La lección de hoy es sobre Ecuaciones de Bisectores

CGT.5.G .4-Jerry Haynes -Wri te the Equation of the Perpendicular Bis ector of a Line Segment.
La lección de hoy es sobre Ecuaciones de Bisectores Perpendiculares de la Línea de un
Segmento. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.4
Primeramente, ¿Qué es un Bisector Perpendicular? Un Bisector Perpendicular intercepta el
segmento en su punto medio y forma ángulos derechos de 90°.
Bisector Perpendicular
A
B Entonces, si miras esta línea del segmento AB, y miras
la línea anaranjada, esta exactamente en el medio y forma un Angulo de 90°.
Ahora para buscar la ecuación de la línea perpendicular a la línea del segmento, todo lo que
necesitas hacer es la pendiente y el punto medio del segmento.
Recuerda, si dos líneas son perpendiculares, entonces las pendientes será opuestas reciprocas.
Oh algunas personas dirán negativas reciprocas.
Ejemplo # 1:
Vamos a encontrar el Bisector perpendicular para la línea del segmento. En orden de hacer
esta busca el punto medio.
¿Cómo lo haremos?
Mira la grafica y observa los extremos en la línea del segmento, son desde arroba (10, 10) y el
otro punto está en (4, -2).
Y
1
Bisector Perpendicular
10
2
Punto medio del Bisector.
8 6 4
-2
2 4
-2
-4
6 8 10
(4,-2)
Entonces el punto medio quiere decir sumas la X y divides entre dos, coma, sumas las Y divide
entre dos. Esta es la fórmula:
X1 + x2 , y1 + y2
2
2
Los valores de x son los primeros valores en el orden de pares, y los
valores de y son los segundos valores en el orden de pares. Si sustituyes
correctamente tendrás:
4 + 10 , -2 +10
2
2
Ahora reduce, sumas los números en el numerador y divides entre dos.
14 , 8
2
2
Tendrás el punto medio que es = (7, 4).
Ahora que sabes el punto medio, busca la pendiente. Recuerda para ir de un punto a otro
punto en la línea del segmento es hacia arriba o abajo (horizontalmente), sobre, hacia la
izquierda o derecha (verticalmente). Entonces sigue este y podrás ir de un punto a otro
tendrás que ir verticalmente 2 unidades y horizontalmente 1 unidad. Quiere decir que la
pendiente de la línea del segmento es 2/1.
Entonces tenemos suficiente información para encontrar la línea perpendicular del bisector que
va en el punto medio del segmento. Ahora si trazas la línea será algo como esta que cruza la
línea del segmento en un Angulo de 90°. ¿Cómo encuentras la ecuación?
Siempre me gusta empezar con la forma del punto de la pendiente que es:
Y –y1 = m (x – x1) no es difícil de usar solamente recuerda tus puntos en X y, Y la pendiente
m. Sabemos que los puntos son (7, 4) y la pendiente es un poco diferente, sabemos la
pendiente de la línea es 2/1, pero la pendiente de la línea del bisector perpendicular es el
opuesto reciproco, quiere decir 2/1 que lo inviertes y cambias el signo, tendrás - ½.
Ahora sustituye y tendrás:
Y – 4 = -½ (x -7)
Ahora resuelve por Y, lo primero es eliminar la fracción, entonces
multiplicas los dos lados de la ecuación entre dos. Seria,
2 (y -4) = (-½x -7)2 El -1/2 y el 2 se cancelan, y será,
2y -8 = -(x -7)
Ahora distribuye el negativo del paréntesis, cambias los signos de la X y el
7 porque el negativo enfrente.
2y -8 = -x +7
¿Qué haremos ahora? Seria, sumar 8 en los dos lados, y se cancelan los
ochos a la izquierda y cambias tus constantes entonces,
2y = -x +7 +8
2y = -x +15
Un paso más para resolver por Y, ahora es 2 por Y y necesitas cancelar el
2entonces divides cada término entre dos. Si haces esto tendrás:
Y= -½x + 15/2
Esta es la ecuación de la línea del bisector perpendicular.
Ejemplo # 2:
Veremos un ejemplo diferente, busca el bisector perpendicular para esta línea del segmento.
Necesitas encontrar el punto de los extremos de la línea, la pendiente, y el punto medio.
8
(8,5)
6
-1
4
2
2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-3
1 2 3 4 5 6 7 8
(8, -3)
Primero los puntos de los extremos de nuestra línea en azul, serán (-8,5) y (8,-3). Ahora la
pendiente, ¿Cómo la encuentras? Desde el primer punto en la línea azul hasta el otro extremo
y piensa hacia abajo al lado derecho en la dirección de la Y y X. Tendremos que vamos hacia
abajo una unidad, seria -1 y en la dirección derecha eje de la X 2 unidades. Entonces la
pendiente de la línea del segmento es -½. Ahora busca el punto medio. Solo sustituye en la
formula tendremos:
-8 +8 , 5 -3
2
2
Sumas los valores de X, y divides entre dos, y sumas los valores de Y, y divides
entre dos. Ahora simplifica y tendrás,
(0,1) este es el punto medio.
Tenemos la pendiente, tenemos el punto medio, estamos listos para nuestra ecuación del
bisector perpendicular. Empezamos con la forma del punto de la pendiente que es:
y- y1 = m (x – x1) Nuestros puntos son (0,1) y sustituyes es la X y Y. La pendiente del bisector
perpendicular no la tenemos. Entonces la pendiente de la línea es -½.
Como la línea que estamos buscando es perpendicular es el opuesto reciproco del -½.
Entonces el -1/2 lo inviertes, seria 2 y cambias el signo y seria un positivo 2. Y nuestra ecuación
es y -1 = 2 (x -0) ahora simplifica.
Ahora el paréntesis en este no quiere decir nada. Entonces el -0 tampoco cambia nada.
Entonces escribe la ecuación como:
Y -1 = 2x
Ahora el próximo paso para resolver por Y seria llevar el negativo 1 al otro lado del
signo igual y recuerda al cruzar el otro lado del signo igual cambias signos, y el
opuesto seria sumar, tendremos:
Y= 2x +1
Esta es la ecuación del bisector perpendicular para nuestra línea del segmento.
Aquí tenemos algunos pasos que necesitas, en orden de resolver por bisectores
perpendiculares.
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Necesitas buscar la pendiente del segmento.
Necesitas calcular el punto medio del segmento.
Necesitas usar la forma del punto de la ecuación.
Usa el reciproco opuesto de la pendiente, recuerda la Y que buscas es perpendicular,
OK.
Recuerda en la pendiente necesitas invertir la respuestas y cambias el signo.
Usa la coordenada del punto medio (x1y1) de la ecuación.
Y resuelve la ecuación del bisector perpendicular.
A si es que encuentras la ecuación del Bisector Perpendicular.