RANGO DE UNA MATRIZ.TEOREMA DE ROUCHE

RANGO DE UNA MATRIZ.TEOREMA DE
ROUCHE-FROBENIUS
JUAN JOSÉ ISACH MAYO
Dedicado a mi compañero Antonio Manresa por su gran labor en favor de la difusión de las
Matemáticas.
1. Cálculo del Rango de una matriz
0
1
1 1 1
B 2 ¡1 3 C
C
Exercise 1.1. Calcular el rango de la siguiente matriz A = B
@ 1 ¡2 2 A
3 0 4
Por Gauss
0
1
0
1
1 1 1
1 1 1
µ
¶
B 2 ¡1 3 C
B
C
C = Rango B 0 ¡3 1 C = Rango 1 1 1
Rango B
=2
@ 1 ¡2 2 A
@ 0 ¡3 1 A
0 ¡3 1
3 0 4
0 ¡3 1
Utilizando menores complementarios
– ¯Por …filas¯
¯ 1 1 ¯
¯ = ¡3 (no nulo) . Las …las 1a y 2a son L.I! RangoA ¸ 2
Como ¯¯
2 ¡1 ¯
¿La tercera …fila es C.Lineal de las dos primeras?
¯
¯
¯ 1 1 ¯
¯
¯ con la tercera …fila y la tercera
Para saberlo, tendré que orlar el menor ¯
2 ¡1 ¯ ¯
¯
¯ 1 1 1 ¯
¯
¯
columna; obteniendo el siguiente menor de orden 3 ¯¯ 2 ¡1 3 ¯¯ Si fuese nulo,
¯ 1 ¡2 2 ¯
la 3a …fila sería C.Lineal de las dos primeras; en caso contrario las tres serían L.
Independientes
¯
¯
¯ 1 1 1 ¯
¯
¯
Como ¯¯ 2 ¡1 3 ¯¯ = 0 entonces la 3a …fila es C.lineal de las dos primeras!
¯ 1 ¡2 2 ¯
RangoA ¸ 2
De las tres primeras …filas, sabemos que las dos primeras son L.independientes.
Ahora bien nos falta plantear la siguiente pregunta: ¿La cuarta …fila es C.Lineal de
las dos primeras?
¯
¯
¯ 1 1 ¯
¯ con la cuarta …la y la tercera
Para saberlo, tendré que orlar el menor ¯¯
2 ¡1 ¯ ¯
¯
¯ 1 1 1 ¯
¯
¯
columna; obteniendo el siguiente menor de orden 3 ¯¯ 2 ¡1 3 ¯¯. Si fuese nulo,
¯ 3 0 4 ¯
Date : December 16, 1999.
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1
2
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
la 4a …fila sería C.Lineal de las dos primeras; en caso contrario las …filasa ,2
1 a y 4a
serían L. ¯Independientes
¯
¯ 1 1 1 ¯
¯
¯
Como ¯¯ 2 ¡1 3 ¯¯ = 0 entonces la 4a …fila es C.lineal de las dos primeras
¯ 3 0 4 ¯
Conclusión: Las únicas …filas L.Independientes son la a1 la 2a ! RangoA = 2
– ¯Por columnas
¯
¯ 1 1 ¯
¯
¯ = ¡3 (no nulo) . Las columnas 1a y 2a son L.I! RangoA ¸ 2
Como ¯
2 ¡1 ¯
¿La tercera columna es C.Lineal de las dos¯ primeras?
¯
¯ 1 1 ¯
¯ con la restantes …las y la
Para saberlo, tendré que orlar el menor ¯¯
2 ¡1 ¯
¯
¯
¯ 1 1 1 ¯
¯
¯
tercera columna; obteniendo los siguientes menores de orden 3 ¯¯ 2 ¡1 3 ¯¯ y
¯ 1 ¡2 2 ¯
¯
¯
¯ 1 1 1 ¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 3 ¯ Si fuesen nulos, la 3a columna sería C.Lineal de las dos primeras
¯
¯
¯ 1 ¡2 2 ¯
(rangoA=2);
¯ en caso contrario
¯
¯ las tres serían
¯ L. Independientes (RangoA = 3)
¯ 1 1 1 ¯
¯ 1 1 1 ¯
¯
¯
¯
¯
Como ¯¯ 2 ¡1 3 ¯¯ = 0 y ¯¯ 2 ¡1 3 ¯¯ = 0 entonces la 3a columna es C.lineal
¯ 1 ¡2 2 ¯
¯ 3 0 4 ¯
de las dos primeras
Conclusión: Las únicas columnas L.Independientes son la 1a la 2a ! RangoA = 2
¯
¯
¯ ¡k 4
5
6 ¯¯
¯
¯ ¡k 1
2
3 ¯¯
¡1
Exercise 1.2. Sea C = ¯¯
b)
¯, encontrar k para que a) 9C
¡k
¡k
0
¡1
¯
¯
¯ ¡k ¡k ¡k ¡1 ¯
RangoC = 3
¯
¯
¯
¯
¯ ¡k 4
¯ 1 4
5
6 ¯¯
5
6 ¯¯
¯
¯
¯ ¡k 1
¯ 1 1
2
3 ¯¯ 1
2
3 ¯¯
Calculo jCj = ¯¯
= ¡k ¯¯
¯
¯=
¯ ¡k ¡k 0 ¡1 ¯
¯ 1 ¡k 0 ¡1 ¯
¯ ¡k ¡k ¡k ¡1 ¯
¯ 1 ¡k ¡k ¡1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
¯ 1
4
5
6 ¯¯
4
5
6 ¯¯
¯
¯
¯ 0
¡3
¡3
¡3 ¯¯ 3 ¯¯ 0
1
1
1 ¯¯
=2 ¡k ¯¯
= 3k ¯
=, deter¯
¡5
¡7 ¯
¡5
¡7 ¯¯
¯ 0 ¡k ¡ 4
¯ 0 ¡k ¡ 4
¯ 0 ¡k ¡ 4 ¡k ¡ 5 ¡7 ¯
¯ 0 ¡k ¡ 4 ¡k ¡ 5 ¡7 ¯
2
minant: ¯¡3k + k
¯
¯
1
1
1 ¯¯
¯
=4 3k ¯¯ ¡k ¡ 4
¡5
¡7 ¯¯ = 3k(¡3k + k2 ) = 3k 2 (k ¡ 3)
¯ ¡k ¡ 4 ¡k ¡ 5 ¡7 ¯
Valores que anulan el determinante de C
3k2 (k ¡ 3) = 0 ! k = 0 y k = 3
1 Por
ser lineal el determinante con respecto a cada columna
3a0 fil=3a …l-1a …l; 4a0 f il=4a …l-1a …l
3 Por ser lineal el determinante con respecto a cada …la
4 Calculando el determinante por los adjuntos de la primera columna
2 2 a0 f il=2 a …l-1 a …l;
RAN G OS Y RO UC HE
3
Casos:
I) Si k 6= 0 y k 6= 3 ! jCj 6= 0 ! RangoC = 4 y además C es regular (C admite
inversa)
II)Si k = 0 ! jCj = 0 ! RangoC
0
0 4
B 0 1
Estudiemos su rango rang B
@ 0 0
0 0
0
1
0
1 2 3
= rang @ 4 5 6 A = rang @
0 0 ¡1
<4
5
2
0
0
1
0
6
B
3 C
C = rang B
A
@
¡1
¡1
1
1 2
3
0 ¡3 ¡6 A = 3
0 0
¡1
II)Si k = 3 ! jCj = 0 ! RangoC
<4
0
¡3 4
5
B ¡3 1
2
Estudiemos su rango rang B
@ ¡3 ¡3 0
¡3 ¡3 ¡3
0
1
0
1
1 4
5
6
B 0
B 0 ¡3 ¡3 ¡3 C
B
C
= rang B
@ 0 ¡7 ¡5 ¡7 A = rang @ 0
0
0 0 ¡7 ¡8 1¡7
1 4 5 6
= rang @ 0 1 1 1 A = 3
0 0 2 0
4
1
0
0
5
2
0
0
1
0
6
4
C
3 C
@ 1
=
rang
¡1 A
0
¡1
1
0
6
1 4
5
B 1 1
3 C
2
C = rang B
@ 1 ¡3 0
¡1 A
¡1
1 ¡3 ¡3
0
1
1
4
5
6
B 0
1
1
1 C
C = rang B
@ 0
¡7 ¡5 ¡7 A
0
¡7 ¡8 ¡7
0
1
6
3 C
C=
¡1 A
¡1
4
1
0
0
5
1
2
¡1
1
5 6
2 3 A=
0 ¡1
1
6
1 C
C=
0 A
0
1
1 ¡2 3 4 5
B ¡2 3 1 0 1 C
C
Exercise 1.3. Calcula el rango por columnas de la matriz A = B
@ 3 ¡5 2 4 3 Autilizando
¡1 1 4 4 7
determinantes
¯
¯
¯ 1 ¡2 ¯
a
a
¯
¯
¯ ¡2 3 ¯ = 3 ¡ 4 = ¡1 ! RangoA ¸ 2 ya que la 1 y 2 columnas son
L.Independientes
¿La 3a col es combinación lineal de la 1a y la 2a ?
Para saberlo; tendré que orlar el menor anterior no nulo con la tercera columna
y el resto de …las para obtener todos los menores de orden tres donde intervengan
las¯columnas 1a ,2¯a y ¯3a .
¯
¯ 1 ¡2 3 ¯ ¯ 1 ¡2 3 ¯
¯
¯ ¯
¯
¯ ¡2 3 1 ¯ y ¯ ¡2 3 1 ¯ .Si fuesen los dos nulos, la 3a columna sería
¯
¯ ¯
¯
¯ 3 ¡5 2 ¯ ¯ ¡1 1 4 ¯
C.L de la 1a y la 2a . En caso contrario (al menos uno no nulo) las tres columnas
serían L.Independientes
¯
¯
¯
¯
¯ 1 ¡2 3 ¯
¯ 1 ¡2 3 ¯
¯
¯
¯
¯
Como ¯¯ ¡2 3 1 ¯¯, = 0 y¯¯ ¡2 3 1 ¯¯= 0 !la 3a columna es C.L de la 1a
¯ 3 ¡5 2 ¯
¯ ¡1 1 4 ¯
y la 2a
¿La 4a col es combinación lineal de la 1a y la 2a ?
4
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
Para saberlo; tendré que orlar el menor anterior no nulo con la cuarta columna
y el resto de …filas para obtener todos los menores de orden tres donde intervengan
las¯columnas 1a ,2¯a y ¯4a .
¯
¯ 1 ¡2 4 ¯ ¯ 1 ¡2 4 ¯
¯
¯ ¯
¯
¯ ¡2 3 0 ¯ y ¯ ¡2 3 0 ¯ .Si fuesen nulos, la 4a columna sería C.L de
¯
¯ ¯
¯
¯ 3 ¡5 4 ¯ ¯ ¡1 1 4 ¯
la 1a y la 2a . En caso contrario (al menos uno no nulo) las tres columnas serían
L.Independientes
¯
¯
¯
¯
¯ 1 ¡2 4 ¯
¯ 1 ¡2 4 ¯
¯
¯
¯
¯
Como ¯¯ ¡2 3 0 ¯¯=0 y ¯¯ ¡2 3 0 ¯¯ = 0 !la 4a columna es C.L de la 1a
¯ 3 ¡5 4 ¯
¯ ¡1 1 4 ¯
a
y la 2
¿La 5a col es combinación lineal de la 1a y la 2a ?
Para saberlo; tendré que orlar el menor anterior no nulo con la quinta columna
y el resto de …filas para obtener todos los menores de orden tres donde intervengan
las¯columnas 1a ,2¯a y ¯5a .
