FUNCIÓN CUADRÁTICA 5º AÑO
2013
PROF. RUHL, CLAUDIA
BATÁN, ROMINA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
FORMA CANÓNICA
FORMA POLINÓMICA
Y = a . ( x – h )2 + k
Y = a . x2 + b . x + c
FORMA FACTORIZADA
y = a . ( x – x1 ) . ( x – x2
FORMA CANÓNICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:
En todos los casos hallaremos el eje, el vértice, las raíces y haremos un estudio de la función
cuadrática dada con su correspondiente gráfica.
ACTIVIDAD: Dada la función f(x) = x 2 donde a = 1 Grafícala en tu carpeta para valores
h = 0 de x = 1,2,3,-1,-2.-3.1/2,-1/2
k=0
En esta función el cuadrado de todo número es la imagen de la función cuyos valores pueden ser “0” o mayor que “0”.
Por lo tanto, el conjunto imagen de f (x) es ......................
Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje “y”.
Marcar en rojo el punto en que la parábola corta el eje de simetría. Ese punto es el vértice . En este caso las coordenadas
del vértice son V = ( ..........,.........)
IMPORTANTE: EL EJE DE SIMETRÍA ES
EL VÉRTICE ES
v=(h;k)
x=h
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL
Completa con lo que se pide en cada caso.
f(x) = x2
a = …..
h = …..
k = …..
j (x) = ( x – 2)2
a = ….
h = ….
k = ….
t (x) = (x + 1)2
a = …..
h = …..
k = …..
eje de simetría x= ....
eje de simetría x = ........
eje de simetría x = ..........
vértice
vértice V (......,…….)
vértice V (……..,…….)
V ( ....,.......)
ACTIVIDAD : Grafica en tu carpeta las tres funciones marcando primero el eje de simetría y el vértice, luego
realiza la tabla de valores tomando los valores de « x » convenientemente.
Completa el cuadro observando cada gráfica
f(x)
j(x)
t(x)
Intervalo de crecimiento
Intervalo de decrecimiento
Prof. Ruhl, Claudia ( 1 )
DOMINIO: Son todos los valores de “x” que puede tomar la función, en este caso es
IMAGEN: Son todos los valores de “y” que toma la función, en este caso
r
r≥0
ORDENADA AL ORIGEN: Es el valor que toma “Y” cuando x = 0. Cualquiera sea la
función para calcular la ordenada al origen siempre reemplazamos a x = 0
Calcularemos la ordenada al origen en cada una de las funciones anteriores
f (x) = x2
y = x2
y = 02
y= 0
j (x) = ( x – 2 )2
y = ( x – 2 )2
y = ( 0 – 2 )2
y = (-2)2
y = 4
t (x) = ( x + 1)2
y = ( x + 1)2
y = ( 0 + 1 )2
y = 12
y=1
Marca en las gráficas con naranja las tres ordenadas al origen.
DESPLAZAMIENTO VERTICAL:
Observamos las gráficas de las siguiente funciones completando en cada caso lo que se pide.
2
f(x) = x
a = …..
h = …..
k = …..
a = ….
h = ….
k = ….
g (x) = x – 1
2
eje de simetría x= ....
eje de simetría x = ........
vértice
vértice V (......,…….)
V ( ....,.......)
2
r (x) = x + 2
a = …..
h = …..
k = …..
eje de simetría x = ..........
vértice V (……..,…….)
ACTIVIDAD :* Grafica en tu carpeta las tres funciones marcando primero el eje de simetría y el vértice, luego
realiza la tabla de valores tomando los valores de « x » convenientemente.
*Calcula la ordenada al orígen
Completa el cuadro observando las gráficas y releyendo lo anterior
intervalo de crecimiento
intervalo de decrecimiento
ordenada al orígen
f(x)
g(x)
r(x)
CONJUNTO DE POSITIVIDAD: Son todos los valores de “x” para los cuales los valores
de “y” son positivos. El símbolo correspondiente es C+
En f(x) el C+ =(0,+)
en
g(x) el C+ = (- ; -1) (1 ; + )
en
r(x) el C+ =
CONJUNTO DE NEGATIVIDAD: Son todos los valores de “x” para los cuales los valores
de “y” son negativos. El símbolo correspondiente el C- .
