10-controladoresdecancelación ii- tiempo finito

SISTEMASDECONTROL
PRÁCTICASDESISTEMASDECONTROL
CONTROLADORESDECANCELACIÓNII–Controladoresdetiempofinito
1. OBJETIVOS
Losobjetivosdeestaprácticason:
• Repasarlosproblemasdeloscontroladoresdetiempomínimo
•
Diseñaryexperimentarconcontroladoresdetiempofinito
2. CONTROLADORESDETIEMPOFINITO
En esta práctica vamos a estudiar los controladores de tiempo finito, que permiten eliminar
rápidamente el error entre la salida del sistema y la señal de referencia, evitando al mismo
tiempoelfenómenode“oscilacionesocultas”quesepuedeproducirenloscontroladoresde
tiempo mínimo. Dadas las funciones de transferencia en bucle cerrado 𝑀 𝑧 #$ y en bucle
abierto𝐺 𝑧 #$ ,unregulador𝑅 𝑧 #$ detiempofinitosecalculasegúnlasiguienteexpresión:
𝑅 𝑧 #$ =
𝑀 𝑧 #$
1
·
#$
1−𝑀 𝑧
𝐺 𝑧 #$
(1)
dondelafuncióndetransferencia𝑀 𝑧 #$ enbuclecerradodebesatisfacerlassiguientesdos
restricciones:
𝑀 𝑧 #$ = 𝑧 #+ · 𝐵 𝑧 #$ · 𝑀$ 𝑧 #$ 1 − 𝑀 𝑧 #$ = 1 − 𝑧 #$
-./ $01,1 3
· 𝐴# 𝑧 #$ · 𝑀5 𝑧 #$ donde:
•
•
•
•
•
𝑑eselretardodelaplanta𝐺 𝑧 #$ 𝑣eselordendelaentrada(𝑣=0paraunescalón,𝑣=1paraunarampa,etc.)
𝑣'eselnúmerodepolosquetiene𝐺 𝑧 #$ en𝑧=1
𝐵 𝑧 #$ esunpolinomiocontodosloscerosde𝐺 𝑧 #$ (esténfuera,dentroosobreel
círculo unidad), en el formato: 𝐵 𝑧 #$ = 1 − 𝑐$ 𝑧 #$ 1 − 𝑐5 𝑧 #$ ··· 1 − 𝑐9 𝑧 #$ ,
donde𝑤eselnúmerodecerosde𝐺.
𝐴# 𝑧 #$ esunpolinomiocontodoslospolosde𝐺 𝑧 #$ fueradelcírculounidad,enel
formato: 𝐴# 𝑧 #$ = 1 − 𝑝$ 𝑧 #$ 1 − 𝑝5 𝑧 #$ ··· 1 − 𝑝< 𝑧 #$ , donde 𝑞 es el número
•
•
depolosde𝐺fueradelcírculounidad
Elgradodelpolinomio𝑀 𝑧 #$ es:𝑑 + 𝑤 + 𝑞 + 𝑚𝑎𝑥 1 + 𝑣, 𝑣 B − 1
𝑀$ 𝑧 #$ y𝑀5 𝑧 #$ sondospolinomiosen𝑧 #$ ,conelgradoapropiado
PrácticasdeAutómatasySistemasdeControl,sesión20
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El cálculo del regulador de tiempo finito se reduce a calcular los polinomios 𝑀$ 𝑧 #$ y
𝑀5 𝑧 #$ paraobtener𝑀 𝑧 #$ y,finalmente,calcularelregulador𝑅 𝑧 #$ usandolaecuación
(1)anterior.
Enestaprácticavamosadiseñaryanalizarcontroladoresdetiempofinitoparaelservo,tanto
en velocidad como en posición. Para ello, utilizaremos las funciones de transferencia (en
posiciónyvelocidad)identificadasenlaprácticaanterior.
