2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Funciones y derivada.
2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.
Sea f : x ∈ I ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función definida en un intervalo I y sea a un punto interior del
intervalo I . La pendiente de la recta tangente a la curva y = f ( x) en el punto ( a, f (a ) ) se define
como el límite de las pendientes de las rectas secantes que pasan por el punto ( a, f (a ) ) . Este límite
se llama derivada de la función f en el punto a y es una de las ideas más importantes del cálculo.
DEFINICIÓN. Se dice que la función f es derivable en el punto a si el siguiente límite existe y es
f ( x) − f (a)
finito (un número real) lim
. Cuando esto ocurre se denota por
x →a
x−a
f ′(a ) := lim
x →a
f ( x) − f (a)
x−a
y a este valor se le llama derivada de la función f en el punto a.
Observa que f ′(a ) := lim
x →a
f ( x) − f (a)
f ( a + h) − f ( a )
= lim
. A la recta de ecuación
h →0
x−a
h
y = f (a ) + f ′(a)( x − a),
es decir la recta que pasa por el punto ( a, f (a ) ) con pendiente f ′(a), se le llama recta tangente a
la curva y = f ( x) en el punto ( a, f (a ) ) .
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Lección 1. Funciones y derivada.
Observa que la recta tangente tiene la siguiente propiedad; que es simplemente una reformulación
de la definición de derivada
lim
x →a
f ( x) − ( f (a) + f ′(a )( x − a) )
= 0.
x−a
Esta propiedad es característica de la recta tangente. Esto es, si existe una recta, digamos de ecuaf ( x ) − ( n + m( x − a ) )
ción y = n + m( x − a), tal que lim
= 0, entonces la función f es derivable en
x →a
x−a
el punto a y se verifica que n = f (a) y m = f ′(a). Esto quiere decir que la recta y = n + m( x − a)
es, de hecho, la recta tangente a la curva y = f ( x) en el punto ( a, f (a ) ) . En efecto,
lim
x →a
f ( x ) − ( n + m( x − a ) )
f ( x) − n
⎛ f ( x) − n
⎞
= 0 ⇔ lim ⎜
− m ⎟ = 0 ⇔ lim
= m.
x →a
x →a
x−a
x−a
⎝ x−a
⎠
f ( x) − n
exista y sea finito debe ocurrir que n = lim f ( x) puesto que el límite
x →a
x−a
del denominador es cero. Si la función f tuviese una discontinuidad evitable en x = a, bastaría
f ( x) − f (a)
redefinir f (a ) := lim f ( x) para obtener que n = f (a) y, por tanto, m = lim
= f ′(a).
x →a
x →a
x−a
Luego la recta y = n + m( x − a ) es la recta tangente.
Para que el límite lim
x →a
DEFINICIÓN. Una función f es derivable en un intervalo abierto (finito o infinito) si es derivable en
cada punto de ese intervalo. Diremos que f es derivable en un intervalo cerrado [ a, b ] si es derivable en cada punto del intervalo abierto ( a, b ) y existen las derivadas laterales en los puntos extremos, es decir, los dos siguientes límites existen y son finitos:
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Lección 1. Funciones y derivada.
f ( a + h) − f ( a )
,
h →0
h
f (b + h) − f (b)
derivada por la izquierda de f en b : lim−
.
h →0
h
derivada por la derecha de f en a : lim+
Las dos propiedades fundamentales de las funciones derivables son las siguientes.
PROPIEDAD 1. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DERIVABLES. Si f es una función derivable en un
punto a, entonces f es continua en a.
En efecto,
f ( x) − f ( a )
⎛ f ( x) − f (a )
⎞
lim ( f ( x) − f (a) ) = lim ⎜
( x − a) ⎟ = lim
⋅ lim( x − a ) = f ′(a ) ⋅ 0 = 0.
x →a
x→a
x →a
x−a
x−a
⎝
⎠ x →a
Lo que significa que lim f ( x) = f (a).
x →a
PROPIEDAD 2. PROPIEDAD DEL VALOR INTERMEDIO. Sean a y b dos puntos de un intervalo donde la
función f es derivable. Entonces la función derivada f ′ alcanza cualquier valor comprendido entre f ′(a ) y f ′(b).
