CINEMÁTICA DEL SOLIDO

CINEMÁTICA DEL SOLIDO
Índice
1. Introducción. Definición de Sólido Rígido
1.1. Definición de sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2. Posición de un sólido libre en el espacio
2.1. Escenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Notación pseudo-matricial o de vectrices . . . . . . . .
2.2.1. Ejemplos de uso . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Relaciones entre las coordenadas de un punto del sólido
2.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Tipos de problemas en cinemática del sólido . . . . . .
3
3
3
4
4
4
4
4
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en dos
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referencias .
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3. Estudio de la transformación ortogonal
5
3.1. Definición de la transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2. Ecuación de la transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3. Propiedades de la transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.4. Estudio espectral de las matrices ortogonales propias . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.5. El movimiento como una sucesión en el tiempo de transformaciones ortogonales directas 7
4. Concepto de velocidad angular. Campo de velocidades
4.1. Matriz velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Propiedades de la matriz velocidad angular . . . . . . . .
4.3. Cálculo de la velocidad de un punto del sólido . . . . . .
4.4. Vector velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Definición de vector velocidad angular . . . . . .
4.5. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Propiedades del campo de velocidades de un sólido
5.1. Equiproyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Invariante escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Estructura bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento .
5.5. Estructura geométrica helicoidal . . . . . . . . . . . .
5.6. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Axoides del movimiento
6.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Determinación geométrica de las axoides
6.4. Determinación analítica de las axoides .
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de un
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sólido
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11
11
11
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12
12
12
12
7. Ángulos de Euler
7.1. Posición definida a través del producto de tres giros finitos no conmutativos. Sistemas
Posibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Elección de Euler (3,1,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Composición de los giros y Matriz de giro resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Velocidad angular en función de los ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
8. Teorema de Coriolis
8.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Deducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Interpretación del significado de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14
14
14
9. Campo de aceleraciones de un sólido
9.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Aceleración angular . . . . . . . . . .
9.3. Fórmula del campo de aceleraciones .
9.4. Interpretación geométrica . . . . . .
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10.Movimiento del triedro intrínseco
10.1. Velocidad del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1. Ecuaciones de Frenet (resultado geométrico) .
10.2.2. Matriz velocidad angular del triedro intrínseco
10.2.3. Vector velocidad angular del triedro intrínseco
10.3. Teorema de la Escuadra . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
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13
13
1.
1.1.
Introducción. Definición de Sólido Rígido
Definición de sólido rígido
Sólido (rígido) es un sistema de partículas materiales en el que la distancia entre cualquier pareja
de ellas permanece invariable.
1.2.
Grados de libertad
Partícula material libre: 3 grados de libertad
Sistemas formados por N partículas libres: 3N grados de libertad
Sistemas formados por partículas con ligaduras. Reducción del número de grados de libertad
mediante las restricciones.
Sólido rígido: 6 grados de libertad. Demostración constructiva.
Identificación sólido-sistema de referencia. Puntos de un sólido.
2.
2.1.
Posición de un sólido libre en el espacio
M
z z1
y
Escenario
Sólido de referencia (S1 ≡ O1 x1 y1 z1 | ~ı1 · (~1 ∧ ~k1 ) = 1).
Sólido móvil (S0 ) y referencia ligada al mismo
(Oxyz | ~ı · (~ ∧ ~k) = 1).
Situación de S0 respecto a S1
~k
~
~k1
O1
~ı
~1
O
y1
~ı1
• posición del origen O de S0 respecto a S1 : r̄ O = O1 O
x1
x
• orientación de S0 respecto a S1 (vectores de la base ortonormal de S0 expresada en la base
ortonormal de S1 ):
~e0i = qij ~e1j (i, j = 1, 2, 3)
[Q] agrupa en columnas las componentes de los versores de la
base de S0 en función de los de S1 .
2.2.
Notación pseudo-matricial o de vectrices
Base ortonormal : {~e 1 , ~e 2 , ~e 3 }
Escalares : l
Vectores : {x} vector
Matrices cuadradas : [A]
 1
 ~e
Vectrices : F =
~e 2
 3
~e
columna, ⌊x⌋ vector fila, (⌊x⌋ = {x}T )



