MATEM ´ATICAS( 1o GRADO EN BIOLOGÍA). CURSO 2015

MATEMÁTICAS( 1o GRADO EN BIOLOGÍA). CURSO 2015-16.
Hoja de problemas: ecuaciones en diferencias.
1. Para las siguientes ecuaciones en diferencias, encontrar los valores de equilibrio y estudiar su estabilidad.
a) xn+1 = 2xn − 6
b) xn+1 = 3xn − x2n + 3
c) xn+1 = −0,5x3n + 0,5x2n + xn
1
.
d ) xn+1 =
xn + 2
e) xn+1 = x2n − 2.
f ) xn+1 = 4x3n .
2. Dada la ecuación xn+1 = axn − x2n .
a) Calcular sus equilibrios para los distintos valores de b.
b) Estudiar, en cada caso, su estabilidad.
3. Dada la ecuación xn+1 = −bxn + x3n .
a) Calcular sus equilibrios para los distintos valores de b.
b) Estudiar, en cada caso, su estabilidad.
4. En dinámica de poblaciones se utiliza frecuentemente el siguiente modelo de poblaciones de peces basado
en una ecuación empı́rica denominada ecuación de Ricker en honor a su inventor Bill Ricket
xn+1 = αxn e−βxn .
Calcula las soluciones de equilibrio. Determina la estabilidad de dichos equilibrios cuando
a) α = 6, β = 1/2.
b) α = 10, β = 1. Comprueba con el fichero GeoGebra que hay en Moodle que en este caso aparecen
2-ciclos.
5. Otro modelo usado frecuentemente es el desarrollado por Beverton y Holt, dado por la siguiente ecuación
xn+1 =
rxn
1 + cxn
con r, c parámetros positivos. Se pide
a) Calcular los equilibrios y su estabilidad para los distintos valores de los parámetros.
b) Vamos a introducir explotación en la población, es decir, en cada periodo retiramos una fracción h
de individuos (por tanto h ∈ (0, 1] y el modelo anterior es un caso particular de este, cuando h = 0)
de modo que la ecuación queda
rxn
xn+1 =
− hxn .
1 + cxn
Determina los equilibrios de este modelo. Determina la estabilidad del equilibrio nulo e interpreta los
resultados.
6. El modelo de Beverton-Holt fue generalizado por Hassel,
xn+1 =
rxn
(1 + cxn )m
con r, c, m parámetros positivos (para m = 1 tenemos el modelo de Beverton-Holt). Calcula sus equilibrios.