Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.3

Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.3. Teoremas del valor medio y regla de L’Hôpital
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA
VARIABLE
XI.3. Teoremas del valor medio y regla de
L’Hôpital
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.3. Teoremas del valor medio y regla de L’Hôpital
1. Teorema de Rolle
PROP. Sea f : A ⊂ R → R una función que alcanza su máximo
(o mínimo) en un punto α ∈ Int(A) donde f es derivable,
entonces f ′ (α) = 0
Dem.:
 ′
 f (α) > 0 (1)
f
(x)
−
f
(α)
Si f ′ (α) = lim
6= 0 ⇒
ó
x→α
 ′
x −α
f (α) < 0 (2)
f (x) − f (α)
(1) Si f ′ (α) > 0, ∃δ/∀x ∈ [α − δ, α + δ],
>0
x −α
Tomando x ∈ [α − δ, α + δ], x > α(⇔ x − α > 0) debe suceder
que f (x) − f (α) > 0 ⇒ f (x) > f (α) ⇒ f no alcanza máx. en α
f (x) − f (α)
(2) Si f ′ (α)<0, ∃δ/∀x ∈ [α − δ, α + δ],
<0
x −α
Tomando x ∈ [α − δ, α + δ], x<α(⇔ x − α<0) debe suceder
que f (x) − f (α) > 0 ⇒ f (x) > f (α) ⇒ f no alcanza máx. en α
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.3. Teoremas del valor medio y regla de L’Hôpital
1. Teorema de Rolle (II)
Gráficamente:
1
En los puntos interiores en los que
la función alcanza valores máximos
o mínimos, las tangentes a la gráfica de la función son horizontales
0.5
0
−0.5
−1
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
0
1
2
3
x
4
5
6
7
1
Si el punto en el que la función alcanza un valor máximo o mínimo
no es interior, la tangente a la gráfica de la función no tiene por qué
ser horizontal.
0.5
0
−0.5
−1
−1
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.3. Teoremas del valor medio y regla de L’Hôpital
1. Teorema de Rolle (III)
Teorema. Sea f : [a, b] ⊂ R → R una función continua en [a, b]
y derivable en (a, b).
Si f (a) = f (b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0
Dem.:
Si f es continua en [a, b], entonces f alcanza su máximo y su
mínimo en [a, b], es decir, ∃α, β ∈ [a, b]/f (α) ≤ f (x) ≤ f (β)
Si α y β son los extremos del intervalo, entonces la función
es constante pues f (α) = f (x) = f (β)∀x ∈ [a, b] y
f ′ (x) = 0∀x ∈ [a, b]
Si α (o β) son puntos de (a, b) =Int([a, b]), entonces
sabemos que existe c = α ∈ (a, b) (o c = β) tal que
f ′ (c) = 0
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.3. Teoremas del valor medio y regla de L’Hôpital
2. Teorema del Valor Medio (TVM)
Teorema. Sea f : [a, b] ⊂ R → R una función continua en [a, b]
y derivable en (a, b).
f (b) − f (a)
Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) =
b−a
Observaciones:
c es tal que la tangente a la
gráfica en (c, f (c)) tiene la
misma pendiente que la
secante que pasa por (a, f (a))
y (b, f (b))
Si f (b) = f (a) entonces
f ′ (c) = 0. El Teorema de Rolle
es un caso particular de este.
5
4
c=2.5
3
2
1
f(b)−f(a)
0
−1
−2
−3
b−a
−4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
3
3.5
4
4.5
5
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.3. Teoremas del valor medio y regla de L’Hôpital
3. Aplicaciones del TVM
1) Crecimiento y decrecimiento en un intervalo
Sea f : I ⊂ R → R con I intervalo generalizado.
Si f es una función continua en I y derivable en Int(I) y
f ′ (x) > 0∀x ∈Int(I), entonces f es estrictamente creciente.
(f ′ (x)<0∀x ∈Int(I), entonces f es estrictamente decreciente)
Dem.:
Dados a, b ∈ I, a < b, consideramos f |[a,b] continua en [a, b] y
derivable en (a, b)
f (b) − f (a)
Entonces por el TVM ∃c ∈ (a, b)/
= f ′ (c) > 0
b−a
Por tanto, f (b) > f (a)
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.3. Teoremas del valor medio y regla de L’Hôpital
3. Aplicaciones del TVM (II)
2) Sea f : I ⊂ R → R con I intervalo generalizado.
Si f es una función continua en I y tiene derivada nula en Int(I),
entonces f es constante.
Dem.:
Dados a, b ∈ I, a < b, consideramos f |[a,b] continua en [a, b] y
derivable en (a, b)
f (b) − f (a)
Entonces por el TVM ∃c ∈ (a, b)/
= f ′ (c) = 0
b−a
Por tanto, f (b) = f (a)
Tema XI: CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE XI.3. Teoremas del valor medio y regla de L’Hôpital
4. Regla de L’Hôpital
Sean f y g dos funciones derivables en un entorno de a.
Supongamos que g ′ (x) no se anula en ese entorno.
Si lim f (x) = lim g(x) = 0 o lim f (x) = lim g(x) = ±∞ y
x→a
x→a
x→a
x→a
f ′ (x)
f (x)
existe lim ′
= l entonces lim
=l
x→a g (x)
x→a g(x)
Observaciones:
a ∈ R o a = ±∞, l ∈ R o l = ±∞
Se puede aplicar a límites laterales también
Se puede aplicar de forma reiterada, en ese caso la
existencia del último límite garantiza la existencia de los
anteriores
f ′ (x)
f (x)
Puede no existir lim ′
y sí lim
x→a g (x)
x→a g(x)
Se puede aplicar a otras indeterminaciones que se puedan
reducir a una del tipo 0/0 o ∞/∞