TEMA 53 - Educajob.com

TEMAS DE MATEMÁTICAS
(Oposiciones de Secundaria)
TEMA 53
RELACIONES MÉTRICAS: PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS, ÁNGULOS,
ÁREAS, VOLÚMENES, ETC...
1. Introducción.
1.1. Producto Escalar.
1.2. Norma de un Vector.
1.3. Ángulos.
1.4. Ortogonalidad.
1.5. Particularización del Producto Escalar a V3 .
1.6. Producto Vectorial de dos Vectores de V3 .
1.7. Producto Mixto.
2. Ángulos.
2.1. Ángulo de dos Rectas.
2.2. Ángulo de dos Planos.
2.3. Ángulo de Recta y Plano.
3. Paralelismo.
3.1. Paralelismo de Rectas.
3.2. Paralelismo de Recta y Plano.
4. Perpendicularidad.
4.1. Perpendicularidad de Rectas.
4.2. Perpendicularidad de Recta y Plano.
4.3. Perpendicularidad de Planos.
5. Distancias.
5.1. Distancia de un Punto a un Plano.
5.2. Distancia entre Planos.
5.3. Distancia de un Punto a una Recta.
5.4. Distancia entre Rectas.
6. Áreas.
6.1. Área del Paralelogramo.
6.2. Área del Triángulo.
7. Volúmenes.
7.1. Volumen del Paralelepípedo.
7.2. Volumen del Tetraedro.
Bibliografía Recomendada.
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TEMA 53
RELACIONES MÉTRICAS: PERPENDICULARIDAD, DISTANCIAS, ÁNGULOS,
ÁREAS, VOLÚMENES, ETC...
1. INTRODUCCIÓN.
Para poder desarrollar este tema, vamos a exponer inicialmente la teoría necesaria.
Recordaremos el Producto Escalar, Vectorial y Mixto.
1.1. Producto Escalar.
DEF
Sea V un espacio vectorial real.
VxV → R
Se llama producto escalar V toda aplicación: r r
que verifica:
(u , v ) → ur·vr
r
1. ur·ur > 0 si ur ≠ 0
rr r r
2. u ·v = v ·u
r r r
rr r r
3. u ·(v + w) = u ·v + u ·w
r r
rr
4. u ·(αv ) = α(u ·v )
r r r
∀u , v , w ∈ V
∀α ∈ R
rr
r r
DEF Llamaremos producto escalar de u y v al número real u ·v (la imagen del par
(ur, vr) por la aplicación).
Como consecuencia directa de las axiones se tiene:
PROP Se verifican las siguientes igualdades:
r r r r r r r
r r r
1) (u + v )·w = u ·w + v ·w ∀u , v , w ∈ V
r r
rr
2) (αu )v = α(u v )
∀α ∈ R
r r
3) u ·O = 0
rr
r r
4) u ·u = 0 ⇒ u = O
Dem.
Inmediatas a partir de los axiomas.
Abreviadamente, un producto escalar es una forma bilineal, simétrica y definida
positiva en V.
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1.2. Norma de un Vector.
r
DEF Definido un producto escalar en V, se llama norma de un vector u al número
r
rr
real u = u ·u .
rr
(Tiene sentido pues u ·u ≥ 0
∀u ∈ V ) .
TEOREMA
rr
r r
r r
∀u , v ∈ V se verifica u ·v ≤ u · v
Dem.
r
r
u + αv
2
r
r r
r
r2
rr
r2
= (u + αv )(u + αv ) = u + 2α(u ·v ) + α2 v ≥ 0
rr
r2 r2
rr
r r
⇒ (u ·v )2 − u · v ≤ 0 ⇒ (u ·v ) ≤ u · v
1.3. Ángulos.
r r
Si u y v son no nulos se tiene
rr
u ·v
r ≤1
u ·v
⇔
rr
u ·v
−1 ≤ r r ≤ 1
u·v
DEF
Definimos entonces el coseno del ángulo formado por dos vectores como
rr
r r
u ·v
cos (u , v ) = r r
u·v
y de aquí
rr r r
r r
u ·v = u · v ·cos(u , v )
1.4. Ortogonalidad.
En virtud de la definición anterior parece lógico definir la ortogonalidad de en
función del valor de la expresión anterior
DEF
r
r
r r
Diremos que los vectores u y v son Ortogonales si cos (u , v ) = 0 .
rr
r r
PROP u , v ortogonales ⇔ u ·v = 0
Dem.
Inmediata.
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1.5. Particularización del Producto Escalar a V3 .
r r r
Si B = {u , u2 , u 3 } es una base V3 , entonces
r
r
r
r
u = x1u1 + x 2 u2 + x3u 3
r
r
r
r
v = x1 ´u1 + x 2 ´u 2 + x3 ´u 3
y por las propiedades de linealidad
r r
r
r
r
r
r
r
u ⋅ v = ( x1 u1 + x2 u 2 + x3 u3 )·( x1 ´u1 + x 2 ´u 2 + x3 ´u 3 ) =
∑ (x x ´)(u ·u )
3
i , j =1
i
j
i
j
El producto escalar queda conocido cuando se conoce los valores de los 9 productos
r r
escalares ui ·u j (en realidad sólo 6 por simetría).
r
r
El producto escalar de u y v es sumamente sencillo si la base {ur1 , ur2 , ur3 } está
formada por vectores ortogonales dos a dos y unitarios (de norma 1) pues entonces
rr r r
r r
r
u1 u1 = u 2 u2 = u3 u3 = u1
2
r
= u2
2
r
= u3 = 1
rr
rr r r
u1 u2 = u1u 3 = u2 u 3 = 0
y
rr
u ·v = x1 x1 ´+ x2 x 2 ´+ x3 x3 ´
Una base con las características anteriores se dice que es ortogonal, y en dicha base
se tiene
r
u =
x12 + x22 + x32
r r
cos (u , v ) =
x1 x1´+ x 2 x2 ´+ x3 x3 ´
x + x22 + x32 · x1´ 2 + x1´ 2 + x3 ´2
2
1
OBS La particularización a V2 es análoga
1.6. Producto Vectorial de dos Vectores de V3 .
DEF
r r r
Sea B = {u1 , u2 , u 3 } una base ortogonal de V3 . Llamaremos Producto Vectorial
x3 x3 x1 x1 x2 
r
r r x
.
de ur = (x1 , x 2 , x 3 ) y v = ( x1 ´, x2 ´, x3 ´) al vector u x v =  2
,
,

