Estabilidad global de elementos estructurales de polímero reforzado

UNIVERSIDAD DE NAVARRA
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS
DONOSTIA
Estabilidad global de elementos
estructurales de polímero reforzado
con fibra de vidrio
MEMORIA
que para optar al Grado de Doctor
presenta
AIMAR INSAUSTI BELLO
bajo la dirección de
Dr. Íñigo Puente Urruzmendi
Donostia, mayo de 2007
A mi aita y mi ama,
que con su apoyo, ejemplo y confianza
aprobaron el bachiller, estudiaron una carrera
y ahora han escrito esta tesis.
ESKERRAK
Tesia bukatuta ikusten dudan momentu honetan urte hauetako lana mendi bat
igotzea bezalakoa izan dela iruditzen zait, eta lan hau amaiturik mendi
tontorretan izaten den sentsazio berdina duakadala uste dut, bide gogorrak
paisaia ederragoa bihurtzen baitu. Gainera hemendik, mendi tontorretik,
bidean zehar lagundu nauten guztiei esker ona adierazteko gogoa sentitzen dut
beste edozer baino gehiago.
Azkenengo urteetan nirekin batera hiruko ikerkuntza taldea osatu duten
Íñigo Puente, tesi zuzendaria, eta Mikel Azkune, tesikidea, etortzen zaizkit
burura lehenengo. Íñigo izan zen behatz puntez gailur hau seinalatzen zuen
bitartean ea igotzea bururatu zitzaidan galdetu zidan lehenengoa. Urte hauetan
zehar tesi honek lantzen duen gaiari buruz aholku aproposak emateaz gain
ikertzea zer den erakutsi dit. Mikel aldiz nire tontorretik oso gertu dagoen beste
tesi-tontor batera igo da garai berdinean. Ibilbide gehiena elkarrekin egin
degunez bere laguntza maiz izan det. Milesker bioi.
Hiruko lan talde hontaz gain, Ingenieritza Zibileko Institutoko beste
partaideek ere izan dute lorpen honetan partehartzerik. Milesker Miguel Ángel
Sernari, beti ere lanerako giro atsegina lortzea jakin izan duelako, baita Paz
Morer (dibujoko irakasle eredua) eta Aitziber Lópezi, beraiengandik ikasi
dudan guztiagatik. Eta esker berezi bat multiusoseko goiko pisuko labean
nirekin lanean egon diren guztiei: Danny, Jaume, Jorge eta berriz ere Mikel.
Ingeniero bezala nire lehenengo urteak giro ezinhobean pasatu ditudala gogoan
izango dut beti.
Bestalde, tesia hain esperimentala izanda, eskolako pertsona ugari
molestatu behar izan ditut askotan, gauza pisudunak mugitzeko, pieza arraroak
egiteko edo besterik gabe kable pare baten konexioa nola egin behar den
jakiteko. Asier (unibertso honetan pelelea ulertzeko gai den gizaki bakarra),
Juan, Antonio, Enrique eta Isaías, “-2” pisuko bizilagunei eskerrikasko nire
asmakizun arraroak zuzendu eta errealitate bihurtzen lagundu nauzutelako.
Ceit-eko materialetako saileko pertsonei ere eskerrrikasko, beraien
entsaioetarako makinak erabiltzen utzi nautelako hango lankide bat izango
banintz bezala.
Bukatzeko mendi igoera honetan refujiotik animatu nauten guztiei
emandako indarra eskertu nahiko nieke, tesiaren alde teknikoetan sartu gabe
nire giza arazoetan ikaragarri lagundu baitnauzue. Pertsona ugari izan ditut
i
ii
Eskerrak
urte hauetan beti gertu, nire tesiaren egoeran interesaturik: Txemi, Iker, Zigor,
Iñigo, Iñaki eta Jaione besteak beste. Familiaren babesa ere izan dut beti. Niri
buruan sartzen zaidan edozein mendi ulertzeko gai direlako eta beti igotzen
jarraitzera animatzen nautelako, gurasoei, Naiara eta Marcori eskerrikasko.
aimar, 2007ko maiatzean
RESUMEN
Los materiales compuestos creados a partir de un polímero reforzado con fibra
de vidrio aportan una resistencia parecida a la del acero con un peso mucho
menor. Así, el empleo de estos materiales en los elementos estructurales ofrece
varias ventajas, siendo la más evidente la disminución del peso propio de la
estructura. Además, la ligereza de estos materiales aplicada al campo de la
construcción simplifica enormemente la ejecución de las estructuras. Las estructuras que emplean estos materiales compuestos se ejecutan más rápido, lo que
abarata su coste, y con menores riesgos laborales, lo que supone un beneficio
aún más importante que el económico. Sin embargo, en la actualidad los materiales compuestos suelen ser descartados en las estructuras del campo de la
construcción por falta de conocimiento respecto a su diseño. Como consecuencia, en muchas ocasiones se utilizan materiales más pesados, como el acero o el
hormigón, complicando la ejecución de la estructura innecesariamente.
El objetivo de la presente tesis es estudiar el comportamiento mecánico de
los elementos estructurales de polímero reforzado con fibra de vidrio, proponiendo fórmulas adecuadas para realizar el diseño con ellos. De esta manera se
pretende impulsar el empleo de estos materiales en las estructuras.
La pultrusión es un proceso industrial con el que se fabrican piezas de material compuesto de geometría prismática a bajo coste. Así, este proceso resulta
especialmente adecuado para fabricar elementos estructurales de polímero reforzado. Los perfiles obtenidos por pultrusión son análogos a los laminados en
acero, por lo que pueden ser empleados en las mismas aplicaciones. Por lo tanto, los perfiles pultruidos son fuertemente ortótropos, siendo ésta una característica común con la madera. De esta manera, parece que el diseño estructural
con elementos fabricados por pultrusión debe estar inspirado en las normas
vigentes para el acero y la madera.
La principal diferencia entre los perfiles pultruidos y los de acero reside en
que el material pultruido, a pesar de aportar la misma resistencia, es más flexible. Por este motivo, la estabilidad global del elemento es habitualmente el factor más relevante en su comportamiento. La presente tesis se ha centrado en el
estudio de las inestabilidades globales de los elementos estructurales pultruidos. Para ello se han estudiado los diferentes modos de pandeo que presentan
las columnas y las vigas.
iii
iv
Resumen
La metodología empleada ha sido la misma tanto para las columnas como
para las vigas. En primer lugar se ha realizado un amplio trabajo experimental.
Las columnas han sido ensayadas frente al pandeo de Euler y las vigas frente al
pandeo lateral. También ha sido necesario efectuar otro tipo de ensayos sobre
los perfiles pultruidos, con el objetivo de conocer de manera precisa algunas de
sus propiedades. Concretamente se han obtenido las cargas de pandeo local y la
rigidez a flexión de los perfiles de manera experimental. Posteriormente se han
ajustado las curvas de diseño empleadas por el Eurocódigo para el acero y la
madera al comportamiento observado en los perfiles pultruidos. Como consecuencia se han propuesto diferentes métodos para realizar el diseño de columnas y vigas pultruidas ante las inestabilidades globales. Finalmente, los métodos desarrollados han sido comparados con información experimental propia y
de la bibliografía.
Como conclusión se ha comprobado que la curva propuesta para las columnas, inspirada en el Eurocódigo, se ajusta satisfactoriamente a todos los resultados experimentales, tanto propios como de la bibliografía, llevando a valores de diseño que están siempre cerca pero debajo de los reales. En el caso de las
vigas se han presentado dos posibles curvas de diseño, una ajustada a las vigas
de poca esbeltez, y la otra ajustada a los datos experimentales de otros autores,
donde las vigas eran más esbeltas. No ha sido posible establecer una única curva válida para todo el rango. La información experimental sobre el pandeo lateral de vigas pultruidas es muy escasa a día de hoy, por lo que aún no se dan las
condiciones adecuadas para establecer un método de diseño sobre estos elementos estructurales. Como consecuencia, se propone efectuar más ensayos
sobre vigas pultruidas como línea de investigación posterior a esta tesis.
ABSTRACT
Composite materials made of fibre reinforced polymers offer the same strength
as steel with less weight. Thus, those materials applied to structural elements
may offer many advantages, the most obvious being that the weight of the
entire structure decreases. Moreover, lighter materials make construction fast
and simpler, thereby reducing costs. Moving lighter elements also reduces the
risk of accidents; which implies a benefit more important than the economical
one. However, nowadays polymer matrix composites are hardly used in structures due to the lack of knowledge about its design. Consequently, often
weightier materials, such as concrete or steel, are used making the construction
work unnecessarily complex.
The aim of this thesis is to study the mechanical behaviour of structural
elements made of reinforced fibre polymers, and to propose suitable methods
for design. The final aim is to promote the use of light composite materials in
construction.
Pultrusion is a low cost manufacturing process for the fabrication of prismatic elements made of continuous fibre reinforced polymers. Thus, pultrusion
is especially appropriate to produce structural elements for construction.
Structural shapes obtained by pultrusion can be used in a similar way to that of
rolled steel. Furthermore, pultruded profiles are strongly anisotropic, which is a
feature common to timber profiles. That is why it would be useful to develop
methods for the design of pultruded structural elements such as those currently
available for steel and timber.
The main difference between pultruded and rolled structural elements is
that pultruded material is more flexible than steel, so global stability is paramount for design. The present thesis has been concentrated on studying global
instability of pultruded profiles. To carry out such an analysis, different
buckling modes have been studied on columns and beams.
The same methodology was followed for both columns and beams. First a
broad experimental work has been performed. Columns were tested for Euler
buckling while beams were tested for lateral buckling. In order to obtain accurate information about some material properties, it was also necessary to carry
out more experimental work on pultruded profiles. Specifically the local
buckling load and the flexural stiffness were obtained experimentally. After
carrying out extensive experimental work, design curves used by the Eurocode
v
vi
Abstract
for steel and timber were adjusted to the behaviour observed in the experiments. Thus, methods for the design of pultruded columns and beams against
global instability were proposed. Finally, the methods proposed here were
compared with other experimental data gathered from literature.
In conclusion, it has been proved that the design method proposed here for
Euler buckling, inspired in the Eurocode, predicts well the behaviour of
pultruded columns, being close to but always below the real values. Two possible design curves have been proposed for pultruded beams. The first curve has
been adjusted to the experimental data obtained here, performed in low slenderness elements; the second curve has been adjusted to the experimental data
obtained from the bibliography, where slender beams had been used. It has not
been possible to establish a valid curve for the entire slenderness range. The
available experimental information about lateral buckling in pultruded beams
is still scant, so there has not been enough research to determine the final
method. In consequence it is proposed to carry out more experimental work in
pultruded beams in future research.
LABURPENA
Beira-zuntzez sendotutako polimeroek altzairuaren erresistentzi berdina eskeintzen dute askoz pisu gutxiagorekin. Beraz, material konposatu hauek egitura elementuetan erabili ezkero lorturiko abantailak ugariak dira, beraien artean
nabarmenena egitura berak jasaten duen zama gutxitzea izanik. Gainera, material hauen arintasuna eraikuntza esparruan aplikatuko balitz, egituren sortzea
izugarri erraztuko litzateke. Material konposatu hauekin egindako egiturak
azkarrago burutzen dira, beraien kostua gutxituz, eta lan arrisku gutxiagoz,
azkeneko hau abantaila ekonomikoa baino garrantzitsuagoa delarik. Hala ere,
gaur egun material konposatuak eraikuntzetako egituretan nekez erabili ohi
dira, beraien diseinuaren inguruan ezagutza falta dela eta. Ondorioz, egoera
askotan material astunagoak erabili ohi dira lan burutzea premiarik gabe zailduz.
Tesi honen helburua beira-zuntzez sendotutako polimeroekin egindako
egitura elementuen portaera ezagutzea da, diseinurako formula egokiak proposatuz. Modu honetan material konposatu hauen erabilpena bultzatzea bilatzen
da.
Pultrusioa geometria prismatikoa duten material konposatuz egindako
piezak sortzeko industri prozesu merkea da. Hau dela eta, sendotutako polimerozko egitura elementuak ekoizteko bereziki aproposa da prozesu hau. Pultrusioari esker egindako egitura-profilek ijezturiko altzairuzko elementuen aplikazio analogoa dute. Gainera, pultrusiozko egitura-profilak guztiz ortotropoak
dira, egurraren moduan. Hortaz, pultrusiozko elementuen diseinua altzairuzko
eta egurrezko egituren diseinurako araudietan oinarriturik egon behar duela
dirudi.
Pultrusiozko eta altzairuzko egitura-profilen arteko ezberdintasunik aipagarriena lehenengoen malgutasun haundiagoa da. Hau dela eta, beraien diseinuan elementuaren egonkortasun orokorra izaten da faktorerik nabarmenena.
Tesi honetan pultrusioz ekoizturiko egitura elementuen ezegonkortasun orokorrak ikertu dira. Hau burutzeko zutabeek eta habeek jasandako gilbordurak
aztertu dira.
Bai zutabeetan, bai habeetan ere metodologia bera jarraitu da. Lehenik eta
behin lan esperimental zabala burutu da. Zutebeetan Eulerren gilbordura aztertu da, habeetan aldiz alboko girboldura. Saiakuntza hauez gain pultrusiozko
egitur-profiletan bestelako esperimentuak burutzea beharrezkoa izan da, hauen
vii
viii
Laburpena
ezaugarri batzuk zehaztasun haundiagoz ezagutzeko. Zehazki gilbordura lokala sortzen duen karga eta elementuen makurdura zurruntasuna bilatu dira. Lan
esperimentala eta gero, pultrusio profiletan lortu diren emaitzak altzairu eta
egurrarentzat Europako kodeak dituen diseinu metodoekin alderatu dira. Ondorioz, ezegonkortasun orokorraren aurrean pultrusiozko zutabe eta habeen
diseinua gauzatzeko formulak proposatu dira. Azkenik, garaturiko metodoak
gure eta bibliografiaren saiakuntza informazioarekin parekatu dira.
Ondorio bezala, Europako kodean oinarrituta, zutabeen diseinurako kurba
bat proposatu da tesiaren barnean. Kurba berri hau bai gure, bai bibliografiako
lan esperimentaletan lorturiko emaitzekin bat etortzen dela ikusi da, beti ere
balio errealetatik gertu baino azpitik dauden emaitzak lortuz. Habeen kasuan
ordea, ez da diseinurako kurba orokor bat zehazterik izan. Kasu honetan bi diseinu kurba aurkeztu dira, bat lerdentasun gutxiko habeei dagokiena, eta bestea
egile batzuen saiakuntza datuetan oinarritutako lerdentasun handiagoa duten
habeei dagokiena. Gaur egun alboko gilborduraren inguruan dagoen informazio urria dela eta, ezinezkoa gertatu da fenomeno honen inguruan behin betiko
metodo bat finkatzea. Beraz, tesi honen jarraipen bezala pultrusio bidez fabrikatutako habeen inguruan ikertze eta saiatze zabalagoa burutzea proposatzen da.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
1
Introducción................................................................................................................ 1
1.1
Planteamiento del problema y objetivo ............................................................. 1
1.2
Metodología de trabajo ...................................................................................... 4
1.3
Estructura de la memoria ................................................................................... 5
2 Elementos estructurales fabricados por pultrusión.................................................... 7
2.1
Materiales compuestos en estructuras................................................................ 7
2.1.1
Matriz ......................................................................................................... 8
2.1.2
Refuerzo ..................................................................................................... 9
2.1.3
Materiales compuestos para aplicaciones estructurales .......................... 10
2.2
Procesos de fabricación de materiales compuestos ......................................... 11
2.3
La pultrusión..................................................................................................... 12
2.4
Propiedades del material pultruido .................................................................. 14
2.5
Fabricantes........................................................................................................ 17
3 Estabilidad de elementos estructurales pultruidos................................................... 19
3.1
Modos de fallo de los perfiles pultruidos ........................................................ 19
3.1.1
Pandeo local ............................................................................................. 20
3.1.2
Pandeo global ........................................................................................... 24
3.2
Propiedades elásticas de los perfiles pultruidos .............................................. 27
3.3
Antecedentes sobre el pandeo local ................................................................. 30
3.4
Antecedentes sobre el pandeo de Euler ........................................................... 51
3.4.1
Fórmula de Euler...................................................................................... 51
3.4.2
Modelos para el diseño del pandeo de Euler ........................................... 55
3.4.2.1 Eurocódigo ........................................................................................... 55
3.4.2.2 Método de Dutheil ............................................................................... 56
3.4.2.3 Polinomios K propuestos para el acero ............................................... 59
3.4.2.4 Formulación del EC3 ........................................................................... 61
3.4.2.5 Formulación del EC5 ........................................................................... 63
3.4.3
Trabajos experimentales realizados con columnas pultruidas ................ 63
3.4.4
Método de Barbero para el pandeo de Euler de columnas pultruidas..... 76
3.4.4.1 Fórmula de Ylinen ............................................................................... 77
3.4.4.2 Ajuste de la fórmula de Ylinen para la madera ................................... 80
3.4.4.3 Fórmula de Barbero y Tomblin ........................................................... 81
3.4.4.4 Coeficiente de ajuste para el diseño .................................................... 84
3.5
Antecedentes sobre el pandeo lateral............................................................... 86
3.5.1.1 Formulación del EC3 ......................................................................... 104
3.5.1.2 Formulación del EC5 ......................................................................... 104
4 Materiales y procedimientos .................................................................................. 107
4.1
Materiales ....................................................................................................... 107
4.1.1
Tubos huecos. Pandeo de Euler. ............................................................ 108
4.1.2
Vigas de sección abierta. Pandeo lateral. .............................................. 111
ix
x
Índice de contenidos
4.2
Procedimientos............................................................................................... 113
4.2.1
Pandeo local. Ensayo de compresión biempotrado............................... 113
4.2.2
Rigidez a flexión. Ensayo mecánico y de frecuencia............................ 119
4.2.2.1 Ensayo mecánico ............................................................................... 121
4.2.2.1.1
4.2.2.1.2
4.2.2.2
Ensayo mecánico sobre tubos...................................................................122
Ensayo mecánico sobre vigas ...................................................................124
Ensayos de frecuencia........................................................................ 126
4.2.2.2.1
4.2.2.2.2
Aparatos de medida ..................................................................................127
Condiciones de contorno ..........................................................................129
4.2.3
Pandeo de Euler. Ensayo de compresión biarticulado. ......................... 134
4.2.4
Pandeo lateral. Ensayo de flexión en 3 puntos...................................... 143
5 Rigidez a flexión de los perfiles pultruidos ........................................................... 157
5.1
Resultados experimentales............................................................................. 158
5.1.1
Ensayo mecánico ................................................................................... 158
5.1.2
Ensayo de frecuencia ............................................................................. 159
5.2
Discusión........................................................................................................ 163
5.3
Método experimental ..................................................................................... 169
6 Diseño de columnas pultruidas .............................................................................. 171
6.1
Resultados experimentales............................................................................. 171
6.1.1
Pandeo local ........................................................................................... 171
6.1.2
Pandeo global de Euler .......................................................................... 172
6.2
Comparación entre los datos experimentales y la curva de Euler. ............... 174
6.3
Propuesta de curva para el pandeo de Euler.................................................. 175
6.3.1
Grado del polinomio .............................................................................. 177
6.3.2
Raíces del polinomio ............................................................................. 180
6.3.3
Coeficiente α .......................................................................................... 181
6.3.4
Comparativa con los resultados experimentales ................................... 183
6.3.5
Coeficientes gama.................................................................................. 184
6.4
Discusión........................................................................................................ 188
6.4.1
Validación para otros perfiles cerrados ................................................. 188
6.4.2
Validación con datos experimentales de la bibliografía ....................... 189
6.4.3
Comparación con la curva de Barbero y Tomblin ................................ 191
7 Diseño de vigas pultruidas ..................................................................................... 195
7.1
Resultados experimentales............................................................................. 195
7.1.1
Pandeo local ........................................................................................... 197
7.1.2
Pandeo global lateral.............................................................................. 200
7.2
Obtención del momento crítico por elementos finitos .................................. 201
7.2.1
Geometría y tipo de mallado.................................................................. 202
7.2.2
Propiedades elásticas ............................................................................. 203
7.2.3
Condiciones de contorno ....................................................................... 206
7.2.4
Resultados .............................................................................................. 208
7.3
Discusión. Posibles curvas de diseño. ........................................................... 211
7.3.1
Curvas de diseño de columnas pultruidas ............................................. 212
7.3.2
Pautas para el desarrollo de una nueva curva........................................ 214
7.3.3
Posible curva tipo Dutheil ..................................................................... 215
7.3.4
Posible curva por tramos........................................................................ 219
7.3.5
Unión entre las posibles curvas ............................................................. 221
Índice de contenidos
8
xi
Conclusiones y futuras líneas de investigación ..................................................... 223
8.1
Conclusiones .................................................................................................. 223
8.2
Principales aportaciones................................................................................. 225
8.3
Futuras líneas de investigación ...................................................................... 228
Apéndice A Demostración de la fórmula de Euler..................................................... 229
Apéndice B Esbeltez reducida .................................................................................... 233
Apéndice C Demostración de la fórmula de Dutheil.................................................. 237
Apéndice D Vibración lateral de una viga sobre un apoyo elástico continuo ........... 239
Referencias bibliográficas .............................................................................................. 247
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1- Esquema del proceso de pultrusión. ............................................................ 12
Figura 3.1 – Pandeo local de una viga pultruida a flexión sufrido en su ala
comprimida. ...................................................................................................................... 21
Figura 3.2 –. Pandeo local de varias láminas en una columna pultruida...................... 21
Figura 3.3 – Tubo comprimido que ha fallado por aplastamiento del material sin
presencia del pandeo local............................................................................................... 21
Figura 3.4 – Pórtico pultruido ensayado por Mosallam y Bank (1992). ....................... 23
Figura 3.5 – Estado del pórtico pultruido tras el ensayo de Mosallam y Bank (1992). 23
Figura 3.6 – Detalle del pandeo local sufrido por la viga del pórtico pultruido
ensayado por Mosallam y Bank (1992). .......................................................................... 24
Figura 3.7 –Comportamiento teórico de una columna de 150x150x6,4 mm en función
de su longitud según Barbero y Raftoyiannis (1993). ..................................................... 25
Figura 3.8 – Comportamiento teórico de una columna de 150x150x9,5 mm en función
de su longitud según Barbero y Raftoyiannis (1993). ..................................................... 25
Figura 3.9 – Esquema del dispositivo experimental utilizado por Bank, Nadipelli y
Gentry (1994). .................................................................................................................. 31
Figura 3.10 – Pandeo local sucedido en las vigas con matriz de viniléster de los
ensayos de Bank, Nadipelli y Gentry (1994). .................................................................. 32
Figura 3.11 – Pandeo local sucedido en las vigas con matriz de poliéster de los ensayos
de Bank, Nadipelli y Gentry (1994). ................................................................................ 32
Figura 3.12 – Columna ensayada por Barbero y Trovillion (1998)............................... 39
Figura 3.13 – Resultado de pandeo local de Barbero y Trovillion (1998)..................... 40
Figura 3.14 – Gráfica para determinar la carga de pandeo con Southwell. ................. 40
Figura 3.15 – Perfiles cerrados utilizados por Hashem y Yuan (2000). ........................ 41
Figura 3.16 – Columna “universal” que presenta varios bucles por pandeo local. ..... 42
Figura 3.17 – Columna “box” pandeada tras un ensayo de compresión. ..................... 42
Figura 3.18 – Comparación entre los resultados experimentales de varios autores y la
curva de Pecce y Cosenza (2000) para el pandeo local.................................................. 45
Figura 3.19 – Leonhard Euler. ........................................................................................ 53
Figura 3.20 – Primeras curvas propuestas por la ECCS para el pandeo de columnas de
acero. ................................................................................................................................ 60
Figura 3.21 – Curvas propuestas posteriormente por la ECCS para el pandeo de
columnas de acero............................................................................................................ 60
Figura 3.22 – Curvas del Eurocódigo 3 para el diseño de columnas de acero. ............ 63
Figura 3.23 – Dispositivo experimental utilizado por Barbero y Tomblin (1993) para
ensayar columnas pultruídas. .......................................................................................... 65
Figura 3.24 – Resultado del ensayo sobre muestras de material pultruido para obtener
su módulo elástico (Zureick y Scott, 1993)...................................................................... 69
Figura 3.25 – Resultado del ensayo sobre muestras de material pultruido para obtener
su módulo de cortadura (Zureick y Scott, 1993). ............................................................ 69
xiii
xiv
Lista de figuras
Figura 3.26 – Dispositivo experimental utilizado por Zureick y Scott (1993) para
ensayar columnas pultruidas. .......................................................................................... 71
Figura 3.27 – Gráfica de carga frente a desplazamiento resultante del ensayo sobre
una columna pultruida de Zureick y Scott (1993). .......................................................... 71
Figura 3.28 –Resultados experimentales de columnas pultruidas de Zureick y Scott
(1993)................................................................................................................................ 71
Figura 3.29 – Columna “universal” preparada para el ensayo de compresión (Hashem
y Yuan 2001)..................................................................................................................... 74
Figura 3.30 - Columna “universal” durante el ensayo de compresión de Hashem y
Yuan (2001). ..................................................................................................................... 75
Figura 3.31 –Medida del módulo elástico a partir de ensayos sobre columnas cortas
tipo “universal” (Hashem y Yuan 2001). ........................................................................ 75
Figura 3.32 –Medida del módulo elástico a partir de ensayos sobre columnas cortas
tipo “box” (Hashem y Yuan 2001). ................................................................................. 75
Figura 3.33 – Resultados experimentales de todas las columnas ensayadas por Hashem
y Yuan (2001). .................................................................................................................. 76
Figura 3.34 – Resultados experimentales de Hashem y Yuan (2001) solapados con la
curva de Euler. ................................................................................................................. 76
Figura 3.35 – Representación de las rectas básicas de superposición de efectos junto
con los datos experimentales de columnas de madera.................................................... 77
Figura 3.36 – Curva de Ylinen ajustada para las columnas de madera (Zhan 1992)... 81
Figura 3.37 – Resultados experimentales de Barbero y Tomblin (1994) junto a la curva
de Ylinen con un coeficiente c = 0,84.............................................................................. 83
Figura 3.38 – Comparativa de la curva de Barbero y Tomblin (1994) junto a varios
resultados experimentales................................................................................................ 84
Figura 3.39 – Datos experimentales utilizados por Barbero y De Vivo (1999) para
ajustar la curva de diseño. ............................................................................................... 85
Figura 3.40 – Resultados de los ensayos realizados por Turvey (1996) sobre tiras
pultruidas en voladizo. ..................................................................................................... 95
Figura 3.41 – Dispositivo experimental utilizado por Davalos, Qiao y Salim (1997) en
los ensayos de pandeo lateral. ......................................................................................... 96
Figura 3.42 – Desplazamientos medidos durante el ensayo de pandeo lateral en función
de la carga aplicada (Davalos, Qiao y Salim 1997). ...................................................... 97
Figura 3.43 – Empotramiento diseñado por Qiao, Zou y Davalos (2003) para el ensayo
de vigas pultruidas en voladizo........................................................................................ 98
Figura 3.44 –Viga pultruida en voladizo preparada para el ensayo en el dispositivo de
Qiao, Zou y Davalos (2003)............................................................................................. 99
Figura 3.45 –Viga pultruida en voladizo pandeada lateralmente en un ensayo de Qiao,
Zou y Davalos (2003)..................................................................................................... 100
Figura 3.46 –Viga pultruida en voladizo pandeada lateralmente en un ensayo de Shan y
Qiao (2005). ................................................................................................................... 101
Figura 3.47 – Empotramiento utilizado por Shan y Qiao (2005) para el ensayo de vigas
en voladizo...................................................................................................................... 102
Figura 3.48 –Viga pultruida en voladizo preparada sobre el dispositivo de Shan y Qiao
(2005).............................................................................................................................. 102
Figura 3.49 – Resultados experimentales de Shan y Qiao (2005) sobre la viga SQ-1.103
Lista de figuras
xv
Figura 3.50 – Resultados experimentales de Shan y Qiao (2005) sobre la viga SQ-2.103
Figura 3.51 – Resultados experimentales de Shan y Qiao (2005) sobre la viga SQ-3.104
Figura 4.1 - Tubos huecos utilizados en la experimentación del pandeo de Euler...... 108
Figura 4.2 - Vigas pultruidas utilizadas en los ensayos de pandeo lateral.................. 112
Figura 4.3 - Pieza utilizada como empotramiento en los ensayos de pandeo local sobre
tubos huecos.................................................................................................................... 114
Figura 4.4 - Dispositivo experimental utilizado para los ensayos de pandeo local sobre
tubos huecos.................................................................................................................... 115
Figura 4.5 - Tubo del material B ensayado a pandeo local.......................................... 116
Figura 4.6 - Tubo del material A ensayado a pandeo local.......................................... 117
Figura 4.7 - Tubo del material D ensayado a pandeo local. ........................................ 118
Figura 4.8 - Resultado de carga frente a carrera del accionamiento en un ensayo de
pandeo local sobre tubos................................................................................................ 119
Figura 4.9 – Galga extensométrica colocada sobre una probeta del material C para el
ensayo mecánico de rigidez a flexión. ........................................................................... 122
Figura 4.10 - Galga extensométrica colocada sobre una probeta del material D para el
ensayo mecánico de rigidez lateral................................................................................ 123
Figura 4.11 - Viga pultruida preparada para el ensayo mecánico mediante la flexión en
4 puntos........................................................................................................................... 125
Figura 4.12 - Acelerómetro empleado para determinar la frecuencia natural de
elementos estructurales. ................................................................................................. 128
Figura 4.13 – Sensor láser empleado para determinar la frecuencia natural de
elementos estructurales. ................................................................................................. 129
Figura 4.14 - Tubo rectangular con acelerómetro colocado en las gomas en posición
horizontal para la medida de su frecuencia natural. .................................................... 130
Figura 4.15 - Tubo circular con láser colocado en las gomas en posición horizontal
para la medida de su frecuencia natural. ...................................................................... 131
Figura 4.16 - Viga con acelerómetro colocada en las gomas en posición horizontal
para la medida de su frecuencia natural. ...................................................................... 131
Figura 4.17 - Tubo circular con acelerómetro colocado en la goma en posición vertical
para la medida de su frecuencia natural. ...................................................................... 132
Figura 4.18 - Tubo circular con acelerómetro colocado en el foam para la medida de
su frecuencia natural...................................................................................................... 133
Figura 4.19 - Estructura fija empleada para montar el dispositivo experimental en los
ensayos de pandeo de Euler de tubos. ........................................................................... 134
Figura 4.20 - Esquema del dispositivo experimental empleado en los ensayos de pandeo
de Euler sobre tubos....................................................................................................... 135
Figura 4.21 - Dispositivo experimental empleado en los ensayos de pandeo de Euler
sobre tubos pultruidos. ................................................................................................... 136
Figura 4.22 - Articulación de unión entre el tubo ensayado y la estructura fija. ........ 137
Figura 4.23 - Articulación de unión entre el tubo ensayado y la estructura fija con el
tubo colocado. ................................................................................................................ 138
Figura 4.24 - Dispositivo experimental para los ensayos de pandeo de Euler preparado
para tubos de 4 metros. .................................................................................................. 140
Figura 4.25 - Dispositivo experimental para los ensayos de pandeo de Euler preparado
para tubos de 2 metros. .................................................................................................. 140
xvi
Lista de figuras
Figura 4.26 - Tubo pultruido durante el ensayo de pandeo de Euler. ......................... 141
Figura 4.27 - Gráfica de la carga aplicada frente al desplazamiento lateral de la
sección central resultante de un ensayo de pandeo de Euler. ...................................... 142
Figura 4.28 - Máquina utilizada en los ensayos de pandeo lateral de vigas pultruidas.
........................................................................................................................................ 144
Figura 4.29 – Apoyos inferiores de la máquina de pandeo lateral. ............................. 144
Figura 4.30 - Empotramiento fabricado para los ensayos de pandeo lateral. ............ 146
Figura 4.31 - Comportamiento del apoyo durante el ensayo de pandeo lateral.......... 147
Figura 4.32 - Plásticos utilizados para favorecer el desplazamiento relativo entre el
rodillo y la viga. ............................................................................................................. 148
Figura 4.33 - Prueba de ensayo de pandeo lateral no válido....................................... 149
Figura 4.34 - Deformada del ensayo de pandeo lateral obtenida mediante LTBeam. 150
Figura 4.35 - Fallo local observado en los ensayos de vigas pultruidas. .................... 151
Figura 4.36 - Viga deformada durante un ensayo de pandeo lateral. (Vista 1). ......... 152
Figura 4.37- Viga deformada durante un ensayo de pandeo lateral. (Vista 2). .......... 153
Figura 4.38- Viga deformada durante un ensayo de pandeo lateral. (Vista 3). .......... 154
Figura 4.39 - Torsión y alabeo obtenidos en el ensayo de pandeo lateral mediante
LTBeam........................................................................................................................... 155
Figura 4.40 - Gráfica de carga frente a la carrera del vástago resultante de un ensayo
de pandeo de lateral....................................................................................................... 156
Figura 5.1 - Errores obtenidos por los efectos de borde en función del parámetro L2/A.
........................................................................................................................................ 168
Figura 6.1 - Comparativa entre los resultados experimentales sobre tubos pultruidos a
compresión y la fórmula de Euler para el material B................................................... 175
Figura 6.2 - Ajuste de las medias experimentales del material A con polinomios K de
diferentes grados. ........................................................................................................... 178
Figura 6.3 - Ajuste de las medias experimentales del material B con polinomios K de
diferentes grados. ........................................................................................................... 178
Figura 6.4 - Ajuste de las medias experimentales del material C con polinomios K de
diferentes grados. ........................................................................................................... 179
Figura 6.5 - Forma de los coeficientes K, ω y χ del EC3. ............................................ 180
Figura 6.6 - Comparación entre los valores del polinomio K experimentales con el
polinomio propuesto para el diseño de columnas pultruídas. ...................................... 182
Figura 6.7 - Comparación entre las medias experimentales y la curva de diseño con la
nueva K propuesta.......................................................................................................... 183
Figura 6.8 - Comparación entre la curva de diseño propuesta con un coeficiente de
fiabilidad de 1,2 y los resultados experimentales. ........................................................ 188
Figura 6.9 - Comparación entre la curva de diseño propuesta y los resultados
experimentales del material D. ...................................................................................... 189
Figura 6.10 - Comparación entre la curva de diseño propuesta y los resultados
experimentales de la bibliografía. ................................................................................. 190
Figura 6.11 - Comparación entre la curva de diseño desarrollada y la propuesta del
grupo de Barbero. .......................................................................................................... 192
Figura 6.12 - Comparación entre la curva de diseño propuesta, la curva del grupo de
Barbero y los resultados experimentales de obtenidos en la presente tesis. ................ 193
Lista de figuras xvii
Figura 6.13 – Comparación entre la curva de diseño propuesta, la curva del grupo de
Barbero y los resultados experimentales de la bibliografía. ........................................ 194
Figura 6.14 - Detalle de la comparación entre la curva de diseño propuesta, la curva
del grupo de Barbero y algunos resultados experimentales. ........................................ 194
Figura 7.1 –Momentos flectores resultantes de los ensayos sobre vigas pultruidas.... 200
Figura 7.2 - Modelo de la viga pultruida de 5 metros realizado en elementos finitos. 203
Figura 7.3 - Empotramiento simulado en el modelo de elementos finitos.................... 206
Figura 7.4 - Detalle de la restricción al giro introducida por la aplicación de la carga
puntual. ........................................................................................................................... 207
Figura 7.5 - Modelo de la viga pultruida de 5 metros realizado en elementos finitos con
las condiciones de contorno y las cargas aplicadas sobre ella. ................................... 208
Figura 7.6 - Deformada resultante del cálculo de estabilidad lateral del modelo en
elementos finitos de la viga pultruida. ........................................................................... 209
Figura 7.7 - Vista en planta de la viga creada por elementos finitos deformada. ....... 209
Figura 7.8 - Parte comprimida de la viga deformada por el pandeo lateral en el modelo
de elementos finitos. ....................................................................................................... 210
Figura 7.9 - Momento crítico de las vigas en función de su longitud........................... 211
Figura 7.10 - Comparación entre los resultados experimentales sobre vigas pultruídas
y la curva propuesta para el diseño de columnas. ........................................................ 213
Figura 7.11 - Comparación entre los resultados experimentales sobre vigas pultruidas
y diferentes ajustes de la curva de Ylinen...................................................................... 214
Figura 7.12 - Comparación entre los resultados experimentales y la curva de Dutheil
ajustada a las vigas pultruidas. ..................................................................................... 218
Figura 7.13 - Comparación entre los resultados experimentales propios y de otros
autores y la curva de Dutheil ajustada a las vigas pultruidas. ..................................... 218
Figura 7.14 - Comparación entre los resultados experimentales propios y de otros
autores y la curva por tramos ajustada a las vigas pultruidas. .................................... 220
Figura 7.15 - Intento de unión entre las dos curvas de diseño propuestas. ................. 221
Figura B.1 - Significado gráfico de la esbeltez equivalente. ........................................ 234
Figura D.1 - Diagrama de fuerzas del elemento. .......................................................... 239
Figura D.2 - Diagrama de sólido libre del elemento diferencial. ................................ 240
Figura D.3 - Solución gráfica de la Ecuación D.16...................................................... 245
LISTA DE TABLAS
Tabla 2.1 - Propiedades mecánicas de algunos polímeros termoestables. ...................... 9
Tabla 2.2 - Propiedades mecánicas de algunas fibras de refuerzo. ............................... 10
Tabla 2.3 - Propiedades mecánicas de algunos materiales clásicos en comparación con
la pultrusión...................................................................................................................... 15
Tabla 3.1 - Perfiles utilizados por los diferentes autores para el estudio del pandeo
local de perfiles pultruidos............................................................................................... 33
Tabla 3.2 – Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores
en el estudio del pandeo local. ......................................................................................... 36
Tabla 3.3 – Comparativa realizada por Mottram (2004) entre las diferentes fórmulas
propuestas para el pandeo local. ..................................................................................... 50
Tabla 3.4 – Coeficientes utilizados para definir la curva de pandeo en el Eurocódigo 3.
........................................................................................................................................... 62
Tabla 3.5 – Perfiles utilizados por los diferentes autores para el estudio del pandeo de
Euler de columnas pultruidas. ......................................................................................... 64
Tabla 3.6 – Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores
en el estudio del pandeo de Euler. ................................................................................... 67
Tabla 3.7 – Perfiles utilizados por los diferentes autores para el estudio del pandeo
lateral................................................................................................................................ 89
Tabla 3.8 – Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores
en el estudio del pandeo lateral. ...................................................................................... 91
Tabla 4.1 - Información nominal de suministrada por los proveedores para cada uno de
los materiales utilizados en la experimentación............................................................ 109
Tabla 4.2 – Área e inercia de cada material calculadas a partir de las dimensiones
reales obtenidas por medición directa........................................................................... 110
Tabla 4.3 - Densidad reales de cada material obtenidas con la báscula de precisión.111
Tabla 5.1 - Módulo elástico y rigidez lateral obtenidos en cada material a partir del
ensayo mecánico............................................................................................................. 159
Tabla 5.2 - Resultados, en Hercios, de los diferentes ensayos de frecuencia para
obtener la rigidez a flexión............................................................................................. 160
Tabla 5.3 - Comparación entre el módulo elástico obtenido en los tubos a partir del
ensayo mecánico y los ensayos de frecuencia sobre gomas en posición horizontal. ... 163
Tabla 5.4 - Comparación entre el módulo elástico obtenido en los tubos a partir del
ensayo mecánico y los ensayos de frecuencia sobre gomas en posición vertical. ....... 164
Tabla 5.5 - Comparación entre el módulo elástico obtenido en los tubos a partir del
ensayo mecánico y los ensayos de frecuencia sobre el apoyo elástico continuo. ........ 165
Tabla 5.6 - Comparación entre el módulo elástico obtenido en las vigas a partir del
ensayo mecánico y los ensayos de frecuencia. .............................................................. 166
Tabla 6.1 - Medias y desviaciones típicas experimentales de la tensión de pandeo local
de cada tipo de tubo pultruido. ...................................................................................... 172
xix
xx
Lista de Tablas
Tabla 6.2 – Tensiones críticas medias y desviaciones típicas experimentales de pandeo
de Euler........................................................................................................................... 173
Tabla 6.3 - Valores de la tensión crítica mínima del 99,99 % de la población según la
distribución normal, la distribución de Weibull y la distribución t-Student. ............... 186
Tabla 7.1 - Cantidad de vigas ensayadas para cada distancia entre apoyos. ............. 196
Tabla 7.2 - Cargas y momentos flectores experimentales de fallo local en las vigas
pultruidas........................................................................................................................ 198
Tabla 7.3 - Cargas y momentos flectores experimentales de pandeo lateral en las vigas
pultruidas........................................................................................................................ 201
Tabla 7.4 - Características de los materiales básicos consideradas para el cálculo de
las propiedades elásticas del material pultruido. ......................................................... 205
Tabla 7.5 - Propiedades elásticas atribuidas al material pultruído en el modelo en
elementos finitos. ............................................................................................................ 206
Tabla 7.6 - Momento crítico de las vigas pultruidas calculado por elementos finitos. 210
Tabla 7.7 - Datos experimentales de pandeo lateral obtenidos de la Bibliografía...... 217
ÍNDICE DE EJEMPLOS
A lo largo del presente tomo se han intercalado una serie de ejemplos reales de
estructuras realizadas con materiales compuestos. El siguiente índice indica la
página en la que se han colocado dichos ejemplos.
Fiberline Bridge
3
Pontresina
6
Eyecatcher Building
18
Aberfeldy Footbridge
106
E.T. Techtonics
170
Fort Story
222
xxi
GLOSARIO
A continuación se presentan los símbolos empleados a lo largo de esta memoria. Estos términos se han separado en diferentes grupos para facilitar su búsqueda.
Símbolos relacionados con las propiedades del elemento estructural:
A
I
L
W
Ρ
E
EL
ET
Em
Ef
G
f
S
δ
Área de la sección
Inercia de la sección
Longitud del elementos estructural
Módulo resistente de la sección
Densidad del material
Módulo elástico de un material isótropo
Módulo elástico longitudinal de un material ortótropo
Módulo elástico transversal de un material ortótropo
Módulo elástico de la matriz
Módulo elástico de la fibra
Módulo de cortadura del material
Frecuencia natural del primer modo de vibración
Rigidez del apoyo elástico continuo por unidad de longitud empleado para la medida de frecuencia
4,73 para el primer modo de vibración de una viga libre-libre
Símbolos relacionados con el pandeo local:
FC
ρf
TEX
Vf
NR
bS
h
tf
tw
PL
σL
Resistencia a compresión de la fibra
Densidad de la fibra
Peso por unidad de longitud de la bobina
Fracción volumétrica de fibra
Cantidad de hilos de fibra por unidad de área
Anchura del voladizo del ala, mitad de la anchura de la sección
Canto de la sección
Espesor del ala
Espesor del alma
Carga de pandeo local de la sección
Tensión de pandeo local de la sección
xxiii
xxiv Glosario
r
µ
β
σcr,iso
kiso
σcr,orto
kyuan
φyuan
ν
ns
σu
λL
a
Relación entre la esbeltez de la palca del ala y la esbeltez de la placa
del alma
Coeficiente que introduce la rigidez en la unión ala-alma en la formulación de Pecce y Cosenza
Factor que tiene en cuenta la ortotropía del material compuesto en
la formulación de Pecce y Cosenza
Tensión crítica de pandeo de una placa de material isótropo
Coeficiente para el cálculo de la tensión crítica de fallo local de un
material isótropo. Función de las condiciones de contorno, relación
entre las diferentes dimensiones de la placa, las condiciones de carga y las constantes elásticas del material
Tensión crítica de placas rectangulares de material ortótropo
Coeficiente para el cálculo de la tensión crítica de pandeo local de
un perfil pultruido introducido por Yuan
Coeficiente que introduce la rigidez en la unión ala-alma empleado
por Yuan
Módulo de Poisson
Factor de forma de cortadura función de la geometría de la sección
Tensión de resistencia del material sin aparición del pandeo local
Esbeltez de pandeo local
Longitud de onda del bucle creado en el pandeo local
Símbolos relacionados con el pandeo global de Euler:
c
K
P
PL
PE
Pcr
σL
σE
σcr
λ
λeq
λ
fm
χ
ω=1/χ
Coeficiente de ajuste o interacción utilizado en la formulación de
Ylinen
Polinomio de imperfecciones iniciales
Carga axial soportada por la columna
Carga de pandeo local
Carga de pandeo de Euler
Carga crítica por interacción entre el pandeo local y el de Euler
Tensión de pandeo local de la sección
Tensión equivalente de la carga de pandeo de Euler
Tensión crítica de pandeo por interacción entre el pandeo local y el
de Euler
Esbeltez de un elemento estructural
Esbeltez equivalente de un elemento estructural
Esbeltez reducida, o esbeltez relativa, o esbeltez adimensional
Preflecha convencional de la formulación de Dutheil
Coeficiente de pandeo de Euler o factor de reducción
Coeficiente de Dutheil para el diseño de columnas
Glosario xxv
α
γ
q
Coeficiente de imperfecciones empleado por el Eurocódigo
Coeficiente de fiabilidad del fabricante empleado por el Eurocódigo
Coeficiente de pandeo empleado en la formulación de Barbero
Símbolos relacionados con el pandeo global lateral:
M
ML
Mcr
λ LT
ΧLT
Momento flector soportado por la viga
Momento flector de pandeo local
Momento crítico de pandeo lateral debido exclusivamente a la inestabilidad global
Esbeltez reducida lateral
Coeficiente de pandeo lateral o factor de reducción lateral
"Gizonen lana jakintza dugu:
ezagutuz aldatzea,
naturarekin bat izan eta
harremanetan sartzea."
Xabier Lete
(Bigarren poema liburua, Izarren hautsa)
xxvii
Capítulo
1
1 INTRODUCCIÓN
1.1
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVO
La relación entre la resistencia mecánica y el peso propio de un material ha sido
siempre uno de los factores más relevantes a la hora de evaluar su idoneidad en
una aplicación concreta. Lo mismo sucede en el campo de las estructuras, donde se buscan materiales cada vez más resistentes y más ligeros.
La utilización de elementos estructurales ligeros en la construcción aporta
diversas ventajas. La más evidente es que el peso propio del conjunto disminuye y, por lo tanto, la propia estructura se ve sometida a cargas menores. Otros
beneficios importantes se pueden encontrar en la fase de ejecución. Al utilizar
elementos estructurales ligeros el tiempo de ejecución de la estructura se reduce, lo que abarata la construcción. Además, en la fase de ejecución surge otra
ventaja mucho más importante que la económica. La ligereza de los elementos
estructurales hace que los riesgos laborales derivados del montaje sean menores
para el operario. Esto supone una importante disminución en la cantidad de
accidentes laborales que, a día de hoy, aún suceden en la construcción.
Por otro lado, la ciencia de materiales es, probablemente, uno de los campos en los que el conocimiento humano ha experimentado un mayor avance en
las últimas décadas. Este avance se debe, entre otros motivos, a la creciente utilización de materiales compuestos. Los materiales compuestos son materiales
creados de manera artificial a partir de la unión de dos o más materiales básicos. De esta manera, las características de los materiales compuestos se ajustan a
las necesidades concretas de cada aplicación, lo que supone una importante
ventaja.
Apoyados en estos nuevos materiales muchas áreas de la técnica han conseguido un progreso espectacular, y muchos objetivos que hace pocos años parecían imposibles de alcanzar son ya una realidad. La electrónica, la medicina o
la aeronáutica son disciplinas que, apoyadas en los nuevos materiales, nos sor1
2
Capítulo 1: Introducción
prenden casi a diario con sus logros. Un ejemplo de la apuesta del sector aeronáutico por estos nuevos materiales se encuentra en la empresa Boeing. Esta
empresa ha anunciado recientemente que al menos el 50 por cien de la estructura primaria del nuevo avión 787, incluido el fuselaje y las alas, estará fabricado
por materiales compuestos.
De la misma manera, el campo de la construcción podría beneficiarse de la
resistencia y la ligereza que ofrecen los materiales compuestos creados a partir
de polímeros reforzados. Los polímeros reforzados, al igual que los materiales
clásicos de la construcción como el hormigón, el acero o la madera, ofrecen sus
propias ventajas. Así, una buena estructura es aquella en la que se combinan
diferentes materiales, tanto compuestos como clásicos, de manera adecuada. En
esa combinación los polímeros reforzados también deben tener su espacio.
Sin embargo, aunque los polímeros reforzados sí se emplean en algunos
aspectos de la construcción, como los cerramientos o los elementos decorativos,
su aplicación en las estructuras es aún bastante escasa. En la mayoría de las estructuras de edificación se siguen utilizando exclusivamente materiales clásicos,
que al ser más pesados complican de manera innecesaria la fase de ejecución.
Podría decirse que las estructuras para la construcción aún no aprovechan
los beneficios de los nuevos materiales para completar el progreso acontecido
en otras disciplinas. Como consecuencia el avance de las estructuras en la construcción parece haber quedado estancado.
La principal causa de que los materiales compuestos aún no sean ampliamente utilizados en la construcción es la inexperiencia que todavía existe en
torno al diseño estructural con ellos. Por un lado las propiedades mecánicas de
los materiales compuestos no se conocen de manera tan precisa como en los
materiales clásicos. Además, estos materiales presentan fuertes anisotropías, lo
que complica más el diseño. Sin embargo, el principal obstáculo reside en que
no se dispone de normativas oficiales para el diseño de estructuras de polímero
reforzado. Así, el diseño con estos materiales queda únicamente bajo la responsabilidad del diseñador.
El objetivo de la presente tesis es estudiar el comportamiento mecánico de
los elementos estructurales de material compuesto, y en base a ese comportamiento, proponer métodos sencillos para realizar el diseño estructural con este
tipo de elementos. Con este estudio se pretende impulsar la utilización de estos
materiales en las estructuras, ampliando las posibilidades del mundo de la
construcción.
1.1 Planteamiento del problema y objetivo
3
El Fiberline Bridge (Kolding, Dinamarca) fue construido íntegramente con material compuesto, y sirve como ejemplo de las ventajas de estos
nuevos materiales. Este puente consigue salvar una luz de 40 metros, y fue
diseñado para el paso de peatones y ciclistas sobre las vías del tren. El reto al que se enfrentaron los diseñadores consistió en crear un puente que,
cumpliendo con todas las especificaciones de seguridad, pudiera ser ejecutado sin obstaculizar la operatividad de la línea ferroviaria. La alta utilización de esta línea sólo permitía llevar a cabo la construcción del puente durante las noches del sábado al domingo.
Como solución se decidió utilizar únicamente elementos estructurales
de material compuesto. La ligereza de este material permitió una velocidad de ejecución tan elevada que finalmente sólo fueron necesarias tres de
esas noches para ejecutar completamente el puente.
4
1.2
Capítulo 1: Introducción
METODOLOGÍA DE TRABAJO
Para cumplir el objetivo establecido en la introducción se ha trabajado principalmente sobre la estabilidad global. Este efecto, por los motivos que se expondrán en el siguiente capítulo, es habitualmente el factor de mayor relevancia en
el diseño de los elementos estructurales de material compuesto.
Por otro lado, el trabajo desarrollado en la presente tesis se ha efectuado
sobre columnas y sobre vigas. De esta manera se ha estudiado el comportamiento de los elementos estructurales de material compuesto de manera aislada. El estudio de las estructuras en conjunto, considerando otros factores como
por ejemplo las uniones, no está incluido en el objetivo de esta tesis.
Para realizar el estudio de los elementos estructurales de material compuesto se ha seguido la siguiente metodología:
- Primero se ha realizado un amplio trabajo experimental basado en ensayos de carga estática sobre columnas y vigas de material compuesto.
- Después se ha comprobado la posible aplicación a los materiales compuestos de los métodos existentes en la normativa Europea vigente de cálculo
estructural (Eurocódigo) para el diseño con materiales clásicos. En concreto se
han comparado las curvas de diseño del Eurocódigo de acero y madera con los
resultados experimentales obtenidos sobre perfiles de material compuesto. Así,
se ha explorado la posibilidad de extender los métodos ya existentes a los materiales compuestos.
- Finalmente, en los casos necesarios, se han ajustado las formulaciones utilizadas en los materiales clásicos al comportamiento observado en el trabajo
experimental. Como consecuencia se han propuesto nuevos métodos para realizar el diseño de columnas y vigas de materiales compuestos.
En el transcurso de este trabajo ha sido necesario conocer de manera bastante precisa el valor de algunas constantes elásticas. Por ello, aunque no ha
sido objetivo principal de la tesis, también se ha trabajado sobre la experimentación utilizada para conocer el módulo elástico de un material compuesto. Aunque esta materia es mucho más amplia y requiere de un mayor esfuerzo, se ha
considerado interesante incluir en la presente memoria el trabajo realizado en
este aspecto. Por lo tanto, a los puntos ya mencionados se les debe añadir los
siguientes pasos realizados en paralelo:
- Ejecución de diferentes ensayos dinámicos sobre perfiles de material
compuesto.
- Análisis de las condiciones idóneas para obtener resultados a partir de estos ensayos.
1.3 Estructura de la memoria
1.3
5
ESTRUCTURA DE LA MEMORIA
La presente memoria está distribuida en 8 capítulos. Además de esta introducción, los Capítulos 2 y 3 constituyen una recopilación de información relacionada con el trabajo desarrollado. Los Capítulos 4, 5, 6 y 7 presentan el trabajo experimental, el tratamiento de los resultados experimentales y el desarrollo de
los métodos de diseño propuestos. Estos capítulos componen las principales
aportaciones de la presente tesis. Finalmente, el Capítulo 8 establece las conclusiones a las que se ha llegado, expone las principales aportaciones de la tesis y
propone las futuras líneas de investigación.
Más concretamente, en el Capítulo 2 se explica el proceso de fabricación de
materiales compuestos denominado pultrusión. También se explican las características más importantes de los elementos de material compuesto fabricados a
partir de la pultrusión. El Capítulo 3 describe los principales efectos que llevan
la fallo de los elementos estructurales de material compuesto. Además, este capítulo aporta una amplia revisión bibliográfica sobre los trabajos experimentales realizados por otros grupos de investigación. También se mencionan los
modelos de diseño propuestos anteriormente por otros autores.
En el Capítulo 4 se presentan los elementos estructurales utilizados en los
ensayos y se describe todo el trabajo experimental realizado. El Capítulo 5, en
cambio, muestra el método propuesto para obtener de forma sencilla el módulo
elástico de algunos elementos estructurales de material compuesto. A continuación, en el Capítulo 6 se estudia el pandeo de Euler de columnas de material
compuesto. En él se detalla el proceso seguido para ajustar las curvas empíricas
de pandeo de Euler al comportamiento observado experimentalmente. El método propuesto es comparado con los resultados experimentales de otros autores en el mismo capítulo. Posteriormente, el Capítulo 7 trata sobre el pandeo
lateral de vigas de material compuesto. En este capítulo se muestran los resultados experimentales de los ensayos de pandeo lateral, se presentan los modelos realizados en elementos finitos para este mismo fenómeno, y se realiza el
análisis de las posibles curvas para el diseño de vigas.
6
Capítulo 1: Introducción
El puente Pontresina, que está situado en los Alpes Suizos, fue fabricado íntegramente en material compuesto. El bajo peso y su sencillo
montaje manual lo hacen especialmente adecuado para ser instalado en un
ambiente de montaña. Gracias a su ligereza, este puente puede ser fácilmente desmontado en primavera, para evitar daños por las crecidas derivadas del deshielo en la alta montaña. Además, al ser plástico reforzado,
es resistente al agua y no requiere de ningún tipo de mantenimiento.
Con la utilización de materiales compuestos se ha conseguido
fabricar este puente, que salva
una luz total de 25 metros, por
medio de dos piezas ensambladas
de 12,5 metros. El peso total del
puente es 3.300 kilogramos, y
tiene una capacidad de carga de
500 kilogramos por metro cuadrado, con una flecha máxima de
L/800.
Capítulo
2
2 ELEMENTOS
ESTRUCTURALES
FABRICADOS POR
PULTRUSIÓN
El objetivo del presente capítulo es presentar el proceso de fabricación de los
elementos estructurales empleados en la tesis. Para ello, en primer lugar se describen los materiales básicos y las características más habituales de los materiales compuestos empleados en las estructuras. A continuación, se describe el
propio proceso de fabricación. Finalmente, se exponen las principales propiedades de estos materiales compuestos.
2.1
MATERIALES COMPUESTOS EN ESTRUCTURAS
Un material compuesto (o composite) se obtiene por combinación de dos o más
materiales básicos diferentes para crear uno nuevo de propiedades mejoradas.
En los materiales compuestos, las diferentes fases constituyentes son químicamente distintas, y están separadas por una intercara. Cada una de las fases
puede estar constituida por cualquiera de los materiales básicos: metal, cerámica o polímero.
Debe quedar clara la diferencia entre las aleaciones, donde la mezcla de
materiales básicos se da a nivel microscópico, y los materiales compuestos,
donde la combinación de materiales es realizada a nivel macroscópico y la intercara es fácilmente reconocible.
Habitualmente los composites utilizados como elementos estructurales están formados exclusivamente por dos materiales. El tipo de material compuesto
con el que se ha trabajado en esta tesis, obtenido a partir del proceso de fabricación que se explica en el siguiente apartado, también está formado por sólo dos
7
8
Capítulo 2: Elementos estructurales fabricados por pultrusión
materiales básicos. Por este motivo, en lo sucesivo se obviará la existencia de
materiales compuestos formados por más materiales básicos.
Entre las dos fases que constituyen un material compuesto, la región continua de sólido que envuelve completamente a la otra se denomina matriz, y la
que está envuelta se denomina refuerzo. También suelen ser conocidas como la
fase continua y la fase dispersa respectivamente. Cada una de estas fases conserva sus propiedades originales y el conjunto se ciñe a un comportamiento intermedio resultante de la acción combinada de ambas fases.
2.1.1
Matriz
En función de la clase del material que compone la matriz, el composite resultante se puede clasificar como composite de matriz metálica (CMM o en inglés
Metal Matrix Composite, MMC), de matriz cerámica (CMC o en inglés Ceramic
Matrix Composite, también CMC) o de matriz polimérica (CMP o en inglés Polymer Matrix Composite, PMC). Los PMCs también suelen ser nombrados como plástico reforzado por fibra (PRF o en inglés Fibre Reinforced Plastic, FRP).
Entre los diferentes tipos de composites, según el material empleado en la matriz, el más utilizado es el PMC, debido a su tenacidad previa a la rotura, y sobretodo debido a su precio. Además los polímeros son muy dúctiles, lo que supone una gran ventaja en el proceso de fabricación. El inconveniente de este
tipo de material compuesto es que deben ser utilizados siempre a temperaturas
inferiores a los 200 ºC más o menos. En caso de ser necesario utilizar el composite a mayores temperaturas se debe recurrir a los CMC o los MMC.
Los polímeros utilizados como matriz se dividen en polímeros termoestables y polímeros termoplásticos. La principal diferencia entre ellos estriba en su
comportamiento ante los cambios de temperaturas. Mientras que los polímeros
termoestables no pueden ser fundidos una vez han solidificado, simplemente se
queman, los polímeros termoplásticos sí se funden, y pueden ser moldeados
varias veces. Sin embargo, por debajo de esa temperatura de combustión los
polímeros termoestables poseen la ventaja de no transformarse ni degradarse
por la acción de la temperatura. Los polímeros termoplásticos en cambio, al elevar su temperatura, se reblandecen. Esta última característica hace que los polímeros termoestables sean más adecuados para ser utilizados como matriz de
un composite con fines estructurales. Además, su viscosidad en estado líquido
antes del curado es muy baja, lo que facilita la correcta impregnación del material de refuerzo. Finalmente, los polímeros termoestables son, en general, más
baratos que los termoplásticos.
Los polímeros termoestables más comunes son el poliéster, el viniléster, el
epoxy y los fenoles. Entre estos polímeros el viniléster y el epoxy son los que
mejores propiedades mecánicas presentan. Por este motivo son los más utiliza-
2.1 Materiales compuestos en estructuras
9
dos para fabricar elementos estructurales. La Tabla 2.1 incluye valores orientativos de las propiedades mecánicas de algunos de los polímeros mencionados.
Tipo de polímero
Módulo elástico
(GPa)
Epoxy
Viniléster
Poliéster
3,12
3,4
3,4
Resistencia a
tracción
(MPa)
75,8
82,7
55,2
Densidad
(gr/cm3)
1,2
-
Tabla 2.1 - Propiedades mecánicas de algunos polímeros termoestables.
2.1.2
Refuerzo
Para constituir la fase dispersa se utilizan normalmente materiales en forma de
fibra. La mayoría de los materiales son mucho más resistentes en esta forma por
la reducción drástica del tamaño de los defectos interiores.