En f(x) el C- =
en
g(x) el C+ = (1 ; -1)
en
r(x) el C+ =
RAÍCES: Las raíces son los puntos donde la parábola corta al eje “y”. Para
calcular las raíces para cualquier función, siempre, reemplazamos a y = 0,
despejamos para hallar el los valores de “x”
Calculamos las raíces para las tres funciones anteriores
Prof. Ruhl, Claudia ( 2 )
F(x) = x2
y = x2
0 = x2
0=x
0=x
Como hay una sola
solución
hay una sola
raíz
g (x) = x 2 - 1
y =x2 -1
0= x2 -1
0 + 1= x 2
± 1 = x
r (x) = x 2 + 2
y= x2+2
0= x2 +2
0–2= x2
-2 = x
=x
indica que la función no tiene raíces
en r porque no hay solución
x1 = +1 x2 = -1
en este caso la función
tiene dos raíces
Ejemplo: hallaremos el eje de simetría, el vértice, las raíces, graficaremos la función y haremos el estudio de la
misma. Ayuda: antes de ver este ejercicio resuelto tienes que haber estudiado todo lo que se encuentra en las
páginas anteriores y tener las hojas siempre a mano para consultarlas hasta que lo sepas sin necesidad de
recurrir a ellas
y=(x–3)2 -4
a=1
eje x = h
x=3
h=3
vértice (h;k) V = ( 3 ; -4)
k=-4
En caso de que la función no tenga raíces en la gráfica marcar el eje de simetría, el vértice, la ordenada
y=(x–3)2 -4
0=(x–3)2 -4
0+4= (x–3)2
±√4 = x–3
± 2+3=x
+2+3=x1
-2+3 =x2
Raíces
Ordenada al origen :
(siempre reemplazamos y=0=
+5 = x 1
+1 = x 2
y= (x–3)2 +4
y= 9 +4
y=(0–3)2+4
y = 13
(siempre reemplazamos x=0)
Ubica en ejes cartesianos, el eje de simetría, el vértice, la ordenada al origen y las raíces, une los puntos y ya tendrás la
parábola. Si no hay raíces deberás hacer una tabla de valores eligiendo valores cercanos al eje.
Observa en dicha gráfica:
C + = (- ; 1 ) ( 5 ; + )
C-=(1;5)
Intervalo de crecimiento (3 ; + )
Intervalo de decrecimiento ( - ; 3)
(recordar que aquí intervienen las raíces)
(recordar que aquí interviene el eje de simetría)
El vértice (3 ; -4) es un mínimo
Dm. = R
Im= r ≥ -4
Ejercicio Nº 1: De cada función hallar el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarla y hacer el estudio de la misma.
1) y = 2 ( x – 4)2 – 3
2) y = ( x + 2 ) 2 –4
3) y = x 2 +1
2
2
4) y = - ( x + 3 ) + 2
5) y = - x + 4
6) y = ( x – 5 )2
2–
2
7) y = ( x + 3) 3/2
8) y = x – 25/4
9) y = ( x + 3/2) 2
Ejercicio Nº 2: Si el gráfico de una función cuadrática pasa por los puntos A = (3 ; 7) y B = (-5 ; 7) la ecuación del eje de simetría es:
a) x = -1
b) x = 1
c) y = -1
d) x = 0
Justifica tu respuesta
Ejercicio Nº 3: Si una parábola pasa por el punto A = ( 1;6) y el vértice es V = (3;2), el punto simétrico de A es:
a) B = (5;6)
b) B = (-1;6)
c) B = (0;6)
d) D = ( -1; -6)
Justifica tu respuesta
Ejercicio Nº 4: El vértice del gráfico de la función f(x) = (x+5) 2 -9 es:
a) V = (-9;5) b) V = (-5;-9) c) V = (5; -9) d) V = (9;-5) e) V = (5;9) Justifica
Ejercicio Nº5: Si se quiere que la función f(x) = x 2 se desplace de manera que el nuevo vértice sea el punto V = ( -4 ; 9 ). La nueva
fórmula es:
a) h(x) = ( x-4)2 + 9
b) h(x) = (x+4)2 –9 c) h(x) = (x+4)2 +9 d) h(x) = (x-4)2 –9
Ejercicio Nº 6: El desplazamiento de h(x) = (x+1)2 -2 respecto de f(x) = x2 es:
a) Dos unidades a la izquierda y una unidad hacia arriba
b) Una unidad a la derecha y dos unidades hacia arriba
c) Una unidad a la izquierda y dos unidades hacia arriba
d) Una unidad a la izquierda y dos unidades hacia abajo
Ejercicio Nº 7: Dados los siguientes vértices escribe en cada caso la fórmula de la función cuadrática correspondiente a cada una de
ellas.a) V = ( -3;2) b) V = ( 0; ½) c) V = ( ¾ ; 0) d) V = ( 0;0) e) V = (5; - 8)
Prof. Ruhl, Claudia ( 3 )
FORMA POLINÓMICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:
La fórmula general de una función cuadrática en forma polinómica es:
y = a x2 + b x + c
Tomemos la siguiente función para calcular el eje, el vértice, las raíces y graficarla junto con el estudio de la misma:
f(x) = x 2 – 2x -3
a= 1
b=-2
c = -3
EJE: Para calcularlo deberemos utilizar la siguiente fórmula y reemplazarla por los valores correspondiente
