“Curso de Elemento Finito con el software ALGOR”

“Curso de Elemento Finito con el software ALGOR”
“Curso de Elemento Finito con el software ALGOR”
Facultad de Ingeniería, UNAM
www.algor.com
M. en I. Alejandro Farah
Instituto de Astronomía, UNAM
www.astroscu.unam.mx/~farah
“Curso de Elemento Finito con el software ALGOR”
Contenido general:
- La teoría detrás del Método de los Elementos Finitos
Fenómenos físicos
Ecuaciones constitutivas
- Solución de problemas por el MEF utilizando ALGOR
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Desarrollo histórico:
- Hrenikoff, 1941, solución a problemas elásticos por el Método del Trabajo.
- Courant, 1943, por medio de interpolación polinomial para modelar
problemas de torsión.
- Turner, 1956, obtuvo las matrices de rigidez (armaduras y vigas).
- Clough, 1960, primero en utilizar el término elementos finitos.
- Zienkiewicz y Chung, 1967, publican primer libro sobre EF.
- 1970, se crean las bases formales del método.
- … y se inició toda una revolución.
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¿Cómo se hace?
iii) Elección de las funciones que describen el fenómeno físico con una
con un dominio definido y conocido (ecuaciones constitutivas).
vi) Ensamble de las ecuaciones de los elementos (discretización).
viii) Solución del sistema de ecuaciones matriciales.
x) Determinación de los valores aproximados (interpolación).
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Fenómeno Físico:
Se denomina fenómeno físico a cualquier suceso natural
observable y posible de ser medido (elasticidad, el agua hirviendo…)
modelos matemáticos – ecuaciones diferenciales
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Característica común: ED continuas y diferenciables infinitamente
Método de las Diferencias finitas
Métodos Variacionales
Método de los Residuos Pesados
Método de las Diferencias finitas
Sustituye la ED original por una ecuación en diferencias
Alcanza buenos resultados en problemas bidimensionales
con fronteras paralelas a los ejes coordenados
http://www.mathgym.com.au/history/pythagoras/Activity4.htm
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Métodos Variacionales
Sustituye en la ED original una solución de prueba con ciertos
coeficientes constantes, el problema se resume a encontrarlos
x2
F (u , u´,...) dx
x1
Solo se puede aplicar a aquellas ecuaciones diferenciales que tienen un
principio variacional, lo cual es difícil de demostrar.
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Método de los Residuos Pesados
Sustituye en la ED original una solución aproximada h(x) y
obtiene un error residual R(x)
Método de Colocación por Puntos
Métodos de los Subdominios
Método de Galerkin
Método de los Mínimos Cuadrados
R( x )
d 2 h( x )
D
Q
2
dx
0
x2
wi ( x ) R( x ) dx
0
x1
Son los más usados (en especial del M. de Galerkin), también conocidos
como formulación integral del MEF.
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Calculando el área de un círculo con triángulos…
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A partir de simples vigas, resortes…
Ley de Hooke
F=K∆x
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Definición:
“El MEF es un procedimiento matemático
por interpolaciones para
resolver problemas físicos gobernados
por ecuaciones diferenciales”
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…. Otra vez, cómo se hace:
• Elección de las funciones de aproximación
• Discretización del dominio:
“el dominio real se sustituye por elementos discretos eligiendo
los puntos nodales y especificando sus coordenadas”
• Ensamble de las ecuaciones de los elementos
• Solución del sistema de ecuaciones
• Determinación de los valores aproximados
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Se distingue porque:
Formulación integral y finalmente genera un sistema
de ecuaciones algebraicas lineales
Interpolación de valores de las cantidades desconocidas
en los puntos nodales
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Independiente del problema físico (ED) que se quiera resolver
No proporciona la función aproximada sino los valores de la función
en ciertos puntos del dominio (nodos)
Por interpolación matemática determina los valores de la función en los
nodos restantes