Antiderivadas de Funciones Trigonométricas

Antiderivadas de Funciones Trigonométricas
Recuerda siempre la antiderivada es la operación inversa a la derivada. Con eso en mente
completaré los siguientes objetivos.
Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = cos(x)
¿Qué debo derivar para obtener cos(x)? Es es la primera pregunta que debes hacerte. Intentaré
con F (x) = sen(x). Recuerdo que
d
(sen(x)) = cos(x)
dx
La derivada de sen(x) es cos(x). Por eso entonces,
Z
cos(x)dx = sen(x)
¿Qué sucede si tengo F (x) = sen(x) + 1.1 o F (x) = sen(x) + 5/8...? Al derivar todas esas opciones
obtengo cos(x) por eso para generalizar la antiderivada le sumaré una C (constante de integración).
Z
(F 2.1)
cos(x) dx = sen(x) + C
Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = sen(x)
Recuerda que el método principal para encontrar la antiderivada de una función es adivinando.
Comienza preguntando, ¿Qué debo derivar para obtener sen(x). Intentaré con F (x) = cos(x).
F 0 (x) = −sen(x)
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Cerca... la respuesta debe ser sen(x) no −sen(x), ¿por qué no agregarle un negativo (-) a mi F (x)
para tener una nueva F (x)? Intentaré con F (x) = −cos(x).
F 0 (x) = −(−sen(x)) = sen(x)
Funciona! Puedo decir entonces que
Z
sen(x) = −cos(x)
Mira que al derivar −cos(x) + 5 o −cos(x) − 2.56 o −cos(x) + 2/3... obtengo sen(x). Por eso,
generalizaré la antiderivada sumando una constante de integración C. Finalmente
Z
sen(x) dx = −cos(x) + C
(F 2.2)
Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = sec2 (x)
¿Qué debo derivar para obtener f (x) = sec2 (x)? Recuerda que
d
(tan(x)) = sec2 (x)
dx
Al derivar tan(x) obtengo sec2 (x)... pero también puedo tener tan(x) + 2 o tan(x) + 3/4... ası́ que
para generalizar sumaré una constante de integración.
Z
(F 2.3)
sec2 (x) dx = tan(x) + C
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Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = csc2 (x)
¿Qué debo derivar para obtener f (x) = csc2 (x)? Similar al problema anterior, puedo intentar
con F (x) = cot(x)...
d
(cot(x)) = −csc2 (x)
dx
Casi... tengo un negativo que no quiero ahı́ ası́ que diré que F (x) = −cot(x) + C (Recuerda que la
C es para generalizar la antiderivada).
Z
(F 2.4)
csc2 (x) dx = −cot(x) + C
Te dejaré de ejercicio demostrar estas últimas fórmulas
Z
(F 2.5)
sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C
Z
(F 2.6)
csc(x)cot(x) dx = −csc(x) + C
¿Cuál es la respuesta a estas integrales?
Z
tan(x)dx
Z
csc(x)dx
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Encontraremos la solución a esas integrales más adelante.
Con estas fórmulas podemos encontrar la antiderivada a varias funciones (esencialmente, son las
mismas funciones que están en las fórmulas).
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