x
´
x
´
x
´
x
´
x
´
x
´
2
3
3
1
1
2


PROP Se verifica:
r r
r r
r r
1) u x v = u · v (sen (u , v ))
r r r
2) (u x v )·u = 0
(ur x vr )·vr = 0
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r r
r r r r
3) Si u , v son linealmente independientes, entonces u , v , u x v determinan una base
r r r
r r r r
de V3 , y si det (u , u2 , u3 ) > 0 , también es det (u , v , u x v ) > 0 .
Dem.
2
2
2
x3
x
x1
x x2
r r2 x
1) u x v = 2
+ 3
+ 1
=
x2 ´ x3 ´
x3 ´ x1 ´
x1´ x2 ´
= ( x2 x3 ´− x3 x2 ´) + ( x3 x1´− x1 x3 ´) + ( x1 x2 ´− x 2 x1 ´) =
2
2
2
= x22 x3 ´+ x32 x2 ´2 + x32 x´2 + x12 x3 ´ 2 + x12 x2 ´2 + x22 x1´ 2 −2 x2 x3 x2 ´ x3 − 2 x3 x1 x3 ´x1´−2 x1 x 2
Sumando y restando x12 x1 ´2 + x22 x 2 ´2 + x32 x3 ´2 se tiene
(x
2
1
+ x22 + x32 )(x1´2 + x 2 ´2 + x3 ´2 ) − (x12 x1 ´2 + x 22 x2 ´ 2 + x32 x3 ´2 −2 x2 x3 x 2 ´x3 ´−2 x3 x1 x3 ´x1 2 x1 x 2 x2 )
(
)(
)
= x12 + x22 + x32 x1 ´2 + x2 ´2 + x3 ´2 − ( x1 x1 ´+ x2 x2 ´+ x3 x3 ´) =
2
rr
r 2 r 2 r r 2 r 2 r 2   u ·v
= u · v − (u·v ) = u · v · 1 −  r r

