «modelización funcional» Una de las principales aportaciones de este trabajo reside en la redefinición de la noción misma de modelización funcional (MF) que amplía en gran medida, al tiempo que detalla y precisa, los tipos de tareas que forman parte de la actividad de MF. Esta nueva caracterización de la MF se materializa esquemáticamente en un diagrama de actividad que, además, representa una propuesta de un modelo epistemológico de referencia (MER) que permite mostrar una razón de ser alternativa al estudio del CDE en la enseñanza secundaria y primer curso universitario. En la Figura 1 se presenta dicho diagrama de actividad: 360 Figura 3 - Diagrama de actividad de modelización funcional 361 Por un lado, al tomar la MF como un tipo específico de modelización matemática, podremos decir que se trata de un proceso estructurado en cuatro estadios: delimitación del sistema a modelizar; construcción del modelo; trabajo del modelo e interpretación del mismo en términos del sistema; y emergencia de nuevas hipótesis, necesidad de tomar en consideración nuevas variables, construcción de un nuevo sistema y nuevo proceso de modelización. Por otro lado, los procesos de MF se estructuran según RuizMunzón (2010) en tres niveles dependiendo del tipo de modelos que se tomen en consideración: funciones de una variable, familias de funciones de una variable, o familias de funciones de dos o más variables. En esta memoria interpretamos el paso de un nivel de MF al siguiente como el inicio de un nuevo proceso de MF puesto que, por ejemplo, si se pasa del primer nivel al segundo (esto es, de un modelo expresado por una función de una variable a otro materializado mediante una familia de funciones) aparece la construcción de un nuevo sistema (que contiene al sistema inicial como un caso particular) lo que requiere iniciar un nuevo proceso de MF. La necesidad de articular los cuatro estadios con los tres niveles provoca la emergencia de nuevas cuestiones: ¿Cómo se podrá articular la reinterpretación de los cuatro estadios de MF que se proponen en el MER con los tres niveles de MF propuestos en el MER de Ruiz-Munzón (2010)? Un proceso de MF, ¿debe desarrollarse necesariamente en un único nivel o, por el contrario, puede desarrollarse en dos o más niveles? Así, por ejemplo, cuando se construye un modelo funcional integrando una función de una variable, obtenemos un modelo materializado por una familia de funciones por lo que nos situamos en el segundo nivel. ¿Qué modificaciones pueden provocar estos saltos de nivel en la estructura del MER, especialmente cuando entre en juego el tercer nivel? En particular, la construcción de modelos funcionales del tercer nivel de MF, ¿requerirá de nuevas tareas y de nuevas técnicas que están ausentes en el MER? ¿Cómo se podría ampliar el MER propuesto de forma a permitir estudiar el cálculo diferencial no elemental, o sea, el cálculo avanzado con modelos funcionales materializado mediante familias de funciones con más de una variable? 362 6. Funciones de un MER como sistema de referencia En el capítulo III delineamos únicamente las principales características de un MER estructuradas en un diagrama de actividad a modo de mapa esquemático susceptible de sustentar diferentes recorridos matemáticos (Figura 1). Posteriormente se utilizó este esbozo de MER como sistema de referencia provisional en base al cual ha sido posible llevar a cabo un conjunto de tareas que constituyen importantes aportaciones de esta memoria: Formular con cierta precisión el problema de investigación didáctica que abordamos en esta memoria. Interpretar la evolución histórica del papel del CDE en la enseñanza secundaria portuguesa y su potencial relación con la MF. Contribuir a formular las conjeturas cuya contrastación empírica nos permitió describir, en primera instancia, el tipo de incompletitud de las OM en torno a la MF y el CDE, así como la desarticulación de las mismas. Formular cuestiones a los documentos curriculares escolares cuyas respuestas nos permitieron caracterizar la razón de ser «oficial» que el sistema escolar portugués asigna al CDE en el paso de Secundaria a la Universidad. Constatar la existencia del fenómeno de la falta de visibilidad escolar de la modelización funcional y, consiguientemente, de una posible razón de ser del CDE en dicho ámbito. Este conjunto de aportaciones, dependientes todas ellas de la utilización del MER como sistema de referencia provisional y relativo, plantea nuevos problemas: Dada la enorme importancia que adquiere el MER en esta investigación, siendo como es una conjetura o hipótesis provisional y relativa, ¿de qué dispositivos se dispone para llevar a cabo una contrastación empírica de dicha conjetura que nos proporcione criterios fundados para modificarla? ¿Hasta qué punto podemos afirmar que la experimentación realizada con estudiantes de Medicina Nuclear constituye una primera contrastación de dicha conjetura? 363 7. Articulación entre los procesos de modelización funcional discretos y continuos Otra de las aportaciones de este trabajo consiste en la caracterización de un universo de tipos de variación elemental que podrá servir de auxilio a la construcción de modelos funcionales que pueden partir de datos continuos o discretos. Se trata de una ampliación del conjunto de tipos de variación funcional entre magnitudes continuas anteriormente estudiadas en García (2005) y en Barquero (2009). Al disponer de este universo de tipos de variación y mediante las técnicas clásicas de regresión es posible integrar en un mismo proceso de modelización funcional el trabajo en los campos discreto y continuo. Se requeriría posiblemente el estudio de otras técnicas, tecnologías y teorías habitualmente utilizadas en el ámbito de la Física, de las Ingenierías o de la Matemática Aplicada que permitan justificar mejor el paso del campo discreto al campo continuo (y viceversa). Surgen nuevas cuestiones: ¿Cómo se podrán integrar en el ámbito institucional del final de la enseñanza secundaria y principios de la enseñanza universitaria portuguesa, las técnicas algebraicas del cálculo con diferencias finitas y el paso de un trabajo en el campo discreto a un trabajo en el campo continuo? ¿Cómo hacer, en términos didácticos, para pasar de un trabajo desarrollado en el campo continuo a un trabajo en el campo discreto? Por ejemplo, ¿de qué forma se podrá discretizar un modelo funcional dado mediante una ecuación diferencial difícil de resolver por integración? 8. Contrastación empírica de la conjetura de Ruiz-Munzón La experimentación llevada a cabo con estudiantes de Medicina Nuclear constituye una primera contrastación empírica (si bien indirecta) de la conjetura de Ruiz-Munzón (2010) con la condición de reinterpretarla de acuerdo con el nuevo significado de la noción de modelización funcional que proporciona nuestro MER. Esta contrastación preliminar, con todas sus limitaciones, constituye un aporte muy importante de esta memoria. Dicha experimentación ha mostrado que es posible asignar al CDE una nueva razón de ser en el ámbito de la MF y, también, que es posible superar las fuertes restricciones 364 iniciales que dificultan la necesaria reformulación del programa de estudios. El objetivo de esta reformulación consiste en transformar el currículo en un conjunto de procesos de modelización generados por determinadas cuestiones y materializados mediante recorridos de estudio e investigación (REI). Surgen las siguientes cuestiones: ¿Qué condiciones se requerirían para transformar el programa de estudios del primer curso de cálculo diferencial en el grado de Medicina Nuclear (y en otros grados con un programa análogo) mediante la articulación de un conjunto de procesos de modelización funcional? ¿Qué tipo de formación requeriría el profesorado universitario para dirigir los REI correspondientes (Ruiz-Olarría, 2015)? 9. La formulación y contrastación de hipótesis sustentadas en el MER como metodología para caracterizar el modelo epistemológico dominante En esta memoria se presenta una nueva metodología para analizar manuales, cuestionarios, y otros indicadores empíricos de la actividad matemática escolar. Dicha metodología consiste en formular a priori ciertas hipótesis en base al punto de vista que proporciona el MER, y que se postula que podrán caracterizar la actividad matemática escolar desarrollada en una determinada institución. Esta metodología constituye, por tanto, una nueva aportación de la memoria. En el caso particular del CDE, el esquema del MER construido pretende mostrar en vivo, en acto, que una posible razón de ser del CDE (en el paso de Secundaria a la Universidad) surge en el ámbito de la MF. Más concretamente, postulamos que el MER explicita las funciones que el CDE podría desempeñar para potenciar el desarrollo de la MF en dicha institución. En consecuencia, cuando interpretamos los resultados del estudio empírico de los manuales a partir de las hipótesis propuestas con ayuda del MER como sistema de referencia provisional, saltan a la vista principalmente las flagrantes ausencias de dichas funciones. En este sentido, se constata por ejemplo que, cuando se construyen modelos funcionales, las herramientas del CDE desempeñan únicamente un papel auxiliar. En la actividad matemática escolar, en la última etapa de la enseñanza secundaria, no se plantea prácticamente nunca la tarea de construir modelos funcionales a partir de datos empíricos discretos y no se trabaja con la tasa de variación media (ni con la tasa de 365 variación media relativa) como paso previo a una aproximación de un modelo discreto por otro continuo (mediante la aproximación de la tasa de variación media por la derivada). Esta aportación de la memoria plantea nuevas cuestiones abiertas: En el estudio de problemas didácticos de otras áreas del conocimiento (Geografía, Historia, Ciencias, Idiomas, Educación Física, Música, Danza, Educación Especial, etc.), ¿se podrá adaptar esta nueva metodología de formulación de hipótesis a priori para analizar los diferentes indicadores empíricos de la actividad escolar desarrollada en una determinada institución de un cierto sistema de enseñanza? 10. El MER como instrumento para diseñar y gestionar la organización didáctica Para gestionar el tiempo didáctico (distribución de las actividades por semanas y por sesiones), empezar a diseñar los diferentes medios didácticos en función de las grandes problemáticas de la Medicina Nuclear (construir cuestiones y posibles respuestas esperadas, fichas de trabajo complementarias, diapositivas, elegir datos discretos o continuos, etc.) y coordinar dichos medios didácticos con los objetivos de las actividades a proponer y con los criterios de evaluación definidos a priori, fue necesario interpretar los diferentes componentes del MER según las diferentes actividades de estudio que se pretendían proponer y evaluar. Dicha interpretación consistió en dividir el diagrama de actividad de MF en las siguientes partes: Tipos de tareas Actividades de estudio Formulación de hipótesis + + 366 Construcción de los modelos (numéricos, gráficos, variacionales, etc.) + Utilización de las TIC + Construcción del modelo funcional Cuestionamiento tecnológico (de las técnicas que permiten construir el modelo) 367 Trabajo de las técnicas de manipulación de los modelos + Cuestionamiento tecnológico (de las técnicas que permiten trabajar el modelo) Interpretación del modelo y de los resultados en términos del sistema + Tabla 1 - Tabla de las tareas del diagrama de actividad de MF y las correspondientes actividades de estudio. De esta aportación surgen los siguientes problemas abiertos: El análisis epistemológico que proporciona un MER relativo a cierto dominio de la actividad matemática, ¿cómo puede contribuir al diseño y a la gestión de la organización didáctica de dicho dominio? Con más precisión, dada una representación parcial de la dinámica de un MER, materializada en una arborescencia de cuestiones derivadas de una cuestión inicial y de respuestas provisionales, ¿cómo se puede utilizar 368 esta representación para elaborar técnicas didácticas útiles para diseñar y gestionar un REI sustentado en dicho MER? Recíprocamente, dado que la construcción de un MER toma como base empírica hechos provenientes de todas las instituciones que intervienen en la transposición didáctica y, muy especialmente, toma en consideración los hechos didácticos que emergen de la institución escolar, cabe preguntarse, ¿qué papel pueden jugar los citados hechos didácticos observados en la experimentación de un REI en aras a enriquecer el MER? En términos más generales, ¿cuál es el papel de los hechos didácticos como parte de la base empírica de la epistemología de las matemáticas? El estudio de esta articulación entre lo epistemológico y lo didáctico ha sido recientemente iniciado por Ignasi Florensa (Florensa et al., in press). Por ejemplo, en la experimentación llevada a cabo con los estudiantes de Medicina Nuclear, el análisis epistemológico proporcionado por el MER relativo a la MF (y al papel asignado al CDE) ha contribuido al diseño y a la gestión de la organización didáctica de dicho dominio mediante la introducción de las que hemos denominado actividades de estudio (ver Tabla 1) que se han utilizado como componentes de ciertas técnicas didácticas. 11. Cuestiones problemáticas que han surgido en la experimentación con estudiantes de Medicina Nuclear Para finalizar describiremos brevemente algunas de las muchas cuestiones problemáticas que han surgido a lo largo de la experimentación con estudiantes de Medicina Nuclear. ¿Es posible generalizar los resultados obtenidos al aplicar el RM5? Esto es, ¿para qué tipo de fenómenos las regresiones sobre los datos discretos de la TVMR permiten construir un modelo más adecuado (con más capacidad predictiva)? ¿Y para qué tipo de sistemas es preferible hacer las regresiones sobre los datos discretos de la TVM? Así, se podría testar hasta qué punto son aplicables las técnicas usadas en el estudio de los sistemas descritos en las cuestiones problemáticas Q4 y Q5 en la exploración de otros sistemas. De esta manera se podría indagar la veracidad de las hipótesis relativas a la 369 mejor forma de describir y predecir un fenómeno de contagio o un fenómeno que evoluciona muy rápidamente (epidémico) sin contagio. Si tal hipótesis se verifica, dicha ampliación se podría institucionalizar, a posteriori, de la siguiente forma: Q4 epidemia sin contagio cáncer TVM brutos < > TVM brutos < > TVMR Q5 epidemia con contagio efectos genéticos TVM < >TVMR Figura 2: Los fenómenos epidémicos sin contagio y con contagio: ejemplo y posible comparación de técnicas matemáticas para modelizarlos Consecuentemente los REI construidos se podrían aplicar a otros cursos universitarios de otras áreas del conocimiento tales como: Marketing (“la propagación de una publicidad en Facebook”), Ingeniería Informática (“la epidemia de un virus informático”), Ciencias de la Comunicación (“la evolución de una noticia viral”), etc. En investigaciones futuras se pretende ampliar y aplicar nuestros REI en la formación del profesorado, o sea, convertir los REI en REI-FP (Ruiz-Olarría, 2015) y experimentarlos con profesores de diferentes países (del Brasil, de España, del México, de Portugal), con diferentes culturas y en diversas instituciones escolares. En la experimentación con estudiantes de Medicina Nuclear se observó que los estudiantes cuando son cuestionados sobre qué objetivos creían haber alcanzado, o sea, cuáles de los conocimientos que pensaban haber adquirido, los contenidos que mostraron mayor debilidad fueron el Teorema del Valor Medio (Lagrange) y el Polinomio de Taylor (solo 55,56% de los estudiantes consideraran haber adquirido dichos contenidos). Sin embargo, el profesor consideró que dichos estudiantes habían alcanzado el objetivo de utilizar el Teorema de Lagrange o el desarrollo del Polinomio de Taylor como una «tecnología instrumental», o sea, que los estudiantes eran capaces de aplicar estas herramientas a casos concretos (en este curso de la enseñanza universitaria politécnica, las demonstraciones de los teoremas no formaban parte de los objetivos curriculares). 370 Este hecho podrá estar relacionado con la ausencia de una institucionalización más precisa de la distribución de responsabilidades entre los diferentes miembros de la comunidad de estudio. ¿Cómo distribuir la responsabilidad de la construcción del bloque tecnológicoteórico de una determinada praxeología matemática entre los diferentes intervinientes en el proceso de estudio: el estudiante, pequeño grupo, gran grupo y el profesor? ¿Cómo conseguir un equilibrio entre la necesaria autonomía del estudiante o grupo de estudiantes y el trabajo del profesor como director del proceso de estudio? Esta distribución de responsabilidades en la construcción del bloque tecnológico-teórico de las diferentes praxeologías, ¿cómo depende del tipo de estudios universitarios (futuros matemáticos, futuros profesores de matemáticas o futuros técnicos superiores)? Una de las mayores dificultades de la experimentación consistió en la evaluación de los estudiantes y, además, en la evaluación de la metodología didáctica propuesta. En el desarrollo de estas evaluaciones surgieron algunas cuestiones problemáticas cuya respuesta aún no se encuentra en esta memoria, tales como: ¿De qué forma se podrían mejorar los dispositivos y los criterios de evaluación grupal de manera que permitan distinguir las evaluaciones individuales de los estudiantes de un mismo grupo que han mostrado grados de empeño y dedicación distintos en los trabajos colectivos? ¿Cuál debe ser el peso de la evaluación grupal en la evaluación individual? ¿Qué otros criterios específicos de evaluación se podrían introducir y qué criterios usuales deberían eliminarse? En definitiva, el conjunto de aportaciones descritas y, sobre todo, la gran cantidad de problemas que permanecen abiertos ponen claramente de manifiesto que este trabajo, además de ser el resultado de la confluencia de diferentes líneas de investigación desarrolladas en el ámbito de la TAD, constituye el punto de partida de nuevos trabajos que deberán ser abordados por nuestra comunidad científica. 371 372 Chapter VI Main contributions and open problems This last chapter comprises the final considerations and the main contributions of this work to the Didactics of Mathematics. In particular, it describes the proposal of a possible «raison d’être» of the elementary differential calculus (EDC) at the end of secondary school and in the first university year in Portugal. This proposal, following the anthropological theory of the didactic (ATD), is based on a reference epistemological model (REM) that allows articulating the study of the EDC with the development of a cyclic process of functional modelling (FM) which is organized in four stages: delimitation of the system; construction of the model; work with the model and interpretation of the model in terms of the system; and formulation of new hypothesis and study of new systems. This model is schematized in this thesis by an activity diagram of functional modelling. Together with the list of the main contributions of this work, we will formulate a set of didactic problems that remain open and that are consequence of the obtained results. In fact, the contributions and the problems are closely interwoven. Indeed, the open problems that can be formulated by using the theoretical or methodological tools of a research constitute, in themselves, important contributions of this research. Reciprocally, the scientific contributions provide some of the essential elements to formulate new research problems. 373 1. The didactic problem of the elementary differential calculus as confluence of three major research issues In this work we tackle some of the questions that are part of a problem that, in general terms, could be called the didactic problem of the elementary differential calculus. One of the main contributions of this work is, precisely, the construction of this problem as confluence of three research lines in the field of the ATD and, consequently, in the context of the didactic problem of the differential calculus, our study brings specific contributions to each of the three research lines. A contribution to the study of the didactic phenomenon of rigidity, relative incompleteness and disassembly of the school mathematical organizations (MO) (Fonseca, 2004; Lucas, 2010) and the relation of this phenomenon with the restrictions that influence the genesis and development of the mathematical modelling activity (Barquero, 2009; Serrano, 2013). In this work we tackle the restrictions that influence the functional modelling specifically. A contribution to the transpositive origin of the phenomenon of disassembly of particular fields of school mathematics, by a specific study of the disassembly between the EDC and the FM, of the conditions that keep it, and its main didactic consequences. Moreover, our results generalize the ones obtained in García (2005) because the study and research path (SRP) that we have designed and tested comprise the characterization and construction of a wider set of types of functional variation between continuous magnitudes and, besides, they tackle explicitly the problems of the transition from the variation between discrete magnitudes to the variation between continuous magnitudes. A contribution to the confirmation of the conjecture of Ruiz-Munzón (2010) provided that it is reinterpreted according to the new meaning of FM that our REM supplies. Indeed, the scope and the meaning of the conjecture have been brought to light thanks to the development of a concrete mathematical activity and, above all, it has been showed in which sense it can be stated that a possible raison d’être of EDC can be placed in the scope of the FM and the consequences derived from this important conjecture. A manifestation of the general didactic phenomenon of the disassembly of school mathematical organizations in a concrete field of secondary school is the remarkable 374 disassembly of the proportionality relationship with respect to the other functional relationships that are included in that educational level (García, 2005; García et al., 2006). In this work we have studied the disassembly between the elementary differential calculus and the functional modelling at the end of secondary school and in the first university year and we have contributed some results in that regard. The following problem arises related to these contributions: What specific new manifestations of this general educational phenomenon can be found in other areas of school mathematics? In particular, is it possible that the disassembly between synthetic geometry and analytic geometry (Olivero et al., in press) in secondary school and in teacher training constitute one of such specific manifestations? In order to study the disassembly of school geometry, could it be possible to employ the tools that we have implemented in this work in the case of EDC and FM? 2. Relatively universal nature of the phenomenon of school disassembly between elementary differential calculus and functional modelling In this thesis proposal we have validated a strong rigidity, atomization and incompleteness of the mathematical organizations about the study of the EDC in the field of the FM at the end of secondary school and at the beginning of university studies in Portugal. Future work will be focused on studying whether the conjectures presented in Chapter 3 are also valid or not for describing the dominant epistemological model about the existing (or absent) assembly between the EDC and the FM in different education systems of different countries. This allows posing the following open problem: Is the phenomenon of rigidity and disassembly of school mathematical organizations about the study of the EDC and its assembly with the activities of FM a didactical phenomenon relatively universal? That is, can it be generalized to different education systems? At this moment, apart from the data included in this thesis proposal, we have at our disposal some evidence from the Spanish, French, and Brazilian education systems that seem to validate this hypothesis. 375 When we consider the methodological problem of how to characterize the dominant epistemological model in the education systems of different countries and the presence/lack of some type of relationship between the EDC and the FM, new aspects of the aforementioned didactic problem arise: What institutional selection should be done? That is, taking into account its curricular tradition, what educational stages must be considered in each country? What relationship could exist among the mathematical organizations studied in each school institution in each education system? What are the similarities and differences between the school mathematics developed in different countries? What historical, cultural, traditional factors underlie this similarities and contrasts? 3. Other possible raisons d’être of the elementary differential calculus as an alternative to the official raison d’être This work has allowed us to distinguish between what we call official raison d’être, which is stipulated by the school institution for the EDC, that is, the roles assigned to EDC by this institution, and a possible alternative raison d’être that aids to fill the gaps and to overcome the limitations and restrictions that the school mathematical organizations endure and that are supported by the dominant epistemological model in the education system. It may be the case that, according to a research on didactics on a field of the mathematical activity, a researcher may postulate a raison d’être that is different from the one stipulated by the official curriculum. This postulate will imply a deep modification of the questions and tasks that gave sense to that field of the school mathematical activity (in a certain institution). Inevitably, this alternative raison d’être will lead to a reformulation of that field structure and of its relationship with the other school mathematical organizations. It can be interpreted as assigning a reason of being other than the officially assigned to a certain field of school mathematics by an alternative REM to the dominant epistemological model in the institution under consideration. In particular, in this work we propose an alternative raison d’être to the official one to study the EDC in secondary school and the first university years, what is another 376 important contribution of the present work. Regarding this contribution the following questions arise, and they can be considered as aspects of a new open problem: On the basis of the verification of new limitations of the school mathematical organizations in different fields where EDC is present, what other possible alternative raisons d'être could be assigned to the study of the EDC? At what school field, different from the FM, could such alternative raisons d’être arise? And, at what institutional scope could they arise (secondary school, university, teacher training or professional context)? 