Funciones hiperbólicas en C. Definimos las funciones hiperbólicas en C de la misma manera que en R y obtenemos sus expresiones en función de las componentes de z ∈ C. a −a z −z a+bi − e−a−bi = e (cos b + i sen b) − e (cos b − i sen b) = 1. senh z = e −2 e = e 2 2 ea − e−a cos b + i ea + e−a sen b = senh a cos b + i cosh a sen b. 2 2 a −a z −z a+bi + e−a−bi = e (cos b + i sen b) + e (cos b − i sen b) = 2. cosh z = e +2 e = e 2 2 ea + e−a cos b + i ea − e−a sen b = cosh a cos b + i senh a sen b. 2 2 3. tanh z = senh z = senh a cos b + i cosh a sen b = · · · = tanh a + i tan b . cosh z cosh a cos b + i senh a sen b 1 + i tanh a tan b En el caso z = a ∈ R quedan las funciones hiperbólicas habituales en R. Funciones trigonométricas en C. • Si θ ∈ R, por la fórmula de Euler tenemos: eθi = cos θ + i sen θ; e−θi = cos θ − i sen θ, de donde podemos despejar: θi −θi θi e−θi cos θ = e +2 e ; sen θ = e − 2i Análogamente definimos, para z ∈ C, zi e−zi , 5. cos z = ezi + e−zi , 6. tan z = sen z , 4. sen z = e − cos z 2 2i zi de donde obtenemos la fórmula de Euler en C: e = cos z + i sen z, z ∈ C. • Entre las funciones hiperbólicas y trigonométricas en C existen las relaciones: zi −zi a. senh(zi) = e −2 e = i sen z (por 4). zi −zi b. cosh(zi) = e +2 e = cos z (por 5). c. tanh(zi) = senh(zi) sen z = i tan z (a partir de a y b). = icos z cosh(zi) d. sen(zi) = sen z 0 = 1i senh(z 0 i) = −i senh(−z) = i senh z (a partir de a). e. cos(zi) = cos z 0 = cosh(z 0 i) = cosh(−z) = cosh z (a partir de b). f. tan(zi) = sen(zi) = i senh z = i tanh z (a partir de d y e). cosh z cos(zi) Estas relaciones son válidas si z = b ∈ R, en cuyo caso zi = bi es imaginario puro. • Obtenemos las funciones trigonométricas en C en función de las componentes de z. 4’. sen z = 1i senh(zi) = −i senh(−b + ai) = · · · = sen a cosh b + i cos a senh b (de a y 1). 5’. cos z = cosh(zi) = cosh(−b + ai) = · · · = cos a cosh b − i sen a senh b (de b y 2). sen a cosh b + i cos a senh b tan a + i tanh b z 6’. tan z = sen cos z = cos a cosh b − i sen a senh b = · · · = 1 − i tan a tanh b (de 4’ y 5’). En el caso z = a ∈ R quedan las funciones trigonométricas habituales en R.