u·v
 
r r
⇒ u xv
2




2




r2 r2
= u · v ·sen 2 (u, v )
x1 x 2 x3
x2 x3
x3 x1
x1 x2
r r r
2) (u x v )·u = x1
+ x2
+ x3
= x1 x 2 x3 = 0
x2 ´ x3 ´
x3 ´ x1´
x1 ´ x2 ´
x1´ x2 ´ x3 ´
x1´ x2 ´ x3 ´
x 2 x3
x3 x1
x1 x2
r r r
(u x v )·v = x1´
+ x2 ´
+ x3 ´
= x1 x 2 x3 = 0
x2 ´ x3 ´
x3 ´ x1´
x1 ´ x2 ´
x1´ x2 ´ x3 ´
al ser determinantes con dos filas iguales.
r r r r
3) det (u , v , u x v ) =
x1
x1 ´
x2
x 2´
x2 x3
x2 ´ x3 ´
x3 x1
x3 ´ x1´
x3
r r r
x3 ´ ·det (u , u2 , u 3 ) =
x1 x 2
x1 ´ x2 ´
5/14
 x2 x3 2 x3 x1 2 x1 x2 2 
·det (ur , ur , ur ) ⇒
=
+
+
1
2
3
 x 2 ´ x3 ´
x3 ´ x1´
x1 ´ x2 ´ 

r r r r
r r r
signo det (u , v , u x v ) = signo det (u , u2 , u3 )
Las dos primeras propiedades probadas tienen el siguiente significado:
r r r r
1) u x v = u · v · sen α , que es el área del paralelogramo determinando por 2
r r
representaciones con origen común de u , v .
r r
r r
2) El producto vectorial de u y v es un vector ortogonal a la vez a u y v .
1.7. Producto Mixto.
r r r
DEF Dados los vectores x , y, z , definimos su producto mixto como el número real
[xr, yr, rz ] = xr·( yr x zr )
Si expresamos los tres vectores mediante sus coordenadas en una determinada base,
podemos escribir su producto mixto como:
r
x = ( x1 , x2 , x3 )
y
r
r r r

