FUNCIÓN CUADRÁTICA FORMA CANÓNICA DE UNA FUNCIÓN

FUNCIÓN CUADRÁTICA 5º AÑO
2013
PROF. RUHL, CLAUDIA
BATÁN, ROMINA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
FORMA CANÓNICA
FORMA POLINÓMICA
Y = a . ( x – h )2 + k
Y = a . x2 + b . x + c
FORMA FACTORIZADA
y = a . ( x – x1 ) . ( x – x2
FORMA CANÓNICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:
En todos los casos hallaremos el eje, el vértice, las raíces y haremos un estudio de la función
cuadrática dada con su correspondiente gráfica.
ACTIVIDAD: Dada la función f(x) = x 2 donde a = 1 Grafícala en tu carpeta para valores
h = 0 de x = 1,2,3,-1,-2.-3.1/2,-1/2
k=0
 En esta función el cuadrado de todo número es la imagen de la función cuyos valores pueden ser “0” o mayor que “0”.
Por lo tanto, el conjunto imagen de f (x) es ......................
Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje “y”.
Marcar en rojo el punto en que la parábola corta el eje de simetría. Ese punto es el vértice . En este caso las coordenadas
del vértice son V = ( ..........,.........)
IMPORTANTE: EL EJE DE SIMETRÍA ES
EL VÉRTICE ES
v=(h;k)
x=h
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL
Completa con lo que se pide en cada caso.
f(x) = x2
a = …..
h = …..
k = …..
j (x) = ( x – 2)2
a = ….
h = ….
k = ….
t (x) = (x + 1)2
a = …..
h = …..
k = …..
eje de simetría x= ....
eje de simetría x = ........
eje de simetría x = ..........
vértice
vértice V (......,…….)
vértice V (……..,…….)
V ( ....,.......)
ACTIVIDAD : Grafica en tu carpeta las tres funciones marcando primero el eje de simetría y el vértice, luego
realiza la tabla de valores tomando los valores de « x » convenientemente.
 Completa el cuadro observando cada gráfica
f(x)
j(x)
t(x)
Intervalo de crecimiento
Intervalo de decrecimiento
Prof. Ruhl, Claudia ( 1 )
DOMINIO: Son todos los valores de “x” que puede tomar la función, en este caso es
IMAGEN: Son todos los valores de “y” que toma la función, en este caso
r
r≥0
ORDENADA AL ORIGEN: Es el valor que toma “Y” cuando x = 0. Cualquiera sea la
función para calcular la ordenada al origen siempre reemplazamos a x = 0
Calcularemos la ordenada al origen en cada una de las funciones anteriores
f (x) = x2
y = x2
y = 02
y= 0
j (x) = ( x – 2 )2
y = ( x – 2 )2
y = ( 0 – 2 )2
y = (-2)2
y = 4
t (x) = ( x + 1)2
y = ( x + 1)2
y = ( 0 + 1 )2
y = 12
y=1
Marca en las gráficas con naranja las tres ordenadas al origen.
DESPLAZAMIENTO VERTICAL:
Observamos las gráficas de las siguiente funciones completando en cada caso lo que se pide.
2
f(x) = x
a = …..
h = …..
k = …..
a = ….
h = ….
k = ….
g (x) = x – 1
2
eje de simetría x= ....
eje de simetría x = ........
vértice
vértice V (......,…….)
V ( ....,.......)
2
r (x) = x + 2
a = …..
h = …..
k = …..
eje de simetría x = ..........
vértice V (……..,…….)
ACTIVIDAD :* Grafica en tu carpeta las tres funciones marcando primero el eje de simetría y el vértice, luego
realiza la tabla de valores tomando los valores de « x » convenientemente.
*Calcula la ordenada al orígen
 Completa el cuadro observando las gráficas y releyendo lo anterior
intervalo de crecimiento
intervalo de decrecimiento
ordenada al orígen
f(x)
g(x)
r(x)
CONJUNTO DE POSITIVIDAD: Son todos los valores de “x” para los cuales los valores
de “y” son positivos. El símbolo correspondiente es C+
En f(x) el C+ =(0,+)
en
g(x) el C+ = (- ; -1)  (1 ; + )
en
r(x) el C+ = 
CONJUNTO DE NEGATIVIDAD: Son todos los valores de “x” para los cuales los valores
de “y” son negativos. El símbolo correspondiente el C- .