¯
¯ 1 ¡2 5 ¯ ¯ 1 ¡2 5 ¯
¯
¯ ¯
¯
¯ ¡2 3 1 ¯ y ¯ ¡2 3 1 ¯ .Si fuesen nulos, la 5a columna sería C.L de
¯
¯ ¯
¯
¯ 3 ¡5 3 ¯ ¯ ¡1 1 7 ¯
la 1a y la 2a . En caso contrario (al menos uno no nulo) las tres columnas serían
L.Independientes
¯
¯
¯ 1 ¡2 5 ¯
¯
¯
Como ¯¯ ¡2 3 1 ¯¯=1 !la 5a columna no es C.L de la 1a y la 2a
¯ 3 ¡5 3 ¯
Las columnas 1a ,2a y 5a son L.I y además la 3a es C.L. de la 1a y la 2a ; al igual
que ocurre con la 4a
Por lo tanto RangA = 3
0
1
1 1
¡1 2
B a 1
1
1 C
C según los
Exercise 1.4. Calcula el rango de la matriz A = B
@ 1 ¡1 3
¡3 A
4 2
0
a
valores del parámetro a
¯
¯
¯ ¯
¯
¯ 1 1
0
0
0
¡1 2 ¯¯ ¯¯ 1
¯
¯
¯ a 1
¯
¯
1
1 ¯ ¯ a 1 ¡ a 1 + a 1 ¡ 2a ¯¯
¯
=
=
¯ 1 ¡1 3
¡3 ¯¯ ¯¯ 1 ¡2
4
¡5 ¯¯
¯
¯ 4 2
0
a ¯ ¯ 4¯ ¡2
4
a¡8 ¯
¯
¯ 1 ¡ a 1 + a 1 ¡ 2a ¯
¯
¯
4
¡5 ¯¯ = ¡2a2 + 12a ¡ 18 = ¡2(a ¡ 3)2 ,
= ¯¯ ¡2
¯ ¡2
4
a¡8 ¯
I) Si a 6= 3 ! jAj 6= 0 ! RangoA = 4
II)Si 0
a = 3 ! jAj = 0 ! RangoA
< 40
1
1
1 1 ¡1 2
1 1 ¡1 2
B 3 1
B 0 ¡2 4 ¡5 C
1
1 C
C
B
C
Rang B
@ 1 ¡1 3 ¡3 A = Rang @ 0 ¡2 4 ¡5 A =
4 2
0
3
0 ¡2 4 ¡5
0
1
0
1
1 1 ¡1 2
1 1 ¡1 2
= Rang @ 0 ¡2 4 ¡5 A = Rang @ 0 ¡2 4 ¡5 A = 2
0 ¡2 4 ¡5
0 0
0
0
RAN G OS Y RO UC HE
0
5
1
a
a¡1 1
A según
Exercise 1.5. Calcula el rango de la matriz A = @ a + 2 1
1
a+1 0
a+1
los valores del parámetro a
¯
¯
¯
¯
¯ a
¯
¯ a
a¡1 1
a ¡ 1 1 ¯¯
¯
¯
¯
¯ = (a + 1) ¯ a + 2 1
1
1 ¯¯ = (a + 1)(a ¡ a2 ) =
jAj = ¯¯ a + 2 1
¯
¯
¯ a+1 0
¯
¯
a+1
1
0
1 ¯
= ¡a (a ¡ 1) (a + 1)
Valores que anulan jAj 8
< a=0
¡a (a ¡ 1) (a + 1) = 0 !
a=1
:
a = ¡1
I)Si a 6= 0 y a 6= 1 y a 6= ¡1 ! jAj 6= 0 ! RangoA = 3
II) Si0a = 0 ! jAj =
<3
1 0 ! RangoA
0
1
0
1
0 ¡1 1
1 0
1
1 0
1
rang @ 2 1
1 A = rang @ 2 1
1 A = rang @ 0 1
¡1 A =
1 ¶
0 ¡1 1
0 ¡1 1
µ1 0
1 0 1
= rang
=2
0 1 ¡1
III)Si0a = 1 ! jAj
<3 1
1 = 0 ! RangoA
0
1 0 1
1 0 1
rang @ 3 1 1 A = rang @ 0 1 ¡2 A = 2
2 0 2
0 0 0
IV )Si0a = ¡1 ! jAj =
0
!
RangoA
<3
1
µ
¶
¡1 ¡2 1
¡1 ¡2 1
rang @ 1
1
1 A = rang
=2
1
1
1
0
0
0
6
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
2. Regla de Cramer.Teorema de Rouche-Frobenius
Interpretación matricial de un sistema8de ecuacione lineales
a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a1;n xn = b1
>
>
>
>
< a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a2;n xn = b2
Dado el sistema de ecuaciones lineales
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
>
>
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
>
>
:
am;1 x1 + am;2 x2 + am;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +am;n xn = bm
0
1
x1
B x2 C
B
C
C
resolverlo es equivalente a obtener la matriz columna X B
B ¢ C denominada ma@ ¢ A
xn
triz de
las
incógnitas
tal
que
se
verifica
la
relación
matricial
A ¢ X = B donde
1
0
a1;1 a1;2 a1;3 ..... a1;n
B a2;1 a2;2 a2;3 ...... a2;n C
C
B
C
A=B
B a3;1 a3;2 a3;3 ...... a3;n C es la matriz de coeficientes del sistema
@ .....
..... ...... ...... .... A
am;2 am;3 ::::: am;n
0am;1 1
b1
B b2 C
B
C
C
yB=B
B b3 C es la matriz columna de los términos independientes
@ ..... A
bm
8
< 2x ¡ 3y + z = 1
Example 2.1. Resolver el sistema
3x ¡ y + z = ¡2
:
x + 2y = 0
Resolver el sistema anterior equivale a resolver la siguiente ecuación matricial
A¢X =B
0
10
1 0
1
2 ¡3 1
x
1
@ 3 ¡1 1 A @ y A = @ ¡2 A
1 2 0
z
0
Resuelve este sistema por Gauss y comprueba que no admite solución. En este
caso, no existe ninguna matriz columna X que verifique la ecuación matricial A¢X =
B
RAN G OS Y RO UC HE
7
Regla de Cramer:
Hipótesis
8
a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a1;n xn = b1
>
>
>
>
< a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a2;n xn = b2
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
Dado el sistema de ecuaciones lineales
>
>
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
>
>
:
a
x
n;1
¯ 1 + an;2 x2 + an;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +an;n xn = bn
¯
¯ a1;1 a1;2 a1;3 ..... a1;n ¯
¯
¯
¯ a2;1 a2;2 a2;3 ...... a2;n ¯
¯
¯
tal que jAj = ¯¯ a3;1 a3;2 a3;3 ...... a3;n ¯¯ 6= 0 (la matriz A admite inversa)
¯ ..... ..... ...... ...... .... ¯
¯
¯
¯ an;1 an;2 an;3 ::::: an;n ¯
Tesis
El sistema es compatible determinado y además las soluciones vienen dadas
por:_
¯
¯
¯
¯
¯ b1 a1;2 a1;3 ..... a1;n ¯
¯ a1;1 b1 a1;3 ..... a1;n ¯
¯
¯
¯
¯
¯ b2 a2;2 a2;3 ...... a2;n ¯
¯ a2;1 b2 a2;3 ...... a2;n ¯
¯
¯
¯
¯
¯ b3 a3;2 a3;3 ...... a3;n ¯
¯ a3;1 b3 a3;3 ...... a3;n ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ..... ..... ...... ...... .... ¯
¯ ..... ..... ...... ...... .... ¯
¯
¯
¯
¯
¯ bn an;2 an;3 ::::: an;n ¯
¯ an;1 bn an;3 ::::: an;n ¯
x1 =
x2 =
jAj
jAj
¯
¯
¯ a1;1 a1;2 b1
..... a1;n ¯¯
¯
¯ a2;1 a2;2 b2 ...... a2;n ¯
¯
¯
¯ a3;1 a3;2 b3 ...... a3;n ¯
¯
¯
¯ ..... ..... ...... ...... .... ¯
¯
¯
¯ an;1 an;2 bn
::::: an;n ¯
x3 =
........................
jAj
¯
¯
¯ a1;1 a1;2 a1;3 ..... b1 ¯
¯
¯
¯ a2;1 a2;2 a2;3 ...... b2 ¯
¯
¯
¯ a3;1 a3;2 a3;3 ...... b3 ¯
¯
¯
¯ ..... ..... ...... ...... .... ¯
¯
¯
¯ an;1 an;2 an;3 ::::: bn ¯
.....................
xn =
jAj
Demostración
Resolver el sistema es equivalente a resolver una
A ¢ X = B esto es:
0
10
a1;1 a1;2 a1;3 ..... a1;n
x1
B a2;1 a2;2 a2;3 ...... a2;n C B x2
B
CB
B a3;1 a3;2 a3;3 ...... a3;n C B ¢
B
CB
@ ..... ..... ...... ...... .... A @ ¢
an;1 an;2 an;3 ::::: an;n
xn
ecuación matricial del tipo
1
0
C B
C B
C=B
C B
A @
b1
b2
b3
.....
bn
1
C
C
C
C
A
Como A es regular por hipótesis; entonces A admite inversa A¡1 . Si multiplicamos
la relación matricial A ¢ X = B por A¡1 tendremos:
A¡1 ¢ (A ¢ X) = A¡1 ¢ B
8
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
Por la propiedad asociativa del producto de matrices
¡ ¡1
¢
A ¢ A ¢ X = A¡1 ¢ B
Por ser A¡1 la matriz inversa sabemos que A¡1 ¢ A = I donde I es la matriz
identidad; por lo que:
I ¢ X = A¡1 ¢ B
Como la matriz identidad, I, es el elemento neutro para el producto de matrices;
entonces I ¢ X = X. Con lo que la solución del sistema es única (al ser A¡1 única)
y se obtiene a partir de :
X = A¡1 ¢ B
Con lo que queda demostrado que el sistema es compatible determinado
Obtengamos ahora las soluciones
0
1t
A1;1 A1;2 A1;3 ..... A1;n
B A2;1 A2;2 A2;3 ...... A2;n C
C
1
1 B
Como A¡1 =
¢ (Adj(A))t =
¢B
A3;1 A3;2 A3;3 ...... A3;n C
B
C
jAj
jAj @
.....
..... ...... ...... .... A
An;1 An;2 An;3 ::::: An;n
1
0
An;1
A1;1 A2;1 A3;1
.....
B jAj
jAj
jAj
jAj C
B A
An;2 C
C
B 1;2 A2;2 A3;2
......
C
B
B jAj
jAj
jAj
jAj C
B
An;3 C
A¡1 = B A1;3 A2;3 A3;3
Cdonde Ai;j es el adjunto del ai;j de
......
C
B
jAj
jAj
jAj C
B jAj
B .....
.....
...... ......
.... C
C
B
@ A1;n A2;n A3;n
An;n A
:::::
jAj
jAj
jAj
jAj
la matriz A
Entonces; por ser X = A¡1 ¢ B, tendremos:
0
1
A1;1 A2;1 A3;1
An;1
.....
jAj
jAj
jAj C 0
1
0
1 B
B AjAj
An;2 C
b1
x1
B 1;2 A2;2 A3;2
C
......
B
C
B x2 C B jAj
b2 C
jAj
jAj
jAj C B
C
B
C
C B
B
C
B x3 C = B
A
A
A
A
1;3
2;3
3;3
n;3 C ¢
B b3 C
B
C B
......
B
C
@
@ ...... A B jAj
...... A
jAj
jAj
jAj C
B .....
C
.....
......
......
....
xn
bn
B
C
@ A1;n A2;n A3;n
An;n A
:::::
jAj
jAj
jAj
jAj
Operando tendremos
0
1
A1;1
A2;1
A3;1
An;1
¢ b1 +
¢ b2 +
¢ b3 + ::: +
¢ bn
C
jAj
jAj
jAj
0
1 B
B AjAj
C
A2;2
A3;2
An;2
x1
B
C
1;2
¢
b
+
¢
b
+
¢
b
+
:::
+
¢
b
B
1
2
3
n C
B x2 C B jAj
C
jAj
jAj
jAj
B
C
C
B x3 C = B
A1;3
A2;3
A3;3
An;3
B
C
B
C B
¢
b
+
¢
b
+
¢
b
+
:::
+
¢
b
C
1
2
3
n
@ ...... A B jAj
jAj
jAj
jAj
C
B
C
......
xn
B
C
@ A1;n
A
A2;n
A3;n
An;n
¢ b1 +
¢ b2 +
¢ b3 + ::: +
¢ bn
jAj
jAj
jAj
jAj
RAN G OS Y RO UC HE
9
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a1;3 ..... a1;n
a2;3 ...... a2;n
a3;3 ...... a3;n
...... ...... ....
an;3 ::::: an;n
A1;1
A2;1
A3;1
An;1
x1 =
¢b1 +
¢b2 +
¢b3 +:::+
¢bn =
jAj
jAj
jAj
jAj
jAj
¯
¯ a1;1 b1 a1;3 ..... a1;n
¯
¯ a2;1 b2 a2;3 ...... a2;n
¯
¯ a3;1 b3 a3;3 ...... a3;n
¯
¯ ..... ..... ...... ...... ....
¯
¯ an;1 bn an;3 ::::: an;n
A1;2
A2;2
A3;2
An;2
x2 =
¢b1 +
¢b2 +
¢b3 +:::+
¢bn =
jAj
jAj
jAj
jAj
jAj
¯
¯ a1;1 a1;2 b1
..... a1;n
¯
¯ a2;1 a2;2 b2 ...... a2;n
¯
¯ a3;1 a3;2 b3 ...... a3;n
¯
¯ ..... ..... ...... ...... ....
