C ξ η

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje)
INTEGRALES CURVILÍNEAS
(Material de apoyo y orientación para preparar el tema)
Las integrales curvilíneas constituyen el estudio de funciones
sobre curvas.
LÍMITE DE UNA SUMATORIA
Considérese una curva suave en el plano
xy con ecuaciones
paramétricas: x = f ( t ) ; y = g ( t ) ; a ≤ t ≤ b , donde
las funciones f y g son continuas en el intervalo ⎡⎣ a, b ⎤⎦ y
tienen primeras derivadas continuas en ( a, b ) .
(ξ i ,ηi )
y
yi
ηi
C
t=b
y i −1
y1
y0
t=a
x 0 x1
x i −1 ξi x i
xn
x
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
n
lim ∑ F (ξ i ,η i ) Δxi = ∫ F ( x, y ) dx
Δ →0
i =1
C
n
lim ∑ F (ξ i ,η i ) Δy i = ∫ F ( x, y ) dy
Δ →0
i =1
C
En muchas ocasiones se trabaja con las dos integrales como:
∫ M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy
C
Otra forma
( xn ,yn )
∫(
x1,y1)
M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy
Ejemplo. Evaluar la integral de línea
yz
y
dx
+
e
dy + senzdz
∫C x
donde
C es la curva dada por:
x = t3
;
y=t
;
z = t2
;
2≤t≤3
Solución.
x = t3
y=t
z = t2
⇒
⇒
⇒
dx = 3t 2 dt
dy = dt
dz = 2tdt
3
yz
y
t
2
2
3
2
dx
+
e
dy
+
senzdz
=
t
+
e
+
tsent
dt
∫C x
∫2
(
)
3
= ⎡⎣t + e − cos t ⎤⎦ 31.96
2
3
t
2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
3
La integral curvilínea también se puede expresar en términos
del parámetro longitud de arco como:
∫ F ( x, y ) dS = ∫ F ( f ( t ) , g ( t ) )
b
a
C
Ejemplo. Evaluar la integral curvilínea
2
2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
⎜ dt ⎟ + ⎜ dt ⎟ dt
⎝
⎠ ⎝
⎠
∫ xy dS donde la curva
C
C tiene como ecuaciones paramétricas a:
x = 3 cos t
Solución:
;
y = 2 sent
;
0≤t≤
∫ xy dS = 7.6
π
2
C
Propiedades de la integral curvilínea
Son semejantes a las tratadas en el cálculo con una variable
independiente.
EXISTENCIA DE LA INTEGRAL CURVILÍNEA
∫ M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy ,
Teorema. Sea
donde
M y
N
C
son funciones continuas cuyos dominios incluyen a la curva C ,
la cual está dada por: x = f t
; y = g t ; a ≤ t ≤ b,
()
donde las funciones
f
y
g
()
son diferenciables en
( a, b) .
Entonces la integral curvilínea existe y equivale a:
∫
b
a
dx
dy ⎤
⎡
M
x
,
y
+
N
x
,
y
) dt ( ) dt ⎥ dt
⎢ (
⎣
⎦
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2 2
x
∫ y dx + xydy
Ejemplo. Evaluar la integral de línea
punto
a)
En la dirección de la recta que los une. Solución:
b)
Sobre la trayectoria de la parábola
c)
Sobre la trayectoria que va de
31.6
39.6
y = x 2 . Solución:
( −1,1)
( 2,4 ) . Solución: 18
a
del
C
( −1,1) al punto ( 2,4 ) :
( 2,1)
4
a
( 2,1)
y de
(trazar la gráfica en cada caso).
Ejemplo. Evaluar la integral curvilínea
2 2
yz
dx
+
zx
dy
+
x
y dz
∫
C
C es la hélice cuyas ecuaciones paramétricas son:
t
x = cos t ; y = sent ; z =
; 0 ≤ t ≤ 2π
2
donde
Solución:
π
8
Ejemplo. Evaluar la integral
trayectoria
cos z
senz
dx
+
dy + zdz , si la
∫C x
y
C está dada por:
x = cos3 t
;
y = sen3t
;
z=t
;
0≤t≤
Solución: 54.45
7π
2
Trayectoria cerrada
C
v∫
C
Mdx + Ndy
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
5
Ejemplo. Evaluar la integral curvilínea
v∫
( x + y ) dx − ( x − y ) dy
x2 + y 2
2
2
2
donde C es la circunferencia x + y = a .
