E14. Corriente Alterna

rriente aalterna
lterna
TTema
ema 113.3.- C
Coorriente
v(t)
§13.1.- Corriente alterna.
v = v(t ) con v(t ) = v(t + T ) (periódica)
wt
2π
sinusoidal (armónica): v = V sen(ωt + ϕ ) con ω =
= 2πν
T
• Características: valor máximo (amplitud), frecuencia (50 Hz), fase,...
• Ventajas: producción, transmisión , transformadores,...
§13.2.- Generador elemental de corriente
alterna.
S
Φ = B ⋅ S = BS cos θ = BS cos(ωt + ϕ0 )
dΦ
E =−
= BS ω sen (ωt + ϕ0 ) = Emáx sen (ωt + ϕ0 )
dt
Emáx = ( NBS ) ω
(N espiras)
N
B
S
delgas
ω
E
§13.3.- Lemas de Kirchhoff en c.a..
• Valores instantáneos (v, i), máximos (Vmáx, Imáx) y eficaces (Vef, Ief).
• Corriente transitoria y corriente estacionaria.
Los lemas de Kirchhoff son los mismos que en c.c., pero referidos a los valores
instantáneos.
Lema I (nudos):
∑i = 0
Lema II (mallas):
∑E + ∑E
cem
= ∑ iR →
∑ E = ∑ iR + ∑ contravoltajes
i
v = V senωt
a
i
i
a
elemento
pasivo
a
Corriente alterna
vab = iR
b
E = −L
Econtra
b
vab = L
di
(f.c.e.m.)
dt
di
(contravoltaje)
dt
i
b
a
b
vab =
q
C
13—1/11
§13.4.- Circuitos con resistencia, autoinducción o capacidad puras.
13.4.a. Resistencia pura
v = V senωt
i
v V
V
i = = sen ωt = I sen ωt → I =
R R
R
• La intensidad está en fase con la
tensión.
• Con
notación
fasorial:
V = IR
R=R
v
L
i
V
a
vab = v = L
b
v = V senωt
13.4.b. Autoinducción pura
V
V
1
v
t
t
t
=
=
−
d
sen
d
cos ωt
ω
i
L∫
L∫
ωL
V
∴ i =−
cos ωt = −I cos ωt = I sen(ωt − π 2 ) a
ωL
V
L
i=
b
• La intensidad se retrasa π/2 respecto la tensión.
V
V
=
• I=
reactancia inductiva: X L = ω L (Ω)
ωL X L
• Con
notación
fasorial:
V = IX L
X L = jω L
v = V senωt
I
i
13.4.c. Capacidad pura
vab = v =
V
a
• La intensidad se adelanta π/2 respecto la tensión.
V
V
=
reactancia capacitativa:
• I = ωC V =
1 / ωC X C
−j
• Con notación fasorial: V = IX C
XC =
ωC
Corriente alterna
v
I
C
i
i
v
di
dt
q
C
dv 1 dq i
dv
=
=
→ i = C = ωCV cos ωt
dt C d t C
dt
∴ i = ωCV cos ωt = I cos ωt = I sen(ωt + π 2 )
I
b
XC =
1
(Ω)
ωC
13—2/11
§13.5.- Valor medio y cuadrático medio.
Dada una función f(t) definida en el intervalo (t1, t2) se
definen su
1
valor medio: f medio = f =
Δt
f(t)
<f>
t +Δt
∫
f(t ) dt
t
t
1
valor cuadrático medio (r.m.s.): f r.m.s. =
Δt
t +Δt
∫
f 2 (t ) dt
2
→ f r.m.s.
= [f 2 ]medio
t
f(t)
1
Aplicación a las funciones armónicas (seno y coseno):
0·5
1 T
11
T
=
− cos ωt ]0 = 0
ω
sen
d
t
t
[
∫
T 0
Tω
1 T
11
T
cos ωt = ∫ cos ωt dt =
sen ωt ]0 = 0
[
T 0
Tω
sen ωt =
sen 2 ωt + cos 2 ωt = 1⎫⎪⎪
⎬ →
sen 2 ωt = cos 2 ωt ⎪⎪
⎪⎭
– 0·5
–1
sen 2 ωt + cos 2 ωt = 1 →
sen 2 ωt = cos 2 ωt =
1
2
v = V senωt
§13.6.- Valores eficaces de la corriente y del voltaje.
Vmáx
sen ωt = I máx sen ωt
R
2
p = i 2 R = I máx
R sen 2 ωt
wt
180 360
i=
(potencia instantánea)
1 2
2
P = p = I máx
R sen 2 ωt = I máx
R = I ef2 R
2
∴ I ef =
I máx
2
=
2
I máx = 0.707 I máx
2
→
R
i
a
p
I máx = 2 I ef
Intensidad eficaz: intensidad constante (c.c.) que produce el
mismo efecto calorífico que una c.a. al pasar por una
determinada resistencia.
