Elementos de topolog´ıa de Rn 1. El espacio euclidiano Rn 2

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemáticas III (MAT 023)
1er Semestre de 2013
Elementos de topologı́a de Rn
1.
El espacio euclidiano Rn
Definición 1.1. Se define el espacio n−dimensional sobre el conjunto de los números
reales por:
Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R,
i = 1, 2, . . . , n}
junto con la suma en Rn dada por:
x + y = (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn )
= (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
y la multiplicación por escalar definida por:
αx = α (x1 , x2 , . . . , xn )
= (αx1 , αx2 , . . . , αxn )
para todos x, y ∈ Rn y α ∈ R.
Teorema 1.1. El espacio Rn es un espacio vectorial real de dimensión n.
Ejemplo 1.1. Hallar un subespacio vectorial W de R3 tal que:


 x = 2t + 1

L:
y = −2 + t


 z = 3t − 1
se escriba como:
L = W + {u0 }
con u0 ∈ R3 adecuado.
2.
Producto interno y norma
Definición 2.1. Sean x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) en Rn . Se define el producto
interno o producto escalar de x e y como el número real:
hx, yi =
n
X
xi yi
i=1
Observación 2.1. El producto interno es el que confiere la noción de distancia y de perpendicularidad al espacio Rn .
1
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Proposición 2.1. Sean x, y, z ∈ Rn y α ∈ R, entonces:
1. Bilinealidad: hαx + y, zi = α hx, zi + hy, zi y hx, αy + zi = α hx, yi + hx, zi
2. Simetrı́a: hx, yi = hy, xi
3. Definido positivo: hx, xi ≥ 0 y hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0.
Definición 2.2. Sea x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Se define la norma (euclidiana) de x como
el número real:
kxk =
p
hx, xi
( n
)1/2
X
=
x2i
i=1
Proposición 2.2. Sean x ∈
Rn
y α ∈ R, entonces:
1. kxk ≥ 0
2. kαxk = |α| kxk
Teorema 2.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sean x, y ∈ Rn , entonces:
|hx, yi| ≤ kxk kyk
Demostración. Consideremos ϕ : R → R definida por:
ϕ (λ) = hx + λy, x + λyi
Note que:
ϕ (λ) = kxk2 + 2λ hx, yi + λ2 kyk2
Ahora bien, ϕ (λ) ≥ 0 es equivalente a que el discriminante de la expresión cuadrática anterior
sea negativa o cero. Es decir:
4 hx, yi2 − 4 kxk2 kyk2 ≤ 0
Luego, extrayendo raı́z cuadrada se obtiene:
|hx, yi| ≤ kxk kyk
Observación 2.2. La noción de perpendicularidad caracterı́stica de los espacios euclidianos
se obtiene de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. En efecto, sean x, y ∈ Rn r {0}, luego:
|hx, yi| ≤ kxk kyk ⇐⇒
|hx, yi|
hx, yi
≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤
≤1
kxk kyk
kxk kyk
Por tanto, debe existir un ángulo θ ∈ [0, π) tal que:
cos θ =
hx, yi
kxk kyk
O bien, en su forma clásica:
hx, yi = kxk kyk cos θ
2
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Definición 2.3. Sean x, y ∈ Rn . Se define el ángulo entre x e y como:
∠ (x, y) = arc cos
hx, yi
kxk kyk
Además, diremos que x e y son perpendiculares u ortogonales si ∠ (x, y) = 0. En tal caso,
se anota x ⊥ y.
Teorema 2.2 (Pitágoras). Sean x, y ∈ Rn tales que x ⊥ y, entonces:
kx + yk2 = kxk2 + kyk2
Teorema 2.3. Sean x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn r {0} con xi ⊥ xj , i 6= j y m ≤ n, entonces
x1 , x2 , . . . , xm son linealmente independientes.
