Una posible «razón de ser» del cálculo diferencial elemental

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Departamento de Matemática Aplicada I
Programa de doctorado Técnicas Matemáticas Avanzadas y sus Aplicaciones
UNIVERSIDADE
DE VIGO
Una posible «razón de ser»
del cálculo diferencial elemental
en el ámbito de la modelización funcional
Catarina Oliveira Lucas
Vigo, 2015
Esta Tesis Doctoral fue defendida el día 18 de diciembre de 2015, en la Escuela
Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Vigo, obteniendo la calificación de
SOBRESALIENTE CUM LAUDE, ante el Tribunal compuesto por :
Presidente :
Dra. Dna. Michèle Lanne Artigue
Doctora
Laboratoire de Didactique André Revuz
Université Paris Diderot
Vocal :
Dr. D. Tomás Jesús Recio Muñiz
Catedrático de Universidad
Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación
Universidad de Cantabria
Secretario :
Dr. D. Manuel Pérez Cota
Catedrático de Escuela Universitaria
Departamento de Informática
Universidad de Vigo
Una posible «razón de ser»
del cálculo diferencial elemental
en el ámbito de la modelización funcional
Catarina Oliveira Lucas
Memoria para optar al Grado de Doctor presentada por Catarina Oliveira Lucas dentro
del programa de doctorado Técnicas Matemáticas Avanzadas y sus Aplicaciones del
Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo bajo la dirección del
Profesor Dr. Cecilio Fonseca Bon, Profesor Dr. Josep Gascón Pérez y Profesor Dr. José
Manuel Casas Mirás.
En Vigo, a 1 de septiembre de 2015
Fdo.: Catarina Oliveira Lucas
Fdo.: Cecilio Fonseca Bon
Candidata
Director
Fdo.: Josep Gascón Pérez
Director
Fdo.: José Manuel Casas Mirás
Director
i
ii
Cecilio Fonseca Bon, con DNI 35 977 499 W, Titular de Universidad del Departamento
de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo; Josep Gascón Pérez, con DNI 40
941 764 Q, Profesor Agregado del Departamento de Matemáticas de la Universidad
Autónoma de Barcelona; José Manuel Casas Mirás, con DNI 76 344 522 R, Catedrático
de Universidad del Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo;
como directores de la memoria de la tesis doctoral titulada UNA POSIBLE <<RAZÓN
DE SER>> DEL CÁLCULO DIFERENCIAL ELEMENTAL EN EL ÁMBITO
DE LA MODELIZACIÓN FUNCIONAL realizada por Catarina Oliveira Lucas
dentro del programa de doctorado Técnicas Matemáticas Avanzadas y Aplicaciones
desarrollado por el Departamento de Matemática Aplicada I para optar al Grado de
Doctora por la Universidad de Vigo con mención internacional
AUTORIZAN A
Catarina Oliveira Lucas a presentar y depositar la misma para que se proceda a la
correspondiente tramitación administrativa que autorice su defensa.
Para que así conste y a los efecto oportunos, firmo la presente
En Vigo, a 1 de septiembre de 2015
Fdo.: Cecilio Fonseca Bon Fdo.: Josep Gascón Pérez Fdo.: José Manuel Casas Mirás
iii
iv
A mis hijos Carolina y Miguelinho
A Miguel
v
vi
Agradecimientos

A Miguel, su familia y mis padres, por su incondicional apoyo sin el cual sería
imposible desarrollar este trabajo.

A mis tres orientadores, de forma complementaria, por ayudarme e incentivarme
en este camino. En especial, al Profesor Josep Gascón por todo el empeño y
dedicación.

Al grupo de investigación TAD que me ayudó en el desarrollo de esta memoria,
en particular: a Marianna Bosch, a Berta Barquero, a Pedro Nicolás, a Tomás
Sierra, a Alicia Ruiz-Olarría y a Mercedes Hidalgo.

A los Profesores María Trigueros y Saddo Almouloud por su disponibilidad para
leer e informar positivamente esta memoria de tesis.

A los profesores de las escuelas secundarias que me permitieron recoger datos
empíricos en manuales escolares (Prof. José - Escola Secundária de Arcozelo) o
mediante cuestionarios a estudiantes (Prof. Pedro Noga – Colégio Internato dos
Carvalhos y Prof. Ermelinda Rodrigues - Escola Secundária Gomes de
Almeida).

A los Profesores Luís Metello y Rui Pimenta por permitirme la experimentación
de la propuesta didáctica con estudiantes del 1.º año de la Universidad.
Este trabajo tuvo el apoyo del Proyecto “La modelización matemática para la
formación del profesorado de secundaria: del algebra al cálculo diferencial”
(EDU2012-39312-C03-03):
Este trabajo fue financiado por la beca SFRH/BD/77335/2011 de la FCT (Portugal):
vii
viii
Índice
Abstract ..................................................................................................... xvi
Introducción general ................................................................................... 1
Capítulo I.................................................................................................... 13
Antecedentes: condiciones que inciden sobre el desarrollo de la
modelización matemática en el paso de Secundaria a la Universidad . 13
1. Rigidez de la actividad matemática escolar y pensamiento matemático flexible....... 14
2. El fenómeno didáctico general de la atomización, rigidez e incompletitud de las
organizaciones matemáticas escolares............................................................................ 17
3. La modelización matemática como instrumento de articulación y completación
relativa de las organizaciones matemáticas .................................................................... 22
3.1. La noción de modelización matemática en el ámbito de la TAD .................... 22
3.2. Desarticulación de la relación de proporcionalidad respecto del resto de
relaciones funcionales............................................................................................. 25
3.3. Conjetura de Ruiz-Munzón. Desarrollo progresivo de los niveles de
modelización funcional........................................................................................... 27
4. Los REI como respuesta de la TAD a las restricciones que dificultan el desarrollo de
la modelización matemática en las instituciones escolares ............................................ 31
Capítulo II .................................................................................................. 35
El cálculo diferencial y la modelización funcional en las investigaciones
didácticas .................................................................................................... 35
1. El problema didáctico del cálculo diferencial en las investigaciones en Educación
Matemática ..................................................................................................................... 36
1.1. Dificultades en el aprendizaje del Cálculo ...................................................... 36
1.2. La contribución de las tecnologías a la enseñanza del Cálculo ....................... 39
1.3. Aportaciones de la teoría APOS y otros enfoques didácticos relacionados .... 42
2. El cálculo diferencial en el paso de Secundaria a la Universidad .............................. 53
ix
2.1. Enseñanza de las nociones básicas del cálculo diferencial en la transición entre
la Secundaria y la Universidad ............................................................................... 54
2.2. Estrategias alternativas para mejorar la enseñanza del Cálculo ...................... 56
3. Relaciones que las investigaciones didácticas propugnan entre el cálculo diferencial y
la modelización funcional en el inicio de la enseñanza universitaria ............................. 57
3.1. Investigaciones didácticas relativas al cálculo diferencial e integral .............. 59
3.2. La renovación de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales ...................... 63
3.3. Investigaciones didácticas relativas a las actividades de modelización .......... 66
3.4. Investigaciones didácticas relativas a la enseñanza del cálculo diferencial en el
ámbito de la modelización funcional ...................................................................... 68
3.5. A modo de conclusión: ¿qué papel asignan las investigaciones didácticas al
cálculo diferencial en el ámbito de la modelización funcional? ............................. 82
4. Caracterización de la noción de cálculo diferencial elemental (CDE) que utilizaremos
en esta memoria .............................................................................................................. 84
Capítulo III ................................................................................................ 87
Esquema de un modelo epistemológico de referencia y formulación del
problema didáctico. Razón de ser «oficial» del cálculo diferencial
elemental..................................................................................................... 87
1. Simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de referencia
(MER) y la formulación del problema didáctico asociado ............................................. 88
2. Esbozo de un MER alternativo: redefinición de la modelización funcional mediante
un diagrama de actividad ................................................................................................ 90
2.1. Diagrama de actividad de modelización funcional como esquema del MER . 93
2.2. Descripción de los componentes del diagrama de actividad de modelización
funcional ................................................................................................................. 96
3. Formulación del problema de investigación ............................................................. 105
4. Síntesis de la evolución histórica del papel del cálculo diferencial elemental (CDE) en
la enseñanza secundaria portuguesa ............................................................................. 109
4.1. La introducción del CDE en los currículos oficiales (1905-1963) ................ 109
4.2. La reforma de las Matemáticas Modernas (1963-1974) ................................ 114
4.3. El periodo de transición (1974-1986) ............................................................ 116
x
4.4. La relevancia del CDE y su relación con el estudio de la MF (1986-2000).. 117
4.5. El CDE y la MF en el currículo actual (2001 - 2014) ................................... 119
4.6. Tendencias futuras ......................................................................................... 120
4.7. Interpretación de los currículos a la luz del MER ......................................... 121
5. Diez conjeturas para contrastar la incompletitud y la desarticulación del CDE y la MF
en la última etapa de la enseñanza secundaria .............................................................. 127
6. Análisis global de los resultados obtenidos al contrastar las diez conjeturas ........... 136
7. Interpretación cualitativa de los resultados y primeras conclusiones ....................... 148
8. Razón de ser «oficial» del CDE en el sistema educativo portugués y su relación con
la MF en el paso de Secundaria a la Universidad ......................................................... 150
8.1. Tipos de tareas que forman parte de la razón de ser oficial del CDE............ 155
8.2. Componentes de la MF que aparecen en la práctica matemática escolar ...... 161
8.3. Modelos funcionales ocultos en la práctica matemática escolar ................... 163
9. El fenómeno didáctico de la falta de visibilidad escolar de la MF y la correspondiente
ausencia de una posible razón de ser del CDE ............................................................. 168
Capítulo IV............................................................................................... 173
Construcción de un modelo epistemológico de referencia que articula
el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional .............. 173
1. Universo de tipos de variación que consideraremos en la modelización funcional . 174
1.1. Modelos funcionales construidos a partir de datos discretos ........................ 175
1.2. Modelos funcionales construidos a partir de datos continuos ....................... 184
1.3. Relación entre la variación discreta y la variación continua ......................... 186
2. Construcción de algunos recorridos matemáticos a priori que encarnan el modelo
epistemológico de referencia ........................................................................................ 191
2.1. Modelo funcional «exacto» a partir de datos discretos – RM1 ...................... 193
2.2. Modelo funcional «exacto» a partir de datos continuos - RM2 ..................... 205
2.3. Modelo funcional «exacto» a partir de datos diferenciales continuos – RM3 212
2.4. Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos brutos - RM4 ... 218
xi
2.5. Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos variacionales RM5....................................................................................................................... 225
3. Esbozo de un análisis ecológico a priori .................................................................. 238
Capítulo V ................................................................................................ 243
Diseño, experimentación y evaluación de recorridos de estudio e
investigación en el ámbito de los estudios universitarios de Medicina
Nuclear ..................................................................................................... 243
1. Condiciones institucionales para la experimentación de los REI en Medicina Nuclear
...................................................................................................................................... 244
1.1. Coordinación con los objetivos programáticos habituales ............................ 245
1.2. Ampliación de los objetivos que se persiguen con el estudio del Cálculo
Diferencial e Integral ............................................................................................ 247
1.3. Dispositivos de evaluación de los estudiantes ............................................... 249
1.4. Distribución semanal del programa de estudio estructurado por problemas de
Medicina Nuclear y recorridos matemáticos ........................................................ 252
1.5. Tabla de tareas del diagrama de actividad de MF y de las correspondientes
actividades de estudio ........................................................................................... 254
2. Diseño a priori de recorridos de estudio e investigación para experimentar en el
primer curso universitario de Medicina Nuclear .......................................................... 256
2.1. Distribución del programa de estudio en unidades didácticas ....................... 256
2.2. Distribución por sesiones de las cuestiones derivadas de los dos problemas
básicos de Medicina Nuclear ................................................................................ 257
2.3. Planificación del desarrollo de las unidades didácticas ................................. 262
2.4. Articulación de los procesos de estudio de los dos problemas básicos de
Medicina Nuclear ................................................................................................. 275
3. Desarrollo de las experimentaciones ........................................................................ 277
3.1. Sesión Presencial 1 ........................................................................................ 278
3.2. Sesión Presencial 2 ........................................................................................ 280
3.3. Sesión Presencial 3 ........................................................................................ 282
3.4. Sesión Presencial 4 ........................................................................................ 283
3.5. Sesión Presencial 5 ........................................................................................ 298
xii
3.6. Sesión Presencial 6 ........................................................................................ 310
3.7. Sesión Presencial 7 ........................................................................................ 310
3.8. Sesión Presencial 8 ........................................................................................ 311
3.9. Sesión Presencial 9 ........................................................................................ 315
3.10. Sesión Presencial 10 .................................................................................... 318
3.11. Sesión Presencial 11 .................................................................................... 330
4. Análisis del desarrollo y de los resultados de la experimentación ........................... 336
4.1. Evaluación de la experimentación ................................................................. 340
4.2. Criterios de modificación para futuras experimentaciones de los REI ......... 348
Capítulo VI............................................................................................... 355
Principales aportaciones y problemas abiertos .................................... 355
1. El problema didáctico del cálculo diferencial elemental como confluencia de tres
grandes problemáticas de investigación ....................................................................... 356
2. Carácter relativamente universal del fenómeno de la desarticulación escolar entre el
cálculo diferencial elemental y la modelización funcional .......................................... 357
3. Otras posibles razones de ser del cálculo diferencial elemental alternativas a la razón
de ser oficial.................................................................................................................. 358
4. Simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de referencia
(MER), la formulación del problema didáctico asociado y la caracterización del modelo
epistemológico dominante en la institución ................................................................. 359
5. Redefinición de la noción de «modelización funcional».......................................... 360
6. Funciones de un MER como sistema de referencia .................................................. 363
7. Articulación entre los procesos de modelización funcional discretos y continuos .. 364
8. Contrastación empírica de la conjetura de Ruiz-Munzón ........................................ 364
9. La formulación y contrastación de hipótesis sustentadas en el MER como
metodología para caracterizar el modelo epistemológico dominante .......................... 365
10. El MER como instrumento para diseñar y gestionar la organización didáctica .... 366
11. Cuestiones problemáticas que han surgido en la experimentación con estudiantes de
Medicina Nuclear ......................................................................................................... 369
xiii
Chapter VI ............................................................................................... 373
Main contributions and open problems ................................................ 373
1. The didactic problem of the elementary differential calculus as confluence of three
major research issues .................................................................................................... 374
2. Relatively universal nature of the phenomenon of school disassembly between
elementary differential calculus and functional modelling .......................................... 375
3. Other possible raisons d’être of the elementary differential calculus as an alternative
to the official raison d’être............................................................................................ 376
4. Simultaneity of the construction of a reference epistemological model (REM), the
formulation of the associated didactic problem, and the characterization of the dominant
epistemological model in the institution....................................................................... 377
5. Redefinition of the notion of “functional modelling” .............................................. 378
6. Functions of a REM as a reference system............................................................... 381
7. Articulation between the functional modelling processes in the continuous and
discrete fields ................................................................................................................ 382
8. Empirical check of the conjecture of Ruiz-Munzón................................................. 382
9. The formulation and hypotheses testing grounded in the REM as a methodology to
characterize the dominant epistemological model........................................................ 383
10. The REM as a tool to design and handle the didactic organization ....................... 384
11. Problematic questions that have appeared during the experimentation with students
of Nuclear Medicine ..................................................................................................... 387
Referencias bibliográficas ...................................................................... 391
Anexos....................................................................................................... 411
Anexo A: Marco teórico: La teoría antropológica de lo didáctico en el programa
epistemológico de investigación ................................................................................... 413
Anexo B: Rigidez de la actividad matemática escolar en la Secundaria portuguesa y
española ........................................................................................................................ 439
Anexo C: Algunas propuestas para la construcción de la derivada .............................. 463
Anexo D: Los currículos oficiales de las matemáticas en la enseñanza secundaria
portuguesa a lo largo de los siglos XX y XXI .............................................................. 475
xiv
Anexo E: Contrastación empírica de las conjeturas C1-C10 (CDE-MF) en los manuales
escolares de la enseñanza secundaria portuguesa ......................................................... 491
Anexo F: Construcción algebraica de modelos discretos y continuos a partir de su
variación ....................................................................................................................... 549
Anexo G: Medios didácticos utilizados en la experimentación con estudiantes de
Medicina Nuclear ......................................................................................................... 555
Anexo G.1.: Cuestiones problemáticas (Q0- Q5) .................................................. 556
Anexo G.2.: Ficha de Diagnóstico (FD) y Fichas de Trabajo (F1-F4) .................. 567
Anexo H: Algunos ejemplos de currículos de cálculo diferencial elemental en los
primeros cursos universitarios portugueses .................................................................. 589
xv
A possible «rationale»
for the differential calculus in the sphere of the functional modelling
Abstract
The problems studied in this work deal with the last years of Secondary Education and
the beginning of University in Portugal. Nevertheless, we will present some facts and
conclusions which are valid also beyond this institutional space. Our theoretical
framework is the anthropological theory of the didactic (ATD).
The main question examined here refers to a possible rationale for the elementary
differential calculus (EDC, from now on). For rationale we understand the set of types
of tasks such that the techniques aiming to solve them require the EDC.
Now we should clarify some aspects. First, here for elementary differential calculus we
will understand the field of Mathematics typically taught under the name «cálculo» or
«análisis» in the last years of Secondary Education (in Portugal, Spain and several
countries) together with some elements of the Differential and Integral Calculus taught
in the first year of University in Portugal (for example in the Degree of Nuclear
Medicine) and Spain (for example, in the Degrees of Biology, Geology or Chemistry).
For a more precise description of the components of the opus here referred to as EDC
can be found in section 4 of Chapter II.
Second, it is important to pay attention to the distinction between the official rationale
of an opus of Mathematics (namely, the rationale according the educational institutions)
and the alternative rationales. It might be the case that, after an investigation, one feels
that the official rationale, for a certain opus in a given educational institution, must be
changed by a different one. The change of the rationale always implies a deep
reformulation of the opus and of its relationship with some other opera of Mathematics
in the given educational institution. This reformulation, within the ATD, is typically
described by a reference epistemological model (REM, from now on). There are already
several examples in which a new rationale has been proposed by means of an alternative
xvi
REM. Those examples deal with: elementary algebra as a tool for modelling extra or
intra-mathematical systems (Bolea et al., 2001; Ruiz-Munzón et al., 2012); limit of
functions (Barbé et al., 2005); negative numbers in the sphere of elementary algebra
(Cid & Ruiz-Munzón, 2011); numeral systems in the sphere of arithmetic (Sierra et al.,
2007); proportionality in the sphere of functional relations (García et al., 2006); real
numbers in the sphere of continuous magnitudes (Licera et al., 2011); parametrical
functional modelling as a development of elementary algebra (Ruiz-Munzón et al.,
2008).
It is also worth mentioning that the rationale of a certain opus in a given educational
institution might be spread across several fields of Mathematics. For instance, the
rationale of the Linear Algebra can be placed in the sphere of Linear Geometry,
Statistics or Linear Programming. Moreover, inside these fields, the types of tasks
which require the use of Linear Algebra can be presented in different forms. This is why
one should be cautious and speak of a possible rationale (vs. the rationale) of the EDC
in the sphere of the functional modelling.
Before making precise the research program of this mémoire, we should point out that it
arises from the confluence of three complexes of problems studied by the community
of researchers working in the frame of the ATD. These three sets of problems are
related to a very general didactic phenomenon which is revealed in the rigidity, relative
incompleteness, disassembling and even atomization of the mathematical organizations
in Secondary Education (both Portuguese and Spanish). More specifically, our research
program is related to the link of this didactic phenomenon with the obstacles for the
development of a mathematical modelling activity in the mentioned educational
institutions. It is important to stress that, even if the didactic phenomenon presents
different features depending on the mathematical content we deal with, it is always the
case that this phenomenon appears somehow linked to the occurrence of obstacles for
the development of the mathematical modelling.
The first complex of problems, the most basic one, appeared precisely when the
didactic phenomenon mentioned above, and its relation to the obstacles for the
mathematical modelling, were taken as an object of study (Fonseca, 2004; Lucas, 2010).
This study gave rise to a systematic study of the so-called ecology of the mathematical
modelling in the first course in University. After several works in this direction
(Barquero, 2009; Serrano, 2013) we can already give both some required conditions (in
xvii
order to develop a true activity of mathematical modelling at this educational level) and
the main obstacles for this development.
In short, these works showed that the typical teaching model (placed in the paradigm
known as monumentalism (Chevallard, 2013)), together with the corresponding
epistemological model, form an important source of obstacles for the mathematical
modelling activity in the educational institutions. What is especially fertile as a source
of obstacles is the way this epistemological model understands the relationship between
Mathematics and the different disciplines1 in which one finds the systems to be taken as
models in the mathematical modelling activity. This relationship has been named
aplicationism (Barquero, Bosch & Gascón, 2014).
To set the needed conditions in order to enable the normal institutional development of
the functional modelling activity one should start with the construction of a REM. An
REM can be described as a net of praxeologies with increasing complexity and
completeness, whose dynamics is driven by successive processes of mathematical
modelling. This REM assigns an alternative rationale to the mathematical modelling
activity, and has been used to design and put into practice several study and research
paths (SRP, from now on) in university courses.
The second complex of problems appeared in the study of a phenomenon, which can
be regarded as a specific instance of the previously described phenomenon, consisting
of the astonishing disassembling of the proportionality relationship and the other
functional relationships in compulsory Secondary Education (García, 2005; García et
al., 2006). In order to study this phenomenon and, at the same time, to suggest a
possible change in the articulation of the praxeologies involved, the referred authors
constructed a regional mathematical praxeology which assemble a previously
constructed set of types of elementary variations (one of which was the proportionality)
between discrete magnitudes.
The third complex of problems appeared in the study of functional modelling as a
development of the research on the algebraization process of the mathematical activity,
and as a completation of a REM on elementary algebra (Ruiz-Munzón, 2010). It was
precisely in this work where what we call Ruiz-Munzón conjecture was first formulated.
According to this conjecture, some current pathologies in the study of the EDC (in the
1
The empirical data were obtained in the field of university studies in Experimental Science (Barquero,
2009) and Economic and Business Science (Serrano, 2013).
xviii
last period of Secondary Education) can be dressed in the rationale of the EDC is placed
in the sphere of the functional modelling.
To go deeper in this conjecture, we suggest a redefinition of the very notion of
functional modelling (FM, from now on) activity. This redefinition enlarges to a great
extent, but also specifies, the set of types of tasks which constitute the FM activity.
This new characterization of the FM is schematically presented in the FM activity
diagram which appears in the section 2 of Chapter III and which is fully developed in
Chapter IV.
Therefore, the mathematical activity involved in our research problem comprises,
together with the EDC (characterized at the end of Chapter II), the FM activities as they
are redefined by using the FM activity diagram. We must point out that the decisions
adopted, regarding the institutional boundaries (the transition from Secondary to
Universitary Education), as well as regarding the boundaries in the mathematical
content, are neither neutral nor insignificant. These decisions, as any other adopted,
determine to a great extent the didactic research problem we can formulate and,
simultaneously, the nature of the REM proposed.
Once we have described the three complexes of problems meeting in this work, let us
formulate briefly the link we establish with each one.
(1) We have carried out already many experimentations of several SRP based in the
REM we have constructed. The a posteriori analysis of these experimentations
shows that the redefinition of the FM activity and the alternative rationale of the
EDC proposed in this REM help to create conditions advantageous for the FM
activity at the beginning of Universitary Education and, more precisely, in a first
year in Nuclear Medicine. Also, this analysis has brought to light some restrictions
which stand in the way of the normal development of the FM activity. These results
must be regarded as a contribution to the first and most basic set of problems
mentioned above. That is to say, it is a contribution to the study of the mathematical
modelling (in our case we deal, specifically, with the FM activity developed with
the help of the EDC) in the first year of Universitary Education.
(2) In connection with the second complex of problems mentioned above (the
disassembling of the proportionality relationship with the other functional
relationships) we have studied the specific phenomenon of the school
xix
disassembling of the EDC and FM. We have enquired into the historical evolution
of the role of the EDC in the Portuguese Secondary Education, the transpositive
origin of this phenomenon, the supporting conditions and the main didactic
consequences.
Even if they are two different phenomena, we could regard our results as a
generalization of those obtained by García (2005). Indeed, the SRP designed and
put into practice include the characterization and construction of a larger set of
types of functional variation between continuous magnitudes and explicitly
contemplates the problems related to transition from the study of the variation
between discrete magnitudes to the study of the variation between continuous
magnitudes.
(3) Concerning the third complex of problems mentioned previously, the results of our
experimentations support the verisimilitude of the Ruiz-Munzón conjecture, at least
under an interpretation coherent with the new meaning of FM as it appears in our
REM (containing, in particular, the role ascribed to the EDC). Indeed, by means of
the development of a complete mathematical activity, it has been shown the scope
and the meaning of the mentioned conjecture. Remarkably, it has become apparent
in which sense we can state that the rationale (or, even better, a possible rationale)
attached to the EDC can be placed in the field of the FM and which are the
consequences corresponding to this attachment.
Now we will focus on the formal structure of the work, which consists of six chapters
together with various appendices.
In Chapter I we summarize the main precedents of this work. We start by considering
several researches that, from different perspectives in Mathematics Education, analyze
the comparison of the rigidity of school mathematical activity with the necessary
flexibility of the mathematical activity, considered genuine or functional in the sense
that it is aimed to answer problematic questions which appear in different social
institutions. The summary ends up with a synthesis of the main results, obtained in the
framework of the ATD, concerning the didactic phenomenon of rigidity, atomization
and incompleteness of the school mathematical organizations.
We stress the importance of the mathematical modelling activity as a tool to articulate
the mathematical praxeologies and the role of the SRP as an answer to the restrictions to
the development of the mathematical modelling in the school institutions. The chapter
xx
concludes with two other complexes of problems which are at the origin of our research
and which have been briefly described at the beginning of this general introduction.
In Chapter II we present a panoramic view of how the didactic problem concerning the
differential calculus has been addressed in some of the main researches in Mathematics
Education. We are interested in showing the precise link between these researches and
the present work. Hence, we pay special attention to the way in which the problem of
the differential calculus in the transition from Secondary to Universitary Education has
been study in these researches. Also, we take under special consideration the way they
connect the differential calculus with the functional modelling in those levels of
education. One of the main conclusions of this panoramic view can be shortly stated by
saying that many didactic researches under consideration tend to accept (without
hesitation) the official rationale attributed to the differential calculus, namely, the one
attributed by the school institution.
The chapter finishes with a characterization of what is to be understood in this work as
elementary differential calculus, shortened with the initials EDC.
Chapter III starts with an explanation of how unavoidable is the simultaneity of the
construction of the reference epistemological model and the delimitation of the didactic
problem under consideration. With this in mind, we describe the fundamental features
or the general criteria to which our REM is to be attached if we want it to show the
intended alternative rationale to the EDC which, we expect, will enable the institutional
development of functional modelling activity. We have used this set of fundamental
features, which can be regarded as draft of the REM, as a provisional reference point to
describe, in contrast, the official rationale attributed to the EDC by the educational
system. Also, we have used this draft of REM to start a characterization of the
functional modelling activity as considered in this work. More precisely, we propose an
activity diagram which sketches, a priori, the main types of tasks composing what we
understand by FM activity and the relationship between them. This activity diagram,
which specifies the role to be played by the EDC, is a map which aims to include the set
of mathematical paths which are possible, a priori, when a FM activity is carried out.
The diagram also specifies the potential relationships between these mathematical paths.
It is, therefore, a still very schematic version of the proposed REM.
Nevertheless, this scheme of REM has been used both to formulate the didactic research
problem tackled in this work (which appears in section 3) and, partially, to interpret the
xxi
historical development of the role played by the EDC in the Portuguese Secondary
Education (explained in section 4 of this chapter).
Using the schematic version of the REM as a reference point of view, we have
formulated and verified empirically ten conjectures concerning different features
related to the incompleteness and disassembling of the EDC and the FM activity (in the
last years of Secondary Education). The verification of these conjectures, together with
the data obtained from an exhaustive analysis of the Portuguese (and Spanish) official
curricular documents, have enable us to describe and interpret the official rationale of
the EDC in terms of types of tasks, and also to analyze to which extent these types of
tasks are placed in the sphere of the FM2 (all these results can be found in section 8). In
coherence with the phenomenon of rigidity and disassembling of the mathematical
praxeologies (largely confirmed in this work), these types of tasks appear very isolated,
as if they were completely independents, and the corresponding techniques are strongly
stereotyped.
The analysis of the official rationale of the EDC has showed the following paradox:
even if some types of tasks (attributed to the rationale by the official curriculum) are
naturally part of a FM process, they are not to be regarded in the school mathematics as
related to an activity of modelling. As a consequence, the explicit official rationale of
the EDC in this school level is even more away from the FM activity than permitted by
the actual mathematical. The chapter finishes with a short description of the didactic
phenomenon that we call school lack of visibility of the FM activity and the
corresponding absence of a possible rationale of the EDC.
In Chapter IV we characterize the types of variations that will be considered in the
construction of functional models, whatever they are constructed from discrete or
continuous data.
The kernel of this chapter is the explicit and detailed construction of some a priori
Mathematical Paths (MP) which incarnate the REM. This construction is carried out, in
practice, at the same time that the formulation of the research problem (explained in
Chapter III) is been outlined. However, the linear character of the text does not enable
the simultaneous description of the REM and the research problem. In connection with
2
Moreover, thanks to the use of the provisional scheme of the REM as a reference point of view, we have
been able to bring to light some types of tasks not considered by the Portuguese school system as part of
the rationale of the EDC.
xxii
this, it is important to strengthen that the formulation of the research problem uses
components of the REM and, reciprocally, the REM can be regarded as an answer to the
epistemological dimension (which is the basic dimension) of the research problem.
The effective construction of some of the MP based on the REM is not completely
determined by the REM itself. Indeed, the net of types of tasks, questions and (partial)
answers which can form a MP will strongly depend on the concrete nature of the
generating question, the type of input data and the subsequent derived questions. What
it is determined by the REM is the basic structure of the possible MP. In particular, one
of the invariants fixed by this REM is the role of the EDC. More precisely, the work
with differential models as an essential tool in the process of construction, study and use
of functional models, whatever the input data are discrete or continuous.
This chapter ends with the draft of an a priori ecological analysis, namely, an analysis
of some of the conditions required for a school mathematical organization to integrate
this type of MP.
Chapter V starts with a very detailed analysis of the institutional conditions needed for
the experimentation, in the degree of Nuclear Medicine, of the study and research paths
(SRP) based on the REM. This analysis includes the coordination and the enlargement
of the habitual curricular aims, the distribution of a study program structured by a set of
problems in Nuclear Medicine, and its relationship with the mathematical paths and the
types of tasks appearing in the activity diagram.
The kernel of this chapter is the detailed description of an experimentation of SRP
based on the REM, in particular, the reporting of the face-to-face and the online
sessions. At the end, we give a global analysis of the development and the results of the
experimentation. We also give some criteria to modify the design of future SRP. In
particular, one of the aspects of the experimentation which might be contentious is the
institution in which it has been carried out. Nevertheless, we claim that the choice of a
first university year in Nuclear Medicine is coherent with the nature of the rationale
attributed by our REM to the EDC in the sphere of the FM activity. Moreover, some
constraints concerning needed resources we might encounter in Secondary Education
can disappear in a first university year.
Finally, Chapter VI describes the main contributions and open problems.
xxiii
The appendices go in depth certain important aspects of different sections. Thus,
Appendix A presents the fundamental features of the anthropological theory of the
didactic, framed in the epistemological program of the Didactic Research (Gascón,
2003). It complements the theoretical framework presented in Chapter I. Appendix B
details the study of the rigidity of the school mathematical activity both in Portuguese
and Spanish Secondary Education (Fonseca, 2004; Lucas, 2010; Lucas et al., 2014a,
2014b) described in section 2 of Chapter I. Appendix C, which complements Chapter II,
presents some proposal for the construction of the derivative of a function as they
appear in different researches in Mathematics Education. Appendix D gathers together
the curricula concerning Mathematics in Portuguese Secondary Education along
centuries XX and XXI. A detailed analysis of them is in section 4 of Chapter III. In
Appendix E there is an exhaustive description of the empirical confirmation of the
conjectures C1-C10 (EDC-FM) in the textbooks of the Portuguese Secondary
Education. The corresponding global analysis, as well as the interpretation of the
results, can be found in sections 5, 6 and 7 of Chapter III. Appendix F describes the
algebraic construction of discrete and continuous models, presented in section 1 of
Chapter IV, starting from the study of the variation of raw data. Appendix G shows all
the didactic means used in the experimentation described in Chapter V with students of
Nuclear Medicine (presentation of the basic notions concerning functional modelling,
problematic questions given to the students, and worksheets).
xxiv
Introducción general
La problemática que se trata en esta memoria, que se sitúa de manera inequívoca en el
marco que proporciona la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD), se
ubica en el nivel educativo entre la última etapa de la enseñanza secundaria y el
principio de los estudios universitarios del sistema educativo portugués, aunque muchos
de los hechos que expondremos, de los fenómenos que estudiaremos y de las
conclusiones a las que llegaremos no están forzosamente circunscritos a este espacio
institucional.
El problema que nos planteamos hace referencia a una posible razón de ser del cálculo
diferencial elemental (en adelante, CDE), esto es, a las cuestiones que, para ser
respondidas, requieren de manera imprescindible del CDE y a las tareas que sólo
pueden llevarse a cabo (de manera fiable y económica) con el concurso de las técnicas
que forman parte del citado CDE. Se trata, en consecuencia, de las cuestiones y las
tareas que dan sentido o, mejor, podrían dar sentido, al estudio escolar de dicho ámbito
de la actividad matemática en la institución de referencia.
Pero esta formulación, aparentemente clara, esconde ambigüedades que deben ser
precisadas desde el principio. En primer lugar, la noción misma de cálculo diferencial
elemental debe clarificarse. En esta memoria, denominamos «cálculo diferencial
elemental» (CDE) al ámbito de la organización matemática escolar que bajo el nombre
de «cálculo» o de «análisis» se imparte habitualmente en la última etapa de la enseñanza
secundaria (en Portugal, en España y en otros muchos países) junto con algunos
elementos del cálculo diferencial e integral que se imparte en el primer curso
universitario de diferentes grados del sistema educativo portugués (como, por ejemplo
el grado de Medicina Nuclear) y español (como, por ejemplo, los grados de Biología,
Geología o Química). En la sección 4 del capítulo II se describen con precisión los
componentes del ámbito que denominamos CDE en esta memoria y que, salvo la
introducción elemental a las ecuaciones diferenciales, coincide prácticamente con la
parte correspondiente del programa oficial de Secundaria y primeros cursos de algunos
grados universitarios.
1
En segundo lugar, y este es un punto central, hemos de distinguir entre la razón de ser
«oficial» que la institución escolar estipula para el CDE (las funciones que le asigna) y
otras posibles razones de ser alternativas. Puede darse el caso que, en base a una
investigación didáctica relativa a un cierto ámbito de la actividad matemática, se sienta
la necesidad de postular una razón de ser distinta de la que le asigna el currículo oficial,
lo que comportará la necesidad de modificar profundamente las cuestiones y las tareas
que se suponía que daban sentido a dicho ámbito de la actividad matemática escolar (en
una institución determinada). La nueva razón de ser provocará, inevitablemente, una
reformulación y hasta una nueva definición, de la estructura de dicho ámbito y de su
relación con el resto de las organizaciones matemáticas escolares. Éste es, de hecho, un
caso bastante habitual en las investigaciones didácticas que se realizan en el marco
teórico de la TAD hasta el punto que, muchas de las citadas investigaciones pueden
interpretarse (aunque no sea ésta la única interpretación posible) como la asignación a
cierto ámbito de la matemática escolar, por parte de un modelo epistemológico de
referencia (en adelante, MER) alternativo al modelo epistemológico dominante en la
institución en cuestión, de una razón de ser distinta de la que se le asigna oficialmente.
Así, por ejemplo, podemos citar los siguientes ámbitos a los que se les ha asignado, en
diferentes trabajos, una razón de ser alternativa: al álgebra elemental como instrumento
de modelización de sistemas matemáticos o extra-matemáticos (Bolea et al., 2001;
Ruiz-Munzón et al., 2012); a los límites de funciones (Barbé et al., 2005); a los
negativos en el ámbito del álgebra elemental (Cid & Ruiz-Munzón, 2011); a los
sistemas de numeración en el ámbito del cálculo aritmético (Sierra et al., 2007); a la
proporcionalidad en el ámbito de las relaciones funcionales (García et al., 2006); a los
números reales en el ámbito de las magnitudes continuas (Licera et al., 2011); y a la
modelización funcional con parámetros como desarrollo del álgebra elemental (RuizMunzón et al., 2008).
Digamos, por último, que la razón de ser de un ámbito de la actividad matemática, en
una institución determinada, no tiene por qué ser única puesto que, entre otros motivos,
diferentes razones de ser de un mismo ámbito pueden situarse en diferentes áreas o
sectores de la matemática escolar. Así, por ejemplo, la razón de ser del álgebra lineal
que forma parte del primer curso de múltiples grados universitarios, puede situarse en el
ámbito de las geometrías lineales, de la estadística o de la programación lineal, entre
otros y, además, dentro de cada uno de ellos, las cuestiones y las tareas que requieren de
2
manera imprescindible el uso de las técnicas del álgebra lineal pueden elegirse y
estructurarse de diferentes formas. Es por esta razón que hablamos de una posible razón
de ser (en lugar de hablar de la razón de ser) del cálculo diferencial elemental en el
ámbito de la modelización funcional.
A fin de enmarcar y empezar a precisar las cuestiones que forman parte del problema de
investigación que trataremos en esta memoria, hemos de señalar que éste, lejos de ser un
problema aislado, surge de la confluencia de tres problemáticas que han sido objeto de
investigación por parte de la comunidad científica que trabaja en el marco de la TAD.
Las tres problemáticas están relacionadas en mayor o menor grado con un fenómeno
didáctico muy general que se pone de manifiesto en la rigidez, incompletitud relativa,
desarticulación y hasta atomización de las organizaciones matemáticas escolares que
viven en la enseñanza secundaria tanto española como portuguesa y, en especial, en la
relación de dicho fenómeno con las restricciones que inciden sobre la génesis y el
desarrollo de la actividad de modelización matemática en las citadas instituciones. Es
importante subrayar, sin embargo, que éste no puede considerarse un fenómeno
«uniforme» cuya naturaleza y cuyas consecuencias puedan describirse de una vez por
todas y de forma similar en todos los casos. Por el contrario, en cada caso presenta
características y consecuencias específicas que dependen de los contenidos matemáticos
involucrados, lo que no contradice que, en todos los casos estudiados hasta la fecha, las
diferentes variedades de dicho fenómeno provoquen restricciones de uno u otro tipo a la
vida escolar de la modelización matemática.
La primera y más básica de las problemáticas que están en el origen de nuestro
problema didáctico surgió precisamente cuando se empezó a estudiar este fenómeno
didáctico general que, como hemos dicho, se manifiesta en la rigidez, atomización,
incompletitud relativa y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares
que viven en la enseñanza secundaria (española y portuguesa) y las restricciones que
dicho fenómeno comporta para la vida de la modelización matemática en el paso de
Secundaria a la Universidad (Fonseca, 2004; Lucas, 2010). El desarrollo de esta línea de
investigación provocó la emergencia de la problemática relativa a las restricciones que
dificultan el desarrollo de la modelización matemática en el inicio de la enseñanza
universitaria y la necesidad de un estudio sistemático de la ecología de la modelización
matemática en el primer curso universitario. Diferentes estudios en esta dirección
(Barquero, 2009; Serrano, 2013) han permitido describir algunas de las condiciones que
3
se requieren para que sea posible el desarrollo de la modelización matemática en dicho
nivel educativo, detectando las principales restricciones que lo dificultan.
En síntesis, estos estudios mostraron que el modelo docente habitual, que se sitúa dentro
del paradigma monumentalista (Chevallard, 2013), junto al modelo epistemológico de
las matemáticas que lo sustenta, constituyen una importante fuente de restricciones a la
vida escolar de la modelización matemática. Estas restricciones se manifiestan, en
especial, en la manera como desde dicho modelo epistemológico se interpreta la
relación entre las matemáticas y las diferentes disciplinas3 en las que surgen los
sistemas cuyo estudio requiere que sean modelizados matemáticamente. Dicha relación
ha sido caracterizada mediante la noción de aplicacionismo (Barquero, Bosch &
Gascón, 2014).
La respuesta para empezar a establecer las condiciones necesarias que posibiliten la vida
institucional de la modelización matemática, empieza por construir un MER
estructurado como una red de praxeologías de complejidad y completitud crecientes y
cuya dinámica de desarrollo viene guiada por procesos sucesivos de modelización
matemática. Dicho MER asigna una razón de ser alternativa a la modelización
matemática, (esto es, redefine la estructura y las funciones de la actividad de
modelización matemática en el primer curso de enseñanza universitaria) y ha servido de
base, en cada caso, para diseñar y experimentar diferentes recorridos de estudio e
investigación (en adelante, REI) en el citado nivel educativo.
La segunda problemática que confluye en el problema de investigación que nos
planteamos en esta memoria surgió al estudiar un fenómeno, que puede considerarse
como una manifestación específica del fenómeno general descrito anteriormente y que
se revela en la llamativa desarticulación de la relación de proporcionalidad respecto del
resto de relaciones funcionales que aparecen en la enseñanza secundaria obligatoria
(García, 2005; García et al., 2006). Para estudiar dicho fenómeno y, al mismo tiempo,
proponer una posible dirección de cambio de la estructura de las praxeologías
matemáticas involucradas, los autores citados construyeron una praxeología matemática
regional que articula un cierto conjunto, previamente construido, de tipos de variación
elemental entre magnitudes discretas, entre las que figura la relación de
proporcionalidad.
3
Los datos empíricos se han obtenido en el ámbito de los estudios universitarios de ciencias
experimentales (Barquero, 2009) y de ciencias económicas y empresariales (Serrano, 2013).
4
La tercera de las problemáticas que está en el origen de nuestro problema de
investigación surgió al profundizar en el estudio de la modelización funcional como
desarrollo de las investigaciones sobre el proceso de algebrización de la actividad
matemática y como completación del MER del álgebra elemental (Ruiz-Munzón,
2010). Fue precisamente en el ámbito de esta problemática en el que se formuló la
conjetura, que llamaremos conjetura de Ruiz-Munzón, según la cual una posible «razón
de ser» del cálculo diferencial, esto es, las cuestiones problemáticas que dan sentido al
estudio del cálculo diferencial en la última etapa de la enseñanza secundaria, debería
situarse en el ámbito de la modelización funcional.
Para profundizar en el significado de la citada conjetura, proponemos una redefinición
de la noción misma de «modelización funcional» (en adelante MF) que amplía en gran
medida, al tiempo que detalla y precisa los tipos de tareas que forman parte de la
actividad de MF. Esta nueva caracterización de la MF se materializa esquemáticamente
en el diagrama de actividad de MF (que figura en la sección 2 del capítulo III) y se
desarrolla con todo detalle en el capítulo IV.
En consecuencia, la actividad matemática que consideramos involucrada en nuestro
problema didáctico incluirá, junto al cálculo diferencial elemental (caracterizado al final
del capítulo II), las actividades de MF tal como las hemos redefinido mediante el citado
diagrama de actividad. Es preciso señalar que las decisiones que hemos tomado, tanto
en lo referente al recorte institucional (el paso de la Secundaria a la Universidad en el
sistema educativo portugués), como en lo que respecta al recorte de los contenidos de la
actividad matemática que tomaremos en consideración, no son neutrales ni
intrascendentes. Estas decisiones, como cualesquiera otras que hubiésemos podido
tomar, condicionan en gran medida el tipo de problema didáctico que podremos
formular y, simultáneamente, la naturaleza del MER que proponemos.
Una vez descritas brevemente las tres problemáticas que convergen en esta memoria,
formularemos de una forma sintética la relación que establecemos con cada una de ellas.
(1) El análisis a posteriori de la experimentación que hemos llevado a cabo de
diversos REI sustentados en el MER muestra que la redefinición de la MF que
dicho MER propone, junto a la razón de ser que asigna al CDE en dicho ámbito,
constituyen condiciones que favorecen la vida de la MF en el inicio de la enseñanza
universitaria y, más concretamente, en un primer curso de Medicina Nuclear. Dicho
5
análisis ecológico ha puesto de manifiesto, asimismo, algunas de las restricciones
que dificultan en una u otra forma el desarrollo normal de dicha actividad. Estos
resultados deben considerarse como una aportación en la línea de la primera y más
básica de las problemáticas citadas, esto es, un aporte al estudio de la ecología de
la modelización matemática (en nuestro caso se trata, específicamente, de la MF
desarrollada con ayuda del cálculo diferencial elemental) en un primer curso de
estudios universitarios.
(2) Relacionado con la segunda de las problemáticas citadas (la desarticulación entre la
relación de proporcionalidad y el resto de relaciones funcionales) hemos estudiado
el fenómeno específico de la desarticulación escolar entre el CDE y la MF. Hemos
indagado la evolución histórica del papel del CDE en la enseñanza secundaria
portuguesa, el origen transpositivo de dicho fenómeno, las condiciones que lo
mantienen y sus principales consecuencias didácticas.
Aunque se trata de dos fenómenos distintos, podemos decir que, en cierto sentido,
nuestros resultados generalizan los obtenidos en García (2005) puesto que los REI
diseñados y experimentados en esta memoria incluyen la caracterización y
construcción de un conjunto más amplio de tipos de variación funcional entre
magnitudes continuas y abordan explícitamente la problemática del paso de la
variación entre magnitudes discretas a la variación entre magnitudes continuas.
(3) En cuanto a la tercera de las problemáticas descritas, los resultados de la
experimentación confirman la verosimilitud de la conjetura de Ruiz-Munzón, con la
condición de reinterpretarla de acuerdo con el nuevo significado de la noción de
MF que proporciona nuestro MER (y que contiene, en particular, las funciones
asignadas al CDE). En efecto, mediante el desarrollo de una actividad matemática
concreta, se ha puesto de manifiesto el alcance y el significado de la citada
conjetura y, sobre todo, se ha mostrado en qué sentido puede afirmarse que la razón
de ser (o, mejor, una posible razón de ser) asignada al CDE puede situarse en el
ámbito de la MF y qué consecuencias acarrea dicha asignación.
Centrándonos ahora en la estructura formal de la memoria, vemos que ésta se divide en
seis capítulos más los correspondientes anexos.
En el capítulo I se hace una síntesis de los principales antecedentes de este trabajo,
empezando por las numerosas investigaciones que, desde diversos enfoques didácticos,
analizan la contraposición entre la rigidez de la actividad matemática escolar y la
6
necesaria flexibilidad de la actividad matemática considerada como «genuina» o
«funcional» porque está encaminada a responder a cuestiones problemáticas que
emergen en las diferentes instituciones sociales. Como culminación de esta síntesis se
resumen muy brevemente los principales resultados obtenidos en el marco de la TAD
relativos al fenómeno didáctico de la rigidez, atomización e incompletitud de las
organizaciones matemáticas escolares. Se subraya la importancia de la actividad de
modelización matemática como instrumento de articulación de las organizaciones
matemáticas y el papel de los REI como respuesta a las restricciones que dificultan el
desarrollo de la modelización matemática en las instituciones escolares. El capítulo se
completa con la descripción de las otras dos problemáticas que están en el origen de
nuestro problema de investigación y que se han descrito brevemente al principio de esta
introducción general.
En el capítulo II se expone una panorámica del tratamiento que ha recibido el problema
didáctico del cálculo diferencial en algunas de las principales investigaciones en
Educación Matemática. Con el objetivo de mostrar las relaciones entre las diversas
investigaciones y el problema que se trata en esta memoria, se pone especial atención en
la forma como se ha tratado la problemática del cálculo diferencial en el paso de
Secundaria a la Universidad y en las relaciones que las diversas investigaciones
didácticas propugnan entre éste y la modelización funcional en dicho nivel educativo.
Una de las principales conclusiones de este análisis panorámico puede resumirse
afirmando que muchas de las investigaciones didácticas analizadas tienden a asumir (sin
cuestionarla) la razón de ser oficial del cálculo diferencial, esto es, la que le asigna el
sistema escolar. El capítulo concluye con una caracterización de lo que a partir de este
punto consideraremos en esta memoria como cálculo diferencial elemental y
abreviaremos mediante las siglas CDE.
El capítulo III se inicia explicando la inevitable simultaneidad entre la construcción de
un modelo epistemológico de referencia y el problema didáctico asociado y
describiendo los rasgos fundamentales o criterios generales que deberá cumplir un
MER que asigne al CDE la razón de ser alternativa que propugnamos (en el ámbito de
la MF) y que, postulamos, posibilitará el desarrollo institucional de esta actividad.
Hemos utilizado este esbozo esquemático de MER como sistema de referencia
provisional para describir, por contraste, la razón de ser «oficial» que el sistema escolar
asigna al CDE y, también, para empezar a caracterizar la actividad de MF tal como la
7
redefinimos en esta memoria. En concreto, proponemos un diagrama de actividad que
esquematiza, a priori, los principales tipos de tareas que forman parte de la que
entendemos como actividad de MF así como las relaciones entre ellas. Este diagrama de
actividad es un «mapa» que pretende incluir (y relacionar entre sí) el conjunto de los
recorridos matemáticos que son posibles a priori cuando se lleva a cabo una actividad
de MF, integrando en dichas actividades las funciones que proponemos debe jugar el
CDE. Se trata, en consecuencia, de una versión todavía muy esquemática del MER
alternativo que proponemos.
El MER es una hipótesis científica que se construye de manera simultánea a la
formulación progresiva del problema didáctico y que, de hecho, al mostrar «en vivo» la
razón de ser alternativa que propugnamos para el CDE en el ámbito de la MF, pone de
manifiesto (saca a la luz) los aspectos más relevantes del fenómeno de la
desarticulación específica entre el CDE y la MF que estamos estudiando y sugiere
algunas de sus consecuencias. Como hemos señalado anteriormente en este capítulo no
se construye todavía un MER que cumpla dichas condiciones, únicamente se detallan
las condiciones generales que debe cumplir y se hace un esquema de su estructura
global. A su vez, hemos utilizado el esquema de MER para formular el problema de
investigación didáctica que abordamos en esta memoria (que figura en la sección 3) y,
en parte, para interpretar la evolución histórica del papel que ha jugado el CDE en la
enseñanza secundaria portuguesa (sintetizada en la sección 4 de este capítulo). Tomando
como referencia el citado esquema de la estructura del MER hemos formulado y
contrastado empíricamente diez conjeturas relativas a diferentes aspectos de la
incompletitud y la desarticulación del CDE y la MF (en la última etapa de la enseñanza
secundaria). La interpretación de estos resultados junto con los datos proporcionados
por el análisis exhaustivo de los documentos curriculares oficiales portugueses (junto a
los españoles) nos ha permitido describir e interpretar la razón de ser oficial del CDE en
términos de los tipos de tareas y de cuestiones que el currículo portugués propone para
dar sentido a su estudio (en el paso de Secundaria a la Universidad) y analizar en qué
medida dichas tareas y cuestiones se sitúan en el ámbito de la MF4 (estos resultados
figuran en la sección 8).
4
Además, gracias a la utilización como sistema de referencia del esquema provisional del MER, hemos
podido sacar a la luz algunos de los tipos de tareas y de las cuestiones que el sistema escolar portugués no
considera que formen parte de la razón de ser del CDE.
8
En coherencia con el fenómeno de rigidez y desarticulación de las organizaciones
matemáticas escolares (confirmado ampliamente en esta memoria), estas tareas
aparecen desconectadas entre sí, como si se tratase de tareas independientes, y las
técnicas asociadas son muy estereotipadas.
El análisis de esta razón de ser «oficial» ha puesto de manifiesto que, paradójicamente,
algunas de las tareas que según el currículo oficial dan sentido al CDE, no se interpretan
en la matemática escolar, aunque lo sean, como actividades útiles en alguna etapa de un
hipotético proceso de MF. En consecuencia, la razón de ser oficial que el sistema
educativo asigna explícitamente al CDE en este nivel educativo está aún más alejada de
la MF de lo que la práctica matemática escolar que se lleva a cabo efectivamente
permitiría interpretar. El capítulo finaliza con una breve descripción del fenómeno
didáctico que denominamos de la falta de visibilidad escolar de la MF y de la
correspondiente ausencia de una posible razón de ser del CDE.
En el capítulo IV se caracterizan los tipos de variación que consideraremos en la
construcción de modelos funcionales, tanto si éstos se construyen a partir de datos
discretos como si parten de datos continuos.
El núcleo de este capítulo lo constituye la construcción explícita y detallada de algunos
recorridos matemáticos (RM) a priori que encarnan el MER. Esta construcción se lleva
a cabo, en la práctica de la investigación didáctica, al tiempo que se va perfilando la
progresiva formulación del problema de investigación (explicitado en el capítulo III),
pero el carácter lineal del texto de la memoria no permite obviamente la descripción
simultánea del MER y del problema didáctico. Es importante subrayar, sin embargo,
que en la formulación del problema de investigación (que figura en la sección 3 del
capítulo III) se utilizan de forma esencial componentes del MER y, recíprocamente, el
MER puede considerarse como una respuesta a la dimensión epistemológica (que es la
dimensión básica) del problema didáctico.
La construcción efectiva y material de algunos de los RM posibles sustentados en el
MER no está completamente determinada por éste puesto que la arborescencia de
tareas, cuestiones (y elementos de respuesta) en las que puede materializarse un RM
dependerá de la naturaleza concreta de la cuestión generatriz, del tipo de datos de los
que se parta y de las sucesivas cuestiones derivadas. Lo que sí está determinado por el
MER es la estructura básica de los diferentes RM posibles. En particular, uno de los
9
invariantes que este MER determina es el papel del CDE y, en particular, el trabajo con
modelos diferenciales como un instrumento esencial en el proceso de construcción,
estudio y utilización de modelos funcionales, tanto si se parte de datos discretos como si
los datos iniciales son continuos.
Este capítulo concluye con el esbozo de un análisis ecológico a priori, esto es, un
análisis de algunas de las condiciones que debería cumplir la organización matemática
escolar para integrar este tipo de RM.
El capítulo V se inicia con un análisis muy detallado de las condiciones institucionales
que requiere la experimentación en el grado de Medicina Nuclear de recorridos de
estudio e investigación (REI) sustentados en el MER. Este análisis incluye la
coordinación y ampliación de los objetivos programáticos habituales, la distribución del
programa de estudio estructurado por problemas de Medicina Nuclear y su relación con
los recorridos matemáticos y con las tareas del diagrama de actividad.
El diseño a priori de los REI requiere la distribución del programa de estudio en
unidades didácticas y la planificación del desarrollo de éstas mediante la articulación de
los procesos de estudio de los dos problemas básicos de Medicina Nuclear que se
pretenden estudiar. Precisamente una de las características de la experimentación
descrita en este capítulo consiste en poner de manifiesto la posibilidad de recubrir
ampliamente el curso de cálculo de Medicina Nuclear.
El núcleo de este capítulo está formado por una descripción muy detallada de la
evolución de las sesiones presenciales, completada con las actividades llevadas a cabo
en las sesiones virtuales. Esta descripción culmina con el análisis global del desarrollo y
de los resultados de la experimentación, con una evaluación de diferentes aspectos de la
experimentación y con la explicitación de algunos criterios de modificación del diseño
de los REI para tener en cuenta en futuras experimentaciones. En particular, uno de los
aspectos de la experimentación que podría ser cuestionado es el de la institución en la
que se ha llevado a cabo. Postulamos que la decisión de llevar a cabo la
experimentación en un primer curso universitario de Medicina Nuclear es coherente con
la naturaleza de la razón de ser que nuestro MER asigna al CDE en el ámbito de la MF.
Consideramos que para que sea razonable situar determinados contenidos matemáticos
en cierto nivel educativo, es imprescindible que se den las condiciones de todo tipo para
que los alumnos en cuestión puedan llevar a cabo las tareas que se requieren para
10
responder a las cuestiones que constituyen la razón de ser que asignamos a dichos
contenidos. En nuestro caso, y dado que el MER que proponemos sitúa la razón de ser
del CDE en el ámbito de la MF, se requiere que los alumnos dispongan de los medios
para trabajar en este ámbito utilizando el CDE en la forma que el MER propone. Estos
medios no están actualmente disponibles en la enseñanza secundaria portuguesa pero,
como hemos mostrado, mediante algunas modificaciones curriculares, pueden estarlo en
el primer curso universitario.
Digamos, para concluir esta introducción general, que el capítulo VI se dedica a
describir brevemente las principales aportaciones y los problemas abiertos más
relevantes que emergen de este trabajo.
La memoria se completa con unos anexos que profundizan en la explicación de
determinados aspectos que son relevantes en las diferentes secciones. Así, el anexo A
recoge algunos fundamentos y características de la teoría antropológica de lo didáctico
encuadrada dentro del programa epistemológico de investigación en didáctica (Gascón,
2003) y complementa la presentación del marco teórico que se presenta en el capítulo I
de esta memoria. El anexo B detalla el estudio de la rigidez de la actividad matemática
escolar en la Secundaria portuguesa y española (Fonseca, 2004; Lucas, 2010; Lucas et
al., 2014a, 2014b) cuya síntesis se describe en la sección 2 del capítulo I. El anexo C
presenta algunas propuestas de otras investigaciones didácticas para la construcción de
la derivada y es un suplemento del capítulo II. El anexo D resulta de una recolección de
los currículos de las matemáticas en la enseñanza secundaria portuguesa a lo largo del
siglo XX y XXI cuyo análisis detallado se presenta en la sección 4 del capítulo III. En el
anexo E se lleva a cabo una descripción exhaustiva de la contrastación empírica de las
conjeturas C1-C10 (CDE-MF) en los manuales escolares de la enseñanza secundaria
portuguesa cuyo análisis global, así como la correspondiente interpretación de los
resultados, se presenta en las secciones 5, 6 y 7 del capítulo III. El anexo F describe la
construcción algebraica de modelos discretos y continuos presentados de forma sucinta
en la sección 1 del capítulo IV a partir del estudio de la variación de los datos brutos. El
anexo G presenta todos los medios didácticos utilizados en la experimentación descrita
en el capítulo V con estudiantes de Medicina Nuclear (presentación de las nociones
básicas de la modelización funcional, cuestiones problemáticas y fichas de trabajo).
11
12
Capítulo I
Antecedentes: condiciones que inciden sobre el
desarrollo de la modelización matemática en el paso de
Secundaria a la Universidad
El marco teórico y metodológico que sustenta la investigación que se describe en esta
memoria es la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD) (Chevallard,
1999, 2006, 2012; Chevallard, Bosch & Gascón, 1997; Bosch & Gascón, 2006). Dado
que se trata de una teoría suficientemente conocida en la comunidad didáctica,
utilizaremos los principales instrumentos que dicha teoría nos aporta, acompañándolos
de las referencias pertinentes en cada caso. En el anexo A presentamos una breve
explicación del significado y alcance de dichos instrumentos.
En este capítulo presentaremos los principales antecedentes de nuestro trabajo. El
primero de dichos antecedentes tiene relación con el problema de la rigidez de la
actividad matemática escolar en contraposición a la necesaria flexibilidad que múltiples
investigadores, entre los que pueden citar a Dreyfus, Dubinsky, Sfard, Tall, Artigue,
Ponte y Matos, entre muchos otros, reclaman como una condición necesaria para que
los alumnos puedan llevar a cabo una actividad matemática genuina. En el ámbito de la
TAD y en relación con dicho problema citaremos los trabajos de Fonseca (2004) y
Lucas (2010) que caracterizan la rigidez, desarticulación e incompletitud de la
matemática escolar y los de Barquero (2009) y Serrano (2013) que estudian la ecología
de la modelización matemática en el paso de Secundaria a la Universidad. Otros dos
antecedentes importantes de nuestro trabajo son: el estudio de la desarticulación de la
proporcionalidad del resto de relaciones funcionales en Secundaria (García, 2005) y la
estructuración de la modelización funcional en tres niveles (Ruiz-Munzón, 2010) que
comportó la formulación de la que denominamos conjetura de Ruiz-Munzón.
13
1. Rigidez de la actividad matemática escolar y pensamiento matemático
flexible
El fenómeno de la rigidez y sus diferentes manifestaciones han sido estudiados por
diferentes teorías didácticas que se sitúan dentro del enfoque cognitivo (Gascón 1998,
2003) utilizando la noción de actividad matemática flexible, autónoma y abierta (en
contraposición a rígida, dirigida y rutinaria). En el ámbito de estos enfoques, el origen
de la problemática se sitúa en la constatación de las dificultades, contradicciones,
confusiones y obstáculos cognitivos que aparecen en la transición del Elementary
Mathematical Thinking (EMT) al Advanced Mathematical Thinking (AMT). A
principios de la década de los 90 del siglo pasado se puso de manifiesto que dicha
transición no puede ser explicada únicamente en base a dificultades en el aprendizaje
formal de conceptos matemáticos, sino que había que poner especial énfasis en el nuevo
tipo de razonamiento matemático asociado.
Tommy Dreyfus constató que los alumnos de primaria y secundaria aprenden, en los
cursos de matemáticas, un gran número de procedimientos estandarizados y una gran
cantidad de conocimientos, pero casi nada de la metodología de trabajo de los
matemáticos. En particular, los alumnos no aprenden a usar sus conocimientos
matemáticos de una manera flexible para resolver problemas de un tipo desconocido
para ellos (Dreyfus, 1991).
La noción de pensamiento matemático flexible puede describirse a partir de nociones
más primitivas que Tall toma originariamente de Piaget (1972) y de trabajos que
interpretan la obra de éste, como son los de Dubinsky (1991, 1996), Sfard (1989, 1991),
Harel y Kaput (1991). Dichas nociones son las de procesos mentales (o sistemas de
acciones interiorizados) y conceptos producidos por la encapsulación de procesos. Los
conceptos así obtenidos son objetos sobre los que puede aplicarse, a su vez, un sistema
de acciones que puede ser de nuevo interiorizado y dar lugar a un proceso mental de
nivel superior susceptible de ser, de nuevo, encapsulado en un concepto de orden
superior y así sucesivamente. Gray y Tall (1994) denominan “procept” a la
combinación de proceso y concepto producido por el proceso, los cuales son
representados conjuntamente por un mismo símbolo matemático, poniendo así de
manifiesto la naturaleza dual de los objetos matemáticos y el papel que juega el
simbolismo matemático en la encapsulación (de procesos en objetos) (Tall, 1996).
14
Las tres nociones básicas del Cálculo: “función”, “derivada” e “integral” (así como la
noción fundamental de “límite”) son ejemplos de procepts. El estudio del Cálculo
Elemental requerirá por tanto, desde el principio, la suficiente flexibilidad para
manipular un mismo símbolo ya sea como representante de un proceso que actúa sobre
determinados objetos, o de una entidad singular a la que se le pueden aplicar otros
procesos para obtener nuevos objetos. La potencia del AMT radica, precisamente, en la
utilización flexible de la estructura dual de los citados objetos matemáticos (y de los
que se construyen a partir de ellos) posibilitada, en parte, por la ambigüedad de la
notación que se utiliza. La rigidez de los procedimientos estandarizados que
caracterizan el EMT constituye, por tanto, un obstáculo cognitivo muy importante y
explica muchos de los errores conceptuales extravagantes (Dreyfus, 1991) que
presentan la inmensa mayoría de estudiantes en su primer encuentro con el Cálculo. En
relación a este problema, Silva, Veloso, Porfírio y Abrantes (1999) indican que el
aprendizaje de las matemáticas debe proporcionar oportunidades para que los alumnos
se involucren en una actividad matemática genuina. Enfatizan que las investigaciones
matemáticas deben ocupar un lugar destacado en el aprendizaje puesto que permiten la
formulación de conjeturas, la evaluación de su plausibilidad, la selección de las
contrastaciones adecuadas para su validación o exclusión, permiten buscar argumentos
que demuestren las conjeturas que se resisten a las sucesivas pruebas y proponer nuevas
cuestiones para investigar. Así, proponen la creación de un contexto de clase propicio al
diálogo, en que el profesor plantea buenas cuestiones para iniciar un trabajo práctico a
partir de la información mínima. Se pretende que, después de alguna discusión, los
alumnos inicien formas de trabajo de tipo exploratorio, formulación de problemas,
investigaciones o pequeños proyectos que el profesor acompaña e incentiva, asumiendo
en un momento posterior la coordinación, la sistematización del trabajo desarrollado y
la formalización de los aspectos matemáticos inherentes. La visión tradicional, que no
es cuestionada por el currículo actual, presenta una matemática rígida en la que las
definiciones tienen un carácter absoluto y, por tanto, presenta un carácter opuesto al que
las tareas de investigación pueden vehicular. Podemos, en resumen, identificar dos
aspectos en el actual contexto de la aprendizaje de la Matemática que dificultan la
utilización regular de tareas de investigación: el gran número y dimensión de los
contenidos curriculares y el mensaje implícito sobre la naturaleza de la matemática que
se trasmite por los programas actuales y por las prácticas de evaluación habitualmente
utilizadas (Silva et al., 1999).
15
De acuerdo con João da Ponte y João Matos consideramos (y mostraremos que esta
afirmación puede sustentarse empíricamente) que muchas de las dificultades que
presentan los alumnos para trabajar con “tarefas de investigação” y, en particular, para
plantear cuestiones pertinentes en el desarrollo de dichas tareas, provienen del carácter
formal de la matemática escolar y de la forma como ésta está organizada:
[...] ensinam-se ‘respostas’ sem dar a mínima importância às 'questões' que as originam ou
à forma como foram alcançadas” (Ponte & Matos, 1996, p. 123).
Para estos autores, la forma como los alumnos conciben las representaciones y
notaciones matemáticas adecuadas a las situaciones o fenómenos que les son
presentados es un elemento fundamental para la realización de investigaciones. Muchas
veces, los alumnos manifiestan tener dificultad en concebir alguna representación, no
conciben las más adecuadas, o “saltan” entre diferentes representaciones, lo que les crea
serias dificultades en la realización de la tarea propuesta.
En el mismo sentido, Michèle Artigue (1998a, 1998b) considera que la flexibilidad en el
uso de diversos registros de representaciones (gráficas, simbólicas, lenguaje natural,
gestuales,…), así como la flexibilidad en la articulación sistemática de diferentes
interpretaciones de un mismo objeto matemático son condiciones esenciales para
desarrollar una actividad matemática genuina. Las instituciones educativas deberían
tomar bajo su responsabilidad el trabajo de posibilitar y potenciar la articulación de los
diversos registros de representación y las diferentes interpretaciones de los objetos
matemáticos, puesto que, cuando dicha articulación se deja al trabajo privado del
estudiante, las posibilidades de fracaso son grandes. En particular Artigue afirma, de
acuerdo con Tall (1996), que las tecnologías informáticas, si se utilizan adecuadamente,
pueden jugar un papel decisivo en el desarrollo de articulaciones flexibles y en el
equilibrio entre los registros algebraico y gráfico.
En lo que sigue, utilizando las herramientas que nos proporciona la TAD, analizaremos
detalladamente algunos aspectos de la matemática escolar con el objetivo de aportar
una base empírica que sustente y permita precisar la hipótesis (compartida, como
hemos visto, por múltiples investigadores) según la cual la matemática escolar en la
enseñanza secundaria está organizada de forma rígida y atomizada, lo que dificulta
enormemente el progreso de una actividad matemática genuina por parte de los alumnos
y, en especial, obstaculiza el desarrollo de la actividad de modelización matemática.
Además, nuestro trabajo pretende apoyar con datos empíricos que esta rigidez e
16
incompletitud de las matemáticas escolares constituye un fenómeno didáctico de
carácter institucional (antes que personal) relativamente independiente de las
características personales de los sujetos del proceso didáctico (alumnos y profesores) y
hasta de las culturas pedagógicas en las que éstos están inmersos.
2. El fenómeno didáctico general de la atomización, rigidez e
incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares
En un trabajo anterior de Cecilio Fonseca se pone de manifiesto la atomización de las
organizaciones matemáticas y la rigidez en el tipo de tareas y de técnicas que los
alumnos utilizan en la enseñanza secundaria española, mostrando la ausencia escolar del
cuestionamiento tecnológico de las técnicas matemáticas, esto es, la ausencia
institucional de un análisis del coste, la fiabilidad y el dominio de validez de las técnicas
que se utilizan para realizar una tarea, lo que constituye una condición esencial para
flexibilizar la actividad matemática escolar (Fonseca, 2004; Bosch, Fonseca & Gascón,
2004).
Así, en la enseñanza secundaria, las matemáticas surgen como una secuencia de
conocimientos puntuales que consisten básicamente en aplicar técnicas predeterminadas
a un cierto tipo de problemas, después de una presentación teórica descriptiva por parte
del profesorado. En esta presentación pocas veces se cuestiona la necesidad de justificar
la técnica utilizada para llevar a cabo la actividad matemática, ni tampoco, cuál es el
dominio de validez de dicha técnica.
Para empezar a estudiar este fenómeno y proporcionar una base empírica al supuesto
carácter atomizado y rígido de las organizaciones o praxeologías matemáticas escolares
(en adelante, OM), se proponen y se contrastan empíricamente cinco conjeturas
específicas relativas a la actividad matemática escolar en Secundaria (Fonseca, 2004, p.
45-48)
C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura
C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado
obtenido
C3. Cada tarea está asociada a una técnica privilegiada
17
C4. No hay reversión de las técnicas para realizar la tarea matemática
“inversa”
C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización
Posteriormente en Lucas (2010) y Lucas et al. (2014a, 2014b) se muestra hasta qué
punto y en qué sentido el fenómeno didáctico-matemático de la desarticulación, rigidez
e incompletitud de las OM escolares es generalizable más allá de las instituciones
escolares españolas. Para el contraste experimental de dichas conjeturas en los sistemas
educativos portugués y español se eligieron tres tipos de datos empíricos como
indicadores de las características de las OM que se reconstruyen en ambas instituciones:
1) Los programas oficiales y respectivos diseños curriculares de las
matemáticas, en particular, del 3º ciclo y la enseñanza secundaria portuguesa
y de la enseñanza secundaria obligatoria y bachillerato del sistema escolar
español.
2) Las respuestas de una muestra de estudiantes de matemática de escuelas
portuguesas y españolas a las tareas matemáticas propuestas en un
cuestionario.
3) Los datos obtenidos del análisis de los tipos de tareas que propone una
muestra de manuales escolares aprobados oficialmente por las autoridades
educativas portuguesa y española para su uso en los citados niveles
educativos. Estos datos pueden considerarse la “respuesta de los libros de
texto” al citado cuestionario.
Es importante subrayar que el objeto de estudio, cuando analizamos las respuestas al
cuestionario, no son los conocimientos matemáticos de los estudiantes, sino el tipo de
tareas y de técnicas institucionales que se proponen en el estudio de la actividad
matemática de secundaria.
De una forma general, los datos empíricos obtenidos en ambos estudios ponen de
manifiesto que la atomización, la rigidez y la consiguiente incompletitud de las OM de
la enseñanza secundaria constituyen un fenómeno didáctico relativamente independiente
del profesor y de la cultura pedagógica del alumno. Incluso las diferencias más
significativas entre las respuestas de los estudiantes de España y de Portugal (y que, en
todo caso, son marginales) se explican principalmente a partir de diferencias en los
currículos y en los libros de texto de los dos sistemas escolares. Los tipos de tareas
18
analizadas, así como un análisis detallado de los resultados obtenidos, pueden ser
consultados en el anexo B de esta memoria que es una síntesis del trabajo desarrollado
en Lucas (2010).
En resumen, el análisis de los resultados nos permite concluir que hay una relación
directa entre la baja frecuencia de determinadas tareas en los libros de texto y el pobre
porcentaje de respuestas correctas de los estudiantes a los ítems relacionados con dichas
tareas. Observamos así que alumnos con culturas, sociedades y tradiciones distintas y
también, con niveles de enseñanza diferentes, manifiestan un comportamiento similar al
contestar un cuestionario que pretende analizar el grado de incompletitud y atomización
de ciertas organizaciones matemáticas, lo que nos lleva a creer que el tipo de actividad
matemática que se propone en los sistemas escolares de Portugal y en España tiene
muchos rasgos comunes. Sintetizamos a continuación dichos rasgos:
En el primer aspecto de la rigidez de las matemáticas en la enseñanza secundaria,
correspondiente a la conjetura C1, concluimos que las técnicas que se utilizan dependen
fuertemente de la nomenclatura, porque basta modificar en el cuestionario el símbolo
representativo de la incógnita por otro menos habitual para que el número de respuestas
incorrectas y en blanco de los estudiantes aumente considerablemente. Correlativamente
verificamos que los resultados obtenidos en la primera conjetura están de acuerdo con la
escasez de ejercicios propuestos en los libros de texto que permiten que el alumno
manipule una determinada técnica utilizando nomenclaturas no usuales. De este modo,
concluimos que las técnicas matemáticas se tienden a identificar con los objetos
ostensivos, símbolos, palabras, gráficos y gestos (Bosch, 1994) que se utilizan para
describirlas y para aplicarlas. Esta uniformidad en la nomenclatura provocará un gran
obstáculo para los estudiantes de matemáticas en el primer curso universitario.
Un segundo aspecto de la rigidez de las OM está relacionado con el hecho de que el
conjunto de normas que regulan la distribución de responsabilidades entre el profesor y
los estudiantes de Secundaria no asigna a éstos (ni siquiera de forma compartida) la
responsabilidad de interpretar el resultado obtenido después de aplicar una determinada
técnica matemática. Los datos muestran que los alumnos manifiestan dificultades en las
tareas en que interviene el bloque tecnológico-teórico de las praxeologías y, en
particular, cuando la tarea requiere la interpretación de la actividad matemática. Dichos
datos apoyan asimismo, la hipótesis de que la actividad matemática que se lleva a cabo
en Secundaria, tanto en Portugal como en España, es esencialmente práctico-técnica y
19
raramente alcanza el nivel tecnológico (en el sentido de la TAD)5. Por otro lado, los
datos que nos proporcionan los libros de texto en relación con la segunda conjetura
confirman que en Secundaria no existen, prácticamente, tareas institucionalizadas que
tengan por objetivo interpretar el funcionamiento o el resultado de una técnica.
Un tercer aspecto de la rigidez de las praxeologías u OM correspondiente a la conjetura
C3, se resume en la existencia de una única técnica privilegiada asociada a cada tipo de
tareas matemáticas. Significa que el contrato didáctico no permite que el alumnado
asuma la responsabilidad de decidir, de entre las diversas técnicas útiles para resolver
una tarea, cuál es la más económica o la más fiable. Este fenómeno provoca la
atomización de las diversas tareas. En varios casos, para realizar una determinada tarea,
los estudiantes no utilizaron la técnica con menor coste lo que provocó errores de
cálculo y respuestas incorrectas. También en este caso, los datos empíricos extraídos de
los manuales escolares permiten explicar por qué los alumnos no comparan nunca el
coste de dos técnicas diferentes para decidir cuál es la más adecuada en cada caso,
puesto que ésta es una actividad prácticamente ausente de los manuales escolares.
Observamos que no forma parte de la responsabilidad matemática asignada al alumno el
invertir una técnica para resolver la tarea inversa. Los enunciados referentes a tareas no
habituales presentan una gran dificultad para el estudiante. Basta cambiar, por ejemplo,
la determinación de las soluciones de una ecuación por la determinación de la ecuación
conociendo las soluciones para que el número de respuestas correctas decrezca muy
significativamente. Esta incapacidad para invertir las técnicas representa el cuarto
aspecto de la rigidez de las organizaciones matemáticas de Secundaria. Otra vez
podemos verificar que los datos empíricos extraídos de los manuales escolares permiten
dar cuenta de la razón por la cual los alumnos no son capaces de invertir una técnica
matemática para abordar la tarea inversa. Este hecho puede considerarse como un
aspecto particular de la incapacidad del sistema escolar y, por tanto, de los alumnos, de
modificar ligeramente una técnica (esto es, de utilizarla de manera flexible) cuando la
tarea lo requiere.
5
En la TAD se denomina discurso tecnológico relativo a una técnica a un discurso matemático razonado
que permite describir, interpretar y justificar dicha técnica. Se trata, junto a la teoría, de uno de los
componentes del logos que junto a la praxis, constituida por los tipos de tareas y las técnicas estructuran
las praxeologías (= praxis + logos). La tecnología es también un instrumento para modificar las técnicas y
hasta para construir técnicas nuevas.
20
Por último, y muy importante, se vuelve a constatar la baja frecuencia de situaciones de
modelización en los libros de texto y, consecuentemente, la dificultad del alumnado
para responder a las cuestiones que envuelven la construcción y la manipulación de
modelos que traduzcan situaciones reales. Esta observación representa el quinto aspecto
de la rigidez de las matemáticas de la Enseñanza Secundaria. El principal indicador del
grado de completitud de una OM local lo constituye precisamente la existencia de tareas
matemáticas “abiertas”. Su importancia como indicador de la completitud proviene del
hecho de que la existencia de tareas abiertas presupone cierto grado de flexibilidad de
las técnicas y, además, presupone que las organizaciones matemáticas puntuales han
alcanzado cierto grado de articulación. No obstante, observando los resultados
empíricos, tanto de los libros de texto como del cuestionario, concluimos que las OM
escolares analizadas no satisfacen ninguno de los indicadores de completitud relativa
descritos en Bosch, Fonseca y Gascón (2004, pp. 215-220) y, en consecuencia, podemos
afirmar que la estructura de las OM escolares no presenta las condiciones necesarias
para llevar a cabo la exploración de tareas abiertas con la posibilidad de perturbar el
sistema inicial modificando los valores asignados a los datos e incluso incluyendo
nuevos datos (datos parametrizados).
Esta situación provoca restricciones ecológicas que hacen prever obstáculos importantes
para el desarrollo de la actividad de modelización matemática. Las conclusiones de las
investigaciones citadas apuntan la necesidad de que sean las propias instituciones
docentes las que asuman la responsabilidad de reconstruir organizaciones matemáticas
locales relativamente completas (Fonseca, 2004) que permitan flexibilizar e integrar las
OM que se estudian en Secundaria.
En el capítulo III de esta memoria describiremos una extensión de estas investigaciones
mediante la formulación de diez conjeturas que tienen por objetivo contrastar
empíricamente el grado de rigidez, desarticulación e incompletitud de las praxeologías
matemáticas escolares en torno al cálculo diferencial elemental y la modelización
funcional en Secundaria y, en particular, analizar cómo incide este fenómeno en la
génesis y el desarrollo potencial de la modelización funcional en el paso de Secundaria
a la Universidad.
21
3. La modelización matemática como instrumento de articulación y
completación relativa de las organizaciones matemáticas
3.1. La noción de modelización matemática en el ámbito de la TAD
Con el objetivo de discernir las consecuencias matemático-didácticas de la integración
de la modelización matemática en las instituciones escolares, es imprescindible precisar
qué se entiende por “modelización matemática” en la TAD.
Según Barquero (2009), la forma de interpretar la modelización matemática en la TAD,
supone reinterpretar y reformular los procesos de modelización para situarlos dentro de
un modelo epistemológico general de la construcción y difusión institucional de los
conocimientos matemáticos. Esta reinterpretación se basa en un análisis epistemológico
del papel de la modelización en la actividad matemática y modifica varios aspectos
importantes de la forma cómo se utiliza habitualmente la noción de “modelización
matemática” en el ámbito de la Educación Matemática. Las aportaciones más
importantes de la TAD en cuanto a la forma de interpretar la modelización matemática
son las siguientes:
(a) Se integra la modelización intramatemática en la noción de “modelización”
La TAD propone una interpretación del proceso de modelización matemática que no
sólo puede aplicarse indistintamente a todo tipo de sistemas (intramatemáticos o
extramatemáticos) sino que incluso permite cuestionar la presuntamente nítida
distinción entre unos y otros puesto que, todo proceso de modelización matemática
(aunque el sistema inicial sea extra-matemático) acaba conteniendo etapas de
modelización intramatemática (Serrano, Bosch & Gascón, 2010). Así, se incluyen los
procesos que se llevan a cabo para responder a cuestiones problemáticas que surgen en
un sistema matemático (como, por ejemplo, un sistema aritmético, geométrico o
topológico) cuya resolución requiere la construcción de un modelo matemático (que
puede ser algebraico, analítico o de cualquier otro tipo) y el trabajo en dicho modelo.
(b) Se interpreta la modelización matemática como un instrumento de articulación de
la actividad matemática escolar
22
La mayor parte de los trabajos que se llevan a cabo en el dominio de investigación
“modelización y aplicaciones” se centran, o bien en un nivel puntual de las cuestiones
aisladas (problemas de “aplicación”), o bien, consideran la modelización como una
competencia matemática general situándola, por lo tanto, en el nivel disciplinar de la
matemática escolar como un todo (Niss, 2002; Michelsen, 2006). En cualquier caso no
aparece claramente la relación entre las actividades de modelización y los temas,
sectores o áreas del currículo de matemáticas. Lo anterior significa que la noción de
“modelización matemática” que se desprende y que se utiliza en el citado ámbito de
investigación no considera los “niveles intermedios” de la escala de codeterminación
didáctica (Chevallard, 2001, 2002a, 2002b, 2007) que estructuran la matemática escolar
y que están situados entre el nivel más específico de las cuestiones puntuales y la
disciplina matemática considerada como un todo. Por su parte, la TAD describe la
modelización matemática como un proceso de construcción y reconstrucción de
organizaciones matemáticas de complejidad y completitud crecientes (puntuales,
locales, regionales) que parte de una cuestión problemática que constituye la “razón de
ser” de dicho proceso.
(c) Los modelos matemáticos como “máquinas”. Crítica y rechazo de la ilusión
representacionista
Culturalmente se interpreta el modelo como “representación” o “imagen” del sistema
que se pretende modelizar. Este punto de vista, muy influyente todavía en la cultura
escolar, constituye un verdadero obstáculo epistemológico a la construcción y
utilización adecuada de modelos científicos y, en particular, matemáticos. Chevallard
(1992) llama ilusión representacionista a este fenómeno cultural. Por ello, propone
substituir la metáfora de la “imagen” por la metáfora de la “máquina” para subrayar que
las máquinas no tienen por qué parecerse a los objetos que fabrican:
“Un modelo de un sistema dado es una máquina cuyo funcionamiento permite producir
conocimientos relativos al sistema modelizado.” (Chevallard, 1992, p.76)
(d) La modelización no es únicamente un aspecto de las matemáticas, sino que toda
actividad matemática puede ser interpretada como una actividad de modelización
En cualquier actividad matemática se puede identificar un sistema (matemático o
extramatemático) en torno al cual se formulan cuestiones problemáticas que motivan, y
dan origen, a la construcción de ciertos modelos. De esta forma concreta de interpretar
23
la modelización matemática proviene su funcionalidad así como su capacidad para
articular las organizaciones matemáticas que progresivamente se van construyendo.
(e) La modelización matemática es un proceso recursivo
En un proceso de modelización, aparecen generalmente diversos sistemas y modelos.
Los sistemas van siendo cada vez más “matematizados” y los sucesivos “modelos”
progresivamente construidos e integrados en los sistemas anteriores, van generando
nuevas cuestiones problemáticas y provocando la necesidad de seguir con el proceso de
modelización que conduce a trabajar con “modelos de modelos” del sistema inicial. De
tal manera que los modelos matemáticos de un sistema pasan recursivamente a jugar el
papel de sistemas de nuevos procesos de modelización y así sucesivamente.
(f) El modelo epistemológico de la TAD no permite considerar la modelización de
componentes aislados de una OM como “conceptos”, “técnicas” o “problemas”
Dada la naturaleza dinámica de las praxeologías u organizaciones matemáticas, y la
profunda interrelación que hay entre sus componentes, no podemos hablar de
modelización de un componente de la praxeología independientemente del resto de sus
elementos. De este modo, la TAD propone una ampliación de las nociones de modelo y
sistema reconociendo su estructura praxeológica. Así, los procesos de modelización
pasan a describirse en términos de una articulación entre diversas OM, identificándose
la actividad de modelización con una actividad funcional dirigida a la exploración de
situaciones problemáticas mediante la construcción de modelos matemáticos que tienen
estructura praxeológica y que permiten resolver las situaciones planteadas al tiempo que
hacen emerger nuevos y más profundos problemas.
En definitiva, desde la TAD, proponemos reformular los procesos de modelización
como procesos de construcción y articulación de praxeologías matemáticas de
complejidad y completitud crecientes (Bosch, Fonseca & Gascón, 2004) con el objetivo
de dar respuesta a ciertas cuestiones problemáticas relativas a cierto ámbito de la
realidad matemática o extra-matemática. Así, la modelización matemática puede
funcionar como un instrumento de articulación de la actividad matemática escolar
(García, 2005; Barquero, 2009; Serrano, 2013).
Todos estos trabajos que utilizan esta forma de interpretar la modelización como
instrumento de articulación y completación relativa de las OM constituyen claros
antecedentes del problema que tratamos en esta memoria relativo a la articulación entre
24
el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional como condición para
posibilitar el desarrollo de ésta en el paso de Secundaria a la Universidad.
3.2. Desarticulación de la relación de proporcionalidad respecto del resto de
relaciones funcionales
El fenómeno general de la rigidez, desarticulación e incompletitud de las organizaciones
matemáticas de la enseñanza secundaria, descrito en la sección 2, no es un fenómeno
uniforme cuyas consecuencias puedan describirse de una vez por todas y de forma
similar en todos los casos. Por el contrario, en cada ámbito de la actividad matemática
este fenómeno se manifiesta mediante características y consecuencias específicas que
dependen de los contenidos matemáticos involucrados, aunque en todos los casos
estudiados hasta la fecha se ha podido constatar que provoca restricciones de uno u otro
tipo a la vida escolar de la modelización matemática.
Una de las manifestaciones del citado fenómeno general en un ámbito específico de la
enseñanza secundaria obligatoria la constituye la llamativa desarticulación de la relación
de proporcionalidad respecto al resto de relaciones funcionales que aparecen en dicho
nivel educativo (García, 2005; García et al., 2006).
Fue precisamente con el objetivo de suavizar las consecuencias didácticas de este
fenómeno que, en García (2005), se construyó un MER en torno a la modelización de
los sistemas de variación entre magnitudes que asigna a dicho ámbito una razón de ser
alternativa a la que le estipula el sistema escolar6. Este MER articula diferentes tipos de
variación entre magnitudes discretas y sirvió de base para diseñar y experimentar un
recorrido de estudio e investigación (en adelante, REI – ver sección 4 –) con alumnos
de cuarto curso de enseñanza secundaria obligatoria española (alumnos de 16 años).
Debido a las restricciones institucionales, los sistemas de variación considerados en este
trabajo se restringieron al caso de magnitudes discretas, lo que implicó que la actividad
matemática generada se circunscribiera al trabajo con sucesiones y ecuaciones en
diferencias finitas elementales. Además, por las mismas razones, los tipos de variación
considerados se ciñeron a los que están caracterizados mediante determinadas
6
Asignar a un ámbito de la matemática escolar una razón de ser diferente a la que le asigna oficialmente
el sistema escolar y hacerlo para sacar a la luz un fenómeno didáctico que se pretende indagar, constituye
una de las principales funciones de los MER construidos en el marco de la TAD (Gascón, 2014).
25
condiciones elementales (de equidad, de linealidad, de diferencias de orden n
constantes, de razones constantes y de linealidad inversa).
En síntesis, el MER construido en García (2005) y en García et al. (2006) articula en
una misma praxeología matemática regional un cierto universo, previamente
construido, de tipos de variación elemental entre magnitudes discretas. Y aunque dicho
MER no explicita, debido a las restricciones institucionales citadas, el paso de las
relaciones entre magnitudes discretas a las correspondientes relaciones entre
magnitudes continuas, constituye una propuesta de articulación entre la relación de
proporcionalidad y el resto de relaciones funcionales elementales que aparecen en la
enseñanza secundaria7. Esta articulación no se hace simplemente en el nivel de las
relaciones funcionales consideradas en abstracto, sino encarnadas en situaciones
(materializadas en Planes de Ahorro). Dicho en otros términos, no se articula un
conjunto de funciones elementales (entre las que se encuentra la función de
proporcionalidad) sino que se articula un conjunto de modelos funcionales
contextualizados en diferentes Planes de Ahorro, cada uno de los cuales viene
caracterizado por un tipo particular de variación entre dos magnitudes discretas.
Este trabajo constituye un importante antecedente del problema que tratamos aquí
puesto que en esta memoria estudiamos otro ámbito de la matemática escolar en el que
se manifiesta el mismo fenómeno:
¿Existen otros ámbitos de la matemática escolar en los que se manifiesta el fenómeno de la
desarticulación? ¿Cuáles son estos ámbitos? ¿Cómo se manifiesta? ¿Hasta qué punto las
manifestaciones del fenómeno de la desarticulación en un ámbito concreto de la
matemática escolar dependen del contenido matemático específico? (García, 2005, p. 525)
En efecto, como veremos a lo largo de esta memoria, el problema didáctico que
abordamos surge para estudiar el fenómeno de la desarticulación de un ámbito de la
matemática escolar situado en el paso de Secundaria a la Universidad. Se trata de un
ámbito que caracterizaremos con precisión y denominaremos modelización funcional.
Mostraremos que una de las manifestaciones de este fenómeno, en el caso específico de
la modelización funcional, es la ausencia escolar de una posible razón de ser del cálculo
7
Dado que en la enseñanza secundaria (española y portuguesa) las citadas relaciones funcionales
aparecen explícitamente como funciones reales de variable real, que pueden interpretarse como funciones
entre magnitudes continuas, el marco teórico natural para describir, interpretar y justificar la actividad
matemática que se lleva a cabo para integrar los modelos de proporcionalidad en el universo de los
modelos funcionales elementales es precisamente la teoría de las funciones reales de variable real.
26
diferencial elemental en este ámbito y las restricciones que esta ausencia comporta para
el propio desarrollo de la modelización funcional en dicho nivel educativo.
En un sentido más preciso, el trabajo de García (2005) constituye un antecedente de
nuestra investigación puesto que los REI diseñados y experimentados en esta memoria
incluyen la caracterización y construcción de un universo más amplio de tipos de
variación funcional entre magnitudes continuas y, además, abordan explícitamente la
problemática del paso de la variación entre magnitudes discretas a la variación entre
magnitudes continuas.
3.3. Conjetura de Ruiz-Munzón. Desarrollo progresivo de los niveles de
modelización funcional
Al profundizar en el estudio de la modelización funcional como desarrollo de las
investigaciones sobre el proceso de algebrización de la actividad matemática y para
superar las restricciones que dificultan la vida escolar de la modelización (en este caso
se trata de la modelización funcional con parámetros en el paso de la enseñanza
secundaria obligatoria al Bachillerato), se construyó un MER que, además de ampliar el
MER del álgebra elemental, contiene una sucesión de praxeologías de complejidad y
completitud crecientes y cuya dinámica de desarrollo viene guiada por la progresiva
asunción de tres niveles de modelización funcional (Ruiz-Munzón, 2010).
Este MER también sirvió de base para diseñar y experimentar un REI (ver sección 4)
que, en este caso, pretende favorecer las condiciones que hacen posible el desarrollo de
la modelización funcional con parámetros en el paso de la enseñanza secundaria
obligatoria al Bachillerato.
En el desarrollo de la experimentación de este REI se pusieron de manifiesto
limitaciones técnicas para responder a cuestiones que surgen a lo largo del proceso de
modelización funcional con parámetros. Dichas limitaciones están relacionadas
principalmente con la carencia de ciertas técnicas específicas del cálculo diferencial y,
especialmente, con la ausencia escolar de determinados tipos de tareas (y, por
consiguiente, de las técnicas asociadas) relativas al papel del cálculo diferencial en la
construcción y el trabajo con modelos funcionales. Se formuló así una conjetura, que
llamaremos conjetura de Ruiz-Munzón, según la cual la «razón de ser» del cálculo
27
diferencial, esto es, las cuestiones problemáticas que dan sentido al estudio del cálculo
diferencial en la última etapa de la enseñanza secundaria, debería situarse en el ámbito
de la modelización funcional. En concreto, Ruiz-Munzón postula:
[…] la modelización funcional debería constituir la razón de ser del cálculo diferencial del
Bachillerato y primeros cursos universitarios. Pero hemos de reconocer que se necesita un
estudio más detallado para contrastar empíricamente dicho postulado lo que requerirá, en
particular, desarrollar el MER propuesto para la modelización algebraico-funcional de tal
manera que integre la actividad matemática elemental en torno al cálculo diferencial e
integral. (Ruiz-Munzón, 2010, p. 379, volume1)
El significado de esta conjetura depende, obviamente, de lo que se entienda por cálculo
diferencial y por modelización funcional. En esta memoria hemos asumido, sólo
provisionalmente, la caracterización que se propone en Ruiz-Munzón (2010) del
desarrollo hipotético de la modelización funcional en tres niveles caracterizados
mediante praxeologías matemáticas de complejidad y completitud crecientes que
describiremos en lo que sigue. Con el objetivo de profundizar en el significado de la
citada conjetura, proponemos (en el capítulo III de esta memoria) una redefinición de la
noción misma de «modelización funcional» (en adelante MF) que amplía en gran
medida, al tiempo que detalla y precisa los tipos de tareas que forman parte de la
actividad de MF. Esta nueva caracterización de la MF se materializa esquemáticamente
en el diagrama de actividad de MF que figura en el capítulo III y se desarrolla con todo
detalle en el capítulo IV.
A continuación ejemplificaremos los tres niveles de modelización funcional definidos
en Ruiz-Munzón con el objetivo de poner de manifiesto el progresivo papel del CDE en
los dos primeros niveles y la necesidad del cálculo diferencial en varias variables en el
tercer nivel de modelización funcional (Ruiz-Munzón, 2010; Ruiz-Munzón et al.,
2011).
Primer nivel de modelización funcional
Siguiendo a Ruiz-Munzón (2010) denominamos primer nivel de modelización funcional
de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan mediante funciones
aisladas de una única variable y las correspondientes ecuaciones (e inecuaciones)
asociadas. Este tipo de modelización incluye las primeras etapas de la modelización
algebraica, en el sentido de Bolea (2002, 2003), y viene a responder a cuestiones que
hacen referencia a la variación de una magnitud del sistema en función de otra. Su
28
puesta en marcha requiere, más allá de las técnicas puramente algebraicas, el uso de
nuevas técnicas (que llamamos “funcionales” y “gráficas”) que incluyen las relativas al
estudio de la variación de magnitudes, crecimiento, decrecimiento, ritmo de variación,
extremos, etc. Entre dichas técnicas destacan, obviamente, las que proporciona el
cálculo diferencial. Se trata, en definitiva, de técnicas que permiten el estudio elemental
de las relaciones internas entre los elementos de una función y el análisis del
comportamiento global de la misma.
Segundo nivel de modelización funcional
A lo largo de la enseñanza secundaria los símbolos literales juegan de manera casi
exclusiva el papel de incógnitas (en las ecuaciones) o el de variables (en el lenguaje
funcional), mientras que el papel de los parámetros está prácticamente ausente. Esta
situación dificulta enormemente el paso del trabajo con las expresiones analíticas de
funciones elementales al estudio de familias de funciones y al uso de estas familias
como modelos de sistemas en los cuales aparecen relaciones entre magnitudes, lo que
provoca importantes consecuencias didácticas:
Postulamos que estas dificultades para estudiar sistemáticamente familias de funciones
constituyen una de las principales causas de la desaparición de la “razón de ser” del cálculo
(diferencial e integral) del Bachillerato y, en consecuencia, uno de los principales
obstáculos para dar sentido al Análisis que se estudia a nivel universitario. (Ruiz-Munzón,
2010, p.100).
Siguiendo de nuevo a Ruiz-Munzón (2010), denominamos segundo nivel de
modelización funcional de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan
precisamente mediante familias de funciones de una variable y las correspondientes
ecuaciones (e inecuaciones) paramétricas asociadas. En este segundo nivel de
modelización se distingue todavía entre “parámetros” y “variables” de tal forma que sus
papeles aún no se consideran intercambiables. Se trabaja, por lo tanto, con familias de
funciones de una variable, pero no con funciones de varias variables.
Tercer nivel de modelización funcional
En la enseñanza secundaria las fórmulas no se construyen nunca como resultado de un
trabajo algebraico ni juegan propiamente el papel de verdaderos “modelos algebraicos”
en los cuales las variables de cualquier tipo (parámetros o incógnitas) sean
intercambiables.
29
Siguiendo de nuevo a Ruiz-Munzón (2010), denominamos tercer nivel de modelización
funcional de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan mediante
familias de funciones de dos o más variables y las correspondientes fórmulas asociadas.
En este tercer nivel de modelización el papel de los “parámetros” y de las “variables” es
intercambiable y se estudia cómo repercute la variación conjunta de dos o más variables
sobre la variación de una función. Esta tarea puede plantearse a partir de los modelos
trabajados en el segundo nivel, pero la resolución completa de la misma requiere de
técnicas que no están disponibles en el segundo nivel.
En este punto aparecen necesidades técnico-prácticas y tecnológico-teóricas
(relacionadas con el cálculo diferencial de funciones de varias variables reales) que van
mucho más allá de lo que es posible estudiar en la actual enseñanza secundaria y primer
curso universitario (tanto en España como en Portugal) y que provocan, de nuevo, una
clara ampliación y completación relativa de la anterior praxeología matemática en el
sentido de Bosch et al. (2004).
OMfp,q(x,y)
OMfp,q(x)
OMfp(x)
OMf(x)
Figura 1 – Representación de los tres niveles de modelización funcional
Hemos visto que a lo largo de los sucesivos niveles de modelización funcional las
técnicas del CDE juegan diversas funciones, pero la conjetura de Ruiz-Munzón relativa
a la razón de ser del CDE en el paso de Secundaria a la Universidad sólo tomará pleno
sentido con la redefinición que propondremos de MF en el capítulo III.
30
4. Los REI como respuesta de la TAD a las restricciones que dificultan el
desarrollo de la modelización matemática en las instituciones escolares
Como respuesta a las restricciones que dificultan el desarrollo de una actividad
matemática flexible en las instituciones escolares y, en particular, para superar las
dificultades objetivas con las que se encuentra la modelización matemática, han surgido
diferentes propuestas didácticas entre las que pueden citarse, entre otras, la enseñanza
por proyectos y el inquiry-based teaching.
En el ámbito de la TAD, de acuerdo con Barquero et al. (2011), para abordar el
problema citado se utiliza la noción de “recorrido de estudio e investigación” (REI) que
introdujo Chevallard (2005, 2006). Un REI se inicia con el estudio de una cuestión Q
con fuerte poder generador, capaz de propiciar la aparición de numerosas cuestiones
derivadas. Para poder dar respuesta a dichas cuestiones, se requiere la reconstrucción de
un número considerable de herramientas matemáticas (técnicas, nociones, propiedades,
etc.), que aparecen así como una consecuencia (y no como el origen) del estudio de las
cuestiones. La propuesta de los REI pretende recuperar la relación genuina entre
cuestiones y respuestas que está en el origen de la construcción del conocimiento
científico en general y de la actividad matemática en particular.
Uno de los objetivos principales de la propuesta de los REI es el de introducir en la
escuela una nueva epistemología que se propone reemplazar el paradigma escolar
monumentalista, que se caracteriza por el inventario y la exposición de los saberes, por
un paradigma del cuestionamiento del mundo, para dar sentido al estudio escolar de las
matemáticas en su conjunto, transportando a la escuela una actividad de estudio más
cercana al ámbito de la investigación. Como indica Chevallard (2009c, p. 12):
Dans ce paradigme, on va à l’école – tel est le contrat entre société et école – non pour visiter
des savoirs regardés comme désirables en eux-mêmes, mais pour interroger sur le monde et
interroger le monde.
De hecho, en las investigaciones citadas anteriormente como antecedentes de este
trabajo como, por ejemplo, García (2005), Barquero (2009), Ruiz-Munzón (2010) y
Serrano (2013), se responde al fenómeno de la rigidez, desarticulación e incompletitud
relativa de las organizaciones matemáticas escolares, mediante el diseño y
experimentación de un REI basado en cada caso en un MER alternativo al modelo
epistemológico dominante en las instituciones escolares.
31
Dentro del paradigma del cuestionamiento del mundo, los REI aparecen como un
dispositivo didáctico privilegiado para dar cabida a la actividad de modelización en la
enseñanza actual de las matemáticas. En efecto, el punto de partida de un REI debe ser,
como ya hemos dicho, una cuestión de interés real (“viva”) para la comunidad de
estudio, que denotaremos por Q0 y a la que llamaremos cuestión generatriz del proceso
de estudio. A lo largo del REI, el estudio de la cuestión generatriz Q0 evoluciona y da
lugar al planteo de muchas nuevas “cuestiones derivadas”: Q1, Q2,…, Qn. El estudio de
Q0 y de sus cuestiones derivadas conduce a la búsqueda de respuestas y, con ello, a la
construcción de un gran número de saberes que delimitan el mapa y marcan los límites
provisionales del “territorio” a recorrer durante el proceso de estudio. Este proceso, que
podremos sintetizar como una red de cuestiones y respuestas (Qi, Ri), contiene las
posibles trayectorias a “recorrer” generadas a partir del estudio de Q0.
La modelización matemática tiene un papel esencial en este proceso por varios motivos.
En primer lugar, la producción de “respuestas provisionales” a la cuestión inicial Q0
requiere la construcción de modelos, su utilización y el cuestionamiento de su ámbito de
validez, generando así nuevas cuestiones que, a su vez, requieren un nuevo proceso de
modelización. Durante la evolución de un REI el cuestionamiento de estas respuestas
provisionales que se van obteniendo se incorpora en todo momento a la actividad de
modelización. Este cuestionamiento es el motor del proceso de modelización y, por lo
tanto, de la estructura arborescente y articulada de los REI.
En segundo lugar, los REI permiten explicitar, institucionalizar y evaluar el proceso
global de modelización. Esto es posible dado que el proceso de estudio generado por los
REI tiene cierta continuidad en el tiempo, logrando superar la atomización tradicional
del estudio escolar de las matemáticas. Además, dado que el objetivo de un REI es dar
respuesta a ciertas cuestiones y no aprender (o enseñar) ciertos conceptos establecidos a
priori, el proceso de modelización (que incluye las respuestas que se aportan a la
cuestión generatriz y a las cuestiones derivadas) puede considerarse como un objetivo
de la enseñanza en sí mismo y no como un medio para construir nuevos conocimientos.
El desarrollo de un REI supone dar importancia tanto al proceso de estudio encarnado
en una actividad de modelización como a la respuesta que éste genera.
Digamos para finalizar que los REI son dispositivos didácticos caracterizados por el
hecho que el objetivo del estudio no viene definido por un conjunto de saberes
designados de antemano, sino como un conjunto de cuestiones Q a las que la comunidad
32
de estudio se propone aportar una respuesta R. A lo largo de un REI, que siempre está
protagonizado por una comunidad de estudio concreta en una institución particular y
sujeto a determinadas condiciones y restricciones, se movilizarán todos aquellos
◊
recursos, medios, saberes y respuestas ya disponibles R que sea necesario con tal de
construir una “buena respuesta” R. Los REI, como el resto de dispositivos didácticos
posibles, pueden representarse mediante un esquema que se denomina esquema
herbartiano (Chevallard, 2009b) que puede considerarse como un modelo didáctico
general de referencia y que toma la siguiente forma:
◊
◊
[S(X ; Y ; Q)  { O1, Ok, Q1, Qm, R1, …, Rn}]  R
Los elementos del esquema son los siguientes. Se parte de un sistema didáctico S
formado por una comunidad de estudio X que se propone abordar una cuestión Q con la
ayuda de un equipo de profesores Y. El resultado final de abordar la cuestión Q es la
elaboración de una respuesta R formada por componentes praxeológicos más o menos
integrados.
◊
◊
El medio didáctico, M = { O1, …, Ok, Q1, …, Qm, R1, …, Rn} está formado por tres
conjuntos de elementos: un conjunto de cuestiones derivadas de la cuestión generatriz,
◊
Qi, un conjunto de respuestas preestablecidas, R i que representan respuestas
previamente construidas con relación a las Qi a las cuales se puede tener acceso, y un
conjunto de obras, Ok que resultan de utilidad para la contrastación y la
◊
«deconstrucción» de las respuestas preestablecidas R i , que fueron en su momento
construidas para tratar cuestiones más o menos relacionadas con las que se están ahora
planteando.
El esquema herbartiano puede considerarse, por tanto, como un sistema de referencia
que utiliza el didacta para observar, describir, analizar y evaluar los sistemas didácticos
existentes en las instituciones sociales o teóricamente posibles. Proporciona un modelo
general de lo que se entiende en la TAD por «estudiar una cuestión».
Este esquema incluye la dinámica del proceso de estudio de una cuestión cualquiera que
supone técnicas de estudio que se materializan en un conjunto de gestos de estudio e
investigación que se designan como dialécticas porque expresan la tensión entre parejas
de términos usualmente opuestos. Entre dichas dialécticas destaca por su importancia la
que se denomina de los media y los medios (Chevallard, 2007, 2009a, 2009b).
33
34
Capítulo II
El cálculo diferencial y la modelización funcional en las
investigaciones didácticas
En este capítulo se expone una panorámica, necesariamente parcial, del tratamiento que
ha recibido el problema didáctico del cálculo diferencial en algunos enfoques
didácticos.
Con el objetivo de mostrar las relaciones entre las diversas investigaciones y el
problema que se trata en esta memoria, se analiza la forma como se ha tratado la
problemática del cálculo diferencial en el paso de Secundaria a la Universidad y las
relaciones que dichas investigaciones propugnan entre éste y la modelización funcional.
Una de las principales conclusiones de este análisis consiste en constatar que en las
investigaciones didácticas no se caracteriza la actividad de modelización funcional
mediante una estructura articulada de tareas matemáticas coordinadas entre sí. Surge así
la necesidad de explicitar lo que se considera como modelización funcional (MF) y
como cálculo diferencial elemental (CDE) como paso previo a asignar un determinado
papel al CDE en el ámbito de la MF.
Por ello el capítulo concluye con una caracterización inicial de lo que a partir de este
punto consideraremos como CDE, dejándose para el próximo capítulo la redefinición
que proponemos de la noción de MF.
35
1. El problema didáctico del cálculo diferencial en las investigaciones en
Educación Matemática
En lo que sigue vamos a describir algunos de los problemas didácticos que se han
formulado y abordado por los diferentes investigadores en el ámbito del cálculo
diferencial elemental (CDE) en el sentido que se caracteriza en la sección 4 de este
capítulo. En esta panorámica utilizaremos principalmente los trabajos de Michèle
Artigue y de otros autores de diferentes enfoques que hayan estudiado aspectos
importantes del problema didáctico del cálculo diferencial. Posteriormente analizaremos
las relaciones que se propugnan o describen entre el cálculo diferencial elemental y la
modelización funcional.
Presentaremos una breve descripción de la forma como cada uno de ellos plantea el
problema así como de sus principales aportaciones.
1.1. Dificultades en el aprendizaje del Cálculo
Según Artigue (1995), los resultados de diversas investigaciones evidencian dificultades
en la identificación de las principales nociones del Cálculo, empezando por la noción de
función, especialmente cuando se inicia la enseñanza del Cálculo. También se detectan
dificultades para desarrollar la flexibilidad entre el proceso función y el concepto
función, a pesar de que dicha flexibilidad es esencial para avanzar en el trabajo del
Cálculo. Las investigaciones en esta dirección (Dubinsky & Harel, 1992; Sfard, 1989)
se apoyaron en la distinción entre el status operacional (dinámico) y el estructural
(estático) de la noción de función. También se observaron dificultades cognitivas en las
conversiones de un registro simbólico de las expresiones de la noción de función a otro,
e incluso en el trabajo dentro de un mismo registro, por ejemplo, en el registro gráfico
cuando se deben manejar simultáneamente dos niveles de información (informaciones
sobre la función y sobre su derivada). Asimismo se han encontrado dificultades para:
considerar las funciones como herramientas del trabajo matemático; traducir al cuadro
de las funciones, problemas que han sido planteados en otros cuadros matemáticos
(numérico, geométrico, o extramatemáticos) y que necesitan de tal traducción para ser
resueltos.
36
En el mismo trabajo, Michèle Artigue reseña que el Cálculo es un dominio donde la
actividad matemática se apoya bastante en las competencias algebraicas pero, al mismo
tiempo, el acceso a dicho dominio requiere de una ruptura con determinadas prácticas
algebraicas. Artigue constata que esta ruptura (la ruptura álgebra-cálculo) se ha
trabajado muy poco en las investigaciones sobre el aprendizaje del Cálculo (M. Legrand
en 1993 fue uno de los pocos investigadores que han señalado esta ruptura).
Según Azcárate, Camacho y Sierra (1999), que hace referencia a Artigue y Ervynck
(1993), el grupo de trabajo del ICME7 celebrado en Quebec, en 1992,
Students’difficulties in Calculus contó con aproximadamente 200 participantes de
diferentes países con el objetivo de responder a ciertas cuestiones relacionadas con los
objetivos, las dificultades y los problemas que surgen a la hora de implementar
secuencias de enseñanza en un curso de Cálculo. Los trabajos presentados reseñaran la
necesidad del estudio de los procesos cognitivos que intervienen en el desarrollo de
cada una de las nociones y, en particular, en la significación de la noción de derivada.
Como consecuencia de estos estudios y de la Reforma del Cálculo implementada en los
Estados Unidos surgieran algunas modificaciones en los currículos de los diferentes
países, en particular, una introducción más intuitiva, experimental y con recurso a las
tecnologías. En la siguiente tabla se esquematizan las ventajas y desventajas de la citada
Reforma del Cálculo:
Reforma del Cálculo
Ventajas
Desventajas
Análisis más accesible
La pérdida progresiva de matematización
Estudiantes en contacto con los problemas
centrales: optimización y aproximación
Dificultad de conseguir problemas lo
suficientemente ricos
Mayor importancia a lo numérico y gráfico
Definiciones poco rigurosas
Técnicas facilitadas por las calculadoras gráficas
Problemas que surgen por el uso de la calculadora
y con su integración en sala de aula
Tabla 1 - Ventajas y desventajas de la Reforma del Cálculo según Michèle Artigue (1997)
En la misma línea David Tall consideró, en la década de los 90, como dificultades
esenciales las ligadas a la noción de límite y a los procesos infinitos que intervienen en
las nociones básicas de derivada e integral, teniendo en cuenta además otro tipo de
37
dificultades que tienen que ver con el estudio de las funciones, la notación de Leibniz,
dificultades asociadas al uso y selección de las distintas representaciones, etc. Sin
embargo, reseña que los estudiantes muestran preferencia por una de las clases de
representación: simbólica o gráfica. Al comparar estudiantes con los que se realiza un
trabajo experimental con calculadoras gráficas se observó que obtienen una mayor
comprensión de los conceptos que aquellos con los que se desarrolla un trabajo
tradicional (Tall, 1996). Es de reseñar que el alumnado acostumbrado a la manipulación
y dominio de la calculadora gráfica tiene más facilidad en la resolución intuitiva de
problemas en comparación con los habituados a resolver mayoritariamente las tareas
recurriendo al cálculo simbólico. Se presupone que este hecho es debido a la perspicacia
y habilidad desarrollada por los primeros debido a que su forma de utilizar la
calculadora simbólica les proporciona una mejor percepción del concepto espontáneo,
al que se refiere Vygotsky (1985). Los alumnos que trabajan de forma tradicional, por
su parte, son conducidos por los procesos algebraicos a centrarse en el concepto
científico.
En 2003, Michèle Artigue, describe el Cálculo como un área percibida como fuente
principal del fracaso en el nivel universitario y refiere que la estructura y contenidos del
libro Advanced Mathematical Thinking (Tall, 1991) dan una clara evidencia de estos
hechos al advertir que:
 En 1980, Orton mostró el razonable dominio que los alumnos ingleses tenían en el cálculo
algebraico de derivadas y primitivas (anti-derivadas), pero la dificultad significativa que
mostraban para conceptualizar los procesos límite subyacentes a las nociones de derivada e
integral, o sea, los estudiantes determinaban correctamente la función derivada o la
primitiva de una función dada, pero no sabían por qué, ni para qué.
 Tall y Vinner (1981) destacaban la discrepancia entre las definiciones formales que los
estudiantes eran capaces de citar y los criterios que utilizaban para comprobar
propiedades, como la de ser función o la continuidad y la derivabilidad. Esta discrepancia
llevó a la introducción de las nociones de concepto definición y concepto imagen para
analizar las concepciones de los alumnos.
 Varios autores documentaron las dificultades de los estudiantes con el razonamiento lógico
y las demostraciones, con las representaciones gráficas y, de forma especial, con la
necesaria conexión flexible entre el trabajo analítico y el gráfico.
38
En el mismo estudio, Artigue refiere que el aprendizaje matemático es un proceso
cognitivo que incluye necesariamente “discontinuidades”. En la sección 1.3. se analiza
la dualidad proceso-objeto como una de las discontinuidades principales.
1.2. La contribución de las tecnologías a la enseñanza del Cálculo
Según Azcárate, Camacho y Sierra (1999), las calculadoras gráficas y los programas de
cálculo simbólico tienen un papel muy relevante en todas las reformas curriculares. Los
autores también refirieron que en los Estados Unidos de América se ha desarrollado
desde 1986 el proyecto Calculator and Computer Pre-Calculus que tiene como base el
desarrollo de un currículo de matemáticas para la enseñanza secundaria, analizando las
habilidades necesarias para la comprensión de la noción de función, gráficas de
funciones y geometría analítica (Browning, 1989). Este trabajo consiste en el desarrollo
de un proceso sistemático en la resolución de problemas, atendiendo a las conexiones
existentes entre las distintas representaciones (verbal, algebraica, numérica y gráfica)
que se pueden obtener en el proceso de resolución de una situación problemática, para
la cual las tecnologías son de gran utilidad. Otra ventaja de las nuevas tecnologías y, en
particular, de las calculadoras gráficas y/o los ordenadores, es conducir a la
minimización de los efectos no deseados de la falta de madurez en el cálculo algebraico
de los estudiantes. También la visualización juega un papel esencial en el trabajo
matemático y es posible transmitir al alumnado una imagen de las matemáticas como
ciencia que incorpora la observación, el experimento y el descubrimiento. De este
modo, la utilización de las tecnologías puede contribuir a mejorar la significatividad del
aprendizaje.
En 1995, Artigue reseñaba que no se deberían tomar las herramientas informáticas
como un catalizador para forzar la evolución de las prácticas pedagógicas de los
profesores y para comprometerlas con un enfoque más constructivista del aprendizaje.
En este punto surge una cuestión importante:
¿Cómo debemos usar las tecnologías de manera que constituyan una contribución positiva
y no un instrumento que podría promover el fracaso en la enseñanza?
Cantoral y Mirón (2000) defienden, de acuerdo con Artigue, que, efectivamente, es
posible incidir positivamente sobre la naturaleza del aprendizaje de ideas matemáticas
39
cuando la utilización de los medios y dispositivos didácticos se acompañan seriamente
de investigación en el campo de la matemática educativa. Esto significa que sólo la
incorporación del recurso tecnológico como medio didáctico es insuficiente para
producir mejoras en el aprendizaje, siendo necesario transformarlo en un verdadero
dispositivo didáctico bajo el control del diseño de las actividades. Reseñan que la
construcción de conocimientos por parte de los estudiantes utiliza procesos diversos,
como el reconocimiento de patrones, la búsqueda de similitudes y el apoyo en sus
conocimientos previos, incorporándolos a las facilidades que les brindan las condiciones
técnicas del medio tecnológico. Por ejemplo, la estrategia de ensayo y error funciona
bien ante cierto tipo de tareas, pero fracasa ante otras más complejas.
Análogamente, Jaime Carvalho e Silva, en 2011, estaba de acuerdo con la importancia
de las nuevas tecnologías, pero ha hecho una advertencia:
O Ensino da Matemática mudou por causa das ferramentas tecnológicas hoje disponíveis. A
própria Matemática mudou. A sociedade também é imensamente diferente por causa da
tecnologia. Significa que tudo então é mais fácil, eficaz e rápido? Não, a tecnologia não é o
paraíso.
(Silva, 2011)
Con este cuestionamiento se pretende poner en evidencia que las tecnologías no tienen
la capacidad de resolver todos los problemas y, mucho menos, cuando funcionan
autónomamente y de modo no fundamentado didácticamente.
También, Cantoral y Montiel (2003) defienden que la manipulación de un determinado
dispositivo tecnológico puede favorecer el establecimiento de una relación entre
representaciones cuando genera un escenario de significados que pueden ser asociados
con el concepto matemático en cuestión como, por ejemplo, permitiendo mostrar a los
estudiantes algunas de las aplicaciones de la derivada tal como el cálculo de la
velocidad de un cuerpo en movimiento.
De un modo general, según el enfoque computacional en la enseñanza del cálculo
diferencial, los ordenadores han hecho realidad la posibilidad de la visualización
dinámica del comportamiento gráfico de las funciones, de observar mediante
simulaciones iterativas cómo la sucesión de secantes tiende a la tangente, de visualizar
la disminución iterativa de los triángulos característicos en la presentación geométrica
de la derivada, de ayudar a la visualización de la rectitud local de las curvas por medio
de magnificaciones sucesivas, de observar curvas continuas en todas partes pero
40
derivables en ningún punto, de racionalizar considerablemente el trabajo con los
métodos numéricos, etc. (Dolores, 2000).
Tal como refieren Tellechea y Robles (2008), es conveniente destacar la importancia de
introducir las nociones matemáticas, no en términos estructurales, sino con recursos
gráficos y permitir que el estudiante avance en la medida que el software lo permita. En
otras palabras, si el alumno no siente la necesidad, no se deberá exigir una concepción
estructural.
En España, Azcárate, Casadevall, Casellas y Bosch (1996), presentan una propuesta
didáctica para combinar lo gráfico, lo numérico y lo algebraico en la enseñanza de la
derivada y de la integral. Sugieren la introducción de la variación, tasa media de
variación y la pendiente de una recta, como las nociones esenciales para la construcción
de la función derivada de una determinada función. Así, el análisis empezaría con una
representación gráfica de la función y continuaría con el cálculo de la pendiente de una
recta tangente al gráfico en un determinado punto. Posteriormente, surgiría una
generalización algebraica de las expresiones de las funciones derivadas y las integrales.
Michèle Artigue, en 1998, estudió la evolución de los programas del Cálculo en los
currículos franceses y constató que, en el currículo de 1982:
La actividad matemática se organiza en torno a la resolución de problemas: problemas de
optimización, aproximación de números y funciones, modelos de variaciones discretas y
continuas... La noción de derivada, sobre todo la de función derivada, instrumento esencial
para la resolución de tales problemas, se vuelve la noción central.
El orden lógico: límites-continuidad-derivadas se rompe: se ha introducido un lenguaje
mínimo intuitivo de los límites para fundamentar la introducción de la derivación, luego la
noción de función derivada se vuelve la pieza maestra del edificio; la noción de continuidad
casi desaparece, ya que, con la definición elegida para la noción de límite, cualquier
función que tiene un límite en un punto de su dominio de definición es necesariamente
continua en este punto. (Artigue, 1998a, p. 48).
En el mismo año, Artigue en L’Évolution des Problématiques en Didactique de
L’Analyse mostró hasta qué punto el desarrollo de este campo depende tanto de la
evolución global de la didáctica como de las condiciones culturales y sociales en las
cuales se inscriben la enseñanza y el aprendizaje del análisis (carácter institucional de
los problemas didácticos). Reseña una experiencia de simulación relacionada con una
acción que proporciona una base intuitiva del Cálculo: Math-Car, desarrollado por
Kaput y Nemirosky (Kaput, 1992) y que ha permitido a estos investigadores trabajar
41
con alumnos muy jóvenes, sin habilidades algebraicas, las nociones de velocidad y de
aceleración de una forma intuitiva, con un cierto éxito.
Sin embargo, en la misma investigación, Artigue relata que, en los años 80, en la
Universidad de París, fue detectado un problema didáctico relativo al conflicto entre las
matemáticas y la física alrededor del cálculo diferencial. Un estudio del proceso de
transposición didáctica de las matemáticas y de la física, con los debates que
acompañaron la evolución de ambas disciplinas en sus informes, tuvo la ambición de
conducir a la elaboración de productos eficaces de ingeniería didáctica considerando
modelizaciones diferenciales e integrales. Es frecuente la utilización de dos funciones
tradicionales de la transposición de las matemáticas y de la física: en matemáticas
predomina la función de aproximación local (cálculo de errores, determinación de las
tangentes, plano tangente,...), mientras que en física impera la función de aproximación
lineal local (con el paso de local a global) para buscar una ley de variación o para
definir y calcular ciertas cantidades de magnitud (por ejemplo, el concepto de trabajo de
una fuerza variable en una trayectoria no rectilínea, a partir de la noción de trabajo de
una fuerza constante en un camino recto).
Muchos de los comportamientos observados entre los estudiantes y los profesores se
hacen comprensibles si se tiene en cuenta el hecho de que estas dos funciones no están,
en el proceso de transposición didáctica habitual, claramente identificadas y
distinguidas. Asociada a esta brecha didáctica está la representación diferente en las
matemáticas y la física (Artigue, 1998b).
1.3. Aportaciones de la teoría APOS y otros enfoques didácticos
relacionados
En el análisis de los cambios cualitativos en la transición de proceso a objeto se destaca
la Teoría APOS, iniciada por Dubinsky en 1991 y refinada progresivamente (Dubinsky
& McDonald, 2003; Trigueros, 2005).
La teoría APOS trata de describir el desarrollo, en la mente del alumno, de la
comprensión de un concepto matemático (Dubinsky, 2000). Esta teoría es una
adaptación de la teoría de Piaget sobre la abstracción reflexiva a las construcciones
mentales utilizadas en el aprendizaje de las matemáticas avanzadas. A partir de las ideas
42
piagetianas, la teoría APOS construye un modelo, para hablar únicamente de la manera
en la que se construyen o se aprenden conceptos matemáticos.
La teoría APOS (en inglés) o APOE (en español) hace referencia a las Acciones, los
Procesos, los Objetos y los Esquemas (“Schemes”). Éstas son las construcciones
mentales que, según esta teoría, un individuo realiza para obtener significados de las
situaciones y de los problemas matemáticos. Es un proceso que permite, a partir de las
acciones sobre los objetos, inferir sus propiedades o relaciones entre objetos en un cierto
nivel de pensamiento (Dubinsky, 1991a, 1991b). Los mecanismos para hacer dichas
construcciones, y pasar de un nivel a otro, se llaman abstracciones reflexivas que son,
por ejemplo, las representadas en la siguiente figura:
• Acciones
• Procesos
interiorización encapsulación
inversión
coordinación
• Esquemas
• Objectos
Figura 2 – Ejemplos de abstracciones reflexivas entre las construcciones mentales
El paso por estas etapas no es necesariamente secuencial, esto es, una persona puede
pasar mucho tiempo en etapas intermedias e, incluso, estar en una etapa de construcción
para ciertos aspectos de un concepto y en otra para otros. El manejo que una persona
hace de un concepto ante distintas situaciones problemáticas es diferente cuando un
individuo responde con un nivel caracterizado por proceso en la teoría que cuando lo
hace a nivel acción. El tipo de respuesta del sujeto dependerá de la demanda cognitiva
del tipo de problema al que responde (Trigueros, 2005).
Según, María Trigueros:
[…] la definición de esquema dentro de la teoría APOE tiene un significado preciso,
diseñado específicamente para dar una explicación a la manera en la que se desarrollan
43
los conceptos matemáticos a través de los procesos de enseñanza. En la teoría APOE, un
esquema para una parte específica de las matemáticas se define como la colección de
acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están relacionados consciente o
inconscientemente en la mente de un individuo en una estructura coherente y que pueden
ser empleados en la solución de una situación problemática que involucre esa área de las
matemáticas. (Trigueros, 2005, p. 10-11)
En 2001, Anna Sfard ya refería que las teorías educativas, igual que las soluciones
prácticas, responden mal cuando se les deja actuar solas porque la exclusividad es
enemiga del éxito. Los principios curriculares y los enfoques instruccionales concretos
deben ser sustentados por la teoría.
Tall (2004) ha definido tres “mundos matemáticos8”distintos pero interrelacionados:
1. La percepción del mundo, lo que el individuo piensa sobre las cosas que percibe y
siente, tanto en el mundo físico como en su propio mundo mental de significados. A
través de la reflexión y el uso de un lenguaje cada vez más sofisticado, el individuo
puede centrarse en aspectos de su experiencia sensorial que le permita imaginarse
nociones que no existan en el mundo exterior, tal como una línea perfectamente recta.
Para Tall este sería el “conceptual-embodied world”, que se podría interpretar como
“mundo de los conceptos personificados”.
2. Los símbolos que se utilizan en aritmética, álgebra o cálculo para manipular y calcular.
El paso por este mundo comienza con las acciones (como contar) que son encapsuladas
como conceptos, utilizando símbolos que permitan pasar, sin esfuerzo, de los procesos
para hacer matemáticas a los conceptos para pensar en matemáticas. A este mundo lo
denomina “proceptual-symbolic world”, que se puede interpretar como “el mundo de
los procepts”.
3. las propiedades, expresadas en términos de definiciones formales que se utilizan como
axiomas para especificar estructuras matemáticas como “grupo”, “espacio vectorial”,
etc. Este sería el “formal-axiomatic world” o el “mundo formal”. En este mundo se
activa la experiencia previa del individuo, trabajando con objetos que no resultan
familiares sino con axiomas que se formulan cuidadosamente para definir estructuras
matemáticas en términos de propiedades específicas. Dentro del sistema de axiomas se
pueden definir nuevos conceptos y deducir sus propiedades para así construir una teoría
coherente y lógica (resumen de Camacho (2011)).
Tall (2007) relaciona los dos primeros mundos con las matemáticas elementales y el
tercero, el “mundo formal”, con las matemáticas avanzadas.
En su estudio sobre el aprendizaje del cálculo diferencial, Tall ha considerado que este
se desarrolla básicamente en los dos primeros mundos de pensamiento. Para trabajar
sobre el aprendizaje de un concepto específico plantea un tipo de problema que puede
formularse como sigue:
¿Cuál es el desarrollo cognitivo que requiere la noción de derivada en el Cálculo?
8
Cada individuo transita por estos tres mundos de una manera diferente.
44
En su formulación para dar respuesta a este problema Tall parte, en primer término, del
conocimiento previo de los alumnos sobre el significado de que algo sea recto, a lo que
denomina raíz cognitiva. A partir de las consideraciones de los alumnos sobre la
rectitud que se llevan a cabo desde este mundo, considera posteriormente lo que la
rectitud implica cuando se analiza localmente el comportamiento de una curva. En este
momento, la necesidad de explicar el comportamiento local de una curva provoca que el
individuo plantee el desarrollo de una herramienta matemática más sofisticada, la
linealidad local, que se puede relacionar estrechamente con la idea de rectitud local,
pero que pertenece al mundo simbólico proceptual. Esta herramienta consiste en la
formulación matemática de la pendiente de la tangente a la curva como el límite de la
pendiente de la recta secante que se extiende posteriormente a la noción de derivada
como función.
Desde la teoría APOS, este problema puede reformularse como el problema de la
construcción del concepto de derivada en el Cálculo. Aquí, el tipo de problemas que se
formula es el siguiente:
¿Cuáles son las acciones, procesos, objetos, esquemas y las relaciones entre ellos que se
requieren en la construcción de la noción de derivada?
Según Trigueros (2005), en Cálculo es habitual considerar una función como una
expresión, que a su vez, se relaciona con la acción de una función. Esta relación es muy
importante cuando se pretende determinar la expresión de la función derivada. Para
entender el concepto de diferenciación y su aplicación en funciones más complejas es
necesario tener la concepción de proceso de una función. Además, tener la concepción
de función como objeto es necesario para entender que la derivada de una función es
otra vez una función, y que la solución de un problema por ejemplo, una ecuación
diferencial podría ser una función. Para pasar a un nivel superior, el estudiante debe
efectuar una reflexión sobre el sentido de las operaciones que se efectúan sobre el objeto
matemático y sobre el efecto que dichas operaciones tienen sobre él.
El desarrollo de estas ideas ha dado lugar a descomposiciones genéticas de los diversos
conceptos del Cálculo, en particular, del concepto de derivada. Asiala, Cottrill,
Dubinsky y Schwingendorf (1997), según la teoría APOS, sugieren que hay dos
trayectorias que se relacionan entre sí, gráfica y analítica, a partir de las cuales se
construye este concepto del cálculo diferencial. Desde estas trayectorias conciben la
descomposición genética del concepto tal como se describe a continuación:
45
Acción
Gráfica
Analítica
1
a) acción de trazar una cuerda entre dos
puntos de una curva, junto con la acción de
calcular la pendiente de la secante que
contiene a la cuerda.
b) acción de calcular la razón de cambio
media determinando el cociente diferencial.
2
a) interiorización de la acción 1.a) a un
proceso simple en el que los dos puntos son
cada vez más cercanos.
3
a) encapsulación del proceso 2.a) para
obtener la recta tangente como la posición
límite de las rectas secantes y determinar la
pendiente de la recta tangente en un punto
de la gráfica de una función.
b) interiorización de la acción 1.b) a un
proceso simple como la diferencia cuando el
intervalo del dominio se hace cada vez más
pequeño.
b) encapsulación del proceso 2.b) para
determinar la razón instantánea de cambio de
una variable con respecto a otra.
Encapsulación del proceso 2.a) y 2.b) para obtener la definición de derivada de una función
en un punto como el límite del cociente diferencial en el punto.
4
5
Interpretación gráfica de la derivada en un punto:
-
6
Interpretación gráfica de la derivada como una función:
-
7
Necesidad de la fórmula de la función para derivar.
La derivada como pendiente de la recta tangente.
Coordinar varias interpretaciones de la derivada.
La derivada vista como una función que a cada valor de le hace corresponder la
pendiente de en
).
Identificar la derivada de con la recta tangente en cada punto.
Diversas coordinaciones para obtener la gráfica de la derivada:
-
Interpretación gráfica de
para un valor de .
Interpretación de ’
para un valor de x como la pendiente.
Procesos cuando varía en un intervalo.
Trazado de la gráfica de la función derivada.
Tabla 3 - Trayectoria gráfica y analítica de la derivada
Artigue, en 2003, refiere que el modelo APOS ofrece solamente una visión parcial del
desarrollo cognitivo en Matemáticas, pero es innegable hoy día que presta atención a
una discontinuidad cualitativa crucial en las relaciones que los alumnos desarrollan con
respecto a los conceptos matemáticos. Esta discontinuidad es la transición desde una
concepción de proceso a una de objeto, la complejidad de su adquisición y los efectos
dramáticos de su subestimación por las prácticas habituales de enseñanza.
En el ámbito del citado modelo, Trigueros (2005) ejemplificó un esquema de
propiedades para solucionar el problema de la integración de conceptos del cálculo
46
diferencial para graficar una función. Para tal, ha efectuado estudios empíricos con
estudiantes en el paso de Secundaria a la Universidad y también con algunos estudiantes
universitarios, planteando la tarea siguiente:
Dibuja la gráfica de una función que satisface las siguientes condiciones:
h es continua
h(0) = 2, h’(-2) = h’(3) = 0 y lim x0 h’(x) = 
h’(x) > 0 cuando –4 < x < -2 y cuando –2 < x < 0 y cuando 0 < x < 3
h’(x) < 0 cuando x < -4 y cuando x > 3
h’’(x) < 0 cuando x < -4, cuando –4 < x < -2 y cuando 0 < x < 5
h’’(x) > 0 cuando –2 < x < 0 y cuando x > 5
lim x- h(x) =  y lim x h(x) = -2
¿La función que encontraste es la única que cumple con las condiciones dadas por el problema? ¿Qué
sucede con la gráfica de esta función si quitamos la condición de continuidad?
(Trigueros, 2005, p. 19)
La coordinación de todas estas propiedades en una sola gráfica representó un problema
complejo para los estudiantes. Todos estos conceptos han sido presentados uno a uno
por separado en clase y los estudiantes cuentan con esa información; el problema que
hay que analizar es precisamente la posibilidad de los estudiantes de integrar toda esa
información relativa a distintos conceptos en la solución del problema.
La gran dificultad surgió al intentar aplicar las distintas propiedades sobre distintos
intervalos en el dominio de la función: la primera derivada proporciona información
sobre la función en intervalos específicos, es decir, aquellos donde la función crece o
decrece; pero esos intervalos no coinciden con los intervalos donde hay cambios en las
propiedades de la función de acuerdo con la información proporcionada por la segunda
derivada, y éstos a su vez son diferentes de los resultantes cuando se tiene en cuenta la
información que proporcionan los límites y la continuidad de la función. Por
consiguiente, la consideración de la estructura del dominio de la función y su
descomposición en intervalos hizo el análisis de los datos mucho más claro. Así, para
construir el esquema de función en términos de sus propiedades, el estudiante debe
coordinar el objeto o esquema función con los de la primera y segunda derivadas y con
los conceptos de continuidad y límite a nivel proceso u objeto.
47
La coherencia de ese esquema se puede atestiguar mediante la capacidad del estudiante
de verificar si existe una única función o una única representación para una función que
satisface todas esas propiedades.
El estudiante es capaz de (por ejemplo):
Nivel
intra-propiedades
-
relacionar la primera derivada con el comportamiento de la función;
inter-propiedades
-
coordinar los efectos de la primera y de la segunda derivada en el
comportamiento de la función;
trans-propiedades
-
coordinar los efectos de la primera, de la segunda derivada, de la
continuidad y de los límites en el comportamiento de la función;
encontrar diversas funciones que satisfacen todas las propiedades.
-
Tabla 3 – Tareas que utilizan los estudiantes en cada uno de los niveles intra, inter y trans.
En esta investigación, Trigueros ha observado que las preguntas: ¿es la función que
encontraste la única que cumple con las condiciones dadas por el problema?, ¿qué
sucede con la gráfica de esta función si quitamos la condición de continuidad?,
resultaron aún más difíciles para los estudiantes que la solución del problema original.
En términos generales, constató las siguientes dificultades entre los alumnos:
 Los estudiantes manifiestan dificultades de interpretación de la segunda derivada, de los
puntos de inflexión de la función y de su relación con el comportamiento de la gráfica
de la función;
 La relación entre los conceptos de continuidad y diferenciabilidad de la función es
prácticamente inexistente en la mayoría de los estudiantes, o sea, manifiestan
dificultades en describir el comportamiento de una función en un punto en que es
continua pero la derivada no está definida y el comportamiento de una función en un
punto en el que puede ser discontinua.
 Los estudiantes manifiestan dificultades en relacionar la primera derivada con los
intervalos en el dominio de la función.
 Otros trabajan sólo con la información relativa a la segunda derivada y no son capaces
de estudiar el comportamiento de la función con la primera derivada.
 La posibilidad de existencia de puntos donde la derivada no está definida, pero la
función si lo está, provoca una fuerte confusión en los alumnos.
 Los alumnos muestran dificultades con la unión e intersección de los intervalos. Estas
dificultades se agudizan cuando una propiedad delimita un intervalo específico que se
ve alterado cuando se pone en relación una segunda o tercera propiedad.
48
Se advierte que la segunda derivada no debe considerarse, en la enseñanza, únicamente
como la derivada de la derivada, sino que se debe hacer un mayor énfasis en las
implicaciones geométricas de la segunda derivada que van más allá de la concavidad en
un sentido superficial (muchos estudiantes revelan dificultades en considerar una curva
cóncava cuando no alcanza un máximo como, por ejemplo, en la representación gráfica
de la función cúbica).
Los resultados de este estudio sugieren que es necesario trabajar con diferentes
propiedades de la función por separado para hacer énfasis en la manera como éstas
inciden en la subdivisión de los intervalos de dominio de la función, después introducir
en un único intervalo actividades que hagan necesaria la coordinación de dos o más
propiedades, para así proseguir con la citada coordinación en varios intervalos. Los
resultados también sugieren la necesidad de trabajar con funciones en diferentes
contextos de representación para consolidar las relaciones entre conceptos, un abordaje
cuidado de las implicaciones gráficas de la segunda derivada y su relación con la
primera.
Se muestra que es necesario dedicar tiempo y esfuerzo a sentar bases sólidas para la
integración y articulación de los conceptos, a fin de que los estudiantes logren un
conocimiento más profundo del papel que desempeñan las distintas propiedades y los
distintos intervalos en el comportamiento de la función.
Las ideas principales de este artículo concuerdan con muchas de las conjeturas relativas
a la práctica matemática en la enseñanza secundaria portuguesa, en el ámbito de la
modelización funcional y el cálculo diferencial, que hemos contrastado empíricamente y
cuyos resultados se presentarán en el capítulo III. En particular, la gran dificultad de los
alumnos para articular diferentes propiedades de una función en la construcción de una
gráfica puede relacionarse con la ausencia casi absoluta, en los manuales escolares, de
actividades de modelización funcional que partan de ciertas informaciones relativas a la
variación de datos discretos como base para la construcción de un modelo graficofuncional que permita describir y predecir el comportamiento de un determinado
fenómeno.
En esta memoria postulamos que la representación gráfica de una función debería ser
considerada como una rica fuente de información acerca del comportamiento de la
misma en lugar de tomarse como un objetivo en sí mismo. Sin embargo los datos
49
relativos a la conjetura C7 (ver secciones 5, 6 y 7 del capítulo III) muestran que en los
manuales escolares la inmensa mayoría de las tareas que requieren la representación
gráfica de una función toman dicha gráfica como un objetivo en sí mismo.
Para resolver la tarea matemática propuesta, los estudiantes podrían construir
primeramente la gráfica de la función derivada con el objetivo de sacar informaciones
relativas a las propiedades de su función primitiva. Actuando de esta forma los
estudiantes tomarían (implícitamente) la gráfica de la función derivada como un
instrumento (un modelo funcional si se quiere) para construir la gráfica de la función
primitiva.
Otra de las dificultades que aparece muy claramente en este trabajo es la de trabajar con
tareas inversas a las más habituales. En particular se refleja la dificultad de los
estudiantes para construir una gráfica conociendo algunas de sus propiedades, que
puede considerarse como la tarea inversa de analizar las características o propiedades de
una gráfica ya construida. De nuevo nos encontramos con una dificultad que, en parte,
tiene un origen institucional, esto es, en la organización matemática escolar en torno al
CDE y la MF de acuerdo con nuestras conjeturas. En efecto los datos empíricos
obtenidos de la contrastación de la conjetura C4 (ver secciones 5, 6 y 7 del capítulo III)
muestran que en los manuales escolares portugueses la inversión de una técnica para
realizar la tarea inversa es extraordinariamente rara.
Digamos por último que las dificultades observadas para detectar la existencia de puntos
donde la derivada no está definida, pero la función si lo está o para calcular un extremo
relativo en un punto en el que la derivada no existe, también están de acuerdo con
nuestras conjeturas y, de nuevo, podemos afirmar que tienen, en parte, un origen
institucional. En efecto, los datos de nuestras subconjeturas C3.4 y C3.5 (ver capítulo
III) muestran claramente que en Secundaria para calcular los extremos relativos de una
función la técnica predominante es la de calcular los ceros de la función derivada y la
única técnica disponible para buscar los extremos de una función en puntos donde la
derivada no existe es la técnica gráfica.
En el nivel universitario, Ursini y Trigueros (2006) observaron que, en el ámbito de la
resolución de ecuaciones diferenciales, los estudiantes muestran dificultades en
identificar una función como la incógnita de la ecuación. Además, cuando la solución
de la ecuación diferencial depende del valor de un parámetro, los estudiantes
50
manifiestan dificultades en analizar separadamente los distintos casos posibles que
resultan de la variación del valor de ese mismo parámetro. Este hecho es importante
porque, como veremos a lo largo de esta memoria, está relacionado estrechamente con
el fenómeno de la falta de visibilidad escolar de la modelización funcional que
describiremos en la sección 9 del capítulo III. También está relacionado con este
fenómeno el hecho que algunos alumnos interpretan la fórmula para el área de manera
global y estática y no como un modelo funcional dinámico que permite estudiar la
variación de una variable con respecto a otra con el auxilio de las herramientas del
cálculo diferencial elemental.
En resumen, Ursini y Trigueros concluyen que los cursos de matemáticas avanzadas
tienen un impacto positivo en la capacidad de los estudiantes para usar las variables,
pero cuando éstos se enfrentan a problemas complejos, incluso los alumnos más
avanzados, suelen evitar el acercamiento algebraico y vuelven a utilizar procedimientos
aritméticos. Añaden que este hecho puede ser debido a que ni en los programas de
estudio, ni en los textos escolares, se hace énfasis en la integración de los distintos usos
de la variable, no permitiendo así una comprensión integrada de este concepto.
Estas dificultades de interpretación del papel de la variable, del parámetro y de la
variación conjunta de dos variables en relación funcional podrían estar directamente
relacionadas con la pobreza de las actividades de modelización funcional desarrolladas
en la enseñanza secundaria mexicana, tal como hemos observado también en la
enseñanza secundaria portuguesa y española (Lucas, 2010; Lucas et al., 2014a, 2014b).
De nuevo, la ausencia escolar de tareas que impliquen la simbolización de relaciones
funcionales entre variables o, en otras palabras, que requieran la construcción de
modelos algebraico-funcionales (ver conjetura C5 en el capítulo III) puede dar cuenta,
al menos en parte, de estas dificultades.
Citemos, para finalizar, otras de las aportaciones importantes de las investigaciones
realizadas en el ámbito de la teoría APOS en relación al cálculo diferencial. Salazar,
Díaz y Bautista, en 2009, han presentado un estudio de caso que describe los niveles de
comprensión del objeto derivada de seis estudiantes del curso de cálculo diferencial en
la Licenciatura en Matemáticas de una universidad de Colombia. El instrumento
utilizado fue un cuestionario cuyos criterios se inscribían en la descomposición genética
de la derivada. El objetivo del trabajo consistía en recoger información acerca del
análisis que realizaban los estudiantes respecto de la variación presentada en situaciones
51
particulares, el uso de representaciones gráficas, tabulares y simbólicas y algunos
aspectos relacionados con la comprensión lograda sobre el objeto derivada. En la
siguiente tabla se sintetizan algunos de los resultados de este trabajo:
Niveles de comprensión
del esquema algebraico de la derivada
del esquema gráfico de la derivada
La razón de cambio instantánea fue obtenida
por medio de la variación media y no como el
valor de la derivada en el punto de interés.
Hay una tendencia a interpretar la derivada en
términos del proceso algorítmico utilizado
para obtenerla, dejando de lado la
interpretación como la razón de cambio
instantánea.
A partir de la gráfica de la función,
determinan el signo de la derivada en cada
punto, aplican el criterio de la primera
derivada pero, no obtienen la representación
gráfica de la función derivada. En este
sentido, se infiere que tienen dificultades para
hacer generalizaciones y describir lo global.
También se nota una tendencia a asociar la
gráfica de la función con una expresión
algebraica conocida para luego determinar la
expresión algebraica de la derivada y,
posteriormente, construir la gráfica de la
función derivada.
Dependencia de la expresión algebraica para
describir la razón de cambio de una función,
lo cual concuerda con la denominada
algebrización del cálculo diferencial. En las
funciones a trozos, en las que no existe la
derivada en algunos puntos, tienden a calcular
la derivada a partir de la expresión algebraica
para los intervalos y no indican los puntos en
los que la derivada no existe.
En problemas en los que se pide para construir
la gráfica de la derivada a partir de situaciones
en determinados contextos, surge una mayor
dificultad cuando los valores de la derivada
son negativos.
En las situaciones que se refieren a la
velocidad instantánea se obtienen más
respuestas correctas que cuando la situación
se refiere a la razón de cambio de otras
variables diferentes a la posición de un objeto
en movimiento.
Surgen problemas en el tránsito de la gráfica
de la función hacia la gráfica de la función
derivada y para la construcción de funciones
cuando conocen algunas características de las
funciones primera y segunda derivada. Hay
una tendencia a considerar los contextos
gráficos y algebraicos en forma separada.
En situaciones en las que se suministra la
información a través de una representación
gráfica, surgen dificultades para asociar la
razón de cambio instantánea con la pendiente
de la tangente a la gráfica de la función.
Tabla 4 – Niveles de comprensión del esquema algebraico y gráfico de la derivada
Por su parte, Badillo (2003), en su tesis en el ámbito de la teoría APOS, ha abordado el
problema didáctico de las componentes del conocimiento profesional del profesor de
52
matemáticas con respecto a los conceptos de derivada y de velocidad, proponiendo una
descomposición genética del concepto de derivada y caracterizando los niveles de
comprensión del esquema de la derivada en las dimensiones gráfica y analítica. Se
detectó un fenómeno didáctico en el sistema educativo colombiano que consiste en la
confusión entre los macro-objetos
y
. Un factor que podría estar relacionado
con este fenómeno es el hecho que la mayoría de los libros de texto adoptados en
Colombia introducen el cociente incremental
para definir estos macro objetos. La
autora se basó en estudios que muestran las dificultades que tienen los alumnos
(profesores en formación) en la comprensión y manejo de los símbolos
etc. (Orton, 1980; Tall, 1985; Font, 2000; Azcárate et al.,
1996; Dubinsky, Schwingendorf & Mathews, 1995), estudios todos ellos que están de
acuerdo con la conjetura C1 formulada y contrastada en el capítulo III de la presente
memoria.
Es interesante observar que, en general, los trabajos citados se centran en la noción de
derivada y en el análisis de los niveles de comprensión (y en las dificultades asociadas)
del esquema (algebraico o gráfico) de derivada ignorando, al menos explícitamente, el
papel potencial de la modelización funcional para plantear cuestiones y proponer tareas
que podrían constituir una posible razón de ser no sólo de la derivada, sino también de
cierta organización matemática en torno a la derivada que podemos denominar cálculo
diferencial elemental y que caracterizaremos en la sección 4 de este capítulo.
2. El cálculo diferencial en el paso de Secundaria a la Universidad
En relación a la forma de introducir los conceptos del Cálculo, especialmente en la
transición Secundaria-Universidad, Artigue (2003) considera que en el primer contacto
que tienen los alumnos con dicho ámbito sólo se pueden introducir algunas facetas de
los conceptos fundamentales y pone como ejemplo paradigmático el concepto de
integral. Se trata de una idea que, en un ámbito más amplio era defendida por Poincaré y
que significaba que los conceptos no deberían enseñarse desde el principio en su forma
definitiva:
[…] J’ai dit que la plupart des définitions mathématiques étaient de véritables
constructions. Dès lors ne convient-il pas de faire la construction d’abord, de l’exécuter
53
devant les élèves, ou mieux de la leur faire exécuter de façon à préparer la définition ? […]
Ils n’auront pas compris s’ils ne trouvent autour d’eux, dans la pratique ou dans la nature,
la raison d’être de telle ou telle notion mathématique. […]
(Poincaré, 1904, p. 266)
2.1. Enseñanza de las nociones básicas del cálculo diferencial en la transición
entre la Secundaria y la Universidad
Según Tall (1994), los estudiantes de la universidad, de un modo general, revelan
dificultades en relacionar las representaciones gráfica y analítica de la noción de
derivada. También reseña que los alumnos no hacen la conexión entre el pensamiento
visual y el analítico, lo que puede ser un reflejo del tipo de actividad matemática
desarrollada como consecuencia de la peyoración (o menosprecio) de los razonamientos
que hace uso de la información visual. En particular, en relación a la noción de
derivada, esta visualización puede asumir un papel complementario y muy importante
en la percepción global del concepto y en la comprensión de algunas relaciones
matemáticas asociadas.
En algunos países, como Portugal, el primer contacto9 con las integrales se da al inicio
del nivel Universitario por medio de la noción de anti-derivada y una aproximación
práctica al Teorema Fundamental del Cálculo que permite conectar las anti-derivadas
con una noción intuitiva de área basada en la teoría de las integrales de Riemann. Todo
esto requiere reconstrucciones sucesivas de las relaciones iniciales que los alumnos
tienen con el concepto de integral. Muchas investigaciones se han centrado en este tema
con una gran consistencia de los resultados obtenidos en todo el mundo, documentando
las limitaciones de las estrategias de enseñanza habituales. Estos resultados muestran
que la reconstrucción no puede surgir a partir de una mera presentación de la teoría de la
integral de Riemann. En este sentido, Michèle Artigue indica que:
[…] A través de prácticas docentes estándar, los alumnos obtienen un razonable éxito en
cuestiones estándar, pero nada más. Por ejemplo, si se plantea a los estudiantes cuestiones
de modelización para que decidan por sí mismos si un problema requiere un proceso
integral para su resolución, se quedan estancados por completo o basan sus respuestas en
“pistas” lingüísticas, en caso de haberlas, que han aprendido a percibir en las versiones
estándar de tales tareas. La mayoría de los alumnos piensa que la forma más segura de
enfrentarse con éxito a este dominio no es intentar comprender, sino simplemente
comportarse mecánicamente. Me gustaría añadir que no tenemos que ver esto como una
9
Es de reseñar que está prevista la aplicación de un “Novo Programa de Matemática A” para la
enseñanza secundaria portuguesa (Despacho n.º 868-B/2014, D.R. n.º 13, 2.º Suplemento, Série II, de 20
de janeiro de 2014) que ya pretende incluir el estudio de primitivas y integrales a partir del año lectivo
2017/2018.
54
especie de fatalidad cognitiva. Simplemente observamos las formas económicas de
adaptación de nuestros alumnos a prácticas docentes inadecuadas. (Artigue, 2003, p. 124)
Esta cita pone de manifiesto que Artigue ya propugnaba, en 2003, que se utilizasen
actividades de modelización funcional para introducir y explorar el cálculo integral. Sin
embargo, observó que al plantear una cuestión problemática que incluya implícitamente
la utilización de la integración (pero sin ninguna pista lingüística que implique el uso de
esa técnica), los estudiantes no la reconocen como un problema a resolver utilizando
integrales. La eficiencia no está solamente ligada a las características del problema sino
que depende enormemente del tipo de escenario desarrollado para organizar el
encuentro de los alumnos con esta nueva faceta del concepto de integral.
Como respuesta a este problema, Artigue considera necesario la creación de situaciones,
por parte de los matemáticos y físicos, con el objetivo de hacer que los alumnos de
primer año de la universidad puedan sentir realmente la necesidad de estudiar el cálculo
integral, lo que no es otra cosa que señalar la necesidad de plantear cuestiones
problemáticas (emergentes en determinado sistema matemático o extramatemático) que
constituyan una posible razón de ser del cálculo integral en el primer curso
universitario.
En niveles de la enseñanza secundaria, en la mayoría de los países ha sido reconocida la
imposibilidad de introducir el Cálculo formalmente. La enseñanza se apoya tanto en una
concepción dinámica e intuitiva del límite, basada en exploraciones gráficas y
numéricas, junto al uso de técnicas de naturaleza algebraica (Artigue, 1996). Esto
permite a los alumnos resolver simples e interesantes problemas de variación y
optimización. La transición hacia aproximaciones más formales, que tiene lugar en la
Universidad, representa un salto tremendo, tanto desde el punto de vista conceptual
como técnico. Por ejemplo, los alumnos deben reconstruir el significado de igualdad y
comprender que las igualdades en el cálculo diferencial no vienen dadas,
necesariamente, como en álgebra, por una serie de equivalencias sucesivas, sino a partir
de aproximaciones (como en el límite o la derivada). Dado que la enseñanza tiende a
dejar la responsabilidad exclusiva de la mayoría de estas reorganizaciones a los
alumnos, se producen efectos dramáticos para la mayoría de éstos, especialmente en la
transición Secundaria-Universidad (Artigue, 2003).
55
2.2. Estrategias alternativas para mejorar la enseñanza del Cálculo
La investigación educativa también nos muestra que, con el objetivo de introducir los
conceptos básicos del Cálculo, se pueden desarrollar estrategias alternativas con
resultados fructíferos. En particular se presta una atención creciente a las relaciones
entre los conceptos matemáticos y sus representaciones semióticas. En el Cálculo, la
investigación en esta línea ofrece evidencia experimental de que las tecnologías
informáticas, si se usan apropiadamente, pueden jugar un papel crucial en la promoción
de conexiones flexibles entre representaciones semióticas. Por ejemplo, entre las
representaciones gráficas, numéricas y simbólicas de las funciones, y ayudar a las
representaciones gráficas a convertirse en herramientas efectivas del trabajo matemático
(Tall, 1991; Dubinsky & Harel, 1992). La investigación también muestra que el uso
efectivo de las tecnologías informáticas requiere del desarrollo de un conocimiento
matemático específico, un requisito que no es fácilmente aceptado por la institución
educativa, cuyos valores han sido tradicionalmente definidos con respecto a entornos de
lápiz y papel.
Sin embargo, no se ha prestado suficiente atención a lo que es realmente una actividad
matemática profesional asistida por las tecnologías informáticas ni a las necesidades
matemáticas específicas y no-específicas requeridas para convertirse en un usuario
eficiente y crítico de las mismas. Estos conocimientos deberían poderse adquirir en
cursos matemáticos ordinarios o especiales (Artigue, 2003). En la Universidad, el
compromiso principal ya no es el desarrollo de algún tipo de cultura matemática general
sino que, en cada una de las disciplinas matemáticas, se pretende desarrollar
conocimientos muy específicos para revelar el carácter funcional de la matemática.
El aprendizaje matemático no puede seguir siendo considerado, como sucede a menudo,
solamente como una ascensión regular hacia niveles más altos de abstracción y
formalización. La investigación didáctica nos ayuda a comprender la complejidad de las
construcciones cognitivas necesarias y, a la vez, muestra la insensibilidad del sistema
educativo a esta complejidad. A su vez, también nos ayuda a entender mejor las
dificultades de aprendizaje que nuestros estudiantes tienen que afrontar, la resistencia
sorprendente de algunos, y las limitaciones y disfunciones de algunas prácticas de
enseñanza. Sin embargo, debemos reconocer que la investigación no nos proporciona
una forma general de mejorar fácilmente los procesos de enseñanza y aprendizaje pero,
a través de adaptaciones mínimas y sencillas, podamos obtener mejoras sustanciales.
56
Además, en varios casos, la investigación ha conducido a la producción de diseños de
instrucción que han mostrado ser efectivos, al menos en entornos experimentales. La
mayoría de los diseños basados en la investigación requieren de más implicación y
dominio por parte de los profesores, así como cambios significativos en sus prácticas
(véase, por ejemplo, Dubinsky, Mathews y Reynolds (1997) con respecto al aprendizaje
colaborativo). Por lo tanto, como exigen más tiempo y dedicación por parte del
profesor, estos diseños construidos por los investigadores son poco utilizados por no ser
fácilmente aplicables en la práctica educativa. Así, lo que tiene que reorganizarse no es
solamente el contenido de la enseñanza (no es suficiente con escribir o adoptar nuevos
libros de texto), sino cuestiones más globales, tales como las formas del trabajo de los
alumnos, los modos de interacción entre alumnos y profesores, y las formas y
contenidos de la evaluación (Artigue, 2003).
3. Relaciones que las investigaciones didácticas propugnan entre el
cálculo diferencial y la modelización funcional en el inicio de la
enseñanza universitaria
De un modo general, la derivada que es considerada una noción clave en el estudio del
Cálculo, ha sido objeto de especial atención desde distintas aproximaciones teóricas. Se
han estudiado, particularmente, las cuestiones de índole cognitiva (concepciones de los
estudiantes, esquemas cognitivos y tipos de errores) e instruccional (estrategias y
alternativas para la enseñanza de la derivada), tal y como se muestra en Artigue,
Batanero y Kent (2007) o en Sánchez, García y Llinares (2008). Sin embargo, como
bien señala Gavilán (2005), existen muy pocas investigaciones centradas en los
profesores, y menos aún, en los conocimientos que debe de tener un profesor sobre esta
noción.
Las investigaciones sobre la práctica del profesor en la enseñanza de la derivada se
pueden clasificar en dos grupos: aquellas relativas al uso de las nuevas tecnologías
(ordenadores, calculadoras gráficas) y aquellas que señalan el uso de problemas de
aplicación del Cálculo a diferentes disciplinas científicas como por ejemplo, la física,
introduciendo las nociones del Cálculo a través de la resolución de problemas. Estas
investigaciones ponen de manifiesto la búsqueda de formas de caracterizar dicha
57
práctica a través del uso de herramientas tecnológicas, presencia de diferentes
representaciones o uso de situaciones en las que se aplica el Cálculo (Gavilán, 2005),
por lo que denotan una tendencia a relacionar el Cálculo con las actividades de
modelización.
En 1995, Artigue describió una evolución de la enseñanza francesa relacionada con el
uso de las nuevas tecnologías para hacer una entrada relativamente pragmática e
intuitiva al cálculo y para promover una aproximación experimental de los problemas
centrales de este campo. En los diversos países se ha manifestado la inquietud de
desarrollar una primera aproximación al cálculo que sea menos algebraica, menos
formal y algoritmizada, con el objetivo de dar un mayor significado a las nociones que
los estudiantes van a manipular. Por ejemplo, Rouche (1992) describió un proyecto
global de enseñanza cuyo objetivo consistía en hacer nacer y estructurar
progresivamente el Cálculo a partir de nociones cotidianas y de los interrogantes que
ellas plantean, organizando el proceso de enseñanza alrededor de la resolución de
problemas donde la formalización sólo interviniera cuando fuese estrictamente
necesaria.
La tesis de M. Schneider (1988) pretende analizar la conceptualización de las derivadas
y primitivas a partir de objetos mentales10 como el área y el volumen, utilizando
problemas con una cierta relevancia histórica. La autora muestra que estas
representaciones pueden constituirse en un obstáculo epistemológico que denomina el
obstáculo de la heterogeneidad de las dimensiones (Schneider, 1991). Este obstáculo se
asocia con los saltos implícitos e incontrolados entre el dominio de los objetos y
magnitudes geométricas y el de sus medidas cuando se manipulan simultáneamente
magnitudes de dimensiones diferentes (a la unión de magnitudes correspondería
necesariamente la adición de medidas).
Otras investigaciones se sitúan de forma más radical en la perspectiva de una primera
aproximación al cálculo que no haga intervenir explícitamente el concepto de límite. Un
primer paso en esta dirección ya había sido dado por David Tall en Graphic Calculus
(Tall, 1986). En este enfoque, el entorno informático empleado tenía por objetivo
producir «coaligadores» como, por ejemplo, permitir al alumno asociar la derivabilidad
10
Según Artigue (1995), la expresión “objeto mental” se toma con la acepción que le dio Freudenthal, es
decir: “toda noción como longitud, número, paralelas, recurrencia, etc. que, sin haber alcanzado el estado
de formalización de un concepto matemático y sin inscribirse en una teoría axiomática, no obstante está
dotada de propiedades que la convierten en instrumento de organización de un conjunto de fenómenos”.
58
de una función en un punto con la imagen de una función cuya representación gráfica,
por acercamientos sucesivos, terminaba por confundirse con una recta, y la noción de
tangente globalmente se asimilaba con la de tangente práctica, recta que pasa por dos
puntos muy cercanos de la curva. Así, el concepto de límite permanecía implícito. Los
resultados de la experimentación presentados en la tesis ponían a prueba las capacidades
adquiridas, con el uso de este dispositivo, en el reconocimiento y el trazo gráfico de
derivadas (Artigue, 1995).
También Kaput (1992), se ubicó en esta óptica de una introducción al cálculo sin la
noción de límite y al considerar que:
[…] el aprendizaje del cálculo [tiene] que basarse en el estudio del cambio y la
acumulación cuantificables y en la relación entre los dos. (Kaput, 1992, según la traducción
de Artigue, 1995, p.119)
Kaput enfatiza que este estudio puede llevarse a cabo en sistemas de representación
numérica, gráfica o algebraica. La investigación experimental que realizó se apoyó en
un entorno informático denominado MathCars en el cual el usuario controla con un
acelerador la velocidad de un vehículo simulado y puede hacer un muestreo en tiempo
real de diversas representaciones gráficas y de datos numéricos. Algunas gráficas de
muestra pueden proponérsele al estudiante para que él trate de reproducirlas al pilotar él
mismo el vehículo. Se trata de desarrollar una primera aproximación gráfica y
numérica, dinámica e interactiva al Cálculo, aproximación a la cual se añadirá
posteriormente un enfoque más algebraico (Artigue, 1995). Esto nos lleva a creer, de
nuevo, que Kaput ya pretendía utilizar actividades de modelización funcional
(construcción y manipulación del modelo) para introducir el cálculo diferencial
elemental a partir de datos numéricos (discretos), asignando de este modo al cálculo
diferencial ciertas funciones en el ámbito de la modelización funcional.
3.1. Investigaciones didácticas relativas al cálculo diferencial e integral
Fueron realizadas investigaciones conjuntas por didactas de las matemáticas y de la
física, motivadas en particular por las dificultades encontradas para hacer vivir en este
dominio una coordinación real entre la enseñanza de las dos disciplinas, en el marco de
sesiones experimentales durante el primer año del ciclo universitario (Artigue et al.,
1989; Artigue, Ménigaux & Viennot, 1990). El objetivo de estas investigaciones, en
59
primer lugar, consistía en comprender el funcionamiento de la enseñanza de este
dominio en las dos disciplinas y sus efectos sobre las concepciones que los estudiantes
desarrollaban.
Después,
progresivamente,
la
investigación
pretendía
elaborar
dispositivos de ingeniería didáctica que permitieran desde el principio manejar
secuencias de enseñanza adaptadas al nivel del ciclo básico universitario, o bien retomar
con posterioridad los aprendizajes que se juzgaban como inadecuados (Artigue, 1995).
El trabajo empírico para la comprensión del sistema de enseñanza mostró que los
procedimientos diferenciales intervenían en el ciclo básico universitario con dos
funciones distintas:

Como una aproximación puramente local (estudio local de curvas, funciones,
superficies, cálculo de errores, etc.).

Como una aproximación lineal en el paso de lo local a lo global (investigación
de leyes de variación, determinación o definición de magnitudes geométricas o
físicas, etc.).11
En esas investigaciones observaron que los manuales de física del ciclo básico
universitario se centraban en el nivel puramente local y recalcaban casi siempre tres
ideas: el hecho de que el diferencial proporciona una aproximación que se mejora
cuando el crecimiento de las variables disminuye; que ella es más fácil de calcular que
el crecimiento real; y que, contrariamente al crecimiento, la aproximación es lineal con
relación al crecimiento de las variables.
Sin embargo, se acentúa tanto una como la otra, sin una articulación verdadera y sin
referencia explícita, por lo general, al orden de la aproximación diferencial. El paso de
lo local a lo global en sí se trata en términos de recetas o de convenciones y se ilustra
con ejercicios donde la lectura diferencial puede hacerse a partir de términos lexicales
de la superficie. Artigue reseña que:
Las matemáticas del ciclo básico de los problemas que requieren modelaje por ecuaciones
por lo general no se consideran, ya que los problemas aparecen directamente formulados
en un lenguaje diferencial (se estudia la velocidad de desintegración de un cuerpo
radioactivo, o se buscan las curvas cuya tangente posee tal propiedad, etc.).
(Artigue, 1995, p.124).
11
Esta última función de los procedimientos diferenciales coincide con la descrita en la sección 8.3 del
capítulo III de esta memoria en la que se describen tareas que forman parte de la razón de ser que el
sistema escolar asigna al CDE y que, paradójicamente, el sistema escolar no interpreta como actividades
de modelización funcional (las hemos denominado modelos funcionales ocultos).
60
Creemos que este comentario de Michèle Artigue revela que, en el primer curso
universitario, se observa una total ausencia de articulación entre la modelización
funcional y la construcción de ecuaciones diferenciales como modelos para describir la
variación de fenómenos con una determinada naturaleza. O sea, en el ámbito del
proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas ya se parte del modelo diferencial
construido (ecuación diferencial ya deducida científicamente), dejando únicamente para
el estudiante las tareas relativas al ajuste de los parámetros del modelo diferencial al
problema dado, a la resolución de la ecuación diferencial o, por ejemplo, las tareas
relativas a la modificación de las condiciones iniciales (manipulación del modelo).
La autora observó que los estudiantes, en Física, consideran todo lo concerniente a los
procedimientos diferenciales e integrales como “aproximativo” y “cómodo”, es decir,
como un sector donde es mejor trabajar de manera bastante mecánica sin demasiadas
exigencias en cuanto a la interpretación y justificación del trabajo. Los estudiantes se
adaptan a su utilización y aprenden a reconocer las ocasiones cuando toca utilizarlos al
mirar los términos que aparecen en los enunciados. Artigue (1995) reseñó algunas
dificultades de los alumnos observadas con la propuesta de determinados cuestionarios:
1. Si cortan en “pedazos” para calcular ciertas magnitudes, (no saben el por qué ésto es
necesario)
Por ejemplo, en un ejercicio propuesto sobre la presión atmosférica, más de 90%
de los estudiantes consideraron necesario cortar en “pedazos” verticalmente, la
mayoría (70%) atribuía esta necesidad al hecho de que la presión depende de la
altitud y no diferenciaban entre el caso de la presión atmosférica y el caso de la
presión hidrostática.
No diferencian claramente las aproximaciones de modelización de las aproximaciones
lineales como etapa del proceso integral
2.
Por ejemplo, en la situación de la represa, un tercio de los estudiantes afirmó que el
resultado final sería aproximado y mezcló en los comentarios aproximaciones del
modelización y aproximaciones asociadas con la utilización del procedimiento
integral.
3. Las preguntas del orden de aproximación no intervenían directamente para ellos en los
procedimientos diferenciales
Por ejemplo, una situación donde se pide explicar por qué el mismo tipo de cálculo
da un resultado correcto para el volumen y un resultado erróneo para el área de la
esfera es sumamente desestabilizadora, aun para estudiantes avanzados que
ingresan a un área de concentración en física o que finalizan sus estudios de
matemáticas.
Sin embargo, en Matemáticas, a pesar de que el campo de la aproximación es explícito
en las definiciones y se puede movilizar, de forma más o menos correcta, en las
61
restituciones de definiciones, tal campo está poco presente en las prácticas y se oculta
muy rápido con teoremas más potentes que permiten algebraizar de manera contundente
el funcionamiento del cálculo (Artigue, 1995).
Carl Winsløw presentó un trabajo cuyo objetivo consistía en precisar la naturaleza de
los obstáculos para el aprendizaje del cálculo diferencial en la Universidad y hacer
propuestas para la enseñanza con el fin de superar dichos obstáculos. Para ello utilizó
diversos enfoques complementarios (las representaciones semióticas, la teoría
antropológica de lo didáctico y la teoría de situaciones didácticas) para contestar
algunas cuestiones problemáticas, de entre las que destacamos la siguiente:
Más allá de la transición institucional secundaria-universidad, ¿en qué consiste este “salto”
y estos obstáculos difíciles de superar? (Winsløw, 2007, p. 190)
En particular, según las representaciones semióticas, destaca dos obstáculos que marcan
una verdadera transición con respecto a:
 la falta de estrategias de rutina para la organización de los tratamientos que
proporcionan la verificación (o más en general, el resultado deseado);
 la falta de representaciones no discursivas a la propiedad para comprobar.
Estos dos fenómenos se encuentran regularmente en la transición del análisis concreto
(el Cálculo, funciones) al análisis moderno (el abstracto, espacios de funciones)12. En
este último los objetos y sus propiedades no tienen más que una sola forma fiable de
representación, y su estudio no admite rutinas de tipo "algorítmico". Éstas son dos
rupturas profundas con toda la experiencia anterior de los estudiantes con las
matemáticas y, en particular, con el análisis (Winsløw, 2007).
Observamos, de nuevo, que estas propuestas encaminadas a superar los obstáculos que
aparecen en el estudio del cálculo diferencial en el primer curso universitario y, muy
especialmente, para soslayar las dificultades para dar sentido a dicho estudio, no otorgan
al cálculo diferencial un papel esencial en la construcción y manipulación de modelos
funcionales.
12
Por ejemplo, mientras que la distancia euclidiana es la distancia "natural" para el análisis concreto
(donde es parte del discurso teórico), las distancias métricas ellas mismas se convierten en objetos para
tareas en el análisis moderno (Winsløw, 2007, p. 195).
62
3.2. La renovación de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales
En este ámbito aún más específico del estudio del cálculo diferencial elemental, Artigue
(1995) llevó a cabo una investigación de ingeniería didáctica que se desarrolló, en
Francia (Artigue & Rogalski, 1990; Artigue, 1992; Artigue, 1994), con el objetivo de
renovar la enseñanza tradicional de las ecuaciones diferenciales en el primer año del
ciclo básico universitario, dando a los estudiantes una visión más amplia de este
dominio, que resumimos en el siguiente esquema:
resolución de las
ecuaciones
diferenciales
puede abordarse desde
diversos cuadros
algebraico
resolución exacta
numérico
geométrico
resolución
aproximada
resolución
cualitativa
Figura 2 – Diferentes cuadros en la resolución de ecuaciones diferenciales
El objeto de la investigación fue elaborar una ingeniería didáctica que estuviera más
acorde con la epistemología del campo por medio de la integración en la enseñanza de
enfoques numéricos y cualitativos (y no solo algebraicos13) y estudiar las condiciones
de viabilidad de un producto de tal naturaleza en el transcurso de experimentaciones
sucesivas en la Universidad de Lille1. Primero precisaron las restricciones que se
imponían en la enseñanza de este dominio (que permitían explicar su resistencia) e
identificaron:
I.
Restricciones epistemológicas (provenientes de la naturaleza del conocimiento
en juego).
II.
Restricciones cognitivas (asociadas a las características cognitivas de los
estudiantes).
III.
Restricciones didácticas (ligadas a las selecciones y hábitos del sistema de
enseñanza).
13
En Francia, la enseñanza de este dominio en el ciclo básico universitario se limita al cuadro algebraico
(Artigue, 1995).
63
Por ejemplo, el largo predominio histórico del cuadro algebraico, el hermetismo de las
diferentes problemáticas de resolución y la dificultad de los problemas que dan origen a
la resolución cualitativa, son restricciones de carácter epistemológico que tienden a
obstaculizar la entrada de una dimensión cualitativa en la enseñanza de este nivel.
Y en el plano didáctico, hay que reconocer que la enseñanza tradicional, algebraica y
muy algoritmizada, es una enseñanza que no plantea problemas y que corresponde a un
nivel de exigencia mínima, tanto para los estudiantes como para los profesores, en este
primer año de universidad (introducir un enfoque cualitativo que, si bien es susceptible
de métodos, no es algoritmizable, aumenta el interés de la enseñanza y también su
dificultad).
Artigue (1995) reconociendo estas restricciones y tratando de actuar sobre ellas, se
construyó un proceso de ingeniería basado en un cierto número de decisiones globales
como las siguientes:
a) Hacer explícito, en una fase preliminar a la enseñanza de las ecuaciones
diferenciales, el cambio deseado en el status del cuadro gráfico por medio de un
trabajo adaptado sobre las curvas y funciones.
b) Apoyarse en la informática para manejar la dificultad cognitiva del enfoque
cualitativo, por medio de la construcción de tareas de complejidad variada (trazos de
soluciones sobre campos de tangentes dadas, asociaciones de flujos con ecuaciones
diferenciales, interpretación de flujos obtenidos con un computador, producción de
flujos parcialmente asistida por computador, etc.).
c) Enseñar de manera explícita métodos para organizar la resolución cualitativa.
d) Limitar la complejidad en el cuadro algebraico, restringirse principalmente al
estudio de las ecuaciones diferenciales lineales y a las de variables separables y
transferir el núcleo del trabajo algorítmico a un trabajo autónomo.
A continuación Artigue procedió con el proceso de enseñanza en 7 fases, organizadas
cada una en torno a situaciones claves:
1) Las necesidades internas y externas a las matemáticas a las cuales responde la
herramienta de la ecuación diferencial (taller de modelización organizado con base
en los resultados de la investigación anterior).
2) La introducción a la resolución cualitativa.
64
3) La resolución algebraica.
4) La complementariedad de los enfoques algebraico y cualitativo.
5) La introducción a la resolución numérica.
6) Los métodos de la resolución cualitativa.
7) La integración de las diferentes herramientas en la resolución de problemas más
complejos (bajo la forma de proyectos).
Las experimentaciones sucesivas mostraron la viabilidad “teórica” de este tipo de
enseñanza y el interés que ella puede generar en los estudiantes, a pesar del aumento en
la dificultad. Al mismo tiempo, se especificaron las dificultades que ese tipo de
enseñanza debía superar para poder sobrevivir. Este análisis a posteriori llevó a
distinguir tres tipos de tareas en la resolución cualitativa y tres niveles de interacción
entre los registros gráficos y algebraicos asociados:

La interacción ligada a la interpretación.

La interacción relacionada con la predicción.

La interacción unida a la justificación.
Artigue observó que:
Desde el primer año, los resultados obtenidos mostraron que, para los estudiantes
involucrados en la investigación, la interpretación no presentaba problemas particulares de
accesibilidad y que la actuación de los estudiantes era satisfactoria a nivel de la predicción.
Por el contrario, en el nivel de las justificaciones, tanto si se trataba de probar el cruce o no
cruce de curvas, como de demostrar o refutar la existencia de asíntotas, el porcentaje de
éxito no sobrepasaba el 20%. (Artigue, 1995, p.130)
Con el objetivo de ultrapasar esta dificultad, en un segundo momento, introdujeron
directamente herramientas de justificación en el nivel gráfico para permitir a los
estudiantes adquirir una autonomía razonable en las justificaciones. Sin embargo, esas
herramientas plantearon problemas “terribles” de integración didáctica. De hecho, ellas
cuestionan con profundidad el status tradicional del cuadro gráfico, al presentarlo como
un cuadro de justificación. Este cambio de status no se puede negociar tan sólo en el
campo de un contrato local reservado a las ecuaciones diferenciales, sino que implica
necesariamente a la enseñanza del cálculo como un todo.
Casi en todos los casos, las aproximaciones intuitivas basadas en la exploración de
fenómenos con frecuencia asociadas con la utilización de tecnologías informáticas,
reemplazaron, o tendían a reemplazar, las aproximaciones formales que habían
65
acompañado la reforma de las matemáticas modernas. Estos enfoques sin duda alguna
proporcionan al estudiante una familiaridad, un contacto enriquecedor con un cierto
número de fenómenos o de objetos relevantes en el campo del cálculo. Sin embargo,
Artigue (1995) reseña que la experiencia didáctica debe incitarnos a desconfiar un poco
de los discursos muy entusiastas que acompañan con frecuencia las reacciones ante la
caída de un orden tradicional. Advierte que debemos estar atentos a lo que en los
enfoques intuitivos permite establecer una cierta distancia frente a las acciones locales,
muy contextualizadas, a lo que permite la capitalización y la estructuración de la
experiencia, y a la forma como se distribuye en este nivel el trabajo del profesor y el
trabajo del estudiante.
Es importante subrayar que en esta investigación didáctica dirigida a renovar la
enseñanza de las ecuaciones diferenciales, las actividades de modelización juegan un
papel importante como ámbito en el que es posible mostrar una posible razón de ser y
verdadera importancia del estudio de técnicas para la resolución de las ecuaciones
diferenciales.
3.3. Investigaciones didácticas relativas a las actividades de modelización
Galbraith (2011) presentó las características de diversas articulaciones de modelización
matemática y sus aplicaciones, con el objetivo de explicar cómo interactúa la
modelización matemática con las propuestas curriculares de la educación matemática
australiana, en particular, con la siguiente:
[…] mathematics aims to ensure that students are confident, creative users and
communicators of mathematics, able to investigate, represent and interpret situations in
their personal and work lives and as active citizens.
(Galbraith, 2011, p. 280) citando (Australian Curriculum, Assessment and Reporting
Authority [ACARA], 2010)
Considera que la modelización vista como un ajuste de curvas se ha tornado cada vez
más relevante con la disponibilidad de menús de regresión en software (GeoGebra,
Excel, etc.) y en calculadoras gráficas. Sin embargo, reseña que un modelo generado de
esta forma se puede transformar en un artefacto puramente técnico cuyos parámetros
varían de acuerdo con el conjunto particular de datos, y que puede generarse en
completo desconocimiento de los principios subyacentes a la situación real y construido
sin el conocimiento de donde proviene una tabla de datos.
66
Esto conduce a una cuestión teórica profunda que hace referencia a la relación entre los
datos como tales, como una simple tabla de números, y la estructura teórica que sustenta
su generación. Por ejemplo, las curvas resultantes del ajuste a los datos referentes a la
evolución de poblaciones por la utilización sucesiva de un conjunto de regresiones
disponibles en la calculadora gráfica deberían tener un patrón exponencial subyacente.
Así, podremos decir que el ajuste tecnológico de datos reales por medio de curvas pasa
a ser una importante actividad dentro del proceso de modelización, pero cuando se
utiliza de forma inconsciente, aislada, sin considerar la interpretación del modelo
construido en el contexto real y la naturaleza de los datos involucrados, crea una
peligrosa aberración del concepto de modelización funcional.
Es esencial eliminar la separación entre la búsqueda de una relación matemática
mediante un modelo funcional y el tipo de datos que se pretende ajustar (su tipo de
variación, las restricciones y condiciones impuestas a los parámetros).
Aunque Galbraith subraya la importancia de la construcción de modelos funcionales a
partir de datos discretos reales, no habla del relevante papel que el cálculo diferencial
podría tener en esa misma construcción y posterior manipulación del modelo. En
conclusión, en este estudio el autor parece no explicitar la relación entre la modelización
funcional y el cálculo diferencial.
Por otra parte, Galbraith también asigna una gran importancia al papel de la
modelización como un vehículo para la enseñanza de otras matemáticas al citar Zbiek y
Conner (2006):
[…] we recognize that extensive student engagement in classroom modeling activities is
essential in mathematics instruction only if modeling provides our students with significant
opportunities to develop deeper and stronger understanding of curricular mathematics.” (pp.
89–90)
De esta forma, las actividades de modelización sirven para dar sentido y para mejorar la
comprensión de la utilidad de ciertos contenidos matemáticos. Esta contribución está de
acuerdo con la interpretación de la modelización matemática como un concepto
transversal a todo el currículo de matemáticas. En la misma dirección, Lesh y asociados
(e.g. Lesh & Doerr, 2003) utilizan Model Eliciting Activities (MEAs), o sea, secuencias
de actividades cuidadosamente planeadas y orquestadas para generar conceptos
matemáticos, para su consolidación y su mejoramiento.
67
3.4. Investigaciones didácticas relativas a la enseñanza del cálculo diferencial
en el ámbito de la modelización funcional
Cantoral y Mirón (2000) presentaron un estudio de los efectos que la incorporación de
la tecnología avanzada produce en el campo de la enseñanza del cálculo diferencial
elemental, en particular, en las relaciones entre una función y su función derivada o
entre una función y sus funciones primitivas. De este modo, empezaron por reseñar que
un estudiante de un curso de cálculo debe concebir la función como un proceso sobre
números pero, también la debe considerar como un objeto que podrá ser operado bajo
otro proceso como la diferenciación o la integración:
objecto
•número
•diferenciación
•integración
•función
objecto
proceso
•matemáticas
más avanzadas
procesos
Figura 3 – Elementos del cálculo diferencial como objetos y procesos
La identificación de la función como un objeto de integración resulta difícil para los
estudiantes y, consecuentemente, este hecho es un obstáculo que no va a permitir que el
alumno tome la función como la incógnita de una ecuación diferencial y surjan
dificultades semejantes a las observadas en Ursini y Trigueros (2006) que fueran
descritas anteriormente.
Cantoral y Mirón (2000) defienden que la incorporación de elementos visuales como
parte de la actividad matemática permite la manipulación de la función no sólo como
objeto, sino que además, permite el tránsito versátil entre sus diferentes
representaciones: algebraica, geométrica, numérica, icónica y verbal. De este modo, y
en el ámbito de la presente memoria, podremos considerar estos elementos visuales
como una herramienta útil para desarrollar actividades de modelización funcional, en
particular, en el proceso de construcción del modelo algebraico funcional a partir de
datos discretos representados gráficamente, por un modelo numérico (tabla de valores),
o incluso, por un modelo verbal.
Sin embargo, los citados autores refieren que el problema didáctico consiste
esencialmente en la dificultad cognitiva para adquirir maestría en el contexto
68
geométrico (por ejemplo, es mucho más fácil mostrar la existencia de una raíz doble
algebraicamente que geométricamente). De este modo, postulan que, antes del estudio
del cálculo, es necesaria la adquisición de un lenguaje gráfico que posibilite la
transferencia de campos conceptuales virtualmente ajenos, para articular mejor el
estudio gráfico de curvas con su representación algebraica.
Una de las dislexias escolares explicadas por las recientes investigaciones señala que:
[…] la enseñanza habitual del análisis matemático logra que los estudiantes deriven,
integren, calculen límites elementales sin que sean capaces de asignar un sentido más
amplio a las nociones involucradas en su comprensión. De modo que aun siendo capaces de
derivar una función, no puedan reconocer en un cierto problema la necesidad de derivar.
Así también, pueden encontrar una derivada sin asumir que el resultado obtenido mediante
la derivación sea a su vez una nueva función susceptible de derivación. (Cantoral & Mirón,
2000, p. 269-270)
Esta dislexia (o desarticulación) es plenamente coherente con las conjeturas (formuladas
en el capítulo III) relativas a la actividad matemática desarrollada en la enseñanza
portuguesa en el ámbito del cálculo diferencial elemental y la modelización funcional.
En particular, cuando postulamos que tareas que implican de alguna forma la
interpretación de una técnica del CDE no sean frecuentes en los manuales escolares, tal
como, por ejemplo, la interpretación de la derivada como variación de una variable con
respecto a otra (conjetura C2.3 del capítulo III).
La introducción del concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente
presupone que la noción de pendiente (estudiada por los alumnos entre los 12 y 14 años
de edad) haya adquirido una cierta estabilidad funcional. Además, la explicación de
procesos infinitos puede ser muy espinosa para el profesor y la capacidad de vislumbrar
situaciones límites es algo rara en los estudiantes. Por todo ello, Cantoral y Mirón
(2000) utilizaron un diseño experimental basado en el concepto lagrangiano de
derivada, o sea, la derivada no surgirá como el habitual límite de un cociente, sino como
un coeficiente de un desarrollo:
Usual
No usual
Figura 4 – Diferentes interpretaciones del concepto de derivada
69
Indican que, desde el punto de vista sociológico, la razón de ser de la noción de
derivada reposa en la posibilidad de utilizarla en contextos que requieran de la
predicción de fenómenos de cambio. En las prácticas humanas la derivada no se
entiende exclusivamente como el límite del cociente incremental, sino como un
instrumento para estudiar la evolución de un proceso de cambio, de crecimiento o de
decrecimiento. Esta idea ha sido parcialmente expuesta en diversos trabajos de
investigación como, por ejemplo, Azcárate (1990), Cantoral y Farfán (1998) y es
también la interpretación que adoptamos en esta memoria.
Desde el punto de vista de la matemática de la situación, Cantoral y Mirón (2000) han
planteado determinadas tareas con el objetivo de establecer una relación entre la función
derivada y su primitiva, creando la necesidad del cambio coordinado de registros de
representación matemática: gráficos, algebraicos y numéricos.
Así, por un lado, han propuesto actividades de modelización funcional que condujesen a
la necesidad de manipular los parámetros
y
de la función cuadrática
, con la calculadora gráfica, hasta hacerla coincidir con una recta dada de
manera que el contacto fuese efectivamente tangencial en el punto indicado. O sea,
desde nuestro punto de vista, propone una actividad que, al ser resuelta sin el auxilio de
la calculadora gráfica, podría servir como un ejemplo claro para justificar el papel del
cálculo diferencial en la construcción del modelo funcional algebraico:
Para contestar a la primera tarea, el alumno
podría resolver el siguiente sistema cuya
solución es una familia de parábolas:
Sin embargo, los autores sugieren que el alumno reconozca la regularidad lineal cuando
, vinculada con la definición de derivada lagrangiana, o sea, que los términos no
cuadráticos de la ecuación de la función cuadrática correspondan exactamente a los
términos de la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa , construyendo así
el modelo con el conocimiento de la relación entre la parábola
es,
y la recta
, esto
.
De modo inverso, para resolver la segunda tarea se podría, siguiendo la técnica escolar
habitual, derivar la función cuadrática para descubrir la pendiente de la recta tangente en
70
el punto de abscisa
y después utilizarla para encontrar la ecuación de la recta,
utilizando así explícitamente el cálculo diferencial para construir el modelo. Pero, una
vez más, los autores sugieren una primera exploración del problema con la calculadora
gráfica y posterior confirmación con la relación
.
De este modo, podremos concluir que Cantoral y Mirón (2000) al proponer la
construcción del modelo como resultado de la manipulación de los parámetros con la
calculadora gráfica y consecuente validación con la definición de derivada lagrangiana
torna implícito el papel del cálculo diferencial como herramienta para la construcción
del modelo algebraico funcional cuadrático o lineal.
Posteriormente, propone modificar las condiciones iniciales o variables de control (la
posición de la recta, el punto de tangencia, etc.) para garantizar que la técnica ha sido
adecuadamente comprendida por los estudiantes y que éstos consiguen elegir la técnica
adecuada para resolver una determinada tarea propuesta al poner en funcionamiento los
recursos y estrategias de partida. También se utiliza la manipulación y cambio de
parámetros como una variable didáctica o instrumento de control por parte del alumno,
para verificar la certeza de sus predicciones.
Por otro lado, dicha posibilidad de variar los parámetros permite dejar de buscar una
parábola en particular y pasar a buscar una familia de parábolas que satisfagan las
exigencias del problema, interpretada como un conjunto de funciones con propiedades
comunes (esta identificación obedecería a la conjetura C.9 del capítulo III). Este paso
del estudio de una parábola concreta al estudio de una familia de parábolas, se
corresponde al paso del primero al segundo de los niveles de modelización funcional en
el sentido de Ruiz-Munzón (2010) (ver sección 3.3. del capítulo I), y pretende favorecer
estrategias de formulación y validación del saber matemático que se desea ver aparecer
entre los estudiantes.
Por ejemplo, en el caso particular presentado por Cantoral y Mirón (2000), de buscar
parábolas tangentes a una determinada recta en el punto de abscisa 0, la imbricación
entre la parábola
sea,
y la recta
, en el dominio de sus expresiones algebraicas, o
, proporciona al estudiante un elemento de control de la
situación. También cuando se pretende que los estudiantes busquen parábolas tangentes
a una determinada parábola en un cierto punto, espera que éstos utilicen la recta
tangente a la parábola dada en el punto en cuestión como instrumento intermediario
71
para llegar a la parábola-solución (utilizar la “derivada” para encontrar una segunda
“primitiva”). Para realizar este trabajo surge la necesidad de articular los diferentes
registros de funciones: algebraico, gráfico y numérico; utilizando una verificación en
principio algebraica, pero básicamente visual- gráfica.
En el mismo trabajo se proponen actividades que impliquen la necesidad de revertir los
procedimientos o, en otras palabras, tareas que conduzcan a la inversión de las técnicas
para resolver el problema inverso del inicial. En este tipo de actividades como, por
ejemplo, partir de una recta para encontrar una parábola de la cual aquella sea su
derivada aparecen dificultades importantes a pesar del auxilio de la calculadora gráfica,
lo que concuerda con los resultados obtenidos en la contrastación empírica de la
conjetura C4 del capítulo III:
[…] estas actividades presentarán una serie de dificultades adicionales a las actividades
anteriores, pero resultarán fundamentales para emitir algún tipo de juicios que no se limite
al juego del contrato didáctico. De algún modo, estas actividades buscan un cierto principio
de reversibilidad en sus respuestas. (Cantoral & Mirón, 2000, p. 276)
Por ejemplo, para construir la gráfica de una función primitiva a partir de la gráfica de
una función, los estudiantes utilizaron intuitivamente la naturaleza inversa de las
relaciones entre las funciones y usaron transformaciones gráfico-algebraicas cuyas
justificaciones se apoyaban fundamentalmente en aspectos visuales y no algebraicos.
Básicamente, las actividades proponían la construcción de una función derivada y la
anticipación de una primitiva, revelando la existencia de una ingenua articulación entre
la modelización funcional (construcción del modelo diferencial) y el cálculo diferencial
elemental (anti-derivada) en el ámbito de las funciones lineales y cuadráticas. En otras
palabras, este trabajo parece poner de manifiesto, de una forma intuitiva, la utilidad de
la anti-derivada para construir un modelo lineal o cuadrático a partir de su modelo
diferencial asociado.
Una revisión documental de las investigaciones sobre pensamiento matemático
avanzado, muestra la existencia de una gran cantidad de estudios que ponen de
manifiesto las profundas dificultades de aprendizaje por parte de los alumnos cuando se
pretende que las ideas del cálculo diferencial elemental sean adquiridas en una primera
enseñanza (Artigue, 1998). Sin embargo, muchas de ellas se olvidan del hecho de que la
matemática escolar está al servicio de otros dominios científicos y de otras prácticas de
referencia, de donde a su vez adquiere sentido y significación, tal como, por ejemplo, la
72
matematización de la predicción de los fenómenos de cambio. Para acceder a este estilo
de pensamiento esencial para el estudio del cálculo diferencial elemental, se requiere del
manejo de un universo de formas gráficas extenso y rico en significados por parte del
que aprende (Cantoral & Mirón, 2000).
Algunos años después, Cantoral y Reséndiz (2003) desarrollaron una investigación que
formó parte del proyecto P&LV (Pensamiento y Lenguaje Variacional 14) que surgió
debido al hecho de que la enseñanza del cálculo había sido entendida como el desarrollo
de habilidades algorítmicas y algebraicas (para derivar, integrar y optimizar variables) y
no suela plantear al estudiante escenarios para la significación de la variación. Así,
durante un semestre completo, los investigadores observaron los discursos de varios
profesores, las interacciones y los feedbacks de los alumnos de la asignatura de
Matemáticas I en las carreras de Ingeniería de Sistemas, Bioquímica y Electrónica,
cuando el estudio se centraba en las nociones de función y derivada como modelos para
el estudio de la variación, como parte del currículo del cálculo diferencial e integral.
La enseñanza del cálculo diferencial e integral ha sido siempre problemática para el
profesor (Robinet & Speer, 2001), y tal vez, por no ser una tarea sencilla para explicar y
hacer comprender sus principios y su razón de ser en los currículos de las asignaturas,
los profesores se limitan a enseñarlos de forma mecánica y a evaluar los respectivos
conocimientos según un dominio algorítmico y de naturaleza algebraica. Es cierto que
este tipo de enseñanza y evaluación podrá ayudar a disminuir los elevados niveles de
fracaso por parte de los estudiantes en las correspondientes asignaturas, pero esta
disminución será ilusoria, toda vez que, a pesar de que cuantitativamente los resultados
serán mejores, en términos cualitativos se habrá perdido la comprensión de los
conceptos, la justificación de las técnicas y, más aún, de la razón de ser de dicho
estudio.
Según Cantoral y Reséndiz (2003), el cálculo tiene un papel primordial en matemáticas
y ciencias como un conjunto de conocimientos teóricos y empíricos indispensables en la
educación superior tanto de las ciencias como de las humanidades, una vez que, el
cálculo es la herramienta matemática que ha servido para la descripción de los
fenómenos de un mundo cambiante, en otras palabras, se ha dicho que es la matemática
14
De entre las múltiples orientaciones, esta línea de investigación, tiene en cuenta los problemas y
situaciones que se abordan y resuelven en el terreno de lo social mediante estructuras variacionales
consideradas tanto en la escuela como en el laboratorio (Cantoral, 1997).
73
del cambio y de la variación. Sin embargo, tradicionalmente el cálculo ha sido
entendido como el estudio de los procesos inversos de derivación e integración en un
contexto simbólico.
Han surgido diversas investigaciones en las cuales se analiza por qué los estudiantes
universitarios de ciencias físicas o de ingeniería otorgan significados pobres a algunos
símbolos utilizados en la enseñanza del cálculo diferencial e integral como, por ejemplo,
o, simplemente,
(Pulido, 1998; Artigue, 1991).
Cantoral y Reséndiz (2003) observaron, en las explicaciones de los profesores de
Universidad, que el uso rígido y muy predominante de la simbología
conduce a
una pérdida de información, en particular, impide, de inmediato, la posibilidad de
interpretar la derivada
como una variación de los valores del cociente: Si tu cambias
la , ¿cómo va a cambiar la función?”. Esta afirmación concuerda con los resultados
empíricos obtenidos en la contrastación empírica de la conjetura C1.5 (ver capítulo III),
según la cual los libros de texto de la enseñanza secundaria portuguesa muestran una
nítida predominancia del uso de la nomenclatura
sobre la notación
para
representar la función derivada de una función
La creencia de que el fenómeno de la rigidez de la nomenclatura, en el ámbito de la
actividad matemática desarrollada en torno al CDE y a la MF, puede dificultar la
interpretación de la derivada como una variación de una variable con respecto a otra, es
coherente con la descripción del modelo epistemológico dominante15 en las instituciones
escolares.
Por otro lado, Cantoral y Reséndiz (2003) describen, a través de las explicaciones de los
profesores de Ingeniería, que los docentes otorgan al cálculo diferencial el papel de
instrumento útil para graficar más rápidamente funciones no elementales, intentando
mostrar a los estudiantes que esta es la razón de ser del estudio del Cálculo, en
particular, del estudio de la función derivada:
15
En particular, con los resultados de la contrastación empírica de la subconjetura C2.3: El cálculo de la
derivada de una función no suele incluir la interpretación del resultado en términos de variación de la
función y, consecuentemente, con los resultados de la contrastación de la subconjetura C5.2: En los
manuales escolares aparecen muy pocas situaciones de modelización funcional que requieran
explícitamente la interpretación del trabajo del modelo en términos de variación de una variable
respecto de otra (ver capítulo III).
74
Para hacer la gráfica de
con la mejor información posible
tenemos necesidad del cálculo, o sea, necesitamos saber derivar… para saber donde
cambia la forma de la gráfica (variación de las pendientes).
Explicación de un profesor de Universidad (Cantoral & Reséndiz, 2003, pp. 149).
Sin embargo, las interacciones y reacciones de los alumnos no fueron las esperadas por
el profesor, toda vez que éstos se resistieron al uso del instrumento del cálculo
diferencial por no sentir la necesidad de utilizarlo. Continuaron creyendo que es siempre
posible representar gráficamente una función recurriendo a la técnica de la tabulación,
no percibiendo “en la práctica” que esta técnica puede ser muy costosa y lenta (poco
económica).
Al estudiar las explicaciones didácticas de los profesores sobre la variación
identificaron en dichas explicaciones cinco tipos de perspectivas de la noción de función
como variación:

El modelo numérico (la tabulación como variación numérica16, que en esta memoria
denominaremos modelo numérico variacional);

El modelo de la representación geométrica (construcción de graficas variando el
punto de referencia como, por ejemplo, desplazando el vértice, moviendo el origen o
la asíntota, recurriendo a las traslaciones o rotaciones para mover la gráfica, a la
variación de los parámetros que multiplican una función, la inclinación, sube o baja,
crece o decrece, etc.);

El modelo algebraico (el empleo de parámetros como variables principales, la
interpretación del efecto de su manipulación sobre la gráfica).