¯
¯ an;1 an;2 bn
::::: an;n
A1;3
A2;3
A3;3
An;3
x3=
¢b1 +
¢b2 +
¢b3 +:::+
¢bn =
jAj
jAj
jAj
jAj
jAj
............
xn =
A1;n
A2;n
A3;n
An;n
¢b1 +
¢b2 +
¢b3 +:::+
¢bn =
jAj
jAj
jAj
jAj
Example 2.2. Resolver matricialmente el sistema
b1
b2
b3
.....
bn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a1;1
a2;1
a3;1
.....
an;1
a1;2
a2;2
a3;2
.....
an;2
a1;2
a2;2
a3;2
.....
an;2
8
<
a1;3
a2;3
a3;3
......
an;3
jAj
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
..... b1 ¯¯
...... b2 ¯¯
...... b3 ¯¯
...... .... ¯¯
::::: bn ¯
2x ¡ 3y + z = 1
3x ¡ y ¡ 2z = ¡2
:
x + 2y + 4z = 0
Resolver el sistema anterior es equivalente a resolver la siguiente ecuación matricial A ¢ X = B
0
10
1 0
1
2 ¡3 1
x
1
@ 3 ¡1 ¡2 A @ y A = @ ¡2 A
1 2
4
z
0
0
1
2 ¡3 1
Como A = @ 3 ¡1 ¡2 A es tal que jAj = 49; entonces A admite inversa, y en
102
4
1
2
1
0
7
7
1
1 A
concreto A¡1 = @ ¡ 27
7
7
1
1
¡ 7 17
7
Por el teorema anterior sabemos que X = A¡1 ¢ B
0
1 0
x
0
@ y A = @ ¡2
7
1
z
7
2
7
1
7
¡ 17
1
7
1
7
1
7
10
1
1
A @ ¡2 A
0
10
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
0
1 0 4 1
¡7
x
@ y A = @ ¡4 A
7
3
z
7
8
< x = ¡ 47
y = ¡ 47
Las soluciones son !
:
z = 37
Example 2.3. Resolver ahora con la regla de Cramer el sistema anterior
8
<
2x ¡ 3y + z = 1
3x ¡ y ¡ 2z = ¡2
:
x + 2y + 4z = 0
Como jAj = 49 entonces podemos aplicar la regla de Cramer para obtener las
soluciones del sistema
¯
¡3 1 ¯¯
¡1 ¡2 ¯¯
2
4 ¯
¡28
¡4
x=
=
=
49
49
7
¯
¯
¯ 2 1
¯
1
¯
¯
¯ 3 ¡2 ¡2 ¯
¯
¯
¯ 1 0
4 ¯
¡28
¡4
z=
=
=
49
49
7
¯
¯
¯ 2 ¡3 1 ¯
¯
¯
¯ 3 ¡1 ¡2 ¯
¯
¯
¯ 1 2
0 ¯
21
3
z=
=
= ,
49
49
7
¯
¯ 1
¯
¯ ¡2
¯
¯ 0
De…nicion: Denominaremos sistema de Cramer a aquél que tenga el mismo
número de ecuaciones que incógnitas y cuyo matriz de coeficientes sea regular
(determinante no nulo)
Interpretación vectorial de un sistema
Resolver un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a1;n xn = b1
a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a2;n xn = b2
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
am;1 x1 + am;2 x2 + am;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +am;n xn = bm
RAN G OS Y RO UC HE
11
0
B
B
¡
!
Equivale a determinar si el vector columna b = B
B
@
b1
b2
:
:
bm
1
C
C
C 2 <m es o no
C
A
0
B
B
!
combinación lineal de los siguientes n vectores de <m ¡
a1 = B
B
@
0
B
B
B
B
@
a1;1
a2;1
:
:
am;1
1
0
1
0
1
a1;2
a1;3
a1;n
B a2;3 C
B a2;n C
a2;2 C
C¡
B
C
B
C
¡
!
C!
B
C
B :
C
:
:
a
=
:::::
a
=
n
C 3 B
C
B
C
A
@ :
A
@ :
A
:
bm;2
am;3
am;n
Resumiendo:
8
> a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a1;n xn = b1
>
>
>
< a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a2;n xn = b2
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
Resolver
>
>
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
>
>
:
am;1 x1 + am;2 x2 + am;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +am;n xn = bm
1
C
C¡
C!
C a2 =
A
m
¡
!
!
!
!
an
Si 9x1 ; x2 ; :::::xn 2 <= b = x1 ¡
a 1 + x2 ¡
a 2 + :::: + xn ¡
Teorema
de Rouche-Frobenius:
8
a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a1;n xn = b1
a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a2;n xn = b2
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
Dado el sistema
>
>
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
>
>
:
a
m;1 x1 + am;2 x2 + am;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +am;n xn = bm
0
1
a1;1 a1;2 a1;3 ..... a1;n
B a2;1 a2;2 a2;3 ...... a2;n C
C
B
C
Si llamamos A = B
B a3;1 a3;2 a3;3 ...... a3;n C a la matriz de coefi@ .....
..... ...... ...... .... A
am;1
0 am;2 am;3 ::::: am;n
1
a1;1 a1;2 a1;3 ..... a1;n b1
B a2;1 a2;2 a2;3 ...... a2;n b2 C
B
C
0
C
cientes del sistema y A = B
B a3;1 a3;2 a3;3 ...... a3;n b3 C a la matriz
@ .....
..... ...... ...... .... ::: A
am;1 am;2 am;3 ::::: am;n bm
ampliada entonces el sistema anterior puede presentar las siguientes situaciones:
>
>
>
>
<
–
Compatible Determinado
–
Compatible Indeterminado () Rango (A) = Rango (A0 ) < n
(número de incógnitas)
() Rango (A) = Rango (A0 ) = n
(número de incógnitas)
– Incompatible () Rango (A) 6= Rango (A0 )
Demostración
12
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
8
>
>
>
>
<
0
B
B
B
B
@
a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a1;n xn = b1
a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a2;n xn = b2
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
Resolver
>
>
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
>
>
:
am;1 x1 + am;2 x2 + am;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +am;n xn = bm
m
¡
!
!
!
!
Si 9x1 ; x2 ; :::::xn 2 <= b = x1 ¡
a 1 + x2 ¡
a 2 + :::: + xn ¡
an
1
0
1
0
1
0
1
0
a1;1
a1;2
a1;3
b1
B a2;1 C
B a2;2 C
B a2;3 C
B b C
B
C ¡
B
C ¡
B
C
¡
! B 2 C
!
!
!
!
C;¡
B
C
B
C
B :
C ; :::::¡
:
:
:
a
=
;
a
=
;
a
=
an=
donde b = B
1
2
3
C
B
C
B
C
B
C
B
@ :
A
@ :
A
@ :
A
@ : A
bm
am;1
bm;2
am;3
1
a1;n
a2;n C
C
C son vectores de <m
:
C
A
:
am;n
Posibilidades:
¡
!
² Si el sistema es C.D() b es combinación lineal única de los vectores
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
!
!
!
!
a 1 ; a 2 ; a 3 ; ::::: a n ()El sistema de vectores S = f¡
a 1; ¡
a 2; ¡
a 3 ; :::::¡
a ng
es base de un subespacio vectorial H de <m ()
¡
!
!
!
!
!
!
!
a 2 ; :::::¡
a n >=< ¡
a 1; ¡
a 2 ; :::::¡
a n ; b >()
()< ¡
a 1; ¡
¡
!
!
!
!
!
!
!
!
!
() dim < ¡
a 1; ¡
a 2; ¡
a 3 ; :::::¡
a n >= dim < ¡
a 1; ¡
a 2; ¡
a 3 ; :::::¡
a n ; b >= n ()
() Rango (A) = Rango (A0 ) = n (número de incógnitas)
¡
!
² Si el sistema es C.I() b es combinación lineal no única de los vectores
¡
!
!
!
!
!
!
!
!
a ;¡
a ;¡
a ; :::::¡
a ()El sistema de vectores S = f¡
a ;¡
a ;¡
a ; :::::¡
a g
1
2
3
n
1
2
3
n
es ligado y además generador de un subespacio vectorial H de <m cuya
dim H = r5 < n ()
¡
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
()< ¡
a 1; ¡
a 2 ; :::::¡
a n >=< ¡
a 1; ¡
a 2 ; :::::¡
a n ; b >=< ¡
a 1; ¡
a 2 ; :::::¡
a r >()
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
!
!
dim < a 1 ; a 2 ; ::::: a n >= dim < a 1 ; a 2 ; ::::: a n ; b >= dim < a 1 ; ¡
a 2 ; :::::¡
a r >=r
() Rango (A) = Rango (A0 ) = r < n (número de incógnitas)
¡
!
² Si el sistema es Incompatible() b no es combinación lineal de los vectores
¡
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
¡
!
a 2; ¡
a 3 ; :::::¡
a n ()< ¡
a 1; ¡
a 2; ¡
a 3 ; :::::¡
a n >(< ¡
a 1; ¡
a 2; ¡
a 3 ; :::::¡
a n ; b >()
a 1; ¡
¡
!
!
!
!
!
!
!
!
!
