solución de los problemas propuestos para selectividad

Problemas de Selectividad
1. En una catedral hay una lámpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a 2 m del suelo.
Se observa que oscila levemente con una frecuencia de
0,1 Hz. ¿Cuál es la altura, h, de la nave?
h
Propuesto en junio de 2007.
Para calcular la altura, h, de la nave, en primer lugar calculamos la longitud del cable del que cuelga la lámpara, l, a partir
de la siguiente expresión:
T=
1
=2·π·
f
√
2m
g
l
9,8
8 l=
=
= 24,82 m
g
4 · π2 · f 2 4 · π2 · 0,12
Como la amplitud de las oscilaciones es muy pequeña, podemos
realizar la siguiente aproximación:
a›l
Por tanto, de acuerdo con la figura de la derecha, la altura de la
nave será:
h = a + 2 › l + 2 8 h = 24,82 + 2 = 26,82 m
l
a
h
2m
2. Una partícula de masa m está animada de un m.a.s. de amplitud A y frecuencia
f . Deduce las expresiones de las energías cinética y potencial de la partícula
en función del tiempo, y de su energía mecánica.
Propuesto en junio de 2007.
La ecuación de la posición que corresponde a una partícula animada de un movimiento armónico simple es:
x = A · sen (u · t + j0) = A · sen (2 · π · f · t + j0)
[1]
Y la de la velocidad:
dx
d
v=
=
[A · sen (2 · π · f · t + j0)] = 2 · π · A · f · cos (2 · π · f · t + j0) [2]
dt
dt
La expresión general que permite calcular la energía potencial de una partícula cuando está separada una distancia x de su posición de equilibrio es:
1
1
1
· k · x 2 8 Ep = · m · u2 · x 2 = · m · 4 · π2 · f 2 · x 2
2
2
2
Al sustituir la expresión [1] en la anterior, resulta:
Ep =
1
· m · 4 · π2 · f 2 · A2 · sen2 (2 · π · f · t + j0)
2
En cuanto a la energía cinética, teniendo en cuenta la expresión [2], resulta:
Ep =
1
1
· m · v 2 8 Ec = · m · 4 · π2 · A2 · f 2 · cos2 (2 · π · f · t + j0)
2
2
La expresión de la energía mecánica se puede obtener sumando las obtenidas para
las energías potencial y cinética:
Ec =
E = Ep + Ec
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
81
Por tanto:
E=
1
· m · 4 · π2 · f 2 · A2 · sen2 (2 · π · f · t + j0) +
2
+
1
· m · 4 · π2 · f 2 · A2 · cos2 (2 · π · f · t + j0) =
2
=
1
1
1
· m · 4 · π2 · f 2 · A2 = · m · u2 · A2 = · k · A2
2
2
2
3. Una masa de 0,01 kg realiza un m.a.s. de ecuación y = 5 · cos (2 · t + π/6) (en
unidades del S.I.).
Calcula:
a) La posición, la velocidad y la aceleración en t = 1 s.
b) La energía potencial en y = 2 m.
c) La energía potencial, ¿es negativa en algún instante?
Propuesto en junio de 2007.
a) Las ecuaciones de la posición, la velocidad y la aceleración para este movimiento
armónico simple son:
(
y = 5 · cos 2 · t +
)
(
π
m
6
)
(
)
v=
dy
π
π
= –5 · 2 · sen 2 · t +
= –10 · sen 2 · t +
m/s
dt
6
6
a=
dv
π
π
= –10 · 2 · cos 2 · t +
= –20 · cos 2 · t +
m/s2
dt
6
6
(
Por tanto, para t = 1 s, se tiene:
)
(
)
( )
( )
( )
y (1) = 5 · cos 2 +
π
= –4,07 m
6
π
v (1) = –10 · sen 2 +
= –5,79 m/s
6
π
= 16,3 m/s2
a (1) = –20 · cos 2 +
6
b) La energía potencial del movimiento armónico simple es:
Ep =
1
1
· k · y2 = · m · u 2 · y2
2
2
Para calcular la energía potencial en y = 2 m, tenemos, entonces, que obtener el
valor de la pulsación o frecuencia angular, u .
