DERIVADAS alumnos

DERIVADAS
Conceptos previos: Se llama Tasa de variación media de una función en el intervalo [ x0, x0+h] al cociente
entre el incremento de la función y el incremento de la variable:
f ( x0  h)  f ( x0 ) f ( x0  h)  f ( x0 ) f


( x0  h)  x0
h
h
Su significado es la variación de ( aumento o disminución ) de f cuando la variable independiente pasa de x0 a
x0+h. A h se le llama incremento de x.
Tvm =
Gráficamente es la pendiente de la recta que pasa por P0 y P
Ejercicio1: ( Matemáticas para ciencias sociales. Mc Graw-Hill. Pag.218): El día 1 de Mayo se registraron en Alcalá de Henares las
siguientes temperaturas:
Hora
2
Temperatura 15
4
12
6
11
8
13
10
16
12
20
14
24
16
25
18
22
20
20
22
18
24
16
Calcula la variación de la temperatura entre las 2 y las 8 horas.
DEFINICIÓN:Se llama Derivada de la función f(x) en el punto x0 al límite de la tasa de variación media
cuando h→0 ( x  0) , si existe y es finito.
f ( x0  h )  f ( x 0 )
f
F’ ( x0) = Lim h→0
o bien Lim h→0
h
h
Gráficamente es la pendiente de la recta tangente a la gráfica
y= f(x) en el punto x0
La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto (a, f(a) ) es : y-f(a)= f’(a) (x-a)
Ejercicio 2: Si f(x) = x2 , hallar su derivada en x0 =1
Ejercicio 3: Observando la gráfica de la función, di en qué punto
la derivada es 0, en qué punto es positiva y en qué punto es
negativa.
LA DERIVADA MIDE LA TASA DE VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN CUANDO VARÍA LA VARIABLE
INDEPENDIENTE (X)
Es decir, miden la variación de las cantidades con el tiempo, y en economía se estudian fenómenos que varían
con el tiempo.
Los economistas usan la palabra marginal con el significado de derivada.
Ejercicio 4: Un fabricante estima que cuando se produzcan y vendan x unidades de cierto artículo, el ingreso
obtenido “seguirá una función” como f(x) = 0,5x2 + 3x – 2 en miles de euros.¿ A qué razón cambia el ingreso
respecto al nivel de producción cuando se producen 3 unidades? ¿Está aumentando o disminuyendo el ingreso?
DERIVADAS LATERALES:
f ( a  h)  f ( a )
h
f ( a  h)  f ( a )
Por la izquierda : f’- (a)= Lim h→0h
Propiedad: Una función es derivable en un punto si sus derivadas laterales existen y son iguales.
Por la derecha : f’+ (a) = Lim h→0+
Ejercicio 5: Hallar las derivadas laterales de :
 x 2  x  1 x  1
F(x ) = 

x 1
x  1
 e
Propiedad: Para que una función sea derivable en un punto es necesario que dicha función sea continua
en dicho punto.
(La continuidad es una condición necesaria, pero no suficiente de derivabilidad. Es decir, una función puede ser
continua en un punto y no ser derivable en él.)
REGLAS DE DERIVACIÓN
Ejercicio 6: Hallar la derivada de la función f(x) = x2 en el punto x= x0. Después hallar la derivada de la función
f(x) = x 3. Deducir la regla para xn.
EJERCICIOS PARA REALIZAR INDIVIDUALMENTE
1. El efecto de un fármaco t horas después de haber sido ingerido viene dado por la función f(t)
27  t 3
, (0  t  3)
=
27
Halla
a. La variación media del efecto durante la primera hora
b. La variación del efecto en el instante t= 1,5 h
2. Estudiar la derivabilidad en x=2 de la siguiente función:
 x2
x  2
F(x) = 

3 x  2 x  2
Recuerda, primero debes comprobar si es continua en el punto.
3. Calcula el valor de m y n para que la función:
 x2
x  1
F(x) = 

mx  n x  1
Propiedades fundamentales
1. y= f(x) + g(x) → y’= f’(x) + g’ (x)
2. y= f(x).g(x) → y’= f’(x)g(x)+ g’(x)f(x)
3. y= c.f(x) ( c= constante) → y’ = c. f’(x)
f ( x)
f ' ( x).g ( x)  g ' ( x) f ( x)
4. y=
 y' 
g ( x)
g 2 ( x)
5. y= f( g(x) )→y’= f’(g(x) ).g’(x)
Derivadas sucesivas
Derivadas de funciones implícitas
Derivadas parciales ( Funciones de dos variables)
TEOREMAS Y PROPOSICIONES SOBRE LAS FUNCIONES DERIVABLES
Teorema 1: Si f (x) es derivable en el punto a, entonces es continua en a
Teorema 2: Si f (x) es derivable en el punto a y, en dicho punto, presenta un máximo ( o mínimo) local o
relativo, entonces f’ (a) = 0 ( Condición necesaria de máximo o mínimo local)
Teorema ROLLE: Si f(x) es una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) y si f(a) = f(b), existe un punto
c  (a,b) tal que f ’ ( c ) = 0
- Interpretación geométrica: existe un punto – al menos- de ese intervalo , en que la tangente a la curva es horizontal
- Aplicación práctica del teorema: Asegurar la existencia de un punto singular ( máximo o mínimo) en el interior del intervalo de
definición.
Ejercicio 7: Comprobar que la función y = x3-4x+3 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo
[0,2] ¿En qué punto cumple la hipotesis?
Teorema del VALOR MEDIO ( de Lagrange) : Si f(x) es una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) ,
f (b )  f ( a )
existe un punto c  (a,b) tal que f ’ ( c ) =
ba
Otra manera de expresarlo: f(b) – f( a) = f’ (c ) ( b - a) , o bien, f( b) = f( a) +f’ (c ) ( b - a)
- Interpretación geométrica: existe un punto perteneciente al intervalo en que la tangente a f(x) es paralela a, la secante que pasa por
los puntos de abscisa a y b
- Aplicación práctica: Se puede sustituir localmente la función f por una recta de ecuación y= f(a) + f’(c) (x-a) donde c depende de x y
a.
Consecuencias del teorema:
1. Si f es una función definida sobre un intervalo y f’(x ) = 0 en todos los puntos del intervalo, entonces f
es una constante
2. Si f y g son dos funciones definidas en el mismo intervalo y f’ (x) = g’(x) para todo x del intervalo, se
cumple que f = g+ constante.
Ejercicio 8: Comprobar para f(x) = x2 que cumple el teorema del valor medio en el intervalo [1,2]. Calcular el
valor c que cumple el teorema.
EJERCICIOS PARA RESOLVER INDIVIDUALMENTE
1. La función y = x2-5x+3 cumple la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1,b]. Calcula b.
 x 2  ax  b x  1
2. Calcula a y b para que la función f(x) = 
 cumpla el teorema del valor medio en el
x  1
 2x  1
intervalo [-1,5]. Calcula el punto c donde se cumple el teorema.
3. Comprobar el teorema de Rolle para la función f(x) = 3 ( x  2) 2 en el segmento [0,4]