4. Simultaneity of the construction of a reference epistemological model (REM), the formulation of the associated didactic problem, and the characterization of the dominant epistemological model in the institution Another important contribution of this work, whose scope goes beyond the didactic problem of the EDC, consists in having shown that, in the research work of a didactician, a requirement for precisely formulating a problem is to (more or less explicitly) assume an epistemological model of the mathematical field under study (REM). At the same time, this model is a scientific conjecture or hypothesis that responds to the didactical problem under consideration. On the other hand, although empirical data from the school mathematical activity are used to build the REM, one of the REM’s functions is to be a reference system to describe and analyze how the particular teaching institution interprets the mathematical domain under consideration (what we call dominant epistemological model in the institution). Therefore, we cannot methodologically assign temporal priority to any of the three processes (formulation of a didactic problem, construction of an associated REM, and description and analysis of the dominant epistemological model in the institution). Consequently, we must admit (what is another important contribution of this work) that in the concrete research work of a didactician all the three processes must be developed simultaneously. This fact leads to the formulation of a methodological open problem which is also related to the dissemination of didactic research: 377 Since the textual order of the research works or their dissemination is necessarily linear, for the sake of clarity and rigor of such works, which is the preferred order to describe all the three processes (formulation of a didactic problem, construction of an associated REM, and description and analysis of the dominant epistemological model in the institution)? Is it possible the description of any of the three processes without making explicit references to the state of progress in the other two processes? In this work we have tried to solve this problem through the following methodological approach: In Chapter 3 we have described a schema of the REM which has been used as the basis for formulating the didactic problem (although, of course, the aforementioned scheme depends on the questions of the didactic problem) and to analyze the official raison d’être of the EDC, that is, the one assigned by the dominant epistemological model in the institution; in Chapter 4, on the basis of the results presented in Chapter 3, we have built the REM that articulates the EDC and the FM. 5. Redefinition of the notion of “functional modelling” One of the main contributions of this work is the redefinition of the notion of functional modelling (FM) which greatly expands the types of tasks that are part of the activity of FM and, at the same time, it details and specifies them. This new characterization of the FM materializes schematically in an activity diagram that, in addition, represents a proposal of a reference epistemological model (REM) that allows showing an alternative raison d’être to the EDC study in secondary school and first university year. Figure 1 represents such activity diagram: 378 Figure 1: Activity diagram of functional modelling (ARC - average rate of change RARC - relative average rate of change) 379 On the one hand, since we have taken the FM as a specific type of mathematical modelling, we could say that is a process structured in four stages: delimitation of the system to be modelled; construction of the model; work in the model and its interpretation in terms of the system; and formulation of new hypothesis, need for considering new variables, construction of new system and a new modelling process. On the other hand, following Ruiz-Munzón (2010), the FM processes are structured in three levels depending on the type of models under consideration: functions of one variable, families of functions of one variable, or families of functions of two or more variables. In this thesis proposal we interpret the passage from one level of FM to the next as the beginning of a new process of FM because, for example, in the passage from the first level to the second one (that is, from a model represented by a function of one variable to another materialized by a family of functions) the construction of a new system emerges (which contains the initial system as a particular case) and it requires to begin a new process of FM. The need for articulating the four stages and the three levels makes new questions arise: How can the four stages of FM proposed in the REM be articulated with the three levels of FM proposed by Ruiz-Munzón (2010) in her REM? Must a process of FM be developed in a single level? Or can it be developed in two or more levels? Thus, for example, when building a functional model by integrating one function of one variable we obtain a model materialized by a family of functions, so that there is a passage to the second level. What modifications can provoke these level changes in the REM structure, especially when the third level is reached? In particular, will the construction of functional models in the third level of FM require new tasks and techniques which are absent in the REM? How can the proposed REM be enlarged in such a way that it allows studying the nonelementary differential calculus, that is, the advanced calculus with functional models materialized by families of functions with more than one variable? 380 6. Functions of a REM as a reference system In Chapter 3 we made an outline of the main characteristics of a REM structured in an activity diagram, as a schematic map which can support different mathematical paths (Figure 1). Later, this outline of the REM was used as a provisional reference system and, based on it, a list of tasks was developed; these tasks are important contributions of this thesis proposal: To formulate with some precision the didactic research problem that we have tackled in this work. To interpret the historical evolution of the EDC role in Portuguese secondary school and its potential relationship with the FM. To contribute to the formulation of conjectures whose empiric validation has allowed us to describe, in the first instance, the type of incompleteness of the mathematical organizations around the FM and the EDC and their disassembly. To formulate questions about school curriculum documents whose answers have allowed us to characterize the “official” raison d’être that the Portuguese education system assigns to the EDC in the transition from secondary school to university. To verify the existence of the phenomenon of the lack of school visibility of functional modelling and, therefore, of a possible raison d’être of the EDC in that scope. These contributions, which all of them depend on the employment of the REM as a provisional and relative reference system, pose new problems: Given the enormous importance that the REM has on this research, and being a provisional and relative conjecture or hypothesis, what devices are available to carry out an empirical validation of this conjecture that gives us grounded criteria to modify it? To what extent can we say that the experimentation with students of Nuclear Medicine is a first validation of this conjecture? 381 7. Articulation between the functional modelling processes in the continuous and discrete fields Another contribution of this work lies in the characterization of the universe of the different kinds of elemental variations, which may be used in the construction of functional models appearing in the study of continuous or discrete data. It can be understood as an enlargement of the functional variations among continuous magnitudes, which has been previously described in Garcia (2005) and Barquero (2009). Considering the universe of different types of variation, linked to some regression techniques, the discrete and continuous fields can be related in a unique and wider process of functional modelling (FM). This process may require the study of other techniques, technologies and theories often used in the area of Physics, the Engineering or Applied Mathematics to better justify the step and link between the discrete and continuous world (and vice versa). New questions arise at this point: How can the algebraic techniques for calculus through finite differences, and the step to study from the discrete world to the continuous world, be integrated into the institutional frame found at the end of Secondary education and the beginning of the University education? How to move (in didactic terms) from the work developed in the continuous field to the discrete one? For example, how to proceed with the discretization of a continuous functional model given by a differential equation hard to solve by integration? 8. Empirical check of the conjecture of Ruiz-Munzón The experimentation that have been carried out with the first-year students of Nuclear Medicine can be considered as the first empirical check of the conjecture of RuizMunzón (2010), although a new meaning of the notion of functional modelling have to be assume, according to the construction of our REM. This preliminary contrast, with all its limitations, can be considered as an important contribution of this thesis report. This experimentation has shown how it is possible to provide a new rational (in the original terms, ‘raison d’être’) to EDC in the field of FM. Furthermore, it shows the possibility of overcoming the strong constraints that hinder any change and 382 reformulation of the curriculum. The purpose of this reformulation is to transform the curriculum in a set of modelling processes which could be generated by the study of certain questions and materialized through the ‘live’ of some study and research paths (SRP). The following questions emerge: What conditions would be necessary to transform a calculus’ curricula of a first course of the university degree in Nuclear Medicine (and others possible degrees with similar study programs) through the articulation of a set of functional modelling processes? What kind of teacher training programmes (for the university faculty) would be required to be able to conduct the corresponding SRP (Ruiz-Olarría, 2015)? 9. The formulation and hypotheses testing grounded in the REM as a methodology to characterize the dominant epistemological model This thesis report presents a new methodology to analyse teaching material, questionnaires, and other empirical data and indicators of school mathematics. This methodology consists in the a priori formulation of certain hypothesis based on the perspective provided by the REM. It is postulated that these assumptions may characterize the mathematical activity developed in a particular institution. Therefore, this methodology can be considered as a new contribution of this report. In the case of the EDC, the REM designed and proposed wants to show live, in vivo, a likely raison d’être of the EDC (in the transition from Secondary to the University education) which appears in the field of the FM. Specifically, we postulate that the REM shows the role and functions that the EDC could play to promote the integration of FM in this institution. Consequently, when interpreting the results coming from empirical analysis of teaching materials (from the hypotheses proposed using the REM), become apparent the obvious absences of the EDC functions. In this sense, it is confirmed that, for example, when functional models are built, the tools coming from EDC only play an auxiliary role. Concerning the mathematical activity developed in the last courses of Secondary education, the task of building up and working with functional models from discrete empirical data is absent in most of the cases. In addition, it is not either proposed to work with the average rate of change 383 -ARC- (and/or the relative average rate of change - RARC) as a first step to provide an approximation of a discrete model for a continuous one (by approximating the average rate of change with the derivative). This contribution of the report poses new open questions: In the study of certain didactic problems in other fields of knowledge (such as Geography, History, Natural Sciences, Languages, Music, Dance, Special Education, etc.), ¿would it be possible to use this methodology based on the a priori formulation of hypotheses to analyse different empirical indicators of the school activity developed in a particular educational institution? 10. The REM as a tool to design and handle the didactic organization To provide a suitable distribution of the didactic time (distribution of activities for weeks and sessions), it was necessary to give sense to the different components of the REM in accordance to the different activities that were proposed, implemented and evaluated. In particular, it was necessary to design of different didactic devices according to the problematic questions in the field of Nuclear Medicine (generating questions, likely answers, choose of discrete or continuous data, worksheets, slides, etc.) and to coordinate these didactic devices with the main aims and with the evaluation criteria a priori defined. Consequently, this interpretation leaded to divide the diagram of FM activity in the following parts: Types of tasks Study activities Formulation of hypothesis + + Construction of the models (numerical, graphical, variational, etc.) + 384 Using ICT + Construction of the functional model Technological questioning (Which techniques could allow the construction of certain model?) Work with the models (manipulation of FM techniques) + 385 Technological questioning (Which techniques can allow to work with the funtional model?) Interpretation of the model and the results in terms of the system + Table 6 - Table of tasks of the diagram of FM activity and the corresponding study activities From this contribution, the following open problems arise: How can the epistemological analysis that provides an REM relating to certain domain of mathematical activity contribute to the design and management of the didactic organization of this domain? More precisely, given a partial representation of the dynamics of an REM, materialized in a tree structure of questions arising from an initial question and temporary answers, how can one use this representation to produce useful didactic techniques to design and manage a SRP sustained in that REM? Conversely, since the construction of an REM takes as empirical background facts from all institutions involved in the didactic transposition and in particular takes into consideration the educational facts that emerge from the school institution, what role should the facts observed during the experimentation of a SRP play in order to enrich the REM? More broadly, what is the role of didactic events as part of the empirical basis of mathematics epistemology? The articulation between epistemology and didactics has been recently studied by Ignasi Florensa (Florensa et al., 2015). 386 For example, in the experimentations carried out with students of Nuclear Medicine, the epistemological analysis provided by the REM on FM (and the role of EDC) contributed to the design and management of the didactic organization through the introduction of what we have called study activities (see Table 1) that have been used as components of certain didactic techniques. 11. Problematic questions that have appeared during the experimentation with students of Nuclear Medicine To conclude, we briefly describe some of the many problematic issues that have arisen all along the experimentation with students of Nuclear Medicine. Is it possible to generalize the results when applying the mathematical path RM5 (see Chapter 4)? In other words, for what kind of phenomena do regressions on discrete relative average rate of change data allow us to build a better model (with more predictive power)? And for which such systems is it preferable to run the regressions on discrete average rate of change data? Thus, one could test how the techniques used in the study of the systems described in the problematic questions Q4 and Q5 are applicable in the exploration of other systems. This way one could investigate the validity of the assumptions regarding the best way to describe and predict a phenomenon of contagion or a phenomenon that evolves very quickly (epidemic-like) without contagion. If such hypothesis is verified, this extension could be institutionalized, a posteriori, as follows: Q4 epidemic without contagion cancer raw ARC < > ARC raw < > RARC Q5 epidemic with contagion genetic effects ARC < >RARC Figure 2: The epidemic phenomena without contagion and infection: comparison example and possible mathematical techniques to model them Consequently, the SRP constructed so far could be applied to other university courses in other areas of knowledge such as: Marketing ("the spread of an advertisement on 387 Facebook"), Computer Engineering ("the epidemic of computer viruses"), Communication Sciences ("the evolution of a viral news"), etc. In future research we intend to expand and apply our SRP to the teacher education, that is, convert SRP into SRP-TE (Ruiz-Olarría, 2015) and experience them with teachers from different countries (Brazil, Spain, Mexico, Portugal), with different cultures and in different school institutions. In the experiment with students of Nuclear Medicine, we found that, when students were asked about what goals they thought they had reached, i.e., what knowledge they thought they had acquired, the contents that showed greatest weakness were the Mean Value Theorem (Lagrange) and Taylor polynomial (only 55.56% of students considered to have acquired such content). However, the professor found that these students had achieved the goal of using the Lagrange Theorem or development of Taylor polynomial as an "enabling technology", that is, that the students were able to apply these tools to specific cases (in this course of polytechnic university teaching, proving theorems was not part of the curriculum goals). This fact may be related to the absence of a more institutionalized distribution of responsibilities between the different members of the study community. How to distribute the responsibility of the construction of the technologicaltheoretical block in a certain mathematical praxeology between the different participants in the study process: students, small groups, large groups and the teacher? How to strike a balance between the necessary autonomy of the student or group of students and the teacher's job as director of the study process? How does such distribution of responsibilities in the construction of the technologicaltheoretical block of different praxeologies depend on the type of university degree (mathematician, math teacher or technician careers)? One of the major difficulties in the experimentation was about student assessment and the evaluation of teaching methodology. In the development of these evaluations some problematic questions arose, whose answers are not yet in this report, such as: How could devices and group evaluation criteria be improved, so as to distinguish the individual evaluations of students from the same group that have shown different levels of commitment and dedication in their collective work? 388 What should be the weight of the group evaluation on individual assessment? What other specific evaluation criteria could be added and what traditional criteria should be eliminated? In summary, the set of contributions described and, above all, the many problems that remain open clearly show that this work, in addition to being the result of the confluence of different lines of research developed within the ATD, will be the starting point for new works that should be addressed by our scientific community. 389 390 Referencias bibliográficas Aires, A. & Santiago, A. (2012). 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Disponible en: https://dre.pt/application/dir/pdf2sdip/2014/01/013000002/0000400004.pdf 408 Novo Programa de Matemática A para la enseñanza secundaria portuguesa Disponible en: http://www.dge.mec.pt/metascurriculares/?s=directorio&pid=60 Manuales escolares de la enseñanza secundaria portuguesa: Año de escolaridad 10.º Título Autores Editorial Matemática Dez Teresa Olga Duarte Jaime Pinheiro Filipe Lisboa Editora 10.º Matemática A 10 Projecto Desafios Cristina Negra Emanuel Martinho Santillana Constância 2010 978-972-761976-4 11.º Xeqmat 11 Cristina Viegas Francelino Gomes Yolanda Lima Texto Editores 2011 978-972-474407-0 11.º Matemática A 11.º M.ª Augusta Neves Albino Pereira Jorge Nuno Silva Porto Editora 2011 978-972-042088-6 12.º Novo Espaço 12 Belmiro Costa Ermelinda Rodrigues Porto Editora 2012 978-972-042065-7 12.º NiuAleph 12 Jaime Carvalho e Silva Joaquim Pinto Vladimiro Machado Edición de autor 2012 978-98997839-0-4 409 Año de publicación 2010 ISBN 978-972-680746-9 410 Anexos 411 412 Capítulo I Anexo A Marco teórico: La teoría antropológica de lo didáctico en el programa epistemológico de investigación En este anexo de la memoria proponemos una descripción muy esquemática de algunos elementos de la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD). Expondremos brevemente las rupturas que provoca el programa epistemológico de investigación en didáctica de las matemáticas (en el que se sitúa la TAD) en relación a la didáctica clásica. Para una información más detallada del rápido desarrollo de esta teoría didáctica se pueden consultar las actas de los tres primeros congresos internacionales dedicados a la TAD (Estepa, Ruiz Higueras & García 2007; Bronner, Larguier, Artaud, Bosch, Chevallard, Cirade & Ladage 2010; Bosch, Gascón, Ruiz Olarría, Artaud, Bronner, Chevallard, Cirade, Ladage & Larguier 2012) así como la amplia bibliografía que aparece en las mismas y el sitio del grupo TAD (http://www.atd-tad.org). 413 Marco teórico: La teoría antropológica de lo didáctico en el programa epistemológico de investigación 1. El enfoque clásico en didáctica de las matemáticas 2. Dos programas de investigación en didáctica de las matemáticas: el programa cognitivo y el programa epistemológico 3. Algunos elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico 3.1. La noción de praxeología matemática 3.2. Clases de praxeologías: estructuras de complejidad creciente 3.3. El modelo epistemológico de referencia 3.4. El proceso de estudio de una praxeología matemática: praxeologías didácticas y momentos de estudio 3.5. Los niveles de codeterminación didáctica 3.6. Las tres dimensiones de un problema didáctico 1. El enfoque clásico en didáctica de las matemáticas Tradicionalmente se consideraba que la enseñanza de las matemáticas era un arte y, en consecuencia, difícilmente susceptible de ser analizado, controlado y sometido a las reglas de la práctica científica. Esta forma de considerar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas fue evolucionando a medida que aumentaba el interés por explicar los fenómenos didácticos. Desde los inicios de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica, se fue consolidando lo que Guy Brousseau (1986) llamó el enfoque clásico en didáctica de las matemáticas. Este autor caracterizó esta primera aproximación al estudio de los hechos didácticos como aquella que postula que la actividad cognitiva del sujeto juega un papel esencial y que puede ser descrita y explicada de manera relativamente independiente de los otros aspectos de la relación didáctica. En el trabajo de Josep Gascón (1998) que seguiremos aquí, encontramos enunciadas dos características generales de este enfoque: (a) Toma como problemática didáctica una ampliación bastante limitada de la problemática espontánea del profesor. Esto significa que recoge, reformula, amplia y sintetiza las cuestiones que constituyen inicialmente la problemática docente del 414 profesor, que acostumbran a estar muy condicionadas por las ideas dominantes en la cultura escolar. (b) Presenta el saber didáctico como un saber técnico, en el sentido de aplicación de otros saberes fundamentales importados de otras disciplinas, como la psicología, la pedagogía, las ciencias cognitivas, etc. Desde el punto de vista clásico, la didáctica de las matemáticas tiene como objetivo principal proporcionar al profesor los recursos profesionales que éste necesita para desarrollar su tarea profesional de la forma más satisfactoria posible y, en último extremo, conseguir que el proceso de enseñanza obtenga unos resultados óptimos en términos de aprendizaje de los alumnos. En esta primera etapa, se pueden distinguir dos enfoques sucesivos en el desarrollo de la problemática didáctica (Gascón, 1998): - El primero está centrado en el aprendizaje del alumno y su objeto primario de investigación es el conocimiento matemático del alumno y su evolución. En este caso se delega explícitamente a la psicología la fundamentación científica de la didáctica. - El segundo enfoque amplia la problemática didáctica introduciendo cuestiones relativas al profesor y a su formación profesional. El objeto primario de investigación es, por tanto, la actividad y el pensamiento del profesor. En este caso, se necesita una base multidisciplinar mucho más amplia que incluya, entre otras cosas, la psicología educativa, la sociología y la epistemología de las matemáticas para poder fundamentar la investigación. Lo que caracteriza el enfoque clásico en didáctica de las matemáticas es la suposición acrítica de que los saberes matemáticos no son problemáticos y que los saberes que se utilizan para describir e interpretar los hechos didácticos no forman parte de la problemática didáctica que se plantea: estos saberes pueden ser “aplicados” pero no pueden ser modificados como consecuencia de esta aplicación. 2. Dos programas de investigación en didáctica de las matemáticas: el programa cognitivo y el programa epistemológico El cuestionamiento de la transparencia de lo “matemático” y la asunción inequívoca de que el misterio está, en primer lugar, en las propias matemáticas constituye, precisamente, el nacimiento del programa epistemológico y comporta que se tome la actividad matemática como objeto primario de estudio, como nueva “puerta de entrada” del análisis didáctico. 415 Una de las consecuencias de la juventud de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica es la falta de uniformidad respecto a las cuestiones problemáticas que se deben tratar frente a la diversidad de marcos teóricos que conviven o coexisten actualmente. Según Gascón (1999), superada la etapa pre-científica, centrada en la problemática espontánea de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, en la que los problemas didácticos se formulan en términos de las “ideas dominantes” de la institución didáctica, es posible distinguir dos programas de investigación en didáctica de la matemáticas: el programa cognitivo y el programa epistemológico. En el programa cognitivo se presupone de forma implícita que todo fenómeno relativo a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas es reductible en última instancia a determinados fenómenos cognitivos (en el sentido amplio de psico-socio-lingüísticos). Su objeto primario de investigación lo constituye la actividad cognitiva del sujeto. El programa epistemológico cuestiona y amplia radicalmente lo considerado tradicionalmente como “matemático”. De modo que se cambia el problema de caracterizar los conocimientos y las concepciones del alumno y del profesor y la incidencia de estos sobre las prácticas docentes y sobre el aprendizaje matemático de los alumnos, por un nuevo problema didáctico que no se reduce únicamente al ámbito de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Históricamente la evolución inicial del programa cognitivo estuvo condicionada explícitamente por limitaciones claras de la noción general de aprendizaje humano y de los medios que estaban a disposición de los investigadores para describir el conocimiento matemático del alumno. El primer punto de inflexión surgió en el ámbito del International Group of the Psychology of Mathematics (PME) Education (Bauersfeld & Skowronek, 1976), donde se reivindicó la necesidad de tomar en consideración un tipo de aprendizaje específicamente matemático. Los investigadores de este grupo comenzaron a tomar como nuevos objetos primarios de investigación los procesos cognitivos relativos al aprendizaje matemático y empezaron a construir instrumentos metodológicos para poder describir estos procesos. Cabe decir que, en la mayoría de las investigaciones enmarcadas en este enfoque, no se realiza un cuestionamiento del modelo epistemológico general de las matemáticas que se asume implícitamente. 416 Así, el programa cognitivo representa el primer análisis sistemático de los hechos didácticos y se caracteriza por: - Considerar el aprendizaje de las matemáticas como un proceso psicocognitivo, fuertemente influenciado por factores motivacionales, afectivos y sociales. - Su objeto primario de investigación está constituido por los procesos cognitivos relativos a los conocimientos matemáticos del sujeto. - Asume, o cuando menos no cuestiona abiertamente, el modelo epistemológico de las matemáticas dominante en las instituciones escolares. - Ignora, o al menos no tematiza, la relatividad institucional del conocimiento matemático. En el caso de los problemas didácticos en torno a la modelización matemática, aparecen claramente dos maneras diferentes de acercarse y de formular la problemática en cuestión (García, 2005): - Problematización epistemológica: necesidad de problematizar las características de las “situaciones reales” que permitan el desarrollo de un proceso de modelización con fines didácticos (cuestionamiento de que las “situaciones reales”, por sí solas, posean propiedades didácticas). - Problematización cognitiva: necesidad de profundizar en el conocimiento de los procesos cognitivos activados por los estudiantes en la realización de tareas de modelización y de aplicaciones. El programa epistemológico en didáctica surgió cuando Guy Brousseau, en las primeras formulaciones de la teoría de las situaciones didácticas (en adelante, TSD) en los años 70 (Brousseau, 1972), intuyó la necesidad, para la didáctica, de crear un modelo propio, explícito y contrastable de la actividad matemática que no la reduzca al estudio de los procesos cognitivos de los alumnos. Este es el origen de lo que Brousseau denominó epistemología experimental o didáctica fundamental (Brousseau, 1986). El programa epistemológico ha ampliado su perspectiva y considera la didáctica de la matemática como la ciencia del estudio de las condiciones de la producción y la difusión de saberes útiles a la sociedad y a las necesidades del hombre (Brousseau, 1995). Con la emergencia de la didáctica fundamental en los años ochenta, a partir de los trabajos de Brousseau (1986) se postula que el objeto de la didáctica no es el estudio de los procesos cognitivos de los estudiantes en el aprendizaje de un concepto, ni tampoco 417 la problemática del profesor con la enseñanza de este concepto, sino la situación didáctica mediante la cual uno o varios alumnos consiguen apropiarse de un saber matemático específico ya construido o en vías de construcción. Se pasa así a considerar el proceso de enseñanza-aprendizaje en situación, entendiéndose por situación el conjunto de relaciones establecidas explícita o implícitamente entre los diversos elementos que la componen: el alumno o el grupo de alumnos, el medio, entendido como el conjunto de objetos e instrumentos sin intención didáctica, y el o los profesores, portadores ellos sí de la intención de hacer que el grupo de alumnos se apropie de un saber matemático. El supuesto de que el profesor puede influir directamente sobre el aprendizaje de sus estudiantes se ve claramente cuestionado, al reconocer que este no actúa, ni de hecho puede actuar, de forma autónoma, sino que se encuentra sometido a un conjunto de restricciones impuestas tanto desde la institución didáctica en la que se sitúa y más allá, como de la propia actividad matemática (García, 2005). El nacimiento de la TSD provocó un cambio radical en la concepción de la naturaleza de las matemáticas y de la didáctica de las matemáticas como disciplina. La principal revolución fue postular la necesidad de una modelización explícita y contrastable del saber matemático. O dicho de forma más simplificada, ahora los alumnos y el profesor pasan a un segundo plano, para que la didáctica pueda centrarse en el estudio de las condiciones de difusión del conocimiento matemático. En términos generales, podemos decir que, en toda problemática didáctica existen siempre, aunque algunas veces de forma implícita, tres componentes fundamentales: 1. Una institución didáctica donde se formula el problema didáctico en cuestión. 