Derivadas e integrales

Derivada
Aplicaciones de la Derivada:
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva
en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una
función, concavidad y convexidad, etc.
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo
tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´(−0.01) tenemos:
y´(−0.01)= −0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:
y´(0.01)= 0.004
como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local
en (0,0).
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Teorema del Valor Medio:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un
número c tal que:
".
Ejemplo:
(a+h)=hf'[a+t(b−a)]+f(a)
En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede
calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la
derivada:
Aplicando el teorema:
Pues f(1)=ln 1=0
Y como para x distinto de cero:
Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:
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Como queríamos probar.
Teorema de Rolle:
Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) =
f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que:
F'(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3+ 4x2−7x−10
en el intervalo [−1, 2]
f'(x)=3x2+ 8x−7
f(−1)=(−1)3+4(−1)2−7(−1)−10=−1+4+7−10=0
f(2)=23+4.22−7.2−10=8+16−14−10=0
Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:
Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo considerado.
Teorema de Cauchy
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan
simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del
intervalo ]a, b[ tal que:
"
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Ejemplo del Teorema de Cauchy
f(x)= sen x
g(x)= 1+ cos x
en
f'(x)= cos x
g'(x)= 1− sen x
Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en x=
pero dicho punto no pertenece al intervalo abierto
y como además:
Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que en el enunciado del mismo se da
para encontrar el valor de c, es decir:
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Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto, válidos ambos.
Integrales
Integrales Indefinidas:
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se
simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
Donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejemplo:
Integrales definidas:
Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de
integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas
x=ayx=b
Ejemplo:
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