WindWalkker
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Definiciones cálculo
1º Cálculo
Grado en Ingeniería Informática
Escuela Superior de Ingeniería
Universidad de Cádiz
Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su
totalidad.
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Límite de una sucesión
Se dice que L es el límite de la sucesión {an} si para TODO
ε > 0 existe n0 ∈ N tal que: si n ≥ n0, |an − L| < ε.
Teorema de Bolzano
f(x0) = 0.
Teorema de Rolle
Si la función f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a,
b), siendo f(a) = f(b), existe, al menos, un x0 ∈ (a, b)
tal que:
f’(x0) = 0.
Si el polinomio f(x) tuviera dos raíces r1 < r2 en el
intervalo [−1, 0], aplicando el teorema de Rolle en [r1,
r2] tendría f’(x) una raíz en dicho intervalo.
Teorema Fundamental de los límites finitos
A partir de cierto término, éstos son mayores que un número
menor que el límite. Análogamente, son superados por un
número mayor que el límite.
Límite indeterminado
Los límites indeterminados son aquéllos en que no basta
conocer los límites de cada una de las sucesiones o
funciones que los forman; para resolverlos es necesario
conocer cada una de ellas en concreto.
Logaritmo en base b
Se llama logaritmo en base b de un número al exponente al
que hay que elevar b para obtenerlo; así, dado x > 0, es:
b(logb
x)
= x.
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Si la función f(x) es continua en el intervalo [a, b] y
toma valores de signo contrario en los extremos del
intervalo, existe, al menos, un x0 ∈ [a, b], y, con
seguridad, un número impar, tal que:
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Expresión decimal de un número irracional
Teorema de Cauchy
Si las funciones f(x) y g(b) son
derivables en (a, b), y es: g(a)
simultáneamente sus derivadas en
hay, al menos, un punto x0 ∈ (a,
𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂)
𝒈(𝒃)−𝒈(𝒂)
𝒇′(𝒙𝟎)
=
continuas en [a, b],
≠ g(b), y no se anulan
ningún punto de (a, b),
b) tal que:
a < x0 < b.
𝒈′(𝒙𝟎)
Teorema de Lagrange
Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b),
existe, al menos, un x0 ∈ (a,b) tal que la tangente a la
curva en x0 es paralela a la recta secante que une los
puntos (b, f(b)) y (a, f(a)). Es decir:
f(b) − f(a) = f’(x0) * (b − a).
Corolario 3.1 Si la derivada de una función es nula en
(a, b), la función es contante.
Corolario 3.2 Si dos funciones tienen la misma derivada en
(a, b), se diferencian en una constante.
Regla de L’Hopital
Sean f y g dos funciones continuas definidas en el
intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente
a (a,b) tal que f(c) = g(c) = 0 y g'(x) ≠ 0 si x ≠ c.
Si existe el límite L de
límite de
𝑓
𝑔
𝑓′
𝑔′
en c, entonces existe el
(en c) y es igual a L. Por lo tanto,
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥)
lim
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La expresión decimal de un número irracional es infinita y
no periódica.
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Derivada en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el
valor del límite, si existe, del cociente incremental
cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Se llama progresión geométrica a toda sucesión de números
en la cual cada término es igual al anterior multiplicado
por una cantidad constante, r, la cual recibe el nombre de
razón de la progresión:
an… an-1*r
Infinitésimo
Un infinitesimal o infinitésimo es una cantidad
infinitamente pequeña. Se puede definir como:
lim 𝑓 (𝑥 ) = 0 se dice que f es un infinitésimo en x = a
𝑥→𝑎
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Progresión geométrica
