Introducción Notación

Razonamiento Matemático - Oliver Vilca H.
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Capítulo 2: SUMATORIAS
dor
Ing◦ Mg. Oliver Amadeo Vilca Huayta
Introducción
Las sumatorias aparacen en cada lugar donde la matemática
y la ciencia está, por lo tanto, se requiere herramientas básicas para manejarlas. En este capítulo se da una notación y se
desarrolla técnicas generales para manejar sumatorias.
Sucesión numérica: t1 , t2 , t3 , · · · , tn
Serie numérica: t1 + t2 + t3 + · · · + tn
Luego, serie numérica es la adición indicada de los términos de
una sucesión numerica, al resultado de la adición se le llama
valor de la serie.
Fuente: http://wikipedia.org
ohann Carl Friedrich Gauss. (30 de abril
de 1777 - 23 de febrero de 1855), fue un
matemático, astrónomo y físico alemán que
contribuyó significativamente en muchos
campos, incluida la teoría de números, el
análisis matemático, entre otros. Considerado
“el príncipe de las matemáticas”. Gauss fue
un niño prodigio de quien existen muchas
anécdotas acerca de su asombrosa precocidad
siendo apenas un infante, e hizo sus primeros
grandes descubrimientos mientras era apenas
un adolescente. Completó su magnum opus,
Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún
años. Un trabajo que fue fundamental para
que la teoría de los números se consolidara.
J
Bor
ra
¿Cuánto es la suma de los n primeros números
enteros positivos?
La historia de la matemática cuenta una anécdota. Carl
Friedrich Gauss (1777-1855), estaba en la escuela cuando su
profesor dió a la clase la tarea de sumar de 1 al 1000 (aunque
hay otras versiones). El esperaba tomar una hora de descanso
mientras que sus estudiantes estuvieran trabajando. Para sorpresa del profesor, Gauss vino inmediatamente con la respuesta
correcta. Su solución fue extremadamente simple:
Combinando el primer término con el último se obtiene: 1 +
1000 = 1001.
Cuadro 1: Carl Friedrich Gauss.
Combinando el segundo término con el penúltimo se obtiene: 2
+ 999 = 1001, se procede de la misma manera con los siguientes.
la letra n como índice en este ejemplo debido a que n ya se está
Combinando el primer término remanente con el último rema- utilizando para el número de términos.
nente (y luego descartándolos) siempre se obtiene: 1001.
En general, si m y n son enteros tales que m < n, entonces:
El último par sumado es: 500 + 501 = 1001.
n
�
Entonces se obtiene 500 veces 1001, el cual es 500500 o también
ai = am + am+1 + am+2 + · · · + an
1000(1001)
.
i=m
2
Debió haber utilizado la siguiente fórmula (la notación con sigma se explica a continuación):
n
�
i
n(n + 1)
= 1 + 2 + 3 + 4+. . .+n
2
=
i=1
Donde m y n se llaman límite inferior y superior respectivamente,
i es el índice de la sumatoria (también se escribe
�n
a
).
La notación es útil para escribir sumatorias en forma
i
i=m
concisa y compacta.
Otra forma de escribir la sumatoria es:
�
ak
P (k)
Notación
Considerando la sumatoria recientemente vista:
1 + 2 + 3 + 4+. . .+n
Como una abreviación de la suma de todos los términos ak
tal que k es un entero que satisface la propiedad P (k). (Una
propiedad P (k) es una sentencia acerca de k que puede ser
verdadera o falsa). Si queremos sumar los reciprocos de todos
los números primos, se podría escribir de la siguiente manera:
Las sumatorias se denotan con la letra mayúscula sigma (del
� 1
alfabeto
griego). En particular la sumatoria de arriba se denota
�n
k
i=1 i, el cual se lee asi: “Suma del término i, donde i va de 1
k primo
hasta n”. Joseph Fourier fue quien introdujo esta notación en
1820. De este modo la suma de los n primeros cuadrados se Y si se quiere sumar todos los números primos entre 2 y 50 (se
representaría así:
entidende aqui que 1 no es primo):
n
�
i
2
2
2
2
= 1 + 2 + 3 +. . .+n
2
i=1
No es obligatorio utilizar la letra i, otra �
letra puede tomar su
n
2
lugar. Por
ejemplo
en
lugar
de
escribir
i=1 i se puede es�n
�n
�n
2
2
2
cribir: j=1 j , k=1 k , m=1 m , etc., todas se consideran
alternativas para el mismo objetivo. No es buena idea utilizar
50
�
k=2
k primo
k=
�
k
2≤k≤50
k primo
En particular la sumatoria es equivalente a un bucle en un
algoritmo o específicamente a un “f or” en un lenguaje de programación. En el programa 1 se muestra la estructura “f or” en
el lenguaje C/C++/C#/Java.
