Hoja de problemas 7

Geometrı́a de Curvas y Superficies. 2o Matemáticas.
Departamento de Matemáticas, UAM.
Curso 2015-16.
Hoja 7: Segunda forma fundamental
1. Dadas tres constantes positivas a, b, c, demuestra que h(x, y, z) ≡ (ax, by, cz) es una transformación del espacio que lleva el hiperboloide de revolución de una hoja {x2 +y 2 = 1+z 2 }
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2
al hiperboloide de una hoja S = { xa + yb = 1 + zc }. Aprovecha esto para dar una
parametrización de S, y demuestra que todos los puntos de S son hiperbólicos.
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2
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Análogamente parametriza una hoja del hiperboloide { zc = 1 + xa + yb }, y demuestra que todos sus puntos son elı́pticos.
2. Decide, razonadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica
tus respuestas.
(a) Sea α(s) una curva dentro de una superficie regular S, y sea kα,n (s) su curvatura
normal. Sea β(s) ≡ α(−s). Entonces kβ,n (s) = kα,n (−s).
(b) Sea S una superficie regular. Si todos los puntos de S son elı́pticos, entonces S no
puede contener ninguna recta afı́n.
(c) Sean S1 y S2 dos superficies isométricas, y sea h : S1 → S2 una isometrı́a entre ellas.
Sea α(s) una curva en S1 , y sea β(s) = h ◦ α(s) la correspondiente curva en S2 .
Entonces las curvaturas normales de α y β son iguales.
(d) Sean S1 y S2 dos superficies isométricas, y sea h : S1 → S2 una isometrı́a entre
ellas. Sea α(s) una curva en S1 , y sea β(s) = h ◦ α(s). Si α está parametrizada por
longitud de arco, entonces β también lo está.
3. Decide, razonadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica
tus respuestas.
(a) Sea β(s) una curva plana tal que k(s) ≡ s2 + 1. Entonces el cı́rculo osculador en
s = 0 está situado a un lado de β.
(b) Sea S una superficie regular. Si por un punto p ∈ S pasan dos rectas contenidas en
S, entonces p tiene que ser plano.
(c) Sea S una superficie regular. Si por un punto p ∈ S pasan tres rectas contenidas en
S, entonces p tiene que ser plano.
4. Sea α una curva regular contenida en una superficie S. Si p ∈ α es un punto elı́ptico
de S, demuestra que la curvatura escalar espacial kα (p) de α en p satisface kα (p) ≥
min (|k1 |, |k2 |), donde k1 , k2 son las curvaturas principales de S en p.
5. Sea, en particular, S = { z = 2x2 +y 2 }. De todas las curvas α(t) ⊂ S con α(0) = (0, 0, 0),
determina una con curvatura espacial mı́nima en t = 0. ¿Existe alguna con curvatura
espacial máxima?
1
6. Sea p ∈ S un punto hiperbólico. Demuestra que las direcciones principales en p son las
bisectrices de las direcciones asintóticas.
p
θ
Sea θ el ángulo entre las direcciones asintóticas. Demuestra que tan =
|k1 /k2 |.
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Deduce que las direciones asintóticas son perpendiculares si y sólo si k1 + k2 = 0.
7. Demuestra que una curva birregular contenida en una superficie S es asintótica si y sólo
si su plano osculador es tangente a la superficie en cada punto.
Calcula las lı́neas de curvatura del helicoide Φ(u, v) ≡ ( u cos v , u sen v , v ) y comprueba
que son birregulares. Fijada una tal lı́nea γ comprueba que, a medida que el punto p
recorre γ, va variando el ángulo entre el plano osculador de γ en p y el plano tangente al
helicoide en p.
8. El paraguas de Whitney es la superficie S parametrizada por Φ(u, v) = ( u , uv , v 2 ).
(a) Comprueba que Φ es regular en todos los puntos excepto el (u, v) = (0, 0).
(b) Calcula la segunda forma fundamental y comprueba que todos los puntos con v 6= 0
son hiperbólicos.
(c) Las lı́neas v = cte1 son rectas afines, y por lo tanto lı́neas asintóticas de S. Halla la
otra familia de lı́neas asintóticas, expresándola como u · h(v) = cte2 donde h(v) es
cierta función solamente de v. Demuestra que, aparte de la semirrecta u = 0 y las
reglas v = cte1 , el paraguas de Whitney no contiene ningún trozo de recta afı́n.
9. Sea α(u) una curva birregular en el espacio, parametrizada por longitud de arco, que tiene
torsión constante τ ≡ 1 y curvatura arbitraria k(u) > 0.
