Sumatorias Propiedades de la Sumatoria

Universidad de Las Américas
Departamento de Matemática
Santiago Centro
Segundo Semestre de 2007
Hoja de Trabajo “Números Naturales”
Sumatorias
Propiedades de la Sumatoria
n
X
(ai + bi ) =
n
X
i=1
n
X
ai +
i=1
n
X
bi
i=1
t = t + t + · · · + t = nt, t constante
i=1
n
X
α ai = αa1 + αa2 + · · · + αan = α(a1 + a2 + · · · + an ) = α
i=1
n
X
ai =
r
X
ai +
i=1
n
X
ai , con 1 ≤ r ≤ n
i=r+1
(ai − ai−1 ) = (a1 − a0 ) + (a2 − a1 ) + · · · + (an − an−1 ) = an − a0
i=1
= an − a0
q
X
ai =
i=p
n
X
i =
i2 =
i=1
n
X
i=1
q+c
X
ai−c
(Propiedad Telescópica)
(Propiedad del Reloj)
i=p+c
i=1
n
X
ai
i=1
i=1
n
X
n
X
i3 =
n(n + 1)
2
n
(2n + 1)(n + 1)
6
n
X
i=1
!2
i
1. Desarrolla las siguientes sumatorias:
6
X
1
(a)
=
i
i=1
(b)
5
X
(2i − 1) =
i=1
(c)
8
X
i2 =
i=1
(d)
10
X
i3 =
i=1
(e)
n
X
i=1
(f)
(g)
13
X
i=1
n
X
1
=
2i − 1
(−1)i−1
1
=
i
(i + 3)2 =
i=1
10 X
1
1
(h)
−
=
i
i+1
i=1
(i)
10
X
(i − 1)(i + 1) =
i=1
2. Calcular la suma de los n primeros términos de 1 · 6 + 2 · 7 + 3 · 8 + 4 · 9 + · · ·
3. Si
n
X
i=1
n2 + 3n
ui =
, hallar ui .
2
4. Calcular el valor de
12
X
(k + 1)(2k − 3)
k=5
5. Determine el valor de x si:
12
X
k=5
(2x − 3k) = 116
6. Escribir en forma de sumatoria las siguientes sucesiones:
4
2 1
+ +
+ ···
3 9 27
1 2 3 4
+ + + + ···
2 3 4 5
1 1 1 1
− + − + ···
2 3 4 5
2 3 4
1 + + + + ···
3 5 7
4 6 8 10
1+ + + +
+ ···
3 5 7
9
(a) 1 +
(b)
(c)
(d)
(e)
7. De la sucesión xn se sabe que
8
X
x2i = 160,
8
X
i=1
xi = 120, x9 = 6 y x1 0 = 8. Obtenga el
i=1
valor de:
(a)
10
X
x2i =
i=1
(b)
9
X
xi (xi − 2) =
i=1
(c)
10
X
(xi − 1)2 −
8
X
i=1
8. Si
6
X
i=1
2
(ai − 3) =
i=1
9. Determine
(xi − 1)2 =
6
X
2
(ai + 2) y
i=1
5
X
6
X
a2i
= 10
i=1
6
X
ai , calcule:
i=1
6
X
ai (ai − 3) =
i=1
yi2 , usando los siguientes datos:
i=1
5
X
i=1
2
(3xi − 2yi ) = 101,
5
X
i=1
x2i
= 13 y
5
X
i=1
xi · y i = 2