En f(x) el C- = 
en
g(x) el C+ = (1 ; -1)
en
r(x) el C+ = 
RAÍCES: Las raíces son los puntos donde la parábola corta al eje “y”. Para
calcular las raíces para cualquier función, siempre, reemplazamos a y = 0,
despejamos para hallar el los valores de “x”
Calculamos las raíces para las tres funciones anteriores
Prof. Ruhl, Claudia ( 2 )
F(x) = x2
y = x2
0 = x2
0=x
0=x
Como hay una sola
solución
hay una sola
raíz
g (x) = x 2 - 1
y =x2 -1
0= x2 -1
0 + 1= x 2
± 1 = x
r (x) = x 2 + 2
y= x2+2
0= x2 +2
0–2= x2
-2 = x
 =x
indica que la función no tiene raíces
en r porque no hay solución
x1 = +1 x2 = -1
en este caso la función
tiene dos raíces
Ejemplo: hallaremos el eje de simetría, el vértice, las raíces, graficaremos la función y haremos el estudio de la
misma. Ayuda: antes de ver este ejercicio resuelto tienes que haber estudiado todo lo que se encuentra en las
páginas anteriores y tener las hojas siempre a mano para consultarlas hasta que lo sepas sin necesidad de
recurrir a ellas
y=(x–3)2 -4
a=1
eje x = h
x=3
h=3
vértice (h;k) V = ( 3 ; -4)
k=-4
En caso de que la función no tenga raíces en la gráfica marcar el eje de simetría, el vértice, la ordenada
y=(x–3)2 -4
0=(x–3)2 -4
0+4= (x–3)2
±√4 = x–3
± 2+3=x
+2+3=x1
-2+3 =x2
Raíces
Ordenada al origen :
(siempre reemplazamos y=0=
+5 = x 1
+1 = x 2
y= (x–3)2 +4
y= 9 +4
y=(0–3)2+4
y = 13
(siempre reemplazamos x=0)
Ubica en ejes cartesianos, el eje de simetría, el vértice, la ordenada al origen y las raíces, une los puntos y ya tendrás la
parábola. Si no hay raíces deberás hacer una tabla de valores eligiendo valores cercanos al eje.
Observa en dicha gráfica:
C + = (-  ; 1 )  ( 5 ; +  )
C-=(1;5)
Intervalo de crecimiento (3 ; +  )
Intervalo de decrecimiento ( -  ; 3)
(recordar que aquí intervienen las raíces)
(recordar que aquí interviene el eje de simetría)
El vértice (3 ; -4) es un mínimo
Dm. = R
Im= r ≥ -4
Ejercicio Nº 1: De cada función hallar el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarla y hacer el estudio de la misma.
1) y = 2 ( x – 4)2 – 3
2) y = ( x + 2 ) 2 –4
3) y = x 2 +1
2
2
4) y = - ( x + 3 ) + 2
5) y = - x + 4
6) y = ( x – 5 )2
2–
2
7) y = ( x + 3) 3/2
8) y = x – 25/4
9) y = ( x + 3/2) 2
Ejercicio Nº 2: Si el gráfico de una función cuadrática pasa por los puntos A = (3 ; 7) y B = (-5 ; 7) la ecuación del eje de simetría es:
a) x = -1
b) x = 1
c) y = -1
d) x = 0
Justifica tu respuesta
Ejercicio Nº 3: Si una parábola pasa por el punto A = ( 1;6) y el vértice es V = (3;2), el punto simétrico de A es:
a) B = (5;6)
b) B = (-1;6)
c) B = (0;6)
d) D = ( -1; -6)
Justifica tu respuesta
Ejercicio Nº 4: El vértice del gráfico de la función f(x) = (x+5) 2 -9 es:
a) V = (-9;5) b) V = (-5;-9) c) V = (5; -9) d) V = (9;-5) e) V = (5;9) Justifica
Ejercicio Nº5: Si se quiere que la función f(x) = x 2 se desplace de manera que el nuevo vértice sea el punto V = ( -4 ; 9 ). La nueva
fórmula es:
a) h(x) = ( x-4)2 + 9
b) h(x) = (x+4)2 –9 c) h(x) = (x+4)2 +9 d) h(x) = (x-4)2 –9
Ejercicio Nº 6: El desplazamiento de h(x) = (x+1)2 -2 respecto de f(x) = x2 es:
a) Dos unidades a la izquierda y una unidad hacia arriba
b) Una unidad a la derecha y dos unidades hacia arriba
c) Una unidad a la izquierda y dos unidades hacia arriba
d) Una unidad a la izquierda y dos unidades hacia abajo
Ejercicio Nº 7: Dados los siguientes vértices escribe en cada caso la fórmula de la función cuadrática correspondiente a cada una de
ellas.a) V = ( -3;2) b) V = ( 0; ½) c) V = ( ¾ ; 0) d) V = ( 0;0) e) V = (5; - 8)
Prof. Ruhl, Claudia ( 3 )
FORMA POLINÓMICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:
La fórmula general de una función cuadrática en forma polinómica es:
y = a x2 + b x + c
Tomemos la siguiente función para calcular el eje, el vértice, las raíces y graficarla junto con el estudio de la misma:
f(x) = x 2 – 2x -3
a= 1
b=-2
c = -3
