Capítulo 1 Nociones Previas

Capítulo 1
Nociones Previas
Rn como espacio vectorial, producto interior, normas, topología básica de Rn , funciones
en varias variables.
1.1.
El espacio
Rn .
En el cálculo en varias variables reales consideramos el conjunto Rn , que como se vió
en el curso de Álgebra Lineal, es un espacio vectorial real con las operaciones naturales.
Consideraremos
la siguiente notación al referirnos a los vectores, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) =
Pn
i
x
ê
,
donde
el conjunto denido por E = {êi ∈ Rn | êi = (δ1i , δ2i , . . . , δni )}1 (con δji la
i=1 i
delta de Kronecker2 )es la base estándar de Rn .
En este espacio también se dene un producto interior:
· : Rn × Rn → R
(x, y) 7→ x · y :=
n
X
xi yi
i=1
el que es distributivo con respecto a la suma, simétrico y conmutativo con respecto del
producto por escalar. Además x · x ≥ 0, ∀x ∈ Rn , x · x = 0 ⇔ x = ~0.
Se dene la norma usual de un vector como:
kxk :=
√
x · x,
∀x ∈ Rn .
existen muchas otras formas de denir la norma de un vector de Rn , pero para el tipo de
topología que queremos desarrollar, esta es la más conveniente.
Algunas propiedades de la norma son:
kxk ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
kλxk = |λ|kxk, ∀λ ∈ R, x ∈ Rn .
La desigualdad de Cauchy-Schwarz: ∀x, y ∈ Rn : |x · y| ≤ kxkkyk.
1 Algunas
veces por conveniencia, hemos de denotar los vectores por x = (xi )ni=1 = (xi )1≤i≤n . Esta
notación resulta más compacta.
2 La
delta de Kronecker se dene: δji =
1
0
si i = j
si i =
6 j
1
CAPÍTULO 1.
2
NOCIONES PREVIAS
La desigualdad triangular: ∀x, y ∈ Rn : kx + yk ≤ kxk + kyk.
Además de la norma, necesitamos denir otro tipo de aplicación sobre los vectores, consideraremos la distancia Euclidiana, dada por:ç
d(x, y) := kx − yk ∈ R,
∀x, y ∈ Rn
de las popiedades ya enunciadas para la norma, es trivial que las siguientes se cumplen
∀x, y ∈ Rn :
d(x, y) ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
d(x, y) = d(y, x)
y se tiene un caso especial de la desigualdad triangular:
∀x, y, z ∈ Rn : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z)
Análogamente al caso de la norma, cualquier aplicación γ del tipo γ : Rn × Rn → R
que cumpla las cuatro propiedades anteriores, es una distancia en Rn .
1.2.
1.2.1.
Topología Básica en
Rn
Bolas Abiertas y Bolas Cerradas
3
Sean a ∈ Rn y r > 0.
Una bola abierta de centro a y radio r es el conjunto dado por:
B A (a, r) := {x ∈ Rn | d(x, a) < r}
Una bola cerrada de centro a y radio r es el conjunto:
B C (a, r) := {x ∈ Rn | d(x, a) ≤ r}
También se dene la esfera de centro a y de radio r como:
E(a, r) := {x ∈ Rn | d(x, a) = r}.
1.2.2.
Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados de
Rn
Sea A ⊆ Rn , se dirá que A es un conjunto abierto (o un abierto simplemente) de Rn
si para todo a ∈ A, existe un r > 0 tal que la bola abierta BA (a, r) ⊆ A.
De la denición es claro que Rn es siempre un abierto. También ∅ es abierto.
La intersección de dos abiertos es también un abierto.
La reunión de una familia nita de abiertos esS también abierta. Inductivamente es
posible probar que si Aµ ⊆ Rn es abierto ∀µ ∈ N, µ≥1 Aµ es también un abierto.
Toda bola abierta de Rn es un conjunto abierto de Rn .
3 Ninguna
relación con las bolas tristes.