Dependiendo de la forma en la que están colocadas las fibras, se pueden
dividir los composites en diferentes grupos:
Materiales compuestos reforzados por fibra corta. La fase dispersa está
formada por partículas distribuidas de manera regular en todas las direcciones.
De esta manera se busca una distribución lo más homogénea posible, con el fin
de conservar la isotropía y las propiedades mecánicas de la matriz. Esta mezcla
se suele realizar con el objetivo de abaratar costes cuando el material que constituye la matriz es excesivamente caro.
Materiales compuestos reforzados por fibra larga. Las partículas que forman la fase dispersa son de geometría fibrilar, es decir, de elevada longitud
respecto a su diámetro. Debido a su geometría y rigidez, el material de refuerzo
habitualmente se lleva la mayor parte de la carga soportada globalmente por el
composite. Con estas fibras se puede conseguir un nuevo material de elevada
resistencia y rigidez en relación con su peso.
Materiales compuestos reforzados con partículas. La fase dispersa está
formada por elementos de diámetro igual a la longitud en orden de magnitud.
En las aplicaciones estructurales se desea que el material fibroso utilizado
como refuerzo sea lo más resistente y ligero posible. Los tipos de fibras más
habituales en estos casos son la fibra de vidrio y la de carbono. Otras fibras menos comunes, como las orgánicas o las de carburo de silicio, se utilizan habitualmente en aplicaciones más especializadas.
La fibra de vidrio tiene la ventaja de ser, a día de hoy, mucho más barata
que la fibra de carbono. Presenta una muy buena relación entre la resistencia y
10
Capítulo 2: Elementos estructurales fabricados por pultrusión
el peso, a pesar de ser bastante flexible. Existen diferentes tipos de fibras de vidrio: todas ellas tienen un módulo elástico parecido, pero su resistencia es algo
diferente. La Tabla 2.2 presenta los tipos de fibra de vidrio más habituales con
algunas de sus propiedades más importantes. Para aplicaciones estructurales, la
fibra de vidrio más utilizada es la tipo E. La fibra tipo S, aunque es más resistente, también es bastante más cara.
Tipo de fibra
Módulo elástico
(GPa)
Vidrio-E
Vidrio-S
Vidrio-D
Carbono T300
Carbono HMS4
72
85
55
230
317
Resistencia a
tracción
(GPa)
3,45
4,8
2,5
3,53
2,34
Densidad
(gr/cm3)
2,5-2,59
2,46-2,49
2,14
1,75
1,8
Tabla 2.2 - Propiedades mecánicas de algunas fibras de refuerzo.
La fibra de carbono, además de ser igual de resistente a la tracción que la
de vidrio, tiene mayor rigidez que ésta. La Tabla 2.2 también muestra las propiedades de algunas fibras de carbono. El elevado precio actual de la fibra de
carbono imposibilita su utilización de manera habitual en el mundo de la construcción. Esta fibra de refuerzo suele aplicarse en las estructuras aeroespaciales
principalmente.
2.1.3
Materiales compuestos para aplicaciones estructurales
Los composites de fibra larga son especialmente adecuados cuando la finalidad
del material compuesto es ser un elemento portador de carga. Así, serán las fibras las que soporten la mayoría de la tensión transmitida en la dirección principal, gracias a la geometría y a su rigidez.
En estos composites de fibra larga, el cometido de la matriz queda prácticamente reducido a mantener las fibras separadas evitando la propagación de
grietas, proteger las fibras del deterioro superficial y distribuir el esfuerzo entre
las fibras. De esta última función se desprende que es conveniente utilizar para
la matriz algún material con gran capacidad de deformación previa a la rotura.
Por ello, para formar la matriz conviene utilizar polímeros como los presentados en al apartado anterior.
Sin embargo, tal y como indican D. Hull y T. W. Clyne en “An Introduction
to Composite Materials” los materiales compuestos de fibra larga muestran una
marcada anisotropía, es decir, sus propiedades cambian significativamente al
medirlas en diferentes direcciones. Esto sucede porque la fibra, que es el elemento más rígido y resistente, está preferentemente alineada en una dirección.
2.2 Procesos de fabricación de materiales compuestos
11
Esta anisotropía supone una incómoda diferencia respecto a la ingeniería con
materiales tradicionales, que normalmente se suelen considerar isótropos.
Debido principalmente al coste, prácticamente todos los elementos estructurales para la construcción de material compuesto que se fabrican hoy en día
son de matriz polimérica con refuerzo de fibra larga de vidrio. Se denominan
Polímeros Reforzados con Fibra de Vidrio (PRFV o en inglés Glass Fibre Reinforced Plastic GFRP).
El material utilizado en la presente tesis puede ser reforzado tanto con fibra de vidrio como con fibra de carbono. Sin embargo, el trabajo experimental
realizado en esta tesis ha sido efectuado siempre con PMC de fibra de vidrio.
Este tipo de refuerzo es el más utilizado hoy en día en la construcción, y así, es
el que demanda con mayor urgencia métodos de diseño. Es de esperar que en
un futuro el coste de la fibra de carbono disminuya, y su utilización en los materiales compuestos para la construcción resulte más habitual. En ese caso, convendría revisar la validez de los métodos de diseño desarrollados para los
PRFV, y reajustarlos si fuera necesario. Por otro lado, la introducción de la fibra
de carbono en el mundo de la construcción a un precio razonable aumentaría la
competitividad de los materiales compuestos en los elementos estructurales.
2.2
PROCESOS DE FABRICACIÓN DE MATERIALES
COMPUESTOS
Barbero en su “Introduction to Composite Materials Design” (1999) explica que
todos los procesos de fabricación para obtener materiales compuestos realizan
de una u otra manera las siguientes operaciones:
1.
Posicionar la fibra en la dirección requerida.
2.
Impregnar la fibra con resina.
3.
Consolidar la fibra impregnada para eliminar el exceso de resina,
aire y volátiles.
4.
Curar o solidificar el polímero
5.
Extraer el material del molde
6.
Realizar operaciones finales como cortar.
Existen varios métodos de fabricación de elementos estructurales de plásticos reforzados con fibras (PRF). Algunos de estos métodos son la fabricación
manual o posicionamiento manual (“hand lay-up”), la fabricación manual utilizando láminas de fibra preimpregnada con resina (“prepreg lay-up”), el moldeo
por inyección de resina o el moldeo con presión. Sin embargo, existe otro método especialmente adecuado para obtener elementos estructurales de material
12
Capítulo 2: Elementos estructurales fabricados por pultrusión
compuesto. Este método es la Pultrusión (adoptando para el castellano directamente la palabra inglesa “Pulltrusion”), que se explica en el siguiente apartado.
Su principal ventaja consiste en ser fácil de implementar dentro de un proceso
industrial, frente a otros métodos que son más artesanales. Así, los elementos
pultruídos resultan mucho más baratos que el resto de los composites.
2.3
LA PULTRUSIÓN
La pultrusión es un proceso de fabricación continuo con el que se obtienen perfiles de material compuesto de sección constante y de cualquier longitud. En
este proceso se amarran las fibras que serán el refuerzo del composite y se tira
de ellas desde el fondo de la línea de fabricación. Estas fibras primero son impregnadas por el polímero seleccionado para ser matriz que se encuentra en
fase líquida, luego pasan por un molde caliente, y finalmente llegan al sistema
de tracción. El paso por la matriz continua es similar al ocurrido en el proceso
de extrusión utilizado para fabricar acero laminado. La diferencia reside en que
en la pultrusión toda la línea de fabricación se mueve mediante el aparato de
tracción colocado al final, mientras que en la extrusión el material es empujado
desde el comienzo de la línea de producción. Por este motivo el proceso de fabricación se bautizó en inglés como “pulltrusion”, lo que pretende indicar que
se realiza una extrusión conseguida a partir de una operación de tirado.
Figura 2.1- Esquema del proceso de pultrusión.
2.3 La pultrusión
13
La Figura 2.1 presenta esquemáticamente el proceso industrial de la pultrusión. Se pueden observar cuatro zonas diferenciadas dentro de la línea de
fabricación: la zona donde se coloca el material de refuerzo, el molde donde
también se inyecta el material que será la matriz, el aparato tractor y la sierra.
La función de la primera fase es posicionar la fibra de refuerzo según las
especificaciones de diseño. Al inicio de la línea de producción se disponen bobinas de fibra, y se pasa esta fibra a través del molde hasta llegar al aparato tractor. En estas bobinas se pueden incluir fibras de diferentes arquitecturas. Lo
más habitual es que la mayoría del refuerzo sea fibra larga bobinada. La fibra
bobinada suele rellenar el interior del elemento estructural. En la parte exterior
se suelen incluir capas de fibra pretejida en varias direcciones. Estas capas mejoran la resistencia y la rigidez lateral de los productos fabricados. Los tejidos
más habituales son el “woven”, capas de fibra paralela tejida de manera ordenada en dos direcciones perpendiculares, el “continuous strand mat”, fibra larga continua no mallada y aleatoriamente dispuesta en una capa, y el “choped
strand mat”, fibra cortada en pequeñas longitudes y colocada en orientaciones
aleatorias. Mientras que el “woven” aporta resistencia y rigidez en sólo dos direcciones, el “continuous filament mat” y el “choped stran mat” tienden a ser
homogéneos en todas las direcciones.
Este proceso de fabricación no ofrece ninguna restricción a la cantidad de
fibra de refuerzo añadida de cada tipo. La única condición que impone es que la
cantidad de fibra debe ser suficiente para soportar la tensión de tirado desde el
fondo de la línea de producción. Esta restricción no suele suponer un impedimento en la práctica, porque la cantidad de fibra requerida por el diseño es
habitualmente bastante mayor. Las piezas pultruidas suelen contener una cantidad de fibra aproximada al 70 % en peso.
Desde las bobinas iniciales, la fibra de refuerzo se pasa por unos posicionadores que garantizan su correcta situación al entrar en el molde. Una vez
dentro de éste, se inyecta el polímero en fase líquida. También existe la posibilidad de sustituir la inyección por un baño de polímero fundido antes de introducir la fibra en la matriz de curado. Esta otra opción produce en el producto
final una cantidad de huecos más elevada, por lo que es aconsejable utilizar la
inyección a presión. El polímero añadido a las fibras de refuerzo solidifica en el
interior del molde.
En el polímero que servirá de fase matriz del composite se pueden añadir
otros aditivos con el objeto de abaratar costes de materia prima. Además, algunos aditivos pueden servir para dar alguna característica especial al material
final, y también para darle el color deseado.
Mediante la pultrusión pueden producirse piezas tanto de sección abierta
como de sección cerrada. Para las piezas de sección cerrada se utilizan mandri-
14
Capítulo 2: Elementos estructurales fabricados por pultrusión
les interiores en el molde. A estos perfiles de sección cerrada también se les
pueden añadir en el hueco interior capas superficiales tipo “strand mat” o “continuous filament mat” para mejorar las propiedades del elemento.
El molde es el que da la forma final al perfil. Por lo tanto, a partir de este
punto puede considerarse que el perfil pultruido ya es un producto acabado.
Los elementos tractores colocados al final de la línea de producción se
apoyan en el perfil acabado para mover la materia prima hacia la cadena de
producción. En el diseño de éstos se debe poner especial atención en mantener
constante la velocidad de movimiento del perfil.
Finalmente, se dispone de una sierra capaz de cortar los perfiles en movimiento. De esta manera, se pueden obtener los perfiles de cualquier longitud
deseada sin parar la línea de producción. Las piezas pultruidas son producidas
continuamente hasta una longitud virtualmente infinita. Así, se rentabiliza en
mayor medida la puesta en marcha de la línea.
Los costes de la pultrusión son bajos comparados con otros procesos de fabricación para composites. Los mayores costes residen en el equipamiento y en
la materia prima. La mano de obra es necesaria únicamente en el proceso de
puesta a punto de la máquina. Así, a partir de una determinada cantidad de
metros producidos la fabricación resulta económica. Por esto, la pultrusión es
especialmente adecuada para la producción de grandes cantidades de piezas.
Las cantidades producidas varían de un tipo de máquina de pultrusión a
otra. También difiere en función de la sección deseada en el producto final.
Como media se suele considerar que un perfil estándar se produce a una velocidad de 2 metros por minuto, y un panel a 20 metros cuadrados por minuto.
Debido a la geometría obtenida a partir de la pultrusión y su bajo coste, éste es el proceso de fabricación más adecuado para producir elementos estructurales de material compuesto.
2.4
PROPIEDADES DEL MATERIAL PULTRUIDO
Tal y como se desprende de la descripción de la pultrusión realizada en el anterior apartado, éste es un proceso de fabricación mediante el cual se obtienen
elementos de geometría prismática. Así, los perfiles pultruidos tienen un campo
de aplicación que puede considerarse equivalente al del acero laminado. De
hecho, es práctica habitual imitar las formas de los perfiles laminados de acero
al fabricar perfiles pultruidos para las estructuras.
Debido a que los perfiles pultruidos se introducen en las estructuras cumpliendo funciones análogas a los perfiles de acero, resulta especialmente útil
disponer de métodos de diseño para los materiales pultruidos equivalentes a
los existentes para el acero. Por este motivo, las normas creadas para el diseño
2.4 Propiedades del material pultruido
15
de estructuras de acero, especialmente el Eurocódigo 3 que rige la construcción
de acero en Europa, han servido como punto de apoyo en el desarrollo de la
presente tesis.
Por otro lado, la singularidad más problemática de los perfiles pultruidos
es su carácter marcadamente ortótropo. Esta singularidad es debida al propio
proceso de fabricación, que coloca la mayoría de la fibra de refuerzo en una dirección preferente. En la dirección de la proyección prismática de la sección,
que es donde se coloca la fibra bobinada, la resistencia y la rigidez del perfil es
mucho más elevada que en las otras direcciones.
El comportamiento fuertemente ortótropo de los perfiles pultruidos complica su utilización. Sin embargo, esta peculiaridad también está presente en la
madera, que sí tiene su propia normativa de diseño. Por lo tanto, la normativa
para la madera también puede ser una base para el desarrollo de fórmulas de
diseño para los perfiles pultruidos.
La Tabla 2.3 muestra algunas propiedades mecánicas típicas de un material
pultruido. En la misma gráfica se incluyen, a modo de comparación, las mismas
propiedades del acero y de algunas maderas estructurales.
Material
Tensión admisible (MPa)
Módulo elástico
(GPa)
Densidad
(gr/cm3)
Acero S275
275
210
7,85
Maderas aserrada
conífera C22
22
10
0,41
40
11
0,7
200-300
24-35
1,9-2
Madera aserrada
frondosa D40
Pultrusión con
fibra de vidrio
Tabla 2.3 - Propiedades mecánicas de algunos materiales clásicos en comparación con
la pultrusión.
Las propiedades mecánicas de acero presentadas aquí corresponden al acero estructural más común, el acero tipo S275. Existen aceros de mayor resistencia, pero no son los más habituales en usos estructurales y resultan más costosos. Las maderas se clasifican, según su procedencia, en coníferas y frondosas.
Aquí se ha seleccionado un tipo de madera de cada grupo, pretendiendo escoger aquellas que se utilizan más a menudo en estructuras. Como referencia del
material pultruido se ha escogido de refuerzo la fibra de vidrio. Para este material se ha dado un intervalo de valores en la Tabla 2.3, dentro del cual quedarán
los valores reales en función de los materiales utilizados en la matriz y en el
refuerzo, y de la cantidad de fibra introducida.
16
Capítulo 2: Elementos estructurales fabricados por pultrusión
De la comparación entre la pultrusión y el acero cabe destacar que la pultrusión, siendo casi cuatro veces más ligera que el acero, puede llegar a tener la
misma resistencia a tracción que éste. Esta es la principal ventaja de la pultrusión respecto del acero estructural: que aporta una relación entre la resistencia y
el peso aún mejor que la del acero.
Sin embargo, el módulo elástico de un material pultruido es alrededor de
siete veces menor que el del acero, lo que tiene varias consecuencias. La primera
consecuencia es que, en igualdad de condiciones, un elemento estructural de
pultrusión, aunque no llegue a romperse, se deformará siete veces más que el
de acero bajo las mismas acciones. Este comportamiento puede hacer que la
pultrusión no sea válida para algunas aplicaciones. Por otro lado, un perfil pultruido diseñado según el estado límite de servicio, donde predomina la deformación, tiene mayor margen que el acero hasta la rotura del material.
Otra consecuencia derivada del bajo módulo elástico de la pultrusión es
que la importancia de los efectos de segundo orden en el comportamiento del
elemento estructural es mayor. Es decir, los perfiles pultruidos tiende a colapsar
antes por las inestabilidades globales que por la resistencia de la sección. Podría
afirmarse que los diferentes tipos de pandeo son normalmente el factor decisivo
en el diseño con perfiles estructurales pultruidos.
Esta importancia de las inestabilidades se debe a la mejora de la relación
peso/resistencia. Al pasar de los materiales pétreos al acero, la ingeniería estructural tuvo que tomar conciencia de que, con ese material de mayor resistencia, los perfiles eran más esbeltos. Así, el pandeo asumía un mayor protagonismo en el diseño con acero que en el diseño con hormigón. De la misma manera,
al introducir composites en las estructuras, se debe entender que la resistencia
se obtiene con menos peso y rigidez que con el acero. Por lo tanto, el pandeo,
además de estar presente en el diseño, será normalmente el modo de fallo principal de la estructura.
Por este motivo, la presente tesis se centra en analizar las diferentes inestabilidades a las que pueden estar sometidos habitualmente los elementos estructurales pultruidos, para posteriormente proponer fórmulas de diseño. Además,
el diseño de los perfiles por resistencia de la sección es más sencillo, y los proveedores de perfiles pultruidos acostumbran a dar esta información de manera
bastante precisa.
Al comparar las propiedades de un perfil pultruido frente a las de la madera se observa que, aunque la madera es más ligera que el composite, su resistencia y su rigidez son mucho menores. Por este motivo la madera requiere de
perfiles de mayor sección, con lo que no resulta tan competitiva. En general la
madera es un material con propiedades mecánicas inferiores a las del resto de
2.5 Fabricantes
17
los materiales estructurales típicos, pero su uso sigue aumentando por otras
razones, como por ejemplo la estética.
Además, con madera no se pueden fabricar perfiles aligerados con la misma facilidad que en el acero o la pultrusión. Esto supone un peor aprovechamiento del material al utilizar perfiles de madera.
De la comparativa realizada entre el acero, la madera y la pultrusión, se
desprende que cada material ofrece unas características de resistencia y rigidez
diferentes en función de su peso. Entre estos tres materiales y el hormigón, se
cubre una amplia gama de prestaciones para los elementos estructurales. Así, se
puede concluir que no existen materiales mejores o peores que el resto, sino que
simplemente cada material es especialmente adecuado para una u otra aplicación concreta. El diseñador de estructuras debe saber elegir correctamente entre
estos materiales, y además, debe ser capaz de trabajar con el material elegido.
Este hecho apunta una vez más a la necesidad de una normativa adecuada
para los elementos estructurales de composite. En la actualidad, al no tener el
apoyo de una normativa, los diseñadores de estructuras a menudo tienden a
utilizar acero, madera u hormigón en muchas aplicaciones en las que el material
más adecuado sería el composite.
2.5
FABRICANTES
Existen diferentes productores de perfiles pultruidos tanto en Europa como en
Estados Unidos. Todos ellos ofrecen una amplia gama de perfiles estructurales
incluyendo tubos huecos y macizos, perfiles aligerados tipo I o de ala ancha, e
incluso perfiles menos habituales en el acero como los “box” o los universales.
En Europa destaca la empresa Fiberline Composites ( www.fiberline.com)
que, además de proveer de perfiles pultruidos, se encarga de la ejecución de
estructuras. Esta empresa fabricó, por ejemplo, la estructura del edificio Eyecatcher Building en Suiza, que se presenta en la próxima página.
En Estados Unidos cabe destacar las empresas Creative Pultrusion Inc.
(www.creativepultrusions.com), Strongwell (www.strongwell.com) y Morrison
Molded Fiber Glass Company (www.moldedfiberglass.com).
Todas las empresas citadas, además de ofrecer catálogos con algunas propiedades mecánicas de los productos, disponen de manuales para el diseño estructural con perfiles pultruidos. Sin embargo, tal y como se explicará en el Capítulo 3 de la presente memoria, estos manuales en la práctica resultan demasiado limitados o inexactos.
18
Capítulo 2: Elementos estructurales fabricados por pultrusión
Finalmente, existen otras empresas que además de perfiles pultruidos trabajan con otros materiales compuestos. Algunas de estas empresas son: Bekaert
(www.bekaert.com) o Top Glass ( www.topglass.it).
El Eyecatcher Building fue construido para la exposición Swissbau
99 dedicada a la construcción en Suiza. Toda su estructura está fabricada con perfiles pultruidos. El edificio, de 15 metros de altura, consta de
5 plantas y ocupa una superficie de 120 metros cuadrados. Una vez finalizada la exposición, este edificio fue desmontado y erigido de nuevo en su
actual ubicación, donde sirve como edificio de oficinas.
Capítulo
3
3 ESTABILIDAD DE
ELEMENTOS
ESTRUCTURALES
PULTRUIDOS
El presente capítulo presenta el estudio bibliográfico realizado previamente al
desarrollo de la tesis. En el primer apartado se describen los principales modos
de agotar la capacidad de carga de un elemento estructural pultruido. Posteriormente, se expone una breve revisión bibliográfica referente a las propiedades elásticas de los materiales pultruidos. Este tema no es la ocupación central
de la tesis, por lo que esta revisión no pretende ser rigurosa. Los siguientes tres
apartados, en cambio, componen una extensa recopilación de las publicaciones
relacionadas con las inestabilidades de los elementos estructurales pultruidos.
A lo largo de estos tres apartados se mencionan una gran cantidad de publicaciones que han sido consultadas por el autor. Sin embargo, como ayuda a los
lectores interesados, se han destacado las publicaciones que se han considerado
especialmente relevantes. Así, las publicaciones introducidas con letra gruesa y
un subrayado forman, en opinión del autor, la información que debe ser consultada como primer paso en el estudio de la materia que ocupa la presente tesis.
3.1
MODOS DE FALLO DE LOS PERFILES PULTRUIDOS
Una columna perfecta, en su función de transmitir las cargas de compresión de
un punto de la estructura a otro, teóricamente debería permanecer recta mientras se acorta bajo una carga creciente. Pero la realidad demuestra que, al alcanzar un valor crítico de carga, si se introduce una imperfección infinitesimal, la
columna se curva. A este comportamiento se le denomina pandeo, y es, en rea19
20
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
lidad, un fenómeno de pérdida de estabilidad. La columna comprimida, ante un
pequeño desplazamiento lateral que la ha sacado de la posición de equilibrio,
ha respondido buscando otra posición de equilibrio diferente, provocando así
una gran deformación. Aunque la columna perfectamente recta estaba en equilibrio, a partir de la carga crítica ese sistema era fuertemente inestable, y por eso
ha tendido a otra posición de equilibrio.
Considerando la posible aparición del fenómeno del pandeo, los elementos
estructurales tienen dos maneras de agotar su capacidad de carga: debido a la
resistencia de la sección o por la inestabilidad global. Por ejemplo, una columna
de acero puede llegar al colapso cuando ésta llega a la máxima capacidad resistente del material, tomando en todas sus fibras la tensión última del material
que compone la sección, o puede inestabilizarse por la aparición del pandeo de
Euler si la columna es suficientemente esbelta. Por este motivo, la normativa
Europea para la construcción en acero, en el estudio de los estados límites de
servicio, exige comprobar primero la resistencia de la sección y después la resistencia de la barra, donde se comprueba su estabilidad.
Además, el fenómeno del pandeo no es algo exclusivo de las columnas. Las
vigas, que habitualmente se ven sometidas a momentos flectores, acostumbran
a tener una de sus alas comprimidas. Esta ala puede sufrir la misma inestabilidad descrita en las columnas, y desplazarse lateralmente. De esta manera surge
en la viga el fenómeno denominado pandeo lateral, que puede suceder antes
que el agotamiento de la sección.
En los elementos estructurales pultruidos se dan los mismos dos modos de
agotar la capacidad de carga de las columnas y las vigas. El agotamiento de la
sección se consigue normalmente por pandeo local, mientras que la inestabilidad del elemento estructural en su conjunto se denomina pandeo global. La
aparición de un fenómeno u otro es función de la esbeltez del elemento.
3.1.1
Pandeo local
Como se ha explicado en el capítulo anterior, la pultrusión produce elementos
estructurales de pared delgada. Así, al analizar la resistencia de la sección, las
vigas y las columnas pultruidas pueden considerarse como un conjunto de chapas delgadas trabajando a compresión o a tracción. Estas chapas difícilmente
llegarán a romperse por la tensión de rotura del material que las componen, ya
que aparecerá antes una inestabilidad local en forma de bucle. Este bucle local
produce un estado de tensiones que rompe el material sin haber llegado a la
carga de rotura del material. El pandeo local no sólo se ve favorecido por el bajo
espesor de las chapas, sino también por la geometría fibrilar del refuerzo, que
aporta poca rigidez lateral.
3.1 Modos de fallo de los perfiles pultruidos
21
Figura 3.1 – Pandeo local de una viga pultruida a flexión sufrido en su ala comprimida.
Figura 3.2 –. Pandeo local de varias
láminas en una columna pultruida.
Figura 3.3 – Tubo comprimido que ha
fallado por aplastamiento del material sin
presencia del pandeo local.
22
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Por este motivo, a diferencia del acero, en los elementos pultruidos la resistencia de la sección no está directamente marcada por la resistencia del material, sino que viene regida por el pandeo local, es decir, el pandeo de una de las
láminas que componen la sección. Este pandeo local puede aparecer en cualquier chapa comprimida del elemento. Por lo tanto, puede darse el pandeo local
en cualquier chapa de una columna comprimida, o en el ala comprimida de una
viga sometida a flexión, no siendo posible su aparición en el ala que trabaja a
tracción. Aunque de manera mucho menos habitual, también se puede dar el
pandeo local en el alma de una viga sometida a cortadura. Por el contrario, las
secciones de pared ancha, por ejemplo las piezas macizas, sí pueden llegar a
presentar un fallo de la sección debido a la resistencia pura del material.
Tras el fallo de la sección, en función del tipo de rotura observado, es sencillo determinar si se ha dado el pandeo local o por el contrario se ha llegado a la
resistencia del material. La sección que ha fallado por pandeo local presenta un
bucle en la chapa afectada, tal y como muestran la Figura 3.1 y la Figura 3.2.
Mientras que en el fallo a la resistencia del material el material queda afectado
en toda la sección (Figura 3.3).
Un ejemplo de fallo por pandeo local lo presentaron Mosallam y Bank
(1992) mediante un trabajo experimental realizado sobre un pórtico fabricado
en material pultruido. Dicho pórtico se presenta en la Figura 3.4. En el ensayo se
observó que el colapso de la estructura comenzaba por un pandeo local en la
sección de una de las columnas. Después, aunque con menor rigidez, el pórtico
seguía soportando mayores cargas hasta la aparición de otro pandeo local, esta
vez en el ala comprimida de la viga (Figura 3.5 y Figura 3.6). Debido a la reducida esbeltez de sus elementos y a la elevada rigidez de las uniones, el colapso
de la estructura en este caso se debió al pandeo local en las láminas de sus elementos. Por lo tanto, el conocimiento del pandeo local parece necesario para
realizar el diseño de un pórtico de estas características.
3.1 Modos de fallo de los perfiles pultruidos
23
Figura 3.4 – Pórtico pultruido ensayado por Mosallam y Bank (1992).
Figura 3.5 – Estado del pórtico pultruido tras el ensayo de Mosallam y Bank (1992).
24
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Figura 3.6 – Detalle del pandeo local sufrido por la viga del pórtico pultruido ensayado
por Mosallam y Bank (1992).
3.1.2
Pandeo global
Los casos en los que el colapso se debe principalmente al pandeo local son, sin
embargo, escasos. Se ha comprobado, por experiencia sobre perfiles pultruidos,
que la mayoría de los elementos estructurales reales tienen la suficiente esbeltez
como para que se produzca el pandeo global antes que el local.
En un trabajo teórico publicado en el año 1993 Barbero y Raftoyiannis aplicaron la teoría clásica de la laminación (Jones 1975, Tsai y Hahn 1989) a las columnas pultruidas. Como consecuencia de ese trabajo obtuvieron las curvas
teóricas de la carga de pandeo local en función de la longitud. Esas curvas, unidas a la curva de Euler que se introducirá más adelante en este capítulo, permiten predecir el comportamiento de una columna en su rango completo de longitudes. El resultado, aplicado a una geometría concreta, se muestra en las Figura
3.7 y Figura 3.8. Dichas curvas muestran claramente que, en función de la longitud, el comportamiento de las columnas pultruidas es diferente: en una longitud larga impera el pandeo de Euler, en longitudes cortas, en cambio, se da el
pandeo local, que al ser el fallo de la sección no es función de la longitud. Por
ese motivo las curvas representan, para una sección típica, una carga constante
entre 0,2 y 2 metros. Si la columna es aún más corta que 0,2 metros, lo que en la
realidad no suele ser una columna útil, la carga de fallo aumenta hasta llegar a
la resistencia del material. En la práctica las columnas acostumbran a ser de 2
3.1 Modos de fallo de los perfiles pultruidos
25
metros o mayores. Así, estas gráficas muestran que el comportamiento más
habitual será el pandeo global, con un grado mayor o menor de interacción con
el pandeo local. Esta interacción no está incluida en las gráficas mostradas en la
Figura 3.7 y la Figura 3.8, por lo que estas curvas no dan valores de carga de
fallo reales.
Figura 3.7 –Comportamiento teórico de una
columna de 150x150x6,4 mm en función
de su longitud según Barbero y Raftoyiannis (1993).
Figura 3.8 – Comportamiento teórico de
una columna de 150x150x9,5 mm en
función de su longitud según Barbero y
Raftoyiannis (1993).
En los perfiles pultruidos los modos de pandeo global más probables son
dos: el pandeo de Euler y el pandeo lateral. El primero se da en columnas que
trabajan a compresión. Al sufrir el pandeo de Euler la columna se curva, al igual
que si estuviera sometida a una carga lateral. El segundo tipo de inestabilidad
global, el pandeo lateral, se suele presentar en las vigas. En este caso, el ala
comprimida se comporta de manera inestable, y se desplaza lateralmente, mientras que el ala traccionada no se desplaza. Considerando la deformación de la
viga completa, ésta se deforma combinando la flexión lateral con la torsión. Debido a la deformación que sufre el elemento estructural al pandear, ambos tipos
de inestabilidades suelen ser también denominadas pandeo a flexión, en el caso
del pandeo de Euler, y pandeo a flexo-torsión, en el caso del pandeo lateral.
En cualquier caso, aunque los elementos estructurales pultruidos presenten habitualmente inestabilidades globales, también es necesario conocer el
pandeo local. Tal y como ocurre con el acero, en la pultrusión el diseño del
pandeo global debe ser referido al fallo local de la sección. En el Eurocódigo 3,
la resistencia de una barra de acero se obtiene a partir de un coeficiente de minoración, función de la esbeltez de la barra y de la rigidez de la sección, que se
aplica sobre la resistencia de la sección. Además, en el acero se considera que el
26
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
agotamiento del elemento estructural se debe a la aparición simultánea del agotamiento de la sección y el pandeo global. Por este motivo, al comprobar la estabilidad de la barra, el EC3 presenta unas fórmulas de interacción entre la resistencia de la sección y el pandeo.
Análogamente, el pandeo global de los elementos estructurales pultruidos
debe ser referido al pandeo local de la sección. Y en ellos también debe considerarse la aparición simultánea del pandeo local y el global mediante fórmulas de
interacción. Es decir, que el modo de fallo más habitual en perfiles pultruidos es
el pandeo global, bien sea en columnas o en vigas. Sin embargo, es necesario
conocer el pandeo local para ser capaces de referir la inestabilidad global al fallo
local del elemento estructural.
Esta tesis se centra en el análisis del pandeo global. Para ello se ha estudiado la idoneidad de las fórmulas para el pandeo global y el desarrollo de las
fórmulas de interacción entre el fallo local y la inestabilidad. Para realizar dicho
análisis ha sido necesario conocer los trabajos realizados por otros autores entorno al pandeo local.
A continuación se presentan las aportaciones más relevantes realizadas
hasta la fecha desde el punto de vista del diseño de estructuras con perfiles pultruidos. Este análisis se ha realizado por separado para el pandeo local, el pandeo de Euler y el pandeo lateral. En mayor o menor medida los tres modos de
agotamiento han suscitado una serie de trabajos de investigación, tanto experimentales como teóricos. Además, se ha realizado una breve revisión bibliográfica sobre el empleo de la frecuencia de un elemento estructural para obtener algunas de sus constantes elásticas.
Existen en la actualidad diferentes modelos de diseño para el pandeo local.
Algunos de ellos fueron desarrollados en base a trabajos experimentales, y otros
mediante desarrollos analíticos. Sin embargo, ninguno de ellos parece ofrecer la
precisión y la sencillez exigidas. En el caso del pandeo de Euler, en cambio, los
diferentes autores consideran que la propia fórmula de Euler es suficiente para
predecir la carga crítica. En este tipo de pandeo la investigación actual gira en
torno a la interacción entre el fallo local y la inestabilidad global. Aunque ya
existe una fórmula, desarrollada a partir de trabajos experimentales, para predecir la carga a la que sucede dicha interacción, sería interesante disponer de
una formulación con un procedimiento análogo al utilizado para otros materiales en el Eurocódigo. Además, la formulación ya existente no dispone aún del
soporte experimental suficiente como para considerarla totalmente válida. Finalmente, en el pandeo lateral de vigas pultruidas, al igual que sucede en el
acero, todavía es un problema generalizado predecir de manera sencilla la carga
crítica asociada a este fenómeno. Como se comprobará a lo largo de este capítulo, sólo existen escasas aportaciones de autores que hayan analizado la interacción entre el pandeo local y el pandeo lateral en materiales pultruidos.
3.2 Propiedades elásticas de los perfiles pultruidos
27
3.2
PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LOS PERFILES
PULTRUIDOS
Tal y como se ha explicado en el apartado anterior, el pandeo, tanto local como
global, es el fenómeno principal en el diseño de elementos pultruidos. Para emprender dicho diseño, parece importante conocer de manera precisa las propiedades elásticas del material. Sin embargo, estos materiales normalmente presentan bastante dispersión en sus propiedades mecánicas. Por ello, los suministradores no acostumbran a dar información precisa sobre ellas. En general los fabricantes tienden a dar valores conservadores de módulo elástico y tensión última del material suministrado. Así, al diseñar según el módulo elástico suministrado por el fabricante se puede llegar a una estructura demasiado sobredimensionada que no sea capaz de competir con los materiales clásicos.
De esta situación surge la necesidad de desarrollar métodos experimentales con los que obtener de manera más precisa las constantes elásticas de un
material compuesto de fibra larga. Estos métodos deben ser sencillos de aplicar
y lo más precisos posibles, dando la posibilidad de que el propio fabricante
pueda utilizarlos.
Aunque no era el objetivo principal del trabajo recogido en la presente
memoria, se ha desarrollado un método para obtener la rigidez lateral de los
perfiles pultruídos. Dicho método se presenta en el Capítulo 5. Por este motivo,
se ha considerado necesario realizar una recopilación de trabajos que tratan sobre las propiedades elásticas de los materiales compuestos. Esta revisión no pretende ser una aportación de esta memoria, ni busca ser tan rigurosa como las
que se muestran en los siguientes apartados, que analizan los diferentes tipos
de pandeo.
Los ensayos de frecuencia sobre materiales compuestos han sido propuestos en ocasiones como métodos prácticos para detectar posibles daños en las
estructuras compuestas. En el año 2000, J. Lee presentó un análisis sobre la vibración libre de vigas compuestas delaminadas. Las ecuaciones del movimiento
se obtuvieron a partir de los principios energéticos de Hamilton. En el año 2002,
Kessler, Spearing, Atall, Cesnik y Soutis, presentaron una comparativa experimental y analítica entre distintos métodos para detectar in-situ los posibles daños en materiales compuestos. Los métodos analizados resultaron ser válidos
para detectar si el material estaba dañado o no. Sin embargo, no aportaban la
suficiente información para conocer la magnitud o las características del daño
detectado. S. Lee, Park y Voyiadjis (2003) trabajaron sobre la influencia de distintos tipos de delaminaciones en la respuesta dinámica de una viga de material
compuesto. En el mismo trabajo presentaron la experimentación realizada sobre
vigas con una sola delaminación, y los cálculos en elementos finitos de vigas
multidelaminadas. Por otro lado, Della, Shu y Rao en el 2004 analizaron el caso
de la viga compuesta con fisuras solapadas. Shu y Della, también en el 2004,
28
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
trabajaron sobre la solución analítica de una viga multidelaminada considerando la viga dañada como varias vigas Euler-Bernoulli interconectadas. El método
fue comparado con resultados experimentales de la bibliografía.
También se han discutido otros métodos ajenos a la respuesta dinámica del
elemento para detectar daños en estructuras. Por ejemplo, en el año 1989, Bank
presentó unos ensayos de flexión en 3 puntos ejecutados sobre perfiles de pequeña longitud. Gracias a la medida de precisión realizada sobre la carga aplicada y la deformación, el autor obtuvo una buena correlación con las propiedades elásticas aportadas previamente por otros autores en referencia al mismo
perfil. Esta publicación demostró que es posible conocer de manera precisa la
rigidez de un elemento estructural mediante ensayos mecánicos. Sin embargo,
este tipo de ensayo resulta demasiado costoso para ser aplicado de manera regular por un fabricante de perfiles pultruidos.
Otros ejemplos los aportaron Suzuki et al. (2000), que propusieron utilizar
la emisión acústica para valorar el estado de las estructuras compuestas, y
D’Orazio et al. (2005), que propusieron el método termográfico para detectar
posibles daños en estructuras de aviones.
Todos estos grupos se han centrado principalmente en desarrollar protocolos con los que saber, de manera sencilla, si una estructura está dañada o no. Es
decir, han enfocado el problema de la rigidez del material desde el punto de
vista del mantenimiento, pero no desde el punto de vista del diseño. Así, estos
trabajos no llevan a métodos sencillos con los que obtener la rigidez del elemento de material compuesto.
Por otro lado, varios grupos han analizado de manera teórica el comportamiento de perfiles compuestos ante excitaciones dinámicas. Así, en 1996 Marur y Kant propusieron varios modelos para el análisis de la vibración libre de
vigas de material compuesto tipo sándwich. Más tarde, Banerjee (2001) propuso
la expresión exacta de las ecuaciones de frecuencia y de los modos de vibración
del modelo de viga compuesta de Timoshenko. En dicho trabajo el modelo es
comprobado mediante métodos numéricos y contrastado con otros resultados
publicados. Lee y Kim (2002) también desarrollaron un modelo analítico aplicable al comportamiento dinámico de una viga de material compuesto tipo I. En
este trabajo, además de presentar un modelo en elementos finitos, analizaron la
influencia en el módulo elástico de distintos parámetros, tales como la orientación de la fibra o el espesor de las láminas. En el año 2001 Ganapathi y Makhecha trabajaron con la teoría denominada “higher-order”, con la que analizaron
el comportamiento de vibración libre de un compuesto multicapa. En la misma
línea Kameswara Rao et al. (2001) utilizaron dicha teoría para vigas de material
compuesto tipo sándwich. También Nayak, Moy y Shenoi (2002) analizaron la
vibración libre de placas de sándwich según la teoría “higher-order”. Por otro
lado, Ramtekkar et al. (2002) utilizaron los principios energéticos de Hamilton
3.2 Propiedades elásticas de los perfiles pultruidos
29
mencionados anteriormente. Gracias a estos principios desarrollaron un modelo en elementos finitos para la vibración libre de vigas laminadas de material
compuesto.
Todos estos trabajos parten de un valor del módulo elástico previamente
conocido. En ninguno de estos casos se ha considerado la posibilidad de aplicar
los métodos propuestos de manera inversa, y obtener así el módulo elástico de
un elemento a partir de su frecuencia natural. Además, la complejidad de estos
modelos impide su aplicación como método experimental sencillo.
En el año 1997 Sol, Hua, De Visscher, Vantomme y De Wilde presentaron
una técnica mixta numérica y experimental para obtener la rigidez de un material compuesto. Esta técnica, aplicable en placas de material compuesto de fibras, se basa en la vibración libre de las láminas de material compuesto. Las
frecuencias de resonancia de estos ensayos son contrastadas con modelos numéricos en elementos finitos. Posteriormente, se ajustan las propiedades elásticas del modelo numérico hasta tener el mismo resultado que el ensayo de frecuencia.
Este último método debe ser aplicado en placas de material compuesto, y
no en perfiles. En caso de querer aplicarlo sobre elementos estructurales, sería
necesario disponer de un buen modelo de dicho perfil en elementos finitos.
Además, a pesar de disponer del modelo requerido, resultaría mucho más
complicado ajustar correctamente las constantes elásticas de un elemento estructural real de la manera propuesta para las placas. Por lo tanto, la propuesta
de Sol, Hua, De Visscher, Vantomme y De Wilde carece de la sencillez buscada
en esta tesis.
En la actualidad, el comité D20.18 de la American Society for Testing and
Materials (ASTM), está trabajando en métodos experimentales para obtener el
módulo elástico y de cortadura de los perfiles pultruidos. El objetivo de este
proyecto es desarrollar un protocolo de evaluación de perfiles, para llegar así al
conocimiento de las propiedades elásticas con la consistencia necesaria. Según
afirma este comité, en la actualidad los fabricantes ofrecen esta información sin
la precisión deseada.
Este intento sí parece estar orientado a las necesidades tanto del diseñador
como del fabricante de materiales compuestos. Sin embargo, el trabajo iniciado
por la ASTM en el año 2006 aún no ha dado ningún resultado público.
De la revisión bibliográfica que se acaba de exponer se deduce que en la actualidad aún no ha sido resuelto con la suficiente sencillez el establecimiento de
las constantes elásticas de los perfiles pultruidos. Así, para el avance de la presente tesis, ha sido necesario diseñar un método experimental con el que conocer las propiedades requeridas. Este método queda propuesto en el Capítulo 5
para que pueda ser aplicado por quien lo considere oportuno.
30
3.3
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
ANTECEDENTES SOBRE EL PANDEO LOCAL
Uno de los primeros grupos de investigación en publicar trabajos relacionados
con el pandeo local en elementos estructurales pultruidos fue el equipo encabezado por el Profesor Lawrence C. Bank.
En el año 1994 Bank, Nadipelli y Gentry realizaron ensayos sobre 7 vigas
pultruidas de sección tipo H (203x203x9.5 mm) y misma longitud (2743 mm)
producidas por Creative Pultrusion, Inc. La fibra utilizada como refuerzo de las
vigas era en todos los casos fibra de vidrio tipo E, sin embargo, el material utilizado como matriz era de dos tipos; 5 vigas eran de viniléster y la otras 2 de poliéster. Según los autores, la resistencia del material pultruido con matriz de
viniléster era de 259 MPa, y el de la matriz de poliéster de 207 MPa. Como se
explicará más adelante, el fallo local, producido por el pandeo local, se presentó
con una tensión mucho menor a esta resistencia.
Las vigas fueron sometidas a un ensayo de flexión en 4 puntos, tal y como
muestra la Figura 3.9. Esta disposición de ensayo tiene la ventaja de que la carga está aplicada en el ala traccionada quedando el ala comprimida totalmente
libre. De esta manera pueden presentarse los característicos bucles del pandeo
local, obteniéndose así el fallo local de una viga sometida a flexión.
La técnica utilizada para determinar la carga de pandeo local se basa en detectar la aparición de las abolladuras en las láminas comprimidas mediante galgas extensométricas. Para ello se colocaron seis galgas extensométricas en la
sección central de la viga, donde el momento flector es máximo. La misma
Figura 3.9 muestra la posición en la que se colocaron dichas galgas. Las galgas
S-1 y S-2 se utilizaron para medir la deformación de la viga debida a la flexión.
Con la lectura de estas galgas durante el comportamiento lineal de la viga, antes
del pandeo local, se puede obtener el módulo elástico de la viga ante este tipo
de solicitaciones mecánicas. Puede parecer que las galgas S-3, S-4, S-5 y S-6 deberían medir deformaciones parecidas a la galga S-2, ya que están casi a la
misma distancia de la fibra neutra; sin embargo, la lectura de estas galgas es
igual sólo en el régimen elástico. El pandeo local se manifiesta por la aparición
de unas ondas en el ala que crean diferentes deformaciones unitarias en la parte
superior y la parte inferior de ella. Así, para detectar la aparición de las ondas
se debe calcular la diferencia entre la medida de la galga S-5 y la medida de la
galga S-6. La carga a la que esta diferencia se dispara indica la existencia de un
bucle en la lámina, es decir, indica la aparición del fallo local. El valor de esa
carga es la carga de pandeo local de esa viga.
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
31
Figura 3.9 – Esquema del dispositivo experimental utilizado por Bank, Nadipelli y Gentry (1994).
A partir del ensayo de flexión también se midieron algunas propiedades
mecánicas de las vigas gracias a las galgas S-1, S-2, R-1 y R-2 (Figura 3.9). Estos
datos, demostraron que los valores de constantes elásticas adjudicados por las
empresas suministradoras son claramente conservadores.
De las 5 vigas con matriz de viniléster ensayadas, 3 de ellas fallaron debido
a la abolladura del alma en vez de hacerlo por pandeo local del ala comprimida.
Las otras 2 vigas fallaron provocando el despegado de la unión entre el alma y
el ala, tal y como muestra la Figura 3.10. En las vigas de poliéster, en cambio, el
fallo provocó la rotura del ala sin ningún despegado de la unión (Figura 3.11).
Tanto las cargas a las que se dieron estos fenómenos como las tensiones producidas por ellas se muestran en la Tabla 3.2.
En todos los casos la tensión a la que se produjo el pandeo local era mucho
menor que la tensión de rotura a compresión propia del material. Esto es debido a que el mecanismo de fallo local ha sido el pandeo.
32
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Figura 3.10 – Pandeo local sucedido en las vigas con matriz de viniléster de los ensayos de Bank, Nadipelli y Gentry (1994).
Figura 3.11 – Pandeo local sucedido en las vigas con matriz de poliéster de los ensayos
de Bank, Nadipelli y Gentry (1994).
Utilizando el mismo dispositivo experimental, Bank, Yin y Nadipelli (1995)
ensayaron 3 tipos de vigas con el fin de analizar tres efectos característicos de
los materiales pultruidos en la carga de pandeo local; la no linealidad de la deformación de la viga frente al aumento de la carga, la anisotropía propia del
material y la inhomogeneidad resultante de las limitaciones sobre el proceso de
pultrusión. Las secciones de las vigas ensayadas en este trabajo se describen en
la Tabla 3.1. Los resultados experimentales, en cambio, se muestran en la Tabla
3.2.
Mediante este trabajo se llegó a la conclusión de que se deben tener en
cuenta los tres factores a la hora de interpretar los resultados experimentales
sobre vigas fabricadas por pultrusión.
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
Autores
Tipo de perfil y
proveedor
Bank, Nadipe- Sección abierta I.
lli y Gentry
Creative Pultru(1994)
sion Inc.
Bank, Yin y
Nadipelli
(1995)
Sección abierta I.
Creative Pultrusion Inc.
Sección abierta I.
Creative PultruBarbero y Rafsion Inc.
toyiannis
Sección cerrada
(1993)
Box.
Creative Pultrusion Inc.
Sección abierta I.
Creative PultruBarbero, Maksion Inc.
kapati y TomSección cerrada
blin (1999)
Box.
Creative Pultrusion Inc.
Barbero, Trovillion (1998)
Sección abierta I.
Creative Pultrusion Inc.
Sección cerrada
Universal.
Hashem y
Yuan (2000)
Sección cerrada
Box.
Pecce y Cosenza (2000)
Sección abierta I.
Morrison Molded
Fiber Glass.
33
Código del perfil
BNG-1
(matriz viniléster)
BNG-2
(matriz poliéster)
BYN-1
(matriz viniléster)
BYN-2
(matriz poliéster)
BYN-3
(matriz viniléster)
Dimensiones
(mm;mm2;mm4)
203x203, e=9,5
203x203, e=9,5
203x203, e=9,5
203x203, e=9,5
203x203, e=12,7
BR-1
150x150, e=6,35
BR-2
100x100, e=6,35
BMT-1
BMT-2
BMT-3
101x101, e=6,35
152x152, e=6,35
152x152, e=9,52
BMT-4
101x101, e=5,58
BT-1
BT-2
BT-3
HY-1
(biarticulado)
HY-2
(emp.-art.)
HY-3
(biarticulado)
HY-4
(emp.-art.)
PC-1
(compresión)
PC-2
(flexión)
Área = 11.290
I = 59.106
S = 8.837
I = 50.106
S = 4.668
I = 12.106
203x203, e=9,5
102x102, e=6,4
Tabla 3.1 - Perfiles utilizados por los diferentes autores para el estudio del pandeo local
de perfiles pultruidos.
34
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Autores
Tipo de perfil y
proveedor
Yooh, Scott y
Zureick
(1996)
Sección abierta I.
Morrison Molded
Fiber Glass.
Barbero, Fu y
Raftoyiannis
(1991)
Sección abierta I.
Creative Pultrusion Inc.
BFR-1
BFR-2
BFR-3
BFR-4
102x102,
102x102,
152x152,
203x203;
Lane (2002)
Creative Pultrusion Inc.
L
Desconocido.
Creative Pultrusion Inc.
MBA
Desconocido.
Creative Pultrusion Inc.
TB
Desconocido.
Strongwell.
Y
Desconocido.
Mottram,
Brown y Anderson (2003)
Tomblin y
Barbero
(1994)
Yoon(1993)
Código del perfil
Dimensiones
(mm;mm2;mm4)
YSZ-1
305x305, e=12,7
YSZ-2
203x203, e=12,7
YSZ-3
152x152, e=9,5
e=4,3
e=6,4
e=6,4
e=9,5
Tabla 3.1 (continuación) - Perfiles utilizados por los diferentes autores para el estudio
del pandeo local de perfiles pultruidos.
Un año más tarde, en 1996, Bank, Gentry y Nadipelli realizaron un estudio
del pandeo del ala comprimida en los perfiles pultruidos sometidos a flexión.
Para ello emplearon la información presentada anteriormente por Bank, Nadipelli y Gentry (1994) de ensayos de flexión en 4 puntos en vigas cortas. Sobre
ese otro trabajo experimental, analizaron la variación que puede sufrir la carga
de pandeo local y la resistencia del perfil en función de diferentes factores. Concretamente analizaron el tipo de resina, el tamaño de la sección y algunas modificaciones específicas para aumentar su rigidez local.
En 1999 Bank y Yin analizaron mediante modelos en elementos finitos el
fallo en la unión entre el alma y el ala a partir de la aparición del pandeo local
en el ala comprimida. El comportamiento observado en estos modelos fue comparado con el trabajo experimental publicado en 1994.
Los trabajos desarrollados por el grupo de Bank presentan resultados experimentales interesantes. Gracias a esa experimentación se analizó la influencia
de algunas características de los materiales pultruidos. También se desarrollaron modelos de elementos finitos con los que simular la aparición de las ondas
características del pandeo local. Sin embargo, este grupo no llegó a proponer
ningún modelo con el que poder predecir la carga de pandeo local.
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
35
Otro grupo de investigación que ha puesto especial interés en analizar el
fenómeno del pandeo local es el encabezado por el Profesor Ever J. Barbero en
la universidad de West Virginia.
En 1993 Barbero y Raftoyiannis publicaron un trabajo en el que expusieron
las ecuaciones que gobiernan el comportamiento ante el pandeo local. Según
Barbero y Raftoyiannis, para analizar la inestabilidad local los elementos estructurales de pared delgada deben ser tratados como láminas sometidas a cargas
axiales. En el caso de las columnas, tanto las alas como el alma son susceptibles
de pandear localmente, mientras que en las vigas sólo el ala comprimida debe
ser analizada. Así, el problema del pandeo local se reduce a analizar la inestabilidad de una placa pultruida sometida a cargas axiales con las condiciones de
contorno adecuadas. La principal dificultad de este análisis consiste en modelar
correctamente la aportación de la unión alma-ala a la rigidez de la lámina comprimida.
Las ecuaciones propuestas se basaron en el método Rayleigh-Ritz, en el
que se anula la primera derivada de la energía contenida en la placa. Así, la
ecuación de la energía se convierte en un problema de valores propios.
Por otro lado, los mencionados autores realizaron un trabajo experimental
sobre columnas sometidas a compresión pura. La longitud de las columnas era
de 1 metro y se ensayaron biempotradas. De esta manera la longitud eficaz de
la columna era lo suficientemente corta como para que el fallo fuera debido al
pandeo local. Las dimensiones de la sección se presentan en la Tabla 3.1, y las
cargas de fallo local en la Tabla 3.2.
Los resultados reflejados en la Tabla 3.2 demuestran que, a pesar de que
todas las láminas tienen el mismo espesor, el perfil cerrado tipo caja requiere el
doble de tensión que el perfil abierto para presentar el pandeo local. Este hecho
demuestra la clara influencia de las condiciones de contorno de la lámina susceptible de pandear localmente. En el perfil tipo caja, la lámina comprimida está
rigidizada en sus dos extremos, mientras que en el perfil abierto la lámina comprimida sólo está rigidizada en un extremo.
Siguiendo la línea de trabajar sobre una placa para analizar el pandeo local,
en 1996 Bank y Yin publicaron un trabajo teórico en el que analizaron el comportamiento de placas ortótropas bajo cargas puramente compresivas. Con las
condiciones de contorno de las placas se buscó el caso equivalente al ala comprimida de una viga a flexión. Es decir, dos extremos opuestos presentaban
uniones simples, otro extremo estaba libre y el último extremo tenía una restricción equivalente a la unión entre el ala y el alma. La carga compresiva se aplicó
en los extremos con uniones simples. En este trabajo Bank y Yin presentaron las
ecuaciones exactas que gobiernan este sistema, y, gracias a un programa de cálculo matemático, realizaron un estudio paramétrico.
36
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Perfil
BNG-1
BNG-2
Tipo de
ensayo
Flexión 4
puntos
BYN-1
BYN-2
Tensión
experimental
(MPa)
Tensión
teórica
(MPa)
Media de 5 vigas ensayadas
Media de 2 vigas ensayadas
80,95
83,29
81,87
Flexión 4
puntos
166,84
BR-1
46,82
Compresión
Media de una cantidad de
vigas ensayadas desconocida
83,46
BYN-3
BR-2
107,20
BMT-1
272,38
267,82
243,49
275,46
BMT-3
247,69
262,22
BMT-4
274,58
287,68
BT-1
64,17
58,5
103,56
76,73
BT-3
105,60
106,95
HY-1
89,76
57,45
HY-2
131,75
129,11
BMT-2
BT-2
Compresión
Compresión
Compresión
HY-3
133,70
HY-4
150,42
PC-1
Compresión
67
PC-2
Flexión 4
puntos
145
Comentarios
Media de 4 columnas ensayadas
Media de 4 columnas ensayadas
Media de 20 columnas ensayadas
Media de 10 columnas ensayadas
Media de 10 columnas ensayadas
Media de 10 columnas ensayadas
Media de una cantidad
desconocida de columnas
ensayadas
Media de 3 columnas
sayadas
Media de 3 columnas
sayadas
Media de 3 columnas
sayadas
Media de 3 columnas
sayadas
Media de 3 columnas
saya
enenenenen-
Dato de un solo ensayo
Tabla 3.2 – Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores
en el estudio del pandeo local.
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
Perfil
YSZ-1
YSZ-2
Tipo de
ensayo
Compresión
Tensión
experimental
(MPa)
46
17
YSZ-3
112
BFR-1
117,33
BFR-2
BFR-3
Flexión 3 y
4 puntos
BFR-4
59,67
125,67
69,33
L
Compresión
64
MBA
Compresión
54,2
TB
Compresión
67,23
Y
Compresión
59
37
Tensión
teórica
(MPa)
Comentarios
Media de una cantidad
desconocida de columnas ensayadas
Media de 3 perfiles ensayados
Media de 3 perfiles ensayados
Media de 3 perfiles ensayados
Media de 3 perfiles ensayados
Media de 3 columnas
ensayadas
Media de 2 columnas
ensayadas
Media de 3 columnas
ensayadas
Media de 5 columnas
ensayadas
Tabla 3.2 (continuación) - Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores en el estudio del pandeo local.
Barbero, Makkapati y Tomblin publicaron en 1999 los resultados experimentales realizados sobre muestras muy cortas de secciones pultruidas. Con
esta experimentación los autores pretendían obtener la resistencia de la sección
sin la posibilidad de crear un pandeo local. Para conseguirlo desarrollaron unos
amarres especiales con los que prevenir las tensiones en los extremos de la
muestra. Los amarres eran modificaciones de los amarres especificados por la
norma ASTM D695 para ensayar probetas rectangulares de materiales compuestos. Básicamente consistían en unas ranuras con la geometría de la sección
utilizada. Estas ranuras eran ligeramente mayores que la sección. Una vez introducida la muestra a ensayar, se rellenaba la holgura restante con plástico
fundido. Al solidificar el plástico se obtenía un amarre con la geometría exacta
de la sección. De esta manera se evitó la aparición de grietas locales en los extremos, y el fallo se presentó en el centro de la muestra.
En total se ensayaron 50 perfiles de 100 milímetros cuyas características
geométricas se muestran en la Tabla 3.1. Los resultados de los ensayos se presentan en la Tabla 3.2. Las tensiones requeridas para llegar al pandeo local son
bastante mayores que las aportadas por Barbero y Raftoyiannis (1993), que trabajaron con perfiles parecidos. En este caso, la influencia de la longitud de la
38
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
columna es clara, ya que estos últimos ensayos se realizaron sobre elementos
muy cortos. Esto puede indicar que los ensayos de Barbero y Raftoyiannis posiblemente tienen alguna influencia del pandeo global.
Barbero, Makkapati y Tomblin también propusieron un modelo con el que
obtener la resistencia de una sección. Para desarrollar dicho modelo teórico analizaron por separado los posibles refuerzos de fibra de vidrio que habitualmente se utilizan en los perfiles pultruidos. Como consecuencia, descubrieron que la
resistencia de la sección se debe principalmente a la fibra larga que proviene de
las bobinas. Los autores propusieron considerar nula la resistencia aportada por
las capas de tejidos trenzados. Así, el modelo propuesto utilizaba la hipótesis de
que la resistencia de la sección es función exclusiva de la fibra bobinada. Además, consideraron que la resistencia de la fibra bobinada era proporcional a la
fracción volumétrica de fibra en la sección. Con esas hipótesis llegaron a definir
la resistencia de una sección de material pultruido (Ecuación 3.1).
Fic∗ N RTEX
Re sistencia =
1000 ρ f
FiC∗ =
FC
Vf
(3.1)
En esta expresión FC es la resistencia a compresión de la fibra, Vf es la fracción volumétrica de fibra en la sección, NR es la cantidad de hilos de fibra por
unidad de área, TEX es el peso por unidad de longitud de la bobina empleada y
ρf es la densidad de la fibra. La Tabla 3.2 muestra los resultados obtenidos por
la Ecuación 3.1 en comparación con los resultados experimentales.
Posteriormente Barbero y Trovillion (1998) ensayaron columnas de sección
tipo I de ala ancha con tres arquitecturas internas diferentes. Las longitudes de
las columnas fueron seleccionadas de manera que, al producirse el fallo por
pandeo local, se formaran tres ondas en la columna. El área y la inercia de los
elementos ensayados se presentan en la Tabla 3.1.
Los dos primeros tipos de arquitectura interna consistieron en fibra longitudinal procedente de bobinas con una capa exterior de fibra larga de orientación aleatoria. Uno de ellos (denominado BT-1 en la Tabla 3.1) contenía una
proporción menor de fibra de refuerzo que el otro (BT-2). El tercer tipo de material (BT-3), además de tener los mismos refuerzos que los anteriores, contenía
un tejido bidireccional de fibra para aumentar la resistencia ante el pandeo local. Las longitudes de las columnas ensayadas fueron 1,8, 1,5 y 1,5 metros para
BT-1, BT-2 y BT-3 respectivamente.
Los ensayos se realizaron con control de desplazamiento del vástago a una
velocidad constante de 1,27 mm/min. Las columnas fueron amarradas utilizando empotramientos en ambos extremos. Una de las columnas ensayadas se
muestra en la Figura 3.12. Durante el experimento se midió el desplazamiento
lateral de varios puntos gracias a sensores de desplazamiento A partir de este
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
39
desplazamiento lateral se dibujaron las gráficas de la carga frente al desplazamiento. La Figura 3.13 muestra una de esas gráficas.
Figura 3.12 – Columna ensayada por Barbero y Trovillion (1998).
A diferencia del pandeo global, en el pandeo local no es posible obtener el
valor de la carga de pandeo a partir de la asíntota de la gráfica de la Figura 3.13.
Esto es debido a que, en el pandeo local, no se conoce a priori la posición del
máximo desplazamiento lateral, lo que sí es fácil de hacer en el pandeo global.
Por lo tanto, el desplazamiento lateral no se mide exactamente donde es máximo. Es necesario procesar la información para obtener la carga crítica independientemente de la posición a la que se ha medido la deformación. Además, como puede verse en la Figura 3.13, el perfil presenta cierta rigidez posterior al
pandeo que no permite identificar correctamente una asíntota horizontal. Más
adelante se demostrará que, en el pandeo global, la rigidez post crítica es tan
baja que la asíntota puede ser claramente reconocida.
Para definir correctamente la carga de pandeo local, Barbero y Trovillion
utilizaron el método de Southwell. Este método habitualmente es utilizado para
obtener la carga de pandeo global de un elemento estructural. Sin embargo,
también puede ser utilizado en el pandeo local. Tomblin y Barbero (1994) explicaron de manera detallada cómo adaptar este método a los ensayos de pandeo
local.
40
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
En realidad el método de Southwell es un algoritmo matemático con el que
obtener la asíntota de la gráfica de la carga frente al desplazamiento, ya que esa
asíntota representa el valor de la carga crítica. Este método parte de la consideración de que la curva de carga frente al desplazamiento es una hipérbola. Debido a ello, si se dibuja la gráfica del cociente entre el desplazamiento y la carga
frente al desplazamiento, se obtiene una línea recta. El valor inverso de la pendiente de esa recta es la carga a la que está la asíntota en la gráfica original. En
la práctica, al presentar los valores experimentales de esta forma, se puede obtener la recta de regresión de los puntos experimentales (Figura 3.14), y para
obtener el valor de la asíntota, trabajar sobre la recta de regresión.
Figura 3.13 – Resultado de pandeo local
de Barbero y Trovillion (1998).
Figura 3.14 – Gráfica para determinar la
carga de pandeo con Southwell.
Utilizando el método de Southwell, los autores obtuvieron los resultados
experimentales que se presentan en la Tabla 3.2. Estos resultados se compararon
con modelos realizados en elementos finitos, cuyos resultados se adjuntan en la
misma tabla. En los tres tipos de columnas pultruidas las cargas predichas mediante los elementos finitos han resultado ser muy cercanas a las experimentales.
Al comparar estos resultados experimentales con los presentados anteriormente, puede decirse que también en este caso la tensión a la que se ha dado
el pandeo local era demasiado baja. Así, parece que la longitud de las columnas
pudiera haber sido demasiado elevada como para no tener en cuenta el pandeo
global.
El propio Barbero, en 1998, publicó un trabajo teórico. En este trabajo proponía una formulación analítica, con la que predecir la resistencia a compresión
de un material compuesto de fibra unidireccional. Posteriormente, comparó los
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
41
resultados de esta formulación con datos de anteriores trabajos experimentales,
obteniendo una buena correlación. Sin embargo, este método se refería a la resistencia del material, y no a la carga de pandeo local del perfil.
En el año 2000 Hashem y Yuan realizaron un trabajo experimental sobre
columnas pultruidas cortas con secciones tipo “box” y “universal”. La geometría de dichas secciones se presenta en la Figura 3.15. En opinión de Hashem y
Yuan el trabajo experimental realizado anteriormente sobre tubos y perfiles tipo
I es suficientemente amplio. De esta manera, consideraron necesario estudiar la
resistencia y la respuesta en deformación de este otro tipo de perfil.
Los ensayos se realizaron aplicando la carga en control de fuerza con un
aumento constante de 6,67 kN/s. Para cada una de las secciones mencionadas
se ensayaron dos longitudes diferentes: 2,4 metros y 0,46 metros. Las columnas
de 2,4 metros se ensayaron biarticuladas, y las de 0,46 metros, en cambio, con
un extremo empotrado y el otro libre. Se colocaron galgas extensométricas en el
alma de las secciones y en algunas alas, tal y como muestra la Figura 3.15. La
carga fue aplicada hasta llegar a la rotura final de las columnas. Las medias de
los resultados experimentales de cada tipo de perfil se indican en la Tabla 3.2.
Figura 3.15 – Perfiles cerrados utilizados por Hashem y Yuan (2000).
En estos ensayos se presentaron varios tipos diferentes de fallos. Todas las
columnas tipo “universal” fallaron por pandeo local. Las columnas “universal”
cortas presentaron un solo bucle en cada ala (Figura 3.2), mientras que las largas
presentaron varios bucles a lo largo de la columna (Figura 3.16). Los perfiles
tipo “box” en cambio fallaron de diferente manera. Mientras que las columnas
cortas fallaron localmente por aplastamiento del material (Figura 3.3), las columnas largas de este tipo de perfil fallaron por pandeo global (Figura 3.17).
42
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Figura 3.16 – Columna “universal” que presenta varios bucles por pandeo local.
Figura 3.17 – Columna “box” pandeada tras un ensayo de compresión.
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
43
A la vista de la Figura 3.3, parece lógico suponer que las columnas cortas
tipo “box” llegaron a la resistencia del material, sin la aparición de ningún mecanismo de fallo por inestabilidad local. Además, tal y como muestra la Figura
3.17, los resultados de las columnas largas parecen más representativas del
pandeo global que del local. Por ese motivo, serán utilizados en otros apartados
de la presente memoria.
En este trabajo también se presentó una modelación en elementos finitos
de las placas susceptibles de fallar a compresión, con las condiciones de contorno presentadas en los trabajos anteriores. Esta modelación se realizó exclusivamente para los perfiles “universal”. Los resultados obtenidos en esa modelación
se incluyen también en la Tabla 3.2.
Al comparar los resultados experimentales con los obtenidos por elementos finitos la concordancia resultó ser buena en el caso de menor esbeltez, siendo bastante mala en las columnas biarticuladas. Esto puede ser debido a que el
modelo en elementos finitos no tenía en cuenta la interacción entre el pandeo
local y el global. Así, en las columnas cortas, donde la aportación del pandeo
global al agotamiento es casi inexistente, el resultado es bueno. En las columnas
largas, en cambio, tanto el pandeo local como el pandeo global tienen una importante superposición.
En el año 2000 Pecce y Cosenza propusieron una sencilla fórmula con la
que calcular la carga crítica de pandeo local de un perfil pultruido en función de
sus propiedades mecánicas. Con ella, analizaron la influencia de los diferentes
factores geométricos de la sección en la resistencia del elemento, considerando
desde la resistencia del material hasta el pandeo local. Para ello los autores realizaron dos grupos de ensayos de pandeo local; el primero en columnas y el
segundo sobre una viga. La geometría de las secciones y el proveedor de perfiles se muestran en la Tabla 3.1.
Para los ensayos a compresión se ensayaron 3 columnas biempotradas de
500 milímetros de longitud. La media resultante de los 3 ensayos se muestra en
la Tabla 3.2. El trabajo experimental de flexión se realizó sobre una sola viga por
medio del ensayo de flexión en 4 puntos. El momento flector que produjo el
pandeo local fue detectado gracias a una serie de galgas colocadas en el ala
comprimida. El resultado de este ensayo se presenta también en la Tabla 3.2.
Además, en este artículo se incluían los resultados de otros dos trabajos
realizados anteriormente por otros autores. Esos trabajos experimentales, cuyas
características y resultados se muestran en la Tabla 3.1 y Tabla 3.2, son los de
Yooh, Scott y Zureick (1996) y Barbero, Fu y Raftoyiannis (1991).
Basados en todos esos datos experimentales, Pecce y Cosenza desarrollaron un modelo de elementos finitos. Posteriormente, gracias a ese modelo, ajustaron las constantes empíricas de un método propuesto para el cálculo de la
44
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
tensión crítica local. La tensión crítica local es definida por los autores como la
tensión a la que la sección falla debido al modo de fallo local más débil. Así, las
secciones de poco canto fallarán normalmente por pandeo del ala comprimida,
mientras que las secciones con mucho canto fallarán por abolladura del alma.
Para conocer la tendencia de la sección a fallar de uno u otra manera definieron
el parámetro r (Ecuación 3.2). En esta ecuación bs es la anchura que el ala tiene
en voladizo, es decir, la mitad de la anchura de la sección, tf es el espesor del
ala, h es el canto de la sección y tw el espesor del alma. Por tanto, el parámetro r
es la relación entre la esbeltez de la placa que compone el ala y la esbeltez de la
placa que compone el alma.
 bs 
 t 
f 
r=
h 
 t 
 w
(3.2)
Un factor r alto indica que el ala es muy esbelta en comparación con el alma, por lo tanto, el fallo de la sección se producirá por pandeo del ala. Un factor
r bajo, en cambio, significa que la abolladura del alma tiene una importante influencia sobre el fallo de la sección, ya que el alma es muy esbelta en relación
con el ala.
Una vez definido este factor los autores propusieron la Ecuación 3.3, para
obtener la tensión a la que se da el pandeo local del ala comprimida (σL).
σL
EL
1
= µ ⋅ β ⋅π 2 ⋅
⋅
2
σu
σ u 12(1 −ν )  bs  2