Solución: −2π
C
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA
N ( x, y ) son funciones continuas y
diferenciables en una cierta región abierta del plano xy ,
entonces la integral de línea ∫ M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy es
Teorema. Si
M( x, y )
y
C
independiente de la trayectoria y se puede escribir como
( x2 ,y2 )
∫(
x1,y1)
M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = F ( x2 , y2 ) − F ( x1, y1 )
M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy es una
diferencial exacta, es decir, que existe una función F para la
sí y sólo si la expresión
cual es su diferencial total.
Conclusiones que se desprenden del teorema anterior:
M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy es una diferencial exacta en una
región del plano xy , entonces:
Si
( x2 ,y2 )
i)
∫(
ii )
Si
x1,y1)
Mdx + Ndy + ∫
( x1,y1)
( x2 ,y2 )
Mdx + Ndy = 0
C es una curva suave cerrada,
v∫ M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0
C
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
∫
iii)
C
M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = ∫
( x2 ,y2 )
( x1,y1)
6
Mdx + Ndy
= F ( x2 , y2 ) − F ( x1, y1 )
donde dF = Mdx + Ndy con cualquier trayectoria.
Ejemplo. Sea la integral curvilínea
∫
xdx + ydy + zdz
C
2
2
x +y +z
2
de
;
( 0,0,0 )
a
( 3,4,5 )
i) Verificar que el integrando es una diferencial exacta.
ii) Obtener su valor sin utilizar trayectoria.
iii) Utilizar la trayectoria que va de ( 0,0,0 ) a ( 3,0,0 ) , de
( 3,0,0 ) a ( 3,4,0 ) y de ( 3,4,0 ) a ( 3,4,5 ) .
Solución:
5 2
Ejemplo. Dadas las funciones
M( x, y ) = sec2 x sec y + cos x cos y
y
N ( x, y ) = tan x sec y tan y − senxseny
y los puntos
⎛ π⎞
P ⎜ 0, ⎟
⎝ 6⎠
y
⎛π π ⎞
Q⎜ , ⎟
⎝3 4⎠
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
i)
Evaluar la integral curvilínea
∫
C
M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy
7
⎛ π ⎞ ⎛π π ⎞
C consta de dos segmentos que van de ⎜ 0, ⎟ a ⎜ , ⎟ y
⎝ 6⎠ ⎝3 6⎠
⎛π π ⎞ ⎛π π ⎞
de ⎜ , ⎟ a ⎜ , ⎟ .
⎝3 6⎠ ⎝3 4⎠
ii) Verificar que Mdx + Mdy es una diferencial exacta.
iii) Encontrar F ( x, y ) tal que dF = Mdx + Ndy .
si
iv)
Evaluar
∫
C
M( x, y ) dx + N ( x, y ) dy a través del cálculo
⎛π π ⎞
⎛ π⎞
F ⎜ , ⎟ − F ⎜ 0, ⎟
⎝3 4⎠
⎝ 6⎠
5 6
Solución:
4
de
LA INTEGRAL DE LÍNEA Y EL GRADIENTE
Sea la expresión Mdx + Ndy que es una diferencial exacta.
Entonces existe una función F tal que dF = Mdx + Ndy ,
donde
M( x, y ) =
∂F
∂x
y
N ( x, y ) =
∂F
. Como el gradiente
∂y
∂F ∧ ∂F ∧
de F es ∇F =
i+
j y si se define al vector dr como
∂x ∂y
∧
∧
dr = dx i + dy j , entonces dF = ∇F ⋅ dr por lo que la integral
de línea se interpreta como ∫ Mdx + Ndy = ∫ ∇F ⋅ dr .
C
C
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
8
INTEGRAL CURVILÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL
Sea un campo vectorial dado por
∧
∧
∧
v ( x, y, z ) = v1 ( x, y, z ) i + v2 ( x, y, z ) j + v3 ( x, y, z ) k
y la trayectoria C definida por:
x = f (t ) ; y = g (t ) ; z = h(t )
Entonces
( x2 ,y2 ,z2 )
∫(
x1,y1, z1)
b
v ( x, y, z ) dt = ∫ v ( t ) dt
a
∧
∧
∧
b
b
b
= ⎡ ∫ v1 ( t ) dt ⎤ i + ⎡ ∫ v2 ( t ) dt ⎤ j + ⎡ ∫ v3 ( t ) dt ⎤ k
⎢⎣ a
⎥⎦ ⎢⎣ a
⎥⎦ ⎢⎣ a
⎥⎦
2
∧
∧
∧
v = x i + xz j xy k y la
z = t 2 . Decir si existe la
Ejemplo. Sea el campo vectorial
trayectoria x = t ; y = 2t ;
(1,2,1)
integral
vdt y en caso afirmativo, calcularla.
