An
tioq
uia
Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
Grupo de Semilleros de Matemáticas
(Semática)
Matemáticas
Operativas
Taller 13
2011 − 1
Funciones Trigonométricas (continuación)
Objetivo general
rsid
ad
de
La trigonometrı́a es el campo de las matemáticas que tiene como objeto
de estudio a los triángulos y la relación entre sus lados y los ángulos
que estos forman, ası́ como las funciones que surgen de dichas relaciones
(funciones trigonométricas). Su origen etimológico deriva de los vocablos
griegos τ ριγωνo (trigōnon) que significa triángulo y µετ ρoν (metron) que
significa medida.
La historia de la trigonometrı́a y en particular de las funciones
trigonométricas puede abarcar un perı́odo de alrededor de 4000 años.
Esta disciplina, como la vemos actualmente, no fue el resultado de sólo
un grupo de indivuiduos o una cultura, sino que fue un proceso en el
que participaron grandes civilizaciones. Culturas como la egipcia y babilonia tuvieron conocimiento previo sobre teoremas que involucraban
Figura 1
proporciones que relacionaban las magnitudes de triángulos rectángulos,
pero carecı́an del concepto de medida de un ángulo. La tablilla babilonia Plimpton (figura 1) contiene una columna de números que se cree, constituye una de los primeros registros sobre funciones
trigonométricas.
Los astrónomos babilonios mantuvieron un registro de mediciones realizadas sobre el movimientos
de planetas y estrellas y de eclipses, labores que requerı́an familiaridad con la medición de distancias
angulares. Aunque los trabajos de Euclides y Arquı́mides no incluyen trigonometrı́a en el sentido
estricto de la palabra, contienen problemas geométricos que son enunciados por medio de leyes
trigonométricas. Las primeras tablas trigonométricas fueron aparentemente recopiladas por Hiparco
de Nicea (180 - 125 a.C.), quien es conocido como el padre de la trigonometrı́a.
Estudiar diversas situaciones problema de la trigonometrı́a que es posible abordar en términos de
identidades y ecuaciones trigonométricas.
ive
Objetivos especı́ficos
1. Estudiar algunas estrategias para demostrar identidades trigonométicas.
2. Resolver ecuaciones trigonométicas.
Un
3. Emplear identidades trigonométicas para resolver ecuaciones trigonométicas.
c
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1.
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Funciones trigonométricas
Proposición 1.1 (Funciones pares-impares). Para cualquier número real t se tiene:
sen(−t) = −y = − sen t
(0, 1)
P (x, y)
y
cos(−t) = −x = − cos t
t
O
(−1, 0)
−t x
(1, 0)
Q(x, −y)
−y
1.1.
−y
y
= − = − tan t , x 6= 0
x
x
tan(−t) =
(0, −1)
Gráficas de las funciones trigonométricas
Gráfica de la función seno
0
0
√π/4
2/2
π/2
1
3π/4
√
2/2
π
0
y
1
√
2/2
− 3π
2
−π
−π
2√
− 2/2
π
2
π
ad
−2π
5π/4
√
− 2/2
3π/2
−1
de
x
sen x
3π
2
2π
7π/4
√
− 2/2
2π
0
x
−1
x
cos x
0
1
rsid
Gráfica de la función coseno
√π/4
2/2
π/2
0
3π/4
√
− 2/2
π
-1
5π/4
√
− 2/2
3π/2
0
7π/4
√
2/2
2π
1
y
ive
√ 1
2/2
2.
− 3π
2
Un
−2π
−π
−π
2√
− 2/2
π
2
π
3π
2
2π
x
−1
Identidades trigonométricas
Definición 2.1 (Identidad trigonométrica). Una identidad trigonométrica es una igualdad entre
expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en
los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas invlucradas).
3
Ejemplo 2.1. .
Ejemplo de una identidad trigonométrica:
An
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cos2 x + sen2 x = 1
La igualdad (1) se cumple para todo x ∈ R.
La siguiente NO es una identidad trigonométrica:
tan2 x = 1
(1)
(2)
La igualdad (2) no es válida para todo x en el dominio de la función:
tan 0 = 0 6= 1
?
Observación 1 (Para demostrar (verificar) una identidad trigonométrica p = q). .
1. Transformamos uno de los lados de la igualdad (cualquiera de los dos) en el otro, en general se
comienza con el más complejo
p = ··· = q
=⇒
p=q
?
p =
..
.
q
..
.
r
r
=
de
2. Se transforman (de manera reversible) ambos lados de la igualdad en una misma expresión
=⇒
p=q
sen x
cos x
cos x
cot x =
sen x
sec x =
1
cos x
1
csc x =
sen x
rsid
tan x =
ad
Proposición 2.1 (Identidades fundamentales). .
Ejercicio 2.1. Verifica la identidad
csc θ − sen θ = cot θ cos θ
ive
Solución. . Empezamos desarrollando el lado izquierdo de la identidad:
1
− sen θ
sen θ
1 − sen2 θ
=
sen θ
cos2 θ
=
sen θ
cos θ · cos θ
=
sen θ
cos θ
=
· cos θ
sen θ
= cot θ cos θ
Un
csc θ − sen θ =
cos2 x + sen2 x = 1
1 + tan2 x = sec2 x
cot2 x + 1 = csc2 x
4
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Actividad 2.2. Verifica las siguientes identidades.
sen t
1 + sen t
2
= csc t + cot t
2. (sec t + tan t) =
1 − cos t
1 − sen t
sen α cos α 3. sec α + csc α =
(cos α + sen α)
+
cos α sen α
√
Ejercicio 2.2. Exprese a2 − x2 en términos de una función trigonométrica de θ sin radicales, sustituyendo
x = a cos θ , 0 < θ < π y a > 0 .
