resolución de ecuaciones logarítmicas

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Antecedentes
Una ecuación logarítmica involucra al logaritmo en uno o en los dos lados de
la igualdad. Para resolver una ecuación de este tipo es necesario utilizar
alguna propiedad de los logaritmos, y en algunas ocasiones, aplicar cambios
de base con la finalidad de simplificar más la ecuación y así obtener su
solución.
A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones logarítmicas:
a) log( x + 6 ) = log(2 x − 1)
b) log( x + 6 ) = 1 + log( x − 3)
Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones.
1) log5 x = 2
Recordando la definición de logaritmo se tiene que la solución de la
ecuación es
x = 52
∴
2) log 2 x −
ya que
log a x = b
⇔
x = ab
x = 25
log 2 x
=4
3
Al reescribir la ecuación para utilizar de manera directa la propiedad del
logaritmo de la raíz enésima de un número
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1
log 2 x − log 2 x = 4
3
1
3
log 2 x − log 2 x = 4
Ahora se aplica la propiedad del logaritmo de la división entre dos
números, pero aplicada de manera inversa
⎛ ⎞
x
log 2 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = 4
⎜ 3⎟
⎝x ⎠
Se simplifica el exponente de x y se aplica nuevamente la propiedad
del logaritmo de la raíz enésima de un número
⎛ 23 ⎞
log 2 ⎜ x ⎟ = 4
⎝ ⎠
2
log 2 x = 4
3
⇒
Se aplica la definición de logaritmo
log 2 x = 6
(
x = 26 = 64
∴
)
3) log3 log3 x 3 = 3
Se utiliza la definición de logaritmo
log3 x 3 = 33
⇒
log3 x 3 = 27
Se aplica la propiedad del logaritmo de la potencia enésima de un número y
se simplifica la ecuación
3 log3 x = 27
log 3 x =
27
=9
3
Ahora se utiliza la definición de logaritmo y se obtiene el valor de x
x = 39 = 19683
4) log x 2 = −4
1
− log x 2 = 1
4
−
1
( 2 ) log x = 1
4
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1
− log x = 1
2
Utilizando la propiedad de la raíz enésima de un número y la propiedad del
recíproco de un número en el logaritmo se tiene
log x
−
1
2
⎛ 1
log⎜⎜ 1
⎜ 2
⎝x
=1
⎞
⎟ =1
⎟⎟
⎠
Al utilizar la definición de logaritmo y al despejar la incógnita se tiene el valor
de x
1
x
1
2
= 101
1
1
= x2
10
2
1
⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ 2 ⎞⎟
⎜ ⎟ =⎜x ⎟
⎝ 10 ⎠ ⎝ ⎠
x=
2
1
1
=
102 100
5) log9 x =
3
2
Al multiplicar la ecuación por 2/3 y simplificarla se tiene
2
⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞
log 9 x = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3
⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠
2
log 9 x = 1
3
Utilizando la propiedad de la raíz enésima de un número en el logaritmo, se
tiene
2
log9 x 3 = 1
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Al utilizar nuevamente el concepto de logaritmo y despejar la incógnita x
se tiene
2
3
x = 91
3
3
⎛ 23 ⎞ 2
⎜ x ⎟ = 92
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x=
( 9)
3
x = 33 = 27
6) log8 x = −
1
3
Se multiplica por −3 a la ecuación
− 3 log8 x = 1
Al aplicar la propiedad del recíproco de un número y la propiedad de la
potencia enésima de un número en el logaritmo se tiene
log8 x −3 = 1
⎛1⎞
log8 ⎜ 3 ⎟ = 1
⎝x ⎠
Se aplica nuevamente el concepto de logaritmo y se despeja
x para
obtener su valor
1
= 81
3
x
1
= x3
8
(x ) = ⎛⎜ 18 ⎞⎟
1
3 3
1
3
⎝ ⎠
x=
1
2
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7) log 64 x 9 = −3
Se multiplica la ecuación por −
1
3
1
− log 64 x 9 = 1
3
Se aplica la propiedad de la raíz enésima de un número y la propiedad del
recíproco de un número en el logaritmo
−1
log 64 ( x 9 ) 3 = 1
log 64 x
−9
3
=1
log 64 x −3 = 1
⎛1⎞
log 64 ⎜ 3 ⎟ = 1
⎝x ⎠
Se utiliza la definición de logaritmo y se despeja x para obtener su valor
1
= 641
x3
1
= x3
64
1
1
⎛ 1 ⎞3
3 3
x
=
(
)
⎜ ⎟
⎝ 64 ⎠
x=
1
4
8) log 4 x = log 4 (8 − x )
Recordando la definición de logaritmo
log a x = b
⇔
x = ab
despejando x se tiene
x =8− x
2x = 8
x=4
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