= {~e},
F T = ⌊~e 1 ~e 2 ~e 3 ⌋ = ⌊~e⌋
(1)
2.2.1.
Ejemplos de uso


 c1 
c̄ = ci~e i = c1~e 1 + c2~e 2 + c3~e 3 = F1T {ci } = ⌊~e 1 ~e 2 ~e 3 ⌋ c2
= ⌊~e⌋{c}


c3
F1 F1T = [I] (relaciones de ortonormalidad)
F1T F1 = 3
F0T = F1T [Q] <> ⌊~ı ~ ~k⌋ = ⌊~ı1 ~1 ~k1 ⌋[Q] (relación entre bases)




 b1 
 a1 
ā · b̄ = ⌊ai ⌋ F1 F1T {bi } = ⌊ a1 a2 a3 ⌋ b2
= ⌊ b1 b2 b3 ⌋ a2
| {z }




b3
a3
[I]
2.3. Relaciones entre las coordenadas de un
punto del sólido en dos referencias
2.3.1.
M
z z1
y
Definiciones


 x1 
O1 M = ⌊~ı1 ~1 ~k1 ⌋
y
,
 1 
z1
 
 x 
~
OM = ⌊~ı ~ k⌋ y
 
z
2.3.2.
 
 ξ 
~
O1 O = ⌊~ı1 ~1 k1 ⌋ η
,
 
ζ
~k
~
~k1
O1
~ı
O
y1
~1
~ı1
x1
Ecuaciones
x
Expresión que relaciona las coordenadas de M (cambio de sistema de referencia: cambio de origen
y cambio de orientación):

  
 
 x1   ξ 
 x 
O1 M = O1 O + OM ⇒
y
=
η
+ [Q] y
 1   
 
z1
ζ
z
| {z } | {z }
traslación
rotación
Propiedad
[Q] matriz cambio de base ortonormal ⇒ [Q] es ortogonal ([Q]−1 = [Q]T ).
Demostración:
 

 ~ı 

~
[I] =
⌊~ı ~ ~k⌋ =
~ 

k
⇒



~ı1 
 ~ı1 
~1
~1
⌊~ı1 ~1 ~k1 ⌋[Q] = [Q]T [Q]
⌊~ı1 ~1 ~k1 ⌋ = [Q]T



~k1
~k1
⇒
[Q]T [Q] = [Q][Q]T = ([Q]T [Q])T = [I] relaciones de ortonormalidad
Por el hecho de que la matriz [Q]T [Q] es siempre simétrica, existen 6 relaciones de ortonormalidad
independientes que fuerzan a que solo haya 3 valores independientes en la matriz [Q] (llamémoslos
q1 , q2 , q3 ) que la definen.
2.4.
Tipos de problemas en cinemática del sólido
TIPO DE PROBLEMA
DIRECTO
INVERSO
DATOS
[ξ, η, ζ, q1, q2 , q3 ](t)
Atributos cinemáticos
INCÓGNITAS
Atributos cinemáticos
[ξ, η, ζ, q1, q2 , q3 ](t)
3.
Estudio de la transformación ortogonal
3.1.
Definición de la transformación
z
Una trasformación ortogonal es una trasformación lineal en
R en la que la matriz asociada es una matriz ortogonal. La
imagen del vector nulo es el vector nulo: O → O ′ ≡ O
Esta transformación se puede interpretar geométricamente
de dos formas distintas:
′
z
3
1. P (x, y, z)F → P (x , y , z )F equiparable a OP →
′
′
′
′
~ı
′
3.2.
~k
~k′
OP′
2. F → F : transformación de referencias con el mismo origen que conserva ángulos, lo que implica que P ′ tiene en
F ′ las mismas coordenadas que P en F .
′
P′
′
~
O
′
~ı
y
P
~
x
Ecuación de la transformación
′
x
 
 
 ′ 
 
 x 
 x 
 x 
 x 
OP = ⌊~ı ~ ~k⌋ y
, OP′ = ⌊~ı ′ ~ ′ ~k ′ ⌋ y
= ⌊~ı ~ ~k⌋ y ′
= ⌊~ı ~ ~k⌋[Q] y
 
