Sucesiones y Series
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Matemáticas Discretas TC1003 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 1/19 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 2/19 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 2/19 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 2/19 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 2/19 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 2/19 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 2/19 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para “y así sucesivamente". Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 2/19 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para “y así sucesivamente". Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado por un entero indicando su posición en el renglón: Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 2/19 Sucesiones: Idea Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números podrían escribirse en una lista ordenada: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una abreviatura para “y así sucesivamente". Para expresar el patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado por un entero indicando su posición en el renglón: Posición en el renglón 1 2 3 4 5 6 7 ... Número de ancestros 2 4 8 16 32 64 128 ... Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 2/19 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: am , am+1 , am+2 , . . . , an Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 3/19 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: am , am+1 , am+2 , . . . , an Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llama término. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 3/19 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: am , am+1 , am+2 , . . . , an Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llama término. La letra k en ak se conoce como subíndice o índice. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 3/19 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: am , am+1 , am+2 , . . . , an Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llama término. La letra k en ak se conoce como subíndice o índice. m es el subíndice del término inicial. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 3/19 Sucesión: definición Definición Una sucesión es una lista ordenada de elementos: am , am+1 , am+2 , . . . , an Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llama término. La letra k en ak se conoce como subíndice o índice. m es el subíndice del término inicial. n es el súbíndice del término final. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 3/19 Sucesión infinita: definición Definición Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de elementos que se pueden describir mediante una lista: am , am+1 , am+2 , . . . Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 4/19 Sucesión infinita: definición Definición Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de elementos que se pueden describir mediante una lista: am , am+1 , am+2 , . . . Una fórmula explícita o fórmula general para una sucesión es una fórmula en función de k que evaluada en k da el término ak . Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 4/19 Ejemplo Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula: n an = 3 ⌊ ⌋, para n ≥ 4 3 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 5/19 Ejemplo Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula: n an = 3 ⌊ ⌋, para n ≥ 4 3 Solución 4 ■ Para n = 4: a4 = 3 ⌊ ⌋ = 3 ⌊1.33⌋ = 3 · 1 = 3 = a4 . 3 ■ Para n = 5: a5 = 3 ⌊ 53 ⌋ = 3 ⌊1.66⌋ = 3 · 1 = 3 = a5 . ■ Para n = 6: a6 = 3 ⌊ 63 ⌋ = 3 ⌊2⌋ = 3 · 2 = 6 = a6 . ■ Para n = 7: a7 = 3 ⌊ 73 ⌋ = 3 ⌊2.33⌋ = 3 · 2 = 6 = a7 . ■ Para n = 7: a8 = 3 ⌊ 83 ⌋ = 3 ⌊2.66⌋ = 3 · 2 = 6 = a8 . Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 5/19 Ejemplo Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula: an = ⌊log2 (n)⌋, para n ≥ 3 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 6/19 Ejemplo Determine los 5 primeros términos de la sucesión definida por la fórmula: an = ⌊log2 (n)⌋, para n ≥ 3 Solución ■ Para n = 3: a3 ■ Para n = 4: a4 ■ Para n = 6: a5 ■ Para n = 7: a6 ■ Para n = 7: a7 = ⌊log2 (3)⌋ = ⌊1.58 . . .