Serie de Ejercicios/Problemas sobre Teorema Función Implıcita 1

Serie de Ejercicios/Problemas sobre Teorema Función Implı́cita
1. Muestre que el sistema de ecuaciones
x2 + y 2 + z 2
x2 + 4y 2 − 9z 2
= 3
= −4
define una curva en R3 y dé la ecuación de la recta tangente en el punto
(1, 1, 1). Cómo se garantiza que la intersección no se reduce al punto
(1, 1, 1)?
2. Encuentre los puntos donde el plano tangente a la superficie
x2 + 2y 2 + 4z 2 = 1
es paralelo al plano x + 2y + 4z = −3.
3. Dé la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene la intersectar
el elipsoide
x2 + 3y 2 + 5z 2 = 9
con el cilindro
y2 + z 2 = 2
en el punto P (1, 1, 1).
4. Muestre que alrededor de (−1, 2, 2) la función
z 3 + 4xz + y 2 − 4 = 0
define implı́citamente z como función de (x, y). Dé la ecuación del plano
tangente a la superficie en ese punto.
5. Muestre que la ecuación
y + x(ln y − 1) − x ln x = 0
define a y como función de x en el primer cuadrante y dé la ecuación de
la recta tangente en cada punto de la curva.
6. Sea f : Rn → R suave. Supongamos que f (x0 ) = 0 y que
f (x) = 0
=⇒
∇f (x) 6= 0.
Muestre que el hiperplano tangente a la hipersuperficie de ecuación f (x) =
0 en x0 es
∇f (x0 ) · (x − x0 ) = 0
7. Considere la función f : R2 → R definida por
f (x, y) := Ax2 + 2Bxy + Cy 2 = (x, y)M (x, y)T
donde
M=
A
B
B
C
Como el conjunto S1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1} es compacto, entonces existe
(x0 , y0 ) ∈ S1 tal que
f (x0 , y0 ) = min{f (x, y) : (x, y) ∈ S1 }.
Muestre que (x0 , y0 ) es vector propio de M.
∂f
(x0 , y0 ) 6=
∂y
0. Si α es la curva cerca de (x0 , y0 ) dada por el teorema de la función
implı́cita, calcule α′′ (x0 ).
8. Considere la función f : R2 → R suave tal que f (x0 , y0 ) = 0 y