2. Un contenido matemático específico. 3. Un proceso de enseñanza-aprendizaje relativo al contenido matemático involucrado. Según Chevallard (1998, p. 15): “El didacta de las matemáticas se interesa en el juego que se realiza (…) entre un docente, los alumnos y un saber matemático. Tres lugares, pues: es el sistema didáctico”. Lo didáctico deja de ser exclusivo del proceso de enseñanza-aprendizaje para referirse a cualquiera de los aspectos del proceso de estudio. La didáctica de las matemáticas se convierte, en definitiva, en la ciencia del 418 estudio y de la ayuda al estudio de las matemáticas (Chevallard, Bosch & Gascón 1997, p. 76). Así, la ampliación clave formulada por la didáctica fundamental fue el postulado de Brousseau (1986) que refiere que todo fenómeno didáctico tiene un componente matemático esencial, lo cual comporta la problematización del conocimiento matemático y la necesidad de elaborar modelos epistemológicos de este conocimiento por parte de la didáctica. De aquí que la didáctica fundamental también sea conocida como aproximación epistemológica o programa epistemológico en didáctica de las matemáticas, en contraposición al programa cognitivo que citábamos anteriormente (Barquero, 2009). Dentro del programa epistemológico es posible identificar diferentes teorías didácticas como, por ejemplo, la TSD y la TAD que comparten su núcleo firme y, en gran parte, su heurística positiva y que aún están en proceso de elaboración. Situamos nuestra investigación en el ámbito de la TAD, dentro del programa epistemológico de investigación en didáctica de las matemáticas, cuya emergencia ha provocado, como ya hemos indicado, la necesidad de considerar la actividad matemática institucionalizada como objeto primario de investigación y ha supuesto la necesidad de construir, desde la propia didáctica, modelos epistemológicos de esta actividad matemática institucional. 3. Algunos elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico Dado que la TSD plantea la necesidad, para la didáctica, de redefinir los conocimientos matemáticos que son objeto de enseñanza y aprendizaje, surgió la necesidad de incluir en la problemática didáctica un macro análisis que englobara el carácter institucional tanto de las prácticas de enseñanza y aprendizaje que se desarrollan en el interior del sistema didáctico, como el de las mismas prácticas matemáticas que se tratan de enseñar y aprender y que no se circunscriben en el marco escolar. Se pone de manifiesto entonces, la necesidad de estudiar las condiciones de creación y difusión del conocimiento matemático que emergen en las diferentes instituciones sociales, desde las que son productoras y creadoras de conocimiento, hasta las que lo utilizan como instrumento, pasando por las instituciones más típicamente didácticas, es decir, centradas en el estudio de las matemáticas. 419 El enfoque antropológico adopta así un punto de vista institucional, inscribiendo la problemática didáctica dentro del marco antropológico general de las prácticas y actividades humanas. Esta ampliación del objeto de estudio de la didáctica que va más allá de las prácticas estrictamente escolares es el punto de partida del llamado enfoque antropológico inaugurado por Yves Chevallard (1992 y 1999). Este enfoque nace con las primeras teorizaciones del proceso de transposición didáctica (Chevallard, 1985a), que ponen de manifiesto que no es posible interpretar la matemática ni la actividad matemática que se estudia en la escuela sin tomar en consideración el estudio de fenómenos relacionados con los procesos de (re)construcción de las matemáticas que tienen el origen en la institución productora de los saberes matemáticos. Dada la complejidad del problema de la Educación Matemática, postulamos que es imprescindible un enfoque unitario, esto es, unos principios básicos que permitan reformular y abordar todos los aspectos del problema. El enfoque unitario en el que se sitúa esta memoria es, como hemos dicho, el que proporciona el programa epistemológico de investigación en didáctica de las matemáticas y, más concretamente, la TAD. Una de las características propias del programa epistemológico, que se explicita con especial fuerza en la TAD, es el cuestionamiento de los modelos epistemológicos dominantes en las diversas instituciones que constituyen su objeto de estudio. Este cuestionamiento se materializa, como explicaremos con detalle en el capítulo IV de esta memoria, en la necesidad de construir desde la didáctica un modelo epistemológico del ámbito de la actividad matemática que está en juego en cada uno de los problemas didácticos que aborda. Lo denominamos modelo epistemológico de referencia (MER) que, como veremos, constituye un instrumento fundamental, a modo de modelo de referencia, para analizar las praxeologías institucionales y sustentar las organizaciones didácticas que se proponen. En la mayoría de las investigaciones que abordan los diferentes aspectos del problema de la educación matemática no se realiza un cuestionamiento profundo del modelo epistemológico que se asume, el cual, considerado como perteneciente a la institución matemática, escapa del control del didacta. Se supone que el estudio de las condiciones de creación y difusión del conocimiento matemático es responsabilidad exclusiva de la institución matemática “sabia”, por lo que el didacta renuncia intervenir. 420 En contraposición a este punto de vista restrictivo, la teoría de la transposición didáctica distingue diferentes tipos de “saberes” o “regímenes epistemológicos” considerándolos todos ellos dentro del objeto de estudio de la didáctica: El saber matemático “original” o “sabio”, tal como lo producen los matemáticos y otros investigadores. El saber matemático “a enseñar” tal como se designa oficialmente en los programas, documentos curriculares y libros o tratados para la enseñanza. El saber matemático tal como es realmente enseñado por los profesores en el aula. El saber matemático “aprendido” en el sentido de “disponible” para los alumnos al final de los procesos de aprendizaje. Las nociones de saber sabio, saber a enseñar y saber enseñado permiten poner en evidencia, de un lado, la distancia que existe entre el saber matemático producido por los matemáticos y la porción de saber matemático propuesta para ser estudiada en una institución didáctica concreta y, de otro lado, la distancia entre este saber que ha sido designado como el que se tiene que enseñar y el que realmente es implementado en clase. Una vez puesto en evidencia el proceso de transposición didáctica, con la consecuente ampliación del objeto de estudio de la didáctica que esto supone, aparece la necesidad de un modelo epistemológico lo suficientemente rico para poder describir el saber matemático tanto si se sitúa en la institución “sabia” como si se trata de la práctica de un estudiante universitario o de un alumno de primaria (Barquero, 2009). La TAD propone un modelo epistemológico general de la actividad matemática cuya noción clave es la de praxeología, de tal manera que todos los MER específicos de los diferentes ámbitos concretos de la actividad matemática deberán ser compatibles con dicho modelo epistemológico general. 421 3.1. La noción de praxeología matemática Con el objetivo de encontrar la modelización explícita y contrastable de la actividad matemática, considerada dentro del conjunto de actividades humanas que se llevan a cabo en las diferentes instituciones sociales, Chevallard introdujo a mediados de los años 90 la noción de praxeología u organización matemática (OM) que es una de las nociones clave de la TAD (Chevallard, 1996, 1999, 2002a y 2002b). Uno de los postulados básicos de la TAD se materializa en la crítica a la visión particularista del mundo social. Para superar dicha visión se incluye la actividad matemática dentro de un modelo más amplio de actividad humana: […] toute activité humaine régulièrement accomplie peut être subsumée sous un modèle unique, que résume ici le mot de praxéologie (Chevallard, 1999, p. 223). La noción de praxeología permite considerar al mismo tiempo y, atribuyéndoles importancia equivalente, tanto la dimensión teórica como la dimensión práctica del saber. Chevallard (2006) lo expone en los términos siguientes: Una praxeología es, de algún modo, la unidad básica en que uno puede analizar la acción humana en general. [...] ¿Qué es exactamente una praxeología? Podemos confiar en la etimología para guiarnos aquí –uno puede analizar cualquier acto humano en dos componentes principales interrelacionados: praxis, i.e. la parte práctica, por un lado, y el logos, por el otro. “Logos” es una palabra griega que, desde los tiempos pre-Socráticos, ha sido utilizada constantemente para hacer referencia al pensamiento y razonamiento humano – particularmente sobre el cosmos. [...] [De acuerdo con] un principio fundamental de la TAD – la teoría antropológica de lo didáctico-, no pueden existir acciones humanas sin ser, al menos parcialmente, “explicadas”, hechas “inteligibles”, “justificadas”, “contabilizadas”, en cualquier estilo de “razonamiento” que pueda abrazar dicha explicación o justificación. La praxis, por tanto, implica el logos que, a su vez, implica volver a la praxis. En efecto, toda praxis requiere un apoyo en el logos porque, a la larga, ningún quehacer humano permanece sin cuestionar. Por supuesto, una praxeología podría ser deficiente, por ejemplo porque su “praxis” se compone de una técnica ineficaz –“técnica” es aquí la palabra oficial para designar una “forma de hacer”– y su componente “logos” consta casi completamente de puro sinsentido –¡al menos desde el punto de vista del praxeólogo! (Chevallard, 2006 [traducción en Bosch & Gascón (2007), pp. 397-398]) La noción de praxeología o de organización matemática (OM) constituye así la herramienta fundamental para modelizar la actividad matemática, como una actividad humana más, tal como se propone desde la TAD. 422 Como toda obra humana, una OM surge como respuesta a un conjunto de cuestiones y como medio para llevar a cabo, en el seno de cierta institución, determinadas tareas problemáticas. Más precisamente, las OM son el resultado final de una actividad matemática que, como en toda actividad humana, concisamente, es posible describir mediante dos bloques inseparables: - La práctica o praxis o el “saber hacer” que engloba un cierto tipo de problemas y cuestiones que se estudian, así como las técnicas para resolverlos. Consta de tipos de tareas o (tipos de problemas) y de técnicas o maneras de hacer sistemáticas y compartidas en cierta institución que son útiles para realizar las tareas. Este primer bloque se denomina bloque práctico-técnico. Las tareas o tipos de tareas no son datos que nos proporciona la naturaleza, son “obras” que provienen de cierta construcción institucional y cuya reconstrucción en cierta institución forma parte del objeto de estudio de la didáctica. Lo mismo puede decirse del resto de componentes de las praxeologías. - El logos o “saber” en el que se sitúan los discursos razonados sobre la práctica, esto es, los discursos que describen, explican y justifican las técnicas que se utiliza, y que en un primer nivel recibe el nombre de tecnología. Dentro del saber se postula un segundo nivel de descripción-explicación-justificación (esto es, el nivel de la tecnología de la tecnología) que se denomina teoría y que desempeña respecto de la tecnología un papel similar al que esta hace en relación a las técnicas. Las tareas problemáticas o cuestiones asociadas a una praxeología matemática acaban cristalizando en uno o más tipo de problemas que están generados por el desarrollo de la actividad matemática en el que se materializa el estudio de las cuestiones iniciales. En general, podemos decir que si un tipo de problemas es considerado en cierta institución es porque en dicha institución existe una técnica matemática que permite, no sólo resolver estos problemas, sino también generar muchos más problemas del mismo tipo. En una institución, en relación a cierto tipo de tareas, suele existir en general una única técnica privilegiada (técnica canónica) o, a lo sumo, un pequeño número de técnicas institucionalmente reconocidas. Esta exclusión de otras muchas técnicas que también podrían ser útiles para resolver el mismo tipo de tareas tiene relación con la ilusión de “naturalidad” de las técnicas institucionales. A fin de empezar a describir las relaciones entre ambos bloques de una praxeología, digamos que ninguna técnica puede vivir con normalidad en una institución si no aparece como una manera de hacer o proceder correcta, comprensible y justificada. Por lo tanto, la existencia de una técnica supone que existe en su entorno un discurso 423 interpretativo y justificativo de la técnica, que es lo que llamamos una tecnología que además de justificarla y hacerla inteligible, tiene la importante función de aportar elementos para modificarla con la finalidad de ampliar su alcance y poder así superar sus limitaciones y hacer posible la producción de nuevas técnicas. También forman parte de la tecnología asociada a una técnica las proposiciones que describen su alcance, su relación con otras técnicas, las posibles generalizaciones y las causas de sus limitaciones. La tecnología asociada a una técnica es un discurso matemático que requiere a su vez una interpretación y justificación institucional proporcionada por la teoría. De la tecnología pueden destacarse varias funciones: la de justificar “racionalmente” las técnicas, la de explicar, hacer inteligible y aclarar la técnica y, por último, la de producción de técnicas (por ejemplo, pero no únicamente, mediante la coordinación de técnicas ya conocidas). La decisión de tomar dos niveles de interpretación-justificación es, obviamente, una decisión metodológica relativamente arbitraria y basada en un principio de “economía” de los términos teóricos. Todas las nociones introducidas: “tipos de problemas”, “técnicas”, “tecnología” y “teoría” son doblemente relativas. Son relativas a la institución de referencia (así, por ejemplo, una determinada técnica matemática utilizada en la universidad, no tiene porqué vivir en secundaria). Y también son relativas a la función que desarrollan como objetos matemáticos en una actividad matemática determinada. Un ejemplo sería el de la regla de l’Hôpital que puede ser utilizada en Secundaria como justificación de una técnica de cálculo de límites (función tecnológica) o bien formar parte de una tarea matemática en la universidad, como por ejemplo la tarea de justificar su aplicación bajo ciertas condiciones. Esta breve descripción de los componentes de una praxeología pone de manifiesto que, lejos de ser independientes, estos componentes están fuertemente relacionados entre sí. Con ello queremos decir que, por ejemplo, el desarrollo de las técnicas genera nuevos tipos de problemas y provoca nuevas necesidades tecnológicas, o más en general, el bloque práctico-técnico no puede vivir aisladamente en una institución, requerirá la existencia del “discurso racional” que justifique la técnica y muestre su pertinencia para llevar a cabo el tipo de tareas. El sistema formado por estos dos bloques, o cuatro 424 componentes, constituye una praxeología (u organización) matemática que consideramos la unidad básica en que puede ser descrita la actividad matemática. 3.2. Clases de praxeologías: estructuras de complejidad creciente Con el objetivo de tener herramientas más precisas para analizar los procesos didácticos institucionales, Chevallard (1999) introdujo la distinción entre diferentes tipos de praxeologías según el grado de complejidad de sus componentes: - Praxeologías puntuales (u organizaciones matemáticas puntuales – OMP), si están generadas por lo que se considera en la institución como un único tipo de tareas. Esta noción es relativa a la institución considerada y está definida, en principio, a partir del bloque práctico-técnico. En este primer tipo de organización los tipos de problemas y las técnicas tienen un claro papel predominante. De hecho, en la práctica institucional, raramente se encuentran las praxeologías puntuales ya que, generalmente, las praxeologías puntuales irán combinándose para formar estructuras progresivamente más complejas y relativamente más completas (lo que no significa en absoluto que las praxeologías empíricas, las que existen efectivamente en las instituciones, respondan exactamente a la descripción teórica que estamos proponiendo). - Praxeologías locales, son el resultado de la integración de diversas praxeologías puntuales. Esta integración comporta que el discurso tecnológico asuma protagonismo, ya que algunas técnicas pierden el carácter auto-tecnológico. Cada praxeología local está caracterizada por una tecnología que sirve para justificar, explicar, relacionar entre sí y producir las técnicas de todas las praxeologías puntuales que la integran. En general, las praxeologías puntuales se integran en praxeologías locales para poder dar respuesta a cuestiones problemáticas que no podían ser resueltas con ninguna de las praxeologías puntuales de partida. - Praxeologías regionales, se obtienen mediante la coordinación, articulación y posterior integración, alrededor de una teoría matemática común, de diversas praxeologías locales. Esta integración comporta que el discurso teórico tome el papel central. La reconstrucción institucional de una teoría matemática requiere elaborar un lenguaje común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y producir las diferentes tecnologías de las praxeologías locales que integran la praxeología regional. 425 - Praxeologías globales, que surgen agregando varias praxeologías regionales a partir de la integración de diferentes teorías. Si nos referimos a las praxeologías empíricas, efectivamente existentes en las instituciones, podemos citar muchos ejemplos de OMP concretas que viven en Secundaria, casi tantos como tipos de tareas que las generan: descomponer en factores un polinomio con raíces enteras; resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; determinar la ecuación de una recta dada por un punto y un vector director; etc. Pero para describir adecuadamente cada una de las OMP citadas, deberíamos detallar con cierta precisión el tipo exacto de tareas que estamos considerando y las pequeñas variaciones de la técnica que se consideran en la institución de referencia como una misma técnica. Incluso sería preciso especificar en qué punto una determinada variación de una técnica concreta ya no puede ser considerada por la institución de referencia como la “misma” técnica y, por tanto, cuáles son las nuevas OMP que aparecen y cuál es su relación con la OMP inicial. También habría que describir los elementos tecnológicos que permitirían describir e interpretar dicha actividad matemática (aunque queden implícitos) y hasta la teoría que constituye el horizonte en el que podría situarse (Fonseca, 2004). Ya hemos dicho que una OML permite plantear y resolver problemas (o, al menos, responder ante ellos) que en las OMP iniciales no podían formularse con toda propiedad. Resulta, por tanto, que estas nuevas cuestiones problemáticas deberían constituir la razón de ser que dan sentido a la OML. Pero, paradójicamente, en determinadas instituciones matemáticas se produce el siguiente fenómeno: a medida que las OMP se integran para constituir praxeologías más complejas (locales, regionales y globales), la relación entre la cuestión y la respuesta tiende a invertirse hasta el punto que las razones de ser de la OM (o conjunto de cuestiones problemáticas que le dan sentido porque son las cuestiones a las que ésta responde) tienen tendencia a desaparecer (Chevallard, 1999). De la misma forma que era fácil citar ejemplos de etiquetas que aluden a OMP concretas, también es relativamente sencillo citar mediante etiquetas ejemplos de praxeologías regionales (OMR) específicas. En efecto, para hacer referencia a una OMR bastará citar la teoría matemática común que sirve, en cada caso, para unificarla. En la actual enseñanza universitaria, por ejemplo, podemos encontrar etiquetas que, aunque con diferente grado de generalidad, hacen referencia a teorías matemáticas que 426 proporcionan un lenguaje común para determinadas OMR. Entre éstas podemos citar: la teoría de Galois; la teoría de ecuaciones diferenciales lineales; el álgebra lineal; la teoría de la medida; la teoría de funciones analíticas y la teoría de grupos de Lie, entre otras muchas. Pero, de nuevo, hay que reconocer que para describir adecuadamente una OMR sería preciso describir, además de la teoría unificadora, las OML que la integran, las relaciones que se establecen entre dichas OML constituyentes y las nuevas cuestiones problemáticas que pueden abordarse en la OMR final y que no podían abordarse en ninguna de las OML iniciales (Fonseca, 2004). Aparecen así, de nuevo, los dos aspectos inseparables del trabajo matemático: por un lado, el proceso de construcción matemática, esto es, el proceso de estudio y, por otro lado, el resultado mismo de esta construcción, es decir, la praxeología matemática. 3.3. El modelo epistemológico de referencia Según Josep Gascón (2014) la construcción, en el ámbito de la TAD, de modelos epistemológicos de referencia (en adelante, MER) ha permitido la emancipación de la didáctica de las matemáticas respecto de los modelos epistemológicos dominantes en las diversas instituciones que forman parte de su objeto de estudio. Además los MER, gracias a su función fenomenotécnica (en el sentido de «fabricar» los objetos del conocimiento), han hecho visibles nuevos fenómenos didácticos poniendo así de manifiesto la incidencia de la epistemología sobre la didáctica. Gascón (2014) subraya que: […] Para tomar los procesos de transposición didáctica como objeto de estudio, el didacta necesita analizar de manera crítica los modelos epistemológicos de las matemáticas dominantes en las instituciones involucradas y liberarse así de la asunción acrítica de dichos modelos. En esto consiste la emancipación epistemológica, mientras que la emancipación institucional hace referencia a la necesidad del didacta (y de la ciencia didáctica) de liberarse de las dependencias que acarrean la posición de “profesor” (sujeto de cierta institución escolar), la de “noosferiano” (sujeto de la noosfera, esto es, autor de libros de texto, de planes de estudio, de documentos curriculares, de textos de formación del profesorado, etc.) e, incluso, la de “matemático guardián de la ortodoxia” (sujeto de la institución productora y conservadora del saber) […] (Gascón, 2014, p. 144) 427 El grupo de investigación TAD ha propuesto algunos MER generales y otros más específicos para diferentes ámbitos de la actividad matemática, tales como: 1. Divisibilidad elemental (Gascón, 2001); 2. Medida de magnitudes continuas (Bolea et al., 2005; Sierra, 2006); 3. Límites de funciones (Barbé et al., 2005); 4. Proporcionalidad en el ámbito de las relaciones funcionales elementales (García et al., 2006); 5. Sistemas de numeración (Sierra et al., 2007); 6. Modelización matemática (Barquero et al., 2010; Serrano et al., 2010) y modelización algebraico-funcional (Ruiz-Munzón et al., 2011); 7. Generales para: caracterizar el modelo epistemológico dominante de la actividad matemática en la enseñanza secundaria española (Fonseca et al., 2004); reformular el problema de la metacognición en el ámbito de la TAD (Rodríguez et al., 2008). De forma a definir y articular, la noción de MER específico dentro de un MER general, Gascón (2014) presenta tres tesis de las cuales vamos a destacar dos de ellas: 1. Los MER específicos o locales (compatibles con un MER general) sirven para proporcionar los elementos necesarios para formular problemas didácticos cuyo estudio permitirá mejorar el conocimiento de ciertos fenómenos. Sólo de esta forma, la didáctica puede emanciparse respecto del modelo epistemológico dominante en las instituciones concernidas y tener la posibilidad de construir de manera autónoma su propio objeto de estudio. Los MER presentan las siguientes características: a. Un MER específico o local no está asociado simplemente a un ámbito de la actividad matemática, sino a uno o más fenómenos didácticos (que involucran un ámbito más o menos extenso de la actividad matemática). Por lo tanto, si se trata de estudiar diferentes fenómenos didácticos emergentes en un mismo ámbito de la actividad matemática, será necesario construir diferentes MER (Schneider, 2013). b. La construcción de un MER, la explicitación de los fenómenos asociados y la formulación de los problemas didácticos correspondientes son procesos simultáneos que se desarrollan dialécticamente. c. Un MER es una respuesta tentativa inicial a las cuestiones que forman parte de la dimensión epistemológica de los problemas didácticos involucrados (Gascón, 2011) y, como tal, es imprescindible (en el ámbito de la TAD) para poder formular los problemas didácticos como verdaderos problemas de investigación. d. Todo MER es provisional, es una hipótesis, y debe ser contrastado empíricamente. Si un MER específico no cumple su función fenomenotécnica, deberá ser revisado y hasta 428 modificado profundamente. La piedra de toque para decidir entre dos MER rivales cuál de ellos es más útil heurísticamente (o para decidir cómo modificar un MER a fin de poder estudiar nuevos aspectos de un fenómeno didáctico), son los hechos didácticos interpretados como fenómenos. (Gascón, 2014, p. 155-156) 2. Supongamos que disponemos de un conjunto de proposiciones que constituyen una explicación E1 de la génesis, del desarrollo histórico, de la utilización, de la difusión o de la transposición institucional de cierto ámbito de la actividad matemática. Esta explicación, como todas, se sustenta en cierto MER1 específico de dicho ámbito. Supongamos, además, que aparecen hechos didácticos que no encajan en esta explicación y que, utilizando otro MER2, la comunidad científica propone una explicación alternativa E2 que permite dar cuenta de los hechos didácticos que permanecían inexplicados al tiempo que saca a la luz fenómenos hasta entonces invisibles. Podemos suponer, incluso, que E2 permite explicar por qué E1 no era capaz de dar cuenta de los hechos citados y por qué los correspondientes fenómenos permanecían invisibles para la mirada de la comunidad científica. En esta situación diremos que el MER 1 ha sido evaluado (y corregido) con ayuda de la didáctica “normativamente interpretada” por el MER 2. (Gascón, 2014, p. 163) En suma, Gascón mostró que la didáctica (de las matemáticas) se sustenta forzosamente en un modelo epistemológico (de las matemáticas), por lo que refiere que la didáctica es ciega si ignora que, de hecho, está utilizando tal modelo epistemológico, por latente e impreciso que sea, y que este modelo está condicionando fuertemente no sólo los problemas de investigación didáctica que pueden formularse, sino también las respuestas que se considerarán admisibles. 