(3.3)
t f 
Donde EL es el módulo elástico longitudinal del material compuesto, σu es
la tensión de resistencia del material y ν es el módulo de Poisson. El coeficiente
µ introduce la restricción aportada por la unión entre el ala y el alma, mientras
que β tiene en cuenta la ortotropía del material.
Esta ecuación puede ser reordenada (Ecuación 3.4) al introducir la esbeltez
del pandeo local (Ecuación 3.5).
σL 1
=
σ u λ2L
(3.4)
(
bs 12
σ u 1 −ν 2
1
λL = ⋅
⋅
⋅
tf π
EL
µβ
)
(3.5)
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
45
Es importante resaltar que la Ecuación 3.3 no tiene en cuenta la abolladura
del alma. Es decir, aunque en el trabajo sí se menciona este posible modo de
fallo local, la ecuación propuesta procede del análisis de la estabilidad del ala
comprimida. Por lo tanto, esta ecuación sobreestima la capacidad de la sección
de los perfiles con parámetro r bajo, ya que en ellos existe la abolladura del alma que no se está considerando.
Apoyados en resultados numéricos, se determinó que los límites del factor
µ debían estar entre 0,425, cuando la unión alma-ala es una articulación, y 1,277,
cuando la unión alma-ala es un empotramiento. Estos límites se corresponden a
valores concretos de r, que vale 0,3 en el caso articulado y 1,152 en el caso empotrado. Los valores intermedios entre la articulación y el empotramiento son
proporcionales al valor de r. Por lo tanto, µ toma los valores mostrados en la
Ecuación 3.6.
r ≤ 0,3 → µ = 0,425
0,3 ≤ r ≤ 1,152 → µ = r + 0,125
(3.6)
1,152 ≤ r → µ = 1,277
Sin embargo, los autores advierten que en secciones con alma muy esbelta,
la aparición de la abolladura lleva a valores de µ menores aún que el considerado para la articulación.
Figura 3.18 – Comparación entre los resultados experimentales de varios autores y la
curva de Pecce y Cosenza (2000) para el pandeo local.
46
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
También apoyados en los resultados numéricos, el coeficiente β se definió
como muestra la Ecuación 3.7, donde ET es el módulo elástico transversal del
material compuesto.
E
β =  T
 EL



0 ,85
(3.7)
El método propuesto fue comparado con los resultados experimentales recopilados de la literatura previa, dando como resultado el ajuste presentado en
la Figura 3.18. En dicha gráfica se observa que la forma de la curva propuesta
por Pecce y Cosenza toma la misma forma que los resultados experimentales.
Sin embargo, en algunos casos los datos experimentales están debajo de la curva de diseño, lo que no está por el lado de la seguridad. Esta diferencia puede
ser debida a que este método no tiene en cuenta la abolladura del alma.
En un artículo publicado en el año 2004 Mottram presentó una recopilación de los diferentes métodos propuestos hasta el momento para el cálculo de
la carga de pandeo local. Además, Mottram publicó algunos resultados experimentales obtenidos por otros autores que no habían sido publicados hasta la
fecha. Estos datos experimentales son los de Lane (2002), Mottram, Brown y
Anderson (2003), Tomblin y Barbero (1994) y Yoon (1993) (Tabla 3.1 y Tabla
3.2). Al introducir estos datos el autor destaca que la tensión a la que se produjo
el pandeo local en todos ellos es menor que la tercera parte de la resistencia del
material. Este hecho demuestra que el pandeo local es el mecanismo de fallo
habitual en elementos pultruidos, y por lo tanto, el diseño debe ser referido a
este fenómeno y no a la resistencia del material.
Los primeros métodos analizados fueron las fórmulas recogidas por la
American Society of Civil Engineers (ASCE) para el análisis de placas sometidas
a compresión. Según la ASCE la tensión crítica de estos elementos (σcr,iso) se calcula a partir de la Ecuación 3.8 si el material es isótropo.
σ cr ,iso
π 2E  t f 
 
= k iso
12(1 −ν 2 )  bs 
2
(3.8)
Al aplicar esta fórmula a un perfil en I la placa analizada es el ala comprimida, y por lo tanto la anchura de la placa (bs) es la mitad de la anchura de la
sección.
El coeficiente kiso es función de varias características como son las condiciones de contorno a las que está sometida la placa, la relación entre las diferentes dimensiones de la placa, las condiciones de carga y las constantes elásticas
del material. Experimentalmente se ha llegado a que el mínimo valor de kiso es
0,53.
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
47
Evidentemente, la Ecuación 3.8 no es aplicable a los materiales pultruidos,
que son fuertemente ortótropos.
Para el caso de placas ortótropas sometidas a compresión la ASCE propone
la Ecuación 3.9. Esta misma fórmula es también utilizada por el Eurocomp Design Code para determinar la tensión crítica de placas rectangulares (σcr,orto).
σ cr ,orto
 π 2E  bf
L

=
2 
−
12
(
1
ν
) a

2
 t

 + G  f
 bS




2
(3.9)
En esta formulación la unión entre el ala y el alma se considera articulada.
Sin embargo las uniones reales entre el ala y el alma son semi-rígidas. Por lo
tanto, a partir de la Ecuación 3.9, se consigue el menor valor posible de tensión
crítica. El principal inconveniente de la Ecuación 3.9 es la necesidad de conocer
la longitud de los bucles debidos al pandeo local (a). Este dato implica la utilización de programas de cálculo por elementos finitos previos al diseño. Además, tampoco resulta sencillo conocer el valor del módulo de cortadura de los
perfiles pultruidos (G) de pared delgada. Estos factores descartan esta fórmula
como aplicación práctica para el diseño.
Para los casos en los que la longitud del bucle es grande, algo bastante
habitual en materiales pultruidos, la Ecuación 3.9 puede ser simplificada a la
Ecuación 3.10.
σ cr ,orto
 tf
= G
 bS



2
(3.10)
Con esta simplificación se elimina la necesidad de conocer la longitud del
bucle, aunque el valor del módulo a cortadura sigue siendo necesario. Además,
según explica Mottram, los valores teóricos calculados a partir de la Ecuación
3.10 son mucho menores que los datos experimentales. Es decir, esta fórmula
conduce a unos valores demasiado conservadores para el diseño.
La última propuesta recogida por la ASCE consiste en calcular la tensión
crítica con materiales isótropos (Ecuación 3.8), y modificar el resultado según la
Ecuación 3.11.
σ cr ,orto = σ cr ,iso E L E
T
(3.11)
Con este cambio se llega a la Ecuación 3.12, aplicable a los materiales pultruidos.
48
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
σ cr ,orto = k iso
π 2 E L ET
12(1 −ν 2 )
 tf

 bS



2
(3.12)
Esta expresión también puede ser presentada de la siguiente forma (Ecuación 3.13):
ET π 2 E L  t f

E L 12(1 −ν 2 )  bS
σ cr ,orto = k iso



2
(3.13)
Los manuales de diseño analizados por Mottram son los suministrados por
Strongwell y Creative Pultrusion Inc. La empresa Strongwell considera que la
tensión de pandeo local de los perfiles pultruidos puede ser calculada mediante
la Ecuación 3.14. En este caso la fórmula presentada se refiere a la tensión de
pandeo local de toda la sección (σL), en lugar de al pandeo de una placa ortótropa como en las ecuaciones anteriores.
σL =
0,5 E L
 2bS

 t
 f




(3.14)
1, 5
Para obtener esta fórmula la empresa Strongwell ajustó las curvas experimentales a unos resultados de ensayos propios que no se hicieron públicos. Al
comparar la tensión obtenida a partir de la Ecuación 3.14 con los resultados experimentales de otros grupos de investigación, Mottram observó que la fórmula
sobreestima la capacidad resistente de las secciones pultruidas. En el mismo
manual de diseño, Strongwell propone un coeficiente de seguridad de 3 para el
diseño del pandeo local. Por lo tanto, el método propuesto por Strongwell no
parece ser adecuado, ya que se vale de un coeficiente de seguridad demasiado
grande para corregir su tendencia a dar valores elevados.
Por otro lado, la fórmula propuesta por Creative Pultrusion Inc. (Ecuación
3.15) fue desarrollada por R. Yuan en la Universidad de Texas. El trabajo original de Yuan tampoco fue publicado, por lo que se desconocen los datos experimentales utilizados.
π 2 EL  t f

σ L = φ yuan ⋅ k yuan
12(1 −ν 2 )  bS



2
(3.15)
En esta expresión se han introducido los términos kyuan, que es función de
las condiciones de contorno, y φyuan, que introduce la rigidez aportada por la
unión ala-alma. Sin embargo, esta fórmula en realidad es igual a la propuesta
de ASCE (Ecuación 3.13) realizando el cambio:
3.3 Antecedentes sobre el pandeo local
k iso
ET
= φ yuan ⋅ k yuan
EL
49
(3.16)
Los coeficientes kyuan y φyuan fueron ajustados empíricamente y, para los
perfiles pultruidos, se recomendó kyuan = 0,8, por ser material ortótropo, y
φyuan = 0,5, en secciones con la unión ala-alma sin reforzar. Estos valores son
ligeramente elevados si se comparan con kiso = 0,53, propuesto por ASCE, y
unos valores de módulos elástico habituales en pultrusión como son EL = 24
GPa y ET =7 GPa. Es decir, que el ajuste realizado por Yuan también tiene tendencia a dar valores demasiado elevados. Para compensarlo, Yuan también
propuso un coeficiente de seguridad de 3, con lo que se llega a una situación
equivalente a la fórmula propuesta por Strongwell.
Una vez conocidas las formulaciones propuestas por los diferentes manuales de diseño (ASCE, EDC, Strongwell y Creative), es sencillo comprobar que la
propuesta realizada por Pecce y Cosenza (Ecuación 3.3) no es más que otra variación de la última fórmula propuesta por ASCE (Ecuación 3.12). En este caso
se ha realizado el cambio:
k iso
ET
= µ⋅β
EL
(3.17)
Los valores que deben tomar µ y β han sido explicados anteriormente en
este mismo capítulo.
Mottram también menciona algunos trabajos en los que se han desarrollado métodos numéricos con los que obtener la carga crítica local de perfiles pultruidos. En estos trabajos se ha estudiado la rigidez real de la unión entre el ala
y el alma. Sin embargo, estos métodos son demasiado complicados, y requieren
de programas matemáticos específicos, por lo que no pueden ser utilizados como formulaciones para el diseño.
Para realizar una comparación cuantitativa entre las diferentes ecuaciones
propuestas, Mottram se apoyó en la media de los resultados experimentales de
Lane. Para ello calculó la carga de pandeo local teórica según cada uno de los
métodos descritos. Dicha comparación que se muestra en la Tabla 3.3.
50
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Ecuación
3.9
3.10
3.12
Origen
Carga de pandeo local (kN)
Trabajo experimental Lane
360
Propuesta de ASCE para material ortótropo
277
Propuesta simplificada de ASCE para material ortótropo
Propuesta de ASCE para material isótropo
con modificación posterior
198
346
3.14
Manual de diseño de Strongwell
686
3.15
Manual de diseño de Creative Pultrusion
Inc.
430
3.3
Propuesta de Pecce y Cosenza
302
Tabla 3.3 – Comparativa realizada por Mottram (2004) entre las diferentes fórmulas
propuestas para el pandeo local.
En la Tabla 3.3 se puede apreciar cómo la Ecuación 3.10 debe ser descartada por dar una carga mucho menor que la real. La Ecuación 3.9 lleva a un valor
más cercano al real, pero lo hace a costa del conocimiento previo de la longitud
de onda del pandeo local. Además, su carga crítica sigue siendo bastante menor
que la real. Las cargas críticas calculadas según los manuales de Strongwell y
Creative, tal y como se ha comentado, están claramente sobreestimadas. Así,
sólo quedan las Ecuaciones 3.12 y 3.3 como métodos válidos para el diseño. Entre ellas, al menos en este caso, la Ecuación 3.12 se acerca más al valor experimental.
Por lo tanto, entre las distintas formulaciones propuestas hasta la fecha por
diferentes grupos de investigación y manuales de diseño, Mottram considera
que la Ecuación 3.12 (ASCE modificada) es la más adecuada para conocer la
tensión crítica a la que se produce el pandeo local de una viga pultruida a compresión.
Resumen: situación actual del pandeo local en perfiles pultruidos
A la vista de los trabajos mencionados en este apartado se puede concluir que,
aunque se ha publicado mucha información experimental, aún no se ha llegado
a una formulación definitiva con la que predecir la tensión de pandeo local. Las
fórmulas propuestas hasta el momento, además de no ser sencillas de aplicar en
la mayoría de los casos, carecen de una base experimental suficiente. Es de esperar que en los próximos años surjan nuevos trabajos que expliquen de manera más precisa el comportamiento real del pandeo local.
Entre las diferentes ecuaciones propuestas, destaca la Ecuación 3.12. Sin
embargo, esta ecuación requiere del valor de los módulos elásticos en la direc-
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
51
ción de la fibra y perpendicular a ella. Actualmente los proveedores de perfiles
pultruidos no acostumbran a suministrar esta información de manera precisa.
Como se ha podido comprobar, el estudio del pandeo local de los perfiles
pultruidos es por sí mismo un amplio trabajo de investigación. Este trabajo no
está entre los objetivos de la presente tesis. Por este motivo, aquí no se ha analizado de manera teórica el pandeo local de los perfiles utilizados en la parte experimental. Las cargas de fallo local de estos perfiles han sido obtenidas de manera experimental, tal y como se describirá en el Capítulo 4. Es decir, el estudio
efectuado sobre los diferentes modos de pandeo global a lo largo de la tesis ha
estado basado en cargas de fallo local obtenidas experimentalmente, en vez de
aplicar métodos teóricos concretos como los presentados en este apartado.
3.4
ANTECEDENTES SOBRE EL PANDEO DE EULER
3.4.1
Fórmula de Euler
Puede considerarse que en el año 1678 Robert Hooke, al establecer que la deformación de un cuerpo elástico es proporcional a la carga que lo produce, proporcionó la base necesaria para el desarrollo del análisis del pandeo de Euler.
Sobre esta base Jacob Bernoulli estudió el descenso y la curvatura de una viga
en voladizo. Bernoulli aseguró, en el año 1705, que la curvatura en cualquier
punto de la barra era proporcional al momento flector desarrollado en ese punto. Sin embargo, el paso más importante para el análisis de la estabilidad de un
elemento estructural lo estableció Euler, uno de los máximos exponentes de la
próxima generación de matemáticos.
Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Vivió la mayor parte de su vida en Rusia, y desarrolló casi todo su trabajo en las Academias
de Ciencias de Berlín y San Petersburgo. Fue discípulo de Johan Bernoulli, hermano de Jacob Bernoulli, y colaboró durante muchos años con Daniel Bernoulli,
hijo de Johan. Más tarde ejerció de profesor de Joseph Lagrange. Murió el 18 de
septiembre de 1783 en San Petersburgo.
Además de ser uno de los científicos más prolíficos de la historia, Euler es
considerado también como uno de los matemáticos con mayor influencia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes. Su capacidad mental y el enorme interés por continuar aportando conocimiento quedaron reflejados en el hecho de
que, siendo mayor y habiendo perdido la vista, dictaba sus trabajos a su hijo
mayor para que fueran publicados.
En el año 1744, en el apéndice de un libro sobre cálculo variacional, Euler
presentó la fuerza necesaria para curvar una columna por el único efecto de una
carga axial (Ecuación 3.18). Es decir, estableció el valor de la carga crítica que
lleva a una columna comprimida a la inestabilidad. Más tarde explicó que esta
52
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
deducción partía del comportamiento observado en las columnas de la época,
compuestas normalmente de mampostería o madera, siendo este último material el considerado por Euler como más apropiado para aplicar su fórmula. (Sur
la Force Portante des Colonnes, Euler 1759). Sin embargo, hasta la introducción
del acero en las estructuras su formulación no fue aceptada por la mayoría de
los científicos, ya que los materiales de la época no demostraban claramente el
comportamiento descrito por Euler.
PE =
π 2 Ek 2
L2
(3.18)
En la fórmula presentada PE es la carga crítica de Euler, E es el módulo
elástico del material y L la longitud de la columna. El término k2 que introdujo
Euler era desconocido en aquella época, ya que no se había definido aún el
momento de inercia de una sección. Sin embargo, Euler intuía la relación existente entre la forma de la sección y ese coeficiente desconocido. En un escrito
posterior, Euler señaló que ese término “parece ser proporcional al cuadrado, o
quizás al cubo, del grosor de la pieza, por lo que, si la sección es circular debería
ser proporcional a la tercera o la cuarta potencia del diámetro” (Johnston 1983).
Por otro lado, aunque el concepto del módulo elástico sí era conocido gracias a
Hooke, en la práctica resultaba bastante difícil de obtener.
Desde la perspectiva del siglo XXI resulta curioso observar que el análisis
de la estabilidad de un elemento estructural, desde sus primeros pasos, encontró uno de sus principales problemas en determinar la rigidez a flexión del elemento. Como se verá a lo largo de esta memoria, obtener esta rigidez en los materiales pultruidos ha sido también un obstáculo en el desarrollo de esta tesis.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
53
Figura 3.19 – Leonhard Euler.
Para superar estas limitaciones Euler propuso determinar el producto Ek2
de manera experimental. Para ello propuso ensayar previamente el mismo elemento estructural en voladizo, aplicándole una carga en el extremo libre. El
producto Ek2 debía ser relacionado con el desplazamiento (∆) del extremo libre
mediante la Ecuación 3.19.
Ek 2 =
PL3
3∆
(3.19)
A día de hoy es conocido el hecho de que el coeficiente k2 es el momento
de inercia de la sección. Por tanto, resulta sorprendente que la fórmula de Euler,
y su propuesta experimental para determinar el término desconocido, tenga en
la actualidad una vigencia absoluta.
54
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
La fórmula de Euler para el pandeo de columnas sigue siendo la referencia
de los métodos de diseño actuales. Además, esta formulación tiene la ventaja de
ser enormemente sencilla, ya que requiere para su utilización únicamente del
valor del módulo elástico y de las características geométricas. Sin embargo, posee la desventaja de estar en muchas ocasiones por el lado de la inseguridad, ya
que no incluye la influencia del fallo local de la sección. De esta manera, la fórmula de Euler puede considerarse útil como cálculo aproximado para conocer
la carga de pandeo, pero no como método de diseño.
Sustituyendo el momento de inercia en k2 se llega a la Ecuación 3.20.
PE =
π 2 EI
(3.20)
L2
La demostración de la ecuación anterior se incluye en el Apéndice A.
La esbeltez de una columna se define según sus propiedades geométricas
(Ecuación 3.21). Utilizando la esbeltez se llega a la expresión más utilizada de la
fórmula de Euler (Ecuación 3.22).
λ2 =
PE =
L2
I
A
(3.21)
π 2 EA
2
L
(I A)
⇒ PE =
π 2 EA
λ2
(3.22)
Existe otro concepto con el que definir la esbeltez de la columna, que es la
esbeltez reducida, referida también como esbeltez relativa o adimensional. La
esbeltez reducida se define como la relación entre la esbeltez de la columna y la
esbeltez equivalente. La esbeltez equivalente es aquella esbeltez que lleva a una
carga crítica de Euler igual a la del fallo local de la sección (Ecuación 3.23,
Apéndice B).
λ=
λ
λeq
λeq =
π 2 EA
PL
=π
E
(3.23)
σL
Siendo PL la carga que lleva al fallo local de la sección, y σL la tensión equivalente de esa carga.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
55
En el caso del acero, por ejemplo, la esbeltez reducida se refiere a la tensión
de fluencia del material. Para la pultrusión, en cambio, el fallo local tomado
como referencia es la carga que lleva al pandeo local de la sección.
3.4.2
Modelos para el diseño del pandeo de Euler
Diseñar un elemento estructural a compresión significa predecir la carga a la
que dicho elemento agotará su capacidad de carga, ya sea por fallo local o por
pandeo global. En realidad, como ya se ha comentado anteriormente, ambos
fenómenos aparecen simultáneamente, por lo que debe considerarse la interacción entre ellos.
El objetivo final de los métodos de diseño es buscar una solución de compromiso entre la precisión y la sencillez. Además, de existir diferencias entre la
carga de diseño y la carga real, esas diferencias deben estar por el lado de la
seguridad. Es decir, el método utilizado debe proporcionar unos valores de carga crítica de diseño menores, pero lo más cercanos posibles, a los que realmente
soporta el elemento estructural.
Existen varios modelos teóricos que analizan el comportamiento de un
elemento estructural sometido a cargas puramente compresivas. Todos ellos
tienen como referencia, de una u otra manera, la formulación de Euler. La fórmula de Euler es el modelo exacto del fenómeno del pandeo global, permitiendo calcular la carga a la que éste sucede. Sin embargo, como la inestabilidad
viene siempre acompañada, en mayor o menor medida, del fallo local de la sección, no es suficiente con conocer la carga crítica de pandeo global. Los modelos
de diseño de columnas tienen en cuenta la superposición entre el fallo local y el
global, siendo la carga de pandeo global la obtenida mediante la fórmula de
Euler.
3.4.2.1
Eurocódigo
En la actualidad la construcción en Europa está regida por la norma denominada Eurocódigo. En la presente tesis, de los diferentes apartados de esta norma,
se han utilizado como punto de referencia los Eurocódigos 3 y 5, referentes a las
estructuras de acero y madera respectivamente.
En la normativa europea la carga crítica de pandeo se calcula en base a la
fórmula de Euler. Sin embargo, el posterior análisis de la superposición entre el
fallo local y el pandeo global se realiza según el método propuesto en el año
1947por el ingeniero francés Dutheil.
El método de Dutheil considera el agotamiento de la sección debido a la
superposición del fallo local y el global. Para tener en cuenta esta superposición
de efectos Dutheil propone aplicar un coeficiente ω de minoración a la tensión
56
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
de fallo local del material. Este coeficiente ω es función de la esbeltez reducida y
de las imperfecciones iniciales del elemento estructural que se está diseñando.
Tal y como se explica a continuación, el método de Dutheil no es una formulación cerrada, ya que la forma exacta del coeficiente ω es función de un polinomio que representa las imperfecciones iniciales del elemento estructural.
Este polinomio debe ser ajustado empíricamente al comportamiento concreto
de un material, llevando así a una formulación cerrada del método de Dutheil.
El método contemplado en el Eurocódigo es en realidad un caso particular
del método de Dutheil, porque utiliza un polinomio concreto. A la hora de
adaptar este método al comportamiento de las columnas pultruidas se comprobará la validez de diferentes polinomios, dando al método de Dutheil otra forma. Ese ajuste se realiza, en base a los resultados experimentales de esta tesis,
en el Capítulo 6 de la presente memoria.
3.4.2.2
Método de Dutheil
Como punto de partida, Dutheil consideró que la columna tiene una curvatura
inicial de forma sinusoidal, con una deformación máxima de valor fm en el centro de la columna. Esa deformación inicial la denominó preflecha convencional,
y en ella se tienen en cuenta no sólo la falta de rectitud geométrica del elemento,
sino también los defectos propios del material tales como las tensiones internas
o la falta de homogeneidad de sus propiedades. Es decir, Dutheil agrupó de
manera teórica todas las posibles imperfecciones que puede poseer una columna en su falta de rectitud (Alfonso Loureiro, 2001).
La preflecha inicial fm tiene un valor diferente en cada columna, dependiendo principalmente de las propiedades del material. Experimentalmente se
ha deducido que en muchos casos tiene la forma de la Ecuación 3.24. Donde K
es el polinomio de imperfecciones iniciales función de la esbeltez reducida
(Ecuación 3.25).
fm =
KA
W
K = K 0 + K1 λ + K 2 λ
(3.24)
2
(3.25)
De esta manera, la columna sometida a una carga puramente compresiva
soportará tensiones debidas a dos tipos de esfuerzos: las debidas a la compresión pura, y las producidas por el momento flector como consecuencia de la
curvatura. El momento flector soportado por la columna imperfecta es máximo
en el centro de ésta, y su valor se presenta en la Ecuación 3.26, tal y como se ha
obtenido en el Apéndice A. Introduciendo en esa expresión la preflecha convencional se llega a la Ecuación 3.27, donde MP es el momento flector que es
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
57
consecuencia de la curvatura, y σE es la tensión creada por la carga de pandeo
de Euler.
MP =
MP =
σE
σ E −σ
P ⋅ fm
σE
σ σ
P
K ⋅W = E K ⋅W
σ E −σ A
σ E −σ
(3.26)
(3.27)
La tensión total (σT) producida en la columna sometida a una carga compresiva es la expuesta en la Ecuación 3.28, donde σ1 es la parte debida a la compresión pura, y σ2 la producida por el momento flector.
σ T = σ1 + σ 2 =
σ σ
P MP
+
=σ + K E
σ E −σ
A W
(3.28)
El agotamiento de la capacidad de carga de la columna se dará cuando la
tensión total de la sección llegue a tomar el valor de la tensión que produce el
fallo local (σL), que es la tensión de fluencia en el acero o la tensión de pandeo
local en la pultrusión. En esa situación la tensión aplicada a la columna es la
tensión crítica de pandeo (σcr). Por lo tanto, la relación entre el fallo local y la
carga crítica de pandeo se consigue introduciendo en la Ecuación 3.28 las igualdades σT = σL y σ = σcr (Ecuación 3.29). Si además se utiliza la expresión de la
esbeltez reducida, operando tal y como muestra el Apéndice C, se llega a la
Ecuación 3.30.
σ L = σ cr + K
σ Eσ cr
σ E − σ cr
(3.29)
σ cr = χσ L


2
2 2
2
1 + K + λ − (1 + K + λ ) − 4λ 
χ=

2
2λ

(3.30)
El valor de χ está comprendido entre 0 y 1. De esta manera, χ es un coeficiente de minoración que se aplica a la tensión que produce el fallo local, convirtiéndola en la tensión que lleva a la inestabilidad. Dutheil presentó esta formulación utilizando el coeficiente ω (Ecuación 3.31), que no es más que la inversa de χ. Lógicamente, ω toma valores mayores que 1. Trabajar con el coeficiente
χ tiene la ventaja de ser más intuitivo que hacerlo con ω, ya que el valor del coeficiente χ refleja, en tanto por uno, el porcentaje de la tensión de fallo local que
soporta el elemento debido a las inestabilidades para esa esbeltez determinada.
58
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
2
2
1 + K + λ + (1 + K + λ ) 2 − 4λ
ω= =
2
χ
1
2
(3.31)
A diferencia de la fórmula de Euler, la fórmula de Dutheil sí considera que
la carga crítica de pandeo se debe a una superposición de dos tipos de fallo, ya
que parte de la suma de las tensiones creadas por cada uno de los fenómenos.
Cabe destacar que el polinomio K, que indirectamente define la preflecha
convencional, sigue estando presente en la expresión de la tensión crítica. De
hecho, el método de los coeficientes ω de Dutheil es un método general, y queda definido para un caso concreto según la expresión que se utilice al modelar
las imperfecciones con el polinomio K. Es decir, que la curva de la tensión crítica frente a la esbeltez reducida tomará una forma u otra en función de la expresión de K. Este polinomio es función exclusiva de la esbeltez reducida, tal y como se ha indicado en la Ecuación 3.25. Por lo tanto, ω es función de la esbeltez
reducida directamente y a través del polinomio K. Una vez establecido este polinomio se tiene la forma definitiva de ω en función de la esbeltez reducida.
Cuando el polinomio de imperfecciones iniciales es nulo, los coeficientes ω
y χ son iguales a la unidad en los valores de esbeltez reducida menores que 1.
En los valores de mayor esbeltez reducida, en cambio, el coeficiente χ toma la
forma de la curva de Euler. Como el polinomio K sólo puede anularse si la preflecha inicial es también nula, la propuesta de Dutheil en ese caso queda reducida a la tensión de fallo local del elemento hasta la esbeltez reducida unitaria, y
a la fórmula de Euler a partir de esa esbeltez reducida. El sentido físico de esta
relación se justifica mediante el significado de la preflecha inicial, que según
Dutheil sirve para agrupar todas las imperfecciones de una columna. Así, con
K = 0 realmente se estaría analizando el elemento comprimido sin incluir la interacción entre el fallo local y el pandeo global, lo que sucede cuando la columna es perfecta.
Tomando como punto de partida esta propuesta de Dutheil, se debe ajustar el polinomio K al comportamiento concreto de cada material, partiendo de
datos experimentales. El siguiente apartado muestra los polinomios que se propusieron para el diseño de columnas de acero, y la forma final adoptada en el
Eurocódigo 3. Después se presenta también la forma de la misma curva utilizada en el Eurocódigo 5. El Capítulo 6 de la presente tesis, por su parte, propone
un nuevo polinomio con el que la fórmula de Dutheil toma la forma adecuada
para predecir la carga crítica de una columna pultruida.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
3.4.2.3
59
Polinomios K propuestos para el acero
A partir del año 1960 la European Convention for Constructional Steel (ECCS)
comenzó el trabajo de unificar los diferentes criterios existentes en Europa para
el diseño con estructuras metálicas. Uno de los apartados que exigió mayor
atención fue precisamente el dedicado al pandeo de elementos a compresión,
que fue desarrollado por la comisión 8 dedicada a los problemas de estabilidad.
La ECCS decidió seleccionar el método de Dutheil para el cálculo de la
carga crítica de columnas. Sin embargo, aún se debía realizar el trabajo de ajustar el polinomio de imperfecciones iniciales al comportamiento específico del
acero.
Para ello diversos autores realizaron estudios experimentales y algunos
modelos teóricos basados en elementos finitos. En función de todos esos trabajos, la comisión 8 llegó a la conclusión de que las curvas de pandeo debían ajustarse a cada gama de perfiles y a cada tipo de acero. De esta manera surgió la
necesidad de definir más de una curva de pandeo. En los años 70 la ECCS propuso 3 curvas de pandeo diferentes con las que se cubría el comportamiento de
los principales perfiles utilizados (Figura 3.20). Tal y como se va a explicar a
continuación, estas curvas y el polinomio K utilizado en ellas no forman el método aceptado finalmente.
Los investigadores involucrados en la ECCS observaron que, en el acero,
existe un dominio de esbeltez reducida baja para el que el aplastamiento local
predomina sobre todas las formas de inestabilidad. Como consecuencia, en el
año 1976, se decidió adoptar una plataforma inicial en las curvas de pandeo. Esa
plataforma mantiene el valor del coeficiente χ igualado a 1 hasta la esbeltez reducida de 0,2 (Figura 3.21). Es decir, se considera que la inestabilidad global es
despreciable en los perfiles de esbeltez reducida menor que 0,2.
60
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Figura 3.20 – Primeras curvas propuestas
por la ECCS para el pandeo de columnas de
acero.
Figura 3.21 – Curvas propuestas posteriormente por la ECCS para el pandeo de
columnas de acero.
De esta manera, se analizaron algunos polinomios K propuestos por varios
autores para el acero. Todos los polinomios debían cumplir las dos siguientes
condiciones:
1.
Cumplir con el valor χ = 1 para la esbeltez reducida 0,2 con el fin
de representar correctamente la placa inicial. Por lo tanto, el polinomio K debe tener una raíz en ese valor de esbeltez reducida.
2.
Además, el polinomio debe ofrecer la posibilidad de ser anulado
independientemente del valor de la esbeltez reducida. De esa manera se puede convertir la fórmula de Dutheil en el caso de preflecha nula, pasando al análisis teórico de la columna perfecta.
Se tuvieron en consideración los siete polinomios K que se presentan a continuación (Ecuación 3.32), y que cumplen las dos condiciones anteriores (Maquoi y Rondal 1978).
a) K = α
b) K = α
(λ − 0,2)
2
λ − 0,04
(3.32a)
(3.32b)
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
c) K = α
(λ − 0,2)
2
f)
)
(
K = α (χ λ − 0,04)
K = α [λ (1 + χ ) − 0,08]
g)
K = αχ λ − 0,2
d)
e)
2
K = α λ − 0,04
2
2
(
)
61
(3.32c)
(3.32d)
(3.32e)
(3.32f)
(3.32g)
Los polinomios a) y b) fueron propuestos por Robertson (1925), los polinomios c) y d) en cambio fueron propuestos por el propio Dutheil (1947, 1952).
Las tres últimas propuestas, e), f) y g), son variaciones y combinaciones realizadas en base a las anteriores propuestas.
Todos estos polinomios tienen al menos una raíz en la esbeltez reducida
0,2. Además, en todos ellos el coeficiente α permite anular el polinomio para
cualquier valor de esbeltez reducida.
Para cada uno de los polinomios mencionados se obtuvo el valor de coeficiente α que mejor se ajustaba a los resultados experimentales y analíticos de los
que se disponía en los años 70. Al comparar los errores de cada propuesta, utilizando en cada polinomio su α óptimo, se llegó a la conclusión de que los polinomios a) y b), propuestos por Robertson, llevaban al ajuste más satisfactorio.
Por simplicidad se decidió adoptar el polinomio a) para la curva de pandeo para las columnas de acero. También se propusieron diferentes valores de α en
función de la forma de la sección y del tipo de acero utilizado.
Por lo tanto, la Comisión 8 del ECCS adoptó como método más adecuado
para el diseño de columnas de acero la fórmula de Dutheil con el polinomio de
Robertson. De esa manera se propusieron 5 curvas que se introducen en el siguiente apartado, en función de 5 valores diferentes de α. A cada perfil de acero
le corresponde un valor concreto de α, y por lo tanto, una curva concreta.
3.4.2.4
Formulación del EC3
En la actualidad, la comprobación de estabilidad de elementos sometido a cargas puramente compresivas según el Eurocódigo 3, se debe realizar mediante el
mismo coeficiente χ que se ha presentado en los apartados precedentes.
Esta norma propone calcular el valor del coeficiente χ y realizar la comparación con la carga de fallo local del acero (Ecuación 3.33), donde Nb,Rd es la resistencia a compresión de diseño, γ es un coeficiente de seguridad que considera la fiabilidad del fabricante y fy es la tensión de fluencia del acero. El coeficiente de pandeo χ se define a partir de la esbeltez reducida. Su valor es 1 para valo-
62
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
res de esbeltez reducida menores que 0’2. Para una esbeltez reducida mayor, χ
se calcula a través de la Ecuación 3.34, donde el valor de φ se obtiene mediante
la Ecuación 3.35. El coeficiente α toma un determinado valor dependiendo de la
geometría de la sección y del tipo de acero que se esté utilizando. (Eurocódigo 3
apartado 6.3.2.2).
N b , Rd =
χ=
1
γ M1
⋅χ ⋅ fyA
1
φ + φ2 −λ
[
2
(3.33)
≤1
φ = 0,5 1 + α (λ − 0,2) + λ
(3.34)
2
]
(3.35)
La Tabla 3.4 presenta los cinco valores del coeficiente, que llevan a las cinco curvas de la Figura 3.22. Estas cinco curvas representan la carga crítica de
una columna comprimida de acero en función de su esbeltez adimensional.
Aunque la formulación utilizada por el Eurocódigo 3 pueda parecer a priori diferente del método de Dutheil, realmente el método reflejado en el Eurocódigo 3 no es más que un caso particular de la formulación de Dutheil. Como ya
se ha comentado anteriormente, el método de Dutheil queda abierto a diferentes formas de representar las imperfecciones, y la formulación del Eurocódigo 3
viene a ser el método de Dutheil con un polinomio K definido según la Ecuación 3.32a.
Curva de Pandeo
a0
a
b
c
d
Coeficiente α
0,13
0,21
0,34
0,49
0,76
Tabla 3.4 – Coeficientes utilizados para definir la curva de pandeo en el Eurocódigo 3.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
63
1,2
Curva a
Coeficiente de pandeo
1,0
Curva a
Curva b
0,8
Curva c
0,6
Curva d
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
Esbeltez reducida
Figura 3.22 – Curvas del Eurocódigo 3 para el diseño de columnas de acero.
3.4.2.5
Formulación del EC5
La norma europea para el diseño de estructuras de madera, Eurocódigo 5, propone el mismo método que el Eurocódigo 3. Sin embargo, para la madera el
valor debajo del cual se considera despreciable la inestabilidad global se considera que debe ser 0,5. Por lo tanto, para el diseño de columnas de madera se
utiliza la fórmula de Dutheil con un polinomio K como el presentado en la
Ecuación 3.36. El método queda definido por las Ecuaciones 3.33 y 3.34, siendo
esta vez el valor de φ el de la Ecuación 3.37. (Eurocódigo 5 apartado 5.2.1).
(
K = α λ − 0,5
[
)
φ = 0,5 1 + α (λ − 0,5) + λ
2
]
(3.36)
(3.37)
En este caso α toma el valor de 0,2 cuando la madera es maciza, y 0,1 si la
madera es encolada.
3.4.3
Trabajos experimentales realizados con columnas pultruidas
Hasta la fecha varios grupos de investigación han realizado trabajos experimentales con diferentes elementos estructurales pultruidos sometidos a cargas compresivas, con el fin de caracterizar su comportamiento. En base a esta experi-
64
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
mentación se ha comprobado la validez de la fórmula de Euler. En general, los
diversos autores han demostrado que la fórmula de Euler es adecuada para
predecir la carga de pandeo en las columnas muy esbeltas. Sin embargo, los
trabajos experimentales que se van a presentar a continuación dejaron en evidencia la necesidad de considerar en el diseño la superposición entre el pandeo
local y el pandeo global. De esta manera, existe una formulación propuesta por
Barbero con la que se modela esta superposición, dando una curva de diseño
válida para todo el rango de esbeltez. Dicha formulación se presenta más adelante en este mismo capítulo.
Autores
Tipo de perfil y proveedor
Barbero
y Tomblin
(1993)
Sección abierta I
Creative Pultrusion Inc
Zureick
y Scott
(1997)
Barbero,
Dede y
Jones
(2000)
Hashem
y Yuan
(2001)
Barbero
y Tomblin
(1994)
Sección abierta I
Sección cerrada “box”
Sección abierta I
Creative Pultrusion Inc
Sección cerrada Universal
Sección cerrada Box
Sección abierta I
Creative Pultrusion Inc
Código
del perfil
Dimensiones
(mm;mm2;mm4)
EI eje débil
(N.m2)
BT-1
102x102, e=6,4
25.371
BT-2
152x152, e=6,4
87.231
BT-3
152x152, e=9,5
125.833
BT-4
102x102, e=6,4
(eje fuerte)
75.314
ZS-1
102x102, e=6,4
23.789
ZS-2
152x152, e=9,5
97.417
ZS-3
76x76, e=6,4
41.120
ZS-4
102x102, e=6,4
100.272
BDJ-1
152x152, e=6,4
89.600
BDJ-2
203x203, e=9,5
380.000
HY-1
S = 8.837
I = 50.106
1.882.425
HY-2
S = 4.668
I = 12.106
286.639
BT94-1
102x102, e=6,4
25.371
BT94-2
152x152, e=6,4
87.231
Tabla 3.5 – Perfiles utilizados por los diferentes autores para el estudio del pandeo de
Euler de columnas pultruidas.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
65
En 1993 Barbero y Tomblin publicaron un trabajo en el que, según los
propios autores, se presentaban los primeros ensayos realizados sobre columnas pultruidas con fallo exclusivamente global. Es decir, consideraban la esbeltez de estas columnas lo suficientemente larga como para no tener en cuenta el
pandeo local.
Barbero y Tomblin ensayaron tres geometrías diferentes de perfiles tipo I,
cuyas dimensiones se muestran en la Tabla 3.5. El método experimental utilizado en este trabajo fue el propuesto por Southwell.
Para realizar los ensayos los autores se apoyaron en el dispositivo experimental de la Figura 3.23. Este dispositivo permite ensayar columnas biarticuladas a compresión pura, desde una longitud de 1,22 metros hasta los 6,10 metros. El pandeo de la columna es obligado en un plano, ya que en el otro plano
los amarres son empotramientos. De esta manera pudieron ensayar las columnas en el plano fuerte y en el débil. Sin embargo, la carga máxima del accionamiento hidráulico era de 500 kN, lo que no fue suficiente para pandear algunos
de los perfiles en su plano fuerte. Por este motivo, algunas columnas no se pudieron ensayar en su plano fuerte.
Figura 3.23 – Dispositivo experimental utilizado por Barbero y Tomblin (1993) para
ensayar columnas pultruídas.
Durante los ensayos, se midió el desplazamiento lateral del centro de la columna y el valor de la carga aplicada en cada momento. El accionamiento
hidráulico ofrecía la posibilidad de realizar el ensayo con control de desplazamiento. Así, en cada ensayo la carga compresiva se aplicó de manera progresiva
hasta llegar a un valor de desplazamiento lateral de L/100, momento en el que
se procedía a la descarga. Esta información fue utilizada para obtener la carga
66
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
crítica de pandeo de cada columna mediante el método de Southwell (Tabla
3.6).
Los resultados experimentales se compararon con la carga crítica de la
fórmula de Euler. Esta comparación también se puede consultar en la Tabla 3.6.
La máxima diferencia entre la carga experimental y la teórica en dicha tabla es
del 6,2 %. Por lo tanto, parece que la fórmula de Euler es adecuada para predecir la carga crítica de estas columnas.
Sin embargo, llama la atención el hecho de que la carga experimental es
siempre menor que la teórica. Es decir, que la fórmula de Euler sobreestima la
capacidad de carga de las columnas a pesar de ser éstas muy esbeltas. Este
hecho puede ser debido a las imperfecciones reales de los perfiles ensayados, o
a que, como se ha comentado anteriormente, la fórmula de Euler no tiene en
cuenta el aporte del fallo local al agotamiento de la columna.
Este trabajo realizado por Barbero y Tomblin demuestra que la fórmula de
Euler puede aplicarse tanto a la pultrusión como al acero, a pesar de la fuerte
ortotropía característica de la pultrusión. Además, aunque no fuera el objetivo
de los autores, muestra la necesidad de una fórmula con la que considerar conjuntamente el fallo local y el pandeo global en las columnas pultruidas.
El siguiente trabajo experimental sobre columnas pultruidas de gran esbeltez lo realizaron Zureick y Scott en el año 1997. Para ese trabajo se ensayaron
un total de 24 columnas pultruidas, con una esbeltez comprendida entre 36 y
103. La mitad de los perfiles utilizados fueron de sección abierta tipo I, y la otra
mitad de sección cerrada tipo “box”. De cada tipo de sección se ensayaron dos
dimensiones diferentes, que se muestran en la Tabla 3.5. En todos los casos la
pultrusión estaba formada a partir de una matriz de viniléster con refuerzo de
fibra de vidrio-E.
El objetivo de este trabajo experimental fue comparar los resultados obtenidos con la fórmula de Euler. Además, los autores quisieron probar también la
validez de la fórmula propuesta por Engesser en 1889, que incluye el efecto del
esfuerzo cortante en el pandeo global (Ecuación 3.38). En esta ecuación ns es el
factor de forma para la cortadura, que es función de la geometría de la sección.
PE −G =
PE
n
P

