APROXIMACIÓN EQUIRIPPLE

DISEÑO DE FILTROS DIGITALES
PROTOTIPO PASABAJOS DE CHEBYSHEV
FILTROS DE CHEBYSHEV (APROXIMACIÓN EQUIRIPPLE)
Hemos visto que la aproximación de Butterworth o “Máximamente Plana” al filtro ideal
pasa-bajos es mejor en ω=0, mientras que en la proximidad de la frecuencia de corte en
ω=1 la aproximación se hace progresivamente pobre. Ahora consideremos la
aproximación con ripple alrededor de la unidad en la banda pasante y que cae
rápidamente a partir de la frecuencia de corte ω=1. La aproximación es igualmente
buena en ω=0 y en ω=1, y como resultado es llamada aproximación equiripple.
La aproximación equiripple se consigue mediante el uso de los polinomios de
Chebyshev definidos como:
Para n=0 vemos que
Para n=1, tenemos:
Los polinomios de Chebyshev de orden mayor se obtienen a través de la fórmula
recursiva:
En consecuencia, para n=2 obtenemos:
Las propiedades pertinentes de los polinomios usados en la aproximación pasa-bajos,
son:
1) Los ceros del polinomio están localizados en el intervalo
2) Dentro del intervalo
el valor absoluto de Cn(ω) nunca excede a la
unidad, esto es:
3) Más allá del intervalo
,
se incrementa rápidamente para
incrementar el valor de
Ahora, cómo podemos aplicar los polinomios de Chebyshev a la Aproximación Pasabajos de Chebyshev?
Considérese la función
, donde es real y muy pequeño comparado con 1.
Es claro que
variará entre 0 y en el intervalo
.
Agreguemos a esta función 1, de modo que sea
.
Esta nueva función varía entre 1 y
, una cantidad ligeramente mayor que la
unidad, para
. Invirtiendo esta función, obtenemos la función que asociaremos
con
, en consecuencia
Dentro del intervalo
,
máximo valor es 1, y el mínimo es
oscilará alrededor de la unidad, de modo que el
.
Fuera de este intervalo, donde
,
se aproxima a cero muy
rápidamente con los sucesivos incrementos de ω. Por lo tanto, vemos que
es
una aproximación adecuada para la característica del filtro pasa-bajos ideal.
Dentro de la banda pasante
,
tiene ripple entre el valor (1/1+ε2)1/2 y 1.
La altura del ripple o distancia máxima y mínima en la banda pasante está dada por
En
,
es
En la banda atenuada, esto es para
donde
, de modo que
, porque
, cuando
se incrementa, tomamos un punto
,
La pérdida en dB está dada por: Loss = -20 log10 |H(jω)| 20 log ε +20 log Cn(ω)
Pero para ω grande, Cn(ω) puede ser aproximada por su término genérico 2n-1ωn, de modo que:
Loss = 20 log ε +20 log 2n-1ωn = 20 log ε +6(n-1)+20 n log ω
Como vemos, la respuesta de Chebyshev cae a una velocidad de 20 n dB/dec luego de la caída
inicial: 20 log ε +6(n-1)dB
Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones, ε es un número muy pequeño, de modo que
20 log ε es de hecho negativo. Es necesario entonces, compensar este decrecimiento en pérdida
en la banda atenuada, eligiendo un n suficientemente grande.
se
Cálculo de los polos:
De la discusión precedente, vemos que la aproximación de Chebyshev depende de dos
variables: n y ε, las cuales pueden ser determinadas de las especificaciones directamente. El
máximo ripple permitido pone una cota sobre ε. Una vez que ε es determinado, , cualquier
valor deseado de atenuación en la banda de rechazo fija n.
La derivación de la función sistema H(s) para la aproximación de amplitud de Chebyshev
|H(jω)| es algo engorrosa y no se dará aquí [M E Valkenburg, “Introduction to Modern
Network Synthesis, John Willey and Sons, 1960, Cap.13], no obstante daremos algunos
resultados simples de esta derivación. Primero introduciremos un parámetro
,
donde n es el grado del Polinomio de Chebyshev y ε es el factor que controla el ancho del
ripple.
Los polos
de la aproximación equiripple H(s) están localizados sobre una
elipse en el plano s, dada por:
El semieje mayor de la elipse está sobre el eje jω y tiene un valor
El semieje menor tiene un valor
, y los focos están en
Los puntos de media potencia de la respuesta de amplitud equiripple ocurren en los puntos
donde la elipse intersecta al eje jω, esto es en
Recuérdese que para la respuesta de Butterworth los puntos de media potencia ocurren en
. Normalizando los polos de Chebyshev de modo que también caigan en
en vez
de en
, esto es eligiendo un factor de normalización
, la ubicación de tales
polos normalizados
estarán dadas por:
Las ubicaciones de los polos normalizados
pueden obtenerse como:
;
Comparando las ubicaciones de los polos de Chebyshev con las ubicaciones
de los polos de Butterworth, vemos que las partes imaginarias son las
mismas, mientras que la parte real
de la ubicación de los polos de
Chebyshev es igual a la parte real de los polos de Butterworth veces el
factor
.
Por ejemplo, con n=3 y
, los polos de Butterworth son:
;
De modo que los polos normalizados de Chebyshev estarán dados por
;
Finalmente, para obtener los polos desnormalizados de Chebyshev, simplemente multiplicamos
por
, esto es:
Hay un método geométrico fácil para obtener los polos de Chebyshev dados sólo la
información de los semiejes y el grado n. Primero dibujamos dos círculos, el menor de radio
y el mayor de radio
, como se muestra en la figura. Luego se dibujan las líneas
radiales de acuerdo con los ángulos de los polos de Butterworth. Finalmente dibujamos líneas
de trazos desde las intersecciones del círculo pequeño con las líneas radiales, y líneas de trazos
horizontales desde la intersección del círculo grande y las líneas radiales. Los polos de
Chebyshev están ubicados en la intersección de las líneas de trazos verticales y las horizontales.
Diseño de un filtro digital pasabajos Chebyshev
Del Apunte de Método Indirecto para el Diseño de Filtros Digitales Recursivos (IIR), se
procede según la guía de diseño:
1. A partir de las frecuencias digitales críticas, obtener una nueva serie de
 AT
 T
frecuencias analógicas ωA por medio de la expresión:
 tg D
2
2
2. De la expresión ripple|dB = 10 log (1+Є2) obtener el parámetro Є que controla
el ancho del ripple.
3. Encontrar el orden n del filtro analógico de Chebyshev por medio de la ecuación
A|dB=20 log Є + 20 log Cn (ω/ωc), donde A es la atenuación en decibeles y
Cn(x) son los polinomios cosenoidales de Chebyshev, los cuales siguen la
recurrencia
Cn(x)=2x Cn-1(x) – Cn-2(x), con
C0(x)=1; C1(x)=x; C2(x)=2x2 – 1
4. Encontrar el valor del parámetro βk por medio de la ecuación
Senh–1 (1/Є)
βk=
(1/n)
5. Obtener los polos de la función de transferencia H(s) por medio de la expresión:
sk= σk+jωk,

 2k  1   
 Ch k ;
 n  2
 k  Tgh k sen

con
donde

 2k  1   
 Ch k
 n  2
 k  cos

k= 1, 2, ..., 2n
1  z 1
6) Reemplazar s 
en la función transferencia H(s), y operar
K L (1  z 1 )
algebraicamente para expresar H(z-1) como cociente de polinomios. Este es el filtro
digital deseado.