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Programa 1: Programa en C equivalente a la sumatoria
✓
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igual al número de términos por la constante. Sea c ∈ R:
n
�
2
3
int i ; /* i : índice de la S u m a t o r i a */
int sum = 0;
4
5
6
7
8
9
dor
1
/* Límite : inferior
superior
*/
for ( i = m
; i <= n ; i ++ )
{
sum = sum + a ( i ); /* a ( i ): término de la s u m a t o r i a */
}
i=m
c = (n − m + 1)c
Factorización de constantes: Sea c ∈ R:
�
�
ai
(c · ai ) = c
i
i
Ejemplos:
n
�
Ejemplos
10
�
i=1
5
�
i
i=1
7
�
i
2
= 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 10 = 55
2
2
2
= 3 + 4 + 5 = 50
i=3
2
�
π
= sen(0) + sen( ) + sen(π) = 1
2
= nc
c
= (7 − 3 + 1)c = 5c
x2
i=4
= x2 + x2 + x2 + x2 + x2 = (8 − 4 + 1)x2 = 5x2
En el último ejemplo x2 es constante debido a que no depende
del índice de la sumatoria (variable en ejecución).
Linealidad:
Bor
ra
π
sen(i )
2
i=0
� 1
i=3
8
�
c
2≤k≤17
k primo
k
=
1 1 1 1
1
1
1
716167
+ + + +
+
+
=
2 3 5 7 11 13 17
510510
�
i
(c · ai + k · bi ) =
c
�
ai + k
�
i
bi
i
Traslación de índice: Si s ∈ N
n
�
i=m
Fuente: http://wikipedia.org
�i=∞
“Le signe
indique que l’on doit
i=1
donner au nombre entier i toutes ses
valeurs 1, 2, 3, · · · , et prendre la somme des
termes”.
Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo de
1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París),
matemático y físico francés conocido por sus
trabajos sobre la descomposición de funciones
periódicas en series trigonométricas convergentes
llamadas Series de Fourier, método con el cual
consiguió resolver la ecuación del calor. La
transformada de Fourier recibe su nombre en su
honor. Fue el primero en dar una explicación
científica al efecto invernadero en un tratado. Se
le dedicó un asteroide que lleva su nombre y que
fue descubierto en 1992.
Cuadro 2: Joseph Fourier.
Propiedades de las sumatorias
Número de términos de una sumatoria: Límite superior
- Límite inferior + 1.
n
�
= n−m+1
n+s
�
ai−s
i=m+s
Propiedad telescópica: Tiene la particularidad de que casi
todos sus términos se anulan quedando estas reducidas a sólo
dos términos.
n
�
i=m
(ai − ai+1 ) =
am − an+1
o bién,
n
�
i=m
(ai − ai−1 ) =
an − am−1
Fórmulas básicas
n
�
i =
i=1
n
�
i=1
n
�
i=1
1
ai =
i2
=
i3
=
n(n + 1)
2
(1)
n(n + 1)(2n + 1)
6
(2)
� n(n + 1) �2
2
(3)
Cada una de estas fórmulas se pueden demostrar por inducción
matemática. En particular la fórmula (2) se puede obtener de
Constante: cuando la sumatoria de los términos no incluye el diferentes maneras, al menos de cinco maneras, puede consultar
índice de la sumatoria (la variable en ejecución), la sumtoria es los textos de referencia.