1 +  s E
AG 

(3.38)
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
Perfil
BT-1A
BT-1B
BT-1C
BT-1D
BT-1E
BT-2A
BT-2B
BT-2C
BT-2D
BT-2E
BT-3A
BT-3B
BT-3C
BT-3D
BT-3E
BT-3F
BT-4A
BT-4B
ZS-1A
ZS-1B
ZS-1C
ZS-1D
ZS-1E
ZS-2A
ZS-2B
ZS-2C
ZS-2D
ZS-2E
ZS-2F
ZS-3A
ZS-3B
ZS-3C
ZS-3D
ZS-3E
ZS-3F
ZS-4A
ZS-4B
ZS-4C
ZS-4D
ZS-4E
Longitud
(m)
4,48
2,98
6,03
3,58
6,03
3,89
4,48
2,43
2,41
2,14
1,83
1,53
2,44
2,44
2,11
1,83
1,53
1,21
2,42
2,44
2,13
1,83
1,51
1,21
2,44
2,44
2,13
1,83
1,51
Carga experimental (kN)
12,04
12,08
27,33
27,84
26,46
22,93
22,77
23,62
65,35
62,96
33,95
33,70
33,00
32,89
78,19
79,42
39,87
40,28
33
34
42
56
79
146
144
187
238
335
494
54
55
76
101
139
210
145
143
179
240
334
67
Carga teórica (kN)
Comentario
12,46
28,11
23,66
67,11
Carga teórica calculada a partir de
la fórmula de Euler.
34,11
82,22
42,28
35
36
47
64
88
154
155
196
272
392
574
63
62
79
109
155
224
151
149
184
257
373
34
36
47
63
86
152
153
192
266
377
542
62
61
78
107
150
214
147
146
178
245
347
Carga teórica a
partir de dos fórmulas diferentes.
El valor de la izquierda corresponde a la fórmula de
Euler, el valor de la
derecha corresponde a la fórmula
de Engesser.
Tabla 3.6 – Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores
en el estudio del pandeo de Euler.
68
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Perfil
BDJ-1A
BDJ-1B
BDJ-1C
BDJ-1D
BDJ-1E
BDJ-1F
BDJ-1G
BDJ-1H
BDJ-1I
BDJ-1J
BDJ-2A
BDJ-2B
HY-1A
HY-1B
HY-1C
HY-1D
HY-1E
HY-1F
HY-1G
HY-1H
HY-1I
HY-1J
HY-1K
HY-1L
HY-2A
HY-2B
HY-2C
HY-2D
HY-2E
HY-2F
Longitud
(m)
1,88
1,98
1,98
1,98
2,18
2,19
2,19
2,26
2,28
2,31
1,9
1,9
2,63
3,85
5,07
6,06
2,63
3,85
Carga experimental
(kN)
175
177
128
143
150
138
154
150
136
127
360
332
1213
1223
1174
1130
1176
1019
773
755
651
509
496
468
460
401
397
209
191
185
Carga teórica (kN)
Comentario
En este trabajo no
se realizó ninguna
comparación con
fórmulas teóricas.
2686
1252
722
505
Carga teórica calculada a partir de
la fórmula de Euler.
409
191
Tabla 3.6 (continuación) - Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores en el estudio del pandeo de Euler.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
Perfil
BT94-1A
BT94-1B
BT94-1C
BT94-1D
BT94-1E
BT94-2A
BT94-2B
BT94-2C
BT94-2D
BT94-2E
BT94-2F
BT94-2G
BT94-2H
BT94-2I
BT94-2J
BT94-2K
BT94-2L
BT94-2M
BT94-2N
Longitud
(m)
1,14
1,47
1,78
1,44
1,75
2,06
2,36
2,67
2,97
3,28
Carga experimental
(kN)
171
162
99
95
72
174
149
157
151
156
137
133
138
117
115
120
99
78
67
69
Carga de
pandeo
teórica
(kN)
Comentario
192
115
79
418
280
203
153
Carga teórica calculada según la
fórmula de Euler.
Estos datos experimentales dieron
lugar a la formulación de Barbero y
Tomblin para el
diseño de columnas pultruidas.
121
97
80
Tabla 3.6 (continuación) - Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores en el estudio del pandeo de Euler.
Figura 3.24 – Resultado del ensayo sobre
muestras de material pultruido para obtener su módulo elástico (Zureick y Scott,
1993).
Figura 3.25 – Resultado del ensayo sobre
muestras de material pultruido para obtener su módulo de cortadura (Zureick y
Scott, 1993).
70
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Para aplicar tanto la ecuación de Euler como la de Engesser, fue necesario
conocer de manera precisa las constantes elásticas del material utilizado. Para
ello los autores realizaron una serie de ensayos sobre muestras extraídas de los
propios perfiles pultruidos. Las muestras eran tiras de 330x25,4 milímetros, con
el mismo espesor que el ala de cada una de las columnas. La Figura 3.24 presenta el resultado de un ensayo a compresión y otro a tracción sobre la misma
muestra. De la gráfica se puede obtener el módulo elástico longitudinal del material. Así mismo, en la Figura 3.25 se observa la gráfica resultante de un ensayo
de cortadura, a partir del cual se consigue el módulo de cortadura del material.
La rigidez lateral, atribuida a cada columna a partir del módulo elástico experimental, se incluye en la Tabla 3.5. El módulo de cortadura resultante de los
ensayos sobre probetas fueron 4,35 MPa, en los perfiles abiertos, y 4,74 MPa en
los perfiles cerrados.
El dispositivo experimental utilizado para los ensayos de columnas (Figura
3.26), permitía amarrar el elemento estructural de manera biarticulada. El plano
de pandeo está obligado por el propio dispositivo experimental, ya que en el
plano perpendicular a las articulaciones la columna está biempotrada. La aplicación de la carga se realizó con control de desplazamiento, a una velocidad
constante de 0,64 mm/min. Durante el ensayo se midió la carga aplicada en
cada momento, junto con el desplazamiento lateral de la sección central de la
columna. La Figura 3.27, por su parte, muestra la gráfica de carga frente a la
deformación resultante del ensayo.
Los autores aplicaron el método de Southwell sobre los datos recogidos en
el ensayo. La Tabla 3.6 muestra las cargas de pandeo resultantes. Entre los ensayos presentados se han eliminado dos columnas, que al ser ensayadas no presentaron una inestabilidad global, posiblemente por alguna imperfección del
material o del dispositivo. La Figura 3.28 presenta los mismos datos experimentales que la Tabla 3.6 de manera gráfica. Se puede observar que la forma adoptada por la carga crítica en función de la esbeltez es parecida a las curvas del
pandeo de las columnas de acero. En la misma Tabla 3.6 se incluyen también las
cargas de pandeo teóricas obtenidas a partir de la fórmula de Euler y la fórmula
de Engesser.
Al comparar los resultados experimentales con los teóricos, los autores
concluyeron que tanto la fórmula de Euler como la de Engesser estaban lo suficientemente cerca del valor real como para ser consideradas válidas. Esto es
debido a que las columnas ensayadas eran de elevada esbeltez. Sin embargo, en
todos los casos la carga crítica teórica era superior a la experimental. Por lo tanto estas fórmulas tampoco están por el lado de la seguridad.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
71
Figura 3.26 – Dispositivo experimental utilizado por Zureick y Scott (1993) para ensayar columnas pultruidas.
Figura 3.27 – Gráfica de carga frente a
desplazamiento resultante del ensayo
sobre una columna pultruida de Zureick
y Scott (1993).
Figura 3.28 –Resultados experimentales de
columnas pultruidas de Zureick y Scott
(1993).
72
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
En el año 2000 Barbero, Dede y Jones analizaron de manera experimental
la interacción entre el pandeo local y el global de las columnas pultruidas. El
dispositivo experimental utilizado para ello fue el mismo que Barbero y Tomblin en 1993. Los perfiles eran de sección abierta, con las dimensiones que se
presentan en la Tabla 3.5. De estos dos perfiles, se ensayaron 10 columnas del
de menor sección, y 2 columnas del de mayor sección.
Los autores propusieron obtener las propiedades elásticas del material a
partir de la información del material y la arquitectura interna suministrada por
el fabricante. En caso de no disponer de esta información, propusieron realizar
un ensayo de compresión sobre una columna muy esbelta, y a partir de la carga
crítica experimental obtener el producto EI, aplicando la fórmula de Euler.
La novedad introducida en este ensayo consistió en la aplicación de la técnica denominada Shadow Moiré (Schwarz 1988), que sirve para medir el desplazamiento lateral de una superficie sin ejercer ningún contacto sobre ella. Esta
técnica consiste en proyectar, gracias a una luz oblicua, una rejilla sobre la superficie analizada. De esta manera se dibuja en la superficie una sombra con la
misma forma de la rejilla. Cuando la superficie analizada se deforma lateralmente, se producen unos flecos en la rejilla creada por la sombra. Si se utiliza
una cámara de vídeo se puede detectar y medir la aparición de flecos, y en función de la longitud de estos flecos, se sabe la deformación que ha sufrido la superficie.
En el caso del ensayo sobre una columna pultruida, la aparición de esos
flecos indica la presencia de bucles, y por la tanto, la existencia del pandeo local.
Así, combinando la medida del desplazamiento lateral de la columna, que indica el pandeo global, con la información del Shadow Moiré, los autores estudiaron columnas de esbeltez crítica para determinar la importancia de la superposición de efectos. El propio Barbero, junto con Turk (2000), aplicó esta técnica
óptica en otros ensayos de carga excéntrica sobre columnas pultruidas. En dicho artículo también se explica de manera extensa la técnica Shadow Moiré.
Las cargas de pandeo global resultantes en los ensayos realizados por Barbero, Dede y Jones se muestran en la Tabla 3.6.
Como conclusión del trabajo realizado, Barbero, Dede y Jones observaron
que, en las columnas de esbeltez reducida cercana a la unidad, la carga crítica
experimental era claramente más baja que la carga teórica de pandeo local o
global.
Este hecho queda demostrado por las columnas número BDJ-1E, F, G, H I y
J. La esbeltez reducida de estas columnas es cercana a la unidad, es decir, se
encuentran en la zona de máximo solape entre el pandeo local y el global.
Además, su carga de pandeo local es de 170 kN. Sin embargo, los valores de
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
73
carga experimental mostrados en la Tabla 3.6 son desde un 10 % hasta un 20 %
menor que la carga de pandeo local.
Por otro lado, las mediciones realizadas por el método de Shadow Moiré
demostraron que en estas columnas, aunque visualmente pareciera que el pandeo era exclusivamente global, ya había comenzado también el pandeo local.
Por lo tanto, tras este trabajo los autores consideraron demostrada la importancia de las curvas de interacción entre el pandeo local y el global en el diseño de
columnas.
Al año siguiente Hashem y Yuan (2001) realizaron un amplio trabajo experimental, cuyo objetivo era intentar establecer el valor de esbeltez que separa la
tendencia al pandeo local o al global en una columna pultruida. Para ello ensayaron columnas tipo “box” y “universal”, cubriendo una gama muy amplia de
longitudes. Los perfiles utilizados llevaban un refuerzo de fibra de vidrio, siendo la matriz de viniléster, en el caso de los perfiles “universal”, y de poliéster,
en los perfiles “box”.
Este trabajo es complementario al artículo publicado por los mismos autores en el año 2000, que se ha comentado en apartado dedicado al pandeo local.
De hecho, el dispositivo experimental utilizado es el mismo, y los ensayos de las
columnas más cortas considerados aquí se han presentado ya en el anterior
apartado. Además, los perfiles ensayados tienen la misma sección que los de la
Figura 3.15, siendo en este caso de mayor longitud.
Los ensayos de columnas cortas realizados en el 2000 por los mismos autores fueron utilizados para obtener las propiedades elásticas globales. La Figura
3.31 y la Figura 3.32 muestran el desplazamiento axial frente a la carga compresiva medido en las columnas cortas. De estas gráficas es sencillo obtener el valor
del módulo elástico global del perfil. La Tabla 3.5 presenta la rigidez lateral
atribuida a cada sección.
Para el estudio de todo el rango de esbeltez, los autores ensayaron columnas desde 2,63 metros hasta 3,85 metros de longitud. Todas estas columnas se
ensayaron biarticuladas. La Figura 3.29 y Figura 3.30 presentan una columna
sin ninguna carga aplicada y otra columna curvada durante el ensayo a compresión, respectivamente. Los resultados de los ensayos, así como las longitudes
de los perfiles ensayados, se muestran en la Tabla 3.6. La Figura 3.33 muestra
las curvas de carga frente a flecha de la sección central de cada columna. En dicha gráfica se puede apreciar claramente la aparición del pandeo global por el
cambio repentino de pendiente. Además, se observa que, especialmente en las
columnas muy esbeltas, la rigidez posterior al pandeo es casi nula.
Para establecer el límite entre la tendencia al pandeo local o global de estas
columnas, Hashem y Yuan, dibujaron los resultados experimentales de todas
las longitudes de columnas (Figura 3.34). Sobre esa gráfica dibujaron la curva
74
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
de pandeo de Euler, y observaron que tanto los perfiles “universal” como los
“box” se juntaban a la curva de Euler en un valor de esbeltez de 50. A partir de
dicho punto el comportamiento experimental se ajustaba de manera bastante
precisa a la curva de Euler.
En las conclusiones de este trabajo, Hashem y Yuan afirmaron que otros
trabajos anteriores también habían señalado valores cercanos a 50 como esbeltez
límite. Por lo tanto, concluyen que parece razonable considerar que a partir del
valor 50 de esbeltez las columnas pultruidas se comportan según el pandeo de
Euler.
Figura 3.29 – Columna “universal” preparada para el ensayo de compresión (Hashem y
Yuan 2001).
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
75
Figura 3.30 - Columna “universal” durante el ensayo de compresión de Hashem y Yuan
(2001).
Figura 3.31 –Medida del módulo elástico a
partir de ensayos sobre columnas cortas
tipo “universal” (Hashem y Yuan 2001).
Figura 3.32 –Medida del módulo elástico a
partir de ensayos sobre columnas cortas
tipo “box” (Hashem y Yuan 2001).
76
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Figura 3.33 – Resultados experimentales
de todas las columnas ensayadas por Hashem y Yuan (2001).
3.4.4
das
Figura 3.34 – Resultados experimentales
de Hashem y Yuan (2001) solapados con
la curva de Euler.
Método de Barbero para el pandeo de Euler de columnas pultrui-
En la actualidad existe una formulación propuesta para el diseño de perfiles
pultruidos ante el pandeo de Euler. Dicha formulación fue realizada por Barbero, y es considerado por todos los autores como el método de referencia. La
propuesta de Barbero está basada en el método para el pandeo de columnas de
madera realizado anteriormente por Zhan. A su vez, este método para la madera se desarrolló a partir de la ecuación propuesta por Ylinen, que considera la
interacción entre el fallo local y el pandeo de Euler en un elemento estructural.
Por lo tanto, la formulación de Barbero es, en realidad, una adaptación de la
ecuación de Ylinen al comportamiento de los perfiles pultruidos, tal y como
hiciera Zhan al adaptarla a la madera.
En un trabajo publicado en el año 1992, Zhan explicó que finalmente se
había adoptado la formulación de Ylinen (1956) para el diseño de columnas de
madera en los Estados Unidos. Según Zhan, de esta manera se cambiaba el enfoque con el que se trataba el pandeo de Euler, especialmente en las columnas
de longitud intermedia. Anteriormente, se habían considerado ecuaciones empíricas que expresaban la capacidad de carga de la columna en función de su
esbeltez. A partir de la fórmula de Ylinen se adoptó un nuevo punto de vista,
considerando que la forma de la curva de diseño en realidad representaba la
interacción entre el fallo local y el pandeo global del elemento estructural.
Una importante ventaja de la fórmula de Ylinen es que engloba en una sola
ecuación los diferentes comportamientos que puede tener una columna en todo
el rango de esbeltez. Las formulaciones empíricas utilizadas anteriormente requerían de tres ecuaciones separadas; una para las columnas cortas, otra para
las intermedias y otra para las largas. Además, este tipo de formulación, tal y
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
77
como se mostrará más adelante, permite ajustar con un solo parámetro el grado
de interacción existente entre el fallo local y el pandeo global. Esta característica
hace que el método sea fácil de ajustar al comportamiento de diferentes materiales.
3.4.4.1
Fórmula de Ylinen
El punto de partida de la fórmula de Ylinen es considerar el agotamiento del
elemento estructural debido al fallo local y al pandeo global. Esta superposición
de efectos se consigue mediante la Ecuación 3.39:
P P
+
=1
PL PE
(3.39)
En realidad esta ecuación indica el límite de carga axial que puede soportar
una columna por la interacción de ambos efectos. Es decir, los valores de carga
axial que llevan a que la suma de ambos efectos sea mayor que 1 no pueden ser
soportados por la columna. Gráficamente puede representarse la zona de valores de carga axial permitida, dibujando como límite superior la curva expresada
por esta ecuación (Figura 3.35).
Figura 3.35 – Representación de las rectas básicas de superposición de efectos junto
con los datos experimentales de columnas de madera.
78
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Sin embargo, para la mayoría de los materiales, se ha comprobado que este
límite superior resulta excesivamente conservador. En la propia Figura 3.35 están representados los datos experimentales utilizados por Zhan para ajustar
esta fórmula al comportamiento de la madera. Estos datos experimentales provienen de ensayos realizados sobre columnas de madera de diferentes rangos
de esbeltez. Tal y como muestra la figura, si se utiliza como límite superior del
diseño la curva de la Ecuación 3.39, se están dejando de considerar como válidos muchos valores de carga que el trabajo experimental ha demostrado que
son reales.
Por lo tanto, surge la necesidad de ajustar la Ecuación 3.39 al comportamiento empírico observado. Existen diferentes maneras de realizar dicho ajuste.
En general, se busca subir el valor de la curva límite en la zona central de la gráfica, es decir, donde el valor de ambos sumandos de la Ecuación 3.39 es parecido. Esa zona central corresponde a los elementos con una esbeltez tal que la
carga crítica de Euler (PE) es parecida a la resistencia de la sección (PL). De esta
manera, en esa zona P/PL y P/PE tienen un valor cercano, lo que supone que
aportan lo mismo al agotamiento de la capacidad de carga total del elemento
estructural.
Entre las diferentes maneras de ajustar esa curva a la realidad, Ylinen propuso utilizar el producto cruzado. Este método lleva a un buen ajuste de la realidad de manera sencilla. Al introducir el producto cruzado se llega a la expresión de la Ecuación 3.40.
P P
P P
+
= 1+ c
PL PE
PL PE
(3.40)
En esta nueva formulación aparece el coeficiente de ajuste c, también denominado coeficiente de interacción. Este coeficiente define el grado de interacción existente entre el fallo local y el pandeo global. Así, mediante este coeficiente se puede conseguir que la curva se ajuste al comportamiento observado
experimentalmente en un determinado material.
Cuando el coeficiente de ajuste toma un valor c = 0 se llega a la Ecuación
3.39, que como ya se ha comentado es demasiado conservadora. En el caso de
utilizar un coeficiente c = 1, la Ecuación 3.40 se puede reordenar en las expresiones presentadas en la Ecuación 3.41 y 3.42.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler

P P
P
P
1 −  +
= 1 ⇒ 1 −
PL  PE
 PE  PE
P
1−
PE
P
P
=
= 1; ∀
P
PL
PE
1−
PE
P
PL
79

P
 = 1 −
⇒
PE

P P
P
P
P
P
+ 1 −  = 1 ⇒ 1 −  = 1 −
⇒
PL PE  PL 
PE  PL 
PL
P
1−
PL
P
P
=
= 1; ∀
P
PE
PL
1−
PL
(3.41)
(3.42)
Al utilizar un valor de c =1 para el coeficiente de ajuste, se ha llegado a dos
rectas desvinculada la una de la otra. Las rectas son P/PL =1 y P/PE =1, que serían los extremos superior y derecho de la gráfica de la Figura 3.35. Evidentemente, delimitar la zona de carga axial admisible con estas dos curvas es una
aproximación demasiado generosa.
En realidad, con el coeficiente c = 1 se está considerando que no existe interacción alguna entre el fallo local y el pandeo global. Es decir, se supone que
la columna es capaz de soportar toda la carga que lleva a la sección al límite de
su resistencia, y al mismo tiempo es capaz de soportar toda la carga hasta el
límite del pandeo de Euler. Evidentemente esto no es cierto, y por lo tanto el
coeficiente c debe tomar valores menores que 1.
Reordenando la Ecuación 3.40 se llega a la Ecuación 3.43, que es la expresión más común de presentar la fórmula de Ylinen. El coeficiente c debe tomar
valores comprendidos entre 0 y 1. Como se ha indicado, el valor c = 0 lleva a
una curva demasiado conservadora, mientras que el valor c = 1 considera que
no existe interacción entre el fallo local y el pandeo global.
2
P + PE
 P + PE  PL PE
−  L
P= L
 −
2c
c
 2c 
(3.43)
Zhan también apuntó que este tipo de formulación podía ser utilizada para
modelar una viga sometida de manera simultánea a tensiones locales, debido a
un momento flector, y a la inestabilidad global, debida al pandeo lateral. En
dicho caso, se partiría de la Ecuación 3.44 para llegar a la expresión de la Ecuación 3.45. En estas expresiones ML es el momento flector que lleva al pandeo
80
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
local de la sección, y Mcr es el momento crítico que lleva a la inestabilidad global
de la viga.
M
M
M M
+
= 1+ c
M L M cr
M cr M cr
(3.44)
2
M=
M L + M cr
 M + M cr  M L M cr
−  L
 −
2c
2c
c


(3.45)
Al modelar una columna o una viga, el coeficiente c debe ser ajustado empíricamente. Para realizar dicho ajuste conviene utilizar elementos estructurales
con esbeltez intermedia, es decir, utilizar columnas o vigas en las que el acoplamiento entre el fallo local y el pandeo global es máximo.
3.4.4.2
Ajuste de la fórmula de Ylinen para la madera
Al proponer este modelo para la madera, Zhan llegó a establecer el valor de c
que mejor se ajustaba al comportamiento de la madera estructural, según los
trabajos experimentales sobre columnas realizados hasta ese momento. Para
ello despejó el valor de c llegando a la Ecuación 3.46.
c=
PL PE PL PE
+
+ 2
P P
P
(3.46)
Conociendo la geometría y las propiedades resistentes del material se calculan fácilmente los valores de PL y PE. Además, para cada elemento ensayado
se ha obtenido una carga de rotura experimental (P), y por lo tanto, un valor de
c.
En el caso de la madera, Zhan propuso el valor c = 0,8 como mejor ajuste a
la experimentación utilizada. Con ese valor llegó a la gráfica mostrada en la
Figura 3.36. En esta gráfica se ha dibujado el valor de la carga a la que falla una
columna en relación a la carga de fallo local (P/PL). Además, se ha utilizado la
esbeltez reducida definida en el apartado dedicado a la formulación de Euler.
En la gráfica de la Figura 3.36 se observa que la curva de Ylinen, con el coeficiente propuesto por Zhan, sigue la forma marcada por la experimentación
sobre columnas de madera.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
81
Figura 3.36 – Curva de Ylinen ajustada para las columnas de madera (Zhan 1992).
3.4.4.3
Fórmula de Barbero y Tomblin
Realizando un desarrollo muy parecido al de Zhan, en el año 1994 Barbero y
Tomblin presentaron un trabajo experimental, a partir del cual ajustaron la
formulación de Ylinen a las columnas pultruidas.
Gracias al comportamiento observado en ensayos anteriores, Barbero y
Tomblin habían establecido que la fórmula de Euler era adecuada para el cálculo de columnas pultruidas muy esbeltas, a pesar del carácter fuertemente anisótropo de este material. Sin embargo, consideraban que el pandeo local era el
modo de fallo más habitual en las columnas poco esbeltas. Además, también
indicaron que, en la esbeltez intermedia, las columnas eran capaces de soportar
una carga bastante menor que la carga de pandeo establecida por Euler, o la
carga de pandeo local.
Como consecuencia, Barbero y Tomblin apuntaban la necesidad de una
formulación que tuviera en cuenta la superposición del fallo local y el pandeo
de Euler. Con esa formulación se conseguiría una única curva para predecir la
capacidad de carga de una columna pultruida, independientemente de su esbeltez.
Como punto de partida se utilizó la fórmula de Ylinen de la misma manera
que Zhan para la madera. En este caso, la Ecuación 3.43 fue reordenada de la
manera que se muestran las Ecuaciones 3.47 y 3.48, utilizando la expresión de
esbeltez reducida que se ha empleado a lo largo de este capítulo (Ecuación
3.23).
82
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Pcr = q ⋅ PL
2
1+ 1 2 
λ − 
λ  − 1
2
2c
 2c  c λ