3.4. El proceso de estudio de una praxeología matemática: praxeologías didácticas y momentos de estudio En la sociedad constantemente aparecen situaciones que requieren una respuesta por parte del individuo y, sobretodo, por parte de las instituciones que estructuran la sociedad. Puede haber una simple demanda de información o una cuestión en sentido débil frente a la cual la persona conoce la respuesta o la puede conocer fácilmente. Pero la situación cambia cuando aparecen cuestiones frente a las que la persona no conoce su respuesta, es decir, no dispone de alguna técnica conocida para abordar la situación, esta situación se transforma en problemática y puede dar origen a una cuestión en sentido 429 fuerte. En este caso la respuesta que buscamos no es una simple información, sino que para poder responder eficientemente será necesaria la elaboración de una técnica y, más allá de la técnica, de una praxeología completa relativa al tipo de problema planteado. Así que el estudio de cuestiones en sentido fuerte requerirá la creación o construcción de respuestas en sentido fuerte, es decir, la construcción de toda una nueva organización praxeológica. Se podría imaginar un mundo o realidad institucional en la que las actividades humanas estuviesen regidas por praxeologías bien adaptadas que permitiesen realizar de forma “instantánea” las tareas que fueron surgiendo, pero esta realidad no existe, las instituciones son recorridas por una dinámica praxeológica que resulta de un trabajo complejo y continuo en las instituciones. Constantemente, en el universo de las tareas a realizar en una institución, surgen tareas problemáticas que requerirán la producción o reproducción de nuevas praxeologías que, en la medida que ya existan en otra institución, se podrá proponer importarlas. En el desarrollo y análisis de la actividad matemática aparecen, como ya hemos indicado, dos aspectos inseparables: por un lado, la obra matemática que puede construirse con el estudio de las cuestiones problemáticas y, por otro lado, la manera en que puede ser construida la obra matemática, es decir, la manera en que puede organizarse el proceso de estudio de las cuestiones. El primer aspecto (el producto) es de hecho el resultado de la construcción, es decir, la praxeología u organización matemática (OM). El segundo aspecto es el proceso de estudio y construcción, lo que se denominará praxeología u organización o didáctica (OD). Se trata, en efecto, de dos aspectos inseparables porque no hay organizaciones matemáticas sin un proceso de estudio que las genere, pero tampoco hay un proceso de estudio sin organizaciones matemáticas en construcción. Como en toda organización praxeológica, una OD se articula en tipos de tareas, técnicas, tecnologías y teorías didácticas, pero ¿cómo se describe dicha organización? La consideración de diversos procesos de estudio permite detectar varios aspectos o tipos de situaciones que necesariamente están presentes en todos ellos, es decir, dimensiones que estructuran cualquier proceso de elaboración matemática independientemente de las características culturales, sociales, individuales, etc. 430 Denominaremos a este tipo de aspectos con la noción de momentos de estudio o momentos didácticos. Dicha noción se utiliza, no tanto en el sentido cronológico, como en el sentido de dimensión de la actividad. Chevallard (1999) postula que el proceso de estudio se sitúa en un espacio determinado por seis momentos didácticos, sin presuponer una estructura lineal de los procesos de estudio. Cada momento puede ser vivido con diferentes intensidades, en tiempos diversos, tantas veces como se necesite a lo largo del proceso de estudio e incluso es habitual que algunos de ellos aparezcan simultáneamente. Lo que sí es importante destacar es que cada uno de los seis momentos de estudio tiene una función específica necesaria para llevar a cabo correctamente el proceso y que existe una dinámica interna global que se manifieste en el carácter invariante de ciertas relaciones entre los citados momentos. En otras palabras, lo que es importante no es el orden en que se realicen los diferentes momentos del proceso de estudio, sino la estructura interna de las relaciones que tiene que establecerse entre ellos. Los seis momentos didácticos pueden ser descritos mediante las siguientes etiquetas: el momento del primer encuentro, el momento exploratorio, el momento del trabajo de la técnica, el momento tecnológico-teórico, el momento de la institucionalización y el momento de la evaluación. En 1999, Chevallard (pp. 249-255), describe los seis momentos del estudio de una organización praxeológica O en los términos siguientes: 1. El primer momento de estudio es el del primer encuentro con la organización O que está en juego. Un tal encuentro puede tener lugar de varias maneras, pero un modo de encuentro (o de reencuentro) inevitable, a menos que uno se quede en la superficie de la obra O, es el que consiste en encontrar O a través de al menos uno de los tipos de tareas constitutivas de O. Este primer encuentro con el tipo de tareas puede a su vez tener lugar en varias veces, en función sobre todo de los entornos matemáticos y didácticos en los que se produce: se puede volver a descubrir un tipo de tareas como se vuelve a descubrir una persona que se creía conocer. 2. El segundo momento es el de la exploración de un tipo de tareas y de la elaboración de una técnica relativa a este tipo de tareas. En realidad, el estudio y la resolución de un problema de un tipo determinado va siempre a la par con la constitución de al menos un embrión de técnica, a partir de la cual una técnica más desarrollada podrá eventualmente emerger. El estudio de un problema particular, espécimen de un tipo estudiado, aparecería así, no como un fin en sí mismo, sino como un medio para la constitución de una técnica de resolución. 431 Se trata así una dialéctica fundamental: estudiar problemas es un medio que permite crear y poner en marcha una técnica relativa a los problemas de un mismo tipo, técnica que será a continuación el medio para resolver de manera casi rutinaria los problemas de este tipo. 3. El tercer momento del estudio es el de la constitución del entorno tecnológico-teórico. De una manera general, este momento está en interrelación estrecha con cada uno de los otros momentos. Así, desde el primer encuentro con el tipo de tareas, se establece generalmente una relación con el entorno tecnológico-teórico anteriormente elaborado, o con gérmenes de un entorno por crear que se precisará mediante una relación dialéctica con la emergencia de la técnica. Sin embargo, por razones de economía didáctica global, a veces las estrategias de dirección de estudio tradicionales hacen en general de este tercer momento la primera etapa del estudio. 4. El cuarto momento es el del trabajo de la técnica, que debe a la vez mejorar la técnica volviéndola más eficaz y más fiable, lo que exige generalmente retocar la tecnología elaborada hasta entonces, y acrecentar la maestría que se tiene de ella. Este momento de puesta a prueba de la técnica supone en particular unos cuerpos de tareas adecuados tanto cualitativamente como cuantitativamente. 5. El quinto momento es el de la institucionalización, que tiene por objeto precisar lo que es exactamente la OM elaborada, distinguiendo claramente, por una parte los elementos que, habiendo concurrido a su construcción, no le hayan sido integrados y, por otra parte, los elementos que entrarán de manera definitiva en la organización matemática considerada, distinción que buscan precisar los alumnos cuando le preguntan al profesor, a propósito de tal resultado o tal procedimiento, si hay o no que “saberlo”. 6. El sexto momento es el de la evaluación, que se articula con el momento de la institucionalización. En la práctica, llega siempre un momento en el que se debe observar lo aprendido, porque este momento de reflexión donde, cualquiera que sea el criterio y el juez, se examina el valor de lo que se ha aprendido, este momento de verificación que, a pesar de los recuerdos de infancia, no es en absoluto invención de la institución escolar, participa de hecho de la “respiración” misma de toda actividad humana. Esta descripción de los momentos o dimensiones del proceso de estudio muestra claramente la unidad indisoluble entre las praxeologías matemáticas y las didácticas: en efecto, todo proceso estudio de una organización matemática presupone la existencia inicial de la organización matemática que se va a estudiar, pero el estudio de la misma es también, en un sentido amplio, un proceso de creación, o digamos de recreación, en el caso de las instituciones didácticas. Por consiguiente, la construcción de una praxeología matemática contempla el estudio de la misma y viceversa. 432 Surge pues una nueva concepción de la didáctica de las matemáticas en la que lo didáctico se identifica con todo aquello que se relacione con el estudio y con la ayuda al estudio: La didáctica de las matemáticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemáticas. Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio – o procesos didácticos – de cara a proponer explicaciones y respuestas sólidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos (alumnos, profesores, padres, profesionales, etc.) que se ven llevados a estudiar matemáticas o a ayudar a otros a estudiar matemáticas. (Chevallard, Bosch & Gascón, 1997, p. 60). Todo proceso de estudio de una organización matemática, en cuanto que actividad humana, puede ser modelizado mediante una praxeología que, en este caso, será denominada por praxeología didáctica. Como toda praxeología, estará compuesta de un conjunto de tareas didácticas problemáticas, de técnicas didácticas para abordarlas y de tecnologías y teorías didácticas que las expliquen y justifiquen (Chevallard, 1999). La integración progresiva de las dimensiones didáctica y matemática queda así modelizada mediante las nociones de praxeologías matemáticas y didácticas y, sobre todo, mediante el postulado antropológico que afirma que, en la contingencia, en la historia de las instituciones, las praxeologías matemáticas y didácticas no pueden vivir por separado. De esta manera, todo proceso de estudio de las matemáticas como proceso de construcción o reconstrucción de OM, consiste en la utilización de una determinada OD, con su componente práctico (formado por tipos de tareas y técnicas didácticas) y su componente teórico (formado por tecnologías y teorías didácticas). En definitiva, y aunque a veces se considera el producto (la praxeología matemática) como si fuera independiente de todo proceso, en realidad se trata de una abstracción. En la historia de las instituciones sociales no hay productos sin procesos y, por lo tanto, lo que se analiza son procesos didácticos cuya unidad mínima de análisis (Bosch & Gascón, 2005) son las praxeologías didácticas relativas a ciertas praxeologías matemáticas. 433 3.5. Los niveles de codeterminación didáctica Yves Chevallard ha propuesto la jerarquía de niveles de codeterminación que entre las formas de estructurar las cuestiones matemáticas a estudiar y las maneras de organizar el estudio de las mismas en la escuela: El principio fundador de las didácticas, al menos en el sentido brousseauniano de la palabra, es que no sólo lo transmitido depende de la herramienta con la que se pretende conseguir su transmisión, sino que también (recíprocamente) las organizaciones “transmisoras”, es decir didácticas, se configuran de manera estrechamente vinculada a la estructura dada de lo que hay que transmitir. En otros términos, las organizaciones didácticas, las OD como diré en adelante, dependen fuertemente de las organizaciones por enseñar - las OM, si se trata de organizaciones matemáticas (Chevallard, 2001). Podemos esquematizar dicha jerarquía mediante una sucesión de niveles de estructuración de las citadas organizaciones matemáticas (OM) y organizaciones didácticas (OD) que van desde el más genérico, la sociedad, al más específico, una cuestión matemática concreta que se propone para ser estudiada. Se postula que en cada uno de estos niveles se introducen restricciones particulares que ponen de manifiesto la determinación recíproca entre las OM y las OD: la estructuración de las OM en cada nivel de la jerarquía condiciona las formas posibles de organizar su estudio y, recíprocamente, la naturaleza y las funciones de los dispositivos didácticos existentes en cada nivel determinan, en gran parte, el tipo de las OM que será posible reconstruir (estudiar) en dicha institución escolar (Fonseca, 2004). La jerarquía de niveles de codeterminación consiste en una escala que se estructura mediante una sucesión de niveles desde el más genérico – la Civilización –, hasta el más específico – el de las cuestiones matemáticas concretas (Chevallard 2001, 2002b y 2007): 434 Figura 2: Escala de niveles de codeterminación didáctica Llevar a cabo el estudio de las condiciones de existencia y evolución de las OM y OD muestra que, cuando el profesor y los alumnos se enfrentan a un saber que se debe enseñar o aprender, lo que puede suceder está muy determinado por un conjunto de condiciones y de restricciones que no se pueden reducir a aquellas inmediatamente identificables dentro del aula (conocimiento previo de los alumnos, material didáctico del que se dispone, etc.). Bien es cierto que estos aspectos son muy importantes, pero no debemos olvidar la existencia de muchas otras condiciones que se requieren y que surgen más allá del espacio de la clase y del conocimiento o tema que se quiere estudiar. Para que una cuestión sea estudiada en una institución, es necesario que en esta institución se construya toda una jerarquía de niveles que contengan dicha cuestión, aunque cabe destacar que tampoco el hecho que se construya esta jerarquía nos asegura la calidad de su proceso de estudio. En Bosch y Gascón (2007) se hace referencia a una de las principales funciones de esta escala de niveles: ¿Por qué una nueva ampliación del objeto de estudio con la correspondiente complejidad del marco teórico? La respuesta es siempre la misma: para liberarse de las concepciones espontáneas del conocimiento matemático que, al analizar su objeto de estudio, los 435 investigadores podrían asumir sin cuestionarlas previamente. Las praxeologías “puntuales”, “locales”, “regionales” y “globales” se corresponden con los niveles inferiores: los de la cuestión, el tema, el sector y el ámbito. Quizá debido a su familiaridad con el “problema del profesor” (“dado un contenido matemático para ser enseñado, ¿cuál es la mejor forma de hacerlo?”), a menudo los didactas asumen como incuestionable la delimitación de contenidos que ofrecen las instancias educativas o académicas. Hay que situarse en un nivel de generalidad superior para preguntarse, por ejemplo, y dada una organización curricular concreta, por qué están divididos los contenidos en estos bloques temáticos y no en otros, o cuáles son los criterios para determinar esta división y qué tipo de restricciones causa sobre la actividad concreta que pueden realizar profesores y estudiantes. (Bosch & Gascón, 2007, p. 401) 3.6. Las tres dimensiones de un problema didáctico En 2011, Josep Gascón describió las tres dimensiones básicas o fundamentales de un problema didáctico cuando construido en el ámbito de la Teoría Antropológica de lo Didáctico: La dimensión epistemológica (sitúa a lo matemático en el corazón del problema); La dimensión económica (despersonaliza la problemática didáctica y delimita la unidad mínima de análisis de los procesos de estudio); La dimensión ecológica (enfatiza las condiciones necesarias para que sea posible el estudio institucionalizado de las matemáticas y pone de manifiesto las restricciones que inciden sobre dicho estudio; Así, analizó y relacionó entre sí estas tres características fundamentales de los problemas didácticos (designados también por problemas de investigación en Didáctica) para construir y definir mejor el propio problema según el punto de vista de la TAD. Al contrario del habitual de empezar por identificarse los problemas didácticos con los problemas relativos al proceso de enseñanza-aprendizaje y pasar a describir, de antemano, una lista de características de dichos problemas, según esta nueva perspectiva se postula que los problemas didácticos se generan y evolucionan conjuntamente con la disciplina que los construye (Gascón, 1993) del siguiente modo: Donde, 436 P0 representa la formulación inicial del problema (problema docente). Representa la necesidad de añadir algo más a P0 por considerarlo incompleto. P1 representa la dimensión epistemológica (más básica, pero indispensable por ser capaz de transformar la formulación inicial del problema P0 en una verdadera formulación científica). Significa que una formulación completa de Pi+1 requiere de una formulación previa de Pi. P2 representa la dimensión económica. P3 representa la dimensión ecológica. Problema didáctico (conteniendo las 3 dimensiones, las relaciones entre ellas y cuestiones nuevas) De acuerdo con Gascón (2011) hay algunos aspectos a tener en cuenta cuando se construye un problema didáctico según el punto de vista de la TAD, o sea, confluyendo y articulando dialécticamente las tres dimensiones fundamentales de un problema: Una misma dimensión del problema didáctico puede ser estudiada en diversos momentos del proceso de investigación; Tampoco es seguro que cada dimensión Pi provoque efectivamente la emergencia de la dimensión Pi+1 del problema (o sea, la comunidad científica no se debe ver forzada a formular y estudiar una determinada dimensión); El esquema no ayuda a seleccionar los problemas didácticos relevantes, puesto que esto es una prerrogativa de la comunidad científica. De acuerdo con las tres dimensiones fundamentales de un problema didáctico, Gascón presentó algunas cuestiones principales que deben ser consideradas para elegir y delimitar adecuadamente un problema didáctico: 1. ¿Cómo recortar el ámbito de la actividad matemática que está en juego? ¿Cómo describir, con qué nociones básicas y con qué modelo epistemológico dicho ámbito recortado de la actividad matemática? ¿Qué es lo primariamente problemático y, por tanto, lo que la Didáctica de las Matemáticas debe modelizar en primer término? 437 2. ¿Qué referencia empírica deben tener los problemas didácticos? Esto es, ¿cuál es el universo empírico o el espacio institucional del que deberán extraerse los datos empíricos? ¿Cuál es la unidad mínima de análisis de los procesos didácticos? 3. ¿Qué tipos de problemas pueden plantearse en Didáctica de las Matemáticas? ¿Los problemas a tratar deben hacer referencia prioritaria a la actividad matemática individual o a las condiciones y restricciones ecológicas institucionales que la hacen posible, al tiempo que la condicionan? ¿Qué tipos de respuestas a dichas cuestiones serán admisibles? (Gascón, 2011, p. 227) 438 Anexo B Rigidez de la actividad matemática escolar en la Secundaria portuguesa y española En este anexo de la memoria pretendemos llevar a cabo un estudio general de la rigidez de la matemática escolar utilizando las herramientas teóricas y metodológicas que nos proporciona la TAD 93. En coherencia con los presupuestos de esta teoría didáctica y tal como hemos explicado en el anexo A de esta memoria, tomaremos un punto de vista epistemológico e institucional en lugar de cognitivo y personal. Empezaremos por describir brevemente el tratamiento que ha tenido l a problemática de la rigidez y su contraposición, el pensamiento matemático flexible, en determinados trabajos dentro del enfoque cognitivo. Postulamos que la rigidez que se observa en la matemática escolar constituye un problema didáctico de carácter ese ncialmente institucional que puede caracterizarse en base a un conjunto de indicadores del grado de completitud de las organizaciones o praxeologías matemáticas locales. Enunciaremos explícitamente dichos indicadores y, siguiendo el trabajo de Fonseca (200 4) formularemos cinco conjeturas cuya contrastación empírica pretende poner de manifiesto diferentes aspectos concretos de la citada rigidez de la actividad matemática. Utilizaremos dos tipos de materiales empíricos para contrastar dichas conjeturas, los manuales escolares (españoles y portugueses) y las respuestas de una muestra de estudiantes (españoles y portugueses). 93 Los detalles de muchos de los resultados que presentamos en este capítulo se encuentran en Lucas (2010), Lucas et al. (2014a, 2014b). 439 1. Indicadores del grado de completitud relativa de una organización matemática local Tal como hemos escrito en el Anexo A, las organizaciones (o praxeologías) matemáticas más elementales se llaman puntuales y están constituidas alrededor de lo que en determinada institución es considerado como un único tipo de tareas o una única técnica. Cuando una OM se obtiene por integración de cierto conjunto de OM puntuales, tales que todas ellas aceptan un mismo discurso tecnológico, diremos que tenemos una OM local caracterizada por dicha tecnología. En la TAD se habla también de OM “regionales” construidas mediante la integración de OMs locales y caracterizadas por una teoría común capaz de dar cuentas de los diferentes discursos tecnológicos, y hasta de OMs “globales”. En este trabajo la noción clave será la de OM local relativamente completa y utilizaremos los siguientes indicadores para medir el grado de completitud relativa de una tal OM local (OML) (Fonseca, 2004). OML1. Una OM será más completa en la medida que contenga tipos de tareas que hagan referencia a la interpretación, la justificación, la fiabilidad, la economía y el alcance de las técnicas, así como a la comparación entre ellas. OML2. Existencia de diferentes técnicas para cada tipo de tareas y de criterios para elegir entre ellas. Este indicador de la completitud comporta que en la OML existan, además, los elementos tecnológicos que permiten discernir, para cada tarea concreta, cuál es la técnica más fiable y económica para llevar a cabo dicha tarea. OML3. Existencia de diferentes representaciones de la actividad matemática y de criterios explícitos para elegir la representación más adecuada para resolver determinado problema. OML4. Existencia de tareas y de técnicas “inversas”. La flexibilidad de las técnicas debe permitir trabajar tareas inversas como, por ejemplo, aquellas definidas intercambiando los datos y las incógnitas del problema o, a partir de la respuesta, analizar la situación de partida. OML5. Interpretación del funcionamiento y del resultado de la aplicación de las técnicas. Debe existir un tipo de tarea que permita al alumno interpretar el funcionamiento de una técnica para, a posteriori, percibir su beneficio matemático o ventaja en relación con otras técnicas. OML6. Existencia de tareas matemáticas “abiertas” donde los datos se tratan como si fuesen desconocidos (parámetros) y las incógnitas no son valores concretos sino las 440 relaciones que se establecen entre ellos. El estudiante ha de decidir, ante una situación matemática o extramatemática determinada, qué datos debe utilizar y cuáles son las incógnitas. En este nivel se incluyen las tareas de modelización matemática. OML7. Necesidad de construir técnicas nuevas capaces de ampliar los tipos de tareas. En particular el discurso tecnológico debe permitir desarrollar las técnicas matemáticas existentes y componerlas para construir técnicas más flexibles, más económicas y más generales. OML8. Posibilidad de perturbar la situación inicial o modificar las hipótesis definitorias del sistema para estudiar casos diferentes y ampliar y profundizar el proceso de estudio. Una OML será más o menos “completa” en función del grado en que sus componentes cumplan las condiciones descritas por los indicadores OML1-OML8. Pero, ¿qué se necesita para elaborar una OM?, ¿cuáles son los medios de que dispone el matemático investigador o el alumno de matemáticas para llevar a cabo una actividad matemática que cristalice en una OM que responda a ciertas cuestiones? Ante todo hay que decir que, tanto el investigador como el alumno, cada uno en su nivel, utilizan técnicas didácticas, esto es, técnicas de estudio, cuya eficacia depende de su integración en un proceso, el proceso de estudio de una OM en el seno de una institución. La TAD completa entonces el modelo epistemológico del saber matemático antes descrito con un modelo de la actividad didáctica o actividad de estudio (de las matemáticas). Se trata de la teoría de los momentos didácticos94 que puede considerarse como un modelo funcional del proceso de estudio de las OM. Paralelamente a la noción de OM surge así la noción de organización (o praxeología) didáctica, con sus dos caras: “praxis”– formada por tareas y técnicas didácticas – y discurso razonado o “logos” sobre dicha práctica –formado por tecnologías y teorías didácticas (ver Anexo A). 94 La teoría de los momentos didácticos propone seis momentos o dimensiones del proceso de estudio que se designan por: momento del primer encuentro, exploratorio, del trabajo de la técnica, tecnológicoteórico, de la institucionalización y de la evaluación (Chevallard, Bosch & Gascón, 1997; Chevallard, 1999). 441 2. La rigidez y la incompletitud relativa de las organizaciones matemáticas escolares en la Secundaria portuguesa y española 2.1. Primer tipo de indicadores empíricos: manuales escolares El manual escolar o libro de texto es una publicación especializada, con identidad propia, que nace en respuesta a las necesidades del sistema educativo general y público y del modelo de enseñanza simultánea, siendo así, representa muy bien el saber institucional tal como surge en el sistema escolar. Los libros de texto han resistido a los embates de la crítica y a través de su metamorfosis se han constituido en un constante material del sistema didáctico. Analizamos libros de texto que desarrollan el currículum oficial de la enseñanza del 3º ciclo y enseñanza secundaria portuguesa y comparamos los resultados obtenidos con los datos referentes a la enseñanza secundaria obligatoria (ESO) y el Bachillerato españoles en Fonseca (2004). La selección de los manuales se ha hecho teniendo en cuenta su amplia difusión en todas las instituciones escolares del país. Fueron analizados dos libros de texto de cada año de escolaridad descritos en Lucas (2010). A continuación presentamos una síntesis de los resultados agrupados por conjeturas. C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura Proponemos una especificación de esta conjetura para cuatro temas concretos: Derivación, Límites, Representación gráfica de funciones elementales y Álgebra (en particular, ecuaciones de segundo grado completas), como muestra la tabla siguiente: Bloque Conjetura 1.1. En el cálculo de límites de funciones (o sucesiones) predomina la letra x (o n) como designación de la variable? O surgen limites de sucesiones constantes para una variable distinta de la usual, como por ejemplo, lim 5n 1 ? C1A 1.3. En el cálculo de derivadas predomina la letra x como designación de la variable real independiente? C1B 1.4. En la representación gráfica de funciones predomina la letra x como designación de la variable real independiente? C1C 1.2. En la resolución de ecuaciones del segundo grado, por la formula, predomina la letra x como designación de la variable real independiente? C1D p 2n 442 Portugal España Número de ejercicios Variable Variable distinta x de x Tipo de tareas C1A Cálculo de limites 329 0 C1B Cálculo de derivadas 243 14 C1C Gráfica de funciones Fórmula para la resolución de ecuaciones del segundo grado 211 38 C1D 82 Tipo de tareas Cálculo de derivadas Gráfica de funciones C1B C1C 95 Número de ejercicios Variable Variable distinta x de x 952 5 492 2 15 Número de ejercicios - Portugal - Número de ejercicios - España - C1D C1C C1C C1B C1B C1A 0 0 200 500 variable distinta de x variable distinta de x 1000 400 variable x variable x Las tablas y gráficos se refieren al número total de las tareas de cada tipo que aparecen en el conjunto de los manuales analizados. Así, por ejemplo, en el conjunto de todos los libros de texto portugueses analizados aparecen 243 tareas relativas al cálculo de derivadas en relación a variable y 14 tareas de ese tipo utilizan una variable distinta de . De modo análogo, en el conjunto de todos los libros de texto analizados de España contabilizamos 952 tareas relativas al cálculo de derivadas en relación a variable y sólo 5 tareas de ese tipo utilizan una variable distinta de . 95 De los resultados del estudio efectuado en España, no presentamos aquí los referentes a las conjeturas C1A y C1D porque están relacionados con el cálculo de integrales y con la racionalización de denominadores que son temas no abordados en la enseñanza secundaria portuguesa. Se subraya que el estudio efectuado en Portugal es una ampliación del estudio español y que el principal objetivo de este trabajo no es comparar los resultados obtenidos en los dos países pero sí, a la semejanza de Fonseca (2004), constatar el fenómeno de rigidez y desarticulación de las matemáticas en el sistema de enseñanza portugués. 443 C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado obtenido Pretendemos en esta segunda conjetura testar las siguientes hipótesis: Bloque Conjetura 2.2. El cálculo del límite de una función, dada por su expresión analítica, incluye la interpretación del resultado? C2A 2.1. El cálculo de la derivada de una función incluye la interpretación del resultado como variación de la función? C2B 2.3. El estudio de la continuidad de una función incluye la interpretación del resultado? C2C 2.4. El cálculo de la derivada de una función incluye la interpretación física del resultado? C2D 2.5. Determinar el límite de una función envuelta en un problema de modelización incluye la interpretación del resultado en el contexto real? C2E En los manuales escolares, para cada tipo de tarea, contabilizamos por un lado el número de ejercicios que incluyan la interpretación de la técnica o del resultado y, por otro lado, el número de ejercicios que no incluyan. Los resultados fueron los siguientes: Portugal España 97 Número de Ejercicios Tipo de tareas C2A C2B C2C C2D C2E Cálculo del límite de una función Cálculo de la derivada de una función (interp. como variación) Estudio de la continuidad de una función Cálculo de la derivada de una función (interp. 