( 0,0,0 )
∫
1∧ 1∧ 2 ∧
Solución:
i + j+ k
3 4 3
Ejemplo. Sea el campo
∧
2
∧
v = xy i + y j y la curva
∧
∧
π
⎧
+
∀
≤
≤
cos
t
i
sent
j
0
t
⎪⎪
2
r=⎨
∧
∧
⎪cos t i + 2 sent j ∀ π ≤ t ≤ π
⎪⎩
2
Ver si existe
( −1,0 )
∫(
1.0 )
vdt y en caso afirmativo, calcularla.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
−
Solución:
9
1 5π
i+
j
2
4
∧
∧
r ( t ) que define la
Ejemplo. Encontrar la función vectorial
posición de una partícula, si su velocidad está dada por
∧
∧
∧
r ' ( t ) = e i − ln t j + 2t k y se sabe además que cuando t = 1 su
t
∧
posición la expresa el vector
(
)
∧
r (1) = j − k .
∧
∧
(
)
∧
r ( t ) = e − e i − ( t ln t − t ) j + t − 2 k
Solución:
t
2
Ejemplo. Considérese el campo vectorial
∧
∧
∧
u = (y − z) i + ( z − x) j+ ( x − y) k
y la trayectoria C definida por:
x = a cos t
z = bt
Investigar si existe y calcularla, en el intervalo ⎡⎣ 0,2π ⎤⎦ , la
integral
∫
Solución:
C
y = asent
;
;
udt .
∧
∧
−2π b i + 2π b j
2
2
INTEGRAL CURVILÍNEA COMO TRABAJO
W = ∫ F ⋅ dr
C
⎛ dr ⎞
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ ⎜ F ⋅
⎟ ds = ∫C F ⋅ T ds
C
C
⎝ ds ⎠
( )
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
10
El trabajo y la energía cinética
W = ∫ F ⋅ dr
C
2
2
1
1
" W = m v ( b ) − m v ( a)
2
2
Ejemplo. Determinar el trabajo que se produce al mover, en
contra de la gravedad, una partícula de masa " m " , a lo largo
de la curva C dada por: x = cos t ; y = sent ; z = t ,
del punto
3π ⎞
⎛
.
A ( −1,0,π ) al punto B ⎜ 0, −1,
⎟
2 ⎠
⎝
Solución. Para calcular el trabajo se utiliza la expresión:
( )
W = − ∫ F ⋅ dr = − ∫ F ⋅ T ds
C
C
El signo menos es porque se trata de un trabajo para vencer un
campo de fuerza, el cual está dado por
F = − mgk
Por otro lado, recuérdese que
dr
T = dt
dr
dt
∧
Luego, si
∧
y
r ' ( t ) = sen2t + cos2 t + 1
r ( t ) = cos t i + sent j + t k , entonces:
∧
∧
∧
r ' ( t ) = − sent i + cos t j + k
⇒
∧
r '(t ) = 2
∧
∧
∧
1 ⎛
⎞
Por lo tanto T =
cos
−
+
+
sent
i
t
j
k
⎜
⎟
2⎝
⎠
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
11
Además
2
2
2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
2
2
ds = ⎜
+
+
=
sen
t
+
t +1= 2
cos
⎟ ⎜ dt ⎟ ⎜ dt ⎟
dt
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
y los extremos de integración para el parámetro " t " son los
mismos que para " z " , por lo que:
W = −∫
3π
2
∧
∧
∧
∧
⎡⎛
⎞ 1 ⎛
⎞⎤
−
⋅
−
+
+
mg
k
sent
i
t
j
k
cos
⎟
⎜
⎟ ⎥ 2 dt
⎢⎜
⎠ 2⎝
⎠⎦
⎣⎝
π
∴ W=∫
3π
2
π
mg dt = mg
π
2
Ejemplo. Se tiene una carga eléctrica de 2 coulombs
situada en el origen del sistema de coordenadas xy . Si se
coloca otra carga de 1 coulomb y de igual polaridad en el
punto
( x, y ) , las dos se repelerán con la fuerza:
F=
2x
(x
2
+y
2y
∧
3
2 2
)
i+
(x
2
+y
∧
3
2 2
)
j
expresión que se obtiene de aplicar la ley de Coulomb para
dos cargas eléctricas que se atraen o se repelen.