1+ 1
q=
(3.47)
2
(3.48)
Para realizar el cálculo de la carga crítica es necesario conocer la esbeltez
reducida del perfil, donde entran en juego sus dimensiones, su carga de pandeo
local y algunas propiedades elásticas tales como la rigidez lateral. Según Barbero y Tomblin, la rigidez lateral del elemento estructural se puede calcular a partir de las características elásticas aportadas por el fabricante de perfiles.
En este trabajo el ajuste del parámetro c se realizó en base a un trabajo experimental propio realizado sobre perfiles de diferentes longitudes. Dentro del
rango de longitudes utilizadas se intentó incluir aquellas que llevan a una carga
crítica de Euler cercana a la carga de pandeo local, tal y como indicó Zhan que
debía hacerse. En esos casos la esbeltez reducida es la unidad. Por lo tanto esa
longitud se calcula según la Ecuación 3.49, que proviene de la Ecuación 3.23:
λ =1⇒ L =
EIπ 2
PL
(3.49)
Sin embargo, sólo fue posible conseguir esta longitud en los perfiles de
mayor sección, ya que la longitud necesaria en los otros perfiles era demasiado
baja para ser ensayada en el dispositivo experimental utilizado.
Los ensayos se realizaron sobre perfiles equivalentes a los utilizados por
los propios Barbero y Tomblin en 1993. Por lo tanto, se ensayaron columnas
tipo I de ala ancha y de dos geometrías diferentes. La Tabla 3.5 muestra tanto
las dimensiones de las secciones como los valores de rigidez lateral utilizados
por los autores para calcular la carga de pandeo de Euler. Se ensayaron 5 elementos del perfil de menor sección, y 14 del perfil de mayor sección.
Todos los ensayos se llevaron a cabo en condiciones de columna biarticulada, y con control de desplazamiento sobre el accionamiento que aplica la carga compresiva. Además de la carga aplicada, se midieron la flecha de la sección
central de la columna y su desplazamiento axial. Cada columna se llevó hasta
su estado de carga última, considerando como resultado del ensayo la carga
máxima medida a lo largo de éste.
La Tabla 3.6 muestra los resultados obtenidos en los ensayos realizados sobre ambos perfiles, y la longitud de la columna en cada ensayo, siempre cercana
a la longitud crítica calculada según la Ecuación 3.49.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
83
A la vista de los resultados se comprueba que los perfiles con una esbeltez
relativa cercana a la unidad fallaron con una carga claramente menor que la del
fallo local y la de pandeo global. Además, Barbero y Tomblin apuntaron que en
la ejecución de los ensayos los elementos estructurales presentaron bucles característicos del pandeo local de manera conjunta con la deformación lateral típica
del pandeo de Euler. Este comportamiento confirma la aparición simultánea del
pandeo local y el global.
La Figura 3.37 muestra una gráfica en la que se representan los valores
P/PL frente a P/PE de la experimentación. La curva que indican los puntos es
comparable a la forma conseguida con la formulación de Ylinen. Por lo tanto, es
suficiente con ajustar el coeficiente c a los datos experimentales de los perfiles
pultruidos.
Figura 3.37 – Resultados experimentales de Barbero y Tomblin (1994) junto a la curva
de Ylinen con un coeficiente c = 0,84.
Utilizando la Ecuación 3.46 para calcular el valor de c en cada uno de los
ensayos realizados, los autores llegaron a una media de c = 0,85 para los perfiles
anchos, y c = 0,83 para los finos. En ambos grupos de perfiles la dispersión del
parámetro c era muy baja, lo que indica que puede ser independiente de las dimensiones del perfil.
84
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Como consecuencia los autores propusieron el valor c = 0,84 como coeficiente de ajuste para utilizar la formulación de Ylinen en las columnas de pultrusión. La Figura 3.38 muestra la curva de Ylinen con un coeficiente de ajuste c
= 0,84 junto a los resultados experimentales de Barbero y Tomblin. En la misma
gráfica se han incluido resultados experimentales de otros trabajos similares.
Como se puede comprobar, la curva propuesta sigue de manera bastante precisa la forma indicada por los resultados experimentales.
Finalmente, Barbero y Tomblin indicaron que, según la formulación propuesta, en una esbeltez reducida de valor unitario, la reducción de la carga considerando la interacción entre el pandeo local y el global era el 25 % de la carga
de cada uno de los fenómenos por separado.
Figura 3.38 – Comparativa de la curva de Barbero y Tomblin (1994) junto a varios resultados experimentales.
3.4.4.4
Coeficiente de ajuste para el diseño
A la hora de realizar un diseño estructural no es suficiente con utilizar una curva con valores que sean cercanos a los experimentales. Una curva de diseño debe proveer de valores que, además de ser cercanos a los reales, estén siempre
debajo de ellos. Así, se garantiza que el diseño realizado con esta curva está por
el lado de la seguridad, ya que la estructura real soporta cargas mayores que las
de diseño.
En un trabajo publicado en el año 1999, Barbero y De Vivo propusieron un
coeficiente de ajuste más conservador que el establecido inicialmente por Barbero y Tomblin. El objetivo de este coeficiente fue conseguir una curva orientada
al diseño estructural. Esta nueva curva está debajo de la propuesta por Barbero
y Tomblin, ya que se ajustó garantizando que todos los datos experimentales
propios y de otros autores quedarán encima de ella.
3.4 Antecedentes sobre el pandeo de Euler
85
Para calcular el coeficiente de interacción, Barbero y De Vivo utilizaron datos experimentales de otros trabajos ya introducidos en el presente capítulo:
Barbero, Dede y Jones (2000), Barbero y Tomblin (1994), Barbero y Trovillion
(1998) y Zureick y Scott (1997). A estos datos les añadieron la información publicada por Brown, Mottram y Anderson en 1998. La Figura 3.39 muestra todos
estos datos experimentales dibujados en la gráfica del coeficiente de pandeo
frente a la esbeltez reducida.
Figura 3.39 – Datos experimentales utilizados por Barbero y De Vivo (1999) para ajustar la curva de diseño.
A partir de estos datos los autores probaron diferentes valores de c, hasta
llegar a c = 0,65, valor con el cual la curva de diseño se convierte en una envolvente inferior a todos los resultados. La Figura 3.39 también muestra la curva
propuesta por Barbero y Tomblin con el nuevo coeficiente de ajustes. Sin embargo, parece que algunos datos experimentales todavía quedan debajo de la
nueva curva de diseño.
Resumen: situación actual del pandeo de Euler en columnas pultruidas
La experimentación realizada por diferentes autores ha demostrado, en primer
lugar, que la fórmula de Euler es aplicable también a las columnas pultruidas, a
pesar de la fuerte anisotropía que éstas presentan. Para aplicar la fórmula de
Euler a las columnas pultruidas es suficiente con obtener la rigidez lateral global del elemento, para lo que se utilizan métodos experimentales o modelos
basados en la arquitectura interna del material.
86
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
El siguiente paso en el estudio de las columnas pultruidas ha sido analizar
la aportación del pandeo local a su agotamiento. Así, se conocen varios trabajos
experimentales centrados en perfiles cuya esbeltez lleva a que la superposición
entre el pandeo local y el global sea máxima. Como consecuencia de estos trabajos, Barbero y Tomblin (1994) propusieron una formulación que tenía en cuenta
esta superposición de efectos. Dicha formulación ha quedado como el único
método para el diseño con columnas pultruidas validado hasta la fecha. Posteriormente Barbero y De Vivo (1999) reajustaron el coeficiente de interacción de
ese método, consiguiendo una nueva curva que estuviera del lado de la seguridad. Sin embargo, estas propuestas no han sido aún suficientemente contrastadas con medidas experimentales procedentes de diferentes experimentos.
Uno de los objetivos de la presente tesis es desarrollar un método de diseño de columnas pultruidas análogo al empleado por el Eurocódigo para el acero. Dicha propuesta se presenta en el Capítulo 6.
3.5
ANTECEDENTES SOBRE EL PANDEO LATERAL
El fenómeno del pandeo lateral es aún objeto de investigación en materiales
isótropos como el acero. Por ello, puede parecer un reto demasiado ambicioso, a
día de hoy, intentar establecer métodos de diseño frente al pandeo lateral de
vigas pultruidas.
Sin embargo, la importancia de este fenómeno en los materiales compuestos es elevada. El material es altamente ortótropo, y eso hace que la rigidez lateral sea baja. Así el pandeo lateral tiene una presencia importante en este tipo de
vigas. Además, los trabajos experimentales realizados sobre vigas de material
compuesto son de gran interés, tanto para el campo de los materiales compuestos como en los materiales clásicos, donde los ensayos escasean debido a la dificultad de obtener un pandeo lateral en ese material más rígidos.
En los últimos años, se han propuesto algunos modelos teóricos de comportamiento de vigas de material compuesto ante el pandeo lateral. En esos
modelos, al igual que sucede en el acero, se utilizan las teorías clásicas de Vlasov (1961) y Timoshenko y Gere (1961) para resolver el estado energético del
sistema. Así, los trabajos teóricos se han centrado principalmente en extender
las formulaciones de los materiales isótropos a los materiales ortótropos.
En 1994, Barbero y Raftoyiannis publicaron un trabajo teórico en el que
analizaron, mediante la energía potencial, el pandeo lateral de vigas pultruidas.
El objetivo de este trabajo fue analizar la influencia de la cantidad de fibra y su
orientación en el fenómeno estudiado. En dicha publicación llama la atención la
introducción del pandeo “distorsional”, que los propios autores definieron como la superposición entre el pandeo local y el lateral. Sin embargo, este concepto no parece haber sido tratado en publicaciones posteriores. Un año más tarde,
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
87
en 1995, Pandey, Kabir y Sherbourne analizaron el pandeo lateral de vigas pultruida de sección abierta, con el objetivo de conocer la orientación de fibra que
mejora su resistencia ante el pandeo lateral.
Unos años más tarde, en el 2001, Kóllar presentó un análisis para el pandeo
flexo-torsional de columnas de pared delgada y sección abierta de material
compuesto. En ese trabajo Kóllar modificó la teoría clásica de Vlasov, incluyendo la cortadura transversal y la deformación a cortadura inducida por el alabeo
impedido. Al año siguiente, en el 2002, Sapkás y el propio Kóllar analizaron la
estabilidad de una viga de material compuesto ante el pandeo lateral como continuación a su anterior trabajo. Concretamente, estudiaron la viga biarticulada y
la viga en voladizo con diferentes combinaciones de carga. Como conclusión de
este trabajo, Sapkás y Kóllar introdujeron el error derivado de despreciar el
efecto de cortadura. También demostraron que este error era especialmente elevado en los materiales ortótropos. También en el año 2001 Hodges y Peters
propusieron una formulación para vigas en voladizo de material compuesto. En
dicha formulación se incluían los efectos de Vlasov, el acoplamiento elástico y
las deformaciones previas a la aparición del pandeo. La función propuesta fue
validada mediante algunos resultados numéricos de la ecuación exacta.
Varios trabajos posteriores han desarrollado modelos en elementos finitos
para predecir el momento crítico de pandeo lateral. Lee y Kim (2001) propusieron un modelo para las secciones abiertas tipo I basado en la teoría clásica de
las láminas. Lee, Kim y Hong (2002) extendieron el mismo modelo para varias
combinaciones de carga. Y Lee y Kim (2002) obtuvieron un modelo equivalente
al anterior aplicado a secciones abiertas tipo U. Finalmente, Lee (2006) desarrolló un modelo de elementos finitos unidimensional con el que analizar el pandeo lateral de vigas de sección arbitraria, abierta y monosimétrica. En los cuatro
trabajos citados anteriormente los modelos desarrollados se utilizaron para estudiar la influencia de diversos factores en el pandeo lateral. Por ejemplo, se
estudiaron la influencia de la altura a la que se aplica la carga, o la influencia de
la arquitectura interna del material compuesto.
Todos los trabajos mencionados proponen modelos demasiado extensos y
complicados para ser aplicados como método de diseño. Por este motivo, existe
una serie de trabajos experimentales sobre vigas pultruidas que buscan validar
modelos para el diseño más sencillos.
El primer trabajo experimental sobre el pandeo lateral con materiales compuestos publicado fue el de Mottram (1992). En aquella publicación Mottram
puso de manifiesto las limitadas herramientas existentes en 1992 para el diseño
de vigas de material compuesto. En Europa sólo existían modelos isótropos
desarrollados para el acero, mientras que en Estados Unidos los modelos para
los materiales compuestos utilizaban factores de seguridad demasiado elevados, porque estaban poco contrastados experimentalmente.
88
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Más concretamente, la formulación europea que Motram analizó era la
propuesta del EC3, en su versión de 1992, para el diseño de vigas de acero ante
el pandeo lateral. La formulación utilizada en dicha normativa tenía origen en
la teoría de Timoshenko y Gere (1963). Esta formulación resulta bastante complicada de aplicar, ya que incluye inercias al alabeo y a la torsión. Los prontuarios de acero acostumbran a incluir esta información, pero entre los proveedores de perfiles pultruidos no se suele incluir esta información, y el cálculo queda
en manos del diseñador. Además, esta expresión se apoya en unos coeficientes
que dependen de las condiciones de contorno y de la distribución del momento
flector a lo largo de la viga. La utilización de estos coeficientes resulta tediosa en
la práctica. De hecho, en la actualidad se ha retirado esta formulación del EC3, y
se deja en manos del usuario el cálculo del momento crítico de cada viga concreta. Así, el diseñador debe decidir entre utilizar esta fórmula o algún modelo
de elemento finitos.
Además, las formulaciones para calcular el momento crítico de las vigas de
acero requieren del valor de unas constantes elásticas, que en la práctica no resultan tan sencillos de definir para los materiales ortótropos. Los elementos estructurales pultruidos, además de ser ortótropos, pueden tener diferentes valores de las mismas propiedades elásticas al flectar en diferentes planos.
También debe tenerse en cuenta el hecho de que el cálculo del momento
crítico de una viga no es suficiente para conocer su comportamiento ante el
pandeo lateral. Al igual que en al pandeo a flexión, al fallo por inestabilidad
global debe añadírsele la aportación del mecanismo de fallo local. El cálculo
exclusivo del momento crítico es aplicable sólo a perfiles muy esbeltos, donde la
aportación del fallo local es despreciable.
Entre los diferentes manuales para el diseño con perfiles pultruidos suministrados por empresas productoras estadounidenses, la única que abordaba el
fenómeno del pandeo lateral era el manual de diseño de la Morrison Molded
Fiber Glass Company. El manual incluía, en forma de tablas, los valores del
momento flector uniforme que podía soportar cada uno de sus perfiles frente al
pandeo lateral.
Para desarrollar esa tabla se realizaron muchas simplificaciones sobre la
formulación de Timoshenko y Gere. Las constantes elásticas de los materiales se
obtuvieron a partir de trabajos experimentales, pero esta información no se hizo
pública. Además, para cubrir las inexactitudes acumuladas, el manual proponía
aplicar un coeficiente de seguridad de 2,5. Todos estos factores hacen que estas
tablas, que sólo pueden ser utilizadas en los perfiles propios de MMFG, no sean
excesivamente fiables en la práctica.
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
Autores
Mottram
(1992)
Brooks y
Turvey
(1995)
Turvey
(1996)
Tipo de
perfil y
proveedor
Sección
abierta I.
MMFG
Sección
abierta I.
MMFG
Láminas.
MMFG
Davalos,
Qiao y
Salim
(1997)
Sección
abierta I
Creative
Pultrusion
Inc
Qiao,
Zou y
Davalos
(2003)
Sección
abierta I
Creative
Pultrusion
Inc
Shan y
Qiao
(2005)
Sección
abierta U
Creative
Pultrusion
Inc
89
Código
del perfil
Dimensiones
(mm)
E
(GPa)
G
(GPa)
M
102x51, e=6,4
22,47
1,23
BT
102x51, e=6,4
21,01
1,37
T-1
6,3x40
T-2
6,3x60
T-3
6,3x80
13,31
1,95
T-4
6,3x100
DQS-1
Pultrusión
básica
DQS-2
Pultrusión
reforzada
304x304, e=12,7
---
---
QZD-1
203x102, e=9,34
---
---
QZD-2
152x75, e=9,34
---
---
QZD-3
102x102, e=6,25
---
---
QZD-4
152x152, e=9,34
---
---
SQ-1
102x22, e=6,34
---
---
SQ-2
152x9,53, e=6,34
---
---
SQ-2
152x7,94, e=9,53
---
---
Tabla 3.7 – Perfiles utilizados por los diferentes autores para el estudio del pandeo
lateral.
El trabajo publicado por Mottram también contenía una parte experimental
que incluía dos tipos de ensayos: los primeros para determinar algunas constantes elásticas de la sección, y los segundos para obtener la carga crítica de pandeo
lateral. Las dimensiones de las vigas empleadas en estos ensayos se muestran
en la Tabla 3.7.
Las constantes elásticas de la sección se lograron a partir del ensayo de
flexión en 3 puntos sobre vigas cortas biempotradas. Los resultados obtenidos
90
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
se muestran en la Tabla 3.7. Como es habitual, estos valores resultaron ser mayores que los valores de rigidez suministrados por el fabricante.
Para los ensayos de pandeo lateral se utilizó la misma configuración de
flexión en 3 puntos. En este caso las vigas eran más largas que en los ensayos
anteriores, y los apoyos eran articulaciones. De esta manera la esbeltez de las
vigas ensayadas en este apartado era elevada. También se puso especial cuidado en dejar libre el alabeo y la torsión de la sección en la que se aplica la carga.
Sin embargo, en las articulaciones laterales se impidió la torsión mediante unas
barras laterales que no impedían ningún otro movimiento de la sección. En total
se ensayaron 34 vigas de 1,5 metros de longitud. La Tabla 3.8 presenta todos
estos resultados.
Por causas que Mottram no llego a explicar, las vigas ensayadas pandearon
lateralmente describiendo diferentes deformadas. En algunos casos el ensayo
llevó al primer modo de pandeo, y en otros casos, aunque las vigas fueran de la
misma longitud, se llegó al segundo o incluso al tercer modo de pandeo. Como
consecuencia de esto, los resultados resultaron poco repetitivos. La carga crítica
en las vigas que fallaron según el tercer modo de pandeo es mucho mayor que
la de las vigas que fallaron según el primer modo de pandeo. Todos los resultados experimentales se muestran en la Tabla 3.8.
Aunque el trabajo experimental resultó ser demasiado sensible a las características iniciales de cada viga, estos ensayos sirvieron como inicio de una serie
de trabajos experimentales sobre pandeo lateral de vigas pultruidas realizados
por otros grupos de investigación.
En el año 1995 Brooks y Turvey realizaron otro trabajo experimental de
pandeo lateral sobre vigas pultruidas. Los perfiles utilizados eran de sección
tipo I con las dimensiones nominales mostradas en la Tabla 3.7. En este caso
también fue necesario realizar experimentos adicionales para conocer las constantes elásticas del material utilizado.
Primero se llevaron a cabo ensayos de tracción y compresión sobre muestras de 200 x 20 milímetros, extraídas de los propios perfiles seleccionados para
el pandeo lateral. El objetivo de estos ensayos era conocer el módulo elástico
longitudinal del material, tanto a tracción como a compresión. En las muestras
extraídas de las alas y del alma, se colocaron una serie de galgas extensométricas. Las muestras fueron cargadas hasta una cuarta parte de la carga última del
material según el proveedor.
A partir de los datos de las galgas se pudieron obtener los módulos elásticos presentados en la Tabla 3.7.
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
Perfil
M-1
M-2
M-3
M-4
M-5
M-6
M-7
M-8
M-9
M-10
M-11
M-12
M-13
M-14
M-15
M-16
M-17
M-18
M-19
M-20
M-21
M-22
M-23
M-24
M-25
M-26
M-27
M-28
M-29
M-30
M-31
M-32
M-33
M-34
BT-1
BT-2
BT-3
BT-4
BT-5
BT-6
Longitud
(m)
1,5
1,25
1,5
1,75
Carga experimental
(kN)
3,85
3,22
3,45
4,05
3,95
4,97
5,74
2,8
4,25
3,75
3,67
2,82
3,29
2,81
3,24
5,75
4,93
2,99
2,92
2,94
3,6
2,84
2,91
2,99
2,88
4,63
3,76
3,68
3,42
3,37
3,3
3,48
3,3
3,19
1,94
1,90
1,29
1,29
0,82
0,82
91
Carga teórica
(kN)
Comentario
Ensayo de
flexión en 3
puntos sobre
viga biempotrada con torsión
impedida en los
apoyos. Carga
aplicada sin impedir ni el giro
ni el alabeo de
la viga.
1,41
2,24
0.92
1,29
0,63
0,74
Ensayos en voladizo. Carga
teórica por elementos finitos
(izquierda) y
Timoshenko y
Gere (derecha).
Tabla 3.8 – Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores
en el estudio del pandeo lateral.
92
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Perfil
Longitud (m)
T-1A
T-1B
T-1C
T-1D
T-2A
T-2B
T-2C
T-2D
T-3A
T-3B
T-3C
T-3D
T-4A
T-4B
T-4C
T-4D
0,4
0,6
0,8
1
0,4
0,6
0,8
1
0,4
0,6
0,8
1
0,4
0,6
0,8
1
Carga
experimental
(kN)
0,27
0,12
0,06
0,03
0,42
0,17
0,09
0,06
0,60
0,24
0,13
0,09
0,83
0,38
0,19
0,12
Carga teórica (kN)
Comentario
Ensayos realizados sobre láminas de pultrusión
en voladizo con
carga puntual
sobre el extremo
libre.
DQS-1
4,42
133,55
124,41
125,6
8
DQS-2
4,42
137,79
130,59
128,9
7
QZD-1A
QZD-1B
QZD-2A
QZD-2B
QZD-3A
QZD-3B
QZD-4A
QZD-4B
3,05
3,66
3,05
3,66
3,05
3,66
3,05
3,66
4,01
2,94
2,06
1,36
1,48
0,92
--5,48
4,77
3,19
2,34
1,49
1,50
1,01
8,53
5,61
SQ-1
Figura 3.49
SQ-2
Figura 3.50
SQ-3
Figura 3.51
5,20
3,32
2,36
1,55
1,78
1,15
10,9
6,43
4,50
2,96
2,17
1,37
1,44
0,93
8,62
5,77
Ensayo flexión en
3 puntos con torsión impedida en
apoyos. Carga
teórica según
análisis energético (izq) y elementos finitos
(drch).
Vigas en voladizo. Carga teórica
obtenida según
análisis energético (izq), método
de Vlasov (centro) y elementos
finitos (drch).
Vigas en voladizo. Carga teórica
según análisis
energético y elementos finitos.
Tabla 3.8 (continuación) – Resultados experimentales y teóricos obtenidos por los diferentes autores en el estudio del pandeo lateral.
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
93
Por otro lado, con el fin de obtener el valor del módulo a cortadura de la
sección, se ensayaron algunas vigas biarticuladas mediante flexión en 3 puntos.
En el centro de las vigas se aplicaron hasta 5 kN, midiendo en todo momento la
flecha resultante. Las luces utilizadas en estos ensayos fueron desde 1 metro
hasta 2 metros en seis intervalos iguales. El ensayo de cada luz se repitió 3 veces, dándose como resultado la media de éstos.
Los módulos a cortadura resultantes se muestran también en la Tabla 3.7.
El valor experimental obtenido aquí del módulo de cortadura resultó ser bastante menor que el suministrado por el fabricante.
Los ensayos de pandeo lateral se realizaron con las vigas dispuestas en voladizo, a las que se les aplicó una carga puntual en el extremo libre. Se diseñó
un dispositivo específico para garantizar que la carga puntual era aplicada en el
centro de la sección sin impedir ni el alabeo ni la torsión de la misma.
Se ensayaron frente al pandeo lateral 5 longitudes diferentes de vigas: 0,5,
1, 1,25, 1,5 y 1,75 metros. Sin embargo no fue posible conseguir el pandeo lateral
de las vigas de 0,5 y 1 metros, debido a no disponer de la suficiente capacidad
de carga. Por lo tanto, sólo se consiguieron datos relativos al resto de las longitudes. De cada longitud se ensayaron 2 ensayos. Así, en total, se realizaron 6
ensayos. Los resultados experimentales se muestran en la Tabla 3.8.
En el mismo artículo Brooks y Turvey también analizaron el pandeo lateral
de vigas pultruidas de manera teórica. Para ello utilizaron métodos analíticos y
elementos finitos. El método analítico seleccionado fue, al igual que hicieran los
autores anteriores, la expresión de Timoshenko y Gere (1963). Para calcular el
momento crítico de las vigas se utilizaron los módulos elásticos obtenidos experimentalmente. Los valores obtenidos se muestran en la Tabla 3.8.
El modelo de la viga en voladizo fue realizado en elementos finitos mediante el programa Abaqus. Se utilizaron elementos tipo “shell” de 4 nodos. Los
resultados de estos modelos también se muestran en la Tabla 3.8.
Al comparar los datos experimentales con los obtenidos teóricamente, se
comprobó que el modelo de Timoshenko y Gere daba resultados más cercanos a
la realidad que los modelos de elementos finitos. Los errores producidos en los
modelos de elementos finitos estaban entre el 15 % y el 30 % del valor experimental. En general el error disminuye según aumenta la longitud de la viga.
Brooks y Turvey concluyeron que la aproximación teórica no es suficientemente
buena, y que los modelos deben mejorarse.
Al año siguiente (1996) el propio Turvey presentó otro trabajo experimental equivalente al anterior, pero esta vez utilizando perfiles rectangulares macizos. Los perfiles macizos eran muy finos, 6,3 milímetros de ancho, y pueden
considerarse tiras de material pultruido en vez de perfiles estructurales. En rea-
94
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
lidad estas tiras fueron obtenidas a partir de placas pultruidas suministradas
por la empresa MMFG. Por lo tanto, no parece que los elementos utilizados en
este trabajo sean representativos como elemento estructural de material pultruido.
Previamente al ensayo de pandeo lateral, se realizaron otros ensayos con el
objetivo de conocer las propiedades mecánicas del material. Los ensayos fueron
iguales a los realizados por Brooks y Turvey un año antes. Por un lado, se hicieron algunos ensayos de tracción y de compresión sobre tiras obtenidas de las
propias vigas, y por el otro, se ejecutaron ensayos de flexión en 3 puntos. Las
propiedades mecánicas obtenidas de manera experimental se muestran en la
Tabla 3.7.
Para el ensayo de pandeo lateral se utilizaron láminas de 6,3 milímetro de
ancho con cuatro grupos diferentes de cantos: 40, 60, 80 y 100 milímetros. En
cada dimensión se ensayaron láminas en voladizo de 0,4, 0,6, 0,8 y 1 metro de
luz. En total se ejecutaron 16 ensayos de pandeo lateral.
En estas láminas en voladizo se aplicó una carga puntual en el extremo libre hasta conseguir una respuesta en deformación no proporcional al aumento
de la carga. La Figura 3.40 presenta el giro medido en el extremo libre frente al
momento flector resultante en el empotramiento por efecto de la carga aplicada
en las láminas con un voladizo de 0,4 metros. En esta Figura 3.40 se observa
cómo, para un valor determinado de momento flector, el giro aumenta sin necesidad de un aumento de carga. En ese punto se considera que el pandeo lateral
ya ha sucedido, y se consigue así el valor experimental de la carga crítica. La
forma de la curva representada en las gráficas también indica que la rigidez
post pandeo de estos elementos es casi nula. La Tabla 3.8 muestra los resultados
de los ensayos realizados sobre todas las láminas.
Finalmente, Turvey también calculó de manera teórica las cargas críticas de
pandeo lateral de estas láminas en voladizo. Para este cálculo utilizó una fórmula propuesta para materiales isótropos. Para poder utilizar esta fórmula, Turvey
consideró que el material pultruido era isótropo, y aplicó el módulo elástico
longitudinal, obtenido experimentalmente, a todas las direcciones del material.
Esta aproximación teórica no parece demasiado rigurosa, por lo que las conclusiones extraídas no se analizarán en esta memoria.
En los años 1997, 2003 y 2005 se publicaron varios trabajos experimentales
relacionados entre sí. En todos ellos se realizaron, por un lado, ensayos de pandeo lateral sobre vigas pultruidas, y por otro lado, análisis teóricos sobre este
fenómeno mediante algún método analítico o mediante elementos finitos.
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
95
Figura 3.40 – Resultados de los ensayos realizados por Turvey (1996) sobre tiras pultruidas en voladizo.
Davalos, Qiao y Salim (1997) ensayaron vigas pultruidas tipo I según la
flexión en 3 puntos, sobre apoyos biarticulados y con la torsión en ellos restringida. En esta disposición las vigas presentaron una inestabilidad lateral antes
del fallo local del ala comprimida. La aplicación de la carga imponía una condición de contorno, ya que no permitía el giro libre del ala superior. Sin embargo,
esta restricción no se tuvo en cuenta en el análisis posterior de la viga.
Se utilizaron dos vigas de iguales dimensiones y con diferentes arquitecturas internas. La primera viga incluía fibra de vidrio bobinada y una capa exterior de tejido de fibra a ± 45º respecto de la dirección de la viga. La otra viga,
96
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
además de la fibra bobinada y del tejido a ± 45º, incluía otra capa exterior de
tejido de fibra de 0º/90º. Esta última capa aporta rigidez lateral al elemento estructural. Por lo tanto, la segunda viga tenía mejor resistencia ante el pandeo
lateral. Las dimensiones de la sección se presentan en la Tabla 3.7. Los autores
de esta publicación no dieron el valor del módulo elástico o de cortadura considerados para el posterior análisis teórico.
En el ensayo de pandeo lateral se utilizaron medidores de desplazamiento
para registrar el giro de la sección central de la viga. También se colocaron una
serie de galgas extensométricas en el ala comprimida. La Figura 3.41 muestra
cómo se utilizaron los medidores de desplazamiento, y la posición en la que se
colocaron las galgas.
Figura 3.41 – Dispositivo experimental utilizado por Davalos, Qiao y Salim (1997) en
los ensayos de pandeo lateral.
La Figura 3.42 muestra, para la viga con mayor refuerzo, las mediciones
obtenidas en cada sensor de desplazamiento en función de la carga aplicada. En
dicha gráfica se puede comprobar que, a partir de un determinado valor, el giro
de la sección continúa sin necesidad de aumentar el valor de la carga. Así, la
carga máxima registrada en esta gráfica es la carga crítica experimental. La
Tabla 3.8 muestra el valor de esta carga crítica en cada ensayo.
Además de las formulaciones analíticas, que se basaron en la energía potencial del sistema, se emplearon modelos en elementos finitos realizados en el
programa Ansys. Los elementos utilizados fueron tipo “shell” de 8 nodos.
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
97
Figura 3.42 – Desplazamientos medidos durante el ensayo de pandeo lateral en función
de la carga aplicada (Davalos, Qiao y Salim 1997).
La Tabla 3.8 muestra los valores de carga crítica obtenidos a partir tanto
del modelo analítico como del modelo en elementos finitos.
Según los datos mostrados en la Tabla 3.8, parece que ambos métodos teóricos, el energético y los elementos finitos, llevan a resultados muy similares en
este caso. Además, los datos experimentales también encajan con esos resultados teóricos. Por lo tanto, se puede decir que estos métodos analíticos sí pueden
predecir el comportamiento de una viga pultruida en las condiciones en las que
se ha desarrollado este trabajo experimental.
Es importante resaltar que los modelos teóricos utilizados en el anterior
trabajo experimental han calculado la carga crítica de pandeo lateral sin tener
en consideración el fallo local de la viga. Así, llama la atención que los resultados teóricos y los experimentales encajen correctamente. Este hecho puede ser
debido una vez más a que la esbeltez de las vigas era tan elevada que la aportación del fallo local no era apreciable en la práctica.
Los resultados de este último trabajo experimental fueron empleados por
Davalos y Qiao en 1997. El análisis teórico de esta segunda publicación fue
equivalente al anterior, por lo que los autores no aportaron información adicional sobre el fenómeno investigado.
En el año 2003 Qiao, Zou y Davalos realizaron un trabajo experimental sobre el pandeo lateral de vigas pultruidas similar al de Davalos, Qiao y Salim.
98
Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Sin embargo, en este caso la experimentación se llevó a cabo sobre una viga en
voladizo.
Figura 3.43 – Empotramiento diseñado por Qiao, Zou y Davalos (2003) para el ensayo
de vigas pultruidas en voladizo.
Se ensayaron cuatro dimensiones diferentes de vigas. Todas las vigas eran
perfiles abiertos tipo I suministradas por la empresa Creative Pultrusion Inc., y
estaban fabricadas a partir de resina de poliéster reforzada con fibra de vidrioE. A partir de la información suministrada por el fabricante sobre las diferentes
capas de refuerzo añadidas a los perfiles, se obtuvieron de manera aproximada
las propiedades elásticas globales de los perfiles. En la Tabla 3.7 se presentan las
dimensiones de las vigas utilizadas.
Para ejecutar el empotramiento de las vigas en voladizo se utilizó un amarre de acero como el mostrado en las Figura 3.43. Además, la carga aplicada en
el extremo libre fue colocada mediante una plataforma unida a la viga de manera que no se le introdujera al sistema ninguna condición de contorno (Figura
3.44). En esta plataforma se fueron añadiendo lastres de 111,2 Newtons hasta
llegar al pandeo lateral. Se utilizaron dos medidores de desplazamiento para
conocer la posición del extremo libre de la viga. Para cada sección empleada se
ensayó una viga a 3,05 metros (10 pies) y otra a 3,66 metros (12 pies). La Figura
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
99
3.45 muestra una de estas vigas en voladizo pandeada lateralmente durante el
ensayo.
De los diferentes dispositivos experimentales presentados hasta ahora, éste
es el más preciso, ya que en estos ensayos el sistema tiene las condiciones de
contorno exactas del modelo teórico. El empotramiento se puede considerar
perfecto y la aplicación de la carga no aporta ningún impedimento a la deformación de la viga. Los dispositivos experimentales presentados en los anteriores trabajos no eran exactos, porque incluían en el modelo teórico algún tipo de
simplificación respecto del sistema experimental real.
Figura 3.44 –Viga pultruida en voladizo preparada para el ensayo en el dispositivo de
Qiao, Zou y Davalos (2003).
El análisis teórico también se realizó mediante un modelo analítico basado
en la energía potencial total del sistema, y otro modelo en elementos finitos realizado en Ansys. Además, en este caso se incluyó en la comparativa la carga
crítica calculada a partir de la teoría clásica de Vlasov. En la Tabla 3.8 se incluye
100 Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
la carga crítica experimental de pandeo lateral de las vigas de 3,05 metros (10
pies) y de 3,66 metros (12 pies). En la misma tabla se incluyen también las cargas críticas calculadas según el modelo energético, el modelo de Vlasov y el
modelo en elementos finitos.
Figura 3.45 –Viga pultruida en voladizo pandeada lateralmente en un ensayo de Qiao,
Zou y Davalos (2003).
Parece que el método analítico basado en la energía total del sistema encaja
correctamente con los resultados obtenidos a partir del modelo en elementos
finitos y con la experimentación. Sin embargo, las cargas experimentales, aunque cercanas, son siempre algo inferiores que las teóricas. Así, de utilizar el método analítico o los elementos finitos para el diseño de vigas, las predicciones
realizadas no estarían del lado de la seguridad. Esto debería descartar estas opciones como posibles métodos de diseño.
Como última aportación de este trabajo, Qiao, Zou y Davalos incluyeron
un pequeño análisis de la influencia de la posición de la carga y la orientación
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
101
de la fibra en la carga crítica de pandeo lateral. Este análisis fue realizado en
base al modelo en elementos finitos utilizado en las secciones precedentes. Los
autores demostraron que cuanto mayor es la altura a la que se aplica la carga
dentro de la sección menor es la carga de pandeo lateral. Además, se llegó a la
conclusión de que una capa de refuerzo con fibra transversal aumentaba el valor de la carga crítica. La mayor carga crítica aparecía cuando esta fibra estaba
colocada a 30º respecto de la dirección longitudinal.
Figura 3.46 –Viga pultruida en voladizo pandeada lateralmente en un ensayo de Shan y
Qiao (2005).
102 Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Figura 3.47 – Empotramiento utilizado por Shan y Qiao (2005) para el ensayo de vigas
en voladizo.
Figura 3.48 –Viga pultruida en voladizo preparada sobre el dispositivo de Shan y Qiao
(2005).
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
103
Finalmente, en el artículo publicado por Shan y Qiao en el año 2005 se realizó el mismo trabajo experimental que en la publicación de Qiao, Zou y Davalos, pero esta vez se utilizaron perfiles tipo U. Estos perfiles también fueron
suministrados por Creative Pultrusion Inc., y estaban fabricados a partir de fibra de vidrio-E y una matriz de poliéster. Se utilizaron tres geometrías diferentes de perfiles pultruidos. La geometría de las secciones se detalla en la Tabla
3.7.
El dispositivo experimental utilizado fue igual que el utilizado por Qiao,
Zou y Davalos. Por lo tanto, el pandeo lateral fue ensayado en voladizo, con
carga puntual en el extremo libre. La Figura 3.46, la Figura 3.47 y la Figura 3.48
muestran este dispositivo experimental. En este caso, la aplicación de la carga
debía ser colocada de manera que, además de no añadir ninguna condición de
contorno al sistema, la carga fuera aplicada en el exterior de la sección. De esta
manera se pudo aplicar la carga en el centro de cortadura del perfil tipo U.
De cada una de estos perfiles se ensayaron dos vigas. Además, para cada
geometría se probaron diferentes longitudes del voladizo. Por otro lado, se obtuvieron las cargas críticas de pandeo a partir de métodos teóricos. Los métodos
teóricos contemplados también fueron el análisis energético, y los elementos
finitos. La Figura 3.49, la Figura 3.50 y la Figura 3.51 presentan de manera gráfica los resultados experimentales obtenidos en estos ensayos. En la misma gráfica se han representado los valores teóricos obtenidos a partir de los elementos
finitos (marca “FEM” en la gráfica) y de métodos energéticos (marca “present”
en la gráfica).
Figura 3.49 – Resultados experimentales
de Shan y Qiao (2005) sobre la viga SQ-1.
Figura 3.50 – Resultados experimentales
de Shan y Qiao (2005) sobre la viga SQ-2.
104 Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
Figura 3.51 – Resultados experimentales de Shan y Qiao (2005) sobre la viga SQ-3.
Como conclusión al comparar la teoría con la experimentación, Shan y
Qiao consideran que el método analítico, basado en la energía del sistema, encaja bien con los resultados de elementos finitos y con la experimentación en las
vigas largas. En las vigas más cortas, en cambio, los datos experimentales tienden a ir levemente hacia abajo. Aunque los autores no lo consideran, esta desviación podría ser debida a la influencia del pandeo local.
3.5.1.1
Formulación del EC3
El Eurocódigo 3 propone emplear para la comprobación de la estabilidad de las
vigas de acero el mismo método que en la estabilidad de columnas. Es decir,
para diseñar según el procedimiento establecido por esta norma, se debe obtener el valor del momento crítico de la viga, calcular el valor de la esbeltez reducida lateral (Apéndice B), y estudiar la interacción con el agotamiento de la sección mediante la misma curva dada para las columnas (Ecuaciones 3.33, 3.34 y
3.35). Para conocer el valor del momento crítico se puede emplear un modelo en
elementos finitos o algún otro modo de cálculo teórico.
3.5.1.2
Formulación del EC5
El Eurocódigo 5, en cambio, propone una curva diferente a la de las columnas
para considerar la superposición entre el fallo local de la sección y la inestabilidad global de la viga. En las vigas de madera, una vez calculada la esbeltez reducida lateral a partir del momento crítico, para calcular el valor del coeficiente
de reducción se aplica la curva de interacción por tramos descrita en las Ecuaciones 3.50, 3.51 y 3.52, Este coeficiente de reducción lateral se multiplica por el
valor del momento de fallo local de la sección, dando el momento de diseño.
3.5 Antecedentes sobre el pandeo lateral
105
χ LT = 1
para
λ LT ≤ 0,75
(3.50)
χ LT = 1,56 − 0,75⋅ λ LT
para
0,75 ≤ λ LT ≤ 1,4
(3.51)
para
1,4 ≤ λ LT
(3.52)
χ LT = 1
λ
2
LT
=
M cr
ML
La curva recién introducida, al igual que la procedente de la formulación
de Dutheil, presenta una plataforma inicial, que en este caso se extiende hasta la
esbeltez reducida lateral 0,75 (Ecuación 3.50). En la zona central, donde la superoposición entre efectos es máxima, se emplea una recta (Ecuación 3.51). En la
zona de esbeltez reducida lateral mayor que 1,4, en cambio, el momento de diseño, que es el producto entre el coeficiente de reducción y el momento de fallo
local, es directamente el momento crítico de la viga. Por lo tanto, esta normativa
considera que a partir de la esbeltez reducida mayor que 1,4 el agotamiento de
la sección no influye en el comportamiento de la viga.
Resumen: situación actual del pandeo lateral en vigas pultruidas
Como es lógico, el conocimiento actual sobre el pandeo lateral de elementos
estructurales pultruidos es mucho menor que sobre el pandeo de Euler. Los diversos autores que han tratado el pandeo lateral hasta la fecha no han pretendido analizar la interacción entre el pandeo local y el global. En las publicaciones
presentadas en este apartado se comprueba que en general se han ensayado
vigas de esbeltez elevada. Los resultados de estos ensayos han sido posteriormente contrastados con modelos teóricos, que sólo tienen en cuenta la inestabilidad global. En algunos casos los valores teóricos han encajado satisfactoriamente con la realidad. Sin embargo, esta correspondencia se ha debido a la alta
esbeltez de las vigas empleadas en la experimentación.
Ante esta situación, en la presente tesis se ha pretendido ensayar a pandeo
lateral vigas con una menor esbeltez, de manera que la interacción entre el pandeo local y el lateral sea apreciable. Apoyados en modelos de elementos finitos
con los que obtener el momento crítico de estas vigas, se han probado algunas
formulaciones que consideran conjuntamente el pandeo local y el pandeo lateral. Dicho trabajo se presenta en el Capítulo 7.
106 Capítulo 3: Estabilidad de elementos estructurales pultruidos
El Aberfeldy Footbridge
fue construido en Escocia en el
año 1990 por la empresa
Maunsell Structural Plastics.
Este puente peatonal, que une
dos partes de un circuito de golf
sobre el río Tay, es considerado
el primer puente construido íntegramente por materiales compuestos. Tiene
una luz máxima de 113 metros, siendo sus columnas de 64 metros de altura.
El puente fue montado in-situ sin la ayuda de maquinaria pesada.
Los autores de esta
obra destacan que su coste y
su
comportamiento
son
comparables a los de un
puente equivalente de acero,
siendo el puente de acero
mucho más pesado que la
solución adoptada. Además,
consideran que la aplicación
de este tipo de puentes a los
lugares remotos, de especial
sensibilidad medioambiental o
de limitada capacidad de
carga hace que sean
especialmente interesantes de
cara al futuro.
Capítulo
4
4 MATERIALES Y
PROCEDIMIENTOS
En este capítulo se aporta toda la información referente al trabajo experimental
efectuado a lo largo de la presente tesis. Para ello, en primer lugar se describen
los materiales empleados, y a continuación se detallan los procedimientos por
los que han sido ensayados dichos materiales. El trabajo recogido en este capítulo ha servido para el posterior trabajo teórico presentado en los siguientes
capítulos.
4.1
MATERIALES
Toda la experimentación en la que se ha basado la presente tesis ha sido realizada sobre elementos estructurales de material compuesto fabricados por pultrusión. Para estudiar el comportamiento general de este tipo de perfiles, independientemente de las características propias de algún fabricante determinado,
se han seleccionado perfiles suministrados por diferentes proveedores. Algunos
proveedores han sido empresas locales, mientras que en otros casos se ha tratado de empresas que trabajan a nivel internacional. De esta manera, se ha conseguido analizar el comportamiento de una gama de materiales diferentes fabricados por pultrusión.
En los procedimientos experimentales que se describen en este capítulo se
han utilizado dos tipos de elementos estructurales. Por un lado se han empleado tubos huecos de diferentes secciones, circulares y rectangulares, y por otro,
se han ensayado vigas pultruidas de sección abierta tipo I.
Con los tubos huecos se ha analizado el comportamiento de las columnas
frente al pandeo de Euler. Con las vigas, en cambio, se ha estudiado su comportamiento frente al pandeo lateral. A continuación se va a describir cada uno de
estos elementos estructurales, presentando las características empleadas a lo
largo de la tesis.
107
108 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
4.1.1
Tubos huecos. Pandeo de Euler.
El pandeo de Euler se ha analizado en base a la experimentación realizada sobre
tubos de sección circular de material pultruido. La formulación que se propone
en el Capítulo 6 está generada a partir del comportamiento observado en dichos
tubos. El dispositivo experimental con el que se han ensayado los tubos se presenta más adelante en este mismo capítulo.
Una vez propuesto el método de diseño de columnas pultruidas, se han
utilizado tubos de sección rectangular para comprobar la validez de la fórmula
desarrollada. La Figura 4.1 muestra varios tubos huecos, de sección circular y
de sección rectangular, de los empleados en la experimentación del pandeo de
Euler. Todos estos elementos se presentan en este mismo apartado.
Finalmente, el método desarrollado también se ha comparado con los resultados experimentales de otros grupos de investigación, presentados ya en el
Capítulo 3. De esta manera, se puede considerar que la fórmula para el diseño
de columnas pultruidas que se propone en la presente tesis se ha contrastado
con perfiles muy diferentes. Se tienen resultados experimentales de columnas
de sección abierta y de sección cerrada, cubriendo a su vez una gama muy amplia de esbeltez reducida.
Figura 4.1 - Tubos huecos utilizados en la experimentación del pandeo de Euler.
4.1 Materiales
109
Los tubos de sección circular con los que se ha trabajado han sido suministrados por tres fabricantes diferentes. Así, se han podido obtener resultados
generales sobre el proceso de fabricación, en vez de caracterizar el producto que
suministra un fabricante concreto.
Ninguno de los tres proveedores aportó información sobre el material utilizado como matriz. Sin embargo, es conocido que en todos los casos el material
utilizado como refuerzo ha sido la fibra de vidrio. Además, mediante inspección visual, se ha observado que algunos materiales disponían de refuerzos en
la piel tipo “woven” o “continuous strand mat”.
Las dimensiones nominales de la sección de los tubos suministrados por
cada uno de los fabricantes han sido 50-43 mm para el material A, 45-41 mm
para el material B y 50-45 mm para el material C.
Los tubos de sección rectangular utilizados más adelante (material D) fueron suministrados por el mismo fabricante que el material C. Las medidas nominales de dichos tubos han sido 75x25 mm con un espesor de 3 mm.
En la Tabla 4.1 se presentan los valores del área y la inercia calculados a
partir de las dimensiones nominales de todos los tubos. En dicha gráfica, la
inercia del tubo rectangular corresponde al eje débil de la sección, ya que estos
perfiles se han utilizado en los ensayos de pandeo de Euler, y dicho pandeo se
da por flexión respecto al eje débil.
Material
Área (mm2)
Inercia (mm4)
EI (N.m2)
A
511
138.976
4.169
B
270
62.580
1.252
C
373
105.507
2.427
D
564
E
5.089
58.217
(eje débil)
85,453x106
(eje fuerte)
1.339
(eje débil)
2,564x106
(eje fuerte)
Tabla 4.1 - Información nominal suministrada por los proveedores para cada uno de los
materiales utilizados en la experimentación.
En general, los proveedores de perfiles pultruidos acostumbran a dar valores demasiado conservadores del módulo elástico. Posiblemente, esto se debe a
que las inestabilidades son normalmente los fenómenos más críticos a la hora
de diseñar estructuras con perfiles pultruidos. La Tabla 4.1 muestra la rigidez
110 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
lateral de cada material según sus dimensiones nominales y el módulo elástico
aportado por la propia empresa administradora.
Debido a la dispersión dimensional que suelen presentar estos materiales,
a pesar de conocer todas las dimensiones nominales, se ha considerado necesario medir de manera precisa la sección de los perfiles utilizados.
Por medio de un brazo robot con palpador se han medido las dimensiones
reales de las secciones de cada una de las muestras ensayadas. En los materiales
A, B y C se han adquirido con el palpador 36 puntos de la circunferencia exterior y otros 36 de la interior. Como resultado de estas medidas se ha conseguido
un valor medio del diámetro interior y otro del exterior. A partir de estos datos
se ha calculado el área y la inercia media de la sección. La Tabla 4.2 muestra los
resultados medios para cada tipo de material.
Siendo conocida el área de cada tubo con precisión, al analizar los resultados experimentales se ha podido trabajar con la tensión equivalente crítica, en
vez de utilizar simplemente la carga crítica experimental.
Entre las muestras medidas, el material C ha presentado la menor dispersión dimensional. Por contra, las muestras que se han medido del material B
son las que presentan la mayor desviación típica respecto al valor medio.
La medición de la sección D se ha efectuado tomando también 36 puntos
del rectángulo interior y otros 36 del exterior. El área y la inercia media de esta
medida también se muestran en la Tabla 4.2.
Nº
Material
muestras
Área (mm2)
Desviación
Media
típica
Inercia (mm4)
Desviación
Media
típica
A
32
498
2,39
135.090
728
B
38
262
2,19
60.023
478
C
42
357
0,96
100.259
288
D
37
533
8,36
E
10
5.157
27
55.591
(eje débil)
85,561x106
(eje fuerte)
950
472.186
Tabla 4.2 – Área e inercia de cada material calculadas a partir de las dimensiones reales obtenidas por medición directa.
Además de las mediciones sobre la sección, de cada material se han pesado
varias muestras en una báscula de precisión. Las muestras fueron extraídas de
los propios tubos del ensayo a compresión, y eran de 250 mm de longitud. Co-
4.1 Materiales
111
mo resultado de esta operación se ha obtenido la densidad de manera más precisa. La Tabla 4.3 presenta la densidad real de cada material.
Las longitudes de los tubos ensayados de material A, B, C y D, han cubierto desde los 0,1 hasta los 4 metros de longitud. Evidentemente, esta amplia gama de longitudes ha llevado a unos valores de esbeltez reducida muy variados.
Los elementos estructurales de menor longitud han presentado una esbeltez
reducida inferior a 0,5, mientras que los elementos más largos han llegado hasta
una esbeltez reducida cercana a 8.
Material
Cantidad de
muestras
Densidad
(g/cm3)
Desviación típica
(g/cm3)
A
5
1,885
0,010
B
10
1,799
0,006
C
10
1,953
0,015
D
5
2,025
0,029
E
6
1,931
0,031
Tabla 4.3 - Densidad real de cada material obtenida con la báscula de precisión.
La elevada esbeltez reducida de los tubos más largos ha cubierto una zona
no estudiada anteriormente por otros autores. Tal y como se explicará en el capítulo 6, esta zona de elevada esbeltez reducida ha puesto de relieve alguna
diferencia entre el método de diseño de columnas propuesto en la presente tesis
y el propuesto anteriormente por Barbero y Tomblin.
4.1.2
Vigas de sección abierta. Pandeo lateral.
Para el estudio del pandeo lateral se han utilizado vigas pultruidas de sección
abierta tipo I. El material utilizado como matriz para crear las vigas era poliéster. Al igual que en los tubos huecos, el refuerzo principal de dichas vigas era
fibra de vidrio bobinada. Además, la piel de estas vigas estaba reforzada por
una capa visible de “continuous strand mat”. La Figura 4.2 muestra algunas de
las vigas descritas en el presente apartado.
La sección nominal de las vigas era de 343 mm de canto y 100 mm de ancho, con un espesor del ala de 11 mm y del alma de 9 mm. La Tabla 4.1 muestra
el área y la inercia respecto del eje fuerte de este tipo de sección (material E),
calculadas según las dimensiones nominales. En este caso se ha considerado
adecuado aportar la información referente al eje fuerte, ya que las vigas no han
sido ensayadas a compresión, sino a flexión.
También se ha analizado la dispersión de la geometría de estas vigas. Para
ello, por medio de un calibre, se han medido 10 secciones diferentes de las vi-
112 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
gas. Como resultado se ha llegado a que el canto y la anchura del perfil real,
según las mediciones, son 343,20 mm y 99,57 mm respectivamente. De la misma
manera, se ha obtenido que el espesor del ala es 10,87 mm y el del alma 9,31
mm. A continuación se ha calculado el valor del área y la inercia respecto al eje
fuerte de cada una de las 10 secciones medidas. La Tabla 4.2 muestra los valores
medios de esta serie de cálculos.
Figura 4.2 - Vigas pultruidas utilizadas en los ensayos de pandeo lateral.
La densidad de las vigas también ha sido medida gracias a una báscula de
precisión. En dicha báscula se han pesado 3 vigas de 2 metros de longitud y
otras 3 de 3 metros. A partir de esas mediciones se ha obtenido el valor de la
densidad presentada en la Tabla 4.3.
Las vigas utilizadas han sido de 2, 3 ,4 y 6 metros de longitud. Por lo tanto,
puede considerarse que en la presente tesis la experimentación sobre vigas se
ha realizado con elementos estructurales de tamaño similar al utilizado en la
construcción.
En este caso, esta gama de longitudes ha llevado a valores de esbeltez reducida máxima menores que los presentadas en los tubos, ya que la inercia de
las vigas es mucho mayor que la de los tubos.
4.2 Procedimientos
4.2
113
PROCEDIMIENTOS
Se han realizado dos tipos de medidas experimentales sobre los perfiles descritos. Por un lado, se han obtenido algunas propiedades mecánicas de manera
más precisa que la información suministrada por los fabricantes. Esta información ha sido necesaria para emprender el análisis del pandeo global. Concretamente, se han determinado la rigidez a flexión, tanto de los tubos como de las
vigas, y la carga de pandeo local de los tubos. Por otro lado, se han realizado los
ensayos de pandeo global. En este caso los tubos han sido utilizados para analizar el pandeo de Euler, mientras que las vigas se han empleado para el estudio
del pandeo lateral.
Por lo tanto, para el desarrollo de la parte experimental de esta tesis se han
diseñado cuatro tipos de ensayos diferentes: los ensayos de pandeo local sobre
tubos cortos, los ensayos para obtener la rigidez a flexión de los perfiles, los ensayos de pandeo de Euler sobre tubos y los ensayos de pandeo lateral sobre vigas.
A continuación se describe de manera detallada cada uno de los dispositivos diseñados para estos trabajos experimentales.
4.2.1
Pandeo local. Ensayo de compresión biempotrado.
Tal y como se ha explicado al inicio del Capítulo 3, para poder analizar cualquiera de los dos tipos de pandeos globales en elementos pultruidos, es necesario conocer la carga a la que el elemento estructural falla debido al pandeo local.
Por lo tanto, en la presente tesis, ha sido necesario conocer la carga de pandeo
local tanto de los tubos huecos como de las vigas.
Sin embargo, no ha sido necesario realizar el trabajo experimental adicional del pandeo local en ambos casos. Tal y como se verá en el apartado correspondiente de este capítulo, los propios ensayos de pandeo lateral realizados
sobre las vigas de sección abierta han llegado a presentar casos de fallo local de
la sección. De esta manera, sin haber preparado un ensayo específico para el
pandeo local de este elemento estructural, se ha sabido cómo y con qué tensión
se presenta el fallo local de las vigas ensayadas ante el pandeo lateral.
Los ensayos de pandeo de Euler, en cambio, tenían una esbeltez reducida
demasiado elevada como para presentar fallos locales en algún caso. Por este
motivo, fue necesario ejecutar una serie de ensayos adicionales con los que observar el pandeo local en los tubos huecos. El presente apartado presenta el dispositivo experimental con el que se llevaron a cabo dichos ensayos.
Los ensayos de pandeo local sobre tubos huecos se han realizado en un
dispositivo experimental que aplica una carga compresiva sobre probetas biempotradas. Cada empotramiento se ha conseguido mediante unas piezas me-
114 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
tálicas con la forma del hueco interior de los tubos. Estas piezas funcionan como
tapón interior del tubo ensayado, y a su vez, están roscadas sobre el propio accionamiento. La unión entre la pieza del empotramiento y el accionamiento
dispone de una serie de sistemas con los que se elimina cualquier posible holgura. De esta manera la rigidez de la unión queda garantizada, y el tubo ensayado puede considerarse biempotrado. La Figura 4.3 muestra la pieza que sirve
de empotramiento de los tubos de sección circular. A su vez, la Figura 4.4 presenta uno de los tubos rectangulares colocados en el dispositivo para ser ensayado según este procedimiento.
Figura 4.3 - Pieza utilizada como empotramiento en los ensayos de pandeo local sobre
tubos huecos.
4.2 Procedimientos
115
Figura 4.4 - Dispositivo experimental utilizado para los ensayos de pandeo local sobre
tubos huecos.
Las probetas utilizadas fueron seleccionadas de manera que su esbeltez reducida fuera 0,2. Con una esbeltez reducida tan baja, y conociendo que los tubos se han ensayado biempotrados, se ha considerado que la influencia del
pandeo global en la rotura de las muestras ensayadas ha sido nula. Además, el
tipo de rotura observado en los propios ensayos ha corroborado que las muestras fallaron debido al pandeo local.
La Figura 4.5, la Figura 4.6, y la Figura 4.7 muestran tubos de diferentes
materiales después de haber sido ensayados a pandeo local según el procedimiento descrito. En cada una de las figuras se observa el característico bucle que
indica la aparición del pandeo local. Según la geometría de la sección dicho bucle toma una determinada forma.
116 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Figura 4.5 - Tubo del material B ensayado a pandeo local.
4.2 Procedimientos
Figura 4.6 - Tubo del material A ensayado a pandeo local.
117
118 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Figura 4.7 - Tubo del material D ensayado a pandeo local.
4.2 Procedimientos
119
Los ensayos se han realizado con control del desplazamiento a velocidad
constante de 2 mm/min. Durante el ensayo, además de la carrera, se ha medido
la carga transmitida por el accionamiento. De estas medidas ha resultado una
curva de esfuerzo frente a deformación muy lineal y de pendiente constante
(Figura 4.8). Así, se ha comprobado que el material presenta comportamiento
frágil.
Se ha considerado que la fuerza máxima registrada a lo largo de todo el ensayo es la carga de pandeo local del elemento.
120
Fuerza aplicada (kN)
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
Carrera (mm)
Figura 4.8 - Resultado de carga frente a carrera del accionamiento en un ensayo de
pandeo local sobre tubos.
4.2.2
Rigidez a flexión. Ensayo mecánico y de frecuencia.
Para el desarrollo de la presente tesis, ha sido necesario obtener la rigidez a
flexión de todos los elementos estructurales pultruidos empleados en la experimentación del pandeo global. Algunos de los autores citados en el Capítulo 3,
ante esta misma necesidad, optaron por utilizar la información sobre la arquitectura interna del material suministrada por el fabricante, y a partir de ella,
calcular las propiedades elásticas del elemento estructural.
En la presente tesis se ha adoptado el punto de vista del ingeniero que va a
diseñar una estructura pultruida. Por lo tanto, no se ha considerado apropiado
obtener el conjunto de las propiedades elásticas de manera teórica a partir de la
arquitectura interna del material, ya que éste no debe ser el cometido del dise-
120 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
ñador. Las propiedades mecánicas más relevante en el diseño estructural deben
ser proporcionadas por el fabricante, tal y como ocurre en otros materiales estructurales. Así, el diseñador partirá de esas propiedades para realizar su tarea.
Sin embargo, para poder seguir adelante con los objetivos planteados en la
tesis, se decidió obtener la rigidez a flexión de los perfiles de manera experimental. Así, aunque no era un objetivo planteado al inicio de la tesis, se ha desarrollado una metodología experimental sencilla con la que conocer dicha rigidez. Esta metodología se explica detalladamente en el Capítulo 5.
Los métodos experimentales más habituales para obtener la rigidez de un
elemento estructural son tres; el ensayo mecánico, el ensayo de frecuencia y el
ensayo de transmisión de ondas. En los materiales reforzados con fibra larga el
ensayo de transmisión de onda debe ser descartado. En estos materiales las ondas se transmitirían principalmente por el material que menor resistencia ofrece, y por lo tanto, la rigidez obtenida no sería la del material pultruido global,
sino la de uno de los materiales que lo componen. En la presente tesis se han
analizado tanto el ensayo de frecuencia como el mecánico para obtener la rigidez de los materiales pultruidos.
El ensayo mecánico lleva normalmente a unos resultados de rigidez del
elemento relativamente fiables. Sin embargo, tiene la desventaja de ser complicado de realizar, ya que requiere de instrumentación específica y de algunos
equipos costosos. Además, a menudo es necesario llevar las probetas hasta la
rotura cuando se realiza un ensayo mecánico, por lo que se trata de un ensayo
destructivo.
A la hora de preparar un ensayo de frecuencia se puede optar por una disposición más o menos compleja. Como es lógico, la complejidad de dicho ensayo aporta precisión a los resultados obtenidos. Por este motivo, aunque es conocido por el autor que mediante una compleja puesta a punto es posible conseguir resultados tan precisos como los del ensayo mecánico, en la presente tesis se ha optado por la disposición más sencilla. Esta disposición ha estado
compuesta únicamente por unos amarres y un medidor de frecuencia. Como
consecuencia, aunque no suceda lo mismo con todos los posibles ensayos de
frecuencia existentes, el ensayo empleado aquí puede ser menos fiable que el
mecánico. Esto se debe a que este ensayo puede estar influenciado por las condiciones de puesta a punto del experimento.
Por ejemplo, el acelerómetro necesario para medir la frecuencia de resonancia del elemento estructural es una masa adicional que, en parte, influye
sobre la medida realizada. Según las condiciones del ensayo y el tipo de elemento ensayado, estos factores pueden llevar a valores de rigidez bastante desviados de la realidad.
4.2 Procedimientos
121
Frente a esta posible falta de precisión, un ensayo de frecuencia sencillo
ofrece la ventaja de poder ser puesto en práctica con poca instrumentación y
casi en cualquier lugar. Además, el ensayo de frecuencia no es destructivo, por
lo que se realiza sobre el propio elemento estructural que va a ser utilizado. Por
estos motivos, resultaría de gran interés conocer en qué condiciones se obtienen
resultados fiables a partir del ensayo de frecuencia presentado aquí. De esta
manera se podría gozar de las ventajas que ofrece este ensayo no destructivo
con la misma precisión que el ensayo mecánico.
A continuación se explican los dispositivos experimentales utilizados tanto
para el ensayo mecánico como para el ensayo de frecuencia. En el Capítulo 5, en
cambio, se comparan los resultados obtenidos a partir de cada uno de los ensayos. En el mismo capítulo se ha desarrollado una metodología, basada en el ensayo de frecuencia, para conocer la rigidez a flexión de los perfiles mediante
ensayos no destructivos. Esa metodología queda como propuesta para su posible implantación en las empresas productoras de perfiles pultruidos, con el objetivo de que puedan conocer de manera sencilla la rigidez del producto que
están suministrando.
4.2.2.1
Ensayo mecánico
El ensayo mecánico llevado a cabo en los tubos ha sido diferente al realizado en
las vigas. En ambos caso el ensayo básicamente ha consistido en aplicar una
carga al elemento estructural y medir la deformación unitaria mediante galgas
extensométricas. Una vez finalizado el ensayo, se ha relacionado la carga aplicada con la deformación unitaria medida en las galgas. De esta manera, se ha
obtenido el módulo elástico del material ensayado, y a partir de este módulo
elástico, se ha calculado la rigidez a flexión del elemento estructural.
Para ensayar los tubos se ha considerado adecuado utilizar el mismo dispositivo experimental del ensayo de pandeo local descrito anteriormente en este
capítulo. Para las vigas, en cambio, se ha utilizado el ensayo de flexión en 4
puntos.
El ensayo a compresión de los tubos, al realizarse sobre el dispositivo experimental del ensayo de pandeo local, ha requerido de probetas más cortas
que las utilizadas en el ensayo de frecuencia, donde se han utilizado los propios
tubos del pandeo global. Además, en este ensayo mecánico, para poder dibujar
una gráfica lo suficientemente amplia con la que obtener el módulo elástico, ha
sido necesario llegar hasta la carga de rotura. Como consecuencia, en el caso de
los tubos no ha sido posible realizar el ensayo mecánico y el de frecuencia sobre
los mismos elementos. Por lo tanto, se ha efectuado el ensayo mecánico sobre
varias probetas de cada tipo de tubo, y a partir de estos experimentos se ha determinado un módulo elástico representativo de cada material.
122 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
En el ensayo mecánico sobre vigas, en cambio, no ha sido necesario aplicar
la carga hasta la rotura del perfil. De esta manera tanto el ensayo mecánico como el de frecuencia han sido aplicados sobre la misma viga.
4.2.2.1.1
Ensayo mecánico sobre tubos
Los tubos han sido ensayados a compresión, aplicándoles una carga axial alineada con el eje. Para ello se han utilizado los amarres diseñados para el dispositivo del ensayo de pandeo local (Figura 4.3). Como se ha explicado, con esos
amarres se consigue ensayar la muestra de tubo según las condiciones de contorno de empotramiento en ambos extremos. En este caso los tubos sobre los
que se ha aplicado la carga compresiva han sido de 240 mm en todos los materiales ensayados. Por lo tanto, cada material ha sido ensayado en una esbeltez
reducida diferente, por tener diferentes secciones. Sin embargo, en todos los
casos la esbeltez reducida ha sido lo suficientemente baja para garantizar que el
pandeo global no ha tenido ninguna presencia en el ensayo.
Figura 4.9 – Galga extensométrica colocada sobre una probeta del material C para el
ensayo mecánico de rigidez a flexión.
4.2 Procedimientos
123
En la dirección del eje del tubo se han colocado dos galgas extensométricas
en posición diametralmente opuesta. La Figura 4.9 muestra una de las galgas
extensométricas colocada sobre un tubo del material C. El lado posterior del
tubo lleva otra galga extensométrica colocada en la misma posición. En los tubos de sección rectangular también se han colocado dos galgas extensométricas,
una en cada lado del tubo. En la Figura 4.10 se expone una de las dos galgas
extensométricas colocadas sobre los tubos rectangulares.
Figura 4.10 - Galga extensométrica colocada sobre una probeta del material D para el
ensayo mecánico de rigidez lateral.
La información medida por ambas galgas extensométricas ha sido combinada mediante medio puente de Wheatstone. Gracias a esta configuración, se
han sumado las deformaciones unitarias registradas a cada lado del tubo, dando como resultado la media de ambas medidas. Además, en caso de existir alguna flexión superpuesta a la compresión pura en la deformación del tubo, la
deformación unitaria producida por la flexión sería igual y opuesta en cada una
de las galgas. Al sumar la señal de las dos galgas mediante un medio puente de
Wheatstone, la influencia de la flexión en la deformación unitaria resultante se
anularía, dando sólo la deformación unitaria producida por la deformación a
124 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
compresión. A partir de la deformación unitaria media y de la tensión transmitida por el tubo, relacionada con la carga aplicada en cada momento, es inmediato obtener el módulo elástico global del material.
Los ensayos se han realizado con control de desplazamiento, a una velocidad constante de 2 milímetro por minuto. En estas condiciones se ha aplicado
una carga progresiva sobre las probetas hasta llegar a su rotura.
4.2.2.1.2
Ensayo mecánico sobre vigas
El ensayo mecánico de rigidez sobre vigas se ha efectuado mediante flexión en 4
puntos. El ensayo ha sido realizado utilizando una máquina comercial. Dicha
máquina de ensayos puede ser empleada para vigas de una luz desde 1 hasta 6
metros, y ofrece la posibilidad de curvar las vigas mediante una configuración
de flexión en 3 puntos o en 4 puntos. En el caso de utilizar la flexión en 4 puntos, la distancia entre la aplicación de las dos cargas puede ser de hasta 2 metros. El accionamiento hidráulico permite aplicar una carga máxima de 20 toneladas. Por lo tanto, para el ensayo de flexión en 3 puntos estas 20 toneladas son
la carga máxima que puede ser aplicada. En el ensayo de flexión en 4 puntos, en
cambio, la carga del accionamiento hidráulico se distribuye en dos cargas, por
lo que en cada punto se podrá aplicar un máximo de 10 toneladas. La Figura
4.11 muestra el banco de ensayos. Sobre dicho banco se encuentra una viga de 6
metros de longitud preparada para el ensayo de flexión en 4 puntos.
La máquina utilizada para estos ensayos también ha sido empleada en la
experimentación del pandeo lateral, que se expone en el Apartado 4.2.4 de este
capítulo. En dicho apartado se describen el resto de las características relevantes
de la máquina.
Para obtener la rigidez lateral de los perfiles abiertos se han ensayado vigas con una distancia entre apoyos de 2, 3, 4 y 6 metros. Ambos amarres deben
ser considerados articulaciones, ya que las vigas han sido colocadas directamente sobre el propio apoyo, y por lo tanto, puede girar libremente. Para evitar el
desplazamiento lateral, que podría resultar peligroso, se han utilizado unas sargentas con las que se ha alineado la viga.
En todas las longitudes de viga empleadas la distancia entre los puntos de
aplicación de la carga ha sido la tercera parte de la distancia entre los puntos de
apoyo. Por ejemplo, la distancia entre las aplicaciones de la carga en la Figura
4.11 es de 2 metros, porque la distancia entre los apoyos es de 6 metros.
4.2 Procedimientos
125
Figura 4.11 - Viga pultruida preparada para el ensayo mecánico mediante la flexión en
4 puntos.
Tal y como muestra la Figura 4.11, se han colocado cuatro galgas extensométricas en el centro de cada viga. Concretamente se han pegado dos galgas en
el exterior de cada ala. Posteriormente, se ha configurando un puente completo
de Wheatstone. El puente de medida ha servido para sumar la deformación unitaria de las dos galgas colocadas en el ala traccionada y restar las dos galgas del
ala comprimida. Como la deformación del ala comprimida tiene el signo opuesto a la del ala traccionada, en realidad con el puente completo de Wheatstone se
han sumado las cuatro medidas. Así, la medida realizada en el ensayo es la media de los resultados de las cuatro galgas.
En el ensayo se ha utilizado el control de desplazamiento a una velocidad
de desplazamiento del vástago constante de 2 milímetros por minuto. Cada viga ha sido ensayada hasta llegar a una carga de 2 toneladas en el accionamiento,
es decir, hasta aplicar 1 tonelada en cada punto de aplicación de la carga. Al
llegar a ese valor de carga se ha procedido a la descarga y la viga ha vuelto a su
posición inicial. De esta manera todas las vigas ensayadas se han mantenido
126 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
dentro del régimen elástico. Además, ensayos sucesivos realizados sobre la
misma viga han mostrado un comportamiento equivalente.
Durante el transcurso del ensayo se han grabado de manera simultánea la
carga aplicada por el accionamiento hidráulico y la deformación unitaria medida según las cuatro galgas. A continuación, relacionando la tensión en las alas
con la deformación unitaria, se ha calculado el módulo elástico longitudinal de
la viga.
4.2.2.2
Ensayos de frecuencia
Como ya se ha comentado, existen muchas maneras de efectuar un ensayo de
frecuencia para lograr la rigidez a flexión de un elemento estructural. En la presente tesis se ha optado por buscar un método sencillo. Así, se han dejado de
lado los ensayos de frecuencia que requieren de mucho trabajo en la puesta a
punto o en la ejecución. También se han evitado aquellos métodos que utilizan
instrumentación compleja o demasiado cara. La búsqueda de esta sencillez se
ha debido a la intención de proponer una metodología fácil de implantar como
sistema de control por cualquier fabricante.
El ensayo que se describe en este apartado, además de ser sencillo de ejecutar, ofrece la ventaja de no ser destructivo. Para llevarlo a cabo es suficiente con
colocar el elemento estructural en algún apoyo, aplicarle un impacto en el centro y medir su respuesta. En el transcurso de dicha operación no es necesario
poner especial interés en la magnitud del impacto, ya que solamente interesa
conocer la frecuencia a la que se da la respuesta y no su amplitud. En cada ensayo se mide la oscilación que describe el elemento como consecuencia del impacto. Existen varios dispositivos con los que captar esta información, como por
ejemplo un acelerómetro o un medidor de posición.
La oscilación recogida en el dominio temporal debe ser pasada al dominio
de frecuencia. Esta operación se realiza mediante la transformada de Fourier.
Como consecuencia, se dispone de la magnitud de la oscilación para cada valor
de frecuencia. Así, es sencillo reconocer el pico correspondiente a la primera
frecuencia natural del sistema. La frecuencia natural está directamente relacionada con la rigidez a flexión. Por lo tanto, una vez lograda la respuesta del sistema en el dominio de frecuencia se llega a la rigidez a flexión del elemento estructural mediante una sencilla fórmula.
Una vez conocida la rigidez a flexión de un perfil, y sabiendo su geometría,
es posible calcular el valor del módulo elástico del material. Para ello basta con
dividir dicha rigidez por el valor de la inercia de la sección. Sin embargo, aunque este valor es interesante como comparación entre los materiales ofrecidos
por las diferentes empresas, desde la perspectiva del cálculo estructural es más
adecuado quedarse en el valor de la rigidez a flexión. Además, esta rigidez
4.2 Procedimientos
127
ofrece la ventaja de ser más intuitiva al analizar el pandeo de Euler, ya que representa precisamente la misma deformación que describe una columna pandeada.
Esta manera de medir la frecuencia natural de un perfil pultruido tiene dos
características que afectan en el resultado en mayor o menor medida. Por un
lado, el aparato de medida puede introducir alguna masa sobre el elemento ensayado. Esta masa cambia la frecuencia natural del sistema, y por lo tanto, puede falsear los resultados.
Por otro lado, en la puesta a punto del experimento resulta difícil conseguir que las condiciones de contorno reales sean iguales a las teóricas de los
modelos matemáticos. El modelo matemático relaciona la frecuencia natural y
la rigidez de un sistema concreto, compuesto por el propio perfil y sus condiciones de contorno. Así, para obtener la rigidez lateral del perfil es necesario
conocer la rigidez aportada al sistema por las condiciones de contorno, ya que
la frecuencia natural medida pertenece a todo el sistema.
La práctica más común al ejecutar un ensayo de frecuencia como el descrito es considerar el elemento estructural bajo unas condiciones de contorno librelibre. Como es evidente, esto es imposible de conseguir en la realidad. Sin embargo, en los materiales de rigidez elevada, puede realizarse el ensayo suspendiendo el elemento de gomas elásticas. En ese caso suele ser válido considerar
que las condiciones de contorno son libre-libre.
A continuación se describen tanto los dispositivos utilizados para medir la
oscilación en los ensayos de frecuencia, como las condiciones de contorno empleadas. En el Capítulo 5 se plasma la comparación entre los resultados obtenidos a partir de cada puesta a punto.
4.2.2.2.1
Aparatos de medida
Se han utilizado un acelerómetro y un sensor láser para medir la respuesta del
sistema de los ensayos de rigidez lateral. La principal diferencia entre ambos
dispositivos, aparte de las diferencias obvias en el tipo de medida, es que el acelerómetro debe ir unido al elemento ensayado, por lo que supone una masa
puntual añadida al sistema, mientras que el láser no requiere ir montado sobre
el propio perfil, por lo que no añade ninguna masa puntual al sistema.
Sin embargo, el láser tiene la desventaja de ser un sensor de desplazamiento, frente al acelerómetro que mide directamente la aceleración. Por ese motivo
los picos de resonancia son captados con más claridad por el acelerómetro, especialmente a altas frecuencias. Una vez realizada la transformación al dominio
de frecuencia, el láser puede presentar una gráfica en la que no se aprecian con
claridad las frecuencias de resonancia. Esto sucede de manera más marcada en
las medidas realizadas a frecuencias mayores, donde el desplazamiento medido
128 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
es menor. Por este motivo, en el presente trabajo ha sido necesario desestimar
las medidas realizadas con el sensor láser en frecuencias mayores a los 300 Hz.
Como conclusión se puede decir que, entre los dispositivos utilizados en
este trabajo experimental, el acelerómetro aporta algo de masa al sistema, falseando en parte el resultado, pero sus resultados son más claros y fiables. Mientras que el sensor láser de desplazamiento es un aparato más limitado y funciona peor a altas frecuencias, pero no aporta ninguna masa adicional.
La Figura 4.12 presenta el acelerómetro utilizado, cuyo peso es aproximadamente de 20 gr. El sensor láser, por su parte, se muestra en la Figura 4.13.
Figura 4.12 - Acelerómetro empleado para determinar la frecuencia natural de elementos estructurales.
4.2 Procedimientos
129
Figura 4.13 – Sensor láser empleado para determinar la frecuencia natural de elementos estructurales.
4.2.2.2.2
Condiciones de contorno
Tal y como se ha comentado, en el experimento real resulta difícil conseguir las
condiciones de contorno teóricas de los modelos matemáticos. En caso de no
conseguirlo esta desviación influye en el resultado, ya que la rigidez real del
conjunto difiere de la considerada por el modelo teórico.
Al medir la frecuencia natural de los elementos estructurales la práctica
más habitual es colgarlos de unas gomas elásticas, en posición horizontal o vertical, y suponer unas condiciones de contorno libre-libre. Con la mayoría de los
materiales esto funciona bien, debido a que la rigidez del material ensayado
suele ser mucho mayor que la aportada por las gomas al sistema. Así, la rigidez
de las gomas puede ser despreciada y el elemento estructural se puede considerar libre. Sin embargo, tal y como se ha explicado en el Capítulo 2, los materiales pultruidos se caracterizan precisamente por tener poco peso y una rigidez
baja. Por lo tanto, al ensayar este tipo de materiales la rigidez de las gomas
puede no ser despreciable frente a la rigidez del perfil ensayado.
130 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Se han probado tres tipos diferentes de amarres para el elemento ensayado
con los que se ha pretendido imitar la situación teórica libre-libre. Las condiciones de contorno utilizadas han sido las siguientes: dos gomas elásticas en las
que se ha colocado el elemento en posición horizontal (Figura 4.14, Figura 4.15 y
Figura 4.16), una sola goma elástica donde se ha colgado el elemento en posición vertical (Figura 4.17) y un apoyo elástico continuo sobre el que el elemento
descansa en posición horizontal (Figura 4.18). En el presente trabajo se ha utilizado foam para conseguir este apoyo elástico continuo.
Figura 4.14 - Tubo rectangular con acelerómetro colocado en las gomas en posición
horizontal para la medida de su frecuencia natural.
4.2 Procedimientos
131
Figura 4.15 - Tubo circular con láser colocado en las gomas en posición horizontal para
la medida de su frecuencia natural.
Figura 4.16 - Viga con acelerómetro colocada en las gomas en posición horizontal para
la medida de su frecuencia natural.
132 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Figura 4.17 - Tubo circular con acelerómetro colocado en la goma en posición vertical
para la medida de su frecuencia natural.
4.2 Procedimientos
133
Figura 4.18 - Tubo circular con acelerómetro colocado en el foam para la medida de su
frecuencia natural.
Teniendo en cuenta las posibles variantes existentes, tanto en el dispositivo
de medida de la oscilación como en las condiciones de contorno, todos los tubos
se han ensayado de cinco maneras diferentes: suspendidos de gomas en posición horizontal con el acelerómetro y con el láser; suspendidos de goma pero en
posición vertical sólo con el acelerómetro, y sobre el apoyo elástico continuo en
posición horizontal con el acelerómetro y con el láser. Al colgar los tubos en
posición vertical no se ha podido realizar el ensayo con láser, debido a que el
elemento ensayado tiende a salirse con facilidad del rango de medida del láser
al ser golpeado para el ensayo.
Las vigas, al tener una sección mayor que los tubos, presentan un peso por
unidad de longitud bastante más elevado que los tubos. El peso por unidad de
longitud de las vigas es cercano a los 10 kg/m, mientras que el de los tubos es
inferior a 1 kg/m. Como consecuencia, la influencia del acelerómetro ha resultado ser despreciable en las vigas.
Lo mismo ha sucedido con las condiciones de contorno. No se ha detectado
ninguna variación en la frecuencia natural del sistema al variar el método de
134 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
sustentación de las vigas. Esto significa que la rigidez de las vigas es lo suficientemente elevada como para considerar sus condiciones de contorno libre-libre, a
pesar de estar suspendidas por gomas elásticas o tendidas sobre un apoyo elástico continuo.
4.2.3
Pandeo de Euler. Ensayo de compresión biarticulado.
Los ensayos de pandeo de Euler sobre tubos huecos, fueron realizados mediante un dispositivo diseñado específicamente para este trabajo experimental.
La máquina de ensayo debía ser capaz de aplicar una carga compresiva
pura a tubos huecos desde 1 hasta 4 metros de longitud. Además, ya que se deseaba probar barras suministradas por distintos fabricantes con distintos diámetros exteriores e interiores, era necesario disponer de unos amarres adaptables a
cualquier tipo de sección cerrada hueca.
Como punto de partida se disponía de una estructura fija (Figura 4.19), en
a la cual se montó el dispositivo experimental.
Figura 4.19 - Estructura fija empleada para montar el dispositivo experimental en los
ensayos de pandeo de Euler de tubos.
4.2 Procedimientos
135
Como solución del diseño se realizó una palanca articulada en un extremo
en la estructura fija. Esta palanca estaba unida a un accionamiento hidráulico en
su extremo fijo, y así, aplicaba una carga de compresión pura sobre el tubo ensayado, que se colocaba en el centro de la palanca. La Figura 4.20 muestra de
manera esquemática la disposición descrita.
Articulación
Palanca
Línea de ensayo
Estructura fija
Línea de
accionamiento
Figura 4.20 - Esquema del dispositivo experimental empleado en los ensayos de pandeo de Euler sobre tubos.
Debido a la longitud de los tubos (hasta 4 metros) y al peso de las piezas
del dispositivo, que en la mayoría de los casos son de acero, se consideró adecuado montar el ensayo en un plano horizontal cerca del suelo. Así, ha sido posible descargar parte del peso del conjunto en el suelo mediante elementos que
no aportan ninguna restricción al desplazamiento del conjunto, como por ejemplo ruedas de goma para carros. De no introducir estos apoyos podría surgir
algún problema al ejecutar el ensayo, ya que todo el peso de la máquina descansaría exclusivamente sobre las uniones con la estructura fija.
Por lo tanto, el dispositivo experimental empleado es el del esquema de la
Figura 4.20, montado en posición horizontal sobre la estructura de la Figura
4.19. El resultado final se muestra en la Figura 4.21.
136 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Figura 4.21 - Dispositivo experimental empleado en los ensayos de pandeo de Euler
sobre tubos pultruidos.
Tal y como se ha descrito anteriormente, la palanca, en la parte superior de
