Ecuaciones de Recta ∀ λ ∈ R y = m · x + n Ecuaciones de un Plano

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Tema 5.- Geometría Analítica
Ecuaciones de Recta
Vector Director
Vectorial
Es un vector libre (u) que tiene la misma dirección que
la recta 𝑟
A
A a1 , a2 ,a3
u u1 , u2 ,u3
P x, y,z
P
u
AP = λ · u
x-a1 , y-a2 , z-a3 = λ· u1 , u2 ,u3
Paramétricas
x = a1 + λ u1
y = a2 + λ u2
z = a3 + λ u3
∀λϵR
Continua
x - a1 y - a2 z - a3
=
=
u1
u2
u3
∀λ∈r
Explícita
Implícita o General
Ax + By + Cz + D = 0
r≡
'
'
'
'
Ax+By+Cz+D =0
y = m·x + n
Representa las ecuaciones generales de los 2 planos
que se cortan en dicha recta 𝑟
Ecuaciones de un Plano
Vector Normal
n
Es perpendicular a los 2 vectores directores
n = A, B, C
v
= u×v
u
u
A
P
Ecuación Implícita, General o Cartesiana

Ax + By + Cz + D = 0
v
Ecuación Vectorial
Ecuaciones Paramétricas
x - a1 , y - a2 , z - a3 = λ· u1 , u2 , u3 + μ· v1 , v2, v3
∀ λ, μ ϵ R
x = a1 + λu1 + μv1
y = a2 + λu2 + μv2
z = a3 + λu3 + μv3
Método I: utilizando la definición (con vectores)
Siendo u y v no nulos, LI y contenidos en el plano y P un punto del plano
n = u × v= n1 , n2 , n3
P= p1 , p2 , p3
n1 x - p1 + n2 y - p2 + n3 z - p3 = 0 → Ax + By + Cz + D = 0
Método II: usando determinantes
P
u →
v
x - p1
u1
v1
y - p2
u2
v2
z - p3
u3
v3
=0
→
Ax + By + Cz + D = 0
á
á
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Matemáticas _ 2º Bach
Posiciones Relativas de 2 Rectas
r≡
A = a1 , a2 ,a3
u = u1 , u2 ,u3
s≡
B = b1 , b2,b3
v = v1, v2 ,v3
u1
M= u2
u3
v1
v2
v3
u1 v1 b1 - a1
M'= u2 v2 b2 - a2
u3 v3 b3 - a3
Coincidentes
S.C.I
R (M) = R(M’) = 1
Secantes
S.C.D
R (M) = R(M’) = 2
Paralelas
S.I
Se Cruzan
R (M) = 1
R(M’) = 2
R (M) = 2
R(M’) = 3
Posiciones Relativa de 1 Recta y 1 Plano
r≡
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Π≡ A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0
Recta Contenida en el Plano
S.C.I
R (M) = R(M’) = 2
Secantes
S.C.D
R (M) = R(M’) = 3
Paralelos
S.I
R (M) = 2
R(M’) = 3
Posiciones Relativa de 2 Planos
Π≡ Ax + By + Cz + D = 0
'
'
'
M=
A
'
A
B
'
B
C
'
C
'
Π ≡ A x + B y + C z + D' = 0
M' =
Coincidentes
A B C
A' B' C'
D
D'
R (M) = R(M’) = 1
A
B
C
D
=
=
=
A'
B'
C'
D'
R (M) = R(M’) = 2
A
B
C
≠
≠
A'
B'
C'
S.C.I
Secantes
Paralelos
S.I
R (M) = 1
R(M’) = 2
A
B
C
D
=
=
≠
A'
B'
C'
D'
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Tema 5.- Geometría Analítica
Posición Relativa de 3 Planos
A
M= A'
''
A
Ax + By + Cz + D = 0
'
'
'
'
Ax+By+Cz+D =0
''
A''x + B''y + C z + D'' = 0
B
'
B
''
B
A
B
C
'
M = A' B' C'
A'' B'' C''
C
'
C
''
C
Se cortan en 1 Punto
S.C.D
D
D'
D''
R (M) = R(M’) = 3
P
Los 3 se Cortan en 1 Recta
R (M) = R(M’) = 2
S.C.I
Coincidentes
R (M) = R(M’) = 1
2 Coincidentes y el otro Paralelo
S.I
R (M) = 1
R(M’) = 2
S.I
R (M) = 2
R(M’) = 3
3 Paralelos
Se Cortan 2 a 2 pero Ningún punto en Común a los 3
Haz de Planos de arista r
Conjunto de planos que se cortan en una misma recta
r≡
Ax + By + Cz + D = 0
'
'
'
'
Ax+By+Cz+D =0
→ λ Ax+By+Cz+D +μ
'
'
'
'
A x+B y+C z+D =0
∀ λ, μ ∈ R - 0
á
á
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Matemáticas _ 2º Bach
Ángulos entre:
2 rectas
2 planos
v1 · v2
cos r1 , r2 = cos v1 , v2 =
n1 · n2
cos Π1 ,Π2 = cos n1 , n2 =
v1 · v2
n1 · n2
1 recta y 1 plano
Es el complementario del que forma dicha recta con la dirección normal al plano
vr · nΠ
sen  = cos 90°- =
vr · nΠ
r
v

u



Distancias entre:
2 puntos
1 punto y 1 recta
d A, r =
d A, B = AB
1 punto y 1 plano
Aa1 + Ba2 + C
2
d A, Π =
2
A +B
2 rectas paralelas
d r, s =
Ap1 +Bp2 +Cp3 +D
2
2
2
A +B +C
2 rectas que se cruzan
u × AB
d r, s =
u
1 recta y un plano
d r, Π =d Pr , Π
AB, u, v
Vparalelepípedo
=
Abase
u×v
2 planos
d Π1, Π2 =d P1 , Π2
Ecuación Normal de 1 plano
Es la ecuación normalizada de un plano.
Π≡:Ax + By + Cz + D=0
→
u A, B, C
A
2
2
2
A +B +C
,
B
2
2
2
A +B +C
,
C
2
2
2
A +B +C
= cos α1 x + cos α2 y + cos α3 z + p →
α1 , α2 ,α3 :cosenos directores de u
Siendo:
p=
D
2
2
2
A +B +C