π π Sean dos planos: Los planos pueden cortarse en una recta, o

GEOMETRÍA ANALÍTICA (Adiciones al Tema)
AÑ -1 . Intersección de dos planos.
Sean dos planos:
  1  a1 x  b1 y  c1 z  d1  0

 2  a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0
Los planos pueden cortarse en una recta, o bien ser paralelos: la intersección será la
solución de este sistema lineal, por tanto observamos el rango de las matrices
 a1

 a2
b1
c1
b2
c2
| d1 

| c2 
* Si rg(A) = rg(A’) = 2 el sistema es compatible indeterminado
(infinitas soluciones). Los planos se cortan en una recta r.
* Si rg(A) =1; rg(A’) = 2 el sistema es incompatible (serían paralelos).
AÑ -2 . Intersección de dos rectas.
Sean las dos rectas:
 a1 x  b1 y  c1 z  d1  0
r
a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0
 a3 x  b3 y  c3 z  d3  0
s
a4 x  b4 y  c4 z  d 4  0
Estudiamos el rango de las matrices:
 a1

 a2
 a3

 a4
b1
b2
b3
b4
c1 | d1 

c2 | d 2 
c3 | d3 

c4 | d 4 
1) Si rg(A) = rg(A’) = 3 ………. Solución única (Se cortan en un punto P)
2) Si rg(A) = rg(A’) = 2 ………. Compatible indetermin. (Las rectas coinciden)
3) Si rg(A) y rg(A’) son distintos….. Sistema incompatible (las rectas se cruzan) --(pueden ser paralelas)
1
Añ. 3 - Ángulo de dos rectas (cortándose o cruzándose)
Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) los vectores directores de dos rectas.
Entonces:
u .v  u . v cos   cos  
u .v
u .v
u1v1  u2 v2  u3v3
cos  
2
1
u  u2 2  u3 2 . v12  v2 2  v3 2
Añ. 4 – Ángulo entre recta y plano.
Sea la recta r , con vector directriz u (u1, u2, u3) y sea el plano π , con vector normal
n (a, b, c):
Se tiene que:
n .u


cos      sin  
n .u
2

Añ. 5 – Distancia entre dos puntos.
Sean dos puntos P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2).
La distancia (euclídea) d entre dichos puntos es el módulo del vector formado por P1P2
d  P1 P2 
 x2  x1 
2
 ( y2  y1 )2  ( z 2  z1 ) 2
2
Añ.6 – Distancia de un punto a un plano.
Sea un punto P0(x0, y0, z0), y el plano
ax + by + cz + d = 0. Su vector normal
unitario viene dado por:
u
1
2
a  b2  c2
 a, b, c 
Si tomamos un punto Q(x, y, z) del plano se
tiene:
h  P0Q cos   P0Q
P0Q . u
 P0Q . u
P0Q . u
Por tanto, la distancia h del punto al plano es:
h
a ( x  x0 )  b( y  y0 )  c ( z  z0 )


a2  b2  c 2
ax  by  cz  (ax0  by0  cz0 )
a2  b2  c 2
Ahora sustituímos: ax + by + cz = - d
h
(a x0  b y 0 c z0  d )
a 2  b2  c 2
Esta cantidad h puede dar positiva o negativa (dependiendo de si el punto P0 se halla
a un lado o a otro del plano). Por lo tanto para la distancia del punto al plano se
prescinde del signo:
h
| a x0  b y 0 c z0  d |
a2  b2  c 2
3