() dim < ¡
a ;¡
a ;¡
a ; :::::¡
a > 6= dim < ¡
a ;¡
a ;¡
a ; :::::¡
a ; b >()
1
2
Rango (A) < Rango (A0 )
3
n
1
2
3
n
5 De este conjunto de vectores S podemos extraer r vectores linealmente independientes que
formarán la base de H . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que son los r primeros
RAN G OS Y RO UC HE
13
PROCEDIMIENTOS PARA RESOLVER SISTEMAS APLICANDO
ROUCHE
1. Estudiaremos si el sistema dado es o no compatible utilizando el Teorema de
Rouche-Frobenius
2. En caso de ser compatible rang(A) = rang(A0 ) = r , eliminaremos aquellas
ecuaciones cuyos coeficientes no intervengan en el menor principal, de orden r,
no nulo encontrado
– Si el sistema fuese compatible determinado entonces ya es un sistema de
Cramer y aplicaremos la susodicha regla
– Si el sistema fuese compatible indeterminado, entonces pasaremos al término independiente las incógnitas cuyos coeficientes no aparezcan en el
menor principal no nulo y procederemos a aplicar la regla de Cramer con
respecto a las incógnitas que queden a la izquierda
8
< 3x ¡ 2y + 3z = 2
Example 2.4. Resuelve el sistema
x ¡ 3y + 2z = ¡1
:
4x ¡ 5y + 5z = 3
0
1
0
1
3 ¡2 3
3 ¡2 3 2
Matriz de coe…cientes A = @ 1 ¡3 2 A Matriz ampliada A0 = @ 1 ¡3 2 ¡1 A
4 ¡5 5 3
4 ¡5 5
Estudiemos
el
rango
A
¯
¯
¯ 3 ¡2 3 ¯
¯
¯
jAj = ¯¯ 1 ¡3 2 ¯¯= 0 ! Rang(A) < 3 ya que las tres columnas son L.Dependientes
¯ 4 ¡5 5 ¯
¯
¯
¯ 3 ¡2 ¯
¯ = ¡7 ! Rango(A) = 2 ya que las dos primeras columnas son
Como ¯¯
1 ¡3 ¯
L.Independientes
0
Determinemos
el rang(A1
)
¯
¯
0
0
1
¯ 3 ¡2 2 ¯
3 ¡2 3 2
3 ¡2 2
¯
¯
rang @ 1 ¡3 2 ¡1 A =6 rang @ 1 ¡3 ¡1 A = 3 ya que ¯¯ 1 ¡3 ¡1 ¯¯ =
¯ 4 ¡5 3 ¯
4 ¡5 5 3
4 ¡5 3
¡14
Al ser Rang(A) = 2 y Rang(A0 ) = 3 !El sistema es incompatible
8
< 2x ¡ 3y + z = 1
Example 2.5. Resolver
3x ¡ y ¡ 2z = ¡2
:
x + 2y + 4z = 1
Como jAj = 49 entonces rang(A) = rang(A0 ) = 3 ! el sistema es compatible
determinado
Podemos aplicar la regla ¯de Cramer para ¯obtener las soluciones del sistema
¯ 1 ¡3 1 ¯
¯
¯
¯ ¡2 ¡1 ¡2 ¯
¯
¯
¯ 1
2
4 ¯
¡21
¡3
=
=
x=
49
49
7
¯
¯
¯ 2 1
1 ¯¯
¯
¯ 3 ¡2 ¡2 ¯
¯
¯
¯ 1 1
4 ¯
¡21
¡3
z=
=
=
49
49
7
6 La
3a col es C.L. de las dos primeras
14
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
¯
¯ 2
¯
¯ 3
¯
¯ 1
¯
¡3 1 ¯¯
¡1 ¡2 ¯¯
2
1 ¯
28
4
z=
=
=
49
49
7
8
3x ¡ 2y + 3z = 2
>
>
<
x ¡ 3y + 2z = ¡1
Example 2.6. Resuelve el sistema
4x ¡ 5y + 5z = 1
>
>
:
2x + y + z = 3
0
1
0
3 ¡2 3
3 ¡2 3 2
B 1 ¡3 2 C
B 1 ¡3 2 ¡1
0
C
B
Matriz de coeficientes A = B
@ 4 ¡5 5 A Matriz ampliada A = @ 4 ¡5 5 1
2 1
1
2 1
1 3
Estudiemos
el rango
A
¯
¯
¯ 3 ¡2 ¯
¯ = ¡7 ! las dos primeras columnas son L.Independientes
Como ¯¯
1 ¡3 ¯
Para saber si la 3a col de A es o no C.L de la 1a y la 2a tendré que considerar los
siguientes
menores
¯
¯ ¯de orden tres:¯
¯ 3 ¡2 3 ¯ ¯ 3 ¡2 3 ¯
¯
¯ ¯
¯
¯ 1 ¡3 2 ¯ y ¯ 1 ¡3 2 ¯
¯
¯ ¯
¯
¯ 4 ¡5 5 ¯ ¯ 2 1
1 ¯
Como los dos son nulos! Rango(A) = 2 por ser las dos primeras columnas L.I
y la 3a C.L de las anteriores
0
Determinemos
el rang(A1
)
0
0
1
3 ¡2 3 2
3 ¡2 2
B 1 ¡3 2 ¡1 C 7
B 1 ¡3 ¡1 C
C
B
C
rang B
@ 4 ¡5 5 1 A = rang @ 4 ¡5 1 A
1 3¯
2 1 ¯ 3
¯
¯ 2 1
¯ 3 ¡2 2 ¯
¯ 3 ¡2 2 ¯
¯
¯
¯
¯
Como ¯¯ 1 ¡3 ¡1 ¯¯ = 0, y ¯¯ 1 ¡3 ¡1 ¯¯ = 0
¯ 4 ¡5 1 ¯
¯ 2 1
3 ¯
Al ser Rang(A) = 2 y Rang(A0 ) = 2 !El sistema es Compatible indeterminado
La matriz tiene de rango 2; entonces sólo hay dos ecuaciones L.Independientes!La
1a y la 2a
Por lo tanto, podemos eliminar las dos últimas ecuaciones
½
3x ¡ 2y + 3z = 2
Así pues, resolver el sistema inicial equivale a resolver el sistema
x ¡ 3y + 2z = ¡1
Pasando al otro lado de las ecuaciones el término en z (observa que sus coe…ficientes no aparecen en el menor de orden 2 no nulo encontrado); tendremos un
sistema de cramer con respecto a las incógnitas x e y
½
3x ¡ 2y = 2 ¡ 3z
x ¡ 3y = ¡1 ¡ 2z
Aplicando la regla de Cramer
¯
¯
¯ 2 ¡ 3z ¡2 ¯
¯
¯
¯ ¡1 ¡ 2z ¡3 ¯
8 ¡ 5z
x=
=
¡7
7
7 La
3a col es C.L. de las dos primeras
1
C
C
A
RAN G OS Y RO UC HE
y=
¯
¯ 3
¯
¯ 1
Example 2.7. Dado el sistema
½
15
¯
2 ¡ 3z ¯¯
¡1 ¡ 2z ¯
5 + 3z
=
¡7
7
x ¡ 3y + 2z = 1
resuélvelo
2x ¡ 3y + 5z = 2
¯
¯
¯ 1 ¡3 ¯
¯
¯ = 3 ! RangoA = 2 = RangoA0 el sistema es compatible
Como ¯
2 ¡3 ¯
indeterminado
Si deseamos resolverlo, aplicando la regla de Cramer; tendremos que pasar al otro
lado de las igualdades la incógnita z (sus coef…cientes no intervienen en el menor
principal no nulo encontrado), para obtener de este modo un sistema de Cramer
con respecto a las incógnitas x e y
½
x ¡ 3y = 1 ¡ 2z
2x ¡ 3y = 2 ¡ 5z
Aplicando Cramer
¯
¯ 1 ¡ 2z
¯
¯ 2 ¡ 5z
x=
3¯
¯
¯
¯
y=
Example 2.8. Dado el sistema
½
¯
¡3 ¯¯
¡3 ¯
3 ¡ 9z
= 1 ¡ 3z
¯3
¯
1 1 ¡ 2z ¯
2 2 ¡ 5z ¯
¡z
=
3
3
=
x ¡ 3y + 2z ¡ 4t = 1
resuélvelo
2x ¡ 3y + 5z ¡ 2t = 2
¯
¯
¯ 1 ¡3 ¯
¯ = 3 ! RangoA = 2 = RangoA0 el sistema es compatible
Como ¯¯
2 ¡3 ¯
indeterminado
Si deseamos resolverlo, aplicando la regla de Cramer; tendremos que pasar al
otro lado de las igualdades las incógnita z y t (sus coeficientes no intervienen en el
menor principal no nulo encontrado), para así considerar que tenemos un sistema
de Cramer con respecto a las incógnitas x e y
½
x ¡ 3y = 1 ¡ 2z + 4t
2x ¡ 3y = 2 ¡ 5z + 2t
Aplicando Cramer
¯
¯ 1 ¡ 2z + 4t
¯
¯ 2 ¡ 5z + 2t
x=
3¯
¯ 1
¯
¯ 2
z=
¯
¡3 ¯¯
¡3 ¯
3 ¡ 9z ¡ 6t
= 1 ¡ 3z ¡ 2t
¯3
1 ¡ 2z + 4t ¯¯
2 ¡ 5z ¡ 2t ¯
¡z ¡ 6t
=
3
3
8
< x ¡ 2y = 3
2x ¡ 3y = 1 en caso de ser comExample 2.9. Resolver el siguiente sistema
:
x ¡ 3y = 8
patible
=
16
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
0
Empezaremos estudiando el rango de
A por ser cuadrada
¯ la matriz ampliada
¯
¯ 0 ¯ ¯¯ 1 ¡2 3 ¯¯
¯ ¯
Calculamos su determinante ¯A ¯ = ¯¯ 2 ¡3 1 ¯¯ = ¡24 ¡18 ¡2 +9 +32 +3 = 0
¯ 1 ¡3 8 ¯
¯ 0¯
0
0
¯ ¯
Como ¯A ¯ = 0 entonces las tres columnas de A son L. D entre sí! Rango(A ) <
¯
¯
¯ 1 ¡2 ¯
¯
¯ = ¡3 + 4 = 1 ! las únicas columnas de A0 L.I son la 1a y
3 y como ¯
2 ¡3 ¯
0
la2a ! Rango(A ) = 2
0
1
µ
¶
1 ¡2
1 ¡2
@
A
2 ¡3
Es evidente que rango(A) = rango
= rango
=2
2 ¡3
1 ¡3
Por el teorema de Rouche- Frobenius sabemos que el sistema es compatible
0
determinado; ya que Rango(A) = Rango(A ) = 2 = no de incógnitas
Para resolverlo, eliminamos
aquellas
ecuaciones cuyos coeficientes no intervienen
¯
¯
¯ 1 ¡2 ¯
¯ no nulo encontrado.Por lo tanto resolveremos el
en el menor principal ¯¯
¯
2
¡3
½
x ¡ 2y = 3
sistema
2x ¡ 3y = 1
½
x ¡ 2y = 3
Aplicando la regla de Cramer al sistema
tendremos
2x ¡ 3y = 1
x=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
1
1
2
¡2
¡3
¡2
¡3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¡7
1
= ¡7 y =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 3 ¯¯¯
2 1 ¯¯
¯ =
1 ¡2 ¯¯¯
2 ¡3 ¯¯
¡5
1
= ¡5
Nota: Intenta resolverlo estudiando primero el Rango(A) y después el de A
8
< 3x ¡ 2y + z + 3t = 1
Example 2.10. Dado el sistema
x ¡ 3y ¡ 2z + 2t = 2 resuélvelo
:
4x ¡ 5y ¡ z + 3t = 0
0
0
1
3 ¡2 1
3
Estudiemos el rango de A = @ 1 ¡3 ¡2 2 A
4 ¡5 ¡1 3
¯
¯
¯ 3 ¡2 ¯
¯ = ¡7 ! la 1a …la y la 2a son L.I
Como ¯¯
1 ¡3 ¯
Orlando el menor anterior con la tercera …la y resto de columnas obtendré todos
los menores de orden tres donde aparezcan los coe…cientes de las tres …las. Si los
dos¯ fuesen nulos el
¯ rangoA sería dos ; en caso contrario valdría
¯ tres
¯
¯ 3 ¡2 3 ¯
¯ 3 ¡2 1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 ¡3 ¡2 ¯ = 0 ya que la 3a col=1a +2a ; pero como ¯ 1 ¡3 2 ¯ = 14 !
¯
¯
¯
¯
¯ 4 ¡5 ¡1 ¯
¯ 4 ¡5 3 ¯
RangoA = 3 = RangoA0 el sistema es compatible indeterminado (observa que hay
cuatro incógnitas)
Si deseamos resolverlo, aplicando la regla de Cramer; tendremos que pasar al otro
lado de las igualdades la incógnita z (sus coeficientes no intervienen en el menor
princuipal no nulo encontrado), para obtener de este modo un sistema de Cramer
RAN G OS Y RO UC HE
17
con respecto a las incógnitas x , y y t
8
< 3x ¡ 2y + 3t = 1 ¡ z
x ¡ 3y + 2t = 2 + 2z
:
4x ¡ 5y + 3t = z
Aplicando Cramer
¯
¡2 3 ¯¯
¡3 2 ¯¯
¡5 3 ¯
¡17 ¡ 14z
x=
=
14
14
¯
¯
¯ 3 1¡z
3 ¯¯
¯
¯ 1 2 + 2z 2 ¯
¯
¯
¯ 4 z
3 ¯
¡1z ¡ 14z
y=
=
14
14
¯
¯
¯ 3 ¡2 1 ¡ z ¯
¯
¯
¯ 1 ¡3 2 + 2z ¯
¯
¯
¯ 4 ¡5 z
¯
21
t=
=
= 32
14
14
¯
¯ 1¡z
¯
¯ 2 + 2z
¯
¯ z
8
< 3x ¡ 2y + 3z = 2
Example 2.11. Discutir según los valores de a y b el sistema x ¡ 3y + 2z = ¡1
:
4x ¡ 5y + az = b
En los casos en que sea compatible, resuélvelo
¯
¯
¯ 3 ¡2 3 ¯
¯
¯
jAj = ¯¯ 1 ¡3 2 ¯¯ = ¡7a + 35
¯ 4 ¡5 a ¯
Valores que anulan el determinante de A ! ¡7a + 35 = 0 ! a = 5
Posibilidades
I) Si a = 5 entonces jAj = 0 ! RangoA < 3 las tres columnas de A son L.D.
¯
¯
¯ 3 ¡2 ¯
¯
¯ = ¡7 ! la 1a col y la 2a son L.I! RangoA = 2
Como ¯
1 ¡3 ¯
0
Pasemos
0 a estudiar el rango
1 de A 0
1
½
3 ¡2 3 2
3 ¡2 2
2 si b = 1 ! Rang(A0 ) = 2
8
9
@
A
@
A
Rang
1 ¡3 2 ¡1
= rang
1 ¡3 ¡1
=
3 si b 6= 1 ! Rango(A0 ) = 3
4 ¡5 a b
4 ¡5 b
Subcasos
Ia) Si a = 5 ^ b = 1 ! Rango(A) = Rango(A0 ) = 2 !El sistema es
compatible indeterminado
½
3x ¡ 2y + 3z = 2
Resolver el sistema inicial es equivalente a resolver el sistema
x ¡ 3y + 2z = ¡1
Pasando al otro lado de las ecuaciones el término en z (observa que sus coe…ficientes no aparecen en el menor de orden 2 no nulo encontrado); tendremos un
sistema de cramer con respecto a las incógnitas x e y
½
3x ¡ 2y = 2 ¡ 3z
x ¡ 3y = ¡1 ¡ 2z
8 La
3a col
¯ es
¯ 3
¯
9 Como ¯ 1
¯
¯ 4
C.L.