Análogamente:
Corriente alterna
∴ Vef =
Vmáx
2
=
b
2
Vmáx = 0.707 Vmáx
2
→
wt
Vmáx = 2 Vef
13—3/11
v = V sen(ωt+α)
§13.7.- Circuito serie RLC. Impedancia.
di q
+
dt C
di 1
V sen (ωt + α ) = Ri + L + ∫ i d t
dt C
i = I sen(ωt+β)
v = vR + vL + vC = Ri + L
R
i
vC
vL
vR
(ec. dif. del circuito)
C
L
En general, será
I
v = Vm sen(ωt + α ) = Vm e j( ωt +α ) = Vm e jωt e jα = (Vm e jα )e jωt = Vm e jωt
V
con Vm = Vm e jα = (Vm ) α
La solución de la ec. dif. será también de la misma forma (pero desfasada):
i = Vm sen(ωt + β ) = I m e j ( ωt +β ) = I m e jωt e jβ = ( I m e jβ )e jωt = I m e jωt
con I m = I m e jβ = ( I m ) β
Sustituyendo las expresiones de v y de i en la ec. dif., tenemos
Vm e jωt = R I m e jωt + jω LI m e jωt +
⎡
j ⎤
⎥ Im
Vm = ⎢ R + jω L −
⎢⎣
ωC ⎥⎦
→
1
I m e jωt
jωC
Im =
→
Vm
⎛
1 ⎟⎞
R + j⎜⎜ω L −
⎟
⎜⎝
ωC ⎟⎠
⎡
⎛
1 ⎟⎞⎤
jφ
Definimos la impedancia: Z = ⎢ R + j⎜⎜ Lω −
⎟⎟⎥ = Ze = Z φ Unidad: Ω (ohmio)
⎜⎝
⎢⎣
⎥
C ω ⎠⎦
2
⎧⎪
⎛
1 ⎟⎞
⎪⎪
2
⎜
Z = Z = R + ⎜ω L − ⎟⎟
⎪⎪módulo:
⎜⎝
ωC ⎠
⎪
⎨
1
⎪⎪
ωL −
⎪⎪
ωC
⎪⎪argumento: φ = arctg
R
⎪⎩
V
En definitiva: I =
Z
En módulos:
Corriente alterna
V
Im = m
Z
(ley de Ohm)
XL
Z
X
φ
R
XC
13—4/11
Vm arg V
Obsérvese que:
Vm e jωt
= I m e j( ωt−φ )
jφ
Ze
Reactancia inductiva:
X L = ωL →
Reactancia capacitativa:
XC =
1
ωC
→
XC = −
X = X L − XC = ωL −
1
ωC
→
⎛
1 ⎟⎞
X= X L + X C = j⎜⎜ω L −
⎟
⎜⎝
ωC ⎟⎠
Reactancia:
↔
X L = jω L
Z = R2 + X 2
Impedancia:
= I m arg V −arg Z
Z arg Z
Unidad: Ω (ohmio)
j
Unidad: Ω (ohmio)
ωC
X
R
φ = arctg
⎛
1 ⎟⎞
Z = R + X = R + jX = R + j⎜⎜ω L −
⎟
⎜⎝
ωC ⎟⎠
V
2Vm
→ I ef = ef
Z
Z
2Im =
Obsérvese:
→
I=
V
Z
⎧
valores máximos
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩valores eficaces
13.7.a. La ley de Ohm se aplica a cualquier carga pasiva
i
a
b
I=
V = IR
I
⎛V ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = I 0
R 0 ⎜⎝ R ⎠ 0
V0
R
L
a
b
XL
90º
I=
V
XL
V0
ω L 90º
i
a
V
R
b
90º
XC
Corriente alterna
I=
V
V = IX L
⎛V ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = I −90º
⎜⎝ ω L ⎠
90º
V
XC
V0
(1 / ω L) −90º
V
I
V = IXC
I
= (ωCV ) +90º = I +90º
V
13—5/11
13.7.b. Casos particulares RL y RC serie
V senωt
Circuito serie RL
I=
V0
V
=
Z Z +φ
VL
i
⎛V ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝ Z ⎠
−φ
X
Z
+φ
L
R
90º-φ V
-φ
I
VR
R
VL = IX L = I −φ (ω L) +90º = (ω LI ) 90º−φ
VR = IR= I −φ R = IR −φ
V senωt
Circuito serie RC
I=
i
V0
⎛V ⎞
V
=
= ⎜⎜ ⎟⎟⎟
Z Z −φ ⎜⎝ Z ⎠ +φ
I
R
-φ
C
R
VR
+φ
V
X
VC
Z
⎛ 1 ⎟⎞
⎛ I ⎞⎟
⎜⎜
VC = IX C = I +φ ⎜⎜
=
⎟
⎜⎝ ωC ⎟⎠
⎜ ωC ⎠⎟⎟
⎝
−90º
φ−90º
VR = IR= I +φ R = ( IR ) +φ
§13.8.- Asociación de impedancias en serie y en paralelo.