96 física) Cálculo del límite de una función en contexto real sin con interpretación interpretación 329 Tipo de tareas 0 Cálculo de límites C2B Cálculo de derivadas en un punto Ejercicios de Ejercicios con realización interpretación (sin de la técnica o interpretación) resultado C2A 463 40 435 79 300 4 85 0 4 698 5 78 3 El análisis de éste tipo de tarea en los manuales de Portugal incluyó únicamente los ejercicios que surgen después del estudio de la interpretación física de la derivada de una función (como velocidad o aceleración) en dichos manuales. Por eso solo fueron analizadas 304 tareas de un total de 503 tareas referentes al cálculo de la derivada de una función. 97 De los resultados del estudio efectuado en España, no se presenta aquí los referentes a las conjeturas C2C, C2D e C2E porque están relacionados con temas no abordados en la enseñanza secundaria portuguesa. Ver nota de pie de la Tabla 1. 444 Número de ejercicios - Portugal - Número de ejercicios - España - C2E C2D C2B C2C C2A C2B C2A 0 0 200 con interpretación 400 600 500 con interpretación 1000 sin interpretación sin interpretación Los gráficos reflejan claramente la distancia que existe en los libros de texto consultados, entre la gran cantidad de ejercicios que se proponen para resolver mecánicamente y la casi ausencia absoluta de ejercicios en los que se requiera la interpretación del resultado. C3. A cada tarea está asociada una técnica privilegiada Bloque Conjetura 3.1. La técnica algebraica para determinar la derivada de una función en un punto es más frecuente que la técnica geométrica (calcular la pendiente de la recta tangente)? C3A 3.2. En el cálculo del valor final obtenido disminuyendo o aumentando un cierto porcentaje del valor inicial, es requerida más de una técnica? C3B 3.3. En el cálculo de la derivada de una función dada analíticamente predomina una técnica específica para cada tipo de función, por ejemplo la regla del cociente para funciones racionales? C3C 3.4. En la resolución de inecuaciones predomina la técnica algebraica (estudio algebraico del cambio de signo de la función) frente a la técnica que se apoya en el estudio de la gráfica de la función asociada? C3D Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar cuantos ejercicios de realización de una determinada tarea incluyen una sola técnica y cuantos sugieren la resolución de la tarea por una técnica diferente. 445 98 Portugal Tipo de tareas Ejercicios de realización con una con más de sola una técnica técnica Cálculo 112 2 porcentajes Cálculo 262 9 C3C algebraico de derivadas Resolución Algebraica Gráficamen C3D de mente te inecuaciones 28 33 de grado C3A Cálculo de la derivada en 435 80 un punto C3B Tipo de tareas Cálculo C3B porcentajes 43 37 Cálculo de C3C derivadas 952 8 C3D Resolución Algebraicamente Gráficamente de una inecuación 25 4 cuadrática Número de ejercicios - Portugal - Número de ejercicios - España - C3D C3D C3C C3C C3B C3B C3A C3A 0 200 técnica distinta España Ejercicios de realización con una sola con más de técnica una técnica 400 600 técnica priviligiada 0 técnica distinta 500 1000 técnica priviligiada Los gráficos reflejan claramente la gran cantidad de ejercicios que los libros de texto proponen para resolver una tarea por una sólo técnica (la privilegiada) y la menor cantidad de ejercicios que se proponen para resolver una tarea por más de una técnica o por una técnica distinta de la privilegiada. C4. No se invierten las técnicas para realizar la tarea “inversa” Bloque Conjetura 99 4.5. En la representación gráfica de funciones predomina la tarea de representar a partir de la expresión analítica en relación a la tarea “inversa” cuyo objetivo sea obtener una expresión analítica de la función a partir de la gráfica? C4A 4.1. En el estudio de funciones polinómicas, los libros de texto proponen buscar los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de las x. Será que proponen la tarea “inversa”:” buscar una función polinómica dadas sus raíces”? C4B 98 De los resultados del estudio efectuado en España, no se presenta aquí los referentes a la conjetura C3A por relacionarse con un tema no abordado en la enseñanza secundaria portuguesa (ver nota de pie de la Tabla 1). 99 Nos limitaremos a las funciones afines y cuadráticas. 446 4.2. y 4.3. En el estudio de sistemas de ecuaciones, predomina la técnica de resolución de sistemas (tarea directa) y no se realiza la tarea inversa de buscar sistemas de ecuaciones que tengan unas soluciones dadas de antemano (algebraicamente o geométricamente)? C4C 4.4. En el trabajo con el lenguaje algebraico, predomina la traducción del lenguaje natural al algebraico (tarea directa), frente a la traducción inversa de una expresión algebraica al 100 lenguaje verbal ? C4D Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar, para un determinado tema, cuantos ejercicios están relacionados con la tarea directa y cuantos sugieren la resolución por la tarea inversa. En esta cuarta conjetura las hipótesis C4A-C4D coinciden en los estudios efectuados en Portugal y España, por lo tanto, podremos proceder a la comparación de los resultados de recuento en los manuales escolares de todos los datos presentados en los gráficos siguientes: Portugal C4A C4B C4C C4D TAREA DIRECTA Representar la gráfica a partir de la expresión analítica 212 Resolver una ecuación polinómica 78 España TAREA INVERSA Expresar analíticamente una función a partir de la gráfica 59 Determinar una ecuación polinómica dadas las raíces 28 Determinar un Resolver un sistema de sistema de ecuaciones lineales a ecuaciones lineales partir de sus soluciones 150 2 Traducción del Traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico lenguaje algebraico al lenguaje natural 88 27 TAREA TAREA INVERSA DIRECTA Representar la Expresar gráfica a partir de analíticamente una la expresión función a partir de la analítica gráfica C4A 156 35 Resolver una Determinar una ecuación ecuación polinómica polinómica dadas las raíces 237 29 C4B Resolver un Determinar un sistema sistema de de ecuaciones lineales ecuaciones a partir de sus lineales soluciones C4C 516 1 Traducción del Traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico al lenguaje lenguaje natural algebraico 145 40 C4D Número de ejercicios Número de ejercicios C4D C4D C4C C4C C4B C4B C4A C4A 0 100 tarea inversa 0 200 300 tarea directa 200 tarea inversa 100 400 600 tarea directa En estas conjeturas específicas, C4C y C4D, hemos utilizado únicamente los libros de texto del 3.ºciclo de la enseñanza básica portuguesa (correspondiente a la ESO del sistema escolar español). 447 Los gráficos reflejan claramente la distancia que existe en los libros de texto consultados, entre la gran cantidad de ejercicios que se proponen para resolver la tarea directa y la menor cantidad de ejercicios que se proponen para resolver la tarea inversa. En consecuencia, las técnicas que serían pertinentes para realizar dichas tareas inversas están completamente ausentes de los manuales. En ambos países se observa en la conjetura C4C, una gran discrepancia entre el número de ejercicios presentes en los libros de texto referentes a la tarea directa “resolución de un sistema de ecuaciones lineales” (150 en Portugal y 516 en España) y a la tarea inversa “escribir un sistema de ecuaciones lineales conociendo sus soluciones” (2 en Portugal y 1 en España). C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización En el estudio efectuado con los libros de texto de la enseñanza de España por Cecilio Fonseca, en 2004, fueron establecidas conjeturas referentes a la existencia de pocas situaciones abiertas que exigen un trabajo de modelización utilizando inecuaciones (C5A), derivadas (C5B) o integrales (C5C). Los resultados fueron los siguientes: C5A C5B C5C Tipos de tareas (Problemas sobre) Total inecuaciones derivadas integrales 152 1957 1887 Incluyen alguna etapa de la modelización 22 176 132 Cecilio Fonseca observó que: “En los pocos casos en los que aparece alguna de las etapas de la modelización matemática ésta suele reducirse a la manipulación de un modelo dado en el enunciado de la tarea. Entre las casi 4000 tareas analizadas (todas las que hacen referencia a inecuaciones, derivadas e integrales) no hemos encontrado ninguna en la que el alumno tuviera que elegir por sí mismo cuáles eran las variables más adecuadas para modelizar un sistema (matemático o extra matemático) dado.” En el presente trabajo de investigación, el procedimiento de contabilización de los problemas fue efectuado de una forma diferente, ya que, en los manuales portugueses están presentes bastantes problemas de modelización. Así, consideramos que sería interesante, más que verificar si existen o no situaciones de modelización, contabilizar los problemas que sólo requerían la construcción de un modelo, los que sólo sugerían la manipulación del modelo ya construido y los que englobaban los dos procesos. Nótese que, en los manuales portugueses, fueron contados nada más los ejercicios referentes a problemas. Pretendemos así, en esta conjetura testar una única hipótesis: 448 En las PM que se estudian en Secundaria existen muy pocas situaciones “abiertas” que requieran un trabajo simultáneo de construcción y manipulación de un modelo. Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar, en cada uno de los siguientes temas: Derivada, Porcentajes, Funciones Polinómicas y Funciones definidas a trozos; cuantos problemas no incluyen la etapa de construcción o de manipulación de un modelo y cuantos sugieren esa misma tarea de construcción/manipulación; cuantos proponen simultáneamente, la construcción y manipulación del modelo y cuantos no inducen a este tipo de tareas. El registro de los resultados es presentado en la siguiente tabla: Construcción del modelo N.º de no incluyen Problemas Derivadas 96 Porcentajes 69 Funciones 27 polinómicas Funciones a 12 trozos Manipulación del modelo Construcción y Manipulación del modelo incluyen no incluyen incluyen no incluyen incluyen 51 1 20 69 127 1 96 69 51 1 55 24 58 49 33 5 3 14 12 5 A excepción del tema Funciones polinómicas, de todos los problemas existentes en los manuales escolares portugueses relacionados con los restantes tres contenidos fueron contabilizados un mayor número de problemas que no incluyen una etapa de construcción del modelo que los que incluyen esa tarea. Es de señalar la gran diferencia de resultados en los temas Derivadas y Porcentajes. Obsérvese que de los 147 problemas sobre derivadas sólo 20 no incluyen una etapa de modelización. Este elevado número de problemas con derivadas se refieren, mayoritariamente, a problemas de optimización. Concluimos así, que una gran parte de los problemas que incluyen alguna etapa de modelización esa etapa corresponde a la tarea de manipulación del modelo. De los 316 problemas analizados, en 204 problemas no está presente la tarea de construcción del modelo, sólo incluyen la manipulación. 449 Los datos101 representados en el grafico abajo reflejan claramente la diferencia de porcentaje de problemas que incluyen la manipulación de un modelo ya existente (63,29%) y el porcentaje de problemas que, además, incluyen la construcción del modelo (28,48%). Concluimos así que, de un modo global, en los problemas estudiados está más presente la tarea de manipulación de un modelo que la tarea relacionada con su construcción. Porcentage de problemas 100% 80% 35,44% 28,48% 64,56% 71,52% 63,29% 60% 40% 20% 36,71% 0% no incluyen incluyen 2.2. Segundo tipo de indicadores empíricos: las respuestas de los alumnos 2.2.1. Construcción de un cuestionario y descripción de la muestra Inicialmente efectuamos una adaptación del segundo cuestionario presentado en la tesis de Cecilio Fonseca (2004) a la situación de la enseñanza secundaria portuguesa. Fue necesario efectuar algunas alteraciones iniciales porque hay ciertas diferencias entre el diseño curricular de la enseñanza secundaria española y la portuguesa, especialmente a nivel del bachillerato. Actualmente, propuestas de ejercicios de racionalización de denominadores o cuestiones que incluyen integrales no son contemplados en el diseño curricular portugués y, consecuentemente, tampoco aparecen en los manuales escolares 101 Resultantes de la reunión de todos los datos referentes a los 4 temas. 450 portugueses. Eso ha provocado la necesidad de efectuar varias modificaciones, substituyendo algunos ítems por otros nuevos, principalmente en las dos primeras conjeturas. Para su realización no fue permitida la utilización de la máquina calculadora gráfica, porque en algunos ítems pretendíamos testar si el alumnado tenía dificultades en representar gráficamente una determinada función. Fue salvaguardado el anonimato de los estudiantes, únicamente se les solicitó la calificación de Matemática en final del último año para posteriormente efectuar un estudio con esos datos. La descripción y análisis detallado de los resultados de este primero estudio exploratorio pueden ser consultados en los anexos de la memoria de investigación (Lucas, 2010). Las limitaciones de este cuestionario nos llevaron a revisar algunos ítems para hacer un segundo estudio exploratorio un poco más completo que el primero. A las cuatro conjeturas añadimos una nueva referente a problemas de Modelización, que es un tema propuesto para estudiar y a profundizar en el Espacio Europeo. Como el objetivo de la investigación no consistía en una apreciación de conocimientos del alumnado, sino indagar si los alumnos están familiarizados con cierto tipo de tareas o enunciados, algunos ítems del cuestionario sufrieron modificaciones de forma que la formulación fuese más clara y, permitir así una mejor comparación de los resultados y un análisis más fiable de las conjeturas. Empezaremos agrupando los ítems del cuestionario por conjeturas y, dentro de cada una de ellas, por bloques de contenidos. Para cada uno de los bloques de contenido de cada conjetura, hemos seleccionado dos ítems que formarán parte del cuestionario. Conjetura Bloque 1.1. Cálculo de limites C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica Ítems correspondientes 1. Calcula 1.3. Derivación 1.4. Gráficas de funciones 2n 8 3n 5n 1 2n 20. Resuelve la ecuación . 31. Resolver la ecuación , donde es la incógnita y número real conocido (distinto de cero). 7. Derivar una función respecto a la variable x con un parámetro s. 26. Derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x. 30. Calcula 1.2. Álgebra lim n lim p 23(b). Representar gráficamente una función cuadrática f(x). 3. Representar gráficamente una función cuadrática t(p) función de p. 451 es un 2.1. Interpretación de la derivada 2.2. Límites de funciones C2. La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado 2.3. Continuidad 2.4. Derivada y su interpretación física 2.5. Límites y modelización 23 (a). Dada a función . Calcula f ’(1). 2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones : f(x) = 6x2+5 g(x) = 6x2+5000 Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]? 12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x3 – 100 x2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero por la derecha. (b) ¿Cuál de les dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta. 8. Estudiar la continuidad de la función . 19. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas) viene dado por ¿Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población? 11. La familia de rectas de la forma y = m (m constante arbitraria) pueden caracterizarse por y’ = 0. Qué interpretación física puede darse a la ecuación anterior? 23 (a). Dada a función . Calcula f ’(1). 13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado, son: V (t ) 30 e 1,8 t (a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito. (b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión. 23 (a). Dada a función . Calcula f ’(1). 21. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) en x=1 aparece en el siguiente dibujo. Calcula el valor de la derivada en x=1 sin conocer la expresión algebraica de la función. 3.1. Derivada: técnica algebraica/geométrica C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa 24. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te cuesta la moto. 5. ¿Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%? 5 14. Dada la función: f(x) = . (3x - 2)2 3.3. (a) Calcula su derivada. Derivación (b) ¿Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? En caso afirmativo, presenta la resolución por esa técnica. 9. Resuelve la inecuación (x – 1) (x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la 3.4. función asociada (sin hacer ninguna gráfica). Inecuaciones y funciones 27. Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) 0 dibujando la gráfica de la función cuadráticas asociada. 4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de las x en los puntos 4.1. siguientes (1, 0), (– 2, 0) y (3, 0). Funciones polinómicas 22. ¿En qué puntos la gráfica de f(x) = (x – 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las x? 6. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y : 2x-y+4=0; -4x+2y-8= 0 4.2. Sistemas de ec. lineales 25. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6). 3.2. Porcentajes 452 10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos. 4.3. Sistemas de ecuaciones lineales y geometría analítica 4.4. Álgebra elemental 25. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6). 17. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: “El producto de tres números pares consecutivos es igual a 1680”. 29. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN 23 (b). Representa gráficamente la función: f(x) = x2 – 4x. 28. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos. 4.5. Funciones cuadráticas C5. Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de modelización 15. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en todos los artículos y cargan el 16% de IVA (a) Calcular el coste final de un artículo que inicialmente vale x euros. (b) ¿Puedes calcular el coste final de un artículo aplicando a x una única operación? 18. Se desea construir una caja abierta de volumen V con un cartón cuadrado de 24 5.1. cm de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados hacia Construcción del modelo arriba. Expresa V como función de x. 33. Un obrero de la construcción trabaja a destajo. Cobra 50 euros la hora si el número de horas trabajadas a la semana es igual o inferior a 40, y por cada hora adicional, 80 euros. Escribe una función que represente lo que cobra dicho obrero en función de las horas trabajadas. 16. Un estudio de la eficacia del turno matinal (de 8 h. a 15 h.) de una fábrica demuestra que el número, Q(t), de unidades producidas (en un período de t horas) por -t3 5.2. un trabajador que llega a la fabrica a las 8 horas, es de Q(t) = + 2t2 + 12t unidades 3 Manipulación del modelo (en promedio). (a) Determine la expresión de su derivada. (b) ¿En qué momento de la mañana la eficacia es máxima? 32. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que mana de un grifo (en litros) viene dado por una función afín respecto del tiempo t (en segundos). Si en el primer segundo el agua recogida es de 3 litros, en el segundo es de 5 litros y 5.3. en el tercer segundo es de 7 litros, Construcción y (a) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t? manipulación del modelo (b) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en una hora? (c) ¿Cuándo arroja más agua por segundo el grifo: a los 10 segundos o a los 12 segundos? En cuanto a la selección de la muestra, hemos de decir que estuvo constituida por 51 estudiantes del último año de la enseñanza secundaria portuguesa y 29 estudiantes en inicio del primer año de la enseñanza universitaria de España. El estudio efectuado con los datos relativos a la calificación de Matemáticas al final del penúltimo año del 453 alumnado portugués y del último año del alumnado español es presentado en las siguientes tablas y gráficos circulares: Submuestra portuguesa Submuestra española Nota del año anterior Nota del año anterior Máximo Mínimo Media Mediana Desv. Típ. Máximo Mínimo Media Mediana Desv.Típ. 20 10 14,14 14,00 2,38 9,41 5,3 6,45 6,10 0,98 N=Nota frecuencia % N=Nota frecuencia % N < 10 0 0,00% N<5 0 0,00% 10 <= N <14 19 37,25% 5 <= N <7 19 82,61% 14 <= N < 18 28 54,90% 7 <= N < 9 3 13,04% 18 <= N < 20 4 7,84% 9 <= N < 10 1 4,35% Total 51 100,00% Total 23 100,00% Calificación del alumnado en el año anterior N < 10 8% 37% 55% Nota de selectividad del alumnado 13% 4% 10 <= N <14 14 <= N < 18 83% 18 <= N < 20 N<5 5 <= N <7 7 <= N < 9 9 <= N < 10 Por la observación de las tablas y gráficos podemos concluir que la distribución de las notas de los alumnos del penúltimo año de bachillerato en Portugal varía entre 10 y 20102, y la nota de selectividad de España entre 5,3 y 9,41 103, lo que significa que las clasificaciones son positivas y, por tanto, el alumnado representativo de la muestra debe estar bien adaptado al sistema de enseñanza. Nótese que 6 de los alumnos que constituyen la submuestra española no indicaron la nota de selectividad, probablemente porque no fueron sometidos a la referida prueba final del bachillerato. Así, sólo fueron estudiadas 23 notas de selectividad. Sin embargo, podemos señalar que cualquier de las submuestras está constituida mayoritariamente por alumnos medios/buenos, que no hay calificaciones negativas y que existe un pequeño porcentaje de alumnos que alcanzaran una clasificación con distinción de muy buena. En la subsección siguiente presentaremos los resultados obtenidos para cada una de las conjeturas como un resumen comparativo de las respuestas de los estudiantes a los 102 En Portugal la escala de clasificaciones en Bachillerato es de 0 a 20. Considerando una clasificación insuficiente cuando es inferior a 10, buena cuando superior o igual a 14 y muy buena cuando superior o igual a 18. 103 En España la escala de las notas de selectividad en el momento de la investigación variaban entre 0 y 10 (actualmente, con el nuevo sistema, ya varían entre 0 y 14). 454 diferentes ítems del cuestionario. La descripción detallada del análisis de los resultados obtenidos por bloques puede ser consultada en la memoria de investigación (Lucas, 2010). 2.2.2. Análisis de los resultados del cuestionario por conjeturas Primera conjetura C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura Portugal España Bloque ítem Bloque ítem Aciertos Diferencia 1.1. 1.2. 1.3. 1 94,12% 30 5,88% 20 86,27% 31 15,69% 7 35,29% 26 17,65% 23(b) 15,69% 1.4 3 29,41% 88,24% 1.1. 70,59% 1.2. 17,65% 1.3. -13,73% 1.4 1 100,00% 30 27,59% 20 86,21% 31 31,03% 7 62,07% 26 48,28% 23(b) 37,93% 3 34,48% Porcentaje de aciertos - Conjetura 1 - 55,17% 13,79% 3,45% Porcentaje de aciertos - Conjetura 1 - 86,27% 86,21% 100% 100% 80% 80% 35,29% 60% 20% 72,41% 100,00% 94,12% 40% Aciertos Diferencia 15,69% 17,65% 62,07% 29,41% 15,69% 40% 37,93% 48,28% 60% 27,59% 31,03% 34,48% 20% 5,88% 0% 0% 1.1. 1.2. 1.3. 1.1. 1.4 tarea no usual tarea usual 1.2. 1.3. tarea no usual tarea usual 1.4 A la excepción del último bloque, los resultados nos llevan a creer que las técnicas matemáticas portuguesas dependen más fuertemente de la nomenclatura que las españolas, lo que significa que la actividad matemática española es menos rígida que la portuguesa (en lo referente a la dependencia de la nomenclatura). Los resultados en el bloque 1.1. ponen de manifiesto que los estudiantes de España presentan más facilidad que los estudiantes de Portugal en calcular el límite de una sucesión constante relativamente a una variable representada por una letra diferente de la habitual (ítem 30). Podría explicarse aludiendo a que este contenido no forma parte de ningún de los 455 diseños curriculares y no hay ejercicios de este tipo en los manuales escolares portugueses. Relativamente al bloque 1.4., en ambos países parece no existir dependencia de la nomenclatura para la representación gráfica de una función. Fueron observados otros fenómenos que diferencian la actividad matemática desarrollada en los dos países. Al contrario de España, en Portugal no es frecuente la recurrencia a una tabla de valores para representar gráficamente una función cuadrática pero, por otro lado, los estudiantes portugueses desvalorizan el vértice de la parábola, presentando sólo un esbozo de la misma. Es muy relevante el hecho de que dicho esbozo de una parábola es frecuentemente utilizado en Portugal por el profesorado, surgiendo diversas veces en los libros de texto para la resolución de inecuaciones del segundo grado. Segunda conjetura C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado obtenido Portugal España bloque ítem Aciertos Diferencia bloque ítem Aciertos Diferencia 23a 82,76% 2.1 58,62% 2 24,14% 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 23a 90,20% 2 47,06% 12a 25,49% 12b 1,96% 8 64,71% 19 17,65% 23a 90,20% 11 17,65% 13a 80,39% 13b 45,10% 43,14% 23,53% 2.2 47,06% 12a 27,59% 12b 3,45% 8 41,38% 19 10,34% 23a 82,76% 11 0,00% 13a 65,52% 13b 13,79% 2.3 72,55% 2.4 35,29% 2.5 90,20% 90,20% 80,39% 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 64,71% 47,06% 45,10% 25,49% 17,65% 17,65% 1,96% 2.1 2.2 2.3 2.4 31,03% 82,76% 51,72% Porcentaje de aciertos - Conjetura 2 - Porcentaje de aciertos - Conjetura 2 - 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 24,14% 2.5 65,52% 41,38% 27,59% 24,14% 2.1 tarea no usual 82,76% 82,76% 3,45% 10,34% 2.2 2.3 tarea no usual tarea usual tarea usual 456 13,79% 0,00% 2.4 2.5 De un modo general las diferencias de aciertos en los bloques correspondientes a la segunda conjetura son semejantes en las dos submuestras. El porcentaje de aciertos al ítem 2 en Portugal es casi el doble de España. Los estudiantes portugueses interpretan más fácilmente la derivada como una variación de la función a que se refiere, porque el concepto de derivada es siempre introducido, y trabajado con insistencia, con la “tasa de variación media” como podemos constatar en el diseño curricular portugués. Es de referir la gran dificultad del alumnado de España en interpretar físicamente la derivada con el 0% de aciertos al ítem 11. A pesar de que la “Interpretación física de la derivada” consta en el diseño curricular del segundo curso de Matemáticas del bachillerato español. No tenemos datos relativos al número de ejercicios presentes en los manuales escolares de España que contemplan esta interpretación. Tercera conjetura C3. A cada tarea está asociada una técnica privilegiada Portugal España bloque ítem Aciertos Diferencia bloque ítem Aciertos Diferencia 3.1 3.2 3.3 3.4 23a 90,20% 21 52,94% 24 92,16% 5 70,59% 14a 60,78% 14b 31,37% 9 33,33% 27 27,45% 37,25% 3.1 21,57% 3.2 29,41% 3.3 5,88% 3.4 100% 92,16% 80% 60% 3,45% 24 96,55% 5 65,52% 14a 62,07% 14b 17,24% 9 24,14% 27 6,90% 33,33% 31,37% 79,31% 31,03% 44,83% 17,24% 96,55% 100% 62,07% 80% 52,94% 40% 21 82,76% 60,78% 70,59% 82,76% Porcentaje de aciertos - Conjetura 3 - Porcentaje de aciertos - Conjetura 3 - 90,20% 23a 65,52% 60% 27,45% 24,14% 40% 20% 20% 17,24% 3,45% 6,90% 0% 0% 3.1 3.2 3.3 3.1 3.4 tarea no usual tarea usual 3.2 3.3 3.4 tarea no usual tarea usual Relativamente al bloque 3.1., la diferencia de aciertos es muy superior en España que en Portugal, debida al 52,94% de aciertos portugueses al ítem 21 (tarea no usual) contra 457 3,45% de aciertos con la muestra española. Este hecho pone de manifiesto que los estudiantes de Portugal presentan más facilidad en determinar la derivada geométricamente que los alumnos de España. La interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto, es una tarea frecuentemente explorada por los estudiantes portugueses, correspondiendo a 80 ejercicios de “determinación de la derivada de una función en un punto” contabilizados en los manuales escolares portugueses. A pesar de que el porcentaje de aciertos portugueses al ítem 14b es casi el doble del porcentaje de aciertos españoles, en los manuales escolares portugueses no hay ejercicios relacionados con este tipo de tarea, ni el contenido es contemplado en los diseños curriculares. En el bloque 3.4., los estudiantes portugueses manifiestan tener más facilidad en resolver gráficamente una inecuación de segundo grado que los españoles, correspondiendo a los aciertos al ítem 27. Este resultado está plenamente de acuerdo con la proporción de ejercicios referentes a la “Resolución gráfica de una inecuación de grado igual o superior a 2” y a la “Resolución algebraica del mismo tipo de inecuación” que es de 33/28 en los manuales portugueses y de 4/25 en los manuales españoles. Cuarta conjetura C4. No ocurre reversión de las técnicas para realizar la tarea “inversa” Portugal España bloque ítem Aciertos Diferencia bloque ítem Aciertos Diferencia 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 22 66,67% 4 43,14% 6 13,73% 25 1,96% 10 88,24% 25 1,96% 17 19,61% 29 33,33% 23b 15,69% 28 19,61% 23,53% 4.1 11,76% 4.2 86,27% 4.3 -13,73% 4.4 -3,92% 4.5 458 22 51,72% 4 13,79% 6 27,59% 25 0,00% 10 20,69% 25 0,00% 17 37,93% 29 37,93% 23b 37,93% 28 10,34% 37,93% 27,59% 20,69% 0,00% 27,59% Porcentaje de aciertos - Conjetura 4 - Porcentaje de aciertos - Conjetura 4 88,24% 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 66,67% 43,14% 13,73% 4.1 1,96% 1,96% 4.2 4.3 19,61% 15,69% 33,33% 19,61% 4.4 4.5 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 51,72% 37,93% 37,93% 27,59% 20,69% 37,93% 13,79% 4.1 tarea no usual tarea usual 10,34% 0,00% 0,00% 4.2 4.3 4.4 4.5 tarea no usual tarea usual En los bloques 4.1. y 4.2. las diferencias son menores en Portugal que en España. Este hecho está de acuerdo con las distintas razones de ejercicios referentes a este tipo de tareas presentes en los libros de texto portugueses y españoles. Relativamente al bloque 4.1., la proporción de ejercicios referentes a la tarea inversa y a la directa es de 28/78 en los manuales portugueses y de 29/237 en los manuales españoles. Por eso los estudiantes de Portugal revelan más facilidad en “determinar una ecuación polinómica dadas las raíces” que los de España. Además, consta en el diseño curricular portugués del bachillerato la “descomposición de polinomios en factores”. El currículo de España sólo hace referencia al estudio de las funciones polinómicas, sin especificar la descomposición. Relativamente al bloque 4.2., la proporción de ejercicios referentes a la tarea inversa y a la directa es de 2/150 en los manuales portugueses y de 1/516 en los manuales españoles. La tarea de “determinar un sistema de ecuaciones lineales a partir de sus soluciones” no forma parte de los diseños curriculares. En el bloque 4.3. observamos una gran discrepancia de la diferencia de aciertos en Portugal en relación a España. Esta divergencia se debe al elevado porcentaje de respuestas correctas al ítem 10 asociado a una tarea muy familiar a los alumnos portugueses “dados dos puntos, escribir la ecuación de la recta que pasa por ellos” estudiada en los dos primeros temas del 10.