la imagen, está articulada en la estructura fija, a su izquierda. En el extremo libre de la palanca, parte derecha de la imagen, se encuentra la línea de accionamiento, donde se ha montado el actuador hidráulico. En el centro se encuentra
la línea de ensayo, en la cual se ha montado un tubo de sección circular.
El funcionamiento del dispositivo parte del accionamiento hidráulico, que
trabaja en carrera descendente para acortar su línea de acción. De esta manera
mueve la palanca hacia el tubo ensayado. Como consecuencia, la palanca aplica
sobre el elemento estructural una carga a axial compresión creada por el accionamiento hidráulico.
En el montaje real del esquema de la Figura 4.20, la distancia entre la línea
de accionamiento y la articulación es de 2,1 metros, mientras que la distancia
entre la línea de ensayo y la articulación es de 0,95 metros. Por lo tanto, el tubo
ensayado recibe una carga 2,21 veces superior a la aplicada por el accionamiento sobre la palanca. Por otro lado, el accionamiento empleado es capaz de aplicar una carga de 4 toneladas. De esta manera, el dispositivo diseñado puede
4.2 Procedimientos
137
aplicar hasta 8,84 toneladas sobre el tubo. La carrera total del vástago del accionamiento es de 500 mm.
Al aplicar una carga compresiva sobre un elemento estructural biarticulado que se encuentra en posición horizontal, por efecto de la gravedad, el elemento al pandear se deformaría hacia abajo. Este comportamiento no es el deseado en los ensayos que se están describiendo. En caso de darse esta situación
el pandeo no se debe exclusivamente a la carga axial de compresión, sino que
respondería a la influencia combinada de la carga axial y el peso propio, que es
una fuerza lateral sobre el tubo. Para evitar este comportamiento, los amarres
del tubo se diseñaron como articulaciones en el plano horizontal y empotramientos en el plano vertical. Esto se consiguió por medio de unas articulaciones
basadas en ejes verticales. La Figura 4.22 muestra la articulación que une el tubo
ensayado con la estructura fija. En la figura se observa que la articulación está
formada por una pieza fija, sobre la que se monta otra pieza móvil mediante un
eje vertical. Por lo tanto, el dispositivo empleado fuerza a un tubo a pandear en
el plano horizontal.
Figura 4.22 - Articulación de unión entre el tubo ensayado y la estructura fija.
138 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Tal y como se ha explicado al inicio de este apartado, el dispositivo experimental a emplear debe permitir ensayar tubos huecos de diferentes secciones.
Esta característica se consiguió gracias al tipo de articulación mostrada en la
Figura 4.22. El tubo se une al resto de la articulación mediante una pieza que
funciona como tapón interior. Este tapón interior está roscado a la base, por lo
que es intercambiable. Así, es suficiente con fabricar dos tapones para cada tubo
diferente que se quiere ensayar.
El elemento estructural se amarra de la manera que describe la Figura 4.23.
Como se observa en la fotografía, el tapón queda totalmente introducido en el
interior del tubo y ajustado a éste. De esta manera, toda la carga se transmite
por contacto directo entre el extremo del tubo y la superficie plana de la pieza.
El cilindro interior no transmite ninguna carga, y sólo sirve para alinear la barra
con la articulación.
Figura 4.23 - Articulación de unión entre el tubo ensayado y la estructura fija con el
tubo colocado.
El otro requisito del dispositivo era poder ensayar elementos de diferentes
longitudes, para poder determinar la relación entre la carga crítica de pandeo
de Euler y la esbeltez reducida del elemento. Este requisito se cumplió desplazando la articulación entre la palanca y la estructura fija. Para ello, la pieza que
4.2 Procedimientos
139
funciona como base de la articulación está atornillada en el interior del perfil
que forma la estructura fija. Así, para desplazar la articulación es suficiente con
desatornillarla y volver a atornillarla a la distancia deseada. Todos los elementos de la máquina de ensayo son igualmente válidos para cualquier posición de
esta articulación.
En la Figura 4.24 y la Figura 4.25 se observan las similitudes del montaje de
la máquina para las barras de 2 y 4 metros.
Los elementos de medida utilizados en este apartado han sido una célula
de carga, colocada en la línea de accionamiento, y tres medidores de longitud,
que se han usado para conocer el desplazamiento lateral de la barra. Todos estos dispositivos se observan en la Figura 4.21.
La célula de carga medía la carga aplicada por el accionamiento, y para conocer la carga soportada por el elemento ha sido necesario multiplicar este dato
por 2,21, debido a la geometría de la palanca. Entre los tres medidores de desplazamiento la información más útil ha sido la suministrada por el medidor
colocado a la altura del centro del tubo, ya que este aparato ha medido la flecha
de la sección central del tubo, que es su deformación máxima.
Al preparar cada tubo para el ensayo se ha cuidado especialmente que sus
secciones extremas sean planas y perpendiculares a la directriz. De esta manera,
se ha distribuido de manera homogénea la carga aplicada a lo largo de la sección.
Una vez colocado el tubo, se procedía a cargarlo por medio de la palanca.
Los ensayos se han realizado en control de desplazamiento del accionamiento
hidráulico. La aplicación de la carga se ha llevado a cabo a una velocidad de
desplazamiento del vástago constante y cuasi-estática.
140 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Figura 4.24 - Dispositivo experimental para los ensayos de pandeo de Euler preparado
para tubos de 4 metros.
Figura 4.25 - Dispositivo experimental para los ensayos de pandeo de Euler preparado
para tubos de 2 metros.
4.2 Procedimientos
141
Los elementos estructurales han presentado una deformación como la mostrada en la Figura 4.26, debida a la aparición del pandeo de Euler.
Gracias a los dispositivos mencionados anteriormente, durante el transcurso del ensayo se han medido en tiempo real la carga experimental y el desplazamiento de la sección central. Así, los tubos han sido cargados hasta observar
un aumento importante del desplazamiento lateral con un valor de carga constante. En este punto se ha procedido a retirar la carga aplicada hasta llegar a la
posición inicial. Al finalizar el proceso de carga y descarga no se ha observado
ninguna deformación permanente en los tubos ensayados. Puede considerarse
que los tubos han tenido un comportamiento elástico durante todo el ensayo.
Figura 4.26 - Tubo pultruido durante el ensayo de pandeo de Euler.
Tras el ensayo, se han relacionado la carga experimental y el desplazamiento central mediante una gráfica como la mostrada en la Figura 4.27. En una
primera zona de la gráfica se comprueba que la carga ha aumentando de manera monótona. Sin embargo, a partir de un valor determinado de carga, no ha
sido necesario aumentar el valor ésta, ya que el tubo siguió deformándose con
un valor constante de carga. Se puede considerar que ésta es la carga crítica del
elemento ensayado, ya que, si en este punto no se hubiera procedido a descar-
142 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
gar el dispositivo experimental, el tubo hubiera seguido deformándose hasta
romperse. Este fenómeno se traduce en una asíntota como puede observarse en
la Figura 4.27. De cada ensayo realizado, se ha tomado el valor de esta asíntota
como valor de la carga crítica de pandeo de Euler del tubo pultruido. Para calcular el valor de la asíntota se ha realizado la media entre el valor del proceso
de carga y el de descarga. La diferencia entre estos dos valores se debe al rozamiento existente entre el dispositivo experimental y el entorno.
250
Carga aplicada (kg)
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Flecha sección central (mm)
Figura 4.27 - Gráfica de la carga aplicada frente al desplazamiento lateral de la sección
central resultante de un ensayo de pandeo de Euler.
Debido a que la máquina de ensayo obligaba el pandeo contenido en el
plano horizontal, para buscar el plano débil se ha tenido que ensayar cada tubo
varias veces, rotándolo entre cada ensayo para probar un plano diferente. Así,
cada tubo se ha ensayado en 6 posiciones diferentes rotándolo 30º hasta cubrir
180º. Ensayar 6 posiciones más en la otra mitad de la circunferencia no aportaría
nada, ya que se estarían probando las mismas fibras colocadas en el sentido inverso.
Para cada una de estas 6 posiciones se ha obtenido una gráfica como la
mostrada anteriormente, y a partir de ella se ha calculado la carga crítica. Así,
para cada barra se han logrado 6 cargas críticas, una por cada posición. Se ha
considerado como carga crítica de un elemento la correspondiente al plano más
débil de todos los ensayados, es decir, la carga crítica más baja entre las 6 obtenidas.
4.2 Procedimientos
143
Por otro lado, con el fin de comprobar que no ha existido comportamiento
plástico, en cada ensayo se han efectuado dos procesos de carga y descarga. Así,
se ha comprobado que en la segunda operación el tubo pandeó con la misma
carga que en la primera.
Considerando todas las operaciones necesarias para determinar correctamente la carga crítica de pandeo de Euler de un tubo, para cada tubo ha sido
necesario realizar 6 ensayos, cargando y descargando dicho tubo dos veces por
cada ensayo. Posteriormente se ha procesado toda esa información, y entre todos los valores de carga de pandeo, se ha seleccionado el menor, que representa
la carga crítica de pandeo de Euler del elemento ensayado.
4.2.4
Pandeo lateral. Ensayo de flexión en 3 puntos.
Para el estudio del pandeo lateral sobre vigas pultruidas, se ha realizado una
serie de ensayos de flexión sobre los perfiles abiertos descritos en el Apartado
4.1.2. Estas vigas han cubierto un rango de longitud desde 2 hasta 6 metros. Por
lo tanto, los ensayos descritos a continuación han sido ejecutados sobre elementos estructurales de tamaño equivalente al que se podría utilizar en la realidad.
La máquina de ensayo empleada ha sido la misma que se utilizó para obtener la rigidez a flexión mediante el ensayo mecánico en los perfiles abiertos.
Dicha máquina consta de una bancada sobre la cual hay dos apoyos. En la parte
superior de cada apoyo se acomoda un rodillo sobre el cual se coloca la viga. La
Figura 4.28 muestra una imagen general de la máquina. Además en la Figura
4.29, que muestra uno de estos apoyos, se aprecia el rodillo superior mencionado.
144 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Figura 4.28 - Máquina utilizada en los ensayos de pandeo lateral de vigas pultruidas.
Figura 4.29 – Apoyos inferiores de la máquina de pandeo lateral.
4.2 Procedimientos
145
Ambos apoyos pueden ser desplazados a lo largo de la bancada, permitiendo adoptar entre ellos cualquier distancia comprendida entre 1 y 6 metros.
Por lo tanto, en esta máquina se pueden ensayar vigas hasta una luz máxima de
6 metros.
En el centro de la bancada se levanta un bastidor sobre el cual se monta el
accionamiento hidráulico (Figura 4.28). Este accionamiento hidráulico puede
realizar una carga vertical de hasta 20 toneladas al trabajar en sentido descendente. Además, se dispone de una viga de acero diseñada para ser acoplada al
vástago del accionamiento hidráulico (elemento amarillo y negro de la imagen).
Los rodillos con los que se aplica la carga sobre la viga deben ir montados en
esta viga de acero. Así, es posible colocar en la viga un solo rodillo o dos rodillos. De esta manera se puede emplear esta misma máquina de ensayo para la
flexión en 3 puntos o la flexión en 4 puntos. En el caso de la flexión en 4 puntos,
los puntos de aplicación de la carga pueden colocarse en cualquier posición hasta llegar a una distancia máxima de 2 metros entre sí.
Para realizar los ensayos de pandeo lateral mediante esta máquina comercial, ha sido necesario diseñar una serie de piezas con las que adaptar el ensayo
a las condiciones de contorno deseadas.
A la hora de seleccionar las condiciones de contorno de la viga ensayada se
ha puesto especial atención en conseguir un comportamiento que pudiera ser
modelado con exactitud de manera teórica. Tal y como se ha comentado en el
Capítulo 3, muchos de los trabajos realizados por otros autores en el entorno del
pandeo lateral simplifican las hipótesis de carga. Esto se debe a lo complicado
que resulta conseguir en la práctica las mismas condiciones de contorno que
consideran los modelos teóricos, bien sean analíticos o de elementos finitos. Por
ejemplo, en algunas de las disposiciones utilizadas para los ensayos de otros
autores el propio sistema de aplicación de carga restringía algún movimiento de
la sección, habitualmente el giro del ala superior. Sin embargo, ninguno de estos autores consideró este efecto en los posteriores modelos de elementos finitos. Esta simplificación, como es lógico, supone un pequeño error a la hora de
comparar los métodos de diseño con la realidad.
También se debe tomar en consideración que al analizar el pandeo lateral
de una viga, las condiciones que influyen en su comportamiento no son exclusivamente las restricciones al desplazamiento dentro del plano de aplicación de
las cargas, es decir, las articulaciones o los empotramientos con el entorno. Al
contrario, en el estudio del pandeo lateral también entran en juego las restricciones que impiden al elemento salirse del plano de carga. Estas otras restricciones se reflejan en el alabeo y la torsión de cada sección de la viga. Así, para
describir correctamente una viga susceptible de pandear lateralmente se debe
comprobar también si alguna de sus secciones tiene restringido el desplazamiento lateral.
146 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Al diseñar un ensayo real resulta casi imposible desacoplar cada tipo de
restricción. Por ejemplo, al imponer un empotramiento, normalmente se impide
la torsión de esa sección. Además, como ya se ha comentado, la aplicación de la
carga suele suponer una restricción de giro.
Por otro lado, la configuración utilizada debía dar una esbeltez suficientemente alta para conseguir que la viga tendiera a pandear lateralmente, en vez
de romperse por el esfuerzo local en la sección. Así pudo analizarse la inestabilidad global de estos elementos, que era el objetivo de los ensayos.
En resumen, se puede afirmar que al adaptar el dispositivo comercial de
ensayo a nuestras necesidades concretas, el reto residió en encontrar una configuración con unas condiciones de contorno reales y una esbeltez suficientemente elevada.
Figura 4.30 - Empotramiento fabricado para los ensayos de pandeo lateral.
4.2 Procedimientos
147
La solución adoptada para los apoyos sobre los que descansa la viga se
inspiran en el trabajo de Qiao, Zou y Davalos (2003). Dichos apoyos son unos
empotramientos como los presentados en la Figura 3.43. Esta solución consistes
en fabricar unas piezas exteriores que crean un orificio de la misma forma que
la sección de la viga. Gracias a estas piezas la sección está embebida, quedando
impedidos todos sus desplazamientos. Además, el ala superior de la viga se
agarró con una placa de acero atornillada a unos pernos laterales. Esta placa se
consideró lo suficientemente ancha como para impedir el giro de la sección. El
comportamiento observado posteriormente en los ensayos confirmó que esta
consideración había sido adecuada.
La Figura 4.30 muestra el empotramiento descrito que se ha utilizado para
los ensayos de pandeo lateral de vigas pultruidas. En dicha imagen es evidente
la similitud entre este diseño y el de la Figura 3.43. La Figura 4.31 , en cambio,
muestra el apoyo de una viga pultruida durante el ensayo de pandeo lateral. En
la imagen se comprueba que la viga no puede girar en el apoyo, por lo que es
correcto considerarlo un empotramiento.
Figura 4.31 - Comportamiento del apoyo durante el ensayo de pandeo lateral.
148 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Este tipo de amarre, además de restringir el desplazamiento y el giro de la
sección dentro del plano de carga, impide su torsión y alabeo. Esta información
debe ser tenida en cuanta durante el posterior análisis teórico.
La mayor dificultad se encontró al modelar correctamente la sección central, sobre la que se aplica la carga durante el ensayo. Se tiene la seguridad de
que el rodillo que aplica la carga no permite el giro del ala superior en ese punto. Esto supone una restricción al giro de la sección sencilla de modelar en la
teoría. Sin embargo, existía la duda de conocer si el rodillo, por medio del roce
producido contra la viga, impedía en alguna medida el desplazamiento de esa
ala, tanto en la dirección principal de la viga como en la lateral.
Para disipar esta inexactitud se probaron diferentes disposiciones de ensayo, siempre utilizando los empotramientos descritos anteriormente. En un primer momento se probó un ensayo de flexión en 4 puntos, favoreciendo el deslizamiento relativo entre el rodillo y la viga por medio de unos plásticos untados
en aceite. La Figura 4.32 muestra estos plásticos debajo de uno de los rodillos
de este ensayo. Este sistema permitía considerar que el rodillo no impide ningún desplazamiento de la sección.
Figura 4.32 - Plásticos utilizados para favorecer el desplazamiento relativo entre el
rodillo y la viga.
4.2 Procedimientos
149
La principal ventaja de esta disposición residía en no tener ninguna restricción a lo largo de la viga a excepción de los empotramientos y el giro en las secciones de aplicación de la carga, lo que llevaba a un valor alto de la esbeltez reducida. Sin embargo, las pruebas realizadas bajo esta configuración demostraron que la viga adoptaba la posición de la Figura 4.33 antes de llegar a la carga
de pandeo lateral. Por lo que el ensayo no pudo considerarse válido.
Figura 4.33 - Prueba de ensayo de pandeo lateral no válido.
Para llegar a la disposición correcta se utilizó como apoyo el software de
uso libre LTBeam (2002). Este programa fue concebido para conocer el momento de pandeo lateral de las vigas de acero. Por este motivo, aunque no fue posible utilizarlo para saber el momento crítico de las vigas pultruidas, sí fue válido
como herramienta de diseño del dispositivo experimental. Por medio del
LTBeam se probaron diferentes disposiciones de ensayo hasta llegar a una configuración sin desplazamiento lateral en la sección central, a pesar de no estar
éste impedido. De esta manera se conseguía eliminar la incertidumbre, ya que si
la viga no tendía a desplazarse lateralmente en el centro a pesar de estar libre,
no era necesario conocer hasta qué punto estaba impedido por el rodillo. Por
medio del LTBeam fue posible probar diferentes configuraciones hasta llegar a
la deformada mostrada en la Figura 4.34, que representa la deformación lateral
150 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
a lo largo de la viga resultante por la aparición del pandeo lateral. En dicha configuración la viga adopta la forma de una función senoidal, que no presenta
desplazamiento lateral en su sección central.
La deformada mostrada en la Figura 4.34 se obtiene mediante el ensayo de
flexión en 3 puntos sobre una viga biempotrada. Por lo tanto, esa ha sido la disposición utilizada finalmente para los ensayos de pandeo lateral de vigas pultruidas. La Figura 4.28 muestra esta disposición montada en la máquina descrita al inicio de este apartado.
Figura 4.34 - Deformada del ensayo de pandeo lateral obtenida mediante LTBeam.
Una vez desarrollada la disposición adecuada para este tipo de ensayo, se
realizó la experimentación para vigas de diferentes longitudes, ajustando para
cada caso la distancia entre apoyos.
Al realizar los ensayos se ha observado que, en función de la luz de la viga
ensayada, el comportamiento de la viga ha sido el pandeo local o el pandeo lateral. Por lo tanto, mediante el mismo procedimiento experimental se ha podido
analizar la aparición de ambos fenómenos sobre vigas pultruidas.
En las vigas más cortas ensayadas según este procedimiento no se ha podido llegar al pandeo lateral, ya que éstas han sufrido antes el fallo local. En
estos casos, la rotura siempre se ha presentado en la sección central, debido a
que esta sección sufre el máximo momento flector y la aplicación de la carga
puntual. Además, el fallo de esta sección se ha dado siempre en la unión entre
el alma y el ala comprimida, es decir, en la transición superior. Este hecho puede ser debido a que, tal y como se ha comentado, el rodillo para aplicar la carga
no permite el giro de la fibra superior. De esta manera, la sección estaría trabajando como un voladizo, es decir, con el movimiento del ala superior impedido
y del ala inferior libre. Teniendo en cuenta esta condición es lógico que las mayores tensiones se creen en la transición superior. Además, en esta zona las tensiones producidas por el momento flector son compresivas, lo que favorece el
4.2 Procedimientos
151
pandeo local, tal y como se ha visto en el Capítulo 3. En la Figura 4.35 se observa uno de estos fallos locales. A la vista de la rotura, puede parecer que también
se ha dado un punzonamiento del rodillo en el alma a través del ala comprimida.
Figura 4.35 - Fallo local observado en los ensayos de vigas pultruidas.
En las vigas largas, por su parte, el comportamiento observado ha sido el
pandeo lateral. En estos casos se ha llegado a una deformada como la mostrada
en la Figura 4.36, la Figura 4.37 y la Figura 4.38.
La viga mostrada en estas tres figuras ha adoptado una forma sinusoidal,
formando dos arcos laterales a ambos lados del rodillo central. Cada arco está
desplazado hacia un lado. Como se comprueba en las figuras es correcta la suposición realizada de que el desplazamiento lateral de la sección central es nulo.
Por este motivo, no ha sido necesario conocer el grado de restricción al desplazamiento que supone el roce entre el rodillo central y la viga.
El máximo desplazamiento lateral que sufre la viga no se ha dado, como
podría parecer a simple vista, en la mitad de la distancia entre el apoyo y la
aplicación de la carga. Ese máximo se encuentra algo desplazado hacia el punto
de aplicación de la carga debido a que los empotramientos utilizados también
obligan a la viga a salir con pendiente nula en el desplazamiento lateral. La gráfica de la Figura 4.34, obtenida a partir del LTBeam, muestra este detalle más
claramente.
152 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Figura 4.36 - Viga deformada durante un ensayo de pandeo lateral. (Vista 1).
4.2 Procedimientos
153
Figura 4.37- Viga deformada durante un ensayo de pandeo lateral. (Vista 2).
154 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
Figura 4.38- Viga deformada durante un ensayo de pandeo lateral. (Vista 3).
4.2 Procedimientos
155
Además del desplazamiento lateral, resulta interesante destacar que la torsión es máxima en la misma sección donde el desplazamiento lateral es máximo. Esto se debe a que la deformación se da principalmente en el ala comprimida, quedando el ala traccionada casi recta. Por lo tanto, la torsión que sufre la
sección se debe a la diferencia en el desplazamiento lateral entre el ala comprimida y el ala traccionada, que casi no se desplaza. El alabeo, en cambio, presenta su máximo valor en el centro de la viga, y se anula en la sección donde la torsión es máxima. Esto se debe a que, en realidad, el alabeo es la derivada de la
torsión.
La Figura 4.39 muestra la torsión y el alabeo experimentados a lo largo de
la longitud de la viga según el software LTBeam. Además de lo comentado, en
dicha gráfica se comprueba que ambas deformaciones están impedidas en el
empotramiento, lo que encaja con el modelo teórico planteado inicialmente.
Figura 4.39 - Torsión y alabeo obtenidos en el ensayo de pandeo lateral mediante
LTBeam.
Los ensayos se ejecutaron con control de desplazamiento del vástago, a
una velocidad constante de 2 milímetros por segundo. Durante el ensayo se ha
midió la carga aplicada por el accionamiento hidráulico y la carrera del vástago.
De esta manera, se ha podido reconocer, al igual que en los ensayos de pandeo
de Euler, el momento en el que el accionamiento no necesita aumentar el valor
de la carga aplicada para seguir deformando la viga. Este comportamiento representa la aparición del pandeo global. Por lo tanto, en ese momento se ha
procedido a descargar el sistema volviendo a la situación inicial. El inicio del
pandeo lateral también es perceptible a simple vista, ya que la viga pasa de manera bastante rápida de la posición recta a la forma descrita anteriormente.
La Figura 4.40 muestra la gráfica de la carga aplicada en función del desplazamiento del vástago resultante de un ensayo de pandeo global. Como se
observa la mayoría del ensayo transcurre de forma lineal, hasta llegar a la carga
crítica de pandeo. A partir de ese momento el accionamiento hidráulico es ca-
156 Capítulo 4: Materiales y procedimientos
paz de continuar su carrera sin aumentar el valor de la carga. De no descargar
el sistema la viga terminaría rompiéndose por la gran deformación sufrida.
Durante los ensayos de pandeo lateral sobre vigas largas, salvo cuando se
producía el fallo local, el comportamiento de las vigas ha permanecido siempre
dentro del régimen elástico del material.
25
Carga aplicada (kN)
20
15
Carga máxima
10
22,82 (kN) = 2.329 (kg)
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Carrera del vástago (mm)
Figura 4.40 - Gráfica de carga frente a la carrera del vástago resultante de un ensayo
de pandeo de lateral.
Capítulo
5
5 RIGIDEZ A FLEXIÓN DE
LOS PERFILES
PULTRUIDOS
Tal y como se ha explicado en el apartado dedicado a los ensayos de rigidez a
flexión del Capítulo 4, sería ventajoso conocer bajo qué condiciones debe realizarse el ensayo de frecuencia presentado en el Apartado 4.2.2.2 para gozar, al
menos, de la fiabilidad del ensayo mecánico. De esta manera, se dispondría de
unos resultados precisos mediante un ensayo sencillo y no destructivo.
La disposición del ensayo propuesto es válida para cualquier tipo de perfil
pultruido. Sin embargo, puede resultar especialmente adecuado para las columnas, ya que la deformación en la que se basa la medida de la frecuencia es la
misma que éstas presentan al sufrir el pandeo de Euler.
En este capítulo se presentan los resultados de rigidez a flexión obtenidos
tanto en los ensayos mecánicos como en los de frecuencia. Cada tipo de perfil
empleado en el posterior análisis del pandeo global ha sido ensayado de ambas
maneras. Así, partiendo de los valores de rigidez a flexión del ensayo mecánico,
se ha comprobado la precisión de los ensayos según las diferentes disposiciones. Finalmente, se han establecido las condiciones más adecuadas para ejecutar
dicho ensayo de frecuencia.
Además, a lo largo de ese proceso, se ha propuesto una nueva expresión
que relaciona la frecuencia natural de una viga con su rigidez a flexión en unas
condiciones de apoyo concretas. A diferencia de la expresión clásica, esta nueva
ecuación tiene en cuenta las singularidades del ensayo de frecuencia desarrollado aquí llevando a resultados más reales.
La disposición del ensayo de frecuencia empleada, combinada con la nueva expresión, puede considerarse una metodología para la obtención de la rigi157
158 Capítulo 5: Rigidez a flexión de los perfiles pultruidos
dez a flexión de los perfiles pultruidos. La metodología propuesta pretende ser
una solución de compromiso entre la sencillez y la precisión.
El desarrollo de este capítulo no estaba entre los objetivos de la tesis al inicio de ésta. Además, es conocido por el autor que existen ensayos de frecuencia
mucho más precisos que el de la presente tesis. Sin embargo, se ha considerado
interesante incluir en esta memoria el análisis realizado en torno a los ensayos
no destructivos. Con el estudio que se presenta a continuación se pretende proponer una metodología que podría ser implantada en las empresas dedicadas a
la pultrusión, que de esta manera podrían ensayar sus propios perfiles. Como
consecuencia, los fabricantes de perfiles pultruidos, además de tener un sistema
de control de calidad, suministrarían información más precisa a sus clientes.
5.1
RESULTADOS EXPERIMENTALES
5.1.1
Ensayo mecánico
Según el procedimiento explicado en el Apartado 4.2.2.1.1 de la presente memoria, se han ensayado probetas de los materiales A, C y D. Concretamente se han
probado 20 muestras de cada uno de los materiales, excepto en el material B,
donde se han ensayado 5 muestras. Todos los ensayos han dado como resultado
los módulos elásticos recogidos en la Tabla 5.1, que corresponden a la media de
cada material. Estos valores corresponden al módulo elástico del material pultruido según su dirección principal, es decir, en la dirección en la que está orientada la fibra procedente de las bobinas.
A partir del módulo elástico principal, y según el valor de la inercia de cada perfil presentada en la Tabla 4.2 se ha calculado la rigidez a flexión de cada
uno de los materiales. Esta información se refleja también en la Tabla 5.1. Ya
que los tubos huecos han sido empleados posteriormente para el estudio del
comportamiento de las columnas, se ha presentado la rigidez a flexión según el
plano en el que se daría el pandeo de Euler, es decir, el plano con menor momento de inercia.
En cambio, la rigidez a flexión de las vigas pultruidas empleadas para el
estudio del pandeo lateral se ha logrado mediante el procedimiento introducido
en el Apartado 4.2.2.1.2. Se han ensayado un total de 12 vigas, con una longitud
comprendida entre 2 y 6 metros. Los resultados de estos ensayos han demostrado que no existe relación directa entre la longitud de la viga y el módulo
elástico medido según este procedimiento.
La Tabla 5.1 muestra el módulo elástico medio y la rigidez a flexión de las
vigas según su eje fuerte (material E). A diferencia de lo realizado en los tubos,
se ha considerado más adecuado reflejar la rigidez a flexión de las vigas según
su plano fuerte, ya que estos elementos no serán ensayados a compresión.
5.1 Resultados experimentales
159
E mecánico (GPa)
Material
Nº
muestras
Media
Desviación
Estándar
EI mecánico (N.m2)
A
20
28,03
0,5377
3.787
B
5
27,62
0,4560
1.658
C
20
32,35
0,7132
3.243
D
20
39,59
2,0627
2.201
E
20
33,76
1,5371
2,934x106
Tabla 5.1 - Módulo elástico y rigidez lateral obtenidos en cada material a partir del ensayo mecánico.
Si se compara la rigidez a flexión obtenida experimentalmente con los valores nominales suministrados por los fabricantes de perfiles pultruidos (Tabla
4.1), se comprueba que en los materiales B, C, D y E, la rigidez real es mayor
que la adjudicada por el fabricante. Además, en los materiales C y D, procedentes del mismo fabricante, esta diferencia es sorprendentemente amplia. Sin embargo, en el material A sucede lo contrario, es decir, que el valor nominal ha
resultado ser mayor que el obtenido experimentalmente en este trabajo. Estos
hechos apuntan una vez más a la inseguridad que existe por parte de los proveedores sobre la rigidez del material que fabrican.
5.1.2
Ensayo de frecuencia
Los ensayos de frecuencia se han aplicado exclusivamente en los materiales A,
C, D y E. El material B ha sido descartado por no disponer de una gama lo suficientemente amplia de tubos procedentes de este fabricante. Como consecuencia, la metodología propuesta en este capítulo se ha desarrollado según el comportamiento de los otros cuatro tipos de elementos estructurales.
En este apartado se ha trabajado con 9 tubos del material A, otros 9 del C, 6
del D y 12 del E. La longitud de cada uno de estos perfiles y la frecuencia de
resonancia medida en cada disposición del ensayo se presentan en la Tabla 5.2.
Cada una de estas frecuencias da lugar a un módulo elástico que se presentará
en el próximo apartado.
Como ya se ha indicado en el Capítulo 4, en estos ensayos no se han utilizado los mismos tubos que los empleados para el ensayo mecánico, ya que el
ensayo mecánico sobre tubos era destructivo. En cambio, sí que se han utilizado
exactamente las mismas 12 vigas utilizadas en el ensayo mecánico. De esta manera ha sido posible contrastar el valor del módulo elástico obtenido por el ensayo mecánico y el ensayo no destructivo en cada viga.
160 Capítulo 5: Rigidez a flexión de los perfiles pultruidos
Código
A-L1-1
A-L1-2
A-L1-3
A-L2-1
A-L2-2
A-L2-3
A-L3-1
A-L3-2
A-L3-3
C-L1-1
C-L1-2
C-L1-3
C-L2-1
C-L2-2
C-L2-3
C-L3-1
C-L3-2
C-L3-3
D-L1-1
D-L1-2
D-L1-3
D-L3-1
D-L3-2
D-L3-3
E -L2-1
E -L2-2
E -L2-3
E -L3-1
E -L3-2
E -L3-3
E -L4-1
E -L4-2
E -L4-3
E -L6-1
E -L6-2
E -L6-3
Longitud.
(mm)
1.060
1.063
1.063
2.255
2.060
2.060
3.065
3.065
3.065
1.064
1.064
1.063
2.057
2.061
2.058
3.067
3.068
2.744
1.055
1.059
1.059
2.727
2.726
2.724
2.180
2.207
2.185
3.038
3.018
3.015
3.996
4.000
3.994
5.997
5.996
5.995
Goma horizontal
Goma
vertical
Foam
Acel.
Láser
Acel.
Acel.
Láser
183,00
181,88
184,69
42,88
51,25
50,50
23,63
23,50
23,63
197,19
197,19
199,06
53,00
55,00
55,50
25,13
25,13
31,25
308,75
306,56
306,88
48,63
49,00
48,88
308,75
313,75
311,25
181,00
183,25
184,25
110,25
109,50
110,00
50,50
50,50
50,50
190,00
190,62
191,88
43,75
52,38
51,75
23,88
23,88
24,00
207,50
207,50
208,75
56,88
56,63
56,75
25,63
25,50
32,00
49,00
49,25
49,25
308,75
313,75
311,25
181,00
183,25
184,25
110,25
109,50
110,00
50,50
50,50
50,50
187,75
186,56
192,19
43,25
52,00
51,00
24,00
23,25
23,50
205,94
206,88
205,31
56,00
55,25
55,75
25,00
25,00
31,75
312,50
314,06
308,44
49,50
49,50
49,25
308,75
313,75
311,25
181,00
183,25
184,25
110,25
109,50
110,00
50,50
50,50
50,50
183,44
180,31
185,00
42,75
51,50
50,75
24,38
24,25
23,75
198,44
197,50
199,38
56,00
55,50
56,00
24,50
25,50
31,25
311,25
307,81
308,81
49,00
48,88
49,25
308,75
313,75
311,25
181,00
183,25
184,25
110,25
109,50
110,00
50,50
50,50
50,50
189,69
187,50
193,44
43,75
52,75
51,75
24,50
24,50
24,50
209,06
207,19
210,31
57,50
57,00
57,00
26,00
26,00
32,50
50,00
50,75
50,50
308,75
313,75
311,25
181,00
183,25
184,25
110,25
109,50
110,00
50,50
50,50
50,50
Tabla 5.2 - Resultados, en Hercios, de los diferentes ensayos de frecuencia para obtener la rigidez a flexión.
5.1 Resultados experimentales
161
En las vigas (material E), que tienen una sección claramente mayor que los
tubos, el peso lineal, cercano a los 10 kg/m, es bastante más elevado que el de
los tubos, inferior a 1 kg/m. Como consecuencia, la influencia del acelerómetro
ha resultado ser despreciable en estos elementos estructurales. Lo mismo ha
sucedido con las condiciones de contorno, no se ha detectado ninguna variación
en la frecuencia natural del sistema al variar el método de sustentación de la
viga. Este hecho se demuestra en la Tabla 5.2, donde cada una de las vigas ha
llevado a la misma frecuencia de resonancia en todas las disposiciones de ensayo.
Tal y como se ha comentado en el Apartado 4.2.2.2.1 de esta memoria, las
limitaciones del sensor láser han obligado a desestimar los datos obtenidos por
este aparato a frecuencias mayores que 300 Hz. Así, los tubos rectangulares
(material D) más cortos no han podido ser ensayados con el láser.
Una vez obtenida la frecuencia de resonancia de un sistema, siendo conocidas el área y la longitud del elemento ensayado, el valor de la rigidez a flexión
(EI) y del módulo elástico (E) se calculan mediante la fórmula presentada en la
Ecuación 5.1. Donde f representa la frecuencia natural del sistema, en Hercios, δ
es un constante cuyo valor depende de las condiciones de contorno del elemento ensayado, y ρ es la densidad del material. El valor de la constante δ para un
sistema libre-libre es 4,73.
f =
δ2
2π
EI
ρAL4
(5.1)
Dicha fórmula procede del análisis clásico de la vibración lateral de una
viga, donde ésta se considera un sistema continuo de infinitos grados de libertad (Singiresu S. Rao, 1995).
En las dos disposiciones de ensayo sustentadas mediante gomas elásticas,
en posición horizontal y vertical, se ha aplicado la fórmula clásica mencionada
con el valor de δ = 4,73. Por lo tanto, se ha considerado que al colgar el tubo de
gomas elásticas no se influye en la rigidez del sistema, y así, las condiciones de
contorno son libre-libre. En el siguiente apartado se discute la idoneidad de esta
consideración.
En el caso del ensayo sobre el apoyo elástico continuo se ha introducido
una fuerza distribuida a lo largo de todo el elemento. Esta fuerza, que es la que
ejerce el propio apoyo elástico continuo sobre el tubo, tiene una magnitud que
es función de la posición del tubo. Por este motivo no parece adecuado considerar el caso de vibración libre sin introducir ninguna fuerza adicional en la fórmula teórica.
162 Capítulo 5: Rigidez a flexión de los perfiles pultruidos
Para estos ensayos ha sido necesario plantear de nuevo el estado de equilibrio del sistema, considerando la fuerza distribuida aportada por el apoyo elástico continuo, e integrar la ecuación diferencial (Apéndice D). Así, se ha llegado
a otra expresión, equivalente a la Ecuación 5.1, pero que incluye el efecto del
apoyo elástico (Ecuación 5.2). Esta nueva ecuación ha sido utilizada para calcular el módulo elástico en los ensayos de frecuencia sobre el apoyo elástico continuo.
f =
1
2π
S δ 4 EI
+
ρA ρAL4
(5.2)
En este caso S representa la rigidez del apoyo elástico continuo por unidad
de longitud. Por lo tanto, para aplicar esta nueva expresión, es necesario medir
previamente la rigidez del apoyo. Para ello es suficiente con depositar sobre
dicho apoyo el elemento estructural que se va a ensayar, y medir el desplazamiento sufrido en la superficie superior del mismo.
La principal aportación de esta nueva expresión respecto de la ecuación
clásica es que tiene en consideración todos los factores que influyen sobre la
vibración del elemento oscilante. Es decir, mientras que si en la ecuación clásica
se considera una vibración libre se deben despreciar los elementos que en la
realidad sustentan la barra, en la nueva ecuación la barra queda sustentada por
unas fuerzas que sí han sido introducidas en la formulación teórica. Por lo tanto, la barra puede ser considerada como libre sin incurrir en ningún error.
A partir de los valores de frecuencia de resonancia correspondientes al
primer modo de vibración, presentados en la Tabla 5.2, se obtiene la rigidez a
flexión del elemento ensayado mediante la expresión correspondiente entre la
Ecuación 5.1 o la Ecuación 5.2.
En el siguiente apartado se presentan los módulos elásticos a los que han
dado lugar los ensayos no destructivos realizados. Además, esos valores se
comparan con los obtenidos por el ensayo mecánico, dando como resultado la
discusión de la optimización del método propuesto.
5.2 Discusión
5.2
163
DISCUSIÓN
El error obtenido en el ensayo no destructivo propuesto en esta tesis proviene
principalmente de dos fuentes: las hipótesis sobre la disposición del ensayo,
comentadas en el Capítulo 4, y los efectos de borde.
El primer tipo de error es apreciable en los elementos estructurales con poco peso, como pueden ser los perfiles pultruidos. En ellos la masa aportada por
el acelerómetro o la rigidez de los amarres supone un cambio apreciable en la
rigidez total del sistema. En algunos casos puede suponer un error apreciable
no considerar estos factores.
Elemento
A-L1-1
A-L1-2
A-L1-3
A-L2-1
A-L2-2
A-L2-3
A-L3-1
A-L3-2
A-L3-3
C-L1-1
C-L1-2
C-L1-3
C-L2-1
C-L2-2
C-L2-3
C-L3-1
C-L3-2
C-L3-3
D-L1-1
D-L1-2
D-L1-3
D-L3-1
D-L3-2
D-L3-3
E mecánico
(GPa)
28,03
32,35
39,59
Acelerómetro
Diferencia
E (GPa)
%
23,12
17,5
23,10
17,6
23,82
15,0
25,99
7,3
25,86
7,7
25,11
10,4
26,93
3,9
26,65
4,9
26,93
3,9
27,28
15,7
27,28
15,7
27,69
14,4
27,53
14,9
29,88
7,6
30,24
6,5
30,57
5,5
30,61
5,4
30,30
6,3
33,07
16,5
33,10
16,4
33,17
16,2
36,62
7,5
37,13
6,2
36,84
6,9
Láser
Diferencia
E (GPa)
%
24,92
11,1
25,37
9,5
25,70
8,3
27,06
3,4
27,01
3,6
26,37
5,9
27,51
1,9
27,51
1,9
27,80
0,8
30,20
6,6
30,20
6,6
30,46
5,9
31,70
2,0
31,67
2,1
31,62
2,3
31,80
1,7
31,53
2,5
31,78
1,8
37,19
37,51
37,40
6,1
5,3
5,5
Tabla 5.3 - Comparación entre el módulo elástico obtenido en los tubos a partir del
ensayo mecánico y los ensayos de frecuencia sobre gomas en posición horizontal.
164 Capítulo 5: Rigidez a flexión de los perfiles pultruidos
Los efectos de borde, en cambio, se dan en todos los elementos estructurales. Su origen se debe a que el modelo teórico parte del equilibrio de un elemento diferencial genérico del perfil analizado. Este elemento está rodeado de otros
elementos diferenciales a ambos lados. Así, la rigidez del modelo teórico, del
que provienen las Ecuaciones 5.1 y 5.2, considera que la viga ensayada tiene
una longitud infinita, porque no considera la presencia de elementos de borde.
Como es evidente, en la realidad esta suposición no es cierta. Las vigas reales
poseen una longitud finita, y sus bordes no tienen más elementos a uno de sus
lados. Así, la rigidez real de las esquinas no es igual a la teórica.
En las vigas más largas los bordes son una parte pequeña del elemento total, y por lo tanto, este error puede ser despreciado. En las vigas cortas, en cambio, los bordes suponen una parte apreciable del elemento total, y este efecto no
debe ser dejado de lado.
Elemento
A-L1-1
A-L1-2
A-L1-3
A-L2-1
A-L2-2
A-L2-3
A-L3-1
A-L3-2
A-L3-3
C-L1-1
C-L1-2
C-L1-3
C-L2-1
C-L2-2
C-L2-3
C-L3-1
C-L3-2
C-L3-3
D-L1-1
D-L1-2
D-L1-3
D-L3-1
D-L3-2
D-L3-3
E mecánico (GPa)
28,03
32,35
39,59
E (GPa)
Diferencia %
24,33
24,30
25,79
26,45
26,63
25,61
27,80
26,09
26,65
29,75
30,02
29,46
30,73
30,15
30,52
30,27
30,31
31,28
33,88
34,74
33,51
37,95
37,89
37,40
13,2
13,3
8,0
5,6
5,0
8,6
0,8
6,9
4,9
8,0
7,2
8,9
5,0
6,8
5,7
6,4
6,3
3,3
14,4
12,2
15,4
4,2
4,3
5,5
Tabla 5.4 - Comparación entre el módulo elástico obtenido en los tubos a partir del
ensayo mecánico y los ensayos de frecuencia sobre gomas en posición vertical.
5.2 Discusión
Elemento
A-L1-1
A-L1-2
A-L1-3
A-L2-1
A-L2-2
A-L2-3
A-L3-1
A-L3-2
A-L3-3
C-L1-1
C-L1-2
C-L1-3
C-L2-1
C-L2-2
C-L2-3
C-L3-1
C-L3-2
C-L3-3
D-L1-1
D-L1-2
D-L1-3
D-L3-1
D-L3-2
D-L3-3
165
E mecánico
(GPa)
28,03
32,35
39,59
Acelerómetro
Diferencia
E (GPa)
%
23,22
17,1
22,69
19,0
23,89
14,8
25,71
8,3
26,03
7,1
25,27
9,8
28,23
0,7
27,94
0,3
26,78
4,4
27,61
14,6
27,35
15,5
27,77
14,2
30,58
5,5
30,27
6,4
30,64
5,3
29,53
8,7
30,80
4,8
29,83
7,8
33,61
15,1
33,37
15,7
33,59
15,2
37,08
6,4
36,83
7,0
37,29
5,8
Láser
Diferencia
E (GPa)
%
24,83
11,4
24,54
12,4
26,12
6,8
26,94
3,9
27,31
2,6
26,28
6,2
28,53
1,8
28,53
1,8
28,53
1,8
30,65
5,3
30,10
7,0
30,90
4,5
32,25
0,3
31,94
1,3
31,75
1,9
32,00
1,1
32,05
0,9
32,31
0,1
38,61
2,5
39,72
0,3
39,21
1,0
Tabla 5.5 - Comparación entre el módulo elástico obtenido en los tubos a partir del
ensayo mecánico y los ensayos de frecuencia sobre el apoyo elástico continuo.
Se ha considerado que, entre los ensayos realizados para hallar la rigidez a
flexión de los perfiles pultruidos, el mecánico es el más fiable. Por lo tanto, la
calidad de las distintas puestas a punto del ensayo de frecuencia se ha valorado
utilizando éste como referencia.
Al trabajar sobre los tubos no se han utilizado exactamente las mismas
probetas en el ensayo mecánico que en el de frecuencia. Así, la comparación se
ha realizado entre poblaciones. Es decir, el módulo elástico obtenido en cada
ensayo de frecuencia se ha comparado con el valor medio de ese material procedente del ensayo mecánico. En el caso de las vigas, en cambio, sí han sido ensayados exactamente los mismos perfiles con ambos métodos. Así, esta comparación se ha realizado para cada elemento empleado.
166 Capítulo 5: Rigidez a flexión de los perfiles pultruidos
La Tabla 5.3, la Tabla 5.4 y la Tabla 5.5 muestran, para las distintas disposiciones empleadas, los valores de módulo elástico de cada ensayo de frecuencia
en los materiales A, C y D. Cada resultado ha sido comparado con el valor procedente del ensayo mecánico, considerado como referencia, correspondiente a
ese material. De esta manera, se ha incluido en las mismas tablas el error que
supone en cada caso la diferencia entre el módulo elástico de referencia y el del
ensayo no destructivo. Este error se ha calculado como el porcentaje del valor
de referencia que supone la diferencia entre el módulo elástico real y el del ensayo de frecuencia.
Así mismo, la Tabla 5.6 presenta el módulo elástico calculado a partir de la
frecuencia de resonancia de las vigas. En el caso de las vigas sólo se presenta
una disposición de ensayo, ya que el resto de las disposiciones llevaron a los
mismos resultados.
Elemento
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
-L2-1
-L2-2
-L2-3
-L3-1
-L3-2
-L3-3
-L4-1
-L4-2
-L4-3
-L6-1
-L6-2
-L6-3
E mecánico
(GPa)
33,88
36,30
33,63
35,26
35,05
34,61
33,78
34,03
33,84
32,17
31,25
31,31
Goma horizontal con
acelerómetro
E (GPa)
Error %
19,61
21,27
20,11
25,42
25,37
25,55
28,23
27,96
28,04
30,04
30,02
30,00
42,1
41,4
40,2
27,9
27,6
26,2
16,4
17,9
17,1
6,6
3,9
4,2
Tabla 5.6 - Comparación entre el módulo elástico obtenido en las vigas a partir del
ensayo mecánico y los ensayos de frecuencia.
La primera característica a tener en cuenta es que en todos los casos el valor del módulo elástico obtenido por el ensayo de frecuencia es menor que el de
referencia. Es decir, que las imperfecciones del ensayo de frecuencia llevan
siempre a un valor de módulo elástico menor que el real. Esta característica
puede considerarse una ventaja. Al utilizar este ensayo no destructivo como
fuente de información para emprender el diseño estructural estaríamos siempre
del lado de la seguridad.
Además, las tablas comparativas entre el módulo elástico de referencia y el
del ensayo no destructivo demuestran que, en todos los materiales, según au-
168 Capítulo 5: Rigidez a flexión de los perfiles pultruidos
50
45
Error experimental
40
Curva de regresión
% Diferencia
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
L2/A
Figura 5.1 - Errores obtenidos por los efectos de borde en función del parámetro L2/A.
En la propia Figura 5.1 se ha ajustado una curva de regresión sobre las diferencias experimentales. El tipo de curva que mejor se ha ajustado a la forma
presentada por las diferencias ha sido la curva de potencia. Por lo tanto, parece
que el error cometido con esta disposición de ensayo, al ser ordenados según el
parámetro adimensional L2/A, toma la forma de una curva en potencia. Eso
significa que en la zona de poca longitud los errores son muy grandes, mientras
que en la zona de longitud elevada los errores son muy pequeños.
En la Figura 5.1 se pueden diferenciar tres zonas, en función de la magnitud del error. En la zona donde L2/A es menor que 5.000 los errores obtenidos
son muy elevados, por lo tanto, los resultados de estos ensayos no pueden considerarse válidos. En esta zona los elementos ensayados son demasiado pequeños y los efectos de borde causan diferencias que no pueden ser despreciadas.
En los valores de L2/A comprendidos entre 5.000 y 10.000 los errores resultantes son cercanos al 5 %. En esta zona, aunque no puede garantizarse que el error
sea menor que el 5 %, parece que el ensayo no lleva a resultados demasiado alejados de la realidad. Finalmente, para los elementos con L2/A mayor que 10.000
el error resultante es menor que el 5 % en todos los casos estudiados. Así, puede
considerarse que si la relación L2/A de un perfil es mayor que 10.000 el efecto
de borde no es apreciable, y el resultado del ensayo de frecuencia puede considerarse válido.
5.3 Método experimental
5.3
169
MÉTODO EXPERIMENTAL
Como consecuencia de la discusión realizada en el anterior apartado, se han
determinado las condiciones en las que debe realizarse el ensayo de frecuencia
presentado en el Capítulo 4.
Tal y como ha quedado demostrado, la utilización del apoyo elástico continuo unida a la Ecuación 5.2 lleva a mejores resultados de módulo elástico o
rigidez a flexión. Además, se ha comprobado que emplear un perfil con una
relación adimensional entre la longitud y el área (L2/A) mayor que 10.000 lleva
a un error menor que el 5 %.
Por lo tanto, se propone realizar el ensayo de frecuencia en las condiciones
que se han establecido como metodología para obtener la rigidez a flexión de
un perfil pultruido de manera sencilla.
170 Capítulo 5: Rigidez a flexión de los perfiles pultruidos
E.T. Techtonics es una empresa especializada en el diseño y la construcción de puentes y edificios con elementos estructurales de polímero reforzado con fibra de vidrio. Esta empresa está situada en Pensilvania.
E.T.Techtonics patentó un sistema de puentes prefabricados denominado
PRESTEK, y hasta la fecha ha construido más de 200 puentes peatonales mediante este sistema en Estados Unidos y Canadá. La empresa
realiza el diseño particular de estos sistemas basando sus cálculos en modelos de elementos finitos propios.
El puente mostrado en la figura es un ejemplo de puente mixto de madera y polímero reforzado con fibra de vidrio diseñado por esta empresa.
En este caso todas las vigas, tanto principales como secundarias, son de
polímero reforzado, mientras que los tableros son de madera, manteniendo
así la estética que dan las construcciones de madera.
Capítulo
6
6 DISEÑO DE
COLUMNAS PULTRUIDAS
El presente capítulo presenta el desarrollo de una curva para obtener la carga
crítica de las columnas pultruidas que toma en consideración la interacción
existente entre el pandeo local y el global. Dicha curva pretende ser una propuesta de método de diseño.
En primer lugar se presentan los resultados experimentales empleados para realizar este desarrollo. A continuación se explica el origen del método de
diseño propiamente dicho, que es función de los datos de tubos circulares. Después este método es validado con los resultados de los ensayos realizados sobre
tubos rectangulares y con otros datos experimentales bibliográficos. Finalmente,
se compara la fórmula desarrollada con el método preexistente para columnas
pultruidas de Barbero.
6.1
RESULTADOS EXPERIMENTALES
El comportamiento de las columnas pultruidas ha sido estudiado en base a la
experimentación realizada sobre los tubos huecos presentados en el Capítulo 4.
Entre los diferentes procedimientos experimentales descritos en dicho capítulo
se ha empleado la información procedente de los ensayos de pandeo local, rigidez a flexión y pandeo de Euler.
A continuación se exponen los resultados de los ensayos de pandeo local y
pandeo de Euler. La rigidez a flexión experimental de cada tipo de tubo ha sido
ya presentada en el Capítulo 5.
6.1.1
Pandeo local
Los ensayos de pandeo local se han realizado aplicando el procedimiento experimental del Apartado 4.2.1 sobre tubos de esbeltez reducida 0,2. El objetivo ha
171
172 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
sido obtener experimentalmente el valor de la tensión de pandeo local de cada
uno de los materiales. Para ello también ha sido necesario emplear la información sobre las dimensiones de la sección presentada en el Capítulo 4. A partir de
la carga máxima del ensayo y el área de esa sección se han obtenido las tensiones equivalentes de pandeo local.
En total se han ensayado 66 probetas en este apartado: 20 probetas del material A, 7 del B, 19 del C y 20 del D.
Con la población total de cada uno de los materiales se ha calculado una
media y una desviación típica representativa. La Tabla 6.1 muestra dichos valores para cada uno de los materiales.
Material
Nº
muestras
Tensión media
(MPa)
Desviación típica
(MPa)
A
20
285
48
B
7
273
24
C
19
250
28
D
20
138
10
Tabla 6.1 - Medias y desviaciones típicas experimentales de la tensión de pandeo local
de cada tipo de tubo pultruido.
6.1.2
Pandeo global de Euler
Se ha obtenido la carga crítica de pandeo de Euler según el dispositivo introducido en el Apartado 4.2.3. Dicho procedimiento se ha aplicado sobre los materiales A, B, C y D, empleando para ello tubos desde 1,33 hasta 4 metros de longitud. Los ensayos se han realizado por grupos, según las longitudes de las barras, divididos en intervalos de 0,33 metros. Así, para los materiales B, C y D se
han formado 9 grupos de tubos. Sin embargo, no se han podido ensayar tubos
de 1,33 metros del material A, debido a que, siendo los de mayor inercia, exigían aplicar una carga elevada, y en esos valores de carga el amarre presentó problemas de rotura local.
En cada grupo de longitud de cada material se ha reunido una cantidad de
barras cercana a 4. Así, para el material A se han ensayado 30 tubos, 38 para el
material B, 42 para el C y 36 para el D. En total se han ensayado 146 tubos.
6.1 Resultados experimentales
Material
A
B
173
Longitud
(m)
1+2/3
Número de
muestras
4
Tensión media
(MPa)
24,83
Desviación
típica (MPa)
0,6392
2
2
16,33
0,1675
2+1/3
4
12,05
0,1829
2+2/3
4
9,66
0,2053
3
5
7,39
0,1499
3+1/3
4
6,14
0,0397
3+2/3
4
5,10
0,0830
4
1+1/3
1+2/3
3
4
4
4,23
30,46
21,44
0,0467
0,6989
0,3512
2
4
13,76
0,5663
2+1/3
4
10,01
0,1475
2+2/3
4
8,07
0,0993
3
6
6,36
0,0628
3+1/3
4
5,08
0,0532
3+2/3
4
3,99
0,0867
4
4
3,52
0,0903
C
1+1/3
1+2/3
2
2+1/3
2+2/3
3
3+1/3
3+2/3
4
4
4
6
4
4
6
4
4
6
44,97
31,21
20,08
15,26
12,18
9,3
7,37
5,98
4,93
0,3284
0,2544
0,2838
0,1579
0,0221
0,0723
0,0613
0,0539
0,0848
D
1+1/3
1+2/3
2
2+1/3
2+2/3
3
3+1/3
3+2/3
4
3
4
4
4
4
4
4
4
5
19,44
13,86
8,79
6,66
5,42
3,88
3,14
2,69
2,27
0,9168
0,2987
0,2044
0,1371
0,1731
0,0640
0,0717
0,0438
0,0601
Tabla 6.2 – Tensiones críticas medias y desviaciones típicas experimentales de pandeo
de Euler.
174 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
Teniendo en cuenta la sección y la longitud de los tubos, con estos ensayos
se ha cubierto un rango de esbeltez reducida comprendido entre 2 y 8. Estos
valores son algo mayores que los empleados en las experimentaciones realizadas anteriormente por otros autores. Esta esbeltez reducida ha sido seleccionada con el objetivo de caracterizar la zona en la que el pandeo global rige el
comportamiento del material, que no había sido analizada anteriormente.
La Tabla 6.2 presenta los resultados experimentales de los ensayos de pandeo de Euler realizados sobre todos los tubos huecos. Para cada grupo de barras
de la misma longitud y material se ha obtenido una media y una desviación
típica.
6.2
COMPARACIÓN ENTRE LOS DATOS EXPERIMENTALES Y LA CURVA DE EULER.
Como paso previo al desarrollo del nuevo método para el diseño de columnas
pultruidas, se han probado las ecuaciones que contemplan el pandeo de Euler
en el acero. De esta manera se ha explorado la posibilidad de utilizar directamente las fórmulas de diseño de columnas de acero sin otro cambio que el introducir la rigidez a flexión de los perfiles pultruidos. En caso de obtener un
ajuste válido, no tendría sentido desarrollar una fórmula propia para la pultrusión.
La formulación propuesta por Euler tiene la ventaja de ser enormemente
sencilla, ya que para su utilización únicamente requiere del valor del módulo
elástico y de las características geométricas de la columna. Sin embargo, posee
la gran desventaja de no estar por el lado de la seguridad en la mayoría de las
ocasiones, ya que no incluye la influencia del esfuerzo a compresión transmitido por la sección. Así pues la fórmula de Euler puede considerarse válida como
cálculo rápido para conocer la carga de pandeo de manera aproximada, pero no
como método de diseño. La Figura 6.1 muestra la gráfica sobre la que se ha dibujado la curva de Euler en función de la rigidez a flexión, y las medias experimentales de todos los grupos de tubos del material B. Tal y como se puede observar en dicha gráfica, los valores experimentales están debajo de la curva de
Euler en todas las longitudes. Además, la diferencia es mayor en los tubos de
menor longitud, donde la presencia del pandeo local debe ser mayor.
Gracias a esta comparación se ha comprobado una vez más que la curva de
Euler, aunque modela correctamente el pandeo global de columnas pultruidas,
no es válida para el diseño, por no tener en consideración la aportación del
pandeo local.
6.3 Propuesta de curva para el pandeo de Euler
175
40
Tensión crítica (MPa)
Curva de Euler
30
Datos experimentales
(valores medios)
20
10
0
1
2
3
4
Longitud (m)
Figura 6.1 - Comparativa entre los resultados experimentales sobre tubos pultruidos a
compresión y la fórmula de Euler para el material B.
6.3
PROPUESTA DE CURVA PARA EL PANDEO DE
EULER
Tal y como se ha explicado en el Capítulo 3 el método para el diseño de columnas propuesto en el Eurocódigo 3 no es más que un caso particular del método
de Dutheil. En el mismo capítulo ha sido expuesto que el método de Dutheil
para el pandeo de columnas es un método genérico, y que queda definido para
un caso determinado según la expresión utilizada en el polinomios de las imperfecciones iniciales (K). Es decir, que la curva propuesta por Dutheil, que relaciona la esbeltez reducida de una columna con su tensión crítica, toma una
forma determinada en función de la expresión utilizada para K. Por lo tanto, la
propuesta del Eurocódigo 3 es un caso particular de la curva de Dutheil, en el
que el polinomio K ha sido ajustado al comportamiento experimental de las
columnas de acero.
Al inicio de la presente memoria se ha enunciado que el objetivo de esta tesis es proponer métodos sencillos para realizar el diseño estructural con elementos de material pultruido. Para cumplir esta finalidad se ha ajustado el polinomio de imperfecciones iniciales al comportamiento observado en la parte
experimental. Así, se ha llegado a una curva de diseño parecida a la utilizada
por el Eurocódigo en sus diferentes volúmenes.
176 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
Por lo tanto, el método de diseño que se va ha desarrollar a continuación
está basado en el modelo de Dutheil. De esta manera este método toma en consideración la superposición entre el fallo local y pandeo global, que es una de
las principales ventajas del método de Dutheil.
Dicho desarrollo se ha realizado tomando como referencia únicamente los
datos experimentales obtenidos de los tubos de sección circular (materiales A, B
y C). Los resultados de los ensayos sobre los tubos rectangulares (material D),
en cambio, han sido empleados para comprobar la validez de la curva de diseño
posteriormente al ajuste.
Siguiendo con la analogía entre el acero y la pultrusión, la tensión de fallo
local contemplada en la fórmula de Dutheil se debe equiparar con la tensión
que lleva al pandeo local de alguna de las láminas del perfil pultruido. Además,
para el cálculo de la esbeltez reducida, tal y como muestra la Ecuación 3.23, es
necesario incluir el valor del módulo elástico obtenido según el procedimiento
del Capítulo 5.
Al introducir estos cambios, el método presentado en el Apartado 3.4.2.2, a
falta de concretar la forma del polinomio K, puede ser enunciado según la
Ecuación 6.1, donde σcr es la carga a compresión axial que lleva al pandeo global
de la columna y σL es la carga que lleva al pandeo local de su sección. El coeficiente de pandeo (χ), tal y como se ha explicado en el Apartado 3.4.2.2, es función de la esbeltez reducida y del polinomio K, y toma la expresión de la Ecuación 6.2.
σ cr = χ ⋅ σ L
(6.1)
2
χ=
2
1 + K + λ − (1 + K + λ ) 2 − 4λ
2λ
2
2
(6.2)
El polinomio de imperfecciones iniciales (K) es función de la esbeltez reducida. En el Apartado 3.4.2.3 de la presente memoria se ha explicado que, entre
los diferentes polinomios propuestos para el acero, en la actualidad el Eurocódigo 3 ha optado por emplear el polinomio de Robertson (Ecuación 3.32a).
El Eurocódigo 5, dedicado a la madera, utiliza el mismo polinomio con la
única diferencia de que la raíz de dicho polinomio se posiciona en la esbeltez
reducida 0,5, en vez de dejarlo en el valor 0,2 que emplea el Eurocódigo 3. Esta
diferencia indica que en la madera se ha considerado que la influencia del pandeo global comienza a partir de la esbeltez reducida 0,5.
El polinomio de Robertson puede enunciarse de manera genérica, tal y
como muestra la Ecuación 6.3. Esta expresión de K es función de tres características: el grado del polinomio (G), su raíz (R) y el coeficiente de ajuste α. Por lo
6.3 Propuesta de curva para el pandeo de Euler
177
tanto, la propuesta de método para el diseño a compresión de elementos pultruidos consiste en redefinir estos tres factores.
(
G
K = α ⋅ λ − RG
)
(6.3)
Además, una vez realizado el ajuste de los tres parámetros, ha de determinarse el valor del coeficiente γ que representa la fiabilidad del fabricante del
perfil. El coeficiente de fiabilidad puede ser empleado como un coeficiente de
seguridad consiguiendo que los valores de diseño estén siempre del lado de la
seguridad.
A continuación se va ha presentar la manera en la que se ha ajustado el polinomio de Robertson a las columnas pultruidas. Como consecuencia, se ha obtenido una curva de diseño con las mismas características que los métodos empleados en Europa para el acero y la madera, particularizada a las columnas
pultruidas.
6.3.1
Grado del polinomio
El grado del polinomio que define K influye en la forma de la curva final de
pandeo dándole una forma más o menos arqueada. Las formulaciones del Eurocódigo 3 y 5 utilizan un polinomio lineal para definir K. Ese grado del polinomio hace que la curva se ajuste de manera correcta el comportamiento del
acero y la madera. Sin embargo, un polinomio K lineal no tiene por qué ser el
grado que mejor se ajuste a los materiales pultruidos.
Como primer paso en el ajuste la curva de pandeo de Dutheil a las columnas pultruidas se ha procedido a probar polinomios de imperfección inicial de
diferente grado. De esta manera se ha determinado cuál se ajusta mejor a los
resultados experimentales. Para ello se ha dibujado la curva de tensión crítica
frente a la esbeltez reducida procediendo de la misma manera que el Eurocódigo 3. Al dibujar la gráfica mencionada, en vez de utilizar el polinomio K de la
Ecuación 3.32a, se han probado los siguientes polinomios de imperfecciones
2
3
iniciales: K = λ (lineal), K = λ (parabólico) y K = λ (cúbico). Esta operación
se ha efectuado para los materiales A, B y C, y el resultado se muestra en la
Figura 6.2, la Figura 6.3 y la Figura 6.4.
Para mejorar la comparación, las tres curvas han sido divididas por un coeficiente cercano a la unidad. Esta división ha permitido desplazar las curvas en
vertical haciéndolas coincidir con los datos experimentales de los tubos más
esbeltos. De esta manera, el ajuste conseguido por cada curva en los tubos menos esbeltos indica cuál sigue mejor la curvatura de los datos experimentales.
178 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
0,20
Coeficiente de pandeo
Lineal
0,15
Parabólico
Cúbico
0,10
Datos experimentales A
(valores medios)
0,05
0,00
2
3
4
5
6
7
8
Esbeltez reducida
Figura 6.2 - Ajuste de las medias experimentales del material A con polinomios K de
diferentes grados.
0,20
Coeficiente de pandeo
Lineal
0,15
Parabólico
Cúbico
0,10
Datos experimentales B
(valores medios)
0,05
0,00
2
3
4
5
6
7
8
Esbeltez reducida
Figura 6.3 - Ajuste de las medias experimentales del material B con polinomios K de
diferentes grados.
6.3 Propuesta de curva para el pandeo de Euler
179
0,20
Coeficiente de pandeo
Lineal
Parabólico
0,15
Cúbico
0,10
Datos experimentales C
(valores medios)
0,05
0,00
2
3
4
5
6
7
8
Esbeltez reducida
Figura 6.4 - Ajuste de las medias experimentales del material C con polinomios K de
diferentes grados.
A la vista de las gráficas puede afirmarse que un polinomio K lineal lleva a
una curva de diseño demasiado rígida para modelar el comportamiento de las
columnas pultruidas. En los tres materiales empleados en la comparación, al
ajustar la curva del polinomio K lineal a los valores experimentales de esbeltez
reducida alta, se ha obtenido una diferencia demasiado grande respecto a los
puntos de esbeltez reducida pequeña.
Por contra, la curva resultante de utilizar un polinomio K parabólico se arquea más, dando mejores resultados en una gama de esbeltez reducida más
amplia. En los tres materiales, al realizar el ajuste con la esbeltez reducida alta,
la curva también ha pasado cerca de los valores experimentales de la esbeltez
reducida baja.
Finalmente, la curva resultante de un polinomio K cúbico se arquea demasiado, dando unos valores de diseño que se alejan mucho de los experimentales.
Por lo tanto, se ha propuesto pasar de un polinomio K lineal a uno parabólico, para ajustarse mejor a la curvatura que presentan las columnas pultruidas
del trabajo experimental realizado en esta tesis.
180 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
6.3.2
Raíces del polinomio
Para decidir la posición más adecuada de la raíz del polinomio de imperfecciones iniciales, es necesario comprobar sobre qué valor de esbeltez reducida debe
considerarse apreciable la aportación del pandeo global.
En la explicación sobre las curvas de diseño de columnas de acero del Capítulo 3, se ha indicado que los investigadores involucrados en la ECCS observaron una zona de esbeltez reducida baja donde el aplastamiento local predomina sobre todas las formas de inestabilidad. Como consecuencia, dicho comité
decidió adoptar una plataforma inicial en las curvas de pandeo. Para ello se
mantiene el valor del coeficiente χ igualado a 1 hasta la esbeltez reducida de 0,2.
Es decir, se consideró que como la inestabilidad global aún no es apreciable en
los perfiles de esbeltez reducida menor que 0,2, debajo de ese valor sólo debe
considerarse el fallo local. Esta decisión se plasma finalmente en el polinomio K.
Aprovechando que el coeficiente χ es igual a 1 en las raíces de K, el ECCS
introdujo la plataforma deseada haciendo que el polinomio K del acero presentara una raíz en la esbeltez reducida 0,2. Esta característica era una de las exigencias impuestas a los polinomios K sugeridos para el acero (Ecuación 3.32).
En los valores de esbeltez reducida aún menores que esa raíz se toma el valor
constante χ = 1. Así, la curva de diseño resultante presenta el escalón inicial deseado.
1,4
1,2
1
0,8
K
W
X
1,4
1,6
1,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,2
Esbeltez reducida
Figura 6.5 - Forma de los coeficientes K, ω y χ del EC3.
2
6.3 Propuesta de curva para el pandeo de Euler
181
La Figura 6.5 muestra el polinomio K y los coeficientes χ y ω en función de
la esbeltez reducida. Como se puede apreciar en la gráfica, en la raíz del polinomio K tanto χ como ω se igualan a 1.
Por otro lado, el Eurocódigo 5, dedicado a la construcción de madera, considera que el fallo local es dominante hasta la esbeltez reducida 0,5. Por ese motivo, el polinomio K empleado en este código es el propio polinomio de Robertson con la raíz en 0,5 (Ecuación 3.36).
Por lo visto hasta ahora, para ajustar el polinomio K a los materiales pultruidos se debe determinar la esbeltez reducida a la que empieza a disminuir la
tensión crítica a compresión del elemento estructural. Para ello se ha trabajado
sobre probetas de esbeltez reducida 0,5 del material C. Siguiendo el procedimiento aplicado para el pandeo local de los tubos (Apartado 4.2.1) se han ensayado 15 probetas. Como resultado de los ensayos se ha obtenido una tensión
media de pandeo local de 252 MPa, con una desviación típica de 29 MPa.
La tensión de pandeo local obtenida en las probetas de esbeltez reducida
0,2 era de 250 MPa (Tabla 6.1). Por lo tanto, parece correcto considerar que, al
menos hasta la esbeltez reducida de 0,5, el pandeo global no tiene una influencia importante sobre el tubo, y que la rotura se debe exclusivamente al pandeo
local.
Aunque es posible que el fenómeno de pandeo empiece a influir en la tensión crítica a partir de una esbeltez reducida aún mayor, se ha decidido no aumentar más allá de λ = 0,5 la zona donde el coeficiente χ vale 1. De esta manera
se garantiza que la fórmula propuesta está por el lado de la seguridad. Así
pues, se propone que la parábola utilizada para definir el coeficiente K tenga su
raíz en λ = 0,5.
Los ajustes realizados hasta el momento llevan a un polinomio de imperfecciones iniciales como el presentado en la Ecuación 6.4.
(
2
K = α λ − 0,5 2
6.3.3
)
(6.4)
Coeficiente α
Para terminar de definir el polinomio K que mejor modela el comportamiento
de las columnas pultruidas, con las decisiones tomadas en los anteriores apartados, sólo resta determinar el valor del coeficiente α. Aprovechando que el
resto de las características del polinomio ya han sido definidas, se ha realizado
el proceso de diseño a la inversa para ajustar este último coeficiente a los resultados experimentales. Es decir, a partir de la tensión crítica experimental y de la
tensión de pandeo local se ha obtenido el valor de χ (Ecuación 6.1) para cada
tubo ensayado. Por otro lado, también ha sido calculada la esbeltez reducida
182 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
real de cada uno de ellos, ya que previamente a cada ensayo había sido medida
la longitud de pandeo de cada tubo. Además, se conocían las dimensiones exactas de cada sección gracias a las mediciones realizadas por medio del brazo robot con palpador. Del valor experimental de χ y la esbeltez reducida exacta de
cada tubo, es posible alcanzar el valor concreto del polinomio K en ese ensayo.
Esto se consigue mediante la Ecuación 6.5, que proviene de reordenar la Ecuación 6.2.
K=
1
χ
+ λ (χ − 1) − 1
2
(6.5)
Así, se han recopilado 110 valores experimentales del polinomio K. Todos
estos valores de K pueden ser plasmados en una gráfica en función de la esbeltez reducida, tal y como se ha hecho en la Figura 6.6.
Polinomio de imperfecciones iniciales
12
Datos experimentales A
10
Datos experimentales B
8
Datos experimentales C
6
Curva propuesta
4
2
0
2
3
4
5
6
Esbeltez reducida
7
8
9
Figura 6.6 - Comparación entre los valores del polinomio K experimentales con el polinomio propuesto para el diseño de columnas pultruídas.
Como último paso se ha procedido a calcular la diferencia cuadrática entre
cada valor de K experimental y teórico, este último definido por el polinomio
2
K = α ( λ – 0,25). Así, mediante una iteración en la que se ha variado el coeficiente α, se ha podido establecer el valor que minimiza la distancia entre el polinomio K desarrollado aquí y los resultados experimentales. Ese valor de α ha
sido 0,1137.
6.3 Propuesta de curva para el pandeo de Euler
183
Por simplicidad, y buscando la analogía con el Eurocódigo 3, el polinomio
K se ha definido completamente proponiendo el valor α = 0,11. La Figura 6.6
muestra, junto con los valores experimentales de K, la curva final del polinomio
propuesto para el diseño de columnas pultruidas. En dicha figura se comprueba
que el polinomio desarrollado sigue la forma marcada por los datos experimentales.
6.3.4
Comparativa con los resultados experimentales
A partir de los parámetros propuestos en los anteriores apartados ha quedado
definida la curva de diseño de tubos pultruidos frente a cargas puramente
compresivas. Se propone emplear la misma curva de tensión crítica del Eurocódigo 3, pero utilizando la Ecuación 6.6 para el coeficiente K.
2
K = 0,11 ⋅ (λ − 0,5 2 )
(6.6)
Esta curva se ha comparado con los resultados experimentales para cada
uno de los materiales con los que se ha trabajado, tal y como muestra la Figura
6.7. En dichas curvas se ofrecen, además de la curva teórica para el diseño, todas las medias experimentales de cada uno de los grupos ensayados. A la vista
de la gráfica parece que la curva obtenida a partir del nuevo polinomio K ajusta
de manera bastante precisa las medias experimentales.
Coeficiente de pandeo
1,2
1,0
Datos experimentales A
(valores medios)
0,8
Datos experimentales B
(valores medios)
0,6
Datos experimentales C
(valores medios)
Curva propuesta
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Esbeltez reducida
Figura 6.7 - Comparación entre las medias experimentales y la curva de diseño con la
nueva K propuesta.
184 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
6.3.5
Coeficientes gama
Con la expresión de K que se ha propuesto para modelar las imperfecciones del
elemento estructural el proceso de diseño sería igual al del Eurocódigo 3. Este
método se podría presentar de manera análoga a esta norma, tal y como muestran las Ecuaciones 6.7, 6.8 y 6.9, donde Pcr representa la carga axial de fallo por
la interacción entre el pandeo local y el de Euler de una columna pultruida.
Pcr =
χ=
1
γ
⋅ χ ⋅ PL
(6.7)
1
φ + φ2 −λ
[
≤1
2
2
φ = 0,5 1 + 0,11(λ − 0,25) + λ
(6.8)
2
]
(6.9)
Por lo tanto, para conocer la carga de pandeo se debe calcular el coeficiente
de pandeo (χ) y compararlo con la carga de pandeo local de la sección. El valor
de χ es 1 para la esbeltez reducida menor que 0,5, y toma el valor de la Ecuación
6.8 en el resto de columnas. Esta última expresión es función de la esbeltez reducida y del parámetro φ, que se calcula según la Ecuación 6.9.
La Ecuación 6.7 también emplea un coeficiente γ. Este coeficiente es función de la fiabilidad del fabricante. En el Eurocódigo 3, por ejemplo, este γ se
iguala a 1 si se trabaja con un fabricante que ofrece un acero de total fiabilidad.
Para un fabricante menos fiable se utiliza un coeficiente γ mayor que 1, de manera que el valor de la carga crítica de diseño disminuye. Se podría decir que
este factor funciona como coeficiente de seguridad, penalizando la carga de diseño en función de la fiabilidad del producto que se está empleando.
Por otro lado, a la hora de emprender un diseño no se buscan simplemente
valores de carga lo más cercanos posibles a la realidad, sino que se pretende
obtener un valor de diseño ligeramente inferior al real. De esta manera se tiene
la seguridad de que el diseño realizado está por el lado de la seguridad, y que
ningún elemento estructural real fallará con una carga menor que la establecida.
Para conseguir este comportamiento, en la presente tesis se ha buscado
conseguir una curva de diseño que lleve a valores menores que la tensión crítica
mínima del 99,99% de la población representada por los resultados experimentales. Es decir, se quiere dar un valor de diseño que pueda ser soportado por
una barra sometida a compresión con una probabilidad del 99,99 %. Para conseguirlo se ha empleado el coeficiente γ de la Ecuación 6.7.
Es evidente que, a día de hoy, la fiabilidad que ofrecen las propiedades
mecánicas de los perfil pultruidos es menor que la de los perfiles de acero. Por
6.3 Propuesta de curva para el pandeo de Euler
185
este motivo parece justificado emplear valores mayores que 1 para el coeficiente
γ. Esta diferencia entre ambos materiales ha sido aprovechada para bajar ligeramente la curva de diseño propuesta, y conseguir así que esté por el lado de la
seguridad. Mediante un coeficiente γ mayor que la unidad se ha ajustado la
curva a la tensión crítica mínimo representativa del 99,99 % de los valores experimentales.
A partir de la información de la Tabla 6.2 se ha calculado, para cada grupo
de un material y una longitud, el valor de esa tensión crítica mínima del 99,99%.
Posteriormente se ha empleado ese valor como referencia para el ajuste final de
las curvas de diseño. Así, la curva final lleva a unos valores de diseño tales que,
entre 10.000 tubos de esa área y longitud cargados hasta dicho valor, únicamente un elemento podría presentar pandeo global de Euler.
Al analizar experimentos estructurales lo más habitual es considerar que
una distribución normal es adecuada para el análisis de los resultados experimentales. Sin embargo, teniendo en cuenta que en algunos grupos se han ensayado menos de 4 barras, se ha considerado necesario comprobar también la
idoneidad del método de diseño con los valores mínimos calculados según
otras distribuciones más conservadoras. Por este motivo se han empleado también las distribuciones de Weibull y la t-Student. Al calcular la tensión crítica
mínima del 99,99 % de una misma muestra, estas últimas distribuciones llevan
a resultados ligeramente menores que la distribución normal. La Tabla 6.3 recoge las tensiones críticas mínimas con una probabilidad del 99,99% según las tres
distribuciones mencionadas. A pesar de que en este apartado sólo se emplea la
información referente a los materiales A, B y C, en la Tabla 6.3 también se presentan los valores correspondientes al material D. Estos últimos datos han sido
empleados en la discusión del método que se presenta en el siguiente apartado.
186 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
Material
A
B
Longitud
(m)
1+2/3
Distribución
normal
22,45
20,25
21,92
2
15,71
15,06
11,00
2+1/3
11,37
10,69
11,22
2+2/3
8,89
8,20
8,72
3
6,83
6,33
6,82
3+1/3
6,00
5,82
5,96
Weibull
t-Student
3+2/3
4,80
4,51
4,73
4
1+1/3
1+2/3
4,06
27,86
20,14
3,89
25,55
18,76
3,91
27,29
19,85
2
11,66
10,11
11,19
2+1/3
9,46
8,96
9,34
2+2/3
7,70
7,33
7,62
3
6,13
5,91
6,15
3+1/3
4,88
4,68
4,84
3+2/3
3,67
3,34
3,60
4
3,19
2,89
3,11
C
1+1/3
1+2/3
2
2+1/3
2+2/3
3
3+1/3
3+2/3
4
43,74
30,26
19,02
14,68
12,10
9,03
7,14
5,78
4,61
42,55
29,27
17,92
14,10
12,00
8,74
6,87
5,53
4,18
43,47
30,06
19,12
14,55
12,08
9,06
7,09
5,74
4,64
D
1+1/3
1+2/3
2
2+1/3
2+2/3
3
3+1/3
3+2/3
4
16,03
12,75
8,03
6,15
4,77
3,65
2,87
2,52
2,04
12,72
11,61
7,34
5,66
4,26
3,43
2,64
2,37
1,84
13,06
12,50
7,86
6,04
4,63
3,59
2,81
2,49
2,04
Tabla 6.3 - Valores de la tensión crítica mínima del 99,99 % de la población según la
distribución normal, la distribución de Weibull y la distribución t-Student.
6.3 Propuesta de curva para el pandeo de Euler
187
Para los tres tipos de distribuciones estadísticas consideradas se han probado diferentes coeficientes γ. Variando el valor de este coeficiente se ha comparado la curva teórica resultante con los valores correspondientes al mínimo
99,99 % de la población. Así, se ha llegado al valor de γ que deja por el lado de
la seguridad los resultados experimentales.
En el caso de la distribución normal se ha comprobado que un coeficiente
γ = 1,2 es suficiente para bajar la curva hasta el nivel deseado. Con dicho coeficiente todos los valores mínimos del 99,99 % quedan encima de la curva de diseño, por lo que el diseño está por el lado de la seguridad según esta distribución.
En el caso de la distribución de Weibull, en cambio, ha sido necesario ampliar el coeficiente hasta 1,4. Con ese valor de γ, a pesar de que esta distribución
penaliza especialmente las muestras con una desviación típica elevada, todas
las tensiones críticas mínimas del 99,99 % han quedado encima de la curva de
diseño.
Finalmente, para la distribución t-Student, se ha llegado a la conclusión de
que el coeficiente γ igual a 1,35 es suficiente para cumplir el objetivo buscado.
Con este valor de γ todos los mínimos del 99,99 % han quedado encima de la
curva de diseño salvo el dato correspondiente a los tubos de 2 metros del material A. Sin embargo, se ha decidido no tener en cuenta este caso debido a que la
tensión crítica mínima del 99,99 % de este grupo según la t-Student es exageradamente baja. Esta distribución penaliza considerablemente las muestras realizadas con pocos ensayos, y el grupo mencionado dispone únicamente de 2. De
hecho, los datos correspondientes a este grupo en la Tabla 6.3 muestran que el
valor mínimo del 99,99 % para la t-Student es 11 MPa, mientras que para las
otras dos distribuciones es 15,71 MPa y 15,06 MPa. Esto demuestra que el valor
obtenido con la t-Student es bajo debido al comportamiento de la propia distribución ante una muestra con sólo dos datos experimentales, y no refleja un
hecho real. Así, se ha considerado válido el valor de γ = 1,35 para estar por el
lado de la seguridad tomando esta distribución como referencia.
En resumen se propone emplear un coeficiente de fiabilidad de 1,2. Así,
todos los valores mínimos del 99,99 % según una distribución normal quedan
encima de la curva de diseño. En caso de considerar necesario un mayor margen de seguridad se puede emplear un coeficiente γ de 1,4 ó 1,35. Tal y como se
ha comprobado, estos dos valores llevan a curvas de diseño inferiores a los valores críticos experimentales según la distribuciones de Weibull y t-Student respectivamente.
La Figura 6.8 refleja la curva de diseño desarrollada en este capítulo con el
coeficiente γ = 1,2. En la misma imagen se han incluido todos los resultados ex-
188 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
perimentales y el valor de la tensión crítica mínima del 99,99%, según la distribución normal.
0,20
Coeficiente de pandeo
Datos experimentales A
Datos experimentales B
0,15
Datos experimentales C
Mín. 99,99% de cada grupo
0,10
Curva propuesta ( γ = 1,2)
0,05
0,00
2
3
4
5
6
7
8
Esbeltez reducida
Figura 6.8 - Comparación entre la curva de diseño propuesta con un coeficiente de
fiabilidad de 1,2 y los resultados experimentales.
En el siguiente apartado, dedicado a la discusión del método desarrollado,
se ha empleado el coeficiente de fiabilidad de 1,2, por ser, en opinión del autor,
el valor más adecuado para el uso práctico de la curva de diseño.
6.4
DISCUSIÓN
6.4.1
Validación para otros perfiles cerrados
Hasta el momento se ha trabajado exclusivamente con la información de los
perfiles de sección circular. Sin embargo, también se ha querido comprobar el
método desarrollado con el comportamiento de los tubos de sección rectangular. Para ello se ha empleado la tensión crítica mínima experimental del 99,99 %
de estas barras, según una distribución normal. Estos datos se muestran en la
Tabla 6.3.
Siguiendo el método de diseño propuesto en el anterior apartado se ha
comparado la curva de diseño con los datos experimentales del material D. Dicha comparación se refleja en la Figura 6.9. En esta figura se muestran, además
de los valores experimentales de los tubos rectangulares, los valores mínimos
6.4 Discusión
189
del 99,99% de la población. Según se observa en la gráfica, la curva propuesta
también está por el lado de la seguridad de los resultados experimentales del
material D, siendo la aproximación bastante cercana. Por lo tanto, el método
desarrollado puede considerarse válido también para este otro tipo de perfil
tubular.
0,20
Coeficiente de pandeo
Datos experimentales D
0,15
Mín. 99,99% del material D
Curva propuesta ( γ = 1,2)
0,10
0,05
0,00
2
3
4
5
6
7
8
Esbeltez reducida
Figura 6.9 - Comparación entre la curva de diseño propuesta y los resultados experimentales del material D.
6.4.2
Validación con datos experimentales de la bibliografía
Una vez establecido el método de diseño a partir de la información obtenida en
la parte experimental, se ha considerado necesario comprobado la curva de diseño propuesta con la información experimental recopilada de la bibliografía. El
objetivo de esta comparación es doble. Por un lado, se ha contrastado la validez
de la curva obtenida más allá de las particularidades de nuestro procedimiento
experimental. Por el otro, se ha comprobado el comportamiento de esta curva
frente a columnas de sección diferente a la tubular. Especialmente se ha buscado validar la curva frente a perfiles de sección abierta. Tal y como se muestra en
el Capítulo 3, la experimentación recogida en la bibliografía se ha centrado
principalmente en perfiles abiertos tipo I o cerrados tipo “box” y “universal”.
Además, la información recogida en la bibliografía, al utilizar perfiles de
mayor inercia, ha aportado datos sobre la zona de esbeltez reducida en la que la
interacción entre el pandeo local y el global es máxima. Así, esta comprobación
190 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
también ha sido útil para validar la curva en la zona de esbeltez reducida cercanos a 1, donde no se disponía de resultados experimentales propios.
Las fuentes utilizadas han sido Barbero & Tomblin (1993 y 1994), que experimentaron sobre perfiles tipo I de esbeltez reducida desde 0,5 hasta 4,5; Zureick & Scott (1994), que utilizaron perfiles tipo I y “box” desde una esbeltez
reducida desde 2 hasta 4; Barbero, Dede & Jones (2000) que también trabajaron
con perfiles tipo I en una esbeltez reducida cercana a 1; y Hashem & Yuan
(2001), que experimentaron sobre perfiles tipo “box” y “universal” de esbeltez
reducida desde 0,5 hasta 1,5. La Figura 6.10 presenta los resultados experimentales de los cuatro trabajos citados. En la misma Figura 6.10 se ha dibujado la
curva propuesta con el coeficiente γ = 1 (ajustada a las medias experimentales)
y con el coeficiente γ = 1,2 (curva de diseño).
En esta última gráfica se puede observar que la curva propuesta sigue correctamente la forma marcada por los puntos experimentales bibliográficos. Así,
se puede concluir que la forma de dicha curva también ajusta adecuadamente
los resultados experimentales recogidos por otros investigadores. Además, la
curva con γ = 1,2 está cerca pero siempre por el lado de la seguridad de todos
los datos recopilados. Por lo tanto, parece que se puede extrapolar la curva de
diseño desarrollada en este capítulo a los perfiles ensayados por otros autores,
entre los que se cubre la zona de esbeltez reducida cercana a 1.
1,2
Barbero & Tomblin (1993)
Coeficiente de pandeo
1,0
Barbero & Tomblin (1994)
Zureick & Scott (1997)
0,8
Barbero, Dede & Jones (2000)
Hashem & Yuan (2001)
0,6
Curva propuesta ( γ = 1)
0,4
Curva propuesta ( γ = 1,2)
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
Esbeltez reducida
Figura 6.10 - Comparación entre la curva de diseño propuesta y los resultados experimentales de la bibliografía.
6.4 Discusión
6.4.3
191
Comparación con la curva de Barbero y Tomblin
El método de diseño para columnas de material pultruido más aceptado hasta
la fecha es el propuesto por Barbero y Tomblin en 1994. En dicho método, que
se ha explicado en el Capítulo 3, el coeficiente de pandeo (denominado q por
Barbero y Tomblin) se formula tal y como presenta la Ecuación 6.10.
q=
Pcr
=
PL
2
1+ 1 2 
λ − 
λ  − 1
2
2c
 2c  c λ