13.8.a. En serie
V senωt
• la intensidad es la misma en todos los elementos
• la tensión es diferente
V1 = IZ1
V2 = IZ 2
Z1
V1
V3 = IZ3 ...
V= ∑ Vi = I ∑ Zi = IZ eq
Obsérvese que:
i
V= ∑ Vi
→
Z eq = ∑ Zi
Z3
V3
(suma fasorial)
V ≠ ∑Vi
13.8.b. En paralelo
• la tensión es la misma en todos los elementos
• la intensidad es diferente
Corriente alterna
Z2
V2
V
I
I1
Z1
I2 Z2
I3 Z3
13—6/11
I1 =
V
Z1
I2 =
I= ∑ Ii = V ∑
Obsérvese que:
V
Z2
I3 =
1
V
=
Zi Z eq
V
Z3
...
→
1
1
=∑
Z eq
Zi
I= ∑ Ii
(suma fasorial)
I ≠ ∑ Ii
1
Unidad: S (siemens)
Z
1
1
R − jX
= 2
= G + jB
Y= =
Z R + jX R + X 2
R
R
G= 2
= 2
Unidad: S (siemens)
Conductancia:
2
R +X
Z
X
X
B =− 2
=− 2
Unidad: S (siemens)
Susceptancia:
2
R +X
Z
R
1
1
Para R pura: G = 2 =
B=0
Y=G=
(real)
R
R
R
X
1
1
−j
Para L pura: G = 0
BL = − L2 = −
=−
Y=
XL
XL
ωL
ωL
X
1
Para C pura: G = 0
BC = + C2 = +
= ωC
Y = +jωC
XL
XC
1
1
Para impedancias/admitancias en paralelo es:
=∑
↔ Yeq = ∑ Yi
Z eq
Zi
Y=
Admitancia:
§13.9.- Potencia y factor de potencia.
v(t ) = Vmáx sen ωt
i (t ) = I máx sen (ωt − φ )
I
p (t ) = v i = Vmáx I máx sen ωt sen(ωt − φ)
sen a sen b =
1
2
Z
V
[ cos ( a − b) − cos ( a + b)]
p
Potencia instantánea:
v
V I
p (t ) = máx máx ⎡⎣cos φ − cos (2ωt − φ)⎤⎦
2
i
p
t
Potencia media:
Vmáx I máx
1
cos φ − cos (2ωt − φ ) = Vmáx I máx cos φ
2
2
P = V I cos φ
(valores eficaces) con − 90º ≤ φ ≤ 90º → 0 ≤ cos φ ≤ 1
P = p (t ) =
∴
Factor de potencia:
Corriente alterna
f.p. = cos φ
con 0 ≤ cos φ ≤ 1
13—7/11
§13.10.- Triángulo de potencia.
V =V0
I = I −φ
I * = I +φ
VI* = VI +φ
⎧⎪
VR2
2
2
⎪⎪activa (W)
P = VI cos φ = I Z cos φ = I R =
= Re( VI* )
⎪⎪
R
⎪⎪
VX2
2
2
⎪
= Im( VI* )
Potencia ⎨reactiva (W) Q = VI sen φ = I Z sen φ = I X =
⎪⎪
X
2
⎪⎪
V
⎪⎪aparente (V.A) S = P 2 + Q 2 = VI = I 2 Z =
= VI*
Z
⎪⎪⎩
S = VI* = VI φ = VI (cos φ + j sen φ ) = P + jQ
V
Iact=I cosφ
I
φ
S =VI
Q =VI senφ
I
φ
Ireact=I senφ
φ
P =VI cosφ
carga inductiva
carga capacitativa
I
φ
V
Corriente alterna
φ
Iact=I cosφ
Ireact=I senφ
I
Q =VI senφ
S =VI
φ
P =VI cosφ
13—8/11
§13.11.- Corrección del factor de potencia.
13.11.a. Carga inductiva
V
Iact=I cosφ
I
I
A. Corrección total
Icond
Ireact=I senφ
C
retrasada
adelantada
V
φ
carga inductiva
Iact=I cosφ
V
I’
I react = I sen φ
V
V
adelantada: I cond =
=
= ωCV
X C 1 / ωC
I
I senφ
I sen φ = ωCV → C = react =
ωV
ωV
atrasada:
B. Corrección parcial
I act tg φ − I act tg φ ′ = I cond
V
I act ( tg φ − tg φ ′) =
= ω CV
1 / ωC
I act ( tg φ − tg φ ′)
C=
ωV
Iact tgφ
Icond
I senφ
I
Iact tgφ’
I’ senφ’
φ’
φ
Se corrige con un condensador en paralelo
con la carga.