¡2
¡3
¡5
de las¯ dos primeras
2 ¯¯
¡1 ¯¯ = ¡7b + 7
¯
b
18
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
Aplicando la regla de Cramer
¯
¯
¯ 2 ¡ 3z ¡2 ¯
¯
¯
¯ ¡1 ¡ 2z ¡3 ¯
8 ¡ 5z
x=
=
¡7
7
¯
¯
¯ 3 2 ¡ 3z ¯
¯
¯
¯ 1 ¡1 ¡ 2z ¯
5 + 3z
y=
=
¡7
7
Ib) Si a = 5 ^ b 6= 1 ! Rango(A) = 2 y Rango(A0 ) = 3 !El sistema es
incompatible
II) Si a 6= 5entonces jAj 6= 0 ! RangoA = 3 = Rang(A0 ) las tres ecuaciones son
L.I
El sistema es compatible determinado
Aplicando la regla de Cramer tendremos:
¯
¯
¯ 2
¡2 3 ¯¯
¯
¯ ¡1 ¡3 2 ¯
¯
¯
¯ b
¡5 a ¯
¡8a + 35 + 5b
x=
=
¡7b + 35
¯ ¡7b + 35 ¯
¯ 3 2
3 ¯¯
¯
¯ 1 ¡1 2 ¯
¯
¯
¯ 4 b
a ¯
¡5a ¡ 3b + 28
y=
=
¯¡7b + 35
¯ ¡7b + 35
¯ 3 ¡2 2 ¯
¯
¯
¯ 1 ¡3 ¡1 ¯
¯
¯
¯ 4 ¡5 b ¯
¡7b + 7
=
t=
¡7b + 35
¡7b + 35
Aplicación del teorema de Rouche a los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
8
a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a1;n xn = 0
a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a2;n xn = 0
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢
Dado el sistema de ecuaciones lineales homogéneo
>
>
¢
¢
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
>
>
:
am;1 x1 + am;2 x2 + am;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +am;n xn = 0
Por ser
0 homogéneo
1
0
1
a1;1 a1;2 a1;3 ..... a1;n
a1;1 a1;2 a1;3 ..... a1;n 0
B a2;1 a2;2 a2;3 ...... a2;n 0 C
B a2;1 a2;2 a2;3 ...... a2;n C
C
C
B
B
C
C
B
rang B a3;1 a3;2 a3;3 ...... a3;n C = rang B
B a3;1 a3;2 a3;3 ...... a3;n 0 C
A
@
@ .....
..... ...... ...... ....
.....
..... ...... ...... .... ::: A
am;1 am;2 am;3 ::::: am;n
am;1 am;2 am;3 ::::: am;n 0
ya que la última columna de la matriz ampliada es nula. Por lo tanto, en virtud
del teorema de Rouche estos sistemas son siempre compatibles
Casos:
>
>
>
>
<
0
B
B
I) rang B
B
@
a1;1
a2;1
a3;1
.....
am;1
a1;2
a2;2
a3;2
.....
am;2
.....
......
......
......
:::::
a1;n
a2;n
a3;n
....
am;n
1
El sistema es compatible determinado y tan sólo
C
C
admite
la solución trivial x1 = x2 = ::: = xn = 0
C = n ()
C
A
RAN G OS Y RO UC HE
0
B
B
II) rang B
B
@
a1;1
a2;1
a3;1
.....
am;1
a1;2
a2;2
a3;2
.....
am;2
..... a1;n
...... a2;n
...... a3;n
...... ....
::::: am;n
19
1
El sistema es compatible indeterminado y admite
C
C
C < n () soluciones distintas de la solución trivial
C
A
Interpretación vectorial de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
8
a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a1;n xn = 0
a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +a2;n xn = 0
Dado el sistema de ecuaciones lineales homogéneo
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢
>
>
¢
¢
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
>
>
:
am;1 x0
1 + a1
m;2 x2 + am;3 x3 + ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ +am;n xn = 0
0
B 0 C
B C
¡
!
m
C
Resolverlo equivale a determinar si el vector nulo 0 = B
B : C de < es o no
@ : A
0
0
1
a1;1
B a2;1 C
B
C¡
!
C!
combinación lineal de los siguientes n vectores de <m ¡
a1 = B
B :
C a2 =
@ :
A
a
m;1
1
0
1
0
1
0
a1;3
a1;n
a1;2
B a2;2 C
B a2;3 C
B a2;n C
B
C¡
B
C
B
C
¡
!
C!
B
C
B
C
B :
C a3=B :
C ::::: a n = B :
C
B
A
@ :
A
@ :
A
@ :
bm;2
am;3
am;n
Casos:
>
>
>
>
<
El sistema es compatible determinado y tan sólo
!
!
!
admite la solución trivial x1 = x2 = ::: = xn = 0 () Los vectores ¡
a 1; ¡
a 2 ; :::::¡
a n son L:I
El sistema es compatible indeterminado y admite
!
!
!
soluciones distintas de la solución trivial
() Los vectores ¡
a 1; ¡
a 2 ; :::::¡
a n son L:D
8
< 3x ¡ 2y + 3z = 0
Example 2.12. Dado el sistema
x ¡ 3y + 2z = 0 determina el valor de a para
:
4x ¡ 5y + az = 0
que el sistema admita soluciones distintas de la trivial
Este sistema al ser homogéneo admitirá
x2 = ::: = xn = 0) siempre que se verifique:
¯
0
1
¯
3 ¡2 3
¯
Rang @ 1 ¡3 2 A < 3 () ¯¯
¯
4 ¡5 a
soluciones distintas de la trivial(x1 =
3
1
4
¡2
¡3
¡5
3
2
a
¯
¯
¯
¯ = 0 () a = 5
¯
¯
20
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
3. Problemas resueltos de sistemas ecuaciones lineales
8
< x ¡ 2y = 3
Exercise 3.1. Resolver el siguiente sistema
2x ¡ 3y = 1 en caso de ser com:
3x ¡ 4y = ¡1
patible
0
Empezaremos estudiando el rango de¯ la matriz ampliada
A por ser cuadrada
¯
¯ 0 ¯ ¯¯ 1 ¡2 3 ¯¯
¯ ¯
Calculamos su determinante ¯A ¯ = ¯¯ 2 ¡3 1 ¯¯ = 0
¯ 3 ¡4 ¡1 ¯
¯ ¯
0
0
¯ 0¯
Como ¯A ¯ = 0 entonces las tres columnas de A son L. D entre sí! Rango(A ) <
¯
¯
¯ 1 ¡2 ¯
¯ = ¡3 + 4 = 1 ! las únicas columnas de A0 L.I son la 1a y
3 y como ¯¯
2 ¡3 ¯
0
la2a ! Rango(A ) = 2
0
1
µ
¶
1 ¡2
1 ¡2
@
A
Es evidente que rango(A) = rango
2 ¡3
= rango
=2
2 ¡3
1 ¡3
Por el teorema de Rouche- Frobenius sabemos que el sistema es compatible
0
determinado; ya que Rango(A) = Rango(A ) = 2 = no de incógnitas
Para resolverlo, eliminamos
aquellas
ecuaciones cuyos coeficientes no intervienen
¯
¯
¯ 1 ¡2 ¯
¯
¯
en el menor principal ¯
no nulo encontrado.Por lo tanto resolveremos el
2 ¡3 ¯
½
x ¡ 2y = 3
sistema
2x ¡ 3y = 1
½
x ¡ 2y = 3
Aplicando la regla de Cramer al sistema
tendremos
2x ¡ 3y = 1
x=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
1
1
2
¡2
¡3
¡2
¡3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¡7
1
= ¡7 y =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 3 ¯¯¯
2 1 ¯¯
¯ =
1 ¡2 ¯¯¯
2 ¡3 ¯¯
¡5
1
= ¡5
Nota: Intenta resolverlo estudiando primero el Rango(A) y después el de A
0
8
x + y + z = ¡2
>
>
<
2x ¡ y + 3z = 1
Exercise 3.2. Resuelve el sistema
en caso de ser compatible
> x ¡ 2y + 2z = 3
>
:
3x + 4z = ¡1
0
2
1
1 1 1
B 2 ¡1 3 C
C
Empezaremos estudiando el rango de la matriz A = B
@ 1 ¡2 2 A
3 0 4
¯
¯
¯ 1 1 ¯
¯ = ¡3 es no nulo!la 1a y 2a columnas de A son L.I! Rango(A) ¸
Como ¯¯
2 ¡1 ¯
?‘La 3a columna es C. L de la 1a y 2a ?
RAN G OS Y RO UC HE
21
Para determinarlo, consideraremos todos los menores de orden tres que se pueden
a
a
a
formar
¯ al orlar el ¯menor
¯ de orden ¯2 anterior con la 3 col. y las …las 3 y 4 de
¯ 1 1 1 ¯ ¯ 1 1 1 ¯
¯
¯ ¯
¯
A ! ¯¯ 2 ¡1 3 ¯¯ y ¯¯ 2 ¡1 3 ¯¯
¯ 1 ¡2 2 ¯ ¯ 3 0 4 ¯
Si los dos fuesen nulos entonces Rango(A) = 2; en caso contrario Rango(A) = 3
Calculémoslos pues:
¯
¯
¯ 1 1 1 ¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 3 ¯ = ¡2 ¡ 4 + 3 + 1 ¡ 4 + 6 = 0
¯
¯
¯ 1 ¡2 2 ¯
¯
¯
¯ 1 1 1 ¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 3 ¯ = ¡4 + 9 + 3 ¡ 8 = 0
¯
¯
¯ 3 0 4 ¯
Al ser los dos nulos; entonces la 3a columna es C. L de la 1a y 2a ! Rango(A) = 2
ya que el número máximo de columnas L.I de A es 2
0
?‘Cuál 0
es el Rango(A )? 1
1 1 1 ¡2
B 2 ¡1 3 1 C
a
a
a
C
Rango B
@ 1 ¡2 2 3 A < 4 ya que la 3 columna es C. L de la 1 y 2
3 0 4 ¡1
Fíjate que el rango de esta matriz como máximo puede ser tres
Para determinar su rango bastará con determinar si la 4a columna es C. L de la
a
1 y 2a: :
¯
¯ ¯
¯ 1 1 ¡2 ¯ ¯ 1 1 ¡2
¯
¯ ¯
Para ello calcularemos los siguientes determinantes:¯¯ 2 ¡1 1 ¯¯ y ¯¯ 2 ¡1 1
¯ 1 ¡2 3 ¯ ¯ 3 0 ¡1
obtenidos al orlar el menor de orden 2 anterior, no nulo, con la 4a col y las filas 3a y
4a
¯
¯
¯ 1 1 ¡2 ¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 1 ¯ = ¡3 + 8 + 1 ¡ 2 ¡ 6 + 2 = 0
¯
¯
¯ 1 ¡2 3 ¯
¯
¯
¯ 1 1 ¡2 ¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 1 ¯ = 1 + 3 ¡ 6 + 2 = 0
¯
¯
¯ 3 0 ¡1 ¯
Como los dos son nulos, entonces la 4a columna es C. L de la 1a y 2a !