y = ( y , y 2 , y3 )  ⇒ x ·( y x z ) = x1 2
z2
r
z = ( z , z2 , z3 ) 
x1
x2
= y1
z1
y2
z2
y3
y
+ x2 3
z3
z3
y1
y
+ x3 1
z1
z1
y2
=
z2
x3
r r r
y3 = det ( x, y , z )
z3
Interpretación geométrica.
El producto mixto es
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
x ·( y x z ) = x · y x z ·cos ( x, y x z ) = y x z · x ·cos( x , y x z )
donde
r r
y x z Es el área del paralelogramo definido por ambos vectores
y
r
r r r
x ·cos ( x, y x z ) Es la proyección de x sobre la dirección normal al plano determinado
por los otros dos vectores.
r r r
Luego [x , y , z ] = Volumen del paralelepípedo de aristas concurrentes xr, ry, zr
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2. ÁNGULOS.
2.1. Ángulo de dos Rectas.
El producto escalar definido en V3 (o V2 ) permite el estudio del ángulo que forman
dos rectas en el espacio afín (o el plano afín).
r r
DEF Sean r y s dos rectas de vectores directores u y v respectivamente. Llamamos
r r
ángulo de r y s al menor de los ángulos que determinan los vectores u y v .
La medida del ángulo de r y s es el número real que verifica:
rr
u·v
cos ϕ = r r
u·v
0 ≤ϕ ≤ π
2
OBS Definimos así el ángulo de dos rectas aún en el caso de que éstas se crucen.
Si el sistema de referencia es ortogonal y las dos rectas las expresamos como
r≡
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
a
b
c
s≡
x − x2 y − y2 z − z 2
=
=
a´
b´
c´
entonces
cos (r, s ) =
aa´+bb´+cc´
a 2 + b 2 + c 2 · a´2 +b´2 +c´ 2
2.2. Ángulos de dos Planos.
r r
Sean π y π’ dos planos, y n , n´ sus vectores normales. Sabemos que el ángulo que
forman
r r los dos planos es igual al ángulo que forman dos rectas normales de direcciones
n y n´.
r
r
DEF Sean π y π’ planos de vectores normales n y n´ respectivamente. Llamamos
r r
ángulo de π y π’ al menor ángulo que forman n y n´ .
Su medida será el número real ϕ que verifica las dos condiciones siguientes:
rr
n·n´
1. cos ϕ = r r
n · n´
2. 0 ≤ ϕ ≤ π 2
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Si los planos vienen dados por sus ecuaciones generales, con vectores normales:
nr = ( A, B, C )
π ≡ Ax + By + Cz + D = 0
π' ≡ A´ x + B´ y + C´ z + D = 0
luego cos (π, π ') =
nr´= ( A´, B´, C´)
AA´+ BB´+CC´
A 2 + B 2 + C 2 · A´ 2 + B´ 2 +C´ 2
2.3. Ángulo de Recta y Plano.
Sea π un plano y r una recta (no perpendicular). Sabemos que el ángulo de π y r es
el formado por r y su proyección ortogonal, r´, sobre π. Pero dicho ángulo es el
r
r
complementario del formado por u , vector director de la recta, y n , vector normal al
plano.
r
n.
r
Así pues, definiremos α = ∠(r,π) como el menor de los ángulos que forman u y
Su medida será el número real que verifica:
rr
u ·n
π
1. cos 2 − α = sen α = r r
u·n
(
)
2. 0 ≤ α ≤ π 2
Si r ≡
x − x1 y − y 1 z − z 1
=
=
a
b
c
entre sen (r , π) = sen α =
y π ≡ Ax + By + Cz + D = 0
Aa + Bb + Cc
A2 + B 2 + C 2 · a 2 + b 2 + c 2
3. PARALELISMO.
3.1. Paralelismo de Rectas.
DEF Diremos que las rectas r y s son paralelas si el ángulo que determinan verifica
que Cos(r,s)=1.
r
PROP Las rectas r y s son paralelas ⇒ u y vr son L. D. siendo ambos vectores los
vectores directores de las rectas.
Dem.
r , s paralelas ⇔ cos(r , s ) = 1 ⇔ (aa´+bb´+cc´)2 = (a 2 + b 2 + c 2 )(a´2 +b´2 +c´2 )
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2 aa´bb´+2aa´cc´+2bb´cc´= a 2 b´ 2 + a 2 c´2 +b 2 a´ 2 +b 2 c´2 +b 2 c´2 + c 2 a´ 2 + c 2 b´2
⇒ (ab´−ba´) + (ac´a´c ) + (bc´−b´c )
2
2
2
ab´−ba´= 0 