EJE: Para calcularlo deberemos utilizar la siguiente fórmula y reemplazarla por los valores correspondiente
EJE x = - b
2.a
eje x = - ( -2)
2.1
x= 2
1
x=1
VÉRTICE: como el vértice es el par ordenado (x,y) estando el mismo sobre el eje de simetría, para hallar “y” reemplazamos en la
función dada a la “x” por 1 ….. x=1
f (x) = x 2 - 2 x –3
y=12 -2.1–3
y=1–2–3
y=-4
Vértice: V = ( x ; y )
V = ( 1 ; -4 )
RAÍCES: Para calcular las raíces en forma polinómica deberemos reemplazar en la siguiente fórmula
x1 x2 = -b ±  b2 - 4 . a . c
2.a
Reemplazamos por los valores que tiene la función f(x)
x1 x2 = - (-2) ±  ( -2)2 - 4 . 1 . (-3)
2.1
x1x2 = 2± 4
2
x1 = 2 + 4
2
x1 x2 = 2 ±  4 + 12
2
x1 = 6
x1 x2 = 2±  16
2
x1 = 3
RAÍCES
x2 = 2 – 4
x2 = -2
x2 = -1
2
ORDENADA AL ORIGEN: Se calcula igual que en la forma canónica, se reemplaza a x = 0 calculando “y”
f(x) = x 2 – 2x -3
ordenada al origen
y = 0 2 – 2.0 -3
y=-3
Ordenada al origen
Con el eje, el vértice, las raíces, y la ordenada al origen que acabamos de calcular grafica la función cuadrática correspondiente a f(x)
En tu carpeta y realiza el estudio de la misma
El vértice puede ser máximo o mínimo
MÁXIMO: Cuando la función pasa de ser cresciente a decresciente
MÍNIMO: Cuando la función pasa de se decresciente a cresciente
Ejercicio Nº8: Calcular el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarlas y hacer el estudio de las mismas de las siguientes
funciones cuadráticas en forma polinómica.(C+, C-, máximo o mínimo, intervalo de crecimiento, intervalo de decrecimiento, dominio,
imagen)
a) y = x 2 – 6 x + 10
b) y = x 2 –2
c) y = x 2 -8.x + 4
d) y = x 2 – 2 . x + 5
e) y = x 2 – 2 . x + 5
f) y = ½ . x 2 + 3
g) y = 6 x 2 - 2/3
h) y = - 4/3 x2
i) y = ½ x 2 + 3 x
j) y =3/2 x 2 – 1/3
k) y = x2 – ½ x – 5
l) y = 2 x 2 – 1/3 x
m) y = 4 x2 – 12 x + 5
n) y = x2 – x – 12
ñ) y = 2 x 2 +2 x + 5
Prof. Ruhl, Claudia (4)
FORMA FACTORIZADA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:
La formula general de una función cuadrática escrita en forma factorizada es la siguiente:
y = a.( x - x1 ) . ( x - x2 )
donde “ x 1 “ y “ x 2 “ son las raíces de la función.
Tomemos la siguiente función escrita en forma factorizada y hallemos el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, la gráfica y
hagamos un estudio de la misma.
En forma factorizada tenemos automáticamente las raíces de la función que en nuestro ejemplo son
f (x) = ( x + 4) . ( x – 2 )
x1 = -4
x2 = 2
Por lo tanto solamente deberemos hallar el eje, el vértice y la ordenada al origen.
Ordenada al origen: como hemos dicho anteriormente, reemplazamos a x = 0 y obtenemos el valor de “y”.
y=(0+4).(0–2)
y = 4 . (– 2 )
y=-8
Eje de simetría: Para hallarlo utilizaremos las raíces y como el eje se simetría se encuentra en el punto medio de ambas aplicamos la
siguiente fórmula
Eje de simetría =
x1 + x 2
2
En nuestro ejemplo lo calculamos así:
Eje de simetría = - 4 + 2
eje de simetría x = 1
2
Como dijimos antes, para hallar el vértice reemplazamos el valor del eje en la función original
f(x) = ( x + 4 ) . ( x – 2 ) y = ( -1 + 4 ) . ( - 1 – 2 ) y = 3 . ( - 3) y = - 9
Por lo tanto el vértice será
V = ( -1; -9 )
Con los datos anteriores grafica la función en tu carpeta y realiza el estudio de la misma
Ejercicio Nº 9: Calcular el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarlas y hacer el estudio de las mismas de las siguientes
funciones cuadráticas en forma factorizada.
a) y = ( x – 5 ) . ( x + 1 )
b) y = ( x + 7 ) . ( x + 1 )
c) y = ( x – 4 ) . ( x – 8)
d) y = ( x – 1 ) . ( x – 6 )
e) y = ( x + 10 ) . ( x + 3)
f) y = ( x – 4 ) . ( x + 3)
Ejercicio Nº 10: Con los siguientes datos escribe la función cuadrática correspondiente, grafícala y realiza el estudio de
la misma.( en todas las funciones el valor de a = 1)
a) V = ( 5; - 3)
b) x1 = 3 x2 = -1
c) V = ( 2 ; 3 )
d) x1 = 0 x2 = 5
e) V = ( - 4 ; 2 )
d) V = ( 0 ; 4 )
Prof. Ruhl, Claudia ( 5 )