CRITERIOS BASICOS — SERIES NUMERICAS • Una serie es una suma infinita, o la suma de una sucesión. Se escribe ∞ X an , donde la sucesión es {an }, y an se llama el término general de la n=1 sucesión y de la serie. OJO: No se puede confundir la sucesión con la serie (que es su suma). • Las series se clasifican, según su carácter, en – Convergentes. Si la suma converge a un n. real. – Divergentes. Si la suma converge a +∞ o −∞. – Oscilantes. En otro caso. • Una serie de términos todos del mismo signo sólo puede ser convergente o divergente. Nunca será oscilante. ∞ X C. Necesario de convergencia: n=1 an convergente ⇒ lim an = 0. n→∞ • Nótese que según lo anterior, si lim an 6= 0, entonces la serie n→∞ es convergente. ∞ X an NO n=1 • Este criterio, puede ser lo primero que comprobemos en un problema de series. C. de Cauchy o de la raı́z: Sea ∞ X an un s.t.p. y λ = lim √ n an . n→∞ n=1 • λ<1⇒ ∞ X an converge. n=1 λ>1⇒ C. de D’Alember o del cociente: Sea ∞ X n=1 ∞ X an un s.t.p. y λ = lim n=1 • λ<1⇒ ∞ X n=1 an converge. λ>1⇒ 1 an diverge. λ = 1 ⇒ ?. ∞ X n=1 n→∞ an+1 . an an diverge. λ = 1 ⇒ ?. C. de Raabe: Sea ∞ X an un s.t.p. y λ = lim n→∞ n=1 • λ>1⇒ ∞ X an converge. n=1 C. de comparación: Sean tales que an ≤ bn para todo n • ∞ X n=1 λ<1⇒ ∞ X bn converge ⇒ ∞ X an y n=1 ≥ n0 , ∞ X n→∞ n=1 1− an+1 an n. an diverge. λ = 1 ⇒ ?. bn dos series de términos positivos n=1 entonces: an converge. n=1 ∞ X n=1 C. de comparación asintótica: Sean positivos y sea L = lim ∞ X ∞ X an diverge ⇒ an y bn diverge. n=1 bn dos series de términos n=1 n=1 an bn ∞ X ∞ X • Si L ∈ R y L 6= 0, entonces ambas series tienen igual carácter. • Si L = 0, entonces ∞ X n=1 ∞ X bn converge ⇒ an converge. n=1 ∞ X n=1 an diverge ⇒ ∞ X bn diverge. ∞ X bn converge. n=1 • Si L = +∞, entonces ∞ X n=1 bn diverge ⇒ ∞ X an diverge. n=1 ∞ X n=1 C. de Pringsheim o del producto: Sea an converge ⇒ ∞ X n=1 • n=1 an s.t.p., p ∈ R y λ = lim an np . n→∞ Si λ 6= 0 y p > 1 ⇒ la serie converge; si p ≤ 1 ⇒ la serie diverge. • Si λ = 0 y p > 1 ⇒ la serie converge. • Si λ = +∞ y p 6= 1 ⇒ la serie diverge. Nótese que el criterio de Pingsheim no es más que el criterio de comparación con la serie armónica generalizada. 2