EJE x = - b
2.a
eje x = - ( -2)
2.1
x= 2
1
x=1
VÉRTICE: como el vértice es el par ordenado (x,y) estando el mismo sobre el eje de simetría, para hallar “y” reemplazamos en la
función dada a la “x” por 1 ….. x=1
f (x) = x 2 - 2 x –3
y=12 -2.1–3
y=1–2–3
y=-4
Vértice: V = ( x ; y )
V = ( 1 ; -4 )
RAÍCES: Para calcular las raíces en forma polinómica deberemos reemplazar en la siguiente fórmula
x1 x2 = -b ± b2 - 4 . a . c
2.a
Reemplazamos por los valores que tiene la función f(x)
x1 x2 = - (-2) ± ( -2)2 - 4 . 1 . (-3)
2.1
x1x2 = 2± 4
2
x1 = 2 + 4
2
x1 x2 = 2 ± 4 + 12
2
x1 = 6
x1 x2 = 2± 16
2
x1 = 3
RAÍCES
x2 = 2 – 4
x2 = -2
x2 = -1
2
ORDENADA AL ORIGEN: Se calcula igual que en la forma canónica, se reemplaza a x = 0 calculando “y”
f(x) = x 2 – 2x -3
ordenada al origen
y = 0 2 – 2.0 -3
y=-3
Ordenada al origen
Con el eje, el vértice, las raíces, y la ordenada al origen que acabamos de calcular grafica la función cuadrática correspondiente a f(x)
En tu carpeta y realiza el estudio de la misma
El vértice puede ser máximo o mínimo
MÁXIMO: Cuando la función pasa de ser cresciente a decresciente
MÍNIMO: Cuando la función pasa de se decresciente a cresciente
Ejercicio Nº8: Calcular el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarlas y hacer el estudio de las mismas de las siguientes
funciones cuadráticas en forma polinómica.(C+, C-, máximo o mínimo, intervalo de crecimiento, intervalo de decrecimiento, dominio,
imagen)
a) y = x 2 – 6 x + 10
b) y = x 2 –2
c) y = x 2 -8.x + 4
d) y = x 2 – 2 . x + 5
e) y = x 2 – 2 . x + 5
f) y = ½ . x 2 + 3
g) y = 6 x 2 - 2/3
h) y = - 4/3 x2
i) y = ½ x 2 + 3 x
j) y =3/2 x 2 – 1/3
k) y = x2 – ½ x – 5
l) y = 2 x 2 – 1/3 x
m) y = 4 x2 – 12 x + 5
n) y = x2 – x – 12
ñ) y = 2 x 2 +2 x + 5
Prof. Ruhl, Claudia (4)
FORMA FACTORIZADA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:
La formula general de una función cuadrática escrita en forma factorizada es la siguiente:
y = a.( x - x1 ) . ( x - x2 )
donde “ x 1 “ y “ x 2 “ son las raíces de la función.
Tomemos la siguiente función escrita en forma factorizada y hallemos el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, la gráfica y
hagamos un estudio de la misma.
En forma factorizada tenemos automáticamente las raíces de la función que en nuestro ejemplo son
f (x) = ( x + 4) . ( x – 2 )
x1 = -4
x2 = 2
Por lo tanto solamente deberemos hallar el eje, el vértice y la ordenada al origen.
Ordenada al origen: como hemos dicho anteriormente, reemplazamos a x = 0 y obtenemos el valor de “y”.
y=(0+4).(0–2)
y = 4 . (– 2 )
y=-8
Eje de simetría: Para hallarlo utilizaremos las raíces y como el eje se simetría se encuentra en el punto medio de ambas aplicamos la
siguiente fórmula
Eje de simetría =
x1 + x 2
2
En nuestro ejemplo lo calculamos así:
Eje de simetría = - 4 + 2
eje de simetría x = 1
2
Como dijimos antes, para hallar el vértice reemplazamos el valor del eje en la función original
f(x) = ( x + 4 ) . ( x – 2 ) y = ( -1 + 4 ) . ( - 1 – 2 ) y = 3 . ( - 3) y = - 9
Por lo tanto el vértice será
V = ( -1; -9 )
Con los datos anteriores grafica la función en tu carpeta y realiza el estudio de la misma
Ejercicio Nº 9: Calcular el eje, el vértice, las raíces, la ordenada al origen, graficarlas y hacer el estudio de las mismas de las siguientes
funciones cuadráticas en forma factorizada.
a) y = ( x – 5 ) . ( x + 1 )
b) y = ( x + 7 ) . ( x + 1 )
c) y = ( x – 4 ) . ( x – 8)
d) y = ( x – 1 ) . ( x – 6 )
e) y = ( x + 10 ) . ( x + 3)
f) y = ( x – 4 ) . ( x + 3)
Ejercicio Nº 10: Con los siguientes datos escribe la función cuadrática correspondiente, grafícala y realiza el estudio de
la misma.( en todas las funciones el valor de a = 1)
a) V = ( 5; - 3)
b) x1 = 3 x2 = -1
c) V = ( 2 ; 3 )
d) x1 = 0 x2 = 5
e) V = ( - 4 ; 2 )
d) V = ( 0 ; 4 )
Prof. Ruhl, Claudia ( 5 )
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