Análisis Matemático I Actividad 11 SERIES 1. Definición. Dada una

Análisis Matemático I
Actividad 11
5. Teorema. Una serie de términos reales no negativos converge si y solo si sus sumas parciales
forman una sucesión acotada.
SERIES
[La sucesión de sumas parciales es monótona creciente en este caso]
1. Definición. Dada una sucesión {an } (de
números reales o complejos) le asociamos una
sucesión {sn }, donde
sn =
n
∑
6. Teorema. (Criterio de comparación)
a) Si |an | ≤ cn para
∑ n ≥ N0 , donde N0 es un
entero∑dado y
cn converge, entonces la
serie
an converge.
[Usa el criterio de Cauchy y la desigualdad:
ak
k=1
También usamos para {sn } la expresión simbólica
a1 + a2 + a3 + . . .
o
∞
∑
m
m
m
∑
∑
∑
a
≤
|a
|
≤
ck
k
k
k=n
]
k=n
∑
b) Si an ≥ dn ≥ 0∑para n ≥ N0 y
dn diverge, entonces
an también diverge.
∑
∑
[Si
an converge, entonces
dn también
converge.]
an .
n=1
Este sı́mbolo se llama serie infinita o serie. Los
números sn se llaman sumas parciales de la serie
y los números an se llaman los términos de la
serie. Si {sn } converge hacia s, se dice que la
serie converge y escribimos
∞
∑
k=n
7. Teorema. Si 0 ≤ x < 1, entonces
∞
∑
n=0
xn =
1
.
1−x
∑∞
Si x ≥ 1 entonces la serie n=0 xn diverge.
∑n
n+1
[ Si x ̸= 1, entonces k=0 xk = 1−x
]
1−x
an = s
n=1
8. Teorema. Supongamos
que a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥
∑∞
. . . ≥ 0. La serie n=1 an converge si y solo si la
serie
Si {sn } diverge se dice que la serie diverge.
2. Teorema. (Criterio∑de Cauchy) La serie de
términos complejos
an converge si, y solo si
para cada ϵ > 0 existe un entero N tal que
m ≥ n ≥ N implica
∞
∑
2k a2k = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + . . .
k=0
m
∑
ak < ϵ.
converge.
[Sea sn = a1 + . . . + an , y tk = a1 + 2a2 + . . . +
2k a2k .
k=n
Demuestra que si n < 2k entonces sn ≤ tk .
3. Teorema.
Si la serie de términos complejos
∑
an converge, entonces lı́m an = 0.
Demuestra que si n > 2k entonces sn ≥ 12 tk ]
∑ 1
9. Teorema. La serie
np converge si p > 1 y
diverge si p ≤ 1.
n→∞
[Usa el criterio de Cauchy con n = m]
∑∞
4. La serie n=1 n1 diverge.
[Utiliza el teorema anterior y obtén una serie geométrica.]
[La prueba se hace en 9.]
1
10. Teorema. (Criterio√
de la raı́z) Dado
amos α = lı́m sup n |an |. Se tiene
∑
an , hag-
n→∞
∑
a) Si α < 1, entonces
an converge.
[Sea β tal que α < β < 1. Usa la propiedad
que caracteriza al lı́m sup y el criterio de
comparación para concluir]
∑
b) Si α > 1, entonces
an diverge.
[Verifica que no se cumple an → 0.]
c) Si α = 1, no se puede concluir convergencia
o divergencia.
∑1 ∑ 1
[Considera las series
n y
n2 ]
∑
11. Teorema. (Criterio de la razón) La serie
an
a) converge si lı́m sup aan+1
< 1.
n
n→∞
b) diverge si aan+1
≥ 1 para n ≥ n0 , donde
n
n0 es un número cualquiera dado.
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