i=m
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Ejercicios resueltos
�77
i=33
i
i=0
77
�
i=33
77
�
i=33
77
�
i =
77
�
i=1
i =
i−
32
�
i
i =
77(77 + 1) 32(32 + 1)
−
2
2
Para obtener el resultado utilizando el Software Máxima
se escribe: sum (i, i, 33, 77);
�n
2. Calcule: i=1 (6i2 − 2i)
i=1
n
�
i=1
(6i2 − 2i) = 6
n
�
i2 − 2
i=1
n
�
i=1
2
i=0
(6i − 2i) = n(n + 1)(2n + 1) − n(n + 1)
2i = 1 + 2 + 4 + · · · + 2n
La diferencia entre términos consecutivos esta dado por
el factor 2, entonces multipliquemos toda la expresión por
dos:
2F (n) = 2 + 4 + 8 + · · · + 2n + 2n+1
Ordenando adecuadamente:
i)
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)
−2
6
2
n
�
2F (n) = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n + 2n+1 − 1
2F (n) = F (n) + 2n+1 − 1
Finalmente:
F (n) = 2n+1 − 1
�n
2. Calcular la siguiente sumatoria: i=1 i2i
Bor
ra
n
�
1. Calcular la siguiente sumatoria:
77(39) − 16(33) = 2475
(6i2 − 2i) = 6
= (n + 1)! − 1
Cálculo de mas sumatorias
i=1
F (n) =
i=33
n
�
i! · i
dor
1. Hallar:
P ropiedad telescópica
n
�
i=1
n
�
i=1
(6i2 − 2i) = 2n2 (n + 1)
G(n) = 1 · 21 + 2 · 22 + 3 · 23 + · · · + n · 2n
Para obtener el resultado con Máxima se escribe:
sum(6 ∗ iˆ2 − 2 ∗ i, i, 1, n), simpsum, f actor;
�7
3. Calcule la siguiente sumatoria: j=3 (j 2 + 2j + 1)
7
�
(j 2 + 2j + 1) =
7
�
Debido a que (j 2 + 2j + 1) = (j + 1)2
7
�
(j 2 + 2j + 1) =
7+1
�
j=3+1
j=3
7
�
2G(n) = 1 · 22 + 2 · 23 + 3 · 24 + · · · + n · 2n+1
2G(n) − G(n)
G(n)
G(n)
(j − 1 + 1)2
T raslación de índice
8
7
�
�
j2
(j 2 + 2j + 1) =
j=4
j=3
Se aplica la misma técnica (multiplicar por dos la expresión):
(j 2 + 2j + 1) = 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 190
i=0
n
�
i=0
n
�
i=0
n
�
i=0
n
�
i=0
i! · i =
i! · i =
i! · i =
i! · i =
i! · i =
n
�
i=0
n
�
i=0
n
�
i=0
−
�n
i=0 i · i!
i!(i + 1 − 1)
((i + 1)i! − i!)
=
=
n2n+1 + 1 − (20 + 21 + 22 + · · · + 2n )
n2n+1 + 1 − (2n+1 − 1)
(n − 1)2n+1 + 2
Serie Aritmética: La diferencia de dos términos sucesivos
cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada: diferencia común, incluso “distancia”, ó razón arimética
constante.
n
�
4. Calcule la siguiente sumatoria:
=
Fórmulas
j=3
n
�
(5)
Si se substrae las dos expresiones (5-4) se obtiene:
(j + 1)2
j=3
j=3
(4)
i=1
ai = a1 + a2 + a3 + · · · + an =
�
��
�
n(a1 + an )
2
(6)
n sumandos
Donde:
a1 : primer término.
an : último término.
n: número de términos.
d: razón aritmética (o diferencia).
El término enésimo esta dado por:
((i + 1)! − i!)
n
�
i=0
(i! − (i + 1)!)
−(0! − (n + 1)!)
an = a1 + (n − 1)d
(7)
Considerando esta última igualdad se tiene:
n
�
i=1
ai = a1 + a2 + a3 + · · · + an = n · a1 +
��
�
�
n sumandos
n(n − 1)d
2
(8)
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dor
Serie Geométrica: Se denomina también progresión geomé- Luego se calcula su valor:
trica, dado un primer término diferente de cero, cada término
que continúa a partir del segundo, se obtiene del inmediato an1 1 1
1
terior al multiplicarlo por un número diferente de cero llamado
S =
+ + +
+ ...
2 4 8 16
cociente común o razón geométrica constante.
1
a1
=
S =
=1
1−c
1 − 21
n
�
a1 (cn − 1)
,c = 1
(9) Series Geométricas
ai = a1 + a2 + a3 + · · · + an =
��
�
�
c−1
i=1
n sumandos
n
n
�
�
cn+1 − c
cn+1 − 1
i
i
c
=
c
=
,
c
=
1,
,c = 1
Donde:
c−1
c−1
i=1
i=0
a1 : primer término.
n
n
�
�
an : último término.
ncn+2 − (n + 1)cn+1 + c
i
,c = 1
ici =
ic
=
n: número de términos.
(c − 1)2
i=1
i=0
c: razón geométrica.
∞
∞
�
1 � i
c
ci =
c =
,
, |c| < 1
c
−
1
c
−
1
El término enésimo esta dado por:
i=0
i=1
an = a1 · cn−1
(10)
∞
�
ici
∞
�
=
ici =
c
, |c| < 1
(c − 1)2
Bor
ra
i=1
i=0
Serie geométrica decreciente infinita: Cuando la razón
geométrica es convergente, es decir, el valor absoluto de la razón Serie Armónica
es menor que la unidad: 0 < |c| < 1. La suma de los infinitos
n
�
términos decrecientes de la progresión geométrica converge ha1
1 1 1 1
1
Hn =
= + + + + ···+
cia un valor finito. Este caso especial de serie geométrica no
i
1
2
3
4
n
i=1
tiene último término debido a que la serie está constituida por
infinitos términos.