(a) Siendo {t(u), n(u), b(u)} el triedro de Frenet de α, definimos una superficie S mediante la parametrización:
Φ(u, v) ≡ α(u) + v b(u) .
Demuestra que S contiene a α y calcula IΦ .
(b) Supón que tenemos dos curvas birregulares α1 (u), α2 (u) parametrizadas por longitud
de arco, ambas con torsión constante 1 pero con curvaturas k1 (u), k2 (u) distintas. A
partir de α1 , α2 , construimos parametrizaciones respectivas Φ1 (u, v), Φ2 (u, v) igual
que en el apartado (a) y llamamos S1 , S2 a las superficies resultantes. Demuestra
que la siguiente aplicación
h : S1 −→ S2
,
Φ1 (u, v) 7−→ Φ2 (u, v)
es una isometrı́a local que lleva α1 a α2 .
(c) Elige
la normal unitaria N de S que cumple N · n(u) > 0, y demuestra que IIS ≡
√
1
1 + v 2 k(u) (du)2 − 2 √1+v
2 dudv.
(d) Deduce que una familia de lı́neas asintóticas es la u = cte y la otra viene dada por
(1 + v 2 ) k(u) u0 − 2 v 0 = 0.
(e) En vista del resultado en (d) dı́, razonadamente, si la isometrı́a h del apartado (b)
lleva o no lı́neas asintóticas de S1 a lı́neas asintóticas de S2 [recuerda que k1 6= k2 ].
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10. Demuestra que si una superficie es tangente a un plano a lo largo de una curva regular,
entonces los puntos de tangencia son o bien parabólicos, o bien planos.
11. El hiperboloide de una hoja S1 = {x2 + y 2 = 1 + z 2 } tiene la siguiente parametrización
con reglas v = cte (ejercicio 7 de la Hoja 1):
Ψ(u, v) ≡ cos v − u sen v , sen v + u cos v , u
, (u, v) ∈ R2 .
Sea S2 la superficie (también reglada) parametrizada por:
χ(u, v) ≡ u + v , u cos v , u sen v
, (u, v) ∈ R2 .
(a) Calcula las primeras formas fundamentales IΨ , Iχ y demuestra que la siguiente aplicación es una isometrı́a local que lleva reglas a reglas:
h : S1 −→ S2
,
h
Ψ(u, v) 7−→ χ(u, v) .
√
(b) Sea ` = 1 + 2u2 . Demuestra que NΨ ≡ (1/`) · ( cos v − u sen v , sen v + u cos v , −u )
∂
es una normal unitaria para S1 y comprueba que ∂v
NΨ ≡ escalar · Ψv ¿Son las curvas
{u = cte} lı́neas de curvatura de S1 ?
Demuestra que Nχ ≡ (1/`) · ( −u , − sen v + u cos v , cos v + u sen v ) es una normal unitaria para S2 y comprueba que χv no es autovector del endomorfismo de
Weingarten de S2 . ¿Lleva h lı́neas de curvatura a lı́neas de curvatura?
(c) Demuestra que las matrices en las bases {Ψu , Ψv } y {χu , χv }, respectivamente, de
las segundas formas fundamentales de S1 y S2 son las siguientes:
1
√
1 + 2u2
√
1
1 + 2u2
0
−1
0
1
−1
−1 − u2
1
−u2
para Ψ ,
para χ .
Calcula la matriz de los endomorfismos de Weingarten en esas bases y la pareja de
curvaturas principales de cada superficie.
(d) La isometrı́a del apartado (a) ¿preserva el par {k1 , k2 } de curvaturas principales?
¿preserva el producto k1 k2 ?
12. Sea S una superficie regular. Sea II(·, ·) la forma polar de la segunda forma fundamental
II(·), es decir la única forma bilineal simétrica tal que II(v, v) = II(v) para todo vector
tangente v.
Dos vectores tangentes v, w ∈ Tp S se dicen conjugados si son ortogonales respecto de
esa forma bilineal, es decir si II(v, w) = 0. De la manera obvia se definen direcciones
tangentes conjugadas.
Dada la silla S, parametrizada por Φ(u, v) ≡ (u, v, uv), considera en ella el campo de
vectores tangentes V ≡ uΦu + vΦv . Halla las trayectorias ortogonales a V y dibuja sus
preimágenes en el plano de parámetros R2uv . Halla las trayectorias conjugadas de V y
dibuja sus preimágenes en el plano de parámetros.
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