 
 ′ 
 
z
z
z
z
 ′ 
 
 x 
 x 
′
y
= [Q] y
 ′ 
 
z
z
3.3.
Propiedades de la transformación
La transformación conserva el producto escalar, la norma y los ángulos entre vectores:
x̄′ · ȳ ′ = ⌊x′ ⌋{y ′ } = ⌊x⌋ [Q]T [Q]{y} = ⌊x⌋{y} = x̄ · ȳ
| {z }
[I]
El determinante de la matriz asociada tiene módulo unidad (det([Q]) = |Q| = ±1):
|·|
[Q][Q]T = [I] → 1 = |[Q][Q]T | = |Q|2 → |Q| = ±1
FAMILIAS DE MATRICES DE INTERÉS:
Matrices ortogonales (grupo de transformaciones ortogonales):
O3 (R) = {[Q] ∈ M3 (R) | [Q]T = [Q]−1 }
Matrices ortogonales propias (grupo de transformaciones de rotación):
O3+ (R) = {[Q] ∈ O3 (R) | |Q| = 1}
Matrices ortogonales impropias (transformaciones de simetría):
O3− (R) = {[Q] ∈ O3 (R) | |Q| = −1}
3.4.
Estudio espectral de las matrices ortogonales propias
Problema espectral, [Q] ∈ M3 (R):
Espectro: S[Q] = {λi ∈ C | [Q]{x} = λi {x}, {x} =
6 {0}}
y
El polinomio característico de una matriz M3 (R) es cúbico y con coeficientes reales:
P (λ) = det([Q] − λ[I]) = (−1)3 λ3 + tr[Q]λ2 − tr[Q]∗ λ + |Q|, donde:
tr[Q] =
3
X
qii ,
[Q]∗ : matriz de cofactores o adjunta de [Q]
|Q| = det(Q),
i=1
Por el teorema fundamental del álgebra el espectro tiene que tener tres autovalores complejos
λ1 , λ2 , λ3 , que son solución de la ecuación característica P (λ) = 0, por lo que se satisface:
P (λ) =
3
Y
(λi − λ)
⇒
|Q| =
i=1
3
Y
λi
i=1
Las peculiaridades de una matriz de rotación Q ∈ O3+ (R) son:
• Tiene determinante unidad (|Q| = 1) por definición de matriz de rotación.
• Es autoadjunta ([Q] = [Q]∗ ) por ser ortogonal y con determinante unidad:
Q∈O3
def.inv.
[Q]T = [Q]−1 = ([Q]∗ )T /|Q| ⇒ [Q] = [Q]∗ ⇒ tr(Q) = tr(Q∗ ) :
Lo que implica que:
P (λ) = −λ3 + tr(Q)λ2 − tr(Q)λ + 1
Ruf f ini
=
(1 − λ)[λ2 − (tr(Q) − 1)λ + 1]
Para facilitar la resolución conviene introducir la equivalencia cos(α) = 12 [tr(Q) − 1]1 :
P (λ) = (1 − λ)[λ2 − 2 cos(α)λ + 1]
Parece evidente que las raíces serán λ1 = 1, λ2 = eiα , λ3 = e−iα , pero vamos a seguir buscándolas
de forma alternativa.
Si λ es raíz compleja de la ecuación entonces su conjugada λ también lo es:
|[Q] − λ[I]|
det(A)=det(Ā)
=
|([Q] − λ[I])| = |[Q] − λ[I]|
Q,I∈M3 (R)
=
|[Q] − λ[I]| = 0
Al menos una raíz es real, porque si todas fueran complejas existiría un número par de raíces,
siguiendo el razonamiento anterior.
Sea λ1 ∈ R y {x1 } ∈ R3 su autovector asociado. Como la transformación conserva normas se
tendrá que:
{y1 } = [Q]{x1 } = λ1 {x1 } ⇒ |ȳ1 | = |x̄1 | = |λ1 ||x̄1 |
⇒
|λ1 | = 1
Las otras dos raíces son complejas conjugadas λ2,3 = λe±iα
|Q| = 1⌊0 = 1⌊α1 λ⌊α λ⌊−α
⇒
λ = 1,
α1 = 0
Luego el espectro es S = {1, eiα , e−iα }, α = arc cos[ 12 (tr(Q) − 1)] ∈ [0, 2π[