El modelo de la comparación a/b (la derivada
interpretada como una covariación,
como la variación de los valores del cociente, la variación de un ángulo, de un punto
de referencia);

El modelo del lenguaje natural (expresiones verbales con referencia a situaciones
cotidianas)
Dichas formas de explicar la noción de variación en el aula se crean bajo el discurso
construido tanto por el maestro como por sus alumnos, atendiendo a la especificidad del
saber en juego, de acuerdo con la teoría de las situaciones didácticas, la cual destaca el
16
En el sentido de que es el numero el que ordena la posición de los puntos y la tabla de valores la que
guía la secuencia de construcción de la gráfica.
75
hecho de que la situación de aprendizaje genere una serie de interacciones que hagan
funcionales la comunicación y el intercambio de ideas.
La noción de variación se apoya fuertemente en la de variación numérica, mientras que
el modelo más utilizado fue el de la tabla de valores. Según Cantoral y Reséndiz
(2003), en las explicaciones de los profesores acerca de la construcción de este modelo
de variación numérico (tabulación) surgen preguntas del tipo:
I.
II.
III.
¿Por qué seleccionamos siempre números enteros?
¿Por qué no evaluamos en más números?
¿Por qué unimos los puntos?
Para contestar a la primera pregunta, el profesor “observado” por los investigadores
alude a la sencillez que da el trabajar con enteros y lo difícil que resultaría trabajar con
fracciones. A la segunda pregunta responde que el alumno deberá evaluar en el número
de puntos que considere necesario para visualizar bien la forma de la gráfica. Al intentar
responder a la tercera pregunta, el profesor se contradice puesto que utiliza la idea de la
evaluación y comportamiento de los puntos intermedios (usando una sucesión de
puntos, etc.), aunque dichos puntos eran aquellos de los que él había mencionado que
era complicado tabular, o sea, las fracciones. Su respuesta a la pregunta ¿Por qué
unimos los puntos? es la siguiente:
[…] porque entendemos que los demás puntos intermedios, también los puedes evaluar y
encontrar con su respectiva pareja, entonces los unes y te da esta figura que representa
una recta, ahí está, […]
Explicación del profesor observado (Cantoral & Reséndiz, 2003, pp. 139).
De este modo creemos que también podrá haber surgido, en las explicaciones de dichos
profesores, la idea de interpolación de puntos (en referencia al estudio del
comportamiento de los puntos intermedios), la idea intuitiva de límite (como valor para
el cual se aproxima la sucesión de puntos) y, como principal obstáculo, la gran
dificultad en justificar el paso del campo discreto al continuo.
Dentro del mismo enfoque teórico, Cordero (2006) presentó un trabajo sobre la
modelización funcional en el que se refiere a la linealidad del polinomio como un
argumento gráfico que consiste en identificar que la parte lineal de cualquier polinomio
es precisamente la recta tangente a la curva del polinomio, en el punto de abscisa 0.
76
Reseña que la linealidad adquiere importancia cuando es resignificada como la recta
que se le suma al término de mayor potencia del polinomio para afectar su
comportamiento. La variación de parámetros de la recta ayuda a identificar un patrón de
comportamiento de la gráfica de la función polinómica. Consiste en que la curva tiende
a comportarse como la recta en la vecindad del cero, y fuera de ésta las “ramas” de la
curva recuperan su comportamiento de acuerdo a la potencia mayor del polinomio. Con
tal argumento, se generan relaciones gráficas y analíticas, tales como: a partir de la parte
lineal del polinomio se pude predecir (bosquejar la gráfica) el comportamiento del
polinomio y a partir del comportamiento de una curva (gráfica) se puede estimar el
polinomio correspondiente, como sugiere la figura:
Figura 5 – Linealidad del polinomio (Cordero, 2006)
De este modo, establece una relación implícita entre el papel de la función derivada y de
la ecuación de la recta tangente a una curva en un determinado punto (o sea, una parte
del estudio del cálculo diferencial) en la construcción de modelos funcionales
polinómicos.
Cordero destaca que es posible diseñar situaciones donde la predicción sea el argumento
que permita generar la resignificación de lo que varía, tanto para cantidades discretas
como continuas, estableciendo procedimientos cada vez más complejos para expresar
cantidades que se transforman y que fluyen como, por ejemplo:
77
[…] desde un juego de canicas para predecir un nuevo monto de canicas
cantidad que se transforma a la cantidad
y
es la variación) hasta predecir la posición de
un móvil con respecto al tiempo
la nueva posición y
( es la
siendo
la posición inicial,
la variación. Asimismo, la suma de funciones
significa una situación de comportamiento local y global que tendrá que ser resignificado
hasta alcanzar la estabilidad de las ecuaciones diferenciales lineales
, por
medio de la modelación o bien graficación como una práctica social. (Cordero, 2003, p. 15)
Sugiere la reproducción en el sistema educativo de varias investigaciones de las cuales
subrayamos las siguientes:
-
Las resignificaciones en la modelación: caracterizar la modelación como una
práctica social a través de situaciones de variación y cambio (Suárez, 2002).
-
Las argumentaciones en la modelación del movimiento del resorte: la ecuación
diferencial de segundo orden y la función continua a trozos. Se formula una
epistemología para modelar el movimiento del resorte donde se confronta las
concepciones de continuidad euleriana y moderna para establecer la estabilidad de la
solución de la ecuación diferencial, y se diseña la situación didáctica (Hernández &
Cordero, 2002).
Bravo y Cantoral (2012) presentaron los resultados del análisis de ocho libros de
Cálculo identificando anomalías en el seguimiento de las explicaciones que se
desarrollan acerca del integral de línea de funciones, de ecuaciones diferenciales
lineales y de campos vectoriales. Con base en la Teoría de la Transposición Didáctica,
los autores tipificaron dichas anomalías como: vacíos explicativos, rupturas en la
secuencia lógica de las explicaciones e incongruencias entre las definiciones formales y
los ejemplos que se resuelven. En particular, se realizó un seguimiento del concepto de
integral de línea a fin de explicar el por qué en los textos de Fisicoquímica, en el
enunciado de la primera ley de la Termodinámica, se utiliza el concepto de diferencial
inexacta para representar matemáticamente “pequeños cambios de calor” o “pequeñas
cantidades de trabajo realizado”, y en los textos de cálculo dicho concepto no se registra
como tal. Los autores refieren que de los ocho textos17 revisados, sólo uno (C. Pita
Ruiz) ha escapado al siguiente esquema general en la organización escolar en torno a la
integral de línea:
17
W. A. Granville (1982), R. Courant (1996), C. Pita Ruiz (1995), R. Larson et al. (1999), Thomas G. y
R. Finney (1986), E. Sowkowski (1989), J. Stewart (2002) y N. Piskunov (1973).
78
Figura 6 – Esquema escolar habitual en torno a la integral de línea (Bravo & Cantoral, 2012, p. 95)
También subrayan otra de las consecuencias de la transposición didáctica: la
delimitación del saber y la correspondiente atomización que conduce al registro de
saberes parciales explicados de manera ficticiamente autónoma. O sea, la necesidad de
darle un tratamiento didáctico al conocimiento matemático que es complejo e
intrincado, conduce a la separación de conceptos que están fuertemente imbricados
provocando una segmentación del saber. Por ejemplo, la separación entre el cálculo
diferencial e integral, que para muchos profesores y autores de manuales es
didácticamente adecuada, para Courant (1996) representa una dificultad para entender la
reciprocidad entre los procesos de derivación e integración.
En este estudio analizaron los distintos significados del proceso de integración que se
desarrollaron a través de la historia del cálculo:

Integral como una suma de un número infinito de “cantidades infinitamente
pequeñas”.

Integral como proceso de antiderivación.

Integral como la existencia del límite de las sumas de Riemann.
Y concluyen que, como resultado de la transposición didáctica, los libros analizados
presentan definiciones formales de los conceptos centrales del cálculo (función,
derivada, diferencial e integral), eliminando sus primeras ideas (diferenciales inexactas
en Termodinámica) que, según Bravo y Cantoral, son convenientes para que el lector se
familiarice con esta disciplina. En este sentido, reseñan que:
[…] sería didácticamente adecuado utilizar los diferentes significados y definiciones que
se dieron a través de la historia para que a partir de su análisis e identificación de sus
limitaciones se perciba la necesidad de construir definiciones más exactas y formales.
(Bravo & Cantoral, 2012, p. 120)
Por otro lado, advierten que estos vacíos explicativos se convierten con frecuencia en
obstáculos cognitivos para los estudiantes de fisicoquímica puesto que éstos no
encontrarán, por ejemplo, el término diferencial inexacta ni su explicación matemática
79
correspondiente. Como consecuencia de los resultados de este estudio exploratorio,
Bravo y Cantoral sugieren:
[…] pensar en formas más creativas de organización de contenidos de los textos para
contribuir, en la medida de lo posible, a eliminar los efectos negativos del proceso
transposición que sufre el saber matemático. Una manera de cambiar la clásica secuencia de
contenidos de los manuales sería estructurar los conceptos del cálculo alrededor de
preguntas o problemas abiertos, esto posibilitaría la integración de conceptos y la
significación de los mismos. (Bravo & Cantoral, 2012, p.119-120)
Para finalizar esta breve exposición de trabajos que sitúan la enseñanza de las
ecuaciones diferenciales en el ámbito de la modelización, consignaremos una
investigación de María Trigueros (2009). Esta autora ha descrito algunas experiencias
de uso de la modelación funcional en la enseñanza de las ecuaciones diferenciales a
estudiantes de diferentes licenciaturas, analizando las dificultades encontradas y la
forma en que se ha optado por introducir los conceptos matemáticos a enseñar. Con la
intención de introducir la idea de variación y su
posible
expresión
mediante
el
uso
de
ecuaciones diferenciales, así como la noción de
solución de una ecuación diferencial, el papel y
la relevancia de las condiciones iniciales y la
función que los parámetros tienen en la
modelación, se desarrolló un proyecto que ha
nacido de una cuestión abierta (descrita a la
derecha) en una clase de matemáticas aplicadas
Proyecto “Modelo de precios”
Una compañía requiere la forma en la que
pueda predecir el precio, de cualquiera de
sus productos, en un mercado en el que hay
expectativas de los consumidores. El gerente
de la compañía solicita colaboración para
encontrar un modelo adecuado, además de
una presentación en la que se justifique con
claridad por qué se considera que el modelo
es pertinente y se proporcione información
del mercado real que permita validar su
pertinencia.
a la economía.
El proyecto requirió que los alumnos buscasen datos reales relativos a precios de
diversos artículos, para un periodo relativamente largo de tiempo, para que después
pudiesen validar los modelos construidos. Así, buscaron posibles gráficas de funciones
que describieran el comportamiento esperado de los precios de un determinado
producto. A lo largo de un mes en la búsqueda de la solución del problema fue posible
observar varios ciclos de modelación con una gran diversidad de modelos funcionales
propuestos por los diferentes equipos de alumnos, considerando la razón de cambio
como una variable esencial en la expectativa de precios. Después de unos días de
trabajar en el problema:
80
[…] comenzaron a aparecer los primeros modelos incorporando la función precio y la
derivada del precio. La discusión se centró, con posterioridad, en la importancia de esa
relación y en la consideración del modelo resultante como una ecuación diferencial.
(Trigueros, 2009, p.81)
Después de construir los primeros modelos, los estudiantes pasaron a una fase de
refinamiento, de reducción del número de parámetros necesarios para el estudio del
problema concreto o a considerar la relevancia de algunos de ellos.
Trigueros reseña que los alumnos no habían estudiado las ecuaciones diferenciales y no
conocían métodos de solución; no obstante algunos de ellos fueron capaces de utilizar lo
que conocían acerca de la derivada de una función para tratar de dibujar una posible
gráfica de la solución y para evaluar si podría considerarse adecuada.
En un primer esbozo de las posibles soluciones al problema, los estudiantes
consideraron el papel de las condiciones iniciales y utilizaron métodos numéricos
simples o gráficos para encontrar el valor de los parámetros que reflejaban de mejor
manera la situación en estudio. La autora ha considerado particularmente interesante el
hecho de que los estudiantes se acercaran al problema aplicando una perspectiva de
covariación en la que su interés radicaba en encontrar el posible comportamiento de las
variables. Por un lado manifestaron dificultad en relacionar la derivada de la función
con la función en una misma ecuación pero, por otro lado, fueron capaces de dar
significado a la solución de la ecuación diferencial como una función o una familia de
funciones.
Este proyecto de modelización funcional ofreció múltiples ocasiones de reflexión sobre
los conceptos matemáticos involucrados en la solución de ecuaciones diferenciales y les
facilitó desarrollar algunos nuevos como los involucrados en el método de mínimos
cuadrados para la aproximación de curvas a datos discretos experimentales.
Asimismo, la necesidad de validar sus resultados hizo posible integrar naturalmente las
tecnologías informáticas para explorar las distintas representaciones de los modelos
funcionales construidos, para discutir la naturaleza de las posibles soluciones de las
ecuaciones diferenciales o, incluso, para aproximar esas funciones-solución a los datos
discretos reales (Trigueros, 2009).
Así, en este estudio los modelos fueron utilizados como un instrumento para favorecer
el desarrollo de conceptos relativos a la resolución de ecuaciones diferenciales en la
81
enseñanza universitaria, aunque las técnicas de modelización funcional no resultaran ser
las más adecuadas o las más eficaces en cada situación.
En síntesis, creemos que esta investigación pone claramente de manifiesto la
articulación entre la modelización funcional y las ecuaciones diferenciales, revelando
además un posible papel de éstas en la construcción de modelos funcionales.
3.5. A modo de conclusión: ¿qué papel asignan las investigaciones didácticas
al cálculo diferencial en el ámbito de la modelización funcional?
Tradicionalmente, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, en las
pocas ocasiones que las ecuaciones diferenciales aparecían modelizando un proceso de
cambio, eran consideradas como un dato. Se dejaban para el estudiante únicamente las
tareas relativas al ajuste de los parámetros del modelo diferencial al problema dado, la
resolución de la ecuación diferencial y, en algunos casos, las tareas relativas a la
modificación de las condiciones iniciales (manipulación del modelo).
Con la renovación de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales y, más en general,
con la reforma de los métodos aplicados a la enseñanza del cálculo diferencial, se
empieza a enfatizar el papel que podría jugar la modelización funcional como
instrumento para dar sentido al estudio del cálculo diferencial. A partir de este momento
se multiplican las investigaciones didácticas que relacionan de una u otra forma el
cálculo diferencial y la modelización funcional.
Para resumir las conclusiones respecto de las investigaciones didácticas relativas a la
enseñanza del cálculo diferencial en el ámbito de la modelización funcional, hemos de
empezar por explicitar algunas notas respecto a lo que se considera como modelización
funcional (de manera más o menos explícita) en las investigaciones didácticas.
En general, podemos afirmar que en las investigaciones didácticas no se caracteriza la
actividad de modelización funcional globalmente considerada mediante una estructura
compleja y articulada de tareas matemáticas coordinadas entre sí. En particular no se
interrelacionan entre sí los modelos discretos con los modelos continuos ni se estudia
sistemáticamente el paso de un modelo discreto a uno continuo (mediante diferentes
técnicas de regresión y de aproximación) ni el proceso de discretización de un modelo
continuo. No se suele tomar en consideración la economía que proporcionan las técnicas
del cálculo diferencial en contraposición a las pesadas técnicas algebraicas que se
82
requieren en el trabajo con modelos discretos. En el caso de los modelos discretos
tampoco se relacionan entre sí, ni se comparan los que se construyen a partir de los
datos brutos con los que se construyen a partir de los datos variacionales absolutos
(TVM) o los datos variacionales relativos (TVMR). Como consecuencia de todo ello,
tampoco se distingue de manera sistemática entre los modelos funcionales «exactos» y
los «aproximados».
En definitiva, el ámbito de la modelización funcional aparece como relativamente
difuso y poco estructurado en la mayoría de las investigaciones didácticas por lo que el
papel del cálculo diferencial en dicho ámbito queda también, inevitablemente,
fragmentado en aplicaciones puntuales en algunos de los componentes poco
cohesionados de lo que se considera como modelización funcional.
Así, por ejemplo, hemos mostrado un caso en que una determinada concepción de la
derivada (la de Lagrange en contraposición a la de Cauchy), permite situar la razón de
ser de la noción de derivada en la modelización de fenómenos de cambio y en el estudio
de la evolución de un proceso de cambio lo que, por otra parte, coincide plenamente con
el punto de vista adoptado en esta memoria. En este caso, se proponen la construcción
de modelos funcionales como resultado de la manipulación de los parámetros con la
calculadora gráfica y la consiguiente validación a partir de la definición de derivada
lagrangiana, lo que torna implícito el papel del cálculo diferencial como herramienta
para la construcción del modelo algebraico funcional cuadrático o lineal. En otros
casos, la modelización funcional se pone al servicio de la enseñanza de las ecuaciones
diferenciales, para favorecer el desarrollo de conceptos relativos a la resolución de
ecuaciones diferenciales.
En esta memoria, con el objetivo de clarificar la razón de ser que asignamos al cálculo
diferencial en el ámbito de la modelización funcional, empezaremos por caracterizar, en
la próxima sección, lo que entendemos por cálculo diferencial elemental (CDE) y, en el
próximo capítulo, explicitaremos con todo detalle nuestra redefinición de la noción de
modelización funcional (MF) mediante un diagrama de actividad. Dicho diagrama
contendrá las funciones que asignamos al CDE en el ámbito de la MF y constituirá el
esquema básico sobre el que construiremos en el capítulo IV un modelo epistemológico
de referencia de dicho ámbito de la actividad matemática.
83
4. Caracterización de la noción de cálculo diferencial elemental (CDE)
que utilizaremos en esta memoria
En esta memoria denominaremos, provisionalmente, cálculo diferencial elemental
(CDE) a una selección de los temas que se incluyen bajo dicho epígrafe en la última
etapa de la enseñanza secundaria portuguesa y en los currículos de los primeros cursos
universitarios con fuerte componente matemática como, por ejemplo, de los cursos 18 de
Licenciatura de Bioquímica, Medicina Nuclear, Economía, Biología, Geología, etc. Se
trata de un conjunto de temas o contenidos que son comunes, en lo esencial, a ese
mismo nivel educativo en otros muchos países.
En esta sección designaremos la selección de contenidos que consideraremos como
formando parte del CDE con los términos que utiliza el currículum, sin especificar ni las
tareas ni las técnicas (la praxis) que se lleva a cabo, o que sería posible llevar a cabo, en
torno a los mismos. Proponemos a continuación un listado de dichos temas:

Funciones elementales

Dominio y contra-dominio de una función

Intervalos de monotonía y extremos de una función

Asíntotas al gráfico de una función

Límites de funciones

Continuidad de una función en un punto

Derivada de una función en un punto

Función derivada de una función

Derivadas de orden superior

Sentido de las concavidades y puntos de inflexión de una función

Polinomio de Taylor

Funciones continuas en un intervalo

Teorema de Bolzano

Teorema del Valor Medio

Representación gráfica de funciones elementales

Problemas de optimización
18
Pueden ser consultados en el anexo H. Sin embargo, en algunos de ellos pueden aparecer temas que no
consideramos aquí porque no forman parte de lo que, en esta memoria, denominamos por CDE.
84

Integral indefinida. Cálculo de primitivas

Integral definida

Teorema fundamental del Cálculo

Aplicaciones de la integral definida (calculo de áreas, entre otras)

Resolución de ecuaciones diferenciales inmediatas
En la sección 8 del capítulo III llevaremos a cabo un trabajo empírico para dilucidar
cuáles son las tareas que la matemática escolar propone para dar sentido al estudio de
estos temas, esto es, cuáles son las tareas que forman parte de la razón de ser oficial de
lo que hemos denominado CDE.
85
86
Capítulo III
Esquema de un modelo epistemológico de referencia y
formulación del problema didáctico. Razón de ser
«oficial» del cálculo diferencial elemental
En este capítulo formularemos conjuntamente, de manera coordinada, un esquema de un
modelo epistemológico de referencia (MER), que asigna al cálculo diferencial elemental
una nueva razón de ser en el ámbito de la modelización funcional, y el problema
didáctico asociado, esto es, el problema a cuya dimensión epistemológica viene a
responder el MER. Después de describir los criterios generales que deberá cumplir el
MER, proponemos una redefinición de lo que entenderemos por modelización funcional
(MF) mediante un diagrama de actividad que integra el papel que se asigna en dicha
actividad matemática al cálculo diferencial elemental.
Tomando como sistema de referencia provisional el esquema de dicho MER, se formula
el problema de investigación, se interpreta la evolución histórica del papel que ha
jugado el CDE en la enseñanza secundaria portuguesa y se elaboran un conjunto de
conjeturas cuya contrastación empírica nos permitirá describir algunas de las reglas que
rigen la organización de la práctica matemática escolar en torno al CDE y la MF, así
como la razón de ser «oficial» que el sistema escolar portugués asigna al CDE en el
paso de Secundaria a la Universidad.
87
1. Simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de
referencia (MER) y la formulación del problema didáctico asociado
Todo problema didáctico (en el sentido de problema de investigación en didáctica de las
matemáticas) involucra un ámbito de la actividad matemática que, en algunos casos
extremos, puede ser el conjunto de la actividad matemática que se lleva a cabo en una
institución determinada. En nuestro caso la actividad matemática involucrada es la
modelización funcional, caracterizada inicialmente en Ruiz-Munzón (2010) (ver sección
3.3. del capítulo I) y reformulada mediante el diagrama de actividad que figura en la
sección 2.1. de este capítulo. Dentro de este ámbito nos interesamos particularmente por
el papel que juega y el que podría jugar el cálculo diferencial elemental interpretado en
sentido en que se le caracteriza en la sección 4 del capítulo II.
Postulamos que la formulación de un problema didáctico siempre asume y toma en
consideración, de manera más o menos explícita, una interpretación del ámbito de la
actividad matemática involucrado. Así, por ejemplo, cuando se habla de la enseñanza, el
aprendizaje o la construcción del concepto de derivada, se está sustentando
inevitablemente una interpretación (un modelo, aunque sea muy impreciso) de la
actividad matemática que acompaña a dicha noción en la institución en cuestión. La
amplitud y el tipo de recorte del ámbito de la actividad matemática que se toma en
consideración pueden ser muy variados, pero siempre condicionan en gran medida la
naturaleza de dicho modelo. En el caso particular de la actividad matemática en torno a
la derivada, es evidente que el tipo de problemas didácticos que se podrán formular
dependerá de si se considera un ámbito restringido a la noción de derivada, si se amplía
a lo que habitualmente se considera como cálculo diferencial elemental (o a una parte de
él) o si se toma, como hacemos en esta memoria, el ámbito de la modelización funcional
y el papel del cálculo diferencial en dicho ámbito. En resumen, lo que estamos diciendo
significa que los tipos de problemas didácticos que es posible formular y abordar están
fuertemente condicionados por la unidad de análisis que se toma en consideración. En
Bosch y Gascón (2005) se describe con detalle que la unidad mínima de análisis en la
TAD debe incluir una praxeología local relativamente completa (Fonseca, 2004).
En las investigaciones que se realizan en la TAD, consideramos que la explicitación del
modelo epistemológico que inevitablemente se asume, es imprescindible para poder
formular el problema didáctico como un auténtico problema científico. La citada
88
explicitación constituye, por otra parte, el núcleo de la respuesta que se propone en cada
caso a lo que denominamos “dimensión epistemológica del problema didáctico” y la
base sobre la que se construyen las demás dimensiones del mismo (Gascón, 2011).
Dicha respuesta, que siempre es provisional, constituye una hipótesis científica que se
materializa en un modelo epistemológico de referencia (MER) de la actividad
matemática en cuestión.
En síntesis, la metodología de la TAD requiere la explicitación de un MER de la
actividad matemática involucrada en el problema para poder formular éste con precisión
(y para dar sentido a las posibles respuestas) y, por otra parte, la construcción del MER
demanda cierta formulación previa, aunque sea muy provisional, del problema
didáctico19.
Lo dicho anteriormente comporta que, en la práctica efectiva de la investigación
didáctica, la construcción del MER y la progresiva formulación del problema de
investigación avancen en paralelo, dialécticamente. A medida que se van perfilando las
características del MER será posible formular con más precisión algunas de las
cuestiones que formarán parte del problema didáctico y, recíprocamente, al ir
precisando el problema didáctico será posible concretar los detalles de un MER
indisolublemente asociado a dicho problema. En este punto es importante insistir en el
hecho de que un MER está asociado, en primera instancia, a un fenómeno didáctico (que
involucra un ámbito de la actividad matemática institucionalizada) y, correlativamente,
a un tipo de problemas didácticos cuyo estudio permitirá avanzar en el conocimiento de
dicho fenómeno. Un MER nunca está asociado meramente a un recorte más o menos
arbitrario de la actividad matemática. En consecuencia la explicitación del MER
proporciona herramientas (nociones, hipótesis, terminología, etc.) para formular un tipo
de problemas didácticos.
19
El MER debe interpretarse como una hipótesis o conjetura provisional y, por lo tanto, susceptible de
ser completado, modificado y revisado constantemente. Un MER es una hipótesis científica creativa que
debemos someter a la prueba de la contingencia. Esta prueba se lleva a cabo mediante el diseño y
experimentación de recorridos de estudio e investigación (REI) sustentados en dicho MER. En el capítulo
V se describe con todo detalle este proceso en el caso del MER que proponemos en esta memoria.
89
2. Esbozo de un MER alternativo: redefinición de la modelización
funcional mediante un diagrama de actividad
Empezaremos describiendo los rasgos fundamentales o criterios generales que deberá
cumplir la estructura del MER que completaremos en el capítulo IV mediante la
construcción explícita de recorridos matemáticos a priori, sustentados en dicha
estructura. Estos recorridos tomarán la forma de procesos de modelización funcional
diseñados para responder a determinadas cuestiones.
En este capítulo delinearemos únicamente sus principales características estructuradas
en un diagrama de actividad a modo de mapa esquemático susceptible de sustentar
diferentes recorridos matemáticos (sección 2). Posteriormente utilizaremos este esbozo
de MER como sistema de referencia provisional:
(a) Para formular con cierta precisión el problema de investigación didáctica que
abordamos en esta memoria (sección 3).
(b) Para interpretar la evolución histórica del papel del CDE en la enseñanza secundaria
portuguesa y su potencial relación con la MF (sección 4).
(c) Para contribuir a formular las conjeturas cuya contrastación empírica nos permitirá
describir, en primera instancia, el tipo de incompletitud de las OM en torno a la MF y el
CDE, así como la desarticulación de las mismas (secciones 5, 6 y 7).
(d) Para formular cuestiones a los documentos curriculares escolares cuyas respuestas
nos permitirán caracterizar la razón de ser «oficial» que el sistema escolar portugués
asigna al CDE en el paso de Secundaria a la Universidad (sección 8).
(e) Para constatar la existencia del fenómeno de la falta de visibilidad escolar de la
modelización funcional y, consiguientemente, de una posible razón de ser del CDE en
dicho ámbito (sección 9).
Enunciamos a continuación los criterios citados que también pueden considerarse como
condiciones que imponemos al MER alternativo que como hemos indicado tomaremos
como sistema de referencia.

En el MER que proponemos se deben explicitar detalladamente diferentes procesos
de construcción, utilización y comparación de los modelos funcionales, la relación
entre ellos y el papel que juega el CDE en los mismos.
90

Dicho MER deberá tomar en consideración las relaciones entre los modelos
funcionales discretos y los continuos y, por tanto, completar relativamente el
presentado en Ruiz-Munzón (2010) 20.

Como paso previo a la construcción de los modelos funcionales continuos, se
partirá de datos discretos y, por tanto, se trabajará inicialmente con modelos
discretos expresados en términos de sucesiones y de ecuaciones en diferencias
finitas.

Si se parte de datos discretos, se utilizarán diferentes tipos de regresión para pasar
de los modelos discretos a los modelos continuos ya sea partiendo, en función de la
naturaleza del sistema a modelizar, de los datos brutos, de la tasa de variación
media (TVM) o la tasa de variación media relativa (TVMR), para construir modelos
funcionales que ajusten un conjunto de datos discretos.

Se justificará y evaluará el proceso de aproximación de los modelos discretos,
(formulados en términos de ecuaciones en diferencias finitas), mediante modelos
continuos (dados mediante ecuaciones diferenciales).

Se mostrará que, dependiendo de la naturaleza del sistema a modelizar, la
aproximación por regresión sobre la TVM o la TVMR (sucesiones que se obtienen a
partir de los datos brutos) proporciona modelos funcionales relativamente más
ajustados y, sobre todo, con mejor capacidad predictiva que los que se obtienen
aproximando directamente los datos discretos brutos.

Se pondrá de manifiesto la economía técnica que supone el paso de lo discreto a lo
continuo mostrando, mediante cálculos explícitos, en qué sentido y para responder
a qué tipo de cuestiones las técnicas del CDE son más económicas que las técnicas
algebraicas de la matemática discreta. Se comprobará, por ejemplo, que cuando se
trata de «controlar un modelo», esto es, prever su comportamiento a largo plazo o
construir un modelo que cumpla ciertas condiciones dadas de antemano, las
técnicas del CDE son mucho más potentes y económicas que las técnicas
algebraicas.
20
Podemos afirmar que el MER que pretendemos construir completará relativamente el propuesto en
Ruiz-Munzón (2010) porque aporta una descripción mucho más detallada y estructurada de los procesos
de modelización funcional (especialmente en lo que hace referencia al estadio de construcción del modelo
matemático) y porque toma en consideración las relaciones entre los campos discreto y continuo.
91

Se construirán y articularán diferentes tipos de variación (tanto entre magnitudes
discretas como entre magnitudes continuas)21definiendo el universo de tipos de
variación que se tomarán en consideración. Cada uno de estos tipos se
caracterizará imponiendo condiciones (hipótesis) sobre la TVM o sobre la TVMR,
aunque estas últimas también se pueden expresar como condiciones sobre la TVM.
Se delimitará de esta forma un cierto universo de tipos elementales de variación.

Se interpretará, utilizando las técnicas del CDE, el significado de los parámetros de
un modelo funcional en términos del sistema y, más concretamente, en términos de
la variación de una variable del sistema respecto de otra.

Se utilizará el CDE para estudiar todas las propiedades locales de los modelos
funcionales construidos (que posteriormente se interpretarán en términos de las
variables que definen el sistema modelizado).

Si se parte de datos continuos, se construirá con técnicas algebraicas la propia
función modelo o bien su derivada. En este último caso, el modelo funcional
«exacto» (que puede ser una familia de funciones) se construye integrando una
ecuación diferencial.

En todos los casos, los procesos de modelización funcional se desarrollarán con el
objetivo de dar respuesta a una cuestión generatriz suficientemente general y
relativamente ambigua en el sentido que debe ser una cuestión formulada con
“parámetros” abiertos que sólo progresivamente deben convertirse en datos
concretos.
Mostraremos en lo que sigue que este conjunto de condiciones contribuirá a precisar la
noción de MF tal como la conceptualizamos en esta memoria. Mientras que en los
capítulos anteriores, siguiendo la propuesta de Ruiz-Munzón (2010), hemos utilizado
implícitamente la noción de MF tal como se describe en la sección 3.3 del capítulo I. En
lo que sigue proponemos una reformulación más detallada y precisa de dicha noción,
esto es, una caracterización de lo que entenderemos en adelante por MF. Esta
caracterización permitirá clarificar el significado de la conjetura de Ruiz-Munzón
21
En la matemática escolar (en el paso de Secundaria a la Universidad) está prácticamente ausente la
problemática ligada a la caracterización y construcción de un universo de tipos de variación. En
particular, no se caracterizan los tipos de relaciones funcionales que se toman en consideración ni se
indica el por qué se excluyen otros tipos de relaciones funcionales posibles.
92
(2010) según la cual la razón de ser (o una posible razón de ser) del CDE se sitúa en el
ámbito de la MF.
2.1. Diagrama de actividad de modelización funcional como esquema del
MER
Para reformular la noción de MF, empezaremos por hacer un esquema detallado de los
tipos de tareas que proponemos como componentes de los cuatro estadios del proceso
de MF (Chevallard, 1989; Gascón, 2001). Materializaremos este esquema del MER
mediante un diagrama de actividad (ver Figura 1) que denominaremos diagrama de
actividad de modelización funcional. A fin de clarificar el contenido de dicho diagrama,
describiremos a continuación cada uno de sus componentes, así como las posibles
relaciones entre ellos.
Dejaremos para el capítulo IV la elaboración detallada (partiendo de datos concretos)
del trabajo matemático que se requiere para llevar a cabo los diferentes recorridos que
se sustentan en dicho diagrama, así como la caracterización del universo de relaciones
funcionales elementales (discretas y continuas) que tomaremos en consideración. Puede
suceder que al concluir un proceso de modelización funcional aparezcan nuevas
cuestiones problemáticas que hagan referencia al propio modelo. En este caso diremos
que «el modelo se ha independizado del sistema inicial» y que ha pasado a jugar el
papel de un nuevo sistema, poniendo así de manifiesto el carácter recursivo del proceso
de modelización matemática.
Así, y según la nomenclatura habitualmente utilizada en los diagramas de actividad,
utilizaremos la siguiente simbología para construir el diagrama:
Símbolo
Representa
el evento inicial, el punto de partida de la actividad
los eventos intermedios
el evento final
(que no vamos a utilizar por tratarse de un diagrama cíclico)
preguntas o decisiones
una acción, una tarea
93
El diagrama contiene los cuatro estadios de todo proceso de modelización matemática,
sin prejuzgar una sucesión temporal lineal entre ellos.

Primer estadio: Delimitación o construcción del sistema a modelizar en el que
se formulan cuestiones problemáticas y conjeturas.

Segundo estadio: Construcción del modelo matemático y reformulación de las
cuestiones iniciales.

Tercer estadio: Trabajo técnico dentro del modelo e interpretación de este
trabajo y de los resultados en términos del sistema.

Cuarto estadio: Necesidad de un nuevo proceso de modelización para responder
a nuevas cuestiones.
Además el diagrama está dividido en dos grandes campos: el discreto y el continuo.
Así, cuando una determinada actividad (o tipo de tareas) está situada sobre la línea
ecuatorial significa que ésta podrá ayudar a transitar de uno al otro campo o que dicha
actividad podrá desarrollarse tanto en el campo discreto como en el campo continuo.
94
Figura 1 - Diagrama de actividad de modelización funcional
95
2.2. Descripción de los componentes del diagrama de actividad de
modelización funcional
En este apartado describiremos brevemente los componentes que figuran en el diagrama
de actividad, especificando con más detalle las tareas y las cuestiones que forman parte
del segundo estadio del proceso de MF, esto es, del estadio que denominamos de
construcción del modelo. Hemos detallado mucho menos el tercer estadio del proceso,
el que se refiere al trabajo dentro del modelo, porque las tareas que forman parte del
mismo están mucho más presentes en la matemática escolar.
Primer estadio: Construcción del sistema a modelizar
Cuestiones problemáticas iniciales: Todo proceso de estudio parte necesariamente de
un conjunto de cuestiones problemáticas normalmente no muy precisas pero
suficientemente ricas como para generar cuestiones derivadas capaces de guiar el
proceso de estudio por diferentes recorridos. Por ejemplo: ¿Cómo podremos predecir el
desarrollo de una epidemia? ¿Cómo estudiar el comportamiento de la masa de un
hilo22 a partir de la función densidad de masa del mismo? ¿Con cuántos amigos deberé
compartir un “spot” publicitario para que, al final de un determinado período de
tiempo, haya sido visualizado por un cierto número “objetivo” de usuarios de una red
social dada? ¿Cómo varía la longitud de un arco de curva?
Delimitación o construcción del sistema: El sistema inicial es un ámbito de la
«realidad» (matemática o extra-matemática) en el que aparecen las cuestiones
problemáticas iniciales, que constituyen la que denominamos «cuestión generatriz», que
queremos responder. La delimitación o «construcción del sistema» consiste en la
elección de ciertos aspectos del mismo, que se simbolizan mediante variables y que,
postulamos, son las pertinentes para construir un modelo funcional útil para responder a
las cuestiones planteadas. En el caso de la MF suele considerarse una variable
dependiente y una o más variables independientes, entre las que se puede encontrar la
variable «tiempo». En este momento se formulan las primeras hipótesis sobre el sistema
(muchas veces implícitas) en términos de relaciones entre las variables elegidas para
construir el modelo funcional. Es verdad que, en algunos casos, puede parecer que no se
hace ninguna hipótesis inicial (por ejemplo cuando se dan unos cuantos datos discretos
22
La densidad lineal de masa del hilo puede ser medida pesando una cantidad conocida de longitud del
hilo. La densidad es la masa del hilo por unidad de longitud.
96
del número de infectados en cierta epidemia) pero, en realidad, el conocimiento de que
se trata de una epidemia de cierto tipo (por ejemplo de gripe) ya determina algunas
hipótesis (aunque sean cualitativas) sobre las posibles relaciones entre la variable
tiempo y la variable número de infectados.
Segundo estadio: Construcción del modelo
Datos continuos: Son relaciones entre variables que pueden ser del tipo funcional o no,
y cuya información se representa mediante una condición sobre los datos o mediante
una descripción verbal de esa misma relación.
Datos discretos: Vienen dados mediante ciertas condiciones sobre la variación de los
datos (sabiendo, por ejemplo, de antemano que la TVM de determinados datos
empíricos es constante) o bien mediante un número finito de valores de la variable
dependiente correspondientes a valores prefijados de la(s) variable(s) independiente(s).
Construcción del modelo algebraico-funcional continuo «exacto»: Si los datos son
continuos, esto es, si vienen dados en términos de funciones o de relaciones entre
variables, puede suceder que éstos permitan construir directamente el modelo funcional
exacto. Éste sería el caso más sencillo. Sin embargo, también es posible construir este
modelo en el caso en que sólo se conoce la variación de los datos continuos en términos
de una ecuación diferencial (modelo algebraico-diferencial).
Construcción del modelo algebraico-diferencial «exacto»: Si los datos son continuos,
es muy habitual que, aunque no sea posible construir directamente el modelo funcional
exacto, se pueda construir un modelo algebraico diferencial exacto, esto es, una
ecuación diferencial exacta.
Integración del modelo diferencial «exacto»: Mediante la integración de una ecuación
diferencial elemental que, en esta memoria, se reducirá al cálculo de una primitiva casi
inmediata, se construye el modelo algebraico-funcional continuo «exacto».
Discretización del modelo diferencial continuo: En el caso en que sea posible construir
el modelo diferencial pero se obtenga una ecuación diferencial no resoluble mediante
técnicas elementales, se puede discretizar el modelo transformando los datos continuos
en datos discretos, pasando a trabajar con modelos numéricos (tabulares) y gráficos.
97
Construcción de modelos numéricos y gráficos: Si se parte de datos discretos
(provenientes, por ejemplo, de un sistema empírico), esto es, si los datos son unos
cuantos valores de la variable dependiente (correspondientes a un conjunto prefijado de
valores de la variable o variables independientes) se empezarán construyendo diferentes
tipos de modelos tabulares y gráficos, tanto de datos «brutos» como de la tasa de
variación media (TVM) y de la tasa de variación media relativa (TVMR) construidas a
partir de los datos brutos. Llamaremos a estos últimos modelos numéricos tabulares
variacionales.
Formulación de hipótesis sobre la TVM y la TVMR: A partir de los modelos tabulares
será posible comprobar (o conjeturar) que la TVM o la TVMR cumple cierta propiedad
elemental. Nos restringiremos a un conjunto de propiedades que caracterizan cierto
universo de los modelos discretos elementales (sección 1.1. del capítulo IV).
Construcción del modelo algebraico-variacional: A partir de los diferentes modelos
tabulares variacionales, y según las hipótesis que formulemos respecto a las propiedades
que cumple la TVM o la TVMR, se pueden construir diferentes modelos algebraicovariacionales en términos de ecuaciones en diferencias finitas.
Resolución de la ecuación en diferencias finitas: utilizando, por ejemplo, las técnicas
de recurrencia o la técnica de determinación de los coeficientes indeterminados para
calcular los parámetros y construir una solución particular (un modelo funcional) a
partir de la solución general (una familia de modelos funcionales) de la ecuación en
diferencias finitas, se puede construir el modelo algebraico-funcional discreto a partir
del modelo algebraico-variacional. En particular, se puede construir algebraicamente un
modelo polinómico interpolador (que pasa por todos los puntos correspondientes a los
datos discretos). Para calcular los parámetros del citado modelo se podrá usar la técnica
de determinación de los coeficientes indeterminados con la resolución de un sistema de
ecuaciones compatible y determinado. Para construir el modelo polinómico interpolador
se pueden utilizar otras técnicas algebraicas, tales como: la fórmula de Lagrange o la
técnica de las diferencias divididas de Newton23.
23
En esta memoria de tesis no vamos a desarrollar estas dos técnicas porque habitualmente no forman
parte de un diseño curricular de cálculo diferencial o integral estudiado en los principios de la enseñanza
universitaria portuguesa. Sin embargo, en trabajos futuros se podrían profundizar y desarrollar dichas
técnicas para fortalecer aún más la conjetura de que, en la construcción de modelos, las técnicas discretas
son demasiado costosas en comparación con las técnicas que utilizan herramientas del CDE.
98
Regresión automática para calcular los parámetros del modelo: Como habitualmente
las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas pueden
resultar muy trabajosas y con elevado coste, puede surgir la necesidad de un
cuestionamiento tecnológico de dichas técnicas y, consecuentemente, la búsqueda de
una técnica más económica que produzca resultados igualmente fiables. Así, partiendo
de la solución general de la ecuación en diferencias finitas, se podrán calcular los
parámetros del modelo por la técnica de aplicación directa de una regresión automática
específica (del tipo de la solución general) sobre los datos discretos y construir el
modelo algebraico-funcional continuo «aproximado».
Por ejemplo, en el caso de la construcción del polinomio interpolador, la técnica
algebraica de determinación de sus coeficientes “con lápiz y papel” puede ser muy
costosa, principalmente en los casos en que el grado del polinomio es muy elevado, o
sea, cuando tenemos una gran cantidad de datos discretos. En esos casos, se podrá
utilizar la técnica de regresión24 automática para calcular los parámetros del modelo
con la calculadora gráfica, con Excel, con GeoGebra o con otro software adecuado25.
Esta técnica de regresión automática sobre los datos discretos para calcular los
parámetros del modelo podrá ser utilizada también después de la elección de la familia
de modelos funcionales que mejor describen el sistema. Por ejemplo, cuando se integra
un modelo diferencial que describe una determinada variación de datos discretos surge
un parámetro que podrá ser ajustado automáticamente al aproximar la integral de la
regresión a los datos brutos.
Construcción del modelo algebraico-funcional discreto: este modelo corresponde a
una solución particular de la ecuación en diferencias finitas obtenida a partir de los
datos que describen el sistema.
Construcción de modelos algebraico-diferenciales por aproximación a una ecuación
en diferencias finitas: Cada modelo discreto expresado en términos de una ecuación en
diferencias finitas puede aproximarse mediante una ecuación diferencial que
denominaremos modelo algebraico-diferencial «aproximado».
24
A pesar de que las regresiones presentan cada vez más protagonismo en los currículos de la enseñanza
secundaria portuguesa (de las Matemáticas del 10.º año, y también de la Física-Química del 11.º año), no
siempre se justifican las técnicas automáticas aplicadas.
25
En lugar de utilizar la regresión automática también se podrían utilizar técnicas (manuales o
automáticas) de cálculo de matrices, en caso que los estudiantes ya tuviesen estudiado algebra lineal.
99
Integración de los modelos algebraico-diferenciales «aproximados»: Mediante la
integración de una ecuación diferencial elemental que, en esta memoria, se reducirá al
cálculo de una primitiva casi inmediata, se construyen modelos algebraico-funcionales
«aproximados».
Construcción del modelo algebraico-funcional continuo «aproximado»: este modelo
corresponde a la solución particular del modelo algebraico-diferencial «aproximado»
(la ecuación diferencial).
Discretización del modelo diferencial continuo: En el caso en que la ecuación
diferencial no pueda resolverse con las técnicas disponibles en la institución se podrá
aproximar el modelo algebraico-diferencial continuo (ecuación diferencial) mediante un
modelo numérico-variacional discreto (ecuación en diferencias). Para tal procedimiento
se podrá utilizar, por ejemplo, la técnica de Euler sustituyendo
por
y aplicar la
definición de derivada para deducir el modelo algebraico-funcional discreto (la
ecuación iterativa):
dy(t )
 f  y (t ), x(t ) 
dt
al sustituirt por kT
dondek toma valores enteros y T es fijo
dy(kT )
 f  y (kT ), x(kT ) 
dt
recordando la definición de derivada
dy(kT )
y (kT  T )  y (kT )
y (kT  T )  y (kT )
 lim

dt
T
T
T 0
y (kT  T )  y (kT )
 f  y (kT ), x(kT ) 
T
de aqui se obtienela ecuación iterativa de Euler
y[( k  1)T ]  y[kT ]  T * f ( y[kT ], x[kT ])
Este es un ejemplo de un caso en que puede surgir la necesidad de pasar de un trabajo
en el campo continuo al campo discreto. Sin embargo, no vamos a estudiar estos casos
porque no forman parte del ámbito institucional de esta memoria.
Aplicación «exploratoria» de diferentes tipos de regresiones: A partir de los modelos
numéricos tabulares (tanto de la tabla de datos brutos como de las tablas de las TVM o
las TVMR) pueden aplicarse regresiones para:
a) Pasar de un modelo numérico/gráfico discreto a un modelo algebraico-funcional
continuo;
100
b) Conocer una posible ley algebraica que pueda describir una relación funcional
entre variables discretas, cuyo dominio sean los números naturales (modelo
algebraico-funcional discreto).
En esta memoria, utilizaremos GeoGebra26 para hacer algunos tipos de regresiones
automáticas tales como: regresiones polinómicas de diferentes grados, exponenciales,
logarítmicas, logísticas, potenciales, sinusoidales y regresiones resultantes de la
composición de algunas de estas. Este trabajo se llevará a cabo de un modo exploratorio
y sin utilizar criterios específicos para decidir qué tipo de regresión se deberá
seleccionar para aproximar un determinado conjunto de datos discretos27.
De las diversas funciones resultantes, por una cuestión de economía del análisis
subsiguiente, interesa elegir las mejores según algunos criterios predeterminados:
1.
Técnica de observación directa de los resultados de la aproximación y ajuste de la curva a
los puntos;
(coeficiente de determinación28);
2.
Técnica automática de cálculo del valor del
3.
Técnica de cálculo del “menor error absoluto” para determinar el ajuste de la curva, o sea,
cálculo de la distancia entre la imagen aproximada y la imagen real:
;
En esta memoria optamos por seleccionar para cada conjunto de datos discretos las
mejores regresiones según estos criterios para, posteriormente, elegir la “mejor
regresión” de acuerdo con su capacidad de ajuste a los puntos pero, sin olvidar su
capacidad de predicción de la tendencia de los datos «futuros», esto es, la coherencia
del modelo con la evolución del sistema modelizado y, también, con los datos no
utilizados para construirlo.
26
Elegimos el GeoGebra en lugar del Excel por ser más intuitiva su utilización para los estudiantes y por
permitir una visualización simultánea de un modelo en sus diferentes registros (muy útil cuando se
pretende estudiar la variación resultante de un cambio de la situación inicial).
27
Dado que esta memoria se centra en el desarrollo de procesos de modelización funcional y no de
modelización estadística, utilizaremos las regresiones más como herramientas (sin necesidad de conocer
su funcionamiento) y no como técnicas matemáticas que requieren ser justificadas mediante un discurso
tecnológico.
28
El coeficiente de determinación, denominado R² es usado en el contexto de un modelo estadístico con
el propósito de predecir futuros resultados o probar una hipótesis. El coeficiente determina la calidad del
modelo para replicar los resultados, y la proporción de variación de los resultados que puede explicarse
por el modelo (Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_determinaci%C3%B3n). En la
experimentación descrita en el capítulo V dicha técnica no fue utilizada.
101
Comparación del ajuste y de la capacidad predictiva de los modelos funcionales
A partir de los modelos que mejor se ajustan a los datos, vamos testar y evaluar
diferentes técnicas en términos de su eficacia para elegir el modelo que mejor predice
los datos futuros a corto, medio y largo plazo:
: Comparación de los errores de predicción de los valores brutos
«aproximados» obtenidos mediante las diferentes regresiones con relación a los
correspondientes datos brutos «reales»;
: Comparación de los errores de predicción de las TVMs (o de las TVMRs) de
los modelos «aproximados», o sea, de los valores variacionales «aproximados»
obtenidos por las diferentes regresiones con relación a los correspondientes datos
variacionales «reales»;
Elección del tipo de modelo (familia de funciones): La elección del “tipo de modelo”
que mejor se adecua a un determinado conjunto de datos surge como resultado de la
comparación del ajuste y de la capacidad predictiva de varios «candidatos» a modelos
funcionales para describir el sistema.
Construcción de modelos algebraicos diferenciales «aproximados» mediante
regresión: Dependiendo de la naturaleza del sistema a modelizar, la regresión se
aplicará sobre las TVM o la TVMR (y, muy raramente, sobre los datos brutos).
Dependiendo del tipo de regresión que se utilice y del tipo de datos discretos de los que
se parta para hacer la regresión, obtendremos una función que, o bien aproxima el
modelo funcional buscado (si hemos partido de los datos brutos), o bien aproxima la
derivada del modelo buscado (si la regresión se ha aplicado sobre las TVM) o bien, por
último, aproxima el cociente entre la derivada y dicho modelo (si la regresión se ha
aplicado sobre las TVMR). En estos dos últimos casos que, como veremos son los más
utilizados, obtendremos diferentes modelos algebraicos diferenciales aproximados (en
términos de ecuaciones diferenciales) que, por integración, nos proporcionará el modelo
funcional aproximado.
Comparación de las técnicas discretas y las técnicas del CDE en términos de
economía: El trabajo con los modelos discretos (que hemos denominado algebraicos
variacionales y que se materializan en ecuaciones en diferencias finitas) y con los
modelos funcionales continuos, permite comparar la economía de las técnicas que se
utilizan en cada caso para responder a las cuestiones problemáticas iniciales y otras
cuestiones derivadas. Por un lado, se podrá comparar la economía de las técnicas
102
discretas con las del CDE en la construcción del modelo algebraico-funcional, o sea,
comparar el coste de las técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas con
el coste de las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales. Por otro lado, se podrá
comparar la economía de los dos tipos de técnicas en la manipulación del modelo
previamente construido, o sea, comparar el coste de las técnicas de cálculo de la tasa de
variación media en un intervalo con el coste de las técnicas de derivación. Por ejemplo,
si el modelo es sencillo (lineal o cuadrático), la economía de las técnicas discretas y las
del CDE para construir y manipular el modelo serán muy semejantes. Sin embargo, si se
pretende construir y trabajar dentro de un modelo un poco más complejo, por ejemplo,
el modelo logístico o el racional, las técnicas del CDE se muestran mucho más
económicas que las técnicas discretas (en lo referente a la construcción de modelos ver
anexo F).
Tercer estadio: Trabajo dentro del modelo e interpretación en términos del sistema
Trabajo en el modelo funcional (continuo o discreto) para responder a las cuestiones
problemáticas iniciales: el desarrollo de este trabajo dentro del modelo previamente
construido para responder a las cuestiones problemáticas iniciales (
presenta
diferentes aspectos como, por ejemplo, el estudio de la evolución del modelo, en
particular, el estudio e interpretación de la monotonía y posibles extremos, intervalos de
concavidad/convexidad y puntos de inflexión, ceros y signos, asíntotas, límites,
periodicidad, paridad, etc. Mientras que en el caso del trabajo dentro de los modelos
funcionales continuos se podrá recurrir a las herramientas del CDE, para responder a
, en el caso del trabajo dentro de modelos funcionales discretos solo se podrá utilizar
las técnicas de diferencias finitas
Después de llevar a cabo el trabajo y la manipulación del modelo funcional, será posible
extraer información acerca del comportamiento del sistema y predecir la evolución del
mismo a corto, medio y largo plazo. Además, el propio modelo funcional (continuo) es
un buen instrumento para descubrir, mediante técnicas de extrapolación, datos
intermedios desconocidos o cuya información se ha “perdido” y cuya recuperación sería
de gran utilidad.
Interpretación de los parámetros del modelo en términos del sistema: En el estudio del
comportamiento del modelo «a largo plazo» se puede interpretar la influencia de los
103
parámetros sobre la forma de la gráfica del modelo y, en particular, sobre los valores
extremos y comportamiento del sistema a largo plazo (estudio del comportamiento
asintótico). En particular, cuando se trabaja con modelos algebraico-funcionales
continuos se podrán utilizar las herramientas del CDE para interpretar los parámetros
del referido modelo en términos del sistema. Así, de acuerdo con el tipo de modelo
construido se pueden identificar los parámetros con, por ejemplo: la velocidad o
aceleración inicial, con la elasticidad, con la variación porcentual de la variable
dependiente cuando la variable independiente aumenta en 1 unidad, etc.
Interpretación de los resultados en términos del sistema: En algunas ocasiones los
resultados del trabajo dentro del modelo funcional (tanto si éste es continuo como si es
discreto) necesarios para responder a las cuestiones problemáticas iniciales
no
corresponden a valores válidos en el sistema. Por ejemplo, los resultados pueden no
formar parte del dominio o no poderse interpretar en el contexto del problema
planteado. Otro aspecto de esta interpretación consiste en percibir la relevancia que
tienen los resultados obtenidos para avanzar en el conocimiento del sistema. Es de
reseñar que los mismos resultados del trabajo del modelo pueden presentar diferentes
interpretaciones de acuerdo con el ámbito de estudio, por ejemplo: la interpretación
geométrica de los resultados en términos del sistema puede ser distinta de la
interpretación algebraica de los mismos; la interpretación física de los resultados
también podrá diferir de su interpretación matemática, etc.
Cuarto estadio: Necesidad de un nuevo proceso de modelización funcional
Aparición de nuevas cuestiones problemáticas: La interpretación en el sistema del
trabajo dentro del modelo funcional construido generará nuevas cuestiones
problemáticas (Q1, Q2, Q21, Q211, etc.) diferentes de las iniciales (Q0) que pueden
requerir el uso de nuevas técnicas matemáticas (y hasta un nuevo discurso tecnológicoteórico) y, consecuentemente, la ampliación del ámbito de la actividad matemática
desarrollada. Por ejemplo, la necesidad de trabajar con familias de funciones con uno o
más parámetros, lo que comportará la necesidad de estudiar nuevos modelos funcionales
(Fonseca, Gascón & Lucas, 2014).
Necesidad de nuevas variables y de un nuevo sistema: Las nuevas cuestiones
problemáticas pueden requerir la toma en consideración de nuevas variables para
104
delimitar (construir) el sistema, lo que provocará la emergencia de un nuevo sistema.
Por ejemplo, si en el sistema inicial habíamos supuesto que el efecto de un
medicamento era independiente del peso, de la edad y del sexo del paciente y resulta
que el análisis de los resultados nos sugiere que esta hipótesis es cuestionable, entonces
deberemos introducir estas nuevas variables y tendremos un sistema más complejo en el
que se pueden plantear cuestiones más finas. También puede darse el caso en que el
modelo construido se independice del sistema modelizado por él, de manera que
emerjan cuestiones problemáticas relativas al propio modelo. En este caso es el modelo
el que toma el papel de nuevo sistema y el proceso de modelización que se inicia será un
proceso de modelización intramatemática, poniendo así de manifiesto la reflexividad de
la actividad de modelización matemática y la imposibilidad de separar la modelización
de sistemas extra-matemáticos de la de sistemas intramatemáticos.
Formulación de nuevas hipótesis: En el caso citado en que se requiere tomar en
consideración nuevas variables para delimitar el nuevo sistema (como, por ejemplo, las
variables peso, edad y sexo del paciente), también será necesario formular hipótesis
sobre posibles relaciones entre dichas variables y el efecto del medicamento. Estas
hipótesis serán necesariamente “nuevas” puesto que involucran variables que en el
primer modelo no se tomaban en consideración. La formulación y contrastación de estas
nuevas hipótesis constituye uno de los principales objetivos del proceso de MF.
3. Formulación del problema de investigación
Proponemos una formulación provisional de algunas de las cuestiones que forman parte
de nuestro problema de investigación organizadas en las tres dimensiones
fundamentales de un problema didáctico (Gascón, 2011). Es importante subrayar que
las cuestiones que forman parte de las dimensiones económica y ecológica se formulan
necesariamente haciendo referencia a determinados componentes del MER que, como
hipótesis científica, puede considerarse a su vez como una tentativa de respuesta a las
cuestiones que forman parte de la dimensión epistemológica del problema (que es una
dimensión básica del mismo). Análogamente las cuestiones que constituyen la
dimensión ecológica del problema dependen, incluso para su completa formulación, de
la problemática económica. Es importante subrayar que todas las cuestiones,
independientemente de la dimensión en la que se sitúen, estarán condicionadas tanto por
105
el recorte del espacio institucional como por el recorte de la actividad matemática que
hemos asumido.
Las respuestas que aportaremos a dichas cuestiones se fundamentarán necesariamente
en el modelo epistemológico de referencia (MER) cuya estructura hemos esbozado en el
apartado anterior. Pero no debemos olvidar que la propia formulación del problema de
investigación también utilizará elementos del citado MER para plantear cuestiones que
se sitúan más allá de la dimensión epistemológica.
P1. Dimensión epistemológica: ¿Cuál es la razón de ser alternativa que proponemos
asignar al CDE? Esto es, ¿cuáles son las cuestiones (matemáticas o extra-matemáticas)
a las que, postulamos, debe responder el CDE en el paso de la Secundaria a la
Universidad? ¿Cómo podemos describir el fenómeno didáctico que el MER saca a la
luz? ¿Cuál es la amplitud y la estructura del ámbito matemático en el que el MER sitúa
la razón de ser del CDE? ¿Cómo se interpreta y cómo se describe la MF en el MER?
¿Cómo se relacionan entre sí los recorridos matemáticos que estructuran el MER y las
praxeologías que dichos recorridos acaban construyendo? ¿Cómo se relaciona el MER
que proponemos con el propuesto en Ruiz-Munzón (2010)?
Como es evidente, las respuestas a la mayor parte de estas cuestiones las proporciona,
de manera más o menos explícita, el propio MER.
Las cuestiones relativas a la dimensión económica de un problema didáctico son las que
se refieren al resultado producido por la transposición didáctica (en un periodo histórico
determinado) al actuar sobre las praxeologías matemáticas y didácticas concernidas.
De manera coloquial podemos decir que la dimensión económica de un problema didáctico
contiene las cuestiones que giran en torno a la pregunta: « ¿cómo son las cosas (las OM y
las OD) en la contingencia institucional?». Con ello, abarca las cuestiones relativas al
sistema de reglas y principios (nomos) que regulan –en una institución determinada– la
organización y el funcionamiento de las OM y las OD involucradas en el problema
didáctico (Gascón, 2011, p. 213).
En nuestro caso nos planteamos las siguientes cuestiones relativas a la dimensión
económica del problema didáctico:
P2. Dimensión económica: ¿Cómo se manifiesta el fenómeno general de rigidez y
desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares en el caso particular del
CDE y la MF en el paso de Secundaria a la Universidad?
¿Cómo ha evolucionado (a lo largo del último siglo) el papel del CDE en el paso de la
Secundaria a la Universidad en la enseñanza portuguesa? ¿Cuáles son las principales
106
transformaciones transpositivas que ha sufrido el papel que juega el cálculo diferencial
en la actividad de modelización funcional al pasar de la comunidad científica al
sistema educativo? ¿Cuál es la razón de ser que el sistema educativo portugués asigna
actualmente al CDE en el paso de Secundaria a la Universidad? ¿Qué relación tiene
dicha razón de ser «oficial» del CDE con la actividad escolar de MF, esto es, qué papel
asigna actualmente el currículo al CDE en los procesos de MF que, de manera más o
menos explícita y más o menos completa, viven en el sistema educativo portugués?
¿Cuál es, en definitiva, el modelo epistemológico-didáctico en torno al CDE (y a su
relación con la MF) que está vigente en el paso de la enseñanza secundaria portuguesa
a la enseñanza universitaria? ¿Cómo incide esta interpretación de la relación entre la
MF y el CDE sobre la forma de organizar su enseñanza?
Las primeras respuestas a algunas de las cuestiones que forman parte de la dimensión
económica del problema que tratamos en esta memoria se desprenden de los análisis
que hemos desarrollado en relación con la evolución histórica del papel que ha
desempeñado (y desempeña) el CDE en el currículum portugués y su relación con la
MF (ver una síntesis de estos análisis en la sección 4 y los detalles en el anexo D).
Mediante la contrastación empírica de diez conjeturas, C1(CDE+MF)-C10(CDE+MF),
elaboradas con ayuda del MER, completaremos relativamente algunas de dichas
respuestas en lo que sigue (ver secciones 5, 6 y 7). Por último, en la sección 8, se
aportan datos empíricos para describir la razón de ser «oficial» que el sistema escolar
asigna al CDE en el paso de Secundaria a la Universidad y el papel que éste juega en la
MF escolar desarrollada en ese ámbito institucional. Todos estos resultados
proporcionan criterios para relacionar la razón de ser oficial del CDE con la que le
asigna el MER, lo que contribuirá a sacar a la luz el fenómeno didáctico de la falta de
visibilidad escolar de la actividad de modelización funcional y de una posible razón de
ser del CDE en dicho ámbito (sección 9).
Las cuestiones relativas a la dimensión ecológica de un problema didáctico son las que
pretenden indagar qué tipo de restricciones, procedentes de qué nivel de
codeterminación didáctica, son cruciales para la ecología de las praxeologías
matemáticas y didácticas involucradas en dicho problema.
De forma muy simplificada, podría decirse que la dimensión ecológica de un problema
didáctico contiene las cuestiones que giran en torno a la siguiente pregunta: ¿por qué las
cosas (las OM y las OD) son como son en la contingencia institucional y qué condiciones
107
se requerirían para que fuesen de otra forma dentro del universo de lo posible? (Gascón,
2011, p. 217).
En nuestro caso, nos planteamos las siguientes cuestiones:
P3. Dimensión ecológica: ¿Qué condiciones se requieren y, en particular, qué
restricciones dificultan o impiden el desarrollo normal de la MF en el paso de
Secundaria a la Universidad? ¿Qué papel podría jugar el CDE en el establecimiento de
las citadas condiciones? ¿Cómo diseñar y gestionar un REI que posibilite el desarrollo
de la MF y permita integrar en el corazón del proceso de estudio la razón de ser que
asigna nuestro MER al CDE? ¿Qué infraestructuras matemáticas y didácticas se
necesitarían para hacer viable un REI con dichas características en el paso de
Secundaria a la Universidad? ¿Qué papel podrían jugar las TIC en el diseño y puesta
en práctica de dicha organización didáctica? ¿Qué restricciones, provenientes de qué
niveles de codeterminación didáctica, dificultarían el desarrollo de una tal
organización didáctica? ¿Cuáles son los medios y los media que se requieren para
llevar a cabo el proceso de estudio que el citado REI encarna? 29
Dado que la dimensión ecológica de un problema didáctico incluye en cierto sentido a
las dimensiones epistemológica y económica, se puede afirmar que, desde el punto de
vista de la TAD, todo problema didáctico es un problema de ecología praxeológica o, en
otros términos que, en última instancia, la didáctica se ocupa del estudio de la ecología
institucional de las praxeologías matemático-didácticas (Bosch & Gascón, 2007).
Para responder parcialmente a las cuestiones que forman parte de la dimensión
ecológica de nuestro problema, diseñaremos y experimentaremos diversos recorridos de
estudio e investigación (REI), sustentados en el MER propuesto (ver capítulo V). Los
resultados de esta experimentación nos permitirán llevar a cabo un análisis ecológico a
posteriori del tipo de actividad matemático-didáctica propuesta.
29
Algunas cuestiones derivadas son las siguientes: ¿Cómo plantear y gestionar el momento del primer
encuentro con las cuestiones? ¿Cómo surgirán y evolucionarán las técnicas? ¿Cómo surgirán las
necesidades tecnológicas (en el sentido de la TAD) y cómo se pondrán a disposición de la comunidad de
estudio? ¿Cómo y cuándo se realizarán actividades de institucionalización y de evaluación? La
experimentación de un REI que encarna la nueva razón de ser que el MER que proponemos asigna al
CDE en el ámbito de la MF, ¿con qué dificultades tropieza? ¿Qué resultados permite alcanzar?
108
4. Síntesis de la evolución histórica del papel del cálculo diferencial
elemental (CDE) en la enseñanza secundaria portuguesa
A lo largo del tiempo, el currículo portugués de Matemática ha sufrido alteraciones muy
relevantes en los temas propuestos y en los posibles abordajes de los mismos. Estas
modificaciones en los currículos son debidas esencialmente a la necesidad de encuadrar
y adecuar la Matemática a la sociedad y mantenerla constantemente actualizada.
En particular, al analizar los programas/boletines oficiales correspondientes a las
diferentes reformas curriculares se observan algunas diferencias a nivel de la posición,
tipo de abordaje, profundización y desarrollo del CDE y de la MF en la estructura del
programa oficial. Aires y Sierra, en 2005, han estudiado la evolución del concepto de
derivada a lo largo del siglo XX y distinguido algunas etapas históricas para la
enseñanza de la Matemática en Portugal. En esta investigación, al interpretar dicha
evolución histórica según el MER propuesto (ver sección 2 de este capítulo), ha surgido
la necesidad de ampliar y de actualizar esa distinción proponiendo ahora una división en
seis etapas históricas, como sigue:
1. La introducción del CDE en los currículos oficiales (1905-1963);
2. La reforma de las Matemáticas Modernas (1963-1974);
3. El periodo de transición (1974-1986);
4. La relevancia del CDE y su relación con el estudio de la MF (1986-2000);
5. El CDE y la MF en el currículo actual (2001-2014);
6. Tendencias futuras.
4.1. La introducción del CDE en los currículos oficiales (1905-1963)
Según el trabajo de Aires y Sierra (2005), el concepto de derivada (y su interpretación
geométrica) fue abordado por primera vez en los planes curriculares oficiales
portugueses resultantes de la reforma de 1905, surgiendo en el capítulo de Álgebra. Sin
embargo, este currículo no propone establecer una articulación entre este punto clave
del cálculo diferencial elemental y los restantes contenidos, como por ejemplo,
relacionando el concepto de derivada con la clasificación de funciones o con la noción
de continuidad. Así, la noción de derivada probablemente surgía como un concepto
aislado, desarticulado y rígido, sin justificación.
En la reforma de 1918, el Cálculo Infinitesimal asegura su independencia en relación al
Álgebra, con un capítulo exclusivo en el cual se reseña la introducción del concepto de
109
límite (antecediendo al estudio de la noción de derivada) y del concepto de integral
(abordado solo en los casos más sencillos). Con la referencia a la importancia del
concepto de derivada nos parece que ya había, en este momento, una preocupación por
justificar la necesidad de estudiar la función derivada de una determinada función,
existiendo una legitimidad matemática y social para dicho estudio. Por otro lado, la
referencia a las aplicaciones al final del capítulo viene a legitimar funcionalmente el
referido estudio con el planteamiento de cuestiones provenientes de situaciones
intramatemáticas o extramatemáticas. Por consiguiente, el por qué del estudio de la
noción de derivada y el para qué sirve este concepto nos parece presente en esta parte
del currículo oficial y así, implícitamente, su razón de ser.
“[…] Parece-nos que a justificação para a existência deste capítulo se prende
com o facto de aí ter também sido introduzida a noção de integral [...]”
(Aires & Sierra, 2005, p. 103)
En 1926, el concepto de derivada vuelve a surgir en un capítulo de Álgebra,
observándose una gran pérdida de importancia del cálculo diferencial elemental (CDE)
en los currículos oficiales comparativamente a los programas anteriores. En lugar de
tener un capítulo exclusivo, el CDE sólo aparece ahora en un único punto con una breve
referencia a la noción de derivada, pero sin un desarrollo o aplicación funcional.
También es de reseñar que con esta reforma los conceptos de función y de continuidad
solo eran estudiados dos años después (en la sexta clase) surgiendo así el concepto de
derivada de una forma aislada, sin ninguna conexión o articulación con los otros
conceptos. La razón de ser del CDE está completamente desaparecida en este programa
oficial.
Con la reforma de 1930, el concepto de derivada vuelve a ser estudiado en el capítulo
de Álgebra, pero ahora con un mejor encuadre, o sea, precedido del estudio de las
funciones, de la teoría de los límites y de la continuidad. Además del concepto de
derivada fue también introducida la noción de diferencial de una función, que luego fue
suprimida en el año siguiente con una reformulación del programa oficial.
En 1936, como consecuencia del régimen político dictatorial, la instrucción fue
desvalorizada ocurriendo una simplificación y una reducción de los contenidos
matemáticos a explorar. Así, se observó la completa desaparición del CDE de los
110
diseños curriculares, en particular, del estudio de la derivada, de los límites y de la
continuidad de funciones.
De este modo se mantuvieron los programas de matemática durante nueve años, y sólo
con la reforma de 1947 el CDE reaparece en los currículos oficiales en dos capítulos de
Álgebra de dos años de escolaridad consecutivos: en el sexto año se introduce la teoría
de los límites y la continuidad y, en el séptimo año el concepto de derivada, haciendo
una breve referencia a su interpretación en el ámbito de la Física.
Sin embargo, desde la reforma de 1926 hasta la reforma de 1947, las aplicaciones de la
derivada fueron suprimidas del currículo oficial, desapareciendo así la legitimidad
funcional del estudio de la derivada.
En los años siguientes, con la implementación del nuevo programa, surgieron varias
contestaciones y críticas a la estructura, a la secuencia y a la articulación de los
contenidos matemáticos propuestos en este último currículo. Aires y Sierra (2005)
hacen referencia a Sebastião e Silva que, en la Gazeta de Matemática de 1951, refiere
que la noción de derivada debería ser estudiada después del cálculo infinitesimal en la
siguiente cita:
“[…] A origem do conceito de limite conhece-a já o aluno, através dos exemplos da
geometria. Mas a vantagem, a finalidade daquela delicada rede de definições e de
teoremas não lhe surgirá tão claramente ao espírito - se logo em seguida não se passar ao
estudo das derivadas, única aplicação que se faz da teoria dos limites no ensino
secundário. […] o capítulo das derivadas não foi colocado no lugar conveniente. De resto
o estudo das derivadas deve ser feito em estreita conexão com o dos movimentos, na
física. Introduzir o conceito matemático de derivada sem ter partido do conceito mecânico
de velocidade, e sem depois apresentar as múltiplas concretizações da mesma ideia na
geometria e na física - é um erro grave de pedagogia. […]”
(Sebastião e Silva, 1951, p. 4)
En 1954 es reconocida la necesidad de reformular los currículos de matemática y de
proponer el estudio del concepto de derivada30 como una continuación del cálculo
infinitesimal, tal como había sido sugerido por Sebastião e Silva. A partir de este año
las aplicaciones de las derivadas empiezan a constar en los planes oficiales, en
particular, en el estudio de la variación de funciones. Sin embargo, el abordaje de los
contenidos matemáticos relativos al CDE permanecía en el capítulo del Álgebra (Aires
& Santiago, 2012).
30
Con excepción del plan de estudios de 1936, el estudio de las derivadas se ha mantenido siempre
presente en los programas oficiales de la enseñanza secundaria hasta la actualidad. Sin embargo, las
aplicaciones de las derivadas solo empiezan a constar en los planes oficiales cerca de 20 años después
(Aires & Santiago, 2012).
111
En 1958 fue aprobado el libro único para el 3º ciclo - el Compêndio de Álgebra de
Sebastião e Silva y Silva Paulo - con un capítulo dedicado a la derivada y con la
presencia, por primera vez, de los problemas de optimización en la enseñanza
secundaria portuguesa. Los autores presentan una nota histórica para introducir el
concepto así como las varias etapas por las que ha pasado el Cálculo Diferencial. Sin
embargo, por un lado en la presentación de los problemas de optimización no se utilizan
esquemas, figuras o gráficos como instrumentos de auxilio en la interpretación del
problema o para ayudar en la resolución; por otro lado, no aparecen problemas de
Geometría Analítica, de Física o Economía y además, no se sugiere al estudiante la
elaboración de un informe, o sea, la resolución se hace de una manera bastante explícita
identificando los extremos a partir del signo de la derivada (Aires & Santiago, 2012).
Así, los problemas de optimización surgen como aplicaciones de las derivadas, se
empieza por explicar el sentido de la variación de una función a partir del signo de la
derivada, presentando al final ejemplos concretos.
Aires y Santiago (2012) identificaran en el libro únicamente 9 problemas de
optimización: 3 de Geometría Métrica, 2 de Aritmética y 4 de Medida en Contexto
Real.
112
Al interpretar estos problemas de optimización tomando como sistema de referencia el
MER que articula la MF con el CDE (descrito en la sección 2 de este capítulo) se
detecta que:
 En ningún caso hay la necesidad de delimitar (construir) el sistema,
porque las variables vienen dadas de antemano;
 Tampoco se plantea la necesidad de seleccionar la información relevante
para resolver el problema, puesto que el enunciado aporta, exactamente,
todos los datos necesarios (no se proporcionan datos innecesarios,
«superfluos» o «sobrantes»);
 En todos los casos para ayudar a establecer una relación entre las
variables se proporciona una función auxiliar, mayoritariamente de forma
explícita (6/9);
 Los datos son siempre continuos y permiten, en todos los casos, la
construcción del modelo algebraico funcional continuo (polinómico,
racional o irracional);
 De entre los 9 problemas, 5 se refieren a procesos de MF
intramatemáticos y los 4 restantes a procesos de MF extramatemáticos;
 Los problemas se concentran esencialmente en actividades de
construcción y trabajo del modelo algebraico funcional continuo y en la
interpretación de los resultados en el sistema;
 Solo uno de los problemas se refiere a la construcción y trabajo del
modelo gráfico funcional;
113
 No existe en ningún caso una ampliación del modelo, no surge la
necesidad de nuevas variables ni de nuevos sistemas;
 En la mayoría de las situaciones problemáticas planteadas (6/9), los datos
son genéricos conduciendo a la construcción de una familia de modelos
funcionales con una variable y dependientes de un parámetro. Por lo
tanto, los problemas se sitúan en el segundo nivel de modelización
funcional (en el sentido de Ruiz-Munzón, 2010). Los restantes 3
problemas presentan datos numéricos concretos, permitiendo la
construcción de un único modelo funcional y un trabajo desarrollado en el
primer nivel de modelización funcional;
 Los enunciados de 4 de los 9 problemas orientan y encaminan su
resolución, no dejando así que el estudiante explore diversas técnicas;
 Se observa la existencia de una gran proporción de problemas (6/9) cuyo
valor pedido es explícito, indicándose claramente el valor que se debe
calcular. En los restantes 3 problemas el valor pedido queda implícito31;
 Estas actividades no contemplan una validación del modelo construido
como representación del sistema;
4.2. La reforma de las Matemáticas Modernas (1963-1974)
A semejanza de las corrientes europeas, en 1963, se introducen las Matemáticas
Modernas en la enseñanza portuguesa con la influencia de Sebastião e Silva, surgiendo
la preocupación de recuperar ciertos temas y contenidos matemáticos que se habían
omitido para atenuar el paso de las matemáticas elementales de la enseñanza secundaria
a las matemáticas avanzadas de la enseñanza universitaria.
Sebastião e Silva ha defendido que la enseñanza de las matemáticas debería servir para
desarrollar el sentido crítico, la autonomía mental y el espíritu de investigación de los
estudiantes. Por otro lado, criticaba la enseñanza tradicional caracterizándola por el
enciclopedismo desconexo o, en sus propias palabras, como una «imensa manta de
retalhos mal cerzidos» cuyo sistema de exámenes solo permitía apreciar
memorizaciones y automatismos superficiales. Así, sugería combatir el exceso de
ejercicios repetidos, pues consideraba mucho más relevante la reflexión sobre un
ejercicio interesante que se aplicase a situaciones reales y concretas.
31
Por ejemplo, en el problema 1 sólo se pide determinar los triángulos que tengan área máxima,
quedando implícito que lo que se debe calcular es la medida de los catetos.
114
Afirmó que su reforma de modernización de la matemática incluía en la enseñanza de la
matemática portuguesa, por primera vez, diversos temas de extrema importancia, en
particular, el «cálculo de valores aproximados como base para uma introdução ao
cálculo diferencial e integral aplicado a problemas concretos e com a referência à sua
resolução por meio de computadores».
También ha referido que el profesor debería abandonar el método expositivo tradicional,
en que el papel de los alumnos es prácticamente pasivo y procurar establecer el diálogo
con los estudiantes, estimular la imaginación de ellos y conducirlos al redescubrimiento,
proponer una matemática intuitiva y no demostrativa. Así, defiende que:
Ensinar matemática sem mostrar a origem e a finalidade dos conceitos é como
falar de cores a um daltónico: é construir no vazio.
En una de las cartas enviadas a Emma Castelnuovo afirma que:
[...] se quisermos que o ensino da matemática seja autenticamente vivo e
fecundo, deveremos apresentar uma ciência que se faz e não uma ciência já feita.
A matemática não deve desprezar o concreto, a matemática deve estar ligada à
realidade física.
En los "Compêndios de Álgebra" recomendaba ejercicios de aplicación a la Geometría,
a la Física y a la Técnica, así como la inclusión de un capítulo dedicado al Cálculo
Integral:
O professor de matemática deve ser um professor de matematização, isto é, deve
habituar o aluno a reduzir situações concretas a modelos matemáticos e, viceversa, aplicar os esquemas lógicos da matemática a problemas concretos. […] É
na motivação concreto-intuitiva do conceito de integral e na sua definição que se
deve pôr o máximo de empenho, procurando fazer sentir ao aluno a beleza e o
interesse empolgante do assunto.
Sugiere también el contacto con la noción de aproximación y de los métodos de
aproximación, que domina todo el análisis numérico moderno, asociado al uso de
computadores (Fuente: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/sebsilva.html).
Como respuesta a todas estas críticas, consideraciones y sugestiones de Sebastião e
Silva, según Aires y Sierra (2005), el nuevo currículo pasó a abordar nuevos temas,
tales como: el Cálculo integral y el Cálculo Numérico Aproximado. Sin embargo, son
mantenidos algunos temas “clásicos”, en particular, el Cálculo Diferencial.
A partir de esta Reforma, la derivada se deja de abordar en el capítulo del Álgebra,
pasando a ser de nuevo explorada en un capítulo exclusivo del Cálculo Diferencial y
115
surge por primera vez en los currículos oficiales de las matemáticas la sugerencia para
la determinación de los máximos y mínimos de una función, que consideramos que fue
un paso importante en las matemáticas escolares, puesto que podría conducir a un
estudio preliminar de los problemas de optimización y, consecuentemente, al trabajo de
la modelización funcional en la enseñanza secundaria.
También es de notar la referencia a la interpolación por diferencias finitas por primera
vez en los programas de matemática de la enseñanza secundaria y la referencia al
concepto de diferencial en las ciencias de la naturaleza, que podría constituir la
legitimidad funcional de este concepto.
Con la reforma de 1973, según Ana Santiago (2008), la derivada continúa siendo
abordada en el capítulo dedicado al Análisis Infinitesimal y los programas hacen
referencia, por primera vez, al estudio de las aplicaciones de las derivadas a problemas
concretos.
Esta reforma marca el fin del período dictatorial en Portugal, que ocurrió el 25 de abril
de 1974.
4.3. El periodo de transición (1974-1986)
En 1974 fueron publicados dos programas de Matemática: uno relativo a las
Matemáticas Modernas y otro relativo a la Matemática Clásica.
En el programa relativo a las Matemáticas Modernas, las principales modificaciones
estaban relacionadas con la introducción del estudio de las primitivas, de las
aplicaciones de la derivada a problemas concretos y con el análisis del sentido de
variación de una función.
Con respecto al programa de las Matemáticas Clásicas (implementado en las clases que
aún no seguían las matemáticas modernas), el estudio de la función derivada surgía en
el capítulo del Cálculo, que sugería también que se estudiasen sus aplicaciones a
problemas de máximos y mínimos y que se explorase la relevancia de la derivada como
herramienta de auxilio a la representación grafica de funciones. Sin embargo, tal como
referían Aires y Sierra (2005), este programa era mucho más simplificado que el
anterior programa de las Matemáticas Clásicas.
116
En 1979 y en 1980 fueron publicados nuevos programas para el 11.º y el 12.º año de
escolaridad, respectivamente. El concepto de derivada surge en el 11.º año en un
capítulo exclusivamente dedicado al estudio de las derivadas y también es abordado en
el 12.º año en un apartado dedicado al Análisis Real en el cual solamente se introducen
más reglas del CDE a fin de completar el estudio efectuado el año anterior con las
derivadas de las funciones exponencial y logarítmica.
4.4. La relevancia del CDE y su relación con el estudio de la MF (1986-2000)
En 1986, como consecuencia de la publicación de la Ley de Bases del Sistema
Educativo, los programas oficiales fueron un foco de alteraciones profundas debidas a la
extensión de la escolaridad obligatoria y a la integración del 12º año en la enseñanza
secundaria.
Según Ana Santiago (2008), en 1988 el programa ha sufrido una reducción, siendo
suprimido el siguiente punto: «A noção de diferencial de uma função num ponto;
interpretação geométrica; regra de diferenciação; resolução de questões aplicando o
conceito de derivada.»
En 1991, nacieron nuevos programas para las Matemáticas de la enseñanza secundaria,
en los cuales se observó que el CDE, en particular, el estudio de las derivadas y de sus
aplicaciones, era abordado en capítulos de Análisis denominados por capítulos de
“Funções” que hacían, por primera vez, en las indicaciones metodológicas (según
Santiago (2008)), una referencia explícita al trabajo de problemas de optimización en el
11.º y en el 12.º año. También es de destacar la referencia al estudio de la derivada
segunda y la utilización de las primitivas en el cálculo de áreas.
Según Segurado y Ponte (1998), estos últimos programas oficiales indicaban que el
aprendizaje de las matemáticas debería ir más allá del aprendizaje de los conceptos,
procedimientos y sus aplicaciones y, reconocían que aprender Matemática es sobre todo
hacer Matemática, tal como había sido preconizado por el NCTM en 1991. Los autores
citados destacan que este encuadre curricular podría sugerir que la realización de
actividades de exploración y de investigación por parte de los estudiantes pudiese
asumir una gran relevancia. Consideramos que la importancia otorgada por el currículo
al «hacer matemáticas» podría conducir a la introducción de actividades de
modelización funcional en los programas oficiales de matemática posteriores.
117
En 1997, con la introducción del uso obligatorio de las calculadoras gráficas en la
enseñanza secundaria, fue necesario un ajuste del programa anterior. Así, el capítulo
que engloba el estudio de la derivada pasa a designarse por “Introdução ao Cálculo
Diferencial”.
Hay que subrayar que, por primera vez, surge en los contenidos matemáticos del
programa oficial el estudio de los conceptos de tasa media de variación, tasa de
variación y se explora la interpretación física de la noción de derivada. También, en
este programa, el estudio y exploración de los problemas de optimización son sugeridos
de forma explícita en el capítulo del 12.º año referente al CDE. La introducción de este
último punto y el estudio de las aplicaciones de la derivada a la resolución de problemas
de la “vida cotidiana” nos conducen a la ilustración del carácter funcional del CDE, en
particular, de la noción de derivada.
João Pedro da Ponte analizó el programa de Matemática de la enseñanza secundaria
portuguesa (Ministério da Educação, 1997) y observó diversas indicaciones que apoyan
la realización de actividades de investigación en la clase, en particular, destacó la
sugestión de utilización de las calculadoras gráficas o del computador como
instrumentos que pueden permitir la «condução de experiências matemáticas,
concepção e testagem de conjecturas […] cada aluno deverá realizar investigação e
exploração de várias ligações entre diferentes representações [...]» (Ministério da
Educação, 1997, p. 11). Por otro lado, Ponte (2003) identificó, en las indicaciones
metodológicas del citado programa oficial, una referencia explícita a las tareas de
investigación32: “no estudo das famílias de funções os alunos podem realizar pequenas
investigações” (Ministério da Educação, 1997, p. 20).
Así, creemos que la sugerencia de las citadas tareas de investigación aplicadas a
problemas de la “vida cotidiana”, el trabajo con familias de funciones, el uso de las
Tecnologías de la Información y de la Comunicación, y las diferentes representaciones
de la actividad matemática podrían conducir al estudio de la modelización funcional en
la enseñanza secundaria portuguesa.
32
Según el documento titulado Didáctica, editado por el Departamento do Ensino Secundário do Ministério de
Educação de Portugal (Ponte, Boavida, Graça & Abrantes, 1997), una tarea de investigación es caracterizada por una
cuestión abierta, de cariz problemático que permite que el alumno formule conjeturas, las teste y, eventualmente, las
muestre. Este tipo de tarea favorece el desarrollo del espíritu de observación y del sentido crítico, la capacidad de
sistematización de los resultados parciales y de la abstracción, así mismo como las capacidades de argumentación y
de demonstración.
118
Hasta el final del siglo XX fueron estos los programas que estuvieran en vigor.
4.5. El CDE y la MF en el currículo actual (2001 - 2014)
En 2001 y 2002 fueron homologados nuevos programas para la Matemática en la
enseñanza secundaria portuguesa que entraron en vigor en el año lectivo de 2003/2004.
En el diseño curricular de Matemática B, por un lado, el tema central se refiere a las
aplicaciones y a la modelización matemática pero, por otro lado, no se estudia la
función derivada, solo se hace referencia al estudio de la tasa de variación de una
función en un punto. En el diseño curricular de Matemática A, la modelización
matemática es considerada un tema transversal, lo que significa que puede ser utilizada
en los diversos temas tales como en Geometría, en Trigonometría, en Funciones o en
Cálculo Diferencial.
Se observa, por primera vez, la indicación explicita en los currículos de actividades de
modelización matemática. Sin embargo, en 1992, João Pedro da Ponte ya había
sugerido la introducción de actividades de modelización matemática en los programas
oficiales de matemática:
[…] O estudo global duma situação, percorrendo todo o ciclo do processo de modelação
(...) é fundamental para que os alunos se apercebam da interligação entre os vários
domínios da Matemática e do poder e limitações de cada um deles (abordagens
geométricas, algébricas, algorítmicas, numéricas, lógicas). Esta actividade é igualmente
essencial para que os alunos ganhem sensibilidade para os aspectos mais globais do
processo de modelação, nomeadamente a concepção geral, a avaliação e a análise crítica
dos modelos (...) Ser competente em Matemática (quer ao nível do cálculo, quer ao nível
da resolução de problemas), não implica necessariamente ser competente na sua
utilização em situações concretas. Trata-se de competências diferentes, que têm de ser
igualmente tidas em consideração pelo currículo desta disciplina. […]
(Ponte, 1992, p. 19)
En el programa de Matemática A del 11º año, las nociones de tasa media de variación y
de tasa de variación/derivada desempeñan un papel central, siendo introducidas
recurriendo al uso informal de la noción de límite. El referido programa destaca la
importancia del concepto matemático de tasa de variación para las disciplinas de
“Economía” y “Física y Química” e indica que podrá ser ventajosa la exploración
coordinada del concepto con estas disciplinas en los respectivos cursos generales,
trabajando problemas de aplicación concretos, recurriendo a la realización de
119
actividades comunes o la presentación de algún aspecto en una de esas disciplinas para
el posterior desarrollo en la disciplina de Matemática.
Las indicaciones metodológicas refieren que: “Podem ser propostos alguns problemas
simples que envolvam derivadas num contexto de aplicações”.
También, en relación al segundo punto del referido programa: estudo intuitivo de
, tanto a partir de
propriedades das funções racionais da classe
um gráfico particular como usando calculadora gráfica, las indicaciones metodológicas
enfatizan el análisis de los efectos del cambio del valor de los parámetros sobre los
gráficos de las funciones de una misma clase, conduciendo así al trabajo con familias de
funciones y, consecuentemente, a la modelización funcional.
Sin embargo, los currículos de matemática muestran que en el 10º y 11º año de
escolaridad se privilegian funciones que relacionan variables con significado concreto.
4.6. Tendencias futuras
El programa aprobado recientemente, y que es previsto entre en vigor el próximo año
lectivo 2015/2016, pretende introducir el estudio de las primitivas y de los integrales en
la enseñanza secundaria portuguesa (a semejanza de otros países).
Este programa contiene la resolución de problemas incluyendo la modelización
funcional de fenómenos reales (en el 10.º año) y, en el 12.º año, el estudio de modelos
exponenciales como solución de una ecuación diferencial elemental.
De este modo, creemos que este nuevo programa podría pretender establecer una
articulación entre el Cálculo Diferencial Elemental y la Modelización Funcional tal
como postulamos en el MER.
En particular, se pretende que el estudiante verifique que las funciones exponenciales
son las únicas funciones que satisfacen la igualdad
(observando que no existen
otras funciones cuya derivada sea proporcional a la propia función). Indican que estas
simples observaciones permiten explicar de modo muy satisfactorio, en los currículos,
la pertinencia de determinados modelos cuyo trabajo dentro del mismo ya es
universalmente aceptado en la enseñanza secundaria, pero que jamás se ha intentado
buscar una justificación para su construcción o para su origen (dónde ha surgido el
modelo y cómo aparece).
120
De este modo, en relación al CDE, se ha introducido recientemente los siguientes
puntos en el currículo oficial de la enseñanza secundaria portuguesa:
4.7. Interpretación de los currículos a la luz del MER
Con el objetivo de interpretar los diferentes currículos oficiales de la enseñanza
secundaria portuguesa a lo largo de los siglos XX y XXI de acuerdo con el MER
propuesto para articular el CDE y la MF, hemos construido una tabla que compara y
resume los cambios más importantes observados:
121
Reforma
Presencia
CDE MF
1905
X
1918
X
-----
Conexiones
-
1926
-
X
-
1930
-
X
-
-
1936
-----
1947
X
1954
X
X
1963
X
X
CDE estudiado en el capítulo del algebra;
derivada desconectada de la clasificación de funciones y de la noción de continuidad;
el CDE se estudia en un capitulo independiente del Algebra (Cap. de Cálculo Infinitesimal);
se estudia la importancia de la noción de derivada (razón de ser);
la introducción del concepto de límite (antecediendo el estudio de la noción de derivada) y del concepto de
integral (abordado solo en casos más sencillos);
surgen Aplicaciones (creemos que referentes al concepto de integral: calculo de áreas, etc.) sin establecer
cualquier vínculo con las actividades de MF;
el CDE de nuevo estudiado en el capítulo del Algebra en un único punto con una breve referencia a la noción
de derivada y sin un desarrollo o aplicación funcional (desapareciendo las aplicaciones);
el concepto de derivada surge de una forma aislada, sin cualquier conexión o articulación con otros conceptos
como, por ejemplo, de función o de continuidad;
la razón de ser del CDE ha desaparecido;
el CDE (concepto de derivada) continua a ser estudiado en el capítulo del Algebra, pero ahora precedido del
estudio de las funciones, de la teoría de los límites y de la continuidad;
introducida la noción de diferencial de una función (que luego fue suprimida en el año siguiente con una
reformulación del programa oficial);
desaparición total del CDE de los diseños curriculares (de la derivada, de los límites y de la continuidad);
El CDE reaparece en los currículos oficiales en 2 capítulos de Álgebra:
- 6.º año se introduce la teoría de los límites y la continuidad;
- 7.º año el concepto de derivada, haciendo una breve referencia a su interpretación en el ámbito de la Física (“O
problema das tangentes e o das velocidades”);
- el CDE (derivada) surge en el capítulo del Algebra después del estudio del límite y de la continuidad;
- surgen las aplicaciones de las derivadas;
- en el libro único surgen los primeros problemas de optimización que implican la delimitación de un sistema
intramatemático o extramatemático, el trabajo en el campo continuo: construcción del modelo algebraicofuncional, trabajo en el modelo y interpretación de los resultados en el sistema;
Introducción de las Matemáticas Modernas en Portugal (Sebastião e Silva):
- se pasa a valorar el sentido crítico, la autonomía mental, el espíritu de investigación de los estudiantes y la
reflexión sobre problemas de aplicación a situaciones reales y concretas;
- combate al exceso de ejercicios repetidos y al método expositivo tradicional;
- propuesta de una matemática intuitiva y no demostrativa;
- utilización del cálculo de valores aproximados como base para introducir el cálculo diferencial e integral
122
Relación
CDE-MF
____________
No existía ninguna
relación entre el CDE y
la MF
-------------------No existía ninguna
relación entre el CDE y
la MF
Derivada como
aplicación al estudio de
la variación de
funciones (casos
sencillos)
Se utiliza el CDE para
trabajar modelos
algebraico-funcionales
continuos (problemas
de optimización)
aplicado a problemas concretos cuya resolución podría implicar el uso de computadores;
se habla, por primera vez, de modelos matemáticos resultantes de la reducción de situaciones concretas;
motivación concreto-intuitiva del concepto de integral;
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- la derivada dejase de abordar en el capítulo del Álgebra, pasando a ser de nuevo explorada en un capítulo
exclusivo del Cálculo Diferencial;
- surge por primera vez (en los currículos oficiales) la sugerencia para la determinación de los extremos de una
función;
- la interpolación por diferencias finitas surge, por primera vez, en los programas de la enseñanza secundaria;
- referencia al concepto de diferencial en las ciencias de la naturaleza;
- la derivada continúa a ser abordada en el capítulo del Análisis Infinitesimal;
- referencia, por primera vez (en los programas), al estudio de las aplicaciones de las derivadas a problemas
concretos;
Creación de 2 Programas:
- Matemáticas Modernas (estudio de las primitivas, de las aplicaciones de la derivada a problemas concretos y con
el análisis del sentido de variación de una función);
- Matemática Clásica (aplicaciones a problemas de máximos y mínimos, la derivada como herramienta de auxilio a
la representación gráfica de funciones, programa más simplificado que el anterior);
11.º año: CDE en un capítulo exclusivamente dedicado al estudio de las derivadas y sus aplicaciones;
12.º año: CDE en el apartado del Análisis Real (solo se estudia el diferencial de una función en un punto, su
interpretación geométrica y se introduce la derivada de las funciones circulares, exponencial y logarítmica);
- el CDE (las derivadas y sus aplicaciones) abordado en capítulos del Análisis (“Funções”) que referían
explícitamente, por primera vez en las indicaciones metodológicas, el trabajo de problemas de optimización;
- estudio de la derivada segunda;
- utilización de las primitivas en el cálculo de áreas;
- introducción del uso obligatorio de las calculadoras gráficas en la enseñanza secundaria;
- por primera vez, surge el estudio de los conceptos de tasa media de variación, tasa de variación y se explora la
interpretación física de la noción de derivada;
- el estudio y exploración de los problemas de optimización son sugeridos de forma explícita;
- en las indicaciones metodológicas surge una referencia explícita a las tareas de investigación relativas al
estudio de familias de funciones;
-
1973
X
X
1974
X
X
1979/80
X
X
1991
X
X
1997
X
X
2001/2002
X
X
Surgen 3 programas distintos en los cuales se habla explícitamente, por primera vez (en los currículos), de
modelización matemática:
Matemática A: es estudiado el CDE y la modelización matemática surge como uno de los temas transversales a los
123
El CDE como
herramienta de auxilio
a la representación
gráfica de funciones y
para analizar el sentido
de variación de un
modelo
El CDE para optimizar
modelos funcionales
Las aplicaciones de la
derivada a la resolución
de problemas de la
“vida real” conducen a
la ilustración del
carácter funcional del
CDE
En Matemática A, la
modelización
matemática es
transversal a los temas
temas centrales:
- tasa de variación; aproximación experimental del límite; teoría de límites;
- cálculo diferencial; problemas de optimización;
Matemática B: las aplicaciones y la modelización matemática son el tema central de este programa:
- estudio de gráficos y su representación;
- modelización de situaciones incluyendo fenómenos periódicos, no periódicos y variaciones de una función;
- modelos discretos (sucesiones) y modelos continuos (exponenciales, logarítmicos y logísticos);
- problemas de optimización (aplicaciones de la tasa de variación, programación lineal);
Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales (MACS):
- modelos poblacionales, financieros y de grafos;
- modelos discretos y modelos continuos;
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------Con algunas nuevas competencias, tales como:
- analizar situaciones reales identificando modelos matemáticos que permitan su interpretación y resolución;
- reconocer el alcance y limitaciones de un modelo matemático;
- reconocer que un mismo modelo matemático puede permitir analizar situaciones diversas;
- seleccionar estrategias de resolución de problemas;
- formular hipótesis y prever resultados;
- interpretar y criticar los resultados en el contexto del problema;
- comprender la aleatoriedad presente en situaciones del día a día y en diferentes fenómenos;
2014
X
X
Las indicaciones metodológicas del programa de Matemática A refieren que:
- deben ser elegidos problemas de optimización que permitan un trabajo completo de la modelización,
discutiendo su proceso y su importancia en el mundo actual;
- la modelización funcional (con funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas) puede ser explorada
con la calculadora gráfica (usando, por ejemplo, la regresión estadística a partir de datos recogidos
experimentalmente o en una base de datos) o con el análisis algebraico de la adecuación de un modelo
funcional ya construido;
- introducción del estudio de las primitivas y de los integrales;
- resolución de problemas incluyendo la modelización funcional de fenómenos reales y el estudio de modelos
exponenciales como la única solución de la ecuación diferencial
;
- pertinencia de determinados modelos matemáticos utilizados en la Física (decaimiento radioactivo,
temperatura) o en la Biología (crecimiento poblacional);
Tabla 4 - Tabla comparativa de los cambios más relevantes en los currículos relativos al CDE y a la MF.
124
centrales (Geometría,
Trigonometría,
Funciones o Cálculo
Diferencial)
La Mat. B, se centra en
la modelización
matemática pero no
estudia la función
derivada (solo hace
referencia al estudio de
la tasa de variación de
una función en un
punto)
En la MACS, se
estudian modelos
matemáticos pero, no
se estudia el CDE (la
derivada/integral), ni
tampoco se estudia la
variación de una
función en un punto
Articulación entre el
CDE y la MF
semejante a una
pequeña parte
postulada en el MER
Ponte, Boavida, Graça e Abrantes, en 1997, en un capítulo titulado “O currículo de
matemática do ensino secundário” de una obra colectiva presentan otros factores que
pueden incidir en las innumerables alteraciones que han sufrido los currículos oficiales
de Matemática:
[…] As pressões do ensino superior, que pretende que os alunos que recebe tenham uma
certa preparação, têm sido, tradicionalmente, um factor com muita influência no currículo.
As preocupações de competição científica e tecnológica (nos anos 50) e económica (nos
anos 80 e 90) tiveram um forte papel nas reformas curriculares. A interiorização dos valores
da democratização e da igualdade de oportunidades levou à afirmação da perspectiva da
“Matemática para todos”, contrariando a velha noção do ensino elitista que pressupunha
uma Matemática eminentemente selectiva, “apenas para alguns.” […] (Ponte et al., 1997, p.
60)
Con relación a la evolución del CDE en el currículum portugués, el autor mencionado
destaca que la relevancia del análisis infinitesimal y de las aplicaciones de la
Matemática en los currículos tiende a aumentar cada vez más:
[…] Na elaboração de qualquer currículo intervêm diversos factores, uns de modo
explícito, outros apenas implicitamente. Um factor essencial é, naturalmente, a própria
Matemática. A leitura que se faz do que é importante nesta ciência tem uma influência
óbvia nos assuntos que ganham prioridade curricular e no tratamento que recebem […] A
grande importância que a análise infinitesimal tem, hoje em dia, em muitos países no
ensino superior, reflecte-se, de modo flagrante, na centralidade que este tópico encontra no
ensino secundário. Nos países com grande tradição nas aplicações da Matemática, estas
encontram forte expressão no currículo, enquanto que nos países em que as aplicações têm
pouca expressão académica, elas são muitas vezes completamente ignoradas no ensino.
Neste momento, há uma grande mudança na Matemática provocada pela tecnologia
computacional, sendo de prever que, a sua influência nos currículos se torne cada vez mais
forte. […] (Ponte et al., 1997, p. 58)
Aires y Sierra (2005) agregan que el CDE, en particular el estudio de la derivada, tiende
a afirmarse cada vez más en los currículos portugueses:
Desde a introdução da noção de derivada no plano de estudo do ensino liceal, no ano de
1905 até ao final do século XX, com excepção da reforma de Carneiro Pacheco, em 1936,
em que aquela foi suprimida, assistimos a uma afirmação e aumento do espaço dedicado
ao ensino das derivadas. (Aires & Sierra, 2005, p. 120)
A lo largo del siglo XX, la evolución del concepto de derivada en los currículos de
matemática portugueses no fue lineal sino que, por el contrario, se produjeron
“introducciones” y “supresiones”, “progresos” y “retrocesos” que nos llevan a pensar
que existían muchas incertidumbres y diferentes críticas de las comunidades
matemáticas, tal vez debidas a la inestabilidad política y social. A partir del final del
siglo XX, el posicionamiento del CDE en el currículo tiende a estabilizarse y los
diferentes abordajes tienden a uniformizarse.
125
O estudo da noção de derivada, seguindo o método histórico, chama a atenção para o
facto de que as noções matemáticas não se desenvolvem de maneira autárquica, mas antes
conectadas entre si. (Aires & Sierra, 2005, p. 120)
De un modo general, el CDE ha sufrido fuertes fluctuaciones a lo largo del tiempo y
mantiene una posición un poco más estable en el currículum actual. Sin embargo, se
pone de manifiesto la tendencia a la interpretación, por parte de los currículos, del CDE
como mero lenguaje científico, esto es, como un lenguaje que tiene sentido y debe
conocerse por sí mismo, sin una aplicación práctica funcional, o sea, sin utilizarse como
una herramienta útil para el desarrollo de actividades de modelización funcional en los
diferentes estadios descritos en el MER propuesto en la sección 2.
De hecho, a lo largo de la historia de la enseñanza portuguesa se observa que la única
conexión revelada por los currículos oficiales entre el CDE y la MF consiste en la
propuesta de utilizar la función derivada para estudiar la variación de un modelo
funcional previamente construido, o sea, como si el CDE permitiese solamente trabajar
el modelo continuo ya construido para responder a las cuestiones problemáticas
iniciales Q0 y para nada más. En otras palabras, podemos postular que los diferentes
currículos oficiales de Matemática relativos al paso de secundaria a la universidad
restringen la razón de ser del estudio del CDE al tercer estadio de MF. Así, podemos
concluir que, al pasar de la actividad científica a la actividad escolar, los currículos
revelan una desaparición de una relación rica y fuerte entre el cálculo diferencial
elemental y la actividad matemática de MF. Consecuentemente, tampoco se explora en
profundidad y de manera sistemática el papel que el cálculo diferencial podría tener en
la construcción, comparación e interpretación de los modelos funcionales utilizados
para describir un determinado sistema.
En particular, no se explora el papel que el CDE podría tener en la construcción de
modelos a partir de datos discretos, en la comparación del ajuste de dos modelos a los
datos empíricos o en la interpretación de los parámetros del modelo en términos de
variación de una variable del sistema respecto de otra.
Esta ausencia de articulación entre el CDE y la MF en los últimos diseños curriculares
portugueses es una consecuencia de un fenómeno de transposición didáctica que no es
coherente con el papel esencial que el cálculo diferencial ha venido a desempeñar en la
actividad científica de modelización funcional de todo tipo de sistemas (tanto
extramatemáticos como intramatemáticos).
126
En el anexo D se pueden consultar algunos datos que complementan el estudio realizado
sobre la evolución histórica del papel del CDE en la enseñanza secundaria portuguesa,
en particular, se presentan los currículos oficiales.
5. Diez conjeturas para contrastar la incompletitud y la desarticulación
del CDE y la MF en la última etapa de la enseñanza secundaria
Las conjeturas que formularemos en lo que sigue pretenden poner de manifiesto
diferentes restricciones que inciden sobre la vida escolar de la MF. Las cinco primeras
pretenden caracterizar la forma en que el fenómeno general de la atomización y el
carácter desarticulado y puntual de las organizaciones matemáticas escolares (de la
enseñanza secundaria portuguesa) que hemos descrito en el capítulo I, incide sobre la
actividad matemática que es posible llevar a cabo en torno a la MF y el CDE en el paso
de Secundaria a la Universidad. Esto significa que las cinco primeras conjeturas se han
formulado en base a los trabajos en los que se plantea y se contrasta empíricamente el
citado fenómeno general (Fonseca, 2004; Lucas, 2010).
Las cinco últimas conjeturas, por su parte, se formulan tomando como sistema de
referencia el esquema de MER que hemos propuesto en la sección 2 y, en consecuencia,
se refieren a propiedades específicas de las organizaciones matemáticas escolares en
torno a la MF y el CDE con el objetivo de relacionarlas entre sí para indagar con más
precisión el tipo de desarticulación de estos ámbitos así como la separación entre ellos y
su incidencia sobre la vida normalizada de la MF.
En síntesis, los resultados obtenidos mediante la contrastación empírica de estas diez
conjeturas, nos permitirán responder a algunas de las cuestiones que integran la
dimensión económica de nuestro problema de investigación (como, por ejemplo, ¿Cómo
se manifiesta el fenómeno general de rigidez y desarticulación de las organizaciones
matemáticas escolares en el caso particular del CDE y la MF en el paso de Secundaria
a la Universidad? y, también, algunas de las cuestiones que forman parte de la
dimensión ecológica del mismo (como, por ejemplo, ¿Qué condiciones se requieren y,
en particular, qué restricciones dificultan o impiden el desarrollo normal de la MF en
el paso de Secundaria a la Universidad?).
127
C1 (CDE+MF): La práctica matemática escolar en torno a la modelización funcional
(MF) y al cálculo diferencial elemental (CDE) depende fuertemente de la
nomenclatura.
Postulamos que en la enseñanza de la MF y el CDE se hace especialmente patente la
rigidez de la nomenclatura, que es habitual en el resto de las OM escolares de
Secundaria. Ello es debido a la importancia crucial que tiene en este ámbito la forma de
designar las variables, lo que lleva a identificar y hasta confundir la naturaleza de la
variable (esto es, la variable independiente se designa por “x”, la dependiente por “y”,
los parámetros por “a”, “b”, “c”, las funciones por “f”, “g”,…) con los objetos
semióticos, principalmente símbolos, que constituyen su soporte material.
Como indicadores de esta conjetura, contrastables empíricamente, consideramos las
siguientes sub-conjeturas específicas:
Sub-conjeturas
En el cálculo de límites de funciones (o de sucesiones) predomina la letra x (o la letra n)
para designar la variable.
C1.1.
En el cálculo de derivadas predomina la letra x para designar la variable independiente.
C1.2.
En la representación de gráficas de funciones predomina la letra x para designar la
variable independiente.
C1.3.
Para representar simbólicamente las funciones se utilizan principalmente las letras f, g y
h.
C1.4.
Para designar la función derivada de una función f predomina el signo f’ en detrimento
de otras designaciones posibles como D f o df/d x.
C1.5.
C2 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no se
asigna al alumno la responsabilidad de interpretar ni de evaluar el resultado obtenido
al aplicar una técnica.
Postulamos que debido a la escasa incidencia del bloque tecnológico-teórico en las
praxeologías matemáticas que se estudian (reconstruyen), en Secundaria no se exige
interpretar adecuadamente el resultado de aplicar una técnica para considerar que dicha
técnica ha estado “correctamente” utilizada.
Lo anterior no significa que un profesor concreto (o determinados libros de texto) no
interprete o evalúe los resultados que se obtienen al aplicar las técnicas matemáticas y
hasta la manera concreta de aplicarlas. Significa que ésta no es una de las
responsabilidades que el contrato didáctico institucional asigna a los alumnos en
Secundaria. Así, el contrato no permite evaluar negativamente a un alumno que
128
habiendo aplicado correctamente las técnicas haya “olvidado” interpretar los resultados
obtenidos. Entre los diversos ejemplos asociados a esta conjetura podemos indicar:

La aplicación por parte de los alumnos de las técnicas de derivación de una función en Secundaria no
incluye la interpretación de la derivada como variación de la función. En particular no se interpreta
adecuadamente el significado del valor de la derivada en los contextos en los que ésta interviene
(como, por ejemplo, contextos físico, biológico, económico, etc.).

En el cálculo del límite de una función racional los alumnos no tienen la responsabilidad de
relacionar la velocidad de convergencia del numerador con la velocidad de convergencia del
denominador para interpretar el valor finito, cero o infinito del límite.

En la resolución de problemas de optimización, una vez calculado el valor de la variable
independiente de la función a optimizar que corresponde a un valor óptimo de la función, no forma
parte de la responsabilidad de los alumnos la interpretación de dicho resultado en términos del
sistema.
Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas:
Sub-conjeturas
Determinar el límite de una función en un problema de modelización no suele incluir la
interpretación del resultado en el contexto del sistema modelizado.
C2.1.
El cálculo de la tasa de variación media de una función en un intervalo no suele incluir la
interpretación del resultado en el contexto del problema.
C2.2.
El cálculo de la derivada de una función no suele incluir la interpretación del resultado en
términos de variación de la función.
C2.3.
En los problemas de optimización no es frecuente que aparezcan cuestiones sobre el
significado, en el contexto del problema, del valor óptimo obtenido.
C2.4.
La interpretación en el contexto de un sistema modelizado del valor de la derivada segunda está
prácticamente ausente de la matemática escolar.
C2.5.
C3 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE se
asocia a cada tipo de tareas, de manera autoritaria y arbitraria (desde el punto de vista
del alumno), una técnica privilegiada. Por lo tanto, ante una tarea matemática, el
alumno no dispone de criterios matemáticos para elegir entre diferentes técnicas.
Postulamos que dicha técnica privilegiada adquiere un carácter auto-tecnológico, esto
es, se trata de una técnica que, en la institución en cuestión, no parece requerir de
ninguna justificación ajena a sí misma, la técnica en cuestión se justifica a si misma por
el mero hecho de que “funciona” y, además, tiende a provocar la desaparición de las
técnicas rivales.
Así, por ejemplo, cuando dos técnicas matemáticas son “equivalentes” para un cierto
subtipo de tareas (como, por ejemplo, dos reglas de derivación para un tipo de
129
funciones), se requeriría que la elección más adecuada o la utilización indistinta de
dichas técnicas no provocase ningún tipo de problemas a los estudiantes. Pero en la
enseñanza secundaria y, en particular, en la práctica matemática en torno al CDE, se
utilizan técnicas rígidas y desarticuladas, no formando parte del contrato didáctico del
alumno la responsabilidad matemática de elegir de entre las técnicas potencialmente
útiles para realizar una tarea, cuál es la más adecuada, económica o eficaz. Entre las
técnicas auto-tecnológicas que aparecen en el ámbito de la MF y el CDE podemos citar
la regla de derivación de funciones polinómicas y la técnica para calcular los extremos
de una función resolviendo la ecuación que resulta de igualar a cero la función derivada.
Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas:
Sub-conjeturas
Para calcular la derivada de una función expresada como cociente de dos funciones (f /g) se
ha impuesto la técnica que se expresa mediante la fórmula (f /g)’ = (gf’ – g’f)/g2 incluso en
los casos en los que se dispone de técnicas claramente más económicas (por ejemplo, en el
caso en que f o g son constantes).
C3.1.
Son muy escasas las tareas que requieren explícitamente que se conjuguen dos técnicas
diferentes (como, por ejemplo, técnicas gráficas y algebraicas) para estudiar una función.
C3.2.
En el cálculo de la función derivada de las funciones exponenciales y potenciales
predominan las reglas dadas por las fórmulas:
C3.3.
(b f(x))’=b f(x)·ln(b)·f’(x)
(f(x)a)’=a(f(x)a-1)·f’(x)
en detrimento de la técnica de la derivación logarítmica (mucho más general y no
algorítmica).
En Secundaria, para calcular los extremos relativos de una función se ha impuesto la técnica
de calcular los ceros de la función derivada.
C3.4.
La única técnica que existe para buscar los extremos de una función en puntos donde la
derivada no existe es la técnica gráfica.
C3.5.
C4 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no se
invierten las técnicas para realizar las tareas inversas.
Postulamos que uno de los aspectos más importantes de la rigidez de las Organizaciones
Matemáticas Puntuales de la enseñanza secundaria se manifiesta en la no reversión de
las técnicas matemáticas. En términos del contrato didáctico podemos decir que, en
Secundaria, no forma parte de la responsabilidad matemática del alumno invertir una
técnica para llevar a cabo la tarea inversa. Podría decirse, más en general, que el
contrato didáctico en Secundaria no asigna al alumno la responsabilidad de modificar
una técnica “conocida” para poder llevar a cabo una tarea un poco diferente a la tarea
usual. Esta conjetura supone, en particular, que cuando existen dos tareas “inversas”
130
entre sí, esto es, tareas con los datos y las incógnitas intercambiados, las
correspondientes técnicas (caso de estar disponibles en Secundaria) suelen tratarse como
si fueron “independientes”. Por ejemplo, están prácticamente ausentes las técnicas
matemáticas que permiten reproducir la expresión analítica de una función (o de una
familia de funciones) a partir de su representación gráfica. En el caso de la enseñanza
secundaria portuguesa y de las técnicas elementales de derivación, podríamos decir que
se ha institucionalizado la imposibilidad de invertir dichas técnicas puesto que, en la
citada institución, y durante muchos años, no se han incluido las técnicas del cálculo de
primitivas o antiderivadas.
Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas:
Sub-conjeturas
En la matemática escolar es habitual la tarea de calcular los ceros, los extremos y los puntos
de inflexión de una función polinómica, pero no suele aparecer la tarea inversa consistente
en escribir la expresión analítica de la función polinómica dados sus ceros, los extremos y
demás datos necesarios para determinarla.
C4.1.
En la introducción del cálculo diferencial aparece la tarea de determinar la tasa de variación
media de una función en un intervalo, pero está prácticamente ausente la tarea “inversa” de
determinar (en casos sencillos) una posible expresión algebraica de la función a partir de la
tasa de variación media en un intervalo.
C4.2.
En los manuales de la enseñanza secundaria portuguesa ha desaparecido completamente el
juego entre la derivada y la anti-derivada puesto que prácticamente no existe la tarea de
calcular la expresión analítica de una función de la que se conoce su derivada.
C4.3.
En los manuales escolares es muy habitual la tarea de representar gráficamente una función
a partir de su expresión analítica pero (fuera de las funciones lineales y cuadráticas) está
prácticamente ausente la tarea inversa consistente en recuperar la expresión analítica de la
función conocida su gráfica (completada con algunos datos expresados sobre dicha gráfica).
C4.4.
En los manuales escolares predomina la tarea de representar gráficamente una función a
partir de la gráfica de su función derivada sobre la tarea inversa de representar gráficamente
la función derivada a partir de la gráfica de la función.
C4.5.
C5 (CDE+MF): En el ámbito de la MF y del CDE no existen situaciones de
modelización funcional en las que se requiera la construcción efectiva del modelo (más
allá de su manipulación y aplicación) y sea imprescindible la interpretación del trabajo
del modelo en términos de variación de una variable del sistema modelizado respecto
de otras.
Postulamos que, mayoritariamente, los problemas de la enseñanza secundaria que
incluyen una actividad matemática de modelización requieren, a lo sumo, la
manipulación y aplicación de un modelo matemático ya construido, mientras que la
problemática de la construcción del modelo está presente de manera muy escasa. La
ausencia de técnicas de modelización comporta que este proceso constituya una de las
131
actividades más problemáticas y menos reguladas en la enseñanza secundaria y se pone
más claramente de manifiesto en el ámbito del CDE en el cual la actividad de MF
debería desempeñar un papel central.
Pocas veces surge una situación abierta donde el estudiante tiene la responsabilidad de
decidir cuáles son los datos que se necesitan para formular correctamente un problema
matemático o una cuestión suficientemente fértil que, una vez explorada, permita la
generación de nuevos problemas y nuevas situaciones. Por el contrario, en la institución
de enseñanza secundaria y, en particular, en el ámbito de la MF y el CDE, los
enunciados de los problemas matemáticos se presentan muy «cerrados» en el sentido
que contienen todos los datos necesarios (sin que aparezca ningún dato superfluo) para
la resolución de la situación problemática y el alumno no tiene que seleccionar,
prácticamente nunca, la información pertinente para resolver los problemas propuestos.
Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas:
Sub-conjeturas
En los manuales escolares aparecen muy pocas situaciones que requieran explícitamente la
construcción del modelo funcional, siendo especialmente escasas las que requieren la
construcción de un modelo funcional a partir de datos discretos.
C5.1.
En los manuales escolares aparecen muy pocas situaciones de modelización funcional que
requieran explícitamente la interpretación del trabajo del modelo en términos de variación
de una variable respecto de otras.
C5.2.
En el estudio de la MF y del CDE aparecen muy pocas situaciones con datos abiertos, esto
es, situaciones en las que el alumno deba decidir qué variables utilizar para modelizar el
sistema y, en su caso, qué valores concretos pueden asignarse a algunas de estas variables y
cuáles pueden manipularse como parámetros.
C5.3.
En los manuales escolares no se ha introducido el vocabulario necesario para hablar de la
actividad de modelización matemática, por lo que, en el lenguaje de los manuales, no se
utilizan (o se utilizan de manera muy poco precisa) expresiones tales como “sistema
modelizado”, “modelo matemático”, “trabajo dentro del modelo”, “interpretación de los
resultados en el sistema”, etc.
C5.4.
En las situaciones escolares en las que interviene la MF raramente aparecen las tareas de
“calcular los valores de los parámetros del modelo para unas condiciones iniciales dadas” o
“comparar el ajuste de dos modelos de un mismo sistema”.
C5.5.
Como hemos indicado anteriormente, las cinco conjeturas que formularemos a
continuación, se han diseñado tomando como sistema de referencia el esquema de MER
que proponemos. Pretenden profundizar en el análisis de la desarticulación específica de
las organizaciones matemáticas escolares en torno al CDE y la MF, así como en la
separación entre ellas y su incidencia sobre la vida normalizada de la MF.
132
C6 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE, la
definición de derivada como límite de la tasa de variación media no juega ningún papel
relevante. Podría afirmarse que dicha definición, en cuanto a su incidencia en las
técnicas matemáticas escolares, es meramente “decorativa”.
Postulamos que el cálculo efectivo de la derivada mediante la definición (como límite
del cociente incremental) se utiliza únicamente para justificar, por parte del profesor y
de los libros de texto, algunas de las reglas de derivación (únicamente las más sencillas),
pero desempeña un papel insignificante en la actividad matemática que los estudiantes
llevan a cabo, tanto en la práctica habitual como en los dispositivos de evaluación, en el
ámbito de la MF y el CDE.
Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas:
Sub-conjeturas
La definición de derivada como límite de la tasa de variación media no juega ningún papel
en el cálculo de la función derivada (más allá del cálculo testimonial de la derivada de las
funciones lineal y cuadrática) puesto que para este cálculo se utilizan masivamente técnicas
algebraicas.
C6.1.
La definición de derivada como límite de la tasa de variación media no juega ningún papel
en el cálculo de la derivada de una función en un punto puesto que para este cálculo se
utiliza la fórmula de la función derivada (calculada mediante técnicas algebraicas)
substituyendo el valor de la abscisa del punto en cuestión.
C6.2.
En la resolución de problemas de optimización la definición de derivada no juega ningún
papel.
C6.3.
En el cálculo de la derivada de una función definida a trozos es poco frecuente la
utilización de la técnica relacionada con la definición de derivada.
C6.4.
En el cálculo de derivadas laterales es poco frecuente la utilización de la técnica
relacionada con la definición de derivada.
C6.5.
C7 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE la
representación de la gráfica de una función y la representación de la gráfica de la
función derivada se consideran como objetivos en sí mismos y no se les da ningún tipo
de funcionalidad técnica como instrumento de modelización funcional. En particular, ni
la gráfica de la función, ni la gráfica de la derivada se utiliza como modelo gráficofuncional de un sistema.
Postulamos que muy raramente se utilizará la gráfica de una función (y, mucho menos,
la gráfica de la función derivada) como instrumento técnico para responder a cuestiones
relativas a un sistema modelizado por dicha función.
Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas:
133
Sub-conjeturas
En los manuales escolares la inmensa mayoría de las tareas que requieren la representación
gráfica de una función (o de la gráfica de la derivada de una función) toman dicha gráfica
como un objetivo en sí mismo, esto es, no la utilizan para resolver otros tipos de
problemas.
C7.1.
En los manuales escolares no son frecuentes las tareas en las que, a partir del gráfico de la
función derivada, se requiera la interpretación de los extremos de la función derivada en el
contexto del problema.
C7.2.
En los manuales escolares las tareas que requieren, a partir de la gráfica de la función
derivada, la interpretación de los intervalos de monotonía de dicha función en el contexto
del problema, están prácticamente ausentes.
C7.3.
En los manuales escolares no son frecuentes las situaciones en las que se exija la
interpretación de las asíntotas de la gráfica de la función (y, aún menos, de la gráfica de la
derivada) en el contexto del problema.
C7.4.
En los manuales escolares no son frecuentes las tareas que relacionan la paridad de la
función derivada (expresada gráficamente) con la de la función primitiva.
C7.5.
C8 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE el
significado del signo de la función derivada segunda raramente se interpreta en
términos del sistema modelizado, esto es, como ritmo de variación de la función. En
consecuencia nunca se interpretan los puntos de inflexión en términos del sistema
modelizado.
Postulamos que la función derivada segunda está prácticamente ausente como
herramienta de modelización funcional, salvo para obtener los intervalos de
concavidad/convexidad y los puntos de inflexión cuando el objetivo consiste
únicamente en representar la gráfica de una función sin ninguna otra finalidad.
Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas:
Sub-conjeturas
En los manuales escolares muy raramente aparecen tareas en las que deba utilizarse la
derivada segunda como una herramienta para estudiar la variación de la primera derivada.
C8.1.
En los manuales escolares no son frecuentes las tareas que requieran la interpretación del
signo de la derivada segunda como ritmo de crecimiento en el contexto del problema.
C8.2.
En la resolución de los problemas de optimización no se suele utilizar el criterio del signo
de la derivada segunda como para caracterizar el tipo de extremo relativo.
C8.3.
En los manuales escolares muy raramente aparecen situaciones que requieran de manera
explícita la interpretación de un punto de inflexión de la función como un punto en el que
se invierte el ritmo de crecimiento de la función.
C8.4.
134
C9 (CDE+MF): Las funciones se suelen estudiar en forma aislada, no se estudian
sistemáticamente familias de funciones ni, en consecuencia, la relación entre la
variación de los parámetros y la posición o la forma de la gráfica. En particular, no se
utilizan las familias de funciones (ni, mucho menos, sus derivadas) como modelos de
sistemas matemáticos o extramatemáticos.
Postulamos que el estudio sistemático de familias de funciones está prácticamente
ausente salvo, a lo sumo, en el caso de las funciones lineales y cuadráticas. Sólo en
casos muy excepcionales podemos encontrar una familia de funciones (con uno o más
parámetros) jugando el papel de modelo de un sistema.
Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas:
Sub-conjeturas
En los manuales escolares se estudian preferentemente funciones aisladas. Sólo se
estudian, y aún de forma no sistemática, algunos tipos muy particulares de familias de
funciones.
C9.1.
En los manuales escolares no son frecuentes y, todo caso, son muy poco sistemáticas, las
tareas que requieran explorar la influencia de una alteración en el valor de los parámetros
de la expresión analítica de una familia de funciones en la posición o en la forma de la
gráfica de la función.
C9.2.
La tarea que consiste en determinar la familia de funciones derivadas de una familia dada
de funciones está muy poco presente en los manuales escolares.
C9.3.
En los manuales escolares no se utiliza la derivada de una familia de funciones para
estudiar propiedades generales de la familia de funciones en cuestión.
C9.4.
C10 (CDE+MF): En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no
existe una actividad sistemática en torno a la tasa de variación media de una función.
En consecuencia nunca se trabajan las técnicas de resolución de ecuaciones en
diferencias finitas lo que impide constatar que se trata de técnicas poco económicas.
Postulamos que la tasa de variación de una función en un intervalo juega esencialmente
un papel preparatorio para la definición de la derivada de una función en un punto. Al
no utilizarse como modelo de un sistema, no aparece el problema de resolver ecuaciones
elementales en diferencias finitas ni, por lo tanto, las dificultades técnicas que estas
entrañan. Consideramos las siguientes sub-conjeturas específicas:
135
Sub-conjeturas
En los manuales escolares está prácticamente ausente la tarea de expresar la tasa de
variación media de una función en un intervalo genérico, ya sea a partir de la
representación algebraica de la función, de su representación tabular o de su representación
gráfica.
C10.1.
En los manuales escolares está prácticamente ausente la tarea de recuperar la expresión
analítica de una función a partir de la expresión de su tasa de variación media en un
intervalo genérico.
C10.2.
En los manuales escolares está prácticamente ausente la tarea de interpretar el signo de la
tasa de variación media en un intervalo y cuando aparece dicha tarea se refiere siempre al
caso de un intervalo concreto, nunca al caso de un intervalo genérico.
C10.3.
En los manuales escolares están prácticamente ausentes las técnicas de resolución de
ecuaciones en diferencias finitas que resultan al trabajar sistemáticamente con la tasa de
variación media.
C10.4.
En el estudio del cálculo diferencial en la enseñanza secundaria los manuales no hacen
ninguna referencia a las ventajas técnicas del trabajo con derivadas en relación al trabajo
con diferencias finitas.
C10.5.
6. Análisis global de los resultados obtenidos al contrastar las diez
conjeturas
En esta sección presentamos únicamente los resultados globales del estudio empírico.
En el anexo E se puede consultar una descripción detallada de la metodología, los
criterios de selección de los manuales escolares, los criterios de contaje de tareas y los
materiales utilizados en la recogida de información, así como ejemplos de tareas
consideradas habituales o no habituales y un análisis más detallado de los resultados
obtenidos.
N.º tareas
C1 letra usual
1029
1.1.
727
1.2.
558
1.3.
1519
1.4.
482
1.5.
no usual
C2
42
63
64
314
4
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
136
N.º tareas
sin interp.
con interp.
8
118
770
157
16
18
16
20
10
0
C3
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
N.º tareas
técnica privileg.
otra
100
1852
382
161
16
4
30
0
61
7
N.º tareas
C4
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
N.º tareas
C5 usuales no usuales
140
5.1. 444
54
5.2. 518
11
5.3. 564
53
5.4. 526
29
5.5. 544
C7
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
C9
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
C6
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
N.º tareas
la gráfica es el
utilizan
objetivo
la gráfica
330
73
71
166
72
114
1
1
16
0
N.º tareas
no
exploran familias de
exploran
funciones
1747
70
51
19
C8
86
15
21
4
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
directas
inversas
133
104
742
229
40
2
2
3
18
40
otra
técnica
N.º tareas
definición de
derivada
676
352
207
88
65
97
106
0
28
23
N.º tareas
utilizan signo de la
no utilizan
derivada segunda
19
21
247
38
4
1
0
0
N.º tareas
C10 el cálculo de la TVM
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
137
o derivada es el
objetivo
ha actividad
sistemática en
torno a la TVM
99
106
102
125
858
13
0
11
1
0
Primera conjetura
C1. La práctica matemática escolar en torno a la modelización funcional (MF) y al
cálculo diferencial elemental (CDE) depende fuertemente de la nomenclatura
Porcentage de tareas
- Conjetura 1 96,08%
100%
92,03%
99,18%
89,71%
82,87%
80%
60%
40%
20%
3,92%
7,97%
17,13%
10,29%
0,82%
0%
1.1.
1.2.
1.3.
letra no usual
1.4
letra usual
letra no usual
1.5.
letra usual
La contrastación de esta primera conjetura en los manuales escolares nos conduce a
observar que, por ejemplo, en relación a la sub-conjetura 1.5., que 99,18% de las tareas
analizadas referentes al CDE o a la MF utilizan una determinada nomenclatura más
habitual y sólo 0,82% de esas tareas utilizan una menos habitual. Observamos una gran
discrepancia de diferencias porcentuales entre lo que denominamos “usual” y “no
usual” que varían entre el 65,74% y el 98,35%. Estos resultados nos llevan a concluir
que, globalmente, existe una predominancia de la nomenclatura utilizada en cada tipo de
tarea del CDE para denominar la variable independiente, la función, la simbología de la
función derivada, etc. Lo que significa que la actividad matemática de la enseñanza
secundaria portuguesa en torno al CDE continúa siendo muy rígida en lo que se refiere a
la diversidad de la nomenclatura.
Podemos concluir que las técnicas matemáticas asociadas al CDE y a la MF se tienden a
identificar con los objetos ostensivos (símbolos, palabras y gráficos) que se utilizan para
describirlas y para aplicarlas. Creemos que esta uniformidad en la nomenclatura
dificultará el uso flexible de las herramientas del CDE y, en particular, su uso en el
ámbito de la MF.
138
Segunda conjetura
C2. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no se asigna al
alumno la responsabilidad de interpretar (ni de evaluar) el resultado obtenido al
aplicar una técnica
Porcentage de tareas
- Conjetura 2 -
100%
80%
97,47%
88,06%
100,00%
94,01%
69,23%
60%
30,77%
40%
11,94%
20%
5,99%
2,53%
0,00%
0%
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
con interp.
sin interp.
con interp.
2.5.
sin interp.
Con la excepción de la primera sub-conjetura, los datos revelan una gran discrepancia
de valores porcentuales relativos a las tareas que no exigen la interpretación del
resultado obtenido y las tareas que implican dicha interpretación, que se reflejan en
diferencias porcentuales entre los 76,12% y los 100%. Lo que nos lleva a creer que, de
un modo general, no son frecuentes tareas que impliquen la interpretación del resultado
obtenido en el contexto del problema. Además, en relación a la subconjetura C2.1,
cuyos datos empíricos parecen contradecir nuestras hipótesis, hay que tener en cuenta
que frente a las 18 tareas en las que se pide al alumno que interprete el resultado
obtenido al calcular un límite de una función en el contexto de un problema de
modelización, hemos encontrado más de mil tareas en las que se solicitaba al alumno
que calculase el límite de una función sin pedir que hiciese ningún tipo de interpretación
del resultado obtenido (ver sub-conjetura C1.1).
El hecho que la interpretación de los resultados obtenidos al aplicar una técnica del
CDE no forma parte de la responsabilidad que el contrato didáctico asigna a los
alumnos de Secundaria, dificulta objetivamente la utilización del CDE en el ámbito de
la MF.
139
Tercera conjetura
C3. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE se asocia a cada tipo
de tareas, de manera autoritaria y arbitraria (desde el punto de vista del alumno), una
técnica privilegiada. Por lo tanto, dada una tarea matemática, el alumno no dispone de
criterios matemáticos para elegir entre diferentes técnicas
Porcentage de tareas
- Conjetura 3 98,41%
96,15%
100%
100,00%
72,52%
80%
69,57%
60%
40%
20%
3,85%
1,59%
0,00%
27,48%
30,43%
0%
3.1.
3.2.
3.3.
otra técnica
3.4.
técnica privileg.
otra técnica
3.5.
técnica privileg.
Los datos recogidos revelan que todas las sub-conjeturas formuladas tienen un amplio
apoyo empírico en la enseñanza secundaria portuguesa, detectándose diferencias
porcentuales entre el número de tareas que implican la utilización de una técnica
privilegiada y el número de tareas que implican la utilización de otra técnica distinta que
varían entre los 39,13% y los 100%. Así, podemos concluir que en el ámbito de la MF y
del CDE se asocia habitualmente a cada tipo de tarea una determinada técnica
considerada privilegiada por la institución concernida y, consecuentemente, no se
comparan los costes (relativos a la economía, la fiabilidad) que comportaría el uso de
las diferentes técnicas que existen en la institución para resolver una tarea dada, ni
tampoco se comparan los respectivos dominios de validez de cada una de las posibles
técnicas. Por el contrario, la contrastación empírica de la tercera conjetura nos muestra
que, en la mayoría de las tareas, la técnica a utilizar es implícitamente impuesta y
raramente el estudiante dispone de la posibilidad de elegir la técnica que pretende usar
o, en su caso, de conjugar diferentes técnicas para resolver una determinada tarea.
Notamos también que no hay recuperación de las técnicas de un curso escolar para el
siguiente, ni tampoco se lleva a cabo un estudio sistemático de las técnicas utilizadas.
Consecuentemente, no se estimula la búsqueda de técnicas más generales cuyo ámbito
abarque diferentes tipos de tareas, lo que permitiría simplificar el trabajo técnico al
pasar del uso de dos técnicas diferentes a una sólo técnica más completa.
140
Estos resultados sugieren una fuerte atomización de las tareas matemáticas escolares en
torno al CDE, lo que constituye otro obstáculo para la existencia de tareas matemáticas
abiertas y, en particular, para llevar a cabo una actividad de modelización.
Cuarta conjetura
C4. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no se invierten las
técnicas para realizar tareas inversas.
Porcentage de tareas
- Conjetura 4 98,52%
100%
99,60%
98,11%
92,71%
50,00%
80%
50,00%
60%
40%
20%
1,48%
1,89%
7,29%
0,40%
directas
inversas
0%
4.1.
4.2.
4.3.
inversas
4.4.
4.5.
directas
Los datos revelan una gran discrepancia de valores porcentuales relativos a la presencia
de tareas directas33 y de las correspondientes tareas inversas (que implican la inversión
de la técnica considerada más habitual). Con la excepción de la sub-conjetura C4.5, esas
diferencias porcentuales varían entre los 85,43% y los 99,19%. Lo que nos lleva a creer
que, de un modo general, en los manuales escolares portugueses es muy rara la
inversión de las técnicas para realizar tareas inversas (en el sentido de tareas que
invierten los papeles que desempeñan los datos y las incógnitas en las tareas directas)
En los pocos casos en que aparecen dos técnicas que son inversas una de la otra en el
sentido citado, son tratadas como técnicas independientes.
33
Dado un tipo de tareas, por ejemplo las que relacionan la expresión analítica de una función con su
gráfica, denominamos “tareas directas” (en una institución determinada), a las que son más habituales en
dicha institución en el conjunto de tareas que se obtienen al permutar entre sí datos e incógnitas.
141
Quinta conjetura
C5. En el ámbito de la MF y del CDE no existen situaciones de modelización funcional
en las que se requiera la construcción efectiva del modelo (además de su manipulación
y aplicación) y la interpretación del trabajo del modelo en términos de variación de
una variable del sistema respecto de otras.
Porcentage de tareas
- Conjetura 5 98,09%
90,56%
100%
94,94%
90,85%
76,03%
80%
60%
40%
23,97%
9,44%
20%
9,15%
1,91%
5,06%
usuales
no usuales
0%
5.1.
5.2.
5.3.
no usuales
5.4.
5.5.
usuales
Con diferencias porcentuales superiores a 52,05%, podremos concluir que los datos
empíricos confirman todas las sub-conjeturas y que en la enseñanza secundaria
portuguesa no se trabaja sistemáticamente en la construcción de los modelos algebraicofuncionales y, mucho menos, de los modelos gráfico-funcionales. Hemos detectado que
la actividad matemática en torno a la MF reside esencialmente en la manipulación de un
modelo ya dado y, en los casos que se exige la construcción del modelo sólo aparece el
modelo algebraico-funcional y muy raramente el modelo grafico-funcional.
Especialmente significativo, por su incidencia sobre la posibilidad de construir modelos
a partir de datos empíricos, es el hecho que entre los 584 casos en que aparece un
modelo funcional, sólo en 5 casos se pide al alumno que construya un modelo funcional
a partir de una tabla de datos discretos. En coherencia con esta ausencia casi absoluta,
no se construyen modelos mediante sucesiones, ni mediante ecuaciones en diferencias
finitas. Tampoco es habitual estudiar la relación que existe entre dos o más variables, o
la influencia que una tiene sobre la variación de la otra, o la comparación del ajuste de
dos modelos de un mismo sistema, etc. Estas ausencias ponen claramente de manifiesto
la falta, en los manuales escolares de la secundaria portuguesa, de una actividad de MF
rica y flexible lo que va acompañado, como es natural, de la ausencia del vocabulario
necesario para hablar, describir e interpretar la actividad matemática de MF.
142
Sexta conjetura
C6. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE, la definición de
derivada como límite de la tasa de variación media no juega ningún papel relevante.
Podría afirmarse que dicha definición, en cuanto a su incidencia en las técnicas
matemáticas escolares, es meramente “decorativa”.
Porcentage de tareas
- Conjetura 6 100,00%
100%
87,45%
76,86%
80%
75,86%
73,86%
60%
40%
20%
12,55%
24,14%
23,14%
26,14%
otra técnica
0,00%
def. de derivada
0%
6.1.
6.2.
6.3.
def. de derivada
6.4.
6.5.
otra técnica
Al analizar los datos relativos a la sexta conjetura observamos grandes diferencias
porcentuales entre el número de tareas que implican la utilización de la técnica de la
definición de derivada y el número de tareas que implican el uso de otra técnica distinta
que varían entre los 47,73% y los 100,00%. Por tanto, podremos concluir que la técnica
asociada a la definición de derivada (el cálculo explícito del límite del cociente
incremental) no constituye una técnica relevante en la práctica matemática escolar en
torno a la MF y el CDE en la enseñanza secundaria portuguesa. De hecho, los datos
muestran que se trata de una técnica claramente accesoria que podría desaparecer (como
tal técnica) sin que la actividad matemática escolar vigente en la Secundaria portuguesa
se modificase significativamente.
Se observa cierta rigidez y atomización en la forma de articular las diferentes
representaciones del concepto de derivada, siendo aún más evidente el aislamiento de la
definición de derivada (como límite de las pendientes de las rectas secantes) y su
pérdida de sentido en la actividad matemática escolar de la enseñanza secundaria.
Postulamos que este papel irrelevante y decorativo que juega la definición de derivada
está implícitamente relacionado con el papel engañoso, y simplemente auxiliar, que
desempeña la noción de límite en el cálculo diferencial elemental (fenómeno observado
143
en la Secundaria española por Bosch, Espinoza y Gascón (2003))34. Podríamos afirmar
que la propia noción de límite de función desempeña, como tal, un papel meramente
decorativo en la actividad matemática escolar en torno a la MF y el CDE. La
explicación de esta irrelevancia proviene de que en la actividad escolar a nivel de
enseñanza secundaria es imposible dar respuesta a las cuestiones tecnológicas que
surgen en torno al trabajo con límites de funciones y, en particular, es imposible
justificar por qué en “algunas ocasiones”, para calcular el límite de una función f(x),
cuando x  a, basta realizar ciertas manipulaciones algebraicas y, después, sustituir x
por a (Bosch, Espinoza & Gascón (2003))35. En consecuencia, y contrariamente a lo que
propone la mayor parte de los libros de texto oficiales, postulamos que la noción de
límite de una función (tal como aparece y tal como se trabaja en la enseñanza
secundaria) no puede fundamentar, ni conceptualmente ni técnicamente, la continuidad
de funciones ni tampoco la noción de derivada de una función.
Séptima conjetura
C7. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE la representación de
la gráfica de una función y la representación de la gráfica de la función derivada se
consideran como objetivos en sí mismos y no se les da ningún tipo de funcionalidad
técnica. En particular, ni la gráfica de la función, ni la gráfica de la función derivada
se utilizan como modelo gráfico-funcional de un sistema.
Porcentage de tareas
- Conjetura 7 98,65%
98,61%
100%
100,00%
91,21%
74,32%
80%
60%
40%
25,68%
20%
1,35%
8,79%
1,39%
0,00%
0%
7.1.
7.2.
utilizan la gráfica
7.3.
7.4.
la gráf. es el objetivo
utilizan la gráfica
7.5.
la gráf. es el objetivo
34
“[…] Así, por ejemplo, el modelo epistemológico específico del cálculo dominante en la enseñanza
secundaria, jugará un papel no despreciable en la determinación de las formas posibles de plantear y
estudiar el cálculo de límites de funciones […]” (Bosch, Espinoza & Gascón, 2003, p. 45).
35
Habitualmente, sin haber estudiado la continuidad, en los libros de texto se utiliza la “regularidad” de
ciertas funciones (por ejemplo, las polinómicas) para justificar que el cálculo del límite en un punto
coincide con el valor de la función en ese punto. En rigor, este tipo de argumentos peca de circularidad.
144
En esta séptima conjetura detectamos diferencias porcentuales que varían entre 48,65%
y 100%, lo que nos lleva a creer que la representación de las gráficas constituye el
objetivo final de la mayoría de este tipo de tareas matemáticas y que no se utiliza la
gráfica como un instrumento útil para estudiar la evolución de los modelos funcionales.
Concluimos, en definitiva, que las representaciones gráficas de una función y de su
función derivada no revelan ningún tipo de funcionalidad técnica para allá del estudio
de los extremos y de la monotonía de la función, o sea, no desempeñan el papel de
modelo gráfico-funcional que permita estudiar y describir la evolución de un fenómeno
en un determinado sistema.
Octava conjetura
C8. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE el significado del
signo de la función derivada segunda raramente se interpreta en términos del sistema
modelizado, esto es, como ritmo de variación de la función. En consecuencia nunca se
interpretan los puntos de inflexión en términos del sistema modelizado.
Porcentage de tareas
- Conjetura 8 100,00%
100,00%
95,45%
100%
82,61%
80%
60%
40%
17,39%
20%
4,55%
0,00%
0,00%
no utilizan
utilizan signo de la derivada segunda
0%
8.1.
8.2.
8.3.
utilizan signo de la derivada segunda
8.4.
no utilizan
Observamos que es muy poco frecuente la utilización de alguna técnica relacionada con
la interpretación del signo de la derivada segunda para extraer conclusiones acerca del
comportamiento variacional de un modelo funcional y, aún más excepcional, la
interpretación del valor de la derivada segunda de una función en términos del sistema
modelizado por dicha función. La baja proporción de tareas de este tipo se traduce en
diferencias porcentuales entre el 65,22% y el 100%. En particular, la representación
gráfica de la función derivada segunda no es usualmente trabajada como un modelo
145
gráfico-funcional, ni es común la interpretación de las características de dicha gráfica
para extraer consecuencias en términos de propiedades del sistema modelizado.
Novena conjetura
C9. Las funciones se suelen estudiar en forma aislada, no se estudian sistemáticamente
familias de funciones ni, en consecuencia, la relación entre la variación de los
parámetros y la posición y la forma de la gráfica. En particular no se utilizan las
familias de funciones (ni, mucho menos, sus derivadas) como modelos de sistemas
matemáticos o extramatemáticos.
Porcentage de tareas
- Conjetura 9 95,31%
100%
82,35%
82,61%
70,83%
80%
60%
29,17%
40%
17,65%
20%
17,39%
no exploran
4,69%
exploran famílias de funciones
0%
9.1.
9.2.
exploran famílias de funciones
9.3.
9.4.
no exploran
Observamos una diferencia abismal entre el porcentaje de tareas en las cuales se
estudian funciones aisladas (95,31%) y el correspondiente a tareas que involucran el
estudio de familias de funciones (4,69%). De esta forma, postulamos que, en la
enseñanza secundaria, difícilmente se trabaja en el segundo nivel de MF (en el sentido
de Ruiz-Munzón (2010)). Normalmente no es habitual la manipulación de parámetros y
la perturbación de la situación inicial. Así, el estudio de funciones se sitúa casi
exclusivamente en el primer nivel del citado proceso de MF, puesto que rara vez se va
más allá del estudio de funciones concretas. La actividad matemática presente en los
manuales escolares no incluye el estudio sistemático de familias de funciones (ni de
familias de funciones derivadas) como modelos de sistemas matemáticos o
extramatemáticos. La exploración del efecto de la variación de los parámetros (que
puede realizarse mediante manipulación directa con programas de Geometría Dinámica)
sobre la posición y la forma de la gráfica está prácticamente ausente.
146
Además, y este punto es muy importante, dado que la construcción de modelos
funcionales pasa, vía una ecuación diferencial elemental, por la construcción previa de
una familia de funciones (antes de ajustar los parámetros con ayuda de las condiciones
de contorno a fin de obtener, un modelo funcional concreto), la constatación empírica
de la ausencia de un trabajo sistemático con familias de funciones pone de manifiesto la
ausencia de una condición esencial (en términos de la infraestructura matemática
necesaria) para la construcción de modelos funcionales y, en definitiva, para que la
actividad de MF pueda desarrollarse con normalidad en la enseñanza secundaria
portuguesa con la ayuda de las técnicas del CDE.
Décima conjetura
C10. En la práctica matemática escolar en torno a la MF y al CDE no existe una
actividad sistemática en torno a la tasa de variación media de una función. En
consecuencia nunca se trabajan las técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias
finitas lo que impide constatar que éstas son técnicas poco económicas.
Porcentage de tareas
- Conjetura 10 100,00%
88,39%
100%
100,00%
99,21%
90,27%
80%
60%
40%
20%
11,61%
9,73%
0,00%
0,79%
0,00%
obj. TVM/derivada
activid. con la TVM
0%
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
activid. con la TVM
10.5.
obj. TVM/derivada
En el análisis de los resultados obtenidos con la contrastación empírica de esta última
conjetura observamos diferencias porcentuales superiores a 76,79%, lo que fundamenta
de un modo muy claro que, según los manuales escolares, en la actividad matemática
que se lleva a cabo actualmente en la enseñanza secundaria portuguesa, no existe ningún
intento de desarrollar un trabajo funcional con la tasa de variación media, asociándole
las técnicas de ecuaciones en diferencias finitas, lo que permitiría comprobar sus
limitaciones técnicas, especialmente su elevado coste, en comparación con las ventajas
económicas de utilizar las herramientas que proporciona el CDE.
147
7. Interpretación cualitativa de los resultados y primeras conclusiones
Una interpretación global de los resultados obtenidos permite concluir que la precaria
situación de la MF, así como la pobre incidencia del CDE en dicha actividad, están
fuertemente condicionadas por la rigidez (o falta de flexibilidad) de la actividad
matemática escolar en torno a dichos ámbitos.
De hecho, la excesiva dependencia de la nomenclatura en el uso de las técnicas, el uso
ciego de éstas sin ningún tipo de interpretación del resultado obtenido, la ausencia de
cuestionamiento de la economía, la fiabilidad y el dominio de aplicación de las técnicas,
la existencia para cada tipo de tareas de una técnica privilegiada por la institución (que
anula posibles técnicas alternativas y el cuestionamiento tecnológico de éstas) y la
escasísima presencia de técnicas inversas de las escolarmente habituales (para llevar a
cabo las correspondientes tareas inversas), constituyen restricciones ecológicas que
hacen prever enormes dificultades para el desarrollo de la MF en la enseñanza
secundaria portuguesa. En particular, los resultados obtenidos en la contrastación
empírica de la quinta conjetura muestran que, efectivamente, las citadas dificultades se
ponen de manifiesto en la languidez y el pobre desarrollo que presenta la MF en dicha
institución. En otras palabras, podríamos decir que los resultados obtenidos en la
contrastación empírica de las cuatro primeras conjeturas muestran que en la Secundaria
portuguesa no se cumplen algunas de las condiciones necesarias (en términos de
flexibilidad y de articulación con el CDE) para que la MF pueda vivir y desarrollarse
con normalidad.
Como ya hemos indicado, la ausencia de estas condiciones necesarias para que sea
posible la MF está relacionada con un fenómeno institucional muy general (la rigidez y
atomización de las organizaciones matemáticas escolares) que, en principio, involucra
a todas las organizaciones matemáticas escolares (Fonseca, 2004 ; Lucas, 2010), aunque
las conjeturas C1(CDE-MF)-C5(CDE-MF) se refieren explícitamente a la práctica
matemática escolar en torno a la MF y el CDE y pretenden inquirir en qué forma dicho
fenómeno general incide sobre este ámbito concreto de la actividad matemática escolar.
Pero, además, existen otras condiciones necesarias para el desarrollo escolar de la MF
(si interpretamos la MF tal como la hemos redefinido en el diagrama de actividad) que
dependen principalmente de la forma como se organiza la actividad matemática en torno
al CDE y del papel que éste desempeñe en relación a la actividad de MF.
148
En el segundo grupo de cinco conjeturas, C6(CDE-MF)-C10(CDE-MF), se analizan
algunas de estas condiciones poniendo el énfasis en constatar hasta qué punto están
ausentes en la última etapa de la enseñanza secundaria portuguesa. De hecho, la
formulación de estas cinco últimas conjeturas y, sobre todo, de las correspondientes
subconjeturas, están condicionadas y hasta cierto punto guiadas por el esquema del
MER.
Globalmente consideradas, estas cinco últimas conjeturas postulan y pretenden mostrar
mediante la contrastación empírica de las correspondientes sub-conjeturas, que el tipo
de actividad matemática que es posible llevar a cabo al final de la enseñanza secundaria
portuguesa en torno a la MF y el CDE, está muy lejos de la práctica matemática que
encarna el MER alternativo que proponemos.
El esquema del MER construido pretende mostrar en vivo, en acto, que una posible
razón de ser del CDE (en el paso de Secundaria a la Universidad) surge en el ámbito de
la MF. Más concretamente, postulamos que el MER explicita las funciones que el CDE
podría desempeñar para potenciar el desarrollo de la MF en dicha institución. En
consecuencia, cuando interpretamos los resultados del estudio empírico de los manuales
(a partir de las conjeturas propuestas) con ayuda del MER como sistema de referencia
provisional, saltan a la vista principalmente las flagrantes ausencias de dichas funciones.
En este sentido, se constata que, cuando se construyen modelos funcionales, las
herramientas del CDE desempeñan únicamente un papel auxiliar. En la actividad
matemática escolar, en la última etapa de la enseñanza secundaria, no se plantea
prácticamente nunca la tarea de construir modelos funcionales a partir de datos
empíricos discretos (C5) y no se trabaja con la tasa de variación media (ni con la tasa de
variación media relativa) (C10) como paso previo a una aproximación de un modelo
discreto por otro continuo (mediante la aproximación de la tasa de variación media por
la derivada).
Por otro lado, las representaciones gráficas de una función y de su función derivada no
revelan ningún tipo de funcionalidad técnica más allá del estudio de los extremos y de la
monotonía de la función, o sea, no desempeñan el papel de modelo gráfico-funcional
que permita estudiar y describir la evolución de un fenómeno en un determinado
sistema (C7).
149
También se constata que no se lleva a cabo un estudio sistemático de familias de
funciones (C9) y, como consecuencia, muy raramente se trabaja con la derivada de una
familia de funciones o se utilizan las propiedades de la función derivada y, mucho
menos, de la derivada segunda, para obtener propiedades del sistema modelizado por la
función primitiva (C8). Estas ausencias constituyen, en el paso de Secundaria a la
Universidad, restricciones importantes para la construcción de modelos funcionales
mediante la resolución de ecuaciones diferenciales elementales cuyo resultado es
siempre una familia de funciones.
En los libros de texto analizados no existe una actividad sistemática en torno a la TVM
de una función que permita expresar la TVM en un intervalo genérico. Es habitual pasar
inmediatamente de la definición de derivada como límite de la TVM a las tareas y
técnicas algebraicas asociadas al cálculo diferencial elemental (C6 y C10). De este
modo, nunca se trabajan las técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias finitas,
lo que impide constatar que se tratan de técnicas poco económicas y no permite
cuestionar las ventajas técnicas que proporciona el trabajo con las técnicas de
derivación en relación a las diferencias finitas.
Como conclusión general se observa que las reglas que rigen la organización de la
actividad matemática escolar, que se reflejan en los libros de texto de la Secundaria
portuguesa, provocan fuertes restricciones ecológicas a la vida de la modelización
matemática en general y, en particular, al desarrollo de la modelización funcional.
Postulamos que esta presencia tan débil de la actividad de MF está condicionada y, a la
vez, condiciona la atomización de las tareas que constituyen la razón de ser oficial del
CDE y que se sitúan fuera del ámbito de la MF.
8. Razón de ser «oficial» del CDE en el sistema educativo portugués y su
relación con la MF en el paso de Secundaria a la Universidad
Después de constatar algunas de las funciones que el CDE no desempeña en la
enseñanza secundaria portuguesa, en esta sección describiremos con precisión las
funciones que el CDE desempeña efectivamente en dicha institución. Paralelamente
indagaremos cuáles son los componentes de la MF, interpretada tal como se redefine
mediante el diagrama de actividad, que aparecen en la práctica matemática escolar y la
150
forma como estos componentes se relacionan con el CDE. Con todo ello podremos
interpretar la razón de ser oficial del CDE a la luz del MER, contrastándola con la razón
de ser alternativa que el MER le asigna, lo que nos permitirá responder a una de las
cuestiones centrales de la dimensión económica de nuestro problema de investigación,
la relativa a la razón de ser que el sistema educativo portugués asigna al CDE y a su
relación con la MF.
Para llevar a cabo estos objetivos, tomaremos de nuevo el MER como sistema de
referencia para formular tres cuestiones. Dichas cuestiones se refieren en todos los casos
al último curso de la enseñanza secundaria y al primer curso de determinados grados
universitarios del sistema escolar portugués, entre los que citaremos: Biología,
Ingenierías, Bioquímica, Ciencias Farmacéuticas, Medicina Nuclear, Economía y
Gestión, etc.
(1) ¿Cuáles son los tipos de tareas que el sistema de enseñanza portugués propone
para dar sentido al CDE?
La metodología para estudiar esta cuestión consistirá en un trabajo de identificación y
descripción sistemática y tan exhaustiva como sea posible de los tipos de tareas y de las
cuestiones que el sistema escolar –en el último curso de Secundaria y en el primer curso
universitario– considera que requieren del uso de las nociones y las técnicas del CDE
(identificando el CDE con la caracterización que hemos propuesto en la sección 4 del
capítulo II). Teniendo en cuenta los componentes del CDE así delimitado, podemos
considerar que la cuestión anterior se descompone en un conjunto más específico de
cuestiones derivadas que pueden plantearse mediante un enunciado general:
¿En qué tareas escolares se utilizan los principales componentes (nociones, técnicas y
discursos tecnológico-teóricos asociados) del CDE? ¿Qué cuestiones requieren para ser
respondidas, según la organización matemática escolar, el uso de dichas nociones,
técnicas y discursos tecnológico-teóricos asociados? Esto es, ¿qué tareas se proponen en
la práctica matemática escolar para dar sentido a (o justificar el estudio de) las citadas
nociones, técnicas y discursos tecnológico-teóricos?
Para precisar el alcance de esta cuestión general, formularemos un conjunto de
cuestiones derivadas:
151
-
¿Qué cuestiones vienen a responder el cálculo de límites de funciones (en un
punto o en el infinito)?
-
¿Para qué se utiliza en la matemática escolar las representaciones gráficas de
funciones elementales?
-
¿En qué tareas aparece la necesidad de calcular la derivada de una función en un
punto?, ¿y la función derivada de una función?
-
¿Para resolver qué tipo de problemas se calculan los intervalos de monotonía o
los extremos de una función?
-
¿Qué cuestiones permite resolver la determinación de las funciones derivadas de
orden superior?
-
¿Para resolver qué tipo de problemas se estudia el sentido de la concavidad y los
puntos de inflexión de una función?
-
¿En qué tipo de tareas surge la necesidad de construir el polinomio de Taylor?
-
¿Qué cuestiones requieren estudiar si una función es continua en un punto o, en
su caso, el tipo de discontinuidad que presenta?
-
¿Qué tipo de tareas utilizan el Teorema de Bolzano ya sea como técnica o como
discurso tecnológico para justificar una práctica concreta?
-
¿En qué tareas se requiere calcular las asíntotas de una función?
-
El Teorema del Valor Medio, ¿qué proposiciones permite justificar?, ¿en qué
tareas escolares interviene?
-
¿Para responder a qué tipo de cuestiones se necesita calcular primitivas?
-
¿Para qué se utiliza en la matemática escolar el cálculo de integrales definidas?
-
¿En qué tipo de tareas se utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo?
-
¿Para responder a qué tipo de cuestiones se necesita resolver ecuaciones
diferenciales (inmediatas)?
(2) De entre los tipos de tareas y de técnicas matemáticas que son componentes del
diagrama de actividad de MF, ¿cuáles aparecen, qué peso tienen y qué papel juegan
en la práctica matemática escolar?
152
En este caso la metodología está basada completamente en el diagrama de actividad,
puesto que se trata de indagar cuáles de sus componentes están presentes en la práctica
matemática escolar y qué papel juegan en ella. Una forma de sistematizar esta búsqueda
consiste en responder a las siguientes cuestiones derivadas que permiten especificar la
cuestión genérica anterior:
-
¿Se plantean cuestiones problemáticas iniciales relativamente genéricas y abiertas
como punto de partida de un proceso de modelización funcional a largo plazo?
-
¿Se lleva a cabo o se propone explícitamente, la delimitación o construcción de un
sistema mediante la elección de ciertas variables y la formulación de ciertas
hipótesis sobre el sistema?
-
¿Se propone la construcción de modelos funcionales a partir de datos expresados en
términos de relaciones entre variables?
-
¿Se propone la construcción de modelos diferenciales a partir de datos expresados
en términos de relaciones entre variables? ¿Y la construcción de modelos
diferenciales mediante ecuaciones diferenciales elementales?
-
¿Aparece la técnica de «discretizar» un modelo continuo, esto es, el paso de trabajar
con un modelo funcional continuo a trabajar con modelos numéricos tabulares?
-
¿Se construyen o se propone la construcción de modelos numéricos o gráficos a
partir de datos discretos?, ¿se formulan entonces hipótesis sobre la TVM o la
TVMR? En base a dichas hipótesis, ¿se construyen modelos en términos de
ecuaciones en diferencias finitas?, ¿se resuelven las ecuaciones en diferencias
finitas?
-
¿Se propone la utilización de técnicas de regresión sobre los datos discretos para
obtener un modelo funcional continuo aproximado que se ajuste a los datos? En
caso afirmativo, ¿se aplica la regresión únicamente sobre los datos «brutos» o
también se aplica sobre las TVM o las TVMR?
-
¿Se utiliza la técnica de aproximar una ecuación en diferencias finitas por una
ecuación diferencial?, ¿y la técnica recíproca, de aproximar una ecuación diferencial
difícil de resolver por una ecuación en diferencias finitas?
-
¿Se comparan en términos de economía y fiabilidad las técnicas algebraicas de
resolución de ecuaciones en diferencias finitas con las técnicas de resolución de
ecuaciones diferenciales elementales (tanto en la construcción del modelo
correspondiente como en la manipulación de éste)?
153
-
¿Se comparan o se propone que se comparen el ajuste y la capacidad predictiva de
dos o más modelos funcionales aproximados de un mismo sistema?
-
¿Qué trabajo se propone y se lleva a cabo para manipular el modelo funcional?,
¿qué tipo de información en términos de propiedades del sistema modelizado se
suele extraer de dicho trabajo?, ¿se interpretan los parámetros del modelo en
términos del sistema?
-
Al finalizar un proceso de modelización funcional, ¿aparecen nuevas cuestiones
problemáticas?, ¿surge la necesidad de tomar en consideración nuevas variables, de
formular nuevas hipótesis y de construir un nuevo sistema?
(3) ¿En la actividad matemática escolar existen tipos de tareas en los que
intervenga el CDE y que, a pesar de que el sistema escolar no las considere como
componentes de un proceso de MF, pueden interpretarse como tales dentro del
diagrama de actividad?
Mostraremos que efectivamente existen ese tipo de tareas en la práctica matemática
escolar y creemos que es importante sacarlas a la luz porque ponen de manifiesto muy
claramente que, incluso en los casos en que el CDE se utiliza efectivamente como
instrumento imprescindible para construir un modelo funcional, el sistema escolar no
reconoce que se trate de un proceso de modelización funcional, ni que el resultado del
mismo sea un modelo (funcional). En consecuencia, en la práctica matemática escolar
no se explotan las posibilidades del modelo construido como instrumento de producción
de conocimientos del sistema modelizado. Este hecho constituye un nuevo indicio del
fenómeno de falta de visibilidad escolar de la actividad de modelización funcional y,
consecuentemente, de la razón de ser del CDE que el MER que proponemos le asigna
en dicho ámbito.
Los materiales que utilizaremos como base empírica para dar respuesta a las tres
cuestiones planteadas serán los siguientes:
De la enseñanza secundaria portuguesa:

manuales escolares de la enseñanza secundaria (11.º y 12.º año de escolaridad);

exámenes nacionales (del final de secundaria);
154
Algunas fuentes consultadas:
http://bi.gave.min-edu.pt/exames/exames/eSecundario/761/?listProvas
http://mat.absolutamente.net/joomla/index.php/recursos/exames-e-testes-intermedios#matemática-a
Del primer curso de la enseñanza universitaria portuguesa:

apuntes teóricos y ejercicios en fichas de trabajo de los profesores de cálculo
diferencial e integral del primer curso universitario (de Ingenierías, Ciencias
Farmacéuticas, Medicina Nuclear, Economía, Biología, etc.);

textos de consulta o referencias habitualmente recomendadas en la presentación
de las unidades curriculares (Apostol (1967) y Stewart (2006));

exámenes;
Algunos ejemplos de fuentes consultadas:
http://paginas.fe.up.pt/am1/
http://ltodi.est.ips.pt/am1/
http://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~mabreu/CI/
https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/disciplinas/CDI30/2012-2013/1-semestre/testes-e-exames
http://w3.ualg.pt/~mgameiro/Celeste-112.htm
http://www.mat.uc.pt/~alma/aulas/analisematematica1/
http://www.mat.uc.pt/~alma/publicat/coursenotes/Biomatematica.pdf
De todos estos materiales, vamos a dar más importancia a los exámenes porque creemos
que el contrato didáctico habitual en la enseñanza universitaria en las disciplinas
relativas al Cálculo I, Análise Matemática I, Biomatemática está fuertemente
determinado por el proceso de evaluación que, como se puede constatar en los
currículos presentados en el anexo H, se lleva a cabo mediante un único dispositivo, el
examen escrito.
8.1. Tipos de tareas que forman parte de la razón de ser oficial del CDE
Los resultados obtenidos del análisis empírico que hemos llevado a cabo muestran que
entre los tipos de tareas matemáticas que el sistema escolar portugués propone para dar
sentido al CDE (entendido tal como se caracteriza en la sección 4 del capítulo II) en el
155
último curso de Secundaria y en el primer curso de Universidad, destacan
principalmente los siguientes:
 Habitualmente se calculan límites de funciones en un punto o en el infinito sin
ningún objetivo (solo para descubrir su valor y nada más). En algunos casos, se
utilizan para determinar las asíntotas del gráfico de la función, para estudiar la
continuidad de la misma o para calcular la derivada en un punto como límite del
cociente incremental. Por ejemplo, la tarea siguiente es muy habitual:
 En la matemática escolar se utilizan las representaciones gráficas de funciones
elementales para observar algunas de sus características/propiedades, tales
como: el dominio y el recorrido, ceros, signos, la monotonía y extremos; siendo
menos habitual el estudio de la paridad, inyectividad o sobreyectividad.
 Aparece la necesidad de calcular la derivada de una función en un punto en la
tarea de determinar la pendiente de la recta tangente al grafico de una función en
un punto o, menos frecuentemente, en la tarea de calcular la tasa de variación de
un modelo funcional dado.
Aparece la necesidad de calcular la función derivada de una función
esencialmente en tareas que implican la determinación de los intervalos de
monotonía y/o de los extremos de la función dada, en particular, en tareas
relacionadas con la resolución de problemas de optimización. A veces aparece la
necesidad de calcular la función derivada de una función en tareas en las que se
solicita la construcción/identificación de un posible esbozo del gráfico de una
función dada.
156
 Más allá de la resolución de los problemas de optimización, el estudio de la
monotonía también se utiliza para verificar si la función es inyectiva y,
consecuentemente, si es invertible.
 La matemática escolar atribuye a la función derivada segunda la utilidad en el
estudio de la concavidad de una función y determinación de los puntos de
inflexión. En algunos casos se utiliza la función derivada segunda para calcular
la aceleración de un cuerpo (interpretación física). Las funciones derivadas de
orden superior se utilizan, en la matemática escolar (en los inicios de la
enseñanza universitaria), para escribir el Polinomio de Taylor el cual no se
considera como un modelo funcional aproximado de cierto sistema.
 En la matemática escolar normalmente el estudio de la concavidad y la
determinación de los puntos de inflexión aparecen como objetivos en sí mismos,
o sea, son el resultado final de la tarea o la respuesta a la cuestión planteada. Sin
embargo, también aparecen otras tareas tales como, «construir un esbozo del
gráfico de la función» o «identificar, de entre varios gráficos, cual corresponde a
una función dada algebraicamente», en las que el estudio de la concavidad y de
los puntos de inflexión (juntamente con el estudio de otras propiedades de la
función) servirán de auxilio a su resolución.
 En la matemática escolar, en el primer curso universitario, aparece la tarea de
«escribir el polinomio de Taylor de una dada función en torno de un punto
dado» sin ningún otro objetivo ni contextualización. La noción de aproximación
local de una función por una función polinómica se plantea en la introducción al
polinomio de Taylor (mediante un discurso teórico, normalmente expuesto por
el profesor) pero después cuando se traslada al campo practico-técnico de
ejecución de tareas (ejercicios, exámenes) sólo aparece implícitamente como,
por ejemplo, en la siguiente tarea:
Por otro lado también se utiliza el Polinomio de Taylor para calcular
aproximaciones de números:
157
 En la matemática escolar es muy habitual la tarea que consiste en «verificar si
una función dada definida a trozos es continua». Es menos habitual estudiar la
continuidad de una función racional. El estudio del tipo de discontinuidad de una
función está prácticamente ausente en la actividad matemática escolar
portuguesa.
 Se utiliza el Teorema de Bolzano esencialmente como discurso tecnológico para
justificar una técnica concreta tal como, por ejemplo, la descrita en la resolución
de la siguiente tarea:
También aparecen algunas tareas para determinar el recorrido de una función
cuya resolución incluye la utilización del Teorema del valor intermedio de
Bolzano, como por ejemplo:
 En la matemática escolar se requiere el cálculo de las asíntotas de una función
para estudiar su comportamiento (por ejemplo, a largo plazo) o, simplemente
para ayudar a representarla gráficamente. Sin embargo, lo más habitual es que el
cálculo de las asíntotas de una función sea el objetivo final, como en la siguiente
tarea:
158
 El Teorema del Valor Medio (o de Lagrange) permite, en la matemática escolar,
justificar algunas proposiciones como, por ejemplo, la siguiente:
O mostrar que existe un valor de la variable independiente perteneciente a un
intervalo dado en el cual la derivada de una función es igual a un determinado
valor:
159
 Se necesita calcular primitivas para responder, por ejemplo, a tareas del tipo:
¿cuál es la función cuya función derivada está definida por
? ¿Es
única?
 En la matemática escolar se utilizan las integrales definidas habitualmente para
calcular áreas bajo una curva y entre curvas. También aparecen tareas dirigidas a
calcular volúmenes de sólidos de revolución y a calcular longitudes de curvas
planas.
 En la matemática escolar se utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para
definir la noción de integral como la inversa de la derivada. Se utiliza para
mostrar que una función es diferenciable, o incluso para justificar el cálculo de
la función derivada de una función dada como, por ejemplo, en la siguiente
tarea:
 En la matemática escolar (en el primer curso universitario) es habitual
aparecieren muchos ejercicios en los que la resolución de una ecuación
diferencial
se
planteará
como
un
objetivo
en
sí
mismo
y,
muy
excepcionalmente, pueden aparecer tareas en que se necesite resolver ecuaciones
diferenciales (inmediatas) para responder a cuestiones del tipo:
Además aparecen pocas ecuaciones diferenciales como modelos (diferenciales)
de un sistema.
160
8.2. Componentes de la MF que aparecen en la práctica matemática escolar
Al analizar los materiales empíricos representativos de la actividad matemática escolar
en torno a la MF en el ámbito del CDE en el paso de la enseñanza secundaria a la
enseñanza universitaria portuguesa se observa que:
 No se plantean cuestiones problemáticas iniciales relativamente genéricas y abiertas
como punto de partida de un proceso de modelización funcional a largo plazo;
 No se lleva a cabo ni se propone explícitamente, la delimitación o construcción de
un sistema mediante la elección de ciertas variables y la formulación de ciertas
hipótesis sobre el sistema;
 En algunas tareas se propone la construcción de modelos funcionales a partir de
datos continuos expresados en términos de relaciones entre variables;
 Se estudian muy pocos sistemas mediante modelos funcionales y, en los casos en
que aparece un modelo funcional, casi siempre está dado de antemano o,
excepcionalmente, puede construirse utilizando técnicas algebraicas;
 La grafica de una función y la de la función derivada no se suelen considerar como
modelos gráficos de un sistema. En los casos en que se estudia un sistema mediante
un modelo funcional, no se suele utilizar la gráfica de la función modelo para
extraer información del sistema;
 La tarea de calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en
un punto se considera como un objetivo en sí mismo. Por ejemplo, nunca se
identifica la parte lineal de una función polinómica con la recta tangente a su grafica
en el origen;
 Habitualmente no se propone la construcción de modelos diferenciales a partir de
datos expresados en términos de relaciones entre variables, ni la construcción de
modelos diferenciales mediante ecuaciones diferenciales elementales;
 Está completamente ausente la técnica de «discretizar» un modelo continuo, esto es,
el paso de trabajar con un modelo funcional continuo a trabajar con modelos
numéricos tabulares;
 En poquísimas situaciones se construyen modelos numéricos o gráficos a partir de
datos discretos y nunca se formulan hipótesis sobre la variación (TVM o TVMR).
Consecuentemente no se construyen modelos en términos de ecuaciones en
diferencias finitas;
161
 En la actividad matemática desarrollada en Secundaria (en particular, en el 10.º año
de Matemática A o de Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales) aparecen unas
pocas tareas en las cuales se propone la utilización de técnicas de regresión sobre los
datos discretos para obtener un modelo funcional continuo aproximado que se ajuste
a los datos. Sin embargo, en estes casos, se aplica la regresión únicamente sobre los
datos «brutos» y no sobre los datos variacionales (de las TVM o las TVMR);
 No se trabaja habitualmente con la variación media (VM) ni con la variación media
relativa (VMR) para aumentar el conocimiento de un sistema matemático o
extramatemático, respondiendo a cuestiones que surgen en el mismo;
 Está prácticamente ausente la técnica de aproximar una ecuación en diferencias
finitas por una ecuación diferencial, así como la técnica recíproca. Además no se
trabajan las diferencias finitas;
 En consecuencia, está completamente ausente la comparación en términos de
economía y fiabilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones en
diferencias finitas con las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales
elementales (tanto en la construcción del modelo correspondiente como en la
manipulación de éste);
 Normalmente no se propone la tarea de comparar el ajuste y la capacidad predictiva
de dos o más modelos funcionales aproximados de un mismo sistema. Aparecen
muy pocas tareas que impliquen la comparación de modelos;
 No se utilizan las técnicas del CDE (técnica de la comparación de las funciones
derivadas) para comparar el grado de ajuste de dos modelos funcionales
previamente construidos de un mismo sistema;
 Habitualmente se manipula el modelo funcional para extraer determinadas
informaciones acerca del sistema, tales como: la monotonía y extremos, la tendencia
a largo plazo, pero no se plantea la necesidad de introducir parámetros en el modelo
y, consecuentemente, no se interpreta dichos parámetros en términos del sistema;
 No se suele interpretar, con ayuda del CDE, el significado de los parámetros de un
modelo funcional en términos del sistema ni, en particular, en términos de una
variación de una variable del sistema modelizado respecto de otra;
 Entre los problemas de MF, los problemas de optimización son claramente
preponderantes. En este tipo de problemas muy raramente se requiere, una vez
calculados los extremos relativos del modelo funcional, la interpretación del objeto
óptimo en términos del sistema;
162
 Tampoco se analizan los casos en los que los extremos de la función están en los
puntos frontera del dominio o bien en un punto en el que la función modelo no sea
derivable;
 Los procesos de modelización funcional observados en la matemática escolar no son
cíclicos ni recursivos, o sea, no aparecen nuevas cuestiones problemáticas al final
del proceso y, por lo tanto, no surge la necesidad de tomar en consideración nuevas
variables, de formular nuevas hipótesis y de construir un nuevo sistema que, en
algunos casos, puede ser el propio modelo.
 Las tareas de calcular áreas de regiones planas, volúmenes de revolución y de
longitud de un segmento de curva, se plantean como una fórmula de cálculo
(muchas veces algorítmica) en lugar de plantearse como un proceso de MF;
 Se calculan primitivas y se resuelven ecuaciones diferenciales de integración casi
inmediata de forma aislada, o sea, sin tomarlas como herramientas esenciales en la
construcción y trabajo de modelos funcionales;
 Se construyen pocos modelos a partir de datos empíricos discretos. Por tanto: no se
utiliza el CDE como instrumento para transformar un modelo discreto en un modelo
continuo;
 No se atribuye al cálculo integral, en particular, a las primitivas para resolver
ecuaciones diferenciales elementales, un papel primordial en un proceso de
modelización funcional.
8.3. Modelos funcionales ocultos en la práctica matemática escolar
Postulamos que la forma como se trata en el paso de Secundaria a la Universidad el
estudio de la variación de diversas magnitudes continuas (como, por ejemplo, del área
bajo la gráfica de una función, la longitud de un arco de curva o el volumen de un sólido
de revolución), no deja ver que se está construyendo un modelo funcional (utilizando el
CDE como instrumento de construcción del mismo) puesto que, en la práctica escolar,
lo que se toma como incógnita, explícitamente, esto es, el objeto matemático que se
pretende construir, no es una función (o familia de funciones) sino una fórmula
algoritmizada para calcular valores concretos del área de cierta región plana, la longitud
de cierta porción de curva o el volumen de un determinado cuerpo de revolución.
Simplificando las cosas, podemos decir que en el estudio escolar de la variación de
magnitudes continuas se ocultan diversas tareas y técnicas matemáticas que constituyen
163
componentes esenciales de la MF y del papel del CDE en el ámbito de la MF. Además,
en los casos en que se construye (aunque sea implícitamente) un modelo funcional, se
suelen proporcionar los datos para poder construir la función F’(x) (y, en algunos casos,
dicha derivada es un dato explícito del problema) evitando así la necesidad de
aproximar una ecuación en diferencias finitas mediante una ecuación diferencial (puesto
que ésta se puede construir directamente).
En concreto, bajando a los detalles, diremos que en el paso de Secundaria a la
Universidad el estudio de la variación de magnitudes continuas se plantea
(implícitamente) en los siguientes términos:
(a) Se parte de una función F(x) que mide la magnitud variable en cuestión y que podría
desempeñar el papel de función incógnita. Sin embargo, en el paso de Secundaria a la
Universidad, la incógnita es normalmente el valor
que toma F en un punto de
abscisa c.
(b) Se supone que F es derivable en un cierto intervalo (a, b) y que su derivada o bien es
conocida de entrada (es un dato), o bien se puede construir a partir de los datos del
problema.
(c) Se trabaja con incrementos finitos (o con incrementos infinitesimales) de la función
F expresados en función de incrementos finitos (o infinitesimales) de la variable x. En el
caso que se trabaje con incrementos finitos, se hace un paso al límite.
(d) No se considera que la función F(x) sea un modelo del sistema puesto que no se trata
como tal y, por tanto, no se utiliza como instrumento para construir conocimientos sobre
dicho sistema (esto es, para responder a cuestiones problemáticas que surgen en el
mismo), salvo para calcular un valor concreto de .
Ejemplo (1): Dada una función f derivable y no negativa en un intervalo (a, b), calcular
el área de la región plana limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y las rectas
y
, con
Designamos mediante
rectas
y
el área limitada por la gráfica de f el eje de abscisas y las
.
Para calcular F(c) empezamos aproximando la variación media de F en un intervalo
cualquiera (xi-1, xi)
mediante:
164
Podemos suponer que los intervalos (xi-1, xi) constituyen una partición de (a, c).
Dado que F es derivable en (a, b), tomando límites cuando la norma de la partición
tiende a cero, ‖P‖ → 0, resulta:
y, entonces, puede calcularse la función F(x) de manera exacta:
En algunos libros de texto para modelizar la variación continua de la magnitud área
limitada por la gráfica de
variación infinitesimal,
y el eje de abscisas en dicho intervalo, se parte de la
, de la función área entre dos puntos muy próximos
y
interiores al intervalo (a, b) y, sin complejos, se escribe:
de donde se deduce directamente el modelo matemático expresado en términos de una
ecuación diferencial elemental:
con la condición inicial
.
Este ejemplo es prototípico y especialmente sencillo porque la derivada de ,
es un dato del problema. Este hecho, junto a la costumbre de considerar que la
incógnita es un valor concreto de
(en lugar de considerar que la incógnita es la propia
función ) contribuye a hacer invisible que se está construyendo un modelo funcional
mediante la integración de una ecuación diferencial (elemental).
Por otra parte, aunque la interpretación geométrica (F(x) representa el área bajo la
gráfica de f(x)) sea la preponderante en los textos del paso de Secundaria a la
Universidad, se trata de un modelo aplicable a múltiples sistemas físicos, biológicos,
económicos, etc. (ver la sección 2.3. del capítulo IV).
Ejemplo (2): Dada una función f derivable en un intervalo (a, b), calcular la longitud de
la curva parametrizada mediante
entre
165
y
, con c
Designamos mediante F(x) la longitud de la curva entre las abscisas a y x. Utilizando el
teorema de Pitágoras se puede expresar la variación de la longitud de la curva en un
intervalo cualquiera (xi-1, xi)
:
Y tomando límites cuando la norma de la partición tiende a cero, ‖P‖ → 0, resulta:
Al igual que en el ejemplo anterior, algunos libros de texto para modelizar la variación
continua de la magnitud longitud de arco de curva utilizan la variación infinitesimal,
de dicha longitud entre dos abscisas muy próximas x y
.
de donde se deduce directamente el modelo matemático expresado en términos de una
ecuación diferencial elemental:
En este ejemplo (y en muchos otros como es el caso de la variación del volumen de un
sólido de revolución) la derivada
de la función incógnita se puede construir con los
datos del problema, pero no está dada directamente. A pesar de lo cual, tampoco en este
caso se suele considerar que la incógnita sea la función F, ni se trabaja con esta función
como modelo para responder a cuestiones que surgen en el sistema que modeliza (más
allá de calcular un valor de la longitud de un segmento de curva concreto).
Estrictamente podría decirse que se utiliza el CDE para pasar de
el bien entendido que
a calcular
, en
o bien es un dato, o bien puede obtenerse a partir de los datos,
aunque sea de una forma no justificable en la institución en cuestión.
166
Ejemplo de lo que se pasa en la matemática escolar habitual:
Figura 2 – Notas de apoyo de un profesor de Cálculo Integral para sus alumnos del 1.º año universitario
portugués (2012/2013).
167
En resumen, dado que en la práctica matemática escolar no se considera en ningún
momento que se esté llevando a cabo un proceso de MF, no se considera que exista un
sistema que se está modelizando para utilizar el modelo matemático como máquina para
responder a cuestiones problemáticas que surgen en dicho sistema. Tampoco se
considera que la incógnita sea una función ni una familia de funciones, sólo interesa
(escolarmente) determinar algunos de los valores concretos
de dicha función.
Obviamente tampoco pueden aparecer cuestiones relativas al ajuste de
se ha obtenido como una función «exacta» y, si
, puesto que
es integrable, se obtiene una
«exacta».
9. El fenómeno didáctico de la falta de visibilidad escolar de la MF y la
correspondiente ausencia de una posible razón de ser del CDE
Las respuestas a la segunda de las cuestiones planteadas ponen claramente de manifiesto
que la MF, tal como la caracteriza el diagrama de actividad, está prácticamente ausente
en el paso de Secundaria a la Universidad. Esta ausencia se pone especialmente de
manifiesto si consideramos como un todo cada uno de los procesos de modelización
funcional que se sustentan en dicho diagrama, o sea, si tratamos cada uno de los
recorridos matemáticos (ver sección 2 del capítulo IV) como un recorrido indivisible
que parte de una cuestión problemática y culmina en una respuesta provisional a dicha
cuestión. Podemos mostrar visualmente este hecho marcando en el diagrama de
actividad (ver Figura 3, en rojo) los componentes de potenciales procesos de MF que,
de una u otra forma, están presentes en la práctica matemática escolar.
Por otra parte, las tareas que el sistema de enseñanza portugués plantea como razón de
ser oficial del CDE, según se desprende de las respuestas a la primera de las cuestiones
planteadas, son tareas bastante aisladas entre sí y poco relacionadas explícitamente con
la MF por lo que, en principio, no podrían situarse como elementos del diagrama.
Sin embargo, los ejemplos presentados como respuesta parcial a la tercera de las
cuestiones sugieren que, probablemente, algunas de las tareas que forman parte de la
razón de ser oficial del CDE, puedan ser reinterpretadas como componentes de ciertos
procesos de MF, a pesar de que ni en la práctica matemática escolar ni en el currículum
se las interpreta de esta forma.
168
Al intentar caracterizar las tareas existentes en la matemática escolar que, pudiéndose
interpretar como componentes de un proceso de modelización funcional, no aparecen
como tales, hemos encontrado que son tareas que (en la práctica escolar) se llevan a
cabo para responder a una cuestión que demanda como respuesta una cantidad concreta
de cierta magnitud o, en su defecto, un número concreto. Pero, en muchos casos, es
posible sustituir dicha cuestión por otra más general que requiera como respuesta una
función (un modelo funcional) que podría utilizarse para estudiar la variación de una
magnitud respecto de otra y que, en particular, permitiría calcular diferentes cantidades
concretas de magnitud.
Así, por ejemplo, en la práctica matemática escolar la tarea relativa a la determinación
de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto, se propone
para responder a una cuestión relacionada con la variación instantánea de una función,
en un punto determinado, o con la aproximación local de ésta mediante una función
lineal. Se trata, por tanto, de responder a una cuestión muy particular relacionada con un
aspecto concreto de dicha función cuya respuesta requiere el uso de las técnicas del
CDE. Pero si interpretamos la función de partida como un sistema en el que ha surgido
la citada cuestión problemática, es posible plantear una cuestión más general relativa a
la variación de la función y, en ese caso, la respuesta que se requiere es una función, la
derivada de la función de partida, que podemos considerar como un modelo funcional
de ésta y que, en particular, permitirá responder a otras muchas cuestiones relativas a la
variación de la función de partida.
Análogamente, el papel asignado al CDE en el resto de tareas que forman parte de su
razón de ser oficial (ver sección 8.1) puede asimismo interpretarse como un aspecto
particular (aplicado a una subtarea) del papel que el MER asigna al CDE en una tarea
que se sitúa dentro de un proceso completo de MF y que contiene a la subtarea en
cuestión. Puede mostrarse que, en efecto, los restantes tipos de tareas descritas en la
sección 8.1 se pueden reinterpretar como parte de procesos de MF aunque, en la práctica
escolar, la relación de estas tareas con los proceso de MF es en unos casos totalmente
inexistente y, en otros, sólo alcanza una parte de uno de los estadios de un proceso de
MF.
En particular, en las tareas relacionadas con la representación gráfica de una función a
partir de su expresión analítica, se utilizan técnicas del CDE para construir el que
denominamos modelo gráfico-funcional (de un hipotético sistema) pero que, en la
169
práctica matemática escolar, la citada representación gráfica no se suele utilizar como
instrumento para aumentar los conocimientos de dicho sistema (que está ausente).
En los pocos casos en que se utiliza el CDE para estudiar algunos aspectos de un
sistema mediante el trabajo en un modelo funcional, éste suele estar dado de antemano
o, en el mejor de los casos, se trata de un modelo construible mediante técnicas
algebraicas. Prácticamente en ningún caso la construcción del modelo parte de datos
discretos obtenidos empíricamente y, en todos los casos, el papel del CDE es muy
limitado a lo largo de todo el proceso de modelización, concentrándose esencialmente
en el tercer estadio de dicho proceso. Las tareas relacionadas con la resolución de
problemas de optimización constituyen un caso particular y muy predominante
escolarmente del estudio de un sistema a partir de un modelo funcional. En estas tareas,
el papel del CDE se restringe esencialmente al cálculo de los extremos del modelo
funcional.
En la sección 8.3 hemos mostrado que para llevar a cabo determinados tipos de tareas
como, por ejemplo, el cálculo del área de regiones planas, de longitudes de arcos de
curvas y de volúmenes de revolución, los libros de texto utilizan técnicas del CDE que
pueden reinterpretarse como una pequeña parte de un proceso de modelización
funcional que parte de datos variacionales, esto es de datos relativos a la variación de la
función incógnita ya sea en un intervalo finito o infinitesimal. Se trata de un proceso de
MF que se integra dentro de uno de los recorridos matemáticos, el RM3 (ver los detalles
en la sección 2.3. del capítulo IV).
En el capítulo IV veremos, con mucho detalle, como las tareas relativas al cálculo de
primitivas elementales, forman parte del segundo estadio del proceso de modelización
funcional que proponemos puesto que dicho cálculo es un instrumento útil para la
construcción de ciertos modelos funcionales, aunque ni el currículo portugués actual del
último curso de Secundaria ni el del primer curso universitario proponen esta
funcionalidad para dicho tipo de tareas.
En resumen, podemos afirmar que la «razón de ser» que el MER asigna al CDE, en el
ámbito de la MF, es una ampliación (o generalización) radical de la que le asigna el
sistema educativo portugués actual. Además, las tareas que constituyen la razón de ser
oficial del CDE pueden ser interpretadas como tareas matemáticas potencialmente
170
inscribibles en procesos de MF aunque no sea ésta la forma como se interpretan y como
se proponen en la práctica matemática escolar.
De esta manera podemos afirmar que el MER que proponemos, al asignar al CDE una
nueva razón de ser que explicita el papel que puede desempeñar a lo largo de todos los
estadios de la modelización funcional, permite sacar a la luz e interpretar un fenómeno
didáctico-matemático que permanece y permanecerá invisible mientras la MF tenga el
papel irrelevante que aún tiene en el paso de Secundaria a la Universidad y mientras se
asigne al CDE la razón de ser «oficial» que escolarmente se le asigna. Este fenómeno
que, como hemos indicado, no sólo encubre una posible razón de ser del CDE, sino que
oculta los aspectos esenciales de la actividad de MF, está originado por mecanismos
transpositivos que deberemos indagar.
Sin pretender buscar las «causas» de este fenómeno, podemos avanzar que el trabajo
que hemos desarrollado hasta aquí nos permite afirmar que la languidez y
desarticulación escolar de los procesos de MF están relacionadas, en primer lugar, con
el fenómeno de la rigidez, atomización e incompletitud de las organizaciones
matemáticas escolares que hemos analizado en el capítulo I. En segundo lugar,
postulamos que la separación entre el CDE y la MF, coherente con la razón de ser
oficial que el currículum asigna al CDE, constituye un hecho didáctico
indisolublemente asociado a dicho fenómeno.
171
Figura 3 - Componentes del diagrama de actividad de MF habitualmente trabajadas en el final de la Secundaria y en el inicio de la Universitaria portuguesa.
172
Capítulo IV
Construcción de un modelo epistemológico de referencia
que articula el cálculo diferencial elemental y la
modelización funcional
Como paso previo a la construcción efectiva de un MER, esto es, antes de describir
detalladamente algunos de los recorridos matemáticos a priori que encarnan el esquema de
MER propuesto en el capítulo III, empezaremos por delimitar y caracterizar los que
denominaremos tipos elementales de variación discreta (en términos de ecuaciones en
diferencias) y los correspondientes tipos de variación funcional continua (en términos de
ecuaciones diferenciales elementales) que generarán el universo de modelos funcionales que
tomaremos en consideración en el MER en cuestión. En la presentación que haremos del
MER que proponemos, nos limitaremos a utilizar los modelos matemáticos de dicho
universo que son los que están presentes en el primer curso de la Universidad en la
enseñanza portuguesa.
Para describir los citados recorridos matemáticos a priori explicitaremos, en cada caso, la
sucesión de cuestiones, tareas y técnicas del diagrama de actividad de modelización
funcional que constituye dicho recorrido. Detallaremos los procesos completos de
modelización funcional partiendo de una cuestión generatriz concreta y de unos datos
particulares para cada uno de los recorridos matemáticos experimentados. Dejaremos para el
capítulo V la descripción del proceso de estudio experimentado, esto es, de los recorridos de
estudio e investigación sustentados en los citados recorridos matemáticos a priori.
173
1. Universo de tipos de variación que consideraremos en la modelización
funcional
Muchos modelos científicos de todo tipo se expresan mediante ecuaciones diferenciales por
lo que, en la actividad científica habitual, el cálculo diferencial desempeña un papel esencial
no sólo en la construcción de dichos modelos, sino también en el trabajo dentro de los
mismos y en la interpretación de los resultados obtenidos en el ámbito del sistema
modelizado.
Postulamos que, en el paso de Secundaria a la Universidad el cálculo diferencial elemental
(CDE) podría desempeñar un papel similar en todas las etapas de la modelización funcional
y pretendemos mostrarlo explícitamente en la construcción de los recorridos matemáticos a
priori que encarnan el MER. Sin embargo, los datos empíricos presentados en el capítulo III
ponen claramente de manifiesto que el sistema de enseñanza portugués no asigna al CDE
dicho papel (al menos en el paso de la enseñanza secundaria a la universitaria).
En este trabajo, y debido a las restricciones institucionales, nos centraremos en un universo
de modelos expresados mediante ecuaciones diferenciales ordinarias de integración
elemental:
Entre los más sencillos de estos modelos se encuentran los de los tipos:
o bien
Donde P(x) es un polinomio de grado “pequeño” (que puede ser de grado cero) y la variable
x es normalmente, pero no necesariamente, el tiempo. La integración de estas ecuaciones
diferenciales se reduce al cálculo de una primitiva que, en los casos más sencillos (que serán
los que consideraremos en esta memoria), tiene perfecta cabida en lo que denominamos
CDE y que, curricularmente, se sitúa actualmente36en la mayoría de los primeros cursos
universitarios portugueses que contemplan el estudio del Cálculo.
Entre las familias de funciones que se obtienen como soluciones de dichas ecuaciones
diferenciales aparecen los modelos más elementales: lineal, cuadrático, cúbico, etc., y
36
Sin embargo, y como se ha referido en los capítulos II y III, fue aprobado recientemente un nuevo programa
de Matemática A que ya pretende incluir el estudio de las primitivas y de las integrales en la enseñanza
secundaria portuguesa a partir del año lectivo 2017/2018 (Despacho n.º 868-B/2014, D.R. n.º 13, 2.º
Suplemento, Série II, de 20 de janeiro de 2014).
174
polinómico en general, el modelo exponencial, el modelo de crecimiento limitado, el modelo
de crecimiento logístico y muchos otros.
Entre estos modelos aparece, también, el modelo hiperbólico, puesto que:
y
=
son equivalentes.
En lo que sigue, caracterizaremos los tipos de variación elementales que tomaremos en
consideración para construir los diferentes procesos de modelización funcional que
estructuran el MER. En la sección 1.1. describiremos los tipos de variación discreta y en la
1.2. los de variación continua.
1.1. Modelos funcionales construidos a partir de datos discretos
1.1.1. Formulando hipótesis elementales sobre el tipo de variación discreta
Analizando la variación de un conjunto de datos discretos obtenidos empíricamente puede
darse el caso que éstos se puedan aproximar mediante un determinado modelo funcional
cuyo tipo de variación sea muy semejante a la variación que presentan dichos datos. Para
utilizar adecuadamente esa técnica ha surgido la necesidad de caracterizar los modelos
algebraico-funcionales según su tipo de variación discreta. En esta memoria nos centramos
en estudiar únicamente los siguientes tipos elementales de variación (ver las deducciones en
el anexo F):
1. Variación de primer orden constante: modelo lineal discreto
→
2. Variación de segundo orden constante: modelo cuadrático discreto
→
3. Variación de tercer orden constante: modelo cúbico discreto
→
→
4. Variación proporcional a
: modelo exponencial discreto
175