F en la carga
de 1coulomb al moverse de A ( 3,1) a B ( 4,6 ) en la línea
i)
¿Cuánto trabajo será realizado por la fuerza
recta que une a estos puntos?
F al moverse dicha
2
2
carga en la dirección del semicírculo x + y = 4 ; y ≥ 0 y
ii)
¿Cuánto trabajo será realizado por
en el sentido de las manecillas del reloj?
Solución: i) W 0.36 ; ii) W = 0
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
12
∧
∧
Ejemplo. Sea el campo de fuerzas F = y i − x j . Calcular el
trabajo realizado en el movimiento de una partícula del origen
al punto 1,1 :
( )
i)
y = x2
A través de la parábola
Solución:
W=−
1
3
A través de la recta y = x
Solución: W = 0
iii) A través de la línea recta quebrada que va de
ii)
( 0,0 )
a ( 0,1) y de ( 0,1) a (1,1) .
Solución: W = 1
iv) A través de la parábola y 2 = x .
1
Solución: W =
3
∧
∧
Ejemplo. Sea el campo de fuerzas F = y i + x j . Calcular el
trabajo realizado al moverse una partícula del origen al punto
1,1 :
( )
i)
A través de la parábola
Solución: W = 1
ii) A través de la recta
Solución: W = 1
y = x2 .
y = x.
Ejemplo. Evaluar el trabajo realizado por un campo de fuerza
dado por:
∧
∧
∧
F ( x, y, z ) = y z i + 2 xyz j + 4 xy z k
al moverse un objeto del punto A ( 0,0,0 ) al punto B ( 2,4,8 ) :
i) Por la línea recta que une a los puntos A y B .
2 4
4
2 3
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
ii)
Por la parábola
z=
y
del punto A al punto ( 0,4,8 ) y
2
de este punto hasta B en línea recta.
iii) Del punto A en línea recta al punto
línea recta hasta el punto
Solución: W = 131,072
13
2
B.
( 2,4,0 ) y de él en
Nota. El trabajo resultante en el movimiento de una partícula de
un punto a otro, sobre una determinada trayectoria suave,
puede ser positivo si el campo de fuerza actúa en la dirección
del movimiento; negativo cuando el campo actúa en dirección
opuesta y puede ser nulo cuando dicho campo y la dirección
del movimiento son ortogonales.
CAMPO DE FUERZA CONSERVATIVO
Un campo de fuerza F es conservativo si el trabajo W ,
realizado al moverse una partícula de masa unitaria de un
punto A a un punto B , es independiente de la trayectoria
utilizada.
Sea el trabajo dado por
W = ∫ M( x, y, z ) dx + N ( x, y, z ) dy + P ( x, y, z ) dz
C
Si se trata de un campo de fuerza conservativo, se puede
expresar lo siguiente:
Mdx + Ndy + Pdz es una diferencial exacta, o bien, su
expresión equivalente F ( x, y , z ) es el gradiente de la función
Si
escalar
f ( x, y, z ) , entonces a ésta última función se le conoce
como función potencial y se cumple que:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
14
i)
ii)
iii)
( x2 ,y2 ,z2 )
∫(
x1,y1, z1)
Si
∇f ⋅ dr + ∫
( x1,y1,z1)
( x2 ,y2 ,z2 )
∇f ⋅ dr = 0
C es una curva suave cerrada:
( x2 ,y2 ,z2 )
∫ ∇f ⋅ dr = ∫(
C
x1,y1, z1)
v∫
C
∇f ⋅ dr = 0
∇f ⋅ dr = f ( x2 , y2 , z2 ) − f ( x1, y1, z1 )
LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Para un campo conservativo
2
2
1
1
ϕ ( A) + m v ( a ) = ϕ ( B ) + m v ( b )
2
2
IRROTACIONAL Y CAMPO CONSERVATIVO
El rotacional de un campo conservativo es cero y por lo tanto
se trata de un campo irrotacional.
CONCLUSIÓN IMPORTANTE
F es un campo conservativo sí y sólo si:
i) ∫ F ⋅ dr es independiente de la trayectoria
C
ii) F ⋅ dr es una diferencial exacta
iii) F = ∇f donde f es el potencial de F
iv) Es irrotacional, es decir, que ∇ × F = 0
Nota. Se da
afirmaciones.
la
doble
implicación
entre
todas
estas
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
15
Ejemplo. Dado el campo de fuerza
∧
x
x
∧
∧
x
F = e senyz i + ze cos yz j + ye cos yz k
5⎞
⎛
y los puntos A ( 0,0,0 ) y B ⎜1,π , ⎟ .