Teorema de Euler:
Las matrices de rotación poseen el autovalor 1.
Interpretación:
La transformación se puede considerar como un giro alrededor del eje que pasa por O y tiene
la dirección del autovector asociado al autovalor 1 (recta de puntos invariantes) de intensidad
(ángulo girado) el argumento del autovalor complejo.
1
La semejanza de matrices conserva la traza, porque conserva el polinomio característico y la matriz semejante
diagonal es la que tiene en su diagonal los autovalores.
Demostración
Sean ā, b̄ y b̄∗ autoversores asociados a los autovalores 1, eiα , e−iα respectivamente (es fácil comprobar que a autovalores conjugados corresponden autoversores conjugados). Como la transformación conserva los productos escalares:
~a · ~b = f (~a) · f (~b) = ~a · eiα~b ⇒ ~a · ~b(eiα − 1) = 0 ⇒ ~a ⊥ ~b
~a · ~b∗ = f (~a) · f (~b∗ ) = ~a · e−iα~b∗ ⇒ ~a · ~b∗ (e−iα − 1) = 0 ⇒ ~a ⊥ ~b∗
Sea ~a1 , ~a2 , ~a3 una base ortogonal de vectores reales de R3 definida por:
i
1
~a1 = ~a ∈ R3 ~a2 = (~b + ~b∗ ) ∈ R3 ~a3 = (~b − ~b∗ ) ∈ R3
2
2
∗
∗
~b + ~b i(~b − ~b )
i
~a2 · ~a3 =
·
= (|~b|2 − |~b∗ |2 ) = 0
2
2
4
Sus transformados serán:
f (~a1 ) = ~a1
Interpretación
→
invariante
eiα~b + e−iα~b∗
Interpretación
= cos α ~a2 + sin α ~a3 ∈ R3
→
f (~a2 ) =
2
vector giro de ángulo α de ~a2 alrededor del eje reseñado
eiα~b − e−iα~b∗
Interpretación
f (~a3 ) = i
= − sin α ~a2 + cos α ~a3 ∈ R3
→
2
vector giro de ángulo α de ~a3 alrededor del eje reseñado
3.5.
El movimiento como una sucesión en el tiempo de transformaciones
z1
ortogonales directas
El movimiento def S.P.F. como una sucesión en el tiempo de T.O.D.
z
{x1 (t)} = [Q(t)]{x} ⇒ {x} = [Q(t)]−1 {x1 (t)}
y
P′
T
{ẋ1 } = [Q̇]{x} ⇒ {ẋ1 } = [Q̇][Q] {x1 } = [Ω](1) {x1 }
~k
~k1
x1
x
P
~
O
~ı1
z
x
z1 (t)
~1
~ı
y1 (t)
y
x1 (t)
y1
4.
Concepto de velocidad angular. Campo de velocidades de
un sólido
4.1.
Matriz velocidad angular
⌊~ı ~ ~k⌋ = ⌊~ı1 ~1 ~k1 ⌋[Q] ⇒ ⌊~ı1 ~1 ~k1 ⌋ = ⌊~ı ~ ~k⌋[Q]−1 = ⌊~ı ~ ~k⌋[Q]T
d~ı d~ d~k
d~ı d~ d~k
⌊
⌋ = ⌊~ı1 ~1 ~k1 ⌋[Q̇] ⇒ ⌊
⌋ = ⌊~ı ~ ~k⌋[Q]T [Q̇] = ⌊~ı ~ ~k⌋[Ω]
dt dt dt
dt dt dt
[Ω](0) = [Q]T [Q̇]
Transformación de matrices: [A](0) = [Q]T [A](1) [Q]
[Ω](0) = [Q]T [Ω](1) [Q] = [Q]T [Q̇] [Q]T [Q] = [Q]T [Q̇]
| {z }
[I]
4.2.
Propiedades de la matriz velocidad angular
Propiedades de la matriz velocidad angular [Ω]
1. Es una matriz completamente antisimétrica. Demostración:
d
dt
[Q]T [Q] = [I] →
[Q̇]T [Q] + [Q]T [Q̇] = [0]
Lo que significa que:
[Ω] = [Q]T [Q̇] = −[Q̇]T [Q] = −([Q]T [Q̇])T = −[Ω]T
2. Al cambiar los ejes, se transforma de acuerdo a la ley tensorial:
[Ω](0) = [Q]T [Ω](1) [Q]
3. Se puede poner en forma canónica:


0 −ω3 ω2
[Ω] =  ω3
0 −ω1 
−ω2 ω1
0
4.3.
Cálculo de la velocidad de un punto del sólido
O1 M = O1 O + OM ⇒
d
dt
⇒ ⌊~e1 ⌋{x1 (t)} = ⌊~e1 ⌋{ξ(t)} + ⌊~e0 (t)⌋{x} →
d
dt
˙
→
⌊~e1 ⌋{ẋ1 (t)} = ⌊~e1 ⌋{ξ(t)}
+ ⌊ē˙ 0 (t)⌋{x} =
˙
= ⌊~e1 ⌋{ξ(t)}
+ ⌊~e0 (t)⌋[Ω(t)](0) {x}(0)
4.4.
Vector velocidad angular
La matriz se puede



 ẋ1 
 ξ˙
ẏ
=
η̇
 1 

ż1 (1)
ζ̇
~ı
M
O
v̄ = v̄ + ω1
x
4.4.1.
hacer corresponder con un vector ω̄
 




  
0 −ω3 ω2

 x 
 ξ˙ 
 ω2 z − ω3 y 
+  ω3
0 −ω1 
y
=
η̇
+
ω x − ω1 z

 
 
 3

−ω
ω
0
z
ω
y
−
ω
x
ζ̇
2
1
1
2
(0)
(0)
(0)
(1)
(1)
~ ~k ω2 ω3 ⇒ v̄ M = v̄ O + ω̄ ∧ OM
y z Definición de vector velocidad angular
ı̄˙ = (ı̄˙ ·~ı)~ı + (ı̄˙ · ~)~ + (ı̄˙ · ~k)~k

d

dt

~
ı
·~
ı
=
1
→
ı̄˙ ·~ı = 0


d
dt
~ı · ~ = 0 →
ı̄˙ · ~ = −~ı · ̄˙


d

 ~
dt
ı̄˙ · ~k = −~ı · k̄˙
~ı · k = 0 →









˙ ~k = ~ı ∧ (̄˙ ∧ ~) +~ı ∧ (k̄˙ ∧ ~k)
˙  −(~ı · k̄)
ı̄˙ = −(~ı · ̄)~
| {z } | {z }
˙ )
~ı∧(̄∧~
˙ ~k)
~ı∧(k̄∧
ı̄˙ = ~ı ∧ (ı̄˙ ∧~ı)
1
˙ ∧~ı = ω̄ ∧~ı
ı̄˙ =
[~ı ∧ ı̄˙ + ~ ∧ ̄˙ + ~k ∧ k̄]
2
|
{z
}
ω̄
Análogamente: ̄˙ = ω̄ ∧ ~, k̄˙ = ω̄ ∧ ~k
4.5.
Observaciones
1. Tanto el punto O como el punto M son arbitrarios. La fórmula del campo de velocidades es:
v̄ B = v̄ A + ω̄ ∧ AB
∀A, B ∈ S0
2. Unicidad del vector velocidad angular. Demostración por reducción al absurdo:
v̄ M = v̄ 0 + ω̄ ∧ OM
v̄ M = v̄ 0 + ω̄ ′ ∧ OM
restando 0̄ = 0̄ + (ω̄ − ω̄ ′ ) ∧ OM,
⇒
ω̄ = ω̄
∀O, M ∈ S0
⇒
′
3. Explicación del nombre velocidad angular.
′
ω̄ ∧ OM = ω̄ ∧ (
OM
|{z}
OM′ k ω̄
+
′
M
| {zM})
M′ M ⊥ ω̄
=
ω̄
M′ M
∧
ω |M′ M|
| {z }
d(M, {O; ω̄}) ⊥ ω̄, ⊥ M′ M
ω
|M′ M|
| {z }
ω̄ ∧ OM es el campo de velocidades que induce una rotación de intensidad ω alrededor del eje
determinado por O y ω̄.
4. El vector velocidad angular es un vector libre que depende exclusivamente de los versores del
triedro móvil y sus derivadas. Demostración:
d~ı
d~ı
~ı∧∗
= ω̄ ∧~ı → ~ı ∧
= ~ı ∧ (ω̄ ∧~ı) = ω̄ −~ı(ω̄ ·~ı)
dt
dt
d~
d~
~∧∗
= ω̄ ∧ ~ → ~ ∧
= ~ ∧ (ω̄ ∧ ~) = ω̄ − ~(ω̄ · ~)
dt
dt
~k∧∗
d~k ~
d~k
= ω̄ ∧ ~k → ~k ∧
= k ∧ (ω̄ ∧ ~k) = ω̄ − ~k(ω̄ · ~k)
dt
dt
Sumando:
1
d~ı
d~ ~ d~k
ω̄ = (~ı ∧
+ ~ ∧
+k∧ )
2
dt
dt
dt
5. Ejemplo de sólidos con un eje paralelo
~ı = cos θ~ı1 + sin θ~1
~ = − sin θ~ı1 + cos θ~1
~k = ~k1