Observación 2.3. Se puede mencionar también que la perpendicularidad está relacionada a
problemas de aproximación mediante la proyección ortogonal. Se deja planteado el siguiente
problema:
1. Considere el plano en R3 dado por:
W = (x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0
con a, b, c ∈ R. Para cualquier u ∈ R3 , denotaremos por PW (u) al punto del plano
W que se encuentra a menor distancia de u. Tal función PW (u) se llama la proyección
ortogonal de u sobre W . Entonces:
a) Dado u ∈ R3 , hallar una expresión para PW (u).
b) Demuestre que la función PW (u) : R3 → R3 definida por:
u 7→ PW (u)
es una transformación lineal.
c) Calcule [PW ]CC , donde C es la base canónica de R3 , y verifique que:
[PW ]CC
2
= [PW ]CC
∧
[PW ]CC
T
= [PW ]CC
d ) Sean W ≤ R3 cualquiera y v ∈ R3 . Diremos que u es la mejor aproximación a
v por vectores de W si:
kv − uk ≤ kv − wk
para todo w ∈ W . Verifique:
ku − PW (u)k = ı́nf {kv − wk : w ∈ W }
y que:
en donde W ⊥
u − PW (u) ∈ W ⊥
= v ∈ R3 : v ⊥ w, w ∈ W .
3
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Observación 2.4. Otra consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz es la desigualdad triangular. La desigualdad triangular es una propiedad muy importante de la norma
euclidiana y es la piedra angular de la noción de distancia sobre el espacio Rn .
Teorema 2.4 (Desigualdad triangular). Sean x, y ∈ Rn , entonces:
kx + yk ≤ kxk + kyk
Demostración. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
kx + yk2 = hx + y, x + yi
= kxk2 + 2 hx, yi + kyk2
≤ kxk2 + 2 kxk kyk + kyk2
(kxk + kyk)2
Lo cual implica el resultado.
Definición 2.4. Sean x, y ∈ Rn . Se define la distancia entre x e y como el número real
dado por:
d (x, y) = kx − yk
Teorema 2.5. Sean x, y, z ∈ Rn , entonces:
1. d (x, y) ≥ 0;
d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
2. d (x, y) = d (y, x)
3. d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z)
(desigualdad triangular)
Observación 2.5. Como se sabe, el espacio euclidiano n−dimensional tiene una propiedad
sorprendente. A saber, generalizando la noción de norma euclidiana se puede considerar la
noción de norma como una función más general N : Rn → R que satisfaga:
1. N (x) ≥ 0
2. N (αx) = |α| N (x)
3. N (x + y) ≤ N (x) + N (y)
A modo de ejemplo, las normas más comunes en Rn son, a modo de ejemplo:
kxk∞ = máx {|x1 | , |x2 | , . . . , |xn |}
n
X
kxk1 =
|xi |
i=1
kxkp =
( n
X
)1/p
|xi |p
i=1
Además, se tiene que:
lı́m kxkp = kxk∞
p→∞
Ası́:
4
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Teorema 2.6. Sean N y N1 dos normas cualesquiera sobre Rn . Entonces, existen constantes
α, β > 0 tales que:
αN1 (x) ≤ N (x) ≤ βN1 (x)
para todo x ∈ Rn . Es decir, las normas son equivalentes en el sentido que darán origen
a la misma topologı́a. Consecuentemente, no importa cual norma se considere sobre Rn , el
concepto de lı́mite será el mismo.
3.
Elementos de topologı́a de Rn
Observación 3.1. Recordemos, primeramente, la noción de lı́mite para una función real
f : R → R. Un número real L es el lı́mite de f cuando x tiende a a si:
∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ε
o bien:
∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < d (x, a) < δ =⇒ d (f (x) , L) < ε
con d (x, y) = |x − y|. Varias observaciones pueden hacerse a partir de esta definición. En
primer lugar, las nociones de distancia unidimensional intrı́nsecas a la definición de lı́mite,
pueden ser traducidas a relaciones con intervalos abiertos. En efecto, notamos que:
0 < |x − a| < δ ⇐⇒ x ∈ (a − δ, a + δ) r {a}
y
|f (x) − L| < ε ⇐⇒ f (x) ∈ (L − ε, L + ε)
Ası́, f (x) tiende a un lı́mite real L si:
∀ε > 0, ∃δ > 0,
f −1 (L − ε, L + ε) ⊂ (a − δ, a + δ) r {a}
Es necesario, entonces, generalizar la noción de intervalo abierto. El primer paso en esta
generalización está dada por la noción de bola abierta. Tenemos:
Definición 3.1. Sean a ∈ Rn y ε > 0. Llamaremos bola abierta de radio ε con centro
en a al conjunto definido por:
B (a, ε) = {x ∈ Rn : kx − ak < ε}
Ejemplo 3.1. Si n = 1, entonces:
B (a, ε) = (a − ε, a + ε)
Si n = 2 y a = (x0 , y0 ), entonces:
q
2
2
2
B (a, ε) = (x, y) ∈ R : (x − x0 ) + (y − y0 ) < ε
5
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Definición 3.2. Sea U ⊆ Rn . Diremos que a ∈ U es un punto interior de U si:
∃ε > 0,
B (a, ε) ⊆ U
Llamaremos interior de U al conjunto de todos los puntos interiores de U . Anotaremos: Ů .