2⎠
⎝
i) Calcular el trabajo que realiza el campo -sin investigar si
es conservativo- al transportarse una partícula de A a B a
5⎞
⎛
través de las líneas rectas que van de ( 0,0,0 ) a ⎜ 0,0, ⎟
2⎠
⎝
5⎞
5⎞
⎛
⎛
y de ⎜ 0,0, ⎟ a ⎜1,π , ⎟ .
2⎠
2⎠
⎝
⎝
ii) Comprobar que F es un campo conservativo a partir de la
diferencial exacta.
Comprobar que F ⋅ dr es independiente de la trayectoria
a partir del rotacional y calcular el trabajo a través del
potencial.
Solución: W = e
iii)
LA INTEGRAL CURVILÍNEA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
Sea el sistema curvilíneo ortogonal dado por
u = g1 ( x, y, z )
x = f1 (u, v, w )
v = g2 ( x, y, z )
y = f2 (u, v, w )
w = g3 ( x, y, z )
z = f3 (u, v, w )
∧
∧
∧
r = x i + y j+ z k
Como
x, y , z
⇒
dependen de
∧
∧
∧
dr = dx i + dy j + dz k
u, v, w entonces:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
∂x
∂x
∂x
du +
dv +
dw
∂u
∂v
∂w
∂y
∂y
∂y
dy =
du +
dv +
dw
∂u
∂v
∂w
∂z
∂z
∂z
dz =
du +
dv +
dw
∂u
∂v
∂w
Si se sustituye en dr y se agrupan términos, se llega a:
16
dx =
∂x
∂x
⎛ ∂x
⎞∧
dr = ⎜ du +
dv +
dw ⎟ i
∂v
∂w
⎝ ∂u
⎠
∂y
∂y
⎛ ∂y
⎞∧
+ ⎜ du +
dv +
dw ⎟ j +
∂v
∂w
⎝ ∂u
⎠
∂z
∂z
⎛ ∂z
⎞∧
+ ⎜ du +
dv +
dw ⎟ k
∂v
∂w
⎝ ∂u
⎠
dr =
∂r
∂r
∂r
du +
dv +
dw
∂u
∂v
∂w
Pero, como ya se había visto,
∂r
= hu eu
∂u
;
∂r
= hv ev
∂v
;
∂r
= hw ew
∂w
donde eu , ev , ew son los vectores unitarios asociados al nuevo
sistema de coordenadas, el cual se está suponiendo que es
ortogonal. Si se sustituyen estas expresiones en
dr se obtiene:
dr = hudueu + hv dvev + hw dwew
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
17
Por lo tanto, la integral curvilínea de
F = P (u, v, w ) eu + Q (u, v, w ) ev + R (u, v, w ) ew
a lo largo de la curva C está dada por:
∫
C
F ⋅ dr = ∫ huP (u, v, w ) du + hv Q (u, v, w ) dv
C
+ hw R (u, v, w ) dw
Para evaluar esta integral se deben sustituir las variables
u, v, w por las expresiones paramétricas que describen a la
curva.
Considérense los casos cilíndrico y esférico
SISTEMA CILÍNDRICO
hρ = 1
x = ρ cos θ
y = ρ senθ
z=z
⇒
hθ = ρ
hz = 1
En este sistema, la integral curvilínea se expresa como:
∫
C
F ⋅ dr = ∫ Pdρ + ρ Qdθ + Rdz
C
SISTEMA ESFÉRICO
x = r cos θ senϕ
y = rsenθ senϕ
z = r cos ϕ
hr = 1
⇒
hϕ = r
hθ = rsenϕ
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
18
La integral curvilínea se expresa como:
∫
C
F ⋅ dr = ∫ Pdr + rQdϕ + rsenϕ Rdθ
C
Ejemplo. Un campo de fuerza bidimensional está dado en
coordenadas polares por la ecuación
(
)
F ( ρ ,θ ) = −4 senθ cosθ + 4 sen2θ eρ
(
)
+ 4 sen2θ + 4 senθ cos θ eθ
Calcular el trabajo realizado en el movimiento de una partícula
del punto A al punto B , de cordenadas polares
1, 0 y 0, ∞ , respectivamente, a lo largo de la espiral
( )
(
)
cuya ecuación polar es
ρ = e−θ .