0
Rango(A ) = 2
0
Rango(A) = Rango(A ) = 2 < 3 n de incógnitas!S.C.I
Para resolverlo, eliminamos
aquellas
ecuaciones cuyos½coeficientes no intervienen
¯
¯
¯ 1 1 ¯
x + y + z = ¡2
¯ no nulo encontrado!
en el menor principal ¯¯
2 ¡1 ¯
2x ¡ y + 3z = 1
Pasamos la incógnita z al término independiente y obtendremos de esta manera
un ½
sistema de Cramer con respecto a las incógnitas x e y
x + y = ¡2 ¡ z
2x ¡ y = 1 ¡ 3z
x=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¡2 ¡ z 1
1 ¡ 3z ¡1
¯
¯
¯
¯ 1
1 ¯¯¯
¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¡2 ¡ z
1 ¡ 3z
¡3
1
¡1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
2+z¡1+3z
¡3
=
¡1¡4z
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
22
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
y=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¡2 ¡ z
1 ¡ 3z
¯
1 1 ¯¯¯
2 ¡1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
==
¡5+z
3
0
Nota: Intenta resolverlo estudiando primero el Rango(A ) y después el de A
CON SEJ OS
A la hora de discutir un sistema de ecuaciones lineales que contiene parámetros,
0
se pueden resolver sistematicamente siempre que una de las dos matrices A o A sea
cuadrada
a) Si A es cuadrada , empezaremos calculando jAj :
0
² Para aquellos valores que no anulan jAj siempre se verificará que Rango(A) = Rango(A ) = n
El sistema será compatible determinado y determinaremos sus soluciones aplicando la Regla de Cramer
² Para aquellos valores que anulan jAj siempre se verificará que Rango(A) < n
Sustituiremos dichos valores en el sistema y estudiaremos si los rangos de A y
0
A son iguales o distintos
¯ 0¯
0
¯ ¯
b) Si A es cuadrada , empezaremos calculando ¯A ¯ :
¯ 0¯
0
¯ ¯
² Para aquellos valores que no anulan ¯A ¯ siempre se verificará que Rango(A) < Rango(A )
El sistema será incompatible
¯ 0¯
¯ ¯
² Para aquellos valores que anulan ¯A ¯ sustituiremos dichos valores en el sis0
tema y estudiaremos si los rangos de A y A son iguales o distintos
9
x+y¡z =2
>
>
=
ax + y + z = 1
Exercise 3.3. Resolver el sistema
x ¡ y + 3z = ¡3 >
>
;
4x + 2y = a
Solución
Empezaremos
calculando el¯ determinante de la matriz ampliada
¯
¯ 1 1
¡1 2 ¯¯
¯
¯
a
1
1
1 ¯¯
jA0 j = ¯¯
= ¡2(a2 ¡ 6a + 9) = ¡2(a ¡ 3)2
1
¡1
3
¡3 ¯¯
¯
¯ 4 2
0
a ¯
Casos:
I) Si a 6= 3 ! jA0 j es distinto de cero! Rango(A0 ) = 4
Como A es una matriz de orden 4x3, entonces el máximo rango posible de A es
3
Por lo tanto, Rango(A) 6= Rango(A0 ) !El sistema es Incompatible
II) Si a = 3 ! jA0 j = 0 !Las cuatro columnas de A0 son L. Dependientes
Rango(A0 ) < 4
0
1
1 1
¡1
B 3 1
1 C
C
Pasemos pues a estudiar el rango de A = B
@ 1 ¡1 3 A
4 2
0
RAN G OS Y RO UC HE
23
¯
¯
¯ 1 1 ¯
¯ = ¡2 6= 0 !La 1a y la 2a columna de A son L. Independiente
Como ¯¯
3 1 ¯
Rango(A) ¸ 2
a
a
?‘ La 3¯a columna de A
¯ es combinación
¯ lineal de la¯ 1 y la 2 ?
¯
¯
¯
¯ 1 1
¡1 ¯
¯ 1 1 ¡1 ¯
¯
1 ¯¯ = 0 y además ¯¯ 3 1 1 ¯¯ = 0
Como ¯¯ 3 1
¯ 4 2 0 ¯
¯ 1 ¡1 3 ¯
a
Por lo tanto, 3 columna de A es combinación lineal de la 1a y la 2a
Así pues el rango(A) = 2
Determínemos
ahora el rango
0
1 de la matriz
0ampliada
1
1 1
¡1 2
1 1
2
B 3 1
B
1
1 C
1 C
C 10 = rango B 3 1
C
rango B
@ 1 ¡1 3
@ 1 ¡1 ¡3 A
¡3 A
0 ¯ 3
3
¯ 4 2
¯
¯ 4 2
¯
¯
¯
¯ 1 1
2 ¯
¯ 1 1 2 ¯
¯
1 ¯¯ = 0 y ¯¯ 3 1 1 ¯¯ = 0 entonces la 4a columna de A0 es
Como ¯¯ 3 1
¯ 4 2 3 ¯
¯ 1 ¡1 ¡3 ¯
a
combinación lineal de la 1 y la 2a ! rango(A0 ) = 2
Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado
¾
x+y ¡z =2
Resolverlo es equivalente a resolver el sistema
3x +¾
y +z =1
x+y = 2+z
Pasando la incógnita z al otro lado
tendremos un sistema de
3x + y = 1 ¡ z
Cramer con respecto a las incógnitas x e y
Aplicando,
la regla
¯
¯ de Cramer
¯ 2+z 1 ¯
¯
¯
¯ 1¡z 1 ¯
1 + 2z
¯
x= ¯
¯ 1 1 ¯ = ¡2
¯
¯
¯
¯
¯ 3 1 ¯
¯ 1 2+z ¯
¯
¯
¯ 3 1¡z ¯
+5 + 4z
¯ =
x = ¯¯
¯
+2
¯ 1 1 ¯
¯ 3 1 ¯
Exercise
3.4. Discutir y resolver
8
< ¡x + ay + z = 2
3x ¡ z = 1
:
2x + y + 3z = b
0
1
0
¡1 a 1
A = @ 3 0 ¡1 A ;A0 = @
2 1 3
en los casos en que sea compatible el sistema
¡1
3
2
a 1 2
0 ¡1 1
1 ¯3 b
¯ ¡1
¯
Calculamos el determinante de A; jAj = ¯¯ 3
¯ 2
¡11a + 2
POSIBILIDADES
10 3 a
col =1a col¡2¢2a col
1
A
¯
a 1 ¯¯
0 ¡1 ¯¯ = 3 ¡ 2a ¡ 9a ¡ 1 =
1 3 ¯
24
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
² I) Si ¡11a + 2 6= 0 ! jAj 6= 0 las tres columnas de A son L.I! Rang(A) =
0
3 = Rang(A )
El Sistema será Compatible Determinado
Aplicamos
la Regla¯ de Cramer
¯
¯
¯ 2 a
¯ ¡1 2
1 ¯¯
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 0 ¡1 ¯
¯ 3
1
¡1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ b
¯ 2
1 3 ¯
b 3
¡3a¡ab+3
¯ =
¯
x = ¯¯
,
y
=
¡11a+2
¯
¯
1 ¯
1
¯ ¡1 a
¯ ¡1 a
¯
¯
¯
¯ 3
¯ 3
0 ¡1 ¯¯
0 ¡1
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2
¯ 2
1 3 ¯
1 3
¯
¯
¯ ¡1 a 2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 3
0 1 ¯¯
¯
¯
¯
¯ 2
1 b ¯
¯ = 2a¡3ab+7
z = ¯¯
¡11a+2
1 ¯¯
¯ ¡1 a
¯
¯
¯ 3
¯
0 ¡1 ¯
¯
¯
¯
¯ 2
1 3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
2b¡27
¡11a+2
² II) Si ¡11a+2 = 0 ! jAj = 0 !las tres columnas de A son L.D! Rang(A) <
3
0
1
2
¯
¯
µ
¶
¡1 11
1
¯ 3 0 ¯
3 0
¯ = 3 ( no nulo)
Rang @ 3
0 ¡1 A = Rang
= 2 ya que ¯¯
2 1
2 1 ¯
2
1
3
Por lo que la matriz A tiene como máximo dos columnas L.I (la 1a y la 2a )
0
2
Para este
a estudiar
el rango1de A
0 valor2de a = 11 pasemos
1
0
2
¡1 11
1 2
¡1 11
2
@
A
@
3
0 ¡1 1
3
0 1 Aya que la 3a columna L.D
Rang
= Rang
2
1
3 b
2
1 b
con la 1a y la 2a
¯
¯
¯ ¡1 2 2 ¯
¯
11
¯
0
0 1 ¯¯ = 81¡6b
El rango de A dependerá si es o no nulo el determinante ¯¯ 3
11
¯ 2
¯
1
b
0
1
2
½
0
¡1 11
1 2
2
si b = 27
Rango(A ) = Rango(A) = 2 ! S:C:I
2
@
A
Rang
3
0 ¡1 1
=
0
27
3 si b no es 2
Rango(A ) distinto Rango(A) ! S:I
2
1
3 b
En el caso en que el sistema es compatible indeterminado, tenemos que eliminar
la primera ecuación, ya que sus coeficientes no aparecen en el menor principal
encontrado.
½
3x ¡ z = 1
!Pasamos la incógnita z al término independiente en am2x + y + 3z = 27
2
bas ecuaciones;
obteniendo un sistema de Cramer con respecto a las incógnitas x e
½
3x = 1 + z
y!
2x + y = 27
¡ 3z
2
Aplicando la Regla de Cramer; tendremos:
x=
¯
¯
¯ 1
¯
¯ 27
¯ 2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+z
0
¡ 3z 1
¯
3 0 ¯¯¯
2 1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
1+z
3
!y=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1+z
27
2 ¡ 3z
¯
3 0 ¯¯¯
2 1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
77¡22z
6
RAN G OS Y RO UC HE
25
Exercise
3.5. Discutir y resolver en los casos en que sea compatible el sistema
8
< ax + (a ¡ 1)y + z = a + 1
(a + 2)x + y + z = a + 1
:
(a + 1)x + (a + 1)z = a + 1
0
1
0
1
a
a¡1
1
a
a¡1
1
a+1
A=@ a+2
1
1 A ;A0 = @ a + 2
1
1
a+1 A
a+1
0
a+1
a+1
0
a+1 a+1
Calculamos
el determinante de
¯ A
¯
¯ a
a¡1
1 ¯¯
¯
¯
1
1 ¯¯ = ¡a3 + a = ¡a(a ¡ 1)(a + 1)
jAj = ¯ a + 2
¯ a+1
0
a+1 ¯
Fíjate que los valores de a que anulan el determinante son 0; 1; ¡1
POSIBILIDADES
: I) Si a(a ¡ 1)(a + 1) 6= 0 ! a 6= 0 y a 6= 1 y a 6= ¡1 ! jAj es no nulo; las tres
0
·
columnas de A son L.I.!
Rango(A) = 3 = Rango(A ) !El sistema es C.D:
Aplicando la regla de Cramer tendremos:
x=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a¡1
1 ¯¯
¯
1
1 ¯¯
¯
3
2
0
a+1 ¯
+2a
¯ = ¡a +a
= ¡a(a¡2)(a+1)
3 +a
¡a
¡a(a¡1)(a+1) =
¯
a¡1
1 ¯
¯
1
1 ¯¯
¯
0
a+1 ¯
¯
¯
¯
a
a+1
1 ¯¯
¯
¯
¯
¯ a+2 a+1
1 ¯¯
¯
¯
¯
¯ a+1 a+1 a+1 ¯
2
¯ = ¡2a3 ¡2a = 2
¯
y=¯
¡a +a
a¡1
a
a¡1
1 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯ a+2
1
1 ¯
¯
¯
¯
¯ a+1
0
a+1 ¯
¯
¯
¯
a
a ¡ 1 a + 1 ¯¯
¯
¯
¯
¯ a+2
1
a + 1 ¯¯
¯
¯
¯
¯ a+1
2
0
a+1 ¯
¯ = ¡a3 ¡a = 1
z = ¯¯
¯
¡a
+a
a¡1
a
a¡1
1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ a+2
1
1 ¯
¯
¯
¯
¯ a+1
0
a+1 ¯
a+1
a+1
a+1
a
a+2
a+1
a¡2
a¡1 ,
·
: II) Si a = 00! jAj = 0; las
1 tres columnas
0 de A son
1 L.D.! Rango(A) < 3
¯
¯
0 ¡1 1
0 ¡1
¯ 0 ¡1 ¯
¯=2
Rango @ 2 1 1 A = Rango @ 2 1 A = 2 ya que ¯¯
2 1 ¯
1 0 1
1 0
(no nulo)
2
Las columnas 1a y 2a son L.I y la 3a es C.L de ellas
0
Pasemos pues a estudiar
0 el rango de A1
0
0 ¡1 1 1
0
0
Rango(A ) = Rango @ 2 1 1 1 A = Rango @ 2
1 0 1 1
1
Por lo tanto, el sistema es Compatible.Indeterminado
¡1
1
0
1
1
1 A = Rango(A) =
1
26
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
0
Además al ser el rango de A dos; entonces puedo eliminar la 3a ecuación ya que
es C.L de las otras dos ( En el menor principal de orden dos no nulo los coeficientes
que½aparecen son los de las incógnitas x e y de las dos primeras½ecuaciones)
¡y + z = 1
¡y = 1 ¡ z
!Pasando la incógnita z al otro lado
2x + y + z = 1
2x + y = 1 ¡ z
tendremos un sistema de Cramer con respecto a las incógnitas xe y
x=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 ¡ z ¡1
1¡z 1
¯
¯
¯
¯
¯ 0 ¡1 ¯
¯
¯
¯
¯ 2
1 ¯¯
: III) Si a =0
1!
1
Rango @ 3
2
nulo)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 1 ¡ z ¯¯¯
2 1 ¡ z ¯¯
¯ = z¡1
= 1 ¡ z ! y = ¯¯
¯
¯ 0 ¡1 ¯
¯
¯
¯
¯ 2
1 ¯¯
·
jAj = 0;1las tres columnas
de1A son L.D.!