Es decir, se tiene que:
Ů = {a ∈ U : a es punto interior a U }
Definición 3.3. Sea U ⊆ Rn . Diremos que U es un conjunto abierto en Rn , o simplemente
abierto en Rn si U = Ů . Es decir, si todo punto de U es interior a U .
Observación 3.2. En particular, U es abierto si:
∀a ∈ U, ∃ε > 0,
B (a, ε) ⊆ U
Ejemplo 3.2. Los conjuntos ∅ y Rn son abiertos.
Ejemplo 3.3. Un conjunto finito A ⊆ Rn no es abierto.
Teorema 3.1. Toda bola abierta es un conjunto abierto.
Demostración. Sean a ∈ Rn y ε > 0. Considere x ∈ B (a, ε) y:
δ = ε − kx − ak > 0
Sea, ahora, y ∈ B (x, δ). Luego, ky − xk < δ y además:
ky − ak = k(y − x) + (x − a)k
≤ ky − xk + kx − ak
< δ + kx − ak
= ε − kx − ak + kx − ak = ε
Ası́, ky − ak < ε, y por tanto, y ∈ B (a, ε). Esto implica que, B (x, δ) ⊆ B (a, ε). Es decir,
que todo punto x ∈ B (a, ε) es interior.
Ejemplo 3.4. Todo intervalo abierto en R es un conjunto abierto.
Ejemplo 3.5. Sea:
U = (x, y) ∈ R2 : x > 2
Entonces, U es abierto.
Proposición 3.1. Los conjuntos abiertos de Rn poseen las siguientes propiedades:
1. ∅ y Rn son abiertos.
2. La unión arbitraria de conjuntos abiertos en Rn es un conjunto abierto en Rn .
3. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos en Rn es un conjunto abierto
en Rn .
6
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Ejemplo 3.6. Sea Hn = a − n1 , b +
1
n
⊆ R, para cada n ∈ N. Notamos que cada Hn es un
conjunto abierto en R, pero:
H=
∞
\
Hn = [a, b]
n=1
el cual no es abierto.
Definición 3.4. Sean U ⊆ Rn y a ∈ Rn . Diremos que a es un punto de adherencia a U
si:
∀ε > 0,
B (a, ε) ∩ U 6= ∅
El conjunto de todos los puntos de adherencia de U se denomina la clausura de U y se anota
U.
Observación 3.3. Para todo U ⊆ Rn , Ů ⊆ U ⊆ U .
Ejemplo 3.7. La bola cerrada con centro en a y radio ε está dada por:
B (a, ε) = {x ∈ Rn : kx − ak ≤ ε}
Ejemplo 3.8. N = Z = ∅ = ∅.
Ejemplo 3.9. Q = R.
Definición 3.5. Sea U ⊆ Rn . Diremos que U es un conjunto cerrado si U = U .
Ejemplo 3.10. Los conjuntos ∅ y Rn son cerrados.
Teorema 3.2. Sea U ⊆ Rn . Entonces, U es cerrado en Rn , si y solo si, U C es un conjunto
abierto.
Definición 3.6. Sean U ⊆ Rn y a ∈ Rn . Diremos que a es un punto de acumulación de
U si:
∀ε > 0,
(B (a, ε) r {a}) ∩ U 6= ∅
El conjunto de todos los puntos de acumulación de U se denomina el conjunto derivado
de U y se anota como U 0 .