cos θ − sin θ 0
[Q] =  sin θ cos θ 0 
0
0
1


0 −1 0
˙ = θ̇  1 0 0  ⇒ ω̄ = θ̇~k
[Ω](0) = [Q]T [Q]
0 0 0
~k1 ~ı1
~k1 ~ı1
~

~

1
1
1
˙ = θ̇ cos θ sin θ 0 + cos θ sin θ 0 =
ω̄ =
[~ı ∧ ı̄˙ + ~ ∧ ̄˙ + ~k ∧ k̄]
2
2 − sin θ cos θ 0 − sin θ cos θ 0 = θ̇~k1
5.
5.1.
Propiedades del campo de velocidades de un sólido
Equiproyectividad
AB
Se define velocidad de deslizamiento del sólido sobre la recta AB v̄D
= (v̄ A · ~uAB )~uAB , ya que las
proyecciones de las velocidades de dos puntos en la dirección de la recta que les une son iguales.
Si ~uAB =
5.2.
AB
|AB|
⇒
v̄ B · ~uAB = v̄ A · ~uAB ,
∀A, B ∈ S0
Invariante escalar
ω̄
ω̄
Se define velocidad de mínimo deslizamiento del sólido v̄M D = (v̄ A · |ω̄|
) |ω̄|
, ya que las proyecciones
de las velocidades de todos los puntos en la dirección de la velocidad angular son iguales (se llaman
invariante escalar de un sistema de vectores).
ω̄
ω̄
v̄ B · = v̄ A · , ∀A, B ∈ S0
ω
ω
5.3.
Estructura bidimensional
Si AB = λω̄
⇒
v̄ B = v̄ A , ∀λ ∈ R
El lugar geométrico de los puntos de un sólido con idéntica velocidad son rectas paralelas a la velocidad angular. Esto implica que en cada plano perpendicular a la velocidad angular se dan todas las
velocidades posibles del sólido (estructura bidimensional del campo).
5.4.
Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento
EIRMD: Lugar geométrico de los puntos del sólido que tienen la velocidad de mínimo deslizamiento.
Punto H del plano π(O; ⊥ ω̄) que tiene la velocidad de
mínimo deslizamiento:
v̄ H = v̄ 0 + ω̄ ∧ OH ω̄ ⊥ OH, ω̄ k v̄ H
z z1
y
(ω̄∧∗)
→ 0̄ = ω̄ ∧ v̄ H = ω̄ ∧ v̄ 0 + ω̄ ∧ (ω̄ ∧ OH) = ω̄ ∧ v̄ 0 − ω 2 OH
ω̄ ∧ v̄ O
OH =
ω2
5.5.
~k1
~
~ı
O1
O
H
y1
~1
x1
x
λ∈R
v̄ Q
Estructura geométrica helicoidal

v̄ = v̄ + ω̄ ∧ HP 
v̄ H k ω̄
⇒ v̄ H ⊥ ω̄ ∧ HP ⇒

HP ⊥ ω̄
P
ω̄
~k
~ı1
Ecuación paramétrica del EIRMD:
ω̄
r̄(λ) = r̄ O + OH + λ ,
ω
E
v̄ P
ω̄
v̄ H
H
⇒ |v̄ P |2 = |v̄ H |2 + |ω̄|2 |HP|2 ≥ |v̄ H |2
v̄ H
H
v̄ H
ω̄ ∧ HP
P
ω̄ ∧ HQ
Q
Esta último resultado implica que los puntos del eje son los puntos de velocidad mínima (en módulo).
5.6.
Casos particulares
1. Traslación pura: ω̄ = 0̄
Propiedad: Todos los puntos del sólido tienen el mismo vector velocidad
2. Rotación pura: v̄M D = 0̄
Propiedad: El EIRMD se localiza por intersección de los planos perpendiculares a las velocidades
de dos puntos.
Ejemplo de la noria.
Rotaciones y traslaciones instantáneas y permanentes.
6.
6.1.
Axoides del movimiento
Definiciones
Axoide fija es el lugar geométrico que describe el eje instantáneo de rotación en los ejes fijos.
Axoide móvil es el lugar geométrico que describe el eje instantáneo de rotación en los ejes móviles.
6.2.
Propiedades
Son superficies regladas (formadas por rectas) que en todo instante tienen en común una recta
que es el EIRMD.
6.3.
Determinación geométrica de las axoides
Determinación basada en propiedades geométricas del movimiento.
Ejemplo: Cilindro circular recto que rueda sin deslizar por un plano.
6.4.
Determinación analítica de las axoides
Determinación basada en representación matemática de la superficie. Por ejemplo, las representaciones paramétricas de las axoides son:
Axoide fija:
ω̄ ∧ v̄ O
ω̄
+λ
r̄1 (λ, t) = r̄1O +
2
ω
|
|{z}
{z ω }
(t)
(t)
O
Axoide móvil:
r̄(µ, t) =
ω̄ ∧ v̄
ω̄
+µ
2
ω
| ω
{z }
|{z}
(t)
(t)
7.
Ángulos de Euler
7.1.
Posición definida a través del producto de tres giros finitos no conmutativos. Sistemas Posibles.
Secuencias de ejes de giro posibles:
1,2,1 1,2,3 1,3,1 1,3,2 2,3,2 2,3,1 2,1,2 2,1,3 3,1,3 3,1,2 3,2,3 3,2,1
7.2.
Elección de Euler (3,1,3)
Definición de los ángulos de giro: precesión ψ (psi), nutación θ (theta) y rotación propia ϕ (phi).
Estos nombres provienen de la Mecánica Celeste.
7.3.
Composición de los giros y Matriz de giro resultante
z2 ≡ z1
z ≡ z2
F2 T = F1 T