º año. La Geometría Analítica destaca la determinación de las ecuaciones de la recta y el tema de “Funciones y gráficos” retoma dicha tarea. Las diferencias negativas en el bloque 4.4. y 4.5. revelan que los portugueses realizan con más facilidad las tareas inversas que las tareas directas. Las proporciones de ejercicios referentes a las tareas inversas y directas son de 27/88 y de 59/212 en los manuales portugueses, 459 respectivamente para el bloque 4.4. y 4.5. Esta comparación nos lleva a creer que, relativamente a la inversión de técnicas, la actividad matemática estudiada en la escuela portuguesa es menos rígida que la desarrollada en la escuela española. Quinta conjetura C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización Problemas 5.1. Construcción del modelo % aciertos % aciertos ítem Portugal España Porcentajes 15a 25,49% 27,59% Porcentajes 15b 37,25% 31,03% Func.polinóm. 18 23,53% 17,24% Func.polinóm. 32a 47,06% 58,62% Func. a trozos 33 1,96% 6,90% 27,06% 28,28% Media Problemas 5.2. Manipulación del modelo % aciertos % aciertos ítem Portugal España Derivadas 16b 15,69% 6,90% Derivadas 32c 27,45% 24,14% Func.polinóm 32b 45,10% 31,03% 29,41% 20,69% Media Problemas Porcentajes 15a 25,49% 27,59% Porcentajes 15b 37,25% 31,03% Func.polinóm. 18 23,53% 17,24% Func. polinóm. 32a 47,06% 58,62% Func. a trozos 33 1,96% 6,90% Derivadas 16b 15,69% 6,90% Derivadas 32c 27,45% 24,14% Func. polinóm. 32b 45,10% 31,03% 27,94% 25,43% Media Medias de porcentaje de aciertos Medias de porcentaje de aciertos - Portugal - - España - 100,00% 100,00% 80,00% 80,00% 60,00% 40,00% 20,00% 5.3. Construcción y manip. del modelo % aciertos % aciertos ítem Portugal España 60,00% 29,41% 40,00% 27,06% 27,94% 20,00% 0,00% 20,69% 28,28% 25,43% 0,00% manipulación Manipulación Construción Construción construción + manipulación Construción + Manipulación 460 Después de analizar las tablas y observar los gráficos concluimos que las medias de porcentajes de respuestas correctas a los ítems relacionados con problemas de modelización toman valores muy reducidos, inferiores al 30% del alumnado que constituyen las submuestras. Estos resultados llevan a creer que los estudiantes no dominan este tipo de problema, revelan dificultades en la interpretación del enunciado que traduce una situación extramatemática y cotidiana. También fue revelado anteriormente que los problemas que requieren la construcción y manipulación de un modelo no son frecuentes en los manuales escolares, por esa razón, los alumnos no están naturalmente acostumbrados a estas cuestiones. 461 462 Capítulo II Anexo C Algunas propuestas para la construcción de la derivada Este anexo corresponde a trabajo desarrollado inicialmente y relativo al Capítulo II de esta memoria. Consiste en describir algunas de las propuestas para la construcción de la derivada de diferentes investigadores en Didáctica de las Matemáticas y en el ámbito de distintas teorías didácticas. 463 (I) Claudio Dall’ Anese, en 2000, en su tesis de máster intitulada “Conceito de derivada: uma proposta para seu ensino e aprendizagem” se refiere a dos investigaciones relevantes en Brasil relacionadas con la didáctica del cálculo diferencial, en particular, con la introducción del concepto de derivada: Cassol en 1997 apunta conclusiones relativas al proceso de enseñanza-aprendizaje de la noción de derivada, examinando sus diversos significados: la derivada como un límite, como la pendiente de la recta tangente, como el resultado de la aplicación de una fórmula (regla de derivación), como velocidad y como tasa de variación. Observa que, a pesar de la mayoría de los manuales escolares reseñaren el significado geométrico de la derivada, los alumnos cometen errores tales como: designarla como la recta tangente, afirmar su existencia en puntos donde la función no es derivable. Considera que fue muy difícil la utilización del significado de tasa de variación instantánea para describir fenómenos. Villarreal en 1999 presenta sus comprensiones acerca de los procesos de pensamiento matemático de estudiantes universitarios de Cálculo que trabajan en ambiente computacional para abordar cuestiones relativas a la función derivada de una determinada función. Concluye que las tecnologías permiten que el alumnado desarrolle tanto la abordaje visual como algebraica, los procesos de pensamiento matemático de los estudiantes son caracterizados por juegos de conjeturas, refutaciones y no siguen caminos lineales sino, en red de significados. También refiere algunos efectos del contrato didáctico, entre los cuales: El efecto “Topázio” en que el profesor ejecuta las tareas en el lugar del alumno cuando este manifiesta dificultades, enseñando trucos, algoritmos y técnicas de memorización o analogías; El profesor no explora los problemas más difíciles y sólo las partes que el alumnado tiene más facilidad, valoriza participaciones que revelan pocos conocimientos y enmascara así, la existencia de algún fracaso (efecto “Jourdan”); El “deslizamiento metacognitivo” que consiste en considerar como objeto de estudio la técnica y no el saber a desarrollar. Por ejemplo, trabajar exhaustivamente las reglas de derivación y no desarrollar el estudio del significado de derivada de una función. (II) Mario Sánchez Aguilar, presentó en México, una secuencia para la introducción a la derivada en un contexto tecnológico-variacional. Esta propuesta se basa en la idea de variación, la cual es representada en contextos numéricos, físicos y gráficos. La representación y manipulación de las ideas matemáticas en Figura 4 – Designación de las listas juego durante el desarrollo de la propuesta se ven apoyadas en el uso de dispositivos tecnológicos tales como calculadoras gráficas y un sensor de movimiento, que se ha utilizado con estudiantes mexicanos para introducirlos al 464 concepto matemático de derivada en un contexto variacional. La propuesta pretende mostrar a los estudiantes la esencia de la derivada en un contexto numérico y además generar en los estudiantes significados físicos que motiven e ilustren la utilidad y la razón de ser de su estudio. Se ha tomado como componente central la idea de diferencia porque ha aparecido constantemente durante la génesis del Cálculo como una herramienta de análisis. Este experimento consiste en balancear un péndulo (construido con una botella de plástico y una cuerda) frente a un sensor de movimiento conectado a un sistema analizador de datos que registra la distancia en la cual se encuentra localizado el péndulo en diferentes instantes en el tiempo. Esos registros son agrupados en listas como sugiere la figura 1. Se les pide a los estudiantes para encontrar la ‘‘frontera’’ donde los valores de la lista 5 cambian de positivos a negativos y que después encuentren el número más cercano a cero en esta lista, como muestra la figura: Posteriormente deben encontrar en la lista 1 el valor que corresponde al encontrado en la lista 5 y localizar en la representación gráfica del experimento los números que encontraron en la lista 1 haciendo así, una articulación del contexto numérico con el gráfico y relacionar este último con el significado físico generado por el experimento. (III) Dolores, en 2000, también presentó una propuesta para introducir la derivada a través de la variación en México, que consistía en un diseño didáctico, que implicaba solamente la utilización de “lápiz y papel”, estructurado en 3 fases: 465 1. la fase preparatoria - en la cual se parte de la modelación de problemas sencillos de la física de donde se abstraen las nociones de variable y función, de éstas se estudian sus propiedades básicas y se resuelven problemas; 2. la fase de formación del concepto - se inicia a través la rapidez de la variación, particularmente de la velocidad y aceleración promedio. Después se llega a la rapidez instantánea mediante un acercamiento intuitivo al límite y mediante la utilización de los infinitesimales; 3. la fase de fijación - se amplía la extensión del concepto a funciones que no necesariamente dependen del tiempo introduciendo la definición de derivada, la noción de función derivada, se deducen (por medio de los diferenciales) y utilizan las fórmulas y reglas básicas de derivación, pero sobre todo se resuelven problemas tendientes a la fijación del concepto. Sin embargo, podremos deducir que Dolores (2000) relaciona la MF con el CDE, pero inversamente a lo que postulamos en la presente memoria de tesis, o sea, considerando la MF como herramienta para introducir el concepto de derivada y no estudiando el papel que el CDE puede jugar en el desarrollo de actividades de MF. En este trabajo, la autora también ha reseñado la existencia de evidencias empíricas que muestran las grandes dificultades de los estudiantes en entender que el límite de una familia de secantes es la pendiente de la tangente (Orton, 1977; Sierpinska, 1985) y que con este acercamiento no queda explícita la conexión entre la tangente geométrica que es un fenómeno estático y la derivada como concepto dinámico que cuantifica la rapidez con que varía una variable respecto de otra en un instante. Según Dolores (2000), en México el enfoque variacional sugerido por el grupo de trabajo que dirige el Dr. Ricardo Cantoral se propone remover el discurso matemático escolar desde el fondo, cambiando el papel principal que los cursos de cálculo confieren al concepto de límite y poniendo en su lugar a la variación física. No se sugiere tratar tan exhaustivamente las funciones, sino más bien las cantidades y las magnitudes, en este sentido se expresa: “...en el terreno de la enseñanza, tendemos hacia la reconstrucción de una didáctica del cálculo basada más en las intuiciones y vivencias cotidianas de los sujetos, mediante acercamientos fenomenológicos por lo que se atiende más al fenómeno en su relación con el concepto matemático que al concepto per se.” Cantoral R.; 1991; Proyecto de investigación: formación de la noción de función analítica; Mathesis Vol. 7, núm. 2, pp. 224 466 Este enfoque considera como núcleo organizador del discurso la idea de predicción para conocer las cantidades por medio de las variaciones y en el plano analítico se le confiere a la Serie de Taylor el papel central, pues se asume que la noción de predicción en los fenómenos de flujo continuo de la naturaleza se ubicó como la base de significación primaria. Según el mismo enfoque, ha surgido una propuesta de la Dra. Wenzelburger para la enseñanza del CD dirigida al nivel preuniversitario, en la cual se pretende que en su estudio se desarrollen métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar cambios, por lo que se asume a la razón de cambio como su concepto fundamental. Al concretar estas ideas, se parte de las razones de cambio promedio obtenidas del estudio de fenómenos de la vida diaria y se llega a la derivada como razón de cambio instantánea por medio de un manejo intuitivo del límite. En la rapidez de la variación encuentra su esencia el concepto de derivada. La derivada es una razón de cambio como la velocidad, como la aceleración, solo que la diferencia de la velocidad o aceleración medias, la derivada permite determinar cuánto cambia una variable respecto de otra en un instante, en un punto. No se trata de enseñar la derivada porque es un concepto matemático interesante sino porque resuelve muchos problemas de la variación. Así, considera tres nociones físicas fundamentales en el estudio de este concepto: la variación, la rapidez promedio de la variación y la rapidez instantánea de la variación (Dolores, 2000). (IV) Miguel de Guzmán en su manual escolar para la enseñanza secundaria (Bachillerato 3) propone una regla que puede simplificar la forma de calcular la derivada de una función en un punto. Consiste en la descomposición del proceso algebraico complejo del cálculo del límite procedimientos más simples para el estudiante: calcular incremento , en varios , después calcular el , determinar una expresión que defina el cociente y, al final, calcular el límite de una expresión mucho más simples. (V) Eduardo Tellechea, en 2004, construyó un trazador de derivadas con el programa de Geometría Dinámica Cabri, el cual permite al estudiante visualizar la derivada no sólo puntual, sino globalmente como una función. Siguiendo la misma técnica, presentamos una adaptación al GeoGebra: 467 Pasos para la construcción: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. El trazador de derivadas: Representar la función C(t), que se pretende derivar y definir 3 momentos , siendo el valor de variable. Trazar la secante a la función C que pasa por los puntos de abscisas . Trazar el segmento vertical como se muestra en la figura. Utilizar semejanza de triángulos para establecer la relación: Trasladar el vector para el punto , obteniendo así el punto P. La ordenada del punto P, representa la pendiente de la recta secante. El lugar geométrico que describe el punto P cuando se mueve sobre el eje de las abscisas, es la gráfica de la función pendiente de secantes La función derivada será el límite de la familia de funciones pendientes de secantes cuando . Figura 5 - Adaptación al GeoGebra del trazador de derivadas de Tellechea (VI) Richit et al, en 2010, presentaron un estudio exploratorio con estudiantes del primero curso de Geología de la Unesp/ Rio Claro (São Paulo) relativo a las contribuciones del Software GeoGebra en el estudio del cálculo diferencial e integral. La primera actividad propuesta trataba el estudio de la función lineal genérica, con la posibilidad de analizar su comportamiento con la manipulación de los valores de los parámetros. En la segunda parte abordaran conceptos relacionados con la continuidad de una función, en la cual estaba implícita la idea del límite. Los autores refieren que esta actividad fue interesante por permitir a los alumnos una rápida verificación de la continuidad de la función asociada a cada parámetro. En la tercera parte de la actividad fue explorado el concepto de derivada a partir de rectas tangentes, con el objetivo de verificar geométricamente el concepto de derivada. Richit et al. reseñan que el trabajo con parámetros, permitió visualizar la alteración de la inclinación de la reta tangente a la curva a partir de un punto. La última parte de la actividad versó sobre el concepto de integral, en la cual fue desarrollada una secuencia didáctica que permitió que el estudiante visualizase la “Suma de Riemann”. 468 Los autores concluirán que, más allá de proporcionar una mayor motivación e implicación de los estudiantes en las actividades exploratorio-investigativas, este trabajo propició un ambiente en lo cual los alumnos trabajaran los conceptos matemáticos por medio de las actividades solicitadas, buscando alternativas para solucionarlas, testando hipótesis/conjeturas y verificándolas con el auxilio del software. De acuerdo con Tall, Smith y Piez (2008), de todas las áreas de la matemática escolar, el Cálculo ha recibido la mayor parte del interés en el uso de la tecnología. Investigadores de todo el mundo trabajan actualmente en la creación de softwares gráficos para explorar conceptos del Cálculo, como los CAS Mathematica, Maple, Derive, Theorist y Mathcad, entre otros. Los autores describen: “[…] trabalhamos com os alunos um conjunto de atividades exploratório-investigativas na qual através do software GeoGebra foi possível criarem hipóteses e conjecturas a respeito de conceitos como a Derivada e Integral. Ou seja, aliar o trabalho com softwares educacionais e as atividades de natureza exploratório-investigativas, num curso de Cálculo, pode ser um caminho neste contexto da “nova educação”, para alcançar e ampliar a compreensão dos conceitos. […]” (VII) Roorda, Vos y Goedhart, en 2009, en Holanda, caracterizaron el concepto de derivada según tres representaciones y cuatro niveles. En una dimensión presentaron las tres representaciones matemáticas de la derivada (formula, gráfica y numérica) y en otra dimensión presentaron los tres objetos-procesos conectados con los cuatro niveles: Tabla 2 - Representaciones y niveles del concepto de derivada Según los autores, mediante un problema de aplicación, los estudiantes pueden elegir cuál de las representaciones matemáticas es más adecuada y útil para resolver determinado tipo de problema. Así, los estudiantes hacen una conexión entre un problema de aplicación y la representación matemática. En una segunda tabla, presentaron diferentes representaciones en contextos extramatemáticos como sigue: 469 Tabla 3 – Diferentes aplicaciones (VIII) Almeida y Viseu, en un estudio realizado en 2002, en Portugal, en el ámbito de la formación de profesorado en matemáticas, concluyeron que a pesar del estudio de diferentes abordajes del concepto de derivada (numérica, analítica o gráfica) para relacionar las diferentes formas de representación, de modo a evidenciar su significado y a tornar su aprendizaje significativo, los estudiantes manifestaran preferencia por el abordaje analítico en detrimento del abordaje gráfico. Así, verificaron esencialmente que los futuros profesores revelan dificultades en: relacionar los intervalos de monotonía de la derivada primera con el signo de la derivada segunda y, consecuentemente, tomar los ceros de esta como los extremos de la derivada primera; considerar los puntos de inflexión del gráfico de la derivada primera como extremos locales de la derivada segunda; tomar los puntos angulosos del gráfico de una función como puntos que no están presentes en el dominio de su derivada. A la semejanza de Tall (1977), Orton (1983), Artigue (1991), Ferrini-Mundy y Lauten (1994) e Asiala et al. (1997), los referidos autores reseñaron que la inexistencia de valores concretos en el gráfico que pudiese de alguna forma permitir al estudiante representar analíticamente la función y, a posteriori, derivarla/primitivarla y representarla gráficamente, parece estar en el origen de las dificultades detectadas. Por otro lado, insinúan que dichas dificultades son debidas a una capacidad visual muy pobre, a la incapacidad de articular múltiples condiciones en una misma cuestión y de relacionar la información gráfica con los conocimientos analíticos. Almeida y Viseu refieren que estas conclusiones apuntan en el sentido de la importancia de prácticas de enseñanza-aprendizaje de conceptos del Cálculo que integren simultáneamente abordajes gráficos y analíticos de forma a evidenciar significados y relaciones. 470 (IX) Pino-Fan, Juan Díaz Godino y Vicenç Font Moll, en 2011, presentaron una reconstrucción del significado para la noción de derivada utilizando las nociones de configuración epistémica y de significado holístico del “enfoque ontosemiótico” del conocimiento y la instrucción matemática, tiendo en cuenta los tipos de problemas abordados en distintos momentos históricos y los sistemas de prácticas correspondientes. La noción de configuración epistémica104 (CE) permitió reconstruir el significado global de referencia mediante la identificación de los significados parciales de la noción de derivada, a partir de los informes de investigación y documentos históricos del cálculo infinitesimal. Se trata de identificar y describir de manera sistemática, los objetos primarios (situaciones, lenguajes, conceptos, propiedades, procedimientos y argumentos) intervinientes en los sistemas de prácticas de los cuales emerge el objeto derivada. Así, los autores describieran nueve configuraciones epistémicas identificadas a lo largo del recorrido histórico de la derivada: la tangente en la concepciones cinemáticas para el el cálculo de matemática griega trazado de tangentes fluxiones (CE1) (CE4) (CE7) sobre la variación en la las ideas intuitivas de límite para el cálculo el cálculo de edad media de máximos y mínimos diferencias (CE2) (CE5) (CE8) métodos algebraicos para métodos infinitesimales en el cálculo de la derivada como hallar tangentes tangentes límite (CE3) (CE6) (CE9) 104 se componen de los objetos que intervienen y emergen de los sistemas de prácticas matemáticas en distintos contextos de uso. 471 De esta forma, el objeto derivada, a lo largo de su evolución histórica, ha adoptado nueve significados distintos (significados parciales), es decir, el objeto derivada se ha activado implícita o explícitamente en nueve subsistemas de prácticas cada uno de los cuales tiene una configuración asociada de objetos y procesos. Estas nueve configuraciones, a pesar de ser distintas entre sí, algunas de ellas tienen similitudes, de manera que se pueden relacionar. La consideración conjunta de los elementos, y sus relaciones, ilustrados en el esquema de la figura 4, es lo que conforma, primordialmente, el significado epistémico global de la derivada. En la base del esquema consideraran cronológicamente seis sistemas de prácticas/significados parciales que pueden verse como “primarios” en cuanto que, las configuraciones activadas en dichos sistemas (CE1, CE2, CE3, CE4, CE5 y CE6), tienen un carácter extensivo, es decir, se resuelven ciertos tipos de situacionesproblemas, con métodos y procedimientos particulares (ver Figura 3). 472 Figura 6 - Significado epistémico global de la derivada Los autores consideraron que es a partir del significado holístico de un objeto, que se determina cuál o cuáles serán los significados pretendidos, implementados y evaluados, en una práctica educativa específica. De esta manera, es indudable que el significado global de la derivada es pieza clave del conocimiento didáctico-matemático del profesor. Concluyen que los resultados aportados con su estudio pueden servir de punto de partida para el diseño de instrumentos de evaluación y desarrollo de conocimientos didácticos-matemáticos sobre dicha noción. 473 474 Capítulo III Anexo D Los currículos oficiales de las matemáticas en la enseñanza secundaria portuguesa a lo largo de los siglos XX y XXI En este anexo se describen los diferentes currículos oficiales de Matemática de la enseñanza secundaria portuguesa distinguidos por etapas históricas a lo largo del siglo XX y XXI. Posteriormente se efectuó un análisis de la presencia/ausencia del CDE en los currículos y, en particular, su posible relación con actividades de modelización. Los resultados de este análisis están presentados en la sección 4 del Capítulo III de esta memoria. 475 1. Las distintas etapas históricas de la enseñanza secundaria portuguesa A partir del siglo XX, como consecuencia de las diversas alteraciones en el sistema político portugués, de la inestabilidad y de la influencia de las diferentes corrientes pedagógicas provenientes de los otros países, ocurrieron sucesivas reformas del currículum de las matemáticas escolares portuguesas. En la tabla siguiente presentamos las principales modificaciones en el sistema político de Portugal hasta 1974: … - 1910 - Monarquia Constitucional 1910 - Instauração da Primeira República 1926 - Instauração da ditadura do Estado Novo de Salazar 1974 - Democracia (Revolución de Abril) Tabla1. Cuadro histórico del régimen político portugués hasta la Democracia. En particular, al analizar los programas/boletines oficiales correspondientes a las diferentes reformas curriculares se observan algunas diferencias a nivel de la posición, tipo de abordaje, profundización y desarrollo del CDE y de la MF en la estructura del programa oficial. Aires y Sierra, en 2005, han estudiado la evolución del concepto de la derivada a lo largo del siglo XX y distinguido algunas etapas históricas para la enseñanza de la Matemática en Portugal. En esta investigación hacemos una actualización y algunas modificaciones a esa distinción proponiendo una división en cinco105 etapas, como sigue: 1. La introducción del CDE en los currículos oficiales (1905-1963); 2. La reforma de las Matemáticas Modernas (1963-1974); 3. La ley de bases del sistema educativo (1974-1986); 4. La relevancia del CDE y el paso para el estudio de la MF (1986-2000); 5. El CDE y la MF en el currículo actual (2001-2013). 1.1. La introducción del CDE en los currículos oficiales (1905-1963) Según el trabajo de Aires y Sierra (2005), el concepto de derivada (y su interpretación geométrica) fue abordado por primera vez en los planes curriculares oficiales portugueses resultantes de la reforma de 1905, surgiendo en el capítulo del Álgebra de la siguiente forma: 105 En el capítulo III de la presente memoria aún fue efectuada una ampliación de dicha ampliación, añadiendo una sexta etapa y, consecuentemente, un análisis más profundo de la evolución histórica. 476 VII classe (atual 11.º año de escolaridade) Álgebra: Equação do 2º grau a uma incógnita: resolução e discussão. Composição da equação. Propriedades do trinómio do 2ºgrau. Resolução das desigualdades do 2ºgrau. Discussão de problemas do 2ºgrau. Equações biquadradas. Equações irracionais que se reduzem a equações do 1º e 2ºgrau. Sistema de duas equações a duas incógnitas, uma do 1ºgrau e outra do 2º. Função exponencial. Nova definição dos logaritmos. Noção de derivada; sua interpretação geométrica. Derivada de uma soma, de um produto de um quociente, de uma potência, de uma raiz. Derivadas das funções circulares. Revisões. Del currículo de la reforma de Eduardo José Coelho (30-08-1905) En la reforma de 1918, el Cálculo Infinitesimal asegura su independencia en relación al Álgebra, con un capítulo exclusivo en el cual se reseña la introducción del concepto de límite (antecediendo el estudio de la noción de derivada) y del concepto de integral (abordado solo en casos más sencillos): VI classe (atual 10º ano) Elementos de Cálculo Infinitesimal: Teoria dos limites. Teoremas sobre os limites da soma, produto e quociente. Derivada: importância desta noção. Derivada duma soma, dum produto, dum quociente, duma potência, duma raiz, duma função de função. Noção de integral (basta mostrar a existência em casos particulares). Aplicações. Del currículo de la reforma de Alfredo Magalhães (28-11-1918) Un año después surge una nueva reforma, en 1919, que sugiere un retardo del estudio de la derivada y sus aplicaciones, pasando a ser desarrollado en la sétima clase. También en 1921 ha ocurrido otra reforma sin grandes alteraciones o innovaciones en este ámbito de la matemática escolar. En 1926, el concepto de derivada vuelve a surgir en un capítulo de Algebra, pero ahora en la cuarta clase del siguiente modo: IV classe (Curso Geral) a) Continuação do estudo da álgebra: Sistemas de equações do 1ºgrau; sua resolução. Noção de número irracional. Radicais, suas operações. Generalização da noção de potência: expoentes negativos e fraccionários, expoente nulo. Equação do 2º grau a uma incógnita. Resolução, em casos simples, de problemas do 2º grau a uma incógnita. Equação biquadrada. Sistemas de duas equações a duas incógnitas, uma do 2º grau e outra do 1º. Noção de limite, apresentada por meio de exemplos da aritmética, da álgebra e da geometria. Noção de derivada. Del currículo de la reforma de Ricardo Jorge (2-10-1926) Con la reforma de 1930, el concepto de derivada vuelve a ser estudiado en la sexta clase en el capítulo de Álgebra pero, con un mejor encuadre. En 1936, como consecuencia del régimen político dictatorial, la instrucción fue desvalorizada ocurriendo una simplificación y una reducción de los contenidos matemáticos a explorar, en particular, del estudio de la derivada, de los límites y de la continuidad de funciones. De este modo se mantuvieron los programas de 477 matemática durante nueve años, y sólo con la reforma de 1947 el CDE reaparece en los currículos oficiales en dos capítulos de Álgebra de dos años de escolaridad consecutivos: en el sexto año se introduce la teoría de los límites y la continuidad y, en el séptimo año el concepto de derivada, haciendo una breve referencia a su interpretación en el ámbito de la Física: 6º ano (atual 10º ano) Álgebra: Noção elementar de variável e de função; expressão analítica de uma função; classificação das funções; funções inversas; representação geométrica de algumas funções. Infinitamente grandes; infinitésimos; infinitésimos simultâneos; teoremas relativos ao produto e à soma de infinitésimos. Limite de uma variável; limite de uma função; operações sobre limites. Noção elementar de continuidade de uma função. 