Ejemplo 3.11. Sea U = (0, 1] ∪ {2, 3}. Luego, U 0 = [0, 1].
Ejemplo 3.12. Sea X =
1
n
: n ∈ N . Luego, X 0 = {0}. Note que lo anterior quiere decir
que hay infinitos puntos distintos de X suficientemente cercanos a 0.
Ejemplo 3.13. Sea A =
m 1
n,n
: m, n ∈ N, n 6= 0 ⊆ R2 . Calcule A0 .
Observación 3.4. Si U ⊆ Rn tal que U 0 6= ∅, entonces U es infinito. Ası́, para todo conjunto
finito A ⊆ Rn , se tiene que A0 = ∅.
Teorema 3.3. Sea U ⊆ Rn . Entonces, U es cerrado en Rn , si y solo si, U 0 ⊆ U .
7
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Definición 3.7. Sean U ⊆ Rn y a ∈ Rn . Diremos que a es un punto frontera de U si:
∀ε > 0,
B (a, ε) ∩ U 6= ∅
∧
B (a, ε) ∩ U C 6= ∅
El conjunto de todos los puntos frontera de U se llama la frontera de U y se anota como
∂U .
Observación 3.5. Note que, desde la definición, se obtiene que ∂U = U ∩ U C .
Ejemplo 3.14. La esfera con centro en a y radio ε > 0 se obtiene como:
S (a, ε) = ∂B (a, ε)
= {x ∈ Rn : kx − ak = ε}
Ası́, la esfera unitaria S n−1 en Rn se obtiene como:
S n−1 = ∂B (0, 1)
= {x ∈ Rn : kxk = 1}
Ejemplo 3.15. Sea A ⊆ Rn cerrado y suponga que x ∈
/ A, pruebe que existe un número d > 0
tal que:
kx − yk ≥ d
para todo y ∈ A.
Solución 3.1. Supongamos que A ⊆ Rn es cerrado, luego AC es abierto. Además, si x ∈
/ A,
entonces x es un punto interior de AC . Por tanto, existe d > 0 tal que:
B (x, d) ⊂ AC
Además, se observa que:
B (x, d) ∩ A = ∅
Por tanto:
kx − yk ≥ d
para todo y ∈ A, pues de lo contrario:
kx − yk < d
implica que y ∈ B (x, d) y B (x, d) ∩ A 6= ∅.
Definición 3.8. Diremos que un conjunto X ⊆ Rn es acotado si existe un número real
M > 0 tal que:
kxk ≤ M
para todo x ∈ X.
Observación 3.6. Note que la cota anterior es uniforme, es decir:
8
sup kxk : x ∈ X ≤ M .
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Definición 3.9 (Heine-Borel). Un conjunto K ⊆ Rn se dice compacto si es cerrado y
acotado.
Ejemplo 3.16. La bola cerrada B (a, ε) es un conjunto compacto sobre en Rn . En efecto,
como B (a, ε) es cerrado, basta verificar que es acotado. Note que para todo x ∈ B (a, ε), se
tiene que:
kxk ≤ kx − ak + kak < ε + kak
Ejemplo 3.17. Sea K un conjunto compacto cualquiera en Rn . La cápsula convexa de K:
co (K) = {z = tx + (1 − t) y ∈ Rn : x, y ∈ K
∧
0 ≤ t ≤ 1}
es un conjunto compacto.
Ejemplo 3.18. Sean L ⊆ Rn y K ⊆ Rm conjuntos compactos, respectivamente. Entonces,
L × K es compacto en Rn+m = Rn × Rm .
Teorema 3.4 (Bolzano - Weierstrass). Sean K un conjunto compacto en Rn y X ⊆ K un
conjunto infinito, entonces X 0 6= ∅.
Observación 3.7. El teorema anterior puede verse como una equivalencia del siguiente
resultado: Sea K ⊆ Rn . Entonces K es compacto si y solo si toda sucesión (xn )∞
n=1 posee una
subsucesión convergente (xnk )∞
k=1 que converge a algún punto en K.
