PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCIN

212
⎛ ∂P( x , y) ⎞
⎟⎟ = 2e2y -cos xy + xy sen xy
♦ Obtuvimos ⎜⎜
∂
y
⎝
⎠
⎛ ∂Q( x , y) ⎞
Bien. ¿Qué obtuvieron al calcular ⎜
⎟?
⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂Q( x , y) ⎞
2y
♦ Obtuvimos ⎜
⎟ = 2e - cos xy + xy sen xy
∂
x
⎝
⎠
¿A qué conclusión llegaron?
♦
⎛ ∂P( x, y) ⎞
⎛ ∂Q( x , y) ⎞
⎟⎟ = ⎜
Concluimos que ⎜⎜
⎟ , por lo tanto, la ecuación
⎝ ∂x ⎠
⎝ ∂y ⎠
diferencial dada es exacta.
Correcto. ¿Cuál es el siguiente paso?
♦ El siguiente paso es determinar una función F (x, y), tal que:
⎛ ∂F( x, y) ⎞
2y
⎜
⎟ = P (x, y) = e – y cos xy
∂
x
⎝
⎠
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = Q (x, y) = 2xe2y - x cos xy + 2y
⎝ ∂y ⎠
¿Qué deben hacer para determinar F(x, y)?
♦
⎛ ∂F( x, y) ⎞
Se debe integrar, por ejemplo ⎜
⎟ , parcialmente respecto de x,
⎝ ∂x ⎠
asumiendo “y” como constante
213
∫
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜
⎟ ∂x =
⎝ ∂x ⎠
x
∫
(e 2y - y cos xy) dx + h(y)
y = ctte
Muy bien, de allí que resulta:
♦ Resulta que F(x, y) = xe2y – sen xy + h (y)
Exacto. ¿Qué deben hacer ahora?
♦ Se debe derivar parcialmente respecto de y, la función F (x, y) conseguida
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = 2xe2y - x cos xy +
⎝ ∂y ⎠
⎛ dh ( y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ dy ⎠
¿A quién deberá ser igual esa derivada que obtuvieron?
♦ Deberá ser igual a Q(x,y), esto es
⎛ dh ( y) ⎞
⎟⎟ = 2xe2y - x cos xy + 2y
2xe2y - x cos xy + ⎜⎜
⎝ dy ⎠
⎛ dh ( y) ⎞
⎟⎟ = 2y
simplificando, resulta que ⎜⎜
⎝ dy ⎠
Correcto. ¿Cómo obtienen h(y)?
♦ h (y) se obtiene integrando ∫ dh (y) = ∫ 2y dy,
es decir, h (y) = y2 + C
¿Qué hacer con esta función h(y) que obtuvieron?
♦ La sustituimos en F(x, y) = xe2y - Sen xy + h (y). Así:
214
F(x, y) = xe2y - Sen xy + y2 + C
¿Qué concluyen entonces?
♦ Concluimos que la función xe2y - Sen xy + y2 + C = 0 es la solución general
de la ecuación diferencial:
(e2y – y Cos xy) dx + (2xe2y - x Cos xy + 2y) dy = 0
Exactamente.
Hagamos un problema más para afianzar los aspectos
estudiados en esta lección. Resuelvan el Problema 2 que aparece en la página 35 de
sus guías. Disponen de 10 min. y pueden realizarlo en grupos de 3
PROBLEMA 2:
Obtenga la solución particular de la ecuación diferencial
(Cos x Sen x – xy2) dx + y (1 – x2) dy = 0
sujeta a la condición y(0) = 2
Revisemos los pasos que siguieron para resolver el Problema 2. Para poder
obtener la solución particular de la ecuación diferencial dada ¿Qué deben determinar
primero?
♦ Primero debemos determinar la solución general.
Correcto. Para obtener la solución general ¿Cuál es el primer paso que deben
realizar?
215
♦ El primer paso que debemos realizar es verificar si es una ecuación diferencial
exacta, es decir, si llamamos
P (x, y) = Cos x Sen x – xy2
Q (x, y) = y (1 – x2)
⎛ ∂P( x , y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞
⎟⎟ = ⎜
debemos chequear que ⎜⎜
⎟ . Efectuando los cálculos
⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂P( x , y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = -2xy
⎝ ∂y ⎠
⎛ ∂Q( x , y) ⎞
⎜
⎟ = y (– 2x) = -2xy
⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂P( x, y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞
⎟⎟ = ⎜
resulta que efectivamente se satisface ⎜⎜
⎟
⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠
Muy bien. Ya saben que la ecuación diferencial dada es exacta ¿Cuál es el
siguiente paso?
