Ecuaciones e identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas
Comprueba las siguientes identidades (se usan relaciones que sabemos, definiciones, …, y
operamos, generalmente los dos miembros, hasta llegar a una identidad evidente)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
tg x +cotg x=sec x⋅cosec x
tg β 1+tg² β
=
cos² β cotgβ
tg x cotg x
=sen x
cosec x
sen² α +tg² α=sec² α−cos² α
cosec² γ−1
cos γ=
cosec² γ
√
sen ψ=
tg ψ
√ 1+tg² ψ
Ecuaciones trigonométricas
Ejemplo: 2−3 sen x=cos 2x
(escribimos un sólo ángulo)
2−3 sen x=cos² x−sen² x
(escribimos una sola razón: el seno por ejemplo)
2−3 sen x=1−sen² x−sen² x
(agrupamos y reducimos)
2 sen² x−3 sen x +1=0
(resolvemos la ecuación que en este caso es de 2º grado)
3± 9−8 3±1 1
sen x = √
=
= 1
4
4
2
sen x =1 → x=90º+360ºk , k ∈ℤ
•
1
sen x = → x=30º +360ºk , k ∈ℤ
•
2
x=150º +360ºk , k ∈ℤ
{
{
(Las soluciones son para ángulos entre 0º y 360º)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
tg x=2 sen x
cos 2x=sen x
sen x +cos 2x=1
cos² x=cos x
2 cos x=sec x
cos 2x +5 cos² x =5
Soluciones: 0º, 180º, 60º, 300º
Soluciones: 270º, 30º, 150º
Soluciones: 0º, 180º, 30º, 150º
Soluciones: 90º, 270º, 0º
Soluciones: 45º, 135º, 225º, 315º
Soluciones: 22º12'28'', 157º47'32'', 202º12'28'', 337º47'32''