→
13.11.b. Carga capacitativa
Se corrige con una autoinducción en paralelo
con la carga.
carga capacitativa
Corriente alterna
V
φ
A. Corrección total
adelantada:
atrasada:
I sen φ =
I react = I sen φ
V
V
=
I bobina =
X L ωL
V
V
V
→ L=
=
ωL
ω I react ω I sen φ
B. Corrección parcial
Iact tgφ
Iact=I cosφ
Iact=I cosφ
I
Iact tgφ’
φ’
I’
I’ senφ’
φ
Ibobina
I senφ
I
Ibobina
L
adelantada
retrasada
V
Ireact=I senφ
I
V
I act tg φ − I act tg φ ′ = I bobina
V
I act ( tg φ − tg φ ′) =
→
ωL
V
L=
ω I act ( tg φ − tg φ ′)
13—9/11
§13.12.- CIRCUITO RLC PARALELO.
• la tensión es la misma en todos los elementos.
• la intensidad es diferente en cada rama.
i = I sen(ωt+β)
i
iR
⎧
⎪
⎪⎪I = V = V 0º = ⎛⎜V ⎟⎞ = V
⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠
⎪⎪ R R R
R 0 R
0
⎪
v = V sen(ωt+α)
⎪
⎪
V 0º
⎛ V ⎟⎞
V
V
⎪
=
= ⎜⎜ ⎟⎟
=−
j
→
⎨I L =
⎜⎝ ω L ⎠
⎪
X
L
L
ω
ω
−90º
90º
L
⎪
⎪
⎪
⎪
V 0º
V
⎪
=
=
= (ωCV ) +90º = ωCV j
I
⎪
C
⎪
1
X
ω
C
⎪
C
−90º
⎪
⎩
⎧
⎡1
⎛
⎪
1 ⎟⎞⎤
⎪
⎜
⎢
=
+
+
=
+
−
I
I
I
I
j
C
ω
⎟⎥ V
⎪
R
L
C
⎜⎝⎜
⎢⎣ R
Lω ⎟⎠⎦⎥
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩I = YV
2
I =V
1 ⎜⎛
1 ⎟⎞
+ ⎜C ω −
⎟
2
⎜⎝
R
Lω ⎠⎟
tg φadm =
→
Y=
L
R
⎛
1
1 ⎞⎟
+ j⎜⎜C ω −
⎟
⎝⎜
R
Lω ⎠⎟
C
iL
iC
I
V
(admitancia)
1
Lω = R ⎜⎛C ω − 1 ⎞⎟
⎟
⎝⎜⎜
1/ R
Lω ⎠⎟
Cω −
⎛
1
1 ⎞⎟
− j⎜⎜C ω −
⎟
⎜⎝
1
1
R
Lω ⎟⎠
Z= =
=
⎛
⎞⎟ ⎡ 1
⎛
⎞⎤ ⎡
⎛
⎞⎤
1
Y 1
⎜⎜C ω − 1 ⎟⎟⎥ ⎢ 1 − j⎜⎜C ω − 1 ⎟⎟⎥
⎢
+ j⎜⎜C ω −
j
+
⎟
⎜⎝
⎜⎝
⎜⎝
R
Lω ⎠⎟ ⎢⎣ R
Lω ⎟⎠⎥⎦
Lω ⎟⎠⎥⎦ ⎢⎣ R
⎛
1
1 ⎟⎞
− j⎜⎜C ω −
⎟
⎜⎝
R
Lω ⎟⎠
Z=
2
2
⎛ 1 ⎞⎟ ⎛
⎞
⎜⎜ ⎟ + ⎜⎜C ω − 1 ⎟⎟
⎜⎝ R ⎠⎟ ⎝⎜
Lω ⎠⎟
Corriente alterna
13—10/11
§13.13.- Resonancia.
La reactancia es función de la frecuencia de la c.a.: X = X(ω)
13.13.a. Resonancia en serie RLC
Para la frecuencia ω0 (frec. de resonancia) es XL = XC, de modo que la impedancia Z es
igual a R y el f.p. = 1 (i.e., φ = 0) de modo que la intensidad y la tensión están en fase y
la potencia entregada es máxima.
X
1
X L = ωL
Z
XC =
1
1
ω0 L =
→ ω0 =
ωC
ω0 C
LC
R
1
Pres = Pmáx = VI = Vmáx I máx
2
13.13.b. Resonancia en paralelo RLC
ω0
ω
Las expresiones anteriores son igualmente válidas ya que
ω0 C =
1
ω0 L
→ ω0 =
Corriente alterna
1
LC
→ Z=R
13—11/11