7º ano (atual 11º ano) Álgebra: Análise combinatória - elementos distintos e sem repetição. Binómio de Newton. Números complexos a duas unidades; forma algébrica: igualdade, desigualdade e operações. Equação do 2º grau a uma incógnita; resolução algébrica e gráfica; discussão. Equação biquadrada; resolução algébrica; discussão. Transformação de um radical duplo na soma algébrica de dois radicais simples. Equações irracionais redutíveis ao 2º grau. Trinómio do 2º grau; representação gráfica; propriedades. Inequações: noções gerais e princípios de equivalência. Inequações do 2º grau a uma incógnita; inequações fraccionárias que se resolvem por meio de inequações do 1º grau ou 2º grau a uma incógnita. Problemas do 1º e 2º grau. O problema das tangentes e o das velocidades; noção de derivada de uma função num ponto; função derivada. Derivadas das funções algébricas e das funções circulares directas; derivada da função de função. Del currículo de la reforma de Pires de Lima (17-9-1947) Sin embargo, desde la reforma de 1926 hasta la reforma de 1947, las aplicaciones de la derivada fueron suprimidas del currículo oficial. En 1954 es reconocida la necesidad de reformular los currículos de matemática, en particular, de proponer el estudio del concepto de derivada en el 6º año como un seguimiento del cálculo infinitesimal, tal como había sido sugerido, por ejemplo, por Sebastião e Silva. 6º ano (Actual 10º ano) Álgebra: Breves noções sobre as sucessivas generalizações do conceito de número; representação geométrica do sistema dos números reais. Números complexos de duas unidades; forma algébrica; igualdade, desigualdade e operações. Noção elementar de variável e de função; expressão analítica de uma função; classificação das funções; funções inversas; representação geométrica de algumas funções. Infinitamente grandes; infinitésimos, infinitésimos simultâneos; teoremas relativos ao produto e à soma de infinitésimos. Limite de uma variável; limite de uma função; operações sobre limites. Noção elementar de continuidade de uma função. Derivada de uma função num ponto; função derivada. Derivadas das funções algébricas. Aplicação ao estudo da variação das funções nos casos mais simples. Propriedades dos polinómios inteiros. Adição algébrica, multiplicação e divisão de polinómios. Divisão por (x-a); polinómio identicamente nulo; polinómios idênticos; princípio das identidades; método dos coeficientes indeterminados; regra de Ruffini. Fracções algébricas. Símbolos de impossibilidade; símbolos de indeterminação; Verdadeiro valor de uma expressão que se apresenta sob a forma indeterminada . 478 1.2. La reforma de las Matemáticas Modernas (1963-1974) A la semejanza de las corrientes europeas, en 1963, se introducen las Matemáticas Modernas en la enseñanza portuguesa con la influencia de Sebastião e Silva, surgiendo la preocupación de recuperar ciertos temas y contenidos matemáticos que estaban omisos. Sebastião e Silva ha defendido que la enseñanza de las matemáticas servía para desarrollar el sentido crítico, la autonomía mental y el espíritu de investigación de los estudiantes. En los "Compêndios de Álgebra" recomendaba ejercicios de aplicación a la Geometría, a la Física y a la Técnica, y la inclusión de un capítulo dedicado al Cálculo Integral. Sugiere también el contacto con la noción de aproximación y de los métodos de aproximación, que domina todo el análisis numérico moderno, asociado al uso de computadores. Como respuesta a todas estas críticas, consideraciones y sugestiones de Sebastião e Silva, según Aires y Sierra (2005), el nuevo currículo pasó a abordar el estudio de la Lógica, la Teoría de los conjuntos, las Estructuras algebraicas, los Números Complejos, las Probabilidades, la Estadística, el Cálculo integral y el Cálculo Numérico Aproximado. Sin embargo, son mantenidos algunos temas “clásicos”, tales como, el Cálculo Diferencial, la Geometría Analítica y la Trigonometría y es retirada la Aritmética Racional. A partir de esta reforma la derivada se deja de abordar en el capítulo del Álgebra, pasando a ser de nuevo explorada en un capítulo exclusivo del Cálculo Diferencial en el 7º año: 7º ano (actual 11º ano) Capítulo I: Introdução ao Cálculo Diferencial 1. Cálculo Numérico Aproximado 2. Teoria dos limites de Sucessões 3. Limites de Funções de variável real 4. Derivadas: Conceitos fundamentais e regras de derivação. Conceito de diferencial; regras de diferenciação. O conceito de diferencial nas ciências da natureza. Derivadas das funções exponencial e logarítmica. Derivada da função logarítmica. Derivadas das funções circulares. Máximos e mínimos: concavidades e inflexões. Teorema de Cauchy. Método da tangente (ou de Newton). Método da corda (ou regra da falsa posição). Interpolação por diferenças finitas. Es de reseñar que, con esta reforma, surge por primera vez en los currículos oficiales de las matemáticas, la sugerencia para la determinación de los máximos y mínimos de una función. Con la reforma de 1973, según Ana Santiago (2008), la derivada continúa siendo abordada en el capítulo dedicado a la Análisis Infinitesimal en el 5º año (correspondiente al 7º año de la reforma anterior) y los programas hacen referencia, por primera vez, al estudio de las aplicaciones de las derivadas a problemas concretos. Esta reforma marca el fin del período dictatorial en Portugal, que ocurrió el 25 de abril de 1974. 479 1.3. La ley de bases del sistema educativo (1974-1986) En 1974 fueron publicados dos programas de Matemática: uno relativo a las Matemáticas Modernas y otro relativo a la Matemática Clásica. 2º ano (actual 11º ano) (Matemática Moderna) Introdução à Análise Infinitesimal 1.1 Cálculo numérico aproximado 1.2 Limite de sucessões 1.3 Limites de funções de variável real 1.4 Funções contínuas 1.5 Derivadas e primitiva: Derivada de uma função num ponto; significado geométrico. Derivabilidade e continuidade. Função derivada. Interpretação cinemática do conceito de derivada. Regras de derivação. Derivada da função inversa e derivada da função composta. Aplicações das derivadas: sentido da variação de uma função, concavidades, gráficos e problemas concretos. O problema da primitivação. Primitivação imediata e primitivação por decomposição. Aplicações simples do cálculo de primitivas. 1º ano (actual 11º ano) (Matemática Clássica) 2.7 As funções de variável natural. Limites de sucessões. Limites de funções de variável real: continuidade. Derivadas: definição de derivada de uma função num ponto e sua interpretação geométrica. Derivabilidade e continuidade (com demonstração). A função derivada. Regras de derivação, incluindo a derivada da raiz. Dedução nos casos da soma, produto, potência e derivada da função inversa. Aplicação a problemas de máximos e mínimos e representação gráfica de funções. En el programa relativo a las Matemáticas Modernas, las principales modificaciones estaban relacionadas con la introducción del estudio de las primitivas, de las aplicaciones de la derivada a problemas concretos y con el análisis del sentido de variación de una función. Con respecto al programa de las Matemáticas Clásicas (implementado en las clases que aún no seguían las matemáticas modernas), el estudio de la función derivada surgía en el capítulo del Cálculo, que sugería también que se estudiasen sus aplicaciones a problemas de máximos y mínimos y que se explorase la relevancia de la derivada como herramienta de auxilio a la representación grafica de funciones. Sin embargo, este programa era mucho más simplificado que el anterior programa de las Matemáticas Clásicas, tal como refería Aires y Sierra (2005) en una excerta del referido programa: “[…] reduz-se não só a matéria, como o número de demonstrações a exigir; a arrumação dos assuntos é diferente procurando-se encaminhar do mais simples para o mais complexo. […]” (Programa para o ano letivo 1974 -1975, p. 30) En 1979 y en 1980 fueron publicados nuevos programas para el 11.º y el 12.º año de escolaridad, respectivamente. El concepto de la derivada surge en el 11.º año en un capítulo exclusivamente dedicado al estudio de las derivadas, y también es abordado en el 12.º año en un apartado dedicado al Análisis Real en la cual solamente se introducen más reglas del CDE a fin 480 de completar el estudio efectuado en el año anterior con las derivadas de las funciones exponencial y logarítmica. 11º ano Derivadas de funções reais de variável real: 1. Derivada de uma função num ponto: significado geométrico. 2. Derivadas laterais: interpretação geométrica. 3. Derivabilidade e continuidade. 4. Função derivada. 5. Regras de derivação. 6. Derivada de uma função inversa. 7. Derivada de uma função composta. 8. Aplicações das derivadas. 12º ano 5. Complementos sobre derivação de funções reais de variável real: 5.1 Derivação das funções circulares e das ”funções”circulares inversas. 5.2 Derivação da função exponencial e da função logarítmica. 5.3 A noção de diferencial de uma função num ponto; interpretação geométrica; regras de diferenciação. Las aplicaciones de las derivadas solo eran estudiadas en el 11.º año de escolaridad. Según Aires y Sierra (2005), este programa para el 12.º año pecaba en dos aspectos: “[…] era demasiado extenso, o que fazia com que a maior parte dos professores não o conseguissem cumprir e além disso, tornava patente um desfasamento em relação às matérias estudadas no ensino superior. […]” (Aires & Sierra, 2005) Así, en 1983, fue elaborado un nuevo programa para el 12.º año de escolaridad que resultó sólo de la eliminación de algunos temas y cuyo objetivo consistía en facilitar el paso de Secundaria a la Universidad: “ […] Este programa pretende constituir uma ponte que facilite ao aluno a transição do aluno do Ensino Secundário para o Ensino Superior, reduzindo quanto possível uma descontinuidade que actualmente existe e que resulta principalmente da forma de tratar as matérias e do regime de trabalho. (Programas de 12ºano, p. 87, 1983) […]” (Aires & Sierra, 2005) Sin embargo, el capítulo dedicado al CDE no ha sido objeto de ninguna modificación o actualización. 1.4. La relevancia del CDE y el paso para el estudio de la MF (1986-2000) En 1986, como consecuencia de la publicación de la Ley de Bases del Sistema Educativo, los programas oficiales fueron un foco de alteraciones profundas debidas a la extensión de la escolaridad obligatoria y a la integración del 12º año a la enseñanza secundaria. En 1988, la reciente “Associação de Professores de Matemática (APM)”, ha emitido un documento titulado “Renovação do Currículo de Matemática” (APM, 1988), en el cual, se proponen actualizaciones en el proceso de enseñanza y aprendizaje, para intentar superar el fracaso de las matemáticas, en particular, la valorización, por primera vez en Portugal, de la 481 resolución de problemas y del recurso a las nuevas tecnologías. De acuerdo con Porfírio (1998), estas nuevas perspectivas y orientaciones contrastaban fuertemente con los programas que existían en esa época. Según Ana Santiago (2008), en 1988 el programa ha sufrido más una reducción, siendo suprimido el siguiente punto: “A noção de diferencial de uma função num ponto; interpretação geométrica; regra de diferenciação; resolução de questões aplicando o conceito de derivada.” En 1989 fueron publicados los “Novos Planos Curriculares dos Ensinos Básico e Secundário” que dieron origen a los nuevos programas para las diversas disciplinas. Así, en 1991, nacieron nuevos programas para las Matemáticas de la enseñanza secundaria, en los cuales se observó que el CDE, en particular, el estudio de las derivadas y de sus aplicaciones, era abordado en capítulos de Análisis denominados por capítulos de “Funções“que hacían, por primera vez, en las indicaciones metodológicas (según Santiago (2008)), una referencia explícita al trabajo de problemas de optimización en el 11.º y en el 12.º año. También es de destacar la referencia al estudio de la derivada segunda y la utilización de las primitivas en el cálculo de áreas. 11º ano 7. Funções-III-Limites. Derivadas. - Limites e continuidade de funções. - Derivação de funções racionais. Segunda derivada. - Aplicações. 12º ano 2. Funções-V-Complementos sobre Derivadas. - Derivada da função inversa e da função composta; aplicações. Derivadas sucessivas. Derivadas de funções implícitas. - Estudo de funções irracionais. 6. Funções-VI- Funções Trigonométricas em IR. - Fórmulas. Equações e identidade. - Seno, co-seno e tangente como funções de variável real. - Limites, continuidade, derivada, variação. - Primitivas imediatas: cálculo de áreas. En 2005, Aires y Sierra parecen pretender caracterizar las “materias” propuestas y descritas en el currículo oficial de las matemáticas de 1991 y, han hablado, implícitamente, de una ampliación progresiva de las organizaciones o praxeologías matemáticas: “[…] É de realçar que nestes programas se apostava numa organização progressiva das matérias, em particular da Análise, tendo por base a categoria de funções, isto é: no 11º ano eram estudadas as funções polinomiais e algébricas e, portanto, nesta fase o estudo e aplicações dos conceitos de limite, derivada e primitiva eram restringidos apenas a estas funções. De igual modo no 12º ano, em três momentos do programa, ampliava-se o leque das funções a estudar, que passa a englobar funções irracionais, funções trigonométricas e funções exponenciais e logarítmicas. […] O conceito de derivada é exactamente um exemplo em que o estudo é feito no 11º e 12º anos de uma forma sequenciada e ampliada.” (Aires & Sierra, 2005) 482 En 1997, con la introducción del uso obligatorio de las calculadoras gráficas en la enseñanza secundaria, fue necesario un ajuste del programa anterior. Así, el capítulo que engloba el estudio de la derivada pasa a designarse por “Introdução ao Cálculo Diferencial”. 11º ano 2- Introdução ao Cálculo Diferencial I-Funções Racionais e com Radicais. Taxa de variação/derivada: - Estudo de propriedades das Funções racionais do tipo f(x)=a+b/(cx+d); referência à hipérbole. - Aproximação experimental da noção de limite. - Operações com funções: soma, diferença, produto, quociente, composição. - Noção da taxa média de variação; noção da taxa de variação; interpretação geométrica e física. - Determinação da derivada em casos simples; aplicações. - Inversão de funções; funções com radicais quadráticos e cúbicos. 12º ano 2- Introdução ao Cálculo Diferencial II: - Função exponencial e função logarítmica de bases maiores que 1. Regras operatórias de exponenciais e logaritmos. Aplicações concretas. - Limite de função segundo Heine; propriedades operatórias sobre limites; limites notáveis. Indeterminações. Assímptotas. - Continuidade. Teorema de Bolzano-Cauchy e aplicações numéricas. - Funções deriváveis. Regras de derivação e derivadas de funções elementares. Segunda definição do número e. Segundas derivadas e concavidade. - Estudo de funções em casos simples. - Problemas de optimização. 3. Trigonometria e Números Complexos: - Funções seno, co-seno e tangente; estudo de propriedades; cálculo de derivadas. - Introdução histórica dos números complexos, através dos problemas da resolubilidade algébrica. - Complexos na forma algébrica e na forma trigonométrica. - Operações. - Domínios planos e condições em variável complexa. Hasta el final del siglo XX fueron estos los programas que estuvieran en vigor. 1.5. El CDE y la MF en el currículo actual (2001 - 2014) En 2001 y 2002 fueron homologados nuevos programas para la Matemática en la enseñanza secundaria portuguesa que entraron en vigor en el año lectivo de 2003/2004. Con esta nueva reforma fueron creadas tres nuevas disciplinas para el estudio de las matemáticas en la enseñanza secundaria que se mantienen hasta la actualidad. De acuerdo con la selección del curso/área a frecuentar por el alumno en la enseñanza secundaria, este podrá tener clases de Matemática A, Matemática B, o incluso, Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales. Esta división es hecha de la siguiente forma: - Matemática A: Cursos Científico-Humanísticos de Ciencias e Tecnologías e de Ciencias Socioeconómicas. - Matemática B: Curso Científico-Humanístico de Artes Visuales, Cursos Tecnológicos de Construcción Civil e Edificaciones, de Electrotecnia y Electrónica, de Informática, de Administración, de Marketing y de Deporte. 483 - Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales: 10º, 11º / 11º, 12º Años: Curso Científico-Humanístico de Ciencias Sociales y Humanas; 10º, 11º, 12º Años: Curso Tecnológico de Ordenación del Territorio y Medio Ambiente. De este modo, actualmente en Portugal existe más de un posible diseño curricular para cada año de escolaridad de la enseñanza secundaria portuguesa. Según Santos, Canavarro y Machado (2006), la diversidad de disciplinas en Matemática se debe a la búsqueda de una mayor adecuación de los estudiantes a las diferentes vías académicas o profesionales que pretenden seguir. Sin embargo, y de acuerdo con Rui Feiteira y Marília Pires (2008), es verdad que en varios cursos universitarios, principalmente del área de las ingenierías, admiten alumnos provenientes tanto de la vía de la Matemática A, como de la vía de la Matemática B, lo que convierte algo caótica la integración de los estudiantes que ingresan en el primero año de esas ingenierías. Paso a describir un caso concreto que yo he observado como profesora y que me ha chocado profundamente: muchos de los estudiantes de ciertas ingenierías, provenientes de cursos tecnológicos estudiaron en la enseñanza secundaria la Matemática B que, a su vez, en el ámbito del cálculo diferencial elemental (CDE) no engloba el estudio de la teoría de límites, ni tampoco el estudio de la función derivada con las respectivas reglas de derivación; así, esos mismos estudiantes al ingresar en la Universidad se sienten completamente perdidos cuando se enfrentan con el estudio del cálculo integral, en particular, con la integración impropia y con ciertos teoremas del cálculo diferencial avanzado (CDA). Esta desarticulación de las dos instituciones dificulta así, de una forma crucial, el paso de la enseñanza secundaria a la enseñanza universitaria de alumnos que injustamente no habían estudiado inicialmente ciertas praxeologías matemáticas. Los autores mencionados anteriormente reseñan que: “[…] Cada currículo tem a marca temporal de uma sociedade, mas também deve reflectir as necessidades dessa sociedade. A sociedade actual, em constante mudança, obriga a que a Escola responda e acompanhe essas mudanças, reflectindo e antevendo as necessidades dos alunos na sua inserção na sociedade. […]” (Feiteira & Pires, 2008) Así, se sigue la presentación de los diseños curriculares en dos cuadros que describen, respectivamente, la distribución de los temas de la Matemática A y de la Matemática B por los tres años de escolaridad de la enseñanza secundaria portuguesa: 484 Matemática A 485 Matemática B Es de reseñar que en el diseño curricular de la Matemática B, por un lado, el tema central se refiere a las aplicaciones y a la modelización matemática pero, por otro lado, no se estudia la función derivada, solo si hace referencia al estudio de la tasa de variación de una función en un punto. En el diseño curricular de la Matemática A, la modelización matemática es considerada un tema transversal, lo que significa que puede ser explorada en los diversos temas tales como en la Geometría, en la Trigonometría, en las Funciones o en el Cálculo Diferencial. En esta investigación nos concentraremos en el análisis del programa oficial de Matemática para los Cursos Científico-Humanísticos de Ciencias e Tecnologías y de Ciencias Socioeconómicas: 11.º ano (Matemática A) Tema II - Introdução ao Cálculo Diferencial I: Funções racionais e com radicais. Taxa de Variação e Derivada - Resolução de problemas envolvendo funções ou taxa de variação - Estudo intuitivo de propriedades das Funções racionais da classe f(x)=a+b/(cx+d), tanto a partir de um gráfico particular como usando calculadora gráfica. - Conceito intuitivo de limite, de +∞ e de −∞. 486 - Noção e cálculo de taxa média de variação; Noção e obtenção de taxa de variação; (valor para que tende a t.m.v. quando a amplitude do intervalo tende para zero) em casos simples. - Interpretação geométrica da taxa de variação; definição de derivada (recorrendo `a noção intuitiva de limite). - Determinação da derivada em casos simples: função afim, funções polinomiais do 2.º e 3.º grau, função racional do 1.º grau, função módulo. - Constatação, por argumentos geométricos, de que: i. se a derivada é positiva num intervalo aberto a função é crescente nesse intervalo e, se a derivada é negativa num intervalo aberto a função é decrescente nesse intervalo; ii. se a função é derivável num intervalo aberto e se tem um extremo relativo num ponto desse intervalo então a derivada é nula nesse ponto. - Funções definidas por dois ou mais ramos (cujo domínio é um intervalo ou união de intervalos). - Soma, diferença, produto, quociente e composição de funções no contexto do estudo de funções racionais, envolvendo polinómios do 2.º e 3.º grau. - Inversa de uma função. Funções com radicais quadráticos ou cúbicos. Operações com radicais quadráticos e cúbicos e com potências de expoente fraccionário. Simplificações de expressões com radicais (não incluindo a racionalização). 12.º ano (Matemática A) Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II: Funções exponenciais e logarítmicas - Função exponencial de base superior a um; crescimento exponencial; estudo das propriedades analíticas e gráficas da família de funções definida por f(x) = ax com a > 1 - Função logarítmica de base superior a um; estudo das propriedades analíticas e gráficas da família de funções definida por f(x) = logax com a > 1. - Regras operatórias de exponenciais e logaritmos. - Utilização de funções exponenciais e logarítmicas na modelação de situações reais. Teoria de limites - Limite de função segundo Heine. Propriedades operatórias sobre limites (informação); limites notáveis (informação). Indeterminações. Assímptotas. Continuidade. -Teorema de Bolzano–Cauchy (informação) e aplicações numéricas. Cálculo Diferencial - Funções deriváveis. Regras de derivação (demonstração da regra da soma e do produto; informação das restantes regras). Derivadas de funções elementares (informação baseada em intuição numérica e gráfica). Segunda definição do número e. Teorema da derivada da função composta (informação). - Segundas derivadas e concavidade (informação baseada em intuição geométrica). - Estudo de funções em casos simples. - Integração do estudo do Cálculo Diferencial num contexto histórico. - Problemas de optimização. Tema III –Trigonometria e N´úmeros Complexos. Funções seno, co-seno, tangente. Estudo intuitivo com base no círculo trigonométrico, tanto a partir de um gráfico particular, como usando calculadora gráfica ou computador. Estudo intuitivo de . - Derivadas do seno, co-seno e tangente. - Utilização de funções trigonométricas na modelação de situações reais. El programa de Matemática A del 12.º año sugiere la realización de trabajos de investigación individuales o en grupo acerca de la Historia del Cálculo Diferencial haciendo referencia a las contribuciones de algunos matemáticos tales como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anastácio da Cunha, Bolzano, Cauchy, etc., considerando obligatoria la referencia a José Anastácio da Cunha para abordar la historia de la Matemática en Portugal desde el tiempo de los descubrimientos hasta la actualidad. 487 Es de subrayar la supresión de muchas demostraciones del CDE, valorizándose cada vez más la intuición. Esas eliminaciones están implícitamente sugeridas con el uso repetitivo de las siguientes notas en el programa: “informação”, “informação baseada em intuição geométrica”, “informação baseada em intuição numérica e gráfica”. Con respecto a los problemas de optimización, el actual programa refiere que estos deben ser elegidos de modo tal que el alumno trabaje de una forma completa la modelización funcional, siendo una oportunidad para discutir con los alumnos el proceso de modelización matemática y su importancia en el mundo actual. Sin embargo, las indicaciones metodológicas del programa oficial sugieren que la modelización funcional (con funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas) puede ser explorada por un lado, con la calculadora gráfica usando, por ejemplo, la regresión estadística a partir de datos recogidos experimentalmente o en una base de datos, como, por otro lado, con el análisis algebraico de la adecuación de un modelo funcional ya sugerido por el profesor. En Lucas (2010), además del análisis de los currículos de matemática portugueses también analizamos los currículos oficiales de matemática de España y, observamos que, por un lado, consta en el diseño curricular del bachillerato de España el estudio de matrices, determinantes y el concepto de integral, en cuanto que en Portugal los referidos contenidos sólo son estudiados en la Universidad pero, por otro lado, la descomposición de polinomios en factores es bastante explorada en Portugal y no lo es en España. 2. Análisis de la evolución del CDE en el currículum portugués A lo largo del tiempo, el currículo portugués de Matemática fue foco de alteraciones muy relevantes en los temas propuestos y en los posibles abordajes de los mismos. Estas modificaciones en los currículos son debidas esencialmente a la necesidad de encuadrar y adecuar la Matemática a la sociedad y mantenerla constantemente actualizada. Como resumen del análisis de la evolución del CDE en el currículum portugués, en particular, de la presencia/ausencia del concepto de derivada y de los problemas de optimización, presentamos una tabla de Ana Santiago (2008), con las principales características de cada una de las reformas curriculares: 488 (Santiago, 2008) 489 490 Anexo E Contrastación empírica de las conjeturas C1-C10 (CDE-MF) en los manuales escolares de la enseñanza secundaria portuguesa Fueron utilizados algunos de los libros de texto de uso común en la enseñanza secundaria portuguesa para llevar a cabo una contrastación empírica de las 10 conjeturas caracterizadas en el Capítulo III mediante una descomposición de cada una de ellas en sub-conjeturas más fácilmente observables. De esta forma se podrán interpretar algunos de los principales rasgos de las organizaciones matemáticas escolares en torno a la modelización funcional y el cálculo diferencial elemental y, en consecuencia, una primera caracterización del modelo epistemológico específico de este ámbito dominante en la enseñanza secundaria portuguesa. 491 1. Selección de los manuales escolares “El libro de texto es un objeto tangible para el análisis de las transformaciones que vive el saber matemático al convertirse en objeto de enseñanza.” (Bravo & Cantoral, 2012) A fin de efectuar una elección de los libros de texto que pudiesen ser representativos de la actividad matemática desarrollada en la enseñanza secundaria portuguesa contactamos con el Ministerio de la Educación y Ciencia para consultar las listas106 de los manuales escolares de Matemática A adoptados en los últimos años lectivos: Ano ISBN Manual Editora 10º Ano 978-972-0-42056-5 Novo Espaço 10 - Matemática A Porto Editora 10º Ano 978-972-0-42090-9 Matemática A 10 Porto Editora 10º Ano 978-972-761-976-4 DESAFIOS 10.º Ano – Matemática A SANTILLANA-Constância 10º Ano 978-972-47-4229-8 Y - Matemática A 10º ano Texto Editores, Lda. 10º Ano 978-989-647-168-2 Matemática A - 10.º Ano Areal Editores, SA 10º Ano 978-989-23-0904-0 Aleph 10 Manual vol. 1 + 2 Asa Editores II, SA 10º Ano 978-972-680-746-9 Matemática A 10 Lisboa Editora 10º Ano 978-972-770-733-1 Realmat 10.º Ano Matemática A 10.º ano Plátano Editora, Lda. 11º Ano 978-972-0-42058-9 Novo Espaço 11 - Matemática A Porto Editora 11º Ano 978-972-0-42088-6 Matemática A 11 Porto Editora 11º Ano 978-972-47-4407-0 XeqMat 11 - Matemática 11º Ano Texto Editores, Lda. 11º Ano 978-989-708-085-2 DESAFIOS 11.