Practica8

Práctica num. 8 de Fundamentos
Matemáticos E.M.A.
Curso 2006-2007
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Derivada de una función definida implı́citamente.
1. Calcular dy/dx a en la función y(x) siguiente definida de modo implı́cito: x3 + x2 y +
4y 2 = 6.
2. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel y 2 − x3 (2 − x) = 0 en el
punto (1, 1).
3. Determinar los valores de x en los que la recta tangente a la curva de ecuación 2y 3 +
y 2 − y 5 − (x4 − 2x3 + x2 ) = 0 es horizontal.
4. Calcula la derivada dy/dx en función de x e y y la ecuación de la recta tangente en el
punto dado en los siguientes casos
• (a) x2 + y 2 = 1 en (0, 1)
• (b) x cos x + y cos x = 3 en (0, 3)
• (c) x2 y + y tg x = y 3 en (0, 0)
• (d) y 2 = 5x4 − x2 en (−1, 2)
• (e) xy sen(2x) + y 4 = x + 1 en (0, 1)
• (f) 3(x2 + y 2 )2 = 25(x2 − y 2 ) en (2, 1)
5. En los casos siguientes, encuentra la coordenada x de los puntos en que las curvas
tienen tangentes horizontales:
• y 2 = x3 + 3x2
• 3(x2 + y 2 )2 = 100xy.
• (x2 + y 2 )2 = 4x2 y
• y(y 2 − 1)(y − 2) = x(x − 1)(x − 2).
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Pendiente de la gráfica de una función
1. Considera la parábola y = x2 . Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal
en el punto (2, 4).
Calcula ahora, en general, la ecuación de la recta normal en un punto cualquiera P de
la parábola.
Encuentra el punto intersección Q de la recta normal anterior con la misma parábola.
2. En los dibujos a continuación, la segunda hilera son las gráficas de las derivadas de las
funciones representadas en la primera hilera. Di que gráficas se corresponden como la
de una función y la de su derivada y razona la respuesta.
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Más sobre derivación de funciones definidas de modo implı́cito
1. Encuentra el ángulo agudo entre la recta tangente a la curvay 2 + x2 = 49 y el eje Y en
el punto (0, 7).
2. Encuentra el ángulo agudo entre la recta tangente a la curva x2 + y 2 + 22 = 29 y el eje
X en el punto (3, 4).
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Curvas en R3
1. Determina las ecuaciones de la recta tangente a la curva z = 3x2 + y 2 , x = 1 en el
punto (1, 2, 7). Representa la curva.
√
2. La curva c(t) = (−t, t, ln t) corta al plano z = x + y en t = 1. Calcula el ángulo de
la intersección, es decir, el ángulo entre su vector velocidad y el vector normal aplano
dado.
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