2.DISEÑODELOSCONTROLADORESDETIEMPOFINITOENVELOCIDADYPOSICIÓN
El primer paso para diseñar un controlador de tiempo finito es discretizar la función de
transferenciadelsistemacontinuoacontrolar(enestecaso,lasfuncionesdetransferenciaen
velocidadyenposición).EnMatlab,podemosdiscretizarcomosigue:
>> [numd, dend] = c2dm(num,den,0.01,’zoh’)
>> Gz = zpk(filt(numd,dend,0.01))
Enloscomandosanteriores,numydensonloscoeficientesdelnumeradorydeldenominador
de la función de transferencia continua, c2dm obtiene el numerador y denominador de la
funcióndiscretizada,filtcreaunafuncióndetransferenciadiscretaenpotenciasnegativasde
𝑧,yzpkcrealafuncióndetransferenciaenformatozero-pole-gain,queeselsiguiente:
𝐺 𝑧 #$ =
𝑈 · 𝑧 #+ · (1 − 𝑐E 𝑧 #$ )
(1 − 𝑝G 𝑧 #$ )
Deestaformaobtenemos𝐺enunformatoútilparadiseñarelcontroladordetiempofinito,ya
que aparecen de forma explícita el retardo 𝑑, la ganancia 𝑈, los factores de los polos (1 −
𝑝G 𝑧 #$ ) y los factores de los ceros (1 − 𝑐E 𝑧 #$ ). Una vez tenemos la función de transferencia
discretizadayenelanteriorformato,deberánplantearseyresolverselasecuacionesdediseño
delreguladordetiempofinito,vistasalprincipiodeesteguion.
3.SIMULACIÓNDELOSCONTROLADORESDETIEMPOFINITO
Unavezdiseñadoelcontroladordetiempofinitoparaelservoenvelocidadyenposición,se
debe comprobar su funcionamiento en simulación. Para ello, se debe simular el siguiente
esquemadecontrolenSimulink:
PrácticasdeAutómatasySistemasdeControl,sesión20
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Laentradaesunescalónde4unidades.ElbloqueReselreguladordetiempofinitocalculado,
mientrasqueelbloqueGseslafuncióndetransferenciacontinuadelsistemaacontrolar,sin
discretizar (sistema en velocidad o en posición, según corresponda). La acción de control
calculada por el regulador se envía al sistema continuo a través de un bloqueador de orden
cero,disponibleenlalibrería‘Discrete’deSimulink.LasalidadelsistemacontinuoGspuede
muestrearsemedianteunafuncióndetransferenciadiscretaunitaria,comosemuestraenla
anteriorfigura(‘DiscreteTransferFcn’).Debeconfigurarseelperiododemuestreodetodoslos
bloquesa0.01segundos.Además,sedeberáconfigurarlasimulacióncomosigue:
Simulaelanterioresquemadecontrolenvelocidadyrespondealassiguientespreguntas.
-
-
Visualiza la salida muestreada, en el bloque Scope situado más a la derecha de la
imagen anterior. ¿Alcanza la salida el valor de referencia, o existe error en régimen
permanente?
¿Cuál es el tipo del conjunto planta + regulador? (para ver esto, considera la planta
discretizada).¿Justificaestoelerrorobservadoenlapreguntaanterior?
¿Encuántasmuestrasalcanzalasalidaelvalorfinal?
¿Cómoeslaaccióndecontrol?¿Estáenconsonanciaconelcomportamientodinámico
exigidoalaplanta?
¿Cómo es la función de transferencia del sistema en lazo cerrado? Interpreta dicha
funcióndetransferenciaycompáralaconlasalidadiscretaobtenida.
Observa la salida continua, es decir, la salida del bloque de función de transferencia
continuaGs.¿Coincideconlasalidadiscretizada?
A continuación, simula el esquema de control en posición y responde de nuevo a las
cuestionesanteriores.
PrácticasdeAutómatasySistemasdeControl,sesión20
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