º Ano – Matemática A SANTILLANA-Constância 11º Ano 978-972-47-4405-6 Y 11 - Matemática 11º ano Texto Editores, Lda. 11º Ano 978-989-23-1366-5 Aleph 11 - Matemática 11ºAno Asa Editores II, SA 11º Ano 978-989-647-298-6 Matemática A 11 Areal Editores, SA 11º Ano 978-972-680-826-8 Matemática Onze Lisboa Editora 12º Ano 978-972-41-4288-3 Espaço 12 A Asa Editores II, SA 12º Ano 978-972-0-42049-7 Matemática A - 12.º Ano Porto Editora 12º Ano 978-972-47-2782-0 XEQMAT 12.º Ano - Texto Editores Texto Editores, Lda. 12º Ano 978-972-627-822-1 Infinito A 12 Areal Editores, SA 12º Ano 978-972-47-2779-0 Matemática A 12.º Ano Texto Editores, Lda. 12º Ano 978-972-680-631-8 Lisboa Editora 12º Ano 972-0-42018-9 Matemática A - 12.º Ano Matemática - Livro de Texto - 12º Ano - (Curso Tecnológico) Porto Editora Tabla 7 - Lista de los manuales adoptados en el año lectivo de 2011/2012 106 Organizadas por orden decreciente de adopciones, con base en la estimativa del número de alumnos registrados en la "Base de Datos de los Manuales Escolares" del Ministerio de la Educación y Ciencia. 492 Adoção de Manuais escolares Enquadramento do processo de apreciação, seleção e adoção A Lei n.º 47/2006, de 28 de agosto e o Decreto - Lei n.º 261/2007, de 17 de julho, definem o regime de avaliação, certificação e adoção de manuais escolares. A adoção de manuais escolares é o resultado do processo pelo qual a escola ou o agrupamento de escolas avalia a adequação dos manuais certificados ao respetivo projeto educativo, tal como estabelece o art.º 16.º da Lei n.º 47/2006, de 28 de agosto. A adoção de manuais escolares pelas escolas e pelos agrupamentos de escolas é da competência do respetivo órgão de coordenação e orientação educativa. http://www.dgidc.min-edu.pt/ Después de consultar con varios profesores y de analizar las referidas listas, seleccionamos dos manuales de cada año de escolaridad, de diferentes editoriales y de diferentes autores, como los representativos y los que reflejan bien la actividad matemática desarrollada en Portugal en la enseñanza secundaria: Año de escolaridad Título Autores Editorial Año de publicación ISBN 10.º Matemática Dez Teresa Olga Duarte Jaime Pinheiro Filipe Lisboa Editora 2010 978-972-680-746-9 10.º Matemática A 10 Projecto Desafios Cristina Negra Emanuel Martinho Santillana Constância 2010 978-972-761-976-4 11.º Xeqmat 11 Cristina Viegas Francelino Gomes Yolanda Lima Texto Editores 2011 978-972-47-4407-0 11.º Matemática A 11.º M.ª Augusta Neves Albino Pereira Jorge Nuno Silva Porto Editora 2011 978-972-0-42088-6 12.º Novo Espaço 12 Belmiro Costa Ermelinda Rodrigues Porto Editora 2012 978-972-0-42065-7 12.º NiuAleph 12 Jaime Carvalho e Silva Joaquim Pinto Vladimiro Machado Edición de autor 2012 978-989-97839-0-4 Tabla 8 - Lista de los manuales escolares elegidos También analizamos algunos libros del profesor, en los cuales las editoriales dan recomendaciones. Observamos que en estos libros también se refleja la rigidez de las matemáticas que se proponen para ser enseñadas dado que, por ejemplo, no hay ninguna indicación o sugestión para que los profesores utilicen letras diferentes para designar la variable de una función, no se habla de tareas inversas, etc. Así, llegamos a la 493 conclusión de que el libro del alumno concuerda perfectamente con el contenido del libro del profesor. 2. Criterios de contaje de las tareas En términos generales, en el análisis de los manuales escolares y de algunos de los libros de ejercicios asociados a los respectivos manuales, fueron contabilizadas todas las propuestas de tareas que surgían al largo de los capítulos (denominadas por “tarefas propostas”, “exercícios” o “problemas”), las tareas que ya presentaban su resolución (denominadas por “tarefas resolvidas”, “exemplos” o por “exercícios resolvidos”) y las tareas finales de los capítulos (correspondientes a los ejercicios de consolidación y autoevaluación de conocimiento). Como la modelización funcional es transversal a diversos temas ha surgido la necesidad de analizar varios capítulos de diferentes volúmenes de los manuales escolares. El análisis ha englobado tanto las tareas de respuesta abierta o cuestiones de desarrollo, como las tareas de selección múltiple y en cada una de esas tareas fueron observados todos los apartados (o “alíneas”). Al contrastar empíricamente cada una de las sub-conjeturas surgirán criterios de contaje más específicos que describiremos a continuación. 3. Resultados de la contrastación de las sub-conjeturas en los manuales C1 (CDE): La práctica matemática escolar en torno a la modelización funcional (MF) y al cálculo diferencial elemental (CDE) depende fuertemente de la nomenclatura. Nótese que para esta conjetura, en las tareas de selección múltiple que presentaban como alternativas de respuesta, por ejemplo, cuatro gráficos de funciones cuya variable independiente estaba representada por la letra , sólo contabilizamos una vez la letra , aunque aparezca cuatro veces. 494 C1.1. En el cálculo de límites de funciones (o de sucesiones) predomina la letra x (o la letra n) para designar la variable. Ejemplo de tareas usuales: Resultados Ejemplo de tarea no usual: 1.1. Límites de funciones y de sucesiones en relación a: x/ n otra letra 1029 42 Es de reseñar que de entre las letras menos usuales para representar la variable, o sea diferentes de (en los límites de funciones) y de (en los límites de sucesiones), la más frecuente fue la letra , esencialmente utilizada en la determinación de la derivada por la definición. De las 42 tareas menos habituales encontramos 23 tareas (55%) de cálculo de límite de una función relativo a la variable En los manuales del 11.º año, no se calcula el límite de una función, pero se propone la determinación intuitiva de su valor relacionándolo con los infinitésimos, con los infinitamente grandes más habituales o con el . C1.2. En el cálculo de derivadas predomina la letra x para designar la variable independiente. Resultados Ejemplo de tarea no usual: 1.2. Cálculo de derivadas, la variable independiente es: x Otra letra 727 63 De las 63 tareas con una letra menos habitual encontramos 24 tareas de cálculo de derivada de una función relativa a la variable 495 y observamos que, mayoritariamente, esas tareas surgen asociadas al estudio cinemático, en particular, a la velocidad de un proyectil o de un cuerpo. C1.3. En la representación de gráficas de funciones predomina la letra x para designar la variable independiente. 1.3. Gráficas de funciones de CD+MF la variable independiente es: x otra 64 558 Se observa una grande rigidez en la letra que representa la variable independiente en una gráfica de una función y la razón puede estar relacionada con ciertas notas que surgen en los manuales escolares, tales como la presentada lateralmente. De las 64 tareas no usuales, 46 si refieren a la representación de la variable por la letra , que muchas de las veces describe el tiempo. C1.4. Para representar simbólicamente las funciones se utilizan principalmente las letras f, g y h. 1.4. Gráficas o expresiones de funciones de CD+MF1 representan las funciones por: f, g, h otra 1519 314 Ejemplo de tarea no usual: Sea R la función dada por: De las 314 tareas no usuales, 74 si refieren a la representación de la función por la letra . Mayoritariamente asociadas a tareas de modelización funcional, surgen también con alguna frecuencia las letras: (representando habitualmente una distancia), (representando una área), (representando un coste o una concentración), etc. Sin embargo, la rigidez en la nomenclatura es notable con la proporción de 314 sobre 1519 y es interesante subrayar que esta rigidez aumenta a medida que nos aproximamos al final de la enseñanza secundaria, o sea, se observó una mayor rigidez de 496 nomenclatura para representar funciones en los manuales escolares del 12.º año que en los manuales del 10.º o 11.º año de escolaridad. C1.5. Para designar la función derivada de una función f predomina el signo f’ en detrimento de otras designaciones posibles como D f o df/d x. 1.5. Gráficas o expresiones de derivadas f’ otra 482 4 Las 4 tareas con la nomenclatura menos habitual se refieren a la notación para representar la función derivada de una determinada función y esta notación parece surgir con el objetivo de relacionarla con la técnica asociada al uso de la herramienta de cálculo de la derivada de la máquina calculadora gráfica. Sin embargo, deberemos reseñar que no fueron consideradas en el análisis de esta subconjetura, porque no fijan explícitamente una nomenclatura, aquellas tareas en las cuales la notación no es impuesta por el propio manual escolar dejando al alumno la libertad para elegir la notación que pretende utilizar como, por ejemplo, la tarea: “determine la derivada de la función ”. Este estudio exploratorio además de permitir comprobar estas últimas sub-conjeturas también ha permitido observar que no son muy habituales, en los manuales escolares de la enseñanza secundaria portuguesa, las tareas que implican la distinción entre el papel de una variable y de un parámetro de una función como, por ejemplo, la tarea que consiste en determinar algebraicamente la derivada de la función .O sea, concretamente en este ejemplo, a pesar de que la letra que representa la variable es una letra usual (x), la presencia de un parámetro r en la expresión algebraica de la función (que no va a influenciar en ninguna forma la función derivada de la función w con respecto a x) podrá ser un obstáculo para el estudiante en el paso de la enseñanza secundaria a la universitaria. Por otro lado, la baja frecuencia de este tipo de tareas impide la articulación de la actividad matemática en torno al cálculo diferencial elemental con la actividad matemática desarrollada para el estudio del cálculo diferencial avanzado, en particular, para la determinación de las funciones derivadas parciales de una función con varias variables. 497 C2: No se asigna al alumno la responsabilidad de interpretar (ni de evaluar) el resultado obtenido al aplicar una técnica. C2.1. Determinar el límite de una función en un problema de modelización no suele incluir la interpretación del resultado en el contexto del sistema modelizado. Resultados Ejemplo de tarea que incluye la interpretación del valor del límite en el contexto del problema: 2.1. Límites de modelos Sin interp. do resultado Con interp. do resultado 8 18 Al contrario de lo esperado, 69% de las tareas de MF que implican el cálculo del límite de un modelo incluyen su interpretación en el contexto del problema. Es de reseñar que en el análisis de esta sub-conjetura contabilizamos los ejercicios/tareas de modelización extramatemática pero, también tareas de modelización intramatemática como, por ejemplo, la tarea siguiente: De la discusión de estos resultados, nos hemos confrontado con algunas dudas, en particular: ¿Los estudiantes que interpretan correctamente el resultado obtenido al aplicar una técnica (por ejemplo, de cálculo de límites o de derivadas) en un contexto extramatemático lo saben también interpretar intramatematicamente? ¿Las dificultades están relacionadas con la naturaleza o complejidad del modelo funcional? O sea, ¿los estudiantes interpretan de forma más adecuada el resultado 498 obtenido al calcular el límite de una función exponencial que el de una función racional? ¿Las tareas que implican la interpretación del límite de un modelo no están “preparadas” a priori para dar lugar a una cierta respuesta típica mayoritariamente asociadas a la interpretación de las asíntotas? Es importante señalar que, frente a las 18 tareas en las que se pide al alumno que calcule el límite de una función en el contexto de una situación de modelización (y que interprete el resultado en dicho contexto) se han encontrado más de mil tareas (ver subconjetura C1.1.) en las que se solicitaba al alumno que calculase el límite sin más. Por lo tanto, podemos afirmar que esta última es la tarea prototípica, en la enseñanza secundaria portuguesa, en lo que se refiere al cálculo de límites de funciones o de sucesiones. C2.2. El cálculo de la tasa de variación media de una función en un intervalo no suele incluir la interpretación del resultado en el contexto del problema. 2.2. TVM o velocidad media Sin interp. do resultado Con interp. TVM VM TVM VM 79 39 15 1 Analizamos las tareas relacionadas con la determinación de la tasa de variación media (TVM) y también las que se refieren a su interpretación física como velocidad media (VM). Al lado presentamos un ejemplo de una tarea poco frecuente en los manuales escolares que incluye la interpretación del valor de la TVM. 499 C2.3. El cálculo de la derivada de una función no suele incluir la interpretación del resultado en términos de variación de la función. 2.3. Cálculo de derivadas Sin interp. del resultado como variación 770 Con interp. 20 Ejemplo de tareas no usuales que incluyen la interpretación del valor de la derivada como una variación: Algebraicamente: Gráficamente: C2.4. En los problemas de optimización no es frecuente que aparezcan cuestiones sobre el significado, en el contexto del problema, del valor óptimo obtenido. 2.4. Problemas de optimización Sin interpretación del valor óptimo en el contexto del problema Con interpretación 157 10 Ejemplo de tareas no usuales que incluyen la interpretación del valor del extremo en el contexto del problema: 500 C2.5. La interpretación en el contexto de un sistema modelizado del valor de la derivada segunda está prácticamente ausente de la matemática escolar. 2.5. Modelos y derivada segunda (12.º ano) Sin interpret. del valor de f ’’ en el contexto Con interpret. 16 0 Presentamos un ejemplo de tarea que aparece en un libro de texto en el que la interpretación del valor de la derivada segunda sería útil para mejorar el conocimiento del sistema modelizado: En este caso particular, si la última cuestión fuese presentada a un alumno (“futuro ingeniero”) acostumbrado a interpretar el valor de la derivada segunda en el contexto de un sistema modelizado, este podría rápidamente concluir (utilizando, por ejemplo, una técnica automática) que el caudal de agua no sería constante, al determinar la expresión algebraica de la función derivada segunda: 501 , con O sea, al observar que la segunda derivada no es igual a cero, constataría que la correspondiente derivada primera (caudal) no sería constante. Además, el signo negativo de la derivada segunda permitiría aportar más información acerca del comportamiento del sistema, concretamente, información relativa a una desaceleración en el proceso de henchimiento del depósito de agua. C3 (CDE): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE se asocia a cada tipo de tareas, de manera autoritaria y arbitraria (desde el punto de vista del alumno), una técnica privilegiada. Por lo tanto, dada una tarea matemática, el alumno no tiene criterios matemáticos para elegir entre diferentes técnicas potencialmente útiles. C3.1. Para calcular la derivada de una función expresada como cociente de dos funciones (f /g) se ha impuesto la técnica que se expresa mediante la fórmula (f /g)’ = (f’g - fg’)/g2 incluso en los casos en los que se dispone de técnicas claramente más económicas (por ejemplo, en el caso en que f o g son constantes). 3.1. Cálculo de derivada de f /g (mismo cuando f o g son constantes) Técnica do cociente (f /g)’ = (f’g - fg’)/g2 otra 100 4 Ejemplo de tarea usual: 502 Ejemplo de tarea no usual: En el 11.º ano, los alumnos no conocen aún la técnica del cociente, luego para derivar, por ejemplo, las funciones definidas por transforman siempre el cociente en potencia y utilizan la técnica de la potencia. En el análisis de los manuales también encontramos 5 tareas que exigen la utilización de la técnica que consiste en escribir la expresión algebraica de la función racional en la forma , convertir el cociente en potencia y solo después proceder a la derivación de la función. Podremos observar dos ejemplos de este tipo de tareas en los ejercicios 12.5. y 12.6: El gran problema es que estas técnicas son estudiadas en el 11.º año y no son recuperadas o retomadas en el 12.º año, a fin de comparar su ámbito y utilidad con el de la técnica de la derivada del cociente. Así, los alumnos olvidan esta técnica en el 12.º ano. C3.2. Son muy escasas las tareas que requieren explícitamente que se conjuguen dos técnicas diferentes (como, por ejemplo, técnicas gráficas y algebraicas) para estudiar una función. 107 3.2. 2 técnicas para estudiar una función de CD+MF (variación, ceros, monotonía, TVM, paridad, inyectividad, continuidad, límites, derivada, etc.) 1 solo técnica Conjugación de 2 técnicas diferentes para resolver la misma tarea Algebraica (expr. Analítica) gráfica 1331 521 30 En la tarea siguiente el estudiante tiene libertad en la selección de la técnica a usar, que podrá ser una técnica algebraica o grafica, o incluso, la conjugación de las mismas: 107 modelos racionales, trigonométricos, trozos, geométricos. 503 En esta tarea, por el contrario, las técnicas a utilizar son impuestas al estudiante: C3.3. En el cálculo de la función derivada de las funciones exponenciales y potenciales predomina la regla dada por las fórmulas (b f(x))’ = b f(x)·ln(b)·f’(x), (f(x)a)’=a(f(x)a1 )·f’(x) en detrimento de la técnica de la derivación logarítmica (mucho más general) y no algorítmica. 3.3. Derivada de las funciones exponenciales y potenciales (b f(x) )’ = b f(x) 86 ·ln(b)·f’(x) a a-1 12.º (f(x) )’=a(f(x) )·f’(x) técnica de la derivación logarítmica (mucho más general) 296 0 Para contrastar empíricamente ésta sub-conjetura buscamos en los manuales escolares portugueses tareas que implicasen la utilización de la técnica de la derivación logarítmica que es una técnica más amplia, cuyo ámbito abarca diferentes tipos de funciones lo que le podría conferir una mayor validez, en particular, permitiría reducir el trabajo de dos técnicas particulares y bastante algorítmicas (técnica de la derivada de la función exponencial y de la función potencial) a una única técnica más general y mejor justificada (la técnica de la derivación logarítmica) de la siguiente forma: 504 Derivación logarítmica Derivada de las funciones exponenciales Derivando ambos miembros resulta: Derivada de las funciones potenciales Derivando ambos miembros obtenemos: Tal como habíamos previsto la técnica de la derivación logarítmica está completamente ausente en los manuales escolares de la enseñanza secundaria portuguesa. Ejemplo de tarea habitual: C3.4. En Secundaria, para calcular los extremos relativos de una función se ha impuesto la técnica de calcular los ceros de la función derivada. 3.4. Calcular los extremos relativos Calculando los ceros de la función derivada Mediante otra técnica 161 61 De las 61 tareas no usuales, 46 se refieren a la técnica relativa a la utilización de la calculadora gráfica. Es de reseñar que en el análisis de esta sub-conjetura, para que la contrastación fuese válida, sólo analizamos las tareas que surgían después del estudio de la función derivada, o sea, no fueron contabilizados los ejercicios del 10.º año una vez que, a ese 505 nivel de escolaridad, los estudiantes aún no conocían la técnica de determinar los extremos relativos de una función a partir de los ceros de la función derivada. C3.5. La única técnica que existe para buscar los extremos de una función en puntos donde la derivada no existe es la técnica gráfica. 3.5. Extremos en puntos donde la derivada no existe. técnica gráfica Otra técnica 16 7 Mayoritariamente surgen tareas de este tipo, en las cuales se da libertad al alumno para elegir la técnica que pretende utilizar: En algunas tareas, por el contrario, la técnica a utilizar es impuesta al alumno: Observamos que el 86% de las tareas de determinación de los extremos en puntos donde la derivada no existe que implican la resolución por una técnica diferente de la gráfica (menos usual), corresponden a tareas semejantes a las de este último ejemplo, esto es, para resolver por recurrencia a las derivadas laterales de la función. Encontramos pocos ejemplos de tareas en que se propone que se utilice un método analítico para mostrar que una determinada función presenta un extremo en un punto donde no existe derivada y que se verifique, a posteriori, tal resultado representando gráficamente esa misma función. Ilustramos la situación descrita con un ejemplo de una tarea resuelta de este tipo observada en los manuales escolares y también la situación más habitual de resolución por la técnica gráfica: 506 Tareas resueltas Método analítico Método gráfico C4 (CDE): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no se invierten las técnicas para realizar tareas inversas. C4.1. En la matemática escolar es habitual la tarea de calcular los ceros, los extremos y los puntos de inflexión de una función polinómica, pero no suele aparecer la tarea inversa consistente en escribir la expresión analítica de la función polinómica dados sus ceros, los extremos y demás datos necesarios para determinarla. 4.1. Función polinómica calcular los ceros, los extremos y los puntos de inflexión a partir de la expresión algebraica escribir la expresión de la función dados sus ceros, los extremos y demás datos necesarios 133 2 Ejemplo de tarea no habitual: Al analizar las 135 tareas que incluyen funciones polinómicas solo encontramos 2 tareas que requerían que el estudiante encontrase la expresión de la función conociendo algunas de sus características. C4.2. En la introducción del cálculo diferencial aparece la tarea de determinar la tasa de variación media de una función en un intervalo, pero está prácticamente ausente la tarea “inversa” de determinar (en casos sencillos) una posible expresión algebraica de la función a partir de la tasa de variación media en un intervalo. 507 4.2. Introducción del cálculo diferencial Calcular la TVM de una función en un intervalo determinar una posible expresión de la función a partir de la TVM en un intervalo (genérico o no) 104 2 Ejemplos de tareas poco habituales: 1. La tasa de variación media de una función en el intervalo es constante e igual a 5. Indique una expresión algebraica de la función en ese intervalo. Es única? 2. Dada la , cual es la función principal? Sin embargo, encontramos un ejemplo de una tarea que consistía en esbozar un posible gráfico de la función a partir del conocimiento de valores de la TVM en intervalos concretos: C4.3. En los manuales de la enseñanza secundaria portuguesa ha desaparecido completamente el juego entre la derivada y la anti-derivada puesto que prácticamente no existe la tarea de calcular la expresión analítica de una función de la que se conoce su derivada. 4.3. Derivada calcular la derivada de una función calcular la expresión de una función a partir de su derivada (anti-derivada) 742 3 Procuramos tareas que implicasen la determinación de la expresión de la función a partir de su derivada dada gráficamente o dada analíticamente. Encontramos 2 tareas semejantes a: “Sabiendo que 508 , determine ” En esa investigación, también solo encontramos 3 tareas semejantes a la siguiente: “Esboce un posible grafico de la función f admitiendo que la recta definida por y=x-3 es la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa 0.” Lo que podría sugerir una nueva conjetura relativa a la determinación grafica de la anti-derivada partiendo de la derivada presentada en la forma algebraica, en este caso particular, como pendiente de la recta tangente (interpretación geométrica da derivada). C4.4. En los manuales escolares es muy habitual la tarea de representar gráficamente una función a partir de su expresión analítica pero (fuera de las funciones lineales y cuadráticas) está prácticamente ausente la tarea inversa consistente en recuperar la expresión analítica de la función conocida su gráfica (completada con algunos datos expresados sobre dicha gráfica). 4.4. Funciones no lineales, ni cuadráticas (CD + Modelos) representar gráficamente una función a partir de su expresión analítica recuperar la expresión de la función conocida su gráfica (con algunos datos sobre dicha gráfica) 229 18 Al analizar esta sub-conjetura buscamos tareas con funciones racionales, irracionales, trigonométricas, definidas a trozos, polinómicas de grado mayor o igual a 3, exponenciales, logarítmicas y, observamos muy pocas tareas de este tipo: C4.5. En los manuales escolares predomina la tarea de representar gráficamente una función a partir de la gráfica de su función derivada sobre la tarea inversa de representar gráficamente la función derivada a partir de la gráfica de la función. 4.5. Derivada representar gráficamente una función a partir de la gráfica de su función derivada representar gráficamente la función derivada a partir de la gráfica de la función (anti-derivada) 40 40 509 Por un lado contabilizamos 40 tareas que piden la representación gráfica de la función derivada a partir de la gráfica de la función, siendo 6 de ellas las ilustradas: Este tipo de tareas surgen aún con más frecuencia como ejercicios de selección múltiple. Por otro lado, también contabilizamos 40 tareas que piden para representar gráficamente una función a partir de la gráfica de su función derivada como, el ejemplo al lado: De acuerdo con los resultados obtenidos no tenemos condiciones para caracterizar una de las dos tareas como la más usual o con mayor predominancia en los manuales escolares, una vez que, estas tareas surgen de un modo equiparado. Sin embargo, es de reseñar que la tarea que consiste en “representar gráficamente la función derivada a partir de la gráfica de la función” surge siempre en primer lugar en los manuales escolares, lo que podría significar que los autores la consideran más 510 sencilla que la tarea de “representar gráficamente una función a partir de la gráfica de su función derivada” (obviamente que estamos suponiendo que los autores procuran siempre secuenciar las tareas por niveles de complejidad creciente). Creemos que la misma frecuencia de las dos tareas citadas puede estar relacionada con la existencia de una técnica específica en la enseñanza secundaria portuguesa. Esa técnica consiste en traducir la información presentada en la gráfica de una función a una tabla que relaciona el signo de su función derivada con la monotonía de esa función, que así permita que se pueda presentar con facilidad un posible esbozo del gráfico de la función derivada basada en la variación de sus signos. Una vez dominada la técnica descrita y, como este proceso es pasible de ser revertido, parece que la propuesta (en los manuales) de una de las tareas citadas o de su inversa podrá venir a revelar la misma dificultad para el estudiante. C5 (CDE): En el ámbito de la MF y del CDE no existen situaciones de modelización funcional en las que se requiera la construcción efectiva del modelo (más allá de su manipulación y aplicación) y sea imprescindible la interpretación del trabajo del modelo en términos de variación de una variable del sistema modelizado respecto de otras. Fueron analizados todos los tipos de modelos matemáticos o extramatemáticos trabajados en la Secundaria portuguesa, clasificados según la función asociada (modelos lineales, polinómicos, racionales, trigonométricos, definidos a trozos, irracionales, exponenciales y logarítmicos) o según su forma de representación (modelos algebraicos, geométricos, variacionales, tabulares, gráficos o una composición de estos). De un modo general, buscamos en los manuales escolares situaciones problemáticas abiertas que conduzcan al desarrollo de una actividad matemática completa, o sea, tareas semejantes a esta: 511 O semejantes a estas: 512 C5.1. En los manuales escolares aparecen muy pocas situaciones que requieran explícitamente la construcción del modelo funcional, siendo especialmente escasas las que requieren la construcción de un modelo funcional a partir de datos discretos. 5.1. Modelización funcional Sin construcción del modelo Con construcción del modelo 444 140 Observamos que en una gran parte de las tareas de MF presentes en los manuales escolares de la enseñanza secundaria portuguesa el modelo funcional ya es dado al estudiante y la actividad matemática reside esencialmente en la manipulación de ese mismo modelo. Sin embargo, es de distinguir que, de las 444 tareas que no implican la construcción del modelo: 102 pedían mostrar que una determinada función dada algebraicamente podría modelizar la situación. 15 pedían mostrar que una determinada función dada gráficamente podría modelizar la situación. De las 140 tareas que implican la construcción del modelo, observamos que: 127 pedían construir un modelo algebraico funcional que pudiese modelizar la situación. 8 pedían construir un modelo grafico funcional que pudiese modelizar la situación. solo 5 pedían construir un modelo grafico funcional recorriendo a la interpolación de dados de una tabla dada. Para describir mejor y clarificar la caracterización de la actividad matemática dominante relativa esencialmente a la MF en la enseñanza secundaria portuguesa, presentamos algunos ejemplos de tareas de modelización funcional contabilizadas en la contrastación de esta sub-conjetura: 513 modelo algebraico-funcional modelo grafico-funcional (que no requieren la construcción del modelo) Tareas no habituales T