82
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
Para ello, comparamos la ecuación general de un m.a.s. con la ecuación de movimiento dada por el enunciado:
(
π
6
)
°
§ 8 u = 2 rad/s
¢
§
y = A · cos (u · t + j0) £
y = 5 · cos 2 · t +
Por tanto, la energía potencial para y = 2 m, resulta:
Ep =
1
1
· m · u 2 · y 2 = · 0,01 · 22 · 22 = 0,08 J
2
2
c) La energía potencial elástica nunca es negativa, porque k (característica de cada
cuerpo elástico) es positiva, e y está elevada al cuadrado.
Ep =
1
· k · y 2 ; k > 0 8 Ep > 0
2
4. Una masa de 5 kg unida a un muelle está realizando un m.a.s. La figura representa la elongación en función del tiempo:
x (cm)
20
15
10
5
0
–5
–10
–15
–20
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,4 t (s)
1,2
a) ¿Cuánto vale la frecuencia angular?
b) Determina la ecuación que describe dicho movimiento.
c) ¿Cuánto valen la velocidad, la energía cinética y la energía potencial elástica de la masa para t = 1,2 s?
d) A un muelle idéntico suspendido del techo le colgamos lentamente una masa de 10 kg. Cuando la masa queda en equilibrio, ¿cuánto se estira el muelle
respecto a la posición inicial?
Propuesto en junio de 2007.
a) A partir de la figura que proporciona el enunciado, se pueden
obtener los valores de la amplitud, A, y del período, T:
xmáx = A = 20 cm = 0,2 m
T=1s
x (cm)
20
15
10
5
0
–5
–10
–15
–20
0
A
T
A partir del período, se puede
0,2
0,4
0,6
calcular la frecuencia angular o
pulsación, u:
2·π 2·π
u=
=
= 2 · π rad/s
T
1s
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico
0,8
1,0
1,2
1,4 t (s)
83
b) La ecuación de un movimiento armónico simple es:
x = A · sen (u · t + j0)
Como para t = 0, x = 0,2 m, de acuerdo con la gráfica, el valor de la fase inicial
podemos calcularlo como sigue:
π
x = A · sen (u · t + j0) 8 0,2 = 0,2 · sen j0 8 sen j0 = 1 8 j0 =
2
Por tanto, la ecuación matemática de este movimiento, en unidades del S.I., resulta:
(
y = 0,2 · sen 2 · π · t +
)
π
= 0,2 · cos (2 · π · t)
2
c) La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo:
dx
d
v=
=
[0,2 · cos (2 · π · t)] = –0,2 · 2 · π · sen (2 · π · t) = –0,4 · π · sen (2 · π · t)
dt
dt
La velocidad y la energía cinética para t = 1,2 s son:
v(t = 1,2 s) = –0,4 · π · sen (2 · π · 1,2) = –1,2 m/s
1
1
· m · v 2 8 Ec = · 5 · (–1, 2)2 = 3,6 J
2
2
La energía potencial de un oscilador armónico es:
1
1
Ep = · k · x 2 = · m · u 2 · x 2
2
2
Donde x, en este caso, es la posición de la partícula cuando han transcurrido 1,2 s:
Ec =
x = 0,2 · cos (2 · π · 1,2) = 0,062 m
Por tanto, la energía potencial resulta:
1
Ep = · 5 · (2 · π)2 · 0,0622 = 0,38 J
2
d) Un muelle al que se le cuelga una masa, m, se estira hasta que alcanza el equilibrio, es decir, hasta que el peso es contrarrestado
por la fuerza recuperadora del
8
8
muelle, dada por la ley de Hooke: Frec = –k · Dy . Por tanto, cuando se alcanza el
equilibrio:
8
8
|Frec|=|P| 8 k · Dy = m1 · g
∆y
Frec
m1
P
Por tanto, el estiramiento del muelle, Dy, respecto a la posición inicial, es:
Dy =
84
m1 · g
k
=
m1 · g
m · u2
=
10 · 9,8
5 · (2 · π)2
= 0,5 m
Unidad 3. Movimiento vibratorio armónico