(3)
1.
√
a2 − x2
=
=
=
=
=
3.
p
a2 − (a cos θ)2
√
a2 − a2 cos2 θ
p
a2 (1 − cos2 θ)
√
a2 sen2 θ
p
(a sen θ)2
=
|a sen θ|
=
|a|| sen θ|
=
a sen θ
x = a cos θ
factorizamos
2
sen θ + cos2 θ = 1
√
c2 = |c|
por (3)
de
Solución. .
Ecuaciones trigonométricas
ad
Definición 3.1 (Ecuación trigonométrica). Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida sólo para determinados valores
desconocidos de los ángulos.
rsid
Ejemplo 3.1. .
Ejemplo de una ecuación trigonométrica:
sen x = 1
(4)
La igualdad (4) no es una identidad, sólo se cumple para algunos:
ive
x = ...,−
−π
Un
−2π − 3π
2
− π2
3π π 5π
, ,
,...
2 2 2
π
2
π
Ejemplo 3.2. Halle las soluciones de la ecuación cos θ =
3π
2
1
2
si
2π
5
1. θ ∈ [0, 2π)
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2. θ ∈ R
Solución. .
1. θ ∈ [0, 2π)
θR = π3
θR = − π3
cos θ =
1
2
=⇒
2. θ ∈ R
cos(θ + 2π) = cos θ
=⇒
θR =
π
3
=⇒
π
θ=
3
θ = 2π − π = 5π
3
3
π
θ = + 2πn
3
θ = 5π + 2πn
3
Actividad 3.1. Halla las soluciones de las ecuaciones dadas a continuación.
3. sen2 x + 4 sen x + 3 = 0
2. sen 2x = 0
4. tan2 x sen x = sen x
4.
5. sen 2x = cos 2x
de
1. tan α = 1
Fórmulas de suma y resta
Proposición 4.1. Para todo u, v ∈ R se cumple que
(5)
ad
cos(u − v) = cos u cos v + sen u sen v
Observemos que podemos utilizar la fórmula (5) para obtener
y por tanto
=
cos(u − (−v))
=
cos u cos(−v) + sen u sen(−v)
=
cos u cos v + sen u sen(−v)
coseno es par
=
cos u cos v − sen u sen v
seno es impar
rsid
cos(u + v)
ive
Proposición 4.2. Para todo u, v ∈ R,
cos(u + v) = cos u cos v − sen u sen v
Ejemplo 4.1. Calculemos el valor exacto de cos
Un
de la identidad (6):
5π
cos
12
=
cos
π π
+
4 6
!
=
=
cos
(6)
5π
5π
π π
teniendo en cuenta que
= + . por medio
12
12
4 6
π
π
π
π
cos − sen sen
4
6
4
6
√
√ √
2 3
2 1
−
2 2
2 2
=
√
2 √
3−1
4
6
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Proposición 4.3 (Cofunciones). .
!
π
− u = sen u
1. cos
2
2. tan
π
−u
2
3. sec
π
−u
2
!
!
= cot u
= csc u
!
= cos u
!
= tan u
!
= sec u
4. sen
π
−u
2
5. cot
π
−u
2
6. csc
π
−u
2
De la proposición anterior podemos deducir nuevas fórmulas, por ejemplo
"
#
π
− (u + v)
= cos
2
!
#
"
π
−u −v
= cos
2
!
π
= cos
− u cos v + sen
2
!
π
− u sen v
2
de
sen(u + v)
Proposición 4.4. Para todo u, v ∈ R,
5.
2. tan (u ± v) =
tan u ± tan v
1 ∓ tan u tan v
rsid
1. sen (u ± v) = sen u cos v ± cos u sen v
ad
= sen u cos v + cos u sen v
Ejercicios
1. cos x − 1 = 0
2
ive
[Ejercicios (1)-(8)] Resuelva las ecuaciones [Ejercicios (9)-(14)] Prueba cada una de las siguientes identidades:
trigonométricas dadas en los intervalos dados.
2. 2 tan x − tan x = 0 ,
2
x ∈ [0, 2π]
9. tan α csc α = sec α
10. tan β + cot β = sec β csc β
3. sen x + 4 sen x + 3 = 0
4. sen(ax + b) ,
x ∈ [0, 2π] y
Un
5. 3 cos2 x = sen2 x
a 6= 0
1
6. sen x cos x = , x ∈ [0, 2π]
2
√
3
x
, x ∈ [0, 2π]
7. cos =
2
2
8. (tan x − 1)(2 sen x + 1) = 0 ,
x ∈ [0, 2π]
11.
sin3 φ − cos3 φ
= 1 + sin φ cos φ
sin φ − cosφ
12.
cos θ csc θ
=1
cot θ
13.
sin2 φ
1
−
=1
cos2 φ cos2 φ
14. tan θ + cot θ = sec θ csc θ
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Referencias
7
[1] Notas de clase y talleres desarrollados por profesores de Departamento de Matemáticas
de la Universidad de Antioquia para el curso Álgebra y trigonometrı́a (CNM-108):
http://ciencias.udea.edu.co/algebraytrigo/
[2] W. L. Hosch, The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry. Rosen Education Service,
primera edición, 2010.
Un
ive
rsid
ad
de
[3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometrı́a con Geometrı́a Analı́tica, undécima edición,
editorial Thomson, 2006.
0