⌋ = 1 = ⌊log2 (4)⌋ = ⌊2.0⌋ = 2 = ⌊log2 (5)⌋ = ⌊2.32 . . .⌋ = 2 = ⌊log2 (6)⌋ = ⌊2.58 . . .⌋ = 2 = ⌊log2 (7)⌋ = ⌊2.80 . . .⌋ = 2 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 6/19 Ejemplo Determine en orden la fórmula general de la sucesión a1 , a2 , a3 , . . . dados los términos iniciales: a) 12 , − 32 , 43 , − 45 , 65 , − 76 , . . . 5 6 b) 13 , 92 , 273 , 814 , 243 , 729 ,... c) −6, 6, −6, 6, −6, 6, . . . Ubicándola en la lista 1. an = 3nn 2. an = 6 × (−1)n Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 7/19 Ejemplo Determine en orden la fórmula general de la sucesión a1 , a2 , a3 , . . . dados los términos iniciales: a) 12 , − 32 , 43 , − 45 , 65 , − 76 , . . . 5 6 b) 13 , 92 , 273 , 814 , 243 , 729 ,... c) −6, 6, −6, 6, −6, 6, . . . Ubicándola en la lista 1. an = 3nn 2. an = 6 × (−1)n a1 = −6,a2 = +6,a3 = −6 3. an = 3 (−1)n (−1 + n) n 4. an = (−1)(1+n) 1+n Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 7/19 Notación de Suma La notación: n X ak k=m Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 8/19 Notación de Suma La notación: n X ak k=m representa la suma desarrollada am + am+1 + am+2 + · · · + an Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 8/19 Notación de Suma La notación: n X ak k=m representa la suma desarrollada am + am+1 + am+2 + · · · + an Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 8/19 Notación de Suma La notación: n X ak k=m representa la suma desarrollada am + am+1 + am+2 + · · · + an Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 8/19 Notación de Suma La notación: n X ak k=m representa la suma desarrollada am + am+1 + am+2 + · · · + an Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice, m se llama el índice inferior de la suma, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 8/19 Notación de Suma La notación: n X ak k=m representa la suma desarrollada am + am+1 + am+2 + · · · + an Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice, m se llama el índice inferior de la suma, n se llama el índice superior de la suma. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 8/19 Notación del Producto La notación: n Y ak k=m Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 9/19 Notación del Producto La notación: n Y ak k=m representa la producto desarrollada am · am+1 · am+2 · · · an Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 9/19 Notación del Producto La notación: n Y ak k=m representa la producto desarrollada am · am+1 · am+2 · · · an En la notación de producto, k se llama índice, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 9/19 Notación del Producto La notación: n Y ak k=m representa la producto desarrollada am · am+1 · am+2 · · · an En la notación de producto, k se llama índice, m se llama el índice inferior del producto, Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 9/19 Notación del Producto La notación: n Y ak k=m representa la producto desarrollada am · am+1 · am+2 · · · an En la notación de producto, k se llama índice, m se llama el índice inferior del producto, n se llama el índice superior del producto. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Matemáticas Discretas - p. 9/19 Ejemplo Determine Q3 2 en orden la evaluación de cada fórmula: 1. n=1 n P4 2. n=1 n (1 + n) P0 3. n=−1 2n (3 + n) Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 10/19 Ejemplo Determine Q3 2 en orden la evaluación de cada fórmula: 1. n=1 n P4 2. n=1 n (1 + n) P0 3. n=−1 2n (3 + n) Solución ■ ■ ■ 1. = (12 )n=1 · (22 )n=2 · (32 )n=3 = 1 · 4 · 9 = 36 Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 2. = 1 · (1 + 0)n=1 + 2 · (1 + 2)n=2 + 3 · (1 + 3)n=3 + 4 · (1 + 4)n=4 = 1 + 6 + 12 + 20 = 39 3. = (2−1 (3 + −1))n=−1 + (20 (3 + 0))n=0 = 1 + 6 = 7 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 10/19 Ejemplo Indique en orden la versión compacta de cada desarrollo: a) 1 − r + r2 − r3 + r4 b) 13 + 23 + 33 + . . . + k3 c) 12 + 22 + 32 + . . . + k2 dentro P4 de lai ilista: 1. i=0 (−1) r Pk 2. n=1 n3 Pn 3. i=3 i Pn 2 4. i=1 i Pk 5. n=1 n2 Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 11/19 Ejemplo Indique en orden la versión desarrollada de cada forma compacta: Q4 a) n=1 (n3 − 1) Q4 b) n=2 (n2 − 1) Q4 c) n=1 (1 − t4 ) dentro de la lista: 1. (22 − 1) · (32 − 1) · (42 − 1) 2. 