Esta segunda propiedad nos asegura que una función no puede ser la derivada de otra función salvo
que tenga esta propiedad del valor intermedio. Por ejemplo, la función escalón
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Lección 1. Funciones y derivada.
no puede ser la derivada de ninguna función. En la siguiente lección veremos que cualquier función
continua es la derivada de otra función.
El teorema del valor medio. Si dibujamos la gráfica de una función encontramos evidencias geométricas para afirmar que entre dos puntos de un intervalo donde una función derivable cruza una
recta horizontal debe existir otro punto donde la tangente es horizontal.
De forma precisa tenemos el siguiente resultado.
TEOREMA (ROLLE). Sea f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función continua en [ a, b ] y derivable en
( a, b ) tal que
f (a) = f (b). Entonces existe c ∈ ( a, b ) tal que f ′(c) = 0.
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Lección 1. Funciones y derivada.
El teorema del valor medio de Lagrange es una versión general del teorema de Rolle. Asegura que
existe un punto intermedio c ∈ ( a, b ) donde la tangente es paralela al segmento AB que une los
puntos ( a, f (a) ) y ( b, f (b) ) .
TEOREMA (LAGRANGE). Sea f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función continua en [ a, b ] y derivable en
( a, b ) .
Entonces existe c ∈ ( a, b ) tal que f ′(c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Algunas consecuencias del teorema del valor medio son las siguientes. La primera de ellas asegura
que las funciones con derivada cero deben ser constantes.
COROLARIO 1. Si f ′( x) = 0 para todo x ∈ ( a, b ) , entonces f ( x) = C para todo x ∈ ( a, b ) , donde C
es una constante.
La siguiente consecuencia asegura que la diferencia de dos funciones que tienen la misma derivada
debe ser constante.
COROLARIO 2. Si f ′( x) = g ′( x) para todo x ∈ ( a, b ) , entonces existe una constate C tal que
f ( x) = g ( x) + C para todo x ∈ ( a, b ) . Es decir, la diferencia f − g es una función constante.
La tercera consecuencia que obtendremos del teorema del valor medio está relacionada con la determinación de las regiones de crecimiento (o decrecimiento) de una función, es lo que se conoce
como el estudio de la monotonía de una función. En primer lugar vamos a recordar lo que significa
que una función es creciente o decreciente.
DEFINICIÓN. Sea f : x ∈ I ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función. Se dice que la función f es creciente en
I si f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) para todos x1 < x2 del intervalo I . Se dice que la función f es decreciente en
I si f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) para todos x1 < x2 del intervalo I .
Otra consecuencia del teorema del valor medio de Lagrange es la determinación de las regiones de
crecimiento (o decrecimiento) de una función mediante el conocimiento del signo de la primera
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Lección 1. Funciones y derivada.
derivada de la función.
COROLARIO 3. Sea f : x ∈ [ a, b ] ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función continua en [ a, b ] y derivable en
( a, b ) .
1. Si f ′( x) ≥ 0 para todo x ∈ ( a, b ) , entonces f es creciente en [ a, b ] .
2. Si f ′( x) ≤ 0 para todo x ∈ ( a, b ) , entonces f es decreciente en [ a, b ] .
Convexidad de una función con derivada segunda. La convexidad de una función (de su gráfica)
es otra de las características que nos ayudan mucho en el trazado de la gráfica de la función. Comenzamos con la definición.
DEFINICIÓN. Una función f : x ∈ I ⊆ \ → f ( x) ∈ \ se dice que es convexa en el intervalo I si
x − x2
x − x1
+ f ( x2 )
para todo x ∈ ( x1 , x2 ) , siendo x1 < x2 dos puntos
verifica que f ( x) ≤ f ( x1 )
x1 − x2
x2 − x1
cualesquiera del intervalo I .
OBSERVACIÓN. Puesto que y = f ( x1 )
x − x2
x − x1
es la ecuación de la recta que pasa por
+ f ( x2 )
x1 − x2
x2 − x1
los puntos ( x1 , f ( x1 ) ) y ( x2 , f ( x2 ) ) , la condición de convexidad significa que la gráfica de la función está por debajo del segmento que une los puntos ( x1 , f ( x1 ) ) y ( x2 , f ( x2 ) ) , en el intervalo
( x1 , x2 )
y esto ocurre para cada par de puntos x1 < x2 del intervalo I .
PROPIEDAD. Sea f : x ∈ I ⊆ \ → f ( x) ∈ \ una función definida en un intervalo I . Las siguientes
condiciones son equivalentes:
(1) f es una función convexa en I .