Rango(A) < 3
0
¯
¯
0 1
1 0
¯ 1 0 ¯
¯
¯ = 1 (no
A
@
A
1 1
3 1
= Rango
= 2 ya que ¯
3 1 ¯
0 2
2 0
Las columnas 1a y 2a son L.I y la 3a es C.L de ellas
0
Pasemos
¯
¯
0 pues a estudiar
1 el rango de0A
1
¯ 1 0 2 ¯
1 0 1 2
1 0 2
¯
¯
Rango @ 3 1 1 2 A = Rango @ 3 1 2 A = 3 ya que ¯¯ 3 1 2 ¯¯ =-2
¯ 2 0 2 ¯
2 0 2 2
2 0 2
(no nulo)
Por lo tanto, el sistema es Incompatible
·
: IV) Si a = 0
¡1 ! jAj = 0; las
1 tres columnas de A son L.D.! Rango(A) < 3
¯
¯
µ
¶
¡1 ¡2 1
¯ ¡1 ¡2 ¯
¡1 ¡2 1
¯
¯ =1
@
A
1
1
1
Rango
= Rango
= 2 ya que ¯
1
1 1
1
1 ¯
0
0 0
(no nulo)
Las …filas a1 y 2a son L.I y la 3a es C.L de ellas (por ser nulos sus elementos)
0
Pasemos
0 pues a estudiar el1rango de A
µ
¶
¡1 ¡2 1 0
¡1 ¡2 1
Rango @ 1
1 1 0 A = Rango
=2
1
1 1
0
0 0 0
Por lo tanto, el sistema es Compatible Indeterminado
Como la tercera ecuación del sistema es nula, tendremos que resolver el siguiente
sistema
½
½
¡x ¡ 2y + z = 0
¡x ¡ 2y = ¡z
!Pasando la incógnita z al otro lado
x+y +z =0
x + y = ¡z
tendremos un sistema de Cramer con respecto a las incógnitas xe y
x=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¡z
¡z
¡1
1
¡2
1
¡2
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= ¡3z ! y =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¡1 ¡z
1 ¡z
¡1 ¡2
1
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 2z
8
¡x ¡ 2y + z = 2
>
>
<
x + 3y ¡ 2z = 1
en caso de ser compatible
Exercise 3.6. Resolver el sistema
3x + 4y ¡ z = 3
>
>
:
x ¡ y + 3z = 3
RAN G OS Y RO UC HE
27
¯ 0¯
0
¯ ¯
Como la matriz A es cuadrada empezaremos calculando ¯A ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ¡1 ¡2 1 2 ¯
¯ 0 0 1 2 ¯
¯ 0 0 1
0 ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0 ¯ ¯¯
3 ¡2 1 ¯¯11 ¯¯ ¡1 4 ¡2 1 ¯¯12 ¯¯ ¡1 4 ¡2 5 ¯¯
¯ ¯ ¯ 1
=¯
¯A ¯ = ¯
¯ = ¯ 2 7 ¡1 5 ¯
4 ¡1 3 ¯¯
¯ 3
¯ 2 7 ¡1 3 ¯
¯
¯
¯ 1 ¡1 3 3 ¯
¯ 4 2 3 3 ¯
¯ 4 2 3 ¡3 ¯
a
Calculando
este determinante
¯
¯ por los adjuntos de la 1 …fila tendremos que
¯
¯
¯ 0 0 1
¯
0
¯ ¡1 4 5 ¯
¯
¯ 0 ¯ ¯¯
¯
¯
¯ ¯ ¯ ¡1 4 ¡2 5 ¯¯
1+3 ¯
¯
¯A ¯ = ¯
¯ 2 7 5 ¯ = 15
¯ = (¡1)
2
7
¡1
5
¯ 4 2 ¡3 ¯
¯
¯
¯ 4 2 3 ¡3 ¯
0
0
Por lo tanto Rango(A ) = 4 ! A tiene las cuatro columnas L.I.. Es evidente
pues; que A tendrá sus tres columnas L.I! Rango(A) = 3
Por lo tanto el sistema es Incompatible
Exercise 3.7. Enuncia una condición necesaria y suficiente para que el sistema
homogéneo
8
< a1;1 x + a1;2 y + a1;3 z = 0
a x + a2;2 y + a2;3 z = 0 admita soluciones distintas de la trivial
: 2;1
a3;1 x + a3;2 y + a3;3 z = 0
Por ser homogéneo sabemos que siempre es compatible; ya que Rango(A) =
0
Rango(A )
Este sistema admitirá la solución trivial , x = y = z = 0, si y sólo si es C.D, lo
0
cual es equivalente a a…rmar que Rango(A) = Rango(A ) = 3 () jAj es no nulo:
Por lo tanto, admitirá soluciones distintas de la trivial si y sólo si es compatible
indeterminado() Rango(A) < 3 (no inc¶
ognitas) () jAj = 0
8
¯
< a1;1 x + a1;2 y + a1;3 z = b1
¯ a
a2;1 x + a2;2 y + a2;3 z = b2 tal que ¯¯ 1;1
Exercise 3.8. Dado el siguiente sistema
a2;1
:
a3;1 x + a3;2 y + a3;3 z = b3
es no nulo
a) Enuncia una condición necesaria y suficiente para que este sistema sea Incompatible
b) Enuncia una condición necesaria y suficiente para que este sistema sea Compatible Determinado
c) Enuncia una condición necesaria y suficiente para que este sistema sea Compatible Indeterminado
Solución
0
a) El sistema será incompatible
()
¯
¯ Rango(A) no coincide con el Rango(A )
¯ a1;1 a1;2 ¯
¯ es no nulo; entonces la única posibilidad para
Como por hipótesis ¯¯
a2;1 a2;2 ¯
que ambos rangos no coincidan es
condición
se verificarᯠsi y sólo
¯
¯ si
¯ a1;1 a1;2 a1;3 ¯
¯ a1;1
¯
¯
¯
¯ a2;1 a2;2 a2;3 ¯ = 0 y ¯ a2;1
¯
¯
¯
¯ a3;1 a3;2 a3;3 ¯
¯ a3;1
11 Modificamos
0
que Rango(A) = 2 y Rango(A ) = 3 y esta
¯
a1;2 b1 ¯¯
a2;2 b2 ¯¯ es no nulo
a3;2 b3 ¯
la 1a col sumándole a ésta la 3a
Modificamos la 2a col sumándole a ésta la 4a
12 Modificamos la 4a col restándole a ésta el doble de la 3a
¯
a1;2 ¯¯
a2;2 ¯
28
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
b) El sistema será Compatible Determi. () Rango(A) = Rango(A0 ) = 3 (no
inc¶
ognitas)
¯
¯
¯ a1;1 a1;2 ¯
¯
¯ es no nulo; entonces la única posibilidad para
Como por hipótesis ¯
a2;1 a2;2 ¯
que ambos rangos coincidan y valgan
3 es que A tenga
¯
¯ las tres columnas L.I. Condi¯ a1;1 a1;2 a1;3 ¯
¯
¯
ción que se verificará si y sólo si ¯¯ a2;1 a2;2 a2;3 ¯¯ es no nulo
¯ a3;1 a3;2 a3;3 ¯
c) El sistema será Compatible Determi. () Rango(A) = Rango(A0 ) = 2 (no
inc¶
ognitas)
¯
¯
¯ a
a1;2 ¯¯
Como por hipótesis ¯¯ 1;1
es no nulo; entonces la única posibilidad
a2;1 a2;2 ¯
0
para que ambos rangos coincidan y valgan 2 es que A y A tengan como máximo
que se verificará si y sólo si
¯ dos columnas L.I
¯ ( las ¯dos primeras). Condición
¯
¯ a1;1 a1;2 a1;3 ¯
¯ a1;1 a1;2 b1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ a2;1 a2;2 a2;3 ¯ = 0 y ¯ a2;1 a2;2 b2 ¯ = 0
¯
¯
¯
¯
¯ a3;1 a3;2 b3 ¯
¯ a3;1 a3;2 a3;3 ¯
Exercise 3.9. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo:
8
<
ax + y + z = 0
2x ¡ y + 3z = 0
:
x ¡ 2y + (a + 1)z = 0
Por ser homogéneo siempre es compatible ya que Rango(A) = Rango(A0 ).
¯
¯
¯ a 1
1 ¯¯
¯
3 ¯¯ = ¡a2 ¡ a ¡ 4 + 3 + 1 ¡ 2a ¡ 2 + 6a = ¡a2 + 3a ¡ 2 =
jAj = ¯¯ 2 ¡1
¯ 1 ¡2 a + 1 ¯
¡(a ¡ 1)(a ¡ 2)
POSIBILIDADES
I) Si a es distinta de 1 y distinta de 2 ! jAj es no nulo! Rango(A) = 3.Por lo
tanto,el sistema será C.Determinado (solución trivial x = y = z = 0)
II) Si a 0
= 1 ! jAj = 01! Rango(A)
será C.Indeterminado
0 < 3:El sistema
1
¯
¯
1 1 1
1 1
¯ 1 1 ¯
¯ = ¡3
Rango: @ 2 ¡1 3 A = Rango @ 2 ¡1 A = 2 ya que ¯¯
2 ¡1 ¯
1 ¡2 2
1 ¡2
½
x+y+z = 0
Resolver el sistema es equivalente a resolver el siguiente:
2x ¡ y + 3z = 0
Pasando la incógnita z al otro lado; tendremos un sistema
de Cramer
¯
¯ con respecto
¯
¯
¯ ¡z
¯
1
¯
¯
½
¯
¯
¯
¡3z
¡1
¯
x + y = ¡z
¯
a las incógnitas x e y !
! x = ¯¯
= ¡4z
¯
3 ; y =
2x ¡ y = ¡3z
¯ 1
¯
1
¯
¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1
¡z ¯¯
¯
¯
¯
¯ 2 ¡3z ¯
¯
¯ = z
¯
3
¯ 1
1 ¯¯¯
¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 ¯
III) Si a = 2 ! jAj = 0 ! Rango(A) < 3:El sistema será C.Indeterminado
RAN G OS Y RO UC HE
0
29
1
¯
¯
1
¯ 2 1 ¯
¯
¯ = ¡4
A
¡1
= 2 ya que ¯
2 ¡1 ¯
¡2
½
2x + y + z = 0
Resolver el sistema es equivalente a resolver el siguiente:
2x ¡ y + 3z = 0
Pasando la incógnita z al otro lado; tendremos un sistema
de Cramer
con respecto
¯
¯
¯
¯
¯ ¡z
¯
1
¯
¯
½
¯
¯
¯ ¡3z ¡1 ¯
2x + y = ¡z
¯
¯
a las incógnitas x e y !
