Transparencias

Condicionamiento
Curso 2016-17
1
Resolución numérica de problemas
Aspectos a tener en cuenta:
Condicionamiento del Problema: Teorı́a de perturbacioón.
Efectos de los errores de redondeo: Estabilidad.
Análisis de la velocidad de los algoritmos: número de flops.
2
Problemas bien y mal condicionados
Un problema en una función entre espacios normados
f
: R → R
x ; x2
Problema bien condicionado: pequeñas modificaciones en x
producen pequeñas modificaciones en f (x).
Problema mal condicionado: pequeñas modificaciones en x
producen grandes modificaciones en f (x)
3
Números de condición
Número de condición absoluto.κ̂(x). Razón entre el error
absoluto de la solución y el error absoluto del dato:
kf (x + δx) − f (x)k
κ̂(x) := lı́m sup
.
δ→0 kδxk≤δ
kδxk
Número de condición relativo: κ(x). Razón entre el error
relativo de la solución y el error relativo del dato:
kf (x + δx) − f (x)k
kδxk
κ(x) := lı́m sup
δ→0 kδxk≤δ
kf (x)k
kxk
Si f es diferenciable:
kf (x + δx) − f (x)k
≈ kf 0 (x)k = κ̂(x).
kδxk
kf (x + δx) − f (x)k
kδxk
kf 0 (x)k kxk
≈
= κ(x).
kf (x)k
kxk
kf (x)k
4
Ejemplos
1
Para x ∈ R calcular
x
:
2
κ(x) = 1
2
Para x ∈ R+ calcular
√
x:
1
κ(x) = .
2
3
Para x1 , x2 ∈ R calcular x1 − x2 :
κ∞ =
máx{|x1 |, |x2 |}(|x1 | + |x2 |)
.
|x1 − x2 |
5
Número de condición del producto de matrices y vectores
Dada A ∈ Fm×n , calcular Ax para x ∈ Fn×1
n
m
n
X
P
aij xj
f (x) = Ax =
⇒ fi (x) =
aij xj , i = 1, 2, . . . m.
j=1
i=1
j=1
∂fi
= aij ⇒ f 0 (x) = A.
∂xj
kAk kxk
kf 0 (x)k
=
κ=
kf (x)k/kxk
kAxk
kAxk
Como kAk := máx
,
x6=0 kxk
kAxk ≤ kAk kxk ⇒ κ ≥ 1.
Si A es cuadrada y no singular : x = A−1 Ax
kxk = kA−1 Axk ≤ kA−1 k kAxk ⇒ κ ≤ kAk kA−1 k.
6
Número de condición de una matriz
Problema: Dada A ∈ Gln (F), resolver Ax = b para b ∈ Fn :
f (b) = A−1 b
κ = kA−1 k
kbk
≤ kA−1 k kAk = kAk kA−1 k.
−1
kA bk
Definición
Si A ∈ Gln (F), kAk kA−1 k recibe el nombre de número de
condición de la matriz A y se denota por κ(A). Cumple que
κ(A) ≥ 1, y si κ(A) es un número próximo a 1 se dice que A es
una matriz bien condicionada; y si es mucho mayor que 1, que es
mal condicionada.
Depende de la norma de matriz.
σ1
κ2 (A) = kAk2 kA−1 k2 =
.
σn
Si A singular: σn = 0 y κ =00 ∞00 : A muy mal condicionada.
7
Condicionamiento y singularidad
A puede tener determinante casi cero y estar muy bien
condicionada:
−7
−10
10
10
A=
−10
10
10−7
σ2 = 0,0999 · 10−6 , σ1 = 0,1001 · 10−6
σ1
κ2 (A) =
= 1,00200200200200
σn
Para A ∈ Fm×n , m ≥ n
κ(A) = kAk kA† k
y κ2 (A) =
σ1
σn
Si U es unitaria:
σ1 = · · · = σn = 1 ⇒ κ2 (U) = 1.
8
Condicionamiento de los sistemas lineales
Teorema
Sea b ∈ Fn un vector no nulo y consideremos el problema de hallar
la solución del sistema Ax = b para A ∈ Gln (F). El número de
condición de este problema es
κ = kAk kA−1 k = κ(A).
f
: Gln (F) →
Fn
A
; x = A−1 b
Recordemos: Gln (F) es un conjunto abierto de Fn×n .
Corolario
Si A ∈ Fn×n es no singular
1
kδAk2
= mı́n
: A + δA singular .
κ2 (A)
kAk2
9