= 0 ⇒ ac´−a´c = 0
bc´−b´c = 0 
a b
=
a´ b´
a c
=
a´ c´
b c
=
b´ c´
cqd
3.2. Paralelismo de Recta y Plano.
DEF Diremos que la recta r y el plano π son paralelos si el ángulo que determinan
verifica que Senα=0.
4. PERPENDICULARIDAD.
4.1. Perpendicularidad de Rectas.
DEF
Las rectas r y s son perpendiculares si ur ⋅ vr = 0
PROP Las rectas r y s son perpendiculares si aa´+bb´+cc´= 0 , siendo (a,b,c) las
coordenadas que determinan el vector director de la recta r y (a’,b’,c’) las del vector
director de la recta s.
Dem.
r y s son perpendiculares ⇔ cos ϕ = 0 ⇔ aa '+bb´+ cc´= 0
4.2. Perpendicularidad de Recta y Plano.
r r
PROP r y π son perpendiculares si u y n son Linealmente Dependientes.
a b c 
a b c
OBS La Proposición anterior significa que rang 
 = 1 ⇔ = =
A B C
A B C
4.3. Perpendicularidad de Planos.
DEF
Los planos π y π’ son perpendiculares si verifican Cosϕ=0.
PROP Los planos π y π’ son perpendiculares si se verifica que AA’+BB’+CC’=0,
siendo (A,B,C) y (A’,B’,C’) las coordenadas de los vectores normales a cada plano.
5. DISTANCIAS.
DEF Sea A y B dos puntos del espacio afín euclideo E3 . Se llama distancia de A a B
a la norma del vector AB .
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d ( A, B ) = AB
z
a
r
Si a es el vector de posición A (que
nos da las coordenadas
de A en la
r
referencia) y b el vector de posición de
B, se tiene:
B
A
b
y
r r
d ( A, B ) = b − a
x
Así, si A(x1 , y1 , z1 ) y B(x2 · y2 · z2 ) se tendrá como expresión de la distancia entre dos
puntos (si el sistema de referencia es ortonormal)
d ( A, B ) =
(x 2
− x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + ( z 2 − z1 )2
PROP La aplicación d: E3 x E3 → R verifica:
1) d ( A, B ) ≥ 0 y si d ( A, B ) = 0 ⇔ A = B
2) d ( A, B ) = d (B, A )
3) d ( A, B ) ≤ d ( A, C ) + d (C, B )
∀a, B, C ∈ E3
Dem.
Las dos primeras son inmediatas y la tercera es una consecuencia de la desigualdad
de Cauchy-Swartz.
d ( A, B ) = AB = AC + CB ≤ AC + CB
Conclusión
Así pues, (E3 , d) es un espacio métrico.
5.1. Distancia de un Punto a un Plano.
P(x0 ,y0 ,z0 )
Sea M un plano y P un punto. Se
define la distancia de P a Π como
min{d ( P, P´)} donde P´ ∈ Π.
P''
Dicho mínimo se alcanza cuando P´
= P’’, pie de L perpendicular trazado
por P a Π, pues entonces:
α
P'
PP´ ≥ PP´ · cos α = PP' '
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∀ P´∈ Π
r
Si u es un vector normal al plano, se tiene que:
PP´·nr = PP´ · nr · cos α = PP' ' · nr
r
PP´·n
de donde d ( P, Π ) = PP' ' = r
n
Así, si P(xo , y o , z o ) , Π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 se tendrá que
d ( P, Π ) =
A(x − x o ) + B( y − y o ) + C( z − zo )
A2 + B 2 + C 2
=
Axo + By o + Czo + D
A2 + B 2 + C 2
5.2. Distancia entre Planos.
DEF
Sean π y π’ dos planos. Definimos la distancia entre ellos como
d ( A, B ), A ∈ π 
d (π, π') = min

B ∈ π' 

Sólo tendrá sentido cuando π y π’ sean paralelos, en cuyo caso basta calcular la
distancia de un punto cualquiera de π al plano π’. Si no fuesen paralelos la intersección
no sería vacía y la distancia es cero.
5.3. Distancia de un Punto a una Recta.
DEF Sea r una recta y P un punto. Se llama distancia de P a r a
d ( P, r ) = min{d ( P, P´)} {donde P´∈ r } .
Esta claro que si P´ es un punto cualquiera de r y α el ángulo que determina PP´ y
r
u (vector director de r) se tendrá que PP´ ≥ PP´ · sen α = PPo , luego dicho mínimo
se alcanza cuando Po es el pie de la perpendicular desde P a r.
Teniendo en cuenta lo anterior, podemos expresar la distancia de un punto a una
recta como sigue:
r
r
PP´xu
PP´ · u sen α
d ( P, r ) = PPo =
=
(recordar def. de prod. vectorial)
r
r
u
u
Así si
P( xo , yo , zo )
x − x1 y − y1 z − z1
y r≡
=
=
P´( x1 , y1 , z1 )
a
b
c
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2
b
y1 − yo
d ( P, r ) =
2
c
c
+
z1 − zo
z1 − zo
a
a
+
x1 − x o
x1 − xo
b
y1 − y o
2
a2 + b2 + c 2
5.4. Distancia entre Rectas.
d ( A, B), A ∈ r 
Dadas dos rectas r, s definimos d (r , s ) = min 

