econometria curso 2000 - FCEA - Facultad de Ciencias Económicas

Universidad de la República, Facultad de Ciencias Económicas y
Administración.
ECONOMETRIA II- CURSO 2003
REPARTIDO PRACTICO 2
MODELOS DE SERIES DE TIEMPO (I)
EJERCICIO 1 (Procesos estocásticos)
Dado el proceso estacionario zt= 2.at con t=0,1,2,..., donde at es una
variable aleatoria tal que cumple con los supuestos:
E(at)= 0.50 ∀t
V(at)= 0.25 ∀t
cov(at,at+s)=0 ∀ s≠0.
SE PIDE:
a) Hallar los parámetros del proceso estocástico:μ, γ0, γ1, γ2.
b) Hallar la función de autocorrelación y graficar el correlograma.
c) ¿Es el proceso estacionario en sentido amplio?
EJERCICIO 2 (Procesos estocásticos y estacionariedad)
Si se da el proceso zt= at + at-1 con t natural (t∈T), siendo at como en
el ejercicio anterior,
a) Hallar los parámetros del modelo: μ, γ0, γ1, γ2.
b) Hallar la función de autocorrelación y dibujar su correlograma.
c) Investigar la estacionariedad del proceso.
EJERCICIO 3(Estacionariedad)
Investigar si los siguientes procesos son estacionarios:
a- zt= α1 + α2.t t= 0,1,2,....
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con αi variables aleatorias N(μi, σ i).
b- zt= α1.cos(bt) + α2.sen(bt) con t ≥0, siendo b un número fijo y αi
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variables aleatorias normales con media cero y varianzas σ i e
independientes.
EJERCICIO 4 (Procesos autorregresivos)
Se considera un modelo AR(1):
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zt= ϕ1.zt-1 + δ + ai con E(ai)=0 y E(at.as)=σ si t=s
=0 si t≠s
a) Recordando la condición de estacionariedad de un AR(1), hallar
E(zt).
b) Expresando el modelo en forma de desvíos hallar la varianza y la
autocovarianza del modelo: γ0, γ1, γ2,..., γk.
c) Hallar la función de autocorrelación ρk con k=0,1,2,...
d) Para δ=5 y ϕ1=0.90, hallar E(zt), expresar en forma de desvíos,
hallar varianza y autocovarianza y graficar el correlograma.
EJERCICIO 5(Procesos de medias móviles)
Se considera el modelo MA(2):
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yt= at - 0.4at-1 + 1.2at-2
con σ a=2.
a) Investigar la estacionariedad del proceso lineal.
b) Investigar invertibilidad.
c) Calcular las autocovarianzas del proceso.
d) Calcular y graficar el correlograma correspondiente.
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EJERCICIO 6 (Modelos ARMA(p,q)
I- Dado el modelo ARMA(1,1)
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yt= 0.9 yt-1 + at - 0.8at-1
con σ a=5
a) Investigar estacionariedad.
b) ¿Es un proceso invertible?
c) Calcular y graficar correlograma.
II- Si se dispone de la serie de autocorrelación siguiente:
ρ1=0.70; ρ2=0.49; ρ3=0.34; ρ4=0.24; ρ5=0.17.
¿de
qué
proceso
ARMA(p,q)
pueden
provenir
coeficientes?.Considere sólo valores bajos de p y de q.
estos
EJERCICIO 7
Si {yt} sigue un proceso: yt= 0.9 yt-1 - 0.8 yt-2 + at donde at tiene
esperanza 0 y varianza 1 y además E(at.as)=0 con t≠s, hallar la función
de autocorrelación (FAC) de {yt} y graficarla.
EJERCICIO 8
Probar que un MA(∞) para {yt} definido como:
yt= at + c (at-1 + at-2 + at-3 +....)
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donde c es una constante y at es iid con E(at)=0 y V(at)= σ a es un
proceso no estacionario. También probar que la primera diferencia Δyt
es un MA(1) y estacionario.
EJERCICIO
Demostrar
yt =
está dada
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que la FAC de un modelo ARMA(1,1):
αyt-1 + at + βat-1
por la expresión:
(1 + α .β )( α + β )
ρ1 =
(1 + β 2 + 2α .β )
con ρ k = α . ρ k -1
k = 2,3,4,....
EJERCICIO 10
Para el modelo: (1 - L)(1 - 0.2L)yt= (1-0.5L)at, se pide:
(a) identificar los valores de (p,d,q) en el modelo ARIMA(p,d,q)
planteado.
(b) determinar si el modelo es estacionario en yt o en Δyt
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