cos ψ − sin ψ 0
 sin ψ cos ψ 0 
0
0
1
LN
y
θ
F3 T = F2 T
ϕ


1
0
0
 0 cos θ − sin θ 
0 sin θ cos θ
θ
ψ
O
F0 T = F3 T


cos ϕ − sin ϕ 0
 sin ϕ cos ϕ 0 
0
0
1
~uLN
ψ
x1
x2 ≡ x3
ϕ
x
Sustituyendo:




cos ψ − sin ψ 0
1
0
0
cos ϕ − sin ϕ 0
F0 T = F1 T  sin ψ cos ψ 0   0 cos θ − sin θ   sin ϕ cos ϕ 0  = F1 T [Q] =
0
0
1
0 sin θ cos θ
0
0
1


cos ψ cos ϕ − sin ψ cos θ sin ϕ − cos ψ sin ϕ − sin ψ cos θ cos ϕ sin ψ sin θ



= F1 T 
sin
ψ
cos
ϕ
+
cos
ψ
cos
θ
sin
ϕ
−
sin
ψ
sin
ϕ
+
cos
ψ
cos
θ
cos
ϕ
−
cos
ψ
sin
θ


sin θ sin ϕ
sin θ cos ϕ
cos θ
ψ = arctan(
q13
)
−q23
θ = arc cos(q33 )
ϕ = arctan(
q31
)
q32
[Ω](0) = [Q]T [Q̇]
7.4.
Velocidad angular en función de los ángulos de Euler
Resultados geométricos:
~ı3 = cos ϕ~ı0 − sin ϕ ~0 = ~uLN
~3 = sin ϕ~ı0 + cos ϕ ~0
~k1 = sin θ ~3 + cos θ ~k0 = sin θ(sin ϕ~ı0 + cos ϕ ~0) + cos θ ~k0
y3
y2
y1
Cálculo:
ω̄01 = ω̄03 + ω̄32 + ω̄21 = ϕ̇ ~k0 + θ̇ ~ı3 + ψ̇ ~k1 =
= ψ̇[sin θ(sin ϕ~ı0 + cos ϕ ~0 ) + cos θ ~k0 ] + θ̇(cos ϕ~ı0 − sin ϕ ~0) + ϕ̇ ~k0 =
= (ψ̇ sin θ sin ϕ + θ̇ cos ϕ)~ı0 + (ψ̇ sin θ cos ϕ − θ̇ sin ϕ) ~0 + (ψ̇ cos θ + ϕ̇) ~k0 =
= p~ı0 + q ~0 + r ~k0
p = ψ̇ sin θ sin ϕ + θ̇ cos ϕ
q = ψ̇ sin θ cos ϕ − θ̇ sin ϕ
r = ψ̇ cos θ + ϕ̇
8.
8.1.
Teorema de Coriolis
Objetivo
Cálculo de la derivada de un vector respecto a un sistema distinto a aquel donde se encuentra
expresado.
8.2.
Deducción
Ā = x0~ı0 + y0~0 + z0~k0
dĀ
˙
|1 = ẋ0~ı0 + ẏ0~0 + ż0~k0 + x0~ı˙0 + y0~˙0 + z0~k0 =
dt
= ẋ0~ı0 + ẏ0~0 + ż0~k0 + x0 ω̄01 ∧~ı0 + y0 ω̄01 ∧ ~0 + z0 ω̄01 ∧ ~k0 =
|
{z
} |
{z
}
dĀ
=
|0
+
ω̄ ∧ (x0~ı0 + y0~0 + z0~k0 )
dt
dĀ
dĀ
|1 =
|0 + ω̄01 ∧ Ā
dt
dt
8.3.
Interpretación del significado de las derivadas
9.
Campo de aceleraciones de un sólido
9.1.
Objetivo
Cálculo de las aceleraciones de los puntos de un sólido.
9.2.
Aceleración angular
ᾱ = (
9.3.
dω̄
dω̄
dω̄
)1 = ( )0 + ω̄ ∧
ω̄ = ( )0
dt
dt
dt
Fórmula del campo de aceleraciones
d(ω̄ ∧ OM)
dω̄
d(OM)
dv̄ M CV S dv̄ O
|1 =
|1 +
|1 = γ̄ O +
|1 ∧ OM + ω̄ ∧
|1 =
dt
dt
dt
dt
dt
= γ̄ O + ᾱ ∧ OM + ω̄ ∧ (ω̄ ∧ OM)
γ̄ M =
γ̄ M = γ̄ O + ᾱ ∧ OM + ω̄ ∧ (ω̄ ∧ OM)
