Use el método de variación de parámetros para mostrar que y(t

Use el método de variación de parámetros para mostrar que
Z t
y(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t) +
f (s) sin(t − s)ds
0
es una solución general de la ecuación y 00 + y = f (t), donde f (t) es una función continua en (−∞, ∞).
[Sugerencia: use la identidad trigonométrica sin(t − s) = sin(t) cos(s) − sin(s) cos(t).]
Ayuda para la solución: no es difı́cil mostrar que dos soluciones l.i. para la ecuación homogénea
asociada son y1 (t) = cos(t) y y2 (t) = sin(t) (hay que hacerlo¡¡¡). Resolviendo el sistema funcional
deterR
minado Ren el método de variación de parámetros e integrando, tenemos que v1 (t) = − sin(t)f (t)dt y
v2 (t) = cos(t)f (t)dt y, en consecuencia, una solución particular para la ED no homogénea está dada
por
Z
Z
yp (t) = − cos(t)
sin(t)f (t)dt + sin(t)
cos(t)f (t)dt.
Ahora,
dado que f (s) sin(s) es una función continua, ella tiene antiderivada, digamos F (s), y por tanto
Rt
0 f (s) sin(s)ds = F (t) −RF (s) donde F (t) es una antiderivada de f (t) sin(t) (lo único que hemos hecho
es reescribir la integral sin(t)f (t)dt en términos de una de sus antiderivadas y como una integral
Rt
definida).
Dado
que
sólo
necesitamos
una
solución
particular,
podemos
escribir
0 f (s) sin(s)ds en lugar
R
R
de sin(t)f (t)dt, lo mismo para cos(t)f (t). De manera que,
Z
t
Z
t
yp (t) = − cos(t)
sin(s)f (s)ds + sin(t)
cos(s)f (s)ds
0
0
Z t
Z t
=−
cos(t) sin(s)f (s)ds +
sin(t) cos(s)f (s)ds
0
0
Z t
=
f (s)(sin(t) cos(s) − cos(t) sin(s))ds
0
Z t
f (s)(sin(t − s)ds
=
0
Asi que
Z
t
f (s) sin(t − s)ds
y(t) = c1 cos(t) + c2 sin(t) +
0
es una solución general de la ecuación y 00 + y = f (t), tal y como se querı́a mostrar.
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