Solución. Las componentes de
F son:
P ( ρ , θ ) = −4 senθ cos θ + 4 sen2θ
y
Q ( ρ , θ ) = 4 sen2θ + 4 senθ cos θ
Además,
C está dada por ρ = e−θ con
θ ∈ ⎡⎣0, ∞ ⎤⎦ ⇒ dρ = −e−θ dθ
por lo que
∫
C
F ⋅ dr = ∫ Pdρ + ρ Qdθ
C
∞
(
)
= ∫ ⎡⎣ −4 senθ cos θ + 4 sen2θ ⎤⎦ −e−θ dθ +
0
+ e−θ ⎡⎣ 4 sen2θ + 4 senθ cos θ ⎤⎦ dθ
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
19
expresión que al desarrollarse y simplificarse da
∫
C
∞
∞
0
0
F ⋅ dr = 8 ∫ e−θ senθ cos θ dθ = 4 ∫ e−θ sen2θ dθ
u = sen2θ
du = 2 cos 2θ dθ
⇒
;
−θ
sen2θ dθ
dv = e−θ dθ
v = −e−θ
−θ
−θ
−θ
e
sen
2
d
=
−
e
sen
2
+
2
e
θ
θ
θ
∫
∫ cos 2θ dθ
u = cos 2θ
du = −2 sen2θ dθ
⇒
∫e
−θ
e
∫ cos 2θ dθ
;
dv = e−θ dθ
v = −e−θ
−θ
−θ
−θ
e
d
e
e
cos
2
=
−
cos
2
−
2
θ
θ
θ
∫
∫ sen2θ dθ
−θ
−θ
−θ
e
sen
2
θ
d
θ
=
−
e
sen
2
θ
−
2
e
cos 2θ
∫
−4 ∫ e−θ sen2θ dθ
5∫ e−θ sen2θ dθ = −e−θ sen2θ − 2e−θ cos 2θ
e −θ
⇒ ∫ e sen2θ dθ = −
sen2θ + 2 cos 2θ ) + C
(
5
∞
∞
4
8
⎡
⎤
4 ∫ e−θ sen2θ dθ = ⎢ − e−θ ( sen2θ + 2 cos 2θ ) ⎥ =
0
⎣ 5
⎦0 5
8
Por lo tanto, el trabajo pedido es W =
5
−θ
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
20
Ejemplo. Supóngase que en una cierta región del espacio
existe un campo eléctrico dado por
⎛N⎞
; ⎜ ⎟
⎝C⎠
E = 10eρ + 4eϕ + 7eθ
Calcular el trabajo efectuado por una fuerza que actúa sobre
un electrón en contra del campo eléctrico, cuando el electrón
se mueve desde el punto de coordenadas esféricas
π⎞
⎛
20,
0,
,
⎜
⎟
9⎠
⎝
hasta el punto
⎧ r = 20 m
⎪
trayectoria C : ⎨
π
θ
=
⎪⎩
9
2π π ⎞
⎛
20,
, ⎟
⎜
9 9⎠
⎝
a lo largo de la
Solución. Se sabe que la fuerza que ejerce un campo eléctrico
E sobre una carga eléctrica de magnitud q , es igual a qE . Por
lo tanto el trabajo pedido está dado por
W = −q∫ E ⋅ dr
C
Aquí, las componentes del campo son
P ( r , ϕ , θ ) = 10
;
Q ( r, ϕ, θ ) = 4
;
R ( r, ϕ, θ ) = 7
Además, como
⎧ r = 20
⎪
⎨
π
=
θ
⎪⎩
9
⇒
dr = 0
y
dθ = 0
y la única coordenada que varía es ϕ . Así,
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
21
∫
C
2π π ⎞
⎛
⎜ 20, 9 , 9 ⎟
⎝
⎠
π⎞
⎛
⎜ 20, 0, 9 ⎟
⎝
⎠
E ⋅ dr = ∫
10 ( 0 ) + ( 4 )( 20 ) dϕ +
2π
9
0
160π
9
−19
y como la carga de un electrón es: q = −1.6 × 10
coulombs,
+ ( 7 )( senϕ )( 20 )( 0 ) = 80 ∫
dϕ =
entonces el trabajo pedido está dado por:
⎛ 160π ⎞
W = −q∫ E ⋅ dr = − −1.6 × 1019 ⎜
⎟
C
⎝ 9 ⎠
W = 8.93 × 10 −18 joules
(
)
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