1 + 2 + 3 + . . . + n 3. (1 − t) · (1 − t2 ) · (1 − t3 ) · (1 − t4 ) 4. (1 − t2 ) · (1 − t3 ) · (1 − t4 ) 5. (13 − 1) · (23 − 1) · (33 − 1) · (43 − 1) Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 12/19 Propiedades de las Sumatorias Si am , am+1 ,. . . y bm , bm+1 , bm+2 ,. . . son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple: Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 13/19 Propiedades de las Sumatorias Si am , am+1 ,. . . y bm , bm+1 , bm+2 ,. . . son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple: n X k=m ak + n X k=m bk = n X k=m (ak + bk ) Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 13/19 Propiedades de las Sumatorias Si am , am+1 ,. . . y bm , bm+1 , bm+2 ,. . . son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple: n X ak + k=m n X bk = k=m c n X k=m ak = n X (ak + bk ) k=m n X Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 c ak k=m Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 13/19 Propiedades de las Sumatorias Si am , am+1 ,. . . y bm , bm+1 , bm+2 ,. . . son sucesiones de números reales y c es un número real cualquiera entonces para enteros n ≥ m se cumple: n X ak + k=m n X bk = k=m c n X ak = k=m n X (ak + bk ) k=m n X Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 c ak k=m n n n Y Y Y (ak · bk ) bk = ak · k=m k=m k=m Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 13/19 Ejemplo de corrimiento de índice Ejemplo Indique a cuáles sumatorias es equivalente la siquiente: 12 X (2 + 5 n) n=1 dentro P22 de la lista: 1. j=11 (−48 + 5 j) P7 2. i=−4 (27 + 5 i) P17 3. n=6 (−23 + 5 n) P2 4. k=−9 (52 + 5 k) P23 5. m=12 (−53 + 5 m) Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 14/19 Queremos que 12 X (2 + 5 n) = n=1 ··· X ··· j=11 Por tanto n − 1 = 0 = j − 11. Si despejamos n de esto, se tiene que el cambio de variable está dado por n = j − 10. Por otro lado, el límite superior se obtiene para n = 12, así el límite superior de la segunda sumatoria se obtiene para 12 = j − 10, es decir para j = 22: 12 X n=1 (2 + 5 n) = 22 X (2 + 5( j − 10)) = j=11 22 X Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 (−48 + 5 j) j=11 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 15/19 Ejemplo Determine en orden los valores de A, B y C para que A X (C + B k) k=0 se igual a la suma : −2 12 X j=3 (3 − 5 j) + 6 X (4 + j) Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 j=−3 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 16/19 Queremos que la primera sumatoria inicie en 0: 12 X (3 − 5 j) = j=3 ... X ··· k=0 Por tanto, j − 3 = 0 = k − 0 da: j = k + 3 y límite superior j = 12 = k + 3 → k = 9: 12 X j=3 (3 − 5 j) = 9 X k=0 (3 − 5(k + 3)) = 9 X (−12 − 5k) Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 k=0 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 17/19 Queremos que la segunda sumatoria inicie en 0: 6 X (4 + j) = j=−3 ... X ··· k=0 Por tanto, j − (−3) = 0 = k − 0 da: j = k − 3 y límite superior j = 6 = k − 3 → k = 9: 6 X j=−3 (4 + j) = 9 X k=0 9 X (4 + (k − 3)) = (1 + k) Idea Sucesión Finita Sucesión Infinita Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Sumatoria Producto Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Propiedades Corrimientos Ejemplo 7 k=0 Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 18/19 −2 · P12 j=3 (3 − 5 j) + P6 j=−3 (4 + j) = = = = = P9 k=0 (−12 − 5k) + P9 + k) P9 (−2(−12) + (−2)(−5) k) + k=0 k=0 (1 + k) P9 P9 (24 + 10 k) + k=0 k=0 (1 + k) P9 k=0 (24 + 10 k + 1 + k) P9 k=0 (25 + 11 k) −2 · P9 k=0 (1 Por tanto,la respuesta tiene la forma A X (C + B k) k=0 para A = 9, B = 11 y C = 25. Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias Matemáticas Discretas - p. 19/19