1+ 1
2
(6.10)
En la Ecuación 6.10, c es el coeficiente de ajuste o interacción. Los propios
Barbero y Tomblin propusieron el valor de c = 0,84 para ajustar la curva a sus
medias experimentales. Sin embargo, se considera que el coeficiente de interacción más adecuado para realizar el diseño es c = 0,65, pues ajusta los resultados
experimentales estando siempre debajo de ellos. Este último valor fue propuesto por Barbero y De Vivo en 1999. Por lo tanto, la curva que se acaba de presentar puede considerarse el método del grupo de Barbero.
En la Figura 6.11 se han representado conjuntamente las dos posibles curvas de Barbero y Tomblin (con c = 0,84 y c = 0,65), y las dos propuestas realizadas en el presente trabajo (con γ = 1 y γ = 1,2).
A la vista de esta gráfica cabe destacar que en el entorno de λ = 1 la curva
aquí propuesta para el diseño (con γ = 1,2) y la equivalente de Barbero y Tomblin (c = 0,65), a pesar de proceder de formulaciones diferentes, toman valores
de diseño muy cercanos. Entre λ = 0,71 y λ = 1,05 la diferencia entre ambas
curvas es menor que el 2 % del valor que toma el método propuesto.
Por lo tanto, parece que la curva desarrollada en la presente tesis se ajusta
bien a la realidad observada por el grupo de Barbero en sus trabajos experimentales. Este hecho es interesante debido a que dicho grupo empleó de manera
consciente perfiles de esa esbeltez reducida, con el objetivo de ajustar su curva
principalmente en esa zona. Por lo tanto, la coincidencia entre la curva propuesta aquí y la del grupo de Barbero puede servir para validar la primera de ellas
en la zona de máxima interacción entre el pandeo local y el global.
Sin embargo, el comportamiento de ambos métodos es diferente en los extremos de la gráfica. Como puede verse en la Figura 6.11, la curva de Barbero
toma χ = 1 en λ = 0, y disminuye a partir de ese valor. La curva propuesta en la
presente tesis, en cambio, mantiene una plataforma inicial de valor χ = 1/γ hasta λ = 0,5, disminuyendo luego con mayor pendiente. En esa zona baja, aunque
se representa la tensión de pandeo local del material, se debe tener en cuenta la
192 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
dispersión que presentan los materiales compuestos. Por ese motivo, parece
más adecuado proponer una curva con una plataforma inicial.
1,2
Curva propuesta ( γ = 1)
Coeficiente de pandeo
1,0
Curva propuesta ( γ = 1,2)
0,8
Barbero & Tomblin (c = 0,84)
0,6
Barbero & Tomblin (c = 0,65)
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
Esbeltez reducida
Figura 6.11 - Comparación entre la curva de diseño desarrollada y la propuesta del
grupo de Barbero.
Por otro lado, en valores de esbeltez reducida altos la curva propuesta para
el diseño en el presente trabajo está cerca pero debajo de la curva del grupo de
Barbero. Esta diferencia es máxima en λ = 1,57, donde la diferencia entre ambas curvas es del 17 %. De esta manera, algunos datos experimentales pueden
quedar debajo de la curva de Barbero, pero estar por el lado de la seguridad en
la curva propuesta.
La Figura 6.12 presenta los dos métodos de diseño que se están discutiendo
junto con los resultados experimentales obtenidos en la presente tesis. En dicha
gráfica se observa que la diferencia entre ambas curvas es suficientemente amplia como para mantener bastantes puntos experimentales entre ambos métodos. En todos esos puntos la curva de Barbero no es conservadora.
Si en esta discusión se introducen datos procedentes de trabajos experimentales ajenos a la presente tesis y al grupo de Barbero, se llega a una situación similar. La Figura 6.13 muestra la misma información empleada anteriormente para validar la curva propuesta, junto con los dos métodos que se están
comparando. En esta figura se puede comprobar que, aunque todos los datos
procedentes del grupo de Barbero se ajustan correctamente a su curva de dise-
6.4 Discusión
193
ño, existe una importante cantidad de datos experimentales suministrados por
otros autores que no están por el lado de la seguridad respecto a su método.
0,20
Datos experimentales A
Datos experimentales B
Coeficiente de pandeo
0,16
Datos experimentales C
Datos experimentales D
0,12
Curva propuesta ( γ = 1)
Curva propuesta ( γ = 1,2)
0,08
Barbero & Tomblin (c = 0,84)
Barbero & Tomblin (c = 0,65)
0,04
0,00
2
3
4
5
6
7
8
9
Esbeltez reducida
Figura 6.12 - Comparación entre la curva de diseño propuesta, la curva del grupo de
Barbero y los resultados experimentales de obtenidos en la presente tesis.
Finalmente, la Figura 6.14 muestra todas las curvas de diseño junto con la
información experimental de esta tesis y de algunos otros autores ajenos al grupo de Barbero. Se puede comprobar que los resultados experimentales recogidos en el presente trabajo y parte de los de Zureick y Scott (1997) y Hashem y
Yuan (2001) están debajo de la curva de Barbero. Esto apunta una vez más a que
la curva de Barbero puede ser válida sólo para la zona de esbeltez reducida menor a 1,5. Además, los datos de Hashem y Yuan (2001) de columnas cortas indican la idoneidad de mantener una plataforma inicial con la que se tiene en
cuenta la dispersión del pandeo local.
Como conclusión, se pueden destacar los siguientes aspectos de la comparación realizada entre la curva de diseño propuesta en la presente tesis y la del
grupo de Barbero: parece que el pandeo local queda mejor reflejado en el método propuesto aquí, debido a que este fenómeno presenta una dispersión importante que debe ser tenida en cuenta; además, mientras que la curva desarrollada
en este capítulo es sorprendentemente cercana a la de Barbero en la zona en la
que este grupo realizó el ajuste, la curva de Barbero no tiene un comportamiento suficientemente adecuado en la zona de esbeltez reducida elevada, zona estudiada experimentalmente en la presente tesis.
194 Capítulo 6: Diseño de columnas pultruidas
1,2
Barbero & Tomblin (1993)
Barbero & Tomblin (1994)
Coeficiente de pandeo
1,0
Zureick & Scott (1997)
Barbero, Dede & Jones (2000)
0,8
Hashem & Yuan (2001)
Curva propuesta ( γ = 1)
0,6
Curva propuesta ( γ = 1,2)
Barbero & Tomblin (c = 0,84)
0,4
Barbero & Tomblin (c = 0,65)
0,2
0,0
0
1
2
3
4
Esbeltez reducida
5
Figura 6.13 – Comparación entre la curva de diseño propuesta, la curva del grupo de
Barbero y los resultados experimentales de la bibliografía.
1,2
Zureick & Scott (1997)
Hashem & Yuan (2001)
Coeficiente de pandeo
1,0
Experimentación propia
0,8
Curva propuesta ( γ = 1)
Curva propuesta ( γ = 1,2)
0,6
Barbero & Tomblin (c=0,84)
Barbero & Tomblin (c=0,65)
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
Esbeltez reducida
Figura 6.14 - Detalle de la comparación entre la curva de diseño propuesta, la curva
del grupo de Barbero y algunos resultados experimentales.
Capítulo
7
7 DISEÑO DE VIGAS
PULTRUIDAS
Una vez realizado el estudio de las inestabilidades de las columnas pultruidas,
se aborda a continuación el fenómeno del pandeo lateral en vigas. Con la escasa
base experimental que existe en la actualidad sobre este fenómeno en elementos
de material compuesto aún no es posible formar un método definitivo de diseño. Por este motivo, el objetivo del presente capítulo es establecer las características que debe cumplir el método de diseño de vigas pultruidas. Ese método
definitivo deberá ser desarrollado, sobre la base de una mayor gama de resultados experimentales, en futuros trabajos de investigación.
A lo largo de este capítulo se van a abordar los siguientes apartados: en
primer lugar se van a presentar los resultados experimentales de pandeo lateral,
a continuación se va a explicar el modelo en elementos finitos creado para las
vigas pultruidas, y finalmente se van a presentar las posibles curvas de diseño,
resaltando las ventajas y desventajas de cada una de ellas.
7.1
RESULTADOS EXPERIMENTALES
Según el procedimiento experimental presentado en el Apartado 4.2.4, se han
ensayado una serie de vigas con longitudes comprendidas entre 6 y 2 metros.
En cada caso se ha adaptado la luz del dispositivo experimental a la longitud de
la viga. De esta manera la distancia entre apoyos, que es la variable de referencia para estudiar el momento crítico de pandeo, ha sido siempre 20 centímetros
menor que la longitud de la viga, dejando 10 centímetros de sobra a cada lado
de los apoyos. Se han ensayado un total de 26 vigas con las distancias entre
apoyos reflejadas en la Tabla 7.1. Todas las vigas pertenecían al material E presentado al inicio del Capítulo 4.
195
196 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
Código
Número de vigas
L5+3/4
L5+1/2
L5+1/4
L5
L4+3/4
L4+1/2
L4+1/4
L4
L3+3/4
L2+3/4
L2
4
2
2
4
2
4
2
1
2
2
1
Distancias entre apoyos
(mm)
5,75
5,50
5,25
5,00
4,75
4,50
4,25
4,00
3,75
2,75
2,00
Tabla 7.1 - Cantidad de vigas ensayadas para cada distancia entre apoyos.
En el caso del pandeo lateral la esbeltez reducida se denomina esbeltez reducida lateral ( λ LT ), y se calcula según la Ecuación 7.1 (Apéndice B), donde ML
representa el momento crítico que lleva al fallo local de la sección y Mcr el momento crítico que lleva a la viga a pandear lateralmente por el único efecto de la
inestabilidad global. Mientras que ML es función exclusiva del material y las
dimensiones de la sección, Mcr también depende de la rigidez global de la viga,
donde se incluyen su longitud y las condiciones de contorno respecto de la
flexión, la torsión y el alabeo.
λ LT =
ML
M cr
(7.1)
Tal y como se ha explicado en el Capítulo 4, con este procedimiento experimental se han observado dos comportamientos diferentes en función de la
longitud de la viga: en las vigas cortas se ha dado el pandeo local y en las más
largas el pandeo lateral. En el Apartado 4.2.4 de esta memoria se han ilustrado
tanto el pandeo local como el lateral observados en los ensayos.
Cabe destacar que la mayoría de los ensayos de otros autores, comentados
en el apartado dedicado al pandeo lateral del Capítulo 3, se han realizado sobre
vigas pultruidas en voladizo. En esa disposición las longitudes de las vigas empleadas suponían una esbeltez reducida lateral bastante elevada. De hecho, estos autores en ningún caso han explorado la superposición entre el pandeo local
y el global. A pesar de ello en muchas de sus publicaciones la carga crítica teórica ha sido cercana a la real. Esta coincidencia puede ser debida a la elevada esbeltez reducida lateral de esas vigas.
En el trabajo experimental realizado para la presente tesis, en cambio, se ha
explorado una zona de esbeltez reducida lateral más baja. Es decir, se ha trabajado en los valores que llevan a la máxima superposición de efectos entre el
7.1 Resultados experimentales
197
pandeo local y el global. Se ha considerado interesante analizar esta zona con la
intención de emprender el estudio de la superposición de efectos, fenómeno ya
analizado en el caso de las columnas pultruidas.
El rango de esbeltez reducida lateral manejado en el pandeo lateral supone
una clara diferencia respecto al trabajo experimental realizado sobre las columnas. Tal y como ha sido comentado en el Capítulo 6 dedicado a las columnas,
con los ensayos sobre tubos ejecutados en esta tesis se ha pretendido llegar a
una zona de esbeltez reducida elevada, de la que no se disponía información
previa de otros autores. Sin embargo, la situación del pandeo lateral al inicio de
este trabajo era totalmente diferente. En el caso de las vigas pultruidas, precisamente se dispone de ensayos realizados en la esbeltez reducida lateral elevada, pero no existen muchos ensayos de esbeltez reducida lateral cercana a la
unidad. Por ese motivo, siempre con la intención de completar la información
ya existente sobre cada fenómeno, se ha trabajado en diferentes zonas de esbeltez con las columnas y con las vigas.
El hecho de haber alcanzado dos comportamientos diferentes con el mismo
dispositivo de ensayo ha supuesto una ventaja. Tal y como sucede al analizar
las inestabilidades de las columnas, el diseño ante el pandeo lateral también se
realiza mediante un coeficiente de reducción equivalente al coeficiente de pandeo. En este caso el coeficiente se denomina coeficiente de reducción lateral
(χLT) y se aplica sobre el momento de fallo local de la sección. Así, una vez realizados los ensayos presentados en la Tabla 7.1, se ha dispuesto tanto de los momentos de pandeo local de la sección como de los momentos flectores experimentales, donde el fallo se ha producido por la interacción entre el pandeo local
y el lateral. El estudio se ha completado gracias al valor del momento crítico
obtenido por elementos finitos, valor que sólo considera el fallo por inestabilidad global.
A continuación se van a exponer los resultados experimentales de los ensayos sobre vigas, separando las vigas que han fallado localmente en la sección
y las que han sufrido pandeo lateral. En el siguiente apartado se presentan los
modelos realizados en elementos finitos, así como los resultados de valores críticos logrados.
7.1.1
Pandeo local
Entre las 26 vigas ensayadas 9 de ellas presentaron una rotura en la sección central debida al fallo local. La Tabla 7.2 muestra la carga aplicada en el centro de
la viga que ha llevado al fallo local de la sección en cada uno de esos ensayos. A
partir de estos datos, conocido que la viga estaba biempotrada, se han calculado
los momentos flectores de fallo local, que también se incluyen en la Tabla 7.2.
Además, en la misma tabla se incluye la distancia entre apoyos de cada uno de
198 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
estos ensayos. Todas las vigas que han llegado al pandeo local habían sido ensayadas con una distancia menor que 4,5 metros entre apoyos.
Viga
L2-1
L2+3/4-1
L2+3/4-2
L3+3/4-1
L3+3/4-2
L4-1
L4+1/4-1
L4+1/2-1
L4+1/2-2
Distancia entre
apoyos (mm)
2,00
2,75
2,75
3,75
3,75
4,00
4,25
4,50
4,50
Carga aplicada
(kg)
6.079
5.852
5.940
4.835
4.978
4.613
3.940
3.933
3.671
Momento flector
(kN.m)
14,89
19,71
20,01
22,21
22,87
22,60
20,51
21,68
20,24
Tabla 7.2 - Cargas y momentos flectores experimentales de fallo local en las vigas pultruidas.
Los momentos flectores recogidos en la Tabla 7.2 se muestran de manera
gráfica en la Figura 7.1 marcados mediante un aspa, donde también se han representado los resultados de las vigas que presentaron el pandeo lateral. En
dicha gráfica se observa que las 8 vigas ensayadas con una luz comprendida
entre 3,5 y 4,5 metros han presentado un momento de fallo local parecido. Este
momento flector puede considerarse el momento de fallo local de esa sección,
ya que es función del material y de las dimensiones de la sección, pero no de la
longitud de la viga. Sin embargo, las vigas menores que 3,5 metros han presentado un momento flector más bajo que las anteriores, a pesar de que también
han fallado por pandeo local.
Para entender esta diferencia es necesario recordar que existen dos posibles
fallos locales en las vigas. Además del pandeo local del ala comprimida las vigas pueden fallar por abolladura del alma, ya que también transmiten esfuerzos
cortantes. Pecce y Cosenza (2000) indicaron que el fallo local de un perfil pultruido debe ser referido al modo de fallo más débil de su sección. Así, las secciones de poco canto tienden a fallar por pandeo del ala comprimida, mientras
que las secciones con mucho canto fallan habitualmente por abolladura del alma. Para conocer la tendencia de una sección a fallar de uno u otra manera,
Pecce y Cosenza definieron el parámetro r (Ecuación 3.2). Ese parámetro representa la relación entre la esbeltez de la placa que compone el ala y la esbeltez de
la placa que compone el alma.
Como se ha explicado en el Capítulo 3, un factor r alto indica la tendencia
de la sección a que el fallo se produzca por pandeo del ala, ya que el ala es muy
esbelta en comparación con el alma. En cambio, un factor r bajo significa que la
abolladura del alma tendrá una importante influencia, ya que el alma es muy
7.1 Resultados experimentales
199
esbelta en relación con el ala. En la misma publicación Pecce y Cosenza indicaron que se podía establecer r = 0,3 como límite inferior para considerar que el
fallo local de la viga sucede exclusivamente por pandeo del ala comprimida. En
las secciones con r menor que 0,3 la influencia de la abolladura del alma es
apreciable, y debe ser considerada aparte.
En el caso concreto de la sección empleada en la presente tesis, según las
dimensiones de la sección presentadas en el Apartado 4.1.2, el factor r toma un
valor de 0,1193, que es claramente menor que 0,3. Así, parece necesario tener en
consideración el fallo local debido al esfuerzo cortante sobre el alma.
Una vez consideradas estas dos maneras de fallo de la sección, los resultados experimentales de fallo local de viga pultruida pueden ser entendidos de la
siguiente manera. En la longitud comprendida entre 3,5 y 4,5 metros, a pesar de
ensayar vigas de diferente luz, las cargas de fallo han variado de manera tal que
todas las cargas han llevado a un momento flector parecido. Parece justificado
considerar que este momento flector es el valor de referencia que caracteriza el
fallo local de la sección, y el pandeo global de las vigas debe ser referido a este
valor. Al seguir disminuyendo la longitud de las vigas, para llegar al momento
flector de fallo del ala, el alma se ve sometida a una carga demasiado alta y se
rompe antes de llegar a ese momento flector. Así, si se ensayaran vigas aún más
cortas, posiblemente éstas fallarían a una carga constate, que es la carga transversal que el alma es capaz de soportar localmente. Este fallo a carga constante
llevaría a un momento flector cada vez menor, que no refleja la realidad del fallo por pandeo local.
Por lo tanto, para determinar el momento flector de fallo local de la viga al
que debe ser referida la interacción con el pandeo lateral se han descartado los
datos de las 3 vigas más cortas. Se ha considerado que estas vigas se han visto
influenciadas de manera apreciable por la abolladura del alma. Es necesario
resaltar que tras el diseño de la viga ante el pandeo lateral, sería aconsejable
considerar el posible fallo por abolladura del alma. El análisis de este fenómeno
no se ha incluido en la presente tesis, quedando como futura tarea para el desarrollo de los métodos de diseño de perfiles pultruidos.
Una vez descartados estos datos, con los resultados del resto de vigas se ha
llegado a una media de 21,69 kN.m, con una desviación típica de 1,09 kN.m.
Esta desviación típica representa el 5,05 % del valor medio, lo que parece un
valor suficientemente bajo para considerar válida la decisión adoptada. Así, en
el posterior análisis del pandeo lateral se ha empleado ese valor de momento
flector de fallo local de la sección como referencia (ML = 21,69 kN.m).
200 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
Momento Flector (kN.m)
25
20
15
10
Fallo local
5
Pandeo lateral
0
0
1
2
3
4
5
6
Longitud (m)
Figura 7.1 –Momentos flectores resultantes de los ensayos sobre vigas pultruidas.
7.1.2
Pandeo global lateral
Las otras 17 vigas ensayadas presentaron un comportamiento claro de inestabilidad global. Todas ellas se deformaron por el efecto del pandeo lateral, adoptando la posición descrita en el Apartado 4.2.4. Además, al descargar el accionamiento hidráulico las vigas volvían a su posición original, pudiendo ser cargadas y descargadas varias veces sin sufrir daños. En la Tabla 7.3 se recogen las
cargas que han producido el pandeo lateral de la viga y el momento flector
creado en la sección central por efecto de esa carga. En dicha tabla se ofrece
también la distancia entre apoyos de cada uno de los ensayos. Además, para
cada longitud de viga se ha calculado el momento flector medio de ese grupo,
dato que también se incluye en la tabla. Estos datos serán empleados más tarde
en la discusión sobre posibles curvas de diseño para el pandeo lateral.
7.2 Obtención del momento crítico por elementos finitos
Viga
L4+1/4-2
L4+1/2-3
L4+1/2-4
L4+3/4-1
L4+3/4-2
L5-1
L5-2
L5-3
L5-4
L5+1/4-1
L5+1/4-2
L5+1/2-1
L5+1/2-2
L5+3/4-1
L5+3/4-2
L5+3/4-3
L5+3/4-4
Distancia
entre
apoyos
(mm)
4,25
4,5
4,5
4,75
4,75
5
5
5
5
5,25
5,25
5,5
5,5
5,75
5,75
5,75
5,75
201
Carga aplicada (kg)
Momento
flector
(kN.m)
Momento
flector medio (kN.m)
4.380
3.946
3.907
3.826
3.540
3.345
3.095
3.310
3.027
2.907
2.911
2.632
2.500
2.329
2.284
2.385
2.379
22,80
21,75
21,54
22,26
20,60
20,49
18,96
20,27
18,54
18,70
18,72
17,73
16,84
16,40
16,09
16,80
16,76
22,80
21,65
21,43
19,57
18,71
17,29
16,51
Tabla 7.3 - Cargas y momentos flectores experimentales de pandeo lateral en las vigas
pultruidas.
En la Figura 7.1, junto con los momentos de fallo local comentados anteriormente, se han representado los datos de la Tabla 7.3. En esa gráfica se puede
observar que el valor del momento que lleva al pandeo lateral es función de la
luz de la viga ensayada, tal y como era de esperar. La forma adoptada por los
resultados experimentales es parecida a la ya observada en el pandeo de Euler.
Esto indica que puede resultar adecuado emplear, para modelar la interacción
entre el pandeo local y el global, alguno de los sistemas empleados en el diseño
de columnas.
7.2
OBTENCIÓN DEL MOMENTO CRÍTICO POR ELEMENTOS FINITOS
El momento flector crítico de una viga susceptible de pandear lateralmente es
aquel momento flector que lleva a la viga a la inestabilidad global sin la influencia del fallo local. Este momento crítico se debe calcular de manera analítica por
medio de una serie de ecuaciones equivalentes a la ecuación de Euler para el
pandeo de columnas. Estas ecuaciones habitualmente se plantean por balances
energéticos, es decir, se obtiene la energía potencial del sistema y se deriva buscando su valor mínimo. Este valor mínimo representa la posición de equilibrio a
la que tiende el sistema fuera de la situación inicial.
202 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
Sin embargo, este procedimiento resulta demasiado tedioso para ser empleado de manera regular, ya que el análisis de cada viga requiere de numerosos cálculos. A diferencia del pandeo de Euler, que es función exclusiva de la
geometría de la columna, las condiciones de contorno y la rigidez del material,
en el pandeo lateral también interviene el tipo de distribución de carga al que se
ve sometida la viga. De hecho, el desarrollo de métodos sencillos con los que
obtener el momento crítico sigue siendo un reto en los materiales clásicos.
A día de hoy, la alternativa más común al cálculo del momento crítico de
una viga por balance energético es realizar el modelo de ésta en elementos finitos. En realidad, al apoyarse en los elementos finitos se está efectuando la misma operación que en el cálculo analítico, pero se realiza mediante una herramienta informática, lo que agiliza el proceso enormemente.
Para el estudio que se presenta en este capítulo, el momento crítico de cada
una de las vigas ensayadas a pandeo lateral se ha obtenido mediante un modelo
en elementos finitos, realizado en el programa Cosmos Geostar 2.9.
7.2.1
Geometría y tipo de mallado
Dentro del modelo de elementos finitos, las vigas se han generado por extrusión
de una curva con la forma de la sección del elemento estructural. La curva con
forma de I se ha creado de acuerdo a las dimensiones descritas en el Apartado
4.1.2.
Por lo tanto, la viga está formada por tres placas que representan las dos
alas y el alma. La unión entre estas tres placas se ha conseguido mediante la
coincidencia de nodos a lo largo de todo el perfil. Así, las tres placas trabajan de
manera conjunta a través de la unión entre el ala y el alma.
Para el mallado de las placas se han empleado el elemento de área denominado “Shell-4T”, que es un elemento de 4 nodos con forma de placa delgada
de espesor constante. Este elemento aporta la capacidad de curvarse, por lo que
es adecuado para los modelos estructurales de tres dimensiones. Además, toma
en cuenta la deformación por el esfuerzo cortante, lo que varios autores han
considerado necesario al analizar la inestabilidad global de las vigas pultruidas.
Por otro lado, el elemento “Shell-4T”posee 6 grados de libertad por nodo, 3 traslaciones y 3 rotaciones. Finalmente, la formulación relacionada con este elemento admite trabajar con propiedades ortótropas del material, lo que permite modelar correctamente las propiedades fuertemente ortótropas de la pultrusión.
En todas las vigas modeladas cada placa ha sido mallada con 10.000 elementos “Shell-4T”, 10 en la dirección contenida en la sección y 1.000 en la dirección de la directriz. Por lo tanto, el modelo completo dispone de 30.000 elementos y 31.031 nodos. Se ha introducido un espesor de 10,87 mm en los elementos
7.2 Obtención del momento crítico por elementos finitos
203
que forman las alas y 9,31 mm en los del alma. Así, se ha conseguido que cada
placa tenga el espesor indicado en el Apartado 4.1.2.
La Figura 7.2 muestra el modelo en elementos finitos generado para calcular el momento crítico de cada viga ensayada. En la figura se pueden diferenciar
dos grupos de elementos de diferente espesor, los que pertenecen a las alas, en
azul, y los que pertenecen al alma, en verde.
Figura 7.2 - Modelo de la viga pultruida de 5 metros realizado en elementos finitos.
7.2.2
Propiedades elásticas
Una vez creada la geometría de la viga y realizado el mallado sobre ella, se ha
procedido a introducir las constantes elásticas del material pultruido. Para obtener toda la matriz de propiedades elásticas se ha combinado el procedimiento
basado en la medida de la frecuencia con la teoría de Halpin y Tsai (1967).
El ensayo de frecuencia se ha aplicado de nuevo sobre las vigas empleadas
en los ensayos. Sin embargo, en esta ocasión las vigas se han colocada en posición horizontal, es decir, quedando la chapa que compone el alma en horizontal
con las alas a ambos lados. En esta posición, para medir la frecuencia de resonancia se ha golpeado la viga verticalmente en el centro del alma, consiguiendo
una vibración sobre el eje débil. De esta manera se ha obtenido un valor del
204 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
módulo elástico diferente al mostrado en el Apartado 5.1.1 del Capítulo 5 para
el material E.
Concretamente, con este último ensayo se ha llegado a que el módulo elástico global del material pultruido es 19 GPa. Este dato contrasta con el valor de
33,76 GPa presentado para este mismo material en el Capítulo 5, resultante del
ensayo mecánico. Esta diferencia de módulo elástico global se debe a que, aunque las fibras procedentes de bobinas han trabajado de manera óptima en ambas mediciones, en el ensayo mecánico la deformación ha estado contenida en el
plano de la viga, mientras que en este ensayo la deformación ha sido lateral,
porque la viga estaba en posición horizontal y se ha golpeado verticalmente.
Como consecuencia, el módulo elástico global de la viga es diferente en cada
caso, ya que el refuerzo presenta una geometría diferente en cada caso.
El módulo elástico de 19 GPa es directamente el valor que se debe incluir
en el modelo de elementos finitos para la dirección z, según los ejes de la Figura
7.2. Las vigas, al deformarse por el efecto del pandeo lateral, se curvan en el
plano perpendicular. Por este motivo, al analizar este fenómeno, entra en juego
el módulo elástico global según ese plano, y no el obtenido para el propio plano
de la viga.
Sin embargo, el otro módulo elástico global también ha sido necesario para
definir algunas propiedades elásticas del modelo en elementos finitos. Gracias a
la rigidez a flexión obtenida en el Capítulo 5, y mediante la formulación conocida como la regla de las mezclas, se ha calculado la fracción volumétrica de fibra
contenida en el material pultruido que compone las vigas ensayadas. Para este
cálculo se ha empleado la Ecuación 7.2 (Hull y Clane, 1981, Apartado 4.1). En
esta ecuación Vf representa la fracción volumétrica de fibra, mientras que Em y
Ef representan el módulo elástico de la matriz y la fibra respectivamente.
E L = (1 − V f )E m + V f ⋅ E f
(7.2)
La Tabla 2.1 y la Tabla 2.2 del Capítulo 2 recogen algunas propiedades
elásticas de los materiales empleados como matriz y como fibra de refuerzo.
Conocido que el material pultruido de las vigas había sido fabricado a partir de
poliéster, y que estaba reforzado con fibra de vidrio tipo E, se han asignado las
características presentadas en la Tabla 7.4 para la matriz y la fibra de refuerzo.
El módulo elástico a cortadura se ha establecido según los valores típicos de los
materiales básicos.
7.2 Obtención del momento crítico por elementos finitos
Material
Poliéster
Vidrio-E
Matriz
Fibra
E (GPa)
3,4
72
205
G (GPa)
2,5
45
Tabla 7.4 - Características de los materiales básicos consideradas para el cálculo de las
propiedades elásticas del material pultruido.
Con los valores de la Tabla 7.4 se obtiene una fracción volumétrica de fibra
del 44%.
Una vez conocida la fracción volumétrica de fibra, para conocer el módulo
elástico transversal (ET) y el módulo a cortadura (G) del material, se han aplicado las aproximaciones de Halpin y Tsai mostradas en las Ecuaciones 7.3 y 7.4.
ET =
E m (1 + η1V f )
(1 − η V )
1
G=
f
Gm (1 + η 2V f
(1 − η V )
2
f
)
 Ef