5. La variación es una función afín de
→
: modelo de crecimiento limitado
→
6. La variación es una función cuadrática de
: modelo logístico discreto
→
7. Variación de la sucesión de los inversos constante: modelo hiperbólico discreto
→
1.1.2. Aproximando los datos mediante regresión: estudio de diferentes técnicas
Existen varios caminos posibles para construir el modelo algebraico de la función, de entre
los cuales vamos primeramente destacar tres de ellos:
Técnica I: Partiendo del modelo grafico-funcional, o de una tabla de valores de datos
discretos y haciendo una regresión directa sobre los datos brutos como, por ejemplo:
Construcción del modelo algebraico-funcional a partir de los datos brutos
GRÁFICO
ALGEBRAICO
Modelo gráfico-funcional
Modelo algebraico-funcional
(de la función pretendida)
(aproximado de la función pretendida)
Figura 1 - Construcción del modelo algebraico-funcional a partir de los datos brutos
176
Técnica II: Utilizando la TVM para construir el modelo grafico-variacional, se puede hacer
una regresión sobre los puntos correspondientes a la TVM, aproximar la ecuación en
diferencias finitas por una ecuación diferencial, resolverla por integración y encontrar el
modelo algebraico-funcional, como muestra el siguiente esquema:
Construcción del modelo algebraico-funcional utilizando la TVM
GRÁFICO
ALGEBRAICO
Modelo gráfico-variacional
Modelo algebraico-variacional
(de la TVM)
(aproximado de la TVM)
Modelo algebraico-diferencial aproximado
sabiendo que
Modelo gráfico-funcional
Modelo algebraico-funcional
(de la función pretendida)
(aproximado de la función pretendida)
con
Figura 2 - Construcción del modelo algebraico-funcional utilizando la TVM
Partiendo de los datos discretos brutos correspondientes, por ejemplo, al número de
individuos infectados por una determinada epidemia representados en una tabla de valores
(modelo numérico), o representados gráficamente (modelo gráfico-funcional), podremos
177
calcular los valores de la tasa de variación media37 en el intervalo
para cada dos
instantes consecutivos y representar esos valores en una gráfica que llamaremos modelo
grafico-variacional. Reseñamos que el paso de este último modelo al modelo algebraicovariacional puede requerir un trabajo muy costoso. Una alternativa sería usar el GeoGebra
(Programa de Geometría Dinámica) para crear una lista de los puntos representados
gráficamente y usar una regresión polinómica para obtener, por ejemplo, el polinomio de
grado 3 que mejor aproxima los puntos.
El paso del modelo algebraico-variacional al modelo algebraico–funcional se hace
mediante la aproximación de una ecuación en diferencias finitas por una ecuación
diferencial que contiene una función polinómica de una variable.
Esta aproximación de la ecuación en diferencias finitas a la ecuación diferencial es
coherente con la aproximación entre el modelo variacional
(resultante de la regresión
cúbica sobre los puntos relativos a los valores de la TVM) y el modelo
(resultante de la
derivación directa del modelo funcional polinómico de grado 4) como podremos observar en
la siguiente figura:
Figura 3 – Comparación de los modelos grafico-variacional y grafico-diferencial
37
Nótese que, si no estamos trabajando con intervalos de amplitud 1, estos valores no van a coincidir con los
valores de la variación absoluta (o diferencia finita).
178
Así, y como sería de esperar, las dos técnicas I y II nos conducen a la construcción de
modelos algebraico-funcionales que presentan coeficientes relativamente próximos:
I.
II.
Sin embargo, cuando trabajamos con modelos polinómicos es siempre más sencillo empezar
construyendo el modelo algebraico–variacional antes que el modelo algebraico–funcional,
dado que el primero estará definido por una función polinómica de grado menor que el
segundo y, por tanto, en principio poseerá menos ceros, menos variaciones de
crecimiento/decrecimiento, menos extremos, etc. y, consecuentemente, los errores de la
aproximación también serán menores.
Técnica III: Utilizando la TVMR para construir el modelo grafico-variacional, hacer una
regresión sobre los puntos correspondientes a la TVMR, aproximar la ecuación en
diferencias finitas por una ecuación diferencial, resolverla por integración y encontrar el
modelo algebraico-funcional exponencial. En este caso, podremos tomar en consideración
un esquema hipotético38 de la construcción científica de algunos modelos funcionales y, en
particular, de los modelos de la dinámica de poblaciones (como, por ejemplo, de los
modelos que describen la evolución de una determinada epidemia). Dicho esquema contiene
las siguientes etapas:
- Se parte de ciertos valores obtenidos experimentalmente de la evolución de una
población como, por ejemplo, de la población de infectados
para ciertos valores
discretos de .
- Se elabora una tabla de la tasa de variación media (y de la tasa de variación media
relativa39) de en una determinada serie discreta de intervalos de la variable
independiente.
- Se obtiene, mediante algún tipo de interpolación, una expresión analítica
aproximada de la “tasa de variación media relativa” de la función , esto es, una
ecuación que iguala aproximadamente la tasa de variación media relativa de y una
función elemental.
38
Se trata de una hipótesis atrevida que, desde luego, no pretendemos que sea la única forma de construir los
modelos funcionales.
39
Los datos puntuales de la evolución de una población no se tratan directamente sino que se transforman en
datos de la evolución de la tasa de variación media relativa de dicha población (en los sucesivos periodos de
tiempo). Ello se debe a que dicha tasa se comporta “mejor”. En los casos más sencillos (teóricos) dicha tasa es
constante o lineal y, cuando se utilizan datos reales, se aproxima bien mediante una función polinómica. En
todos estos casos la evolución de la población estudiada sigue un comportamiento próximo al de una función
exponencial de base el número e.
179
- Se identifica la ecuación aproximada citada con una ecuación diferencial cuya
incógnita es la función .
- Se resuelve la ecuación diferencial resultante y se obtiene así una expresión
analítica aproximada de la función que, clásicamente, es una función exponencial
de base .
En resumen, disponemos de 3 posibles técnicas para la construcción de modelos funcionales
a partir de datos discretos:
Modelo
numérico
discreto
(tabular)
Modelo
gráficofuncional
discreto
(datos brutos)
Modelo
gráficofuncional
contínuo
Modelo
algebraicofuncional
contínuo
Modelo
numérico
variacional
(tabla TVM)
Modelo
numérico
variacional
relativo
(tabla TVMR)
Modelo
gráficovariacional
discreto
(de la TVM)
Modelo
gráficovariacional
discreto
relativo
(de la TVMR)
Modelo
gráficovariacional
continuo
(de la TVM)
Modelo
gráficovariacional
continuo
(de la TVMR)
Modelo
algebraicovariacional
continuo
(de la TVM)
Modelo
algebraicofuncional
Modelo
algebraicodiferencial
Modelo
algebraicofuncional
Modelo
algebraicovariacional
continuo
(de la TVMR)
Modelo
algebraicofuncional
Modelo
algebraicodiferencial
Logaritmo del
modelo
algebraicofuncional
Modelo
algebraicofuncional
exponencial
Figura 4 – Comparación de las 3 técnicas para la construcción de modelos a partir de datos discretos.
180
Por la primera técnica, al partir de un modelo numérico de datos discretos brutos (en una
tabla) podremos representar el modelo gráfico-funcional discreto y, por una regresión,
obtener el modelo continuo gráfico y algebraico directamente, cometiendo errores de
aproximación.
Por la segunda técnica, al realizar la regresión sobre los valores de la TVM se reduce el
número de puntos a aproximar y, además, al trabajar con variaciones se pierde menos
información relativa al comportamiento del sistema a modelizar. Así, creemos que es posible
obtener una mejor aproximación con esta segunda técnica que con la primera en la que se
aproximan directamente los datos brutos. Sin embargo, para convertir el modelo algebraicovariacional continuo (de la TVM) en el modelo algebraico de la función principal podremos
resolver la ecuación en diferencias finitas (lo que puede requerir el llevar a cabo una
actividad matemática técnicamente muy costosa), o aproximar esa misma ecuación en
diferencias finitas mediante una ecuación diferencial de resolución más sencilla. Postulamos
que, al proseguir por este último camino, se podrá encontrar una buena solución aproximada
de un modelo funcional que se ajuste a los datos con un coste más reducido que el resultante
de la aplicación de la primera técnica.
Conjeturamos que, para caracterizar fenómenos de contagio (que avanzan o retroceden muy
rápidamente), el procedimiento asociado a una regresión sobre los valores de la TVMR (la
tercera técnica) con la aproximación y resolución de una ecuación diferencial, podrá tener
ciertas ventajas sobre las dos técnicas anteriores. En este sentido, y para fenómenos de esta
naturaleza, creemos que, a pesar de un pequeño coste adicional (una división de valores), la
técnica de regresión sobre los valores de la TVMR será más eficaz que una aproximación a
los correspondientes valores de la TVM.
En el esquema siguiente se presentan algunos ejemplos concretos de sistemas que describen
fenómenos de contagio o de no contagio:
181
publicidad en
facebook
Ciencias
Económicas
venta de un
artículo innovador
(moda)
epidemia (gripe)
TVMR
Ciencias de la
Salud
(fenomenos de contágio)
crecimiento de
bacterias
Informática
vírus informático
Área bajo una curva (que presente
una gran variación)
Matemática
Volumen de un solido de
revolución
Longitud de una curva
Trabajo realizado por una fuerza
(con elevada potencia o rapidez)
TVM
(fenomenos de no contágio)
Espacio recorrido (de un movimiento
uniformemente acelerado)
Física
Elasticidad de un resorte
Ciencias de la
Salud
Cancer como epidemia
Figura 5 –Ejemplos de estudios de algunos sistemas y posibles construcciones de modelos funcionales
matemáticos o extramatemáticos que parten de datos de la TVM o de la TVMR.
Lo que acabamos de plantear respecto a los resultados de la comparación de las tres técnicas
más utilizadas en la modelización funcional científica de datos discretos es completamente
coherente con los criterios generales que hemos utilizado para construir el esquema
presentado en el capítulo III de un posible modelo epistemológico de referencia que articule
la modelización funcional y el cálculo diferencial elemental.
En resumen, podemos sintetizar las tres técnicas descritas para construir modelos
funcionales continuos a partir de datos discretos, como sigue:
182
(a) Partiremos de un conjunto de datos discretos yi de una magnitud continua y que varía
respecto de otra magnitud continua x (que puede ser el tiempo).
(b) El objetivo es encontrar un modelo funcional
que describa dicha variación
aproximadamente.
(c) Dado que partimos de datos discretos, en algún momento del proceso se deberá llevar a
cabo algún tipo de aproximación de dichos datos. Una posibilidad consiste en aproximar
directamente los datos brutos yi mediante algún tipo de regresión, pero existen argumentos
teóricos y datos experimentales (que presentaremos más adelante) que aconsejan (en muchos
casos, dependiendo de la naturaleza del sistema de variación a modelizar) aplicar la
regresión para aproximar la tasa de variación media (TVM) o la tasa de variación media
relativa (TVMR) de dichos datos (dependiendo del tipo de sistema de variación que se está
estudiando).
(d) Una vez aproximada la TVM (o la TVMR) mediante una función g(x) tendremos una
ecuación (aproximada) en diferencias finitas cuya resolución, esto es, el cálculo del término
general yi, puede ser técnicamente bastante compleja.
(e) Para solventar esta dificultad se puede aproximar la ecuación en diferencias finitas
resultante por una ecuación diferencial, y aplicar las potentes técnicas del CDE para obtener
el modelo funcional buscado40.
(f) Una vez construido el modelo funcional
postulamos que el CDE también
desempeña un papel esencial en todas las restantes etapas del proceso de modelización
funcional, esto es, tanto en el trabajo dentro del modelo funcional y la interpretación de este
trabajo en términos del sistema, como en la formulación de nuevas cuestiones, la
elaboración de nuevas hipótesis que tengan en cuenta la necesidad de incluir nuevas
variables y la puesta en marcha de un nuevo proceso de modelización.
40
Por lo que, junto a estos modelos de variación continua, trabajaremos también con los correspondientes
modelos discretos que se materializan mediante ecuaciones en diferencias finitas.
183
1.2. Modelos funcionales construidos a partir de datos continuos
En este apartado suponemos que, para construir el modelo funcional, disponemos de datos
(o formulamos hipótesis) sobre el tipo de variación continua, lo que nos permite construir la
ecuación diferencial que caracteriza el sistema que queremos modelizar. A continuación
presentamos los modelos funcionales continuos que tomaremos en consideración (ver
deducciones en el anexo F).
1.2.1. Formulando hipótesis elementales sobre el tipo de variación continua
1. La derivada de primer orden es constante: modelo lineal continuo
→
2. La derivada de segundo orden es constante: modelo cuadrático continuo
→
3. La derivada de tercer orden es constante: modelo cúbico continuo
→
: modelo exponencial continuo
4. La derivada es proporcional a
→
5. La derivada es una función afín de
: modelo de crecimiento limitado
→
6. La derivada es una función cuadrática de
: modelo logístico continuo
→
7. La derivada de la inversa de
es constante: modelo hiperbólico continuo

→
184
1.2.2. Determinando el tipo de variación continua a partir de las características del
sistema a modelizar
En la sección 8.3 del capítulo III hemos mostrado que, en el paso de Secundaria a la
Universidad, se construyen modelos funcionales para el estudio de la variación de ciertas
magnitudes continuas (como el área de una región plana, la longitud de un segmento de
curva o el volumen de un cuerpo de revolución) utilizando explícitamente el CDE pero, de
tal forma, que el modelo construido no aparece ni se utiliza como tal modelo funcional en la
práctica matemática escolar. En realidad el modelo funcional queda oculto bajo la apariencia
de un simple algoritmo de cálculo (del área de una región plana concreta, de un segmento de
curva o de un determinado cuerpo de revolución). En estos casos no se hace ninguna
hipótesis previa sobre el tipo de variación del modelo funcional a construir.
En lo que sigue describiremos brevemente las etapas de este tipo de proceso de
modelización funcional que, de hecho, es muy general en el ámbito de las ciencias
experimentales y puede considerarse como una generalización del que hemos descrito
anteriormente.
(a) Se supone que el modelo funcional que pretendemos construir, para responder a ciertas
cuestiones problemáticas que surgen en un determinado sistema, se materializa en una
función F(x) derivable en cierto dominio.
(b) En los casos más sencillos, la derivada dF/dx es conocida de antemano, esto es, se trata
de un dato, f(x). En estos casos el modelo algebraico-diferencial toma la forma de una
ecuación diferencial elemental: dF/dx = f(x). Este sería el caso, mencionado anteriormente,
del cálculo del área bajo la gráfica de una función f(x) conocida.
(c) Puede suceder que, aunque la dF/dx no sea conocida de antemano, pueda construirse
exactamente a partir de las propiedades del sistema, a pesar que el propio modelo F(x) no
sea construible directamente a partir de dichas propiedades. Este es el caso, entre otros
muchos, del cálculo de la longitud de una curva mencionado anteriormente. Es interesante
subrayar este hecho (las propiedades del sistema a modelizar permiten determinar dF/dx,
pero no permiten caracterizar directamente el modelo funcional F(x)), porque ésta es una de
las propiedades características de la inmensa mayor parte de los modelos que se expresan
mediante ecuaciones diferenciales.
(d) En el caso más general, las propiedades del sistema a modelizar permiten determinar una
relación entre dF/dx (pudiendo, además, aparecer derivadas de orden superior) y otras
185
funciones conocidas, por lo que puede construirse el modelo algebraico-diferencial
(mediante una ecuación diferencial) cuya función incógnita es la función F(x).
En resumen, se pueden construir modelos a partir de datos discretos o a partir de datos
continuos utilizando diferentes técnicas:
A partir de datos
discretos
Formulando
hipótesis sobre la
variación discreta
Aproximando los
datos por regresión
Construcción de
modelos funcionales
A partir de datos
continuos
Formulando
hipótesis sobre la
variación continua
Tomando en cuenta
propiedades del
sistema a modelizar
Figura 6 –Técnicas para construir modelos a partir de datos continuos o discretos
1.3. Relación entre la variación discreta y la variación continua
En el siguiente cuadro se presenta una síntesis del universo de tipos de variación en el
campo discreto y continuo que tomamos en consideración en esta memoria. Se muestra la
correspondencia que existe entre determinadas ecuaciones en diferencias finitas y las
ecuaciones diferenciales asociadas al mismo tipo de variación, las soluciones de dichas
ecuaciones y la identificación del tipo de modelo construido:
Variación discreta
Variación continua
Tipo de
modelo
construido
Modelo
lineal
Modelo
cuadrático
186
Modelo
cúbico
Modelo
exponencial
Modelo de
crecimiento
limitado
Modelo de
crecimiento
logístico
Modelo
hiperbólico
Tabla 5 – Relación entre los tipos elementales de variación (discreta y continua) que tomaremos en
consideración en los recorridos matemáticos que materializan el MER.
Nótese que podremos tener casos de modelos
cuya variación
solamente depende del
tiempo mientras que en otros casos la variación también depende del propio valor de
.
Existen varios ejemplos de sistemas relevantes científica y socialmente, cuyos modelos se
describen mediante estos tipos de variación funcional elemental. En general se trata de
modelos funcionales continuos que describen sistemas empíricos como, por ejemplo, la
187
propagación de una epidemia, el crecimiento de un tumor o la dinámica de una población.
En todos estos casos, los datos empíricos se toman, en principio, como datos discretos, de
manera que se plantea la cuestión de la necesidad de pasar de la variación discreta a la
variación continua y, en general, de estudiar la relación entre ambos tipos de variación.
Ante todo hay que subrayar que esta problemática está prácticamente ausente en el ámbito
escolar, especialmente en la enseñanza secundaria aunque, tampoco tiene una presencia
significativa en la enseñanza universitaria. A este respecto surgen diferentes cuestiones que
deberíamos tomar en consideración:
 ¿Por qué en la matemática escolar, tanto en la enseñanza secundaria como en los
primeros cursos universitarios, no es habitual dar continuidad a un trabajo con la
variación media (con las diferencias finitas) en un intervalo genérico para construir y
trabajar el modelo algebraico-funcional?
 ¿Por qué en el primer curso de la enseñanza universitaria (y también en la
matemática científica), se pasa directamente a la resolución de las ecuaciones
diferenciales aproximadas y no se trabaja con ecuaciones en diferencias finitas?
La explicación más sencilla e inmediata a estos hechos hace referencia a la economía de las
técnicas matemáticas involucradas en ambos tipos de prácticas. En efecto, a partir de un
cierto tipo de funciones, la función tasa de variación media pasa a ser una herramienta de
elevado coste, con una gran fragilidad técnica y con poca utilidad para estudiar el
comportamiento de una determinada función. De manera que no es por necesidad de rigor
sino por las propiedades de las técnicas involucradas (flexibilidad, fiabilidad y economía)
que pasamos de la tasa de variación media en intervalos particulares a la función derivada
definida en cierto dominio de los números reales. El motivo al que responde este paso no es
otro que las ventajas que la derivada nos proporciona sobre las técnicas algebraicas de
manipulación de ecuaciones en diferencias finitas.
En cuanto que la TVM puede ser trabajada a partir de un conjunto de datos discretos o
continuos, la derivada solo puede ser trabajada en un conjunto de datos continuos y la
mayoría de procesos a modelizar, referentes a situaciones empíricas, parten de una colección
de datos que son discretos, por lo que surge de forma natural la siguiente cuestión:
 ¿Cómo podremos utilizar el CDE para modelizar un fenómeno cuando solo
poseemos datos discretos?
188
Muchos modelos funcionales parten de datos discretos y, posteriormente, utilizan las
ecuaciones diferenciales del modelo algebraico-diferencial para encontrar el modelo
algebraico-funcional. Una justificación para esta rápida transición del dominio discreto al
dominio continuo está relacionada con el hecho de utilizar un número suficientemente
elevado de datos discretos reales lo que les garantiza una convergencia asintótica de esta
aproximación.
Por otro lado, si sólo se dispone de un número reducido de datos discretos no se podrán
utilizar los modelos algebraico-diferenciales ya existentes para modelar el fenómeno en
cuestión debido a que no se podrá trabajar con ecuaciones diferenciales. Así, como proceso
alternativo, y en el caso que se cumplan las condiciones experimentales e informáticas para
tal procedimiento, se puede recurrir a mecanismos automáticos de interpolación, regresión,
etc. para aproximar los datos discretos mediante una función continua.
Por ejemplo, Alexandra Oliveira en su tesis de máster acerca de la “Multi-resistência e
reinfecção na dinâmica da tuberculose”, haciendo referencia a Hethcote H. W. (2000), ha
justificado la transición del trabajo de los datos brutos discretos a la construcción de un
modelo epidemiológico basado en varias ecuaciones diferenciales, del siguiente modo:
[…] Para um determinado instante de tempo t, representamos por I(t), S(t), L(t), T(t) e P(t) o
número de indivíduos infecciosos, susceptíveis, latentes, tratados e profilácticos na população
nesse instante de tempo, respectivamente. […] Para cada instante de tempo, cada uma das
funções anteriores representa o número de indivíduos de uma classe epidemiológica nesse
instante de tempo devendo portanto tomar valores inteiros. Como o tempo é uma variável real
essas funções não podem ser sequer contínuas. Para ultrapassar este problema procedemos de
forma standard e aproximamo-las por funções diferenciáveis, de classe
. Os erros de
aproximação são pequenos pois o número de indivíduos em cada classe é elevado […]. (Oliveira,
2006, p. 19)
Así, como habíamos postulado anteriormente, y a la semejanza de otras investigaciones en el
ámbito de las matemáticas aplicadas, no es común un trabajo desarrollado con las
diferencias finitas pero, por el contrario, es habitual la identificación inmediata de las
ecuaciones diferenciales que describen la evolución del fenómeno en estudio.
Este procedimiento usual está de acuerdo con el origen histórico y el desarrollo de las
técnicas asociadas a las diferencias finitas. Se considera que el primer descubrimiento
matemático de Gottfried Leibniz, en 1672, consistió en el desarrollo de una técnica que
permitía usar las diferencias para sumar los números. Algunos años más tarde, Leibniz ha
189
insistido en que vislumbraba en la relación inversa entre las operaciones matemáticas suma
y diferencia una relación entre la derivación y la integración.
Pérez París, Arturo y Gutiérrez Muñoz, en 2002, abordaron el paralelismo entre la
resolución de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en diferencias. Al partir del estudio
de un caso particular muy simple de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (no
homogénea con coeficientes constantes) utilizaron el método de las diferencias finitas.
Llegaron a la conclusión de que el método de la recurrencia puede ser muy útil en los casos
más sencillos, pero consideran que en la mayoría de los planteamientos se debe recurrir a
otras herramientas que aseguren la obtención de las soluciones, sin necesidad de utilizar
complejos y tediosos cálculos. Así, describen las siguientes limitaciones del método de las
diferencias finitas de resolución numérica de ecuaciones diferenciales:
- Las aproximaciones dan resultados muy imprecisos en los valores de las derivadas, salvo que se
elijan pasos muy pequeños, haciendo el cálculo excesivamente largo en el tiempo.
- Los errores de redondeo pueden conducir a inestabilidades de la solución numérica (bien
oscilaciones, bien divergencias).
(Pérez, Arturo & Gutiérrez, 2002, p.16)
Esta idea fue también reforzada por Isabel Espírito Santo (2001) que refiere que:
Uma aproximação numérica conseguida através das diferenças finitas é geralmente muito
dispendiosa, logo também inconveniente. […] Os modelos diferenciais parecem ser
suficientemente satisfatórios para muitos processos físicos, mecânicos e económicos pois as
perturbações iniciais são rapidamente anuladas nos processos reais e são excluídas de um modelo
processual (Espírito Santo, 2001, p. 40-41, p. 9).
Los mismos autores acrecientan que los modelos diferenciales son representados por una
relación funcional entre una función y sus funciones derivadas, y que fueron inicialmente
desarrollados para describir únicamente procesos dinámicos, o sea, fenómenos temporales
(cuya variable independiente es el tiempo).
Así, los estudios científicos parecen poner de manifiesto que, en la tarea de construir,
trabajar, manipular e interpretar un modelo funcional, las técnicas de resolución de las
ecuaciones en diferencias finitas son más trabajosas, menos económicas y revelan un menor
alcance que las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales.
190
2. Construcción de algunos recorridos matemáticos a priori que encarnan el
modelo epistemológico de referencia
La inmensa mayoría de los modelos funcionales propuestos por los matemáticos aplicados o
por los ingenieros están formulados en términos de ecuaciones diferenciales. Esta
constatación sugiere que los componentes de la organización matemática en torno al cálculo
diferencial elemental en el paso de Secundaria a la Universidad, podrían constituir
herramientas esenciales para llevar a cabo el estudio de los modelos funcionales. Al intentar
profundizar en la relación entre los modelos funcionales y el cálculo diferencial, surgen
cuestiones tales como:
-
¿Por qué los modelos funcionales relativos a fenómenos físicos, biológicos,
económicos, geográficos, geológicos, químicos (o de cualquier otro ámbito) se
expresan mediante ecuaciones diferenciales?
Una posible respuesta a esta cuestión podría estar relacionada con el hecho que, en muchos
casos, la mejor forma de caracterizar una función viene dada precisamente en términos del
tipo de variación que la función define. Pero existen, además, razones intrínsecas a ciertos
fenómenos que permiten afirmar que la mejor forma de caracterizar su evolución se obtiene
trabajando con la tasa de variación media relativa. En efecto, en muchos casos, la tasa de
variación media relativa se aproxima bien mediante una función elemental, mientras que si
tomamos los datos brutos la aproximación es mucho más problemática. Este hecho,
contrastado empíricamente en muchas investigaciones, permite obtener mediante algún tipo
de interpolación, una función elemental que aproxima “bien” la tasa de variación media
relativa de la función incógnita. A continuación se identifica la ecuación en diferencias
finitas con una ecuación diferencial cuya resolución nos proporciona una solución
aproximada al problema.
Todo ello refuerza nuestra hipótesis básica según la cual una posible razón de ser del cálculo
diferencial en la enseñanza secundaria y en los primeros cursos universitarios puede situarse
en el ámbito de la modelización funcional. Y, dentro de este ámbito, una de las razones de
ser del cálculo diferencial elemental reside en su economía y operatividad para construir
modelos funcionales, para trabajar en todas las etapas del proceso de modelización funcional
y para responder a muchas de las cuestiones que se plantean tanto en el sistema modelizado
como en el propio modelo.
191
En la sección 2 del capítulo III de esta memoria hemos presentado un diagrama de actividad
de modelización funcional que constituye un esquema global, a modo de mapa de posibles
recorridos, que representa el modelo epistemológico de referencia. Sobre este mapa pueden
diseñarse diferentes recorridos matemáticos (RM) definidos a priori. Cada uno de estos
recorridos parte de una cuestión problemática inicial (que surge en cierto sistema
matemático o extramatemático) y toma la forma de un proceso de modelización funcional
encaminado a responder a la citada cuestión inicial, así como a las cuestiones derivadas que
surjan a lo largo del proceso. En lo que sigue vamos a describir con cierto detalle algunos de
estos recorridos matemáticos que representaremos mediante las siguientes etiquetas:
Partiendo
de datos
continuos
Q0 :
Cuestiones
problemáticas
iniciales
RM2
RM3
RM4
RM5.1.
RM5
RM5.2.
Partiendo
de datos
discretos
RM1.1.
RM1
RM1.2.
RM1.3.
RM1.1.1.
RM1.1.2.
RM1.2.1.
RM1.2.2.
RM1.3.1.
RM1.3.2.
RM1.1.2.1.
RM1.1.2.2.
RM1.2.2.1.
RM1.2.2.2.
RM1.3.2.1.
RM1.3.2.2.
Figura 7 –Etiquetas que emplearemos para representar algunos de los recorridos matemáticos a priori que
encarnan una posible representación del MER.
De acuerdo con las distintas posibilidades que proporciona el diagrama de actividad de
modelización funcional, se podrán articular sus componentes, acciones o tareas siguiendo
diferentes RMs a priori. Para describir con más detalle la articulación de las referidas tareas
en un RM, presentaremos algunas posibles técnicas útiles para resolverlas y aludiremos al
discurso tecnológico-teórico que justifican la utilización de dichas técnicas.
192
De entre las diferentes posibilidades, en lo que sigue describiremos solamente los cinco
recorridos matemáticos representados por etiquetas en la Figura 7 (y algunos de sus subrecorridos). Más adelante, en el capítulo V de esta memoria, presentaremos los resultados de
una experimentación de recorridos de estudio e investigación, basados en estos cinco
recorridos matemáticos, llevada a cabo con estudiantes universitarios portugueses de
Medicina Nuclear.
2.1. Modelo funcional «exacto» a partir de datos discretos – RM1
Este recorrido se inicia construyendo diferentes tipos de modelos numéricos y gráficos, tanto
de datos «brutos» como de la tasa de variación media (TVM) como de la tasa de variación
media relativa (TVMR), esto es, los modelos tabulares variacionales. Sin embargo, mientras
que en otros recorridos matemáticos (que se describen más adelante, por ejemplo, en el
RM5) se aplican directamente, y de modo exploratorio, diferentes tipos de regresiones sobre
los datos de variación (TVM o TVMR), aquí se optará por el estudio a priori del tipo de
variación de los datos y se harán hipótesis sobre dicho tipo de variación. Supongamos que, a
partir de los modelos tabulares sea posible formular ciertas hipótesis sobre la variación de
los datos brutos y comprobar que la TVM (o la TVMR) cumple cierta propiedad elemental.
Nos restringiremos a un conjunto de propiedades que caracterizan cierto universo de los
modelos discretos elementales (ver Tabla 1).
Así, al seguir el diagrama de actividad, dependiendo de si se obtienen respuestas positivas o
negativas a las diferentes hipótesis sobre la variación (representadas por los “rombos de
decisión”
) se pueden seguir diferentes sub-recorridos que conducen a la construcción
de diferentes tipos de modelos elementales, tales como:
 RM1.1. - modelo polinómico
 RM1.2. - modelo exponencial
 RM1.3. – otro modelo elemental
De este modo, se considera el RM1.1. como el sub-recorrido matemático que describe el caso
en que las diferencias finitas (valores de la TVM) sean constantes para algún orden
De
este modo, al obedecer a la primera hipótesis se torna posible la construcción del modelo
algebraico-variacional discreto mediante una ecuación en diferencias finitas
y
se continúa trabajando en el campo discreto hasta construir el modelo polinómico
algebraico-funcional discreto (RM1.1.1) o, en un determinado momento, se podrá pasar a
193
trabajar en el campo continuo41 con la finalidad de construir el modelo algebraico-funcional
continuo (RM1.1.2.).
Sin embargo, de modo análogo, cada uno de los sub-recorridos RM1.2. y RM1.3. puede
descomponerse en 2 sub-recorridos (RM1.2.1., RM1.2.2. y RM1.3.1., RM1.3.2.) y, además dos de
estos últimos pueden también ser descompuestos en otros 2 sub-recorridos (ver Figura 7).
Al proseguir por el primer camino de forma independiente, podrá desarrollarse una actividad
matemática que permita la construcción de un modelo en el campo discreto.
2.1.1. Modelo discreto sin aplicar regresiones - RM1.1.1., RM1.2.1. , RM1.3.1.
Así, por ejemplo, al seguir el RM1.1.1. que, como se ha descrito en la sección anterior, parte
de la ecuación en diferencias finitas
, se identifica, de modo «exacto», su solución
general con una familia de funciones polinómicas de grado
:
Esta familia, como tal, se sitúa en el segundo nivel de modelización funcional en el sentido
de Ruiz-Munzón (2010).
Para descubrir los valores de todos los parámetros
del modelo polinómico y así, construir
una solución particular de la ecuación en diferencias finitas (pasando al primer nivel de MF)
se utilizan técnicas algebraicas “con lápiz y papel” como, por ejemplo, la técnica de los
coeficientes indeterminados (lo que requiere la resolución de un sistema de
ecuaciones lineales con
incógnitas) o la técnica de los mínimos cuadrados. Esta
solución particular de la ecuación en diferencias finitas corresponderá al modelo algebraicofuncional discreto «exacto» que mejor describe el sistema. En el tercer estadio del proceso
de MF, se trabaja dentro de ese modelo discreto para responder a las cuestiones
problemáticas iniciales
y se interpretan los resultados de ese trabajo en términos del
sistema. A partir de ahí surgen nuevas cuestiones problemáticas y se formulan nuevas
hipótesis, lo que conducirá a un nuevo sistema, iniciándose un nuevo proceso de
modelización funcional.
41
Sería interesante que los estudiantes pudiesen vivir estos dos sub-recorridos para que, al final, comparasen la
economía de las técnicas discretas con las técnicas del CDE, tanto en la construcción de los modelos como en
la manipulación y trabajo de los mismos.
194
Figura 8 - Modelo polinómico discreto sin aplicar regresiones - RM1.1.1.
En el caso en que las diferencias finitas (valores de la TVM) no sean constantes, pero sus
valores dependan linealmente de los datos brutos para algún orden
se construye el modelo
algebraico-variacional mediante una ecuación en diferencias finitas:
cuya solución general es una familia de progresiones geométricas (ver anexo F):

→
De modo análogo al RM1.1.1., la determinación del valor del parámetro y la construcción de
una solución particular de la ecuación en diferencias finitas, pueden conducir, en este caso,
a la construcción del modelo exponencial discreto mediante el RM1.2.1.
195
Figura 9 - Modelo exponencial discreto sin aplicar regresiones - RM1.2.1.
En el caso en que las diferencias finitas (valores de la TVM) no sean constantes, ni sus
valores dependan linealmente de los datos brutos para algún orden pero, sin embargo, se
puede verificar que la TVM cumple alguna otra propiedad elemental descrita en la tabla de
la caracterización de los diferentes tipos de variación discreta y continua, se construye el
modelo algebraico-variacional discreto correspondiente mediante una ecuación en
diferencias finitas cuya solución general es una familia de funciones cuya variación cumple
dicha propiedad elemental.
Análogamente a los RM anteriores, la determinación de los valores de los parámetros, y
consecuente construcción de una solución particular de la ecuación en diferencias finitas,
pueden conducir, en este caso, a la construcción del modelo elemental discreto mediante el
RM1.3.1. en el supuesto que se disponga de suficientes datos para determinar el valor de los
parámetros.
196
Figura 10 - Modelo elemental discreto sin aplicar regresiones - RM1.3.1.
En el caso en que las diferencias finitas (valores de la TVM) no cumplan ninguna de las
propiedades elementales descritas en la Tabla 1, se podría experimentar, por ejemplo con el
software GeoGebra, la aplicación sobre los datos de la TVM de regresiones compuestas por
las regresiones elementales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, logísticas, etc.). Al
seguir este recorrido matemático el objetivo no sería trasladar el trabajo al campo continuo,
pero extraer la idea del tipo de comportamiento de la variación, o sea, permitir la
construcción de un posible modelo algebraico-variacional en el campo discreto (ecuación
en diferencias finitas). Dado el elevado coste que podría advenir de la resolución de dicha
ecuación, no se desarrollará en esta memoria tal recorrido matemático.
Sin embargo, muchas veces, mismo cuando las diferencias finitas (valores de la TVM)
cumplen alguna de las propiedades elementales, las técnicas algebraicas “con lápiz y papel”
utilizadas para construir una solución particular de la ecuación en diferencias finitas podrán
ser demasiado costosas. Por ejemplo, para intentar construir un modelo que permita
197
describir el comportamiento de 5 datos discretos se tomaría un modelo polinómico42 discreto
general de grado 4
y se determinarían sus parámetros
por el método de los coeficientes indeterminados:
Dado el elevado coste de la técnica de resolución del sistema anterior, habría necesidad de
buscar una técnica más económica que podría ser, por ejemplo, una conjugación de las
siguientes técnicas automáticas:
técnica de exploración: la manipulación de los parámetros para encontrar el modelo que
mejor se ajuste a los puntos;
técnica de validación: la utilización directa de los comandos “polinomio” interpolador o
regresiones polinómicas (estando subyacente la teoría de los mínimos cuadrados).
Dichas técnicas se pueden llevar a cabo con, por ejemplo, el software GeoGebra.
Así, como alternativa será posible, en algún momento, trasladar el sub-recorrido matemático
desarrollado únicamente en el campo discreto al campo continuo mediante otros subrecorridos.
2.1.2. Modelo discreto-continuo - RM1.1.2., RM1.2.2., RM1.3.2.
Así, por ejemplo, en el caso de que el desarrollo del RM1.1.1. se volviese muy costoso, la
determinación de los parámetros del modelo discreto, se podría pasar a seguir el RM1.1.2. por
dos caminos distintos: mediante una técnica de aproximación de la ecuación en diferencias
finitas a una ecuación diferencial cuya solución será un modelo algebraico-funcional
continuo (RM1.1.2.1.) o mediante una técnica automática de aplicación de regresión
polinómica43 para calcular los parámetros del modelo (RM1.1.2.2.).
42
Sabiendo que para puntos discretos existe siempre un «polinomio interpolador» de grado no superior a
que pasa exactamente por esos puntos, o sea, que verifica determinadas condiciones.
43
De acuerdo con el tipo de modelo elemental del cual se pretenda descubrir los parámetros se podrá aplicar
regresión exponencial, logística o de otro tipo de variación elemental. Caso de ser exponencial tal
corresponderá al seguimiento del RM1.2.2.2., caso de ser otro tipo corresponderá al seguimiento del RM1.3.2.2.. Sin
embargo, una vez que el modelo exponencial presenta un único parámetro es natural que no se sienta un
elevado coste técnico en el proceso de su construcción (ver anexo F).
198
2.1.2.1. Modelo discreto-continuo sin aplicar regresiones – RM1.1.2.1., RM1.2.2.1., RM1.3.2.1.
La comparación de la economía de las técnicas discretas y las del CDE en el proceso de
construcción de modelos funcionales polinómicos de grado
podrá revelar una gran
diferencia en términos del coste técnico de resolución de ecuaciones en diferencias finitas
relativamente al coste técnico de resolución de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo,
al comparar las técnicas de construcción del modelo cúbico discreto con las de construcción
del modelo cúbico continuo (partiendo de que la variación/derivada de tercer orden es
constante) presentadas en el anexo F de esta memoria.
Se presenta en la figura siguiente, un ejemplo de un recorrido matemático que podrá permitir
la construcción de un modelo polinómico discreto-continuo sin que haya necesidad de
aplicar regresiones polinómicas (RM1.1.2.1):
Figura 11 - Modelo polinómico discreto-continuo sin aplicar regresiones polinómicas - RM1.1.2.1.
199
2.1.2.2. Modelo discreto-continuo con aplicación de regresión para calcular parámetros RM1.1.2.2., RM1.2.2.2., RM1.3.2.2.
Mediante una técnica de regresión “automática” sobre los datos discretos (para calcular los
parámetros del modelo) cuya aplicación surge como resultado de un cuestionamiento
tecnológico: cuando el valor del
es muy elevado, basta que sea mayor que 2, esta técnica
es mucho más económica que las técnicas algebraicas asociadas a la determinación de los
parámetros de un modelo polinómico por el método de los coeficientes indeterminados.
Así, se presenta aquí un ejemplo de un recorrido matemático que podrá permitir la
construcción de un modelo polinómico mediante la aplicación de una regresión automática
polinómica para calcular los parámetros del modelo (RM1.1.2.2):
Figura 12 - Modelo polinómico discreto-continuo con aplicación de regresión polinómica para calcular
parámetros- RM1.1.2.2.
Sin embargo, se puede postular que estos dos últimos recorridos, tanto en el caso en que se
utilicen técnicas “manuales” como en el que se haga uso de técnicas “automáticas”,
conducirá a la construcción del modelo algebraico-funcional continuo «exacto» que permite
describir el sistema y que será explorado e interpretado en el tercer y cuarto estadio de MF.
200
Ejemplo: Decaimiento radioactivo
Se podrá partir de la siguiente cuestión generatriz:
¿Cómo preparar e administrar un radiofármaco para diagnosticar el cáncer de tiroides?
En la preparación de estos radiofármacos pueden surgir las siguientes cuestiones:
¿Cómo varía la masa de un isotopo radioactivo a lo largo de su desintegración?
En la busca de una primera respuesta a
se sugiere tomar como base la investigación desarrollada
por Hidalgo, Wright & Wooten (1967)44 relativa a la previsión de Technetium-99m y que describe el
caso del generador 99Mo/99mTc en que la actividad del radionúclido “hijo” (99mTc) va a aumentar
a la medida que el radionúclido “padre” (99Mo) va decayendo.
¿Cómo varía la masa del Molibdénio-99 después de su desintegración?¿Qué modelo
algebraico-funcional podría describir el sistema?
Al extraer los datos discretos del artículo se podrá construir la siguiente tabla:
Actividad de molibdénio-99
Tiempo t
(horas)
(% de la actividad medida inicialmente )
0
4
8
12
16
20
24
28
100
96
92.1
88.3
84.7
81.3
78
74.8
32
71.7
36
68.8
40
66
44
63.3
48
60.7
45
representa el número de átomos presentes de molibdénio-99 relativamente al número de átomos inicial (% de
átomos relativa al inicial). En este estudio, consideraron
Tabla 2 - Decaimiento de molibdénio-99 en 2 días medido de 4 en 4 horas.
Represente en una tabla de valores la variación media (y relativa) de la masa en
.
Estudie la variación y una relación entre las variables usando únicamente técnicas en el
campo discreto (diferencias finitas).
44
Estudio que ha generado el desarrollo de la Medicina Nuclear: Hidalgo, J.; Wright, R.; Wooten, M. (1967).
Prediction of Technetium-99m Yield from Molybdenum-99 Generators. The Journal of Nuclear Medicine, 8,
426-429.
45
En otras palabras, representa el porcentaje de masa inicial de molibdénio-99 que aún no hay desintegrado
(que aún es posible de medir).
201
Para responder a esta cuestión se puede tomar en consideración que los isótopos radioactivos
decaen de manera espontánea y estudiar su variación con una tabla de valores (construir el modelo
numérico variacional):
Variaciones de la masa (TVMm y TVMRm) y 1ª diferencias finitas de la TVMRm
Con estos valores ya se pueden formular hipótesis sobre la variación de los datos. Así,
siguiendo el RM1 se puede indagar la veracidad de la primera hipótesis del diagrama de actividad, o
sea, si ¿La TVM (diferencias finitas) es constante, o aproximadamente constante, para algún orden
?. Como, en este caso, la respuesta parece ser negativa, se intenta estudiar otro tipo de relaciones
entre las variables como, por ejemplo: ¿La TVM depende linealmente de los datos brutos?, o sea,
¿La TVMR es constante?, ¿Será que
?
Al analizar la tabla se observa que la TVMR es prácticamente constante en el tiempo
y, consecuentemente, sus primeras diferencias finitas son nulas, lo que significa también que
la TVM es aproximadamente lineal a la función masa, o sea, se puede resolver la ecuación en
diferencias finitas46:
Variación
es proporcional a
Así, partiremos de la relación
En particular,
, que significa que
, …,
,
O sea, cuando la variación
es proporcional al valor de la sucesión
construyendo una sucesión geométrica.
Sabiendo que
, entonces estamos
, se obtiene el modelo algebraico-funcional discreto exponencial:
,
Con el modelo construido se podría trasladar el estudio al 3.º estadio de MF, siguiendo trabajando e
interpretando el modelo funcional discreto para responder a otras cuestiones problemáticas.
46
Para resolver esta ecuación en diferencias finitas vamos a retomar lo estudiado anteriormente en la
construcción de modelos discretos por formulación de hipótesis sobre la variación discreta (ver sección 1.1.1
de este capítulo y anexo F).
202
Y si la substancia radioactiva fuese el radio-226, el carbono-14 o el xenon-133,
¿Cómo varía su masa después de su desintegración?
¿Cómo varía la masa del Xenon-133 después de su desintegración?¿Qué modelo
algebraico-funcional podría describir el sistema?
Partiendo de un estudio descrito en el articulo “Monitoring Radioactive Xenon Gas in Room Air
Using Activated Charcoal", Journal of Nuclear Medicine Technology, Marzo, 1990, cuyo objetivo
consistía en investigar el uso del carbono activado como un medio de control a la exposición a la
radiación por los funcionarios durante la ejecución de estudios con Xenon-13347. Parte del estudio ha
incluido la utilización de parámetros de referencia para evaluar/comparar la eficiencia en la
absorción del carbono activado. Cuando estaba expuesto a este isotopo radioactivo, el
técnico/funcionario debería usar máscara facial o estar en una atmosfera ventilada para que estas
condiciones no interfiriesen en la evaluación de los efectos de la exhalación del Xenon-133. Así, en
estas condiciones, fueron recogidos 111 MBq de Xenon-133 para un tubo y la cantidad exacta de
radioactividad ha sido medida en un calibrador de dosis periódicamente durante 31 días. Los
resultados fueron los siguientes:
Tiempo t
(días)
Actividad A
(% de la actividad medida inicialmente48)
0
5
11
15
18
21
24
32
100
51.7
23.5
13.8
9.2
6.3
4.4
1.5
Tabla 3 - Decaimiento medio de Xenon-133 en el calibrador de dosis
Análogamente al estudio anterior del Molibdénio-99, de acuerdo con los datos recogidos en este
estudio, se pueden proponer las siguientes tareas más específicas:
Represente en una tabla de valores la variación media (y relativa) de la masa en
.
: Estudie la variación y una relación entre las variables usando únicamente técnicas en el
campo discreto (diferencias finitas).
De modo análogo al caso anteriormente estudiado, para responder a esta cuestión se puede
tomar en consideración que los isótopos radioactivos decaen de manera espontánea y estudiar su
variación con una tabla de valores (construir el modelo numérico variacional):
47
Este radioisótopo es frecuentemente utilizado en mediciones del cerebro y del flujo sanguíneo.
En otras palabras, representa un porcentaje de masa inicial de Xenon-133 que aún no se desintegró (que aún
es posible medir).
48
203
Variaciones da masa (TVMm y TVMRm) y 1ª diferencias finitas da TVMRm
De modo análogo al anterior, se observa que la TVMR es prácticamente constante en el
tiempo
y, consecuentemente, sus primeras diferencias finitas son casi nulas, lo que
significa también que la TVM es aproximadamente lineal a la función masa, o sea, podremos
resolver la ecuación en diferencias finitas.
Así, partiremos de la relación
En particular,
Sabiendo que
, que significa que
, …,
,
, obtenemos el modelo algebraico-funcional discreto exponencial:
,
Con el modelo construido se podría trasladar el estudio al 3.º estadio de MF, siguiendo trabajando e
interpretando el modelo funcional discreto para responder a otras cuestiones problemáticas.
Institucionalización
Las respuestas (modelos) a las cuestiones
y
conducen a una ampliación de las praxeologías
matemáticas a estudiar, puesto que se pasa de un modelo funcional particular a una familia de
modelos funcionales. De un modo general, podremos decir que:
Cuando una substancia radioactiva se desintegra, su masa, medida en gramos,
varía de acuerdo con un modelo funcional de la familia
En que la variable t representa el tiempo, medido en milenios, transcurrido desde
un cierto instante inicial.
En este punto, ya se podría trabajar en el segundo nivel de MF y determinar los valores de los
parámetros. Por ejemplo:
Las fuentes radiactivas de Radio-226 (Ra-226) en agujas y tubos fueron empleadas en
tratamientos médicos de oncología durante el siglo pasado49. Debido a su largo periodo de
semi-desintegración (la actividad de las fuentes de Ra-226 solo se reduce a la mitad
transcurridos 1064 años), siguen siendo activas y lo serán durante muchos años más.
49
La terapia usando este radioisótopo dejó de emplearse debido a diversas razones, tales como la posible
contaminación por causa del radón gas, emitido en caso de fisuras, y las altas tasas de dosis para personal
asistencial. Comenzaron a emplearse radioisótopos artificiales alternativos más seguros (Cs-137, Ir-192, I-125
etc.). Fuente: http://www.enresa.es/actividades_y_proyectos/otras_actividades/fuentes_radio (consultado en
05-08-2014).
204
Se sabe que, para el Ra-226, el valor de
. Verifique que, cualesquiera que sean los
valores de y de ,
es constante. Determine el valor de esa constante (con 1 c.d.) e
interprete ese valor, en el contexto de la situación.
Esto significa que, durante el proceso de desintegración del radio-226, su masa
disminuye a la mitad, siempre que pasen 1600 años.
2.2. Modelo funcional «exacto» a partir de datos continuos - RM2
En el caso más sencillo el modelo funcional es, en sí mismo, un dato. En un caso más
general puede suceder que, sin que el modelo funcional sea un dato del problema, los datos
permitan construirlo. Se puede pasar así de inmediato al trabajo dentro del modelo continuo
para responder a las cuestiones problemáticas iniciales recurriendo, entre otras, a las técnicas
del CDE. Este trabajo producirá resultados que van a ser interpretados en términos del
sistema y, esa interpretación conducirá a la formulación de nuevas cuestiones problemáticas,
nuevas hipótesis, nuevos modelos y nuevos sistemas, y, por tanto, al inicio de nuevos
procesos de modelización funcional. La ruta que sigue este recorrido matemático dentro del
diagrama de actividad es la siguiente:
Figura 13 – Modelo funcional «exacto» a partir de datos continuos - RM2
205
Ejemplo: Variación de la concentración de un radiofármaco
Para estudiar este sistema se pueden plantear o inducir al planteamiento de, por ejemplo, las
siguientes cuestiones:
¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de
un paciente t minutos después de su administración?
¿Qué tipo de modelo funcional podría caracterizar este sistema?
¿Se puede afirmar que la concentración aumenta siempre con el tiempo?
¿Cómo varía esa concentración a lo largo del tiempo?
¿A partir de qué momento se inicia la eliminación progresiva del radiofármaco del plasma
sanguíneo? ¿Cuál es el valor de la concentración en ese momento?
¿En qué momentos la concentración decrece más rápidamente?
Algunas respuestas posibles y esperadas:
Resultante de una investigación en manuales escolares o en internet, se esperan diferentes
respuestas tales como: modelos exponenciales, modelos racionales, modelos polinómicos o de otro
tipo, tanto en el 1.º, 2.º o mismo en el 3.º nivel de modelización funcional. Sin embargo, en un primer
momento se trabajará únicamente con modelos con una variable y sin parámetros.
De una vasta gama de posibles modelos vamos a centrarnos en la exploración de algunos de ellos, lo
que nos obligará a buscar otras técnicas matemáticas que van a enriquecer y a potenciar nuestro
trabajo. Por ejemplo:
M1: ¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma
sanguíneo de un paciente t minutos después de su administración, sabiendo que la
concentración (medida en miligramos por litro) viene dada por la función
?
M2: Y si el modelo fuese de otro tipo, por ejemplo, el modelo racional
M3: Y si el modelo fuese de otro tipo, por ejemplo, el modelo definido por trozos
que
representa
la
concentración en un cuerpo50, en
(parte por milión), de una cierta dosis de un
medicamento, horas después de ser ingerido?
Aquí se pretendía utilizar técnicas algebraicas y gráficas para estudiar ciertas características de
los diferentes modelos sugeridos por la potencial comunidad de estudio como, por ejemplo: el
dominio y recorrido, el signo de la función, los ceros, la continuidad, las asíntotas, la paridad, la
monotonía y los extremos.
En particular, para estudiar la monotonía se podría verificar, utilizando herramientas del CDE, si el
signo del modelo diferencial (la función derivada) se mantiene siempre positivo.
En esta respuesta se calculaba el límite a infinito, verificando la existencia o no de asíntotas
del modelo grafico-funcional.
De acuerdo con el tipo de modelo funcional elegido, se podrían utilizar distintas técnicas para
determinar el máximo del modelo. Se pretende comparar la economía y validez de esas mismas
técnicas:
50
Aquí, podremos considerar que esta situación resulta del estudio del sistema anterior “ampliado” para
también se modelizar la concentración de un medicamento en un cuerpo (en general) y no, únicamente, en el
torrente sanguíneo.
206
Tipo de modelo funcional
Modelo cuadrático
Modelo polinomico de grado
superior a 2, exponencial,
trigonométrico, racional, etc.
Restricciones
con 2 ceros
sin 2 ceros
____________
Modelo definido por trozos
La función no es derivable en
el punto correspondiente al
extremo
Modelo de varias variables51
_____________
Técnica adecuada
Punto medio de los ceros
Vértice de la parábola
Derivada
Gráfica automática
(determinar valor
aproximado por
observación)
Gradiente
Tabla 4 – Síntesis del cuestionamiento tecnológico de las técnicas de optimización.
Aquí se pretende mostrar la utilidad de la función derivada segunda como herramienta del
CDE para estudiar la variación de la variación de un modelo funcional. Tal interpretación se podría
hacer por técnicas algebraicas o gráficas.
Figura 14 – Dispositivo de GeoGebra para determinar en qué momento la variación de la concentración
es mínima (más negativa) en el modelo racional M2.
51
En esta memoria no trabajaremos con modelos funcionales de varias variables por no formar parte del
ámbito institucional en el que nos situamos.
207
Una posible ampliación de la situación inicial podrá surgir de la necesidad de comparar la
evolución de la concentración del radiofármaco en dos organismos diferentes como, por
ejemplo:
: En un examen de diagnóstico del cáncer de tiroides la concentración del radiofármaco en el plasma
sanguíneo observada en cada instante de tiempo depende de varios factores. Suponiendo que fue administrada
la misma dosis del radiofármaco, en un cierto momento y en las mismas condiciones exteriores, a dos
pacientes, María y Luís, cuya concentración en el plasma viene descrita, respectivamente, por los
modelos
y
, ¿cómo se puede comparar la variación de las dos concentraciones?
Se requiere, en definitiva, una verdadera ampliación de la anterior praxeología con nuevas
tareas, nuevas técnicas y un nuevo y más comprensivo discurso tecnológico-teórico (o sea,
en términos del diagrama de actividad de modelización funcional, este paso representa una
transición del 4.º estadio de MF al 1.º estadio de MF con el estudio de un nuevo sistema y la
formulación de nuevas hipótesis).
Para ello se podría plantear el problema de ampliar el modelo funcional estudiado
anteriormente de tal manera que el modelo generalizado pudiese ser aplicado,
simultáneamente, a diferentes tipologías de pacientes. La concentración del radiofármaco en
el plasma sanguíneo, para cada tipo de pacientes, debería entonces caracterizarse por el valor
de parámetros (a > 0 y
) que depende, a su vez, de determinadas características
fisiológicas comunes a los pacientes de cada tipo. Entre los modelos que podrían aportar los
estudiantes para generalizar el modelo que aparece en Q21 podremos considerar el que
proponemos en Q’21:
Caso general:
: ¿Cómo estudiar la variación de la concentración del radiofármaco en el plasma sanguíneo de un
determinado paciente suponiendo que, t horas después de ingerido el medicamento, la concentración en el
plasma puede ser representada por el modelo algebraico-funcional
donde a y k son constantes
positivas?
: ¿Cómo depende, en cada caso, el comportamiento de la función concentración
del valor del
parámetro ? ¿En qué momento la concentración
es máxima? ¿Cuál es el valor de esa concentración
máxima? (A)
¿Cómo depende, en cada caso, el comportamiento de la función concentración
del valor del
parámetro ? ¿En qué momento la concentración
es máxima? ¿Cuál es el valor de esa concentración
máxima? (B)
: ¿Qué características comunes presentan sus gráficos?
De acuerdo con la situación problemática, formule algunas hipótesis para posibles características del sistema
que pueden estar representadas por los parámetros y del modelo funcional.
Algunas respuestas posibles y esperadas:
Para estudiar la variación de la concentración en función de , se pueden representar las
gráficas de la familia
para diferentes valores de con el GeoGebra:
208
Para
Para
Para
Para
Figura 15 – Influencia del parámetro
sobre la concentración del radiofármaco para una
fijada.
Se observa que un aumento del valor del parámetro , provoca una dilatación vertical del gráfico de
, lo que implica una mayor variación de la concentración del radiofármaco en el plasma, lo
que significa que alcanzará un valor máximo aún más elevado.
Para estudiar la variación de la concentración en función de , se pueden representar,
con el GeoGebra, las gráficas de la familia
para los diferentes valores de :
209
Para
Para
Para
Para
Figura 16 –Influencia del parámetro
sobre la concentración del radiofármaco para una
fijada.
Se observa que cuanto mayor es el valor del parámetro
menor es el valor máximo de la
concentración (se produce un achatamiento del gráfico de la función).
: Al comparar los diferentes modelos gráficos obtenidos para responder a
(Figura 15), se
observan algunas características comunes a los modelos de la misma familia: presentan la misma
función derivada, la misma forma gráfica, alcanzan diferentes valores máximos en el mismo
momento. Al comparar los diferentes modelos gráficos obtenidos para responder a
(Figura 16),
se observan algunas características semejantes, pero el instante en que se alcanza la concentración
máxima es diferente para cada uno de los modelos de la familia (este instante depende del parámetro
).
Una vez que fue administrada la misma dosis del radiofármaco en el mismo momento a dos o más
pacientes y en las mismas condiciones exteriores, se conjetura que los parámetros y del modelo
funcional representen únicamente características fisiológicas del paciente tales como: diabetes,
hipertensión, peso, etc. O sea, estos parámetros de ningún modo podrían representar características
relativas a la temperatura ambiente, humedad u oxigenación del espacio.
210
Si volvemos a plantear la cuestión
, que se sitúa en el tercer nivel de modelización funcional, es
evidente que no se puede responder con las técnicas y los elementos tecnológico-teóricos que hemos
utilizado hasta este momento.
: ¿Cómo estudiar la variación de la concentración del radiofármaco en el plasma sanguíneo de un
determinado paciente suponiendo que, t horas después de ingerido el medicamento, la concentración en el
plasma puede ser representada por el modelo algebraico-funcional
donde a y k son constantes
positivas?
Podemos considerar que el modelo se ha materializado en una función de tres variables o bien en una
familia de funciones de dos variables (ya sea dependiendo del parámetro
o bien del parámetro ).
En concreto podremos expresarla:
En un tercer nivel de modelización de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan
mediante familias de funciones de dos o más variables y las correspondientes fórmulas asociadas el
papel de los “parámetros” y de las “variables” es intercambiable y se estudia cómo repercute la
variación conjunta de dos o más variables sobre la variación de una función. Dado el ámbito
institucional de esta memoria, no vamos a desarrollar estas actividades una vez que su resolución
completa requiere de técnicas que no están disponibles en el paso de la enseñanza secundaria a la
universitaria.
Anti derivada de una función
Q’’2: Sabiendo que la variación de la concentración del radiofármaco en el plasma de un paciente segundos
después de su inyección puede ser modelada por la función
, cómo se podrá
descubrir una expresión algebraica que represente la concentración del radiofármaco en el plasma de ese
paciente a lo largo del tiempo? ¿Y cómo se podrá construir un esbozo de su gráfico?
Q’’’2: ¿Y si el modelo fuese más complejo? En el caso de
211
cómo se procedería?
2.3. Modelo funcional «exacto» a partir de datos diferenciales continuos –
RM3
Aunque no sea posible construir directamente el modelo funcional exacto, los datos
pueden permitir la construcción del modelo diferencial cuando es conocida una
condición sobre la variación del modelo funcional. Así, se podrá describir una relación
funcional entre las variables mediante una ecuación diferencial que constituirá lo que
denominamos modelo algebraico-diferencial «exacto». Con las herramientas del CDE
se podrá, por integración, resolver la referida ecuación diferencial cuya solución será el
modelo algebraico-funcional «exacto» continuo que permitirá, mediante el desarrollo
de un proceso de modelización funcional, describir el sistema e interpretar los
resultados del trabajo dentro del modelo. Esquemáticamente este recorrido matemático
contiene las siguientes etapas que hemos numerado dentro del diagrama de actividad:
Figura 17 – Modelo funcional «exacto» a partir de datos diferenciales continuos – RM3
212
Ejemplo: Variación de la dosis de un radiofármaco a lo largo del tiempo
Por ejemplo, en el caso del cálculo del área bajo la gráfica de una función, la técnica
matemática que se utiliza (más o menos algoritmizada) puede interpretarse como un
proceso de MF en el que la región plana es el sistema a modelizar y la función área es
un modelo de (un aspecto de) dicho sistema. Además, y en coherencia con la estructura
del RM3 descrito en la Figura 17, se parte de la variación finita (o de la variación
infinitesimal) de la función área para construir la función derivada de ésta y, por
integración, calcular efectivamente la función área que podemos interpretar como un
modelo funcional. Con esta interpretación la verdadera incógnita del proceso es una
función (la función área) aunque escolarmente se considere como incógnita únicamente
el valor de esta función en un punto concreto, esto es, el área de una región concreta
bajo la curva (ver sección 8 del capítulo III). Esta reinterpretación del trabajo escolar
que se lleva a cabo como un verdadero proceso de modelización permitiría plantear
nuevas cuestiones sobre el sistema que podrían responderse gracias al modelo.
Podríamos pensar que, si en lugar de tratarse simplemente de calcular el área bajo la
gráfica de una función, se tratara de calcular el trabajo desarrollado por una fuerza
variable dada en función del espacio, o bien el espacio total recorrido conocida la
función velocidad, entonces desaparecerían algunas de las restricciones (aunque no
todas) que dificultan interpretar el cálculo de la función área como el resultado de un
proceso de MF y, sobre todo, las restricciones que impiden utilizar el modelo construido
para responder a cuestiones que surgen o podrían surgir en el sistema modelizado.
Sin embargo, el modelo que describe el “espacio recorrido”, interpretado como el área
bajo la gráfica de la función velocidad, es explorado como modelo algebraico-funcional
ya construido en la Física del Bachillerato, pero no se llega a justificar (con
herramientas del CDE) la relación entre el modelo grafico-diferencial (velocidad) y el
modelo gráfico-funcional (espacio recorrido).
Presentaremos a continuación el estudio de un sistema concreto que podrá permitir
introducir el concepto de integral como instrumento para la construcción de modelos
funcionales.
Suponiendo que una escasez de materiales y de recursos humanos nos obliga a gestionar muy
bien el tiempo inicial y final de cada toma de un determinado radiofármaco, se plantea la
siguiente cuestión:
Conociendo la velocidad de administración, por vía intravenosa, de una dosis de un radiofármaco,
¿cómo puede variar esa dosis (cantidad) a lo largo del tiempo?
213
Una dosis de ml de un radiofármaco fue administrada a un paciente, por vía intravenosa, por
primera vez al mediodía. Sabiendo que el radiofármaco fluye por el plasma a una velocidad de
mililitros por minuto, en que representa el tiempo medido en minutos después del mediodía, a qué horas
terminará esa toma?
Surge la necesidad de concretizar un poco más la cuestión problemática:
Una dosis de
ml de un radiofármaco fue administrada a un paciente, por vía intravenosa,
por primera vez al mediodía. Sabiendo que el radiofármaco fluye por el plasma a una velocidad de
mililitros por minuto, en que representa el tiempo medido en minutos después del
mediodía, a qué horas terminará esa toma?
Datos:
Objetivo:
Sabiendo que la dosis del radiofármaco en el plasma de un paciente
corresponde al área entre el gráfico de la función velocidad, el eje
del
y las rectas verticales
y
, o sea, al área Figura 18 – Área que se
representada en la Figura 18, se podrá calcular el área del polígono pretende modelizar.
por diferentes técnicas, tales como:
Calcular el área del trapecio:
Con el modelo funcional construido (para la dosis) ya es posible responder a la cuestión. Para
ello basta resolver la ecuación
:
Lo que significa que la administración de una dosis de
o sea, la toma terminará cerca de las
y
demorará cerca de
minutos,
.
Supongamos ahora que es posible utilizar un «reductor» en la salida del
radiofármaco que comportará un tipo de velocidad de escurrimiento diferente.
Esta modificación de la situación inicial conducirá a la formulación de nuevas
hipótesis tales como, por ejemplo, que la velocidad a la que el radiofármaco
desemboca en el plasma no es lineal en el tiempo. Con esta nueva hipótesis el
sistema se hace más complejo y surgen nuevas cuestiones problemáticas tales
como:¿Cuál es el modelo funcional que representa la dosis del
radiofármaco?¿Qué técnicas se pueden utilizar para descubrir el área bajo el
gráfico de una función no lineal?
Así, surge la necesidad de ampliar la situación anterior para estudiar nuevas
praxeologías, o sea, nuevas técnicas asociadas a tecnologías y teorías más
completas que permitan resolver tareas del tipo:
Una dosis de
ml de un radiofármaco fue administrada a un paciente, por vía
intravenosa, por primera vez al mediodía. Sabiendo que el radiofármaco fluye por el
214
Figura 19– Área
correspondiente a la dosis
del radiofármaco horas
después del medio-día
plasma a una velocidad de
mililitros por minuto, en que
en minutos después del mediodía, a qué horas terminará esa toma?
representa el tiempo medido
Análogamente al anterior, se podrá representar el área que corresponde a la dosis del
radiofármaco en el plasma (Figura 19). Sin embargo, se verifica que en este caso ya no es
posible determinar el área subrayada por el cálculo del área de un único polígono (por ejemplo:
un trapecio, como en el caso anterior). Así, para construir el modelo funcional se tendrá que
utilizar otra técnica como, por ejemplo:
Descomponer el área en varias áreas más pequeñas y aproximarlas por una suma de áreas de
rectángulos:
Dosis = Área bajo el gráfico de
Suma áreas de pequeños rectángulos
Al tomar, por ejemplo, la división del área en 4 rectángulos con la misma base, se podrá utilizar
una de las dos técnicas siguientes:
Fijando
:
Fijando
:
Tabla 5 – Técnicas de descomposición del área bajo el grafico de una función.
Pero, sería interesante construir una técnica más completa y más precisa que permita encontrar
el “medio término” entre el área «arriba» y el área «abajo». Para tal, basta conjugar las dos
técnicas anteriores para construir una técnica que resulta del cálculo de la media de los
resultados obtenidos al utilizar las técnicas
y
:
Descomponer el área en varias áreas más pequeñas y aproximarla por una media de
sumas de áreas de rectángulos:
Claro que al dividir el intervalo
en más particiones, se obtiene una mayor cantidad de
rectángulos con bases cada vez más pequeñas y, así, se aproxima mejor el valor del área
pretendido. Tomando, por ejemplo, una división en 40 rectángulos con todas las bases iguales a
o una división en
rectángulos con todas las bases iguales a
:
215
N.º
rectángulos
40
999999
Cálculo del
área
Tabla 6 – Descomposición del área pretendida en áreas de rectángulos cada vez más pequeños.
Sin embargo, se puede constatar que cualquiera de las técnicas anteriores conduce a resultados
aproximados del valor del área pretendida y, además, con el aumento del número de rectángulos
se pueden convertir en técnicas muy costosas. Así, surge la necesidad de buscar una técnica más
precisa y económica:
Construir el modelo a partir del estudio de su variación
Para construir «todo» el modelo diferencial vamos a estudiar cómo varían algunas de sus
«pequeñas» partes52, o sea, vamos a estudiar cómo se comporta la diferencia finita entre dos
áreas, en este caso particular, entre 2 valores de dosis del radiofármaco en el plasma:
:
Cuanta más pequeña es la amplitud del intervalo, más próxima está el área pretendida del área
del rectángulo.
Pero, sabiendo que esta expresión corresponde a la TVM y que esta, a su vez, se aproxima de la
función derivada en un punto, se puede escribir la relación:
O sea, considerando que la relación se cumple para cualquier
del tiempo, es así posible
construir el modelo algebraico diferencial mediante una ecuación diferencial:
Que por el Teorema Fundamental del Cálculo53 su resolución es equivalente a calcular la
siguiente integral:
52
Según Kouropatov y Dreyfus (2009), el concepto de integral representa una idea filosófica para la
comprensión del mundo: “la contemplación de la totalidad de las partes pequeñas de un todo aporta
conclusiones sobre el todo en su globalidad, así como sobre su estructura interna y propiedades” (p.
417).
53
Aquí se pretende utilizar esta tecnología de forma intuitiva, o sea, tomando la integración como la
técnica inversa de la derivación.
216
Por otro lado, relacionando con la técnica
al descomponer el área en varias áreas de
rectángulos cuyas bases son cada vez más pequeñas, la sucesión de las sumas de las áreas
converge54 para el valor de ese integral (ver teoría del integral de Riemann).
Así, por esta técnica es posible construir el modelo algebraico-funcional continuo casi
«exacto»
Para concluir la respuesta a la cuestión
será necesario resolver la ecuación
Nótese que esta cuestión permite ampliar las praxeologías matemáticas en estudio tanto en el
dominio funcional, como en el dominio del CDE, como en el dominio algebraico pues, pasamos
de la resolución de ecuaciones del segundo grado a la resolución de ecuaciones del tercero
grado. Esta ampliación conduce a la necesidad de estudiar nuevas técnicas algebraicas,
numéricas o gráficas.
Aquí vamos a resolver numéricamente55 y gráficamente la ecuación del 3.º grado con el
GeoGebra:
Técnica numérica
(CAS)
Técnica gráfica
(intersección de gráficos de funciones)
Tabla 7 – Técnicas de resolución de la ecuación del 3.º grado con el GeoGebra.
Estos resultados indican que la toma del radiofármaco terminará
medio-día, o sea, a cerca de las 12 horas y 11 minutos.
minutos después del
Cuestionamiento tecnológico
(Comparación de las técnicas para construir el modelo funcional)
Con la finalidad de comparar los resultados obtenidos con las técnicas anteriores, vamos ahora
utilizar el modelo construido para calcular la dosis del radiofármaco en el plasma para
:
Al utilizar el comando automático «integral» del GeoGebra se obtiene el valor
54
.
Caso la sucesión de las sumas de áreas sea divergente, entonces significará que la función velocidad ya
no será integrable.
55
Algebraicamente no fue posible pues el GeoGebra indicaba que “el cálculo estaba muy demorado y fue
abortado”. Entonces fue encontrada una solución numérica de la ecuación con el CAS del GeoGebra.
217
Técnica
Construcción del
modelo funcional
Sin herramientas del
CDE
Sin herramientas del
CDE
Con herramientas del
CDE
(integral)
Ámbito de
aplicabilidad
(validad)
Modelos lineales
Economía
Precisión
de resultados
Poco económica
Exactos
Cualquier tipo de
modelo
(universal)
Muy costosa
Aproximados
Cualquier tipo de
modelo
(universal)
Más económica
Más exactos
Tabla 8 – Comparación de las diferentes técnicas de construcción del modelo funcional.
De esta comparación se puede concluir que las herramientas del CDE permiten construir de
forma más económica y eficiente cualquier tipo de modelo algebraico-funcional representativo
de un determinado sistema.
Para validar esta última afirmación, se sugiere la utilización de esta última técnica
para responder a
(con CDE)
A partir de aquí se podría cambiar de nuevo la situación inicial, estudiar nuevas
cuestiones problemáticas, nuevos sistemas y reiniciar nuevos procesos de modelización
funcional.
Ahora vamos a estudiar RMs que permiten mostrar el papel del CDE en la construcción,
trabajo, comparación e interpretación de modelos funcionales partiendo de datos
discretos.
2.4. Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos brutos RM4
Se empezarán a construir los modelos tabulares y gráficos de datos «brutos» y sobre
estos se pueden aplicar directamente diferentes tipos de regresiones de forma
exploratoria utilizando la técnica de ensayo-error, o sea, sin estudiar previamente
posibles relaciones entre los datos. Mediante las técnicas clásicas podemos comparar el
ajuste y la capacidad predictiva de los diferentes modelos funcionales aproximados
construidos.
En este punto es muy importante tener en cuenta que para elegir un modelo entre las
diferentes funciones obtenidas mediante regresión sobre un conjunto de datos no basta
elegir la función que minimiza el error, es fundamental conocer el sistema del que se
han tomando los datos y exigir que el modelo sea «coherente» con la evolución de dicho
218
sistema. En particular, los parámetros del modelo han de poder interpretarse, han de
tener sentido, en términos del sistema y pueden utilizarse, asimismo, criterios de
extrapolación en el sentido de estudiar el comportamiento del modelo cuando se aplica a
datos que no se han utilizado para construir el modelo. En última instancia, en iguales
condiciones, siempre es preferible elegir el modelo más simple en términos del número
de parámetros de los que depende, por ejemplo, un modelo exponencial (2 parámetros)
es preferible a un modelo cuadrático (3 parámetros).
Una vez construido el modelo funcional y con el auxilio de las técnicas del CDE, se
podrán interpretar los parámetros del modelo en términos del sistema, trabajar dentro
del mismo e interpretar los resultados obtenidos. Van a surgir nuevas cuestiones
problemáticas, nuevos modelos, nuevos sistemas y la formulación de nuevas hipótesis
nos conducirán a iniciar nuevos procesos de modelización funcional. Marcamos a
continuación el itinerario que sigue este recorrido dentro del diagrama de actividad:
Figura 20 – Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos brutos - RM4
219
Ejemplo: Previsión de los casos de cáncer de tiroides
Presentamos una cuestión problemática inicial que va a conducir todo el proceso de
modelización funcional de varios RMs. Se tome como cuestión generatriz, por ejemplo,
la siguiente:
¿Cómo se puede prever a lo largo del tiempo el número de casos de cáncer de tiroides en las
poblaciones más próximas del accidente en la antigua central ucraniana de Chernóbil?
¿Que tipos de modelos funcionales podrían caracterizar este sistema?
A partir de esta cuestión podrán surgir muchas otras que resultan de la delimitación del
sistema y de la formulación de las primeras hipótesis sobre lo mismo.
Para intentar dar una primera respuesta a la cuestión se sugiere tomar como base los datos
empíricos recogidos en investigaciones científicas como, por ejemplo:
Chernobyl’s Legacy: Health, Environmental and Socio-Economic Impacts and Recommendations
to the Governments of Belarus, the Russian Federation and Ukraine. The Chernobyl Forum:
2003–2005. http://www.iaea.org/sites/default/files/chernobyl.pdf
Así, partiendo de 5 datos discretos relativos a la incidencia de cáncer de
tiroides (Chernóbil) se podrán construir diferentes modelos y compararlos en
términos de su capacidad predictiva a corto, medio y largo plazo tiendo como
referencia los restantes datos reales del año 5 al 16 (Tabla 9).
En la sección 1.1.2. de este capítulo describimos una técnica referente a la
construcción del modelo algebraico-funcional a partir de los datos brutos
(por regresión directa sobre los puntos del modelo grafico-funcional).
Vamos a ver que este RM engloba la aplicación de esa misma técnica a datos
discretos reales.
Construcción del modelo
Para pasar del campo discreto al campo continuo podremos experimentar
diferentes tipos de regresiones sobre los primeros 5 datos:
Tabla 9 – Casos de cancer de tiroides por año.
220
Figura 21 – Aplicación exploratoria de diferentes tipos de regresiones sobre los datos brutos.
De entre los modelos presentados, cómo elegir el modelo que se ajusta mejor a los datos? ¿Qué
técnicas son posibles utilizar para comparar los modelos?
Una vez que para responder a la cuestión problemática inicial
el objetivo no reside en buscar
un modelo con elevada capacidad de ajuste a los datos discretos pero sí, con una razonable
funcionalidad para predecir los datos futuros, surge así en simultáneo la cuestión:
De entre los modelos presentados, ¿cómo elegir el modelo que presenta una mayor capacidad
predictiva a corto, medio y largo plazo? ¿Cuál sería la técnica a utilizar para elegir dicho modelo?
Al intentar dar una primera respuesta a las cuestiones se sugiere:
Comparar los modelos construidos
Para elegir el modelo más adecuado a los datos discretos se puede comparar el ajuste de los
nuevos datos continuos (modelos) a los datos discretos. Para ello se pueden explorar diversas
técnicas de «contraste de valores» para analizar los errores de aproximación/ajuste y la
capacidad predictiva de cada uno de los modelos:
: Comparación de los modelos funcionales
respecto a los datos.
y
comparando su ajuste y predicción
Comparación de la capacidad aproximada de ajuste y de predicción (según los
modelos gráfico-funcionales)
221
Comparación de la capacidad de ajuste (según los errores de aproximación) 56
Comparación de la capacidad predictiva (según los errores de extrapolación)57
Al comparar el promedio (media de los errores absolutos), o sea, la media de las distancias entre
las imágenes reales y las imágenes aproximadas por regresión sobre los datos discretos, se podrá
conjeturar que los dos modelos funcionales que mejor se ajustan a los datos corresponden
exactamente a la función que representa el polinomio interpolador y a la función
por las restantes regresiones experimentadas (exceptuando dicho polinomio interpolador).
Señalamos que en estos dos casos, los errores de predicción aumentan drásticamente cuando se
prevé a largo plazo (12 años). Estos resultados son sorprendentes, pues no están de acuerdo con
los obtenidos al utilizar las técnicas
y
(ver Tabla 10).
ajuste
Modelo funcional
Pol. interp. grado 4 (
Pol. grado 3 ( )
Pol. grado 2 ( )
Pol. grado 1 ( )
Logístico
Exponencial
Compuesto sin interp.
)
0
0.03
0.17
0.22
0.1
0.17
0
Errores de
predicción
( )
3 años
0.55
5.67
0.65
1.96
4.79
0.81
21.77
6 años
11.37
21.49
1.01
2.5
5.11
4.89
69.72
12 años
155.87
100.84
4.89
2.81
5.78
87.59
640.12
Tabla 10 – Comparación de los errores de ajuste y de predicción de los diferentes modelos usando las
técnicas
y
Así, esta primera respuesta conduce el proceso de MF a un cuestionamiento tecnológico de la
técnica inicial :
Una comparación “directa” del ajuste de los modelos funcionales y respecto a los
datos brutos, podrá sugerir la elección de un modelo funcional con baja capacidad en
términos predictivos.
Para evitar este error de elegir un modelo funcional con baja potencialidad para predecir los
datos futuros a corto, medio y largo plazo, se necesita de una técnica más eficaz para elegir el
modelo funcional. En este caso particular, se podrían estudiar las variaciones de los datos reales
y compararlas con las variaciones de los datos aproximados:
: Comparación de los modelos funcionales y
y
respecto a la variación de los datos.
comparando el ajuste y predicción de
Fácilmente se verifica que los resultados obtenidos con esta técnica son semejantes a los
obtenidos anteriormente, pero con un agravamiento de los errores (ver Tabla 12).
Tomando en consideración la tecnología inherente al Teorema del Valor Medio de Lagrange,
que indica que:
Es posible aproximar la función TVM real discreta por una función continua designada
por función derivada.
Se puede elegir el modelo cuya derivada es la que mejor se ajusta a la TVM real discreta. Lo
que significa que se podría “perfeccionar” la técnica anterior añadiéndole herramientas del CDE
que permitiesen efectuar una mejor comparación de la variación de los modelos funcionales:
56
Si es necesario, podrá ser cedido un tutorial a los grupos de estudiantes para auxiliar en la construcción
de las tablas, en la fórmula del error absoluto y del promedio.
57
Los estudiantes van a recibir la base de datos completa para calcular los errores de predicción de cada
modelo.
222
: Comparación de los modelos funcionales
y respecto a la variación de los datos58.
y
comparando el ajuste y predicción de
O ampliar la técnica anterior al utilizar la siguiente:
: Comparación de los modelos funcionales y comparando el ajuste y predicción de
y
respecto a la variación relativa de los datos.
Es posible aproximar la función TVMR real discreta por una función continua
designada por función derivada “partida” por la propia función.
: Comparación de los modelos funcionales y comparando el ajuste y predicción de
y
respecto a la variación relativa de los datos.
Datos
Discretos
Continuos
brutos reales
brutos aproximados
TVM reales
TVM aproximados
TVM reales
M’aproximados
TVMR reales
TVMR aproximados
Técnicas
TVMR reales
aproximados
Tabla 11 – Descripción de las diferentes técnicas utilizadas
Los resultados obtenidos por la aplicación de las diferentes técnicas de comparación de los
errores de ajuste y de predicción de los modelos fueron los siguientes:
Errores de:
ajuste
predicción
Modelo funcional
3 años
6 años
12 años
0
0
0.31
0
1.76
0.55
11.37
155.87
Pol. grado 3 ( )
0.03
0.06
0.34
0.36
1.58
5.67
21.49
100.84
Pol. grado 2 ( )
0.17
0.33
0.33
1.7
1.75
0.65
1.01
4.89
Pol. grado 1 ( )
0.22
0.33
0.33
0.73
0.73
1.96
2.5
2.81
Logístico
0.1
0.2
0.45
1.26
1.63
4.79
5.11
5.78
Exponencial
0.17
0.3
0.29
1.45
1.45
0.81
4.89
87.59
0
0
0.42
0
1.94
21.77
69.72
640.12
Pol. interp. grado 4 (
Compuesto sin interp.
)
Tabla 12 – Errores medios de ajuste y de predicción de los diferentes modelos resultantes del uso de las
técnicas descritas.
58
Esta técnica, útil para funciones suficientemente regulares (infinitamente derivables), ya había sido
utilizada por Lidia Serrano en su tesis doctoral para comparar y elegir modelos funcionales que
aproximaban datos discretos (Serrano, 2013).
223
Cuestionamiento tecnológico
Comparación de las técnicas para elegir uno de los modelos resultantes de las regresiones
exploratorias sobre los datos brutos:
Respuesta pretendida:
Respuesta de la técnica:
Técnica
modelos por mejor capacidad de ajuste
modelos por mejor capacidad
predictiva (a largo plazo)
Tabla 13 – Ordenación decreciente de los modelos según su capacidad de ajuste y predictiva.
 La técnica
es una mala técnica porque, según el ajuste, nos conduciría a elegir modelos
(
o
) con una débil capacidad predictiva. Sin embargo, esta técnica tomaría el
modelo con mejor capacidad predictiva a largo plazo ( ) en su última opción una vez que,
ésta lo considera el menos ajustable a los datos discretos.
 Los resultados de la técnica
fueron semejantes a los obtenidos con la técnica
pero,
con un agravamiento de los errores absolutos (lo que sería de esperar pues calculamos
“errores sobre errores”, variación de los errores).
 La técnica
permite elegir un modelo ( ) con una capacidad predictiva a medio y largo
plazo mejor que los elegidos por las técnicas
y
. Sin embargo, no
permite descartar por completo los modelos
.
 Los resultados de la técnica
fueron semejantes a los obtenidos con las técnicas
y
pero, con un acentuado agravamiento de los errores absolutos. Hasta el momento, esta fue la
técnica que nos conduce a mayores errores.
 Podremos considerar la técnica
como la mejor de todas las técnicas testadas para este
conjunto de datos una vez que esta técnica permite elegir el mejor de todos los modelos en
términos de predicción a largo plazo ( ) y, además, esta técnica , permite descartar por
completo la elección de los modelos
debido a sus elevados errores de ajuste.
De este modo surgen nuevas cuestiones problemáticas:
¿Se podría justificar la importancia de la función derivada (herramienta del CDE) en la
elección del mejor modelo funcional?
¿Para este conjunto de datos particular, al asociar a la influencia de la función derivada
en la comparación de modelos su variación relativa, la elección del modelo podría
volverse sorprendente?
Interpretación de los modelos en el sistema
El modelo
que resulta de la composición de las varias regresiones (excluyendo el
polinomio interpolador), aparentemente parecía perfecto ajustando bastante bien los datos
discretos, pero ha resultado ser un mal predictor tanto a corto como a medio o a largo plazo,
debido a la presencia de una asíntota vertical de su gráfica en
224
Elección de un modelo que caracterice mejor el sistema
Así, eligiendo el modelo
como lo más adecuado a los datos discretos en términos de
predicción a largo plazo, podríamos tomarlo como modelo algebraico-funcional continuo ya
construido, después introducir parámetros (trasladando el estudio a niveles superiores de MF) e
interpretarlos en términos del sistema, trabajar dentro del modelo continuo para responder a las
cuestiones problemáticas iniciales con el auxilio de las herramientas del CDE, y así proseguir de
modo análogo a los RMs descritos anteriormente por el 3.º y 4.º estadio de MF, formulando
nuevas cuestiones problemáticas y reiniciando nuevos procesos de MF.
Sin embargo, se podría “poner en tela de juicio” los resultados obtenidos con la técnica
(no
elegir el modelo , y tomar un camino distinto por el recorrido matemático RM5, que no es más
que el resultado de una ampliación del RM4 al partir de datos discretos variacionales en vez de
partir de datos discretos brutos.
2.5. Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos
variacionales - RM5
De manera análoga al RM1, este recorrido se inicia construyendo diferentes tipos de
modelos numéricos y gráficos, tanto de datos «brutos» como de la tasa de variación
media (TVM) como de la tasa de variación media relativa (TVMR) construidas a partir
de los datos brutos. Llamaremos a estos últimos modelos tabulares variacionales. Como
habitualmente estos datos variacionales se comportan mejor que los brutos y son más
sencillos de trabajar, en lugar de aplicar regresiones sobre los datos brutos para
aproximar directamente el modelo funcional, se aplicarán de forma exploratoria
diferentes tipos de regresiones sobre los datos de variación (TVM o TVMR) para
construir posibles modelos diferenciales continuos «aproximados» (polinómicos,
exponenciales, logarítmicos, logísticos, etc.). Podemos aplicar las técnicas clásicas para
comparar el ajuste y la capacidad predictiva de los diferentes modelos funcionales
aproximados construidos.
Esta comparación permitirá elegir el tipo de modelo diferencial que mejor aproxima la
variación del sistema (la familia de funciones más adecuada) y así escribir el modelo
algebraico-diferencial mediante una ecuación diferencial. La resolución59 de dicha
ecuación mediante técnicas sencillas de integración nos conducirá a la construcción del
modelo algebraico-funcional continuo «aproximado». El trabajo dentro del modelo
59
En el caso en que la resolución de la ecuación diferencial no sea sencilla, se podrá pensar en discretizar
el modelo algebraico-diferencial continuo “elegido” y utilizar técnicas numéricas para encontrar una
solución aproximada. Sin embargo, dado el ámbito institucional de esta memoria, no desarrollaremos este
caso.
225
construido y su interpretación es desarrollado en el tercer y cuarto estadio de MF de
modo análogo al descrito en los RM anteriores.
Podemos considerar dos sub-recorridos matemáticos del tipo RM5: el que parte de datos
variacionales (TVM) que denominaremos RM5,1. y el que parte de datos variacionales
relativos (TVMR) que designaremos mediante RM5.2. Presentamos a continuación el
desarrollo detallado de un ejemplo que recubre ambos sub-recorridos.
Figura 22 – Modelo funcional «aproximado» a partir de datos discretos variacionales - RM5
Ejemplo: Propagación de los efectos genéticos del accidente de
Chernóbil
El sistema de partida es el siguiente:
La propagación de los efectos genéticos y la repercusión en diferentes generaciones
posteriores al accidente de Chernóbil, tomando estudios realizados con muestras a
partir de recogidas de material biológico de la población, atestigua que han estado en
la base de la previsión de la inducción de daños genéticos relevantes en una parte de
la población de una determinada especie animal con ciclo de vida anual. Sabemos que
el impacto en la primera generación después del accidente fue de 179, en la segunda
de 438, y así sucesivamente de acuerdo con la siguiente tabla:
Tabla 14 – Incidencia de daños genéticos en las generaciones futuras de una
población por año.
226
1.º Estadio de MF
Cuestión generatriz del RM5:
Q5: ¿Cómo prever la evolución de los efectos genéticos del accidente de Chernóbil en las generaciones
futuras?
2.º Estadio de MF
Partiendo de un conjunto de datos discretos representados gráficamente o en una tabla de
valores se puede empezar a indagar si los datos presentan un comportamiento similar al de un
modelo lineal, cuadrático, cúbico, exponencial, logarítmico, racional, trigonométrico o de otro
tipo elemental.
¿Qué tipos de modelos funcionales podrían caracterizar este sistema?
Construcción del modelo algebraico-funcional «aproximado» continuo (del RM4)
Dada la dificultad en relacionar directamente la
variación de los datos a un tipo de variación elemental,
en una tentativa de buscar una respuesta provisional
para la cuestión Q51, se podrá recurrir a técnicas
automáticas de regresión60 sobre los datos discretos
brutos (siguiendo el RM4 descrito en la sección
anterior) para construir modelos funcionales continuos
que permitan describir el sistema (Figura 23).
¿De entre los modelos obtenidos, cómo elegir
el que mejor se ajusta a los datos? ¿Qué técnicas se
pueden utilizar para comparar los modelos?
: Resultante de la utilización de la siguiente
técnica:
Calcular los errores de ajuste (la media de las Figura 23 - Regresiones sobre datos brutos
distancias entre las imágenes reales y las imágenes
aproximadas por el modelo)
Una vez que los estudiantes han trabajado en el problema del ajuste, se amplía la problemática
introduciendo el problema de la capacidad predictiva del modelo. Sabiendo que en los tres años
posteriores (10, 11 y 12) la incidencia fue prácticamente nula, construir un modelo funcional
que permita describir la evolución temporal de la incidencia de los daños genéticos, que
presente el mejor ajuste posible a los datos de la Tabla 13 y, a la vez, que tenga la mayor
capacidad predictiva a tres años.
¿De entre los modelos presentados, cómo elegir el que tiene una mayor capacidad
predictiva a 3 años? ¿Qué técnica se puede utilizar para elegir dicho modelo?
Se podrían comparar los modelos funcionales utilizando la siguiente técnica:
Calcular los errores de predicción a 3 años (la media de las distancias entre las imágenes
reales no utilizadas en la construcción del modelo y las imágenes previstas por el modelo)
Los resultados se resumen en la siguiente tabla:
60
Se experimentaron también regresiones no polinómicas, pero se ha verificado que el ajuste y la
predicción eran peores.
227
Modelo funcional
pol. grado 3
pol. grado 4 )
pol. grado 5 )
pol. grado 6 )
pol. grado 7 )
pol. grado 8 )
pol. grado 9
)
Error de ajuste
244.29
132.65
90.8
88.03
17.56
15.6
0
Media de errores de predicción a 3 años
2053.92
9316.42
17911.62
33076.28
121678.42
179160.52
360706.00
Tabla 15 – Resultados de la utilización de las técnicas
y
Se puede observar que, en este caso, los errores de ajuste varían
de forma inversa a los errores de predicción. Cuanto mayor es
el grado del polinomio, mejor se ajusta el modelo a los datos,
pero disminuye su capacidad predictiva a 3 años.
Se podría elegir el modelo (Figura 24) que presenta valores de
errores de ajuste y de predicción intermedios.
Figura 24 – Modelo elegido
Una vez construido el modelo funcional (segundo estadio del proceso de modelización
matemática) se podría proseguir trabajando dentro del modelo e interpretando los resultados en
términos del sistema (tercer estadio):
3.º Estadio de MF
Q’5: Con la finalidad de gestionar el impacto de los efectos genéticos en accidentes semejantes que
podrán ocurrir en el futuro, ¿cómo podremos estudiar la variación de la incidencia de daños
genéticos en las generaciones futuras de una población a lo largo del tiempo?
Q’51: ¿Cómo estudiar la variación de la incidencia de daños genéticos en las generaciones
futuras de una población dada por el modelo funcional
en el que
representa el número de años después del accidente?
Algunas de las cuestiones derivadas de Q21 que pueden responderse en este primer nivel de
modelización funcional (en el sentido de Ruiz-Munzón, 2010) son las siguientes:
Q’511: ¿Se puede afirmar que la incidencia de daños genéticos aumenta siempre con el
tiempo?
Q’512: ¿Cómo varía dicha incidencia a largo plazo?
Q’513: ¿Cuánto tiempo después del accidente se alcanza la incidencia máxima?
Q’514: ¿En qué momentos el decrecimiento de la incidencia es más rápido?
Las posibles respuestas R’511 y R’512 conducen a creer que la incidencia de los efectos genéticos
va a tender hacia
o hacia
si se toma cualquiera de los modelos polinómicos
considerados. Sin embargo, la interpretación de estos resultados en el sistema conduce a
concluir que este modelo no predice adecuadamente los datos de los años siguientes (10, 11 y
12) puesto que se sabe que en eses años la incidencia fue prácticamente nula, lo que sugiere que
su modelo gráfico-funcional debería ser asintótico al eje de las abscisas y que jamás la
incidencia podría tomar valores negativos.
228
2.º Estadio de MF
Dado que, en muchas ocasiones, los datos variacionales se
comportan mejor que los datos brutos, se pueden construir
modelos numéricos y gráficos de la tasa de variación media (TVM)
y de la relativa (TVMR) al calcular sus respectivos valores en
Tabla 16 – Ejemplo de modelo numérico
variacional
Construcción del modelo algebraico-funcional «aproximado»
continuo a partir del modelo variacional discreto
En lugar de aplicar regresiones sobre los datos brutos para aproximar directamente el modelo
funcional, se aplicarán de forma exploratoria diferentes tipos de regresiones sobre los datos de
variación (TVM y TVMR) para construir posibles modelos diferenciales continuos
«aproximados».
Regresiones sobre los datos variacionales (TVM)
Regresiones sobre los datos variacionales relativos (TVMR)
Construcción del modelo mediante la técnica
Vamos aproximar esta ecuación en diferencias
finitas mediante una ecuación diferencial:
Vamos aproximar esta ecuación en diferencias
finitas mediante una ecuación diferencial:
Al resolver esta ecuación surge la solución
general:
,
Tabla 17 –Técnicas de aproximación de una ecuación en diferencias finitas mediante una ecuación
diferencial
229
Así, a partir de la Tabla 16, se podría construir el modelo gráfico variacional discreto,
experimentar diferentes tipos de regresiones sobre los datos variacionales, elegir las funciones
aproximadas
más adecuadas, aproximar la ecuación en diferencias finitas por una ecuación
diferencial y, por integración de esta última, construir posibles modelos funcionales para
caracterizar el sistema. Estos modelos vendrán dados mediante una familia de funciones que
depende de un parámetro, por lo que se sitúan en el segundo nivel de MF (en el sentido de RuizMunzón (2010)). Ajustando el parámetro resultante de la integración se obtiene un modelo
funcional que viene dado por una función concreta como se muestra en la fila de los “Modelos
elegidos” de la siguiente tabla:
Datos
TVM
Mejor solución de la ec. diferencial
para cada familia
Varias regresiones sobre los datos
brutos
------------
230
TVMR
Modelo elegido61
Tabla 18 – Construcción, comparación y elección de los «mejores» modelos funcionales continuos.
La elección de estos dos últimos modelos resulta de la comparación de los errores de ajuste y de
predicción de los diferentes modelos funcionales resultantes de la aplicación de las técnicas
y
descritas en la Tabla 17. Esos errores son presentados en la siguiente tabla:
Datos
TVM
)
TVMR
)
Error de
ajuste
Modelo funcional
Integral del pol. grado 4
Integral del pol. grado 5
Integral del pol. grado 6
Integral del pol. grado 7
Integral del pol. grado 8
)
Exponencial del integral del pol. grado 3
Exponencial del integral del pol. grado 4
Exponencial del integral del pol. grado 5
Exponencial del integral del pol. grado 6
Exponencial del integral del pol. grado 8
Exponencial del integral del pol. grado 7
)
)
)
)
)
Media de
errores de
predicción
3 años62
395.89
467.97
728.52
836.11
257.69
31792.69
58488.18
221800.06
340117.81
869213.26
187,18
203.32
183.38
137.88
0.57
148.04
0
0.61
0
Tabla 19 – Comparación de los modelos según la capacidad de ajuste y la capacidad predictiva.
Con relación a los datos de la TVM, se observa una pequeña diferencia de los errores de ajuste
comparada con la elevada diferencia de los errores de predicción a 3 años, y además la
tendencia decreciente del conjunto de datos discretos. Por tanto, consideramos más adecuado
elegir el modelo funcional que resulta de integrar de un modelo polinómico de grado 4, int_a,
(presentado en la Tabla 18). De modo análogo a los modelos obtenidos mediante regresiones
sobre los datos brutos, cualquiera de los modelos resultantes de la aplicación de esta técnica es
61
62
Modelo más ajustado y con mejor capacidad predictiva.
Utilizando el conocimiento de que en los años 10, 11, 12 la incidencia fue prácticamente nula.
231
polinómico y, por tanto, predice que la incidencia de los efectos genéticos va a tender hacia
o hacia
Así, una vez más, surge la necesidad de buscar nuevas técnicas para construir el
modelo funcional y las buscaremos entre las que se obtienen a partir de un pequeño desarrollo
de las técnicas anteriores. Dados los elevados órdenes de magnitud de los errores de predicción,
postulamos que podría evitarse este problema mediante la técnica de aplicación de regresiones
exploratorias sobre los datos variacionales relativos, esto es, los valores de la TVMR.
Una vez utilizadas las tres técnicas (regresión sobre datos brutos, sobre TVM y sobre TVMR)
nos planteamos la siguiente cuestión tecnológica (relativa a la comparación entre las técnicas):
CT: Para modelizar este sistema (representado por cierto conjunto de datos discretos),
¿cuál es la mejor técnica para construir modelos funcionales?, ¿es preferible hacer
regresiones sobre los datos brutos o sobre los datos variacionales?
Se sigue una posible respuesta a la cuestión:
RCT: Al comparar los últimos 3 modelos de la Tabla 18 (los elegidos por cada una de las
técnicas) se podrá elegir el mejor modelo en términos de tendencia. El modelo que presenta una
mejor capacidad predictiva de la tendencia de los datos futuros es el obtenido mediante
regresiones sobre datos de la TVMR, pues por ser un modelo exponencial indica que la
incidencia del impacto de los efectos genéticos van a tender hacia cero, o sea, tiende a
desaparecer con el paso del tiempo. Además, al contrario de los otros 2 modelos, este modelo
también refleja bien lo que sucede en un instante próximo al instante inicial (incidencia próxima
de cero).
Se indaga si será posible generalizar el resultado anterior al formular las siguientes cuestiones
tecnológicas:
CT’: Para modelizar un sistema cualquiera (representado por cierto conjunto de datos
discretos), ¿cuál es la técnica que permite construir el modelo con mejor capacidad
predictiva?