ln n < Hn < ln n + 1
∞
�
i=1
ai = a1 + a2 + a3 + · · · =
a1
, |c| < 1
1−c
(11)
Demostración de convergencia. Sea: |c| < 1
∞
�
i=1
∞
�
i=1
∞
�
ai
ai
i=1
∞
�
2
= a1 + a1 c + a 1 c + a1 c + · · ·
= a1 (1 + c + c2 + c3 + · · ·)
ai
= a1 lı́m (1 + c + c2 + c3 + · · · + cn )
ai
= a1 lı́m (
n→∞
n→∞
i=1
∞
�
i=1
1 − cn+1
)
1−c
cn+1 → 0, para |c| < 1
ai
=
a1
, |c| < 1
1−c
1
2
1
4
1
8
n
�
Hi
=
1
ln n + γ + O( ) , donde γ ≈ 0,57721
n
=
(n + 1)Hn − n
i=1
Ejercicios Propuestos
3
ai
i=1
∞
�
= a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·
Hn
1
16
Ejemplo: Calcular: S = + + + + ...
El siguiente gráfico ilustra la convergencia de la sumatoria:
1. Calcular:
4
�
1
(−1)n+1
n
n=1
(a) 5/12
(b) 7/31
(c) 9/41
(d) 7/12
(e) 9/31
2. Sintetizar en forma de sumatoria:
2 + 8 + 18 + 32 + · · · + 200
(a)
�10
(b)
�10
(c)
�10
(d)
�10
x=1
x=1
x
2x
x=1 (2
x=1
+ x)
2x2
(e) Imposible.
3. Hallar: 1 + 3 + 5 + 7 + . . .
��
�
�
2013 sumandos
(a) ∞
(b)
2013(2014)
2
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(a) 2760
(d) 2(2013) − 1
(b) 1450
(e) 2013
dor
(c) 2(2013)
2
(c) 2360
(d) 2560
4. La siguiente suma:
(e) 1760
S = 1(30) + 2(29) + 3(28) + ... + 15(16)
Se puede expresar como:
�30
(a)
k=1 k(31 − k)
�15
(b)
k=1 k(30k − 1)
�15
(c)
k=1 k(29 + k)
�15
(d)
k=1 k(31 − k)
�30
(e)
k=1 k(29 − k)
11. Hallar: 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 1024
(a) 2000
(b) 2002
(c) 2012
(d) 2045
(e) 2047
12. Hallar: P =
5. Hallar el valor de :
11 + 101 + 1001 + 10001 + . . . + �1000��
. . . 01�
100 cif ras
6. ¿Cuántos cuadrados hay en una tablero de ajedrez
(superficie cuadriculada de 8 cuadraditos por lado)?
+
1
42
+
1
43
1
44
+ ...
(b) 1/3
(c) 1/4
(d) 1/5
(e) N.A
13. En la base cuadrangular de una pirámide se han usado
900 bolas ¿Cuántas bolas se han usado en total?
(b) 204
(c) 512
(a) 9215
(d) 612
(b) 7215
(e) 1024
7. Hallar:
+
(a) 1/2
Bor
ra
(a) 64
1
4
(c) 9455
i=11
�
(d) 3025
i
3
(e) Ninguna de las anteriores.
i=7
(a) 3816
Ejercicios Propuestos B
(b) 4120
1. Calcule la siguiente sumatoria (para el análisis del
algoritmo de ordenamiento Heapsort):
(c) 3915
(d) 3925
(e) 3945
F (n) =
n
�
i=1
8. Hallar: 22 + 42 + 62 + ... + 302
i2n−i = 1·2n−1 +2·2n−2 +3·2n−3 +· · ·+n·2n−n
(a) 2n+1 − 2 − n
(a) 2450
(b) 2n+1 − 2 + n
(b) 4960
(c) 2n+1 + 2 − n
(c) 2800
(d) 2n−1 − 2 − n
(d) 5200
(e) Ninguna de las anteriores.
(e) 3650
9. Calcular la cifra de las decenas de la siguiente suma:
2. Calcular la siguiente sumatoria:
S = 1! + 2! + 3! + · · · + 2013!
E=
(a) 0
(b) 1
k=1
1
k(k + 1)
3. Calcular:
(c) 2
S=
(d) 3
(e) 4
10. Calcular:
n
�
(a)
20 �
10
�
i=18 i=1
(b)
(2i + 1)
(c)
(d)
3
11
1
4
1
3
7
20
8
13
18
3
+ 2 + 3 + 4 + ···+ ∞
1
11
11
11
11