Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Ecuaciones de Cauchy-Riemann
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La propiedad de analiticidad induce ciertas
relaciones entre la parte real e imaginaria de
una función:
Ecuaciones de Cauchy-Riemann:
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
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Teorema: una condición necesaria para que
una función sea diferenciable en
es que las
ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfagan.
Consequentemente, si f es una función
analítica en un conjunto abierto, entonces las
ecs. de Cauchy-Riemann deben satisfacerse
en cada punto del conjunto abierto.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
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Comentario:
Que se satisfagan las ecs. de Cauchy-Riemann
NO es suficiente para asegurar que la función
sea diferenciable. Para ello hay que añadir
condiciones de continuidad a las derivadas
parciales de u y v
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Teorema:
Sea f(z)=u(x,y)+i v(x,y) definida en un
conjunto abierto (entorno) que contiene a
Si
●
Las derivadas parciales de u y v existen en
dicho entorno.
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Las derivadas parciales son continuas en
●
Satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann
Entonces f(z) es diferenciable en
y
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales
son continuas y satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann en todos los puntos de la
vecindad (entorno), entonces f(z) es analítica
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Teorema
Sea
definida en un
entorno de
Si
●
las derivadas parciales con respecto a r y
existen
●
Las derivadas parciales son continuas en
●
Se satisfacen las Ecs. de C-R (versión polar).
Entonces f(z) es diferenciable en
y
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Teorema
Si f(z) es analítica en un dominio D y f '(z) es nula
en ese dominio, entonces f(z) es constante en D.
Funciones armónicas
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Una función real
se dice que es armónica
en un dominio D, si sus derivadas parciales de
primer y segundo orden son continuas en D y si en
cada punto del dominio se satisface la ecuación de
Laplace
Funciones armónicas
Teorema
Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio
D, entonces cada una de las funciones u(x,y) y
v(x,y) es una función armónica.
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Comentario: si conocemos u(x,y) podemos
construir su función “armónica conjugada” v(x,y)
utilizando las Ecs. de Cauchy-Riemann. De esta
forma podemos encontrar la función analítica
f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)
Algunas funciones elementales
Veamos algunas funciones analíticas que se
reducen al caso de funciones elementales del
Cálculo cuando z=x+i0
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Función exponencial
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Función logaritmo
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Exponentes complejos
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Funciones trigonométricas
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Funciones hiperbólicas
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Funciones trigonométricas e hiperbólicas
inversas
Polinomios ?
Algunas funciones elementales
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Función exponencial
Esta función es muy importante, pues, entre
otras cosas, de ella se definen otras funciones.
Con
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tenemos:
De aquí que:
●
es decir, la función es multivaluada
Algunas funciones elementales
Por ejemplos:
a)
si y sólo si
k:entero
b)
si y sólo si
Es decir que
período
es una función periódica con
Algunas funciones elementales
De modo que dividimos el plano complejo en
diferentes bandas o regiones
Algunas funciones elementales
●
Comentario: notemos que la función
tomar el valor negativo -1:
Entonces
●
puede
e
Finalmente, hemos obtenido anteriormente que
Algunas funciones elementales
●
Funciones trigonométricas
Hemos visto que
por lo que
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De aquí se define o generaliza las funciones
seno y coseno a “ángulos complejos” como
Algunas funciones elementales
con derivadas
Algunas funciones elementales
Algunas propiedades
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si y sólo si
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si y sólo si
Algunas funciones elementales
Similarmente se definen las funciones
con derivadas