B∈s 

DEF
Sólo tendrá interés cuando r y s sean paralelas y cuando se crucen.
En el caso de que sean paralelas se reduce a calcular la distancia de un punto
cualquiera de una de ellas a la otra recta. Y esa situación ya la hemos visto.
En el caso de que se crucen, la distancia entre las rectas es también la distancia entre
el plano paralelo a s que contiene r y el plano paralelo a r que contiene s.
r
AB·n
d (r , s ) = d (α, β) = r
n
u
s
v
B
r
donde n es un vector normalr a ambos
r
planos y por tantor normal
r r a u y a v.
Podemos tomar n = u x v .
u
v
A
r
Así
cuando r ≡
[
(
]
r r
r r
r r
AB·(u x v )
det AB, u , v
AB, u , v
d (r , s ) =
= r r =
r r
r r
u xv
u xv
u xv
x − xo y − yo z − z o
=
=
a
b
c
d (r , s ) =
x1 − x o
a
a´
2
s≡
y1 − y 0
b
b´
)
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
a´
b´
c´
z1 − z o
c
c´
2
b c
c a
a b
+
+
b´ c´
c´ a´
a´ b´
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2
(referencia ortogonal)
6. ÁREAS.
Aun cuando el producto vectorial no nos resuelve el problema general del área, si
puede ayudarnos a calcular determinadas áreas como las del paralelogramo y triángulo y
cualquier otra figura geométrica que se pueda reducir a éstas.
6.1. Área del Paralelogramo.
D
C
Sea ABDC un paralelogramo. Sabemos que
su área es el producto de su base por su altura y
h
tomemos como base = AB
α
A
y
como
(
h = AC · sen α donde α = ang AB, AC
B
altura
)
Por la definición de producto vectorial
A = AB x AC
6.2. Área del Triángulo.
Dado un triángulo
Luego A =
ABC, su área es la mitad de la del paralelogramo ABCD.
1
AB x AC
2
7. VOLUMENES.
7.1. Volumen del paralelepipedo.
n
Consideremos el paralelepípedo
determinado por 3 aristas concurrentes
en un vértice AB, AC, AD .
D
h
h
Admitimos que su volumen es el
área de la base por la altura.
C
A
B
A. base = AB x AC
r
La altura h es la distancia de D al plano ABC y dado que n = AB x AC es un vector
normal a dicho plano.
h = d (D, plano ABC ) =
(
AD· AB x AC
)
de donde
AB x AC
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V=
(
AD· AB x AC
)
[
]
(
· AB x AC = AD, AB, AC = det AB, AC , AD
AB x AC
)
7.2. Volumen de un Tetraedro.
El tetraedro ABCD es una pirámide
D
V=
h
Abase x h
3
C
A
Abase =
B
h = d (D, plano ABC ) =
de donde, trivialmente V =
(
1
det AB, AC, AD
6
(
AD· AB x AC
AB x AC
2
)
AB x AC
)
Bibliografía Recomendada.
Curso de Álgebra y Geometría. Aut. Juan de Burgos. Ed. Alambra Universidad.
Álgebra Lineal. Aut. F. Puerta. Ed. Univ. Politécnica de Barcelona.
Matemáticas COU teoría, tomo 1. Aut.: Vizmanos-Anzola.
Matemáticas COU. Aut.: J. García - S. Rellicer. Ed. Marfil.
En general cualquier texto del antiguo COU
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