(2)
f ( x) − f ( x1 ) f ( x) − f ( x2 )
≤
para todo x ∈ ( x1 , x2 ) , siendo x1 < x2 dos puntos cualesquiera del
x − x1
x − x2
intervalo I .
En efecto, observamos que
f ( x) − f ( x1 ) f ( x) − f ( x2 )
≤
x − x1
x − x2
⇔
f ( x) − f ( x1 ) ≤
x − x1
( f ( x) − f ( x2 ) )
x − x2
⇔
( x − x2 )( f ( x) − f ( x1 ) ) ≥ ( x − x1 )( f ( x) − f ( x2 ) )
x f ( x) − x2 f ( x) − f ( x1 ) ( x − x2 ) ≥ x f ( x) − x1 f ( x) − f ( x2 ) ( x − x1 )
f ( x2 ) ( x − x1 ) − f ( x1 ) ( x − x2 ) ≥ ( x2 − x1 ) f ( x)
⇔
f ( x2 )
⇔
⇔
x − x1
x − x2
− f ( x1 )
≥ f ( x) ⇔
x2 − x1
x2 − x1
f ( x1 )
x − x2
x − x1
+ f ( x2 )
≥ f ( x),
x1 − x2
x2 − x1
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Lección 1. Funciones y derivada.
que es justamente la equivalencia entre las afirmaciones (1) y (2).
OBSERVACIÓN. Supongamos ahora que la función f : x ∈ I ⊆ \ → f ( x) ∈ \ tiene derivada segunda
en cada punto del intervalo I . La condición (2) de la propiedad anterior equivale a que la primera
derivada f ′ sea una función creciente en el intervalo I . En efecto, si se verifica la condición (2),
tomando límite cuando x → x1 en (2), como la función f es derivable, obtenemos la desigualdad
f ( x1 ) − f ( x2 )
f ′( x1 ) ≤
. Por el contrario, tomando límite cuando x → x2 en (2), como la función f
x1 − x2
f ( x1 ) − f ( x2 )
es derivable, obtenemos la desigualdad
≤ f ′( x2 ). Por tanto, f ′( x1 ) ≤ f ′( x2 ). Puesto
x1 − x2
que los puntos x1 < x2 del intervalo I son arbitrarios deducimos que la función derivada f ′ es creciente en el intervalo I . Recíprocamente, supongamos ahora que la función derivada f ′ es creciente en el intervalo I . Si no se verificase la condición (2) existirían dos puntos x1 < x2 del intervalo I
f ( x) − f ( x1 ) f ( x) − f ( x2 )
>
. El teorema del valor medio
y existiría un punto x ∈ ( x1 , x2 ) tales que
x − x1
x − x2
f ( x) − f ( x1 )
. De la misma forma, aplide Lagrange asegura que existe c1 ∈ ( x1 , x ) tal que f ′(c1 ) =
x − x1
f ( x) − f ( x2 )
. En
cando de nuevo el teorema del valor medio, existe c2 ∈ ( x, x2 ) tal que f ′(c2 ) =
x − x2
resumen, hemos encontrado dos puntos c1 < c2 del intervalo I tales que f ′(c1 ) > f ′(c2 ) y la función derivada no sería creciente en el intervalo I .
Por otra parte, sabemos que el crecimiento de la función primera derivada f ′ está determinado por
el signo de su derivada, es decir, la función derivada segunda f ′′. Podemos concluir entonces que
los intervalos donde la función f es convexa son aquellos donde la función derivada segunda es
mayor o igual que cero, es decir, f ′′ ≥ 0.
Finalmente, comentemos que una función f : x ∈ I ⊆ \ → f ( x) ∈ \ se dice que es cóncava en el
x − x2
x − x1
+ f ( x2 )
para todo x ∈ ( x1 , x2 ) , con x1 < x2
intervalo I si verifica que f ( x) ≥ f ( x1 )
x1 − x2
x2 − x1
puntos cualesquiera del intervalo I . De forma análoga al desarrollo precedente se puede probar que
una función con derivada segunda en un intervalo I es cóncava en el intervalo I si y sólo si su
derivada segunda es negativa, es decir, f ′′ ≤ 0. Los puntos extremos de los intervalos de convexidad y concavidad se llaman puntos de inflexión de la función.