9.4.
Interpretación geométrica
La estructura geométrica del campo de aceleraciones es bastante más complicada que la del campo
de velocidades. Se puede considerar en cada instante
como la superposición de una estructura helicoidal similar a la del campo de velocidades alrededor de un
eje que pasa por I y tiene la dirección de la aceleración angular y de una estructura centrípeta alrededor
de un eje que pasa por I y tiene la dirección de la
velocidad angular.
γ̄ M
ᾱ
Γ̄I
M ′′
ω̄
M
ω 2 MM′′
ᾱ ∧ M′ M
O
γ̄ M = γ̄ O + ᾱ ∧ OM + ω̄ ∧ (ω̄ ∧ OM) =
|
{z
}
|
{z
}
O
ᾱ ∧ γ̄
ω̄ ω̄
I
O ᾱ ᾱ
′′ = (OM ·
OI =
OM
,
Γ̄
=
(γ̄
·
)
)
α2
α α
ω ω
}|
{
z
}|
{
z
= Γ̄I + ᾱ ∧ (IM′ + M′ M) + ω̄ ∧ (ω̄ ∧ (OM′′ + M′′ M)) =
ᾱ ᾱ
IM′ = (IM · )
α α
I
′ M + ω 2 MM′′
= Γ̄
+
ᾱ
∧
M
| {z }
|
{z
}
estructura helicoidal {I; ᾱ} + aceleración centrípeta {O; ω̄}
Γ̄I
M′
I
10.
Movimiento del triedro intrínseco
Dada una curva alabeada que es recorrida por un punto O con una ley r̄ = r̄(t) estudiar el
movimiento del triedro intrínseco de la trayectoria en O.
El campo de velocidades del mismo estará determinado por la velocidad del origen y la velocidad
angular del triedro intrínseco.
10.1.
Velocidad del origen
˙ = v~t
v̄ O = r̄(t)
→
v=
dr̄ dr̄
ds
= v̄ · ~t =
·
dt
dt ds
10.2.
Velocidad angular
10.2.1.
Ecuaciones de Frenet (resultado geométrico)
  
 
~t 
0
κ
0  ~t 

d
~n
=  −κ 0
τ  ~n
~ 
ds  ~ 
0
−τ 0
b
b
10.2.2.
Matriz velocidad angular del triedro intrínseco
 
 
 



˙

0
κ 0  ~t 
0 −κ 0
 ~t 
 ~t 

~n
= [Ω]T
⇒ [Ω](T I) = v  κ 0 −τ 
~n˙
= v  −κ 0 τ  ~n






 ~˙ 
~b
~b
0 −τ 0
0 τ
0
b
10.2.3.
Vector velocidad angular del triedro intrínseco
El vector asociado a la matriz completamente antisimétrica [Ω] es:
ω̄ = v(τ ~t + κ~b)
10.3.
Teorema de la Escuadra
Enunciado:
El EIRMD del movimiento del triedro intrínseco de una curva plana coincide en cada instante con el
eje de curvatura.
Demostración:
Curva plana (τ = 0) ⇒ ω̄ = vκ~b
EIRMD
:
r̄(λ)(T I) =
ω̄ ∧ v̄ 0
ω̄
vκ~b ∧ v~t
+
λ
=
+ λ~b = ρ~n + λ~b
ω2
|ω|
v 2 κ2
(Eje de curvatura)