! x = ¯
= ¡z ! y =
¯
2x ¡ y = ¡3z
¯ 2
1 ¯¯
¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2
¡z ¯¯
¯
¯
¯
¯ 2 ¡3z ¯
¯
¯ =z
¯
¯
¯ 2
1 ¯¯
¯
¯
¯
¯ 2 ¡1 ¯
2
Rango: @ 2
1
1
¡1
¡2
1
0
1
2
3 A = Rango @ 2
3
1
Exercise 3.10. Eliminar los parámetros de las siguientes ecuaciones
8
x = ¡1 + 2r + s + 3t
>
>
<
y = 2 + r ¡ 2s ¡ t
!Escribiendo este sistema en forma vectorial pasando
z =1¡r+s
>
>
:
u = r + s + 2t
previamente al otro lados los números que no son coeficientes de los párametros
tendremos
la1siguiente
vectorial
1
0
1
1
0
0
0 igualdad
3
1
x+1
2
C
C
B
C
B
B
B y¡2 C
C = r B 1 C + s B ¡2 C + t B ¡1 Cque nos indica que:
B
@ 0 A
@ 1 A
@ z ¡1 A
@ ¡1 A
1
1
u0
1
0 2
1
0
3
2
1
3 x+1
1
2
2
B 1 ¡2 ¡1 y ¡ 2 C
B 1 ¡2 ¡1 C 13
B 1
C = Rango B
C = Rango B
Rang B
@ ¡1 1
@ ¡1 1
@ ¡1
0 z¡1 A
0 A
1
1
2
u
1
2
1
1
0
1
2
1
3 x+1
B 1 ¡2 ¡1 y ¡ 2 C
C cuyo rango es dos (ya sabePor lo tanto en la matriz B
@ ¡1 1
0 z ¡1 A
1
1
2
u
mos que la tercera columna depende de las otras dos) se ha de verificar que la 4a
columna también ha de ser combinación lineal de las dos primeras, lo que se traduce
en la siguiente condición:
8 ¯
¯
¯ 2
1 x + 1 ¯¯
>
>
¯
>
> ¯ 1 ¡2 y ¡ 2 ¯ = 0
0
1
>
>
¯
¯
2
1 x+1
>
> ¯ ¡1 1 z ¡ 1 ¯
<
B 1 ¡2 y ¡ 2 C
C
y
Rango B
()
¯
@ ¡1 1 z ¡ 1 A = 2 () > ¯
>
¯ 2 1 x+1 ¯
>
>
¯
¯
1
1
u
>
>
¯ 1 ¡2 y ¡ 2 ¯ = 0
>
>
¯
¯
: ¯
1 1
u ¯
½
¡x ¡ 3y ¡ 5z + 10 = 0
()
3x ¡ y ¡ 5u + 5 = 0
13 ya
que la 3 a columna es la suma de las otras dos
1
1
¡2 C
C =2
1 A
1
30
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
4. Problemas propuestos
Exercise 4.1. Resolver los siguientes sistemas lineales, utilizando Cramer
8
8
½
< 3x ¡ y + z = 3
< x ¡ 2y + 3z ¡ t = 1
x ¡ 2y + z = 2
a) 2x + y ¡ z = 2
b)
c) 2x + y ¡ z + t = 2
¡x + 2y ¡ 2z = 1
:
:
3x ¡ y + 2z = 0
x + 3y + 4z = 5
½
x+y+z¡t=2
d)
2x + 2y ¡ 2z + 5t = 1
Soluciones
a)S.C.D H = f(1; ¡3; ¡3)g
b)S.C.I H = f(2y + 5; y; ¡3) = y 2 <g
½µ
¶
¾
¡5t + 18 ¡5t + 14 t + 2
c)S.C.I H =
;
;
;t = t 2 <
20
20
4
½µ
¶
¾
11 ¡ 7x ¡ 7y 5 ¡ 4x ¡ 4y
d)S.C. doblemente Indeter. H =
x; y;
;
= x; y 2 <
3
3
Exercise 4.2. Discutir los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando el
Teorema de Rouche-Frobenius. En los casos en que sean compatibles, obtener sus
soluciones aplicando la Regla de Cramer
8
8
8
x + 2y + 3z = 1
x + 2y + 3z = 1
>
>
>
>
<
< x + 3y ¡ z = 1
<
2x ¡ y + z = 2
2x ¡ y + z = 2
a)
b) 2x + 2y + z = 3
c)
x ¡ 3y ¡ 2z = 1
x ¡ 3y ¡ 2z = 1
>
:
>
>
>
3x + 5y = 4
:
:
3x
+
y
+
5z
=
3
3x + y + 4z = 3
8
< x+y+z =1
d) 2x ¡ y + 3z = 2
:
3x + 4z = 8
¶
¾
½µ
7 ¡ 5z 3z ¡ 1
;
;z = z 2 <
a)S.C.D H = f(1; 0; 0)g
b)S.C.I H =
4
4
c)S.C.I H = f(1 ¡ z; ¡z; z) = z 2 <g
d)S.I
Exercise 4.3. Discutir los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, según los
valores de a, aplicando el Teorema de Rouche-Frobenius. En los casos en que sean
compatibles, obtener sus soluciones aplicando la Regla de Cramer
8
8
8
x + ay ¡ z = ¡2
< ax + y + z = 1
<
< 3x + y + 2z = 1 ¡ a
a) x + ay + z = a
b) (a + 1)x + y + z = a + 2
c) (1 + a)x + 2y + z = a
:
:
:
x + y + az = a2
5x ¡ y ¡ z = ¡2
ax ¡ y + z = 1 ¡ a
8
8
8
3x + y + 2z = 3
< 5x ¡ 11y + 9z = a
< x + y + az = 1
<
x ¡ 3y + 5z = 2 ,
2x + 2y + z = 1
d)
e) x + ay + z = 1
f),
:
:
:
2x ¡ 4y + 2z = 1
ax + y + z = 1
ax + 3y + 3z = a ¡ 1
RAN G OS Y RO UC HE
31
Soluciones
a) Si a = 1 S.C.I H = f(1 ¡ y ¡ z; y; z) = y; z 2 <g
Si a = ¡2 S. Incompatible
Si a 6= 1 y a 6= ¡2 S.C.D H =
b) Si a = ¡1 S. Incompatible
½µ
Si a = ¡6 S. Incompatible
Si a 6= ¡1 y a 6= ¡6 S.C.D H =
1
(a + 1)2
¡a ¡ 1
;
;
a+2 a+2 a+2
½µ
¶¾
a
4a
7a2 + 15a + 12
;
;
a + 6 (a + 6)(a + 1) (a + 6)(a + 1)
c) Si a = 1 S. Incompatible
½µ
¶¾
4a2 ¡ 7a + 2 ¡5a2 + 5a ¡ 4
3a
Si a 6= 1 S.C.D H =
;
;
6a ¡ 6
6a ¡ 6
6a ¡ 6
½µ
¶
¾
¡5 + 14z ¡3 + 8z
d) Si a = 4 S.C.I H =
;
; z =z 2 <
2
2
Si a 6= 4 S.Incompatible
¶¾
e) Si a = 1 S.C.I H = f(1 ¡ y ¡ z; y; z) = y; z 2 <g
Si a = ¡2 S. Incompatible
n³
´o
1
1
1
Si a 6= 1 y a 6= ¡2 S.C.D H =
;
;
a+2 a+2 a+2
©¡
¢ª
f)Si a 6= 5 S.C.D H = 1; ¡ 23 ; 13
Si a = 5 S.C.I H = f(¡3y ¡ 1; y; 4y + 3)g
8
< mx ¡ y + z = 2x
x + 2my ¡ mz = y tiene
Exercise 4.4. ¿Para qué valores de m el sistema
:
x + my ¡ z = 0
solución no nula?
½
x + y + (m ¡ 2)z = 1
Exercise 4.5. Hallar para qué valores de m el sistema
mx + 3y + mz = 2
es compatible
8
< x ¡ y + 2z = 2
Exercise 4.6. Demostrar que el sistema
2x + y + 3z = 2 , tiene solución única
:
5x + y + az = 6
si a 6= 8 . Hallar todas las soluciones cuando a) a = 6, b) a = 7
8
< a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + a1;4 x4 = b1
Exercise 4.7. Dado el sistema
a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + a2;4 x4 = b2 tal que
:
a3;1 x1 + a3;2 x2 + a3;3 x3 + a3;4 x4 = b3
¯
¯
¯ a1;1 a1;2 ¯
¯
¯
¯ a2;1 a2;2 ¯ 6= 0 ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que sea incompatible este sistema?
8
a x + a1;2 x2 + a1;3 x3 = b1
>
>
¯
< 1;1 1
¯ a
a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 = b2
a1;2
Exercise 4.8. Dado el sistema
donde ¯¯ 1;1
a
x
+
a
x
+
a
x
=
b
a
a2;2
>
3;1
1
3;2
2
3;3
3
3
2;1
>
:
a4;1 x1 + a4;2 x2 + a4;3 x3 = b4
Cuándo el sistema anterior puede ser incompatible?
¯
¯
¯ 6=0
¯
32
JUA N JOSÉ ISAC H MAYO
8
a x + a1;2 x2 + a1;3 x3 = 0
>
>
< 1;1 1
a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 = 0
Exercise 4.9. Dado el sistema
del cual sabemos
a3;1 x1 + a3;2 x2 + a3;3 x3 = 0
>
>
:
a4;1 x1 + a4;2 x2 + a4;3 x3 = 0
¯
¯
¯ a1;1 a1;2 ¯
¯ 6= 0 ¿Cuándo el sistema anterior admitirá soluciones distintas
que ¯¯
a2;1 a2;2 ¯
de la trivial?
8
< a1;1 x1 + a1;2 x2 + a1;3 x3 + a1;4 x4 = 0
Exercise 4.10. Dado el sistema
a2;1 x1 + a2;2 x2 + a2;3 x3 + a2;4 x4 = 0 tal que
:
a3;1 x1 + a3;2 x2 + a3;3 x3 + a3;4 x4 = 0
¯
¯
¯ a1;1 a1;2 a1;3 ¯
¯
¯
¯ a2;1 a2;2 a2;3 ¯ 6= 0 ¿Este sistema admite sólo la solución trivial?. Razona tu
¯
¯
¯ a3;1 a3;2 a3;3 ¯
respuesta aplicando el teorema de Rouche-Frobenius
½
a1;1 x1 + a1;2 x2 = b1
Aplicando el Teorema
a2;1 x1 + a2;2 x2 = b2
de Rouche-Frobenius explica todas las posibilidades que se pueden presentar (utiliza
para ello determinantes)
Exercise 4.11. Dado el sistema
½
a1;1 x1 + a1;2 x2 = 0
Enuncia una condición
a2;1 x1 + a2;2 x2 = 0
necesaria y suficiente para que el sistema admita soluciones distintas de la trivial
(utiliza determinantes)
Exercise 4.12. Dado el sistema
8
<
(k + 3)x + y + 2z = k
kx + (k ¡ 1)y + z = 2k
,
:
3(k + 1)x + ky + (k + 3)z = 5
tiene solución ?. En los casos en que sea compatible, determina sus soluciones
Exercise 4.13. ¿Para qué valores de k el sistema
Solución del ejercicio 4.13
Como ¯la matriz A es cuadrada¯ empezaremos calculando su determinante
¯ k+3
¯
1
2
¯
¯
¯, =: k 3 ¡ k2 =: k 2 (k ¡ 1)
k¡1 1
jAj = ¯¯ k
¯
¯ 3k + 3 k
k+3 ¯
Los valores que anulan el determinante son 0 y 1
Posibilidades
² Si k 6= 0 y k 6= 1 ! jAj 6= 0 ! RangoA = 3 = RangoA0
El sistema es compatible determinado y las soluciones son
¯
¯
¯ k
¯
1
2
¯
¯
¯ 2k k ¡ 1 1
¯
¯
¯
¯ 5
k
k+3 ¯
2
¯ = k +4k¡15
x = ¯¯
k2
¯
k
+
3
1
2
¯
¯
¯ k
¯
k¡1 1
¯
¯
¯ 3k + 3 k
k+3 ¯
RAN G OS Y RO UC HE
:
¯
¯ k+3 k
¯
¯ k
2k
¯
¯ 3k + 3 5
y = ¯¯
1
¯ k+3
¯ k
k¡1
¯
¯ 3k + 3 k
¯
¯ k+3
1
¯
¯ k
k¡1
¯
¯ 3k + 3 k
z = ¯¯
¯ k+3 1
¯ k
k¡1
¯
¯ 3k + 3 k
33
¯
¯
2
¯
¯
1
¯
k+3 ¯
2
¯ = k +k+15
k2
¯
2
¯
¯
1
¯
k +¯3 ¯
k ¯¯
2k ¯¯
5 ¯
2
¯ = ¡ 4k ¡k¡15
k2
¯
2
¯
¯
1
¯
k+3 ¯
² Si k = 0 ! jAj = 0 ! RangoA < 3 las tres columnas son linealmente
dependientes
0
1
¯
¯
3 1
2
¯ 3 1 ¯
¯
¯ =: ¡3 ! la primera y la segunda columna
A = @ 0 ¡1 1 A Como ¯
0 ¡1 ¯
3 0
3
de A son linealmente independientes y además la tercera es combinación lineal de
las dos primeras
Por lo tanto, el rang(A) = 2
0
Pasemos
ampliada
¯
¯
0 a estudiar el rango
1 de la matriz
0
1A
¯ 3 1
3 1
2 0
3 1
0
0 ¯¯
¯
Rang @ 0 ¡1 1 0 A = Rang @ 0 ¡1 0 A = 3 ya que ¯¯ 0 ¡1 0 ¯¯ =-15
¯ 3 0
3 0
3 5
3 0
5
5 ¯
El sistema es incompatible al ser los rangos distintos
² Si k = 1
! jAj = 0 ! RangoA < 3 las tres columnas son linealmente
dependientes
0
1
¯
¯
4 1 2
¯ 4 1 ¯
¯ =: ¡1 entonces la primera y la segunda
A = @ 1 0 1 A Como ¯¯
1 0 ¯
6 1 4
columna de A son linealmente independientes y además la tercera es combinación
lineal de las dos primeras
Por lo tanto, el rang(A) = 2
Pasemos
rango de la 0
matriz ampliada
A0
¯
¯
0 a estudiar el1
1
¯ 4 1 1 ¯
4 1 2 1
4 1 1
¯
¯
Rang @ 1 0 1 2 A = Rang @ 1 0 2 A = 2 ya que ¯¯ 1 0 2 ¯¯ = 0
¯ 6 1 5 ¯
6 1 4 5
6 1 5
a
a
a
(Fijate que 1 f il+2¢2 f il = 3 f il)
Como RangA = RangA0 = 2 el sistema es compatible indeterminado
Las únicas ecuaciones linealmente independientes son la 1a y ½
la 2a (la 3a ec=1a ec+2¢2a ec)
4x + y + 2z = 1
Así pues; resolver el sistema inicial es equivalente a resolver
,
x+z =2
La solución es el conjunto H = f(¡z + 2; 2z ¡ 7; z)= z 2 <g
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