Observación 3.8. Finalmente, veremos la noción de conexidad. Sin embargo, para motivar
tal definición, recordemos un teorema importante del cálculo diferencial:
Sea f : (a, b) → R una función diferenciable en (a, b) tal que f 0 (x) = 0, para
todo a < x < b, entonces f es constante en (a, b).
Sin embargo, suponga a < x0 < b y g : D = (a, x0 ) ∪ (x0 , b) → R una función diferenciable
en D tal que f 0 (x) = 0, para cada x ∈ D. ¿Podemos asegurar que f también es constante?
Claramente no, basta considerar:
(
g (x) =
1
,
a < x < x0
−1 ,
x0 < x < b
y notar que g 0 (x) = 0, para cada x ∈ D. El hecho de que el dominio de f , es decir, el intervalo
(a, b), sea de una pieza es lo que asegura (en parte) el resultado anterior.
Definición 3.10. Sea A ⊆ Rn . Un subconjunto B ⊆ A se dice abierto en A o abierto
relativo a A si existe un abierto O ⊆ Rn tal que B = O ∩ A. Del mismo modo, un conjunto
B ⊆ A se dice cerrado en A o cerrado relativo a A si existe un cerrado F ⊆ Rn tal que
B = F ∩ A.
Ejemplo 3.19. Para cualquier A ⊆ Rn , A y ∅ son abiertos en A.
Ejemplo 3.20. En A = [a, b], el conjunto B =
9
a+b
2 ,b
es abierto en A.
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Observación 3.9. La topologı́a relativa a A, posee las siguientes propiedades:
1. Si X ⊆ A es abierto en A, entonces A − X es cerrado en A.
2. Si Y ⊆ A es cerrado en A, entonces A − Y es abierto en A.
3. La unión arbitraria de conjuntos abiertos en A, es un conjunto abierto en A.
4. La intersección finita de conjuntos abiertos en A, es un conjunto abierto en A.
Definición 3.11. Un conjunto A ⊆ Rn se llama disconexo si existen dos conjuntos abiertos
U y V de Rn tales que:
1. U ∩ A 6= ∅
∧
V ∩ A 6= ∅.
2. (U ∩ A) ∩ (V ∩ A) 6= ∅.
3. (U ∩ A) ∪ (V ∩ A) = A
Por otro lado, un conjunto A ⊆ Rn se dice conexo si no es disconexo.
Ejemplo 3.21. N y Q son disconexos.
Ejemplo 3.22. R es conexo.
Ejemplo 3.23. Todo intervalo real es conexo.
Teorema 3.5. Sean A ⊆ Rn un conjunto conexo y C ⊆ Rn tales que A ⊆ C ⊆ A, entonces
C es conexo.
Demostración. Suponer que C es disconexo y hallar un contradicción.
Teorema 3.6. Sea {Aλ }λ∈Λ una familia de conjuntos conexos en Rn con al menos un punto
en común, entonces:
[
Aλ
λ∈Λ
es conexo.
Observación 3.10. Se puede ilustrar gráficamente el resultado anterior.
Teorema 3.7. Sea A ⊆ Rn . Entonces, A es conexo, si y solo si, los únicos conjuntos abiertos
y cerrados simultáneamente en A son A y ∅.
10
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Referencias
[1] Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics, 9th Ed., John Wiley & Sons Inc., Singapore, 2006.
[2] Piskunov, N. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa S.A. de C.V., México, 2007.
[3] Osses, A. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, CMM, Departamento de Ingenierı̈¿ 21 a Matemı̈¿ 21 tica, U. de Chile, Santiago, 2010.
[4] Derrick, W & Grossman, S Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Fondo Educativo
Interamericano, Mı̈¿ 21 xico, 1984.
[5] Apostol, T. Calculus: volumen 1, Editorial Reverté, Barcelona, 1967.
[6] Fernı̈¿ 21 ndez, C. & Rebolledo, R. Ecuaciones diferenciales ordinarias, Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago, 1995.
[7] Hsu, H. Análisis de Fourier, Addison-Wesley Iberoamericana, EE.UU., 1987.
[8] Rocha, J.M. & Villa, G. Cálculo infinitesimal de varias variables: vol. 1, I.P.N, México,
2003.
11