♦ El siguiente paso es determinar una función F (x, y), tal que:
⎛ ∂F( x, y) ⎞
2
⎜
⎟ = P (x, y) = Cos x Sen x – xy
⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = Q (x, y) = y (1 – x2)
⎝ ∂y ⎠
Exacto. ¿Qué hacen para determinar F (x, y)?
♦
⎛ ∂F( x, y) ⎞
2
Tomamos, por ejemplo ⎜
⎟ = Cosx Senx – xy , para integrarla
⎝ ∂x ⎠
parcialmente respecto de x.
Correcto. ¿Qué obtienen?
♦ Obtenemos
216
∫
⎛ ∂F( x , y) ⎞
⎜
⎟ ∂x =
⎝ ∂x ⎠
resolviendo resulta que F (x, y) =
x
∫ (Cos x Sen x xy ) dx
2
y = ctte
Sen 2 x x 2 y 2
−
+ h ( y)
2
2
Muy bien. ¿Qué debe hacerse para conseguir la función h(y)?
♦ Se debe derivar parcialmente respecto de “y” la función F(x,y) obtenida e
igualar a Q(x, y).
Exactamente ¿Qué resulta?
♦ Resulta
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = -yx2 +
∂
y
⎝
⎠
⎛ dh ( y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = y (1 – x2); simplificando tenemos
dy
⎝
⎠
⎛ dh ( y) ⎞
⎟⎟ = y
que ⎜⎜
⎝ dy ⎠
Correcto. ¿Qué deben hacer ahora?
♦ Debemos integrar. Así
∫ dh( y) = ∫ ydy
⇒
h (y) =
y2
+C
2
Ya consiguieron h(y). ¿Qué hacen con este resultado?
♦ Se sustituye en F(x, y) =
Sen 2 x x 2 y 2
−
+ h ( y) resultando que
2
2
217
F(x, y) =
Sen 2 x x 2 y 2 y 2
−
+
+C.
2
2
2
Muy bien. ¿Qué pueden concluir?
Sen 2 x − x 2 y 2 + y 2
+ C = 0, es la
♦ Concluimos que la función F(x, y) =
2
solución general de la ecuación diferencial
(Cos x Sen x – xy2) dx + y (1 – x2) dy = 0
Bien. En el problema se les pide obtener una solución particular de la ecuación
diferencial sujeta a la condición y (0) = 2 ¿Qué significa la condición y (0) = 2?
♦ Significa que cuando "x" toma el valor 0 "y" toma el valor 2 (x = 0, y =2).
Correcto. ¿Dónde deberán sustituir esos datos y con qué finalidad?
♦ Esos datos se sustituyen en la solución general de la ecuación diferencial dada,
con la finalidad de conseguir el valor de la constante arbitraria.
Exactamente. ¿Qué obtienen?
♦ Al sustituir x = 0 y = 2 en la solución general
Sen 2 x − x 2 y 2 + y 2
+C = 0
2
resulta que C = -2.
Muy bien. ¿Qué hacen con ese valor que obtuvieron para C?
♦ Se sustituye en la solución general
218
Sen 2 x − x 2 y 2 + y 2
−2 =0
2
o equivalentemente Sen2x – x2y2 + y2 – 4 = 0
¿Qué concluyen?
♦ Concluimos que la función Sen2x – x2y2 + y2 – 4 = 0 es la solución particular
de la ecuación diferencial (Cosx Senx – xy2) dx + y (1–x2) dy = 0, sujeta a la
condición y (0) = 2.
Excelente. El Problema 3 les queda como ejercicio, con la finalidad de que
refuercen los aspectos tratados en esta lección.
PROBLEMA 3:
Obtenga las soluciones para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1- (2x + y) dx + (x + 6y) dy = 0
2- (Seny – y Senx) dx + (Cosx + x Cosy – y) dy = 0
3- (2y2x - 3) dx + (2yx2 + 4) dy = 0
y⎞
⎛
4- ⎜1 + ln + ⎟ dx + (lnx – 1) dy = 0
x⎠
⎝
5- xdy + (y – 2xex – 6x2) dx = 0
6- (ex + y) dx + (2 + x + yey) dy = 0; y (0) = 0
7- (x + y)2 dx + (2xy + x2 – 1) dy = 0; y (1) = 1
8- (y2 Cosx – 3x2y – 2x) dx + (2y Senx – x3 + lny) dy = 0; y (0) = e
9- (4x3y – 15x2 – y) dx + (x4 + 3y2 – x) dy = 0
CIERRE:
¿Qué estudiamos en esta lección?
219
♦ Estudiamos las ecuaciones diferenciales exactas.
¿Recuerdan que definimos como diferencial exacta?
♦ Definimos como diferencial exacta a toda expresión P(x, y) dx + Q(x, y) dy
la cual representa la diferencial total para cierta función F(x,y), es decir, donde
⎛ ∂F( x , y) ⎞
⎟ = P (x, y)
⎜
⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = Q (x, y).