− 1
 Em

donde η1 =
E
 f


+ 1
 Em

(7.3)
 Gf


− 1
 Gm

donde η 2 =
 Gf


+ 1
 Gm

(7.4)
Estas ecuaciones llevan a un valor del módulo elástico transversal (ET) de
7,34 GPa, y a un valor de módulo de cortadura (G) de 5,75 GPa. En realidad el
módulo a cortadura de un material ortótropo no es igual en las 3 direcciones, ya
que en unas direcciones la fibra larga aporta mayor rigidez que en otras. Sin
embargo, gracias a una serie de pruebas realizadas sobre el propio modelo en
elementos finitos se ha comprobado que el resultado es muy poco sensible a
este dato. Por lo tanto se ha decidido asignar el mismo valor de módulo elástico
en todas las direcciones.
En resumen, las constantes elásticas introducidas para el cálculo del momento crítico mediante el modelo en elementos finitos son las recogidas en la
Tabla 7.5, donde las direcciones se han referido a los ejes mostrados en la Figura
7.2.
206 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
Ez (GPa)
19
Ex = Ey (GPa)
7
Gxy = Gxz = Gyz (GPa)
5,5
Tabla 7.5 - Propiedades elásticas atribuidas al material pultruído en el modelo en elementos finitos.
7.2.3
Condiciones de contorno
Las condiciones de contorno a las que ha estado sometida la viga han sido sencillas de introducir en el modelo en elementos finitos. Los empotramientos de
ambos extremos han sido modelados impidiendo los 6 grados de libertad (3
desplazamientos y 3 giros) de todos los nodos que forman las secciones extremas de la viga. En la Figura 7.3 se muestran estas restricciones aplicadas a uno
de los extremos de la viga de elementos finitos. Estas limitaciones establecidas
sobre los nodos de las secciones extremas también impiden el alabeo y la torsión de la sección. Por lo tanto, las condiciones de contorno son adecuadas a la
situación real establecida en el ensayo de vigas pultruidas.
Figura 7.3 - Empotramiento simulado en el modelo de elementos finitos.
7.2 Obtención del momento crítico por elementos finitos
207
La sección central de la viga biempotrada sufre la aplicación de la carga
puntual, lo que también supone una serie de restricciones al movimiento. Tal y
como se ha explicado en el Capítulo 4, el rodillo empleado para aplicar dicha
carga no tiene posibilidad de giro. De esta manera, al estar en contacto con el
ala superior de la viga la aplicación de la carga impide el giro de ese ala, lo que
introduce una restricción al giro. En el modelo realizado se ha introducido un
acoplamiento entre los nodos que forman el ala superior de la sección central.
Este acoplamiento obliga a que todos estos nodos mantengan en todo momento
el mismo desplazamiento vertical. La Figura 7.4 muestra este acoplamiento introducido en la sección central.
Figura 7.4 - Detalle de la restricción al giro introducida por la aplicación de la carga
puntual.
Finalmente, para obtener la misma deformada observada durante la ejecución de los ensayos, ha sido necesario impedir el desplazamiento en el eje x del
nodo central, tanto del ala superior como del inferior, en la sección donde se ha
aplicado la carga.
La carga aplicada por el rodillo se ha modelado mediante una serie de cargas puntuales verticales introducidas sobre los 11 nodos que componen el ala
superior de la sección central. El valor de estas cargas ha sido seleccionado de
manera que la suma de las 11 cargas fuera la unidad. De esta manera, el factor
resultante del cálculo, que en realidad representa el valor por el que hay que
multiplicar la carga aplicada para llegar a la inestabilidad global, representa
directamente la carga de pande lateral de la viga modelada. La Figura 7.5 mues-
208 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
tra la viga en elementos finitos junto con todas las condiciones de contorno y las
cargas aplicadas sobre ella.
Figura 7.5 - Modelo de la viga pultruida de 5 metros realizado en elementos finitos con
las condiciones de contorno y las cargas aplicadas sobre ella.
7.2.4
Resultados
Una vez finalizado el modelo en elementos finitos, donde se han simulado las
mismas condiciones de carga y contorno que en el ensayo real, se ha procedido
a calcular la carga crítica de pandeo lateral para cada longitud de viga.
Las Figura 7.6 muestran la deformada obtenida como resultado del modelo
en elementos finitos de la viga de 5 metros. La forma resultante ha sido equivalente para todas las longitudes. Como se puede observar en dichas figuras el
resultado es una deformada idéntica a la obtenida en la experimentación real.
La Figura 7.7 muestra la vista en planta de la misma viga deformada. En esta
figura se observa la forma de sinusoide que describe el ala superior, que está
sometida a un esfuerzo de compresión, tras sufrir el efecto del pandeo lateral. El
ala inferior, en cambio, describe una sinusoide mucho menor, debido a que, al
estar traccionada, se deforma únicamente a consecuencia de la deformación del
ala superior. Finalmente, la Figura 7.8 muestra, en perspectiva, la deformación
7.2 Obtención del momento crítico por elementos finitos
209
de la mitad superior de la viga, mostrando específicamente la deformación del
ala comprimida.
La Tabla 7.6 muestra la carga crítica de cada longitud de viga según el modelo de elementos finitos. Además, en la misma tabla se ha incluido el momento
crítico que supone esa carga en cada caso.
Una vez conocido el momento crítico correspondiente a cada longitud de
viga, mediante la Ecuación 7.1 se puede calcular el valor de la esbeltez reducida
lateral. Para este cálculo se ha empleado el valor del momento de fallo local obtenido en el Apartado 7.1.1.
Figura 7.6 - Deformada resultante del cálculo de estabilidad lateral del modelo en elementos finitos de la viga pultruida.
Figura 7.7 - Vista en planta de la viga creada por elementos finitos deformada.
210 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
Figura 7.8 - Parte comprimida de la viga deformada por el pandeo lateral en el modelo
de elementos finitos.
Viga
Distancia entre
apoyos (mm)
Carga crítica
(kg)
L3+3/4
L4
L4+1/4
L4+1/2
L4+3/4
L5-1
L5+1/4
L5+1/2
L5+3/4
3,75
4,00
4,25
4,50
4,75
5,00
5,25
5,50
5,75
11.467
10.127
8.950
7.935
7.053
6.288
5.624
5.047
4.544
Momento
crítico
(kN.m)
52,68
49,62
46,60
43,74
41,04
38,51
36,17
34,00
32,01
Esbeltez
reducida
lateral
0,64
0,66
0,68
0,70
0,73
0,75
0,77
0,80
0,82
Tabla 7.6 - Momento crítico de las vigas pultruidas calculado por elementos finitos.
En la Figura 7.9 se exponen los datos de la Tabla 7.6 de manera gráfica. En
dicha gráfica se puede observar que el valor del momento crítico disminuye con
el aumento de la longitud de la viga. Los puntos describen una parábola similar
a la curva de Euler para el pandeo de columnas. Esta similitud se debe al hecho
de que tanto la curva de Euler como la mostrada en la Figura 7.9 representan la
inestabilidad del elemento estructural sin influencia alguna del fallo local.
7.3 Discusión. Posibles curvas de diseño.
211
60
Momento Crítico (kN.m)
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Longitud (m)
Figura 7.9 - Momento crítico de las vigas en función de su longitud.
7.3
DISCUSIÓN. POSIBLES CURVAS DE DISEÑO.
Una vez conocidos de manera experimental tanto el momento de pandeo local
como el momento de pandeo lateral de las vigas pultruidas, conocido también
el momento crítico gracias al cálculo realizado en elementos finitos, se ha procedido a estudiar la interacción entre el pandeo local y el global. El objetivo de
este estudio ha sido establecer los primeros rasgos de un método de diseño que
englobe la influencia de ambos fenómenos en las vigas. Considerando la escasez de información experimental disponible sobre vigas pultruidas en comparación con las columnas, es evidente que a día de hoy aún no se puede proponer
una curva de diseño, tal y como se ha realizado en el Capítulo 6 para las columnas. Además, al revisar la bibliografía correspondiente tampoco se ha encontrado ninguna publicación en la que se haya tratado la superposición de efectos, y
menos aún propuesto curvas de diseño.
En este apartado se presenta el estudio realizado en el ámbito de la interacción entre el pandeo local y el global de las vigas pultruidas. Para ello, como
primer paso, se han probado las curvas de interacción establecidas para las columnas. Después, en base a la experimentación realizada en la presente tesis y
algunos datos de otros autores, se han intentado ajustar varias curvas de pandeo lateral de diferentes formatos. Este procedimiento, aunque no ha llevado a
212 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
una propuesta definitiva, ha servido para aclarar algunos aspectos sobre las
inestabilidades en las vigas pultruidas, tal y como se expone a continuación.
7.3.1
Curvas de diseño de columnas pultruidas
El Eurocódigo 3 para el diseño de estructuras de acero emplea la misma curva
de interacción en las columnas y en las vigas. Por lo tanto, la comprobación de
la estabilidad de las vigas de acero se realiza mediante a la curva ya presentada
para las columnas de acero. En este diseño primero se debe establecer el valor
del momento crítico, a partir de ese momento crítico y del momento de fallo
local se calcula la esbeltez reducida lateral. Finalmente se entra en la curva de
interacción para obtener el coeficiente de reducción lateral, que se aplica sobre
el momento de fallo local consiguiendo el momento de pandeo lateral.
Por analogía con el acero, el primer paso realizado en este estudio ha sido
probar la posible aplicación del método presentado en el Capítulo 6 para las
columnas pultruidas. Dicho método se resume en las Ecuaciones 6.7, 6.8 y 6.9.
La Figura 7.10 presenta la curva de interacción desarrollado en el Capítulo
6 de la presente tesis junto con las medias de los ensayos sobre vigas pultruidas.
En la misma gráfica se han dibujado los valores de momento crítico calculados
en el apartado anterior.
La primera característica destacable de esta gráfica es que la curva de interacción lleva a unos valores de diseño cercanos a los experimentales. Esto sucede a pesar de que el momento crítico de esas vigas es aproximadamente el
doble del valor experimental. Como consecuencia, se ha demostrado que en
vigas con una esbeltez reducida lateral menor que la unidad no es válido considerar exclusivamente el momento crítico de pandeo global. En esta zona es necesario considerar de alguna manera la interacción del pandeo global con el
fallo local de la sección.
Sin embargo, parece evidente que la curva de interacción ajustada a las columnas pultruidas no sigue de manera adecuada el comportamiento mostrado
por las vigas. En la Figura 7.10 se observa que los datos experimentales pasan
claramente de estar encima de la curva de diseño a estar debajo de ella. Por lo
tanto, se puede concluir que en la pultrusión no es válido emplear la misma
curva de interacción para analizar la estabilidad de los elemento verticales y los
horizontales, tal y como sucede con el acero.
Coeficiente de pandeo lateral
7.3 Discusión. Posibles curvas de diseño.
213
2,0
Datos experimentales
(valores medios)
1,5
Momento crítico
(elementos finitos)
1,0
Curva de diseño para
columnas pultruídas
0,5
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Esbeltez reducida lateral
Figura 7.10 - Comparación entre los resultados experimentales sobre vigas pultruídas y
la curva propuesta para el diseño de columnas.
A continuación se ha procedido a comparar los datos experimentales con la
curva propuesta por Barbero y Tomblin para las columnas pultruidas. Esta otra
curva proviene de la formulación de Ylinen, con la que se consideran conjuntamente la aportación del fallo local y la inestabilidad en la resistencia de un elemento estructural. La Ecuación 6.10 muestra la formulación de Ylinen. Según la
propuesta de Barbero y Tomblin el coeficiente c debe ser 0,84 para que la curva
quede ajustada a las columnas.
La Figura 7.11 presenta las mismas medias experimentales empleadas en la
anterior comparación junto con la curva de Barbero y Tomblin para columnas
(curva roja). Esta gráfica desvela un comportamiento similar al observado en la
Figura 7.10. Gracias a que se ha tenido en cuenta la superposición de efectos los
valores de diseño están cerca de los experimentales. Sin embargo, se ha comprobado que la curva no sigue la forma de las medias experimentales adecuadamente.
Una vez descartada tanto la curva para columnas desarrollada en esta tesis
como la propuesta de Barbero y Tomblin, se ha intentado ajustar la formulación
de Ylinen a los resultados de los ensayos sobre vigas pultruidas. Para ello se ha
calculado el coeficiente de interacción c de cada ensayo realizado. Posteriormente se ha calculado el valor medio de los coeficientes de interacción, llegando
214 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
a un valor de c = 0,858. Este procedimiento es el mismo que aplicaron Barbero y
Tomblin al ajustar el coeficiente de interacción a las columnas.
La curva resultante de la formulación de Ylinen con un coeficiente de interacción c = 0,858 se ha dibujado en la misma Figura 7.11 (curva negra). La
curva ajustada con este nuevo coeficiente de interacción es muy parecida a la de
Barbero y Tomblin, debido a que ambos coeficientes c son muy cercanos. Es
decir, que el coeficiente calculado para las columnas es parecido al óptimo para
las vigas. Esto indica que el comportamiento de la formulación de Ylinen no es
adecuado para la inestabilidad de vigas pultruidas, independientemente del
valor que se emplee para el coeficiente de interacción.
Coeficiente de pandeo lateral
1,2
Datos experimentales
(valores medios)
1,0
Ajuste Ylinen
(c=0,858)
0,8
Barbero y Tomblin
(1994) (c=0,84)
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,5
1,0
Esbeltez reducida lateral
1,5
2,0
Figura 7.11 - Comparación entre los resultados experimentales sobre vigas pultruidas y
diferentes ajustes de la curva de Ylinen.
Tanto la curva para columnas pultruidas desarrollada en esta tesis como
los ajustes de la curva de Ylinen pasan con demasiado poca inclinación por la
zona de de los puntos experimentales. Por lo tanto, parece que la curva de diseño debe arquearse mucho más en esa zona.
7.3.2
Pautas para el desarrollo de una nueva curva
Una vez comprobado que los métodos empleados en las columnas pultruidas
no son válidos para las vigas, se ha intentado obtener un nuevo método de diseño.
7.3 Discusión. Posibles curvas de diseño.
215
Gracias a las comparaciones realizadas en el apartado anterior, se ha comprobado que la formulación de Ylinen no ofrece la polivalencia necesaria para
poder ajustarla a la forma marcada por las vigas pultruidas. La curva de Dutheil depende de tres factores que pueden ser ajustados (el grado del polinomio,
la anchura de la plataforma inicial y el coeficiente de ajuste α), mientras que en
la curva de Ylinen sólo se puede modificar el coeficiente de interacción c. Este
coeficiente de interacción afecta principalmente a la zona central, bajando o subiendo la curva, pero no permite arquearla demasiado, lo que sería deseable en
este caso. Por lo tanto, la formulación de Ylinen ha sido descartada para las vigas pultruidas.
Como consecuencia se han calculado dos curvas de diseño posibles. La
primera, también se basa en la curva de Dutheil. Es decir, se ha ajustado de
nuevo el polinomio de imperfecciones iniciales K, esta vez al comportamiento
de las vigas. La segunda propuesta, en cambio, está inspirada en el método empleado por el Eurocódigo 5 para la madera. Esta norma, explicada en el Capítulo 3, propone emplear tres curvas diferentes en función de la zona de esbeltez
reducida lateral en la que se esté trabajando.
A continuación se presentan ambas propuestas, describiendo en cada caso
sus ventajas e inconvenientes.
7.3.3
Posible curva tipo Dutheil
Al igual que en el caso de las columnas, el primer parámetro del polinomio K
que debe ser ajustado es su grado. Al probar las curvas de diseño resultantes de
los polinomios K lineal, parabólico y cúbico, cada uno con su coeficiente α óptimo, se ha llegado a situaciones similares a la presentada en la Figura 7.10.
Este resultado era en parte predecible, ya que se dispone de datos experimentales de un rango muy estrecho de esbeltez reducida lateral. A diferencia
del ajuste efectuado para columnas, donde la esbeltez reducida de los perfiles
ensayados iba desde 2 hasta 8, en las vigas los datos experimentales ocupan un
rango muy limitado, desde 0,64 hasta 0,82. De esta manera es difícil poder elegir correctamente el grado del polinomio K, ya que éste influye arqueando más
o menos la curva final, y por lo tanto, la elección adecuada se consigue observando una gama amplia de esbeltez reducida lateral. Como consecuencia se ha
decidido mantener un polinomio de imperfecciones iniciales de segundo grado,
y trabajar con la anchura de la plataforma inicial y el coeficiente α.
A pesar de disponer de datos experimentales de una zona bastante estrecha de esbeltez reducida lateral, se ha podido establecer la anchura adecuada de
la plataforma inicial para la curva de Dutheil. Esta operación ha sido posible
debido a que precisamente se han ensayado vigas en una esbeltez reducida late-
216 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
ral en la que, con poca variación de longitud, se pasa del pandeo local al pandeo
lateral fácilmente.
Tomando en consideración todos los puntos experimentales se comprueba
que ninguna viga mayor que 4,5 metros ha fallado por pandeo local de la sección. Además todas las vigas menores que 4,25 metros han sufrido el pandeo
local. Por lo tanto, parece adecuado suponer que, según el procedimiento experimental empleado, la zona en la que la viga sólo se ve influenciada por el fallo
local acaba en las vigas de 4,25 ó 4,5 metros. Como consecuencia se ha decidido
establecer que la plataforma inicial debe ser extendida hasta el valor de esbeltez
reducida 0,7, que corresponde a las vigas de 4,5 metros.
Además, tal y como se ha explicado en el Capítulo 3, en el Eurocódigo 5 la
plataforma inicial se prolonga hasta el valor 0,75. Este dato apunta a que los
materiales ortótropos pueden requerir de una plataforma inicial más amplia.
Una vez establecida la anchura de la plataforma se ha procedido a calcular
el coeficiente α óptimo. Para ello se ha buscado el valor de α que minimiza el
error entre los valores experimentales y los teóricos, empleando el polinomio de
la Ecuación 7.5 para particularizar el método de Dutheil. El valor que minimiza
la diferencia entre los datos experimentales y la curva teórica es 0,766.
2
K = α ⋅ (λ LT − 0,7 2 )
(7.5)
La curva resultante de introducir este polinomio en la formulación de Dutheil se puede enunciar de manera análoga a la curva del Eurocódigo 3 como
muestran las Ecuaciones 7.6, 7.7 y 7.8.
M cr =
χ LT =
1
γ
χ LT ⋅ M L
(7.6)
1
φ + φ −λ
2
[
2
LT
2
≤1
(7.7)
2
φ = 0,5 1 + 0,766 ⋅ (λ LT − 0,49) + λ LT
]
(7.8)
La Figura 7.12 presenta la curva de diseño recién establecida junto con los
valores medios experimentales. Esta gráfica demuestra un buen ajuste entre la
curva de diseño, una vez recolocado el final de la plataforma, y los resultados
experimentales. Además, la pendiente de la curva parece ser la adecuada, según
la tendencia marcada por los valores medios.
Puede afirmarse que establecer una plataforma inicial hasta el valor de esbeltez reducida lateral 0,7 lleva a una curva de diseño más cercana a la realidad.
Además, la curva de Dutheil con un polinomio de imperfecciones iniciales co-
7.3 Discusión. Posibles curvas de diseño.
217
mo el mostrado en la Ecuación 7.7 y un valor de α = 0,766, es adecuada para el
diseño de vigas pultruidas ante el pandeo lateral en la zona cercana al final de
la plataforma.
En la mayoría de los trabajos experimentales sobre vigas pultruidas previos, presentados en el Capítulo 3, no se ha proporcionado toda la información
necesaria para poder colocar los datos experimentales en función de la esbeltez
reducida lateral. Esto es debido a que en las publicaciones dedicadas al pandeo
lateral no se ha abordado el fallo local de la sección. En esas publicaciones normalmente no se aportaba el valor del momento de fallo local, y por lo tanto, no
ha sido posible conocer la esbeltez reducida lateral de los datos experimentales.
Sin embargo, entre la bibliografía sobre el pandeo local se ha encontrado información experimental, aportada por Barbero, Fu y Raftoyiannis (1991), sobre
algunos de los perfiles empleados pos Qiao, Zou y Davalos (2003) en ensayos
de vigas en voladizo. Los elementos estructurales de ambos trabajos, provienen
del mismo fabricante y poseen la misma sección transversal (Perfil tipo I de
102x102; e = 6,3). Además, la tensión de pandeo local fue obtenida mediante un
ensayo de flexión.
Se ha atribuido a los perfiles de Qiao, Zou y Davalos la tensión de pandeo
local establecida por Barbero, Fu y Raftoyiannis. Así, se ha podido calcular su
esbeltez reducida lateral. Estos datos son los correspondientes a los códigos
BFR-2 y QZD-3 de la Tabla 3.2 y la Tabla 3.8 del Capítulo 3 respectivamente. En
la Tabla 7.7 se incluyen los datos más relevantes de este conjunto de ensayos.
Ensayo
QZD-3A
QZD-3B
Momento de
fallo local
(kN.m)
3,94
3,94
Momento
crítico
(kN.m)
0,44
0,34
λ LT
3
3,4
Momento
experimental
(kN.m)
0,45
0,34
ΧLT
0,114
0,086
Tabla 7.7 - Datos experimentales de pandeo lateral obtenidos de la Bibliografía.
A pesar de disponer de 2 únicos datos experimentales de otros autores, ha
resultado de gran utilidad incluir esta información en el análisis de las curvas
de diseño. La aportación de estos datos ha resultado especialmente interesante
por pertenecer a la zona de esbeltez reducida lateral alta.
La Figura 7.13 muestra la curva de Dutheil ajustada en este apartado a las
vigas junto con todos los datos experimentales disponibles sobre pandeo lateral,
los propios y los procedentes de Qiao, Zou y Davalos. En dicha gráfica se observa que la curva desarrollada no lleva a valores demasiado cercanos a la realidad en las vigas muy esbeltas. De hecho, se ha comprobado que el valor calculado en esa zona es la mitad de los valores reales.
218 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
Coeficiente de pandeo lateral
1,10
1,05
Datos experimentales
(valores medios)
1,00
Propuesta tipo Dutheil
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Esbeltez reducida lateral
Figura 7.12 - Comparación entre los resultados experimentales y la curva de Dutheil
ajustada a las vigas pultruidas.
Coeficiente de pandeo lateral
1,2
Datos experimentales (valores medios)
1,0
Qiao, Zou y Davalos (2003)
Propuesta tipo Dutheil
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Esbeltez reducida lateral
Figura 7.13 - Comparación entre los resultados experimentales propios y de otros autores y la curva de Dutheil ajustada a las vigas pultruidas.
7.3 Discusión. Posibles curvas de diseño.
219
Por lo tanto, aunque el ajuste de la formulación de Dutheil conseguido con
el nuevo polinomio K es adecuado en la zona cercana al final de la plataforma,
no puede considerarse válida para emprender el diseño de vigas pultruidas con
una esbeltez reducida lateral elevada.
7.3.4
Posible curva por tramos
Como posible alternativa a la propuesta realizada en el apartado anterior, se ha
estudiado la idoneidad del método empleado por el Eurocódigo 5 para las vigas
de madera. En dicha norma de diseño la estabilidad de las vigas se realiza mediante una curva separada en tres tramos: un primer tramo horizontal, a modo
de plataforma inicial, que se extiende hasta la esbeltez reducida lateral 0,75, un
siguiente tramo lineal y un tramo final parabólico donde el valor de diseño es
directamente el valor del momento crítico. Esta formulación se resume en el
cálculo del coeficiente χLT según las Ecuaciones 7.9, 7.10 y 7.11.
χ LT = 1
para
λ LT ≤ 0,75
(7.9)
χ LT = 1,56 − 0,75⋅ λ LT
para
0,75 ≤ λ LT ≤ 1,4
(7.10)
para
1,4 ≤ λ LT
(7.11)
χ LT = 1
λ
2
LT
=
M cr
ML
En el método recién introducido la única característica de ajuste es la anchura de la plataforma inicial. Al considerar que en el tramo final el momento
de diseño es el momento crítico, el tramo central queda establecido de manera
única. La recta que compone el tramo central debe pasar por el punto final de la
plataforma (χLT = 1 en λ LT = 0,75) y ser tangente a la curva marcada por la Ecuación 7.11. Por eso, la Ecuación 7.10 tiene la única forma posible que cumple con
esas condiciones.
De la misma manera, una vez ha sido establecido el valor λ LT = 0,7 para el
final de la plataforma horizontal en las vigas pultruidas, la curva de diseño realizada por tramos debe ser la presentada en las ecuaciones 7.12, 7.13 y 7.14. El
nuevo límite de separación entre la curva central y la final es el punto de tangencia entre la Ecuación 7.13 y 7.14.
χ LT = 1
para
λ LT ≤ 0,7
(7.12)
χ LT = 1,49 − 0,7⋅ λ LT
para
0,7 ≤ λ LT ≤ 1,42
(7.13)
para
1,42 ≤ λ LT
(7.14)
χ LT = 1
λ
2
LT
=
M cr
ML
220 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
Esta última posible curva ha sido reflejada en la Figura 7.14, donde también se han representado los datos experimentales propios y de Qiao, Zou y
Davalos.
Coeficiente de pandeo lateral
1,2
Datos experimentales
1,0
Qiao, Zou y Davalos (2003)
0,8
Propuesta curva por tramos
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Esbeltez reducida lateral
Figura 7.14 - Comparación entre los resultados experimentales propios y de otros autores y la curva por tramos ajustada a las vigas pultruidas.
Con esta curva de diseño se ha conseguido el resultado opuesto al de la
propuesta anterior. La curva por tramos ajusta adecuadamente los datos experimentales de la zona de esbeltez reducida lateral elevada. Este comportamiento
era de esperar ya que en esa zona el momento de diseño es el momento crítico,
y ya había sido demostrado por varios autores que esta aproximación era adecuada para las vigas pultruidas. En realidad la idoneidad de tomar la curva por
tramos para el diseño de vigas esbeltas está respaldada también por muchas de
las publicaciones presentadas en el Capítulo 3 sobre el pandeo lateral de vigas
pultruidas. En esas publicaciones varios autores mostraban un ajuste satisfactorio al contrastar sus resultados experimentales con modelos teóricos que sólo
tenían en cuenta la inestabilidad global de las vigas.
Sin embargo, la curva por tramos no sigue de manera correcta la forma
descrita por los valores experimentales correspondientes a la esbeltez reducida
lateral baja. Por lo tanto, este método tampoco parece adecuado para representar de manera conjunta toda la escala de esbeltez reducida lateral.
El estudio de estas curvas ha servido para localizar la frontera a partir de la
cual es adecuado considerar el momento crítico como valor de diseño. Esta úl-
7.3 Discusión. Posibles curvas de diseño.
221
tima posible curva de diseño indica que dicha frontera se encuentra en el entorno de la esbeltez reducida lateral 1,4.
7.3.5
Unión entre las posibles curvas
Cada una de las dos curvas propuestas a lo largo de este capítulo se comporta
bien en una zona diferente de esbeltez reducida lateral. En consecuencia, un
método de diseño válido para todo el rango de esbeltez reducida lateral podría
conseguirse uniendo ambas curvas. De esta manera en cada zona la curva de
diseño sería la mejor de las dos anteriores.
Sin embargo, al dibujar ambas propuestas en una gráfica conjunta (Figura
7.15) se observa que no existe ninguna intersección entre ellas en valores de esbeltez reducida lateral cercanos a 1,42. En realidad ambas curvas tienden a la
misma asíntota, que es el valor nulo correspondiente a la viga de longitud infinita. Por este motivo no tienen un punto de intersección.
Por otro lado, tomar una de las propuestas hasta el entorno de λ LT = 1,42 y
la otra en el resto crearía un conflicto por la falta de continuidad en el valor límite.
1,2
Coeficiente de pandeo lateral
Datos experimentales
1,0
Qiao, Zou y Davalos (2003)
Curva Dutheil (zona válida)
0,8
Curva Dutheil (zona no válida)
0,6
Curva por tramos (zona válida)
Curva por tramos (zona no válida)
0,4
0,2
1,42
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Esbeltez reducida lateral
Figura 7.15 - Intento de unión entre las dos curvas de diseño propuestas.
Como resultado del análisis realizado se puede concluir que es necesario
realizar más ensayos en este tipo de elementos. Concretamente, sería aconsejable centrar los próximos trabajos experimentales en la zona de esbeltez reducida
222 Capítulo 7: Diseño de vigas pultruidas
lateral comprendida entre 0,8 y 1,5. Con esa información podría establecerse
una solución adecuada, desarrollando una única curva con varios tramos para
todos los valores de esbeltez reducida lateral. Este trabajo experimental queda
como futuras línea de investigación.
La torre mostrada en la figura se encuentra en la base Fort Story
de la armada de los Estados Unidos. Esta torre de 19,2 metros de altura fue fabricada por la empresa Strongwell. Su estructura está formada
íntegramente por elementos estructurales pultruidos, y sirve como lugar de
entrenamiento de los paracaidistas.
Capítulo
8
8 CONCLUSIONES Y
FUTURAS LÍNEAS DE
INVESTIGACIÓN
A lo largo de este capítulo se van a resumir las conclusiones a las que ha dado
lugar el trabajo efectuado. Así mismo, se van a enunciar las principales aportaciones realizadas en la presente tesis. Finalmente, se indican las futuras líneas
de investigación que, a juicio del autor, son prioritarias para seguir avanzando
en la comprensión del comportamiento de los elementos estructurales de material compuesto.
8.1
CONCLUSIONES
Los ensayos de pandeo local realizados a lo largo de la tesis han puesto de manifiesto la complejidad de éste fenómeno. Además, la revisión bibliográfica realizada en el Capítulo 3 ha demostrado que no existe aún el conocimiento teórico
suficiente para evaluar las cargas de pandeo local. También se ha comprobado
que es necesario establecer criterios con los que conocer la aportación del pandeo del ala y la abolladura del alma en el agotamiento de la sección. Concretamente, los ensayos sobre vigas cortas han mostrado la aportación combinada de
ambas inestabilidades locales. Sin embargo, ninguna de las formulaciones propuestas por otros autores ha podido resolver el problema de la abolladura del
alma. Por tanto, se concluye que aún no está establecido el valor de tensión al
que se produce el fallo local en las secciones de los elementos estructurales de
material compuesto.
Por otro lado, se ha demostrado que la información aportada por los proveedores sobre las propiedades elásticas de los perfiles pultruidos tienden a ser
demasiado conservadoras. Esta conclusión ha sido establecida al comparar la
rigidez a flexión obtenida a partir de ensayos propios con la información sumi223
224 Capítulo 8: Conclusiones y futuras líneas de investigación
nistrada por los fabricantes de los productos empleados. Así mismo, a lo largo
de la tesis, se ha puesto de manifiesto que el comportamiento de los perfiles de
material compuesto es especialmente sensible a las inestabilidades. Por este motivo, considerar valores demasiado conservadores en las propiedades elásticas
hace que estas estructuras resulten poco competitivas frente a los materiales
clásicos.
El desarrollo del método de diseño para las columnas pultruidas ha puesto
de manifiesto la mayor flexibilidad de la curva de Dutheil, adoptada por el Eurocódigo, frente a la de Ylinen, ajustada por el grupo de Barbero a los materiales
compuestos. Ambas curvas sirven para enlazar el fallo local de una sección con
la inestabilidad global del perfil, incluyendo la superposición de ambos efectos.
Sin embargo, la formulación de Dutheil permite establecer una plataforma inicial y arquear en mayor o menor medida la curva de diseño. De esta manera,
puede adaptarse al comportamiento real de las columnas independientemente
de la longitud de éstas. La formulación de Ylinen, en cambio, depende de un
único parámetro, que además resulta ser dependiente de la longitud. Así, la
curva de Ylinen se debe ajustar a las columnas con una longitud entorno a la
crítica. Como consecuencia, este ajuste puede ser inadecuado en las columnas
de longitud alejada de la crítica. La comparación mostrada en el Capítulo 6 entre ambas curvas y los resultados experimentales han puesto en evidencia un
comportamiento inadecuado de la curva de Ylinen en algunas longitudes de
columna. Por el contrario, el método de diseño propuesto en esta tesis, que está
inspirado en el Eurocódigo 3, ha demostrado un buen ajuste para todo el rango
de longitudes.
Los ensayos efectuados sobre columnas cortas han demostrado que la zona
en la que no es necesario considerar la inestabilidad global, representada mediante un valor de diseño igual al de pandeo local, se extiende al menos hasta la
esbeltez reducida de 0,5. Este comportamiento resulta similar al de la madera,
donde el Eurocódigo 5 extiende el valor de pandeo local hasta el mismo punto.
Los valores experimentales de carga de pandeo global han permitido comparar los diferentes grados del polinomio de imperfecciones iniciales. De esta
manera, se ha llegado a la conclusión de que en las columnas de material compuesto las imperfecciones iniciales se modelan de manera más adecuada con un
polinomio parabólico. Para este tipo de polinomio se ha ajustado el valor del
coeficiente α, así como el del coeficiente de fiabilidad del fabricante.
Los ensayos efectuados sobre vigas pultruidas han demostrado que, al
igual que sucede en las columnas, la superposición entre el pandeo local y el
global debe ser incluida en el análisis del comportamiento de las vigas de material compuesto. Esta necesidad, aunque era evidente por analogía con otros materiales, no había sido demostrada en ningún trabajo publicado anteriormente.
En la presente tesis se han ensayado vigas en disposición mucho menos esbelta
8.2 Principales aportaciones
225
que las expuestas en la bibliografía. Esto ha permitido obtener información sobre el momento de pandeo lateral cerca de la zona de esbeltez crítica. Los cálculos del momento crítico, en los que sólo se incluye la inestabilidad global, han
llevado a valores mucho mayores que los experimentales. Esta diferencia pone
de manifiesto la influencia del pandeo local en el agotamiento del elemento estructural.
El comportamiento observado en las vigas ha permitido extender la plataforma inicial de la curva de diseño de vigas de material compuesto hasta la esbeltez reducida lateral 0,7. Al igual que en las columnas, esta plataforma representa la zona en la cual la inestabilidad global no es apreciable en el comportamiento de la viga.
Por otro lado, se ha comprobado que la formulación de Dutheil que emplea el Eurocódigo 3, ajustada a los resultados experimentales propios, lleva a
una curva de diseño con un buen comportamiento en la esbeltez reducida lateral baja. Sin embargo, esta curva ha demostrado ser demasiado conservadora en
las vigas muy esbeltas. En cambio, se ha comprobado que la curva por tramos,
inspirada en el Eurocódigo 5, particularizada a las vigas es adecuada en la esbeltez reducida alta, pero no en la zona menos esbelta.
8.2
PRINCIPALES APORTACIONES
Una de las aportaciones de la esta tesis es la gran cantidad de resultados experimentales generados. En el transcurso del trabajo se han medido las dimensiones principales y la densidad de una importante cantidad de perfiles pultruidos. Además, se ha obtenido la rigidez a flexión y el módulo elástico de todos
los elementos estructurales empleados. Por otro lado, se ha generado una amplia información sobre las tensiones que llevan al pandeo local, tanto a compresión pura como a flexión. Finalmente, se han ensayado vigas y columnas pultruidas en una amplia gama de longitudes, obteniéndose datos experimentales
del pandeo global de estos elementos estructurales. De esta manera, el análisis
del pandeo de Euler ha podido realizarse empleando únicamente datos experimentales propios, sin la necesidad de estimar ninguna propiedad del material.
Entre los procedimientos experimentales empleados cabe destacar la importancia del dispositivo diseñado para el pandeo lateral. Hasta la fecha se han
publicado pocos ensayos de pandeo lateral realizados sobre vigas de tamaño
real. Además, los ensayos realizados en la presente tesis han podido ser comparados con modelos teóricos sin introducir ningún tipo de simplificación. Es decir, que los momentos críticos obtenidos por elementos finitos se corresponden
exactamente a la viga real ensayada. Este logro resulta especialmente importante debido a que se tiene constancia de pocos trabajos experimentales de este tipo, incluso en materiales clásicos como la madera y el acero.
226 Capítulo 8: Conclusiones y futuras líneas de investigación
Otra gran aportación de la presente tesis es la propuesta de una nueva curva de diseño de columnas de material compuesto, que tiene en cuenta la interacción entre el pandeo local y el global. También se han realizado dos propuestas de curvas de diseño para vigas de material compuesto, que pretenden establecer las primeras pautas para incluir también la interacción entre el pandeo
local y el global en estos elementos estructurales.
El método de diseño para columnas de material compuesto desarrollado
en el Capítulo 6 ha sido obtenido a partir de la formulación de Dutheil. El desarrollo ha consistido en establecer el polinomio de imperfecciones iniciales que
mejor modela el comportamiento de las columnas pultruidas. Una vez ajustado
dicho polinomio la formulación de Dutheil ha sido reordenada, tomando una
forma similar al método empleado por el Eurocódigo 3 para las columnas de
acero. Esta propuesta permite calcular el coeficiente de pandeo (χ) tal y como se
muestra en las Ecuaciones 8.1, 8.2 y 8.3, que se calculan en función de la esbeltez
reducida. Es decir, la carga crítica de diseño viene dada por la carga de pandeo
local multiplicada por el coeficiente χ, que es menor o igual a 1, y el coeficiente
γ. En caso de trabajar con un fabricante del que se desconoce la calidad del material suministrado se aconseja utilizar un coeficiente γ al menos de valor 1,2.
De esta manera se obtiene un valor de diseño con una fiabilidad del 99,99 %,
según los datos experimentales recogidos aquí.
Pcr =
χ=
1
γ
⋅ χ ⋅ PL
(8.1)
1
φ + φ2 −λ
[
2
2
≤1
φ = 0,5 1 + 0,11(λ − 0,25) + λ
(8.2)
2
]
(8.3)
Esta curva de diseño ha sido contrastada tanto con la experimentación propia
como con la información recogida de la bibliografía. Se ha demostrado que el
método da resultados satisfactorios para todos los casos analizados, ya que sus
resultados están cerca de la realidad quedándose siempre del lado de la seguridad.
A pesar del trabajo sobre pandeo lateral de vigas de material compuesto
presentado en esta tesis, aún existe poca información con la que establecer una
curva de diseño ante este fenómeno. Sin embargo, como consecuencia del estudio del Capítulo 7 se han propuesto dos posibles curvas de diseño.
La primera propuesta es un nuevo ajuste de la formulación de Dutheil. En
este caso, el nuevo polinomio de imperfecciones iniciales establecido lleva a la
curva mostrada por las Ecuaciones 8.4, 8.5 y 8.6. Esta curva ha demostrado un
8.2 Principales aportaciones
227
buen ajuste en la zona cercana a la esbeltez reducida crítica. Sin embargo, los
datos experimentales de vigas muy esbeltas extraídos de otras publicaciones
han desvelado un comportamiento demasiado conservador en este método.
M cr =
χ LT =
1
γ
χ LT ⋅ M L
(8.4)
1
2
φ + φ 2 − λ LT
[
≤1
(8.5)
2
2
φ = 0,5 1 + 0,766(λ LT − 0,49) + λ LT
]
(8.6)
Como alternativa al anterior método también se ha propuesto la curva de
diseño por tramos presentada en las Ecuaciones 8.7, 8.8 y 8.9. Esta otra opción
imita a la curva empleada en el Eurocódigo 5 para el pandeo lateral de vigas de
madera. La principal ventaja de esta curva definida por tramos es que en las
vigas muy esbeltas el método considera que el pandeo lateral se da exclusivamente por efecto de la inestabilidad global. Este comportamiento había sido
considerado adecuado por algunos autores en trabajos anteriores. Así, esta segunda propuesta se ajusta mejor al comportamiento de vigas de esbeltez reducida lateral elevada.
χ LT = 1
para
λ LT ≤ 0,7
(8.7)
χ LT = 1,49 − 0,7⋅ λ LT
para
0,7 ≤ λ LT ≤ 1,42
(8.8)
para
1,42 ≤ λ LT
(8.9)
χ LT = 1
λ
2
LT
=
M cr
ML
La última aportación de esta tesis ha sido el desarrollo de un método muy
sencillo con el que estimar la rigidez a flexión de los perfiles pultruidos. Este
método se basa en la medición de la primera frecuencia natural del elemento
estructural posicionado sobre un apoyo elástico continuo. Para obtener el valor
del módulo elástico se aconseja aplicar la Ecuación 8.10, desarrollada en la presente tesis, que incluye la fuerza exterior introducida por el propio apoyo elástico continuo. Además, para garantizar un error pequeño, se debe utilizar un
elemento estructural con una relación L2/A mayor que 10.000. Según el trabajo
experimental realizado, en esas condiciones el error obtenido es pequeño, y el
valor del módulo elástico puede considerarse válido.
f =
1
2π
S δ 4 EI
+
ρA ρAL4
(8.10)
228 Capítulo 8: Conclusiones y futuras líneas de investigación
8.3
FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
A continuación se enuncian los trabajos que, a juicio del autor, componen las
líneas de investigación que deben ser emprendidas como continuación de la
presente tesis.
Considerando las conclusiones y las aportaciones plasmadas el principal
trabajo a acometer se localiza en el estudio del pandeo lateral. Se puede considerar prioritario desarrollar una única curva de diseño que englobe de manera
adecuada el comportamiento de las vigas de material compuesto, tanto en valores bajos como altos de esbeltez reducida lateral. Para conseguir dicha curva es
necesario realizar ensayos sobre vigas de material compuesto en una esbeltez
reducida lateral dentro del rango comprendido entre 0,7 y 1,5. Con este trabajo
experimental se obtendría una mayor información sobre la zona en la que la
interacción entre el pandeo local y el lateral es máxima.
Por otro lado, la información experimental empleada en el desarrollo del
método para el diseño de columnas ha sido obtenida a partir de perfiles reforzados con fibra de vidrio. Parece necesario comprobar la validez de dicha curva
en columnas de material compuesto reforzadas con algún otro tipo de material,
como por ejemplo la fibra de carbono.
Además, al establecer dicho método de diseño, se ha propuesto un coeficiente de fiabilidad del fabricante de 1,2. Este coeficiente debe ser estudiado de
manera más extensa, contrastando resultados de ensayos efectuados con perfiles procedentes de diferentes proveedores.
Por último, a la vista de los problemas que genera la escasez de conocimientos sobre el pandeo local, parece importante avanzar en la comprensión de
este fenómeno. Así, se deben aportar formulaciones que lleven de manera precisa a la carga de pandeo local de una sección dada, sin la necesidad de realizar
ensayos complementarios al diseño. Para alcanzar esta formulación es preciso
estudiar la combinación entre el pandeo del ala comprimida y la abolladura del
alma en las secciones de material compuesto, ya que ambos efectos influyen de
manera decisiva en el pandeo local de ésta.
A
Apéndice
9 DEMOSTRACIÓN DE
LA FÓRMULA DE EULER
La fórmula de Euler parte de la suposición de que la columna, en vez de ser
inicialmente recta, sufre una deformación previa en forma de sinusoide. Así,
todas las posibles imperfecciones se recogen en la flecha inicial de la sección
central, denominada fm. En la columna biarticulada, la deformación lateral de la
directriz (f(x)) en función de la posición de la sección a lo largo de la directriz
(x) se representa tal y como muestra la Ecuación A.1, en la que L representa la
longitud de la columna.
 πx 
f ( x) = f m ⋅ sen 
L
(A.1)
Al aplicar sobre este elemento una carga compresiva P en el sentido de su
eje, debido al momento flector creado la flecha inicial aumenta. Como consecuencia, se crea un momento flector en la columna (MP) aún mayor, que es la
suma de los momentos de primer y segundo orden (Ecuación A.2). En esta última ecuación v es la flecha creada por el propio momento flector y es función
de la posición a lo largo de la directriz.

 πx  
M P = P ⋅ ( f ( x) + v ) = P ⋅  f m ⋅ sen  + v 
L 

(A.2)
Combinando esta última expresión con la Ecuación de la Elástica, se llega a
la siguiente Ecuación Diferencial A.3.
M
d 2v
P 
 πx  
= − P = −  f m ⋅ sen  + v 
2
EI
EI 
dx
L 
(A.3)
229
230 Demostración de la fórmula de Euler
Que lleva a la siguiente solución (Ecuación A.4), que también tiene forma
de sinusoide.
v=
P
 πx 
⋅ f m ⋅ sen 
π EI
L
−P
2
l
2
(A.4)
Por lo tanto, en el caso de la columna biarticulada la deformada surgida
por el efecto del pandeo de Euler también es un arco. La flecha máxima de ese
arco se da en el centro, y tiene el valor de la amplitud de la sinusoide. De la
Ecuación A.4 se deduce que la amplitud tiende a infinito cuando la carga aplicada tiende al valor de la Ecuación A.5.
PE =
π 2 EI
L2
(A.5)
Esta última expresión es precisamente la carga crítica de Euler (PE), ya que
en ese caso la columna tiende a deformarse infinitamente para una carga aplicada de valor finito. Introduciendo la esbeltez, que se presenta en la Ecuación
B.1 del Apéndice B, en la expresión de la fórmula de Euler, se llega a la Ecuación A.6.
PE =
π 2 EA
λ2
(A.6)
Además, introduciendo la Ecuación A.4 en la Ecuación A.2, empleada anteriormente para definir el momento flector en la columna curvada (MP), se llega, de la manera que se muestra a continuación, a la Ecuación A.7.

 πx  
M P = P ⋅  f m ⋅ sen  + v 

P
 L  
 πx  
 πx 

⋅ f m ⋅ sen  
 ⇒ M P = P ⋅  f m ⋅ sen  +
 L 
 L  PE − P
P
 πx 

v=
⋅ f m ⋅ sen  

PE − P
L 
P  P ⋅ PE
 πx  
 πx 
 =
⋅ f m ⋅ sen 
M P = P ⋅ f m ⋅ sen  ⋅ 1 +
 L   PE − P  PE − P
L
(A.7)
Particularizando esta última expresión a la sección del centro de la columna, donde el momento flector es máximo, se puede llega a la Ecuación A.8,
siendo σ y σE la tensión de compresión soportada por la columna y la tensión a
compresión creada por la carga crítica de Euler respectivamente.
Demostración de la fórmula de Euler
P ⋅ PE
 πx 
⋅ f m ⋅ sen 
PE − P
 L  ⇒ M = P ⋅ PE ⋅ f = σ E ⋅ P ⋅ f

P
m
m
σ E −σ
PE − P
L

x=

2
231
MP =
(A.8)
B
Apéndice
10 ESBELTEZ REDUCIDA
La esbeltez de un elemento estructural es una característica geométrica que se
define a partir de su longitud (L), el área de su sección (A) y la inercia de la sección respecto al eje de giro (I), tal y como se recoge en la Ecuación B.1.
λ=
L
I
(B.1)
A
La esbeltez reducida, también denominada esbeltez relativa o adimensional, se define como la relación entre la esbeltez y la esbeltez equivalente.
λ=
λ
λeq
(B.2)
La esbeltez equivalente es aquella que lleva a una carga crítica de Euler
igual a la del fallo local de la sección. La Figura B.1 muestra de manera gráfica
el significado de la esbeltez equivalente. En ella el corte entre la curva de Euler
y la carga de fallo local indica la esbeltez buscada.
233
234 Esbeltez reducida
Carga de Euler
P
Carga fallo local
λ equivalente
Esbeltez
Figura B.1 - Significado gráfico de la esbeltez equivalente.
La Ecuación B.3, presenta la esbeltez equivalente formulada a partir de la
Ecuación de Euler deducida en el Apéndice A. En dicha ecuación PL y σL corresponden a la carga de fallo local y la tensión de fallo local respectivamente.
PL =
π 2 EA
π 2 EA
E
λ
⇒
=
=π
eq
2
PL
σL
λeq
(B.3)
Por lo tanto, la esbeltez reducida toma la forma de la Ecuación B.4 o la
Ecuación B.5.
λ=
λ λ σL
=
λeq π E
λ=
λ λ
=
λeq π
PL
PL
=
=
2
EA
π EA λ2
(B.4)
PL
σL
=
PE
σE
(B.5)
En la Ecuación B.4 la longitud de pandeo es introducida por la esbeltez. En
la ecuación B.5, en cambio, la longitud de pandeo está incluida por la carga crítica de Euler, cuyo valor es función de la longitud. Así, la esbeltez reducida según esta última expresión puede entenderse como una relación entre la carga
de fallo local en la sección y la carga que lleva a la columna a la inestabilidad
global. De manera análoga, en el pandeo lateral se define la esbeltez reducida
Esbeltez reducida
235
lateral tal y como muestra la Ecuación B.6, donde ML es el momento flector que
lleva al fallo local de la sección, y Mcr es el momento flector que produce la inestabilidad global de la viga.
λ LT =
ML
M cr
(B.6)
Apéndice
C
11 DEMOSTRACIÓN DE
LA FÓRMULA DE
DUTHEIL
La formulación de Dutheil para el pandeo de columnas presentado en el apartado 3.4.2.2 llega a una expresión igual a la Ecuación C.1. En dicha expresión σL
representa la tensión que lleva a fallo local de la sección, σcr es la tensión que
leva al pandeo de la columna por superposición del fallo local y la inestabilidad
global, σE es la tensión correspondiente a la carga crítica de Euler, y K es el polinomio de imperfecciones iniciales.
σ L = σ cr + K
σ Eσ cr
σ E − σ cr
(C.1)
La Ecuación C.1 puede ser reordenada como se muestra a continuación
hasta llegar a la Ecuación C.2.
σ L − σ cr = K
σ Eσ cr
σ E − σ cr
(σ L − σ cr )(σ E − σ cr ) = Kσ Eσ cr
σ Lσ E − σ Lσ cr − σ crσ E + σ cr2 = Kσ Eσ cr
(C.2)
Introduciendo una de las expresiones de la esbeltez reducida (Ecuación
B.4) se llega hasta la Ecuación C.3.
σ L2
λ
2
− σ Lσ cr − σ cr
σL
λ
2
+ σ cr2 = K
σ Lσ cr
λ
2
237
238 Demostración de la fórmula de Dutheil
2
2
σ L2 − λ σ Lσ cr − σ crσ L + λ σ cr2 = Kσ Lσ cr
(
2
2
)
λ σ cr2 − 1 + K + λ σ Lσ cr + σ L2 = 0
σ
λ  cr
σL
2
(
2
2

 − 1 + K + λ

)⋅  σσ
cr
L

 + 1 = 0

(C.3)
 σ cr 
 es el coeficiente de pandeo (χ) empleado en la formulaσL 
El cociente 
ción de Dutheil, que responde a la Ecuación C.4.
(
2
) (
1+ K + λ − 1+ K + λ
σ
χ = cr =
2
σL
2λ
) − 4λ
2 2
2
(C.4)
También suele emplearse el coeficiente ω, que es el inverso del coeficiente
de pandeo (Ecuación C.5).
ω=
1
χ
(1 + K + λ )+ (1 + K + λ ) − 4λ
=
2 2
2
2
2
(C.5)
Apéndice
D
12 VIBRACIÓN LATERAL
DE UNA VIGA SOBRE UN
APOYO ELÁSTICO
CONTINUO
Una viga colocada en posición horizontal sobre un apoyo elástico continuo se
ve sometida a las fuerzas descritas en la Figura D.1. A partir de estas fuerzas se
puede considerar el estado de equilibrio de un elemento diferencial de viga
(Figura D.2).
Figura D.1 - Diagrama de fuerzas del elemento.
239
240 Vibración lateral de una viga sobre un apoyo elástico continuo
f(x,t)
M(x,t)
M+dM (x,t)
O
V+dV (x,t)
V(x,t)
w(x,t)
s(x,t)
dx
Figura D.2 - Diagrama de sólido libre del elemento diferencial.
En estas últimas figuras M(x,t) representa el momento flector, V(x,t) el
esfuerzo cortante, f(x,t) es la fuerza exterior por unidad de longitud, que en el
caso de una vibración libre es nula.
La fuerza introducida por el apoyo elástico continuo (s(x,t)) viene dada por
la rigidez del propio apoyo por unidad de longitud (S) y la posición vertical de
la viga (w(x,t)), tal y como muestra la Ecución D.1.
s ( x, t ) = S .w( x, t )
(D.1)
Además, la rigidez del apoyo elástico puede obtenerse de manera sencilla
midiendo la posición de reposo del elemento estructural sobre el apoyo elástico
continuo (Ecuación D.2).
LρA = Sw0 L ⇒ S =
ρA
w0
(D.2)
Por otro lado, la fuerza de inercia sufrida por este elemento se muestra en
la Ecuación D.3.
ρA.dx
∂2w
∂t 2
(D.3)
Las ecuaciones de equilibrio entre las fuerzas exteriores y la fuerza de
inercia del elemento diferencial, nos llevan a las Ecuaciones D.4 y D.5 tal y
como se muestra a continuación.
∑ Fvertical = 0 ⇒ V ( x, t ) + s ( x, t )dx − (V + dV )( x, t ) = ρAdx
∂2w
( x, t )
∂t 2
Vibración lateral de una viga sobre un apoyo elástico continuo
s ( x, t ) −
dV
∂2w
( x, t ) = ρA 2 ( x, t )
dx
∂t
241
(D.4)
∑ M 0 = 0 ⇒ (M + dM )( x, t ) − (V + dV )( x, t )dx − M ( x, t ) + s( x, t )dx
dM ( x, t ) − V ( x, t )dx = 0 ⇒ V =
dM
dx
dx
=0
2
(D.5)
Introduciendo (D.5) en (D.4) se llega a la Ecuación D.6.
s ( x, t ) −
∂2w
∂2M
(
,
)
ρ
( x, t )
x
t
=
A
∂t 2
∂x 2
(D.6)
El momento flector transmitido por una viga y su flecha se relacionan
mediante la Ecuación de Bernoulli (Ecuación D.7).
M ( x, t ) = EI
∂2w
( x, t )
∂x 2
(D.7)
Esta ecuación se combina con la Ecuación D.6 de la siguiente manera:
− s ( x, t ) +

∂2w
∂2  ∂2w
 EI 2 ( x,.t ) + ρA 2 ( x, t ) = 0
∂x  ∂x
∂t

En el caso de una viga uniforme, es decir, con un valor constante del
producto EI.
EI
∂2w
∂4w
(
,.
)
ρ
( x, t ) − s ( x, t ) = 0
x
t
+
A
∂t 2
∂x 4
En esta última expresión se puede introducir el coeficiente c =
EI
para
ρA
llegar a:
c2
∂4w
∂2w
s ( x, t )
(
x
,
t
)
+
( x, t ) −
=0
4
2
ρA
∂t
∂t
Añadiendo la definición de s(x,t) presentada en la Ecuación D.1, se obtiene
la Ecuación del Movimiento de la viga apoyada sobre un apoyo elástico
continuo (Ecuación D.8)
242 Vibración lateral de una viga sobre un apoyo elástico continuo
c2
∂4w
∂2w
S
(
x
,
t
)
+
( x, t ) −
w( x, t ) = 0
4
2
ρA
∂t
∂t
(D.8)
La Ecuación del Movimiento gobierna el comportamiento del sistema en su
vibración libre. Para obtener una solución única de dicha ecuación son
necesarias 2 condiciones iniciales y 4 condiciones de contorno.
La frecuencia natural del sistema está incluida en la solución w(x,t) de la
Ecuación del Movimiento. Para resolverla se aplica el método de separación de
variables, considerando la función w(x,t) tal y como muestra la Ecuación D.9,
donde X(x) es la parte de posición a lo largo de la viga, y T(t) representa la parte
temporal.
w( x, t ) = X ( x).T (t )
(D.9)
Así, la Ecuación del movimiento se combierte en:
c 2 X IV T + T II X +
K
XT = 0
ρA
Esta expresión se puede reorganizar tal y como sigue, donde ξ es una
constante positiva.
c2
X IV
T II K
=−
−
=ξ
ρA
X
T
Como consecuencia, la Ecuación del Movimiento puede ser separada en
dos ecuaciones relacionadas (Ecuación D.10)
K

)T = 0
ρA


− ξX = 0

T II + (ξ +
2
c X
IV
(D.10)
La solución de la parte temporal tiene la forma mostrada a continuación.
T (t ) = A cos(wt ) + B sin( wt ) ⇒ T II (t ) = − w 2 ( A cos( wt ) + B sin( wt ))
Por lo tanto se debe cumplir la igualdad w = ξ +
2
S
ρA
El valor de ω es la frecuencia natural del sistema. El valor de la constante ξ,
en cambio, debe ser determinado a partir de la respuesta de posición de la
Ecuación del Movimiento. Las constantes A y B se calculan para unas
condiciones de contorno determinadas.
Vibración lateral de una viga sobre un apoyo elástico continuo
243
La solución de la parte en posición puede ser expresada como sigue:
c2r 4 − ξ = 0 ⇒ r 4 =
ξ
c
2
=β4
Tal y como ha sido establecido previamente, ξ es positivo, por lo tanto, las
raíces de la anterior ecuación son.
r1, 2 = ± β
r3, 4 = ±iβ
Así, la siolución de esta parte del sistema es:
X ( x) = C1e βx + C 2 e − βx + C3 e iβx + C 4 e − iβx
Esta expresión puede ser reorganizada con unas constantes C1, C2, C3, y C4
diferentes de las anteriores, y que serán defirnidas en función de las
condiciones de contorno.
X ( x) = C1 cosh( β x) + C 2 sinh( β x) + C3 cos( β x) + C 4 sin( β x)
Las constantes C1, C2, C3, y C4 quedan definidas a partir de las condiciones
de contorno del sistema.
Uniendo la solución temporal y la de posición, la solución general a la
Ecuación del Movimiento es:
w( x, t ) = ( A cos(wt ) + B sin(wt ))(
. C1 cosh(βx) + C 2 sinh(βx) + C3 cos(βx) + C 4 sin(βx))
Así, la frecuencia natural del sistema es la Ecuación D.11.
K
EI K
ρA  ⇒ w 2 = β 4
+
ρA ρA
4 2

λ=β c

w2 = λ +
(D.11)
El parámetro β queda definido para unas condiciones de contorno determinadas.
En este desarrollo se ha analizado el caso de condiciones de contorno librelibre, ya que la influencia de apoyo ya está incluida en la propia ecuación del
movimiento. Un extremo libre en un elemento estructural supone que en ese
extremo tanto el momento flector como el esfuerzo cortante es nulo. Por lo tanto, en el punto x = 0 y en el x = L se tiene M =0 y V = 0 para cualquier instante t.
Esto se traduce en las cuatro condiciones siguientes (Ecuaciones D.12, D.13,
D.14 y D.15)
244 Vibración lateral de una viga sobre un apoyo elástico continuo
∂2w
(0, t ) = 0 ⇒ T C1 β 2 − C3 β 2 = 0
∂x 2
(D.12)
∂3w
(0, t ) = 0 ⇒ T C 2 β 3 − C 4 β 3 = 0
∂x 3
(D.13)
(
)
(
)
∂2w
( L, t ) = 0 ⇒ T C1 β 2 cosh(βL) + C 2 β 2 sinh( βL) − C3 β 2 cos(βL) − C 4 β 2 sin( βL) = 0
∂x 2
(
)
(D.14)
∂3w
( L, t ) = 0 ⇒ T C1 β 3 sinh(βL) + C 2 β 3 cosh(βL) + C3 β 3 sin(βL) − C 4 β 3 cos(βL) = 0
∂x 3
(
)
(D.15)
De (D.12) y (D.13) se deduce que C1 = C3 y C2 = C4. Uniendo esta igualdad
a (D.14) y (D.15) se ha llegado al sistema:
C1 (cosh( βL) − cos( β L) ) + C 2 (sinh( β L) − sin( βL) ) = 0
C1 (sinh( β L) + sin( β L) ) + C 2 (cosh( β L) − cos( βL) ) = 0
Para que exista una solución a este sistema distinta de la trivial, la matriz
de la ecuación debe cumplir lo siguiente:
∆=
(cosh( βL) − cos(βL) ) (sinh( βL) − sin( βL) )
=0
(sinh( βL) + sin( βL) ) (cosh(βL) − cos( βL))
De donde se obtiene que:
(cosh( βL) )2 + (cos( βL) )2 − 2. cosh( βL). cos( βL) − (sinh( βL) )2 + (sin( βL) )2 = 0
2 − 2 cosh(βL). cos(βL) = 0
cosh( β L). cos( β L) = 1
Introduciendo el cambio de variable δ = βL la expresión anterior queda tal
y como describe la Ecuación D.16.
cosh(δ ). cos(δ ) = 1 ⇒ cos(δ ) =
1
cosh(δ )
(D.16)
Los valores δ que cumplen esta igualdad se observan en la Figura D.3.
Vibración lateral de una viga sobre un apoyo elástico continuo
245
1
cos( δ )
0,5
1/cosh( δ )
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0,5
-1
Figura D.3 - Solución gráfica de la Ecuación D.16.
Las intersecciones halladas en la Figura D.3 responden a los siguientes valores numéricos:

δ 1 = 4.73

δ 2 = 7.85

δ i = β i L = δ 3 = 11
...

π

δ i = (2i + 1) 2
Finalmente, la frecuencia natural asociada al primer modo de vibración de
un elemento colocado sobre un apoyo elástico continuo se expresa mediante la
Ecuación D.17, donde el valor de δ vale 4,73.
246 Vibración lateral de una viga sobre un apoyo elástico continuo
w2 = β 4
EI
S
EI
S
EI
S
+
= ( βL) 4
+
=δ4
+
4
4
ρA ρA
ρAL ρA
ρAL ρA
EI
S
+
4
ρAL ρA
δ = 4,73
w = 2πf = δ 4
(D.17)
13 REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
ASTM D20.18 (WK10049) "New Test Method for Modulus of Elastisity and Shear for
Structural Pultruded Shapes." ASTM International.
Banerjee, J. R. (2001) "Frequency Equation and Mode Shape Formulae for Composite
Timoshenko Beams" Composite Structures, 51, 381-388.
Bank, L. C. (1989) "Flexural and Shear Moduli of Full-Section Fiber Reinforced Plastic
(FRP) Pultruded Beams" Journal of Testing and Evaluation, 17(1), 40-45.
Bank, L. C., Gentry, T. R. y Nadipelli, M. (1996) "Local Buckling of Pultruded FRP
Beams-Analysis and Design" Journal of Reinforced Plastics and Composites,
15(3), 283-294.
Bank, L. C., Nadipelli, M. y Gentry, T. R. (1994) "Local Buckling and Failure of Pultruded Fiber-Reinforced Plastic Beams" Journal of Engineering Materials and
Technology, 116, 233-237.
Bank, L. C. y Yin, J. (1996) "Buckling of Orthotropic Plates With Free and Rotationally
Restrained Unloaded Edges" Thin-Walled Structures, 24(1996), 83-96.
Bank, L. C. y Yin, J. (1999) "Failure of Web-Flange Junction in Postbuckled Pultruded
I-Beams" Journal of Composites for Construction, 3(4), 177-184.
Bank, L. C., Yin, J. y Nadipelli, M. (1995) "Local Buckling of Pultruded Beams - Nonlinearity, Anisotropy and Inhomogeneity" Construction and Building Materials, 9(6), 325-331.
Barbero, E. J. (1998) "Prediction of Compression Strength of Unidirectional Polymer
Matrix Composites" Journal of Composite Materials, 35(5), 483-502.
247
248 Referencias bibliográficas
Barbero, E. J. (1999) "Introduction to Composite Materials Design" Taylor & Francis
Group, New York. ISBN 1-56032-701-4.
Barbero, E. J., Dede, E. K. y Jones, S. (2000) "Experimental Verification of BucklingMode Interaction in Intermediate-Length Composite Columns" International
Journal of Solids and Structures, 37, 3919-3934.
Barbero, E. J., Fu, S.-H. y Raftoyiannis, I. (1991) "Ultimate Bending Strength of Composite Beams" Journal of Materials in Civil Engineering, 3(4), 292-306.
Barbero, E. J., Makkapati, S. y Tomblin, J. S. (1999) "Experimental Determination of
the Compressive Strenght of Pultruded Structural Shapes" Composites Science
and Technology, 59, 2047-2054.
Barbero, E. J. y Raftoyiannis, I. (1993a) "Euler Buckling of Pultruded Composite Columns" Composites Structures, 24, 139-147.
Barbero, E. J. y Raftoyiannis, I. G. (1993b) "Local Buckling of FRP Beams and Columns" Journal of Materials in Civil Engineering, 5(3), 339-355.
Barbero, E. J. y Raftoyiannis, I. G. (1994) "Lateral and Distortional Buckling of Pultruded I-Beams" Composite Structures, 27, 261-268.
Barbero, E. J. y Tomblin, J. (1993) "Euler Buckling of Thin-Walled Composite Columns" Thin-Walled Structures, 17, 237-258.
Barbero, E. J. y Tomblin, J. (1994) "A Phenomenological Design Equation for FRP
Columns with Interaction Between Local and Global Buckling" Thin-Walled
Structures, 18, 117-131.
Barbero, E. J. y Trovillion, J. (1998) "Prediction and Measurement of The Post-Critical
Behavior of Fiber-Reinforced Composite Columns" Composites Science and
Technology, 58, 1335-1341.
Barbero, E. J. y Turk, M. (2000) "Experimental Investigation of Beam-Column Behavior of Pultruded Structural Shapes" Journal of Reinforced Plastics and Composites, 19(3), 249-265.
Referencias bibliográficas
249
Barbero, E. J. y Vivo, L. D. (1999) "Beam-Column Design Equations for Wide-Flange
Pultruded Structural Shapes" Journal of Composites for Construction, 3(4),
185-191.
Brooks, R. J. y Turvey, G. J. (1995) "Lateral Buckling of Pultruded GRP I-Section Cantilevers" Composite Structures, 32, 203-215.
Brown, N. D., Mottram, J. T. y Anderson, D. (1998) "The Behavior of Columns for the
Design of Pultruded Frames: Tests on Isolated Centrally Loaded Columns."
2nd International Conference on Composites in Infraestructures, 2, 248-260.
D’Orazio, T. et al. (2005) "Defect Detection in Aircraft Composites by Using a Neural
Approach in the Analysis of Thermographic Images" NDT & E International,
38, 665-673.
Davalos, J. F. y Qiao, P. (1997) "Analytical and Experimental Study of Lateral and Distortional Buckling of FRP Wide-Flange Beams" Journal of Composites for
Construction, 1(4), 150-159.
Davalos, J. F., Qiao, P. y Salim, H. A. (1997) "Flexural-Torsional Buckling of Pultruded Fiber Reinforced Plastic Composite I-Beams: Experimental and Analytical
Evaluations" Composite Structures, 38(1), 241-250.
Della, C. N., Shu, D. y MSRao, P. (2004) "Vibrations of Beams With Two Overlapping
Delaminations" Composite Structures, 66, 101-108.
Dutheil, J. (1947) "Le Flambement des Éléments Comprimés dans las Ossatures en
Acier" Institut Technique du Batiment et des Travaux Publics, Circulaire Série
Nº35, Paris.
Dutheil, J. (1952) "Théorie de l'Instabilité par Divergence d'Equilibre" Association International des Ponts et Charpentes, Quatriéme Congrés, Cambridge & Londres.
Euler, L. (1759) "Sur la force Portante des Colonnes" Mémoires de la l'Académie de
Berlin, vol. 113.
Eurocode3. (2005) "Design of Steel Structures. Part 1-1. General Rules and Rules for
Buildings." ENV 1993-1-1:2005.
250 Referencias bibliográficas
Eurocode5. (2005) "Design of Timber Structures. Part 1-1. General Rules and Rules for
Buildings." ENV 1995-1-1:1993.
Ganapathi, M. y Makhecha, D. P. (2001) "Free Vibration Analysis of Multi-Layered
Composite Laminates Based on an Accurate Higher Order Theory" Composites. Part B: Engineering, 32, 535-543.
Halpin, J. C. y Tsai, S. W. (1967) "Enviromental Factors in Composite Design" Technical Report, Air Force Materials Laboratory, 67-423.
Hashem, Z. A. y Yuan, R. L. (2000) "Experimental and Analytical Investigation on
Short GFRP Composite Compression Members" Composites. Part B: Engineering, 31, 611-618.
Hashem, Z. A. y Yuen, R. L. (2001) "Short vs. Long Column Behavior of Pultruded
Glass-Fiber Reinforced Polymer Composites" Construction and Building Materials, 15, 369-378.
Hodges, D. H. y Peters, D. A. (2001) "Lateral-Torsional Buckling of Cantilevered Elastically Coupled Composite Strip and I-Beams" International Journal of Solids
and Structures, 38(1585-1603).
Hull, D. y Clyne, T. W. (1981) "An Introduction to Composite Materials" Cambridge
University Press, Cambridge. ISBN 0-521-38190-8.
Johnston, B. G. (1983) "Column Buckling Theory: Historic Highlights" Journal of
Structural Engineering, 109(9), 2087-2096.
Jones, R. M. (1975) "Mechanics of Composites Materials" Hemisphere Publishing Co.,
New York.
Kessler, S. S., Spearing, S. M., Atalla, M. J., Cesnik, C. E. S. y Soutis, C. (2002) "Damage Detection in Composite Materials Using Frequency Response Methods"
Composites. Part B: Engineering, 33, 87-95.
Kollár, L. P. (2001) "Flexural-Torsional Buckling of Open Section Composite Columns
with Shear Deformation" International Journal of Solids and Structures, 38,
7525-7541.
Referencias bibliográficas
251
Lane, A. (2002) "An Experimental Investigation of Buckling Mode Interaction in PFRP
Columns" University of Warwick, Coventry.
Lee, J. (2000) "Free Vibration Analysis of Delaminated Composite Beams" Computers
and Structures, 74, 121-129.
Lee, J. (2006) "Lateral Buckling Analysis of Thin-Walled Laminated Composite Beams
with Monosymmetric Sections" Engineering Structures, 28(14), 1997-2009.
Lee, J. y Kim, S.-E. (2002a) "Free Vibration of Thin-Walled Composite Beams With IShaped Cross-Sections" Composite Structures, 55, 205-215.
Lee, J. y Kim, S.-E. (2002b) "Lateral Buckling Analysis of Thin-Walled Laminated
Channel-Section Beams" Composite Structures, 56, 391-399.
Lee, J. y Kim, S. E. (2001) "Flexural-Torsional Buckling of Thin-Walled I-Section
Compoites" Computers and Structures, 79, 987-995.
Lee, J., Kim, S. E. y Hong, K. (2002) "Lateral Buckling of I-Section composite Beams"
Engineering Structures, 24, 955-964.
Lee, S., Park, T. y Voyiadjis, G. Z. (2003) "Vibration Analisys of Multi-Delaminated
Beams" Composites. Part B: Engineering, 34, 647-659.
Loureiro, A. (2001) "Un Método Directo para el Análisis y Diseño a Pandeo de Elementos Comprimidos de Acero. Norma Básica y Eurocódigo." Universidad de A
coruña, El Ferrol.
LTBeam (2002) Yvan Galéa (CTICM)
Maji, A. K., Acree, R., Satpathi, D. y Donnelly, K. (1997) "Evaluation of Pultruded
FRP Composites for Structural Applications" Journal of Materials in Civil Engineering, 9(3), 154-158.
Maquoi, R. y Rondal, J. (1978) "Mise en Équation des Nouvelles Courbes Européennes
de Flambement" Construction Métallique, 1, 17-30.
Marur, S. R. y Kant, T. (1996) "Free Vibration Analysis of Fiber Reinforced Composite
Beams Using Higher Order Theories and Finite Element Modelling" Journal of
Sound and Vibrations, 194(3), 337-351.
252 Referencias bibliográficas
Mosallam, A. S. y Bank, L. C. (1992) "Short-Term Behavior of Pultruded FiberReinforced Plastic Frame" Journal of Structural Engineering, 118(7), 19371954.
Mottram, J. T. (1992) "Lateral-Torsional Buckling of a Pultruded I-Beam" Composites
Science and Technology, 23(2), 81-92.
Mottram, J. T. (2004) "Determination of The Critical Load for Flange Buckling in concentrically Loaded Pultruded Columns" Composites. Part B: Engineering, 35,
35-47.
Mottram, J. T., Brown, N. D. y Anderson, D. (2003) "Physical Testing for Concentrically Loaded Columns of Pultruded Wide-Flange Profile" Journal of Structural
Buildings, 156(2), 205-219.
Nayak, A. K., S. S. J, M. y Shenoi, R. A. (2002) "Free Vibration Analysis of Composite
Sandwich Plates Based on Reddy’s Higher Order Theory" Composites. Part B:
Engineering, 33, 505-519.
Pandey, M. D., Kabir, M. Z. y Sherbourne, A. N. (1995) "Flexural-Torsional Stability of
Thin-Walled Composite I-Section Beams" Composites Engineering, 5(3), 321342.
Pecce, M. y Cosenza, E. (2000) "Local Buckling Curves for the Design of FRP Profiles"
Thin-Walled Structures, 37, 207-222.
Qiao, P., Zou, G. y Davalos, J. F. (2003) "Flexural-Torsional Buckling of FiberReinforced Plastic Composite Cantilever I-Beams" Composite Structures, 60,
205-217.
Ramtekkar, G. S. y al., e. (2002) "Natural Vibrations of Laminated Composite Beams
by Using Mixed Finite Element Modelling" Journal of Sound and Vibrations,
257(4), 635-651.
Rao, M. K. et al. (2001) "Free Vibration of Laminated Beams Using Mixed Theory"
Composite Structures, 52, 149-160.
Robertson, A. (1925) "The Strenght of Struts" Selected Engineering Paper Nº28, London, Nº28.
Referencias bibliográficas
253
Sapkás, Á. y Kollár, L. P. (2002) "Lateral-Torsional Buckling of composite Beams"
International Journal of Solids and Structures, 39, 2939-2963.
Schwartz, R. C. (1988) "Determination of Out-of-Plane Displacements and the Initiation
of Buckling in Composite Structural Elements" Experimental Techniques, 2328.
Shan, L. y Qiao, P. (2005) "Flexural-Torsional Buckling of Fiber-Reinforced Plastic
Composite Open Channel Beams" Composite Structures, 68, 211-224.
Shu, D. y Della, C. N. (2004) "Vibrations of Multiple Delaminated Beams" Composite
Structures, 64, 467-477.
Singiresu, S. R. (1995) "Mechanical Vibrations" Addison-Wesley Publishing Company.
ISBN 0-201-59289-4.
Sol, H., Hua, H., Visscher, J. D., Vantomme, J. y Wilde, W. P. (1997) "A Mixed Numerical/Experimental Technique for the Non-Destructive Identification of the
Stiffness Properties of Fibre Reinforced Composite Materials" NDT & E International, 30, 85-91.
Suzuki, H. et al. (2000) "Integrity Evaluation of Glass-Fiber Composites with Varied
Fiber/Matrix Interfacial Strength Using Acoustic Emission" NDT & E International, 33, 173-180.
The European Structural Polymeric Composites Group (1996) "Structural design of
Polymer Composites" E & FN Spon.
Timoshenko, S. P. y Gere, J. M. (1961) "Theory of Elastic Stability" McGraw-Hill,
New York.
Tomblin, J. y Barbero, E. J. (1994) "Local Buckling Experiments on FRP Columns"
Thin-Walled Structures, 18, 97-116.
Tsai, S. W. y Hahn, H. T. (1980) "Introduction to Composite Materials" Technomic
Publishing Co, Lancaster. ISBN 0 521 38190 8.
Turvey, G. J. (1996) "Lateral Buckling Tests on Rectangular Cross-Section Pultruded
GRP Cantilever Beams" Composites: Part B, 27B(1), 35-42.
254 Referencias bibliográficas
Vlasov, V. Z. (1961) "Thin-Walled Elastic Beams" 2nd Edition of the Israel Programfor
Scientific Translation, Jerusalem.
Ylinen, A. (1956) "A Method of Determining the Buckling Stress and the Required
Cross Sectional Area for Centrally Loaded Straight Columns in Elastic and
Inelastic Range" Publications of the International Association for Bridge and
Structural Engineering, Zürich (Switzerland), 16, 529-550.
Yooh, S. J., Scott, D. W. y Zureick, A. (1996) "An Experimental Investigation of the
Behaviour of Concentrated Loaded Pultruded Columns" Proceedings of the
2nd International Conference on Advanced Composite Materials in Bridge and
Structures, Montreal (Canada).
Yoon, S. J. (1993) "Local Buckling of Pultruded I-Shape Columns" Georgia Institute of
Technology.
Zahn, J. J. (1992) "Re-Examination of Ylinen and Other Column Equations" Journal of
Structural Engineering, 118(10), 2716-2728.
Zureick, A. y Scott, D. W. (1997) "Short-Term Behavior and Design of FiberReinforced Polymeric Slender Members Under Axial Compression" Journal of
Composites for Construction, 1(4), 140-149.