La lección de hoy es sobre Ecuaciones de Bisectores

CGT.5.G.4-Pam Beach- Equations of Perpendicular Bisectors of Segments.
La lección de hoy es sobre Ecuaciones de Bisectores Perpendiculares y segmentos. El cuál es la
expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.4
Primeramente: Un Bisector Perpendicular tiene dos requisitos.
1. El primero pasa como el punto medio del segmento. Y
2. Es Perpendicular al segmento; la pendiente es el reciproco opuesto de la pendiente de
los segmentos. Como la línea perpendicular.
Un Bisector Perpendicular puede ser una línea, una raya, y otro segmento.
Veremos algunos ejemplos.
Ejemplo #1:
Escribe la ecuación para el Bisector Perpendicular del segmento con los puntos de los extremos
(-1,2) y (5,-4).
Primero veremos los pasos que tendremos que seguir para desarrollar este ejemplo:
1.
2.
3.
4.
Paso uno, busca el Punto Medio del Segmento.
Busca la Pendiente del Segmento.
Busca la Pendiente de la línea Perpendicular al Segmento.
Usa el Punto Medio y la Línea Perpendicular de la Pendiente para escribir la ecuación del
Bisector Perpendicular.
Ahora desarrolla:
El primer paso es el Punto Medio del Segmento: La fórmula del Punto Medio es,
x1+x2 , y2+y2
2
2
Entonces sustituye en la ecuación, tendremos:
-1 +5 , 2+ -4
2
2
Simplifica y tendrás,
4 , -2
2
2
2,-1
Nuestro Punto Medio.
Ahora que sabes el Punto Medio vamos a buscar la Pendiente del Segmento es el paso #2.
Para buscar la Pendiente necesitas la formula que es:
M= y2 – y1
X2 – x1
M= -4 – 2
5 - -1
Las diferencias de las Y dividido entre la diferencias de la X. En este caso será,
simplificas en el numerador será -6.
En el denominador dos negativos será positivo 6.
M = -6
6
M = -1
Esta es la Pendiente de la Línea del Segmento.
Ahora el paso tres, busca la Pendiente de la Línea Perpendicular al Segmento. ¿Cómo buscas la
Pendiente Perpendicular? Es el Opuesto Reciproco de nuestra pendiente que es -1, entonces
inviertes y cambias el signo y tendrás, positivo 1.
Ahora tenemos el Punto Medio, y la Pendiente, estamos listo para escribir la ecuación.
Y – y1 = m(x – x1)
Me gustaría empezar con el punto de la pendiente, sustituye en la
formula, tendremos:
y - -1 = 1(x – 2)
resuelve, y distribuye el uno en el paréntesis a la derecha, pero no cambia
solo una vez, tendrás x-2 seria:
y +1 = x -2
Necesitas resolver por y “Y”.
Notas dos negativos es positivo, ahora, ¿Cómo llevas este al otro lado del signo igual? Harás lo
opuesto que será restar -1 en los dos lados. Seria:
Y +1 = x -2
-1
-1
Cancelas a la izquierda, sumas a la derecha, tendrás
Y = x-3
Esta es la ecuación del Bisector Perpendicular.
Ejemplo # 2:
Veremos un segundo ejemplo. Escribe la ecuación del bisector perpendicular del segmento con
los puntos de los extremos (4, -1) y (3,4). Haremos los 4 pasos que observes el patrón de
cómo resolver estos problemas.
Paso #1, busca el punto medio, usa la formula y sustituye los valores de las X, y los valores de
las Y. Seria:
x1 +x2 , y1 + y2
2
2
4 + 4 , -1 + 7
2
2
Ahora simplifica, y tendrás
7 , 6
2
2
= (3.5 , 3) Este es el punto medio. Ahora ¿Qué haremos?
Necesitas el paso #2 que es buscar la pendiente del segmento que pasa por los puntos (4,-1) y
(3, 7) y esta es la formula:
M = y2 - y1
X2 - x1
Las diferencias de las X sobre las diferencias de la Y, sustituye:
Tendrás: 7 - -1
En matemáticas si tienes dos negativos te darán positivo.
3–4
En el numerador
8
En el denominador
-1
Entonces tendrías = -8
Pero no paramos aquí, necesitas ir al paso #3, que es buscar la pendiente perpendicular.
¿Cómo lo haría? Recuerda, el opuesto reciproco de -8, si inviertes este y cambias el signo
tendrás 1/8 esta es la pendiente de la línea que estamos buscando. Ahora estamos listos para
la ecuación.
Sería el punto de la pendiente y sustituye los valores en los lugares correspondientes.
y – y1 = m (x – x1)
y – 3 = 1/8 x – 7/16
Ahora resuelve por Y. Tenemos -3, ¿Cómo lo llevaremos al otro lado?
Bueno, el opuesto de restar 3 será sumar 3.
Y – 3 = 1/8 x - 7/16
+3
+3
Y = 1/8 x + 41 /16
Cancelas a la izquierda y tendrás
Ahora usa tu calculadora especialmente si tienes teclados de fracciones
en matemáticas.
Aquí hemos encontrado el bisector perpendicular de la línea que va a los pontos (4, -1) y los
puntos (3, 7).
Ejemplo # 3:
Este ejemplo lo veremos gráficamente, si tienes en la grafica un bisector perpendicular. ¿Cómo
sería esta?
Y
8
6
8 unidades 4
4 unidades
2
6
4
2
X
2
4
6
4
6
8
Bueno, en orden de usar la grafica necesitas dos puntos para la línea. Vamos a 4 pasos que
hemos aprendido, para buscar el bisector perpendicular. Lo primero será buscar el punto
medio, y la formula será:
X1 + x2 , y1 + y2
2
2
¡Pero un momento, no tenemos ningún punto! ¿Como lo
obtendremos?
Mira los extremos de la línea del segmento que te han dado en azul. Si miras esta grafica te
han dado los puntos (-5, -2) y (3, 2). Ahora el punto medio será solamente sustituir los
valores en la formula.
Tendrás
-5 + 3 , -2 + 2
2
Seria
2
desarrolla y simplifica.
-2 , 0
2
2
que sería
= (-1, 0) este es el punto medio, búscalo en la grafica.
Este es el punto en nuestro bisector perpendicular pero necesitamos dos.
¿Cómo encontramos el segundo punto en la línea? Usualmente seguimos la pendiente.
¿Cómo buscas la pendiente?
línea. Del segmento.
Veremos el segundo paso, que es buscar la pendiente de la
¿Cómo lo haremos?
Recuerda la pendiente es, hacia arriba verticalmente, sobre las unidades a la derecha (en este
caso) horizontalmente.
En la grafica seria hacia arriba 4 unidades, y a la derecha 8 unidades. Quiere decir la pendiente
es 4 =
se reduce a
1 esta es la pendiente de la línea del segmento.
8
2
La pendiente del bisector perpendicular es el opuesto reciproco, sería el opuesto reciproco de
½ es igual a -2, recuerda invierte el ½ y cambias el signo.Entonces desde nuestro punto rojo, ¿Cómo obtendremos el segundo punto en el bisector
perpendicular? Seria, hacia abajo 2 unidades, y a la derecha 1. Ahora que obtuvimos 2
puntos, podemos trazar el bisector perpendicular y solamente hemos encontrado la línea del
segmento en el Angulo de 90° y va pasa exactamente en el medio de la línea del segmento.
A si es como buscas los Bisectores Perpendiculares.