⎝ ∂y ⎠
¿Qué otro aspecto estudiamos?
♦ Estudiamos una proposición, por medio de la cual podemos establecer cuando
una expresión P (x, y) dx + Q (x, y) es una diferencial exacta.
Muy bien. ¿Qué dice la proposición?
♦ La proposición dice que P(x, y) dx + Q(x, y) es una diferencial exacta, si y
⎛ ∂P( x , y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞
∂ 2 F( x , y) ∂ 2 F( x , y)
⎟⎟ = ⎜
(es
decir,
)
solo si se satisface que ⎜⎜
=
⎟
∂x∂y
∂y∂x
⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠
¿Qué otro aspecto tratamos en esta lección?
♦ Los pasos que deben seguirse para obtener la solución general de una ecuación
diferencial exacta P(x, y) dx + Q(x, y) = 0
¿Podrían indicarme cuáles fueron esos pasos?
1- Chequear que
220
⎛ ∂P( x, y) ⎞ ⎛ ∂Q( x , y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
⎟
⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠
2- Buscar una función F(x, y) = C, tal que
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = Q (x, y)
⎝ ∂y ⎠
⎛ ∂F( x, y) ⎞
⎟ = P (x, y)
⎜
⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂F( x, y) ⎞
3- Integrar parcialmente respecto de "x" la derivada parcial ⎜
⎟ = P(x, y),
⎝ ∂x ⎠
x
asumiendo “y” como constante, así: F(x, y) =
∫ P(x, y) dx + h (y)
x = ctte
4- Derivar parcialmente respecto de “y" la función F(x,y) obtenida en el paso 3
⎤
⎡ x
⎛ dh ( y) ⎞
⎛ ∂F( x, y) ⎞
∂ ⎢
⎟
⎜⎜
⎟⎟ =
P( x , y) dx ⎥⎥ + ⎜⎜
⎢
dy ⎟⎠
∂y
⎝
⎝ ∂y ⎠
⎥⎦
⎢⎣ y = ctte
∫
5- Igualar el resultado del paso 4 con Q (x, y):
⎡ x
⎤
∂ ⎢
P( x , y) dx ⎥⎥ +
∂y ⎢
⎢⎣ y = ctte
⎥⎦
∫
⎛ dh ( y) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = Q (x, y)
⎝ dy ⎠
⎛ dh ( y) ⎞
⎟⎟
6- Despejar ⎜⎜
⎝ dy ⎠
⎤
⎡ x
⎛ dh ( y) ⎞
∂ ⎢
⎜⎜
⎟⎟ = Q (x, y) P( x , y) dx ⎥⎥
⎢
∂y
⎝ dy ⎠
⎥⎦
⎢⎣ y = ctte
∫
⎞
⎛
⎡ x
⎤
⎟
⎜
∂ ⎢
⎥
P
(
x
,
y
)
dx
depend
sólo
de
"
y
"
o
es
constante
⎟
⎜ Q( x , y) −
⎥
∂y ⎢
⎟
⎜
⎢⎣ y = ctte
⎥⎦
⎠
⎝
∫
7- Integrar para obtener h (y)
221
h (y) =
∫
⎡
⎛ x
⎞⎤
⎜
⎟⎥
⎢
∂
⎜
P( x , y)dx ⎟⎥ dy + C
⎢Q ( x , y ) −
y
∂
⎜
⎟⎥
⎢
⎜ y =ctte
⎟
⎢⎣
⎝
⎠⎥⎦
∫
8- Sustituir h (y) en la función F(x,y) obtenida en el paso 3.
x
F(x, y) =
∫ P(x, y) dx + ∫
x =ctte
⎡
⎛ x
⎞⎤
⎜
⎟⎥
⎢
∂
⎜
⎟⎥ dy + C
Q
(
x
,
y
)
P
(
x
,
y
)
dx
−
⎢
y
∂
⎜
⎟⎥
⎢
⎜ y=ctte
⎟
⎢⎣
⎝
⎠⎥⎦
∫
9- Para concluir indicar que la solución general de la ecuación diferencial
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0
es
x
∫ P(x, y) dx + ∫
x =ctte
⎡
⎛ x
⎞⎤
⎟⎥
⎢
∂ ⎜
P( x , y)dx ⎟⎥ dy + C = 0
⎢Q ( x , y ) − ⎜
∂y ⎜
⎟⎥
⎢
⎜ y =ctte
⎟
⎝
⎠⎦⎥
⎣⎢
∫
Muy bien, en la próxima lección estudiaremos ecuaciones diferenciales las
cuales pueden reducirse a ecuaciones diferenciales exactas multiplicando
convenientemente por cierta función.