¿Cuál de las técnicas permite construir el modelo que mejor ajusta a los datos?
¿Cómo decidir cuál es la técnica más adecuada para construir un modelo funcional de
un sistema cuya naturaleza es desconocida?
¿Existe alguna relación entre la capacidad de ajuste y la capacidad de predicción de un
modelo funcional?
RCT’: En algunos casos basta estudiar la variación absoluta y proceder a la integración pero, en
determinados sistemas se siente la necesidad de estudiar las variaciones relativas para reducir
los errores provenientes de la diferencia entre las órdenes de magnitud de los datos brutos reales
que, en la mayoría de ocasiones, no se comportan muy bien y, por lo tanto, son difíciles de
ajustar por un único modelo continuo. En particular, en este estudio, observamos que, en
términos predictivos, la tercera técnica (regresión sobre los datos de la TVMR) ha
proporcionado mejores resultados que los obtenidos al utilizar las dos técnicas anteriores
(regresión sobre los datos brutos y regresión sobre la TVM). Este argumento se basa en que fue
posible construir un modelo funcional cuya media de los errores de predicción era bastante
inferior a la de los modelos encontrados anteriormente.
3.º Estadio de MF
Al tomar el modelo algebraico funcional construido se podría estudiar una nueva versión de la
cuestión Q51 y sus cuestiones derivadas (situándonos, de nuevo, en el tercer estadio del proceso
de modelización funcional):
Q’’51: ¿Cómo estudiar la variación de la incidencia de daños genéticos en las generaciones
futuras de una población dada por el modelo funcional
,
en los que
representa el número de años después del accidente?
232
Q’’511: ¿Se puede afirmar que la incidencia de daños genéticos aumenta siempre con el
tiempo?
Q’’512: ¿Cómo varía dicha incidencia a largo plazo?
Q’’513: ¿Cuánto tiempo después del accidente se alcanza la incidencia máxima?
Q’’514: ¿En qué momentos el decrecimiento de la incidencia es más rápido?
R’’511: Para responder a la cuestión Q’’511 se pueden utilizar herramientas del CDE para a partir
del estudio del signo de la derivada estudiar la monotonía del modelo funcional. Así, se puede
descubrir que la incidencia no aumenta siempre con el tiempo por el hecho de existir por lo
menos un intervalo de tiempo para el cual la función derivada
es negativa (por
ejemplo,
.
R’’512: Se podrá utilizar diferentes técnicas y
comparar los resultados de su aplicación:
: Técnica
gráfica automática
Para estudiar la variación de la incidencia a
largo plazo, se podrá observar el modelo
gráfico construido con el GeoGebra y deducir
que la incidencia va a tender a cero, o sea, que
los efectos genéticos del accidente tienden a
atenuarse con el pasar de los años. Al
.
interpretar este resultado en términos del Figura 25 – Modelo gráfico- funcional
sistema, se puede postular que es un resultado coherente con lo que se sabe que pasó en la
realidad.
: Técnica analítica manual
Sin embargo, como a veces la definición de la “pantalla” del gráfico nos puede conducir a
resultados incorrectos y a las consiguientes interpretaciones absurdas de dichos resultados en
términos del sistema, se aconseja confirmar esta conjetura analíticamente
calculando
.
Para ello, se recorre al modelo algebraico funcional construido:
Cuando se comparan los resultados de la aplicación de las técnicas
(analítica) para responder a la cuestión Q’’512 surge una contradicción:
(gráfica) y
CT’’:¿Por qué los resultados son incoherentes? En particular, ¿por qué el resultado
obtenido con la técnica
es absurdo cuando se interpreta en términos del sistema?
Para responder a esta cuestión se propone observar el resultado de la aplicación de una tercera
técnica automática mediante la hoja de cálculo algebraico simbólico (CAS) del GeoGebra:
: Técnica
analítica automática
Figura 26 – Determinación algebraica del límite del modelo funcional
con el GeoGebra.
: Una hipótesis para esta incongruencia puede pasar por el hecho de que en el proceso de
construcción del modelo algebraico funcional continuo, el programa GeoGebra utiliza valores
233
aproximados para los coeficientes de los polinomios resultantes de las regresiones sobre los
datos discretos, en particular, en la construcción del modelo
ha aproximado el coeficiente
del término de mayor grado del polinomio por cero cuando éste deberá ser un numero negativo
muy próximo de cero. Así, el trabajo analítico del modelo algebraico continuo «aproximado»
(por el GeoGebra o por una calculadora gráfica) nos podrá conducir a resultados incorrectos.
Esta hipótesis se confirma al cambiar las definiciones del GeoGebra a fin de solicitar la
determinación de los coeficientes del polinomio con 5 decimales en lugar de 2 decimales:
Esta limitación de las TIC y, en particular, de
la construcción de modelos funcionales
«aproximados» a partir de datos discretos,
subraya la importancia y la necesidad de
interpretar en términos del sistema
modelizado los resultados del trabajo dentro
del modelo.
Utilizando una vez más herramientas
del CDE, en particular, la técnica de
determinación del cero de la función
derivada, se puede verificar que al final de
años después del accidente de
Chernóbil se alcanza el valor máximo de la
incidencia de daños genéticos.
Figura 27 – Modelo gráfico funcional y modelos
gráficos diferenciales y .
El decrecimiento de la incidencia es más rápido cuando la función derivada alcanza el
valor más negativo (mínimo de ’ y cero de ’’), o sea, al final de aproximadamente 8,37 años.
Así, al interpretar los resultados del trabajo llevado a cabo en este nuevo modelo sería posible
verificar que el modelo funcional exponencial describe mucho mejor el sistema inicial en el
sentido de permitir extraer informaciones válidas sobre el mismo.
Por otro lado, también se podría trabajar directamente en el tercer estadio del proceso de
modelización funcional con la familia de funciones exponenciales obtenidas al integrar la
ecuación diferencial construida para aproximar la ecuación en diferencias finitas:
Nos situamos así en el segundo nivel de MF (en el sentido de Ruíz-Munzón (2010)) y podemos
estudiar la influencia del valor del parámetro k en la evolución del sistema.
Q’’’51: ¿Cómo estudiar la variación de la incidencia de daños genéticos en las generaciones
futuras de una población dada por la familia de modelos funcionales
en los que la variable
representa el número de años después del accidente?
Q’’’511: ¿Que valores puede tomar el parámetro ?
Q’’’512: ¿Cómo varía dicha incidencia a largo plazo?
Q’’’513: ¿Cuánto tiempo después del accidente se alcanza la incidencia máxima?
Q’’’514: ¿Cuál es el efecto del cambio de parámetro en la forma del modelo grafico
funcional?
Q’’’515: ¿Cómo puede interpretarse dicho parámetro en términos del sistema?
Vamos ver algunas respuestas posibles para estas cuestiones:
234
R’’’511: De acuerdo con la caracterización del sistema inicial, tiene sentido que los valores de
incidencia de daños genéticos en las generaciones futuras de una población sean siempre valores
positivos. Para ello el parámetro deberá tomar únicamente valores mayores que cero.
Figura 28 – Estudio de la validez del modelo funcional
parámetro .
a partir de hipótesis sobre el signo del
R’’’512: Análogamente al trabajo del modelo en el primer nivel de MF, se podrá responder a la
cuestión comparando los resultados de la aplicación de las técnicas
(gráfica) y
(analítica) para estudiar la variación de la incidencia a largo plazo. Así, se podrá:


Observar en los diferentes modelos gráficos (Figura 29) que la incidencia va a
tender para cero independientemente del valor del parámetro considerado, lo
que interpretado en términos del sistema es coherente con lo que se prevé que
pasará en la realidad;
Calcular el
recorriendo al modelo algebraico funcional
resultante de la interpretación de su trabajo en términos del sistema:
Se concluye que el valor del parámetro
modelo funcional.
no tiene ninguna influencia en el valor del límite del
R’’’513: De acuerdo con la Figura 29, independientemente del valor del parámetro el momento
en que se alcanza la incidencia máxima es siempre el mismo e igual a 7,75 años
aproximadamente después del accidente de Chernóbil (propiedad invariante de la familia de
modelos funcionales). Tal valor puede ser confirmado con la determinación del momento en el
cual cada una de las funciones derivadas se anula, o sea, utilizando herramientas del CDE para
estudiar familias de funciones.
R’’’514: El parámetro influye sobre el número máximo de daños y la forma como estos daños
evolucionan, pero no influye sobre el número de daños genéticos que van a ser detectados a
largo plazo:
235
Figura 29 – Estudio de la influencia del cambio del parámetro
en la evolución del modelo funcional .
R’’’515: El parámetro representa, en términos del sistema, el valor de la incidencia inicial, o
sea, el número de daños genéticos detectados en el momento en que ha ocurrido el accidente de
Chernóbil. Así, para cada modelo funcional se tiene un valor inicial diferente de incidencia,
como se muestra en la figura siguiente:
Figura 30 – Estudio de la influencia del cambio del parámetro
236
en el valor de la incidencia inicial.
4.º Estadio de MF
Como observamos anteriormente, el coeficiente del termino de mayor grado del polinomio
también parece tener un papel importante dentro del modelo funcional
. Así, se podrá
ampliar la situación problemática para estudiar su influencia. Para ello surge la necesidad de
introducir una nueva variable ( ) para representar el referido coeficiente cuyo estudio llevará a
la formulación de nuevas hipótesis y, consecuentemente, al inicio de un nuevo proceso de
modelización funcional.
1.º, 2.º y 3.º Estadio de MF
Nos situamos así en el tercer nivel de MF (en el sentido de Ruíz-Munzón (2010)) y podemos
estudiar la influencia del valor de los parámetros y en la evolución del sistema.
Q’’’’51: ¿Cómo estudiar la variación de la incidencia de daños genéticos en las generaciones
futuras de una población dada por la familia de modelos funcionales con una variable y con
2 parámetros
o con dos variables y un parámetro
en los que
representa el número de años después del accidente?
Q’’’’511: ¿Que valores puede tomar el parámetro ? ¿Y el parámetro (o variable) ?
Q’’’’512: ¿Cómo varía dicha incidencia a largo plazo?
Q’’’’513: ¿Cuánto tiempo después del accidente se alcanza la incidencia máxima?
Q’’’’514: ¿Cuál es el efecto del cambio de los parámetros y en la forma del modelo
grafico funcional?
Q’’’’515: ¿Cómo puede interpretarse dichos parámetros en términos del sistema?
Estas cuestiones nos conducirían al estudio de funciones con varias variables, pero dado que
este estudio no forma parte del ámbito institucional de este trabajo, no trataremos aquí las
posibles respuestas a estas cuestiones.
Hay que subrayar que, dependiendo del tipo de datos de los que se disponga, se pueden
construir recorridos que conducen a la construcción de modelos algebraico-funcionales
continuos «exactos» o a la construcción de modelos algebraico-funcionales continuos
«aproximados». De hecho, podremos conjeturar que cuando se parte de datos continuos
(de una relación entre las variables o de una ecuación diferencial), el modelo funcional
construido será siempre «exacto» y cuando se parte de datos discretos (una tabla de
valores o gráfico de puntos), el modelo funcional continuo construido podrá ser
«exacto» o «aproximado». En cualquier caso, el carácter de modelo «exacto» o
«aproximado» es fruto de un convenio o, mejor, de la aceptación provisional de una
hipótesis sobre las relaciones entre las variables que caracterizan el sistema (salvo en
algunos casos en que el sistema es “estrictamente” matemático).
237
Por ejemplo, un modelo polinómico de grado 3 podrá ser construido algebraicamente y
de forma exacta a partir de datos discretos cuyas segundas diferencias son constantes
por el Método de los Coeficientes Indeterminados pero, cuando se trata de construir un
modelo aproximadamente logístico, las técnicas con lápiz y papel son poco económicas
y, es por ello, que sugerimos, en primera instancia, las técnicas de regresión sobre los
datos discretos que conducirán a la construcción de un modelo «aproximado».
3. Esbozo de un análisis ecológico a priori
El análisis ecológico a priori, que utilizaremos como instrumento para diseñar los REI
(ver capítulo V), debe indagar las condiciones necesarias a priori para poner en marcha
procesos de estudio, en forma de REI, sustentados sobre el MER que articula el CDE y
la MF. En particular, analizaremos algunas de las restricciones que previsiblemente
dificultarán el desarrollo normalizado de dichos procesos de estudio.
Consideraremos, en primer lugar, las restricciones generales que dificultan la vida de
cualquier tipo de modelización matemática en las instituciones escolares y, en nuestro
caso, las que surgen en el paso de Secundaria a la Universidad.
Los trabajos de Barquero (2009) y Serrano (2013), tal como hemos indicado en el
capítulo I, estudiaron este problema y pusieron de manifiesto dos grandes grupos de
restricciones. El primer grupo contiene las restricciones que provienen del modelo
epistemológico de las matemáticas imperante en las instituciones escolares que,
siguiendo la nomenclatura de Lakatos (1976), podemos denominar «euclideanismo» y
que comporta una forma muy simplista de considerar la relación entre las matemáticas y
el resto de las ciencias experimentales. Por su parte, las restricciones del segundo grupo
tienen su origen en el modelo pedagógico predominante.
Por lo que respecta a las primeras, digamos que los programas de las matemáticas que
se proponen para ser enseñadas siguen estrictamente la lógica interna de las
matemáticas sin mezclarse con los sistemas a los que, potencialmente, se «aplicarán»
sólo posteriormente. El euclideanismo propone una estructura de la matemática que
elimina las cuestiones generadoras de la actividad matemática por lo que dificulta
enormemente el trabajo de construcción de modelos para dar respuesta a cuestiones
problemáticas que surgen en el ámbito de un sistema (matemático o extramatemático).
238
En definitiva, y en la medida que el euclideanismo (y el correspondiente
aplicacionismo) sigue vigente en las instituciones escolares, se desvirtúa y trivializa la
actividad de modelización puesto que queda reducida a la simple ejemplificación
puntual y anecdótica de ciertos modelos preestablecidos (Barquero, Bosch & Gascón,
2014).
Las restricciones generales del segundo grupo provienen de la ideología pedagógica
dominante que está muy relacionada con el «monumentalismo» (Chevallard, 2013)
porque parte siempre de un contenido fijado de antemano al que se propone que los
estudiantes «visiten» como si se tratara de un monumento. Este monumentalismo
dificulta enormemente un cambio en las cláusulas del contrato didáctico tradicional para
hacer posible que los alumnos compartan algunas de las responsabilidades asignadas en
exclusiva al profesor. Esta asunción de nuevas responsabilidades por parte de los
alumnos (como, por ejemplo, elegir los objetivos del estudio, proponer medios para
llevarlo a cabo, hacerse responsables de sus propias respuestas, discutir las respuestas
parciales que surgen en la comunidad de estudio, etc.) es imprescindible para desarrollar
de forma cooperativa una actividad de modelización.
La ideología pedagógica dominante tiene, asimismo, un fuerte carácter «generalista» y
«proteccionista» que se caracteriza por separar el contenido de la enseñanza de la forma
de organizar su estudio y por intentar proteger a los alumnos de aquellos aspectos
disciplinares que por su especial exigencia dificultan, presuntamente, la vida escolar de
los alumnos. En base a este principio proteccionista se ha desarrollado una tendencia
pedagógica a atomizar la matemática enseñada y a eliminar el trabajo sistemático y a
largo plazo. Dado que éstos son rasgos esenciales de la actividad de modelización
matemática, es obvio que el «generalismo pedagógico» (Gascón & Bosch, 2007)
obstruye su desarrollo.
Más allá de estas restricciones generales que inciden sobre la vida de todo tipo de
modelización matemática en las instituciones escolares, hemos de tener en cuenta las
que se originan en la manera particular como está organizada la práctica matemática
escolar en torno al CDE y la MF. Entre las condiciones específicas que deberían
satisfacerse para posibilitar la implementación en un primer curso universitario de
recorridos de estudio e investigación (REI) sustentados en el MER que articula el CDE
y la MF, citaremos algunas que tienen su origen en la organización matemática escolar.
Se trata de condiciones muy difícilmente modificables tanto desde la posición de
239
alumno como desde la posición de profesor por lo que debemos considerarlas como
restricciones en relación a dichas posiciones institucionales. Postulamos, y este es un
punto central, que la redefinición que propone nuestro MER de la MF y el papel que
asigna al CDE en dicho ámbito constituyen un instrumento esencial para instaurar
algunas de las condiciones necesarias para un desarrollo normal de la actividad de MF
(en el paso de Secundaria a la Universidad). En lo que sigue describimos brevemente
algunas de estas condiciones específicas del ámbito de la actividad matemática que
estamos tomando en consideración:
a) En la práctica matemática escolar se estudian diferentes tipos de funciones y se
suele tomar la representación gráfica de las mismas como uno de los objetivos
del estudio. Por el contrario, para que la MF viva con normalidad en la
matemática escolar se requiere que el estudio de las funciones y su eventual
representación gráfica se tomen como instrumentos para modelizar un sistema y
responder a ciertas cuestiones problemáticas emergentes en el mismo. Éste es,
por tanto, uno de los cambios que debe proporcionar el MER, convertir el
estudio de las funciones de un objetivo en sí mismo a un instrumento para el
estudio de ciertos sistemas.
b) La mayor parte de las tareas matemáticas escolares (especialmente en
Secundaria) conducen, como resultado de la actividad, a la determinación de un
número, una cantidad de magnitud o una figura. Sin embargo, la actividad de
MF requiere de manera esencial que se puedan plantear cuestiones y problemas
cuya respuesta sea una función e, incluso, una familia de funciones. En
consecuencia, el MER debe sustentar procesos de estudio cuya incógnita sea
necesariamente una familia de funciones.
c) En la matemática escolar predomina la interpretación «geométrica» de la
derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta tangente y la
interpretación «física» de la función derivada como el límite del cociente
incremental. Dado que en las actividades de MF en las que interviene la derivada
ésta debe considerarse como la variación de su primitiva (con todas las
consecuencias que esto comporta) las interpretaciones habituales de la derivada
constituyen una restricción al desarrollo de la MF en el ámbito escolar. La razón
de ser alternativa que el MER asigna a la derivada deberá por tanto centrarse en
240
el hecho que la derivada es un instrumento esencial para estudiar la variación de
una función.
d) El hecho de que f’ no se interprete sistemáticamente como la variación de f, hace
que la interpretación de f’’ como la variación de f’ y, por lo tanto, como el ritmo
de variación de f, esté prácticamente ausente en la matemática escolar. Esta
limitación dificulta, incluso, la interpretación contextualizada de los puntos de
inflexión de la gráfica de una función. De nuevo, el MER debe potenciar el uso
de la derivada segunda como instrumento más fino de interpretación de la
variación de un sistema.
e) Relacionada con las restricciones anteriores, en la matemática escolar se
constatan grandes dificultades (como se pone de manifiesto en las
investigaciones didácticas descritas en el capítulo II) para relacionar f y f’ o, en
otras palabras, para interpretar (y para construir) una ecuación en la que figuren
simultáneamente f y f’. Estas dificultades restringen claramente la vida escolar
de la MF puesto que muchos de los modelos funcionales se construyen
precisamente a partir de una ecuación diferencial. Incluso podemos suponer que
la falta de visibilidad de algunos modelos funcionales de este tipo (ver sección
8.3 del capítulo III) puede estar relacionada con estas dificultades. El MER debe
incluir la formulación de ecuaciones diferenciales (elementales) como un medio
para construir modelos funcionales.
Por último, podríamos citar otras restricciones a la vida normal de la MF provenientes
de la ausencia, en la práctica matemática escolar, de muchas de las tareas que forman
parte de la actividad de MF tal como ha sido caracterizada en el diagrama de actividad
(sección 2 del capítulo III). Entre dichas tareas podemos citar: la delimitación o
construcción del sistema a modelizar, la construcción de modelos tabulares con la tasa
de variación media (TVM) o la tasa de variación media relativa (TVMR), la
construcción de modelos discretos (exactos o aproximados), la construcción de un
modelo funcional continuo como aproximación de un modelo discreto, la discretización
de un modelo continuo, la comparación de diferentes modelos funcionales de un mismo
sistema para elegir el más adecuado para un objetivo determinado y la generación de
nuevas cuestiones y de nuevas hipótesis que requieran la introducción de nuevas
variables y de un nuevo proceso de modelización para responder a dichas cuestiones.
241
En resumen, debemos diseñar recorridos de estudio e investigación (REI) que sean
suficientemente abiertos y flexibles para permitir a los alumnos, al menos
potencialmente, transitar entre los modelos discretos y los continuos, trabajar en todos
los estadios de la modelización, comparar el ajuste y la capacidad predictiva de dos o
más modelos de un mismo sistema y plantear nuevas cuestiones que requieran
reconstruir el sistema y llevar a cabo un nuevo proceso de modelización. Como
organizaciones didácticas, los REI facilitan a los alumnos un alto grado de autonomía y
ponen a su disposición los medios necesarios para ejercerla (entre los cuales,
destacamos las TICs) y todo con el objetivo de construir respuestas a cuestiones que, a
su vez, también evolucionan a lo largo del proceso de estudio.
242
Capítulo V
Diseño, experimentación y evaluación de recorridos de
estudio e investigación en el ámbito de los estudios
universitarios de Medicina Nuclear
Después de describir con detalle las condiciones institucionales que se deben de tener en
cuenta al llevar a cabo una experimentación de un proceso de estudio diseñado para la
enseñanza del cálculo diferencial elemental en un primer curso de una Licenciatura de
Medicina Nuclear de la enseñanza universitaria portuguesa, en este capítulo V, se
describe la experimentación y la evaluación de algunos recorridos de estudio e
investigación (REI) sustentados en los recorridos matemáticos a priori (RM)
elaborados partiendo de datos concretos y descritos en el capítulo IV de esta memoria.
En el desarrollo de estos recorridos matemáticos es necesario emplear técnicas
matemáticas más o menos sofisticadas que, en muchos casos, sobrepasen los objetivos
programáticos establecidos tanto en el último curso de la enseñanza secundaria como en
el primer curso universitario de Medicina nuclear. Es por ello que algunas nociones
tales como regresión, ecuación diferencial, aproximación, mejor modelo y modelo
funcional que mejor aproxima una tabla de datos, así como algunos teoremas
fundamentales del cálculo diferencial, como el teorema del valor medio o el teorema
fundamental del cálculo integral, son introducidos y tratados de forma cuasi-intuitiva,
sin profundizar ni justificar los fundamentos de las mismas, ya que no son en sí mismas
objetivo de la formación del curso en el que se desarrollan. No debe perderse de vista de
que, en este curso, se trata de visualizar la potencia del cálculo diferencial elemental y
no tanto en mantener el rigor y justificar las técnicas.
243
1. Condiciones institucionales para la experimentación de los REI en
Medicina Nuclear
Antes de diseñar el proceso de estudio, estudiamos las condiciones necesarias para
implementar, de modo experimental, en un primer curso de la Licenciatura de Medicina
Nuclear de la enseñanza universitaria portuguesa, algunos posibles REI sustentados en
los RM a priori diseñados a partir de datos concretos.
En primer lugar fue analizado y discutido en detalle el programa oficial de la disciplina
de Biomatemática con la profesora que había sido responsable en los años lectivos
anteriores y también con los Coordinadores de las Áreas Técnico-Científicas de
Biomatemática, Bioestadística y Bioinformática y de Medicina Nuclear, para saber sí
sería posible un abordaje del estudio del CDE (diferencial e integral) en el ámbito de la
modelización funcional.
Tal propuesta didáctica a la primera vista les parecía difícil de concretar por ser muy
diferente de la utilizada habitualmente en la enseñanza secundaria y universitaria de las
matemáticas. Por otro lado, se cuestionaba si los estudiantes serían capaces de colaborar
tan activamente como se pretendía en la propuesta didáctica y si sería posible cumplir el
programa en el tiempo institucional estipulado (25 horas).
Fue necesario convencer a los profesores/coordinadores de que, efectivamente, sería
posible conseguir que los estudiantes viviesen los REI basados en problemas reales y
construyesen sus conocimientos de forma relativamente autónoma. Esta manera de
trabajar aumentaría sin duda su motivación e interés por estudiar las técnicas
matemáticas y, además, permitiría que los estudiantes percibiesen la razón de ser de su
estudio en el primer curso de Medicina Nuclear.
Para poder llevar a cabo la experimentación de los REI fueron negociadas y aceptadas
algunas condiciones impuestas por la institución:
1. Se deberían cubrir todos los objetivos del programa oficial en el tiempo previsto.
2. La experimentación debería englobar la evaluación final de los estudiantes
(siendo negociables los tipos de instrumentos de evaluación y sus pesos).
244
3. Los criterios de evaluación deberían estar muy bien definidos al inicio de la
experimentación y acordados con los estudiantes (para no dar lugar a posteriores
reclamaciones).
4. Se debería clarificar el tipo de evaluación que tenían los estudiantes que
ingresasen en el curso después del inicio de la experimentación.
5. Las cuestiones problemáticas generatrices de los REI deberían estar relacionadas
con las dos grandes problemáticas abordadas en el área de la Medicina Nuclear.
6. Se debería elaborar un documento final que evaluase la experimentación.
Así, estudiamos cada una de estas restricciones en la implementación del REI como
condiciones particulares63 de esta institución:
1.1. Coordinación con los objetivos programáticos habituales
La experimentación ha sido realizada en el ámbito de la segunda unidad curricular,
UC02 – Ciências Biomédicas e das Radiações I, del primer año de la Licenciatura de
Medicina Nuclear, que contempla el área de Biomatemática, Bioestatística y
Bioinformática (BBB) con los siguientes objetivos programáticos habituales:
0. Biomatemática e Medicina Nuclear
1. Revisões de Conceitos
2. Derivadas para funções de uma variável
2.1 Derivada de uma função e diferenciabilidade
2.2 Derivadas de ordem superior
2.3 Regras de derivação
2.4 Teoremas sobre o valor médio
2.5 Aplicações sobre derivadas
3 Cálculo Integral
3.1 Primitivação e Integração
3.2 Métodos de Primitivação (Primitivas Imediatas; Método por Partes e por Substituição)
3.3 Integral definido
3.4 Propriedades do integral definido
3.5 Aplicações dos integrais
Tabla 1: Programa oficial de BBB en Ciências Biomédicas e das Radiações I en el año lectivo 2013/2014
En el presente año lectivo, para hacer vivir una experiencia didáctica que incluyese y
articulase actividades de modelización funcional y que, de ese modo, permitiese
efectuar un estudio más rico y amplio del cálculo diferencial elemental, ha surgido la
necesidad de introducir algunas nociones relacionadas con la modelización y cierto
vocabulario poco habitual para los estudiantes como, por ejemplo, la utilización de los
siguientes términos: caracterización de un sistema, elección de las variables,
63
Estas condiciones no son muy diferentes de las impuestas por otras instituciones escolares portuguesas,
por lo que podrían ser generalizables a otras instituciones de la enseñanza secundaria o universitaria.
245
construcción de un modelo funcional (como la función que describe un sistema),
cuestionamiento tecnológico (estudio de cuestiones relativas a características de las
técnicas matemáticas como, por ejemplo, su economía, fiabilidad o dominio de validez),
interpretación de los resultados en el contexto del sistema, ampliación de la actividad
matemática, etc.
Por otro lado, como parte de una Unidad Curricular que abarca diversas áreas, se pensó
que la Biomatemática, Bioestatística y Bioinformática debería articularse con las
restantes. Para intentar estudiar una posible forma de hacer esta coordinación se
procedió a un análisis de la Ficha de la UC-02 institucional general:
METODOLOGIAS DE ENSINO
64
PBL com aulas tutoriais (apresentação/defesa de pesquisas individuais e/ou trabalhos de grupo, sempre
mais ou menos relacionado com a resolução de problemas em estudo), aulas práticas laboratoriais
(simulações experimentais, situações práticas e/ou exercícios aplicados) e ainda sessões de recurso
(método expositivo e interrogativo), podendo acontecer, no todo ou em parte, seja em regime presencial
seja com recurso a ferramentas de ensino à distância.
Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objetivos de aprendizagem da UC
Tendo por base a metodologia PBL foram definidos 2 problemas para esta UC, sobre os quais os
estudantes irão trabalhar e discutir durante as Sessões de Orientação Tutorial:
1. Introdução às Ciências das Radiações
2. Efeitos Biológicos das Radiações Ionizantes
De modo a dotar os alunos dos conhecimentos teóricos necessários para o desenvolvimento dos
problemas acima referidos, bem como conhecimentos transversais mais abrangentes, as sessões de
recurso (aulas teóricas) incidirão maioritariamente sobre as temáticas descritas nos Conteúdos Teóricos
do Programa da UC, com interveniência de diversas Áreas Técnico-Científicas (ATCs), nomeadamente:
Medicina Nuclear (capítulos 1,2,3,6 e 7), Física (capítulos 4 e 5), Ciências Funcionais (capítulos 7 e 8),
Ciências Morfológicas (capítulo 9), Ciências Químicas e das Biomoléculas (capítulo 11) e
Biomatemática, Bioestatística e Bioinformática (capítulo 10 e 9)
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO
Segundo o Regulamento de Avaliação e Aproveitamento dos Estudantes em vigor, o estudante pode
realizar um de dois tipos de avaliação: distribuída (por defeito) ou final (mediante declaração escrita).
DESCRIÇÃO DAS DIFERENTES MODALIDADES DE AVALIAÇÃO
AVALIAÇÃO DISTRIBUÍDA:
Nesta modalidade de avaliação, o estudante será avaliado em diversos momentos:
a) em cada sessão de orientação tutorial;
b) quando da apresentação de cada problema;
c) testes sumativos (pelo menos um por cada ATC envolvida);
Tabla 2: Presentación de una parte de la Ficha de la Unidad Curricular institucional.
64
Problem Based Learning, en español, Aprendizaje Basada en Problemas (ABP).
246
1.2. Ampliación de los objetivos que se persiguen con el estudio del Cálculo
Diferencial e Integral
Pretendemos que los estudiantes de primer curso de Universidad consideren el estudio
del Cálculo Diferencial e Integral como un instrumento útil para su futuro como
técnicos de Medicina Nuclear y, más concretamente, que perciban su utilidad en las
actividades de modelación funcional. Por ello, ampliamos los objetivos oficiales como
se indica en la siguiente tabla.
La integral permite calcular áreas entre cualquier tipo de curvas.
Es más rápido y sencillo resolver una ecuación diferencial (por integración) que una
ecuación en diferencias finitas (por recurrencia).
El uso de sus derivadas permite elegir modelos con mejor capacidad predictiva.
En el
trabajo de
los modelos
Las técnicas de integración permiten obtener modelos más ajustados a los datos discretos o
con mejor capacidad predictiva.
Para estudiar la monotonía de un modelo es esencial usar la función derivada.
En la
interpretación
del modelo
En la
comparación
de modelos
En la
construcción
de modelos
Objetivos
La función derivada permite interpretar la variación de una variable en relación a otra.
Las técnicas de derivación permiten determinar los extremos de una gran parte de modelos.
El CDE permite interpretar mejor el modelo funcional en un sistema real dado.
Tabla 3: Objetivos ampliados.
Dominio de las técnicas del Cálculo Diferencial e Integral
Técnicas
Cálculo de la derivada en un punto como límite de la TVM (definición de derivada).
Derivación
Uso de las reglas de derivación.
Determinación de la derivada de la función compuesta.
Estudio de la derivada de una función definida por trozos.
Cálculo de las derivadas laterales.
Integración
Primitivación/
Inmediata.
Por partes.
Por sustitución.
247
Por fracciones racionales.
En el cálculo de áreas entre curvas.
Teoremas
Construcción del Polinomio de Taylor de una función.
Condiciones del Teorema de Lagrange (del Valor Medio).
Tabla 4: Técnicas a explorar en el estudio del cálculo diferencial elemental.
Desarrollo de competencias de modelización funcional
Competencias
Percibir la relevancia de formular hipótesis/conjeturar en la resolución de problemas del día-a-día.
Conseguir estudiar diferentes situaciones simultáneamente
Representar gráficamente familias de modelos funcionales.
Manipular con facilidad parámetros de un modelo funcional para modificar la situación inicial.
Conseguir comparar esas situaciones.
Conjeturar sobre posibles soluciones para el problema inicial.
Autonomía en la resolución de problemas del contexto profesional de un técnico de Medicina Nuclear.
Tabla 5: Competencias de modelización funcional.
Desarrollo de competencias informáticas/Enseñanza Virtual
Competencias
Programación matemática de las celdas de la Hoja de Cálculo como medida
economizadora de tiempo en la construcción de varias tablas con características comunes.
GeoGebra
Medio con herramientas
matemáticas
Instrumento
Rapidez en la representación gráfica de un modelo funcional.
Uso de selectores para modificar y manipular la situación inicial.
Trabajo simultáneo de gráficos, expresiones algebraicas, texto y tablas de valores.
Compartir la pantalla.
Skype
Enseñanza Virtual
Utilización frecuente de un instrumento de videoconferencia.
Enviar ficheros en una videoconferencia para posible discusión.
Adicionar elementos a un grupo en videoconferencia.
248
Moodle
Descargar ficheros vía Moodle.
Utilizar el chat del Moodle.
Enviar trabajos por esta vía.
General
Percibir la utilidad de un método de Enseñanza Virtual.
Capacidad de adaptación a una metodología que englobe además la enseñanza a
distancia.
Tabla 6: Competencias informáticas.
1.3. Dispositivos de evaluación de los estudiantes
Dado que en la mayoría de las disciplinas técnicas del Área de Medicina Nuclear se
utiliza la metodología didáctica de Problem Based Learning (PBL) o, en español,
Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) y en la disciplina de Biomatemática,
Bioestatística y Bioinformática aún se utilizaba una metodología tradicional
(expositiva), nuestra propuesta de enseñanza-aprendizaje mediante recorridos de
estudio e investigación (que valora la autonomía del alumno) ha tenido una buena
receptividad por parte de la Coordinación del Curso. Además, fue posible negociar un
instrumento distinto de evaluación que sustituyese el habitual «test escrito» y, en
general, todo el proceso de evaluación del siguiente modo:
La evaluación65 de los estudiantes fue continua, se basó en la observación directa
del trabajo desarrollado en las sesiones (presenciales y no presenciales), en un
instrumento de evaluación mediante un portafolio de grupo (trabajo escrito) y en
una presentación final de resultados y de las respectivas reflexiones.
Al analizar el plan de estudios del primer curso de Licenciatura en Medicina Nuclear se
observa que el componente de Biomatemática, Bioestatística y Bioinformática (BBB)
tiene poco peso en las Unidades Curriculares siéndole solamente atribuidos 2 ECTS66
correspondientes a 56 horas de dedicación del estudiante:
65
Se ha reseñado que, en caso de reprobación, o de ingreso en el curso de Medicina Nuclear en un
momento bastante posterior al del inicio de la presente Unidad Curricular, los estudiantes serian
evaluados solamente por un Examen final escrito (Época Normal, Recurso y Especial).
66
Por ECTS se entiende European Credit Transfer and Accumulation System que mide las horas que
el estudiante debe trabajar para alcanzar los objetivos del programa de estudios. La clasificación final
resulta de una media ponderada de acuerdo con la distribución de esos créditos. El número de ECTS
correspondiente a un año lectivo de estudio a tiempo completo es de 60 créditos y un ECTS corresponde a
28 horas de trabajo del alumno incluyendo: horas lectivas (teóricas y teórico-prácticas), horas de apoyo
tutorial (on-line), estudio individual del aluno y evaluación.
249
Figura 1 - Plan de estudios de un primer curso de Licenciatura en Medicina Nuclear.
Así, se ha planeado distribuir esas 56 horas de la siguiente forma:
Presencial
No presencial
Documentación/Estudio
Total horas
Portfolio de grupo
------
3h x 6 sem = 18h
2h x 6 sem = 12h
30
Prácticas Laborat.
Teórico-Prácticas
Evaluación
Total horas
14 h
11 h
1h
26 h
12 h
14
11
1
56 h (2 ECTS)
18 h
Tabla 7: Dedicación del estudiante para BBB en horas presenciales, no presenciales, de estudio y de
trabajo para elaborar el «portafolio» de grupo.
Antes de la experimentación, el profesor no tenía conocimiento del horario, del número
de estudiantes (había una previsión de 14 alumnos), de la distribución del número de
horas por semana (podría variar de 0-6h), ni tampoco, por sesión (podrían estar
constituidas por bloques de 2h o de 3h). Como corresponde a una Unidad Curricular
trimestral y por módulos, los horarios cambian semanalmente y el profesor sólo tiene
conocimiento de la distribución horaria de las sesiones una semana antes del inicio del
curso. Así, el diseño de los diferentes REI y su articulación estaban un poco
condicionados a las restricciones del número de horas en cada sesión.
Un dispositivo didáctico que pensamos utilizar en el marco de esta nueva metodología
consistió en un portafolio de grupo que fue construido y organizado en carpetas de
sesiones en la plataforma Moodle. De esta forma surgió la necesidad de que en cada
250
sesión (presencial y no presencial) cada grupo definiese su «secretario» (rotativo) al
cual fueron atribuidas las siguientes funciones:
 Responsabilizarse de la grabación del trabajo desarrollado por el grupo con
grabador/móvil/tablet en las sesiones presenciales y online;
 Escribir una pequeña acta de la reunión en la cual describiese, por ejemplo: las
cuestiones/dudas/hipótesis más pertinentes de los elementos del grupo, discusiones,
interpretaciones, conclusiones y reflexiones (pudiendo recurrir al auxilio de la
grabación);
 Preparar los anexos del acta: resoluciones manuales de ejercicios digitalizadas, ficheros
del GeoGebra, etc.;
 Reunir todos los documentos en una carpeta con la designación de la sesión
correspondiente y enviar a la profesora en nombre del grupo y vía Moodle antes del
inicio de la sesión siguiente;
La calificación final de cada alumno se obtendría como la media ponderada de sus
evaluaciones grupal (70%) e individual (30%), según los siguientes criterios:
 Evaluación grupal: fue igual para todos los elementos de cada grupo y resultó de
la media de la evaluación de las actividades de estudio desarrolladas en cada uno
de los trabajos enviados de acuerdo con la siguiente distribución de pesos:
Actividades de estudio
% en la
Evaluación
Formulación de hipótesis
Construcción de modelos de los modelos
10%
5%
(numéricos, gráficos, variacionales)
Utilización de las TIC
Construcción del modelo funcional
5%
15%
Cuestionamiento tecnológico
10%
(de las técnicas que permiten construir el modelo)
Trabajo de las técnicas de manipulación de los modelos
Cuestionamiento tecnológico
10%
10%
(de las técnicas que permiten trabajar el modelo)
Interpretación del modelo y de los resultados en términos del sistema
Indicadores generales
Indicadores generales
% en la Evaluación
(parte de los 20%)
Creatividad
Organización
20%
10%
Lenguaje científico
Cumplimento de los plazos
10%
10%
Sentido crítico
Reflexión final
10%
40%
Tabla 8: Ponderación de los criterios de evaluación.
251
15%
20%
 Evaluación individual: fue particular para cada elemento del grupo y resultante
de la observación del empeño y trabajo desarrollado durante las sesiones
presenciales y no presenciales, según los siguientes indicadores:
-
Asistencia y puntualidad (10%): entrada y salida puntual de las sesiones;
Actitud (10%): empeño, responsabilidad, participación, discusión, reflexión;
Liderazgo (10%): iniciativa, valorización en la coevaluación, o sea, en la evaluación
por los pares del mismo grupo;
Méritos (0-2 valores): entrega voluntaria de respuestas a desafíos no obligatorios,
elaboración de actas, solicitud individual de sesiones virtuales extra al profesor para
esclarecimiento de dudas revelando tener una mayor responsabilidad en el trabajo
de su grupo.
1.4. Distribución semanal del programa de estudio estructurado por
problemas de Medicina Nuclear y recorridos matemáticos
En un primer diseño a priori se habían desarrollado Recorridos Matemáticos con datos
concretos que se basaban en problemas relacionados con la propagación de epidemias
(gripe H1N1, ebola, etc.) o de la variación de la concentración de un medicamento. Sin
embargo, a pesar de que estos temas se relacionaban con la Medicina, no estaban
directamente relacionados con la Medicina Nuclear ni, tampoco, con las problemáticas
abordadas en la Unidad Curricular de Ciências Biomédicas e das Radiações I (en la cual
se introduce el cálculo integral).
Así, la mayor dificultad, el gran obstáculo a traspasar, consistió en reajustar el REI
construido a priori al programa oficial de Biomatemática, Bioestatística y
Bioinformática y, además, articular éste con las grandes problemáticas estudiadas
conjuntamente en las otras Áreas Técnico-Científicas de Medicina Nuclear, o sea,
contextualizar algunos de los RM en el ámbito de la Medicina Nuclear. En concreto, de
entre los RM descritos en el capítulo IV, hemos seleccionado cinco de ellos,
concretamente RM1, RM2, RM3, RM4 y RM5, con el objetivo de recubrir el estudio de
los dos problemas definidos a priori en la Ficha de la Unidad Curricular institucional
(ver Tabla 2): Decaimiento radioactivo - (P1) y Efecto Biológico de las Radiaciones
Ionizantes - (P2). El abordaje, desarrollo y articulación de estos dos problemas
concretos fue sustentada por los cinco RM del siguiente modo:
252
Problema
Semana
2
3
RM1: Recorrido
matemático exacto
discreto
Decaimiento radioactivo- (P1)
2
Recorrido Matemático
(parcial: 1.º + 2.º estadio
de MF)
RM2: Recorrido
matemático exacto
continuo
(completo ampliado: 1.º 4.º + 1.º estadio de MF)
RM3: Recorrido
matemático exacto
discreto-continuo
4
5+6
7
Efecto Biológico de las Radiaciones Ionizantes - (P2)
(completo ampliado: 1.º 4.º + 1.º estadio de MF)
RM4: Recorrido
matemático aproximado
discreto-continuo
(completo ampliado: 1.º 4.º + 1.º estadio de MF)
Abordaje
Construcción de un modelo discreto que
describa la velocidad de desintegración
de un radioisótopo, a partir del cálculo
de las diferencias finitas de datos
discretos referentes a la masa/actividad
del Molibdenium-99/Xenon-133.
Variación y
diferencias finitas
(TVM)
Estudio de la variación de la
concentración de un radiofármaco
utilizado en el diagnóstico de cáncer de
tiroides (trabajo de un modelo continuo
construido, interpretación, formulación
de nuevas hipótesis y ampliación del
sistema inicial).
Derivadas, asíntotas,
limites, continuidad
Construcción y estudio de la variación
de un modelo continuo que describa la
evolución temporal de la dosis de un
radiofármaco, conociendo su velocidad
de administración (construcción, trabajo
y ampliación del modelo).
Antiderivada, integral
y cálculo de áreas
bajo una curva o
entre curvas.
Construcción de un modelo continuo a
partir de datos discretos que describa la
evolución temporal del número de casos
de cáncer de tiroides en niños y jóvenes
de Bielorrusia (región próxima al
accidente de Chernóbil). Trabajo del
modelo para hacer previsiones del
número de casos para los años
siguientes.
Regresiones sobre
datos discretos
brutos, elección del
mejor modelo con la
derivada.
Cuestionamiento
matemáticas.
RM5: Recorrido
matemático aproximado
variacional discretocontinuo
(completo ampliado: 1.º 4.º + 1.º estadio de MF)
Continuación del RM1
(parcial: 3.º estadio de
MF)
Contenidos
de
las
técnicas
Construcción de un modelo continuo a
partir de datos discretos que describa la
propagación de los efectos genéticos y
la repercusión en las generaciones
siguientes al accidente de Chernóbil.
Utilización del modelo construido para
prever la evolución del impacto de esos
efectos genéticos en las generaciones
futuras.
Regresiones sobre
datos discretos
variacionales,
resolución de
ecuaciones
diferenciales por
integración directa.
Comparación de la economía de las
técnicas discretas (diferencias finitas)
con la economía de las técnicas del
CDE (derivada, integral) en la
construcción y manipulación de
modelos funcionales.
Relevancia del CDE
en el paso del campo
discreto al continuo.
Tabla 9: Distribución semanal del programa de estudio por problemas de Medicina Nuclear y recorridos
matemáticos.
253
1.5. Tabla de tareas del diagrama de actividad de MF y de las
correspondientes actividades de estudio
Con la finalidad de diseñar dispositivos de evaluación y de precisar los objetivos de las
actividades a proponer, el diagrama de actividad de modelización funcional fue
interpretado y dividido en las siguientes partes:
Tipos de tareas
Actividades de estudio
Formulación de hipótesis
+
+
Construcción de los modelos
(numéricos, gráficos,
variacionales, etc.)
+
Utilización de las TIC
+
Construcción del modelo
funcional
254
Cuestionamiento
tecnológico
(de las técnicas que permiten
construir el modelo)
Trabajo de las técnicas de
manipulación de los
modelos
+
Cuestionamiento
tecnológico
(de las técnicas que permiten
trabajar el modelo)
Interpretación del modelo y
de los resultados en
términos del sistema
+
Tabla 10 - Tabla de las tareas del diagrama de actividad de MF y las actividades de estudio.
255
2. Diseño a priori de recorridos de estudio e investigación para
experimentar en el primer curso universitario de Medicina Nuclear
Tomando en consideración las condiciones y restricciones descritas en la sección 3 del
capítulo IV y las condiciones impuestas para la realización efectiva de la
experimentación descritas en la sección anterior, hemos de diseñar, para después
experimentar y evaluar, un conjunto de REI que se sustentarán en los recorridos
matemáticos a priori RM1, RM2, RM3, RM4 y RM5 descritos en la sección 2 del capítulo
IV.
2.1. Distribución del programa de estudio en unidades didácticas
Digamos para empezar que los contenidos de la Tabla 9 fueron distribuidos en 4
Unidades Didácticas (UD0 - UD3):
UD0: ¿Qué significa variación?
-
Diagnóstico de los conocimientos previos sobre la noción de variación, TVM, derivada;
Comparación de técnicas;
Cuestionamiento tecnológico;
Estudio de la razón de ser de la derivada y las derivadas de orden superior;
UD1: Construcción y manipulación del modelo discreto «exacto» (RM1)
-
Análisis de la variación de datos discretos;
Formulación de hipótesis sobre la variación;
Estudio de las diferencias finitas (TVM[t, t+1]);
Análisis de la variación relativa;
Construcción del modelo variacional;
Resolución de la ecuación en diferencias finitas;
Construcción del modelo funcional discreto;
Trabajo dentro del modelo discreto;
Interpretación del trabajo y de los resultados en términos del sistema
Nuevas hipótesis, nuevas variables, nuevo sistema;
256
UD2: Construcción y manipulación del modelo continuo «exacto» (RM2 + RM3)
RM2
-
RM3
-
Construcción del modelo funcional
continuo;
Trabajo dentro del modelo continuo;
Interpretación en términos del sistema
Nuevas hipótesis, nuevo sistema,
nuevas variables;
-
-
-
Análisis de la variación de los datos
continuos;
Construcción del modelo diferencial;
Resolución de la ecuación diferencial;
Construcción del modelo funcional
continuo mediante una familia de
funciones;
Trabajo dentro del modelo continuo;
Interpretación en términos del sistema
Nuevas hipótesis, nuevas variables,
nuevo sistema;
UD3: Construcción y manipulación del modelo continuo «aproximado» (RM4 + RM5)
-
RM4
Regresiones sobre datos discretos
brutos;
Elección del modelo funcional
continuo aproximado;
Construcción del modelo funcional
continuo aproximado;
Trabajo dentro del modelo continuo;
Interpretación en términos del
sistema
Nuevas hipótesis, nuevas variables,
nuevo sistema;
-
RM5
Regresión sobre datos discretos
variacionales (TVM o TVMR);
Elección del modelo variacional;
Construcción del modelo variacional;
Aproximación a un modelo
diferencial;
Construcción del modelo diferencial
aproximado;
Resolución de la ecuación diferencial;
Construcción del modelo funcional
continuo aproximado;
Trabajo dentro del modelo continuo;
Interpretación en términos del sistema
Nuevas hipótesis, nuevas variables,
nuevo sistema;
2.2. Distribución por sesiones de las cuestiones derivadas de los dos
problemas básicos de Medicina Nuclear
Para trabajar estas 4 Unidades Didácticas fueron construidos varios dispositivos
didácticos para utilizar en las sesiones presenciales (SP) y no presenciales o virtuales
(SV).
Por un lado, fueron retomadas, adaptadas y ampliadas algunas de las Fichas de Trabajo
utilizadas en los años lectivos anteriores resultando en un conjunto de tareas
257
matemáticas (ver F1-F4 en el anexo G.2.) que implicaban tanto la utilización de técnicas
de derivación/primitivación como la comparación económica y dominio de validez de
esas mismas técnicas. Estas fichas incluían además el estudio de condiciones de
aplicabilidad de teoremas, la construcción de modelos, el trabajo de familias de
funciones, la manipulación de parámetros con el GeoGebra, etc.
Por otro lado fueron exploradas Cuestiones Problemáticas del ámbito de la Medicina
Nuclear (ver Q1-Q5 en el anexo G.1.) cuya resolución implicaba que los estudiantes
sintiesen la necesidad de conseguir nuevas técnicas matemáticas, discutiesen en grupo,
conjeturasen y desarrollasen así un trabajo de reflexión más autónomo.
En la tabla siguiente están descritos de forma sucinta los instrumentos didácticos
utilizados en cada sesión (que pueden ser consultados con más detalle en el anexo G):
Sesión
Cuestiones derivadas de los dos problemas de Medicina Nuclear
SP1
Ficha de Diagnóstico: O que significa variação?
SP2
Ficha de Trabalho 1: razões de ser do estudo da primeira derivada e derivadas de ordem
superior, comparação de técnicas de derivação, Teorema de Lagrange, Polinómio de Taylor,
construção de modelos a partir do conhecimento de alguns dados contínuos.
SP3
Institucionalização das respostas às tarefas propostas nas Fichas anteriores e comparação das
diferentes técnicas utilizadas pelos grupos de estudantes (questionamento tecnológico).
SP4
Problema 1 – Decaimento radioativo
Como preparar e administrar um radiofármaco para diagnosticar o cancro de tiroide?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Na preparação destes radiofármacos podem surgir as seguintes questões:
Como varia a massa de um isótopo radioativo ao longo da sua desintegração?
Como varia a massa do Molibdénio-99 depois da sua desintegração? Que modelo
algébrico-funcional poderia descrever o sistema?
Represente numa tabela de valores a variação média (e relativa) da massa em
.
Estude a variação e uma relação entre as variáveis usando unicamente técnicas no
campo discreto (diferenças finitas).
Analogamente,
Como varia a massa do Xenon-133 depois da sua desintegração?…
…
:…
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Como estudar a variação da concentração de um radiofármaco no plasma sanguíneo de um
paciente t minutos após a sua administração?
Que tipo de modelo funcional poderia caracterizar este sistema?
Pode afirmar que a concentração aumenta sempre com o tempo?
Como varia essa concentração ao longo do tempo?
A partir de que momento se inicia a eliminação progressiva do radiofármaco do plasma
sanguíneo? Qual é o valor da concentração nesse momento?
Em que momentos a concentração decresce mais rapidamente?
Uma possível ampliação da situação inicial poderá surgir da necessidade de comparar a
evolução da concentração do radiofármaco em dois organismos diferentes como, por exemplo:
: Num exame de diagnóstico do cancro da tiroide a concentração do radiofármaco no
258
plasma sanguíneo observada em cada instante de tempo depende de vários fatores. Supondo
que foi administrada a mesma dose de radiofármaco, num certo momento e nas mesmas
condições exteriores, a dois pacientes, Maria e Luís, cuja concentração no plasma vem
descrita, respetivamente, pelos modelos
y
, como podemos
comparar a variação das duas concentrações?
Caso geral:
: Como estudar a variação da concentração do radiofármaco no plasma sanguíneo de um
determinado paciente supondo que, t horas depois de ingerido o medicamento, a concentração
no plasma pode ser representada pelo modelo algébrico-funcional
onde a e k
são constantes positivas?
: Como depende, em cada caso, o comportamento da função concentração C a (t) do valor
do parâmetro a? Em que momento a concentração Ca(t) é máxima? Qual é o valor dessa
concentração máxima? (A)
Como depende, em cada caso, o comportamento da função concentração C k (t) do valor
do parâmetro k? Em que momento a concentração Ck(t) é máxima? Qual é o valor dessa
concentração máxima? (B)
: Que características comuns apresentam os seus gráficos?
De acordo com a situação problemática, formule algumas hipóteses para possíveis
características do sistema que podem estar a ser representadas pelos parâmetros e do
modelo funcional.
Antiderivada de uma função
Q’’2: Sabendo que a variação da concentração do radiofármaco no plasma de um paciente
segundos depois da sua injeção pode ser modelada pela função
,
como poderá descobrir uma expressão algébrica que represente a concentração do
radiofármaco no plasma desse paciente ao longo do tempo? E como poderá construir um
esboço do seu gráfico?
Q’’’2: E se o modelo fosse mais complexo? No caso de
SP5
SP6+7
SP8+9
como procederia?
Conhecendo a velocidade de administração, por via endovenosa, de uma dose de um
radiofármaco, como pode variar essa dose (quantidade) ao longo do tempo?
Uma dose de
ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via
endovenosa, pela primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o
plasma a uma velocidade de
mililitros por minuto, em que representa o tempo medido em
minutos depois do meio-dia, a que horas terminará essa toma?
Uma dose de
ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via
endovenosa, pela primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o
plasma a uma velocidade de
mililitros por minuto, em que representa o tempo
medido em minutos depois do meio-dia, a que horas terminará essa toma?
Uma dose de
ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via
endovenosa, pela primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o
plasma a uma velocidade de
mililitros por minuto, em que representa o tempo
medido em minutos depois do meio-dia, a que horas terminará essa toma?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ficha de Trabalho 2: famílias de funções, noção de antiderivada, trabalho da técnica de
primitivação imediata.
Ficha de Trabalho 3: cálculo de áreas abaixo e entre curvas usando a noção de
integral.
Ficha de Trabalho 4: técnica de primitivação por partes, primitivação por substituição e por
frações simples.
Problema 2 – Efeitos Biológicos das Radiações Ionizantes
Efeitos biológicos das radiações ionizantes provenientes do acidente de Chernobil
O acidente na antiga central ucraniana de Chernobil em 1986 provocou um aumento do número
de casos de cancro da tiroide nas populações mais próximas.
Como se pode prever ao longo do tempo o número de casos de cancro da tiroide
259
SP10
nas populações mais próximas do acidente na
antiga central ucraniana de Chernobil?
Que tipos de modelos funcionais poderiam
caracterizar este sistema?
De entre os modelos apresentados, como
eleger o modelo que se ajusta melhor aos
dados? Que técnicas são possíveis utilizar para
comparar os modelos?
¿De entre os modelos apresentados,
como eleger o modelo que apresenta uma maior
capacidade preditiva a curto, medio e largo prazo? Qual a técnica que sugere utilizar para que
esse modelo seja o elegido?
Propagação de efeitos genéticos e respetiva repercussão em diferentes
gerações a seguir ao acidente de Chernobil
A seguir ao acidente de Chernobil, estudos realizados e amostragens efetuadas a
partir de recolhas de material biológico da população atingida estiveram na base
da previsão da indução de danos genéticos relevantes numa parte da população
de uma determinada espécie animal anual (com ciclo de vida anual). Sabemos
que o impacto na 1.ª geração após o acidente foi de 179, na 2ª foi de 438, e
assim sucessivamente de acordo com a seguinte tabela:
Tabela 4 – Incidência de danos genéticos
nas gerações futuras de uma população por ano.
¿Como se poderá prever a evolução do impacto destes efeitos genéticos nas gerações
futuras?
¿Que tipos de modelos funcionais poderiam caracterizar este sistema?
¿De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que se ajusta melhor aos
dados? Que técnicas são possíveis utilizar para comparar os modelos?
¿De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que apresenta uma maior
capacidade preditiva a 3 anos ou da tendência dos dados futuros? Qual a técnica que sugere
utilizar para que esse modelo seja o elegido?
Tabla 11 - Instrumentos didácticos utilizados en cada sesión
Además de estos instrumentos didácticos fueron cedidos a los diferentes grupos un
conjunto de diapositivas complementarias y algunos artículos del área de Medicina
Nuclear para que los estudiantes pudiesen extraer datos discretos reales para trabajar o,
simplemente, información relativa a las técnicas habitualmente utilizadas en dicha área,
tales como:
É possível construir um mapeamento de órgãos introduzindo no organismo dos pacientes
radioisótopos artificiais (radiotraçadores) que emitem radiações permitindo assim saber por
onde passaram e onde se depositaram.
Dependendo da doença a diagnosticar pode-se preparar diferentes radiofármacos. Em
particular, para diagnosticar o cancro da tiroide utiliza-se frequentemente o isótopo radioativo
Molibdénio-99 mas, por exemplo, para efetuar medições do cérebro e do fluxo sanguíneo utilizase o Xenon-133.
O Molibdénio-99 (pai) ao desintegrar-se transforma-se em Tecnécio-99 (filho).
Cálculo da massa a partir da atividade de um radioisótopo.
Las 10 sesiones presenciales fueron intercaladas con otras tantas sesiones no
presenciales con cada uno de los grupos cuya función principal consistía en establecer
260
una cierta continuidad en la ejecución de las tareas iniciadas en las sesiones presenciales
y, consecuentemente, mejorar la articulación de los diferentes trabajos permitiendo su
acompañamiento y orientación por parte del profesor y potenciando la posibilidad de
formular conjeturas y de discutirlas conjuntamente.
La información compartida entre el profesor y los estudiantes (propuestas de tareas y
respectivas respuestas o registros de los trabajos de investigación efectuados por los
grupos de estudiantes) fue organizada en carpetas de sesiones en la plataforma Moodle
de la siguiente forma:
Figura 2: Parte de la organización didáctica construida en el Moodle (por carpetas de sesiones).
Con esta forma de desarrollar los contenidos, la acción tutorial, tanto presencial como a
distancia, constituye un aspecto clave para que los alumnos realicen sus tareas con
éxito.
261
2.3. Planificación del desarrollo de las unidades didácticas
Para describir la organización didáctica a priori de las sesiones presenciales y no
presenciales, se propone una posible distribución de responsabilidades entre los
diferentes intervinientes articulada con una posible secuencia de ciertos medios y
medias. Para tal descripción utilizaremos la siguiente leyenda:
Sesión
Intervinientes
SPi  Sesión presencial
SVi  Sesión virtual
Medios y Medias
P  Profesor
E  Estudiante
GG  Gran grupo
PG  Pequeño grupo
FD  Ficha de diagnóstico
Fi  Ficha de trabajo
Qi  Cuestión problemática
Qij Cuestión problemática derivada de Qi
1ª semana (13 – 17 octubre de 2014)
Unidad Didáctica 0: “¿Qué significa variación?”, TVM < > derivada
-
Presentar el programa, el proyecto de MF y los dispositivos de evaluación;
Hacer un análisis de cómo interpretan los estudiantes la noción de variación y del dominio e
interpretación de las técnicas que han adquirido en Secundaria;
Trabajar técnicas de estudio de la variación de magnitudes: las diferencias finitas, la TVM y
TVMR, la pendiente de una recta, la derivada;
Interpretar y comparar el alcance de dichas técnicas;
Estudiar la razón de ser de la primera derivada y de las derivadas de orden superior;
Sesión 2 – 2h
Sesión 1- 2h
Presencial
No presencial
P  Presenta la metodología, distribución de horas
de trabajo del E y los criterios de evaluación.
P  Corrige y selecciona algunas respuestas
interesantes de los Es.
P  Distribuye una Ficha de diagnóstico (ver anexo
G.2.).
E  Trabaja en la resolución de las tareas propuestas
y entrega su trabajo al P al final de la sesión.
E Forman PGs de 4 Es (caso de no ser
posible, de 5 Es) y pasan a registrar/grabar
todo el trabajo de su grupo: formulación de
primeras hipótesis, dudas, discusiones,
interpretaciones, reflexiones, etc.
P  Propone a los estudiantes que formen grupos de
4/5 componentes para la próxima sesión, elijan un
secretario que grabará la sesión con móvil/tablet e
impriman la ficha de trabajo F1 a partir del Moodle.
P Al pasar hoja de asistencia, pasar también una
declaración de autorización para gravar datos sonoros
y de imagen;
PGContinúan resolviendo la Ficha de
trabajo 1 con posible consulta de libros de
texto, internet, etc.
EInvitados por el P algunos Es explican al GG sus
posibles respuestas a las tareas del Diagnóstico
mediante una proyección preparada por el P.
GG Discusión y defensa de las respuestas, primera
conjetura de una posible razón de ser para el estudio
de las derivadas en Secundaria (economía técnica
sobre la TVM).
PGEmpiezan a resolver la Ficha de trabajo 1 (ver
anexo G.2.).
262
P+GG Crean GG y PGs virtuales,
experimentan las herramientas informáticas.
E/PG Instala GeoGebra + Skype +
Grabador Skype en su computador portátil.
P Esclarece algunas dudas de los PGs por
Skype en relación a la Ficha de trabajo 1.
PG  Envían el trabajo al P para la
plataforma Moodle.
Sesión virtual 1(GG + PG) – 1h
Sesión 3 – 2h
Medios y Medias
Resultantes del diagnóstico
PG  Cuestionamiento tecnológico resultante de la
resolución de las tareas de la Ficha de trabajo 1:
Comparación de técnicas;
Conjetura de otras posibles razones de ser
del estudio de la 1.ª derivada y de las
derivadas de orden superior;
Diapositivas para presentación de la metodología y evaluación;
Ficha de diagnóstico;
Proyección de las posibles respuestas;
Ficha de trabajo 1 (F1);
Libros de texto de Secundaria/Universidad, internet, etc.
El profesor propone que:
En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las
discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo;
En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype;
60’
Evaluación Inicial: para diagnóstico (P), para recuerdo y reflexión (E);
Exploratorio: ¿Cuál es la técnica más adecuada?
Trabajo de la Técnica: invertir la técnica para resolver una tarea menos habitual, ampliar
una técnica para aplicarla a un caso general, etc.
15’
Evaluación de las respuestas a la Ficha de Diagnóstico: proyección de algunas resoluciones;
10’
-
-
Tecnológico–Teórico: breve discusión en GG y cuestionamiento tecnológico para:
 comparar el coste y validez de las técnicas: TVM < > derivada
 Interpretar las técnicas: TVM y derivada
Institucionalización: construcción conjunta del P con el GG de una tabla que sintetice las
principales conclusiones resultantes de la comparación de las 2 técnicas.
-
Tecnológico–Teórico: breve discusión en GG y cuestionamiento tecnológico para:
 comparar el coste y validez de algunas técnicas de optimización;
 comparar el coste y validez de algunas técnicas de derivación;
-
Institucionalización: construcción conjunta del P con el GG de una tabla que sintetice las
principales conclusiones resultantes de la comparación de las técnicas de optimización y de
las de derivación.
-
Exploratorio: posibles razones de ser del estudio de la 1.ª derivada y de las derivadas de
orden superior;
-
Se considera bastante relevante el diagnóstico/reflexión sobre la noción de variación como
un elemento impulsor de toda la actividad que se desarrollará en las sesiones siguientes.
-
Es natural que los estudiantes revelen dificultades en interpretar la noción de variación en un
intervalo genérico (en particular, en las tareas 8, 14, 15 de la Ficha de diagnóstico) y en la
elección de la técnica más adecuada para resolver las tareas propuestas de la F1. Por esa
razón se sigue un trabajo más profundo y ampliado de dicha noción con el estudio de las
organizaciones matemáticas del CDE en las UDs siguientes.
10’
10’
Observaciones
Observaciones
Resultantes de la F1
10’
263
2.ª semana (20 – 21 octubre de 2014)
Unidad Didáctica 1: Construcción y manipulación del modelo discreto «exacto»
-
Analizar la variación de datos discretos;
Formular hipótesis sobre la variación;
Estudiar las diferencias finitas (TVM[t, t+1]);
Analizar la variación relativa;
Construir el modelo variacional;
Resolver la ecuación en diferencias finitas;
Construir el modelo funcional discreto;
Trabajar dentro del modelo discreto;
Interpretar el trabajo y sus resultados en términos del sistema;
Formular nuevas hipótesis en las que pueden intervenir nuevas variables y que construyen un
nuevo sistema.
Sesión 4 – 1h
Presencial
No presencial
P Presenta diapositivas que revelen la
importancia de la MF y del CDE en la Medicina
67
Nuclear y, como ejemplo, elige un sistema
sobre el cual plantea la cuestión generatriz
¿Cómo preparar y administrar un radiofármaco
para diagnosticar el cáncer de tiroides?
P Sugiere el estudio de la desintegración
radioactiva para la preparación de estos
radiofármacos con
¿Cómo varía la masa de
una substancia radioactiva después de su
desintegración?
PG  Mediante la orientación del P, analizan y
trabajan autónomamente uno de los conjuntos de
datos discretos recogidos en estudios referentes
a la desintegración radioactiva del:
(1) Xenon-133
(2) Molibdénio-99
PG Con el auxilio del GeoGebra procuran
responder a la tarea
PGTrabajan simultáneamente con las hojas
de cálculo, algebraica y gráfica del GeoGebra
para:
-estudiar la variación (tablas TVM y TVMR);
- descubrir una relación entre las variables;
- construir el modelo variacional;
PEsclarece, por Skype, dudas de los PGs
relativamente al trabajo de MF y al GeoGebra
para responder a
.
PG Buscan en internet/libros una posible
respuesta para
(¿cómo resolver ecuaciones
en diferencias finitas?)
P Presentan, por Skype, dudas de los PGs
relativamente al trabajo de
.
PG Construyen el modelo funcional discreto
para responder a .
PG  Envían el trabajo al P para la plataforma
Moodle.
P Observa los modelos discretos construidos
por los PG y propone nuevas tareas que
permitan extraer información acerca del sistema
a partir de dichos modelos.
Sesión virtual 2 – 1h
PG Exploran, trabajan e interpretan el
modelo construido.
GG Discusión y defensa de las respuestas
(modelos) de los PG.
P+GG Institucionalización de los resultados
obtenidos por los PG con la construcción de un
modelo generalizado con parámetros (familia de
modelos funcionales).
E Envía al P, vía Moodle, su coevaluación
de pares.
67
68
En nuestro caso particular, la elección del sistema es voluntariamente “impuesta” para permitir un
trabajo articulado y colaborativo con las otras disciplinas del curso que van a funcionar en ABP
(Aprendizaje Basada en Problemas).
68
Esta coevaluación se repetirá al final de cada UD para ayudar el P a evaluar la capacidad de liderazgo y
atribuir la puntuación individual de cada estudiante, en cada UD. El P crea “teste de escalas” (escala
264
RM69
RM1.2.1.
Medios y Medias
Artículos:
Langford, J., Thompson, G. (1990). Monitoring radioactive xenon gas in room air using
activated charcoal. Journal of Nuclear Medicine Technology, 18, 40–43.
10’
60’
10’
Observaciones
10’
-
Hidalgo, J.; Wright, R.; Wooten, M. (1967). Prediction of Technetium-99m Yield from
Molybdenum-99 Generators. The Journal of Nuclear Medicine, 8, 426-429.
70
(Hidalgo, Wright & Wooten, 1967)
Fuentes de pesquisa sugeridas:
Wikipedia, libros, noticias de periódico, revistas científicas, Internet, entre otras.
Definir que:
En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las
discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo;
- En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype;
Primer Encuentro: Presentación de la cuestión generatriz:
¿Cómo varía la masa de una substancia radioactiva después de su desintegración?
-
Exploratorio: Búsqueda de datos y de diferentes técnicas para resolver las tareas
propuestas en
,
y, en un ámbito más general, en .
-
Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica?
Discusión y defensa de las respuestas (modelos) de los PG.
-
Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y construir,
en GG, un modelo representativo del decaimiento de un radioisótopo cualquier mediante
una familia de modelos funcionales con parámetros.
-
Dependiendo del número de alumnos del curso se podrán formar 5/7 grupos cada uno
constituido por 4/5 elementos. Así, en una experimentación posterior, caso de que el
número de alumnos sea más elevado se pueden trabajar más conjuntos de datos.
-
Es muy probable que al final de la UD los estudiantes no dominen suficientemente la
técnica de resolución de ecuaciones en diferencias finitas por recurrencia y que las
consideren “inoportunas”. Sin embargo, en esta experimentación, además del dominio de
estas técnicas, lo que se considera realmente esencial es que los estudiantes trabajen ciertas
tareas que les permitan concluir que las técnicas discretas son demasiado costosas.
-
Como se espera que los alumnos necesiten de tiempo para explorar las nuevas
herramientas informáticas y creemos que van a surgir muchas dudas a este nivel, el
profesor (además de orientar a los estudiantes en la búsqueda de tutoriales/vídeos) se
mostrará disponible para aclarar las dudas online o presencialmente.
-
En el final de esta UD1 (que coincide con el final de la primera problemática del módulo
coordenado de MN), se pretende compartir con los estudiantes el “ranking” de evaluación
(puntos ya adquiridos) para estimular una saludable competitividad e incrementar el interés
en trabajar más en las UDs siguientes.
decreciente de nivel de evaluación: Paula 3, Rodrigo 2, Sara 1). También, al final de cada UD, el P “hará
visible” en el Moodle el ranking de puntos para que cada alumno consiga consultar su posición en el GG.
69
Más adelante, en la última Unidad Didáctica retomaremos el recorrido RM1 para trabajar otro de sus
“tramos” RM1.2.2. y sus sub-recorridos RM1.2.2.1. y RM1.2.2.2.
70
Este artículo representa la base de la Medicina Nuclear (estudio que ha impulsado su desarrollo).
265
2.ª/3.ª semana (20 – 28 octubre de 2014)
Unidad Didáctica 2: Construcción y manipulación del modelo continuo «exacto»
-
Construcción del modelo funcional continuo;
Trabajo dentro del modelo continuo;
Interpretación en términos del sistema
Nuevas hipótesis, nuevo sistema, nuevas variables;
-
Análisis de la variación de los datos continuos;
Construcción del modelo diferencial;
Resolución de la ecuación diferencial;
Construcción del modelo funcional continuo mediante una familia de funciones;
Trabajo dentro del modelo continuo;
Interpretación en términos del sistema
Nuevas hipótesis, nuevas variables, nuevo sistema;
-
Presencial
No presencial
P Sugiere el trabajo de la cuestión
¿Cómo estudiar la variación de la
concentración de un radiofármaco en el
plasma sanguíneo de un paciente t minutos
después de su administración?
Sesión 4 – 1h
PG Para intentar responder autónomamente
a la
buscan en internet/libros de
secundaria posibles modelos funcionales ya
construidos que podrán caracterizar el sistema
(exponenciales, racionales, definidos por
trozos, polinómicos, etc.)
P+GGInstitucionalizan
las
posibles
respuestas a
identificando cada respuestamodelo con los niveles de MF.
P Orienta los PGs para un trabajo inicial en
71
el 1.º nivel de MF con un modelo de una
sola variable independiente (tiempo) y sin
parámetros para responder a las
Caso no surjan sugestiones de los PGs,
P Sugiere una posible ampliación de la situación
inicial que puede surgir de la necesidad de
comparar la evolución de la concentración del
radiofármaco en dos organismos diferentes (
y
el estudio de su generalización (
).
PG Con el auxilio del GeoGebra buscan
respuestas para las cuestiones
manipulando los parámetros y observando
similitudes entre los diferentes gráficos resultantes.
PG De acuerdo con la situación problemática,
formulan hipótesis para interpretar los parámetros
del modelo funcional en el sistema.
72
P Propone a los PGs el desafío de autonomía de
buscar información relativa a la noción de
antiderivada de una función con la cuestión
.
PG Investigan técnicas para responder a
viven las dificultades para responder a
.
y,
P+GGA partir de las diferentes respuestas
de los PGs se propone realizar un
cuestionamiento tecnológico de las técnicas de
optimización.
PGRetoman las respuestas/modelos iniciales
para ampliar la actividad matemática a un trabajo
con familias de funciones de uno o varios
parámetros (2.º nivel de MF).
PG Discuten, acuerdan una respuesta para
(en el sentido de percibir la razón de ser
del estudio de la segunda derivada de una
función)
y
sugieren
otras
posibles
cuestiones/ampliaciones.
P Aclara algunas dudas de los PGs por Skype.
PG  Envían el trabajo al P a través de la
plataforma Moodle.
71
Sería interesante que los PGs trabajasen modelos de familias de funciones distintas (racional,
exponencial, definidos por trozos, etc.) a ser posible, a posteriori, la comparación de su ámbito de validez
y del coste de las técnicas del CDE. Así, el P podría distribuir un tipo de modelo por cada PG y añadir
que sus primeras respuestas
serían retomadas más adelante.
72
El objetivo de este desafío consistía en hacer con que los Es se cuestionasen y, además, permitir “dar
entrada” al RM3 (para introducir el estudio del cálculo integral) en la sesión presencial siguiente.
266
P+GG Institucionalización de la
:
reunión de los resultados obtenidos (modelos
gráficos), comparación y exposición de las
principales características comunes a modelos
de la misma familia (misma función derivada,
misma forma gráfica, mismo maximizante,
diferente máximo).
P Sugiere el trabajo de la cuestión
Conociendo la velocidad de administración,
de una dosis de un radiofármaco, ¿cómo
puede variar esa dosis a lo largo del tiempo?
PG Validan las técnicas y concluyen que las
herramientas del CDE permiten construir de forma
más económica y eficiente cualquier tipo de modelo
algebraico-funcional
representativo
de
un
determinado sistema.
PG Resuelven tareas que permitan extraer
información acerca del sistema a partir del modelo
construido.
PG Interpretan esa misma información en el
sistema.
Sesión 5 – 3h
PGGG Exploran la cuestión a fin de
relacionar el área abajo del gráfico de la
velocidad (derivada) con la dosis.
PG Buscan una técnica para calcular el área
bajo una curva correspondiente a una
velocidad lineal
P Propone un cambio en la situación inicial
(velocidad cuadrática) al plantear
.
PG Resuelven autónomamente las fichas de
trabajo:
F2 (familias de funciones y antiderivada);
F3 (cálculo de áreas abajo curvas o entre
curvas);
P Esclarece algunas dudas de los PGs por Skype.
PG Intentan encontrar una nueva técnica
por ampliación de la técnica anterior.
PG  Envían el trabajo al P a través de la
plataforma Moodle.
P Retoma el desafío propuesto en la
relativo a la determinación de la antiderivada
de la función.
PG  Presentan y describen a los otros PGs
las técnicas investigadas y su respuesta a
.
GG  Intenta percibir y aplicar dicha técnica
de cálculo integral (CDE) para responder
a
PG Exploran, comparan y discuten la
economía, el ámbito de validez y la eficacia de
diferentes técnicas para calcular áreas abajo de
curvas (área de trapecio, división del área en
rectángulos, integral, etc.).
Medios y Medias
RM2 y RM3
Fuentes de investigación sugeridas:
Wikipedia, libros, noticias de periódico, revistas científicas, Internet, entre otras.
Definir que:
En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las
discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo;
En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype;
3’
-
1.ª Ampliación: Presentación de la cuestión
10’
-
10’
-
Exploratorio: Busca de datos y de técnicas para resolver las tareas propuestas en
y, en un ámbito más general, en .
Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica?
Discusión y defensa de las respuestas de los PG.
267
,
-
10’
-
70’
-
20’
-
20’
-
Observaciones
10’
Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y construir,
en GG, un modelo representativo de la concentración de un radiofármaco en el plasma
sanguíneo de un paciente mediante una familia de modelos funcionales con parámetros.
2.ª Ampliación: Presentación de la cuestión
Exploratorio: Busca de técnicas para resolver las tareas propuestas en
y,
en un ámbito más general, en . Extraer información acerca del sistema a partir del
modelo construido.
Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica?
Discusión y defensa de las respuestas de los PG.
Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y validar las
técnicas nuevas como herramientas del CDE que permiten construir de forma más
económica y eficiente cualquier tipo de modelo algebraico-funcional representativo de un
determinado sistema.
-
En la vivencia del RM2, si cada PG trabaja un modelo perteneciente a una familia
diferente de funciones (o mismo, si dentro del PG cada elemento trabaja un modelo
diferente) la actividad matemática se podrá enriquecer con la interpretación de diferentes
técnicas, con el estudio y comparación del ámbito de validez de técnicas distintas de
optimización de funciones, con la comparación del coste de las técnicas de derivación, con
varias interpretaciones de los parámetros de los modelos en el sistema, etc. Con este
recorrido se pretende que los Es vivan todas las etapas de un proceso de modelización
funcional (del 1.º al 4.º estadio de MF) y que la actividad matemática se muestre ampliable
y cíclica.
-
Como creemos que los Es van a necesitar de mucho tiempo para explorar las técnicas
matemáticas del GeoGebra (como, por ejemplo, la manipulación de selectores), el P estará
disponible para aclarar las eventuales dudas por Skype al compartir su pantalla para
muestrear la funcionalidad de ciertas herramientas.
-
Para introducir el RM3, la exploración de la noción intuitiva de antiderivada como un
desafío de autonomía podrá ser un factor motivador para que los Es se entusiasmen con
estrategias didácticas de construcción de su propio conocimiento.
-
En el final de esta UD2 se pretende compartir, de nuevo, con los estudiantes el “ranking”
de evaluación (puntos ya adquiridos) para estimular una saludable competitividad y así,
continuar incrementando el interés en trabajar más en la UD siguiente.
268
4.ª/5.ª semana (5 – 15 noviembre de 2014)
Unidad Didáctica 3: Construcción y manipulación del modelo continuo «aproximado»
-
Experimentar regresiones sobre datos discretos brutos;
Elegir y construir el modelo funcional continuo aproximado;
Trabajar dentro del modelo continuo;
Interpretar en términos del sistema;
Formular nuevas hipótesis que pueden generar el trabajo con nuevas variables y la construcción
de un nuevo sistema;
-
Experimentar regresiones sobre datos discretos variacionales (TVM o TVMR);
Elegir y construir el modelo variacional;
Aproximar a un modelo diferencial;
Construir el modelo diferencial aproximado;
Resolver la ecuación diferencial y construir el modelo funcional continuo aproximado;
Trabajar dentro del modelo continuo;
Interpretar en términos del sistema;
Formular nuevas hipótesis que pueden generar el trabajo con nuevas variables y la construcción
de un nuevo sistema;
-
Sesión 6 – 3h
Presencial
No presencial
PG resuelven autónomamente, buscando las
herramientas en internet, la primer parte de la
Ficha de trabajo - F4 (tareas referentes a la
técnica de cálculo de primitivas por partes).
PG comparan y discuten las soluciones
encontradas.
P Esclarece algunas dudas de los PGs por
Skype.
Sesión 7 – 3h
P orienta y esclarece dudas de cada PG.
PG continúan resolviendo la Ficha de
trabajo F4 (tareas referentes a la técnica de
sustitución o de fracciones racionales).
PG discuten la aplicabilidad de cada técnica
a la resolución de cada tarea.
P esclarece dudas de cada PG.
269
PG  Envían el trabajo al P a través de la
plataforma Moodle.
P Sugiere el trabajo de la cuestión
¿Cómo se puede prever a lo largo del tiempo
el número de casos de cáncer de tiroides en
las poblaciones más próximas al accidente en
la antigua central ucraniana de Chernóbil?
PG Reflexionan sobre la problemática e
intentan dar una primera respuesta provisional.
P Concretiza un poco más
al plantear la
cuestión
¿Qué tipos de modelos
funcionales podrían caracterizar este sistema?
Sesión 8 – 3h
PG Podrían buscar datos discretos (reales o
no) en libros/internet y construir un modelo
funcional que los describiese.
Caso en que los Es sientan dificultades en
encontrar datos discretos referentes a esta
temática:
P Sugiere tomar como base del estudio los
datos
empíricos
recogidos
en
una
investigación y descritos en el Foro de
Chernobyl (2003–2005).
(http://www.iaea.org/sites/default/files/chernobyl.pdf)
PGAnalizan los datos en el texto y su
evolución.
PG Con el auxilio del GeoGebra intentan
responder a la tarea
PGTrabajan simultáneamente con las hojas
de cálculo, algebraica y gráfica del GeoGebra
para experimentar diferentes tipos de
regresiones sobre 5 de los datos discretos para
construir
varios
modelos
continuos
«aproximados».
Sesión 9 – 3h
P Induce los PGs a considerar interesante la
alternativa de comparación de las variaciones
de los datos continuos con las de los discretos
(TVM aproximadas < > TVM reales).
PG Repiten el procedimiento anterior de
comparar las medias de los errores absolutos
de ajuste y de predicción de las TVM del
modelo relativamente a las variaciones reales
(TVM reales).
PG Sienten la necesidad de ampliar las
técnicas para obtener una mayor coherencia
entre la capacidad de predicción y de ajuste.
PG Proponen, deducen y testan diferentes
técnicas.
PG Comparan las diversas técnicas.
PG Eligen la técnica que revela una mayor
coherencia entre la capacidad de predicción y
de ajuste de un modelo.
270
P Pregunta a los PGs sobre qué técnicas
podrían ayudarlos a elegir el modelo más
adecuado al conjunto de datos (
De entre los
modelos presentados, ¿cómo elegir el que se
ajusta mejor a los datos?¿Qué técnicas se pueden
utilizar para comparar los modelos?)
PG Calculan los errores absolutos de las
imágenes de cada uno de esos modelos
relativamente a las imágenes reales.
P Conduce los PGs a utilizar los restantes datos
discretos para estudiar la posible capacidad
predictiva de los modelos construidos.
PG Mediante una tabla, comparan las medias
de los errores absolutos de ajuste y de predicción
de cada modelo.
PG Verifican que el modelo que se ajusta
mejor no es el que mejor predice a largo plazo.
PG Sienten la necesidad de ampliar las
técnicas.
PG Buscan respuestas para la cuestión
¿Cómo elegir el modelo que presenta una
mayor capacidad predictiva a corto, medio y
largo plazo?
¿Cuál es la técnica que sugiere utilizar para que
ese modelo sea el elegido?
P Esclarece las dudas de los PGs por Skype.
PG Envían el trabajo al P a través de la
plataforma Moodle.
P Sugiere el trabajo de la cuestión
¿Cómo se puede prever la evolución del
impacto de daños genéticos en las
generaciones futuras próximas de Chernóbil?
PG Reflexionan sobre la problemática e
intentan dar una primera respuesta provisional.
P Concreta un poco más
al plantear la
cuestión
¿Qué tipos de modelos
funcionales podrían caracterizar este sistema?
PG Podrían buscar datos discretos (reales o
no) en libros/internet y construir un modelo
funcional que los describiese.
Caso en que los Es sientan dificultades en
encontrar datos discretos referentes a esta
temática:
P Sugiere un conjunto de datos discretos no
reales.
PGAnalizan gráficamente la evolución de
los datos.
Sesión 10 – 3h
PG Con el auxilio del GeoGebra procuran
responder a la tarea
usando regresiones
sobre los datos.
PG Observan que los modelos convergen
para infinito y que, interpretando en el sistema,
deberían converger a cero.
PGSienten la necesidad de ampliar el
estudio a otras técnicas.
P Sugiere a los PGs que construyan
modelos
sobre
datos
variacionales,
proponiendo que algunos PGs exploren
regresiones sobre datos de la TVM y los
restantes sobre datos de la TVMR.
PGTrabajan simultáneamente con las hojas
de cálculo, algebraica y gráfica del GeoGebra
para experimentar diferentes tipos de
regresiones sobre casi todos los datos discretos
para construir varios modelos continuos
variacionales «aproximados».
P Sugiere a los PGs la construcción de la
correspondiente ecuación en diferencias finitas
y su aproximación a una ecuación diferencial.
PG Estructuran en el cuaderno la resolución
de la ecuación diferencial por integración
directa. Los PGs que hacen regresiones sobre
la TVMR van a obtener la exponencial de la
integral.
PG Con el auxilio del GeoGebra determinan
los integrales de los modelos anteriores,
obteniendo una familia de funciones con un
parámetro (resultante de la integración).
271
P Aconseja los PGs a ajustar el parámetro
de cada modelo construido (manipulando un
selector del GeoGebra) de forma que se
encuentre el valor que permite obtener el
mínimo error medio de ajuste.
PG Por simulación buscan, de cada familia
de funciones, el modelo que mejor se ajusta a
los datos discretos.
P Pregunta a los PGs sobre qué técnicas
podrían ayudarlos a elegir el modelo más
adecuado al conjunto de datos (
De entre
los modelos presentados, ¿cómo elegir el que
se ajusta mejor a los datos?¿Qué técnicas se
pueden utilizar para comparar los modelos?)
PG Calculan los errores absolutos de las
imágenes de cada uno de sus modelos
relativamente a las imágenes reales.
P Conduce los PGs a estudiar la posible
capacidad predictiva de los modelos
construidos sabiendo que, de acuerdo con el
sistema, los modelos deberían tender hacia
cero.
PG Mediante una tabla, comparan las
medias de los errores absolutos de ajuste y de
predicción de cada modelo.
PG Buscan respuestas para la cuestión
¿Cómo elegir el modelo que presenta una
mayor capacidad predictiva a corto, medio y
largo plazo?
¿Cuál es la técnica que sugiere utilizar para que
ese modelo sea el elegido?
PGPresentan sus modelos-respuestas al GG+P.
GG Discusión y defensa de los modelos de los
PG.
GG Comparan, discuten las 3 grandes técnicas
utilizadas por los PGs:



regresiones sobre los datos brutos;
regresiones sobre los datos de TVM;
Regresiones sobre los datos de TVMR.
GG+P Concluyen que, para este conjunto de
datos particulares y para este tipo de fenómeno, la
técnica que permitiría obtener mejores modelosrespuestas (interpretados en el sistema) sería la
resultante del estudio de la variación relativa
(aplicación de regresiones sobre datos de la
TVMR).
PPropone nuevas tareas que permitan extraer
información acerca del sistema a partir del
modelo elegido.
PG Exploran, trabajan e interpretan el modelo
construido.
P+GG
Institucionalizan
los
resultados
obtenidos por los PG y posiblemente amplían el
modelo construyendo un modelo generalizado
con parámetros (familia de modelos funcionales).
P Esclarece las dudas de los PGs por Skype.
Medios y Medias
RM
PG Envían el trabajo al P a través de la
plataforma Moodle.
RM4 y RM5
Artículos:
- Chernobyl’s Legacy: Health, Environmental and Socio-Economic Impacts and
Recommendations to the Governments of Belarus, the Russian Federation and Ukraine.
The Chernobyl Forum: 2003–2005.
http://www.iaea.org/sites/default/files/chernobyl.pdf
Fuentes de investigación sugeridas:
Wikipedia, libros, noticias de periódicos, revistas científicas, Internet, entre otras.
Definir que:
En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las
discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo;
En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype;
272
10’
130’
20’
-
3.ª Ampliación: Presentación de la cuestión
-
Exploratorio:
-
Búsqueda de técnicas para resolver las tareas propuestas en
y, en un ámbito más general, en . Construir modelos continuos, elegir el
más adecuado y extraer información acerca del sistema a partir del modelo.
Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica?
Discusión y defensa de las respuestas de los PG.
20’
-
Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y verificar
que son útiles las técnicas que utilizan el CDE (la función derivada) para comparar los
modelos continuos y elegir el más adecuado al sistema.
10’
-
4.ª Ampliación: Presentación de la cuestión
-
Exploratorio:
-
Evaluación: ¿Será que esta técnica es la más adecuada y económica?
Discusión y defensa de las respuestas de los PG.
-
Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y comparar
las diferentes técnicas utilizadas (regresiones sobre datos brutos o variacionales) por la
capacidad predictiva del modelo que cada una sugiere.
-
Se podría enriquecer la actividad matemática si cada grupo trabajase un conjunto diferente
de datos discretos referentes a fenómenos de naturalezas distintas. Quizá, se podría
verificar que la evolución de ciertos fenómenos sería mejor descrita por modelos
provenientes de regresiones sobre los datos de la TVM y, la evolución de otros fenómenos
sería mejor descrita por modelos provenientes de regresiones sobre los datos de la TVMR.
-
Al final de la UD3, no se pretende que los estudiantes dominen las técnicas de resolución
de ecuaciones diferenciales (toda vez que no forma parte del programa oficial).
Simplemente, se pretende solucionar ecuaciones sencillas, por integración directa, de
forma que los estudiantes «sientan» que estas técnicas que utilizan herramientas del CDE
son más económicas que las técnicas discretas (experimentadas en la UD1 con el RM1).
-
Como se espera que los alumnos necesiten de tiempo para explorar las nuevas
herramientas informáticas y creemos que van a surgir muchas dudas a este nivel, el
profesor (además de orientar a los estudiantes en la búsqueda de tutoriales/vídeos) se
mostrará disponible para aclarar las dudas online o presencialmente.
180’
20’
Observaciones
20’
Búsqueda de técnicas para resolver las tareas propuestas en
y, en un ámbito más general, en . Construir modelos continuos, elegir el
más adecuado y extraer información acerca del sistema a partir del modelo.
273
6.ª/7.ª semana (17 – 24 noviembre de 2014)
ARTICULACIÓN DE TODAS LAS UNIDADES DIDÁCTICAS
Unidad Didáctica 0 - Unidad Didáctica 3
-
Relacionar y encadenar las unidades didácticas, sus praxeologías y sus cuestiones
problemáticas.
Mediante un diagrama de actividad de MF identificar las actividades experimentadas
con las correspondientes .
Vivir las dificultades en hacer el paso del campo discreto al continuo.
Percibir la importancia del estudio de herramientas del CDE en el desarrollo de
actividades de modelización funcional.
Presencial
No presencial
P Distribuye el diagrama de actividad (formato
impreso) a los PGs y propone la identificación de
las actividades que el PG cree haber experimentado
al responder a las diferentes cuestiones.
P Sugiere una posible ampliación de la
situación mediante un cuestionamiento
tecnológico:
Para este conjunto de datos, ¿Cual es la
mejor técnica para construir modelos
funcionales a partir de datos discretos?
¿Hacer regresiones sobre los datos brutos o
sobre los datos variacionales?
GG Reúnen sus respuestas y discuten.
P Propone una reflexión final de todos los
trabajos enviados, orientada por las
cuestiones:
Sesión 11 – 2h
En qué sentido se podrá decir que el
estudio del CDE (derivadas, primitivas e
integrales) podrá ser útil?¿Para qué sirve?
¿Qué problemas permite resolver?
PGRetoman todos los trabajos enviados
anteriormente al P, debaten, mejoran y
amplían sus respuestas.
P Sugiere a los PG algunos aspectos a completar
(toma notas para sí mismo acerca de la participación
de cada E dentro de su PG).
PGArticulan todas las cuestiones,
respuestas,
técnicas
utilizadas,
cuestionamiento tecnológico y reflexiones
73
en
una
presentación
final
(con
diapositivas) para el GG+P.
E Co-evalúa los pares (sus compañeros de
grupo).
P Esclarece las dudas de los PGs por
Skype.
P Evalúa los PGs y cada E en particular.
PG Envían el trabajo al P mediante la
plataforma Moodle.
PGPresentan su trabajo final al GG+P.
73
Que fue uno de los instrumentos de evaluación del trabajo desarrollado por los estudiantes.
274
Medios y Medias
RM
Todos: RM1, RM2, RM3 , RM4, RM5,
20’
180’
180’
Observaciones
120’
Fuentes de investigación sugeridas:
Wikipedia, libros, noticias de periódico, revistas científicas, Internet, entre otras.
Definir que:
En las clases presenciales: cada PG podrá utilizar una grabadora/teléfono móvil en las
discusiones para facilitar el posterior registro de su trabajo;
En las clases virtuales: el P y los PG podrá utilizar el grabador del Skype;
-
5.ª Ampliación: Presentación de cuestiones conductoras de una reflexión final
-
Exploratorio: Busca de todas las cuestiones, respuestas, técnicas utilizadas para resolver
las tareas propuestas en ,
y, en un ámbito más general, en .
-
Evaluación: ¿Será que estas técnicas son las más adecuadas y económicas?
Discusión y defensa de las respuestas de los PG.
-
Institucionalización: Reunir los resultados obtenidos por cada uno de los PG y construir,
en GG, una respuesta global a
(con las presentaciones finales). Verificar la razón de ser
del estudio del CDE en el desarrollo de actividades de modelización funcional.
-
La idea sería dar al estudiante la oportunidad de corregir errores cometidos en trabajos
anteriores, mejorando sus respuestas y ampliándolas a otras situaciones. Por ejemplo, se
pretendía que los PGs experimentasen trabajar modelos pertenecientes a diferentes
familias de funciones, potenciar el trabajo de grupo (cada elemento del PG podría ahora
trabajar un modelo diferente y después comparar). Se pretendía dar la libertad al E de
ampliar, enriquecer y interpretar su actividad matemática.
-
La explicitación, a los estudiantes, del diagrama de actividad a los PG tiene dos
intenciones: ser útil para que los Es observasen el encadenamiento de las actividades
vividas y para el P verificar si los Es conseguían interpretar la actividad matemática
desarrollada.
-
Como creemos que los PGs van a sentir dificultades en articular todas las cuestiones,
respuestas, técnicas matemáticas utilizadas, el P estará disponible para aclarar las
eventuales dudas por Skype.
2.4. Articulación de los procesos de estudio de los dos problemas básicos de
Medicina Nuclear
Con el esquema que se sigue se pretende describir la articulación de los problemas
de Medicina Nuclear abordados en esta Unidad Curricular con las cinco cuestiones
problemáticas principales
sus ampliaciones
las técnicas
y consecuentes cuestiones intermedias
, con las fichas de trabajo propuestas
y con las respectivas respuestas
275
:
con
para desarrollar
Figura 3: Articulación de los procesos de estudio de los dos problemas básicos de Medicina Nuclear
276
3. Desarrollo de las experimentaciones
De forma transversal, en todas las sesiones presenciales y virtuales ha surgido la
necesidad de utilizar un lenguaje poco habitual para los estudiantes. Así, las diapositivas
de los años anteriores fueron reformuladas para permitir la introducción de un
vocabulario más específico del desarrollo de actividades de modelización funcional
tales como: la noción de modelo para caracterizar un sistema dado (en nuestro caso
particular, del ámbito de la Medicina Nuclear); la formulación de hipótesis/conjeturas; y
la construcción, trabajo e interpretación del modelo en términos del sistema.
Paralelamente, también ha surgido la necesidad de introducir cierto vocabulario relativo
a la Teoría Antropológica de lo Didáctico referido, esencialmente, a los componentes de
las praxeologías como, por ejemplo: tarea, técnica, justificación matemática de las
técnicas (tecnología) y justificación de las tecnologías (teoría); comparación de las
técnicas y elección de la más adecuada para resolver un determinado tipo de tarea;
cuestionamiento tecnológico; etc.
Para llevar a cabo las sesiones virtuales, fueron exploradas diferentes herramientas de
comunicación online por videoconferencia (Link, webmeetings/OpenMeetings, Colibri
WebConference, AdobeConnect, etc.). De acuerdo con algunas restricciones
institucionales relacionadas con permisos de acceso informático de la Escuela, con la
facilidad de instalación/utilización en los ordenadores personales de los Es, elegimos
como herramienta de comunicación online una combinación de Skype con Moodle, por
presentar una accesibilidad universal (los Es y el P podrían acceder en la escuela o en
sus habitaciones, a partir de sus ordenadores, teléfonos móviles o tablets).
La plataforma Moodle ha funcionado inicialmente para efectuar la comunicación entre
el P y los PG vía chat y, posteriormente, para recoger (de un modo organizado) los
trabajos de los PG. En investigaciones futuras, quizá sería interesante utilizar también el
foro del Moodle para consultar las dudas (EPG y PGP), de manera que quedaron
automáticamente registradas. Se ha realizado mucho trabajo EPG por chat online
vía Facebook, WhatsApp, Hangouts y la idea inicial consistía en que los Es
reprodujesen en las actas las cuestiones más pertinentes que se discutieron en los
debates dentro de los PG, pero dicha función de las actas no ha sido bien percibida por
los Es.
277
Para prevenir, en investigaciones futuras, la pérdida de registro de estas cuestiones
intermedias planteadas por los Es, se podría trasladar la responsabilidad de la grabación
al profesor.
Con el Moodle, el P puede controlar de alguna forma el trabajo del alumno al visualizar
el relato de la “actividad reciente” del estudiante y su participación en la disciplina
(quién se ha responsabilizado del envío de los trabajos del grupo, trabajos
complementarios, puntualidad en las descargas, etc.).
También inicialmente, con la perspectiva de incentivar la autonomía, la investigación y
una mayor responsabilidad del alumno en el proceso de aprendizaje, se había previsto
una penalización de los PG que recurriesen a la ayuda del P (con -1 punto en la
evaluación del trabajo intermedio). En la práctica, en lugar de penalizar
(negativamente) un determinado PG, fue valorizado (positivamente) el PG que revelaba
independencia en el estudio y capacidad de investigación.
En la primera semana ya ha sido necesaria la definición conjunta (P-PG) de Sesiones
Virtuales con los PG (en el horario de los estudiantes) con la finalidad de testar la
funcionalidad de las herramientas informáticas y, en particular, de la enseñanza no
presencial (virtual).
A continuación vamos a describir con detalle el desarrollo de las actividades y las
observaciones del P en las sesiones presenciales y virtuales.
3.1. Sesión Presencial 1
Semana 1 – (2 horas)
En la primera sesión se ha presentado la nueva metodología y los criterios de evaluación
(30’).
En esta primera sesión presencial fue diagnosticado si los Es ya tenían interiorizada la
noción de variación de magnitudes y de variación de una función. Para ello, durante
90’, los Es resolvieron con entusiasmo el diagnóstico y discutieron en grupo la noción
de variación, la existencia de más de una respuesta (modelo funcional) posible. Uno de
los estudiantes indicó que tendríamos más de una variable cuando el modelo a elegir
dependiese de una condición inicial.
278
Para llevar a cabo esta actividad se ha construido una Ficha de diagnóstico en la que se
proponen 15 tareas, inicialmente pensadas para una resolución individual, con el
objetivo de interpretar la noción de variación mediante el cálculo de la TVM o la
determinación de la función derivada como técnicas matemáticas útiles para estudiar la
variación de magnitudes o de una función. Sin embargo, algunos Es manifestaron
dificultades en dicha interpretación. Para superar este obstáculo sin contradecir el nuevo
contrato didáctico estipulado, que atribuye una mayor responsabilidad al E, el P ha
conducido la actividad matemática usando una secuencia74 para gestionar el paso de
responsabilidades:
Ciclo del paso de las responsabilidades en la resolución de tareas
E  2 Es 4 Es (PG)  GG  sugerencia del P E
En general, los estudiantes mostraron algunas dificultades en la interpretación de la
TVM y de la derivada, así como en la comparación de sus potencialidades como
herramientas para estudiar la variación de una función.
Algunos estudiantes no recordaban la fórmula para calcular la TVM. Sin embargo, la
aplicaron sin problemas e interpretaron su resultado razonablemente bien.
Los PG discutieron bastante la tarea 2b de la Ficha de diagnóstico (ver anexo G.2.), en
la cual se pedía la gráfica de la TVM a partir de la gráfica de una función, y además
consideraron curiosa la tarea 6a (su tarea inversa) por presentar varias soluciones
dependiendo del valor inicial elegido.
Se confirmó así, una vez más, la rigidez de las praxeologías matemáticas que se
estudian en la enseñanza secundaria, la poca articulación entre ellas y la ausencia de
cualquier tipo de cuestionamiento tecnológico que permita analizar la economía, la
fiabilidad y el dominio de validez de las técnicas matemáticas que se utilizan en la
práctica matemática escolar.
74
Esta secuencia de responsabilidades fue utilizada, siempre que era posible, en las sesiones siguientes.
En algunas tareas, lo que 1E no conseguía resolver, 2Es ya lo conseguían. En las tareas de dificultad
mayor, a veces, era necesario recurrir más de una vez al ciclo de responsabilidades.
279
3.2. Sesión Presencial 2
Semana 1 – (2 horas)
Los 21 estudiantes que constituían el «gran grupo» (GG) formaron cuatro «pequeños
grupos» (PG), tres de los cuales estaban constituidos por cinco estudiantes cada uno y
los seis restantes formaban el cuarto PG. Empezaron la sesión muy entusiasmados,
dispuestos a utilizar las grabadoras (con teléfono móvil/tablet), eligiendo los secretarios
y mostrándose preparados para las discusiones en grupo.
El P distribuyó a cada E la Ficha de Trabajo 1 - F1 (ver anexo G.2.) que empezaron a
resolver en PG y a discutir con detalle las técnicas a utilizar en cada tarea propuesta. En
la sesión presencial resolvieron cerca de 10 de las 15 tareas propuestas (dejando las
restantes 5 para completar en casa).
Los estudiantes tuvieron total libertad para consultar internet, los manuales de
secundaria y otros libros de texto75. Para responder a ciertos ítems como, por ejemplo,
relacionados con el Teorema de Lagrange o el Polinomio de Taylor (que correspondían
a contenidos nuevos), los estudiantes sintieron la necesidad de recurrir a internet. Es de
subrayar que la mayor parte de los estudiantes no revelaron dificultades en llevar a
cabo, de una forma autónoma, las tareas de verificación de las condiciones del Teorema
de Lagrange o de la construcción del Polinomio de Taylor para aproximar localmente
una función.
Consideraron la tarea 2 de la F1 muy costosa porque para llevarla a cabo era necesario
articular diferentes técnicas de derivación debido a que se trataba de funciones
compuestas de diferentes tipos de funciones (irracionales, polinómicas, etc.). Los
estudiantes mostraron dificultades para llevar a cabo la tarea de comparar la economía y
fiabilidad de las técnicas de derivación (tarea 3 de la F1) indicando que era una tarea
completamente nueva para ellos y, por lo tanto, no sabían muy bien cómo abordarla.
Incluso después de la explicación del P, muchos PGs no entendieron el objetivo de
asociar a cada tipo de tarea la técnica más económica/eficaz ni la importancia de
estudiar el alcance o dominio de validez de una técnica. En este punto se notó bastante
la rigidez de las matemáticas aprendidas en la enseñanza secundaria.
75
En la sesión anterior se había recomendado a los estudiantes que llevasen los libros de texto a clase
para poder consultarlos.
280
Los Es preferían responder a las tareas individualmente y después comparar y discutir
sus resoluciones con las de los restantes elementos de los PGs. Decían que esta
estrategia les permitiría garantizar la respuesta correcta de su grupo (como una especie
de validación).
En general, no han surgido dificultades en percibir las posibles razones de ser
«oficiales» de la derivada (esto es, el estudio de la variación y construcción de modelos
gráficos, la determinación de la recta tangente, la resolución de problemas de
optimización y la aplicación de ciertos teoremas) y de las derivadas de orden superior de
una función (como el estudio de la «variación de la velocidad», la interpretación como
ritmo de crecimiento/decrecimiento, la construcción de modelos por aproximación al
polinomio de Taylor76).
Fueron propuestos diferentes horarios para llevar a cabo las primeras sesiones virtuales
entre cada uno de los PG y el P (de las 16 hasta las 19.30 del día siguiente) con el
objetivo inicial de experimentar el funcionamiento de los PGs virtualmente por
videoconferencia y vía Moodle (envío de trabajos, chat, etc.).
Sesión Virtual 1
Semana 1 – (1h con cada grupo)
La creación de una sesión virtual vía WebConference (Colibri - Adobe Connect) no ha
sido posible por un problema en la red del Instituto (IPP). A fin de solucionar el
problema, fueron creados chats por grupos vía Moodle para avisar a los Es que se
utilizaría el Skype como alternativa. Así, los estudiantes de tres de los grupos estaban
reunidos en la escuela y utilizaron un ordenador para conectarse con el P. El cuarto
grupo se encontraba disperso y, por lo tanto, fue necesario crear algunas cuentas Skype.
Cada grupo ha necesitado 30-45 minutos para formular sus dudas.
El P ha creado los grupos en Moodle y la actividad para la envío del trabajo por esta vía
(en grupos separados).
Cada PG ha intentado enviar al P, vía Moodle, el Trabajo 1 (SP2 + SV1). Algunos
tuvieron problemas con las dimensiones de los ficheros (principalmente con las
76
Postulamos que la construcción del polinomio de Taylor puede ser interpretada como una herramienta
útil en el proceso de construcción de un modelo funcional (local) conociendo únicamente el valor de una
función y de sus derivadas en un determinado punto.
281
grabaciones) y enviaron parte del trabajo por email o buscaron otras alternativas
(WeTransfer, Google Drive, etc.).
3.3. Sesión Presencial 3
Semana 1 – (2 horas)
Dado el interés de los Es en trabajar autónomamente en los PGs, el profesor ha decidido
dejar para esta sesión la institucionalización del trabajo desarrollado en las dos primeras
sesiones (Ficha de diagnóstico y Ficha de trabajo 1).
Inicialmente, para la institucionalización de las praxeologías matemáticas trabajadas en
las sesiones, el P había pensado exponer y comentar para cada tarea las mejores
respuestas (digitalizadas) dadas por los PGs pero, para economizar el tiempo, en esta
sesión el profesor ha tomado la iniciativa de institucionalizar las OM trabajadas con
todo el GG. Esencialmente el P ha preguntado a los PG que técnicas han considerado
más ventajosas, económicas, más potentes (en términos del dominio de validez), más
adecuadas, etc. Por ejemplo, para responder a las cuestiones planteadas por el P en la
Ficha de Diagnóstico, los PG han considerado que: la TVM tiene un papel poco
significativo en el estudio algebraico y gráfico de funciones en comparación con la
función derivada. Algunas veces utilizaron tablas comparativas para resumir dichas
contrastaciones.
Respecto a las tareas de la FD y de la F1, tuvo lugar un debate entre toda la comunidad
de estudio, GG+P. Las principales conclusiones de dicho debate fueron las siguientes:
-
En relación a la tarea 1 de la F1, los Es que utilizaron las reglas de derivación estaban
de acuerdo en que es más sencillo utilizar la regla de la derivada de un producto de
funciones
-
) que la del cociente
En la tarea 4 de la F1, uno de los grupos formuló la hipótesis de que ambas funciones
pertenecían a la misma familia, difiriendo únicamente en el término independiente que
sólo depende del parámetro .
-
En la discusión de la tarea 6, los estudiantes aportaron alguna información adicional en
relación a la construcción del modelo cuadrático. Los PGs presentaron diferentes
técnicas para su resolución: utilizar la descomposición del polinomio en factores
conociendo sus ceros; utilizar el método de los coeficientes indeterminados y resolver
un sistema con tres incógnitas; analizar el gráfico para situar los ceros, el vértice y
282
demás, resolver un sistema con dos ecuaciones; determinar el vértice para escribir la
ecuación de la parábola. Sin embargo, dos grupos tuvieron dificultades para interpretar
el punto
, considerando así el modelo lineal en lugar de cuadrático, lo que condujo
a la resolución incorrecta del problema propuesto.
-
En relación a la tarea 10 a), uno de los grupos interpretó gráficamente el ritmo de
crecimiento. En el apartado b) los PGs presentaron dos interpretaciones pertinentes en el
sistema de un determinado instante de tiempo: como el momento de cambio de
variación de la enfermedad y como el momento en que la velocidad de dispersión era
máxima.
-
Para responder a la cuestión 13, uno de los PG se cuestionó si
representaba un número
par o un número impar y, de acuerdo con la formulación de diferentes hipótesis,
presentó diferentes posibles respuestas correctas.
-
En la tarea 14 a), uno de los grupos dedujo que los gráficos serían idénticos por el grado
del Polinomio de Taylor ser igual al del polinomio pretendido.
En general, los Es mostraron interés por investigar y cohesión en el grupo, pero se
comportaron con poco sentido crítico en sus reflexiones y en las discusiones sobre las
técnicas utilizadas.
Al final, esta sesión se volvió demasiado expositiva y los Es se mostraron cansados a
pesar de lo cual participaron bastante añadiendo aportaciones relevantes a su trabajo.
3.4. Sesión Presencial 4
Semana 2 – (3 horas)
La sesión presencial 4 ha empezado por la presentación de la cuestión generatriz Q0 y
cuestión problemática derivada Q1 a los estudiantes por parte del profesor (ver anexo
G.1.). Éste ha expuesto las planillas y mostrado algunas herramientas matemáticas del
GeoGebra77 al GG, tales como: la construcción de tablas, la creación de listas de puntos,
la programación en hojas de cálculo, etc.
Superadas las pequeñas restricciones iniciales de adaptación al software informático
GeoGebra, los Es trabajando en sus PGs exploraron un problema concreto del ámbito de
77
Inicialmente se había pensado en crear un tutorial GeoGebra para guiar a los Es, pero después se
decidió que sería más interesante que los propios Es explorasen el software autónomamente.
283
la Medicina Nuclear, analizando y discutiendo los artículos de apoyo sugeridos por el P
para descubrir la relación matemática entre la actividad de un radioisótopo y su masa.
Figura 4: La relación matemática entre las variables encontrada por el PG3 en uno de los artículos
Los PGs fueron guiados por el P para que formulasen hipótesis sobre la TVM y sobre la
TVMR lo que permitió que los estudiantes interpretaron adecuadamente la siguiente
parte del RM1 (descrito en el capítulo IV):
Figura 5 - Parte del RM1 que sirvió de guía didáctico-matemática para el profesor
Con el GeoGebra, la generalidad de los PGs, calcularon sin dificultad los valores de la
TVM de la masa en
y sus primeras diferencias finitas observando que la TVM
no era constante. Después calcularon las diferencias relativas, TVMR, en el mismo
intervalo, observando una casi constancia en sus valores. A continuación se presenta el
trabajo realizado por un PG:
284
La masa del Xenon-133 después de su desintegración
Figura 6: PG3 - En la búsqueda de una respuesta a Q1.
“Relativamente à primeira questão (representar a taxa de variação média e relativa da massa
num determinado intervalo de tempo através de uma tabela) os estudantes recorreram ao
programa matemático “GeoGebra”. De seguida, após discutirem e debaterem entre si vários
métodos de resolução calculou-se a TVM através da fórmula e apontaram-se os resultados
obtidos. Posteriormente calculou-se a taxa de variação média relativa e verificou-se que
esta era constante ao longo de todo o estudo.”
Acta del PG2
A partir de este punto se esperaba que los PGs construyesen la ecuación en diferencias
finitas y que la resolviesen para encontrar un modelo funcional discreto para la masa en
función del tiempo.
Sin embargo, los Es han mostrado muchas dudas cuando se trataba de construir la
ecuación en diferencias finitas. Tuvieron muchas dificultades para utilizar técnicas
estudiadas en la enseñanza secundaria como, por ejemplo, los métodos iterativos para
determinar el término general de una sucesión. Para resolver esta tarea, los Es fueron
desafiados inicialmente por el P a buscar en internet/libros técnicas de resolución de
ecuaciones en diferencias finitas. Asociados en PGs se esperaba que consiguiesen
aplicar una de esas técnicas para resolver la tarea. Como los PGs no han obtenido el
término general, se ha planteado el desafío al GG (todos los Es) que, a su vez, también
se ha “bloqueado”. Así, ha surgido la necesidad de intervención del P con una primera
sugerencia:
285
Sugerencia 1: Empezar por escribir la relación entre las variables
;
Figura 7: PG3 – Crean la técnica de cálculo de la media de los valores para probar la casi constancia de
la TVMR de la masa
Siguiendo el ciclo de responsabilidades, el P ha propuesto que los PGs verificasen sí la
relación podría describir sus conjuntos de datos y que la desarrollasen para obtener un
modelo funcional discreto que describiese la masa del radioisótopo a lo largo del
tiempo:
Ha ocurrido un segundo “bloqueo” de todos los PGs y, consecuentemente, del GG, que
requirió una nueva intervención del P con una segunda “sugerencia”:
Sugerencia 2: Después usar la noción de variación para desarrollarla:
En suma, dadas las dificultades de los Es, esta primera parte fue bastante
guiada/conducida por el P.
Sugerencia 3: Resolver la ecuación anterior en
e intentar encontrar el modelo
discreto (el término general de la sucesión);
Retomando ideas iniciales propuestas por los PGs, uno de los Es indicó:
E: “É uma recorrência! Podemos obter um termo a partir do termo anterior! Será que
podemos utilizar as técnicas de iterações sucessivas?!”
Presentamos a continuación un ejemplo de una respuesta de los PGs:
286
Figura 8: PG3 - Construcción del modelo discreto por iteraciones sucesivas
Nótese que el PG después de construir su modelo, podría haber intentado validarlo
verificando las aproximaciones de las 8 imágenes obtenidas por el modelo a los datos
reales de masa deducidos del artículo. Esta validación puede prevenir errores en la
construcción del modelo (por ejemplo, en este caso, el error de cálculo al considerar
en lugar de
) y podría ser efectuada mediante una tabla comparativa de
valores:
Tiempo
0
5
11
15
18
21
24
32
Valores de la masa del radioisótopo
Modelo con error
Modelo pretendido
Reales
111,00
111,00
111,00
105,56
65,54
57,39
99,38
34,83
26,09
95,47
22,85
15,32
92,63
16,66
10,21
89,88
12,15
6,99
87,21
8,85
4,88
80,47
3,81
1,67
Tabla 12 - Propuesta de un instrumento de validación del modelo construido por los estudiantes
287
Con esta tabla sería sencillo verificar que el modelo construido por el PG3 (modelo con
error) no podría aproximar adecuadamente los datos reales.
Se observó que ninguno de los PGs interpretó su modelo en términos del sistema, dado
que no verificaron si el modelo se adecuaba al sistema, o sea, si las imágenes
producidas por el modelo se aproximaban a los datos reales de la masa del radioisótopo
a lo largo del tiempo. Sin embargo, uno de los PGs tuvo la idea de validar su modelo,
pero como consideró la masa inicial como una variable y no como un parámetro, al final
no lo ha conseguido validar efectivamente.
Al reunir las respuestas de los PGs relativas a los modelos que describían la masa de los
diferentes radioisótopos, los Es asumieron la institucionalización. Cuando una
substancia radioactiva se desintegra, su masa varía de acuerdo con un modelo
exponencial en una variable
y dos parámetros (la constante
que representa la
TVMR y la masa inicial):
,
Debido a las restricciones de horario y del tipo de alumnos hicimos un recorte y no
experimentamos todas las tareas y sub-tareas necesarias para responder a Q11.
En suma, en la vivencia de este REI1, y al contrario de lo inicialmente previsto, fue
necesaria una mayor intervención del P, lo que disminuyó la autonomía de los
estudiantes y de los PGs.
Aceptando la posibilidad de que se produzcan bloqueos en el desarrollo de las
actividades y con el objetivo de mejorar el ciclo de responsabilidades propuesto
inicialmente, se propone la siguiente ampliación:
P lanza desafíoE PGGGbloqueoP da sugerencia 1E 
PGGGbloqueoP dá sugerencia 2 E…
Sin embargo, como mostraremos más adelante algunos desafíos de autonomía tuvieron
lugar y los estudiantes buscaron con éxito en diferentes media la información necesaria
para construir su propio conocimiento como, por ejemplo, el “Desafío antiderivada” (al
final de la Q2 en el anexo G.1.) que ha servido de puente a la introducción del concepto
de integral mediante la Q3, cuestión generatriz del recorrido de estudio e investigación
REI3.
Los PG mostraron capacidad de investigación:
288
“Após uma breve leitura do problema em questão, os estudantes tomaram a iniciativa de
pesquisar na Internet diversos termos/conceitos e fórmulas que nos ajudassem a resolver o
problema recorrendo aos seguintes sites:
 http://www.agracadaquimica.com.br/quimica/arealegal/pdf/176.pdf - relação entre
a massa e a atividade (pág. 6); http://www.if.ufrgs.br/~marcia/FN_aula2.pdf fórmula do decaimento radioativo;
 http://www.translatorscafe.com/cafe/unitsconverter/radiationactivity/calculator/be
cquerel%5BBq%5D-to-curie-%5BCi%5D/ - conversão de bequerel para curie e
por fim www.agracadaquimica.com.br.”
Acta del PG2
Sesión Virtual 2
En la Sesión Presencial 4 el profesor estaba un poco preocupado con el tiempo
institucional y, por eso, ha acelerado el ritmo, proponiendo además del problema Q1 (ya
trabajado por los PGs en la SP4 con la orientación del P), el problema Q2 y la F2 (ambos
trabajados por los PGs autónomamente fuera de clase y, posteriormente, acompañados y
orientados por el P en una Sesión Virtual).
“No dia quinze do mês de outubro pelas dezassete horas e quinze minutos deu-se início à
sessão pelo Skype.”
Acta del PG2
En la Sesión Virtual78 (el profesor ha trabajado cerca de 2h con cada PG) la cuestión
problemática Q2 (¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma
sanguíneo de un paciente t minutos después de su administración?)
ha surgido como una
ampliación de la cuestión Q0.
Para responder a Q21 (¿Qué tipo de modelo funcional podría caracterizar este sistema?) los
estudiantes podrían buscar, en internet o en libros de texto, diferentes modelos
funcionales que podrían caracterizar un mismo sistema como, por ejemplo: modelos
racionales, trigonométricos, cuadráticos, exponenciales, definidos a trozos, etc.
Los estudiantes del PG2 han contestado de la siguiente forma:
“Na questão 21 (Q21), que perguntava qual o modelo funcional que melhor se aplicava ao
problema em questão, uma E sugeriu o modelo exponencial pois tendo em conta que à
medida que o tempo avançava, a concentração de radiofármaco iria acabar por estabilizar o
que ia de encontro, com base na observação, ao modelo exponencial. Outra E
complementou esta ideia com o facto de que a concentração de radiofármaco no organismo
do doente nunca iria chegar a zero o que quer dizer que os valores de concentração se iriam
aproximar cada vez mais de zero o que era um indício de estabilização. Posteriormente, o
grupo observou que, relativamente ao decaimento radioativo, a concentração de isótoposfilho (Tecnécio-99) aumenta ao longo do tempo ao contrário do que acontece com a
concentração de isótopos-pai que diminui mediante o tempo de semivida.”
Acta del PG2
78
En muchas de las sesiones virtuales había la necesidad de compartir pantalla, por ejemplo, para mostrar
el efecto de la manipulación de un parámetro sobre el gráfico de un determinado modelo funcional.
289
En esta respuesta se observa la preocupación de los Es en interpretar la realidad
mediante un modelo matemático adecuado, o sea, estudiar ciertas características del
modelo exponencial (asíntotas, límite, variación) y verificar si dicho modelo podría
describir la evolución de la concentración de un radiofármaco. Además, esta acta revela
un cierto cuidado del PG en relacionar sus respuestas con el contexto de la física y del
decaimiento radioactivo.
Por una cuestión de tiempo y para poder controlar el desarrollo de la actividad, el P ha
intentado uniformizar el tipo de modelo al proporcionar de antemano el modelo
exponencial a los PG que no habían encontrado un posible modelo para caracterizar el
sistema. Sin embargo, el P ha alentado a los estudiantes a buscar otros tipos de modelos
que podrían caracterizar/describir este mismo sistema (concentración del radiofármaco).
Así, el profesor ha propuesto a los PG, posteriormente, que retomaron sus posibles
modelos-respuesta iniciales, los pusieron a prueba como instrumentos para responder al
mismo conjunto de cuestiones y que comparasen las técnicas utilizadas.
De este modo, para caracterizar el sistema, inicialmente todos los PGs tomaron el
mismo modelo exponencial, lo que permitió que el GG pudiese reformular la cuestión
Q2 de la siguiente forma:
¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de un
paciente si suponemos que t minutos después de administrado, la concentración (medida en miligramos
por litro) viene dada por la función
?
Para responder a las cuestiones Q211,…, Q214 surgió la necesidad de explicar algunas
herramientas matemáticas del GeoGebra a cada uno de los PG vía Skype. Así, el
profesor compartió su pantalla con los grupos de estudiantes para ejemplificar como:
representar la gráfica de una función, determinar los puntos de intersección, añadir la
leyenda a un gráfico (con su expresión algebraica), cambiar de colores, usar selectores
para manipular los parámetros de una familia de funciones (y, de este modo, cambiar la
situación inicial), determinar la función derivada, insertar texto, etc.
Con el auxilio del GeoGebra, los PG estudiaron la variación del modelo
función del tiempo y llegaron a algunas respuestas como, por ejemplo:
Q211: Se pode afirmar que a concentração aumenta sempre com o tempo?
R211: “Não, a concentração não aumenta sempre com o tempo. Ao analisar o gráfico da
função é possível ver que a concentração aumenta durante um certo período de tempo até
290
en
atingir um pico, após o qual esta vai reduzindo até estabilizar num valor praticamente
inexistente.”
Respuesta del PG3
Se observó que ninguno de los PG utilizó herramientas del CDE para responder a las
cuestiones, en particular, no usaron la función derivada para estudiar la monotonía, ni
tampoco calcularon el límite ni determinaron la asíntota horizontal de la función. Sin
embargo, el P había dado una “sugerencia” en este sentido cuando ejemplificó la
determinación de la función derivada y el cálculo de los puntos de intersección de
funciones con el GeoGebra.
Q212: Como varia essa concentração ao longo do tempo?
R212: “Como já foi descrito na resposta à pergunta anterior a concentração começa por
aumentar progressivamente no momento da administração do radiofármaco até atingir um
pico de concentração após o qual vai começar a diminuir, representando o início da
eliminação do radiofármaco por parte do sistema imunitário do paciente, até que este é
completamente eliminado atingindo assim uma concentração de zero.”
Respuesta del PG3
En relación a las cuestiones Q213 y Q214 surgieron respuestas muy semejantes
como, por ejemplo:
R213: “A eliminação iniciase em t=1 e nesse instante a
concentração é de 1.47ponto A.”
¡No usa la derivada!
R214: “A concentração
decresce mais rapidamente
nos instantes seguintes à
concentração máxima.”
¡No usa la derivada
segunda!
Figura 9: Respuesta del PG3 a Q213 y Q214
Se verificó que ninguno de los PG utilizó explícitamente en su respuesta las
herramientas del CDE, en particular, no utilizaron la función derivada para estudiar la
variación del modelo, ni tampoco la segunda derivada para estudiar la variación de la
variación del modelo, y así responder respectivamente a las cuestiones Q213 y Q214.
Sin embargo, uno de los PG representó (en el mismo sistema de referencia que el
gráfico del “modelo concentración”) la función derivada y determinó su punto de
291
intersección con el eje de abscisas, pero no ha utilizado estos resultados para responder
a las cuestiones.
Para responder a las cuestiones Q212 y Q213 otro de los PG estudió el signo de la TVM
pero no interpretó el resultado:
Figura 10: Respuesta del PG4 a Q212 y Q213
Ninguno de los PG formuló nuevas cuestiones ni nuevas hipótesis.
En relación a la primera ampliación de la
, designada por
que consistía en
comparar la evolución de la concentración del radiofármaco en dos organismos
diferentes, de María y de Luís, representadas respetivamente por los modelos
y
,
se observó que: algunos estudiantes compararon los dos modelos
algebraicos indicando que una concentración será siempre el doble de la otra, pero no
compararon su evolución; otros presentaron los 2 gráficos en el mismo referencial pero,
sin interpretar su variación en términos de semejanzas gráficas, diferencias entre
máximos, momentos en los cuales se alcanza el máximo, valores iniciales, etc.
Figura 11: Respuesta del PG1 a Q’2
En este punto la actividad matemática fue ampliada pasando los Es a trabajar un modelo
funcional perteneciente al segundo nivel de MF “ampliado” (familia de funciones de
una variable dependiente de varios parámetros). Este cambio de nivel no fue un
obstáculo para los Es, lo aceptaron bien, sin extrañeza, estudiando con entusiasmo los
efectos de la manipulación de los diferentes parámetros en la modificación de la
situación inicial.
En la
parámetros
se consideró el modelo algebraico-funcional
e
con dos
(que representaban constantes positivas) para describir la
292
concentración del radiofármaco a lo largo del tiempo en el plasma de un paciente
cualquiera. Se sugirió la interpretación de los parámetros del modelo mediante la
utilización de herramientas del CDE79.
: Como depende, em cada caso, o comportamento da função concentração C a (t) do valor do
parâmetro a? Em que momento a concentração Ca(t) é máxima? Qual é o valor dessa concentração
máxima? (A)
Como depende, em cada caso, o comportamento da função concentração C k (t) do valor do
parâmetro k? Em que momento a concentração Ck(t) é máxima? Qual é o valor dessa concentração
máxima? (B)
: Que características comuns apresentam os seus gráficos?
De acordo com a situação problemática, formule algumas hipóteses para possíveis características do
sistema que podem estar a ser representadas pelos parâmetros y do modelo funcional.
Por una cuestión de tiempo, dos de los PG buscaron respuestas para la
dos PG para la
. Presentamos
y los otros
aquí algunas respuestas de los estudiantes:
(Respuesta al conjunto A de cuestiones) +
:
Ao analisar os gráficos elaborados para o estudo do problema, é possível concluir que, utilizando o
modelo C(t) = at -kt e alterando apenas a variável a, a única mudança que ocorre é o valor y
(concentração) do extremo absoluto da função, sendo que quanto mais elevado for o valor de a mais
elevado será o valor de y. Por outro lado, o zero da função e o valor x (tempo) do seu máximo absoluto
mantem-se sempre constante tal como o instante em que a concentração se aproxima do zero,
independentemente da variação de a.
Figura 12 – Respuesta del PG3 a la Q’211 y a la Q’213
79
En esta memoria hemos caracterizado el CDE como una ampliación cálculo estudiado en la enseñanza
secundaria incluyendo todas las técnicas relacionadas con el cálculo de límites, la determinación de
asíntotas, continuidad/discontinuidad, monotonía, extremos, concavidades, puntos de inflexión, etc. (ver
los detalles en la sección 4 del capítulo II).
293
Nótese que este PG no ha verificado la coherencia de los modelos presentados con el
sistema, o sea, no ha interpretado el significado de los gráficos situados por debajo del
eje horizontal. Esta parte de las gráficas correspondería a valores negativos de la
concentración del radiofármaco (lo que sería absurdo). Así, estos estudiantes mostraron
en sus respuestas alguna falta de sentido crítico de los resultados obtenidos. Además, no
distinguen entre el papel de los parámetros y el de las variables cuando dicen:
“alterando apenas a variável a”.
(Respuesta al conjunto B de cuestiones) +
:
Para todos os valores de , a função Ck (t) apresenta a mesma assíntota horizontal, que é
. Para além
disso, verificamos que estas funções eram todas da mesma família. Assim, quando
toma valores
positivos a função apresenta concavidade voltada para baixo e se tomar o valor 0 torna-se uma reta. Deste
modo, podemos concluir que quanto menor o valor de , demora-se mais tempo a atingir o valor máximo
da concentração, daí que para diferentes , surjam diferentes achatamentos das funções.
Figura 13: Respuesta del PG2 a Q’212 y Q’213
Para resolver a questão (B) o grupo recorreu ao programa informático “GeoGebra” para analisar a função
do enunciado. Elaborou-se cinco gráficos com diferentes valores de , de modo a estudar e avaliar qual a
influência desta variável no gráfico da função em causa. Indicou-se o ponto de interseção da primeira
derivada, da função inicial, com o eixo
e deu-se vários valores a (através do seletor) de modo a
avaliar o comportamento da função primitiva o que nos levou a concluir, após observarmos o gráfico, que
o valor de , no seletor, só pode tomar valores positivos de acordo com o contexto do problema.
Acta del PG2
294
Los estudiantes del PG2 identificaron el signo del parámetro k con el sentido de las
concavidades del gráfico. Sin embargo, podrían haber interpretado también la influencia
del signo del parámetro
en la monotonía de la función: para
la concentración
crece, alcana un valor máximo y después decrece.
Se pretendía que los estudiantes descubriesen algunas características comunes a los
modelos funcionales de la misma familia como, por ejemplo: tienen el mismo tipo de
función derivada, la misma forma gráfica, el mismo punto en el que se alcanza el
máximo, diferente máximo, etc.
En relación a la formulación de hipótesis acerca de posibles características del sistema
que podrían estar representadas por los parámetros
y
del modelo funcional
(características fisiológicas del paciente y nunca condiciones exteriores), ninguno de los
PGs ha desarrollado esta idea.
Consideramos importante que los estudiantes lleven a cabo esta manipulación de los
parámetros de las familias de funciones antes de la introducción del concepto de
primitiva o antiderivada de una función.
Desafío antiderivada
Inicialmente había sido previsto seguir la metodología usual para resolver esta tarea
relacionada con la noción de antiderivada: advirtiendo a los estudiantes que sería
conveniente resolver anticipadamente algunas tareas más simples en la Ficha 2:
Técnicas inversas y noción intuitiva de Anti-derivada. En el momento final de la SP4, y
dado el entusiasmo de los estudiantes, se propuso a los PG una ampliación de la
cuestión Q’’2 como un desafío de investigación autónoma. Los resultados fueron
sorprendentes puesto que, sin ser una tarea obligatoria, en la sesión siguiente los
estudiantes mostraron con entusiasmo sus descubrimientos al profesor P (vídeos del
YouTube, diapositivas de profesores, técnicas en libros, etc.). En particular, mostraron el
Teorema Fundamental del Cálculo, tablas de primitivas y la técnica para calcular
primitivas de funciones polinómicas. La articulación espontanea de las praxeologías por
parte de los estudiantes ha sido posible gracias a un proceso de inversión de las técnicas
de derivación que dominaban de manera robusta. Así, al conseguir deducir la técnica
inversa de una técnica habitual de forma autónoma, los estudiantes resolvieron
intuitivamente las tareas con motivación y entusiasmo.
295
Figura 14: Respuesta del PG1 al “desafío antiderivada”
296
Figura 15: Respuesta del PG3 al “desafío antiderivada”
En esta sesión ha dado muy buen resultado la estrategia didáctica consistente en que el
P propone que el E acepte un desafío de autonomía para resolver una tarea determinada.
Además ha permitido que en la SP5 la presentación de la técnica de cálculo de
primitivas inmediatas al gran grupo (GG) fuese más natural, interactiva, colaborativa y,
consecuentemente, más interesante para todos los Es.
Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 2 (SP4 + SV2).
297
3.5. Sesión Presencial 5
Semana 2 – (3 horas)
En el inicio de esta sesión, se ha institucionalizado la Q1 (usando una familia de
funciones) y la Q2 comparando las respuestas enviadas por los PG a través de la
plataforma Moodle con las respuestas que habían sido previstas anteriormente por el
profesor. El P y los Es han llegado a la conclusión de que estas respuestas podrían ser
mejoradas y, como dicha iniciativa ha partido de los propios estudiantes (que
manifestaban en la institucionalización saber hacer más y mejor de lo que habían
demostrado en los trabajos enviados) el P les ha dado la posibilidad de que completaron
y ampliaron sus respuestas en el momento de la preparación de la presentación del
trabajo final (que resultaría de la articulación de todos los trabajos intermedios
enviados). Así, el P ha mostrado un ejemplo de cómo se podría hacer esa ampliación de
la actividad matemática como respuesta a la cuestión Q2:
De una vasta gama de posibles modelos vamos a centrarnos en la exploración de algunos de ellos que nos
obligará a buscar otras técnicas matemáticas que van a enriquecer y a potenciar nuestro trabajo. Por
ejemplo:
M1: ¿Cómo estudiar la variación de la concentración de un radiofármaco en el plasma sanguíneo de un
paciente si suponemos que, t horas después de administrado, la concentración (medida en miligramos
por litro) viene dada por la función
?
M2: ¿Y si el modelo fuese de otro tipo, por ejemplo, el modelo racional
?
M3: ¿Y si el modelo fuese de otro tipo, por ejemplo, el modelo definido por trozos
80
que representa la concentración en un cuerpo , en
milión), de una cierta dosis de radiofármaco, horas después de ser ingerido?
(parte por
A continuación se planteó Q3 con la finalidad de hacer vivir el RM3 que requería la
introducción de la noción de antiderivada/primitiva e integral de un modelo funcional:
Conhecendo a velocidade de administração, por via endovenosa, de uma dose de um radiofármaco,
como pode variar essa dose (quantidade) ao longo do tempo?
Uma dose de ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via endovenosa, pela
primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o plasma a uma velocidade de
mililitros por minuto, em que representa o tempo medido em minutos depois do meio-dia, a que
horas terminará essa toma?
Uma dose de
ml de um radiofármaco foi administrada a um paciente, por via endovenosa,
pela primeira vez ao meio-dia. Sabendo que o radiofármaco está a fluir para o plasma a uma velocidade
de
mililitros por minuto, em que representa o tempo medido em minutos depois do meiodia, a que horas terminará essa toma?
80
Podemos considerar que esta situación resulta del estudio del sistema anterior “ampliado” para
modelizar la concentración de un medicamento en un cuerpo (en general) y no, únicamente, en el torrente
sanguíneo.
298
El P ha preguntado a todos los Es (en GG) acerca de posibles hipótesis para la
resolución del problema. Uno de los Es ha respondido que:
Es: “Poderia igualar-se a velocidade
a zero de modo a descobrir o
quando a toma do radiofármaco acabaria.” “Mas assim dava
… o que sera
absurdo!!”
Otras propuestas de técnicas fueron presentadas y el P ha sugerido a los Es que
relacionasen estas técnicas con las utilizadas en Física en la enseñanza secundaria:
P: “Quando o P de Física vos dava o gráfico da função velocidade e vos pedia o valor do
espaço percorrido, como determinavam esse valor?”
Es (en simultaneo): “Calculávamos a área abaixo do gráfico!”
P: “E como se interpreta em matemática a velocidade? O que representa?”
Es (en simultaneo): “A derivada!”
P: “e o espaço percorrido? O que representa?”
E: “A função cuja derivada é a velocidade!” “Então, significa que é a antiderivada da
velocidade”
P: “No nosso problema a dose de
ml de um radiofármaco representa uma quantidade
que diminui «do saco de soro» à medida que vai sendo administrada (com o tempo), ou
seja, poderemos equipará-la ao espaço percorrido.”
E: “Então a dose é a antiderivada da velocidade!” “A dose corresponde à área abaixo do
gráfico da velocidade” “Vamos representar o gráfico de
”
Con la orientación del P los Es fueron construyendo su respuesta de la siguiente
forma:
Dados:
Objetivo:
A dose do radiofármaco no plasma de um paciente corresponde à área entre o
gráfico da função velocidade, o eixo do
e as retas verticais
e
,
ou seja, à área representada ao lado.
Algunos Es han sugerido la técnica de cálculo del área del
trapecio, para determinar el área de la región bajo el gráfico de la
función derivada (integral):
Figura 16: Área
correspondiente a la
dosis del radiofármaco
horas después del
mediodía.
299
Calcular a área do trapézio:
Para responder à questão:
Se amplió la actividad matemática resultante mediante una
modificación de la situación inicial (utilización de un reductor en la
salida del radiofármaco que comportará un tipo diferente de
velocidad de escurrimiento). Surge así una nueva cuestión
en
que se ha cambiado el modelo diferencial lineal por uno cuadrático,
o sea, tomando ahora
. Los Es representaron
gráficamente la velocidad y verificaron que la técnica anterior
ya
no sería aplicable a estos nuevos datos (solo a modelos lineales).
Los PG mostraron dificultades para resolver esta tarea con las
Figura 17: Área
técnicas que conocían (que ya formaban parte de su equipamiento correspondiente a
tecnológico). Por tanto, los Es sintieron la necesidad de buscar nuevas
técnicas para solucionar el problema.
la dosis del
radiofármaco
horas después del
mediodía.
Los Es confrontaron sus ideas al sugerir nuevas técnicas. El GG se ha mostrado
participativo y manifestó algunas hipótesis para la resolución de las cuestiones
problemáticas presentadas.
Decompor a área em várias áreas mais pequenas e aproximá-la por uma soma de áreas de
retângulos:
Tomando, por exemplo, a divisão da área em 4 retângulos com a mesma base, poderá utilizar-se
uma das duas técnicas seguintes:
300
Fixando
:
Fixando
:
Tabla 13 – Técnicas de descomposición del área bajo el grafico de una función.
Los Es sugirieron una ampliación de la técnica anterior consistente en el cálculo de la
media de los resultados obtenidos con
y
:
Decompor a área em várias áreas mais pequenas e aproximá-la por uma
média de somas de áreas de retângulos:
Otro E sugirió la utilización de más rectángulos para aproximar con más precisión el
área pretendida.
N.º
retângulos
40
999999
Cálculo da
área
Tabla 14 – Descomposición del área pretendida en áreas de rectángulos cada vez más pequeños
Dado que las técnicas anteriores conducían a resultados aproximados y como la técnica
utilizada era cada vez más costosa con el aumento del número de rectángulos, surgió la
necesidad de procurar una técnica más precisa y económica:
Construir o modelo a partir do estudo da sua variação
El desarrollo de esta técnica se apoyaba en el Teorema Fundamental del Cálculo y, por
ser nuevo para los Es, la intervención del P fue mayor. Así, siguiendo el RM 3 (descrito
301
en el capítulo IV) y relacionando el cálculo del área abajo del gráfico de una función
derivada con su valor de integral, los estudiantes presentaron la siguiente técnica:
Figura 18 –Respuesta del PG2 a la
Sin embargo, ninguno de los PGs ha trabajado el modelo construido para responder a la
cuestión
cuya respuesta implicaba la resolución de la ecuación
para
determinar al final de cuánto tiempo (después del mediodía) terminaría la
administración de la dosis del radiofármaco (
).
Al final de esta sesión presencial se procedió a un cuestionamiento tecnológico con la
intención de comparar las diferentes técnicas utilizadas. Para ello, se solicitó a los PG
que completaron la siguiente tabla:
Técnica
Construção do
modelo funcional
Sem ferramentas do
CDE
Âmbito de
aplicabilidade
(validade)
Modelos lineares
Economia
Precisão
de resultados
Pouco
económica
Aproximados
Com ferramentas do
CDE
(integral)
Qualquer tipo de
modelo
(universal)
Tabla 15 – Tarea de comparación de las diferentes técnicas de construcción del modelo funcional
302
Los
Es
la
completaron
sin
dificultades
y
concluyeron
que
la
técnica
(que utiliza herramientas del CDE) es la más económica, amplia y eficiente:
Técnica
Construção do
modelo funcional
Sem ferramentas do
CDE
Sem ferramentas do
CDE
Com ferramentas do
CDE
(integral)
Âmbito de
aplicabilidade
(validade)
Modelos lineares
Qualquer tipo de
modelo
(universal)
Qualquer tipo de
modelo
(universal)
Economia
Precisão
de resultados
Pouco
económica
Muito custosa
Exatos
Aproximados
Mais económica
Mais exatos
Tabla 16 – Respuesta a la tarea de comparación de las diferentes técnicas de construcción del modelo
funcional
“Existiu um debate sobre o tipo de técnica mais eficaz para a obtenção de áreas de figuras
delimitadas por gráficos e a conclusão que se obteve foi que a técnica de cálculo diferencial
é a técnica mais económica e exata e, portanto, a mais eficaz.”
Acta del PG4
Para que los Es pudiesen validar su conclusión, el P ha sugerido la utilización de esta
última técnica
(con CDE) para responder a
Presentamos, a continuación, una
de las respuestas:
“No fim da aula concluímos que esta técnica era a mais económica e eficaz e resolvemos a
primitiva de
por este método:
”
Figura 19 – Respuesta del PG2 a la
El P ha propuesto como trabajo de grupo, cuya discusión sería efectuada en la Sesión
Virtual siguiente, la resolución de las tareas de la Ficha de trabajo 2 (familias de
funciones y antiderivadas) y de la Ficha de trabajo 3 (cálculo de áreas bajo la gráfica de
una función y entre curvas) (ver anexo G.2.).
303
Finalmente se procedió a la definición de las Sesiones Virtuales (online) con cada uno
de los PGs con el objetivo de resolver dudas en la resolución de las citadas fichas de
trabajo (F2 y F3) puestas a su disposición por el P.
Sesión virtual 3
“No dia vinte e sete do mês de outubro de dois mil e quatorze pelas nove horas e dez
minutos deu-se início à sessão pelo Skype. Durante esta sessão foi-nos possível esclarecer
algumas dúvidas relativas às fichas de trabalho número dois e número três da sessão
presencial número 5. Assim, a professora deu-nos sugestões sobre possíveis passos a seguir
para a resolução dos exercícios em questão, e, desta forma o grupo ficou mais elucidado.
No decorrer da sessão Skype, houve alguns problemas de comunicação devido a falhas na
internet, mas o grupo teve a ideia de continuar a discussão de dúvidas, recorrendo ao meio
telefónico onde comunicamos por conferência.“
Acta del PG2
Ficha de trabajo 2: Familias de funciones, noción de antiderivada, trabajo de la técnica de
cálculo de primitivas inmediatas
En la resolución de las tareas de la Ficha de trabajo
2 (F2) se observó que la mayoría de los PG no
tuvieron dificultades en trabajar los modelos ya
construidos
mostrando
flexibilidad
en
la
nomenclatura para representar la función y la
variable independiente (en la tarea 1) y facilidad en
Figura 20 – Tarea 3 de la F2
distinguir el parámetro de la variable al derivar la
función
(en la tarea 2). Sin embargo, han surgido muchas
dificultades en la tarea 3:
Algunos PGs efectuaron una especie de
cambio de variable y derivaron todas las
funciones respecto a
(¡como sí solo fuese
posible derivar respecto a esta variable!).
Figura 21 – Respuesta a la tarea 3 del PG3
304
En cuanto a la interpretación física de la derivada como velocidad (tarea 4), ninguno de
los PG ha mostrado dificultades.
En la tarea 5a, cuando se solicitaba la representación gráfica de 2 funciones de la misma
familia, uno de los PGs ha sido creativo en la ampliación de su respuesta:
Figura 22 – Respuesta a la tarea 5 del PG2
En la tarea 6, que implicaba la identificación de un extremo de una función en el gráfico
de su derivada y la construcción del modelo algebraico funcional a partir del modelo
gráfico diferencial, todos los PG respondieron correctamente y sin dificultad.
Con relación a la tarea 7 de la F2 (ver anexo G.2.),
“Ao analisar o gráfico fornecido no exercício 7, é possível
verificar que este se trata de um esboço de uma função definida
pelos ramos (
, se
e
se
),
que é a derivada de várias outras funções. Utilizando as técnicas
de primitivação foi concluído que uma das funções a qual se
aplica esta derivada poderia ser a função
se
e
se
. Após a obtenção deste resultado as
funções foram analisadas utilizando o
programa GeoGebra, obtendo-se assim o
gráfico representado a cor azul pelas funções
g e p:”
Figura 23 – Respuesta a la tarea 7 del PG3
305
En la respuesta a la tarea 8 de la F2 (ver anexo G.2.), a pesar de algunos errores, el
mismo PG ha mostrado originalidad y reflexión al representar gráficamente la
antiderivada partiendo de la derivada expresada algebraicamente (en este caso
particular, como pendiente de la tangente):
Figura 24 – Respuesta a la tarea 8 del PG3
Es de subrayar la preocupación de este PG en ajustar el parámetro del modelo para que
fuese más coherente con el sistema intramatemático.
En relación a las tareas 9 y 10, no surgieron dificultades en la construcción de los
modelos funcionales. En la tarea 11, que implicaba la construcción de un modelo cúbico
conociendo un extremo y su punto de inflexión, surgieron más dificultades en la
interpretación de los puntos dados, conduciendo a respuestas del tipo:
306
Figura 25 – Respuesta a la tarea 11 del PG2
Por otro lado, cuando interpretaban bien los puntos datos (el máximo como
correspondiente al cero de la derivada primera y el punto de inflexión relacionado con el
cero de la segunda derivada), el obstáculo surgía en la resolución del sistema81 con 4
ecuaciones y 4 incógnitas. Presentamos un ejemplo de respuesta:
Figura 26 – Respuesta a la tarea 11 del PG4
Sin embargo, la estrategia utilizada por este último PG de construir, inicialmente, un
posible esbozo del gráfico del modelo pretendido, podría haber facilitado la
interpretación de los puntos.
El trabajo de las técnicas de manipulación del modelo diferencial para calcular las
primitivas inmediatas (tarea 12), no ha provocado dificultades a la mayoría de los
estudiantes. Sin embargo, algunos no entendían en qué casos debería obtenerse una
81
Para la resolución de este sistema uno de los PG, orientado por el P, ha usado la «matriz reducida» en el
GeoGebra.
307
única función concreta como modelo y, en qué casos la respuesta-modelo debería
materializarse en una familia de funciones. Para clarificar esta cuestión, fue necesario
hacer un cuestionamiento tecnológico:
Comparación de técnicas para la construcción de modelos
En la construcción de modelos,
Al partir de:
• Es posible:
datos diferenciales
•construir una família de funciones
primitivas
datos diferenciales
•construir una única función primitiva
+ condiciones iniciales
Figura 27 – Cuestionamiento tecnológico: comparación de técnicas para la construcción de modelos
Se presenta en seguida el análisis de las respuestas a las tareas de la tercera Ficha de
Trabajo:
Ficha de Trabajo 3: Uso del integral para el cálculo de áreas bajo la gráfica de una
curva y entre curvas
En la resolución de las tareas de la Ficha de trabajo 3 - F3 (ver anexo G.2.) se ha
observado que la mayoría de los PG no han tenido dificultades en calcular las áreas bajo
la gráfica de una función aplicando la noción de integral estudiada anteriormente.
Las tareas 2a y 2i representaban desafíos de investigación, o sea, servían para conducir a
los Es a cuestionar el ámbito/validez de las técnicas ya estudiadas para integrar la
función logarítmica (calcular el área bajo su gráfica). Así, los Es sentían la necesidad de
buscar nuevas técnicas de integración (por partes y por sustitución).
Para ello, algunos de los PGs buscaron vídeos, websites en internet (refiriendo en las
fuentes de su trabajo) como, por ejemplo:



http://math2.org/math/integrals/more/es-ln.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tábua_de_integrais#Logaritmos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lista_de_integrais_de_fun%C3%A7%C3%B5es_logar%C
3%ADtmicas
308
Por otro lado, para validar dichas técnicas del cálculo integral encontradas en internet,
uno de los PG ha utilizado el GeoGebra para confirmar los resultados obtenidos en las
tareas propuestas en F3 como, por ejemplo, en la tarea 2i:
Figura 28 – Respuesta a la tarea 2i del PG3
O en la tarea 2g, cuando el valor del integral era negativo, sintieron la necesidad de
validar el valor del área:
Figura 29 – Parte de respuesta a la tarea 2g del PG3
Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 3 (SP5 + SV3).
309
3.6. Sesión Presencial 6
Semana 3 – (2 horas)
En el inicio de esta sesión, se ha institucionalizado para el GG la técnica de integración
por partes que ya había sido investigada, estudiada y utilizada por uno de los PG en la
sesión anterior.
A continuación, el P ha indicado a los alumnos que accedieron a la plataforma Moodle
con la finalidad de hacer la descarga de la Ficha de trabajo 4 que ya estaba en la carpeta
correspondiente a la Sesión Presencial 6.
Ficha de Trabalho 4: técnica de primitivação por partes, primitivação por substituição e
por frações simples
Muy rápidamente y con entusiasmo, los Es empezaron a resolver en PG la tarea 1 de la
F4 (ver anexo G.2.) que implicaba el trabajo con modelos ya construidos mediante la
aplicación de la técnica de cálculo de primitivas por partes. A pesar de que, en general,
no surgieron muchas dificultades para resolver dicha tarea, los estudiantes necesitaron
más tiempo del previsto por el profesor para completarla. Además, los PGs se
preocupaban constantemente de verificar sus resultados y de validar sus técnicas, ora
derivando las funciones primitivas, ora utilizando un instrumento automático como el
GeoGebra. Así, concluimos que los PG habían superado las expectativas del profesor,
presentando un trabajo mucho más completo y desarrollado que el que se les había
solicitado.
3.7. Sesión Presencial 7
Semana 3 – (2 horas)
En esta sesión, los PG continuaron trabajando las tareas de la Ficha de Trabajo 4.
Intentaron resolver la tarea 2 mediante la técnica de integración por partes y
comprobaron que esta técnica ya no era válida y que, por lo tanto, necesitaban utilizar
otra técnica para resolver dicha tarea. Así, buscaron en internet otras posibles técnicas y,
con el auxilio del P, en GG, se ha efectuado la institucionalización del método de
sustitución para resolver conjuntamente la tarea 2a. Lo mismo ha sucedido al pasar de la
tarea 2 a la 3, pero ahora institucionalizando en GG algunas técnicas para determinar la
primitiva de funciones racionales.
310
Al final de la sesión calcularon algunas integrales definidas con el objetivo de practicar
las técnicas. En general no surgieron muchas dificultades, más allá de los errores de
cálculo comunes, de olvidarse de “deshacer” la sustitución al final, etc.
Sesión virtual 4
Semana 4 – (2 horas con cada PG)
En esta sesión fueron aclaradas las últimas dudas de los PG referentes a las tareas de la
Ficha de Trabajo 4, en particular, identificando cada conjunto de tareas con una
determinada técnica.
Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 4 (SP6 + SP7 + SV4).
3.8. Sesión Presencial 8
Semana 4 – (3 horas)
La octava sesión ha empezado con la introducción al estudio del Problema 2 (Efectos
Biológicos de las Radiaciones Ionizantes) con la cuarta cuestión - Q4 (ver anexo G.1.):
“Efeitos biológicos das radiações ionizantes provenientes do acidente de Chernobil
O acidente na antiga central ucraniana de Chernobil em 1986 provocou um aumento do
número de casos de cancro da tiroide nas populações mais próximas.
Como se pode prever ao longo do tempo o número de casos de cancro da tiroide nas
populações mais próximas do acidente na antiga central ucraniana de Chernobil?”
Al construir a priori la cuestión problemática 4 habían surgido diversas ideas tomadas
de un Relato que describe las consecuencias biológicas del accidente de Chernóbil
(http://www.iaea.org/sites/default/files/chernobyl.p
df) tales como: a partir de los datos del referido
relato, proponer a los PG el estudio de la evolución
temporal del porcentaje de casos de cáncer de
tiroides en los niños y adolescentes de Bielorrusia
o Belarus (modelo exponencial) y de Ucrania
(modelo casi-linear), proponer el estudio de la actividad del CS-137 en la leche
producida en las granjas privadas y colectivas de las regiones próximas (modelo
racional/exponencial negativo), proponer asimismo el estudio de la evolución temporal
de la actividad del CS-137 en los peces (modelo exponencial de un polinomio).
311
Por un lado, todas estas ideas podrían enriquecer la actividad didáctico-matemática
puesto que permitirían articular diferentes praxeologías pero, por otro lado, parecía
obvio que controlar, evaluar e institucionalizar esta diversidad de problemas no era
viable dado el tiempo institucional que teníamos para estudiar esta cuarta cuestión (Q4).
Así, decidimos unificar para todos los PG la problemática centrándonos en el estudio de
la evolución del porcentaje de casos de cáncer de tiroides en los niños y adolescentes de
Bielorrusia. Tomando los datos representados en el gráfico anterior como datos
discretos, el P propuso a los PG que estudiasen la siguiente cuestión:
¿Qué tipos de modelos funcionales podrían caracterizar este sistema?
Como no existía una relación trivial entre las variables que se pudiese deducir por
formulación de hipótesis sobre la variación y cálculo de diferencias finitas (como hemos
construido en la Q1), para responder a esta cuestión los PG experimentaron diferentes
tipos de regresiones automáticas con el GeoGebra sobre los 5 primeros datos 82 de
incidencia de cáncer:
Figura 30 – Respuesta a la Q41 del PG2
De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que se ajusta melhor aos
dados? Que técnicas são possíveis utilizar para comparar os modelos?
82
Tomamos solo los 5 primeros datos para poder estudiar posteriormente la capacidad predictiva de los
modelos.
312
Con la intención de elegir el mejor modelo de entre los encontrados, los PGs estudiaron
diferentes técnicas para comparar los modelos:
: Comparación de los modelos funcionales
ajuste y predicción respecto a los datos.
y
confrontando su
Comparación de la capacidad aproximada de ajuste y de predicción (según los modelos
gráfico-funcionales)
Los PG descartaron, de entrada, aquellos modelos que a primera vista parecían muy
«malos» (los resultantes de regresiones logarítmica, sinusoidal o potencial).
Comparación de la capacidad de ajuste (según los errores de aproximación)
El P solicitó al GG propuestas para comparar el ajuste de los modelos construidos. Uno
de los Es indicó el «desvío» del modelo en relación a los datos discretos como una
variable relevante a estudiar. Otros estudiantes indicaron que, además del desvío, habría
que tener en cuenta la «distancia» que en matemática podríamos designar por el «error
absoluto». Pero, para comparar mejor los ajustes de los distintos modelos, quizá sería
más sencillo comparar solo los valores medios (ha sugerido un E). Así, todos los PG
calcularon los errores medios de cada modelo en relación a los datos reales discretos de
incidencia:
313
Según esta técnica los modelos elegidos serían el modelo comp (compuessto) o el modelo h (polinómio
interpolador de grado 4).
Figura 31 – Respuesta a la Q411 del PG2 al usar la técnica
Comparación de la capacidad predictiva (según los errores de extrapolación)
Utilizando los datos reales aún no trabajados, los PG determinaron la capacidad
predictiva de los modelos construidos al calcular los errores medios de cada modelo con
respecto a los datos reales “futuros” de incidencia:
314
Según esta técnica el modelo elegido sería el modelo q (polinómico de grado 1).
Figura 32 – Respuesta a la Q411 del PG2 al usar la técnica
En GG, se han comparado los resultados y los PG llegaron a la conclusión de que los
modelos elegidos al utilizar la técnica
corresponderían a los peores modelos en
términos de predicción a largo plazo.
“Nesta sessão, uma estudante do nosso grupo referiu que o polinómio de grau 1 era o mais
adequado porque apresentava a menor média dos três erros de previsão. Posteriormente,
chegou-se à conclusão que a técnica 1 era má uma vez que induzia a escolha dos modelos
que apresentavam maiores erros.”
Acta del PG2
3.9. Sesión Presencial 9
Semana 4 – (3 horas)
En esta sesión, se dio continuidad al trabajo desarrollado en la sesión anterior,
ampliando las técnicas y comparando sus resultados, esto es, comparando los modelos
que debían elegirse según las técnicas anteriores.
Así, los PG se dedicaron a buscar una respuesta para la siguiente cuestión:
De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que apresenta uma maior
capacidade preditiva a curto, medio e largo prazo? Qual a técnica que sugere utilizar para que
esse modelo seja o elegido?
Para ello, se ha ampliado la técnica
al comparar la variación de un modelo continuo
con la variación de los datos discretos. La deducción de esta técnica no fue inmediata
para los Es por lo que se necesitó una mayor intervención del P.
: Comparación de los modelos funcionales y
comparando el
ajuste y predicción de
y
respecto a la variación de los
datos.
315
Las respuestas-tablas presentadas por los PG son análogas a las anteriores, los errores
de ajuste fueron un poco mayores y, por lo tanto, las conclusiones serían las mismas,
puesto que conducían a elegir los peores modelos.
Ante estos resultados, los Es sintieron de nuevo la necesidad de ampliar las técnicas
anteriores.
Es posible aproximar la función TVM real discreta por una
función continua designada por función derivada.
: Comparación de los modelos funcionales y comparando el
ajuste y predicción de y respecto a la variación de los datos.
De nuevo las respuestas-tablas presentadas por los PG son análogas a las anteriores y,
para no extender demasiado esta descripción presentaremos solo las medias de los
errores en una tabla comparativa final (más adelante). Sin embargo, al utilizar esta
última técnica, los Es mostraron más entusiasmo al obtener resultados más próximos de
lo esperado, una vez que, la técnica
ya indicaba la elección del modelo exponencial
que presentaba una mejor capacidad predictiva.
Así, los Es sentían de nuevo la necesidad de ampliar las técnicas anteriores.
“Seguidamente, uma outra estudante do grupo propôs, em resposta a uma questão, o uso da
taxa de variação média relativa. A última ideia foi apontada por outra estudante, que disse
que a taxa média relativa correspondia a um erro relativo.”
Acta del PG2
Surge entonces la técnica ampliada:
: Comparación de los modelos funcionales
predicción de
y
y
comparando el ajuste y
respecto a la variación relativa de los datos.
Las respuestas-tablas presentadas por los PGs son análogas a las anteriores. Sin
embargo, los errores de ajuste obtenidos con esta técnica fueron mayores que los
anteriores y, además conducirían de nuevo a elegir los peores modelos.
Así, los Es sentían de nuevo la necesidad de ampliar las técnicas anteriores.
Es posible aproximar la función TVMR real discreta por una función continua
designada por función derivada partida por la propia función.
: Comparación de los modelos funcionales
predicción de
y
y
comparando el ajuste y
respecto a la variación relativa de los datos.
Esta última técnica proporcionó la elección del modelo con mejor capacidad predictiva
a largo plazo (modelo polinómico de grado 1).
316
Después de experimentadas diversas técnicas para elegir el modelo más adecuado, los
PGs reunieron los resultados, discutieron los valores de los errores encontrados por cada
grupo de estudiantes y las consecuentes elecciones de los modelos, interpretaron esos
resultados y, en GG, compararon los resultados obtenidos por todas las técnicas en una
tabla:
Cuestionamiento tecnológico83
Figura 33 – Respuesta a la Q412 del PG2
Es de reseñar que los estudiantes pretendían decir «La mejor técnica é T 3’ » y no «el
mejor modelo é T3’ ».
“Para a procura de qual seria a melhor técnica que nos levaria à eleição do melhor modelo
funcional:
Erros de Ajuste
Previsão
Modelo Funcional
Pol. Interp. Grau 4
Pol. Grau 3
Pol. Grau 2
Pol. Grau 1
Logística
Exponencial
Composto (s/ interp.)
T1
T2
T’2
T3
T’3
3 anos
6 anos
12 anos
0
0,03
0,17
0,22
0,1
0,17
0
0
0,06
0,33
0,33
0,2
0,3
0
0,31
0,34
0,33
0,33
0,45
0,29
0,42
0
0,36
1,7
0,73
1,26
1,45
0
1,76
1,58
1,75
0,73
1,63
1,45
1,94
0,55
5,67
0,65
1,96
4,79
0,81
21,77
11,37
21,49
1,01
2,5
5,11
4,89
69,72
158,87
100,84
4,89
2,81
5,78
87,59
640,12
Figura 34 – Respuesta a la Q412 del PG3
83
Aquí los estudiantes representaran las técnicas mediante o .
317
--Na discussão grupal dos valores da previsão vimos que: o polinómio de grau 4 (h(x)) para
o curto prazo (3 anos) é o que tem menor erro e por isso o que se ajusta melhor, no entanto
a longo prazo (12 anos) apresenta um erro já muito maior; o polinómio de grau 2 (p(x)) a 6
anos é o que apresenta um erro menor comparativamente às outras; o polinómio de grau 1
(q(x)) a longo prazo (12 anos) é o que apresenta melhor previsão porque tem menor erro.
Há funções que apresentam erros muito elevados e dispersos. A função linear (q(x)) é a que
melhor se ajusta em termos gerais visto que apresenta valores próximos entre os 3 erros
(curto, médio e longo prazo) e também de zero.-------------------------------------------Relativamente à T3, houve uma pequena conclusão à qual chegamos: a taxa variação
média relativa é igual ao erro relativo e calcula-se da seguinte maneira,
.
---Posto isto, concluímos que a técnica T’3 é a melhor a aplicar quando é necessário eleger
um modelo funcional e que neste caso o melhor modelo funcional é o modelo linear (q(x))“
Acta del PG3
Otro de los PGs ha descrito todo su procedimiento:
“…à medida que eram utilizadas as diferentes técnicas para cada um dos modelos
funcionais foi-se comparando a viabilidade das técnicas e das próprias funções.
Relativamente ao primeiro procedimento, verificou-se que o polinómio de grau quatro e a
função composta apresentavam o menor erro de ajuste. Na técnica dois, apesar dos valores
referentes aos erros terem aumentado, os modelos referidos anteriormente voltaram a ter
destaque. Na dois linha os erros de ajuste foram menores na função exponencial e maiores
no modelo logístico. Na técnica três, a função polinomial de grau quatro e a composta
voltaram a apresentar os valores mais reduzidos de erro. Na três linha a que apresentou
menor erro foi a polinomial de grau um.-----------------------------------A par do referido, foi feita, para cada modelo funcional uma previsão a três, seis e
doze anos. Sendo que para a primeira previsão referida, o polinómio de grau quatro
revelou-se o melhor modelo; para a segunda, o polinómio de grau dois e para terceira o
polinómio de grau um. Assim sendo e tendo em conta a técnica três linha, que permitiu
eliminar os modelos piores, elegeu-se a polinomial de grau um como a melhor a longo
prazo.---------------------------------------------------------------------------------------------------------Trabalhar com o geogebra não foi um entrave, mas continua a ser um desafio e uma
constante descoberta.”
Acta del PG1
En general, las actas enviadas por los PG muestran que hubo discusión de los resultados
dentro del grupo, así como reflexión, comparación de técnicas, aportaciones importantes
para enriquecer el trabajo del GG y, a veces, se pone de manifiesto la cohesión y el buen
funcionamiento del grupo.
Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 5 (SP8+ SP9).
3.10. Sesión Presencial 10
Semana 5 – (3 horas)
Se dio inicio a esta sesión con la descarga, vía Moodle, de la cuestión Q5 (ver anexo
G.1.) aún referente al segundo problema “Efectos Biológicos de las Radiaciones
Ionizantes” con un objetivo a estudiar:
318
Propagação de efeitos genéticos e respetiva repercussão em diferentes gerações a
seguir ao acidente de Chernobil
A seguir ao acidente de Chernobil, estudos realizados e amostragens efetuadas a partir
de recolhas de material biológico da população atingida estiveram na base da previsão
da indução de danos genéticos relevantes numa parte da população de uma determinada
espécie animal anual (com ciclo de vida anual). Sabemos que o impacto na 1.ª geração
após o acidente foi de 179, na 2ª foi de 438, e assim sucessivamente de acordo com a
seguinte tabela:
Tabla 17 – Incidência de danos genéticos
nas gerações futuras de uma população por ano.
Como se poderá prever a evolução do impacto destes efeitos genéticos nas gerações futuras?
Que tipos de modelos funcionais poderiam caracterizar este sistema?
Así, como primera tarea, cada uno de los PG ha experimentado diferentes tipos de
regresiones sobre los 10 datos discretos de la tabla anterior:
Figura 35 – Respuesta a la Q51 del PG2
Para comparar los modelos funcionales obtenidos, se descompuso la
en cuestiones
derivadas:
De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que se ajusta melhor aos
dados? Que técnicas são possíveis utilizar para comparar os modelos?
319
Al intentar buscar una respuesta inicial para
los PG utilizaron solamente la técnica
descrita en la sesión anterior (comparando su ajuste y predicción respecto a los datos,
o sea, calculando las distancias de los datos brutos aproximados por el modelo a los
datos brutos reales). Sin ninguna dificultad, los PG presentaron dichas distancias que
variaban entre
(pol. grado 9) y
(pol. grado 3).
De entre os modelos apresentados, como eleger o modelo que apresenta uma maior
capacidade preditiva a 3 anos ou da tendência dos dados futuros? Qual a técnica que sugere
utilizar para que esse modelo seja o elegido?
Sabiendo, de antemano, que en los 3 años siguientes la incidencia de daños genéticos
fue casi nula, fue posible que los PG estudiasen la capacidad predictiva a 3 años de cada
uno de los modelos funcionales construidos (calculando las distancias de las imágenes
previstas por los modelos a cero):
Figura 36 – Parte de la respuesta a la Q512 del PG3
Al interpretar los modelos obtenidos en el sistema, algunos estudiantes consideraron
que la incidencia tendería a
o a
lo que en realidad sería un absurdo. Sin
embargo, no todos los PGs interpretaron bien, en el contexto real, dicha tendencia, por
lo que en este punto fue esencial la intervención del P.
De nuevo, los estudiantes sintieron la necesidad de ampliar las técnicas utilizadas hasta
el momento y surgieron debates, discusiones y conjeturas dentro de los PG en relación a
cómo crear nuevas técnicas. Las ideas fueron discutidas en GG y con el P.
P: “Como podemos estudar a tendência de um modelo?”
PG: “?!...”
E: “Pela sua variação!”
Surgió entonces la cuestión problemática:
320
P+GG: “¿Podremos decir que los datos de variación determinan mejor la
tendencia del sistema que los datos brutos?”
Con el propósito de encontrar una respuesta para esta última cuestión los estudiantes
analizaron la variación de los datos presentados.
Dado que no teníamos mucho tiempo en la sesión presencial para el estudio de la Q5 y
de sus cuestiones derivadas, el trabajo fue dividido entre los PG de la siguiente forma:
-
Los dos grupos que mostraban una mayor autonomía y rapidez en programar en
la hoja de cálculo del GeoGebra testaron la técnica de regresiones sobre los
datos de la TVMR.
-
Los dos grupos que mostraban mayores dificultades en manipular el instrumento
informático, testaron la técnica de regresiones sobre los datos de la TVM.
Al final, se pretendía unificar, en GG, todo el trabajo desarrollado por los diferentes PG
y proceder a una comparación de los resultados obtenidos, efectuar un cuestionamiento
tecnológico, una institucionalización de las técnicas, etc.
Del estudio de la variación surgieron las siguientes respuestas:
Regresiones sobre datos
TVM
Regresiones sobre datos TVMR
Tabla 18 – Respuesta del GG resultante de la discusión de las respuestas de los PG
321
Uno de los PG ha aplicado regresiones sobre una lista de puntos que no correspondía a
valores de variación pero sí, a valores de errores absolutos. Consecuentemente, todos
sus resultados estaban equivocados. Una semana después, cuando este PG preparaba la
presentación final para el GG, un estudiante detectó y corrigió el error cometido.
Otro PG se ha debatido con un problema de espacio para disponer todas las tablas en el
mismo documento GeoGebra para ser posible la programación por recursividad de
celdas. Buscaron una estrategia y solucionaron el problema, presentando los resultados
con una disposición original e inteligente.
Por un lado, algunos PG utilizaron vocabulario propio del desarrollo de actividades de
modelización funcional en sus respuestas como, por ejemplo, los términos: modelo,
sistema, hipótesis, conjeturas; por otro lado, otros PG mostraron algunas dificultades en
expresar claramente sus ideas utilizando los términos adecuados.
Uno de los PG ha revelado poca reflexión, ejecución mecánica de procedimientos en
GeoGebra sin percibir realmente qué técnicas estaban utilizando y porque razón
utilizaban esas técnicas y no otras diferentes.
PG: “E agora como continuamos?!”
Como sugerencia, el P ha preguntado a cada uno de los PG:
P: “¿Cómo pasar de un modelo que aproxima los datos de variación a un
modelo que aproxime los datos brutos?”
PG: “¿!...”
Los PG discuten posibles técnicas hasta que algún estudiante relaciona ese paso con el
uso de la integral.
De este modo, cada uno de los PG (con el auxilio del P) fue construyendo, paso a paso y
algebraicamente en su cuaderno, una técnica matemática que permitiría solucionar el
problema de transformar el modelo que aproximaba los datos de variación en otro
modelo que aproximaba los datos brutos.
Al final, las dos técnicas deducidas por los PG fueron institucionalizadas por el GG bajo
la dirección del P, de la siguiente forma:
322
Regressão sobre dados TVM
Regressão sobre dados TVMR
Vamos aproximar esta equação em
diferencias finitas a uma equação diferencial: Vamos aproximar esta equação em
diferencias finitas a uma equação diferencial:
Por resolução desta equação surge a solução
geral:
Por resolução desta equação surge a solução
geral:
,
Tabla 19 – Institucionalización de las técnicas de aproximación de una ecuación en diferencias finitas a
una ecuación diferencial
A continuación, los elementos de los PG discutían la manera de trasladar esta técnica al
GeoGebra. Las ideas fueron consolidadas con la ayuda del P. Por ejemplo:
323
Regresiones sobre los datos de la TVMR84
Los dos PG que empezaban por aplicar regresiones polinómicas sobre los datos de la
TVMR (Hoja Gráfica 2), representaban en otra hoja gráfica los puntos correspondientes
a los datos brutos (Hoja Gráfica), y experimentaban regresiones sobre estos puntos
como exponenciales de los integrales de las regresiones polinómicas (Hoja Algebraica).
A fin de comparar los modelos obtenidos, calculaban sus errores medios con respecto a
los datos reales y su error medio de predicción a 3 años (Hoja de Cálculo).
A fin de ajustar los modelos crearon un «selector» para cada uno (Hoja Gráfica) que
estaba relacionado con el parámetro resultante de la integración y añadieron en la
expresión algebraica de cada modelo el parámetro correspondiente (Hoja Algebraica).
Figura 37 – Parte de la respuesta a la Q512 del PG2
El trabajo simultáneo con varios registros funcionales (algebraico, aritmético y dos
gráficos) permitió que los estudiantes visualizasen los efectos de la manipulación de los
parámetros de los modelos en cada uno de esos registros. En particular, ha permitido
que los PG eligiesen, para cada familia de funciones, el modelo que mejor se ajustaba a
los datos al manipular el parámetro correspondiente y, simultáneamente, observar los
cambios provocados en el valor del error medio. De este modo, elegían el modelo cuyo
parámetro conducía al error medio mínimo.
84
Algunos de los PG optaron por establecer dos grupos dentro del PG para dividir el trabajo técnico de
tablas en GeoGebra. Así estipularon que algunos estudiantes trabajarían las regresiones sobre los datos
brutos presentados y los restantes elementos, en otro computador, trabajarían las regresiones sobre la
TVMR. Al final comparaban y discutían los resultados obtenidos.
324
Figura 38 – Respuesta a la Q512 del PG2
325
Regresiones sobre los datos de la TVM
Los dos PG que empezaron por aplicar regresiones polinómicas sobre los datos de la
TVM siguieron un procedimiento análogo al anterior, pero sin necesidad de utilizar la
función exponencial. Se presenta la respuesta de uno de estos PG:
Regressões dos dados brutos
Eleição do melhor modelo
Integrais: (comparação dos modelos)
Modelo Funcional
Integral do polinómio de grau_4
Integral do polinómio de grau_5
Integral do polinómio de grau_6
Integral do polinómio de grau_7
Integral do polinómio de grau_8
Média dos erros absolutos
395,89
465
728,52
836,11
257,69
Previstos para três anos
31752,69
58538,18
221800,06
340077,81
869213,26
Eleição do melhor modelo: integral do polinómio de grau 4.
Conclusão: O modelo que apresenta um valor de erro médio
absoluto mais aceitável corresponde ao integral do polinómio de
grau 8, no entanto apresenta um valor de previsão elevado. Para
colmatar seleciona-se o segundo modelo com menor valor de
erro médio absoluto e com um valor de previstos aceitável, ou
seja, o referente ao polinómio de grau 4.
Figura 39 – Respuesta a la Q512 del PG1
Después de la reunión de todos los resultados de los PGs y su discusión en GG, los
estudiantes concluyeron que el modelo que revelaba mejor la tendencia de los datos
futuros era el obtenido mediante regresiones sobre datos de la TVMR, puesto que, por
ser un modelo exponencial, indicaba que la incidencia tendería a cero, es decir, tendería
a desaparecer con el paso del tiempo.
326
Figura 40 – Respuesta a la Q512 del GG
Después del modelo funcional construido y elegido se podría trabajar el modelo para
responder a otras cuestiones.
“---Já perto do final da sessão foram dadas, pela professora, orientações para a apresentação
final, onde foi entregue, em papel, um diagrama de atividades desenvolvidas durante as
sessões.-------------------------------------------------------------------------------------------------------No final da sessão estabeleceu-se que no dia treze de novembro se iria realizar uma
sessão virtual para esclarecimento de dúvidas e preparação da apresentação final. -----------“
Acta PG3
Sesión virtual 5 y sesiones virtuales extra
Semana 6 – (4 horas con cada PG)
Siguieron varias sesiones virtuales con cada PG. Las primeras sirvieron esencialmente
para clarificar las últimas dudas relativas a la cuestión Q5, para finalizar el sexto trabajo.
Cada PG ha enviado al P, vía Moodle, el Trabajo 6 (SP10 + SV5).
Las sesiones virtuales siguientes sirvieron para orientar las presentaciones finales, en
GG y al P, por parte de cada uno de los PG. Dadas las restricciones materiales en las
que se desarrolló el final del proceso de estudio (condiciones de espacio y
disponibilidad de sala), cada PG debió preparar una presentación para un máximo de 15
minutos.
El objetivo consistía en mostrar los principales resultados en diapositivas, de una forma
clara, sucinta y, en cierto sentido, estimular un poco más la reflexión y discusión dentro
del GG. El P sugirió la construcción de un esquema (“esqueleto didáctico”) que
articulase las cuestiones que dieron origen a los trabajos (Q0, Q1,…, Q11, Q121, etc.) con
327
las respuestas (R1, R2,…, algunas de ellas en la forma de gráfico, otras como texto) y
describiese las estrategias utilizadas (técnicas T1, T2, T2’, etc.).
Uno de los PG envió por email al P un esbozo de la construcción de dicho esquema para
averiguar si estaban en el buen camino. El P analizó el esquema con detalle y sugirió
algunas modificaciones. Por cuestiones de tiempo para desarrollar y explicitar el
referido esquema, los Es no aceptaron todas las recomendaciones del P.
El P propuso una reflexión final de todo el trabajo desarrollado guiada por las siguientes
cuestiones:
¿En qué sentido el estudio del Cálculo Diferencial Elemental - CDE (derivadas,
primitivas e integrales) es útil? ¿Para qué sirve? ¿Qué problemas permite resolver?
Se esperaba que las respuestas de los estudiantes englobasen diferentes tipos de
actividades de modelización funcional, tales como, referir su utilidad en:
 La construcción de modelos:
Por ejemplo, para responder a la Q5 se ha utilizado el CDE (derivada + integral) como
instrumento para construir modelos.
 La elección del mejor modelo:
Por ejemplo, para responder a la Q4 se ha utilizado el CDE (derivada) como instrumento
para comparar los modelos
y
por comparación de
y
.
 La manipulación de modelos:
Por ejemplo, para responder a la Q2 se ha utilizado el CDE (derivada) para trabajar el
modelo y responder a cuestiones de la variación del sistema (evolución, monotonía,
extremos) o de la variación de la variación (interpretación del significado del punto de
inflexión) del sistema.
 La interpretación de la variación del modelo:
Por ejemplo, para responder a la Q2 se ha utilizado el CDE (derivada) como herramienta
matemática para interpretar el papel de los parámetros del modelo funcional y el efecto
de su variación.
En particular, para reforzar la idea de la importancia del CDE en la construcción de
modelos, el P ha solicitado a los PG una comparación de la economía de las técnicas
328
discretas con las técnicas del CDE en la construcción de los modelos. Para tal, fue
retomada una tarea ya abordada en el diagnóstico inicial:
“Dada la
, cual es la función principal?”
Y presentada su resolución por 2 técnicas diferentes:
Resolver la ecuación en diferencias finitas
Resolver la ecuación diferencial
para construir el modelo discreto por un proceso
para construir el modelo continuo por un proceso
de modelización recursiva
de modelización funcional
Podremos deducir la solución general de la
ecuación en diferencias finitas que resulta de una
variación de segundo orden constante de datos
discretos:
Podremos deducir la solución general de la
ecuación diferencial que resulta de una variación
de segundo orden constante de datos continuos:
Al aproximar la ecuación en diferencias finitas a la
ecuación diferencial correspondiente tenemos un
proceso menos costoso:
Variación de segundo orden constante:
En particular, para
tenemos
, o sea,
Recursivamente, obtenemos:
Esta última ecuación diferencial es equivalente a
, cuya resolución
primitivaciones sucesivas:
pasa
por
dos
…
En esta tarea particular tenemos
,
y desconocemos el
valor inicial
Al substituir estos valores en el modelo cuadrático
continuo deducido, tenemos:
Así, deducimos que,
.
En esta tarea particular tenemos
,
y desconocemos el
valor inicial
Al substituir estos valores en el modelo cuadrático
discreto deducido, tenemos:
Tabla 20 – Comparación de la economía de las técnicas discretas con las técnicas del CDE en la
construcción de los modelos
329
Para testar los resultados de dicha comparación, el P sugirió que los PG retomasen el
ejemplo trabajado en la Sesión Presencial 4 relativo a la Q1 (que consistía en la
construcción de un modelo discreto) para trasladarlo del campo discreto al campo
continuo y comparar el coste de construcción de los dos tipos de modelos.
Al comparar la economía de las técnicas asociadas al CDE (resolución de la ecuación
diferencial) con las técnicas discretas (resolución de la ecuación en diferencias finitas)
el P podría haber presentado ejemplos más complejos que mostrasen claramente la
mayor dificultad y coste de las técnicas discretas en relación a las técnicas continúas.
Sin embargo, no se utilizaron dichos ejemplos porque los Es ya habían mostrado
anteriormente, en la SP4, demasiadas dificultades en utilizar autónomamente las técnicas
discretas.
La ultima sugestión del P ha consistido en proponer a cada PG que llevase a cabo un
análisis del diagrama de actividad (entregado en la sesión presencial anterior) para
reseñar dentro del mismo los recorridos matemáticos vividos/experimentados por el
propio PG.
3.11. Sesión Presencial 11
Semana 7 – (90 minutos)
Esta última sesión presencial correspondía a un momento de evaluación del trabajo
desarrollado. Es de subrayar que, en los años lectivos anteriores, esta sesión estaba
pensada para un test escrito global como único instrumento de evaluación85. En el
presente año lectivo y, de acuerdo con la nueva metodología didáctica que se había
experimentado, se ha utilizado esta última sesión para una presentación final en GG de
los diversos trabajos de los PG, para mostrar una posible articulación de todas las
cuestiones, tareas, técnicas, respuestas y, en cierta forma, institucionalizar dichas
respuestas en GG.
El PG2 fue el primero en presentar su trabajo mostrando una gran cohesión del grupo,
creatividad, organización, discusión de las técnicas y de los resultados y justificación de
todas las opciones tomadas por el PG. En particular, su trabajo ha revelado la existencia
de un cuestionamiento tecnológico constante (comparación y evaluación de las técnicas
utilizadas), interpretación de los resultados/modelos en el sistema e interpretación del
85
Los estudiantes que obtuviesen una evaluación positiva ya estaban dispensados del examen final.
330
efecto de la variación de los parámetros en un determinado modelo grafico
(perteneciente a una familia de funciones). Todos los componentes de este grupo
participaron activamente en la descripción de alguna de las Qi, y su presentación estuvo
muy bien coordinada y organizada por cuestiones, técnicas y conclusiones:
Figura 41 – Ejemplo de la organización de las respuestas finales del PG2
Como respuesta a la sugestión del P de marcaren en el diagrama de actividad (impreso
y cedido por el P) las actividades «vividas» por el PG en el desarrollo de las Qi, se
destaca, en particular, la preocupación de este PG en hacer dicha identificación al final
de la descripción de cada una de las cuestiones problemáticas y de su desarrollo como,
por ejemplo:
Figura 42 –Identificación de las actividades trabajadas en Q2 por el PG2
331
Figura 43 – Identificación de las actividades trabajadas en Q5 por el PG2
Es importante referir que esta identificación representa solamente una propuesta del
PG2 para las actividades que la Q5 podrá permitir desarrollar.
“Podemos então concluir que o estudo do cálculo diferencial tem várias aplicações, como por
exemplo a sua utilização na resolução de problemas de otimização (Q2), é utilizado para dados
contínuos e permite-nos uma predição a longo prazo mais concreta, apresentando uma menor
erro, desta forma podemos escolher o polinómio que melhor se adequa à situação em estudo
(Q4). Outra característica do CDE é a sua economia enquanto método, no caso de (Q3) foram
utilizados os três métodos de cálculo, com dados discretos calculou-se a área do trapézio, sem
recurso ao cálculo diferencial, e verificou-se que só se aplica a modelos lineares, outra técnica é
a soma inferior e superior da partição, que se verificou ser mais eficaz que o primeiro método,
com os dados contínuos usou-se o CDE e observamos que é uma técnica bastante económica e
que demonstra ser mais precisa do que as anteriores.”
Reflexión final del PG2
El PG3 ha mostrado bastante
capacidad de investigación
y,
autonomía, así como una buena
selección
de
la
información
encontrada en los media. A pesar
de que todos los estudiantes del
grupo
han
participado
en
la
presentación, algunos de ellos se
han destacado más al mostrar
reflexiones interesantes.
332
Excesso
Integral
Definido
Técnicas
Defeito
Figura 44 – Algunas evidencias de investigación y selección de información del PG3
Es de reseñar el esquema de articulación de las Qi, de las técnicas y de las respuestas
presentado y descrito por este PG:
Figura 45 – Articulación de las Qi, técnicas y respuestas por el PG3
333
Sin embargo, se notó alguna confusión en los conceptos y una tentativa de conexión de
nociones que no estaban relacionadas entre sí. Surgieron también algunas descripciones
menos correctas.
“Assim, ao terminar esta Unidade Curricular e tendo realizadas todas as actividades propostas
para a mesma, chegamos à conclusão que o estudo do Cálculo Elementar Diferencial (C.E.D.)
trata-se de uma ferramenta bastante útil em diversas situações da área da saúde, em particular na
Medicina Nuclear (a nossa área), uma vez que permite ao técnico prever, por exemplo a taxa de
decaimento de determinados radiofármacos, ou como este vai actuar após ter sido ejectado no
paciente, entre outras factores que tornam o trabalho de um técnico de Medicina Nuclear não só
mais fácil mas também mais seguro. Podemos afirmar que o estudo do cálculo diferencial se
tornou bastante útil para o nosso campo profissional.”
Reflexión final del PG3
En el PG4 no ha existido tanta cohesión entre sus elementos como en los restantes
grupos, reflejándose que algunos estudiantes trabajaron mucho más que otros. Este
grupo no ha funcionado muy bien en términos de cooperación, porque algunos
estudiantes no participaron en el trabajo de manera regular (faltando demasiado a las
sesiones presenciales/virtuales y mostrando interés en cambiar de curso de licenciatura).
Dicha inestabilidad de algunos elementos afectó al funcionamiento del grupo, porque
los estudiantes más interesados estuvieron sobrecargados de trabajo. El P ha tenido este
hecho en consideración en el momento de evaluar individualmente a los alumnos. Este
PG ha perdido puntos en términos de asiduidad y puntualidad. Sin embargo, en la
presentación final del PG se ha destacado las siguientes actividades de estudio:
Figura 46 – Interpretación de las hipótesis sobre la variación de datos discretos en la construcción del
modelo funcional por el PG4
334
Figura 47 – Interpretación gráfica de la manipulación de los parámetros del modelo por el PG4
En la reflexión final subrayaron esencialmente la utilidad de las técnicas del CDE para
resolver problemas de optimización en los casos en que se trabaja con modelos
derivables en el punto extremo, así como la mayor economía, eficacia y validez de la
técnica de derivación/integración comparativamente con otras técnicas.
El PG1 utilizó una presentación original, creativa y muy bien organizada en Prezi
empezando por referir la importancia del CDE en el estudio de la variación de un
modelo funcional (primera derivada) y de su ritmo de variación (segunda derivada):
Figura 48 – Razón de ser de la función derivada por el PG1
335
Indicaron la relevancia del CDE para pasar del campo discreto al continuo y su
economía en comparación con la TVM.
Este PG también aceptó la sugestión del P de identificar en el diagrama de actividad las
actividades «vividas» en el desarrollo de las varias Qi :
Figura 49 – Identificación de las actividades trabajadas en las Qi por el PG1
A pesar de mostrar la existencia de un cuestionamiento tecnológico en casi todas las
cuestiones, la reflexión de este PG podría haber sido más completa en el sentido de
describir los otros papeles del CDE en las actividades de modelización funcional.
Cada PG ha enviado al P, vía Moodle/email, el Trabajo final (SP1–SP10+SVs)
constituido por las diapositivas y por la grabación de su presentación.
4. Análisis del desarrollo y de los resultados de la experimentación
En el caso específico de la enseñanza del Cálculo Diferencial e Integral a estudiantes del
primer curso de la Licenciatura de Medicina Nuclear, por una parte, no fue necesario
adaptar nuestra metodología a la habitualmente utilizada por la mayoría de los
profesores de las otras componentes (Medicina Nuclear, Ciencias Físicas,…) que, en
conjunto, constituyen la Unidad Curricular de Ciências Biomédicas e das Radiações I.
Esa metodología, que aún no había sido experimentada en la componente de
Biomatemática, Bioestatística y Bioinformática en este curso, reside en un Aprendizaje
336
Basado en Problemas y en un desarrollo de un trabajo autónomo de los estudiantes o
grupos de estudiantes. Así, nuestra propuesta didáctica, por definir objetivos
semejantes, fue desde luego bien recibida.
Por otra parte, la mayor dificultad u obstáculo didáctico ha surgido con la necesidad de
reestructurar la secuencia didáctica inicialmente diseñada para poder coordinar los
momentos temporales de entrada de las gran problemáticas a abordar simultáneamente
por las diferentes Áreas Técnico-Científicas. En particular, para reajustar los tiempos de
nuestras Unidades Didácticas (UD0 – UD3) y, además, la secuencia de los Recorridos
de Estudio e Investigación al primer Problema (Decaimiento radioactivo) y al segundo
Problema (Efecto biológico de las radiaciones ionizantes).
En un primer análisis es posible creer que esta metodología podrá implicar un mayor
número de horas de dedicación por parte del alumno a la componente matemática en
esta Unidad Curricular (Biomatemática, Bioestatística e Bioinformática). Sin embargo,
para garantizar la continuidad del proceso didáctico, parece que esta dedicación será aún
más necesaria por parte del profesor, una vez que, además de las Sesiones Virtuales
estipuladas con cada uno de los pequeños grupos, el profesor deberá mantenerse
“online” para aclarar las posibles dudas de los alumnos y orientar de la mejor forma, y
separadamente, cada uno de los grupos o cada estudiante en su propio recorrido de
estudio e investigación (REI).
De este modo, postulamos que, además de planearse el tiempo didáctico del alumno
(distribuyendo sus horas de trabajo) también sería útil intentar hacer una previsión de
las horas de trabajo del profesor86. En el caso de esta experiencia surgió la necesidad de
reducir el número de grupos de alumnos para que el profesor consiguiese seguir online
el trabajo de todos los PGs.
Se ha buscado en internet la equivalencia de los ECTS en términos de número de horas
de dedicación del profesor y se ha encontrado la siguiente correspondencia:
“1 ECTS equivale a 50,7 horas de trabajo del profesor/investigador.”
Fuente: http://jamg.blogs.upv.es/2013/06/01/635/
86
Esta idea ha surgido con el objetivo de hacer creíble para el profesor y, en su caso, exequible la
implementación de este tipo de organización didáctica.
337
Así, se ha planeado distribuir las 102 horas correspondientes a los 2 ECTS de la
siguiente forma:
Portafolio de
grupo
Prácticas
Laborat.
TeóricoPrácticas
Evaluación
Total horas
Presencial
No presencial
------
3h x 6 sem x 4
grupos = 72h
Correcciones/
Preparación de medios
2h x 6 sem = 12h
Total horas
84
14 h
14
11 h
11
1h
26 h
1
110 h (2 ECTS)
72 h
12 h
Tabla 21 – Dedicación del profesor para MN01-UC02 en horas presenciales, no presenciales, de
corrección de trabajos y de construcción de los medios didácticos.
Se puede observar un diferencial de
horas a más de dedicación del profesor. Sin
embargo, es de reseñar que la previsión de
semanales de Sesiones Virtuales con cada
uno de los 4 PGs (dedicación no presencial) no se ha concretizado en todas las semanas,
dado que, en algunas de ellas los PG necesitaban de menos tiempo ( a
), o mismo,
no necesitaban de sesión virtual.
Las
de correcciones/preparación de los medios englobaban la corrección de los
trabajos, la gestión del Moodle, la preparación de los medios didácticos: cuestiones,
fichas de trabajo, institucionalizaciones, etc.
Inicialmente habíamos planeado formar 7 PGs de estudiantes pero, luego se ha
verificado una gran dificultad en gestionar el tiempo didáctico del profesor y también el
tiempo institucional (relativo al momento de evaluación):
N.º grupos
7 grupos de 3
Tiempo didáctico
del profesor
(sesiones virtuales en
3h x 7 grupos = 21h
)
Tiempo institucional
de la presentación final
8 minutos
(“Flash Presentation”)
5 grupos de 4/5
3h x 5 grupos = 15h
12 minutos
4 grupos de 5/6
3h x 4 grupos = 12h
15 minutos
TOTAL
60 minutos
87
Tabla 22 – Distribución del tiempo didáctico virtual del profesor y de la presentación final de acuerdo
con el número de grupos
87
Casi al final de la experimentación se ha conseguido negociar una extensión de más 30 minutos.
338
Es también de reseñar que normalmente las tutorías, o sea, la orientación de los grupos
son divididas entre varios profesores pero, en este caso estaban todos los grupos bajo la
responsabilidad de un único profesor-investigador voluntario a tiempo parcial cuya
componente lectiva solo comprendía este módulo y, por lo tanto, podría dedicarse
exclusivamente a estos estudiantes. Obviamente que esto solo ocurrió por tratarse de
una experiencia de enseñanza en el ámbito de una tesis de doctorado y por interés del
propio profesor pues, en una situación normal no sería justo, en términos económicos,
que un profesor a tiempo parcial pudiese abarcar tanto trabajo (horas lectivas no
presenciales).
Por lo que se refiere a la dedicación temporal del profesor y a su gestión del tiempo
didáctico, es importante subrayar que la conducción del alumno por parte del profesor
solo deberá surgir cuando sea solicitada por el grupo/alumno, o cuando el profesor
detecte que un determinado grupo se está desviando del «camino previsto» y ese desvío
podrá impedirle construir conocimiento.
Sin embargo, ésta propuesta implica que el tiempo didáctico (n.º horas de dedicación
efectiva al proceso de enseñanza-aprendizaje con alumnos) resulte de “extender” en la
medida de lo posible el tiempo institucional (n.º horas lectivas presenciales permitidas
por la institución). Para efectuar este alargamiento, y así conseguir acompañar
continuamente las respuestas/conjeturas intermedias de los estudiantes, fueron utilizadas
las referidas Sesiones Virtuales en las cuales se incluyó el esclarecimiento de dudas
online.
En relación con la dedicación temporal del alumno se ha cumplido con el tiempo de
dedicación asignado a los ECTS del Área Técnico-Científica de Biomatemática,
Bioestatística e Bioinformática, o sea, no ocurrió una “extensión” del tiempo
institucional permitido, pero sí una distribución del tiempo de estudio individual de
cada alumno por el tiempo de estudio/dedicación de su grupo. O sea, esta estrategia
didáctica, tal como está diseñada, solo es posible implementarla cuando el instrumento
de evaluación consiste en uno único trabajo de grupo o en un conjunto de pequeños
trabajos de grupo. Caso contrario, sería necesario efectuar una pequeña adaptación de la
distribución temporal de la estrategia propuesta de forma que incluya el acuerdo con
otro tipo de instrumento de evaluación.
339
4.1. Evaluación de la experimentación
Para evaluar la metodología adoptada utilizaremos diferentes indicadores:
4.1.1. Calificaciones finales de los estudiantes
Este indicador de evaluación de la estrategia didáctica implementada resultó de la
comparación de las calificaciones finales relativas a la componente de Biomatemática,
Bioestatística e Bioinformática (BBB) en la Unidad Curricular de Ciencias Biomédicas
y de las Radiaciones I (UC02) de los estudiantes del 1.º año del Curso de Licenciatura
en Medicina Nuclear en dos años lectivos consecutivos: 2013/2014 e 2014/2015.
Los resultados de la referida comparación fueron los siguientes:
2013/2014
2014/2015
Medio de evaluación
Test escrito
Portafolio de grupo
N.º alumnos evaluados
15
22
12,74
15,69
3
0
Media calificaciones
88
N.º reprobaciones
Tabla 23 – Comparación de las calificaciones finales de BBB en la UC02 de los estudiantes de Medicina
Nuclear en los años lectivos 2013/2014 y 2014/2015
Calificaciones 2013/2014
Calificaciones 2014/2015
0%
7%
20%
33%
N<10
27%
23%
10<=N<14
40%
14<= N<=17
50%
N>=18
Gráfico 1 - Distribución de las calificaciones finales de BBB por clases en los años 2013/2014 y
2014/2015
Analizando y comparando la distribución de las calificaciones y respectivas medias, se
concluye que a pesar de que la estrategia didáctica implementada atribuye una mayor
responsabilidad al alumno en el proceso de estudio y de exigir un mayor empeño en la
ejecución de tareas, suponer un ámbito de estudio más alargado (con el desarrollo de
88
Calificaciones en una escala de 0 hasta 20 valores, tomando como positivas las calificaciones iguales o
superiores a 9,5 valores.
340
actividades de modelización funcional) y de implicar la utilización de las TIC
(GeoGebra, Skype, Moodle), las calificaciones finales de los estudiantes fueron mejores
que las obtenidas por los estudiantes del curso89 de 2013-2014.
4.1.2. Grado de satisfacción de los alumnos
Por el hecho de que los estudiantes son los únicos receptores de la buena/mala
transmisión del mensaje por parte de un profesor y también porque son los elementos
que realmente viven las experiencias didácticas implementadas, acredito y defiendo que
la mejor forma de evaluar el desempeño de un profesor y su metodología didáctica
deberá resultar de un estudio del nivel de satisfacción de sus alumnos.
Así, con la intención de efectuar una evaluación de la experiencia vivida mediante el
punto de vista del estudiante y contrastarla con la metodología didáctica habitualmente
adoptada, fue solicitado a todos los alumnos del 1.º año del Curso de Licenciatura en
Medicina Nuclear la completación de una Encuesta de Satisfacción anónima. De los 22
estudiantes que participaron en la experiencia, solo 1890 respondieron a la referida
encuesta, que fue aplicada dos semanas después de finalizar la experiencia. Presentamos
a continuación los resultados más relevantes:
Respecto a la metodología:
-
-
-
-
El 88,89% de los alumnos que respondieron a la encuesta revela haberles
gustado la estrategia didáctica implementada, de los cuales el 38,89% afirma
que le ha gustado bastante;
El 72,22% de los estudiantes afirma que no dedicó más horas de estudio para
realizar el trabajo de grupo que las que habría dedicado para la preparación
de un test/examen escrito;
También al 72,22% les gustaría que esta metodología fuese utilizada en
futuros módulos de BBB o incluso en otras disciplinas (solo en BBB el
27,78%, en BBB y en otras el 44,44%);
En general, los estudiantes califican la tarea de responder a las cuestiones
Q1-Q5 como la más trabajosa y la tarea de resolver las fichas de trabajo F1F4 como la más difícil. La mayoría de los estudiantes revela haberles
gustado más la tarea que implicaba la utilización del GeoGebra y también la
de discutir/conjeturar, y haberles gustado menos la elaboración de actas;
89
Hay que recordar que ha que tener en cuenta que en el curso 2013-2014 las calificaciones se obtenían
únicamente mediante un test escrito.
90
Más tarde, he constatado que no todos los estudiantes respondían porque algunos habían desistido del
curso de Medicina nuclear o habían cambiado para otro curso de Licenciatura.
341
Respecto al papel del profesor:
“Como vê o papel do professor nesta nova metodologia? Que diferenças
observa relativamente a outros métodos de ensino que já experimentou?”
Las respuestas de los estudiantes fueron las siguientes:














“Nesta nova metodologia o professor aparece com um papel de tutor, e não com o de professor
tradicional. Apesar de ser mais trabalhoso, torna-se mais produtivo na medida em que nos obriga a
resolver as situações por nós mesmos. Foi uma metodologia que resultou bastante bem.”
“Nesta metodologia o professor apresenta um papel de orientador. É um método muito eficaz,
apesar de ser mais trabalhoso que outros. No entanto, apresenta melhores resultados quer a nível de
classificações, quer a nível de conhecimento”.
“O professor está mais interativo com os alunos, ou seja, acompanha mais de perto o
desenvolvimento deles”.
“O professor é mais preciso quando nos deparamos com esta metodologia. Requer maior
intervenção, participação, presença e disponibilidade por parte do professor. Aliás, como
aconteceu.”
“O aluno torna-se mais independente, o que nos ajuda a ponderar as questões e encontrar a
resposta mais adequada ao problema. Neste método, o professor desempenha um papel não tão
ativo, mas não menos importante, pois ajuda-nos nas varias sessões ao esclarecer as nossas
dúvidas”.
“Há uma maior autonomia por parte do aluno, tornando-o mais responsável, nomeadamente na
entrega dos trabalhos e na realização de sessões online. Relativamente ao professor este apresenta
um papel de auxiliador constante que ajuda o aluno, ou grupo, ao invés de simplesmente expor a
matéria teórica”.
“Como um orientador que não só nos orienta, como também disponibiliza-se para esclarecer as
dúvidas que surgem. Relativamente aos outros métodos, torna-se mais cativante/motivador, e o facto
de trabalharmos em grupo favorece no sentido em que as dúvidas de uns podem ser resolvidas por
outros.”
“ O professor deve incentivar o espírito crítico e a capacidade de levar o aluno a pensar se
determinada solução é a correta ou não. Relativamente a outros métodos, este leva os estudantes a
interagirem e a partilharem conhecimentos.”
“O papel do professor neste método deveria ser um pouco mais estruturador, ou seja, deveria
colocar mais sugestões ou indicações para nós a dado ponto não nos perdermos.”
“O professor tem inicialmente um papel de ensinar e posteriormente com o avançar do tempo, o
professor tem um papel mais de apoio que de ensino, sendo que é um bom método de ensino.”
“Neste método, o professor assume um papel de orientador em vez de transmitir apenas o seu
conhecimento”.
“O papel do professor é como um tutor, é diferente do ensino corrente visto que não se baseia no
método em que o professor debita a matéria e depois resolve-se exercícios.”
“Papel de moderador, maior passividade.”
“Acho que a professora teve um papel como tutora, alguém que esteve presente para nos guiar na
resolução de problemas. Noutros métodos de ensino, o professor debita a matéria.”
En general los estudiantes están de acuerdo que en esta propuesta didáctica el profesor
toma un papel secundario (de tutor, de orientador) transfiriendo una gran parte de la
responsabilidad del estudio al alumno y proporcionando así un proceso de enseñanzaaprendizaje más creativo y autónomo. Refieren que éste tipo de abordaje didáctico
permite un mayor desarrollo del espíritu crítico, una mayor interactividad profesor342
alumno, la compartición de conocimientos entre alumnos y el estímulo al aprendizaje
cooperativo. Consideran esta estrategia más cautivante y motivadora que la estrategia
asociada al método habitual (exposición de diapositivas por parte del profesor y
resolución de ejercicios). Sin embargo, asumen implícitamente que el método
tradicional se convierte «más cómodo» tanto para el estudiante como para el profesor.
Respecto a la evaluación
-
-
-
El 72,22% de los estudiantes encuestados considera que su empeño fue
reconocido y el 61,11% considera que los criterios de evaluación fueron
precisos;
El 83,33% no acredita que podría tener mostrado un mejor desempeño en un
examen final con solamente cuestiones de aplicación de técnicas de cálculo
integral y, consecuentemente, el mismo porcentaje de alumnos revela que no
prefería una evaluación por un examen final en detrimento del trabajo de
grupo propuesto;
El 94,44% de los estudiantes considera que su grupo le ayudó a superar
dificultades y que aprendió nuevas competencias con los colegas de grupo;
Respecto al cumplimiento de los objetivos
De acuerdo con los objetivos definidos en una de las secciones anteriores de este
capítulo, fue propuesta a los estudiantes una especie de autoevaluación anónima en el
sentido de indicar cuáles de los objetivos considera haber conseguido alcanzar y los
resultados fueron los siguientes:
a. Percepción de la razón del estudio del Cálculo Diferencial e Integral
-
El 83,33% de los estudiantes que respondieron a la encuesta considera útil el
estudio del Cálculo Diferencial e Integral para su futuro como técnico de
Medicina Nuclear;
En la construcción de
modelos
Objetivos
% alumnos
que indican
que perciben
La integral permite calcular áreas entre cualquier tipo de
curvas.
94,44%
Es más rápido y sencillo resolver una ecuación diferencial
(por integración) que una ecuación en diferencias finitas (por
recurrencia).
94,44%
343
En la comparación de
modelos
En el trabajo de
los modelos
En la
interpretación del
modelo
El uso de sus derivadas permite elegir modelos con mejor
capacidad predictiva.
100,00%
Las técnicas de integración permiten obtener modelos más
ajustados a los datos discretos o con mejor capacidad
predictiva.
94,44%
Para estudiar la monotonía de un modelo es esencial usar la
función derivada.
83,33%
Las técnicas de derivación permiten determinar los extremos
de una gran parte de modelos.
88,89%
La función derivada permite interpretar la variación de una
variable en relación a otra.
94,44%
El CDE permite interpretar mejor el modelo funcional en el
sistema real dado.
88,89%
Tabla 24 – Percepción de los estudiantes de la utilidad del Cálculo en las actividades de
modelización funcional
b. Domínio de las técnicas del Cálculo Diferencial e Integral
Teoremas
Integración
Primitivación/
Derivación
Técnicas
% alumnos que indican
que dominan
Cálculo de la derivada en un punto como límite de la TVM
(definición de derivada).
100,00%
Uso de las reglas de derivación.
100,00%
Determinación de la derivada de la función compuesta.
94,44%
Estudio de la derivada de una función definida por trozos.
100,00%
Cálculo de las derivadas laterales.
100,00%
Inmediata.
88,89%
Por partes.
83,33%
Por sustitución.
88,89%
Por fracciones racionales.
83,33%
En el cálculo de áreas entre curvas.
77,78%
Construcción del Polinomio de Taylor de una función.
55,56%
Condiciones del Teorema de Lagrange (del Valor Medio).
55,56%
Tabla 25 – Percepción de los estudiantes del dominio de las técnicas del CDE
344
c. Desarrollo de competencias de modelización funcional
Competencias
% alumnos que indican que
desarrollaron
Percibir la relevancia de formular hipótesis/conjeturar en la resolución
de problemas del día-a-día.
77,78%
Conseguir estudiar diferentes situaciones simultáneamente.
55,56%
Representar graficamente famílias de modelos funcionales.
83,33%
Manipular con facilidad parámetros de un modelo funcional para
modificar la situación inicial.
50,00%
Conseguir comparar esas situaciones.
83,33%
Conjeturar sobre posibles soluciones para el problema inicial.
83,33%
Autonomía en la resolución de problemas del contexto profesional de
un técnico de Medicina Nuclear.
77,78%
Tabla 26 – Percepción de los estudiantes del desarrollo de competencias de modelización
funcional
d. Desarrollo de competencias informáticas/Enseñanza Virtual
GeoGebra
- El 94,44% de los estudiantes que respondieron a la encuesta considera que la
programación matemática de las celdas de la Hoja de Cálculo permite
economizar el tiempo en la construcción de varias tablas con características
comunes y el mismo porcentaje de estudiantes considera que revela rapidez
en la representación gráfica de un modelo funcional;
- Todos los estudiantes consideran importante el uso de selectores para
modificar y manipular la situación inicial y consideran útil el trabajo
simultáneo de gráficos, expresiones algebraicas, texto y tablas;
Skype
Antes de la experimentación:
-
-
El 44,44% de los estudiantes no utilizaban frecuentemente el Skype u otro
instrumento de videoconferencia e incluso algunos de estos nunca lo habían
utilizado;
El 61,11% de los encuestados tampoco había compartido su pantalla, el
33,33% aún no sabía enviar ficheros a través de la videoconferencia para
discusión en grupo y el 27,78% aún no sabía adicionar elementos a un grupo
en videoconferencia;
345
Moodle
Antes de la experimentación:
-
El 38,89% de los estudiantes nunca había descargado ficheros vía Moodle, el
88,89% nunca había utilizado el chat de esta plataforma y el 61,11% nunca
había enviado trabajos por esta vía.
De un modo general, el 94,44% de los estudiantes atribuyó utilidad al método de
Enseñanza Virtual y todos los estudiantes revelaron sentir que aprendieron un poco más
sobre este tipo de enseñanza a distancia.
4.1.3. Comparación cualitativa con la metodología habitual
Me atrevo a decir que con la implementación de la propuesta de estrategia didáctica
descrita anteriormente los alumnos han tenido la oportunidad de desarrollar un mayor
número de competencias que las inicialmente pretendidas y previstas en la Unidad
Curricular de Ciencias Biomédicas y de las Radiaciones I (UC02) para la Área TécnicoCientífica de Biomatemática, Bioestatística e Bioinformática. En particular, fueron
creadas actividades didácticas de forma a:
1. Desarrollar competencias de programación en Hojas de Cálculo (GeoGebra);
2. Desarrollar competencias gráficas, de simulación de diferentes situaciones y de
modelización funcional;
3. Trabajar la capacidad de interpretar la influencia de los parámetros en la
variación de un modelo funcional (al manipular su valor);
4. Formular hipótesis, discutir estrategias en grupo para solucionar problemas
reales relacionados con situaciones del mundo profesional de un técnico de
Medicina Nuclear;
5. Desarrollar la creatividad, la capacidad de análisis y el sentido crítico en la
resolución de esos problemas;
6. Construir modelos funcionales para describir datos reales transitando del campo
de la matemática discreta al campo de la matemática continua;
7. Experimentar diferentes tipos de regresión para aproximar datos discretos;
8. Resolver ecuaciones diferenciales por integración directa ;
9. Estimular la gestión temporal, la capacidad de distribución de tareas por los
diferentes elementos de cada grupo, la cooperación, el envío online de
346
documentos, la capacidad de “destreza informática” y el cumplimiento de
plazos;
10. Trabajar con diferentes herramientas informáticas tales como: la plataforma
Moodle (descarga de ficheros, chat, envío de trabajos de grupo), GeoGebra
(gráficos, manipulación de modelos, tablas, derivadas, áreas, integral), Skype
(videoconferencia, chat, compartición de pantalla y de ficheros), software de
grabación de audio, software de digitalización, WeTransfer/Google Drive (envío
de ficheros de gran dimensión), PowerPoint/Prezi (presentaciones finales),
Cacoo (creación de diagramas online para la presentación final).
11. Desarrollar la capacidad de síntesis al formalizar la descripción de las
principales discusiones/conclusiones de cada sesión (presencial/virtual) a través
de la elaboración de un acta;
12. Proporcionar la necesidad de investigación y de selección de información;
13. Proporcionar momentos de reflexión, de institucionalización de las respuestas
posibles y de articulación de los resultados de los diversos trabajos;
14. Permitir la utilización de diferentes técnicas matemáticas (derivación,
integración y aplicación de Teoremas) para resolver las tareas propuestas91;
15. Cuestionar la adecuación y eficacia de una técnica matemática para resolver una
determinada tarea dada;
16. Descubrir la amplitud/validad de una técnica (que variedad de tareas permite
resolver, cuando no funciona);
17. Comparar la economía de diferentes técnicas (cual la que permite resolver más
rápidamente la tarea);
Desde el punto de vista del profesor es gratificante verificar que su dedicación intensiva
ha tenido como frutos:

Una mayor motivación e implicación de los estudiantes en las tareas propuestas
por estar relacionadas con su futuro mundo profesional;

Permitir que los estudiantes vivan y resuelvan problemas reales usando
herramientas matemáticas;
91
Es de subrayar que, habitualmente, tanto en la enseñanza secundaria tanto en la enseñanza universitaria,
el estudio del Cálculo Diferencial e Integral solo contempla el trabajo de esta competencia cuya
adquisición es posteriormente evaluada por un examen/test escrito.
347

La percepción de la utilidad del estudio del Cálculo Diferencial e Integral por
parte de estudiantes del 1.º año de Medicina Nuclear;
Los estudiantes investigaron bastante, estudiaron técnicas matemáticas a través de
diferentes fuentes de información como, por ejemplo: libros, manuales, wikipedia,
websites de grupos de investigación de matemática, vídeos encontrados en internet y
diapositivas de profesores, etc.
En suma, como profesora y como elemento que vivió la metodología didáctica,
considero que la experiencia fue bastante positiva y enriquecedora, me ha sorprendido
la forma en que los estudiantes se implicaron en los desafíos lanzados y espero poder
mejorar esta estrategia en experiencias futuras.
4.2. Criterios de modificación para futuras experimentaciones de los REI
En esta sección se va a intentar describir, por un lado, lo que ha cambiado en los
«planes iniciales» del P en el momento de la experimentación debido a condiciones o
restricciones que no estaban previstas y, por otro lado, lo que se podría cambiar en los
diseños matemático-didácticos a priori para mejorar el desarrollo de las actividades.
Una de las posibles mejorías que se podría llevar a cabo en los diseños matemáticodidácticos construidos consiste en reformular las tablas descriptivas de la Organización
Didáctica de forma que los REIs pudiesen ser independientes de la institución o del
curso de licenciatura. O sea, convertir los REIs en dispositivos didácticos generalizables
a diferentes cursos del 1.º año de la enseñanza universitaria portuguesa como, por
ejemplo: economía, marketing, bioquímica, biología, medicina, etc. Así, a posteriori,
podríamos pensar en trabajar diferentes conjuntos de datos provenientes de diversas
áreas.
 En la Organización Didáctica referente a la Unidad Didáctica 0
Inicialmente el profesor había pensado en comunicar a los estudiantes las evaluaciones
intermedias (o sea, en el final de cada UD) de los trabajos enviados por los pequeños
grupos de estudiantes y la evaluación individual de cada estudiante, para generar
competitividad a través de un ranking de estudiantes y de un ranking de PGs publicado
en el Moodle. Sin embargo, por una cuestión de gestión del tiempo del profesor tal no
se ha tornado posible.
348
La plataforma Moodle fue semanalmente/diariamente actualizada con la inserción de
nuevos documentos o informaciones útiles para auxiliar el desarrollo de la investigación
creada por los Es/PGs.
 En la Organización Didáctica referente a la Unidad Didáctica 1
Había sido planeado que el P llevase para la clase un documento impreso para su
auxilio/apoyo (“plan de clase”) que describiese pormenorizadamente el juego de
transferencia de responsabilidades entre el P y el E/PG en 4 tablas referentes a la
construcción y presentación de la Organización Didáctica (a priori) dividida en 4
Unidades Didácticas (UD0-UD3). Por cuestiones de gestión del tiempo de trabajo del
P, esto solo fue posible hasta las 2 primeras UDs (UD0 + UD1).
Este documento fue sustituido por una división de horas hecha sobre el propio horario
semanal con, por ejemplo, los siguientes registros:
-
Semana 1 (UD0): SP1, SP2, SP3, SV1 resolución de la Ficha de Trabajo 1, envío del
Trabajo1 y su institucionalización;
-
Semana 2 (UD1+UD2): SP4, SP5, SV2  desarrollo de las Cuestiones Problemáticas Q1, Q2
y Q3, su institucionalización, inicio de la resolución de las Fichas de Trabajo 2 y 3;
-
Etc.
Además sobre dicho horario semanal el P registraba algunas notas (“pedir esto a los
PGs”, “alertar los Es para tal”, etc.).
Por ejemplo, para la SP4 (2 horas) habíamos previsto la distribución de 1h para elegir la
Q0 y explorar la Q1 (según la OD a priori referente a la UD1) y de 1h para estudiar la
Q2 (según la OD a priori referente a la primera parte de UD2).
Sin embargo, en el momento real de la experimentación no fue posible porque, en
primer lugar, surgieron algunos problemas técnicos/informáticos con la proyección de
las primeras diapositivas para presentar la Q0 (previstos 15’realidad 30’); en segundo
lugar, los estudiantes revelaron dificultades en programar celdas en la hoja de cálculo y,
por eso, necesitaron de apoyo del P en el GeoGebra y, consecuentemente, de más
tiempo de la sesión presencial para buscar una respuesta para la cuestión Q1.
Así, ya no fue posible la exploración de la Q2 en la sesión presencial y la pasamos para
la sesión virtual acelerando el ritmo de trabajo.
349
Quizá pudiese haber sido más interesante después de elegida la Q0:¿ Cómo preparar e
administrar un radiofármaco para diagnosticar el cáncer de tiroides?,
al revés de:
P Sugiere el estudio de la desintegración radioactiva para la preparación de estes
radiofármacos con
¿Cómo varía la masa de una substancia radioactiva después de su
desintegración?
Es Sugieren cuestiones más particulares/concretas que podrían ser estudiadas a partir de
la cuestión generatriz.
Como están explorando el mismo tema, de la desintegración radioactiva, en las otras
Áreas Técnico-Científicas puede ser que los propios Es, por un lado, creen la
interdisciplinariedad y, por otro lado, establezcan la arborescencia y conexión entre las
cuestiones problemáticas Qi.
Cuando se describe las OD a priori (en las tablas) se pretende hacer una propuesta de
planificación flexible en términos de horas para dar cuenta, por ejemplo, en la cuarta
sesión, sí el ritmo de trabajo está adecuado o no.
 En la Organización Didáctica referente a la Unidad Didáctica 2
(Construcción y manipulación del modelo continuo «exacto»)
Debido a restricciones temporales y también porque, en el momento, el P lo ha
considerado más interesante y motivador, se ha trasladado el trabajo de las tareas
didácticas asociadas al desarrollo de la cuestión
de la Sesión Presencial 4 para la
Sesión Virtual y, consecuentemente, se ha pasado de un trabajo más dirigido para un
trabajo de los PG casi independiente del P.
Relativamente a la tarea didáctica siguiente:
PG Para intentar responder autónomamente a la
buscan en internet/libros de
secundaria posibles modelos funcionales ya construidos que podrán caracterizar el
sistema (exponenciales, racionales, definidos por trozos, polinómicos, etc.)”
Creemos que sería interesante que los PGs trabajasen modelos pertenecientes a familias
de funciones distintas (racional, exponencial, definidos por trozos, etc.) para que sea
posible, a posteriori, la comparación de su ámbito de validez y del coste de las técnicas
del CDE. Así, el P podría distribuir un tipo de modelo por cada PG y añadir que sus
primeras respuestas
serían retomadas más adelante.
350
Por otro lado, a fin de salvaguardar que un determinado PG no empiece a trabajar con
un modelo perteneciente a un nivel de modelización funcional superior al primer nivel
(en el sentido de Ruíz-Munzón (2010)), o sea, con familias de funciones, postulamos
que sería útil añadir una nueva tarea didáctica de institucionalización antes de la
orientación para un trabajo en el 1.º nivel de MF:
P+GGInstitucionalizan las posibles respuestas a
modelo con los niveles de MF.
identificando cada respuesta-
P Orienta los PGs para un trabajo inicial en el 1.º nivel de MF con un modelo de una sola
variable independiente (tiempo) y sin parámetros para responder a las
La implementación de la experiencia didáctica ha permitido verificar la dificultad del P
en conseguir estimular los estudiantes a tomar la iniciativa de crear nuevas cuestiones
problemáticas, nuevas hipótesis sobre el sistema para ampliar las situaciones y a
explorar otros tipos de modelos.
En la UD2 (2.ª parte) trabajada en la SP5 (3 horas) fue interesante observar el
entusiasmo de los Es en deducir las técnicas de cálculo de áreas bajo curvas, al reducir
la amplitud del intervalo y aumentando el número de rectángulos (técnicas
etc. .
 En la Organización Didáctica referente a la Unidad Didáctica 3
Inicialmente también había sido pensada la elaboración de un Tutorial GeoGebra para
orientar mejor a los estudiantes, pero después en el momento de la práctica docente ya
no ha surgido tal necesidad, porque los Es buscaban autónomamente las informaciones
relativas a la funcionalidad del GeoGebra en vídeos del YouTube y del GeoGebraTube,
foros, etc. Sin embargo, se podría mejorar la Organización Didáctica al tener
anticipadamente preparados, para futuras experimentaciones, algunos tutoriales de
utilización de los diferentes medios informáticos elegidos (GeoGebra, Skype, Moodle,
etc.) pero, ahora, no con el objetivo de servir de guión a los estudiantes sino como
instrumento de auxilio y facilitador del trabajo del profesor en el esclarecimiento de
dudas online.
Se reseña, más una vez, que el P no debería ceder de antemano dichos tutoriales a los
estudiantes y, a ceder, que sea solo en “situaciones de emergencia” (por ejemplo, caso
en que el estudiante se sienta completamente perdido y ya sin tiempo para investigar en
internet), pues el objetivo principal es que sea el alumno capaz de construir
351
autónomamente su propio conocimiento y utilizando todos los medios disponibles
(foros, libros, blogs, otros tutoriales, vídeos YouTube, etc.) para investigar y sacar la
información pretendida.
Otra posible ampliación podría consistir en introducir la tarea didáctica de reunir y
convertir los documentos y applets GeoGebra creados por cada PG en un
“GeoGebraBook”, permitiendo así que el PG construya un «portafolio interactivo».
En síntesis, se intenta dar una respuesta a las siguientes cuestiones:
 ¿Hasta qué punto los RM experimentados han permitido dar sentido al estudio
del CDE en este curso de Medicina Nuclear?
 ¿Hasta qué punto ha sido contrastada la conjetura de Ruiz-Munzón en la
experimentación desarrollada?
 ¿Hasta qué punto los recorridos de estudio e investigación propuestos han
permitido superar las limitaciones descritas anteriormente de la actividad
matemática escolar habitual en torno al estudio del CDE en el ámbito de la MF?
Este MER alternativo efectivamente permite mostrar que es posible que la razón de ser
del CDE surja en el ámbito de la MF, o sea, muestra la verosimilitud de la conjetura de
Ruiz-Munzón (2010) al mostrar que la introducción y el desarrollo del cálculo
diferencial elemental surge necesariamente en la culminación de la actividad de
modelización funcional. Además la experimentación de los RM que constituyen el
MER reveló que es posible ampliar la razón de ser habitualmente atribuida al estudio
del CDE en la enseñanza secundaria y, en particular, en el primer curso de la enseñanza
universitaria portuguesa.
El objetivo primordial de este desarrollo consistió en mostrar que la razón de ser del
cálculo diferencial elemental en el paso de la enseñanza secundaria a la enseñanza
universitaria no se restringe únicamente al conjunto de razones de ser que el sistema
escolar portugués asigna en este ámbito institucional (descrito en la sección 8.1. del
capítulo III). Así, surgió la necesidad de ampliar el citado conjunto añadiendo muchas
tareas que forman parte de distintos procesos de modelización funcional.
352
Así, con la experimentación se mostró que la razón de ser del estudio del CDE en dicha
institución podrá surgir en el ámbito de la MF abarcando el 3.º estadio de MF de un
modo más completo (trabajo dentro del modelo y su interpretación) y además el 2.º
estadio de MF (la construcción del modelo). En otras palabras, en la experimentación
con estudiantes de Medicina Nuclear se mostró que el CDE no sirve únicamente para
manipular/trabajar un modelo funcional ya construido de antemano, sino permite
construirlo y interpretarlo en términos del sistema.
Los recorridos de estudio e investigación “vividos” están constituidos por secuencias de
tareas resultantes de una red progresiva de cuestiones y respuestas que permiten:
1. Dar visibilidad escolar a la MF en la institución en la cual se llevó a cabo la
experimentación, de forma que permite dar sentido al estudio del CDE en dicho
ámbito de la MF;
2. Articular entre sí diferentes praxeologías matemáticas que surgen habitualmente
de forma atomizada mediante su integración en procesos de MF (por ejemplo, la
resolución de las ecuaciones diferenciales, el cálculo de primitivas y la
representación gráfica de funciones);
3. Ultrapasar las limitaciones de la actividad matemática escolar habitual en torno
al estudio del CDE en el ámbito de la MF, descritas por las conjeturas C1-C10
cuya contrastación se muestra en la sección 5 del capítulo III;
Para que se cumpliesen dichas tres condiciones fue necesario ampliar progresivamente
la praxeología inicial mediante una arborescencia de OM de completitud creciente. Lo
que significa que se partió de la OM en torno a un pequeño tipo de tareas matemáticas
cuya respuesta requería, en primera instancia, de un proceso de modelización funcional
y tal que su desarrollo provocaba la necesidad de utilizar de manera imprescindible
técnicas básicas del cálculo diferencial. El citado desarrollo se provocó mediante
sucesivos debilitamientos de las hipótesis sobre el tipo de fenómeno a estudiar que,
paralelamente, provocaron la aparición de nuevos parámetros y de nuevas hipótesis que
hicieron más complejo el modelo y, por lo tanto, el estudio de la evolución de dicho
fenómeno.
Así, fue construido un modelo epistemológico de referencia (MER) esquematizado
mediante un diagrama de actividad cuya flexibilidad y versatilidad permite, en
353
consonancia con la institución en que se trabaje (sea en la enseñanza secundaria o en la
enseñanza universitaria), la exploración de todo el MER o de solo una parte del mismo.
Sobre dicho MER se sustentará el diseño y la puesta en marcha por parte de una
comunidad de estudio particular, de un REI que genere una praxeología local, regional
o global en una institución determinada92.
92
Es de reseñar que, por ejemplo, lo que es una praxeología regional en secundaria puede ser considerada
como una praxeología local en la Universidad.
354
Capítulo VI
Principales aportaciones y problemas abiertos
En este último capítulo se describen las consideraciones finales y principales
aportaciones de la presente memoria para la Didáctica de las Matemáticas, en particular,
la propuesta de una posible razón de ser del estudio del cálculo diferencial elemental
(CDE) al final de la enseñanza secundaria y primer curso de la enseñanza universitaria
portuguesa. Dicha propuesta, de acuerdo con la Teoría Antropológica de lo Didáctico,
se basa en un modelo epistemológico de referencia que permite articular el estudio del
CDE con el desarrollo de un proceso cíclico de modelización funcional (MF)
estructurado en cuatro estadios: delimitación del sistema; construcción del modelo;
trabajo del modelo e interpretación del mismo en términos del sistema; y formulación
de nuevas hipótesis y estudio de nuevos sistemas. Ese modelo se esquematiza en esta
memoria mediante un diagrama de actividad de modelización funcional.
Junto a la enumeración de los principales aportes de este trabajo formularemos un
conjunto de problemas didácticos que continúan abiertos y que surgen de manera más o
menos directa de los resultados obtenidos. De hecho, las aportaciones y los problemas
abiertos están profundamente relacionados entre sí. En efecto, los problemas abiertos
que pueden formularse con las herramientas teóricas o metodológicas que proporciona
una investigación constituyen, en sí mismos, importantes aportaciones de dicha
investigación y, recíprocamente, las aportaciones científicas proporcionan algunos de
los elementos imprescindibles para formular nuevos problemas de investigación.
355
1. El problema didáctico del cálculo diferencial elemental como
confluencia de tres grandes problemáticas de investigación
En este trabajo tratamos algunas de las cuestiones que forman parte de un problema que,
en términos generales, podríamos denominar el problema didáctico del cálculo
diferencial elemental. Entre las primeras aportaciones de esta memoria hay que citar,
precisamente, la construcción de dicho problema como confluencia de tres grandes
líneas de investigación desarrolladas en el ámbito de la TAD y, consecuentemente, las
contribuciones a cada una de dichas líneas de investigación que nuestro estudio del
problema didáctico del cálculo diferencial elemental aporta.
 Un aporte al estudio del fenómeno didáctico de la rigidez, incompletitud relativa y
desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares (Fonseca, 2004; Lucas,
2010) y la relación de dicho fenómeno con las restricciones que inciden sobre la génesis
y el desarrollo de la actividad de modelización matemática (Barquero, 2009; Serrano,
2013). En esta memoria se estudian específicamente las restricciones que inciden sobre
la modelización funcional.
 Un aporte al estudio del origen transpositivo del fenómeno de la desarticulación de
ámbitos particulares de la matemática escolar, mediante un estudio específico de la
desarticulación entre el CDE y la MF, de las condiciones que lo mantienen y de sus
principales consecuencias didácticas. Conjuntamente, nuestros resultados generalizan
los obtenidos en García (2005), puesto que los REI que hemos diseñado y
experimentado incluyen la caracterización y construcción de un conjunto más amplio de
tipos de variación funcional entre magnitudes continuas y, además, abordan
explícitamente la problemática del paso de la variación entre magnitudes discretas a la
variación entre magnitudes continuas.
 Un aporte a la verosimilitud de la conjetura de Ruiz-Munzón (2010) con la condición de
reinterpretarla de acuerdo con el nuevo significado de la noción de MF que proporciona
nuestro MER. En efecto, mediante el desarrollo de una actividad matemática concreta,
se ha puesto de manifiesto el alcance y el significado de la citada conjetura y, sobre
todo, se ha mostrado en qué sentido puede afirmarse que una posible razón de ser del
CDE puede situarse en el ámbito de la MF y qué consecuencias se desprenden de esta
importante conjetura.
Una de las manifestaciones del fenómeno didáctico general de la desarticulación de las
organizaciones matemáticas escolares en un ámbito específico de la enseñanza
secundaria obligatoria la constituye la llamativa desarticulación de la relación de
356
proporcionalidad respecto al resto de relaciones funcionales que aparecen en dicho
nivel educativo (García, 2005; García et al., 2006). En esta memoria hemos estudiado la
desarticulación entre el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional en el
último curso de secundaria y primer curso universitario y hemos aportado algunos
resultados al respecto. Relacionado con estas aportaciones surge el siguiente problema
abierto:
¿Qué nuevas manifestaciones específicas de este fenómeno didáctico general podemos
encontrar en otros ámbitos de la matemática escolar? En particular, ¿es posible que la
desarticulación entre la geometría sintética y la geometría analítica (Olivero et al., en
prensa) en secundaria y en la formación del profesorado constituya una de dichas
manifestaciones específicas? Para estudiar la desarticulación de la geometría escolar,
¿se podrán utilizar las herramientas que hemos puesto en marcha en esta memoria para
el caso del CDE y la MF?
2. Carácter relativamente universal del fenómeno de la desarticulación
escolar entre el cálculo diferencial elemental y la modelización funcional
En la presente memoria se constató una fuerte rigidez, atomización e incompletitud de
las organizaciones matemáticas en torno al estudio del CDE en el ámbito de la MF en la
última etapa de la enseñanza secundaria y en los principios de los estudios universitarios
portugueses. En trabajos futuros se pretende averiguar si las conjeturas descritas en el
capítulo III de esta memoria son igualmente válidas para describir el modelo
epistemológico dominante relativo a la articulación existente (o ausente) entre el CDE y
la MF en diferentes sistemas de enseñanza de distintos países. Lo que permite plantear
el siguiente problema abierto:
El fenómeno de rigidez y desarticulación de las organizaciones matemáticas escolares
en torno al estudio del CDE y de su articulación con las actividades de MF, ¿es un
fenómeno didáctico relativamente universal, esto es, generalizable a diferentes sistemas
de enseñanza?
En estos momentos disponemos, además de los datos que figuran en la memoria, de
algunos indicios provenientes de los sistemas escolares de España, Francia y Brasil que
parecen confirmar esta hipótesis.
357
Cuando nos planteamos el problema metodológico de cómo caracterizar los modelos
epistemológicos dominantes en los sistemas escolares de los diferentes países y la
presencia/ausencia de algún tipo de relación entre el CDE y la MF, surgen nuevos
aspectos del problema didáctico anterior:
¿Qué recorte institucional se debería hacer, esto es, qué niveles educativos habrá que
tomar en consideración en cada uno de los países teniendo en cuenta su tradición
curricular?
¿Qué relación podrá existir entre las organizaciones matemáticas estudiadas en cada
institución escolar de cada sistema de enseñanza? ¿Cuáles son las semejanzas y cuáles
son las diferencias entre las matemáticas escolares desarrolladas en los diferentes
países? ¿Qué factores históricos, culturales, tradicionales pueden estar subyacentes en
estas similitudes o contrastes?
3. Otras posibles razones de ser del cálculo diferencial elemental
alternativas a la razón de ser oficial
Este trabajo ha permitido hacer una distinción entre lo que denominamos razón de ser
oficial que la institución escolar estipula para el CDE, esto es, las funciones que le
asigna, y una posible razón de ser alternativa que ayude a colmar los vacíos y a superar
las limitaciones y las restricciones que sufren las organizaciones matemáticas escolares
sustentadas en el modelo epistemológico dominante en el sistema escolar.
Puede darse el caso que, en base a una investigación didáctica relativa a un cierto
ámbito de la actividad matemática, se sienta la necesidad de postular una razón de ser
distinta de la que le asigna el currículo oficial, lo que comportará la necesidad de
modificar profundamente las cuestiones y las tareas que se suponía que daban sentido a
dicho ámbito de la actividad matemática escolar (en una institución determinada). Esta
razón de ser alternativa provocará, inevitablemente, una reformulación de la estructura
de dicho ámbito y de su relación con el resto de las organizaciones matemáticas
escolares. Puede interpretarse como la asignación de una razón de ser distinta de la
asignada oficialmente a cierto ámbito de la matemática escolar, por parte de un modelo
epistemológico de referencia (MER) alternativo al modelo epistemológico dominante
en la institución en cuestión.
358
En esta memoria, en particular, se propone una razón de ser alternativa a la razón de ser
oficial para el estudio del CDE en la enseñanza secundaria y en los primeros cursos de
la enseñanza universitaria, lo que constituye otra de las aportaciones importantes de la
misma. En relación a esta aportación surgen las siguientes cuestiones que podemos
considerar como aspectos de un nuevo problema abierto:
En base a la constatación de nuevas limitaciones de las organizaciones matemáticas
escolares en diferentes ámbitos en los que interviene el CDE, ¿qué otras posibles
razones de ser alternativas se podrá asignar al estudio del CDE?
¿En qué ámbito(s) escolar(es), distintos de la MF, podrán surgir tales razones de ser
alternativas? ¿Y en que ámbito institucional (en Secundaria, en la Universidad, en la
formación de profesorado o en contexto profesional)?
4. Simultaneidad entre la construcción de un modelo epistemológico de
referencia (MER), la formulación del problema didáctico asociado y la
caracterización del modelo epistemológico dominante en la institución
Otra de las aportaciones importantes de esta memoria, cuyo alcance va mucho más allá
del problema didáctico del cálculo diferencial elemental, consiste en haber mostrado
que, en la práctica científica del didacta, la formulación precisa de un problema requiere
la asunción (más o menos explícita) de un modelo epistemológico del dominio
matemático en juego (MER) que, a su vez, constituye una conjetura o hipótesis
científica que responde al problema didáctico en cuestión. Por otra parte, y a pesar de
que para construir el MER se utilizan datos empíricos provenientes de la actividad
matemática escolar, una de las funciones del MER es la de servir de sistema de
referencia para describir y analizar la forma como la institución docente en cuestión
interpreta el dominio matemático que está en juego (y que denominamos modelo
epistemológico dominante en la institución).
En consecuencia, metodológicamente no podemos asignar prioridad temporal a ninguno
de los tres procesos (formulación de un problema didáctico, construcción de un MER
asociado y descripción y análisis del modelo epistemológico dominante en la
institución) por lo que debemos reconocer (lo que constituye otra aportación importante
de esta memoria) que, en la práctica científica concreta del didacta, los tres procesos
deben desarrollarse de manera simultánea. Esta constatación provoca la formulación de
359
un problema abierto de carácter metodológico y, también, relacionado con la difusión de
las investigaciones didácticas:
Dado que el orden textual de los trabajos de investigación o de difusión es
obligatoriamente lineal, ¿en qué orden es preferible describir los tres procesos indicados
(formulación de un problema didáctico, construcción de un MER asociado y
descripción y análisis del modelo epistemológico dominante en la institución) en aras a
la claridad y rigor de dichos trabajos? ¿Es posible describir cualquiera de los tres
procesos indicados sin hacer referencias explícitas al estado del avance en los otros dos
procesos?
En esta memoria hemos intentado resolver este problema mediante la siguiente
estrategia metodológica: en el capítulo III hemos descrito un esquema del MER que ha
servido de base para formular el problema didáctico (aunque, naturalmente, el citado
esquema está condicionado por las cuestiones que forman parte del problema didáctico)
y para analizar la razón de ser oficial del CDE, esto es, la que le asigna el modelo
epistemológico dominante en la institución; en el capítulo IV, y en base a los resultados
del capítulo III, hemos construido el MER que articula el CDE y la MF.
5. Redefinición de la noción de «modelización funcional»
Una de las principales aportaciones de este trabajo reside en la redefinición de la noción
misma de modelización funcional (MF) que amplía en gran medida, al tiempo que
detalla y precisa, los tipos de tareas que forman parte de la actividad de MF. Esta nueva
caracterización de la MF se materializa esquemáticamente en un diagrama de actividad
que, además, representa una propuesta de un modelo epistemológico de referencia
(MER) que permite mostrar una razón de ser alternativa al estudio del CDE en la
enseñanza secundaria y primer curso universitario. En la Figura 1 se presenta dicho
diagrama de actividad:
360
Figura 3 - Diagrama de actividad de modelización funcional
361
Por un lado, al tomar la MF como un tipo específico de modelización matemática,
podremos decir que se trata de un proceso estructurado en cuatro estadios: delimitación
del sistema a modelizar; construcción del modelo; trabajo del modelo e interpretación
del mismo en términos del sistema; y emergencia de nuevas hipótesis, necesidad de
tomar en consideración nuevas variables, construcción de un nuevo sistema y nuevo
proceso de modelización. Por otro lado, los procesos de MF se estructuran según RuizMunzón (2010) en tres niveles dependiendo del tipo de modelos que se tomen en
consideración: funciones de una variable, familias de funciones de una variable, o
familias de funciones de dos o más variables.
En esta memoria interpretamos el paso de un nivel de MF al siguiente como el inicio de
un nuevo proceso de MF puesto que, por ejemplo, si se pasa del primer nivel al segundo
(esto es, de un modelo expresado por una función de una variable a otro materializado
mediante una familia de funciones) aparece la construcción de un nuevo sistema (que
contiene al sistema inicial como un caso particular) lo que requiere iniciar un nuevo
proceso de MF. La necesidad de articular los cuatro estadios con los tres niveles
provoca la emergencia de nuevas cuestiones:
¿Cómo se podrá articular la reinterpretación de los cuatro estadios de MF que se
proponen en el MER con los tres niveles de MF propuestos en el MER de Ruiz-Munzón
(2010)?
Un proceso de MF, ¿debe desarrollarse necesariamente en un único nivel o, por el
contrario, puede desarrollarse en dos o más niveles? Así, por ejemplo, cuando se
construye un modelo funcional integrando una función de una variable, obtenemos un
modelo materializado por una familia de funciones por lo que nos situamos en el
segundo nivel.
¿Qué modificaciones pueden provocar estos saltos de nivel en la estructura del MER,
especialmente cuando entre en juego el tercer nivel? En particular, la construcción de
modelos funcionales del tercer nivel de MF, ¿requerirá de nuevas tareas y de nuevas
técnicas que están ausentes en el MER?
¿Cómo se podría ampliar el MER propuesto de forma a permitir estudiar el cálculo
diferencial no elemental, o sea, el cálculo avanzado con modelos funcionales
materializado mediante familias de funciones con más de una variable?
362
6. Funciones de un MER como sistema de referencia
En el capítulo III delineamos únicamente las principales características de un MER
estructuradas en un diagrama de actividad a modo de mapa esquemático susceptible de
sustentar diferentes recorridos matemáticos (Figura 1). Posteriormente se utilizó este
esbozo de MER como sistema de referencia provisional en base al cual ha sido posible
llevar a cabo un conjunto de tareas que constituyen importantes aportaciones de esta
memoria:
 Formular con cierta precisión el problema de investigación didáctica que
abordamos en esta memoria.
 Interpretar la evolución histórica del papel del CDE en la enseñanza secundaria
portuguesa y su potencial relación con la MF.
 Contribuir a formular las conjeturas cuya contrastación empírica nos permitió
describir, en primera instancia, el tipo de incompletitud de las OM en torno a la
MF y el CDE, así como la desarticulación de las mismas.
 Formular cuestiones a los documentos curriculares escolares cuyas respuestas
nos permitieron caracterizar la razón de ser «oficial» que el sistema escolar
portugués asigna al CDE en el paso de Secundaria a la Universidad.
 Constatar la existencia del fenómeno de la falta de visibilidad escolar de la
modelización funcional y, consiguientemente, de una posible razón de ser del
CDE en dicho ámbito.
Este conjunto de aportaciones, dependientes todas ellas de la utilización del MER como
sistema de referencia provisional y relativo, plantea nuevos problemas:
Dada la enorme importancia que adquiere el MER en esta investigación, siendo como es
una conjetura o hipótesis provisional y relativa, ¿de qué dispositivos se dispone para
llevar a cabo una contrastación empírica de dicha conjetura que nos proporcione
criterios fundados para modificarla? ¿Hasta qué punto podemos afirmar que la
experimentación realizada con estudiantes de Medicina Nuclear constituye una primera
contrastación de dicha conjetura?
363
7. Articulación entre los procesos de modelización funcional discretos y
continuos
Otra de las aportaciones de este trabajo consiste en la caracterización de un universo de
tipos de variación elemental que podrá servir de auxilio a la construcción de modelos
funcionales que pueden partir de datos continuos o discretos. Se trata de una ampliación
del conjunto de tipos de variación funcional entre magnitudes continuas anteriormente
estudiadas en García (2005) y en Barquero (2009).
Al disponer de este universo de tipos de variación y mediante las técnicas clásicas de
regresión es posible integrar en un mismo proceso de modelización funcional el trabajo
en los campos discreto y continuo. Se requeriría posiblemente el estudio de otras
técnicas, tecnologías y teorías habitualmente utilizadas en el ámbito de la Física, de las
Ingenierías o de la Matemática Aplicada que permitan justificar mejor el paso del
campo discreto al campo continuo (y viceversa). Surgen nuevas cuestiones:
¿Cómo se podrán integrar en el ámbito institucional del final de la enseñanza secundaria
y principios de la enseñanza universitaria portuguesa, las técnicas algebraicas del
cálculo con diferencias finitas y el paso de un trabajo en el campo discreto a un trabajo
en el campo continuo? ¿Cómo hacer, en términos didácticos, para pasar de un trabajo
desarrollado en el campo continuo a un trabajo en el campo discreto? Por ejemplo, ¿de
qué forma se podrá discretizar un modelo funcional dado mediante una ecuación
diferencial difícil de resolver por integración?
8. Contrastación empírica de la conjetura de Ruiz-Munzón
La experimentación llevada a cabo con estudiantes de Medicina Nuclear constituye una
primera contrastación empírica (si bien indirecta) de la conjetura de Ruiz-Munzón
(2010) con la condición de reinterpretarla de acuerdo con el nuevo significado de la
noción de modelización funcional que proporciona nuestro MER. Esta contrastación
preliminar, con todas sus limitaciones, constituye un aporte muy importante de esta
memoria.
Dicha experimentación ha mostrado que es posible asignar al CDE una nueva razón de
ser en el ámbito de la MF y, también, que es posible superar las fuertes restricciones
364
iniciales que dificultan la necesaria reformulación del programa de estudios. El objetivo
de esta reformulación consiste en transformar el currículo en un conjunto de procesos de
modelización generados por determinadas cuestiones y materializados mediante
recorridos de estudio e investigación (REI). Surgen las siguientes cuestiones:
¿Qué condiciones se requerirían para transformar el programa de estudios del primer
curso de cálculo diferencial en el grado de Medicina Nuclear (y en otros grados con un
programa análogo) mediante la articulación de un conjunto de procesos de modelización
funcional? ¿Qué tipo de formación requeriría el profesorado universitario para dirigir
los REI correspondientes (Ruiz-Olarría, 2015)?
9. La formulación y contrastación de hipótesis sustentadas en el MER
como metodología para caracterizar el modelo epistemológico dominante
En esta memoria se presenta una nueva metodología para analizar manuales,
cuestionarios, y otros indicadores empíricos de la actividad matemática escolar. Dicha
metodología consiste en formular a priori ciertas hipótesis en base al punto de vista que
proporciona el MER, y que se postula que podrán caracterizar la actividad matemática
escolar desarrollada en una determinada institución. Esta metodología constituye, por
tanto, una nueva aportación de la memoria.
En el caso particular del CDE, el esquema del MER construido pretende mostrar en
vivo, en acto, que una posible razón de ser del CDE (en el paso de Secundaria a la
Universidad) surge en el ámbito de la MF. Más concretamente, postulamos que el MER
explicita las funciones que el CDE podría desempeñar para potenciar el desarrollo de la
MF en dicha institución. En consecuencia, cuando interpretamos los resultados del
estudio empírico de los manuales a partir de las hipótesis propuestas con ayuda del
MER como sistema de referencia provisional, saltan a la vista principalmente las
flagrantes ausencias de dichas funciones.
En este sentido, se constata por ejemplo que, cuando se construyen modelos
funcionales, las herramientas del CDE desempeñan únicamente un papel auxiliar. En la
actividad matemática escolar, en la última etapa de la enseñanza secundaria, no se
plantea prácticamente nunca la tarea de construir modelos funcionales a partir de datos
empíricos discretos y no se trabaja con la tasa de variación media (ni con la tasa de
365
variación media relativa) como paso previo a una aproximación de un modelo discreto
por otro continuo (mediante la aproximación de la tasa de variación media por la
derivada).
Esta aportación de la memoria plantea nuevas cuestiones abiertas:
En el estudio de problemas didácticos de otras áreas del conocimiento (Geografía,
Historia, Ciencias, Idiomas, Educación Física, Música, Danza, Educación Especial,
etc.), ¿se podrá adaptar esta nueva metodología de formulación de hipótesis a priori
para analizar los diferentes indicadores empíricos de la actividad escolar desarrollada en
una determinada institución de un cierto sistema de enseñanza?
10. El MER como instrumento para diseñar y gestionar la organización
didáctica
Para gestionar el tiempo didáctico (distribución de las actividades por semanas y por
sesiones), empezar a diseñar los diferentes medios didácticos en función de las grandes
problemáticas de la Medicina Nuclear (construir cuestiones y posibles respuestas
esperadas, fichas de trabajo complementarias, diapositivas, elegir datos discretos o
continuos, etc.) y coordinar dichos medios didácticos con los objetivos de las
actividades a proponer y con los criterios de evaluación definidos a priori, fue necesario
interpretar los diferentes componentes del MER según las diferentes actividades de
estudio que se pretendían proponer y evaluar. Dicha interpretación consistió en dividir
el diagrama de actividad de MF en las siguientes partes:
Tipos de tareas
Actividades de estudio
Formulación de hipótesis
+
+
366
Construcción de los modelos
(numéricos, gráficos,
variacionales, etc.)
+
Utilización de las TIC
+
Construcción del modelo
funcional
Cuestionamiento
tecnológico
(de las técnicas que
permiten construir el
modelo)
367
Trabajo de las técnicas de
manipulación de los
modelos
+
Cuestionamiento
tecnológico
(de las técnicas que
permiten trabajar el
modelo)
Interpretación del modelo y
de los resultados en
términos del sistema
+
Tabla 1 - Tabla de las tareas del diagrama de actividad de MF y las correspondientes actividades de
estudio.
De esta aportación surgen los siguientes problemas abiertos:
El análisis epistemológico que proporciona un MER relativo a cierto dominio de la
actividad matemática, ¿cómo puede contribuir al diseño y a la gestión de la
organización didáctica de dicho dominio? Con más precisión, dada una representación
parcial de la dinámica de un MER, materializada en una arborescencia de cuestiones
derivadas de una cuestión inicial y de respuestas provisionales, ¿cómo se puede utilizar
368
esta representación para elaborar técnicas didácticas útiles para diseñar y gestionar un
REI sustentado en dicho MER?
Recíprocamente, dado que la construcción de un MER toma como base empírica hechos
provenientes de todas las instituciones que intervienen en la transposición didáctica y,
muy especialmente, toma en consideración los hechos didácticos que emergen de la
institución escolar, cabe preguntarse, ¿qué papel pueden jugar los citados hechos
didácticos observados en la experimentación de un REI en aras a enriquecer el MER?
En términos más generales, ¿cuál es el papel de los hechos didácticos como parte de la
base empírica de la epistemología de las matemáticas?
El estudio de esta articulación entre lo epistemológico y lo didáctico ha sido
recientemente iniciado por Ignasi Florensa (Florensa et al., in press).
Por ejemplo, en la experimentación llevada a cabo con los estudiantes de Medicina
Nuclear, el análisis epistemológico proporcionado por el MER relativo a la MF (y al
papel asignado al CDE) ha contribuido al diseño y a la gestión de la organización
didáctica de dicho dominio mediante la introducción de las que hemos denominado
actividades de estudio (ver Tabla 1) que se han utilizado como componentes de ciertas
técnicas didácticas.
11. Cuestiones problemáticas que han surgido en la experimentación con
estudiantes de Medicina Nuclear
Para finalizar describiremos brevemente algunas de las muchas cuestiones
problemáticas que han surgido a lo largo de la experimentación con estudiantes de
Medicina Nuclear.
 ¿Es posible generalizar los resultados obtenidos al aplicar el RM5? Esto es, ¿para
qué tipo de fenómenos las regresiones sobre los datos discretos de la TVMR
permiten construir un modelo más adecuado (con más capacidad predictiva)? ¿Y
para qué tipo de sistemas es preferible hacer las regresiones sobre los datos
discretos de la TVM?
Así, se podría testar hasta qué punto son aplicables las técnicas usadas en el estudio de
los sistemas descritos en las cuestiones problemáticas Q4 y Q5 en la exploración de otros
sistemas. De esta manera se podría indagar la veracidad de las hipótesis relativas a la
369
mejor forma de describir y predecir un fenómeno de contagio o un fenómeno que
evoluciona muy rápidamente (epidémico) sin contagio. Si tal hipótesis se verifica, dicha
ampliación se podría institucionalizar, a posteriori, de la siguiente forma:
Q4
epidemia sin
contagio
cáncer
TVM brutos < > TVM
brutos < > TVMR
Q5
epidemia con
contagio
efectos
genéticos
TVM < >TVMR
Figura 2: Los fenómenos epidémicos sin contagio y con contagio: ejemplo y posible comparación de
técnicas matemáticas para modelizarlos
Consecuentemente los REI construidos se podrían aplicar a otros cursos universitarios
de otras áreas del conocimiento tales como: Marketing (“la propagación de una
publicidad en Facebook”), Ingeniería Informática (“la epidemia de un virus
informático”), Ciencias de la Comunicación (“la evolución de una noticia viral”), etc.
En investigaciones futuras se pretende ampliar y aplicar nuestros REI en la formación
del profesorado, o sea, convertir los REI en REI-FP (Ruiz-Olarría, 2015) y
experimentarlos con profesores de diferentes países (del Brasil, de España, del México,
de Portugal), con diferentes culturas y en diversas instituciones escolares.
En la experimentación con estudiantes de Medicina Nuclear se observó que los
estudiantes cuando son cuestionados sobre qué objetivos creían haber alcanzado, o sea,
cuáles de los conocimientos que pensaban haber adquirido, los contenidos que
mostraron mayor debilidad fueron el Teorema del Valor Medio (Lagrange) y el
Polinomio de Taylor (solo 55,56% de los estudiantes consideraran haber adquirido
dichos contenidos). Sin embargo, el profesor consideró que dichos estudiantes habían
alcanzado el objetivo de utilizar el Teorema de Lagrange o el desarrollo del Polinomio
de Taylor como una «tecnología instrumental», o sea, que los estudiantes eran capaces
de aplicar estas herramientas a casos concretos (en este curso de la enseñanza
universitaria politécnica, las demonstraciones de los teoremas no formaban parte de los
objetivos curriculares).
370
Este hecho podrá estar relacionado con la ausencia de una institucionalización más
precisa de la distribución de responsabilidades entre los diferentes miembros de la
comunidad de estudio.
 ¿Cómo distribuir la responsabilidad de la construcción del bloque tecnológicoteórico de una determinada praxeología matemática entre los diferentes
intervinientes en el proceso de estudio: el estudiante, pequeño grupo, gran grupo
y el profesor? ¿Cómo conseguir un equilibrio entre la necesaria autonomía del
estudiante o grupo de estudiantes y el trabajo del profesor como director del
proceso de estudio? Esta distribución de responsabilidades en la construcción del
bloque tecnológico-teórico de las diferentes praxeologías, ¿cómo depende del
tipo de estudios universitarios (futuros matemáticos, futuros profesores de
matemáticas o futuros técnicos superiores)?
Una de las mayores dificultades de la experimentación consistió en la evaluación de los
estudiantes y, además, en la evaluación de la metodología didáctica propuesta.
En el desarrollo de estas evaluaciones surgieron algunas cuestiones problemáticas cuya
respuesta aún no se encuentra en esta memoria, tales como:
 ¿De qué forma se podrían mejorar los dispositivos y los criterios de evaluación
grupal de manera que permitan distinguir las evaluaciones individuales de los
estudiantes de un mismo grupo que han mostrado grados de empeño y
dedicación distintos en los trabajos colectivos?
 ¿Cuál debe ser el peso de la evaluación grupal en la evaluación individual? ¿Qué
otros criterios específicos de evaluación se podrían introducir y qué criterios
usuales deberían eliminarse?
En definitiva, el conjunto de aportaciones descritas y, sobre todo, la gran cantidad de
problemas que permanecen abiertos ponen claramente de manifiesto que este trabajo,
además de ser el resultado de la confluencia de diferentes líneas de investigación
desarrolladas en el ámbito de la TAD, constituye el punto de partida de nuevos trabajos
que deberán ser abordados por nuestra comunidad científica.
371
372
Chapter VI
Main contributions and open problems
This last chapter comprises the final considerations and the main contributions of this
work to the Didactics of Mathematics. In particular, it describes the proposal of a
possible «raison d’être» of the elementary differential calculus (EDC) at the end of
secondary school and in the first university year in Portugal. This proposal, following
the anthropological theory of the didactic (ATD), is based on a reference
epistemological model (REM) that allows articulating the study of the EDC with the
development of a cyclic process of functional modelling (FM) which is organized in
four stages: delimitation of the system; construction of the model; work with the model
and interpretation of the model in terms of the system; and formulation of new
hypothesis and study of new systems. This model is schematized in this thesis by an
activity diagram of functional modelling.
Together with the list of the main contributions of this work, we will formulate a set of
didactic problems that remain open and that are consequence of the obtained results. In
fact, the contributions and the problems are closely interwoven. Indeed, the open
problems that can be formulated by using the theoretical or methodological tools of a
research constitute, in themselves, important contributions of this research.
Reciprocally, the scientific contributions provide some of the essential elements to
formulate new research problems.
373
1. The didactic problem of the elementary differential calculus as
confluence of three major research issues
In this work we tackle some of the questions that are part of a problem that, in general
terms, could be called the didactic problem of the elementary differential calculus. One
of the main contributions of this work is, precisely, the construction of this problem as
confluence of three research lines in the field of the ATD and, consequently, in the
context of the didactic problem of the differential calculus, our study brings specific
contributions to each of the three research lines.
 A contribution to the study of the didactic phenomenon of rigidity, relative
incompleteness and disassembly of the school mathematical organizations (MO)
(Fonseca, 2004; Lucas, 2010) and the relation of this phenomenon with the
restrictions that influence the genesis and development of the mathematical
modelling activity (Barquero, 2009; Serrano, 2013). In this work we tackle the
restrictions that influence the functional modelling specifically.
 A contribution to the transpositive origin of the phenomenon of disassembly of
particular fields of school mathematics, by a specific study of the disassembly
between the EDC and the FM, of the conditions that keep it, and its main
didactic consequences. Moreover, our results generalize the ones obtained in
García (2005) because the study and research path (SRP) that we have designed
and tested comprise the characterization and construction of a wider set of types
of functional variation between continuous magnitudes and, besides, they tackle
explicitly the problems of the transition from the variation between discrete
magnitudes to the variation between continuous magnitudes.
 A contribution to the confirmation of the conjecture of Ruiz-Munzón (2010)
provided that it is reinterpreted according to the new meaning of FM that our
REM supplies. Indeed, the scope and the meaning of the conjecture have been
brought to light thanks to the development of a concrete mathematical activity
and, above all, it has been showed in which sense it can be stated that a possible
raison d’être of EDC can be placed in the scope of the FM and the consequences
derived from this important conjecture.
A manifestation of the general didactic phenomenon of the disassembly of school
mathematical organizations in a concrete field of secondary school is the remarkable
374
disassembly of the proportionality relationship with respect to the other functional
relationships that are included in that educational level (García, 2005; García et al.,
2006). In this work we have studied the disassembly between the elementary differential
calculus and the functional modelling at the end of secondary school and in the first
university year and we have contributed some results in that regard. The following
problem arises related to these contributions:
What specific new manifestations of this general educational phenomenon can be found
in other areas of school mathematics? In particular, is it possible that the disassembly
between synthetic geometry and analytic geometry (Olivero et al., in press) in secondary
school and in teacher training constitute one of such specific manifestations? In order to
study the disassembly of school geometry, could it be possible to employ the tools that
we have implemented in this work in the case of EDC and FM?
2. Relatively universal nature of the phenomenon of school disassembly
between elementary differential calculus and functional modelling
In this thesis proposal we have validated a strong rigidity, atomization and
incompleteness of the mathematical organizations about the study of the EDC in the
field of the FM at the end of secondary school and at the beginning of university studies
in Portugal. Future work will be focused on studying whether the conjectures presented
in Chapter 3 are also valid or not for describing the dominant epistemological model
about the existing (or absent) assembly between the EDC and the FM in different
education systems of different countries. This allows posing the following open
problem:
Is the phenomenon of rigidity and disassembly of school mathematical organizations
about the study of the EDC and its assembly with the activities of FM a didactical
phenomenon relatively universal? That is, can it be generalized to different education
systems?
At this moment, apart from the data included in this thesis proposal, we have at our
disposal some evidence from the Spanish, French, and Brazilian education systems that
seem to validate this hypothesis.
375
When we consider the methodological problem of how to characterize the dominant
epistemological model in the education systems of different countries and the
presence/lack of some type of relationship between the EDC and the FM, new aspects
of the aforementioned didactic problem arise:
What institutional selection should be done? That is, taking into account its curricular
tradition, what educational stages must be considered in each country?
What relationship could exist among the mathematical organizations studied in each
school institution in each education system? What are the similarities and differences
between the school mathematics developed in different countries? What historical,
cultural, traditional factors underlie this similarities and contrasts?
3. Other possible raisons d’être of the elementary differential calculus as
an alternative to the official raison d’être
This work has allowed us to distinguish between what we call official raison d’être,
which is stipulated by the school institution for the EDC, that is, the roles assigned to
EDC by this institution, and a possible alternative raison d’être that aids to fill the gaps
and to overcome the limitations and restrictions that the school mathematical
organizations endure and that are supported by the dominant epistemological model in
the education system.
It may be the case that, according to a research on didactics on a field of the
mathematical activity, a researcher may postulate a raison d’être that is different from
the one stipulated by the official curriculum. This postulate will imply a deep
modification of the questions and tasks that gave sense to that field of the school
mathematical activity (in a certain institution). Inevitably, this alternative raison d’être
will lead to a reformulation of that field structure and of its relationship with the other
school mathematical organizations. It can be interpreted as assigning a reason of being
other than the officially assigned to a certain field of school mathematics by an
alternative REM to the dominant epistemological model in the institution under
consideration.
In particular, in this work we propose an alternative raison d’être to the official one to
study the EDC in secondary school and the first university years, what is another
376
important contribution of the present work. Regarding this contribution the following
questions arise, and they can be considered as aspects of a new open problem:
On the basis of the verification of new limitations of the school mathematical
organizations in different fields where EDC is present, what other possible alternative
raisons d'être could be assigned to the study of the EDC?
At what school field, different from the FM, could such alternative raisons d’être arise?
And, at what institutional scope could they arise (secondary school, university, teacher
training or professional context)?
4. Simultaneity of the construction of a reference epistemological model
(REM), the formulation of the associated didactic problem, and the
characterization of the dominant epistemological model in the institution
Another important contribution of this work, whose scope goes beyond the didactic
problem of the EDC, consists in having shown that, in the research work of a
didactician, a requirement for precisely formulating a problem is to (more or less
explicitly) assume an epistemological model of the mathematical field under study
(REM). At the same time, this model is a scientific conjecture or hypothesis that
responds to the didactical problem under consideration. On the other hand, although
empirical data from the school mathematical activity are used to build the REM, one of
the REM’s functions is to be a reference system to describe and analyze how the
particular teaching institution interprets the mathematical domain under consideration
(what we call dominant epistemological model in the institution).
Therefore, we cannot methodologically assign temporal priority to any of the three
processes (formulation of a didactic problem, construction of an associated REM, and
description and analysis of the dominant epistemological model in the institution).
Consequently, we must admit (what is another important contribution of this work) that
in the concrete research work of a didactician all the three processes must be developed
simultaneously. This fact leads to the formulation of a methodological open problem
which is also related to the dissemination of didactic research:
377
Since the textual order of the research works or their dissemination is necessarily linear,
for the sake of clarity and rigor of such works, which is the preferred order to describe
all the three processes (formulation of a didactic problem, construction of an associated
REM, and description and analysis of the dominant epistemological model in the
institution)? Is it possible the description of any of the three processes without making
explicit references to the state of progress in the other two processes?
In this work we have tried to solve this problem through the following methodological
approach: In Chapter 3 we have described a schema of the REM which has been used as
the basis for formulating the didactic problem (although, of course, the aforementioned
scheme depends on the questions of the didactic problem) and to analyze the official
raison d’être of the EDC, that is, the one assigned by the dominant epistemological
model in the institution; in Chapter 4, on the basis of the results presented in Chapter 3,
we have built the REM that articulates the EDC and the FM.
5. Redefinition of the notion of “functional modelling”
One of the main contributions of this work is the redefinition of the notion of functional
modelling (FM) which greatly expands the types of tasks that are part of the activity of
FM and, at the same time, it details and specifies them. This new characterization of the
FM materializes schematically in an activity diagram that, in addition, represents a
proposal of a reference epistemological model (REM) that allows showing an
alternative raison d’être to the EDC study in secondary school and first university year.
Figure 1 represents such activity diagram:
378
Figure 1: Activity diagram of functional modelling
(ARC - average rate of change
RARC - relative average rate of change)
379
On the one hand, since we have taken the FM as a specific type of mathematical
modelling, we could say that is a process structured in four stages: delimitation of the
system to be modelled; construction of the model; work in the model and its
interpretation in terms of the system; and formulation of new hypothesis, need for
considering new variables, construction of new system and a new modelling process.
On the other hand, following Ruiz-Munzón (2010), the FM processes are structured in
three levels depending on the type of models under consideration: functions of one
variable, families of functions of one variable, or families of functions of two or more
variables.
In this thesis proposal we interpret the passage from one level of FM to the next as the
beginning of a new process of FM because, for example, in the passage from the first
level to the second one (that is, from a model represented by a function of one variable
to another materialized by a family of functions) the construction of a new system
emerges (which contains the initial system as a particular case) and it requires to begin a
new process of FM. The need for articulating the four stages and the three levels makes
new questions arise:
How can the four stages of FM proposed in the REM be articulated with the three levels
of FM proposed by Ruiz-Munzón (2010) in her REM?
Must a process of FM be developed in a single level? Or can it be developed in two or
more levels? Thus, for example, when building a functional model by integrating one
function of one variable we obtain a model materialized by a family of functions, so that
there is a passage to the second level.
What modifications can provoke these level changes in the REM structure, especially
when the third level is reached? In particular, will the construction of functional models
in the third level of FM require new tasks and techniques which are absent in the REM?
How can the proposed REM be enlarged in such a way that it allows studying the nonelementary differential calculus, that is, the advanced calculus with functional models
materialized by families of functions with more than one variable?
380
6. Functions of a REM as a reference system
In Chapter 3 we made an outline of the main characteristics of a REM structured in an
activity diagram, as a schematic map which can support different mathematical paths
(Figure 1). Later, this outline of the REM was used as a provisional reference system
and, based on it, a list of tasks was developed; these tasks are important contributions of
this thesis proposal:
 To formulate with some precision the didactic research problem that we have
tackled in this work.
 To interpret the historical evolution of the EDC role in Portuguese secondary
school and its potential relationship with the FM.
 To contribute to the formulation of conjectures whose empiric validation has
allowed us to describe, in the first instance, the type of incompleteness of the
mathematical organizations around the FM and the EDC and their disassembly.
 To formulate questions about school curriculum documents whose answers have
allowed us to characterize the “official” raison d’être that the Portuguese
education system assigns to the EDC in the transition from secondary school to
university.
 To verify the existence of the phenomenon of the lack of school visibility of
functional modelling and, therefore, of a possible raison d’être of the EDC in
that scope.
These contributions, which all of them depend on the employment of the REM as a
provisional and relative reference system, pose new problems:
Given the enormous importance that the REM has on this research, and being a
provisional and relative conjecture or hypothesis, what devices are available to carry out
an empirical validation of this conjecture that gives us grounded criteria to modify it?
To what extent can we say that the experimentation with students of Nuclear Medicine
is a first validation of this conjecture?
381
7. Articulation between the functional modelling processes in the
continuous and discrete fields
Another contribution of this work lies in the characterization of the universe of the
different kinds of elemental variations, which may be used in the construction of
functional models appearing in the study of continuous or discrete data. It can be
understood as an enlargement of the functional variations among continuous
magnitudes, which has been previously described in Garcia (2005) and Barquero
(2009).
Considering the universe of different types of variation, linked to some regression
techniques, the discrete and continuous fields can be related in a unique and wider
process of functional modelling (FM). This process may require the study of other
techniques, technologies and theories often used in the area of Physics, the Engineering
or Applied Mathematics to better justify the step and link between the discrete and
continuous world (and vice versa). New questions arise at this point:
How can the algebraic techniques for calculus through finite differences, and the step to
study from the discrete world to the continuous world, be integrated into the
institutional frame found at the end of Secondary education and the beginning of the
University education? How to move (in didactic terms) from the work developed in the
continuous field to the discrete one? For example, how to proceed with the
discretization of a continuous functional model given by a differential equation hard to
solve by integration?
8. Empirical check of the conjecture of Ruiz-Munzón
The experimentation that have been carried out with the first-year students of Nuclear
Medicine can be considered as the first empirical check of the conjecture of RuizMunzón (2010), although a new meaning of the notion of functional modelling have to
be assume, according to the construction of our REM. This preliminary contrast, with
all its limitations, can be considered as an important contribution of this thesis report.
This experimentation has shown how it is possible to provide a new rational (in the
original terms, ‘raison d’être’) to EDC in the field of FM. Furthermore, it shows the
possibility of overcoming the strong constraints that hinder any change and
382
reformulation of the curriculum. The purpose of this reformulation is to transform the
curriculum in a set of modelling processes which could be generated by the study of
certain questions and materialized through the ‘live’ of some study and research paths
(SRP). The following questions emerge:
What conditions would be necessary to transform a calculus’ curricula of a first course
of the university degree in Nuclear Medicine (and others possible degrees with similar
study programs) through the articulation of a set of functional modelling processes?
What kind of teacher training programmes (for the university faculty) would be required
to be able to conduct the corresponding SRP (Ruiz-Olarría, 2015)?
9. The formulation and hypotheses testing grounded in the REM as a
methodology to characterize the dominant epistemological model
This thesis report presents a new methodology to analyse teaching material,
questionnaires, and other empirical data and indicators of school mathematics. This
methodology consists in the a priori formulation of certain hypothesis based on the
perspective provided by the REM. It is postulated that these assumptions may
characterize the mathematical activity developed in a particular institution. Therefore,
this methodology can be considered as a new contribution of this report.
In the case of the EDC, the REM designed and proposed wants to show live, in vivo, a
likely raison d’être of the EDC (in the transition from Secondary to the University
education) which appears in the field of the FM. Specifically, we postulate that the
REM shows the role and functions that the EDC could play to promote the integration
of FM in this institution. Consequently, when interpreting the results coming from
empirical analysis of teaching materials (from the hypotheses proposed using the REM),
become apparent the obvious absences of the EDC functions.
In this sense, it is confirmed that, for example, when functional models are built, the
tools coming from EDC only play an auxiliary role. Concerning the mathematical
activity developed in the last courses of Secondary education, the task of building up
and working with functional models from discrete empirical data is absent in most of
the cases. In addition, it is not either proposed to work with the average rate of change
383
-ARC- (and/or the relative average rate of change - RARC) as a first step to provide an
approximation of a discrete model for a continuous one (by approximating the average
rate of change with the derivative).
This contribution of the report poses new open questions:
In the study of certain didactic problems in other fields of knowledge (such as
Geography, History, Natural Sciences, Languages, Music, Dance, Special Education,
etc.), ¿would it be possible to use this methodology based on the a priori formulation of
hypotheses to analyse different empirical indicators of the school activity developed in a
particular educational institution?
10. The REM as a tool to design and handle the didactic organization
To provide a suitable distribution of the didactic time (distribution of activities for
weeks and sessions), it was necessary to give sense to the different components of the
REM in accordance to the different activities that were proposed, implemented and
evaluated. In particular, it was necessary to design of different didactic devices
according to the problematic questions in the field of Nuclear Medicine (generating
questions, likely answers, choose of discrete or continuous data, worksheets, slides, etc.)
and to coordinate these didactic devices with the main aims and with the evaluation
criteria a priori defined. Consequently, this interpretation leaded to divide the diagram
of FM activity in the following parts:
Types of tasks
Study activities
Formulation of
hypothesis
+
+
Construction of
the models
(numerical,
graphical,
variational, etc.)
+
384
Using ICT
+
Construction of
the functional
model
Technological
questioning
(Which techniques
could allow the
construction of
certain model?)
Work with the
models
(manipulation of
FM techniques)
+
385
Technological
questioning
(Which techniques
can allow to work
with the funtional
model?)
Interpretation of
the model and the
results in terms
of the system
+
Table 6 - Table of tasks of the diagram of FM activity and the corresponding study activities
From this contribution, the following open problems arise:
How can the epistemological analysis that provides an REM relating to certain domain
of mathematical activity contribute to the design and management of the didactic
organization of this domain? More precisely, given a partial representation of the
dynamics of an REM, materialized in a tree structure of questions arising from an initial
question and temporary answers, how can one use this representation to produce useful
didactic techniques to design and manage a SRP sustained in that REM?
Conversely, since the construction of an REM takes as empirical background facts from
all institutions involved in the didactic transposition and in particular takes into
consideration the educational facts that emerge from the school institution, what role
should the facts observed during the experimentation of a SRP play in order to enrich
the REM? More broadly, what is the role of didactic events as part of the empirical
basis of mathematics epistemology?
The articulation between epistemology and didactics has been recently studied by Ignasi
Florensa (Florensa et al., 2015).
386
For example, in the experimentations carried out with students of Nuclear Medicine, the
epistemological analysis provided by the REM on FM (and the role of EDC)
contributed to the design and management of the didactic organization through the
introduction of what we have called study activities (see Table 1) that have been used as
components of certain didactic techniques.
11. Problematic questions that have appeared during the experimentation
with students of Nuclear Medicine
To conclude, we briefly describe some of the many problematic issues that have arisen
all along the experimentation with students of Nuclear Medicine.
 Is it possible to generalize the results when applying the mathematical path RM5
(see Chapter 4)? In other words, for what kind of phenomena do regressions on
discrete relative average rate of change data allow us to build a better model
(with more predictive power)? And for which such systems is it preferable to run
the regressions on discrete average rate of change data?
Thus, one could test how the techniques used in the study of the systems described in
the problematic questions Q4 and Q5 are applicable in the exploration of other systems.
This way one could investigate the validity of the assumptions regarding the best way to
describe and predict a phenomenon of contagion or a phenomenon that evolves very
quickly (epidemic-like) without contagion. If such hypothesis is verified, this extension
could be institutionalized, a posteriori, as follows:
Q4
epidemic
without
contagion
cancer
raw ARC < > ARC
raw < > RARC
Q5
epidemic with
contagion
genetic effects
ARC < >RARC
Figure 2: The epidemic phenomena without contagion and infection: comparison example and possible
mathematical techniques to model them
Consequently, the SRP constructed so far could be applied to other university courses in
other areas of knowledge such as: Marketing ("the spread of an advertisement on
387
Facebook"),
Computer
Engineering
("the
epidemic
of
computer
viruses"),
Communication Sciences ("the evolution of a viral news"), etc.
In future research we intend to expand and apply our SRP to the teacher education, that
is, convert SRP into SRP-TE (Ruiz-Olarría, 2015) and experience them with teachers
from different countries (Brazil, Spain, Mexico, Portugal), with different cultures and in
different school institutions.
In the experiment with students of Nuclear Medicine, we found that, when students
were asked about what goals they thought they had reached, i.e., what knowledge they
thought they had acquired, the contents that showed greatest weakness were the Mean
Value Theorem (Lagrange) and Taylor polynomial (only 55.56% of students considered
to have acquired such content). However, the professor found that these students had
achieved the goal of using the Lagrange Theorem or development of Taylor polynomial
as an "enabling technology", that is, that the students were able to apply these tools to
specific cases (in this course of polytechnic university teaching, proving theorems was
not part of the curriculum goals).
This fact may be related to the absence of a more institutionalized distribution of
responsibilities between the different members of the study community.
 How to distribute the responsibility of the construction of the technologicaltheoretical block in a certain mathematical praxeology between the different
participants in the study process: students, small groups, large groups and the
teacher? How to strike a balance between the necessary autonomy of the student
or group of students and the teacher's job as director of the study process? How
does such distribution of responsibilities in the construction of the technologicaltheoretical block of different praxeologies depend on the type of university
degree (mathematician, math teacher or technician careers)?
One of the major difficulties in the experimentation was about student assessment and
the evaluation of teaching methodology.
In the development of these evaluations some problematic questions arose, whose
answers are not yet in this report, such as:
 How could devices and group evaluation criteria be improved, so as to
distinguish the individual evaluations of students from the same group that have
shown different levels of commitment and dedication in their collective work?
388
 What should be the weight of the group evaluation on individual assessment?
What other specific evaluation criteria could be added and what traditional
criteria should be eliminated?
In summary, the set of contributions described and, above all, the many problems that
remain open clearly show that this work, in addition to being the result of the
confluence of different lines of research developed within the ATD, will be the starting
point for new works that should be addressed by our scientific community.
389
390
Referencias bibliográficas
Aires, A. & Santiago, A. (2012). Las derivadas: Análisis del libro de texto de la
enseñanza secundaria en Portugal con sus primeras aplicaciones. Épsilon - Revista
de Educación Matemática, vol. 29(3), nº 82, 9-22, ISSN: 1131-9321.
Aires, A. & Sierra, M. (2005). O conceito de derivada no ensino secundário ao longo do
século XX. Em: História do Ensino da Matemática em Portugal, Actas do XIII
Encontro de Investigação em Educação Matemática. Sociedade Portuguesa de
Ciências da Educação, 1ª edição, (2005) ISBN: 972-8614-06-3, 101-120.
Apostol, T. M. (1967). Calculus. Vol. I: One Variable Calculus, with an Introduction to
Linear Algebra (segunda edição; em Inglês). Waltham, Massachusetts-TorontoLondon: Blaisdell Publishing Company. XX, 666 p.
Artigue, M. (1991). Analysis. In D. Tall (Ed.). Advanced Mathematical Thinking. (Cap.
11, pp. 167 – 198). Kluwer Academic Press.
Artigue, M. (1992). Functions from an algebraic and graphic point of view: cognitive
difficulties and teaching practices. En The concept of Function: Some aspects of
Epistemology and Pedagogy, MAA Notes, N°25.
Artigue, M. (1994). Didactical engineering as a framework for the conception of
teaching products. En Bielher & al. (Eds.). Didactics of mathematics as a
scientific discipline, 27-39. Dordrecht: Kluwer Academic Press.
Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios del cálculo: problemas
epistemológicos, cognitivos y didácticos. Ingeniería didáctica en educación
matemática. P. Gomez (Ed.) (pp. 97-140). Bogotá, México: Grupo Editorial
Iberoamericano.
Artigue, M. (1996). Learning and Teaching Elementary Analysis. En C. Alsina, J.M.
Alvarez, M. Niss, Aérez, L. Rico, A. Sfard (Eds.), 8th International Congress on
Mathematics Education – Selected Lectures, pp. 15-30. Sevilla: S.A.E.M. Thales.
391
Artigue, M. (1997). La integración de calculadoras gráficas y formales en la enseñanza
de las matemáticas en el bachillerato. Actas del RELME 11. México.
Artigue, M. (1998a). Enseñanza y aprendizaje del análisis elemental: ¿Qué se puede
aprender de las investigaciones didácticas y los cambios curriculares? Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (Relime), vol. 1, n.º
1, 40-55.
Artigue, M. (1998b). L'évolution des problématiques en didactique de l'analyse.
Recherches en didactique des mathématiques, 18(2), 231-261.
Artigue, M. (2003). ¿Qué se Puede Aprender de la Investigación Educativa en el Nivel
Universitario?, Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, ISSN-e13154125, Vol. 10, No. 2, 117-134 [Traducción al español del artículo Holton, D. et al.
(2003). The teaching and learning of mathematics at university level. An ICMI
Study. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 207-220.] Disponible en:
http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1020030
Artigue, M.; Batanero, C. & Kent, P. (2007). Mathematics Thinking and Learning at
Post-Secondary Level. En F. K. Lester (Ed.). The Second Handbook of Research
on Mathematics Teaching and Learning (pp. 1011-1049). Charlotte: Information
Age Publishing.
Artigue, M. & Ervynck, G. (eds.). (1993). Proceedings of Working Group 3 on
Students’ Difficulties in Calculus, ICME 7, Québec, Canada.
Artigue, M. et al. (1989). Procédures différentielles dans les enseignements de
mathématiques et de physique au niveau du premier cycle universitaire (Rapport
de recherche). Paris: IREM Paris VII.
Artigue, M. ; Ménigaux, J. & Viennot, L. (1990). Some aspects of students' conceptions
and difficulties about differentials. European Journal of Physics 11, 262-267.
Artigue, M., & Rogalski, M. (1990). Enseigner autrement les équations différentielles
en DEUG. En Enseigner autrement les mathématiques en DEUG SSM première
année, 113-128, IREM de Lyon.
392
Asiala, M.; Cottrill, J.; Dubinsky, E. & Schwingendorf, K. (1997). The development of
Students’ Graphical Understanding of the Derivative, Journal of Mathematical
Behavior, 16 (4), pp. 399-431.
Australian Curriculum, Assessment and Reporting Authority [ACARA] (2010).
Australian Curriculum—Mathematics: Draft consultation (Version 1.1.0).
Retrieved March 15, 2011, from:
www.australiancurriculum.edu.au/Documents/Mathematics curriculum.pdf
Azcárate, C. (1990). La velocidad: Introducción al concepto de derivada. Tesis
doctoral, Universitat Autònoma de Barcelona, Barcelona, España.
Azcárate, C.; Camacho, M. & Sierra, M. (1999). Perspectivas de investigación en
didáctica de las matemáticas: investigación en didáctica del análisis. En T. Ortega
(Ed.) Actas III Simposio Sociedad Española de Investigación en Educación
Matemática,
SEIEM,
pp. 283-293,
Valladolid,
España.
Disponible
en:
http://documat.unirioja.es/servlet/libro?codigo=345150
Azcárate, C.; Casadevall, M.; Casellas, E. & Bosch, D. (1996). Cálculo diferencial e
integral. Madrid: Síntesis.
Badillo, E. (2003). La derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y
aprendizaje en profesores de Matemática de Colombia. Tesis Doctoral.
Universitat Autònoma de Barcelona, Barcelona, España.
Barbé, J., Bosch, M., Espinoza, L. & Gascón, J. (2005). Didactic restrictions on the
teacher’s practice. The case of limits of functions in Spanish High Schools.
Educational Studies in Mathematics, 59, 235-268.
Barquero, B. (2009). Ecología de la Modelización Matemática en la enseñanza
universitaria de las Matemáticas. Tesis doctoral. Universidad Autónoma de
Barcelona.
Barquero, B., Bosch, M. & Gascón, J. (2011). Los recorridos de estudio e investigación
y la modelización matemática en la enseñanza universitaria de las ciencias
experimentales, Enseñanza de las Ciencias, 29 (3), 339-352.
393
Barquero, B., Bosch, M. & Gascón, J. (2014). Incidencia del «aplicacionismo» en la
integración de la modelización matemática en la enseñanza universitaria de las
ciencias experimentales. Enseñanza de las Ciencias, 32 (1), pp. 83-100
Bolea, P. (2002). El proceso de algebrización de organizaciones matemáticas escolares
(Tesis doctoral). Universidad de Zaragoza.
Bolea, P. (2003). El proceso de algebrización de organizaciones matemáticas
escolares. Monografía del Seminario Matemático García de Galdeano, 29.
Departamento de Matemáticas. Universidad de Zaragoza.
Bolea, P., Bosch, M. & Gascón, J. (2001). La transposición didáctica de Organizaciones
Matemáticas en proceso de algebrización. El caso de la proporcionalidad,
Recherches en Didactique des Mathématiques, 21/3; 247-304.
Bosch, M. (1994). La dimensión ostensiva en la actividad matemática. El caso de la
proporcionalidad. Tesis doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona.
Bosch, M. & Gascón, J. (2005). La praxéologie comme unité d’analyse des processus
didactiques. In Mercier, A. et Margolinas, C. (Coord.) Balises en Didactique des
Mathématiques (pp. 107-122). Grenoble: La Pensée Sauvage.
Bosch, M., & Gascón, J. (2006). 25 years of the didactic transposition, Bulletin of the
International Commission on Mathematical Instruction, 58, 51-65.
Bosch, M. & Gascón, J. (2007). 25 años de transposición didáctica, en Ruiz- Higueras,
L., Estepa, A., García, F.J. (Eds.) Sociedad, Escuela y Matemáticas. Aportaciones
de la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Jaén: Servicio de Publicaciones de la
Universidad de Jaén, 385-406.
Bosch, M.; Espinoza, L. & Gascón, J. (2003). El profesor como director de procesos de
estudio: análisis de organizaciones didácticas espontáneas. Recherches en
Didactique des Mathématiques, vol. 23, n° 1, pp. 1-58.
Bosch, M., Fonseca, C. & Gascón, J. (2004). Incompletitud de las Organizaciones
Matemáticas Locales en las instituciones escolares. Recherches en Didactique des
Mathématiques, 24(2-3), 205-250.
394
Bravo, S. & Cantoral, R. (2012). Los libros de texto de Cálculo y el fenómeno de la
Transposici