⎧ 4, x = 2,
EJERCICIO 1. Considera la función f ( x) := ⎨ 2
Calcula la derivada f ′(2) y la ecuación de
x
x
,
2.
≠
⎩
la recta tangente a la gráfica de la función en el punto ( 2, 4 ) . Dibuja la gráfica de la función.
EJERCICIO 2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica por qué.
(a) La gráfica de un polinomio de grado par tiene, al menos, una tangente horizontal.
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Lección 1. Funciones y derivada.
(b) La gráfica de un polinomio de grado impar tiene, al menos, una tangente horizontal.
3, x = 0,
⎧
⎪ 2
EJERCICIO 3. ¿Para qué valores de a, b y c la función f ( x) := ⎨− x + 3 x + a, 0 < x < 1, verifica
⎪
bx + c, 1 ≤ x ≤ 2
⎩
las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [ 0, 2] ?
EJERCICIO 4. Un número r ∈ \ se dice que es un cero de la función f ( x) si f (r ) = 0.
(1) Construye una función polinómica f ( x) que tenga ceros en los puntos x = −2, −1, 0,1 y 2.
(2) Dibuja en los mismos ejes coordenados la gráfica de de la función f y de su derivada f ′. Relaciona lo que observas con el teorema de Rolle.
(3) ¿Comparten el mismo fenómeno la función f ( x) = sen x y su derivada f ′( x) ?
EJERCICIO 5. (1) Escribe el enunciado correcto del teorema de Bolzano relativo a una función continua en un intervalo [ a, b ] que cambia de signo en los extremos.
(2) Supongamos que f es una función continua en el intervalo [ a, b ] y derivable en ( a, b ) . Supongamos también que f (a ) ⋅ f (b) < 0 y que f ′( x) ≠ 0 para todo x ∈ ( a, b ) . Comprueba que la ecuación f ( x) = 0 tiene exactamente una única raíz en el intervalo ( a, b ) .
(3) Determina el número de raíces que tienen las siguientes ecuaciones:
1
1
+
= 2, cos( x 2 ) − x = 0, 2 − x 2 + log x y 4 + log x − e x = 0.
x+2 x−2
2
2
EJERCICIO 6. Dibuja las gráficas de las funciones f1 ( x) := x 3 , f 2 ( x) := x 2 − 2 y f3 ( x) := x 3 ( x 2 − 2 )
en el intervalo [ −3,3] .
EJERCICIO 7. Supongamos que un producto se vende a 25 euros por unidad, con el precio aumentando a una velocidad de 2 euros por año. A ese precio, los consumidores compran 150.000 unidades de ese producto, pero el número de unidades compradas decrece a una velocidad de 8.000 por
año. ¿A qué velocidad está cambiando el beneficio? ¿Está aumentando o disminuyendo dicho beneficio?
EJERCICIO 8. Supongamos que el precio de un objeto es 20 euros y se venden 20.000 unidades. Si
el precio aumenta a una velocidad de 1,25 euros por año y la cantidad vendida aumenta a una velocidad de 2.000 unidades por año, ¿a qué velocidad aumentan los beneficios en ese momento inicial?
EJERCICIO 9. Supongamos que para un cierto juguete, la cantidad vendida Q(t ) (en función del
tiempo t ) disminuye a una velocidad de un 4% de la cantidad existente del producto. Establece una
fórmula explícita de la función Q(t ).
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Lección 1. Funciones y derivada.
EJERCICIO 9. Una bola de béisbol, de masa 0,15 Kg y cuya velocidad es de 45 m/s al ser lanzada
por el jugador, es golpeada por un bate de masa m y con velocidad 40 m/s en sentido opuesto al
movimiento de la bola. Tras la colisión, la bola sale despedida con una velocidad inicial de
v ( m) =
82,5 ⋅ m − 6, 75
.
m + 0,15
Demuestra que v′(m) > 0 e interpreta su significado en términos del deporte del béisbol. Compara
v′(1) > 0 y v′(2) > 0. ¿Qué conclusiones pueden deducirse?
EJERCICIO 10. La longitud de un feto a lo largo del embarazo viene dada por la función
f ( x) =
x 2 x3
−
,
10 600
donde x se mide en semanas y la longitud f ( x) en centímetros. Si el embarazo dura 40 semanas,
¿cuánto medirá el feto al nacer? ¿En qué momento crece más rápidamente?
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